Capitulo i (Funciones)

MATEMATICA IFACULTAD DE INGENIERÍA

CAPITULO I:

FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

Al estudiar diversos fenómenos de la naturaleza y resolver problemas técnicos y por consiguiente matemáticos, surge la necesidad de examinar la variación de una magnitud en dependencia de la otra magnitud, es por ello que el concepto de función es una herramienta fundamental para poder describir muchos fenómenos del mundo real en términos matemáticos.Antes de pasar a definir una función, haremos una breve introducción de Relaciones Binarias.

PRODUCTO CARTESIANO

DEFINICIÓN. Dados dos conjuntos no vacíos A y B, se define el conjunto denotado por , llamado Producto Cartesiano, el cuál está representado simbólicamente por:

Es decir es el conjunto de pares ordenados formado por todas las combinaciones de los elemento de y .Ejemplo

Sea y , entonces:

En forma similar, tenemos

De lo anterior, podemos decir que

RELACIONES BINARIAS

DEFINICIÓN. Sean A y B dos conjuntos no vacíos, es una relación de A en B si y sólo si está incluido en , esto es:

O lo que podemos expresar simbólicamente: Ejemplo:

Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz

3


Sean ;

Son relaciones de A en B:

-

-

-

Usaremos el diagrama de flechas para representar las relaciones anteriores

A B A R2 B A R3 B

.2 .2 .2 .2 .2 .2 .4 .5 .4 .5 .4 .5 .7 .7 .7 .6 .9 .6 .9 .6 .9

Nota: Sea R la relación de A en B, se defineA: Conjunto de partida (Dominio de la relación)B: Conjunto de llegada (Rango de la relación)

CASO PARTICULAR:

es una relación en A

Ejemplo:

Dado determinar las relaciones en A:

a)

b)

c)

Solución:


4


Después de haber visto en forma muy breve a las relaciones binarias, estudiaremos a continuación un caso particular de relación binaria, el cual es llamado función.

FUNCIONES

DEFINICIÓN (Función). Dados dos conjuntos no vacíos y y una relación , entonces se dice que es una función de en , si y solo si, para cada

, existe un único elemento talque .O lo que es lo mismo:

Ejemplo:

Sean ;

Son relaciones de A en B:

-

-

-Determinemos cuales de ellas son funciones, utilizando el método gráfico:

A B A B A B

.2 .2 .2 .2 .2 .2 .4 .5 .4 .5 .4 .5 .7 .7 .7 .6 .9 .6 .9 .6 .9

Luego que tenemos las gráficas de las relaciones anteriores, analicemos cuales de ellas son funciones utilizando la definición.

- La relación no es función, puesto que se observa que el elemento 2 del dominio, se relaciona con los elementos 2 y 7 del rango, lo cual contradice la definición.

- La relación es función, ya que a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento en el rango.

- La relación es función, pues también cumple con la definición.

FUNCION REAL DE VARIABLE REALLic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz

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DEFINICIÓN. Una función real de variable real es una regla de correspondencia que asocia a cada número real de un conjunto un único número real llamado imagen de bajo .Una función se denota como:

OBSERVACIONES:Al número real del dominio de la función se le llama variable independiente, mientras que a la imagen correspondiente se le llama variable dependiente.

Ejemplos:

1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9.

5. 10.

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION:

- El dominio de una función es el conjunto denotado por:

- Al conjunto formado por las imágenes de las del dominio se le llama rango de la función:

¿CÓMO OBTENER EL DOMINIO DE UNA FUNCIÓN?

Dada la función , recordemos que el dominio de una función son aquellos valores que toma la variable independiente, en este caso , para los cuales la expresión existaOBSERVACIONES:

(1) Si es un polinomio, el dominio de la función será todos los reales, es decir: .

(2) Si es un cociente, éste no existe si el denominador se hace cero, por lo que se deben eliminar del dominio aquellos valores en donde esto sucede

(3) Si es una raíz cuadrada, éste existirá, si y sólo si, el radicando es mayor o igual que cero.

(4) Si es un logaritmo natural, éste existirá, si su argumento es mayor que cero. (5) Si es una función definida por partes, el dominio de la función será la

unión de todos los subdominios.Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz

6


Ejemplos:

Hallar el dominio de las siguientes funciones:

1. Solución: Por la observación (1), tenemos que

2. Solución: En este caso, igual que el ejercicio anterior, tenemos que

3. Solución: Teniendo en cuenta la observación (3), tenemos que Luego:

+ - + -4 -14. Solución: Por la observación (5), se tiene ;

Donde: y Por lo tanto:

5.

Solución: En este caso debemos de hallar aquellos valores para los cuales el

denominador es cero, para luego eliminarlos del dominio:

Luego:

6.


7


Solución: Por la observación 2, hallaremos los valores en donde el denominador se

hace cero:

Luego:

7.

Solución: En este caso debemos de tener en cuenta la observación (4), por lo que

Luego:

º 98. Solución: Por la observación 5, se tiene ;

Donde: y Por lo tanto:

9.

Solución: Teniendo en cuenta la observación (3), tenemos que

Luego:

4

10.

Solución: En este caso debemos de tener en cuenta la observación (4), por lo que


8


Luego:

+ º - º + -2 4

¿CÓMO OBTENER EL RANGO DE UNA FUNCIÓN?

Para obtener el rango de la función, despejamos la variable independiente “ ” en función de “ ”, luego analizamos los valores que pueda tomar “ ” de tal forma que “” exista, o en su defecto tener en cuenta las observaciones anteriores utilizadas para hallar el dominio de una función.

Ejemplos:

Hallar el rango de las siguientes funciones:

1.

Solución: Despejamos la variable “ ” en función de “ ”:

Se observa que esta función es un polinomio, entonces

2.


Por la observación (3), se tiene:

Luego:

-1


9


3.

Solución: en este caso, se tiene:

Luego:

4.


Por la observación 2, hallaremos los valores en donde el denominador se hace cero:

5.



Pero, “ ” es una raíz, función que toma sólo valores positivos, es decir:

Intersectando ambas soluciones, se tiene:

6.




10


7.

Solución: Factoricemos y simplifiquemos

8.



9.


Teniendo en cuenta la observación (3), tenemos que , lo cual se cumple para cualquier número real pues Pero, “ ” es una raíz, función que toma sólo valores positivos, es decir:

Intersectando ambas soluciones, se tiene:

10.




11


VALOR NUMERICO DE UNA FUNCION

Para determinar el valor numérico de una función remplazamos el valor de la variable independiente en la regla de correspondencia.

Ejemplo:

I.- Calcular el valor numérico de las siguientes funciones, para los valores de dados:

1. , Reemplazamos el valor de “x” por -1

2. , Reemplazamos el valor de “x” por 2

3. ,

Reemplazamos el valor de “x” por

4. , Reemplazamos el valor de “x” por 0

5. , En este caso el valor no existe como número real, por lo cual no se puede hallar su valor numérico.

II.- Dada la función: , determinamos los valores numéricos de:

a. c. =

b. d.

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL (Criterio de la Recta Vertical)


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La función es una función real de variable real, si y sólo si, toda recta vertical (paralela al eje “y”) corta a la gráfica de la función a lo más en un punto.

Ejemplos:

y y

x x

y y

º x x

De las seis figuras que se muestran, (a) y (b) no son funciones, mientras que (c), (d), (e), (f) si lo son.

FUNCIONES ESPECIALES

1. Función Constante. Definida por:


y

x

y

x

(a) (b)

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(c)(d)

(e) (f)


En este caso: y

Su gráfica es: y

c

x

2. Función Identidad. Definida por:

En este caso: y

Su gráfica es: y

y=x

x

3. Función Lineal. Definida por:

En este caso: y

Su gráfica es: y

y=f(x)

x


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4. Función Valor Absoluto. Definida por:

donde

En este caso: y

Su gráfica es: y

x

5. Función Raíz Cuadrada. Definida por:

En este caso: y

Su gráfica es: y

x

6. Función Máximo Entero. Definida por:

donde

En este caso: y

Su gráfica es: y


15


x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

7. Función Signo. Definida por:

donde

En este caso: y

Su gráfica es: y

1 º x

º-1

8. Función Cuadrática. Definida por:

donde y

En este caso:

y , si ó

, si

Su gráfica es: y y


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k k x x h h

donde

9. Función Cúbica. Definida por:

En donde: y

Su gráfica es: y

x

10. Función Seno. Definida por:

En donde: y

Su gráfica es: y 1

x


17


X -1

11. Función Coseno. Definida por:

En donde: y

Su gráfica es: y

1

x

X -1

TECNICAS DE GRAFICACION

Si tenemos una función , cuya gráfica es conocida, en base a ésta podemos construir la gráfica de otra función en forma rápida y sencilla usando los siguientes criterios:

1ero Si se tiene la gráfica de , entonces la gráfica de la función , se obtiene desplazando verticalmente la gráfica de , en unidades; hacia arriba si ó hacia abajo si .

y


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x

2do Si se tiene la gráfica de , entonces la gráfica de la función , se obtiene desplazando horizontalmente la gráfica de , en unidades; hacia la derecha si ó hacia la izquierda si .

y

x

3ero Si se tiene la gráfica de , entonces la gráfica de la función , se obtiene desplazando horizontal y verticalmente la gráfica de

; en unidades hacia la derecho ó izquierda (según el signo de ) y unidades hacia arriba ó hacia abajo (según el signo de ).

y y

x x

4to La gráfica de la función se obtiene de la siguiente manera:

- Si la gráfica está estirándose verticalmente en un factor en base al eje .

- Si la gráfica está encogiéndose verticalmente en se factor


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y y

x x

Ejemplos: Graficar las siguientes funciones:1. 2.

2 -

1

3. 4. y

x -3 -4

5. 6. Completando cuadrados se tiene: y 1 y x 1 3


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-1

-2 x 1

7. 8.

2 2 -5 -3

Queda al lector resolver los ejercicios siguientes:9. 10. 11. 12. 13.

ALGEBRA DE FUNCIONES

Recordemos que una función es bien definida si conocemos su dominio y su regla de correspondencia

1) Igualdad de Funciones:

Se dice que las funciones y son iguales, sí y sólo sía)b)

2) Suma de Funciones:

Si y son dos funciones con dominio y respectivamente, entonces la suma de y , denotado por + se define como: a)b)

3) Diferencia de Funciones:

Si y son dos funciones con dominio y respectivamente, entonces la diferencia de y , denotado por - se define como: a)b)


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4) Multiplicación de Funciones:

Si y son dos funciones con dominio y respectivamente, entonces el producto de y , denotado por . se define como: a)b)

5) Cociente de Funciones:

Si y son dos funciones con dominio y respectivamente, entonces el cociente de y , denotado por / se define como: a)

b)

6) Composición de Funciones:

Dadas las funciones y , tales que: y

y que , entonces se define:

a) , como:

b) , como:

f g A B C

Df Rf Dg Rg

Dg o f

Rg o f

g o f

Ejemplos Explicativos:

1. Dadas las funciones y , hallar , , , ,

Solución:


22


Hallamos el dominio de ambas funciones, y los intersectamos. ; ,

Luego

Ahora determinamos las reglas de correspondencia de la suma

Por lo tanto

Análogamente determinamos las reglas de correspondencia de

Por lo tanto

De igual modo determinamos las reglas de correspondencia de

Por lo tanto

Determinemos las reglas de correspondencia de , igual que los casos anteriores, pero hay que eliminar los valores Es decir, eliminar pues (pero no va a ser necesario pues este valor no está en la intersección)

Por lo tanto

Por último hallamos Determinamos el dominio:


23


Luego:

2. Dadas las funciones y , hallar , , , ,

Solución:Hallamos el dominio de ambas funciones, y los intersectamos.

; , Luego


Por lo tanto


Por lo tanto


Por lo tanto


24


Determinemos , donde hay que eliminar los valores ; lo cual no es necesario, pues no hay ningún valor que haga

Por lo tanto

Por último hallamos Determinamos el dominio:

Luego:

3. Dadas las funciones y , hallar , , ,

Solución:Hallamos el dominio de ambas funciones, luego los intersectamos.

; , Luego



25


Por lo tanto


Por lo tanto


Por lo tanto

Determinemos , donde hay que eliminar los valores ; lo cual no es necesario, pues no hay ningún valor que haga

Por lo tanto

4. Dadas las funciones y . Hallar , , , , .

Solución:Hallamos el dominio de ambas funciones, y los intersectamos.

; Ahora determinamos las reglas de correspondencia de para


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Análogamente determinamos:

Determinemos , donde hay que eliminar los valores ; es decir eliminar:

el cual no pertenece al dominio , el cual no pertenece al dominio

Como ambos valores no pertenecen al dominio, no hay elementos que eliminarPor lo tanto

Ahora hallamos Para hallar el dominio Como la función está definida por partes, la dividimos en dos funciones

i. Hallamos

Su regla de correspondencia es:

ii. Luego hallamos


Luego, de (i) e (ii) se tiene:

5. Sean las funciones: y Hallar , , , , .


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Solución:Como las funciones están definidas por partes, las dividimos en dos funciones

y

Primero hallamos lo que nos piden para :

; Ahora determinamos las reglas de correspondencia

Para hallar , hay que eliminar ; es decir

el cual pertenece al dominio ,

Ahora hallamos

Hallamos


Ahora hallamos lo que nos piden para :

; Ahora determinamos las reglas de correspondencia

Para hallar , hay que eliminar ; es decir

el cual pertenece al dominio ,

Ahora hallamos

Hallamos


28



FUNCIONES INYECTIVAS SURYECTIVAS Y BIYECTIVAS

1. Función Inyectiva: La función es inyectiva (univalente) si a cada elemento del rango le corresponde un único elemento en el dominio, es decir, si existen entonces .O equivalentemente:

Si

Ejemplo: Determinar si es inyectiva. Solución:

es inyectiva si

es inyectiva

Observación: En forma gráfica se puede determinar si una función es inyectiva o no, para esto tracemos una recta paralela al eje x, si dicha recta corta la gráfica en dos partes o más, entonces la función no es inyectiva, pero si la corta en un sólo punto, entonces la función es inyectiva.Ejemplo: Determinar si y son inyectivasSolución

y y

x x


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Como se aprecia en la gráfica la función no es inyectiva , mientras que si es inyectiva.

2. Función Impar: Sea con dominio , entonces la función es impar para todo si y sólo si:1. Si entonces 2.Nota: Que sea impar significa que su gráfica es simétrica con respecto al origen.

Ejemplo: Determinar si es impar Solución:Como , si entonces .

Luego y x

3. Función Periódica: Sea con dominio , entonces la función es periódica si existe un tal que:1. Si entonces 2.El menor valor de se llama periodo.

Ejemplo: Determinar si es periódica Solución:Como , si entonces .Luego Esto se cumple cuando toma valores como: De donde se obtiene que el período es , por ser el menor valor.

y 1

x

-1

Como se aprecia en la gráfica la función es periódica de período , por lo que la gráfica cada unidades se repite.


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Como se aprecia en la gráfica la función es simétrica con respecto al origen


FUNCIONES PARES E IMPARES, FUNCIÓN PERIÓDICA

Estos conceptos servirán para estudiar el comportamiento de la gráfica de una función.

4. Función Par: Sea con dominio , entonces la función es par para todo si y sólo si:1. Si entonces 2.Nota: Que sea par significa que su gráfica es simétrica con respecto al eje “y”.

Ejemplo: Determinar si es par Solución:Como , si entonces .

Luego

y

x

Como se aprecia en la gráfica la función es simétrica con respecto al eje “y”

5. Función Impar: Sea con dominio , entonces la función es impar para todo si y sólo si:1. Si entonces 2.Nota: Que sea impar significa que su gráfica es simétrica con respecto al origen.

Ejemplo: Determinar si es impar Solución:Como , si entonces .


31


Luego y x

6. Función Periódica: Sea con dominio , entonces la función es periódica si existe un tal que:1. Si entonces 2.El menor valor de se llama periodo.

Ejemplo: Determinar si es periódica Solución:Como , si entonces .Luego Esto se cumple cuando toma valores como: De donde se obtiene que el período es , por ser el menor valor.

y 1

x

-1

Como se aprecia en la gráfica la función es periódica de período , por lo que la gráfica cada unidades se repite.

7. Función Creciente: Sea con dominio , entonces la función es creciente para todo si y sólo si:

Si

Ejemplo: Determinar si es creciente Solución:Sea , pues Si recordamos su gráfica de esta función se observa que esta función es siempre creciente.

y


32

Como se aprecia en la gráfica la función es simétrica con respecto al origen


x

8. Función decreciente: Sea con dominio , entonces la función es decreciente para todo si y sólo si:

Si

Ejemplo: Determinar si es creciente Solución:Sea ,

pues De la gráfica se observa que esta función es siempre creciente.

y

x

Nota: Tanto las funciones crecientes como decrecientes son conocidas como funciones monótonas.

MODELAMIENTO DE FUNCIONES

El proceso de formular los problemas en lenguaje matemático se denomina modelación matemática, por lo tanto un modelo matemático puede describir con precisión el problema en cuestión.Se puede pensar en una función como una máquina, donde, el dominio ó conjunto de entrada es la materia prima para la máquina que es la regla de correspondencia y el rango es la salida de la máquina o producto final.

Estrategias para Modelar Funciones

A continuación se darán algunas estrategias que nos ayudarán a modelar funciones

1. Comprensión del problema: Leer, hacer esquema, identificar cantidades2. Planteamiento: Hacer relaciones entre cantidades3. Resolución del problema planteado4. Análisis de Resultados

Muchas funciones se originan en problemas geométricos, físicos, económicos, etc.Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz

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A continuación se presentan algunos ejemplos

Ejemplos explicativos:1. Sea función que expresa el área de un rectángulo de base y cuya longitud

el perímetro sea . Hallar .2. Un impresor imprimirá 1000 volantes o menos a razón de S/.600 por cada ciento.

Por cada ciento adicional reducirá su precio por ciento en todo el trabajo por 15 soles. Expresar la función precio en función del número de cientos de volantes.

3. Una caja rectangular con base cuadrada tiene un volumen de 125m3 Exprese el área total de su superficie como una función de la longitud de su arista de su base.

4. Se desea construir un corral rectangular para animales. Para ahorrar material, se usará una pared como uno de sus lados. El pie de cerca para os otros tres lados cuesta $.5 y se debe gastar $. 1 por cada pie de pintura para la parte de la pared que forma el cuarto lado del corral. Si usted puede gastar $. 180. Exprese el área del corral como función de la longitud de su lado en la pared.

HOJA DE PRACTICA Nº 1

I.- Hallar el dominio y rango de las siguientes funciones:

1. 11.

2. 12.

3. 13.

4. 14.

5. 15.

6. 16.

7.- 17.

8. 18.

9. 19.

10. 20.

II Hallar el valor numérico de las siguientes funciones:

1.- , hallar , , ,


34


2.- , hallar , , ,

3.- , hallar , , , ,

4.- , hallar ),1( xf , )1(f , ,

5.- 12)( 2 xxxf , hallar ,

HOJA DE PRÁCTICA Nº 2

1.Dadas las funciones y , hallar , , , , y



4. Dadas las funciones y , hallar , , , , y


6. Sean y

, Hallar , , , , y

7.- Dadas: y ,

Hallar , , , , y

8. Dadas las funciones

y ,

Hallar , , , , y

9. Hallar y donde las funciones tienen como regla de correspondencia:

10. Hallar , y si las funciones tienen como regla de correspondencia:


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11. Sean las funciones: y

Hallar la suma de funciones “ ” y el cociente de funciones “ ”

12.- Sean dos funciones definidas por:

Hallar

13.- Sean las funciones definidas por , y Hallar A+B, si:

14. Si y . Hallar y ; además

, y .

15. Si y , hallar , , , , . 16. Sean y , hallar , , , , .


18. Sean las funciones: y , Hallar , , , , y

19. Dadas: y , Hallar , , , , y

20. Sean: y , Hallar , , , , y

21. Si , y , hallar


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, , , , ,

22. Si , y , hallar , , , , ,

23. Si y , hallar , , , , ,

24. Si y , hallar , , , , ,

25. Si y , hallar , , , , ,

HOJA DE PRÁCTICA 3

I. Modelar las siguientes funciones:

1. En la región encerrada por la parábola y el eje X, se inscriben rectángulos con lados paralelos a los ejes coordenados y dos vértices sobre la parábola. Hallar una función que de las áreas de dichos rectángulos.

2. Un viaje subsidiado por una escuela costará 300 soles a cada alumno sino lo hacen más de 150 alumnos; sin embargo, el costo por alumno se reducirá en 5 soles por cada uno que sobrepase los 150. Determinar una función que dé el ingreso total bruto que obtendría la escuela como una función del número de alumnos que harían el viaje.

3. Una ventana de forma rectangular está rematada en la parte superior por un semicírculo ¿Cuál debe ser la base del rectángulo para que la ventana tenga la mayor superficie siendo el perímetro igual a 2m?

4. Una tienda comercial ha vendido 200 reproductores de discos compactos a la semana a un precio de 300 dólares cada uno. Una investigación de mercado indica que por cada 10 dólares de descuento que se ofrezca a los compradores el número de aparatos vendidos se incrementará en 20 unidades más. Hallar una función que exprese el ingreso e indicar:a) ¿Cuánto debe ser la rebaja para maximizar el ingreso?b) ¿Cuál debe ser el precio de venta para maximizar el ingreso?

5. El costo marginal de producir un medicamento es de 10 dólares por unidad, mientras que el costo de producir 100 unidades es de 1500 dólares. Encuentre la función de costo C(x), suponiendo que es lineal.

5. Expresar el área de un cuadrado como función de su perímetro.

6. Encontrar la función área de un rectángulo cuya base es y su perímetro es 100.

7. Suponga que una caja rectangular tiene un volumen de 324 centímetros cúbicos y una base cuadrada de longitud centímetros. El material de la base de la caja cuesta


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2 centavos el centímetro cuadrado y el material para la tapa y los cuatro lados cuesta 1 centavo el centímetro cuadrado. Exprese el costo total de la caja como una función de .

8. Un rectángulo de perímetro fijo igual a 36 cm, se rota en torno a uno d sus lados para generar un cilindro circular recto. Exprese el volumen de este cilindro como una función del largo del lado .

9. Una caja sin tapa se construye a partir de una pieza cuadrada de cartón de lado 50 pulgadas. En primer lugar, se cortan cuatro cuadrados, cada uno de longitud de lado igual a pulgadas, de las cuatro esquinas del cartón. Entonces las pestañas resultantes se voltean hacia arriba para formar los cuatro lados de la caja, que tendrá entonces una base cuadrada y una profundidad de pulgadas. Exprese el volumen

como una función de


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