CAPITULO 1 - Introdução 1

CAPÍTULO I

INTRODUÇÃO

O estado gasoso

O estado gasoso é certamente o estado de agregação sob o qual menos nos

debruçamos, se pensarmos na observação que fazemos daquilo que nos rodeia. Todos

sabemos que existe (atmosfera, combustíveis gasosos...), mas não é fácil enumerar um

conjunto de propriedades que lhes sejam características. Podemos contudo afirmar, de

forma simplista, que os gases fluem com extrema facilidade, tem uma densidade

baixa, são bastante compressíveis, e ocupam todo o volume que lhes seja disponível.

Vamos neste capítulo rever alguns conhecimentos importantes sobre o estado

gasoso, pois é frequentemente utilizado como exemplo na demonstração dos

fundamentos básicos da Termodinâmica Química.

O modelo do gás perfeito

No estudo da Termodinâmica não necessitamos de qualquer teoria acerca da

estrutura molecular, mas no entanto é bom termos em mente um modelo molecular

para interpretar os seus resultados. Uma boa visão para um gás perfeito é o de um

conjunto de moléculas, consideradas partículas pontuais, em movimento aleatório,

com velocidades que aumentam com a temperatura, e sem interacções entre si,

excepto colisões elásticas de muito curta duração.

As propriedades fundamentais para estudarmos um sistema termodinâmico são o

volume, V, a pressão, p, a temperatura, T, e a quantidade de matéria, ou número de

moles, n. Um gás, num dado estado termodinâmico de equilíbrio, é caracterizado

univocamente por aquelas propriedades. No entanto estas propriedades não são

independentes umas das outras, pois existe uma equação de estado que relaciona todas

estas propriedades. Essa equação para um gás perfeito é a equação dos gases

perfeitos:

pV = n RT

CAPITULO 1 - Introdução 2

onde p é a pressão a que o gás está sujeito, T a sua temperatura absoluta, V o volume

que ocupa, n o número de moles de gás presente, e R é a constante dos gases perfeitos.

R = 8.314 J.mol-1.K-1 = 1.987 cal.mol-1.K-1 = 83.14 bar.cm3.mol-1 ou

R = 0.082 atm.L.mol-1.K-1

Voltaremos a esta equação mais adiante. Por agora vamos recordar alguns

conceitos básicos sobre pressão e temperatura que importa ter presentes ao longo do

curso. Estes conceitos são do maior interesse, pois todos os fenómenos químicos

dependem destas variáveis termodinâmicas.

Pressão

A pressão constitui com a temperatura o par de variáveis termodinâmicas

consideradas como independentes, pois é relativamente simples controlá-las num

laboratório ou instalação industrial.

A pressão é uma força exercida por unidade de área. Mede-se em várias unidades.

A unidade de pressão do Sistema Internacional (SI) é o Pascal. O Pascal é uma

unidade derivada deste sistema, e representa a pressão exercida pela força de 1 N

actuando numa área de 1 m2 , isto é:

1 Pa = 1 N m-2

Esta unidade é pouco prática pois representa uma quantidade muito pequena. A sua

relação com unidades mais práticas é a seguinte:

1 bar = 100 kPa

1 atm = 101325 Pa

Usam-se ainda unidades mais pequenas como o torr, que é muito aproximadamente

igual ao milímetro de mercúrio, mmHg:

1 torr = 133.322 Pa

CAPITULO 1 - Introdução 3

Da relação anterior deriva outra igualdade importante que relaciona a atmosfera

com esta última unidade:

1 atm = 760 torr

O método mais simples de medida da pressão para zonas entre ≈ 10 mbar e 1 bar é

o manómetro de mercúrio. Um exemplo é a medida da pressão atmosférica com um

barómetro. O princípio básico desta medida é o equilíbrio entre uma coluna de

mercúrio e uma coluna de ar à superfície líquida do mercúrio. Considere-se a figura

1.1:

Figura 1.1. Barómetro de mercúrio

Se o espaço acima da coluna de mercúrio for um vácuo perfeito, a pressão

atmosférica, p, pode ser relacionada com a altura da coluna de mercúrio, h, da

seguinte forma:

p = F/A = mg/A = ρπr2hg/πr2 = ρhg

onde F é a força exercida pela coluna de mercúrio por unidade de área, A, m é a massa

de mercúrio, g é a aceleração da gravidade, e ρ é a densidade do mercúrio.

Os manómetros mais simples são em forma de U. O tubo em forma de U encontra-

se cheio de mercúrio, como mostra a figura 1.2:

CAPITULO 1 - Introdução 4

Figura 1.2. Manómetro de mercúrio

Um dos braços do manómetro encontra-se ligado ao sistema ao qual se pretende

medir a pressão. O outro braço está fechado em vácuo, ou aberto. Se está aberto, a

pressão medida no sistema é relativa , isto é:

Psist = Pman + Patm

Se o tubo estiver fechado, Psist = Pman.

Os manómetros de mercúrio são utilizados em linhas de vácuo, para operações de

controle e medida de pressões relativamente baixas. Para pressões mais reduzidas, na

zona do vácuo primário temos de recorrer a manómetros do tipo Pirani. Estes

manómetros utilizam um filamento aquecido de um metal com um coeficiente de

variação da resistência com a temperatura elevado. A temperatura do filamento

depende da condutibilidade térmica do gás residual que, a baixas pressões, varia

linearmente com a pressão. Estes manómetros necessitam de calibração. Para o alto

vácuo utilizam-se manómetros de ionização.

Para pressões mais elevadas recorre-se frequentemente a manómetros de tubo de

Bourdon como o da figura seguinte:

CAPITULO 1 - Introdução 5

Figura 1.3. Manómetro de tubo de Bourdon

O tubo de Bourdon é um tubo fechado na extremidade e enrolado. Quando a

pressão é aplicada o tubo tende a desenrolar provocando o movimento de um

mecanismo com ponteiro.

Temperatura

Todos sabemos intuitivamente o significado de temperatura, mas definir

correctamente o termo é um pouco mais complicado. Podemos afirmar que a

temperatura é a propriedade que nos indica a direcção de um fluxo de energia. Se o

calor flui de um corpo A para um corpo B dizemos que A está mais quente, ou com

temperatura mais elevada do que B. Se não há fluxo de energia quando os corpos A e

B estão em contacto então dizemos que estão em equilíbrio térmico. Supondo agora

um corpo A em equilíbrio térmico com B e B em equilíbrio térmico com C então C e

A estão também em equilíbrio térmico. Isto é a base da Lei Zero da Termodinâmica:

Se A está em equilíbrio térmico com B e B em equilíbrio térmico com C , então C está

também em equilíbrio térmico com A

A lei zero da termodinâmica é o princípio fundamental que permite construir

termómetros. Estes são instrumentos que indicam uma variação de temperatura em

CAPITULO 1 - Introdução 6

função de uma propriedade física qualquer (como por exemplo o comprimento de

uma coluna de mercúrio).

Nos primórdios da termometria as temperaturas foram relacionadas com o

comprimento de uma coluna de líquido, e as diferenças de comprimento observadas

em contacto com gelo e em contacto com água em ebulição foram divididas em 100

partes iguais, atribuindo-se 0 graus ao valor mais baixo. Esta é a escala em graus

Celsius. Esta escala depende pois do fluido utilizado.

Pelo contrário, o volume de um gás é aproximadamente independente do tipo de

gás, à medida que a densidade tende para zero. Esta propriedade permite estabelecer a

escala de temperaturas termodinâmicas. As temperaturas termodinâmicas são

designadas por T e medem-se em kelvin, K. A relação entre a escala termodinâmica

de temperatura e a escala mais vulgarmente utilizada, ou escala em graus Celsius, °C,

é:

T/K = t/°C + 273.15

Nesta escala 0 °C corresponde exactamente a 273.15 K.

A temperatura pode ser medida utilizando um termómetro de gases. A

temperatura é medida comparando a pressão do gás quando está em contacto térmico

com a amostra à qual se pretende medir a temperatura, e com um padrão adequado.

Um padrão adequado é a água no seu ponto triplo (ver adiante no curso), a condição

única de p e T em que a água coexiste simultaneamente nos três estados de

agregação, sólido, líquido e vapor. A temperatura do ponto triplo é definida

exactamente como:

T3 = 273.16 K

Se a pressão medida quando o termómetro de gás está em contacto com a amostra

é p, e a pressão quando está em contacto com T3 é p3, então a temperatura da amostra

é dada por:

T ≈ (p/p3)T3

CAPITULO 1 - Introdução 7

A relação anterior é exacta apenas quando o gás se comporta idealmente, isto é,

na zona das baixas pressões. Na figura seguinte mostra-se um termómetro de gás a

volume constante:

Figura 1.4. Termómetro de gás a volume constante

O termómetro anterior é evidentemente pouco prático. Os termómetros de

expansão fazem uso da dilatação das substâncias como propriedade termométrica. O

exemplo mais comum é o termómetro de mercúrio. Estes termómetros são

previamente calibrados, pois a dilatação da coluna de mercúrio também depende do

vidro utilizado.

Para maior rigor das medidas de temperatura utilizam-se outros tipos de

termómetros. Nos termómetros de resistência de Platina é medida a resistência da

platina em contacto com a amostra, que por sua vez é função da temperatura. Outro

tipo de termómetros são os termopares. Estes consistem em duas junções de

condutores diferentes (existem vários tipos). Uma das junções coloca-se a uma

temperatura t0 conhecida (pode ser o gelo em fusão) e a outra à temperatura t que se

pretende medir. A força electromotriz gerada é função da diferença de temperaturas,

podendo assim determinar-se t.

Para altas temperatura pode ainda utilizar-se um pirómetro óptico, em que é

medida a radiação emitida pela fonte, num dado comprimento de onda, que por sua

vez é função da temperatura.

CAPITULO 1 - Introdução 8

Leis dos gases

A equação dos gases perfeitos é uma lei limite, pois quando p 0, quase todos os

gases obedecem a esta lei. A pressões próximas de 1 atm e temperatura ambiente a

maioria dos gases não se desvia muito deste comportamento. A equação dos gases

perfeitos pode ser facilmente deduzida das leis fundamentais dos gases. A primeira

destas leis é a Lei de Boyle. Para n e T constantes Boyle verificou o seguinte:

pV = constante

Num gráfico p,V obtemos isotérmicas como as da figura seguinte:

Figura 1.5. Isotérmicas ideais de um gás

Outra lei fundamental é a Lei de Charles e Gay-Lussac. Para n e p constantes

obtêm-se:

V ∝ T

e para n e V constantes obtêm-se igualmente:

P ∝ T

Verifica-se assim que V ∝ T com uma constante de proporcionalidade que

depende da pressão. Cada curva representa uma isobárica e é traduzida por uma linha

recta no diagrama V,T.

Lord Kelvin reconheceu a importância desta lei, definindo a partir dai uma escala

de temperaturas absolutas, ou escala termodinâmica. De facto Lord Kelvin verificou

que extrapolando o volume de vários gases em função da temperatura, para volume

nulo, obtém-se para todos uma intersecção na ordenada que correspondia a - 273.15

CAPITULO 1 - Introdução 9

°C. A este valor atribuiu o valor de 0 K, mantendo os intervalos entre graus iguais.

Isto significa que os 0 °C são precisamente 273.15 K. Esta escala é a única com

interesse em cálculos termodinâmicos. Isto pode ser observado na figura abaixo:

Figura 1.6. Isobáricas ideais de um gás

A ultima lei fundamental é a Lei de Avogadro . Para p e T constantes temos:

V ∝ n

Juntando todas estas leis obtemos:

V ∝ 1/p . T . n

V ∝ nT/p

ou

V = Constante × nT/p

Esta constante é uma constante universal e é a constante dos gases perfeitos, R. A

equação anterior vem então:

pVm = RT

onde Vm é o volume molar do gás. Um mole de gás perfeito ocupa em condições

PTP precisamente 22.414 litros.

CAPITULO 1 - Introdução 10

Misturas

No caso de misturas de gases perfeitos podemos aplicar a Lei de Dalton. A pressão

exercida por uma mistura de gases perfeitos (A + B) é a soma das pressões exercidas

pelos gases individuais, ocupando o mesmo volume:

p = pA + pB

Como a fracção molar de um dos componentes na mistura é yA = nA/(nA + nB) então

obtêm-se facilmente:

pA = yA × p

onde pA é a pressão parcial de A e p é a pressão total. Vamos achar esta equação

muito útil mais adiante.

Gases reais

Os gases reais são imperfeitos pois existem interacções intermoleculares, isto é,

forças repulsivas e atractivas entre os átomos ou moléculas. Os desvios à idealidade

são mais importantes a altas pressões e condições extremas de temperatura. Uma das

formas mais simples de visualizar estes desvios consiste em representar o factor de

compressibilidade em função da pressão. O factor de compressibilidade é dado por:

z = pVm/RT

Na figura seguinte mostra-se a variação de z com a pressão para um gás real,

comparativamente ao comportamento de um gás perfeito.

CAPITULO 1 - Introdução 11

Figura 1.7. Variação do coeficiente de compressibilidade com a pressão.

Quando z > 1 as forças repulsivas são dominantes e os gases são mais difíceis de

comprimir que um gás perfeito, e para z <1 as forças atractivas são dominantes e o

gás mais fácil de comprimir.

Vejamos agora um diagrama p,Vm mostrando as isotérmicas experimentais para

um gás real , tomando como exemplo o CO2.

Figura 1.8. Isotérmicas experimentais para o CO2

CAPITULO 1 - Introdução 12

Como se pode observar, para valores de Vm elevados e temperaturas mais altas as

isotérmicas reais são semelhantes às isotérmicas de um gás perfeito. Esta conclusão

permite-nos expandir a equação dos gases perfeitos da seguinte forma:

pVm = RT ( 1 + B’p + C’p2 + ... )

Esta expressão é a equação de estado do virial, sendo os coeficientes B’ e C’ os

respectivos coeficientes de virial, dependentes unicamente da temperatura. É uma

extensão importante da equação dos gases perfeitos. A temperatura para a qual o 2º

coeficiente do virial é nulo designa-se por temperatura de Boyle, isto é B´(T =TB) =

0, verificando-se que, por coincidência, a esta temperatura o gás se comporta como

perfeito.

Vejamos agora o que acontece com a condensação do gás. Consideremos um

dado volume de uma amostra de gás, inicialmente no estado A, que é diminuído a

temperatura constante. Próximo de A a pressão do gás aumenta mais ou menos de

acordo com a Lei de Boyle. Começam a surgir desvios quando o volume se aproxima

de B. No ponto C ( que corresponde a cerca de 60 atm no caso do dióxido de carbono)

começa a condensação do gás. Este ponto é chamado de ponto de orvalho. Ao longo

da linha CDE existem duas fases presentes, a líquida e a gasosa. A linha CDE

representa pois a curva de pressão de vapor do líquido à temperatura da experiência.

No ponto E (ponto de bolha) toda a amostra é liquefeita. Qualquer redução de volume

posterior requer um enorme aumento de pressão (E para F por exemplo).

A isotérmica à temperatura Tc, neste caso 31.04 °C, é bastante importante e

corresponde à isotérmica crítica. O ponto assinalado com um * é o ponto crítico do

fluido. Acima desta temperatura é impossível formar-se líquido, seja qual for a

pressão aplicada. Se a amostra for comprimida à temperatura Tc não se formam duas

fases, mas uma única fase que ocupa todo o volume disponível. A temperatura,

volume e pressão do ponto crítico são designados por temperatura crítica, Tc, pressão

crítica, pc, e volume crítico , Vc.

Para obter O2 líquido, por exemplo, temos de obter temperatura inferiores a 154.8

K e depois comprimir o gás isotermicamente.

Equação de van der Waals

CAPITULO 1 - Introdução 13

Uma das modificações mais notáveis da equação dos gases perfeitos é devida a

van der Waals. Após estudos com o CO2 van der Waals chegou à conclusão de que

os choques entre as partículas do gás e as paredes do recipiente eram reduzidas pelas

forças atractivas entre as partículas do gás, como mostra a figura:

Figura 1.9. Forças atractivas entre as partículas de um gás

A pressão real é então igual à pressão ideal, menos um termo proporcional ao

número de ‘encontros’ entre as partículas, isto é (n/V)2:

preal = pideal - an2/V2

em que a é uma constante para cada gás. Por outro lado, o volume efectivo disponível

às partículas de gás é o volume total ocupado menos um termo dependente do volume

intrínseco das moléculas do gás, i.é:

Vef = V - nb

onde b é uma constante. Substituindo estes valores na equação dos gases perfeitos

obtemos:

CAPITULO 1 - Introdução 14

(p + an2/V2)(V - nb) = nRT

Reorganizando a expressão em termos do volume molar obtemos:

p RTV b

aVm m

=−

− 2

Esta equação é a equação de estado de van der Waals e foi a 1ª equação a entrar

em linha de conta com as forças intermoleculares.

Princípio dos estados correspondentes

A equação de van der Waals conduz, para T < Tc, a isotérmicas próximas das

experimentais. Vejamos uma figura mais detalhada das isotérmicas experimentais

para o CO2 , na proximidade do ponto crítico:

O comportamento real pode comparar-se com o comportamento dado pela

equação de van der Waals. A equação reproduz razoavelmente o comportamento real

do gás. Contudo, para T < Tc a equação tem um comportamento “anómalo” pois,

Figura 1.10. Isotérmicas experimentais para o CO2 na

proximidade do ponto crítico

CAPITULO 1 - Introdução 15

sendo cúbica no volume, apresenta na região bifásica (zona de equilíbrio líquido/

vapor) três raízes para o volume. Uma é o volume molar do líquido a outra é o volume

molar do gás e a terceira não tem significado físico. À medida que nos aproximamos

de Tc o máximo e mínimo da curva aproximam-se, fundindo-se precisamente no ponto

crítico. Na isotérmica crítica tanto a 1ª como a 2ª derivada são nulas (ponto de

inflexão) pelo que podemos escrever, para um mole de gás:

∂∂

∂∂

pV

pVTc Tc

=

=

2

2 0

Calculando estas derivadas a partir da equação de van der Waals obtemos:

pRT

V ba

Vcc

c c

=−

− 2

( )∂∂

pV

RTV b

aVT Tc

c

c c

=−

−+

=2 3

2

( )∂∂

2

2 3 4

2 6pV

RTV b

aVT Tc

c

c c

=

−−

=

Resolvendo simultâneamente as três equações encontramos o valor de Tc, pc e

Vc em função de a e b , isto é:

Vc = 3b

T aRbc =

827

p abc = 27 2

A validade da equação de van der Waals pode ser testada calculando o valor do

coeficiente de compressibilidade no ponto crítico, zc = pcVc/RTc. Substituindo as

equações acima o valor obtido é zc = 0.375. Este valor é muito aproximado ao valor

apresentado por vários gases, confirmando assim a validade da equação de van der

Waals.

CAPITULO 1 - Introdução 16

Vejamos agora como podemos utilizar os resultados anteriores para comparar

vários gases. Vamos definir um conjunto de variáveis reduzidas dadas por:

pR = p/pc ; TR = T/Tc ; VR = V/Vc

van der Waals esperava que diferentes gases com o mesmo volume reduzido e

com a mesma temperatura reduzida exercessem a mesma pressão reduzida. Na

realidade isto verifica-se pois entrando com os valores dos parâmetros reduzidos na

equação de van der Waals e utilizando os valores de a e b em termos de pc e Tc,

obtemos:

p pRT T

V V ba

V VR cR c

R c R c

=−

− 2 2

( )ap

baT

b bV ba

b VR R

R R278

27 3 92 2 2=−

−

e finalmente,

pT

V VRR

R R

=−

−8

3 13

2

A equação anterior é uma equação de estado universal, que não depende do tipo

de gás. Assim, dois gases diferentes com os mesmos valores de TR e pR têm o mesmo

VR, dizendo-se que estão em estados correspondentes.

Uma consequência directa do princípio dos estados correspondentes é que o

factor de compressibilidade é apenas função de TR e pR. A figura seguinte mostra o

factor de compressibilidade em função de pR, para vários TR, e para diferentes

moléculas:

CAPITULO 1 - Introdução 17

Figura 1.11. Factor de compressibilidade em função de variáveis reduzidas para vários gases

Podemos verificar que a universalidade se verifica. Esta, pode dizer-se, foi a

maior contribuição de van der Waals para a Ciência dos fluidos. Conhecendo as

constantes críticas podemos, para um dado gás calcular o valor de z e a partir do

gráfico anterior obter o volume que o gás ocupa. Esta universalidade sofre alguns

desvios para gases com moléculas muito polares. A importância do trabalho de van

der Waals foi reconhecida de diversas formas, incluindo a edição de um selo

comemorativo da atribuição do prémio Nobel.

Figura 1.12. Selo comemorativo da atribuição do prémio Nobel a Johannes Diderik van der Waals

CAPÍTULO II

INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE ESPECIAL

Albert Einstein em 1905.

Neste ano ele publicou na revista Annalen der Physics a Teoria da Relatividade. Logo, o

trabalho tornou-se famoso em todo o mundo.

2

II.1 – CONSIDERAÇÕES GERAIS:

A Física proposta por I. Newton no século XVII tinha como base fatos fortes e

convincentes, integralmente baseados na observação da natureza. Tão convincentes que

foi amplamente utilizada nos séculos seguintes sem ser questionada. Os princípios da

Mecânica Newtoniana determinaram praticamente todo o desenvolvimento técnico-

científico dos dois séculos que precederam. A Mecânica Newtoniana caracteriza-se de

forma marcante por não questionar a validade de seus conceitos, como por exemplo, a

questão sobre o referencial no qual são feitas as medidas e a influência do método de

medida sobre as grandezas em questão.

Mesmo nos nossos dias, os conceitos estabelecidos pela Mecânica Newtoniana

permanecem firmemente ligados ao nosso raciocínio cotidiano. Estes conceitos estavam

tão fortemente enraizados que atravessaram vários séculos sem que alguém

questionasse seus fundamentos.

As leis de Newton naturalmente dependem do referencial de observação. Elas só

são válidas nos chamados referenciais inerciais, que são aqueles que deslocam-se

relativamente entre eles com velocidades constantes. Se tivermos dois referenciais

inerciais, um movendo com velocidade constante em relação ao outro, não há

experimento que possamos fazer para revelar qual referencial esta em repouso e qual

esta se movendo. Esta característica entre referenciais inerciais é chamada de principio

da relatividade Newtoniana.

Uma característica importante deste resultado é que o movimento absoluto não

pode ser detectado.

O primeiro físico a questionar alguns conceitos newtonianos foi o físico alemão

Ernst Mach. Em seu texto intitulado “The Science of Mechanics” de 1883, Mach expressa

críticas à dinâmica de Newton. Mach levantou a questão sobre a distinção entre

movimento absoluto e relativo, discutiu o problema da inércia dos corpos e, acima de

tudo, apontou como ponto fraco da dinâmica newtoniana sua concepção de espaço e

tempo absolutos. Esta concepção newtoniana esta bem ilustrada na seguinte passagem

dos “Principia”:

“Absolute, true and mathematical time, of itself an d by its own true nature, flows

uniformly on, without regard to anything external”.

3

Mach observa que, sendo o tempo medido necessariamente pelo movimento

repetitivo de um corpo ou sistema físico como, por exemplo, um pêndulo ou o movimento

da Terra, é lógico que as medidas de intervalos de tempo devem, de alguma forma, estar

conectadas com o movimento. Semelhante, o conceito de espaço deve estar intimamente

ligado com as propriedades do sistema de medida e não deve ser considerado como algo

absoluto.

Tais críticas não causaram muito efeito de imediato, mas ocasionalmente foram de

profunda importância para um jovem físico chamado A. Einstein. Einstein foi fortemente

atraído pelas idéias de que os conceitos físicos devam ser definidos em termos de

grandezas mensuráveis. Portanto, a maneira de observação e realização de medidas

físicas deve influenciar os conceitos físicos, incluindo o espaço e o tempo, considerados

absolutos por Newton.

Este pensamento, muito diferente do absolutismo newtoniano, gerou uma

revolução nos conceitos da Física, culminando com o aparecimento da relatividade, a qual

será brevemente discutida neste capítulo.

II.2 – A CAMINHO DA RELATIVIDADE: O EXPERIMENTO DE MICHELSON-MORLEY

A teoria ondulatória da luz foi elaborada alguns anos antes da demonstração de

sua natureza eletromagnética. Para os pioneiros no campo da Óptica parecia natural

pensar na luz como ondas que se propagavam num meio elástico, chamado éter. Além de

necessário para explicar a propagação da luz, o éter também representava o repouso

absoluto, ou o sistema em relação ao qual tudo se desloca.

As observações de difração e interferência com luz eram perfeitamente explicadas

pela teoria do éter . Tais fatos fortaleceram de tal forma a teoria que muitos cientistas da

época a aceitavam sem questionamento. Com o desenvolvimento da teoria

eletromagnética da luz em 1864 por Maxwell e sua inquestionável comprovação

experimental por Hertz em 1887, a teoria do éter ficou relegada a segundo plano. Isto

porque já não era mais necessário um meio elástico para explicar a propagação da luz.

Apesar de não mais necessário para explicar a natureza de propagação da luz, o éter

ainda auxilia outros conceitos.

Várias críticas e questões começaram a surgir com respeito a existência do éter.

Apesar disto, a idéia básica que a luz propaga-se relativamente a alguma espécie de

sistema de referencia universal mantinha vivo o éter. Para melhor entender as

4

implicações da idéia do éter com respeito à propagação da luz, vamos considerar uma

situação física análoga a propagação da luz num meio. Seja um rio de largura D, no qual

a água flui com velocidade v, como mostrado na figura 1.

Fig. 2.1 – Esquema mostrando a viagem de um barco em duas situações

De uma das margens do rio, dois barcos (denominados A e B) começam a

movimentar-se com velocidade V. Esta é a velocidade que advém da potência do motor

do barco, independente da velocidade das águas. O barco A faz uma viagem até a

margem oposta e retorna. O barco B movimenta-se paralelamente ao rio e também

retorna ao ponto de partida. Vamos calcular o tempo gasto por cada uma destas viagens,

sabendo que ambas percorreram a mesma distância.

Começando com o barco A, a correnteza tenderá a carregá-lo para a direita do

ponto pretendido de chegada na margem oposta, com uma velocidade v paralela ao rio.

Assim, para que sua trajetória seja perpendicular ao rio, V deve ter um componente –v na

direção do rio, cancelando a velocidade deste. Isto faz com que a velocidade resultante

na direção perpendicular ao rio seja V’. Da composição vetorial das velocidades temos

que (ver figura 2.2):

V2 = V’2 + V2

De modo que:

2

2

1'V

vVV −=

5

desta forma o tempo de viagem do barco A será:

22 /1

/2

Vv

VDt A

−=

Fig. 2.2 – Composição vetorial para o movimento perpendicular à correnteza.

Para o barco B, a situação é um pouco diferente. Sua velocidade é acrescida de v

quando seu movimento é a favor da correnteza e decrescida de v quando oposto à

correnteza. Como resultado o tempo total da viagem do barco B é:

22 /1

/2

Vv

VD

vV

D

vV

DtB −

=−

++

=

É fácil observar que tB > tA e que a razão entre os tempos é dada por:

22 /1 Vvt

t

B

A −=

O resultado acima nos mostra algo interessante: se soubermos a velocidade

absoluta dos barcos (V) e medirmos a razão entre os tempos de movimento nas duas

situações, podemos obter a velocidade do rio v. Esta observação pode ser usada de uma

forma análoga para estudar o problema da propagação de ondas de luz no “éter”. Se

existir um “éter” preenchendo todo o espaço, nós, da Terra, que estamos nos

movimentando ao redor do Sol e, portanto, estamos navegando pelo éter com a nossa

velocidade de translação. Para qualquer observador localizado na Terra o “éter”

movimenta-se com essa mesma velocidade.

6

A fim de detectar o movimento e a existência do “éter”, pode-se usar dois feixes de

luz ao invés de dois barcos. Imagine o sistema mostrado na figura 2.3:

Fig. 2.3 – Interferômetro usado por Michelson

Um feixe de luz intenso, ao incidir sobre um divisor de feixes (superfície

parcialmente espelhada), é dividido em dois feixes que propagam-se perpendicularmente

nas direções dos espelhos A e B. O caminho de A é suposto perpendicular ao fluxo do

éter hipotético, enquanto B é paralelo. Após fazerem uma viagem de ida e volta em cada

um dos caminhos, os feixes retornam ao mesmo plano de observação. Esta situação é,

obviamente, muito semelhante ao exemplo do barco no rio, visto anteriormente.

Se os dois caminhos têm exatamente o mesmo comprimento ou diferem por um

número inteiro de comprimentos de onda, ambos os feixes chegam ao ponto de

observação “em fase”. Assim produzem uma interferência construtiva, o que leva o

observador a presenciar um máximo na intensidade da luz. No entanto, a existência do

“éter” movimentando-se, como mostrado na figura, causaria (em analogia ao exemplo dos

barcos) uma diferença nos tempos gastos pelos feixes A e B para percorrerem seus

respectivos caminhos. De modo que estes feixes de luz não mais atingiriam o plano de

observação em fase. Com isto a interferência observada não seria mais construtiva, mas

parcialmente destrutiva. De uma forma muito simplificada este é, em essência, o

experimento de Michelson e Morley, realizado em 1887.

No experimento real, os espelhos A e B não eram perfeitamente perpendiculares,

fazendo com que no plano de observação aparecesse uma série de franjas de

interferência (regiões claras e escuras), devido à diferença em caminho entre os raios de

luz adjacentes (figura 2.4)

7

Fig. 2.4 – Franjas observadas no interferômetro

É claro que o aparelho estacionário, como mostrado na figura 3, não permite de

forma alguma a observação do efeito previsto, ou seja, a diferença entre os tempos de

percurso dos feixes A e B. Assim, com o aparelho numa determinada posição temos um

determinado padrão de franjas de interferência. Rodando o dispositivo de 90º, os dois

caminhos são comutados com relação ao movimento do “éter”, de modo que o feixe que

requeria tA para percorrer o braço do interferômetro passa a requerer tB e vice-versa.

Como resultado, se houver uma diferença nestes tempos haverá um deslocamento

observável das franjas de interferência à medida que o sistema todo é rodado.

Vamos calcular o movimento destas franjas após a rotação do dispositivo. Como

vimos, a diferença entre os tempos de percurso é:

2222/1

/2

/1

/2

Vv

VD

Vv

VDttt AB

−−

−=−=∆

e, no presente caso, v é a velocidade do “éter” que corresponde à velocidade de

translação da Terra (v ~ 3x104 m/s), enquanto V = c = 3x108 m/s é a velocidade da luz.

Com estes valores temos que:

2

2

2

2

C

v

V

v = ~ 10-8

e neste caso as expressões acima podem ser expandidas usando a expansão binomial

para x < 1.

(1 + x)n = 1 + nx ........... ≅ 1 + nx

8

de modo que uma boa aproximação para ∆t é:

+−

+=∆

2

2

2

2

2

111

2

c

v

c

v

c

Dt

ou

≅∆

2

2

c

v

c

Dt

Esta diferença de tempo, corresponde a uma diferente de caminho de

∆d = c∆t

e se ∆d corresponde a uma variação ∆n franjas de interferência

∆d = λ ∆n

e, portanto,

2

2

c

Dvtcn

λλ=∆=∆

No experimento realizado por Michelson e Morley, D era da ordem 10m, o

comprimento da luz usada era λ ~ 500 nm (1nm = 10-9m) e, portanto, ao girarmos o

aparelho 90º espera-se uma variação nas franjas de:

( )( ) franjas

xxx

xxn 2.0

103105

10310287

24

≅=∆−

Como este valor é invertido pela rotação, trocando A por B, há uma reversão de

fases, espera-se observar 0.4 franjas de deslocamentos no total. Isto seria facilmente

observado segundo as estimativas de Michelson, que previa uma sensibilidade de 0.01

franjas. O experimento foi, mesmo, repetido em estações diferentes do ano para eliminar

a possibilidade da terra estar momentaneamente em repouso em relação ao éter.

9

Contudo, para surpresa de todos não foi observada nenhuma variação no padrão das

franjas, embora o experimento fosse repetido em condições diversas.

Esquecendo a idéia do éter, o experimento de Michelson-Morley tem um aspecto

muito importante com respeito à velocidade da luz quando emitida por fontes em

movimento. A fonte esta fixa na mesa rotatória e, portanto, podemos imaginar que a

diferença de tempos de percurso calculados anteriormente seriam resultados das

diferenças de velocidade da luz dependendo da direção da fonte. Ou seja, dependendo

da direção que o feixe é mandado, a velocidade variará desde c + v até c – v.

Esta edição de velocidades ocorre de acordo com as transformadas de Galileo, aplicável

a corpos mecânicos, em movimento, etc.

A variação de velocidade também causaria a variação de tempos e, portanto, de

fase ao se rodar o experimento, devendo ocorrer um deslocamento das franjas. Várias

tentativas de experimentos de M – M usando diferentes configurações foram realizados e

os resultados estão reunidos no gráfico da figura abaixo.

[Extraído de M. A. Handschy, Am. J. Phys. 50, 987 (1942)]

Deslocamento de franjas esperado

10

Em resumo, o experimento de M – M também sugere a independência da

velocidade de propagação da luz com o movimento da fonte, violando o Principio da

Independência dos Movimentos de Galileo.

Este resultado é de extrema importância para o estabelecimento da relatividade.

O experimento de Michelson-Morley não foi a única tentativa experimental de

determinação do referencial absoluto. Em 1904, Trouton e Noble realizaram um

experimento visando observar o torque num capacitor carregado. Considere duas cargas

de valor ± q, ligadas por uma haste rígida, segundo a figura 2.5. Como as forças de

Coulomb estão na direção da haste, não há nenhum torque no sistema. Porém, como as

leis de Maxwell são válidas somente no referencial fixo em relação ao éter, o movimento

das cargas pelo éter faz com que isto represente a existência de uma densidade de

corrente nas equações e, então, além dos campos elétricos devido as cargas, como

indicado na figura 2.5. Este conjunto de forças causariam um torque de defleteria a haste.

Trouton e Noble idealizaram um delicado sistema de suspensão onde pequenas

deflexões poderiam ser detectadas através da rotação de um espelho. Observações

variadas foram realizadas para vários ângulos de v (velocidade do éter) com relação a

haste, porém as deflexões observadas nunca passaram de 5% do valor que era

esperado, caso a idéia do éter fosse verdadeira.

Fig. 2.5 – Capacitor de Trouton-Noble. As forças F advém do movimento das cargas pelo éter.

O resultado negativo do experimento de Michelson e Morley permitiu várias

conclusões. Uma primeira possível explicação proposta por Michelson era que o éter

poderia ser arrastado pela Terra. Assim, movimenta-se junto com esta não permitindo

observar variações no experimento. Este fato requer uma força Terra-éter, o que era

pouco provável de existir e também produz discordâncias em outro experimento, o de

aberração estelar, que discutiremos mais adiante. Uma Segunda alternativa, é que o éter

ainda existe, mas a luz não é uma onda propagando-se neste meio, mas sim composta de

partículas sujeitas às leis da mecânica Newtoniana. Neste caso, a velocidade destas

11

partículas só dependeriam da velocidade da fonte e não do meio, não havendo, assim,

nenhum efeito retardador, não causando nenhum deslocamento no padrão de

interferência. Isto é uma hipótese absurda, visto que as próprias franjas observadas

demonstram o seu caráter ondulatório. Apesar de absurdo, esta Segunda hipótese

germina a idéia de que caso a velocidade da luz seja independente do movimento da

fonte (o que é de alguma forma uma nova lei da mecânica), o resultado obtido faz muito

sentido. Mesmo implicando que a luz como um efeito ondulatório se propague

obedecendo as leis da cinemática.

De conclusivo os experimentos exterminaram a idéia do éter e várias de suas

propriedades. Destruindo o que foi uma das idéias mais respeitadas de sua época.

Contudo, não podemos esquecer que este experimento germinou uma das hipóteses

mais importantes em relatividade.

Fitz-Gerald e, independentemente, H. Lorentz apresentaram uma hipótese

interessante para justificar a observação de Michelson-Morley. Eles lançaram a idéia de

que nenhuma variação de franjas seria observada se o braço do enterferometro paralelo

ao movimento da terra sofresse uma contração por um fator de (1 – v2 / c2)1/2. Chegou-se

a generalizar que qualquer corpo em movimento através do éter sofreria tal contração

paralela ao seu movimento. As considerações do Lorentz eram baseadas em um novo

tipo de transformação de coordenadas usando um novo conceito de “tempo real” que

dependerá do sistema de referencia.

II.3 – A MECÂNICA NEWTONIANA E A VELOCIDADE LIMITE

De acordo com a mecânica Newtoniana, não há, em principio, um limite superior

para a velocidade imposta a um corpo. Imaginemos por exemplo um corpo sujeito a uma

força constante. Após um determinado intervalo de tempo ∆t, supondo que inicialmente

ele estava em repouso, temos que a velocidade adquirida pelo corpo será:

sdFKt

.0∫∆

=

com

212

=M

Kv

12

Por exemplo, seja um corpo constantemente sujeito a aceleração da gravidade

(g = 9.8 m/s2). Partindo do repouso, após um ano sua velocidade seria igual à velocidade

da luz no vácuo. Após dois anos seria duas vezes esta velocidade. Assim, a velocidade

atingida parece ilimitada. No entanto, quando tentamos obter velocidades tão altas quanto

a luz, observamos um dramático desvio da mecânica newtoniana. Este exemplo pode ser

visto como um primeiro caso que demonstra que a mecânica clássica convencional não é

adequada para todas as situações.

É difícil obter altas velocidades com corpos que nos rodeiam no nosso cotidiano.

No entanto, com elétrons, devido a sua massa relativamente pequena em relação à sua

carga, podemos atingir altíssimas velocidades através da aplicação de campos.

Assim, consideremos o arranjo experimental da figura 6.

Fig. 2.6 – Acelerador linear para elétrons

O experimento consiste em medir o tempo de vôo de elétrons viajando através de

um acelerador linear (Linac), que pode produzir elétrons com energias até a ordem de 15

MeV. Elétrons são injetados por um acelerador tipo Van der Graaff no Linac. Antes de

penetrarem no Linac passam por um detector sinalizando a entrada do pulso, sofrem

então uma aceleração por forças elétricas. Após passarem pelo sistema, um disco de

alumina freia o feixe e um novo detector mostra a chagada do pulso. A duração entre

ambos os pulsos representa o tempo de vôo entre os extremos do Linac e permite o

cálculo da velocidade atingida pelos elétrons, ou outro tipo de partícula carregada.

A energia cinética dos elétrons é determinada através da RF e da velocidade com

que os elétrons são injetados. Para várias energias, medimos a velocidade através do

tempo de vôo e os resultados estão mostrados na tabela 2.1.

13

K (MeV) ( )segtvôo810−∆ V (108 m/seg)

0.5 3.23 2.6

1.0 3.08 2.73

1.5 2.92 2.88

4.5 2.84 2.96

15 2.8 3.0

Tabela 2.1

Os resultados são bastante distintos do que seria obtido caso a mecânica

newtoniana fosse utilizada. Isto fica mais evidente se fizermos um gráfico mostrando

v2 vs K.

Fig. 2.7 – Gráfico de velocidade final quadrática versus a energia de aceleração.

A previsão da mecânica clássica é valida somente para baixos valores de K. A

velocidade parece ter uma valor limite de 3x108 m/s. Mais ainda, os resultados parecem

consistentes com a hipótese de que “há uma velocidade limite para qualquer objeto, e

esta é a velocidade da luz no vácuo”.

Este resultado desperta muito a nossa curiosidade. Afinal, por que não é possível

obter velocidades arbitrariamente altas se podemos fornecer uma quantidade

praticamente ilimitada de energia a um corpo?

Vamos ser tolerantes e aceitar que por alguma razão esta velocidade limite existe.

Imaginemos então que podemos realizar o experimento acima, em um sistema de

referencia com velocidade 0.85c na mesma direção dos elétrons. Para os pesquisadores

deste novo sistema de referencia o limite também seria c. Assim, pelas regras de adição

14

de velocidade que conhecemos, quando para o referencial em movimento a partícula tem

velocidade máxima de c, no laboratório mediríamos 1.85c, violando claramente o limite

que lançamos por hipótese. Estaria isto acontecendo devido ao fato que estamos

somando erroneamente as velocidades?

Vamos resolver o problema do movimento de um corpo sujeito a uma força

constante, modificando levemente a dinâmica que conhecemos. Após um determinado

tempo t, F.t = mv, mas vamos tomar como num “toque de mágica” a massa como sendo:

m = m0 (1 – v2 / c2)-1/2, m0 é a massa do corpo quando este tem v = 0. Assim, temos:

( ) 2122 /1 cv

vmFt o

−=

isolando v temos:

( )212

01

+

=

Ft

cm

ctv

Vamos analisar dois casos extremos:

1) Ft << m0c → m0c / Ft >> 1, v(t) ≡ Ft / m0

Ft << m0c. Como é previsto pela mecânica clássica.

2) Ft >> m0c, v (t) ≡ c

Mostrando que pequenos impulsos reproduzem os resultados esperados pela

mecânica clássica. Já para grandes impulsos parece produzir-se uma velocidade limite,

como medida no experimento como elétrons.

Estes fatos que mostramos despertam ainda mais nossa curiosidade para o

desenvolvimento de uma nova mecânica, onde as relações como a mostrada por

( ) 2122

0

/1 cv

mm

−=

sejam válidas. É exatamente isto que desenvolveremos em nosso capítulo de relatividade.

15

II.4 – TEORIA DA RELATIVIDADE ESPECIAL

(a) Os Postulados

Sempre que mencionamos o movimento de um corpo, evidentemente estamos nos

referindo ao movimento relativo a um determinado sistema de referência. Este sistema de

referência pode ser um objeto, a superfície da Terra, o centro da galáxia, etc. O que é

importante é sempre especificar este sistema de referência para todos os movimentos a

que nos referimos. A idéia discutida anteriormente, da introdução do “éter”, foi uma

tentativa de estabelecer um referencial universal absoluto, o qual falhou e deixou a idéia

clara de que não existe um sistema de referência absoluto. Imaginemos dois balões em

movimento ascendente, de modo que um balão só pode observar o outro. Para o mais

rápido o movimento do outro é descendente e vice-versa. Não há maneira de determinar

o movimento real dos balões (com relação a Terra) se um só pode observar o outro. É

importante neste ponto que tenhamos claro o fato que “sem um sistema de referência, o

conceito de movimento pode não ter o menor significado”.

A teoria da relatividade especial é o resultado do fato que não existe um sistema de

referência absoluto. Esta teoria desenvolvida por Albert Einstein em 1905 trata o problema

de sistemas de referência em movimento com velocidades constantes (v constante) uns

em relação aos outros. No caso, de referenciais acelerados, o movimento deve ser

analisados segundo a teoria da relatividade geral, que não será extensivamente analisada

neste curso.

A teoria da relatividade especial é normalmente baseada em dois postulados

fundamentais.

1º. Postulado:

As leis da Física devem ser descritas pelo mesmo co njunto de equações

quando em qualquer sistema de referência que se des loca com velocidade

uniforme.

Este postulado nos parece natural e nos faz muito sentido se analisarmos o fato de

que não existe um sistema de referência absoluto. De modo que, para determinarmos e

descrevermos o movimento de um corpo é preciso sempre ter o referencial. Caso

existisse uma dependência das leis físicas que descrevem o movimento, de acordo com o

16

fato do referencial usado estar ou não estacionário no espaço, significa que poderíamos

decidir absolutamente sobre o movimento do corpo. Para isto, bastaria analisar no seu

sistema de referencia o movimento de um terceiro corpo, o que sabemos não ser o

possível.

2º. Postulado:

A velocidade da luz em qualquer sistema de referênc ia tem o mesmo valor,

independente do movimento do referencial.

Este postulado, de alguma forma, pode ser visto como seguindo diretamente do

postulado anterior e viola, de alguma forma, nossos conceitos intuitivos, baseados em

nossa experiência cotidiana; segundo a qual uma fonte que se movimenta com velocidade

v deveria emitir luz agora se propagaria com c + v. A própria natureza ondulatória da luz

(como em outros efeitos ondulatórios), assegura que sua velocidade de propagação deve

ser propriedade do meio somente e não da fonte. A fim de justificar e mostrar que este

postulado é muito razoável, vamos considerar a determinação da velocidade da luz.

Aceitando o primeiro postulado, que é muito razoável, tomamos que as equações de

Maxwell sejam válidas em qualquer referencial movendo-se com velocidade constante.

Neste caso, a equação da onda para propagação no vácuo seria:

0

14

0.

1.

4.

2

2

22 =

∂∂−∇

∂∂+=∇

=∇∂∂=∇

=∇

t

E

cE

t

D

cj

cHx

B

ct

BEx

E

µε

π

πρ

onde 0µ e 0ε são a permissividade magnética e elétrica do vácuo. Como já sabemos do

nosso curso de eletromagnetismo, desta equação de onda a velocidade de propagação

da radiação é dada por:

µε1=c

17

que depende somente das constantes µ e ε do meio, sendo de maneira alguma

dependente do movimento da fonte. A velocidade de propagação da luz, prevista pelas

equações de Maxwell, depende somente do meio e não do referencial.

Supondo que os postulados acima sejam verdadeiros, muitos resultados

interessantes podem ser deduzidos e confirmados através de medidas experimentais. Isto

corresponde a um dos grandes triunfos da física moderna.

(b) Evidências Experimentais do Segundo Postulado

Uma possível evidência experimental para o segundo postulado pode ser obtida se

medirmos a velocidade da luz proveniente de uma fonte em movimento. Uma destas

evidências advém de observações feitas com estrelas duplas. Imagine um sistema de

estrelas duplas, A e B, rotacionando ao redor de seu centro de massa (fig. 2.8).

Fig. 2.8 - Estrela dupla emitindo luz

Para um observador na Terra (T) é possível determinar se a estrela aproxima-se

através do efeito Doppler na luz emitida pela estrela. Considerando que a luz propaga

com a mesma velocidade independente da fonte, a velocidade da estrela medida aqui na

Terra como função do tempo seria uma senóide (fig. 2.9).

Fig. 2.9 - Velocidade das estrelas medida pelo efeito Doppler

18

Imagine agora que, quando a estrela se aproxima, a velocidade é maior do que

quando se afasta. Neste caso, a luz emitida na aproximação chega mais rápido ao

observador do que na outra situação. O resultado é que o efeito Doppler observado

depende de uma forma complicada da posição resultando em uma senóide distorcida

como função do tempo (fig. 2.10).

Fig. 2.10 - Distorção esperada caso a velocidade da luz dependesse da velocidade da fonte.

Num caso extremo, a luz emitida durante a aproximação poderia chegar ao

observador antes da luz emitida durante seu próprio ciclo de afastamento. Neste caso a

medida seria confusa, revelando dois ou mais valores para a velocidade num determinado

instante.

A observação experimental de um sistema binário como "Castor - C", mostra que o

dado coincide muito bem como a senóide, demonstrando a validade do segundo

postulado.

(c) Mudanças de Referências: Transformações de Coor denadas

Um fato importante em Física é a caracterização de um efeito do ponto de vista de

observadores distintos. A maneira de se fazer isto é através das chamadas

transformações de referenciais. Ao realizarmos tais transformações, teremos informações

de como um determinado evento físico será observado em um outro sistema de

coordenadas em movimento em relação ao primeiro. A necessidade de manter válidas

certas leis fundamentais ao se fazer mudanças de coordenadas, apresentam

conseqüências interessantes, onde residem muitos dos fundamentos da relatividade

especial.

19

(c.1) Transformações Galileanas

Vamos supor que estejamos num sistema de referência S no qual um determinado

evento ocorra no tempo t, nas coordenadas (x, y, z). Um observador estacionário num

sistema de referência S' que move-se com respeito a S com uma velocidade v, observará

o mesmo evento como ocorrido no tempo t' , nas coordenadas (x', y', z'). Para simplificar,

vamos supor v = vx (figura 2.11). A pergunta que fazemos é: Qual é a relação entre x, y,

z, t e x', y', z', t' ?

Vamos tomar que o tempo em ambos sistemas é medido a partir do instante em

que as origens de S e S' coincidem, de modo que:

Fig. 2.11 - Um evento físico observado de dois sistemas de referências.

x' = x – vt

e não havendo movimento relativo nas direções y e z, temos:

y' = y

z' = z

e como de nossa experiência cotidiana, não há razão nenhuma para acreditar que os

relógios marcadores de tempo em ambos os referenciais sejam diferentes, temos:

t' = t

20

Estas relações estão conectando o evento observado em dois referenciais distintos

e são chamadas de Transformações Galileanas . Para conhecer a relação entre as

velocidades medidas em cada um destes referenciais, basta tomarmos as derivadas

temporais (já que o tempo é comum em ambos), e obtemos:

zz

yy

xx

vdt

dzv

vdt

dyv

vvdt

dxv

==

==

−==

'

'

'

'

'

'

Vamos agora parar para pensar se as transformações Galileanas (tanto de

coordenada quanto de velocidade), contém os dois postulados básicos discutidos

anteriormente. Com relação ao segundo postulado, está evidente que as transformações

Galileanas o violam, bastando para isto olhar a primeira equação acima, para o caso que

vx = c. O primeiro postulado é seriamente violado se considerarmos as equações de

Maxwell que descrevem os fenômenos eletromagnéticos. Isto porque variações espaciais

e temporais são misturadas de forma tal a fazer com que as equações originais percam

sua forma.

Vamos considerar a equação de onda eletromagnética e fazer a transformação:

01

2

2

22

2

2

2

2

2

=∂∂−

∂∂+

∂∂+

∂∂

t

E

cz

E

y

E

x

E

a transformação para x', y', z', t':

1'

'''2

'

''

'

'

'

'

'

'

'

'

'

2

22

2

2

2

2

2

=∂∂

∂∂+

∂∂∂−

∂∂=

∂∂

∂∂+

∂∂−=

∂∂

∂∂=

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂

x

xx

Ev

tx

Ev

t

E

t

E

t

E

x

Ev

t

E

x

E

x

t

t

E

x

z

z

E

dx

y

y

E

x

x

x

E

x

E

21

0'''

21

'

1

'''

0..........''

1''

'

2

22

2

22

2

22

2

2

2

2

2

=

∂

∂−

∂∂∂

+∂

∂−

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

==∂∂

=∂∂

=∂∂

=∂

∂

−=∂∂

x

Ev

tx

Ev

ct

E

cz

E

y

E

x

E

t

x

y

x

t

t

y

y

vt

x

A equação de onda para a radiação eletromagnética não é invariante ao

realizarmos a transformação Galileana. Isto é bastante estranho já que a onda

eletromagnética existe em ambos referenciais e não há dúvida quanto a isto. Claramente

está violando o primeiro postulado.

Desta forma, concluímos que as transformações Galileanas violam os postulados

básicos da relatividade e para preservar sua validade devemos requerer um outro tipo de

transformação entre as coordenadas de dois sistemas de referência que encontram-se

em movimento relativo.

(c.2) Transformações de Lorentz

Como vimos, as transformações de Galileu não condizem com os postulados de

relatividade, os quais concordamos que possuem grande sentido físico e, portanto, devem

ser verdades. Uma transformação alternativa é necessária para manter os postulados

verdadeiros. Vamos supor que tenhamos uma transformação que seja proporcional à

relação da transformação Galileana. Assim, tomamos:

x' = γ (x - vt)

onde γ é uma constante que deverá ser determinada.

Uma pergunta natural que fazemos neste ponto é: "Por que este "chute" é

aceitável?". Primeiramente a linearidade entre x' e x é razoável, pois já que um evento

observado em x (S) deve corresponder a um único evento observado em x' do referencial

S". Caso tivéssemos algo do tipo x' α x2 , teríamos mais de uma possibilidade no

referencial S' para observação de um único evento em S'. Além disto, sabemos que a

22

transformação proposta acima deve concordar com a transformação Galileana para a

mecânica ordinária, onde baixíssimas velocidades estão envolvidas. Assim γ perto da

unidade representa o limite da mecânica cotidiana de baixas velocidades.

Do fato que as equações da física, incluindo as equações de transformação de

referenciais, devem Ter a mesma forma em ambos os referenciais S e S', precisamos

somente trocar o sinal de v, para desta forma levar em conta a mudança de direção do

movimento e obtermos x como função de x' e t' no referencial S'.

Revisando, a situação agora corresponde à observação de um evento que

acontece em x no tempo t para o referencial S. E que no referencial S' (que se desloca

com velocidade v com relação a S) o mesmo evento é observado em x' e t'. Segundo a

nossa proposta de transformação (fig. 2.12), a relação entre as coordenadas são:

Fig. 2.12

x' = γ (x-vt)

x = γ (x' + vt')

Como não há movimento relativo nas direções y e z, não há nada que indique

diferenças entre y e y' e entre z e z', de modo que:

y'= y e z' = z

Note que os tempos t e t' não são iguais. Isto pode ser confirmado se

substituirmos x' na equação de x.

23

x = γ (x'+ vt') = γ 2x - γ 2vt + γ vt'

de onde tiramos:

xv

tt

−+=γ

γγ21

'

Com isto, as equações de transformação obtidas são:

( )

xv

tt

zz

yy

vtxx

−+=

==

−=

γγγ

γ

21'

'

'

'

Para que estas transformações estejam de acordo com a relatividade, elas devem

satisfazer ambos postulados discutidos anteriormente. Como condição inicial,

consideramos que em t = 0 ambos os sistemas de referências tenham suas origens

coincidentes, de modo que:

t = 0, t' = 0 => x' = 0 corresponde x = 0

Vamos tomar que em t = t' = 0 uma lâmpada é acessa na origem S (que coincide

com a origem S'). Como a luz propaga-se com a mesma velocidade c em ambos os

sistemas de referência, temos as seguintes equações de movimento para a luz:

x = ct (em S)

x' = ct' (em S')

A fim de determinarmos a constante γ , vamos tomar a equação contendo t' e x' e

substituir t' pela expressão acima:

−+= xv

tcxγ

γγ21

'

24

e substituindo x' = γ (x-vt)

( )

−+=− xv

tcvtxγ

γγγ21

eliminando x desta questão tiramos:

( )c

v

tvtcx

γγγ

γγ21−−

+=

colocando ct em evidência:

( )

−

+=

− cctx

v

cv

γγγγγ21

mas como vimos anteriormente, no referencial S, x = ct, de modo que toda a expressão

entre colchetes deve ser igual à unidade e, portanto:

( )

22

222

2

2

/1

1

1

1

cv

c

v

cvc

v

−=

+−=

−−=+

γ

γγ

γγγγγ

permitindo obter o valor da constante procurada.

Utilizando esta constante, temos que a transformação completa para um evento

medido no referencial S para o mesmo evento medido no referencial S' (que se desloca

com v na direção x) é:

25

( )22

22

/1'

'

'/1

'

2

cv

xtt

zz

yycv

vtxx

cv

−

−=

==

−

−=

Estas são as chamadas transformações de Lorentz, porque foram primeiramente

sugeridas pelo físico alemão H. A Lorentz, como sendo as transformações para mudança

de referencial em movimento uniforme que mantêm invariantes as equações do

eletromagnetismo. Somente muitos anos mais tarde é que Einstein entendeu o significado

completo destas transformações. Elas contêm embutidos os dois postulados

fundamentais da relatividade especial.

Vamos supor que desejamos determinar a transformação inversa, isto é, dado um

evento medido em S', como encontramos as medidas feitas para o mesmo evento em S?

A mudança é óbvia, basta mudarmos v por -v, já que a velocidade relativa é invertida e

trocamos x → x' e t → t'. Esta substituição determina as transformações de Lorentz

inversas:

22

22

/1

''

'

'/1

''

2

cv

xtt

zz

yycv

vtxx

cv

−

+=

==

−

+=

(c.3) A Simultaneidade de Eventos:

Das transformadas de Lorentz, dois pontos chamam, de imediato, nossa atenção.

Primeiramente, se tivermos dois eventos que ocorrem simultaneamente num sistema de

referência, não necessariamente eles serão simultâneos num outro referencial. Para ver

isto vamos supor que duas lâmpadas separadas por L no referencial S sejam acesas

simultaneamente por um observador neste referencial. Como isto é visto por um

observador em S'?

Para o referencial S, t1 = t2 = t. Para o observador no referencial S'

26

( )( )

( )( )2

2

2

2

1

1

/1'

/1'

2

2

cv

xtt

cv

xtt

cv

cv

−

−=

−

−=

de modo que a diferença de tempo entre os eventos para S' é:

( )( )2

12

21

/1'''

2

cv

xxttt c

v

−

−=−=∆

como x2 - x1 = L

( )2

2

/1

/'

cv

cLvt

−=∆

Um segundo ponto importante a ser observado das transformações é que quando

a velocidade relativa v entre os referenciais S e S' é bastante pequena, quando

comparadas com a velocidade da luz (v/c « 1), as transformações de Lorentz são

reduzidas às transformações Galileanas, como já havíamos requerido anteriormente. Este

fato permite nos antecipar a seguinte conclusão: as peculiaridades da relatividade

especial que estudaremos neste curso só serão marcantes nos casos ou em

circunstâncias onde grandes velocidades estão presentes. Os efeitos da relatividade

passam praticamente despercebidos nos movimentos rotineiros do dia-a-dia.

(c.4) A Contração Espacial

Vamos considerar outra importante conseqüência das transformadas de Lorentz.

Seja uma haste colocada ao longo da direção x no referencial S. Neste referencial as

coordenadas das extremidades da haste são x1 e x2, de modo que seu comprimento para

o referencial S é:

Lo = x2 - x1

27

que denominaremos de comprimento da barra no referencial no qual a barra está em

repouso.

Consideremos agora, a mesma grandeza “comprimento" medida num referencial S'

que se movimenta com velocidade v paralela à barra.

Fig. 2.13

Chamado de L o comprimento da barra medido pelo referencial S' a pergunta que

fazemos é: “Qual a relação entre L e Lo?”. Ou em outras palavras, se numa rodovia existe

no acostamento uma barra no chão e um carro trafegando pela rodovia. Este mede a

barra mais comprida, igual, ou mais curta do que seu tamanho medindo em repouso?

Para calcularmos o comprimento L da Barra (em S') vamos aplicar as

transformadas de Lorentz às coordenadas das extremidades. Usando as expressões e

fazendo a diferença de x2 com x1, e considerando que ambas posições das extremidades

podem ser lidas simultaneamente,

220

22

12012

22

22

22

1

/1

/1

''/1

''/1

''

cv

LL

cv

xxLxx

cv

vtxx

cv

vtxx

−=

−

−==−

−

+=

−

+=

ou ( )220 /1 cvLL −=

28

Assim, "o comprimento de um objeto em movimento em relação ao observador

parece mais curto do que quando o objeto está em repouso em relação ao observador".

Este fenômeno é conhecido como contração de Lorentz-Fitz-Gerald.

Observemos que devido à dependência da expressão com y2 não faz nenhuma

diferença quem chamamos S ou S'. Se o comprimento de um foguete na plataforma de

partida é Lo, observaremos um comprimento L após o foguete adquirir velocidade v,

quando medimos daqui da terra. Da mesma forma para o astronauta no foguete, tudo que

ficou na Terra apresenta um comprimento mais curto por um fator de (1-(v/c)2)1/2. O

comprimento de um objeto é máximo quando medido por um observador em

repouso em relação a ele.

O fator (1-(v/c)2)1/2 é exatamente a razão entre L/Lo e, portanto, representa a

porcentagem de diminuição do tamanho do objeto.

22

0

/1 cvL

L −=

Para um corpo com velocidade de 1000 Km/seg., a contração seria:

9999944.0103

101

2

8

6

0

=

−=

xL

L

o que representa uma contração de 0.00056%. Caso o corpo tenha velocidade de 0.9c,

teria uma contração da ordem de 44%.

É importante salientar que a contração espacial somente ocorre nas coordenadas

da direção do movimento. Se o movimento é paralelo a x, as dimensões y e z não são

inalteradas e representam as mesmas medidas em S e S'.

(c.5) Dilatação Temporal

Como já vimos, as transformações de Lorentz levam ao resultado não tradicional

de que intervalos de tempo são afetados pelo movimento relativo. Relógios em

movimento com relação ao observador parecem andar diferente do que quando em

repouso. Se um acontecimento é observado como tendo a duração de tempo t no

29

referencial S, o mesmo evento tem uma duração menor no referencial S'. Este efeito é

conhecido como dilatação temporal.

Vamos derivar a dilatação temporal a partir das transformadas de Lorentz.

Imaginemos um relógio num ponto x' do referencial S' em movimento. Quando um

observador neste referencial observar t'1, um observador no referencial S encontrará t1, de

modo que:

22

'1

1/1

' 2

cv

tt c

vx

−

+=

Após a decorrência de um intervalo de tempo ∆t' em S' o observador deste

referencial mede t2’, enquanto o observador em S observa t2, tal que:

22

'2

2/1

' 2

cv

tt c

vx

−

+=

Subtraindo ambas relações:

22

1212

/1

''

cv

tttt

−

−=−

como t2 - t1 = ∆t e t'2 - t'1 = ∆t'

22 /1

'

cv

tt

−

∆=∆

que é a relação para a dilatação temporal para um relógio em movimento.

Como um exemplo para a dilatação temporal, vamos considerar as partículas

chamadas mésons - µ. Estas partículas apresentam um tempo de vida da ordem 2x10-6

seg. e pode aqui ser considerado como um pequeno relógio. Isto significa que após sua

produção, decorre este intervalo de tempo médio medido no referencial em que o méson

está em repouso (referencial de repouso) até que o méson - µ decai em elétrons. Os

mésons - µ são produzidos na alta atmosfera por raios cósmicos provenientes do espaço

e são observados em grande quantidade ao nível do mar, mas se levarmos em conta sua

30

velocidade da ordem de 2.994x108 m/seg., e seu tempo de vida to = 2x10-6 seg., a

distância que tais partículas poderiam percorrer antes de decair seria:

y = vto = 2.994 x 108 x 2 x 10-6 ≅ 600 m

como eles são criados em altitudes pelo menos 10 vezes maiores e deveriam decair antes

de atingirem a superfície.

Vamos agora resolver o problema mais realisticamente usando relatividade.

Primeiramente, examinando o problema do referencial da partícula, no qual seu tempo de

vida é 2x10-6 seg. e no qual haverá um percurso de 600 m, em média, antes do

decaimento. Esta distância é, no entanto, mais curta do que aquela observada por um

observador na Terra pelo fator (1-(v/c)2)1/2. Ou seja, a distância para um observador na

superfície da Terra seria:

( )222022

0 998.01

600

/1/1

−=

−=→−=

cv

yycv

y

y~ 9500m

o que justifica plenamente observar tais partículas na superfície.

Alternativamente, podemos analisar o problema a partir de um observador na

superfície da Terra. Nesse referencial, o tempo de vida é alterado pela dilatação temporal,

e o novo tempo de vida é:

( )segx

x

cv

tt 6

2

6

22107.31

998.01

102

/1

' −−

=−

=−

∆=∆

e, portanto, a distância percorrida antes do decaimento é:

yo = v∆t = 2.994 x 108 x 3.17 x 10-6 = 9500 m

que também justifica perfeitamente a observação destas partículas na superfície da Terra.

31

(c.6) Alguns Esclarecimentos sobre Medidas em Repou so e em Movimento.

Após termos estudado duas importantes conseqüências das transformações de

Lorentz: a contração espacial e a dilatação temporal, uma série de dúvidas envolvendo

situações distintas surgem naturalmente. Vamos considerar uma série de situações que

sejam ilustrativas e esclarecedoras.

Antes de iniciarmos, é importante afirmar que a maneira com que medidas de

tempo e comprimento são realizadas por diferentes observadores são fundamentais em

relatividade, e embora muitas vezes uma determinada situação seja totalmente

equivalente entre considerarmos um referencial em movimento e outro parado ou vice-

versa, estas situações são bastante distintas na maneira com que as grandezas são

medidas e isto deve distinguir totalmente os dois sistemas de referência.

Consideremos inicialmente medidas de intervalos de tempo. Seja uma plataforma

rígida sobre a qual é colocada uma fonte de liz, um espelho e um relógio, como mostra a

figura abaixo:

Fig. 2.14 - Plataforma c/ fonte de luz.

Vamos imaginar dois eventos, a saber saída e retorno de um pulso de luz emitido

pela fonte. Queremos medir o intervalo de tempo entre dois eventos: saída e retorno.

Para um observador sobre a plataforma esta é uma questão trivial e o tempo

medido é exatamente ∆t'= 2L/c. Independentemente da plataforma estar em movimento, o

tempo de ocorrência de cada evento foi medido pelo mesmo relógio que estava presente

em cada um dos eventos entre os quais estamos medindo o intervalo de tempo. O evento

global iniciou e terminou no mesmo relógio, ou seja, a medida de tempo foi realizada para

os dois eventos na mesma posição em S'. Este é denominado de intervalo de tempo

próprio, medido sempre pelo mesmo relógio.

32

Considere agora a plataforma em movimento com velocidade v. Vejamos como um

observador estacionário, vendo a plataforma se deslocar, vê o evento acima.

O quadro visto pelo observador está representado abaixo, os dois eventos não

mais ocorrem no mesmo ponto.

Fig. 2.15 - Plataforma em movimento com fonte de luz

Levando em conta o fato que a velocidade da luz propaga-se com velocidade c, a

distância total percorrida pela luz agora é 2 (L2 + (v∆t/2)2)1/2 e, portanto, temos que:

22

22

∆+=∆ tvLtc

de onde podemos resolver para ∆t e tirarmos:

22

2

/1 cvt c

L

−=∆

Assim, o intervalo de tempo decorrido entre os dois mesmos eventos é diferente

para os dois referenciais. É extremamente importante observar que no segundo caso,

referencial S em repouso, os dois eventos ocorreram em diferentes pontos do espaço,

enquanto no primeiro referencial fixo na plataforma eles ocorreram no mesmo ponto. Isto

fez com que no caso do referencial estacionário, ocorrendo em pontos diferentes, os

eventos foram necessariamente medidos com relógios diferentes, já que se fossem feitos

pelo mesmo relógio, significaria que o relógio teve que se movimentar junto com a

plataforma. O que descaracterizaria nossa consideração que trata de um observador em

33

repouso. Assim, o intervalo de tempo medido por este observador é o intervalo de tempo

impróprio. E a dilatação temporal pode ser mais apropriadamente escrita como:

22 /1 cvtt imprópriopróprio −∆=∆

Este exemplo tem como mensagem principal salientar as diferenças intrínsecas de

como uma medida é realizada num sistema de referência em repouso ou em outro em

movimento. Para relatividade especial o "relógio" que mede o tempo de ocorrência dos

eventos deve ser colocado precisamente na posição onde o evento ocorre.

Alguém pode perguntar como o observador em S no exemplo anterior mede o

tempo entre os eventos, já que o relógio tem que estar fixo? Certamente ele deve possuir

uma coleção de relógios sincronizados (no mesmo ponto do espaço) e levados para as

várias diferentes posições, como mostrado na fig. 2.16. Assim, a medida que o dispositivo

se desloca, ele passa pela linha de relógios e a diferença de tempo ou o intervalo de

tempo entre dois eventos é medido pela diferença de leituras entre dois relógios. No caso

dos eventos considerados, entre os relógios 3 e 13. Note que existe uma diferença

conceitual bastante grande entre os tempos medidos por observadores em S e S' e

entender isto é essencial para entendermos as conseqüências da relatividade especial.

Fig. 2.16 - Seqüência de relógios capazes de medir intervalos de tempo no referencial em repouso.

É muito comum, quando descrevemos a dilatação temporal, a afirmação que

“relógios em movimento andam mais devagar”. Não há nada errada com isto, mas leva a

um aparente paradoxo. Suponha que um relógio A esteja em movimento com relação a

outro B. Desta forma, A anda mais devagar que B. No entanto, do ponto de vista do

relógio A, B é que anda mais devagar, isto cria uma contradição. A qual na verdade não

existe, já que somente em um dos referenciais a diferença de tempo entre dois eventos

34

poderá ser medida por um único relógio. Tempo em relatividade só tem significado

quando representa a diferença de ocorrência entre dois eventos, e neste caso o tempo

próprio é sempre menor. O aparente paradoxo acima na verdade não existe. Lembrando

que a relatividade especial trata de efeitos cinemáticos entre observações do mesmo

evento feitas de diferentes referenciais. Assim, sempre é válido dizer que os relógios em

movimento andam mais devagar, se soubermos o que significa. No entanto, seria mais

apropriado se dissermos que:

"O relógio que mede o intervalo de tempo próprio en tre dois eventos, mede um

intervalo menor do que relógios medindo o intervalo de tempo impróprio entre

estes mesmos eventos".

É ainda importante salientar que o mecanismo do relógio não é afetado pelo

movimento, e que é errôneo dizer que a dilatação temporal ou qualquer outro efeito em

relatividade ocorre devido ao fato que a observação feita de um evento leva algum tempo

para atingir o observador, porque caminha com a velocidade da luz.

Após esta breve discussão sobre medidas de tempo, vamos semelhantemente

fazer medidas de comprimento. O importante aqui é como estas medidas são realizadas

por diferentes observadores, ou o que entendemos por medida de comprimento. Com isto

poderemos verificar a contração espacial de uma forma alternativa. Seja um veículo que

se desloca com velocidade v percorrendo um ponto A, até outro B, cobrindo uma distância

L num tempo L/v.

O intervalo de tempo medido pelo observador no veículo é um intervalo próprio, já

que saída e chegada são medidas pelo mesmo relógio. Por outro lado, o tempo L/v

medido no referencial S (parado em relação a A-B) é impróprio, pois foi medido

necessariamente por relógios diferentes. Deve ficar claro que os dois eventos que

estamos medindo aqui são: carro passa pela marca A, carro passa pela marca B e

lembramos que qualquer medida deve ser feita com o instrumento (no caso relógio) na

posição do evento, pois como vimos realizadas em posições diferentes não necessitam

ser simultâneas.

35

Fig. 2.17 - Medida da distância A B por um observador em movimento

Assim, temos que:

(S') tempo próprio = L/v (1-(v/c)2)1/2

(S) tempo impróprio = L/v

Como a velocidade é a mesma em ambos sistemas de referência, o comprimento

medido pelo piloto do veículo (S') é:

L' = vt (tempo próprio)

22 /1' cvLL −=

enquanto L é medido em S. É importante notar que a dilatação temporal leva

necessariamente a contração espacial, já que a velocidade é preservada entre os dois

referenciais.

Além disso, deve ficar claro que a relatividade especial constitui-se no efeito

cinemático em medidas e, portanto, de um modo geral, comprimento é medido através do

conhecimento da velocidade e do tempo. A utilização de réguas é uma medida puramente

estática e, portanto, feita em referencial onde o objeto a ser medido está em repouso.

Vamos analisar um segundo experimento de medida espacial. Seja uma barra com

duas marcas A e B separadas por uma distância L, que se movimenta com relação a

outra barra na qual temos as marcas A' e B'. Quando medidas no referencial de repouso

das barras, ambas distâncias tem dimensão L. Tiramos agora uma fotografia quando a

primeira barra desloca-se em relação a Segunda com velocidade v. A questão é AB e A'B'

serão iguais na foto? Ou seja, se A coincide com A', B' coincidirá com B? Para evitar

problemas com atrasos na propagação da luz a câmera é colocada exatamente a meia

distância das marcas (fig. 2.18).

36

Fig. 2.18 - Comparação de duas barras de mesmo tamanho, uma em movimento e a outra em repouso.

É evidente que na fotografia ambas as marcas coincidirão, já que estamos

realizando o mesmo tipo de medida e comparando eventos distintos em pontos distintos

do espaço. Não estamos de forma alguma fazendo uma medida cinemática, onde o efeito

de sua velocidade se manifeste.

A fim de verificarmos a contração espacial é preciso termos um observador em

movimento fazendo medida de tempo. Se considerarmos um observador em A, ele medirá

um intervalo de tempo entre os eventos A passa A' e A passa B' (fig. 2.19) que é um

intervalo de tempo próprio. Enquanto se compararmos o intervalo medido por dois

relógios posicionados em A' e B' mediremos o tempo impróprio L/v. Desta forma, para o

observador em A (em movimento), a medida de L pode ser tirada de :

2

2

1'

c

v

v

L

v

L −= ou seja 2

2

1'c

vLL −=

Fig. 2.19 - Esquema do experimento para medir distância entre AB pelo observador em movimento.

37

Baseado no experimento acima, afirmamos que o comprimento entre as marcas

(que poderia ser o metro padrão) sofreu uma contração quando medida no referencial em

movimento. Daí afirmamos que, para um observador em movimento os objetos em

repouso parecem contrair de tamanho. Isto gera um aparente paradoxo:

"Como pode ser que um metro padrão movendo-se parec e ter diminuído de

tamanho com respeito a outro no laboratório, quando para um observador no metro

em movimento, o laboratório está se movendo e, port anto, para ele o metro no

laboratório deve ter contraído?"

Este aparente paradoxo pode ser facilmente resolvido se lembrarmos que dois

eventos que ocorrem simultaneamente em um referencial não são simultâneos num

segundo referencial em movimento com relação ao primeiro. No caso em questão, os

eventos A passa por A' e B passa por B' são simultâneos no laboratório (por exemplo,

medidas com auxílio da fotografia), mas não são simultâneos para um observador

movendo-se em relação ao laboratório. E não sendo simultâneos não podem ser usados

para medida de comprimento, como sendo uma medida em repouso.

Assim, o paradoxo não existe porque embora seja "relativamente equivalente" o

movimento de ambos referenciais, as medidas realizadas nestes referenciais são

completamente não equivalentes. O primeiro passo para entendermos os resultados

previstos pela relatividade especial é entender o significado da realização de uma medida.

(c.7) Massa Relativística

Até agora, vimos que grandezas fundamentais como tempo e comprimento só têm

significado quando o referencial no qual elas são observadas é específico, e que os

valores destas grandezas medidas neste referencial estão relacionadas com as feitas em

outro referencial. Isto faz com que um dado evento que ocorra no tempo e no espaço

tenha aspectos diferentes em cada referencial. No entanto, segundo o primeiro postulado

da relatividade, as leis de movimento observadas em cada referencial deve ter a mesma

forma.

Vamos analisar a colisão elástica entre dois corpos sendo observada de dois

sistemas de referência distintos e vamos considerar os princípios de conservação de

momentum e energia.

38

Na colisão elástica a energia mecânica é conservada. Sejam duas partículas A e B,

A está inicialmente em repouso no referencial S e B está inicialmente em repouso no

referencial S', o qual se move com velocidade v relativa a S na direção + x (fig. 2.20).

Ambos os corpos são idênticos.

Fig. 2.20 - Início da colisão entre dois corpos. A velocidade vA em S e B tem velocidade v'B em S'

Num determinado intervalo de tempo, simultaneamente A começa a mover-se com

VA na direção +y enquanto B move-se com V'B na direção -y'. Para simplificar, vamos

tomar VA = V'B fazendo com que cada corpo seja idêntico ao outro em cada um dos

referenciais.

O aspecto da colisão vista por cada um dos referenciais é diferente. No entanto,

para cada um o comportamento da colisão é o mesmo, de modo que S "vê" A da mesma

forma que S' "vê" B (fig. 2.21).

A colisão como vista por cada um dos referenciais está mostrada abaixo:

Fig. 2.21 - Colisão vista por um dos referenciais.

39

Após a colisão, A retorna na direção -y com velocidade VA, enquanto B retorna na

direção +y' com velocidade V'B. Se a distância entre eles era inicialmente Y, o observador

em S encontra a colisão em y = Y/2 enquanto que para S' ocorre y'=Y/2. O tempo gasto

por A para sair da posição inicial, colidir e regressar é To, que medido por S é:

AV

YT =0

e para B medido em S' To = Y/V'B.

Para o observador em S, o momentum é conservado e, portanto, a componente y

do momentum permite escrever

mAVA = mBVB

onde mA, mB, VA, VB são as massas e velocidades medidas em S. A velocidade VB, pode

ser calculada em S como:

T

YVB =

onde T é o tempo necessário para B realizar sua ida e retorno quando medido por S.

Como este tempo visto por S' é To, temos que T = To (1-(v/c)2)-1/2, de acordo com a

dilatação temporal vista anteriormente. Assim, a velocidade de B medida por S é:

0

22 /1

T

cvYVB

−=

e usando VA = Y/T0 e VB na equação de conservação de momentum, tiramos:

22 /1 cvmm BA −=

Como assumimos inicialmente que A e B são idênticos quando em repouso com

relação a um observador comum, devemos atribuir a diferença entre as massas ao fato

que eles estão em movimento relativo. Assim, da mesma forma que espaço e tempo,

40

massa também é uma grandeza que depende do movimento relativo entre o observador e

o objeto observado.

Se chamamos mA = mo como sendo a massa medida quando o corpo está em

repouso em relação a S, a massa medida por um observador em S' (para o qual a massa

desloca-se com v) será mB = m e, portanto:

22

0

/1 cv

mm

−=

é a relação relativística para a massa. A massa medida para um corpo que desloca-se

com velocidade v é maior do que aquela medida quand o o corpo está em repouso .

Assim, a massa relativística é uma conseqüência do fato que a lei de conservação

de momentum deve ser válida em ambos os referenciais como assegurado pelo primeiro

postulado da relatividade.

Com respeito à mecânica newtoniana, ela é válida se o momentum é definido como

mv e, portanto, a segunda lei de Newton passa a ser expressa por:

( )mvdt

d

cv

vm

dt

dF =

−=

22

0

/1

ou seja, sempre devemos considerar a variação temporal do momentum e não apenas da

velocidade.

O aumento relativístico da massa só é importante para velocidades próximas à

velocidade da luz. No momento, somente partículas atômicas e subatômicas como

elétrons, prótons, mésons, etc são os que apresentam velocidades suficientes para que

efeitos relativísticos sejam medidos. Historicamente, a primeira confirmação experimental

da massa relativística foi feita em 1908 quando Bucherer verificou que a relação e/m para

elétrons era maior para elétrons lentos. Algumas medidas experimentais da relação

m(v)/mo para elétrons são mostradas no gráfico (Fig. 2.22) a seguir:

41

Fig. 2.22 - Variação da massa inercial do elétron como função da velocidade.

O valor inicial de mo é denominado de massa de repouso, enquanto m é chamado

de massa inercial. Esta nomenclatura aplica-se para todas as partículas.

(c.8) A Relação Massa e Energia

A partir dos postulados da relatividade especial é possível obter uma importante

relação entre massa-energia, o que consiste numa das mais famosas relações obtidas por

A. Einstein. Utilizando a definição de energia cinética como sendo o trabalho realizado por

uma força para trazer o corpo do repouso até o presente estado de movimento, podemos

escrever para o caso da força paralela ao deslocamento:

∫=s

FdsK0

onde F é o componente da força aplicada na direção do movimento (deslocamento ds).

Usando F = d (mv)/dt, temos:

( ) ( )∫ ∫==s s

mvvddsdt

mvdK

0 0

que pode ser substituído pela relação da massa relativística,

∫

−=

s

cv

vmvdK

022

0

/1

42

Integrando por partes, temos:

22

0

20220022

20 /1

/1/1cvcm

cv

vdvm

cv

vmK

vv −+

−−

−= ∫

ou seja:

( ) 20

20

2 cmmcmmcK −===

que estabelece que “a energia cinética de um corpo é igual ao aumento de sua massa

como conseqüência de seu movimento relativo, multiplicado pela velocidade da luz ao

quadrado”.

Se interpretamos mc2 como a energia total do corpo E, quando o corpo não

apresenta movimento K = 0, terminamos com o fato que o corpo apresenta como energia

total para o seu estado de repouso a energia

E0 = m0c2

que é denominada de energia de repouso.

Como mc2 corresponde à energia total do corpo ela resulta da adição de energia

cinética com a energia de repouso, ou seja:

E = K + moc2 = mc2

sendo m = mo (1-(v/c)2)1/2 temos que:

22

20

/1 cv

cmE

−=

Vamos tomar esta relação e elevar ao quadrado:

22

42042

/1 cv

cmcm

−=

43

de onde obtemos:

m2c2 - m2v2 = m02c2

Como p = mv, obtemos:

m2c4 = p2c2 + m02c4

ou

E2 = p2c2 + m02c4

Como sendo a relação momentum energia relativística amplamente utilizada em colisões,

etc.

(c.9) Diagramas Espaço-Tempo

Ao derivarmos as transformações de Lorentz anteriormente, somente

consideramos casos onde a luz se propaga na direção x. Poderíamos, no entanto, ter

tratado o problema para a luz propagando-se em qualquer direção. Afinal, a composição

de todas as direções resulta na luz propagando-se com a mesma velocidade.

Vamos considerar o seguinte exemplo:

Suponhamos que um “flash” de luz é emitido em t = 0 na origem de S. Este pulso

propaga-se em todas as direções de modo que num instante mais tarde t, o pulso

alcançou a região correspondente a uma esfera de raio r = ct e centrada na origem de S.

Se o mesmo fenômeno é observado do referencial S', cuja origem só coincide com a

origem de S em t' = t = 0. O mesmo fato é observado, sendo agora uma esfera de raio r' =

ct' e centrada na origem de S'. Tomemos a equação r = ct e escrevendo em termos das

coordenadas cartesianas temos:

x2 + y2 + z2 = c2 t2

usando as transformações de Lorentz para x, y, z e t, obtemos:

γ 2 (x' + vt')2 + y’2 + z’2 = γ 2 c2 (t' + vx' / c2)2

44

desenvolvendo, obtemos:

γ 2 x’2 (1 - v2/c2) + y’2 + z’2 = γ 2 t’2 (c2 - v2)

de onde temos que:

x’2 + y’2 + z'2 = c2 t’2

que novamente define uma esfera centrada na origem de S'. Assim, a luz é descrita como

expandindo-se esfericamente em ambos os sistemas de referência.

Uma forma bastante conveniente de mostrar a "estória" completa de um

determinado movimento unidimensional é através de um diagrama representando nos

eixos posição e tempo, ou melhor, ct. Estes diagramas são costumeiramente

mencionados como diagramas de Minkowski, em homenagem ao cientista que os

introduziu. Neste diagrama, um evento em S é descrito pelas coordenadas (x, t) e em S'

por (x', t'), as quais estão relacionadas pelas transformações de Lorentz. É interessante

utilizar ct ao invés de tempo por uma questão de escala e também devido ao fato que a

propagação da luz neste sistema é representada pela bissetriz do quadrante x – ct.

Outros sistemas de referência são representados no mesmo diagrama, por eixos

não ortogonais. Referenciais com velocidade positiva em S apresentam eixos formando

ângulos menores que 90° e referenciais com velocida des negativas, ângulos maiores que

90° (fig. 2.25).

Fig. 2.23 - Eixos para vários referenciais.

45

Qualquer evento P tem duas coordenadas em cada referencial determinadas

trocando-se retas paralelas aos respectivos eixos e passando pelo ponto.

Automaticamente, temos as leituras de coordenadas em diversos referenciais.

Notemos que a quantidade:

r2 = (ct)2 - x2

é um invariante do problema, sendo verdadeira em qualquer referencial e, por isso, é

denominada de invariante do espaço-tempo. Isto significa que, dado um evento, em

qualquer referencial a quantidade acima tem o mesmo valor. Não vamos nos ater a

interpretação de r, porém r2 = 0 representa a propagação de um sinal de luz e r2 = -1

temos a escala dos eixos do sistema. É importante notar que no diagrama de Minkowski

os eixos representando os vários referenciais não apresentam a mesma escala. De fato, a

hipérbole x2 - (ct)2 = 1 determina os pontos da escala dos vários referenciais.

Ficará como exercício verificar que a quantidade r2 é um invariante.

Se estivermos considerando dois eventos distintos de ∆x e ∆t, a quantidade

( ) ( )222 xtcs ∆−∆=∆

é chamado de intervalo no espaço-tempo; e para qualquer referencial que observe este

evento é, também, um invariante. No caso de ∆s2 = 0 é claro que estamos tratando de

eventos conectados via raio de luz.

As quantidades invariantes em relatividade são importantes porque representam o

equivalente às constantes de movimento que estamos acostumados. De um modo geral,

estas quantidades envolvem quatro grandezas distintas e por isso são denominadas de

quadro-vetores. Assim, o quadro-vetor espaço-tempo (visto anteriormente) relaciona as

três coordenadas espaciais e o tempo (x, ct). Um outro quadro-vetor importante é o

momento-energia (p, E/c) que representa o estado dinâmico da partícula.

Da mesma forma que espaço-tempo, a quantidade

2222

−++c

Eppp zyx

46

é um invariante físico, tendo o mesmo valor para qualquer referencial inercial. Assim,

consideremos uma partícula em repouso num determinado referencial. Neste caso seu

quadro-veto é (0, E0/c). Para um outro referencial, esta partícula pode estar deslocando-

se de modo que (p, E/c). Da invariância deste quadro-vetor obtemos que é a relação

energia-momentum obtida anteriormente.

(c.10) Cinemática Relativística e as Transformadas de Velocidade

Um dos postulados da relatividade especial definido no começo de nossa

exposição estabelece que a velocidade da luz no espaço livre tem o mesmo valor para

todos os observadores independentemente de seus movimentos relativos. No entanto,

sabemos de nossa experiência cotidiana que este resultado não é válido para bolas

atiradas de trens em movimento ou disparos de espingardas feitos em movimento, etc.

A fim de obtermos resultados que englobem ambos os casos, vamos determinar a

partir das transformações de Lorentz as leis de composição de velocidade. Ou melhor, as

relações que transformam velocidades observadas num referencial para velocidades

observadas em outros referenciais.

Vamos novamente considerar dois referenciais S e S', com S' movendo-se com

velocidade v na direção x com relação a S. Seja também um objeto que se move com

velocidade (Vx, Vy, Vz) no referencial S. A pergunta que fazemos é: Como esta velocidade

está relacionada com a outra. (Vx', Vy', Vx') medida no referencial S'?

Para um observador em S as componentes da velocidade são:

dt

dzV

dt

dyV

dt

dxV

z

y

x

=

=

=

enquanto que para um observador em S'

47

'

''

''

'

'

'

'

dt

dzV

dt

dyV

dt

dxV

z

y

x

=

=

=

Considerando as transformações de Lorentz, temos que o diferencial das

variáveis são dados por:

dxdt

vdtdx

dt

dxV

cvx2'

'' −

−==

Utilizando-se estas equações acima, obtemos que:

dtdx

cv

dtdx

x

vV

21' −−

= ou xc

v

xx V

vVV

21' −−

=

De forma semelhante:

2/21

2'

''

cv

c

vdxy dt

dy

dt

dyV

−

−==

de onde tiramos:

22' /1

1 2

cvdtdy

V

dtdx

cv

y −

−

=

xcv

yy V

cvVV

21

/1 22

' −−

=

e finalmente para a velocidade Z,

48

xcv

zz V

cvVV

21

/1 22

' −−=

Estas três relações constituem as transformações relativísticas de velocidade, e é

interessante notar que as componentes de velocidade y' e z' são afetadas pela

componente x e não somente por y e z, como no caso das transformadas de

coordenadas.

Se considerarmos situações onde v « c, de modo que v/c ~ 0, obtemos que como

esperado e de acordo com a observação de fatos do cotidiano.

Imaginemos (Vx, Vy, Vz), neste caso temos que obter as transformadas inversas, as

quais podem ser obtidas trocando v por -v e colocando Vx, Vy, Vz no lugar de Vx', VY',Vz' e

vice-versa. Assim, as transformadas são:

2

22'

2

22'

2

'

1

/1

1

/1

1

c

vVcvV

V

c

vV

cvVV

c

vVvV

V

x

zz

x

yy

x

xx

+

−=

+

−=

+

+=

Como exemplo ilustrativo, imaginemos uma fonte de luz que desloca-se com velocidade

v. Qual é a velocidade da luz medida por um observador em repouso?

Considerando as transformadas inversas acima com Vx' = c, temos:

c

c

vcvc

Vx =+

+=

21

e Vy = Vz = 0.

As relações de transformação de velocidades são importantes para uma série de

efeitos observáveis e que veremos a seguir.

49

II.5 - Aplicações e Exemplos em Relatividade Especi al

Vamos nesta parte considerar alguns exemplos que são aplicações dos vários

conceitos discutidos até o momento.

(a) O Paradoxo dos Gêmeos

Como dissemos anteriormente, intervalos de tempo medidos por observadores em

movimento são menores. Vamos analisar a seguinte situação: Dois gêmeos estão em

repouso na Terra. Um dos gêmeos toma um foguete e parte para uma viagem a um

planeta distante. Enquanto este está em sua viagem, o gêmeo que ficou na Terra afirma

que o relógio de seu irmão anda mais devagar e, portanto, quando este retornar a Terra

ele será mais jovem do que ele que permaneceu na Terra. Podemos, no entanto,

perguntar como o gêmeo do foguete vê a situação. Para ele, em repouso em relação ao

foguete, é como se seu irmão que ficou na Terra tivesse viajado junto com a Terra e

retornado. Assim, quando se reencontraram, o gêmeo que estava no foguete pensa que

seu irmão que ficou na Terra está mais jovem. Afinal, quem está mais jovem?

Fig. 2.24 - Esquema representando o paradoxo dos gêmeos.

Este aparente paradoxo é resolvido se observarmos cuidadosamente que as

situações expostas acima não são equivalentes. A situação física do gêmeo na Terra

observar a viagem do foguete não é equivalente à situação onde o gêmeo no foguete

observa a viagem da Terra. A diferença física entre as situações é que o gêmeo do

foguete sofrerá períodos de movimento acelerado (início, retorno e fim), enquanto que,

para seu irmão, na Terra isto não ocorre. Este movimento acelerado distingue claramente

50

as duas situações. Isto permite concluir que o gêmeo do foguete é o que está mais jovem.

Esta situação pode ser resolvida matematicamente, envolvendo uma discussão quando

os observadores estão acelerados, o que é mais apropriado para a teoria da relatividade

geral.

Assim, como vimos, a situação não apresenta reciprocidade. Para mostrarmos isto,

vamos demonstrar que o tempo decorrido em relógios movimentando-se no espaço

tempo depende do caminho realizado pelos relógios. Consideremos dois relógios R1 e R2,

inicialmente sincronizados e localizados em 0 como mostra a fig. 2.24. O relógio R1

permanece em repouso no ponto 0 enquanto R2 faz uma viagem que passa por alguns

pontos e retorna ao ponto 0, com velocidade tomada como v = 0.8c.

Fig. 2.25 - Representação no diagrama ct vs x da situação dos gêmeos.

Na figura mostramos o diagrama espaço-tempo (ct vs x) para a situação descrita.

O relógio R2 move-se de 0 para A e, então, retorna a B. O relógio R1 apenas desloca-se

no eixo do tempo, enquanto R2 move-se também no eixo das coordenadas. Calculamos o

tempo decorrido em cada um dos relógios. A relação entre o tempo próprio e o impróprio

é:

2

2222 /1

c

dxdtcvdtd −=−=τ

onde usamos vdt = dx.

Para o deslocamento do relógio R1, dx = 0 (não há deslocamento de coordenadas)

e, portanto, o intervalo de tempo decorrido entre o deslocamento 0 → B será:

51

∫ ∆=−==∆B

B TTTdt0

01τ

já para o caminho OAB, o tempo decorrido será:

( )∫ ∫ ∫ ∫ −==+=∆A B

A

A A

c

dxdtddd

0 0 02

22

2 22 ττττ

como dx = vdt, temos:

∆−=−=∆ ∫ 21212

02

2

2

2

2

T

c

vdt

c

v A

τ

ou

222 /1 cvT −∆=∆τ

Observamos que 1τ∆ > 2τ∆ mostrando que quando os relógios voltam a ser

confrontados no ponto B sempre haverá uma diferença, sendo que o relógio que desloca-

se sempre mostrará um tempo menor.

Conclusão: o gêmeo no foguete estará mais jovem do que seu irmão. Note que os

trechos de aceleração foram desprezados.

(b) Emissão de luz por um objeto em movimento

Seja um objeto (por exemplo um átomo) que move-se com velocidade v ao longo

da direção x. O referido corpo emite raios de luz, que no seu próprio sistema de referência

faz um ângulo θ’ com o eixo x'. A pergunta que queremos responder é: Qual será o ângulo

θ entre o feixe de luz e o eixo x observado no referencial em repouso (fig. 2.26)?

52

Fig. 2.26 - Emissão de luz por fonte em movimento.

No referencial S' a luz propaga-se com:

Ux' = c cos θ'

Uy' = c sen θ'

usando as relações de transformação de velocidades:

c

vcvcsen

U

c

vvc

c

vcvc

U

y

x

'cos1

/1'

'cos1

'cos'cos

1

'cos

22

2

θθ

θθ

θθ

+

−=

+

+=+

+=

Desta forma o ângulo θ é definido como:

cv

cvsen

U

U

x

y

/'cos

/1'tan

22

+−==

θθθ

Consideremos agora, que o corpo em questão emita luz em todas as direções

uniformemente, quando visto de seu referencial. Devido a relação angular anterior, para

um observador, o ângulo de emissão com relação à direção de movimento parece ficar

menor. A conseqüência disto é que para um observador parado a luz parece estar mais

concentrada ao longo da direção do movimento. (fig. 2.27).

53

Fig. 2.27 - Anisotropia de emissão como feito relativístico.

No limite v → c, sen θ → 0 o que implica que toda luz caminha concentrada na

direção do movimento. Isto é uma observação rotineira nos aceleradores.

Para pequenas velocidades, podemos expandir:

2

2

2

2

2

111

c

v

c

v −≅−

e

'cos1'cos1

1 θθ c

v

cv

−≅+

de onde tiramos:

'2

' θθθ senc

vsensen −≅

mostrando a concentração da luz ao longo da direção de movimento. Emissões ao longo

de θ = 0 ou π não são afetadas pelo movimento. Exemplos práticos desta observação

podem ser feitos em aceleradores de elétrons e prótons.

(c) O Efeito Cerenkov

Como vimos, a massa relativística de um corpo impõe uma “espécie” de limite na

velocidade que o corpo pode ter com respeito a um observador.

54

22

0

/1 cv

mm

−=

Quando a velocidade do corpo aproxima-se da velocidade da luz, sua massa

aproxima-se do infinito. Neste caso, uma força infinita seria necessária para colocar o

corpo numa velocidade tal que sua massa seria infinita, e como não existem massa ou

forças infinitas concluímos que não há corpos deslocando-se com velocidade superior ou

igual a c.

Em determinados meios como água, vidro, ar, etc., a velocidade da luz é inferior ao

seu valor no vácuo. E em tais meios podemos encontrar partículas que se movem com

velocidade superior à da luz naqueles meios, jamais, no entanto, superior à luz no vácuo.

Fig. 2.28 - Partícula radiante num meio, deixando um cone de radiação após sua passagem

Quando partículas carregadas propagam-se em tais meios com velocidades acima

da luz naquele meio, um cone de luz é emitido (Fig. 2.28) num processo parecido daquele

das ondas emitidas por um barco que propaga-se com uma velocidade acima das

velocidades das ondas na água. Esta radiação emitida é denominada de Radiação

Cerenkov.

Consideremos o meio de índice de refração n, definido como:

n = veloc. luz vácuo

veloc. luz meio

55

de modo que a velocidade da luz no meio é c/n, que no caso em questão é inferior à

velocidade v da partícula. À medida que a partícula carregada propaga-se no meio,

colisões provocam emissão de luz, que propaga-se à velocidade c/n. A radiação emitida

propaga-se em todas as direções, mas como a partícula é mais rápida, a frente de onda

da radiação propaga-se e nunca atinge a partícula.

Pelo esquema acima, a radiação originada no ponto 0 propaga-se ct/n, enquanto

que a partícula deslocou-se de vt, deixando para trás este cone de Cerenkov. O ângulo de

abertura do cone é dado por:

( )nv

c

vt

ncsen == /θ

(d) Derivação Alternativa da Relação Massa-Energia

A dedução do equivalente massa-energia pode ser feita de várias formas

diferentes. Uma das formas sugeridas por Einstein utiliza a noção de que o centro de

massa de um sistema não pode mover-se quando não existem agentes externos atuando

sobre o sistema.

Neste exemplo, imaginemos uma caixa fechada e vedada. De uma das

extremidades desta caixa é emitido um pulso de luz, como mostra a fig. 2.29.

Quando a emissão ocorre, a caixa sofre um recuo devido à conservação de

momentum. Quando a radiação é reabsorvida no outro lado o momentum é removido da

caixa e novamente o sistema volta ao repouso. Durante o tempo de vôo do pulso de luz

dentro da caixa, esta sofreu um deslocamento ∆s. Como acreditamos que o centro de

massa não mudou de posição, devemos aceitar que o pulso de luz transferiu uma certa

quantidade de massa de um extremo para outro da caixa.

Fig. 2.29 - Sistema imaginado para obtenção da relação massa-energia.

56

Vamos calcular a quantidade de massa transferida pela luz, a fim de que o centro

de massa não seja alterado. Para simplificar o problema, vamos supor que metade da

massa da caixa está concentrada em cada extremo da mesma e, portanto, inicialmente

distantes L/2 do centro de massa. O pulso de luz, que apresenta massa zero, carrega um

momentum dado por Ppul = E/c, pois pela relação E2 = (pc)2 + (m0c2)2 com m0 = 0 e, sendo

E a energia correspondente do pulso. Vamos considerar que esta quantidade de energia

transferida corresponde a uma massa m. Antes de emitir a caixa tem massa M e após

M - m, e velocidade v. Do princípio de conservação de momentum:

c

EmM

PP pulsocaixa

=−

=

)(

de onde obtemos:

Mc

E

cmM

EV =

−=

)(

já que M » m

O tempo de vôo da luz é da ordem de t = L/c e, assim, o deslocamento da caixa é

dado por:

vts =∆ ~ 2Mc

EL

Após a luz ser absorvida e a caixa deixar de mover-se, temos M/2 - m de massa à

esquerda e M/2 + m à direita. Como supusemos que o centro de massa não alterou, a

transferência de massa deve ter sido compensada pelo deslocamento de modo que:

∆−

+=

∆+

− sL

mM

sL

mM

2222

resolvendo, temos:

57

22

mcEMc

EL

L

M

L

sMm =→=∆=

Como vimos, a energia E = mc2 é associada à partícula existe uma quantidade de

massa de repouso mo, de modo que descontando a energia de repouso, o resto é energia

cinética. Assim:

cinéticaE ~ 20

20

22

0 2

1

21 vmcm

c

vcm ≈−

+

reduzindo-se à expressão já conhecida. Assim, para baixas velocidades podemos

escrever:

20

202

1cmvmE +=

(e) Luz Propagando-se num Meio em Movimento: O Coef iciente de Arrastamento

A luz passando por um meio que tem índice de refração n, propaga-se com

velocidade c/n. Se o meio desloca-se com velocidade v paralelo à propagação da luz,

qual é a velocidade observada por um referencial fora do meio (Fig. 2.30), em repouso?

Fig. 2.30 - Luz propagando-se num meio em movimento

Usando adição de velocidades

2'

'

1c

vVvV

Vx

xx

+

+=

58

Sendo Vx' = c/n, temos:

1

2

111

/−

+

+=+

+=nc

v

c

vn

n

c

nc

vcvnc

Vx

para v « c, vamos expandir o termo em parênteses e realizar a multiplicação, mantendo

até a primeira ordem:

xV ~ vnn

c

−+2

11

Assim, temos o termo esperado, mais um termo de arrastamento devido ao

movimento do meio. O coeficiente f = 1 - 1/n2 é chamado de coeficiente de arraste de

Fresnel.

(f) Aberração Estelar

Utilizando-se as leis de composição de velocidade podemos calcular a aparente

mudança na direção quando um corpo estelar é observado. Vamos considerar como

referencial estacionário o sol (ref. S Fig. 2.31) e como referencial em movimento (S') a

Terra em seu movimento orbital. Seja uma estrela que para um observador em S esteja

inclinada a um ângulo θ com relação ao plano de órbita da Terra. Para um observador em

S' a inclinação é θ' que difere de θ por uma quantidade α.

Fig. 2.31 - Observação de uma estrela por observador em movimento.

Assim, θ = θ' + α. Para um observador em S, a luz chega a ele com as componentes.

59

Vx = - c cos θ

Vy = - c sen θ

enquanto para um observador em S', movimentando-se com velocidade v em S, as

componentes da velocidade da luz que chega são diferentes e daí a origem da aberração

ou mudança na direção de observação. Utilizando as equações para composição de

velocidades e podemos verificar obviamente que Vx’2 + Vy’

2 = c2, não violando, desta

forma, o segundo postulado. Assim, o ângulo e' do qual a luz provém para S' é:

c

vcv

c

Vx

θθθ

cos1

/cos'cos '

+

+==

e, para v « c, temos:

'cosθ ~ θθ 2cos senc

v+

Como θ' = θ + α, temos cos θ' = cos θ cos α. E, sendo a pequeno temos cos α ~ 1 e

sen α ~ α:

θθθαθ 2coscos senc

vsen +=+

de onde obtemos:

α ~ θsenc

v

que é o desvio causado pelo movimento.

Note que estamos tomando o movimento da Terra como uniforme num curto

período. Neste caso v ~ 30 Km/seg. o que leva a um α ~ 10-4 rad para sen θ = 1.

(g) Efeito Doppler Relativístico

O efeito Doppler relativístico é qualitativamente equivalente ao mesmo efeito

observado com som quando fonte e/ou observador estão em movimento. Neste caso,

60

devido ao movimento da fonte ou do observador, o comprimento de onda do fenômeno

ondulatório é alterado. A título de ilustração, antes de estudarmos o efeito Doppler

relativístico, consideremos uma fonte sonora em movimento com velocidade v, emitindo

ondas sonoras na freqüência 0υ (freqüência para o observador no referencial de repouso

da fonte).

Em t = 0, a fonte emitiu um máximo da onda, o próximo será emitido em um tempo

τ após a primeira. E neste caso ela já não se encontra na posição da emissão da

primeira, pois a fonte se deslocou (u = velocidade da onda no meio, v velocidade da fonte,

fig. 2.32).

Fig. 2.32 - Efeito Doppler Sonoro.

Devido ao movimento da fonte, o comprimento de onda observado é alterado. Se a

fonte vai de encontro ao observador (e vice-versa) há uma aparente diminuição no

comprimento de onda observado. E no caso de afastamento fonte-observador, há um

aparente aumento do comprimento de onda.

Para o caso acima:

( )τττλ vuvu −=−='

como '/' υλ u= , já que a velocidade de propagação da onda no meio não é alterada, e

0/1 υτ = , temos:

0' v

vu

v

u −=

61

ou seja:

0

1

1' v

u

vv

−=

Assim, devido ao movimento da fonte, o observador notará uma maior freqüência

(caso v > 0) ou no caso da fonte se afastando (v < 0) uma menor freqüência.

Após esta introdução preliminar, voltemos nossa atenção ao caso semelhante em

relatividade especial. Suponhamos uma fonte de radiação eletromagnética localizada na

origem de um sistema de referência S considerado estacionário e um observador em

repouso em S' que desloca-se com velocidade v em relação a S. Cada pulso emitido viaja

com velocidade c, e estes pulsos são emitidos periodicamente com período τ . Assim, em

t = O é emitido o primeiro pulso, em t = τ o segundo e assim sucessivamente, até t = nτ

quando é emitido o (n + 1) ézimo pulso.

Vamos analisar como esta situação é observada pelo observador em S'. Cada vez

que o pulso passa pelo observador, ele evidentemente o detecta. Se colocarmos num

diagrama t vs x o deslocamento do observador e de cada pulso emitido, cada vez que

houver cruzamento entre a propagação do pulso e a do observador é porque houve

detecção de um pulso (fig. 2.33).

Fig. 2.33 - Diagrama espaço-tempo para propagação da radiação e deslocamento do observador.

A pergunta que fazemos é: Qual é a periodicidade (ou frequência) que o

observador recebe os pulsos? Entre os pontos (x1, t1) e (x2, t2) o observador recebeu n

pulsos:

x1 = ct1 = x0 + vt1

62

x2 = c (t2 - nτ ) = x0 + vt2

e destas temos duas equações:

vc

cntt

−=− τ

12 e vc

vcnxx

−=− τ

12

Isto é observado por S. Se quisermos saber o observado por S', utilizamos as

transformações de Lorentz :

( ) ( )22

21212

12/1

/

cv

cxxvtttt

−

−−−=−

e substituindo os resultados obtidos temos:

( )

−

−−=−

2

2

2212 1/1

''c

v

cvvc

nctt

τ

Como este período refere-se à observação de n pulsos, temos que o período

observado em S' é:

( )

−

−−=

−=

2

2

22

12

1/1

'

'''

c

v

cvvc

c

n

tt

ττ

τ

expandindo

cv

cv

/1

/1'

−+= ττ

ou em termos de freqüências:

cv

cvvV

/1

/1'

+−=

63

Assim, o efeito Doppler relativístico, segue qualitativamente o que já dissemos, com

modificações quantitativas causadas pelas restrições impostas pela relatividade especial.

(h) Colisão: Um Exemplo de Conservação Energia-Mome ntum

Vamos considerar, agora, um exemplo envolvendo conservação de energia e

momentum. Seja a colisão entre uma partícula de massa de repouso mo, energia Eo e

momentum Po com uma outra semelhante a esta, porém em repouso. Considerando que

as partículas emergirão da colisão com a mesma energia e momentum, pergunta-se:

"Qual será o ângulo de espalhamento θ (fig. 2.34)? ".

Fig. 2.34 - Colisão não frontal entre duas partículas de mesma massa de repouso que

emergem da colisão com iguais momento energia.

Tratando o caso onde as partículas emergem com mesmo p e E, a conservação de

momentum na direção y requer que os ângulos de espalhamentos sejam iguais, como

mostrado na figura acima. Conservação de energia e momentum nos permite escrever:

Po = 2p cos θ

Eo + moc2 = 2E

e como E2 - (pc)2 = (moc2)2 , a primeira equação fica:

θcos2 420

2420

20 cmEcmE −=−

64

e substituindo nesta última equação E = (Eo + moc2) / 2, obtemos:

( ) θcos2

2 420

20042

020 cm

cmEcmE −

+=−

de onde é possível eliminar θ :

200

200

3cos

cmE

cmE

++

=θ

No regime de baixas velocidades, Eo ~ moc2, de onde obtemos cos θ ~ (2)-1/2 ou

θ = 45°. Isto corresponde exatamente à situação não relativística já conhecida.

Um segundo exemplo é a colisão frontal entre duas partículas de massas de

repouso diferentes. Assim, seja uma partícula de massa mo, energia Eo e momentum p0,

que colide frontalmente com uma segunda partícula de massa Mo, em repouso. Após a

colisão, a primeira partícula emerge com (p1, E1) e a segunda com (p2, E2). Conhecendo

(po, Eo), queremos determinar a situação pós colisão (fig. 2.35).

Fig. 2.35 - Situação pós colisão.

Pela observação de momentum e energia,

po = p1 + p2

Eo + Moc2 = E1 + E2

A equação relativa à conservação de energia pode ser convertida em:

420

222

420

221

200 cMcPcmcPcME +++=+

65

onde usamos a relação momentum-energia. Substituindo p1 = po - p2, temos:

( ) 420

2220

420

222

200 cmcppcMcpcME +−=+−+

que quadrando resulta em:

( ) ( )( ) ( ) 420

2220

420

222

200

420

222

2200 2 cmcppcMcpcMEcMcpcME +−=++−+++

Usando Eo2 = (poc)2 + (moc

2)2 e desenvolvendo o primeiro termo obtemos:

( ) 220

420

222

200

420

200 2222 cppcMcpcMEcMcME −=+−+

que é equivalente à:

( ) 420

22

400

220

420

200 2222 cMcpcMEcppcMcME ++=++

que pode ser novamente quadrada e após eliminarmos p2, obtemos:

( )42

042

002

0

200

200

2 2

2

cmcMEcM

cMEcMpp

+++

=

e, conseqüentemente:

( )42

042

002

0

420

200

1 2 cmCMECM

cMmPp

++−

=

Um caso particular de interesse é quando mo = Mo, onde teremos p1 = 0 e p2 = po,

mostrando que neste caso a partícula 1 fica em repouso cedendo totalmente seu

momentum para 2.

No limite de baixas energias, Eo ~ moc2, as expressões acima resultam em:

66

+−

=

+=

00

0001

00

002

2

Mm

Mmpp

Mm

Mpp

que corresponde ao resultado esperado no caso não relativístico.

(i) Colisão Fóton – Átomo

Vamos considerar a colisão entre uma partícula de massa zero (o fóton) com uma

partícula massiva (o átomo). Seja Mo a massa atômica e Eo a energia do fóton.

Imaginando o átomo inicialmente em repouso, queremos determinar a velocidade

adquirida pelo átomo devido à absorção.

Antes e após a absorção a energia se conserva, de modo que:

E = Eo + Moc2

Se uma partícula tem momentum p e velocidade v, vale a relação:

pc2 = mvc2 = mc2v = vE

ou

pc2 = vE

Como o momentum do átomo após a colisão será o mesmo que o do fóton antes da

colisão, já que o momentum se conserva, cE

fótonPP 0== , e como E = Eo + Moc2, podemos

escrever:

( )200

20 . cMEvcc

E+=

67

ou seja, a velocidade adquirida pelo átomo após absorção é:

200

0

cME

cEv

+=

normalmente denominada de velocidade de recuo durante a absorção.

O processo de absorção também está acompanhado de uma variação de massa ,

causada pela porção de energia transferida. Assim, é natural perguntarmos qual é a nova

massa do átomo após a absorção?

Para o átomo, a nova massa de repouso será M.

E2 = p2c2 + M2c4

e c

Ep 0= , E = Eo + Moc

2

substituindo E e p na relação energia-momentum, tiramos:

(Eo + Moc2)2 = Eo

2 + M2 C4

de modo que:

4

420

2002

c

cMcMEM

+=

ou

20

00

21

cM

EMM +=

Mostrando que a massa de repouso do átomo sofre variação.

(j) Breve Análise do Movimento Uniformemente Aceler ado

Vamos brevemente analisar como o movimento acelerado é visto em outros

referenciais inerciais. Note que os referenciais continuam não acelerados e, portanto, a

relatividade especial continua válida. Consideremos um corpo uniformemente acelerado

68

no referencial S' que se move com velocidade v relativo a S. Para um observador em S', a

equação horária deste corpo acelerado é dada por:

2''2

1' tax =

Para encontrarmos a posição como função do tempo para o observador no

referencial S, vamos utilizar a transformada de Lorentz:

22

22

/1'

/1'

2

cv

xt

cv

vtxx

cv

−=

−

−=

e substituindo acima fornece:

( )22

2

/1'

2

1 2

cv

xtavtx c

v

−

−=−

Note que embora o movimento seja acelerado, os referenciais ainda são inerciais.

A equação acima é quadrática em t e x, podendo ser facilmente resolvida, fornecendo:

+−

+−+= ctta

c

a

c

ta

c

ta

a

cx βγγβγβγβ

γβ 2

''2'1

'1

'

2

2

22

2

2

onde

22 /1

1

cv−=γ e

c

v=β

Usando a relação ( ) 2/122 1−−= βγ , a expressão anterior é reduzida a:

−−+= t

c

a

c

ta

a

cx

γβγβ

γβ'2

1'

1' 2

2

69

que representa a equação horária de um movimento uniformemente acelerado (num

referencial S'), visto num outro referencial S.

Se considerarmos que para pequenos tempos a velocidade do corpo ainda não

cresceu muito, podemos expandir a equação acima e obtemos:

+−+−+= ...

2

''1

'1

'2

22

22

2

2

tc

at

c

a

c

ta

a

cx

γβ

γβγβ

γβ

e considerando somente termos até Segunda ordem em t,

...'

2

1 23

++= ta

ctxγ

β

Assim, para tempos curtos, a aceleração medida em S é dada por:

( ) 2/322 /1

'−−

=cv

aa

Como exemplo, analise o movimento de queda livre visto por um balão que sobe (ou

desce) com velocidade constante v em relação a terra. Verifique diferenças que seriam

observadas nos tempos de queda.

(II.6) A Relação Força e Aceleração

Da mecânica de Newton, aprendemos que força e aceleração são paralelas.

amdt

vdmF ==

Queremos examinar esta relação do ponto de vista relativístico, onde momentum

tem agora uma nova definição. É importante lembrar que como em relatividade os

componentes de velocidades estão independentes, suas variações também farão o que

pode causar, do ponto de vista vetorial, consideráveis alterações na dependência força-

aceleração.

70

Iniciamos com a expressão:

dt

pdF =

de modo que:

−+

−=

−=

2

2

2

2

2

2 1

1

110

00

cv

cv

cv dt

dvm

dt

vdmv

dt

dmF

Para a última derivada temos:

dt

dv

c

v

c

v

dt

d

cv

2

2/3

2

2

11

1

22

−

−=

−

Assim,

dt

dv

c

v

c

vMv

dt

vdMF

cv

2

2/3

2

2

00 1

1 2

2

−

−+

−=

Para facilitar nossa análise, vamos calcular o produto vF. :

( )( ) dt

dvcvmvm

dt

dv

c

v

c

vm

dt

dvvmvF

cv

cv

cv

2/3

2300

2/3

2

2

2

300

2

2

2

2

2

2 1

/11

1.

−

+−=

−+

−=

−

dt

dv

c

vvmo

2/3

2

2

1−

−

Assim podemos identificar rapidamente que uma maneira de escrever

− 221

1

cvdt

d é:

20

.

1

1

22 cm

vF

dt

d

cv

=

−

71

Como a definição de aceleração é dt

vda ≡ , temos que:

+

−=

c

vF

c

va

mF

cv

.1 2

2

0

ou seja:

−

−=

c

vF

c

vF

ma c

v

.1

0

2

2

mostrando claramente que, relativisticamente, aceleração e força não são paralelas, ao

contrário da mecânica newtoniana. É claro que este efeito é considerável a altíssimas

velocidades já que o desvio do paralelismo entre a e F é proporcinal a ( )2

cv .

Esta quebra do paralelismo entre aceleração e força é consequência direta do fato

que nenhuma velocidade pode exceder c e do fato que a velocidade depende de todos os

componentes espaciais, não somente da direção da força.

→ Caso vF ⊥ , então a // F . Neste caso a força é incapaz de variar o módulo de v ,

somente sua direção, como já conhecido.

(II.7) Relatividade Especial e o Eletromagnetismo

Uma das áreas da Física onde a relatividade tem o maior impacto é o

eletromagnetismo. Se considerarmos que a carga elétrica é invariante sob transformação

de Lorentz é possível, a partir da lei de Coulomb, obter as leis básicas do

eletromagnetismo.

Assim, por exemplo, imaginemos duas cargas q1 e q2 movendo-se com velocidade

v paralelamente a x. No referencial em repouso (S), existirá uma força magnética entre

elas. Já no referencial S', que desloca-se com v, não haverá forçamagnética; porém,

haverá uma força entre elas de natureza elétrica. Deste exemplo vemos que do ponto de

vista relativístico o campo elétrico e magnético não existem como entidades separadas,

mas sim são combinados como um único conceito em eletromagnetismo.

72

Normalmente em eletromagnetismo é importante conhecermos densidade de carga

e corrente. Desta forma verificar como estas quantidades se transformam é essencial, já

que elas são as fontes de campos.

Consideremos um condutor de secção transversal Ao e comprimento lo contendo N

elétrons e localizado paralelo ao eixo x' no referencial S' que desloca-se com v em relação

a S. A densidade de carga é ρ = Ne / Ao lo e a densidade de corrente é jo = 0, pois as

cargas não se movimentam neste referencial (Fig. 2.36).

Fig. 2.36 - Condutor observado de dois referenciais.

Observemos a situação por S com relação ao qual o condutor carregado desloca-

se com v. Neste referencial o comprimento do condutor é I = lo (1-v/c)2)1/2 enquanto a

secção transversal permanece inalterada. Como a carga não muda, a nova densidade de

carga é dada por:

2200 /11 cvA

Ne

−=ρ

a densidade de corrente será j = ρ v. Portanto:

22

0

22

0

/1

/1

cv

vj

cv

−=

−=

ρ

ρρ

Um tratamento mais geral, no caso das cargas estarem movendo-se também no

referencial S', leva às seguintes transformações:

73

yy

xx

jjcv

vjj

=−

−=

'/1

'22

ρ

e

22

2

/1

/'

'

cv

cvj

jj

x

zz

−

−=

=

ρρ

onde jx, jy, jz e p são observados por S, enquanto que j'x, j'y, j'z e p' são observados por S'.

Como um exemplo das transformações acima, consideremos um condutor que

conduz corrente e está em repouso em relação a S. Neste caso, as cargas negativas

deslocam-se (elétrons) em relação a S com velocidade u, enquanto que as cargas

positivas estão em repouso. A densidade de carga neste referencial é:

ρ = ρ + + ρ = 0

pois ρ + = Ne e ρ = -Ne.

A densidade de corrente é jx = j+ + j = ρ + . 0 + ρ - u = ρ - u. Pelo fato que a

densidade de carga é nula, não haverá observação de campo elétrico. Contudo, haverá

um campo magnético devido a movimentação das cargas negativas. Vamos agora

observar este condutor de um outro referencial S' que desloca-se com v com relação a S,

como mostra a figo 2.37.

Fig. 2.37

74

Visto por S' a densidade de carga será:

22

2

22

2

/1

/

/1

/'''

cv

cvj

cv

cvj xx

−

−+

−

−=+=

−−+++ ρρρρρ

como ρ + = Ne e ρ - = -Ne, j+x = 0 e j-x = ρ -u, da transformação anterior tiramos que:

22

2

/1

/'

cv

cNevu

−=ρ

de modo que observado pelo referencial S' o condutor não é neutro, apresentando carga

positiva, e consequentemente observa-se um campo elétrico em S'. Da mesma forma,

j'x ~ 0 e um campo magnético também é observado em S'. Este exemplo demonstra de

forma clara nossa frase inicial de que pela relatividade especial, eletricidade e

magnetismo devem ser considerados como sendo um único conceito, dependendo

apenas do referencial.

(II.8) - Breve Introdução à Teoria da Relatividade Geral

Após entendermos as principais considerações da teoria da relatividade restrita,

ficamos convencidos que nada pode viajar com velocidade superior à velocidade da luz

no vácuo. Isto cria certos problemas, um dos quais está associado à lei da Gravitação.

Segundo essa lei, F = GmgM/r2, onde r é a distância entre as massas. A pergunta é: se eu

destruísse uma das massas instantaneamente, será que a Segunda massa perceberia

instantaneamente? Ou esta reação à distância demoraria certo tempo?

Outro ponto importante é que na mecânica de Newton, a massa inercial (F = mi a) e

a massa gravitacional mg são sempre consideradas idênticas, fato que merece uma

explicação mais fundamental. Além destas questões, o problema de referenciais não

inerciais, não incluídos na relatividade especial, merecem ser considerados. Embebido

em todas estas questões, Einstein (1916) formulou a teoria da relatividade geral, na qual o

princípio da equivalência é seu resultado mais significativo.

Da mesma maneira que a relatividade especial foi fortemente motivada por

experimentos como o de Michelson-Morley, a relatividade geral também teve seus 76

passos iniciais motivados no experimento de Eotvos (1922), que tinha como propósito

75

demonstrar a equivalência entre massa inercial e massa gravitacional. Quando uma força

age sobre um corpo, ela o faz sobre a massa inercial (mi). Já a gravidade age sobre a

massa gravitacional. Assim, sejam dois corpos em queda sob a ação da gravidade,

adquirindo acelerações a1 e a2:

2222

2111

r

GMmam

r

GMmam

gi

gi

=

=

ou dividindo as equações:

2

2

2

1

1

1

g

i

g

i

m

m

a

a

m

m=

Assim, se a1 / a2 = 1 ficaria provada a equivalência entre a massa inercial e gravitacional.

O experimento mais decisivo nesta equivalência foi feito em 1922 por R.V. Eotuos. Em

seu experimento um pêndulo colocado na superfície da Terra verticalmente sem oscilação

fica sujeito a duas forças, a gravitacional e a centrífuga (Fig. 2.38). O pêndulo localiza-se

ao longo da resultante R. A força centrífuga age na massa inercial enquanto a

gravitacional em mg.

Fig. 2.38 - o ângulo entre o pêndulo e a direção do centro da terra é função de mi/mg.

A a resultante não está na direção do centro da Terra, mas fazendo um certo

ângulo θ com esta, de modo que (veja detalhe no diagrama da fig. 2.38).

eg

i

g

ei rgm

m

gm

rm

==

22

tanωωθ

76

Variando a latitude, pode-se observar a variação de θ. Os experimentos realizados

mostraram que se houver diferenças entre mi e mg, esta é menor que 10-8. Experimentos

mais recentes chegam a 10-10. Com estes resultados, Einstein enunciou o chamado

Princípio da Equivalência :

"Os efeitos produzidos pelo campo gravitacional são idênticos aos produzidos por

aceleração. E não há maneiras de distinguir um do o utro, eles são completamente

equivalentes".

Isto equivale dizer que se tivermos num sistema de referência onde há um campo

gravitacional e não há aceleração e um segundo onde não há campo gravitacional, mas

há aceleração, com respeito ao primeiro. Apesar do primeiro ser um referencial inercial

(pois não há aceleração) e o segundo não ser inercial, eles são fisicamente idênticos. Ou

seja, experimentos realizados em situações equivalentes nestes dois referenciais levarão

a resultados idênticos (situação equivalente significa a = g). Ou ainda, sistemas

acelerados ou em campos gravitacionais são equivalentes. De acordo com Einstein, isto

mostra que não há sistema de referência acelerado que seja absoluto. O movimento em

qualquer sistema acelerado também é relativo.

Vamos agora analisar algumas situações em relatividade geral. A primeira delas é

o chamado deslocamento gravitacional para o vermelho das linhas espectrais (ou relógios

em campos gravitacionais). Considere dois observadores E e R, separados por uma

distância d num referencial na presença de um campo gravitacional uniforme g (Fig. 2.39).

Fig. 2.39 - o sistema de referência na presença de um campo gravitacional é equivalente ao sistema

movendo com a = -g.

77

Uma situação equivalente é criada num segundo sistema de referência Si que não

tem campo gravitacional, mas move-se com uma aceleração a = -g. O princípio da

equivalência afirma que ambos referenciais são equivalentes. Suponha que tenhamos um

átomo localizado na posição E e que emita um fóton de seqüência oυ . Estando no campo

gravitacional (Sg), queremos saber qual é a freqüência detectada pelo receptor R. Como

pelo princípio da equivalência esta situação é análoga ao referencial acelerado a = -g,

vamos analisar a situação neste caso. Considerando que ambos referenciais estavam em

repouso em t = 0, quando o sinal foi emitido, o tempo para atingir R é t = d/c. Neste

tempo, ambos os observadores (E, R) adquirem uma velocidade v = gd/c e, portanto, no

instante que o sinal chega ao receptor ele afasta-se com velocidade v = gd/c e, portanto,

observa o sinal defasado para o vermelho.Utilizando nosso conhecimento do efeito

Doppler, a freqüência observada é dada por: cv

cvvv

/1

/10 +

−= , expandindo esta expressão,

temos:

++−= ...4

31 2

0 ββvv

em primeira ordem:

−≅20 1

c

gdvv

Assim, podemos concluir que quando a luz caminha contrária ao campo

gravitacional ela fica mais vermelha. Isto pode ser pensado como a luz perdendo energia

quando propaga-se contra o campo gravitacional. É claro que se invertemos o receptor

com o emissor, a luz agora propaga-se no sentido da gravidade e o deslocamento será o

azul. Em 1960 este fato foi confirmado experimentalmente e obteve-se:

01.005.1exp ±=∆∆

teorV

V

Se pulsos são emitidos periodicamente como se fosse um relógio, o período

variaria com a altitude ( T ~ 1 / υ ):

78

( )

+≅20 1

c

hdThT

mostrando que relógios colocados em campo gravitacional passam a andar mais devagar

de acordo com sua altitude.

Uma maneira diferente de obter este mesmo resultado (embora não

completamente correta) é imaginar o fóton de luz como tendo massa h 0υ = m c2, ou seja

m = h 0υ / c2. Portanto, ao escalar um campo g, a energia perdida seria mgd:

gdc

hvhvhv

20

0 −=

ou

−=20 1

c

gdvv

Utilizando-se argumentos semelhantes, pode-se calcular a deflexão da luz por

grandes campos gravitacionais. Supondo que o fóton tem massa m, possui um parâmetro

de impacto s e o corpo massivo apresenta massa M. Com isso, podemos calcular o

ângulo (Fig. 2.40):

Fig. 2.40 - Deflexão da luz por um corpo massivo.

Da teoria de espalhamento temos:

20

202 sv

GM

msv

GMmtg ==θ

79

Substituindo v0 por c temos que:

22 sc

GMtg =θ

II.9 - Exercícios

1) Imagine um experimento onde uma partícula é acelerada por uma força cuja amplitude

aumenta no tempo na forma F = 106t (em unidades CGS).

a) calcule o tempo necessário para v = 0.5c

b) repita o item "a", considerando m = mo / (1-v2/c2)1/2

c) discuta a diferença entre os resultados

2) No experimento de Michelson-Morley o comprimento de cada braço é de 11 m e a luz

de Sódio λ = 5.9 10-7 foi utilizada. Se o sistema tem sensibilidade para uma variação de

0.005 franjas, qual é o limite na determinação da velocidade da Terra através do suposto

"éter"?

3) O experimento de Michelson-Morley é considerado "um experimento de Segunda

ordem", porque o efeito depende de (v/c)2. Vamos considerar o seguinte experimento de

primeira ordem. Em t = 0 um observador em A envia um sinal para um observador em B,

a uma distância L de A. B marca o tempo de chegada. Supondo que o sistema move-se

através de um éter com velocidade v, como mostrado na figura abaixo:

Considere que o laboratório é agora rodado de 180° e o experimento é repetido. Mostre

que a diferença das medidas de tempo em ambas situações é:

c

v

ct

21≅∆

80

Discuta uma possível situação onde este efeito possa ser observado. Aplique para o caso

de um experimento realizado na Terra e verifique a viabilidade de medida.

4) Um observador na Terra mede o comprimento de uma nave espacial como sendo

metade do comprimento próprio da nave. Qual é a velocidade desta nave?

5) Um avião move-se a 1000 m/s sobre a superfície da Terra. Determine em quanto

tempo um relógio no avião levará para ficar 2 seg. atrasados com respeito a um relógio na

Terra.

6) Um átomo radioativo decai em 2 µs. Qual será o tempo de decaimento quando medido

por um observador no laboratório com relação ao qual o átomo desloca-se com 0.8 c?

7) Para um observador 0 dois eventos ocorrem separados de 3.6 108 m num intervalo de

tempo de 2 seg. Qual seria o tempo próprio para a ocorrência destes dois eventos?

8) Um foguete viaja com velocidade 2.4 108 m/s. O relógio do astronauta e o da base

foram sincronizados (t = t' = 0 em x = x' = 0). Se o astronauta observa um relógio na base

através de um telescópio. Qual tempo ele observará na base quando seu próprio relógio

30 seg.? O que ele observa no seu próprio relógio quando o da base marca 30 seg.?

9) Mostre que a equação de onda eletromagnética é invariante sob a transformação de

Lorentz.

01

2

2

22 =

∂∂−∇

t

E

cE

10) Uma partícula instável com tempo de vida média de 4 µs é produzida num acelerador

e projetada com velocidade 0.6c. Qual será seu tempo de vida medido no laboratório?

Qual é a distância média que a partícula percorrerá no laboratório antes de desintegrar?

11) Um "metro" move-se ao longo do eixo x com velocidade 0.6 c. O ponto médio do

metro passa por um observador em repouso em t = 0. Determinado pelo observador, onde

estão as extremidades do metro no instante da medida?

81

12) Dois eventos que ocorrem no mesmo lugar do espaço e estão separados de 4 seg.,

medidos por um observador. Se um segundo observador mede um intervalo de 5 seg.

entre os eventos, qual é a separação espacial destes eventos para este segundo

observador?

13) Uma partícula move-se com velocidade 0.8 c fazendo um ângulo de 30° com o eixo x,

determinado no referencial S. Qual será a velocidade da partícula quando observada por

um observador movendo-se com -0.6 c ao longo do eixo x - x'?

14) Calcule o momentum de um elétron com q Mev de energia.

15) Qual é a máxima velocidade que uma partícula pode ter, de modo que sua energia

calculada por mv2/2 não apresente erro superior a 0.5 %?

16) Duas partículas idênticas de massa de repouso mo, colidem frontalmente cada uma

tendo velocidade u. A colisão é perfeitamente inelástica formando um corpo compacto.

Determine a massa de repouso deste corpo composto. Compare o valor obtido com 2 mo.

17) Uma partícula de massa de repouso mo e velocidade 0.8 c faz uma colisão

completamente inelástica com outra de massa 3 mo e inicialmente em repouso. Qual é a

massa de repouso e a velocidade da partícula resultante?

18) Uma estrela afasta-se da Terra com velocidade 0.005 c. Qual é o deslocamento

Doppler para a linha D2 do Sódio (5890 Ao)?

19) Neste exercício faremos uma estimativa da massa de um Buraco Negro. Suponha que

a densidade do Buraco Negro é idêntica à do Sol. Assim, qual deve ser seu raio (e

consequentemente sua massa) para que a luz não possa escapar da sua atração

gravitacional? Dica: Suponha que a velocidade de escape é c.

Universidade de São Paulo

Instituto de Física de São Carlos

Departamento de Física e Ciência dos Materiais

FÍSICA MODERNA ELEMENTAR

CAPÍTULO III

INTRODUÇÃO À ATOMÍSTICA

Autores:

Prof. Vanderlei Salvador Bagnato

Prof. L uís Gustavo Marcassa

São Carlos

Maio 1999

2

CAPÍTULO III

INTRODUÇÃO À ATOMÍSTICA

III.1 - Introdução:

A hipótese que toda matéria é constituída de porções denominadas de átomos teve

sua origem na Grécia antiga, e sua introdução na ciência moderna ocorreu inicialmente na

química por Dalton através de duas leis básicas bastante aplicadas nas reações químicas.

O fato que em qualquer reação química os elementos combinam-se em proporções bem

definidas suporta muito bem a hipótese de que a matéria é constituída de átomos. Coube

à química, de um modo geral, introduzir de forma clara e definida o conceito e a

diferenciação entre elemento e molécula.

A hipótese de Avogadro de que um determinado volume de gás, nas mesmas

condições de temperatura e pressão, sempre continha o mesmo número de constituintes

dava pela primeira vez uma forma para se medir a massa ou tamanho do átomo. Numa

quantidade de matéria chamada MOL, existe um número fixo de constituintes No = 6.0225

x 1023. Este número é de extrema importância em atomística, pois determina a "escala"

que conecta o mundo atômico ao mundo macroscópico. A determinação do número de

Avogadro, através de várias técnicas diferentes, chegando-se ao mesmo resultado, foi

fundamental para o início da atomística, pois comprovou algumas hipóteses básicas sobre

a constituição da matéria.

As evidências de que tudo na natureza tem uma constituição atômica não

restringiram-se somente aos fatos propostos e observados pelos químicos, naturalmente.

Diversos experimentos, tais como o de Rutherford e o de Geiger, foram fundamentais

para o desenvolvimento e estabelecimento deste novo aspecto da constituição da

matéria, bem como sua composição e propriedades.

Neste capítulo pretendemos descrever alguns experimentos históricos na área, os

quais não somente foram importantes para revelar a natureza atômica da matéria e de

seus subconstituintes, mas também pela interessante metodologia utilizada. Após uma

breve apresentação destes experimentos, discutiremos em maior detalhe a teoria cinética

dos gases que nos permitirá conectar, ou construir, a partir dos constituintes

microscópicos básicos do gás, as propriedades macroscópicas utilizadas. Discutiremos

em detalhes os sucessos e fracassos da teoria atomística clássica, nascida no século

3

anterior, e as necessidades de inová-la para explicação de outros fenômenos. Por fim,

aplicaremos a teoria cinética dos gases para explicar alguns fenômenos de transporte

observados em gases, líquidos ou mesmo sólidos. Este é um importante capítulo da

Física Moderna, pois graças ao estabelecimento da constituição atômica da matéria é que

acelerou o desenvolvimento tecnológico que assistimos as conseqüências hoje em dia.

III.2 - Método de Perrin para Determinação do Númer o de Avogadro (N o)

Começaremos nosso estudo de atomística discutindo a constante de Avogadro,

cujo valor é de extrema importância e de difícil determinação. Como já dissemos, o

conhecimento de No significa conectar o mundo microscópico com o macroscópico,

dando-nos a chance de imaginar e estimar o tamanho e massa de cada constituinte da

matéria.

De um modo geral, toda relação que envolve o número de Avogadro fornece uma

forma de medi-Ia. Caso o volume de uma molécula vA pudesse ser determinado, o

número No poderia ser obtido da relação:

Va = NovA

onde VA é o volume de um mol e vA o volume de cada molécula. Semelhantemente, se a

massa de uma molécula individual puder ser determinada, MA = NomA, também

possibilitará o cálculo e determinação de No. Em 1865 Laschmidt seguiu esta linha de

pensamento para determinar No baseado em alguns aspectos da teoria cinética dos

gases que veremos mais adiante.

Vamos aqui nos ater à medida de No baseando-se na medida massa elementar.

Neste caso, a dificuldade na medida da massa molecular advém do fato que a molécula é

muito pequena. Perrin idealizou um método para determinação de No baseado em

"pseudomoléculas", grandes o bastante para serem medidas e pequenas o suficiente para

comportarem-se como moléculas. Vamos brevemente descrever seu método.

Considere inicialmente um gás a uma temperatura T, na presença de um campo

gravitacional da terra. Para movimentarmos um volume V deste gás através de uma

diferença de pressão dp, será necessário à realização de um trabalho dw, de tal forma

que:

4

VdpAdzA

dFdzdFdW === .

Se o gás está em equilíbrio, no campo gravitacional, este trabalho é realizado às

custas da energia potencial gravitacional Mgdz, onde M é a massa de gás contida no

volume V, a ser deslocado de dz. Assim, a condição de equilíbrio requer que

Mgdz + Vdp = 0

Outra forma de obter esta equação é através da análise de uma camada de espessura dz

do gás. Para que esta camada se sustente é preciso que uma variação de pressão dp

compense a gravidade, ou seja:

- Mg = Adp

como a pressão varia com z, de modo que uma variação dp corresponde a uma variação

de altitude de dZ,

dzdz

dpdp = ;

- Mgdz = Adzdp

mas Adz = V e, finalmente, temos:

Mgdz + Vdp = 0

Como estamos tratando de um suposto gás ideal pV = nRT (como veremos mais

adiante), sendo n o número de moles em V. Substituindo na equação acima p

nRTV = ,

tiramos que:

0=+p

dpnRTMgdz

ou

5

p

dpRTdz

n

Mg −=

Se a pressão P varia de Po a P quando a posição varia de Zo a z, integramos

∫∫ −=p

p

z

z p

dpRTdz

n

Mg00

(3)

Como AMn

M = é a massa molecular do gás em questão, a integral acima fornece:

( )[ ]RTzzgMAePP /

00−−=

como à temperatura constante a pressão é proporcional à densidade, pois P = densidade

x constante temos, portanto:

( ) ( )[ ]RTzzgMAz /0

0−−= ρρ

Esta equação mostra que a determinação da temperatura e do perfil de densidade

de um gás no campo gravitacional permite determinar a massa molecular (Mol) MA. Para

determinarmos No resta ainda determinarmos mA e, assim 0Nm

M

A

A = .

Perrin usou o fato que pequenas partículas suspensas num líquido comportam-se

como as moléculas de um gás apresentando um movimento aleatório e desordenado,

com a vantagem de que tais partículas poderiam ser pesadas individualmente.

6

Através da preparação de uma emulsão de partículas de látex aproximadamente

uniforme, Perrin determinou seu tamanho e peso, estabelecendo desta forma mA. Em

seguida, utilizando um microscópio, Perrin determinou a distribuição de partículas em

várias posições de emulsão colocadas no campo gravitacional. E após fazer uma

correção, devido à força feita pelo fluído sobre as partículas, a distribuição mostrou-se em

concordância com a lei exponencial acima, de onde foi possível obter o valor de MA. O

valor de No determinado por Perrin foi de 6,8 x 1023, que é um resultado bastante bom

considerando-se as condições em que o experimento foi realizado. Este valor nos dá uma

boa ordem de grandeza da dimensão atômica, cerca de 10-23 do mundo macroscópio, em

termos de massa ou volume. Portanto, aproximadamente 10-8 em dimensão linear.

A contribuição de Perrin não parou na determinação do número de Avogadro.

Inúmeros estudos envolvendo o chamado movimento Browniano permitiram a Perrin

demonstrar a existência dos átomos e receber o Prêmio Nobel de Física em 1926.

No movimento Browniano (descoberto em 1827, pelo botânico Brown), partículas

pequenas situadas num líquido, ficam animadas de um movimento desordenado,

interminável. Perrin conseguiu associar este movimento com existência de átomos no

líquido e de sua interação com as partículas sólidas observadas. O movimento Browniano

será visto em detalhes, mais adiante no curso.

III.3 - Constituintes Atômicos: A Descoberta do Elé tron

J. J. Thomson (1856 - 1940)

A hipótese atomística da matéria culminou com a determinação dos constituintes

do átomo e a de algumas de suas propriedades básicas.

Uma das interessantes descobertas no final do século passado foram os raios

catódicos provenientes do cátodo (polo -) migrando para polo positivo (ânodo) durante

7

descargas elétricas em gases a baixas pressões. Neste tipo de descarga utiliza-se uma

ampola evacuada onde estabelece-se uma diferença de potencial entre o cátodo e o

ânodo (ver fig.1) de alguns milhares de Volts. Observa-se, na região da ampola à frente

do cátodo, uma luminosidade esverdeada no vidro. Se o caminho do cátodo é obstruído a

luminosidade desaparece. Dai a associação do efeito com os "raios" provenientes do

cátodo, de onde provém o nome raios catódicos.

Crookes, em 1879, fez uma série de experimentos com raios catódicos

determinando grande parte de suas propriedades básicas, incluindo sua constituição,

através da deflexão de tais raios quando na presença de um campo magnético, etc.

Fig. 1 - Sistema para produção de raios catódicos

Em 1897 o físico inglês J. Thompson realizou vários experimentos com raios

catódicos, determinando que tais raios eram constituídos de partículas com cargas

negativas. Além disto, Thompson realizou um importante experimento de deflexão destes

raios por campos elétricos e magnéticos que determinou a relação carga/massa destas

partículas. Chamemos de q a carga destas partículas e vamos estudar sua deflexão por

campos.

O experimento que vamos descrever consiste em fazer o feixe de raios catódicos

de uma ampola de Crookes passar através de campos elétricos e/ou magnéticos, de

modo que através da deflexão do feixe pela ação dos campos, possamos determinar a

constituição do feixe. Assim, considere o arranjo mostrado na fig. 2 onde o feixe catódico

passa pelo interior de um capacitor de placas paralelas.

8

Fig. 2 - Deflexão de feixe de partículas por campo elétrico.

Quando o feixe de partículas negativas penetra no interior do capacitor de

comprimento b, cujo campo elétrico é E , estas partículas são defletidas pelo campo num

processo envolvendo aceleração constante. O campo atuará sobre tais partículas

enquanto elas permanecem no interior do capacitor. Após isto, seu movimento continua

retilíneo e uniforme até atingir a tela da ampola. Nesta parte final da ampola existe uma

camada de um material fluorescente que revela a posição de impacto do feixe, permitindo

assim observar o efeito dos campos sobre o feixe.

Para o movimento no interior do capacitor, sendo vox a velocidade inicial das

partículas do feixe (suposto na direção x), e q sua carga. A aceleração na direção y (do

campo) será:

m

Eqay = (5)

de modo que a posição vertical da partícula passa a depender do tempo segundo:

2

2

1tay y= (6)

e sua posição horizontal

x = vox t

Da combinação destas equações tiramos a trajetória parabólica do feixe:

9

( )2

2

2

1

oxv

x

m

Eqxy =

No ponto x = b (final das placas e, portanto, de atuação do campo), a inclinação da

trajetória é:

22oxbxoxbx mv

Eqb

v

x

m

Eq

dx

dy =

=

=−

(7)

e como x = b representa o final do campo elétrico, a partir deste ponto as partículas

continuarão numa trajetória linear cuja inclinação é dada por esta última relação. Na

posição onde o campo elétrico deixa de atuar, o deslocamento vertical vale:

( )2

2

2

1

oxv

b

m

Eqby = (8)

Considerando que a partir deste ponto temos uma trajetória retilínea, vamos supor

que para x > b:

y(x) = ax - β (9)

de modo que temos y = 0 em a

xβ=

Para determinarmos αβ

, sabemos que 2oxb mv

Eqb

dx

dy =

=α (inclinação) e usando o

ponto y(b) acima, tiramos 2

b=αβ

. Assim, a extensão da trajetória retilínea da partícula,

após o capacitor, cruza o eixo x em 2

bx = .

Com isto, a equação da trajetória após passar pelo capacitor é:

( )

−=22

bx

v

b

m

Eqxy

ox

(10)

10

válida somente para x > b. Deste modo, o ponto onde tal feixe chegará na tela (final da

ampola) posicionada em x = L é

( )

−=22

bL

v

b

m

EqLy

ox

(11)

que quase determina a relação q/m, exceto pelo não conhecimento da velocidade inicial

vox.

Para determinarmos vox, superpomos ao sistema um campo magnético na direção

de z, perpendicular ao esquema da figura 2. Este campo magnético agirá sobre a carga

quando esta desloca-se com vox produzindo uma força magnética exatamente oposta à

força elétrica (ver figura 3). Assim, podemos continuamente aumentar este campo

(através do aumento na corrente da bobina geradora), até que a força elétrica é

completamente compensada pela magnética. (Neste ponto Fmg=FeL).

A força magnética sobre q é dada por:

Bxvc

qFmg = (12)

de modo que igualando a força elétrica, obtemos:

0B

E

c

vox = (13)

Neste ponto, nenhuma deflexão é observada no feixe. Com este valor de vox, a

relação carga massa fica determinada pela equação:

( )

−

=2/2

0

2

bL

Ly

bB

Ec

m

q (14)

11

Fig. 3 - Composição de forças sobre a partícula carregada

Resumindo: para determinarmos a relação q/m dos raios catódicos o procedimento

é: para B = 0 e E conhecido, determinamos y (L). Aumentando a corrente nas bobinas

determinamos o campo magnético 0B onde o feixe não é defletido, isto é, atinge o ponto

x = L, y = 0. Com estes valores e conhecendo a geometria do sistema, determinamos q/m.

Utilizando-se deste método Thonson determinou que para os raios catódicos:

q/m = 1,76 x 1011 col/kg

O método descrito acima é conhecido como método de Thonson para medida

de q/m.

Este valor foi profundamente importante, pois observou-se que ele era cerca de

2000 vezes maior que o maior valor q/m conhecido para um sistema iônico (no caso

hidrogênio),

kgcoulxm

q

H

H /1057,9 7=

valor este determinado de outra forma (como por exemplo, em eletrólise). Isto mostrava

que provavelmente a massa das partículas que constituíam os raios catódicos eram cerca

de 2000 x menor do que átomo (em massa) conhecido. Este resultado teve importância

na descoberta do elétron como constituinte do átomo. Assim, os raios catódicos nada

mais são do que feixes de elétrons e o método de Thonson permite a determinação de

e/m, onde e é a carga elementar.

12

A carga do elétron (e), é sem dúvida uma das mais importantes grandezas, pois

dela depende a maioria das propriedades atômicas, elétricas, dos sólidos e as principais

características da estrutura interna do átomo.

A fim de medir a carga e, Millikan em 1911 realizou um experimento que consistia

em observar partículas carregadas migrando num campo elétrico. Millikan utilizou

gotículas de óleo carregadas movendo-se entre as placas de um capacitor, como é

mostrado na figura 4.

Robert A. Millikan (1868 – 1953)

Fig. 4: Esquema para experimento de Millikan

Imagine uma gotícula de massa m, carga +q e raio r no interior do capacitor

mostrado na figura. Sobre ele teremos a força gravitacional mg, a força elétrica Eq e uma

força viscosa f (devido à ação do gás de fundo).

A força viscosa é proporcional à velocidade e ao raio da partícula, ou seja, f = krvy

(onde k é uma constante) e na ausência de campo elétrico, a equação de movimento

será:

yy krvmg

dt

dvm −= (15)

e integrando

dtgv

dv

ymkr

y =−

ou

∫∫ =+−

tv

krgm

y dtkr

m

v

dvy

00

13

de onde tiramos:

tkr

m

krgm

krgmv =+−/

/

de modo que finalmente, a variação da velocidade com o tempo é dada por:

−−= tkr

m

kr

gmVy exp1 (16)

Assim, analisando o movimento na ausência de campos, determinamos a

velocidade terminal

== ρπ 3

3

4r

kr

gm

kr

gVt onde ρ é a densidade do óleo.

Fig. 5 - Velocidade da gotícula como função do tempo

O conhecimento de vt permite a determinação do raio r da gotícula. Após esta

medida, ligamos o campo elétrico e ajusta-se o valor de Eo (através da voltagem) até que

a gotícula não mais se desloque. Neste caso, a força elétrica foi compensada pela força

gravitacional e a força viscosa desaparece, já que o movimento foi interrompido.

ρπ grqE 30 3

4=

ou seja:

0

3

3

4

E

grq

ρπ= (17)

14

Da velocidade terminal que medimos previamente tiramos 2

1

34

=

g

hvr t

πρ de modo

que a carga da gotícula é :

0

23

23

21

4

3

E

vk

gq t

=

πρ (18)

As constantes envolvidas ( ρ e k) podem ser determinadas de formas diversas e

simples, permitindo assim a obtenção de q.

Fazendo várias determinações, Millikan obteve valores como: 8.2 x 10-19C, 11.49 x

10-19C, 13.13 x 10-19C, 16 x 10-19C, 6.4 x 10-19C, notando que a diferença entre qualquer

um destes valores era um número inteiro vezes o valor 1.6 x 10-19C. Assim, ele concluiu

que a menor carga capaz de estar ali era:

e = 1.6 x 10-19 C

e que todas outras eram múltiplos desta quantidade. Desta forma esta carga foi associada

ao elétron , e passou a ser a carga elementar. Com o conhecimento de e, podemos voltar

ao resultado de Thonson e determinar que a massa do elétron é:

m = 9.1 x 10-31 kg

O conhecimento dos constituintes atômicos e de suas propriedades foram

fundamentais para o estabelecimento da Física Moderna.

III.4 - Introdução à Teoria Cinética dos Gases

No século 19, as idéias atomísticas adquiriram bastante aceitação, pois descreviam

bem as propriedades cinéticas dos gases e apresentavam ramificações na mecânica

estatística e a outras partes da Física.

As propriedades que inicialmente foram explicadas, considerando o gás como

constituído de átomos e moléculas, eram totalmente insensíveis à existência de uma

estrutura interna nestas entidades. A visualização dos átomos como esferas duras,

15

preenchia totalmente as necessidades básicas para explicar a cinética dos gases. Esta

idéia do átomo perdurou consideravelmente na atomística do século 19.

A primeira constatação de que os gases eram constituídos de átomos ou moléculas

foi feito por L. Dunoyer em 1811. Em seu experimento esquematizado na fig. 6, sódio

metálico foi colocado no fundo de um tubo evacuado contendo duas repartições com

pequenos orifícios.

Fig. 6 - Experimento de Dunoyer

Após algum tempo de aquecimento do metal, observou-se no outro extremo do

sistema a imagem do segundo orifício. Este experimento proporcionou todas as

indicações que os constituintes do vapor metálico eram partículas que projetavam-se

balisticamente.

Após a conclusão de que o gás é constituído de partículas cujo comportamento é

balístico, partiu-se para a obtenção das equações de estado de um gás ideal à partir das

leis básicas da mecânica. Para isto, imaginemos um recipiente que contenha um

determinado gás e fixemos nossa atenção nas colisões que as moléculas deste gás

realizam com uma determinada porção da superfície. Nestas colisões, há transferência de

momentum dos átomos para a superfície. A média temporal destas colisões é que gera a

força que por unidade de área é conhecida como pressão do gás sobre as paredes.

A contribuição de cada átomo que colide com a superfície para a pressão do gás, é

igual à mudança do momentum do respectivo átomo (ou molécula) com o impacto.

Consideremos uma molécula de velocidade v colidindo com a superfície segundo um

16

ângulo Θ como a fig. 7, onde mostramos o ângulo e o elemento de superfície de valor dA.

Supondo uma reflexão total do átomo na superfície, temos que o momentum transferido

para cada átomo (molécula) que colide é dado por:

Θ=∆ cos2mvρ

Vamos chamar de x, y as coordenadas ao longo da superfície e z a coordenada

normal à superfície.

Fig. 7 - Colisão de uma molécula com a parede.

Neste caso, havendo reflexão total, o momentum transferido pode ser escrito

como:

zmv2=∆ρ (20)

onde m é a massa de cada molécula e a velocidade é escrita como: ( )zyx vvvv ,,= .

Somente a componente perpendicular à superfície é que contribui para a transferência de

momento.

Para considerarmos o efeito de todas as colisões sobre a parede, construímos um

cilindro oblíquo sobre o elemento de área dA, como mostrado na figura 8.

17

Fig. 8 - Elemento de volume que contém as moléculas que colidirão

Se quisermos analisar todas as moléculas que colidem com o elemento de área

durante um intervalo de tempo ∆t, tomamos a aresta do cilindro contendo v∆t, de modo

que todas as moléculas propagando-se de encontro com a superfície que estejam

contidas no cilindro, colidirão, no intervalo ∆t.

Se o gás que estamos considerando, tem uma densidade n, o número total de

molécula no interior do cilindro considerado é n x volume = n.v ∆t cos Θ dA.

Assim,

no. moléculas = nvz ∆tdA

Este, evidentemente, é o número total de moléculas contidas neste elemento de

volume. Não sabemos nada a respeito de como elas estão distribuídas com respeito a

sua velocidade. Vamos, então, introduzir um novo conceito que é a densidade de

partículas no espaço de velocidades. Assim, vamos chamar de g o número de átomos por

unidade de volume, com velocidades entre vx e vx + dvx, vy e vy + dvy, vz e vz + dvz. Assim,

g corresponde à densidade de átomos no espaço real e no espaço de velocidades. Com

este novo conceito, a densidade de partículas (n) nada mais é do que uma soma sobre as

várias possíveis velocidades, ou seja:

∫∫∞

∞−

∞

∞−== gdwdvdvdvn zyx (21)

onde dw = dvx dvy dvz = d3v denota um elemento de volume no espaço de velocidades. O

número total de partículas contidas num volume V, seria uma integração em volume e

velocidade, ou seja:

18

∫∞

∞−= gdwdxdydzN (22)

onde gdvxdvydvz = número de moléculas com velocidades no intervalo [vx - vx + dvx, vy +

dvy, vz - vz + dvz].

Supondo que todas as partículas no interior do cilindro com velocidade entre (vx, vy,

vz) e (vx + dvx, vy + dvy, vz + dvz) atingirão a superfície, o número de moléculas colidindo

no tempo ∆t é:

(no. em ∆t) = gvz ∆tdwdA (23)

Isto é, de todas selecionamos agora aquela fração que tem velocidade ao redor de

vz.

Como já sabemos, a contribuição de cada molécula para o momento transferido é dado

por:

dp = 2vzm (no. em ∆t) vx, vy, vz

ou seja, como ∆ t → dt,

dp = 2mgvz2dAdwdf (24)

Assim, este momentum é a contribuição de moléculas com velocidade ao redor de

(vx, vy, vz). É claro que para garantirmos a colisão devemos requerer que a molécula

esteja se aproximando da superfície, o que nos restringe a considerar somente as

moléculas com vz < 0.

Se quisermos o momentum transferido devido às moléculas com as várias

diferentes velocidades teremos que somar todas as contribuições, ou seja:

∫

∫ ∫ ∫∫

∠

∠

∆=

=

0

0

2

2

2

2

z

z x y

v z

v v v zyxzidadestodasveloc

tdAdwgvmp

dvdvdAdvmgvdp (25)

Vamos aqui fazer um pequeno parênteses para introduzir o conceito de velocidade

média. Como dissemos, g representa a quantidade de moléculas por volume e por

19

velocidade. Assim, g depende da velocidade que estamos considerando e quanto maior é

seu valor, maior é o número de moléculas existentes com aquela determinada velocidade.

Definimos os valores médios das velocidades quadráticas como:

∫∞

∞−= zyxzz dvdvdvgv

nv 22 1

(26)

ou de um modo geral, para qualquer componente de velocidades,

∫∞

∞−= dwgv

nv ii

22 1

Isto advém do fato que ( )ivn

dwg ρ= que é a probabilidade da partícula ter (vx, vy, vz) no

intervalo dw, de modo que a soma vi2 P (vi) representa o valor médio da velocidade.

Como g é uma função par ∫∫∠

=∞

∞− 0

22 2iv ii dwgvdwgv , de modo que a expressão para o

momento total transmitido à superfície é dada por:

∫ ∠∆=

0

22zv z tdwdAgv

nnmp (27)

que usando definição de 2zv fica, tdAvnmp z∆=

2.

Como tdA

p

∆ é a pressão total sobre a superfície P, temos que:

2zvnmP =

que é uma expressão que conecta uma grandeza macroscópica (pressão) com as

propriedades microscópicas de seus constituintes.

Ainda não sabemos o valor de 2zv , mas se usarmos o fato que o gás é

perfeitamente isotrópico de modo que todas as direções são equivalentes, para o

movimento atômico, temos que;

20

222zyx vvv ==

e como

222222

3

1vvvvvv zzyx =→++= (28)

Assim, em termos da velocidade quadrática média, a pressão do gás é dada por:

3

2vnm

P = (29)

e se usarmos a definição de energia cinética 2

2

1vmK c = para uma única molécula, temos:

cnKP3

2= (30)

A equação acima mostra claramente que a pressão é resultado do fato que as

moléculas do gás apresentam movimento translacional (ou seja, energia cinética). Além

disto, a comparação deste resultado com a lei dos gases ideais, já conhecido, nos permite

obter uma definição cinética para a temperatura de um gás.

Como sabemos, V

Nn = , o que nos permite escrever a equação acima na forma:

cNKPV3

2= (31)

Se compararmos esta expressão com a famosa lei de Clapeyron PV = NKT obtida

experimentalmente, vemos que:

KTK c 2

3=

onde K é a constante de Boltzmann (K = 1.38 x 10-16 ergs/K) e T a temperatura na escala

absoluta. Esta relação nos mostra que a temperatura de um gás nada mais é senão uma

21

medida direta da energia cinética de cada um dos seus constituintes. É claro que estamos

tratando da energia cinética média. Esta definição é conhecida como definição cinética

da temperatura.

Notemos que o fator numérico 3 adveio do fato de estarmos tratando de um gás

em três dimensões de modo que tivemos que repartir 1/3 da velocidade quadrática média

para cada dimensão e para cada uma destas coube a parte ½ KT .

Este resultado, de uma forma mais geral, é chamado de teorema de eqüipartição

de energia , e estabelece que para cada grau de liberdade da energia com dependência

quadrática no momento ou na coordenada, deveremos alocar ½ KT de energia, quando

este sistema está em equilíbrio térmico à temperatura T. No caso do gás livre em questão

a energia é dada por:

m

p

m

p

m

pE zyx

222

222

++=

de modo que temos três graus de liberdade quadráticos no momento (px, py, px) e,

portanto, a energia média das partículas deste gás está relacionada com a temperatura

pela relação:

KTKTxEKTKTxE2

3

2

13

2

3

2

13 ====

O teorema de eqüipartição de energia é bastante importante em Física e mereceria

um capítulo a parte, por esta razão este tópico deverá ser considerado em maiores

detalhes em cursos mais avançados.

Para fixar melhor este conceito, vamos considerar alguns exemplos. Imagine um

corpo ligado a seis molas flexíveis como indicado na fig. 9. Queremos saber a relação

entre a energia média e a temperatura.

22

Fig. 9 - O Oscilador tridimensional

Escrevendo a energia do sistema temos:

222222

2

1

2

1

2

1

222kzkykx

m

p

m

p

m

pE zyx +++++=

Assim, temos seis graus de liberdade com dependência quadrática para a energia total do

sistema. Deste modo, KTKTE 32

16 =

= .

Um segundo exemplo está mostrado na figura 10. Duas massas conectadas

por uma mola flexível tem liberdade de deslocar-se ao longo do eixo x.

Fig. 10 - Massas acopladas, livres para deslocar na direção x

Neste caso, todo movimento do sistema pode ser escrito em termos de duas

coordenadas: o centro de massa 2

21 xxXCM

+= e a coordenada relativa entre as massas

221 xx

xrei

−= . A energia do sistema é, então:

µµ 22

1

2

22

2

reirei

x pkx

pE CM ++=

23

onde 2

m=µ é a massa reduzida. A existência de 3 graus de liberdade quadrática na

energia faz que

KTKTE2

3

2

13 =

=

Caso este sistema possa se deslocar espacialmente, então o momento do centro de

massa representa 3 graus (Px, Py, Pz) de modo que KTE2

5= .

Voltando ao caso do gás de partículas livres, com relação a relação da energia

cinética, podemos calcular a velocidade média de seus constituintes. Seja gás He cuja

massa molar é 4g. Assim, a temperatura ambiente (298 K)

2981038.12

3

1002.26

4

2

1

2

3

2

1 162

23

2 −=⇒= xvx

KTvm

de onde tiramos smv /13602

≅ como sendo a velocidade média dos átomos de hélio à

temperatura ambiente. Se tivermos, por exemplo, gás argônio que é da ordem de 10

vezes mais pesado que He, teremos um fator de 10 na velocidade, ou seja

Ar

v

2~ 430 m/s. Se considerarmos o ar que respiramos, que é basicamente constituído

de N2, teremos um fator de 7 , já que a massa molecular deste composto é 28. Isto nos

leva à:

smvN

/5142

2≅

que é muito superior à velocidade do som no ar (340m/s). Assim, as perturbações

sonoras (à 298 K) propagam-se com velocidade inferior à média das moléculas.

Vamos imaginar um número No (de Avogadro) de moléculas contidas num

recipiente. Neste caso, sendo o gás ideal, a energia interna do sistema é a soma da

energia cinética de todas as moléculas, já que este é o único tipo de energia presente.

24

KTNU2

30= (33)

Como NoK = R é a constante dos gases a energia total do sistema é dada por:

RTU2

3=

Com esta expressão podemos calcular o calor específico a volume constante para

este Mol de gás e temos:

RdT

dUCv

r 2

3=

= (34)

Como R ~ 2cal/Mol, tiramos Cv ~ 3cal/MolK. Como será visto uma quantidade

importante em termodinâmica é a razão entre Cp (valor específico à P constante) e Cv.

Utilizando a relação

Cp - Cv = R (35)

tiramos:

66.111 ≅+==⇒=−Cv

R

Cv

Cp

Cv

R

Cv

Cp γ

O valor 3 cal/Mol K para o calor específico, vale somente para o gás ideal. Olhando

para os valores experimentais do calor específico de alguns gases rais, podemos

observar um desvio deste valor.

25

Tabela 1 – Dados a 300 K

Os gases monoatômicos apresentam a capacidade térmica bastante próxima do

valor ideal calculado. No entanto, ao passarmos para gases constituídos de dois átomos o

valor não mais concorda. Aumentando-se o número de átomos, o valor ce Cv fica ainda

mais longe do valor calculado. A razão desta discrepância advém primordialmente de

termos tratados moléculas com mais átomos como sendo um sistema rígido sem energia

interna.

A idéia discutida acima deve ser levemente modificada quando tratamos de

moléculas poliatômicas. É claro que o número de átomos na molécula não altera

grandemente a lei dos gases que relaciona pressão, volume e temperatura, já que

somente a translação da molécula é importante na determinação da pressão. O número

de átomos na molécula não altera grandemente este modelo. Ao tratarmos moléculas

poliatômicas, além das moléculas poderem apresentar energia na forma de energia

cinética translacional, elas podem também alocar energia para vibrações e rotações .

Isto equivale a dizer que o número de graus de liberdade da molécula aumentou. Pelo

teorema da eqüipartição de energia, temos que alocar ½ KT para cada termo da energia

com dependência harmônica, i.e. quadrática, em momento ou coordenada.

Vamos considerar uma molécula diatômica a qual visualizaremos como sendo

duas massas separadas por uma mola. Semelhante ao exemplo da fig. 10, porém, agora

com movimento tridimensional.

26

Fig. 11 - Modelo para molécula diatômica

Além das três translações possíveis (ao longo x, y, z) do centro de massa, o

sistema pode agora rodar ao redor de dois dos três eixos principais, produzindo termos de

energias do tipo

2

2

1xxl ω e 2

2

1zzl ω

como se fosse um rotor rígido. Isto corresponde à adição de 2 graus de liberdade ao

sistema, que agora passa a ter 5 graus. Como a energia térmica é igualmente distribuída

nestas possibilidades,

KTNKTNxU 00 2

5

2

15 ==

ou RTU2

5=

e obtemos para o calor específico

RdT

dUCv

v 2

5=

=

(Cv)diatômica ~ 5cal/molK (devido a rotação)

quando translação e rotação são consideradas.

27

Além da rotação, ainda temos que considerar os graus de liberdade vibracionais

que no caso são 2 (energia vibracional = 22

2

1

2Kx

xm + ). Isto levaria a um total de 7 graus

de liberdade ou KTE2

7= .

Se fizermos um gráfico do calor específico (Cv) versus temperatura para um gás

diatômico, por exemplo o H2, obtemos o gráfico da figura 12.

Fig. 12 - Variação do calor específico de um gás diatômico com a temperatura

Mesmo tratando-se de uma molécula diatômica, para baixas temperaturas, o calor

específico tem valor próximo das 3cal/molK encontrado para um gás monoatômico. As

mais altas temperaturas, Cv assume seu valor 5cal/molK que é calculado quando levamos

em conta as rotações e finalmente para mais altas temperaturas o valor é 7cal/moIK, que

é o valor encontrado quando rotação e vibrações são levadas em conta. O

comportamento mostrado tem por razão que as baixas temperaturas a energia térmica

não é suficiente para realizar rotações ou vibrações das moléculas e a energia é

predominante acumulada nos graus de liberdade translacionais. Ao atingirmos

temperaturas moderadas (500 K) a energia rotacional passa a ser compatível com KT e,

portanto, este grau de liberdade começa a reter energia. Somente as temperaturas mais

elevadas é que KT passa a ser da ordem da energia de vibração

2

2

1Kx e o sistema

passa a realizar vibrações, e neste caso, este grau de liberdade passa também a ser

excitado, acumulando energia. Cada tipo de excitação da molécula tem seu valor

característico de energia, e sua manifestação só ocorre quando KT passa a ser

compatível a este valor.

28

Este resultado aproxima-se bastante dos valores experimentais medidos para

moléculas diatômicas a 300 K mostrados na tabela 1.

À medida que aumentamos o número de átomos da molécula, aumentamos

simultaneamente o número de graus de liberdade, aumentando, portanto, o calor

específico como observado com a molécula de éter mostrada na tabela.

III.5 - A Distribuição de Velocidade nos Gases

Ao analisarmos a equação dos gases ideais, dissemos brevemente que as

moléculas de um gás devem ter velocidades diferentes obedecendo certa distribuição.

Assim, para cada valor de velocidade que tomamos temos associado a ele um número

(ou densidade) de moléculas. Como este valor varia continuamente, dizemos que temos

uma distribuição continua de velocidades. Para o cálculo da maioria das propriedades

macroscópicas que já mencionamos (pressão, energia, etc), não precisamos conhecer

esta distribuição explicitamente, pois tais grandezas dependem sempre de valores médios

de velocidade e energia. No entanto, em muitos casos, o conhecimento da distribuição se

faz necessário. Assim seja a distribuição Nƒ(vx) mostrada na fig. 13 para um gás contido

num determinado volume.

Fig. 13 - Distribuição de velocidades

Vamos analisar este exemplo a fim de ficarmos familiarizados com o conceito de

distribuição de velocidades.

Esta distribuição nos diz que teremos nenhuma molécula com velocidade nula e, à

medida que aumentamos o valor da velocidade, encontramos mais moléculas até a

velocidade de 500 m/s onde o número encontrado para esta velocidade máxima (=100) e

29

a partir desta velocidade o número novamente cairá chegando a 10 moléculas com

velocidade 1000 m/s, e caindo ainda mais para mais altas velocidades.

No presente caso, Nƒ(vx)dvx representa o número de moléculas com velocidades

ao redor do valor vx, ou seja, com velocidade entre vx e vx + dvx. O número de moléculas

com velocidade em cada intervalo dvx dividido pelo número total de moléculas é uma

medida da probabilidade de uma dada molécula ter velocidade no intervalo considerado.

Assim, ( ) ( )( )∫

=+→xx

xxxxx

dvvf

dvvfdvvvp . Se quisermos saber a velocidade média desta

distribuição, teremos que somar todas as velocidades com seus respectivos pesos

relativísticos, ou seja:

( )( )∫

∫=xx

xxx

dvvf

dvvfvv (37)

onde fica mais evidente que ƒ(vx) é na verdade a probabilidade de encontrarmos vx.

Qualquer grandeza ς (vx) dependente de velocidade que queiramos calcular o valor médio

pode ser calculado da mesma forma que a velocidade,

( ) ( )( )∫

∫=xx

xxx

dvvf

dvvfvςς (38)

O cálculo do valor médio das grandezas microscópicas de um gás é extremamente

importante, pois estes são os valores que efetivamente medimos macroscopicamente. Em

muitos casos ( ) 1=∫ xx dvvf , ou seja, a função distribuição é normalizada. Vamos mantê-la

integrando explicitamente.

A análise que fizemos acima em somente um componente da velocidade, deve ser

generalizada incluindo as 3 componentes vx, vy e vz para representar a realidade de um

gás. Mas quem é afinal a função ƒ (vx)?

O procedimento matemático que usaremos a seguir para obter a distribuição de

velocidades num gás ideal foi originalmente usada por Maxwell em 1860 .

Seja um gás formado por N moléculas, contido num recipiente de paredes rígidas.

Tomemos uma determinada molécula que apresenta velocidade V com componentes vx,

30

vy e vz. Se perguntarmos quantas moléculas apresentam velocidade cujo componente x

cai entre os valores vx e (vx + dvx) a resposta seria Nƒ (vx) dvx, de modo que ƒ(vx) dvx é

exatamente a probabilidade que, ao tomarmos uma molécula, ela tenha vx no intervalo

considerado. Como o gás não pode ter uma direção preferencial já que as moléculas

movem-se de uma forma aleatória e todas as direções são igualmente prováveis, a

mesma dependência funcional ƒ(vx) deve ser encontrada ao analisarmos o número de

moléculas com determinado valor de velocidade para outras componentes. Ou seja, a

probabilidade de velocidades entre vy e vy + dvy e vz e vz + dvz serão também

representadas por ƒ(vy)dvy e ƒ(vz)dvz, tendo, portanto, a mesma dependência funcional ƒ.

Assim, se perguntarmos qual é a probabilidade de encontrarmos uma molécula

com velocidade cujas componentes caem entre vx → vx + dvx, vy → vy + dvy e vz → vz +

dvz teremos que multiplicar os valores mencionados acima (como normalmente é feito

com probabilidades), ou seja:

ƒ(vx) ƒ(vy) ƒ(vz) dvx dvy dvz

é a probabilidade de uma molécula ter vetor velocidade V com sua extremidade

localizada dentro de um cubo de volume dvxdvydvz e centrado no valor V , como

esquematizado na fig. 14.

Fig. 14 - Espaço de velocidades mostrando o vetor V e o volume dvxdvydvz

Chamando este elemento de volume, no espaço de velocidades de dw = dvxdvydvz

e, usando a isotropia da distribuição de velocidades de modo que o que deve diferenciar a

31

probabilidade das moléculas é o valor absoluto da velocidade e não a direção, podemos

escrever a equação acima como:

F (v) dw (40)

onde F(v) é agora uma nova função que só depende do módulo da velocidade e deve ser

igual ao produto dos ƒ definido na primeira equação.

Assim

( ) ( ) ( ) ( )zyxzyx vfvfvfvvvF =++ 222 (41)

Esta última equação foi obtida apenas utilizando a isotropia do gás e o problema

para determinar sua dependência funcional explicita passa a ser puramente matemático.

Inicialmente tomemos a derivada da equação acima com respeito à vx, obtendo

( ) ( ) ( ) ( )zyx

zyx

x vfvfvfvFvvv

v''''

222=

++ (42)

e ao dividirmos (42) por (41)

( )( )

( )( )x

xx

vf

vf

vF

vF

v

v '' = (43)

ou seja

( )( )

( )( )x

x

x vf

vf

vvF

vF

v

'1'1 = (44)

Nesta última equação, o primeiro termo só depende de v enquanto o segundo só

de vx. Isto poderia ter sido feito para qualquer das componentes vy e vz e obteríamos o

mesmo resultado. A única forma desta última equação ser verdadeira para quaisquer

valores de v e vx, é ser igual a uma constante que chamaremos, por convivência, de γ2− .

Assim:

32

( )( ) γ2'1 −=

x

x

x vf

vf

v (45)

e através de uma simples integração, obtemos:

xxdvvf

df γ2−=

e, integrando, tiramos:

( ) 2xv

x eevf γα −= , onde αe é a constante de integração.

Chamando αe = A, a equação toma a forma ( ) 2xrv

x Aevf −= , que é uma Gaussiana

centrada na origem.

Com isto obtemos que a distribuição F (vx, vy, vz), através de (41),

( ) 2223,, zyx vvvzyx eeeAvvvF γγγ −−−= (46)

como 2222 vvvv zyx =++ , (46) torna-se:

( ) 23 veAvF γ−= (47)

Como discutimos anteriormente esta função F (v) dw representa a probabilidade de

encontrarmos num gás uma molécula com velocidade cujo módulo seja v flutuando ao

seu valor no interior de um cubo de valor dw no espaço das velocidades. Se

multiplicarmos pelo número total de partículas do gás teremos quantas moléculas

apresentam o valor da velocidade com esta característica.

A fim de determinarmos a constante γ , vamos calcular o valor médio da velocidade

vx e utilizarmos o que já conhecemos de xv .

( ) ( ) xxxxxx dvvfdvvfvv ∫∫∞

∞−

∞

∞−= /

33

que resulta, obviamente em xv = 0 como esperado, pois já que todas as direções são

igualmente prováveis, o mesmo número de moléculas deverão estar deslocando-se na

direção +x e -x com o mesmo valor de vx, resultando numa média nula.

Vamos, então, calcular 2xv . Neste caso:

( )( )∫

∫∞

∞−

∞

∞−=xx

xxxx

dvvf

dvvfvv

22

e utilizando as expressões acima

xv

xv

xx

dveA

dvevAv

x

x

∫∫

−

∞

∞−

−

= 2

222

γ

γ

A integral do tipo 2/1

2 2

=−∞+

∞−∫ γπςς ς de r pode ser facilmente executada, e derivando

com respeito a γ , tiramos

2/3

2/12

2

12

γπςς γς =−∞+

∞−∫ de

Assim, usando estes resultados

γγπγπ 1

2

1

/

/2/12/1

2/32/121

2==xv

e do teorema de eqüipartição de energia, já discutido anteriormente para o gás ideal,

KTvm x2

1

2

1 2=

ou seja,

KT

mKTm

22

11

2

1

2

1 =⇒= γγ

(48)

34

A determinação da constante A pode ser feita do fato que ƒ(vx) dvx representa a

probabilidade de encontrar a molécula com vx entre vx e vx + dvx, de modo que a soma

sobre todas possíveis velocidades deve fornecer a unidade, ou seja:

( ) 1=∫∞

∞− xx dvvf

2/12/1

1

=→=

πγ

γπ

AA ou 2/1

2

=KT

mA

π

Assim, com todas estas determinações, nossa função distribuição fica

( )

−

=KT

mv

KT

mvF

22/3

2

1exp

2π (49)

Esta expressão é conhecida como função distribuição de velocidade de Maxwell .

Fig. 15 - elemento de volume no espaço de velocidades

Como vimos, é de extrema importância mantermos a notação vetorial através das

componentes vx, vy e vz. Se, ao invés deste vetor velocidade quisermos estudar a

distribuição de velocidade em termos de seu valor absoluto v, devemos considerar o fato

que todas as direções são igualmente prováveis e, portanto, o elemento de volume dw a

ser estudado deverá ser uma casca esférica de raio v e espessura dv (no espaço de

velocidades com eixos vx, vy e vz), como indicado na fig. 15. Desta forma estaremos

levando em conta todas as possíveis direções.

O elemento de volume dw representado tem valor dvvdw 24π= e, portanto, se

perguntarmos, agora, qual é a probabilidade de encontrarmos, no gás considerado, uma

35

molécula com velocidade de valor absoluto (ou módulo) entre v e v + dv

independentemente de sua direção , encontraríamos:

( ) KTmv

eKT

mvv 2

22/3

2

24

−

=π

πφ (50)

ou seja,

( ) ( ) ( )dwvFvdvFvdvv == 24πφ

Evidentemente, para esta nova distribuição que encontramos, o valor de v só pode

variar de zero até + ∞. Esta nova distribuição não é mais Gaussiana . O gráfico desta

distribuição está mostrado na fig. 16.

Fig. 16 - Distribuição Φ (v)

Utilizando esta distribuição, podemos calcular o valor mais provável da

velocidade (v m) que é aquele presente num número maior de moléculas. Como ele

corresponde ao máximo da distribuição, seu valor pode ser determinado por:

( )0=

dv

vdφ

m

KTv

KT

mvv m

20

222 35 =⇒=− (51)

O valor médio da velocidade (v ), é calculado como já discutido

36

( )

( ) m

KTv

KTmKT

m

dvevKT

mdvvvv KT

mv

212,1

2/2

1

24

24

2

2/3

0

3

0

3/2

22

==

=

=

== ∫∫∞ −∞

ππ

ππφ

(52)

Da mesma forma podemos determinar a velocidade quadrática média (v rms )

m

KTv

dvevKT

mvv

rms

rmsKT

mv

222,1

24

0

42/1

22

2

=

== ∫∞ −

ππ

(53)

Com esta função, o valor médio de qualquer grandeza η (v) que depende da

velocidade é:

( ) ( ) ( )dvvvv φηη ∫∞

=0

(54)

Devido às contribuições apreciáveis de Boltzmann, a distribuição é denominada de

distribuição de Maxwell-Boltzmann.

Como visto, a distribuição de Maxwell-Boltzmann depende da temperatura, e a

medida em que T aumenta, o valor de vm aumenta. Porém, o valor da distribuição naquele

ponto diminui, conservando a propriedade ( ) 10

=∫∞

dvvφ . Assim, quanto maior a

temperatura, mais espalhada é a distribuição de velocidades, ou seja, maior é a dispersão

da distribuição.

Fig. 17 - Distribuição a diferentes temperaturas

37

Ao invés de perguntarmos a respeito da distribuição de velocidade, podemos estar

interessados diretamente na distribuição com respeito à sua energia. Para o caso do gás

ideal, a velocidade e energia das partículas estão relacionadas através da relação.

2

2

1mvE =

de modo que podemos converter diretamente a distribuição de velocidades para energia.

A probabilidade de encontrarmos uma molécula com velocidade no intervalo v → v + dv é

φ (v)dv, assim, a probabilidade de encontrarmos uma partícula com energia entre E e E +

dE é:

( ) dEdE

dve

m

E

KT

mdEE KTE /

2/32

24 −

=π

πφ

onde convertemos o elemento dvv24π em energia, sendo:

( )2/1

2/1 2

2

1/2

==mE

mEdE

d

dE

dv

resultando em:

( ) dEeEmKT

mdEE KTE /2/1

2/32/32

22

4 −

=π

πφ

ou seja:

( )( )

KTEeEKT

E /2/12/3

2 −=π

πφ

Usando esta distribuição, podemos calcular a energia média E do gás,

( )dEEEE ∫∞

=0

φ

ou seja

38

( )dEeE

KTE KTE∫

∞ −=0

/2/32/3

2

ππ

e usando a integral ( )

10

12

+

∞ +Γ=∫ naxn

a

nex com Γ sendo a conhecida função gamma, tiramos

KTE2

3=

como previsto pelo teorema de eqüipartição de energia. Este último resultado não é

dedução do teorema, já que utilizamos na determinação do valor de γ e, portanto, o

resultado acima já era esperado.

III.6 - Derivação Barométrica da Distribuição de Ve locidades de Maxwell

A dedução que fizemos anteriormente é baseada em considerações sobre a teoria

de probabilidades e a isotropia do gás considerado. Podemos, no entanto, deduzir a

distribuição de Maxwell de uma forma alternativa através da observação da variação da

pressão do gás com a altitude quando o gás está na presença do campo gravitacional,

aqui considerado como sendo homogêneo e com temperatura uniforme.

Denominemos de zero a superfície da terra e tomemos a atmosfera como sendo

um gás contínuo de densidade mássica ρ = nm. Se tomarmos uma determinada camada

de gás localizada à posição z e de espessura dz, esta camada estará sujeita às pressões

p(z+dz) e p(z) cuja diferença é equilibrada pelo peso da camada, ou seja:

dp = - ρ gdz = nmgdz

como KT

Pn = , tiramos que

dzKT

mg

P

dP =− ou ( )

−=KT

mgzopP exp

que é equivalente à (considerando temperatura homogênea):

39

n(z) = n(o)e-mgz/KT

É claro que este é um caso específico de uma situação mais global, onde as

moléculas estão sujeitas a uma energia potencial V(z) quando localizadas em (x, y, z). De

modo que a expressão mais geral tem a forma:

n(z) = Ce-v(z)/KT

A dedução barométrica da distribuição de velocidades ƒ(vz), consiste no seguinte: a

existência de uma distribuição de velocidades na posição z = 0 levaria ao estabelecimento

de um perfil de densidades n(z), quando os átomos sobem contra a gravidade em

movimento balístico. O modelo está representado na figura 18.

Para simplificar o problema, imaginemos inicialmente o gás como sendo

unidirecional, movendo-se somente na direção vertical. Neste caso, uma molécula

partindo da posição z = 0 com velocidade vo, atingiria a altura z = v02 / 2g retornando a

z = 0 onde sofrerá uma colisão totalmente elástica.

Fig. 18 - Distribuição de velocidades na superfície da terra, na direção z. As mais rápidas são lançadas até

alturas maiores e as mais lentas a alturas menores, gerando um perfil de densidade.

Se todas as moléculas tivessem a mesma velocidade v0, teríamos uma densidade

que cairia abruptamente a zero em z = v02 / 2g, além do fato que a temperatura diminuiria

linearmente, já que a velocidade diminuiria com z, atingindo T = 0 em Z = v02 / 2g (pois

gzvv f 220

2 −= e ( ) ( ) )2

2z

gmoTzT −= evidentemente isto não acontece, mostrando a

existência de uma distribuição de velocidades. Vamos chamar ƒ (vo) a distribuição de

velocidades dos átomos deixando a superfície. O número de partículas que deixa a

40

superfície com velocidade entre v0 e v0 x dv0, por unidade de área e tempo (fluxo) é dada

por:

( ) ( ) ( ) 00000 .0 vvdensidadedvvfvzntA

dNfluxo ===

∆=

Estas partículas terão sua máxima altura entre v02 /2g e (vo + dvo)

2 / 2g. O número

de partículas passando pelo plano zo = v02 / 2g é dado por n(zo) v (zo) por unidade de

tempo e área. Da mesma forma, o número de partículas cortando plano localizado em zo

+ dzo por unidade de tempo e área é:

n(zo + dzo) v (zo + dzo)

A velocidade média das moléculas v , só depende da temperatura por hipótese,

não dependendo de z, de modo que v (zo) = v (zo + dzo). A variação do fluxo de

partículas entre as duas superfícies é:

diferença fluxo = ( ) ( )[ ]vdzznzntA

dN000 +−=

∆ = átomos que conseguem atingir posição

entre Zo e Zo + dZo

( ) 000

0

dzeonKT

vmgdz

dz

dnv KT

mgz−

=−=

onde já utilizamos n(z) obtido anteriormente.

Substituindo tA

dN

∆, pelo valor calculado, obtemos a igualdade:

( ) ( ) ( ) 0/

0000 dzeon

KT

vmgdvvfvon KTmgz−=

Como mgzo = mv02 / 2 tiramos mvodvo = mgdzo e, portanto:

41

( ) KT

mvz

eKT

vmvf

2

2

1

0

−

= (56)

que é a forma unidimensional da distribuição de Maxwell

( ) KT

mv

z

z

eKT

vmvf

2

2

1−

=

onde o coeficiente é evidentemente uma constante que só depende da temperatura. Se

tivermos uma distribuição de Maxwell em z = 0, teremos para todos pontos z.

No modelo que fizemos as colisões entre as moléculas nada afetam, já que em

uma dimensão o resultado da colisão elástica é uma simples inter-troca de velocidade e

como as partículas são indistinguíveis, esta colisão não altera em nada o modelo

apresentado.

Uma pergunta natural que surge, é: como que a velocidade média pode ser

independente da posição, se a energia cinética das moléculas continuamente diminui à

medida que elas sobem? A resposta para esta pergunta é bastante simples. Lembremos

que para o cálculo da velocidade média todas as partículas, com suas velocidades são

levadas em conta. Quando uma distribuição emerge da superfície sujeita ao campo

gravitacional, as partículas mais lentas não atingem as alturas mais altas, enquanto que

as mais rápidas diminuem de velocidade mantendo, assim, a velocidade média que só

depende da temperatura e não de z. Esta também é a razão pelo qual há variação da

densidade sem variar a distribuição de velocidades.

III.7 - Colisões entre as Moléculas do Gás e o Cami nho Livre Médio

Como vimos, as moléculas dentro do gás possuem um movimento desordenado

sofrendo várias colisões com as paredes e também com as demais moléculas do gás, já

que estas não são pontuais. Se pudéssemos fotografar a trajetória de uma molécula

durante um determinado intervalo de tempo, encontraríamos uma trajetória tortuosa

composta de segmentos retilíneos de comprimentos diferentes. Cada um destes

segmentos corresponde ao intervalo do trajeto no qual a molécula desloca-se sem a

influência das demais moléculas ou das paredes do recipiente que as contém. Nos

vértices desta trajetória (pontos de encontro de cada dois segmentos) há ocorrência de

42

uma colisão mudando consideravelmente a trajetória. A existência destes pontos revela a

influência das demais moléculas sobre o movimento de uma delas.

A interação entre as moléculas do gás pode ser atrativa ou repulsiva e tem um

potencial que varia de acordo com o tipo de interação existente em cada caso. Para uma

primeira análise do problema os detalhes da interação podem ser deixados de lado e

vamos considerar as moléculas como esferas rígidas de diâmetro d. A primeira pergunta

que fazemos é: Qual é o número de colisões sofridas por uma molécula por unidade de

tempo, dentro do gás?

Fig. 19 - Trajetória tortuosa de uma molécula num gás

Seja uma partícula de diâmetro d e velocidade v deslocando-se no interior de um

gás constituído de partículas idênticas apresentando uma densidade n

(partículas/volume), veja figura 20.

Fig. 20 - Uma partícula de diâmetro d colidirá com todas contidas no cilindro

Quando a partícula desloca-se em linha reta ela colidirá com todas as outras

partículas cujos centros de massa encontram-se a uma distância menor ou igual a d da

sua linha de deslocamento. Se estivermos considerando um ∆t, a molécula original

desloca-se em média uma distância v∆t e colidirá com todas as demais partículas

contidas dentro do volume do cilindro de base de diâmetro 2d e altura v∆t. Mesmo que

43

após cada colisão haja mudança da trajetória podemos alinhar todos os segmentos da fig.

20, criando uma trajetória linear. Assim:

no. de colisões médias em tvdt ∆=∆ 2π (densidade)

no. de col em tnvdt ∆=∆ 2π

e, portanto, o número médio de colisões por unidade de tempo

no. de col. / tempo = nvd 2π (57)

A quantidade 2dπ que representa a área frontal de colisão é chamada de secção

de choque σ .

no. de colisões / tempo = vnσ (58)

Para conhecermos o tempo médio entre duas colisões consecutivas (τ ) temos que

inverter a expressão acima, obtendo:

vnστ =−1 (59)

Sendo τ o tempo médio decorrido entre duas colisões consecutivas, então a

distância média percorrida pelo átomo entre duas colisões consecutivas l é, portanto:

στ

nlvl

1=⇒= (60)

Este comprimento médio, que representa o espaço percorrido entre duas colisões

consecutivas é denominado de livre caminho médio e, como vimos, para um gás

constituído de moléculas que são consideradas esferas rígidas de diâmetro d, o livre

caminho médio é:

ndl

2

1

π= (61)

44

que é independente da temperatura e só depende do tamanho das moléculas (d) e da

densidade (n), ou da secção de choque e da densidade.

O caminho livre médio é importante para nos dar uma idéia da ordem de grandeza

da distância que a molécula consegue percorrer sem que ocorra influência das demais.

Este parâmetro é de extrema importância para o transporte de massa e de energia pelo

gás.

Como estimativa numérica, consideremos o gás hélio à temperatura ambiente e

pressão atmosférica. Pela lei dos gases ideais, podemos determinar que a densidade é,

neste caso, n = 2.7 x 1019 átomo/cm3 e se tratando de um átomo cujo diâmetro é igual a

d ≅ 2.2 Å, temos

( ) ( )192162 107.2

1

102.15

11

xcmxndl −==

π ~ 2.5 x 10-5 cm

mostrando que o caminho livre médio é cerca de 1000 vezes o tamanho atômico.

Para esta temperatura v ~ 105 cm/s de modo que o tempo entre colisões pode ser

determinado resultando em:

τ ~ 10-10 sec

Este é o tempo decorrido entre colisões consecutivas. A duração da colisão

poderia ser estimada se tomarmos 5

8

10

102,2'

−

=≅∆v

dt ~ 2.2 1013 seg, ou seja, 0.22

pico/segundos. Sendo a duração da colisão tão curta, fica difícil o estudo do que ocorre

durante seu decurso. É preciso usar técnicas modernas de pulsos curtos de luz ou

átomos lentos aprisionados para melhorar nosso entendimento sobre detalhes do

encontro atômico.

O caminho livre médio é um parâmetro bastante importante para as propriedades

de transporte de um sistema gasoso, como veremos mais adiante.

O tempo τ , normalmente chamado de tempo de relaxação , mostra que τ -1 é a

frequência de colisão. No caso acima o gás apresenta 1010 colisões/seg.

A secção de choque σ pode ser determinada a partir de experimentos de

espalhamento, o que constitui uma importante técnica de medida para tamanhos atômicos

45

e caminho livre médio. Para entendermos este tipo de medida, vamos analisar uma

determinada situação física.

Consideremos um feixe molecular propagando-se por uma região que contém

moléculas de uma outra espécie (Fig. 21). Quando as moléculas do feixe colidem com as

moléculas do gás sua trajetória normal é modificada e elas são defletidas para fora do

feixe original. Desta forma, à medida que o feixe propaga-se através do gás, a sua

intensidade (I) molecular (i.e, o número de moléculas por unidade da área e por unidade

de tempo) diminui devido às moléculas defletidas para fora. Analisando o decaimento da

intensidade deste feixe molecular ao longo de sua propagação podemos aprender muito a

respeito das colisões e do caminho livre médio e, conseqüentemente, do tamanho das

moléculas.

Seja o experimento na figura 21, onde átomos (ou moléculas) do feixe são

espalhados pelo gás contido na região A, e a intensidade do feixe é medida pelo detector

D.

Fig. 21- Espalhamento de um feixe

Considerando o feixe como constituído de partículas de diâmetro d, e o mesmo

para as partículas do alvo A. Se a densidade do alvo é n, e S é a área do feixe (área

transversal), o número de partículas incidentes sobre o alvo por unidade de tempo é lS

que, ao propagar-se por uma distância ∆x no gás passa por nS∆x moléculas do alvo (I é a

densidade do feixe). Como cada átomo apresenta uma secção choque 2dπ que é uma

área efetiva de colisão, ao percorrer a distância ∆x, cada molécula do feixe colidirá com

toda do gás no seu caminho, ou seja, de modo análogo ao que fizemos anteriormente.

no. colisões / molécula no feixe = xnd ∆2π

Como existem I(x)S moléculas / tempo incidindo,

46

no. colisões / tempo = I(x)S xnd ∆2π (62)

Tomando que em cada colisão um átomo do feixe é defletido, a diminuição de

número átomo do feixe/tempo ao passar pela fatia ∆x de gás é a diferença do fluxo de

entrada e saída, ou seja:

( ) ( )( ) ( )

ndlx

xlxxl

xndlSSxlSxxl

2

2

π

π

−=∆

−∆+∆−=−=∆+

e, tomando limite ∆x → 0 e nd 2πσ = , tiramos a equação mestra do espalhamento

nldx

dl σ−= (63)

de onde, por integração, tiramos que a intensidade do feixe decresce da forma:

( ) nxelxl σ−= 0 (64)

após propagar uma distância x no gás. Como n

lσ1=

( ) lx

elxl−

= 0 (65)

Fig. 22 - Reflexão de moléculas do feixe ao percorrerem a distância ∆x

47

Assim, medindo o fluxo de partículas do feixe após percorrerem o gás e graficando

seu logaritmo versus x, conforme a fig. 23, tiramos o livre caminho médio e,

conseqüentemente, a secção de choque ou o tamanho d das moléculas.

Fig. 23 - Determinação do livre caminho médio

III.8 - Efusão de um Gás por um Orifício

Uma das importantes aplicações da teoria cinética dos gases é o escape de um

gás por um orifício de um recipiente que contém gás a uma determinada pressão.

Seja um pequeno orifício (muito menor do que as dimensões do sistema) feito na

parede de um recipiente que contém um gás. Sendo as dimensões do orifício pequenas

comparadas com as dimensões dos recipientes, o equilíbrio existente no gás não é

grandemente afetado pela presença do orifício. Neste caso, o número de partículas que

emerge do orifício é exatamente o mesmo número que colidiria com a área ocupada pelo

orifício. Este processo é denominado de "efusão " do gás, veja figura 24.

Fig. 24 – Efusão

Consideremos um recipiente contendo gás a uma pressão P, temperatura T e

densidade n. Queremos calcular o fluxo (molécula/área tempo) que emerge por um orifício

48

de área A. A fim de calcular este número vamos tomar um elemento de área dA e achar o

número de moléculas colidindo neste elemento por unidade de tempo. Como já dissemos

anteriormente este será o número que emerge se ao invés de parede sólida houvesse ali

um orifício de mesma área.

Consideremos, inicialmente, as moléculas nas vizinhanças do elemento dA. De

todas moléculas contidas nesta vizinhança, esperamos que aquelas que se movem na

direção da superfície colidirão com ela. Assim, vamos fazer um simples modelo que

consiste em tomar aquelas moléculas que deslocam-se com velocidade média v na

direção da superfície. Durante um tempo dt, todas aquelas moléculas contidas num

cilindro de área de base dA e altera v dt colidirão. Como a densidade do gás é n e em

média somente 61 delas deslocam-se contra a superfície, temos que o número de

moléculas que colidem com dA no tempo dt é dAdtvn .61 e, portanto, o fluxo de moléculas

que emergirão do orifício de área dA é:

vndAdt

molecularno

6

1=

Este cálculo é, no entanto, apenas uma aproximação pois para sermos mais exatos

deveremos levar em conta a distribuição de velocidades e integrar sobre todo o hemisfério

interior do recipiente. Os detalhes de cálculo ficarão como exercício ao leitor e o resultado

exato que se encontra é:

vn4

10 =Φ (partículas / área tempo) (66)

para o fluxo emergente pelo orifício. Este fluxo, no caso da parede ter espessura muito

menor do que o diâmetro do orifício é uniformemente distribuído em todo o hemisfério

externo do orifício e em cada direção temos a distribuição de Maxwell para a velocidade.

Com a relação dos gases perfeitos e o valor de v para uma distribuição de

Maxwell, podemos escrever a relação acima como:

mKT

p

π20 =Φ (67)

49

Uma aplicação geral que podemos fazer da efusão é a determinação de

vazamentos em sistemas de vácuo ou pressurizados, apenas acompanhando a evolução

temporal da pressão. Analisaremos esta aplicação como exercício.

III.9 - Propriedades de Transporte de um Gás

Existem várias propriedades do sistema gasoso que são de interesse prático e que

dependem das propriedades cinéticas dos gases. Entre inúmeras destas propriedades

vamos iniciar analisando a condução térmica , fenômeno pelo qual um gás é capaz de

transportar energia de um ponto a outro. A fim de estudarmos este fenômeno e

determinarmos a capacidade de um gás em transportar energia, vamos considerar um

sistema que não está em equilíbrio térmico, de modo que partes diferentes podem estar a

temperaturas diferentes. Embora em não equilíbrio, vamos manter o sistema num estado

estacionário , de modo que a configuração térmica das várias partes do sistema não são

alterados com o passar do tempo. Por exemplo, consideremos um gás em contato com

dois reservatórios à temperaturas T1 e T2, como mostrado na figura 25.

Para o caso onde T1 > T2, haverá um fluxo de energia do reservatório 1 para o

reservatório 2 e este transporte energético é, evidentemente, feito através das moléculas

do gás. As moléculas entrando em contato com o reservatório 1,

Fig. 25 - Condução térmica através de um gás

aumentam sua temperatura ficando mais energéticas, ou seja, elas emergem de 1 com

velocidade maior do que quando entraram. Através de colisões com demais partículas

esta energia vai sendo transferida às demais partes do sistema até atingir o reservatório 2

que receberá esta energia transportada pelo gás. A força motriz para este transporte de

energia é a diferença de temperatura entre as duas partes. A situação física descrita tem

como fluxo de energia transferido a conhecida equação:

50

TKJ T ∇−= = energia / (tempo . área) (68)

ou seja, a energia fluirá oposta ao gradiente de temperatura, e a constante de

proporcional idade é denominado de condutividade térmica (KT) do sistema. Nosso

trabalho aqui é determinar o valor desta constante (KT) a partir do que conhecemos sobre

os gases.

Como vimos, a menor distância que a molécula consegue caminhar sem alterar

seu estado energético é o caminho livre médio I. Assim, vamos considerar dois planos

imaginários no interior do gás, separados por Ix (projeção do caminho livre médio na

direção x). Num dos planos as moléculas apresentam energia U1 e no outro U2.

Chamaremos de A a área dos planos em questão (veja fig. 26).

Fig. 26 - Sistema para análise do transporte de energia em um gás

Se as moléculas passam da posição x para a posição x + Ix com uma velocidade

média v x e gastam ∆ t neste trajeto, sendo n a densidade do gás e cv o calor específico

(energia / massa grau), temos que a energia transportada de x à x + Ix em ∆t é:

∆Q = (quantidade massa) x cv x ∆T

ou seja,

TtcvAnQ vx ∆∆=∆

A variação de temperatura entre as posições consideradas pode ser escrita como:

dx

dTlT x≅∆ , e J

tA

Q =∆

∆.

(fluxo de calor)

51

tiramos que

dx

dTvlncJ xxv= (69)

Comparando a equação (69) com a lei de fluxo de calor visto anteriormente,

equação (68)

dx

dTKJ T−=

obtemos que a condutividade térmica do gás é

xxvT vlncK = (70)

Temos agora que determinar Ix v x em termos de I e v . Como Ix = I cos Θ e vx = v

cos Θ (Note que aqui x fará o papel do eixo z em coordenadas esféricas), temos que

0 < Θ < π / 2

( )( ) ∫ ∫

∫∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ΘΘ

ΘΘΘ=

ΘΘΘ= ∞

∞

π π

π

π π

π

ρ

πρ2

0

2/

0

2/

0

2

2/

0

2

0 0

2/

0

2

0

2

0

2 cos2cos/

ddsen

dsenlv

dwvF

dvdsenvvFvl

x

xx

vlvl xx 3

1=

Fig. 27 - Sistema de coordenadas para cálculo de xxvl

52

(Nota: tivemos que normalizar, dividindo pela integral, pois agora só estamos trabalhando

com um hemisfério do gás).

Assim, a condutividade térmica é:

vlncK vT 3

1=

tempoáreagrau

compenergia

..

..

que como vemos, é proporcional as várias grandezas relevantes para o transporte de

energia, como era esperado, já que o aumento de quaisquer destas grandezas leva a um

aumento na eficiência do transporte de energia.

Além da condutividade térmica, outra propriedade de transporte bastante

importante é a viscosidade do gás. A viscosidade está associada com a capacidade do

gás em transmitir quantidade de movimento. Assim, seja o gás contido entre duas placas

paralelas separadas pela distância ∆y (fig. 28).

Fig. 28 - Arraste devido à viscosidade do meio

Se colocarmos a placa superior em movimento, devido ao movimento transferido

através do gás, a placa inferior também tenderá a entrar em movimento (arraste). A fim de

manter a placa inferior em repouso é necessário imprimir a ela uma força, que por

unidade de área é denominada de tensão de cisalhamento (τ ). Esta tensão de

cisalhamento deverá, obviamente, ser proporcional à ∆v (diferença de velocidade entre

placas) e inversamente proporcional a ∆y (separação das placas), já que quanto maior for

a velocidade, maior deve ser o arraste e quanto mais separadas as placas, menor será o

arraste. Com isto podemos escrever:

y

v

∆∆∞τ

53

A constante de proporcionalidade da expressão acima é denominada de

viscosidade do gás (η), e a equação acima é convenientemente escrita como:

dy

dvητ −= (73)

Assim, a viscosidade está relacionada com o poder que o fluido tem em arrastar

corpos em contato com ele, ou mesmo camadas sucessivas do próprio fluido. Nosso

trabalho agora é determinar η em termos das propriedades microscópicas do gás. Da

mesma forma que procedemos na condutividade térmica, consideremos duas camadas

do gás separadas pela distância Iy (projeção do caminho livre médio na direção y), veja

figura 29. A camada superior desloca-se com velocidade vx + ∆vx e a inferior vx.

Fig. 29 - Sistema para cálculo da viscosidade

Se considerarmos um intervalo de tempo ∆t, a quantidade de momentum na

direção x transferido ao passarmos gás de uma posição para outra é

∆px = (massa total) ∆vx = mAvy∆t∆vx

onde a massa total considerada é a massa transferida da posição y para y+dy. Sendo n a

densidade em número, mn a densidade de massa. Como:

dy

dvlv x

yx ≅∆

tiramos,

dy

dvtlmnAvp x

yyx ∆−=∆

54

de onde obtemos:

dy

dvlmnv

tA

p xyy

x −=∆

∆=τ

e como já vimos que ( ) lvlv yy 3

1= , obtemos:

dy

dvvml x

3

1−=τ (74)

que comparado com a equação fornecida anteriormente fornece para a viscosidade

vnml3

1=η

Assim, a viscosidade de um gás é diretamente proporcional à m, n, I e v .

Uma outra interessante propriedade dos gases é a difusão segundo a qual massa

é transportada através do gás.

Para determinar o coeficiente de difusão de um gás, consideremos inicialmente a

lei que relaciona o fluxo de massa com a variação de concentração em uma dimensão:

dx

dnDJ x −=

sendo D o chamado coeficiente de difusão. Semelhante aos casos de transporte de calor

e momento, considere duas posições do gás separados por Ix entre os quais há uma

diferença de concentração (ver fig. 30).

Fig. 30 - Difusão entre duas regiões de concentração diferentes

55

O fluxo de massa sendo transportado do ponto de maior para o de menor

concentração é:

( ) ( )( ) ( )[ ]

xx

xx

xxx

vdx

dnl

vxnlxn

vlxnvxnJ

−=

−+−=

−−=

tirando a média, vlvl xx 3

1= e, comparando com a lei de difusão, o coeficiente D relaciona-

se com os parâmetros microscópicos:

vlD3

1= (76)

o que significa que quanto maior for I e v , maior será a difusão.

III.10 - Transporte de gás carregado eletricamente por uma rede de pontos: uma

aplicação da cinética dos gases para condutividade elétrica dos metais.

Ao considerarmos um gás que interage com campos externos, além de seu

movimento aleatório, podemos ter um modelo simples para a condução eletrônica nos

metais e outros importantes sistemas.

Num metal, os elétrons podem ser vistos como as partículas de um gás sujeito a

colisões com pontos fixos (pontos da rede). O fluxo eletrônico entre dois pontos quaisquer

é normalmente zero. Porém, caso um campo elétrico seja aplicado ao sistema, o fluxo

resultante não será mais nulo. O fluxo de carga resultante (chamado de densidade de

corrente J ) cresce linearmente com o campo aplicado, estabelecendo a chamada lei de

Ohm; EJ σ= . Queremos determinar σ (condutividade) a partir de parâmetros

microscópicos.

Do fato de que os elétrons nos metais estão fracamente ligados aos seus átomos

de origem, permite visualizar o material como sendo um gás de elétrons embebendo os

íons positivos, e aplicar a este "gás" tudo o que conhecemos da cinética dos gases para

obtermos informações a respeito das propriedades de transporte elétricos do sistema.

56

Ao juntarmos átomos de um determinado metal para formarmos o sólido, os

elétrons de valência do sólido tornam-se praticamente livres enquanto os demais elétrons

do átomo permanecem firmemente ligados ao núcleo. Assim, um metal constituído de

átomos com zA elétrons de valência contribuirão para a condução os z elétrons/átomo

enquanto os demais zA - z elétrons contribuem praticamente em nada para esta

propriedade de transporte.

Seja um metal com densidade mássica mρ e massa molecular A, a quantidade de

moles/cm3 no metal é A

mρ e a densidade de elétrons "condutores" será:

A

mZxn

ρ2310022,6= (77)

Cada elétron ocupa, em média, uma esfera de raio γ s, dada por:

3/13

4

3

3

41

=→=nn ss π

γγπ

Alguns exemplos estão listados a seguir:

n(1022/cm 3) γ s(Å)

Na 2,65 2,08

Au 5,90 1,59

Fé 17,0 1,12

Bi 14,1 1,19

Como podemos ver a densidade do gás de elétrons nos metais são milhares de

vezes maiores do que nosso convencional gás ideal a condições normais de pressão e

temperatura. Apesar disto, e apesar da forte interação colombiana elétron-elétron e

elétron-íon, vamos aplicar as leis da cinética de um gás neutro e diluído, iniciemos

fazendo as seguintes suposições:

1) Não há interação elétron-elétron ou elétron-íon entre colisões. A interação só se

manifesta durante a colisão do elétron com os íons de rede permanecendo em trajetória

57

linear entre colisões, período no qual são válidas as leis da mecânica para a interação

elétron-campo, desprezando-se totalmente qualquer outra interação durante este período.

A interação elétron-elétron pode ser abandonada na chamada aproximação dos

elétrons independentes , enquanto o abandono da interação elétron-íon é chamado de

aproximação de elétron livre.

2) No modelo que estamos adotando as colisões ocorrem instantaneamente mudando

abruptamente a velocidade do elétron, sem alterar grandemente a velocidade dos íons da

rede que são, evidentemente, muito mais massivos que os elétrons.

3) Vamos considerar que o tempo médio entre colisões é dado por τ , de modo que a

frequência de colisão é I/τ . Isto significa que, em média, um elétron sofrerá uma colisão

e, após um determinado tempo τ , uma outra. Assumiremos que τ seja independente da

posição e velocidade do elétron.

4) Finalmente, supomos que em cada colisão o elétron atinge equilíbrio térmico com sua

redondeza. Isto nos leva a utilizar o fato que após cada colisão o elétron emerge do

centro de colisão com uma velocidade que independe daquela que ele tinha inicialmente,

dependendo somente da temperatura local do centro de colisão.

Com estas suposições, a visão microscópica que temos da condução de elétrons

num condutor está esquematicamente representada na figura 31:

Fig. 31

Para o elétron, o sólido nada mais é senão uma coleção de centros de colisão que

modificam sua trajetória e lhe fornece nova velocidade após cada colisão. Entre colisões o

movimento é balístico e o elétron está sujeito somente à ação do campo externo.

58

Vamos inicialmente imaginar um campo estático E aplicado no sistema. Se uma

determinada densidade n de elétrons movem-se com velocidade v , numa determinada

direção, o fluxo de corrente gerado é:

J = +nq v

onde q é a carga dos portadores.

Se não temos campo aplicado, o elétron que é termicamente excitado colide com

os íons da rede, determinando uma trajetória desordenada que leva à:

< v > = 0

Na presença do campo, após cada colisão temos que adicionar a v o termo tEm

q

que corresponde à velocidade que o campo imprimiu a carga após a colisão de modo que

( ) tEm

qvtv += (79)

e a velocidade média entre colisões é, portanto:

=medv < v > + Em

q < t >

τEm

qvmed = (80)

independendo da velocidade com que o elétron emerge do centro, pois esta é

aleatoriamente distribuída.

Como medvnqj = , já que a densidade de corrente é uma manifestação

macroscópica da resposta a efeitos microscópicos do sistema, temos que:

Em

nqj τ= (81)

59

mostrando que a densidade de corrente é linear com o campo aplicado (Lei de Ohm ) e a

constante de proporcionalidade é a condutividade elétrica σ

m

nqτσ = µσ nq= mobilidadem

q == τµ (82)

que é o chamado modelo de Drude para a condutividade. A constante τ é normalmente

chamada de tempo de relaxação e pode ser determinada a partir da medida experimental

de σ e do suposto conhecimento das demais constantes. Normalmente τ ~ 10-14 – 10-15

sec. Se considerarmos a velocidade térmica dos elétrons,

202

1mv ~

KT

2

3 determinada

para a temperatura ambiente vo ~ 107 cm/s, o que nos leva a um caminho médio entre

colisões da ordem de 1 a 10 Å consistente com nossa suposição de que os elétrons

colidem com os íons da rede é razoável.

Um caso de bastante interesse é a resposta do sistema sujeito a campos

magnéticos estáticos. Antes de tratarmos este caso, vamos considerar os portadores

neste meio colisional sujeito a uma força externa ( )tF qualquer. Sendo I/τ a taxa de

colisão, a probabilidade de que um elétron sofra uma colisão entre t e t + dt é τdt

e,

portanto, a probabilidade de que ele não sofra colisão entre t e t + dt é

−τdt

1 .

Assim, se em t o momento do portador é p (t), em t + dt será dado por (para

elétrons que não colidiram)

( ) ( ) ( )[ ]dttFtpdt

dttp +

−=+τ

1 (83)

onde o termo em [ ] representa a evolução de p para o portador sujeito a uma força

externa F (t). O termo multiplicativo inicial representa a probabilidade da não ocorrência

de colisão, pois caso haja colisão, todo momentum adicionado pela força é distribuído.

Expandindo a expressão acima, retendo somente termos lineares em dt, obtemos:

( ) ( ) ( )tFtp

dt

tpd +−=τ

(84)

60

Isto mostra um resultado muito importante, o efeito de colisões individuais de cada

elétron é o de introduzir dissipação de movimento para o sistema. Esta equação é geral

e mostra a evolução temporal de um sistema sujeito à força externa e a relaxação,

simultaneamente.

Vamos aplicar este resultado num caso de bastante interesse, quando um condutor

conduzindo corrente é colocado na presença de um campo magnético estático H . Este

efeito é conhecido como efeito Hall .

III.11 - Efeito Hall como Aplicação da Equação Gera l de Transporte

Imaginemos a situação onde um condutor sujeito a um campo Ex, como mostra a

figura 32, é colocado num campo Hz.

O campo magnético tenta defletir as cargas em movimento criando um acumulo de

cargas positivas de um lado e negativas no outro lado que promove o aparecimento de

um campo Ey.

A força sobre os portadores, neste caso, é:

( )

+= Hx

mc

pEqtF (85)

e, portanto, a equação de movimento da carga neste caso será:

τp

Hxmc

pEq

dt

pd −

+= (86)

Fig. 32 - Efeito conjugado de campos elétricos e magnéticos num condutor

61

Se imaginarmos que o sistema já passou pelo período transiente e atingiu o estado

estacionário 0=dt

pd. Obtemos, então, o sistema:

=−+

=−+

0

0

τω

τω

yxcy

xycx

ppqE

ppqE

(87)

onde mc

qHc =ω . Multiplicando as equações acima por

m

nqτ e usando jx = nqvx, tiramos ( cω

é a frequência ciclotron):

yycy

xxcx

jjE

jjE

+=+−=

τωστωσ

0

0

onde m

nq τσ2

0 = é a condutividade de Drude já determinada.

Quando as cargas atingem as faces jy = 0 , assim podemos determinar:

xx0

cy j

nqcH

jE =

=

στω

definindo uma importante quantidade conhecida como o coeficiente de Hall RH

nqc1

Hj

ER

x

yH == (88)

Um importante fator na determinação experimental deste coeficiente está na

dependência com q, o que pode revelar o tipo de portador responsável pela condução do

material em questão, já que RH é sensível ao sinal de q.

62

III.12 – Gases Reais e Forças Intermoleculares 1

Toda teoria cinética de gases que desenvolvemos até aqui considera as partículas

constituintes dos gases como sendo pontos materiais que carregam momentum e que

podem trocar esta quantidade de movimento com as demais partículas ou com as

paredes do recipiente que as contém. Em algumas situações imaginamos as moléculas

como sendo esferas duras (tipo bolas de bilhar) e pudemos determinar com este modelo

o número de colisões por unidade de tempo, o caminho livre médio e, através destes

conceitos, determinamos as propriedades de transporte mais importante para o gás.

O gás que estudamos até agora obedecem a lei dos gases ideais PV = NKT,

segundo a qual o volume de cada molécula ou a existência de interação entre eles não

se manifesta e nem é importante. Tanto que as variáveis P e V na equação acima são

permitidas terem qualquer valor de 0 a ∞. Mas qual é o significado de V = 0 quando

sabemos que as moléculas apresentam por si só um volume? Isto mostra que existe um

limite mínimo para a compressão do gás.

Quando levamos em conta a existência de forças intermoleculares bem como o

tamanho finito das moléculas denominamos o gás como sendo imperfeito ou real . Neste

caso, a equação de estado difere um pouco do estado ideal. É claro que a manifestação

do caráter não ideal dos gases, depende muito em que condições este se encontra.

Normalmente em regimes de altas densidades a interação intermoleculares, bem como o

efeito de volume finito das moléculas manifesta-se de forma bem mais marcante. Espera-

se, no entanto, que a lei dos gases ideais continue válida para baixas densidades. Assim,

é esperado que a lei dos gases ideais apresente correções que deverão tornar-se

irrelevantes para N/V → 0. Podemos, então, escrever

...VN

'CVN

'B1NKTPV

2

+

++= (89)

onde N é o número total de partículas no volume V. Quando estamos tratando com 1 mol

de gás, a equação é escrita como:

( ) ( )...

VTC

VTB

1RT

V.P2

+++= (90)

1 Baseado no livro: A Estrutura Quântica da Matéria – J. Leite Lopes

63

onde B(T), C(T) são denominados de segundo e terceiro coeficiente do Virial . Observa-

se que B(T) é negativo para todos os gases à baixas temperaturas. Ao aumentarmos a

temperatura, B aumenta tornando-se positivo. A temperatura para qual B = 0 é

denominada de temperatura de Boyle .

Vamos tratar o gás de uma forma simples (embora a equação (90) seja mais

geral) e obter a equação de estado.

Devido ao volume finito das moléculas, esperamos que

N2d

34

bVlim3

p

==∞→

π

com d = diâmetro molecular.

Desta forma, a primeira correção que podemos fazer na equação dos gases ideais

é que

P(V-b) = NKT

ou seja, quando p → ∞, V → b.

Imaginamos, agora, que exista uma certa atração entre as moléculas. Se

olharmos para uma molécula próxima da parede do recipiente, veremos que o efeito da

interação com os vizinhos é o de efetivamente diminuir a interação da molécula com a

parede, diminuindo efetivamente a pressão do gás.

Fig. 33 – Interação de moléculas com vizinhos

O efeito da interação deverá ser maior no decréscimo de pressão quanto maior for

a densidade n, pois neste caso as partículas estarão mais próximas. Sendo um efeito de

interação de pares esperamos que a correção seja proporcional a n2. Assim, vamos dizer

64

que o termo de correção é proporcional a l/V2 e a constante de proporcionalidade será

denominada de a, ou seja,

2Va

bVNKT

P −−

=

de modo que

( ) NKTbVVa

P2

=−

+ (91)

que é denominada de equação de Van der Waals para um gás real.

A dedução da equação de Van der Waals pode ser feita através de uma

aproximação que consiste na utilização do teorema do virial .

Antes de iniciarmos a dedução propriamente dita, vamos relembrar alguns

resultados mais gerais da mecânica.

Consideremos uma partícula de massa m sujeito a uma força F temos, então:

xmF &&=

Através do produto escalar com sua posição x

( ) ( )x.Fx.xm =&&

Como

22

2

2

x2x.x2xdtd

&&& += como 22

2

xdtx

21

)x.x( &&& −=

temos que

X.Fxmxdtd

2m 22

2

2

=− &

65

Como o estado macroscópio de um gás não muda com o passar do tempo quando

este gás está em equilíbrio, o centro de massa do sistema não deve alterar sua posição.

Assim, podemos escrever a seguinte equação:

0xmdtd 2

A

Aa =

∑ (92)

onde a soma deve ser feita sobre todas as moléculas do gás.

Multiplicamos (93) por 21

N1

e tomando derivadas, obtemos:

A

A

2A

AA

A

2AA x.F

N1

xmN1

xmdtd

dtd

21

N1

∑∑∑ +=

& (93)

e como, da equação (93), o primeiro membro é zero, decore que para cada molécula,

)x.F(21

vm21 2

−>=< (94)

i.e., a energia cinética média das moléculas de um gás em equilíbrio é igual a média do

produto escalar da força pela posição das moléculas com sinal trocado.

Vamos utilizar este resultado para deduzirmos a equação de Van der Waals .

Imaginemos um gás onde a força exercida sobre uma molécula A devido a interação com

as demais moléculas, é representada por )i(

AF . Podemos ainda ter uma força externa

)e(

AF agindo sobre esta molécula. Pelo resultado da equação (94),

( ) ( )∑∑∑ −−=A

eAA

A

iAAA

AA FxFxvm )()(2 .

2

1.

2

1

2

1

Vamos admitir que as forças intermoleculares sejam do tipo:

)r(Fr

)xx(F AB

AB AB

BAiA ∑

≠

−= c/ B

AAB xxr −=

66

Como estamos somando sobre todos pares para efetuar a soma )i(A

AAFx∑ ,

podemos deslocar a origem para B, de modo a ficar ∑ ∑=A B,A

ABAB)i(

AA )r(FrFx . Assim,

como ab

)xx(r

BA − está na direção da linha entre A e B, assumindo que a origem de

coordenadas esteja sobre A, temos

BAAB

bAA r

r)xx(

.x ==− (95)

de modo que podemos escrever :

)e(

a

A

aABAB

AB

2

A

AA F.x

21

)r(Fr21

vm21

∑∑∑ −−= (96)

Pelo teorema de eqüipartição de energia, as N moléculas apresentam uma

energia KT23

N . Como esta energia é o primeiro termo da equação, temos:

)e(

A

A

AABAB

AB F.x)r(FrNKT3 ∑∑ −−= (97)

A força externa F(e) pode ter sua origem nas paredes do recipiente, originando

uma pressão sobre o gás. Se P é a pressão do gás, n o vetor unitário normal à

superfície, de modo que n ds representa o elemento de área em cada ponto, a força

exercida pelo elemento de área será – P n ds, ou seja:

67

ds)n.x(PF.xS

)e(A

A

A ∫∑ =− (98)

onde S = área do recipiente.

Usando o teorema do divergente, expressão (98) torna-se:

V.P3xd)x.(P 3

V

=∇= ∫ (99)

pois 3x. =∇ , e xdV3

∫= é o volume do recipiente. Assim,

)r(FrPV3NKT3 ABAB

AB∑−=

ou

)r(Fr31

NKTPV ABAB

AB∑+= (100)

que corresponde à equação de estado do gás real no caso onde a interação molecular

tem a forma de força central. Nesta formulação o gás perfeito é aquele onde F(rAB) = 0.

A soma dos termos de força da equação acima podem ser, em média, escritas

como:

><−=∑ rF)1N(N21

)r(Fr ABAB

AB

Cada uma das N moléculas interage com (N-1) e para não contarmos duas vezes

o mesmo par, temos que o número total de pares interagindo é ).1N(N21 − Mas como N

é muito grande (~1023),

2N21

)1N(N21 ≅−

de modo que ficamos com uma equação dada por

pV = NKT + 2N21

< rF > (101)

68

Assim, para calcularmos a correção do gás ideal devido a interação molecular

temos que conhecer F(r) e calcularmos a média < rF >.

Se a energia potencial de interação entre duas moléculas for U(r), a probabilidade

de que duas moléculas estejam separadas dentro da distância r→r+ dr (probabilidade de

pares) é obtida da mecânica estatística, como sendo:

Xde

drr4dr)r(f

3KT/)r(U

2KT/)r(U

∫ −

−

= π

de modo que este será o “peso estatístico” no cálculo do valor médio de rF. Como

drdU

F −= , o valor médio < rF > pode ser escrito como:

Xde

drdrdU

re4rF

3

0

KT/)r(U

3

0

KT/)r(U

∫∫

−

∞ −

−>=<π

Vamos denominar xdeI 3KT/)r(U∫ −= de modo que ficamos com

drdrdU

reI

4N

61

NKTpV0

3KT/)r(U2 ∫∞ −−= π

Como drdU

eKT1

edrd KT/)r(UKT/)r(U −− −= multiplicando e dividindo por KT, teremos:

( )dredrd

rKTI

4N

61

NKTpV KT/)r(U

0

32 −∞

∫+= π

ou seja:

( )

+= −∞

∫ dredrd

rIN

32

1NKTpV KT/)r(U

0

3π (102)

mostrando a equação de estado de um gás imperfeito, como função do potencial de

interação entre as partículas.

69

Vamos, inicialmente, considerar o caso do chamado potencial de esfera dura, como

mostra a fig. 34.

Fig. 34 – Potencial de esfera dura

<∞>

=dr

dr0)r(U

de modo que

<>

=−

dr0

ddr1e KT/)r(U

Assim, 3KT/)r(U

0

3 de(dr =−∞

∫ , e I = V, tomando a expressão anterior fica:

+= 3dVN

32

1NKTPV π

Se chamarmos 3)d(N32

b π= , obtemos:

+=V

bNKTPV 1

ou seja:

NKT

Vb

1

PV =

+

70

Quando Vb

1

Vb

1

1,1

Vb −≅

+<< e obtemos como aproximação

NKT)bV(P =− (103)

O potencial que tomamos neste exemplo, representa o fato de na realidade as

moléculas apresentarem um volume finito, e o efeito disto na lei dos gases ideais é a

alteração do valor do volume à disposição para as moléculas como na equação de Van

de Waals .

Além de apresentar um volume finito, que representa uma forte interação a curtas

distâncias, existe uma interação à longa distância que embora pequena, tem um efeito

considerável na equação de estado.

Consideremos, então, um potencial atrativo mostrado na figura 35.

,rB

)r(Un

−≅ B > 0 (104)

com a observação explicita que lim U(r) = 0

r → ∞

Assim, a interação de (102) fica:

)0a(

KT/U3

NKTVa

drdrdU

erVKT

N32

>

− −=∫π

ou seja,

Va

NKTpV −=

71

Fig. 35 – Potencial combinado de atração-repulsão

Vamos melhorar o modelo introduzindo um potencial que combina ambos

potenciais vistos anteriormente, ou seja:

−−∞

=

nrB

W)r(U

0

0

rr

rrd

dr

<<<

< (105)

com a condição 1~e,1KTW KT/W−<< obtemos:

Va

Vb

1NKTPV

NKTVa

Vb

dr)e(rIN

32 KT/)r(U

0

3

−

+=

−≅−∞

∫π

que para 1Vb << , pode ser escrita como

( ) NKTbVVa

P2

=−

+ (106)

que é a equação de Van der Waals , mostrando que realmente a correção na pressão

deve-se à interação de longo alcance entre moléculas e a correção no volume deve-se

ao volume finito apresentado pelas moléculas.

72

As constantes a e b são normalmente denominadas de constantes de Van der

Waals onde b é determinado através do diâmetro molecular e a através da lei de força

de atração entre moléculas.

Para determinadas temperaturas podemos fazer gráficos de P vs V, obtendo as

curvas que são denominadas de isotermas. Para altas temperaturas as isotermas de Van

der Waals são bem parecidas com as hipérboles que obtemos com a lei dos gases

ideais. No entanto, à medida que atingimos baixas temperaturas as isotermas começam

a apresentar desvios chegando ao caso onde elas apresentam máximos e mínimos. A

transição de um comportamento para outro ocorre quando o máximo e o mínimo

coincidem. Neste caso, temos no diagrama de isoterma uma linha horizontal tangente a

ponto de inflexão. A temperatura onde ocorre o ponto de inflexão é denominada de

temperatura crítica (Tc) e P e V para este determinado ponto são denominados de

valores críticos Pc e Vc.

Fig. 36 – Isotermas P x V para gás real

A existência do ponto crítico denota a ocorrência de mudança de fase no sistema

o que existe apenas para sistemas de gases reais.

O gás de Van der Waals é uma primeira aproximação realística dos gases

prevendo a formação de um líquido. Detalhes maiores deste tipo de efeito deverão ser

abordados num curso de Mecânica Estatística.

73

III.13 – A Teoria Cinética e o Movimento Browniano

Vamos imaginar a situação física, onde uma partícula está presente num meio

viscoso podendo realizar um movimento desordenado. Este é, por exemplo, o caso de

uma molécula dce soluto em solução de uma molécula gasosa num gás estranho ou de

uma minúscula partícula sólida num líquido (veja fig. 37).

Fig. 37 – Movimento browniano

Neste caso, a chamada equação de movimento para a referida partícula de soluto

é dada por:

aleatóriaavis

tFvdt

dvm )(

cos

+−= β

A força F(t), aleatória advém de colisões com outras partículas. A equação acima

é chamada de equação de Langevin e estamos interessados em conhecer o

deslocamento quadrático médio desta partícula neste meio. A equação acima pode ser

escrita como:

( ) )t(xFxvvxvdtd

m 2 +−=

− β

tornando a média temporal, tiramos :

xvvmxvdtd

m 2 β−=−

74

onde usamos o fato que a força F(t) é aleatória e, portanto, 0)t(F = . Da teoria cinética,

temos que

KT21

~vm21 2

de modo que

xvKTxvdtd

m β−=

resolvendo para 2x

dtd

21

xv = , tiramos

−−=

− tm2 e1

mt

KT2x

β

ββ

Para tempos curtos, a exponencial pode ser expandida até ordem t2 e, desta

forma, obtemos para o deslocamento médio quadrático.

22 tKT

xβ

≅

Para t <<βm

, o termo entre parênteses desaparece e ficamos com outra dependência

temporal para 2x :

tKT2

~x2

β

Na teoria de difusão obtém-se como solução da equação de Fick que o

deslocamento quadrático médio está relacionado com o coeficiente de difusão através

de:

⟨x2⟩ = 2Dt

de modo que obtemos para o coeficiente de difusão:

75

βKT

D =

mostrando que o coeficiente de difusão neste caso depende da agitação térmica dos

constituintes e da capacidade do soluto em perder energia através do processo viscoso.

Este sistema físico, discutido acima, é normalmente chamado de movimento

Browniano , originalmente observado para partículas em suspensão por Robert Brown

(1827). Este movimento foi profundamente analisado por Einstein que mostrou ser

devido às constantes colisões aleatórias que as moléculas de um meio exercem sobre

outra. Uma importante característica deste movimento é que o percurso percorrido por

uma partícula devido ao processo de difusão é:

2L ∝ t

dependência esta, bastante usada em física.

Universidade de São Paulo

Instituto de Física de São Carlos

Departamento de Física e Ciência dos Materiais

FÍSICA MODERNA ELEMENTAR

CAPÍTULO IV

INTEGRAÇÃO DO CAMPO ELETROMAGNÉTICO COM O SISTEMA A TÔMICO

AUTORES:

PROF. DR. VANDERLEI SALVADOR BAGNATO

PROF. DR. LUIS GUSTAVO MARCASSA

São Carlos, Junho 1999

2

CAPÍTULO IV

INTERAÇÃO DO CAMPO ELETROMAGNÉTICO COM O SISTEMA AT ÔMICO

IV.1. INTRODUÇÃO

Neste capítulo vamos introduzir o conceito de radiação eletromagnética e tratar os

aspectos básicos de sua interação com o sistema atômico. Através desta interação é que

convencionalmente realiza-se estudos com respeito aos fenômenos atômicos envolvendo

a estrutura interna dos átomos, seu comportamento quando agrupados formando sólidos,

etc. É através da interação radiação-átomo que vemos o mundo ao nosso redor.

Ao interagir com o átomo os campos elétricos alteram consideravelmente a

distribuição de cargas no sistema, literalmente chacoalhando as cargas, havendo a

possibilidade de transferência de energia e momentum do campo eletromagnético para o

átomo. Estudaremos neste capítulo as formas e variações pelas quais ocorre esta

transferência de energia introduzindo uma série de novos conceitos que serão

importantes quando estudarmos a interação da radiação com átomo com base na

mecânica quântica. Conceitos importantes que dominam a física moderna podem ser

introduzidos a partir do modelo clássico simples que aqui iremos tratar.

IV.2. BREVE INTRODUÇÃO AO CAMPO ELETROMAGNÉTICO DE RADIAÇÃO

Vamos iniciar nosso estudo considerando as equações de Maxwell do

eletromagnetismo. Possuindo distribuições de cargas e correntes como sendo fontes de

campos, podemos escrever as equações de Maxwell da seguinte forma:

t

D

cj

cHxD

∂∂ππρr

rrrr

14 4. +=∇=∇

t

B

cExB

∂∂r

rrrr

1 0. =∇=∇ (1)

e se substituirmos r rB H= µ e

r rD E= ε , onde µ é a permissividade magnética e ε a

constante dielétrica do meio que assumiremos como sendo constantes, ficamos com

3

ε πρr r∇ =.E 4

∇ =.rB 0

t

EJ

cBx

∂∂µεµπr

rrr

4 +=∇ (2)

r rr

∇ =xEc

B

t

1 ∂∂

Se estivermos bastante distante das fontes (carga e corrente) podemos desprezar

os termos em ρ (densidade de cargas) e rJ (densidade de corrente) e ficamos com um

conjunto de equações mais simples:

∇ = ∇ =. .r rE B0 0

t

B

cEx

∂∂r

rr

1−=∇ (3)

∇ =xBc

E

t

vr

1µε ∂∂

As últimas equações têm uma informação bastante importante que mesmo na

ausência de fontes um campo magnético variando no tempo gera um campo elétrico e

vice-versa. Este é o princípio básico da onda eletromagnética que nada mais é senão

uma auto-sustentação entre os campos elétricos e magnéticos, permitindo o transporte

de energia, mesmo na ausência de matéria.

Tomando o rotacional da última equação acima e usando a propriedade que

AAAxxrrrrr

2.)( ∇−∇∇=∇∇ , temos que

∇ ∇ = ∇ ∇ − ∇ = ∇x xB B Bc t

xE( ) ( . ) ( )r r r r r r2 µε ∂

∂ (4)

e utilizando a equação para ∇xEv

, tiramos que

−∇ = −r r r2

2

2

2B

c tB

µε ∂∂

(5)

4

ou seja

∇ − =22

2

20

rr

Bc

B

t

µε ∂∂

(6)

que é a famosa equação de onda mostrando que as equações de Maxwell prevêem que

o campo magnético e o elétrico obedecem às equações de uma onda que se propaga

com velocidade 12 2v c

= µε, ou seja,

scmxcc

v /10 3 com 10==µε

(7)

onde µε = n é o índice de refração. No vácuo a velocidade da luz é c. Podemos

escrever a mesma equação acima para o campo elétrico, obtendo:

∇ − =22

2

20

rr

Ec

E

t

µε ∂∂

(8)

A direção deste campo elétrico é chamada de direção da polarização e pode ter

várias formas distintas. Vamos chamar esta direção de ê, de modo que a solução da

equação de onda tem a forma:

rE eE kx t= − +$ cos( )0 ω φ (9)

que representa uma onda que propaga-se na direção x, com amplitude E0 na direção ê,

freqüência ω e vetor de onda k = 2πλ .

Como o vetor de onda está associado a freqüência através de

kc

= ω (10)

o campo elétrico pode ser escrito como

5

+−= φλ

ctxEeE cosˆ 0

r (11)

onde φ é uma fase que depende das condições iniciais. (Por simplicidade estamos

considerando vácuo µε ~ 1).

Com esta solução para o campo elétrico podemos usar as equações de Maxwell e

obter a solução para o campo magnético.

)cos('ˆ 0 φω +−= tkxBeBr

(12)

onde $ $ $′ =e x e x e B E0 0= . Isto mostra que a direção do vetor campo magnético é

perpendicular ao campo elétrico, e ambos são perpendiculares à direção de propagação,

no caso rx .

A onda que descrevemos acima é chamada de onda plana pelo simples fato de

descrever um plano, já que os valores de E e B só dependem de x e não de y e z.

O desenho a seguir representa a onda num determinado instante.

Fig. 1 – Representação esquemática dos campos numa onda plana

Para uma determinada posição, os campos elétricos oscilam periodicamente no

tempo, e se “congelarmos” o tempo (como mostrado acima), os campos oscilam

periodicamente no espaço.

A freqüência de oscilação dos campos determina o que chamamos de “cor” da

radiação eletromagnética e, dependendo de seu valor, ela pode ou não ser observada

pelos órgãos visuais humano. Assim, a classificação da radiação eletromagnética pela

sua freqüência está mostrada a seguir (fig.2).

6

Fig. 2 – Regiões espectrais da radiação

Em ótica normalmente usamos as unidades micron (µ) e angström (Å) definidos

como 1µ = 10-6m, 1Å = 10-10m. Logo, o comprimento de onda correspondente ao centro

da região visível pode ser expresso por 0,55µ ou 5550Å.

Os limites de espectro visível não são bem definidos porque a curva de

sensibilidade dos órgãos visuais se aproxima assintoticamente para maiores ou menores

comprimentos de onda. Se tomarmos arbitrariamente como limites para o visível os

comprimentos de onda para os quais a sensibilidade humana cai a 1% de seu máximo,

seus valores serão cerca de 4300Å e 6900Å.

A onda que discutimos anteriormente é linearmente polarizada, de modo que a

direção do campo elétrico era fixo ê. Este não é o único estado possível para a

polarização de fato, quando a direção na qual o campo elétrico é orientado não é bem

definida, temos o que chamamos de radiação não polarizada. Pode, no entanto, ocorrer

que o vetor campo elétrico gira na medida que a onda propaga-se. Nesta situação

dizemos que a luz é circularmente polarizada, podendo estar circularmente polarizada à

direita ou à esquerda. É claro que em todos os casos o campo magnético acompanha o

campo elétrico sendo sempre perpendicular a ele. No caso da onda circularmente

polarizada, o vetor ê é um vetor girante.

Assim, no caso mais geral, onde a polarização é descrita por ê, e a direção de

propagação é rn , a onda plana é escrita como:

r r r rE r t eE k r t( , ) $ cos( . )= − +0 ω φ (13)

7

sendo o vetor de onda r rk kn= sempre na direção de propagação.

A onda pode ser composta de várias freqüências diferentes, ao invés de uma única

(monocromática). Neste caso, temos:

∑ +=k

ktkEetrE,

0 ).cos()(ˆ),(ω

φωωrrr

(14)

caracterizando a chamada radiação não monocromática.

A intensidade média (potência por unidade de área) transportada pela onda é

calculada como sendo:

IcE

= 02

8π (15)

Os campos que fazem parte da radiação são capazes de trabalhar sobre cargas ou

correntes, de modo que o campo eletromagnético contém determinada energia. Numa

região do espaço onde o campo elétrico é rE e o magnético

rB , a densidade de energia é

exatamente:

( )µπ

= +1

82 2r r

E B (16)

de modo que a energia total contida num volume V é

( )U E B dVV

= +∫1

82 2

π

r r (17)

Considerando as ondas planas, linearmente polarizadas, a densidade de energia

é:

( ) ( )( )µπ

ω φ ω φ1

8 02 2

02 2E k r t E k r tcos . cos .

r r r r− + + − +

( )= − +1

4 02 2

πω φE k r tcos .

r r (18)

8

se esta onda propaga-se na direção rk , ocupando uma área transversal de valor A,

passará uma quantidade de energia µAc t∆ durante o intervalo de tempo ∆t.

Fig. 3 – Volume imaginário que contém a radiação

Assim, a quantidade de energia é U = µAc∆t e, portanto, a intensidade

IU

A tc= =

∆µ. (19)

(20)

Se tomarmos a média temporal, lembrando que cos ( . )2 r rk r tk− ω ~ 1/2

I E c= 1

8 02

π (21)

Esta é a quantidade média de energia transportada pela onda por unidade de

tempo e área. É importante lembrar que aqui estamos utilizando o sistema CGS de

unidades de modo que C = 31010 cm/s e a unidade de campo elétrico é Stat Volts/cm (1

stat volt ≅ 300 V). Neste sistema, intensidade deve ser expressa em erg

s cm. 2 (1W = 107

erg/sec).

IV.3. INTERAÇÃO DA RADIAÇÃO COM A MATÉRIA: ABSORÇÃO DE ENERGIA

Vamos iniciar nossos estudos sobre a interação do sistema atômico com a

radiação através de um modelo bastante simplificado. Para nós, em primeira

).(cos4

1 220 φω

π+−= trkEI

rr

9

aproximação, o átomo nada mais é senão uma carga positiva rodeada de uma nuvem de

carga negativa, distribuída uniformemente ao seu redor. Como modelo simplificado

vamos supor que o sistema comporta-se como se a carga negativa estivesse

harmonicamente ligada.

Quando a radiação incide sobre este sistema, o campo elétrico deforma esta

suposta densidade uniforme de carga tendendo a afastar cargas negativas das positivas.

Como resultado desta deformação, há indução de um dipolo elétrico no átomo que sobre

a presença do campo faz com que suas cargas oscilem forçosamente.

Fig. 4 – Modelo simples para interação radiação-átomo

Assim, o efeito da radiação sobre o meio (no caso átomos), é basicamente o de

produzir uma polarização.

O campo da radiação oscila temporalmente e espacialmente. A oscilação espacial

ocorre em intervalo da ordem de λ (comprimento de onda) que é normalmente da ordem

de 103 a 104 Å. As dimensões atômicas são, no entanto, muito menores da ordem de 1Å.

Desta forma, a distribuição de cargas no átomo não sente grandemente a variação

espacial do campo e para qualquer efeito prático, para o átomo é como se o campo de

radiação somente oscilasse temporalmente. Isto estabelece uma simplificação

importante.

Vamos imaginar uma amostra que contenha N átomos/volume, interagindo com

uma onda plana. Na aproximação na qual o elétron está preso harmonicamente, a

equação de movimento para cada elétron na presença do campo é:

)cos(020 tEermrm ωω

r&& −=+ (22)

onde m = massa elétron, ω0 = freq. natural de oscilação.

É de esperar que o elétron seja arrastado pelo campo, oscilando junto com ele, de

modo que a solução da equação acima deva ser da forma:

10

r rr r t= 0 cosω (23)

e substituindo na equação inicial, tiramos:

trermrm ωωω cos00200

2 −+− rr (24)

tendo como valor de 0r

rr

reE m

00

02 2

=−

−/

ω ω (25)

Sendo r rr r t= 0 cosω o deslocamento do elétron, o dipolo induzido em cada átomo

será:

r r rp er er t= − = − 0 cosω (26)

Para o sistema total (N átomos/cm3), o dipolo induzido leva a uma polarização do

meio, cujo valor nada mais é senão a soma de todos os dipolos na unidade de volume, ou

seja:

r r rP Np Ner t= = − 0 cosω (27)

/

20

20

2

ωω −−=

mENeP

rr

(28)

Desde já observamos que esta polarização induzida será mais intensa quando a

freqüência de oscilação do campo for igual à freqüência natural de oscilação do sistema

denominada de freqüência de ressonância.

Do eletromagnetismo sabemos que:

r r r rD E P Ee= + = +4 1 4π πχ( ) (29)

de modo que tiramos

11

r r

1 24 34rD

Ne mE t

E

= −−

14 2

20

0πω ω

ω/cos (30)

e utilizando as equações de Maxwell:

t

B

t

D

cBx

B

∂∂

∂∂

c

1-=xE

0=D.

1

0.

∇

∇

=∇

=∇

r

rr

rr

(31)

obtemos que, após tomarmos o rotacional da última equação

0 /4

1 1

2

2

20

2

2

22 =

−−−∇

t

EmNe

cE

∂∂

ωωρ

(32)

mostrando que a propagação da onda neste meio, ocorrerá com velocidade v dada por:

1 11

42 2

2

202v c

Ne m= −−

πω ω

/ (33)

e como v = c(n), termos nNe m2

2

202

1= −−

/

ω ω como sendo o índice de refração do meio

para a propagação desta radiação. Eliminando n(ω) temos:

nNe m e N m

( )/ /ω π

ω ωπω ω

= +−

≅ +−

14

122

02 2

2

02 2

(34)

para gases cujo n(ω) não difere muito da unidade.

Apesar de n(ω) tomar em algumas condições valores menores que 1, não significa

que v > c. Apenas a definição de vc

n=

não é mais adequada.

12

Esta expressão para o índice de refração não é muito adequada para freqüências

da radiação próximas de ω0, pois observamos a ocorrência de divergências. A razão

desta divergência fazendo com que a polarização seja infinita nas proximidades de ω0

advém do fato que o modelo, até o momento, não tem uma forma de dissipar energia.

Somente adquirindo a energia do campo, os elétrons oscilam cada vez com amplitude

mais elevada, levando a uma divergência.

Fig. 5 – Relação n(ω) versus ω.

A fim de tornar nosso modelo mais realista, temos que introduzir no sistema

dissipação de energia. Assim, teremos que adicionar na equação de movimento um

termo de força proporcional à velocidade e oposta a ela, responsável pela dissipação.

Fisicamente, este termo pode ser interpretado como a radiação emitida pelo dipolo

oscilante como se fosse uma antena. Assim, a nova equação de movimento é:

mr m r m r eE tr r r

+ + =ζ ω ω02

0 cos (35)

onde ζ é chamada de constante de amortecimento e está relacionada com a taxa de

dissipação de energia e será relacionada com os parâmetros físicos do sistema mais

adiante.

Anteriormente a solução estava em fase com o campo. Com a adição do termo

dissipativo isto não é verdade necessariamente verdade, e a solução deverá ser da

forma:

r rr r t= +0 cos( )ω φ (36)

13

onde agora rr0 e a fase φ dependerão dos vários parâmetros do problema.

Da solução proposta, tiramos:

)(0 φωω +−= tsenrrrr

(37)

)cos(02 φωω +−= trrrr

(38)

e expandindo o seno e coseno da soma na equação original, temos:

− +ω ω φ ω ω φ20

20

r rr t r sen tsencos cos

− −ωζ ω φ ωζ ω φr rr sen t r tsen0 0cos cos (39)

+ − = −ω ω φ ω ω φ ω02

02 0cos cos cost sen tsen

eE

mt

Como esta equação tem que ser válida para qualquer instante de tempo, os termos

em senωt e cosωt têm que estar em equivalência, isto é, a soma de seus coeficientes

devem se anular. Assim,

( )− − + = −ω φ ωζ φ ω φ202

00cos cossen r

eE

m (40)

ω φ ωζ φ ω φ202 0sen sen− − =cos (41)

Da segunda equação tiramos:

tanφ ωζω ω

=−2

02 (42)

e usando relação cos2φ + sen2φ = 1, obtemos

( ) 222220 ωζωω

ζωϕ+−

−=sen (43)

( )cosφ

ω ω

ω ω ζ ω= −

−

− +

202

02 2 2 2 2

(44)

14

Utilizando estes valores na primeira equação, temos:

( )( ) ( )

( )( ) m

eEr 0

222220

20

220

220

22

2220

20

22

0 −=

+−

−−

−+

−

−

ωζωω

ωωωωω

ωζ

ωω

ωωω

( )( )( )( )

rr

reE

m0

202 2

02 2 2

02 2

02 2 2 2

0ω ω ω ω ζ ω

ω ω ω ω ζ ω

− − +

− − +

= − (45)

e, portanto, a amplitude de oscilação é dada por:

( )r

r

reE

m00

202 2 2 2

1 21= −

− +

ω ω ζ ω

/ (46)

Com o valor de r0 podemos escrever a polarização do meio como sendo:

v r rP Ner Ner t= − = − +0 0 cos( )ω φ (47)

ou seja,

r v rP Ner t Ner sen tsen= − +0 0cos cosω φ ω φ (48)

e substituindo os valores encontrados acima, temos:

( )( ) ( ) tsen

E

m

NeE

m

NeP ω

ωζωωζωω

ωζωωωω

t cos 2222

0

02

222220

2200

2

+−+

+−

−=

rrr

(49)

Assim, na presença da radiação, o meio responde com duas partes distintas: uma

completamente em fase com a radiação incidente (termo cosωt) e outra 90° fora de fase

com a radiação incidente (termo em senωt = cos (ωt-π/2)).

É importante notar que o segundo termo é conseqüência direta da dissipação já

que ζ = 0 elimina este termo.

15

Considerando inicialmente somente o primeiro termo e utilizando a equação de

onda como anteriormente, tiramos que a parte do índice de refração denominada de

dispersiva é:

( )′ ≅ +

−

− +n

Ne

m( )ω π ω ω

ω ω ζ ω1

2 202 2

02 2 2 2 2

(50)

O gráfico de ′n ( )ω como função de ω está mostrado abaixo:

Fig. 6 – n’(ω) versus ω

que é a forma dispersiva correta, não apresentando divergências ao redor de ω0. Longe

da freqüência de ressonância, o sistema não nota muito a presença da radiação.

As regiões onde ′n ( )ω aumenta com a freqüência é denominada de região de

dispersão normal, enquanto nas regiões onde )(ωn descreve com ω são chamadas de

dispersão anômala.

O segundo termo da polarização que depende do termo dissipativo, representa na

verdade uma absorção. Ele representa a maneira pela qual a energia é dissipada. Para

melhor entendermos isto vamos calcular a taxa com que a energia é retirada do campo

de radiação, ou seja, a taxa com que o campo elétrico está trabalhando sobre as cargas

que constituem o sistema atômico. Assim, voltamos à equação inicial:

teErmrmrm ωωζ cos20 −=++ r

&&& (51)

e multiplicamos esta equação por r& escalarmente, obtemos:

16

trEerrmrmrrm ωωζ cos... 020

2 &r

&r

&&&& −=++ (52)

Reescrevendo o primeiro termo

rtEerrmrmrmdt

d rrr&

r& ).cos(.)(

2

1)(

2

10

220

2 ωζω −=+

+ (53)

Notamos que o termo dentro de colchetes é exatamente a variação da energia

total do oscilador. O segundo termo representa a taxa na qual a potência está sendo

dissipada pelo sistema, pois ela representa o produto da força viscosa pela velocidade, e

finalmente o lado direito da equação representa a taxa com que a energia do campo está

sendo fornecida ao sistema, pois é o produto da força sobre o elétron pela sua

velocidade.

No regime estacionário a taxa com que a energia está sendo fornecida ao sistema

equivale à dissipada. A potência fornecida é:

rtEePpotênciarr

).cos()( 0 ω−= (54)

cuja média temporal fornece, após substituição de r rr r t= +0 cos( )ω φ lembrando

( cos )sen t t medω ω ~ 0

( )Potencia PeE

r sen =− 0

02

ωφ (55)

e usando a relação para senφ obtida anteriormente, a potência trocada com o sistema

atômico é:

222220

220

)(

2 (Potência)

ωζωωζω

+−−

=m

eEP (56)

Esta é a taxa com que a energia do campo é transferida ao sistema que

posteriormente dissipa como pode ser visto pela equação de conservação de energia da

página anterior. (Eq. 53)

17

Se fizermos um gráfico desta potência absorvida versus frequência:

Fig. 7 – Potência versus freqüência

À medida que variamos a frequência da radiação quando estamos longe da

freqüência de ressonância ω0, a potência absorvida varia como

P α ωω

2

40→ (57)

e, portanto, a potência transmitida ao sistema atômico é nula.

Ao aproximarmos ω de ω0 a potência absorvida cresce e é máxima exatamente

para ω = ω0.

Este comportamento gera a linha mostrada acima normalmente denominada de

linha de absorção do material átomo e é caracterizada pela sua frequência de máximo ω0

e sua largura, que é dada por:

∆ω = ζ (58)

Assim, é graças ao termo dissipativo que o sistema consegue absorver energia

para freqüências próximas, mas diferentes de ω0.

Como dissemos anteriormente, o termo de dissipação de energia está associado

ao fato que ao interagir com o campo elétrico da radiação a carga é acelerada, e pelas

leis básicas do eletromagnetismo cargas aceleradas emitem radiação. Pode-se mostrar

que o valor médio da potência emitida por uma carga em movimento acelerado é

18

Pe

cx= 2

3

2

32 (&&) (59)

Se supusermos um elétron em movimento harmônico, X = X0cosωt, é fácil mostrar

que

Pe

cx= 2

3

2

32 2ω ( & ) (60)

pois 222

02 cos

xxtXX

tsenXX&&&

&&

&ω

ωωωω

=⇒

−==

já que sen t t2 2ω ω= cos

Comparando esta expressão com a taxa de dissipação de energia 2

rm &ζ ,

considerando rx && = , tiramos

ζ ω= 2

3

2

3

2 e

c m (61)

que é a constante dissipativa em termos dos parâmetros do problema. Voltemos ao

nosso meio constituído de N átomos/cm3 pelo qual a radiação é absorvida. Tomando a

variação da intensidade da onda numa distância ∆z.

Fig. 8 – Volume de controle para absorção da radiação

19

Temos que cada átomo do volume considerado absorve a potência mostrada

anteriormente. Como I E c= 1

8 02

π , escrevemos:

( )P

c

c=

− +

8 2 2

02 2 2 2 2

π ζω

ω ω ζ ω I = potência dissipada por átomo (62)

(lembrando que I = P/A), tendo n átomos/cm3.

[ ]22222

0

22

)( )(

8 )() (

ωζωωζωπ

+−∆−=−∆+ zI

c

ezNAsIzzIA (63)

onde tomamos ∆z pequeno.

Assim, no limite ∆z → 0

Ic

en

dz

dI

)( 8

222220

22

ωζωωζωπ

+−−= (64)

E por definição, dI

dzI= −α , onde

222220

22

)( 8

ωζωωζωπα

+−=

c

en (65)

é o chamado coeficiente de absorção do meio, e a variação da intensidade ao propagar-

se no meio é:

I z I e z( ) = −0

α (66)

A chamada secção de choque de espalhamento do sistema σ está relacionada

com o coeficiente de absorção através de

densidadensendon == ασ (67)

20

de modo que a secção de choque de espalhamento fica escrita como:

( )σ ω π ζω

ω ω ζ ω( ) =

− +

8 2 2

02 2 2 2 2

e

c (68)

Esta secção de choque representa a capacidade que cada constituinte do sistema

(no caso os átomos) tem em remover energia da radiação eletromagnética incidente e

dependendo das regiões de frequência, ela adquire aspectos bastante interessantes.

Vamos analisar os vários casos limites para a secção de choque de espalhamento

ou absorção.

1o. caso ω << ω0 - Neste caso a freqüência da radiação é muito menor do que a

freqüência de máxima absorção do sistema. Podemos desprezar os termos em ω no

denominador e

σ ω π ζωω

ω ω( ) << =02

2

04

8

c e (69)

Se substituirmos ζ por sua expressão

σ ω π ωω

ω ω( ) << =0

2 4

04

8 2

3

e

c m

e

c

2

3 (70)

ou seja

σ ω ωω

( ) .= Const 4

04 (71)

chamado de espalhamento de Rayleigh e caracterizado por ser proporcional à freqüência

à quarta potência. Neste caso, quanto maior é a freqüência da radiação mais

eficientemente ela interage e é espalhada pelo sistema atômico.

Este tipo de espalhamento (Rayleigh) é responsável pela aparência azul do céu.

Os gases da chamada estratosfera apresentam freqüências de absorção no ultravioleta.

Porém, a luz proveniente do sol (branca) está dominantemente no visível e, portanto

21

ω << ω0. Assim, a luz azul que compõe esta luz solar branca (que é a componente de

maior frequência) é mais espalhada do que as demais, e sendo espalhada para todas

direções ela nos atinge, e sendo sua maior componente azul, como resultado vemos o

céu azulado. Em ordem de grandeza temos σ(ω) ~ 5 x 10-25 ωω

4

02 cm2 de modo que se

ω ~ 10-2ω0 → (σ) ω ~ 10-33 cm2.

2o. caso ω >> ω0 - Neste caso a frequência da radiação é muito maior do que a

absorção de modo que podemos desprezar ω0 do denominador e

σ ω ωω

( ) . .= =const Const 4

4 (72)

A secção de choque é praticamente constante e este regime é chamado de

espalhamento Thompson, caracterizado por espalhar igualmente todas as freqüências.

Para espalhamento Thompson, temos:

σ ω( ) ~ 5 x 10-25 cm2 (73)

3o. caso ω ~ ω0 - Finalmente quando a freqüência da radiação é próxima da

freqüência natural do sistema temos o chamado espalhamento ressonante no qual a

energia da radiação não é apenas desviada espacialmente, mas é realmente absorvida

pelo átomo, tornando os átomos mais energéticos ou excitados.

Neste caso,

σ ω ωζ

αω

( ) ≅ −5 10125

2

2 2 x (74)

Quando ω ~ ω0 podemos mostrar que o espalhamento apresenta a secção de

choque

σ ωπ

λ( ) ≅ 3

22 2 cm (75)

22

onde λ é o comprimento de onda da luz incidente, assim, basicamente na ressonância, a

área efetiva para absorção de radiação é praticamente o comprimento de onda ao

quadrado.

Se fizermos um gráfico da secção de choque de espalhamento para os vários

casos que analisamos,

Fig. 9 – Comportamento da secção de choque radiação-átomo em toda a região espectral

IV.4. COMPORTAMENTO NÃO LINEAR NA INTERAÇÃO RADIAÇÃ O-ÁTOMO

Como vimos até agora, a resposta do meio material à radiação é essencialmente

linear, i.e., a polarização do meio na presença do campo elétrico da radiação é

proporcional a este campo. Vamos, agora, considerar o caso onde o meio não responde

somente proporcionalmente ao campo, mas inclui termos que dependem do campo ao

quadrado, etc. Isto é chamado de uma resposta não linear do meio à estímulos externos.

A resposta não linear do meio ao campo eletromagnético pode produzir uma troca

de energia entre campos de freqüências diferentes. Assim, o meio gera radiação numa

freqüência diferente do campo incidente produzindo, desta forma, uma troca de energia

do campo incidente para campos com freqüências diferentes. Duas das mais importantes

aplicações deste fenômeno são: geração harmônico, no qual parte de energia da onda

incidente com freqüência ω é convertida em radiação com freqüência 2ω e oscilações

paramétricas na qual um forte campo de radiação de freqüência ω gera através do meio

dois campos de radiação de freqüências ω1 e ω2 , tal que ω ω ω= +1 2 .

Vamos, então, imaginar um meio não linear no qual os elétrons do meio podem ser

visto como estando harmonicamente ligados. Assim, ao incidir radiação o elétron é

23

deslocado e a força restauradora do equilíbrio apresenta o convencional termo linear e

em adição o termo não linear.

Imaginemos que a força restauradora seja do tipo:

m r m rω β02 2 2r r+ (76)

onde β2 é o coeficiente do termo não linear.

Sob a incidência de um campo rE0cosωt externo, a equação do movimento para o

elétron é da forma:

tEermrmrm ωβω cos0222

0

rrr&& −=++ (77)

onde estamos deixando de lado o termo de dissipação para tornar os cálculos mais

simples.

Vamos considerar como solução aproximada o seguinte:

r rr r t1 0= cosω (78)

que será considerado paralelo a E0.

Da equação do oscilador, obtemos

tm

Eerrr ωβω cos0222

0

rr

&& −−= (79)

e substituindo a solução rr1 considerada no segundo membro da equação,

tm

eEtrtrr ωωβωω coscoscos 022

022

0 −−≅ r&& (80)

Podemos agora integrar esta equação duas vezes obtendo r(t).

Antes, porém, vamos usar a substituição

cos cos2 22 1ω ωt t= − (81)

24

de modo que cos cos( )2 1

22

1

2ω ωt t= + , temos

&& cos cos cosr r t r teE

mt≅ − − +

−ω ω β ω ω0

20

202 2 01

2

1

2 (82)

e integrando uma vez:

&r r sen tr

sen t reE

msen t≅ − − −

ωω

ωβ

ωω β

ωω0

2

0

202

2 202 0

4 - (83)

e integrando novamente

r t r teE

mt

rt

rt( ) cos cos cos≅ + + −

ω

ωω

ωω

β

ωω

β02

2 00

2

202

2

202

2

82

2 (84)

que desprezando o termo em t2, pois não representa solução oscilatória, fica

r t( ) ~ ω

ω ωω

β

ωω0

2

2 00

2

202

282r

eE

mt

rt+

+ cos cos (85)

Esta solução, embora esteja bastante longe de ser a solução real da equação

acima, revela um fato bastante importante que a presença do termo não linear faz com

que o sistema responda com freqüências múltiplas da freqüência de excitação. No caso

acima, o termo em cos2ωt correspondem à chamada geração de segundo harmônico

que, como vemos, deverá ser bastante pequeno já que β é pequeno.

Embora a solução anterior não seja muito adequada, ela nos fornece

conhecimento necessário para propor como solução da equação inicial como algo do tipo:

∑∞

=

=0

)cos()(n

tnAntr ω (86)

25

deixando claro que o meio responderá em múltiplos da freqüência de excitação. Como

estamos interessados somente até a geração do segundo harmônico, vamos carregar a

solução até n = 2, ou seja

r A A t A t≅ + +0 1 2 2cos cosω ω (87)

que substituído na equação inicial fornece

− − + +A t A t A t A t12 2

2 02

1 02

24 2 2ω ω ω ω ω ω ω ωcos cos cos cos

+ + + = −A A t A A teE

mt0 0

2 212 2

2 002 2ω β ω ω ω( cos cos ) cos (88)

Como estamos interessados nos termos de ordem ωt e 2ωt, fazendo as

substituições:

cos cos2 1

22

1

2ω ωt t= +

cos cos cos cosω ω ω ωt t t t21

2

1

23= + (89)

cos cos2 21

24

1

2ω ωt t= +

Após substituição, vamos igualar os termos de mesma ordem em cosωt e cos2ωt

desprezando os demais:

− + + + = −A A A A A AeE

m12

1 02

1 2 1 02 02ω ω β

− + + + =42

2 022 0

22

212

2 02ω ω

ββA A

AA A (90)

Na primeira equação, como esperamos que A1 seja o termo dominante,

desprezamos os demais e obtemos:

26

AeE m

10

02 2

≅−

−

/

ω ω (91)

Substituindo este valor na segunda equação no qual o último termo será

desprezado, temos

( )( )

Ae E m

2 02 4

2 202 2

02 2 2

42

ω ωβ

ω ω− =

−

−

/ (92)

( ) ( )40

2220

220

22

242

/

ωωωωβ

−−−=

mEeA (93)

Com isto, podemos calcular a polarização do meio, levando em conta somente os

termos cosωt e cos2ωt e temos

( )( ) tmEEe

tmEe

rep ωωωωω

βωωω

2cos 42

/ cos

/22

022

0

200

22

220

02

−−+

−=−=

rrr

(94)

e para a polarização total

r rP Np= (95)

onde B é a densidade de átomos considerados.

( ) ( ) tmENe

tmENe

P ωωωωω

ωωω

2cos 42

/ cos

/22

0

220

220

2

220

02

−−+

−= (96)

Como P = χE, onde χ é a chamada susceptibilidade, a susceptibilidade apresenta

agora divergências em dois pontos distintos.

Primeiro, a divergência que já esperávamos em ω−ω0, denotando a ressonância do

sistema ao redor deste ponto.

27

A nova divergência que aparece agora corresponde a ωω

= 0

2. Neste ponto, a

radiação incidente na freqüência ωω

= 0

2 emergirá do sistema com freqüência 2ω=ω0,

caracterizando a chamada geração de segundo harmônico.

Fig. 10 – n(ω) versus ω para o caso não-linear

É claro que não introduzimos no nosso cálculo termos dissipativos, mas isto poderia ser

feito sem grandes dificuldades da mesma forma que foi feito anteriormente.

Os efeitos não lineares em meios ópticos são extremamente importantes para

dispositivos opto-eletrônicos e para geração de luz visível a partir de luz infra-vermelho.

Num curso moderno de óptica este processo será necessariamente abordado com

profundidade.

IV.5. FORÇA DA RADIAÇÃO SOBRE O SISTEMA ATÔMICO

Até agora estudamos o processo de espalhamento de radiação do ponto de vista

energético, sem nos preocuparmos com o efeito mecânico que esta interação produz.

A radiação não é composta apenas de campo magnético que oscila num plano

perpendicular ao plano determinado pelo campo elétrico. Assim, como E e b oscilam em

fase, o efeito de ambos sobre as cargas do átomo ocorre em conjunto.

A ação do campo elétrico sobre o átomo produz um deslocamento do elétron na

sua direção e sentido oposto. Isto significa que o campo elétrico da radiação imprime ao

elétron do átomo uma velocidade r& . Como o campo magnético pode agir sobre esta

carga animada de velocidade, isto resulta numa força.

28

Bxrc

eF

r&

r−= (97)

Vamos considerar uma radiação que apresenta campo elétrico na direção $x ,

magnético na direção $y e, portanto, tem direção de propagação em $z.

O campo elétrico movimenta o elétron na direção $x e, portanto, r& é na direção $x ,

de modo que a força acima torna-se:

rF

e

crBz= − & $ (98)

e desta forma, a força que a radiação exerce sobre o sistema atômico é na direção de

propagação da mesma.

Fig. 11 – Esquema da força produzida sobre o átomo durante interação com radiação

A equação de movimento do elétron no átomo já foi considerada anteriormente

como sendo:

tEermrmrm ωωζ cos020

rr&

r −=++ (99)

e obtivemos como solução para r&

29

( )[ ] )( 1

2/1

22220

2

0 φωωζωω

ω+

+−+= tsen

m

eEr& (100)

que leva à seguinte força quando tomamos

B E t= 0 cosω

( )[ ] zttsen

mc

eEF ˆcos

)(

2/12222

02

20 ω

ωζωω

φωω

+−

+−=r

(101)

Devemos lembrar que a fase φ existe devido ao termo dissipativo ζ. Podemos

escrever:

sen t t sen t t tsen( ) cos cos cos cosω φ ω ω ω φ ω φ+ = + 2 (102)

e ao tomarmos o valor médio temporal o termo em < senωtcosωt > = 0, restando apenas

cos21

2ωt = (103)

de modo que

( )rF

e E

mc

senz= −

− +

2

02

202 2 2 2

1 22

ω φ

ω ω ζ ω/

$ (104)

e como já determinamos anteriormente que

( )senφ ζω

ω ω ζ ω

= −

− +

202 2 2 2

1 2/ (105)

obtemos que a força média exercida pela radiação sobre o sistema atômico como sendo

30

( )rF

e E

mcz=

− +

202 2

202 2 2 22

1ω ζ

ω ω ζ ω$ (106)

Graficamente esta força está representada a seguir:

Fig. 12 – Dependência da força com freqüência

Esta força está estritamente ligada ao processo de absorção-emissão de luz e,

portanto, tem seu valor máximo quando o átomo está numa situação ressonante. Isto é,

ω=ω0.

Note que se não houver dissipação de energia (ζ = 0), a força é nula, pois a

expressão acima trata-se de uma média e o átomo só pode continuar o processo de

absorção se continuamente estiver dissipando energia. No caso de não dissipação, a

força é oscilatória, invertendo o sentido quando o campo oscila gerando, no entanto, uma

força média nula.

A força de radiação encontra hoje muitas aplicações importantes no

desenvolvimento científico. Ela é a ferramenta principal nas técnicas modernas que

procuram controlar o movimento de espécies atômicas.

(apsfi305.doc)

Universidade de São Paulo

Instituto de Física de São Carlos

Departamento de Física e Ciência dos Materiais

FÍSICA MODERNA ELEMENTAR

CAPÍTULO V

EXPERIMENTOS QUE DETERMINARAM O INÍCIO DA FÍSICA

MODERNA

Autores:

Prof. Dr. Vanderlei Salvador Bagnato

Prof. Dr. Luís Gustavo Marcassa

São Carlos

Agosto de 1999

2

Capítulo V

EXPERIMENTOS QUE DETERMINARAM O INÍCIO DA FÍSICA MO DERNA

1 – Introdução:

Em meados do final do século XIX e início do século XX, os fenômenos explicados

pelos conceitos básicos existentes entrava numa profunda crise devido à impossibilidade

de explicar determinados resultados experimentais da época. Tais resultados exigiam o

estabelecimento de novos conceitos e modificações radicais das idéias que até então

haviam persistido. Com a participação de personagens ilustres como: Planck, Rutherford,

Niels Bohr, Einstein, Max Born e outros; estabeleceu-se uma linha de pensamentos que

em conecção com experimentos brilhantes de diversas naturezas propiciou o

aparecimento da Teoria Quântica. Esta nova maneira de ver o mundo físico estabelecia

novos conceitos que descreviam ao mesmo tempo o ondulatório do elétron (ou partículas

em geral) e o comportamento corpuscular da radiação.

Nesta parte do nosso curso iremos estudar os resultados mais importantes que

determinaram o nascimento desta nova teoria. Iniciaremos com uma discussão das leis

básicas de radiação emitida por um corpo aquecido (radiação de corpo negro). Neste

ponto será bastante apropriado a introdução do conceito de estatística quântica e do

fóton. Após discutiremos os experimentos mais importantes como o efeito fotoelétrico, o

efeito Compton, a natureza eletromagnética do raio-x e a natureza ondulatória de um

feixe eletrônico.

2 - Estatística Quântica e Radiação do Corpo Negro:

Já é do nosso conhecimento através de observações do cotidiano, que todos os

corpos quando aquecidos emitem radiação eletromagnética. À medida que a temperatura

do corpo aumenta, vemos a sua “luminosidade” passar de vermelho para amarelo e,

eventualmente, branca, demonstrando a existência de uma dependência das

características de sua emissão com a temperatura. Apesar de que possamos ser levados

a pensar que corpos “frios” não emitem radiação, devemos salientar que mesmo os

corpos em baixas temperaturas são emissores de radiação, só que, nestas

circunstâncias, o comprimento de onda emitido localiza-se na região do infravermelho ou

3

mesmo abaixo desta, de modo que não é notado pelos órgãos visuais humanos.A fim de

criarmos um sistema físico que nos permita observar somente sua radiação emitida,

vamos imaginar uma caixa oca cujas paredes estão mantidas a uma determinada

temperatura constante, de modo que a radiação existente no seu interior está em

equilíbrio com as paredes. Assim, podemos associar a esta radiação a mesma

temperatura T das paredes. Esta cavidade é um sistema termodinâmico que não

depende dos processos químicos e físicos que ocorrem nas paredes, mas

essencialmente do equilíbrio.

Da forma apresentada este é um sistema isolado, ficando difícil seu estudo já que

energia não está sendo trocada com o meio não permitindo observação direta. A fim de

tornar acessível a observação da radiação na cavidade, façamos um pequeno buraco

nesta cavidade, pequeno o bastante para que não perturbe a situação de equilíbrio, mas

permitindo que uma pequena parte da radiação deixe a cavidade criando a possibilidade

de observação. Quando parte da radiação externa penetra na cavidade, esta é totalmente

absorvida pelas paredes da cavidade, não havendo reflexão nenhuma. Se olharmos para

a abertura na cavidade, somente observamos a emissão de radiação. Nenhuma reflexão

da radiação externa é observada. A esta radiação denominamos de radiação de corpo

negro, caracterizando um corpo que é perfeitamente absorvedor, só emitindo sua

radiação característica. É importante notar que toda radiação incidente será transformada

em radiação de corpo negro, pois será envolvida no processo de equilíbrio do sistema.

A radiação de corpo negro tem propriedades bastante interessantes e seu estudo

foi um dos responsáveis pelo aparecimento da mecânica quântica e da chamada

estatística quântica.

Antes de iniciarmos o estudo das propriedades da radiação do corpo negro, é

necessário alguns conceitos já vistos anteriormente. A radiação eletromagnética contém

quantidade de movimento e energia. Anteriormente, vimos que a densidade de energia

contida na radiação devido aos seus campos elétricos (E) e magnéticos (B) é dada por

u = 1/8 π (E2 + B2).

No caso que tratamos, tínhamos somente campos monocromáticos. No caso mais

geral definimos u (ν,T) como sendo a densidade de energia por unidade de frequência,

ou seja, u (ν, T) dν é a densidade de energia da radiação com frequência entre ν e ν +

dν. Se quisermos saber a densidade de energia total, deveremos somar sobre todas as

possíveis frequências. Note que já colocamos a dependência da temperatura em u pois

estamos tratando da radiação que está em equilíbrio térmico com as paredes da

4

cavidade. Assim, a densidade total de energia será:

( ) ( )dvTvuTu ,0∫∞

=

A notação u e u pretende diferenciar a densidade total (sem barra) daquela por

unidade de frequência. Evidentemente, temos as seguintes unidades para ambas:

[ ]3cmseg.energia

u = e [ ]3cm

energiau =

Em 1859 o físico Kirchhoff provou que u = u (ν, T) é independente da natureza das

paredes da cavidade, ou seja, ele demonstrou que independente do material que constitui

a cavidade a radiação preserva suas características. O resultado descrito acima é

denominado de Lei de Kirchhoff.

A fim de demonstrarmos esta lei, vamos considerar duas cavidades A e B

contendo aberturas, mas constituídas de materiais diferentes e mantidas à mesma

temperatura.

Para simplificarmos, analisemos a densidade de energia em somente uma região

espectral (ν, dν). Vamos assumir que a densidade de energia em A seja maior do que a

densidade em B.

( ) ( )T,uT,u BA νν =

Assim, a densidade de energia/V contida na cavidade (e, portanto, na radiação de corpo

5

negro), não depende da constituição das cavidades, sendo uma função universal de ν e

T. Consequentemente, a densidade total de energia µ é uma função universal da

temperatura.

Vamos agora analisar com mais detalhes a radiação proveniente de um corpo

negro. Imaginando uma cavidade da qual a radiação provém e denotando por K a

quantidade de energia que emana do corpo por unidade de área e tempo (fluxo),

obtemos facilmente que temos que:

( )Tu4cπ

φ =

ou seja, o fluxo de energia emitido pelo corpo negro é também uma função universal da

temperatura do corpo (da mesma forma que a densidade de radiação).

Do fato que a radiação carrega momentos (como visto anteriormente no capítulo

IV), significa que ao ser absorvida ou refletida por uma superfície haverá atuação de uma

força que normalmente é referida, como sendo a pressão da radiação a qual passaremos

agora a explicar.

Consideremos um feixe de radiação incidindo sobre uma superfície segundo um

determinado ângulo θ com a normal à superfície.

Vamos denotar de p e p o momentum total contido num volume V para a onda

incidente e refletida respectivamente. Se a transferência de momento ppp'

−=∆

ocorre durante um tempo t, a força exercida sobre a superfície é:

tpp

tp

F∆∆

∆ −=−=

6

onde o sinal ( - ) foi introduzido porque estamos tratando da força sobre a superfície. O

tempo para transferência deste momentum (t) é o mesmo gasto para todo volume V

considerado chegar à superfície. Se a base do cilindro considerado tem que percorrer d

para atingir a superfície, c∆t = d. O volume ∆ V que contém a radiação em questão é ∆V

= Ad cos θ. Assim,

∆V = Ac∆t cosθ

Do eletromagnetismo temos que (u = densidade energia)

ncVu

p∆= e 'n

cV'u

'p∆=

(n e n ) estão representadas na figura, de modo que podemos escrever

−= 'nc

V'un

cVu

VcoscA

F∆∆

∆θ

ou seja

( )'n'unucosAF −= θ

Analisemos a pressão de radiação em dois casos distintos: primeiro quando temos

reflexão total (u = u’). Neste caso,

)'nn(ucosAF −θ=

como xcos2'nn θ=− (já que n e n são unitários), temos

ucosA2FxF 2 θ==

e, portanto, a pressão P = Fx/A

P = 2cos2θu

7

Utilizemos este resultado para calcularmos a pressão da radiação no interior da

cavidade. Quando estamos no interior da cavidade, ao analisarmos em determinado

elemento de parede, vemos que naquele ponto, chega radiação de todas as direções de

modo que a expressão que calculamos é apenas uma pequena contribuição de uma

específica direção. A pressão num determinado ponto será a soma de toda incidência de

radiação no ângulo sólido 2π strd determinado por todo semi-hemisfério defronte da

parede.

Sendo u a densidade de energia, a contribuição para a pressão devido à radiação

contida no ângulo sólido d Ω será contida

πΩθ=

4d

ucos2dP 2

e a pressão teta’

dpP ∫= (em todo semi-hemisfério)

ou usando dΩ = sen θdθdγ,

( )∫∫ππ

γθθπ

=2

0

2/

0

2 ddcos4Tu

2p

( ) ππ

= 2.31

4Tu

2

ou seja,

( )3Tu

p =

que é a pressão da radiação no interior de uma cavidade contendo uma densidade de

energia u(T).

No caso de termos absorção total da radiação pela parede, u’ = 0 os cálculos nos

forneceriam o mesmo resultado a menos de um fator de 2.

Assim, a radiação de corpo negro ocupa um volume V e apresenta pressão P. O

8

volume V pode ser mudado através do movimento do pistão. Vamos tratar este sistema

termodinâmicamente. A energia total contida no sistema será:

U = Vu(T)

e havendo uma movimentação do pistão causando uma variação de volume dV, o

trabalho realizado pelo pistão será, onde estamos preservando a quantidade de radiação,

considerando reflexão total:

dW = PdV = dV3

)T(u

trabalho este que aumentará a entropia do sistema. Usando a primeira lei da

termodinâmica (com dQ = TdS)

TdWdU

dS+=

é a variação da entropia do sistema. As variações envolvidas nesta última expressão são:

dTdTdu

VudVdU +=

dV3

)T(udW =

Imaginemos uma situação termodinâmica onde a cavidade que contém a radiação

será um pistão evacuado e obtemos para a variação da entropia

dVTu

34

dTdu

TdS +ν=

Vamos agora utilizar uma propriedade das funções termodinâmicas denominadas

de diferenciais exatas. S e f dependem das variáveis e y, temos

9

dyyf

dxf

df∂∂+

∂∂=

e, sendo df uma diferencial exata,

yxf

xyf 22

∂∂∂=

∂∂∂

Como dS é um diferencial exato:

=Tu

dTd

34

dTdu

T1

ou seja, tomando a derivada,

2Tu

34

TdTdu

34

dTdu

T1 −=

TdT

4u

duTu

4dTdu

T1

2=⇒=

e integrando esta equação, obtemos:

u(T) = aT4

sendo a uma constante, esta expressão mostra que a densidade de energia na radiação

de corpo negro depende com a quarta potência da temperatura.

Assim, a quantidade de energia que é emitida pelo corpo negro preenchido com

radiação de corpo negro à temperatura T.

Por unidade de tempo e área, temos a forma:

)T(u4cπ

=φ

4T4cπ

=φ (energia emitida/área tempo)

10

A constante σ≡π4

ca chamada de constante de Stefan-Boltzmann para a radiação de um

corpo negro, e este resultado:

Φ = σT4

é a chamada Lei de Stefan-Boltzmann para a energia emitida por um campo negro.

Esta descrição feita pelos físicos Stefan e Boltzmann em 1884 corresponde a um

dos grandes feitos teóricos que acabou como decisivo no desenvolvimento da física

moderna. O valor da constante σ = 5,7 105 esq cm -2 S-1K-4

Esta expressão (Lei Stefan-Boltzmann) nos fornece apenas uma relação entre a

intensidade da radiação emitida pela corpo negro como função de sua temperatura. O

resultado acima é a soma total para todos os comprimentos de onda (ou frequência)

contidos na radiação. Nada pode, desta expressão, ser concluído a respeito da

dependência espectral da radiação do corpo negro.

A dependência da densidade de energia na radiação d o corpo negro com a

frequência foi um importante ponto no surgimento da mecânica quântica , já que sua

concordância com os resultados experimentais só foi possível com a introdução de novos

conceitos. Vamos ver com algum detalhe o desenvolvimento teórico desta dependência.

Vamos iniciar fazendo uma análise dimensional. Tomemos quatro unidades

como sendo fundamentais . Uma delas (bastante lógica no presente problema) é a

temperatura que denotaremos por θ. As demais serão as unidades mecânicas de

comprimento (l), tempo (t) e energia (e), sendo que esta última entra no lugar da

convencional massa, pois trataremos com a densidade de energia na radiação, sendo,

portanto, energia mais apropriada que massa.

Relembrando que u (ν, T) é a densidade de energia por unidade de frequência

temos:

( )[ ] 3', leTu =ν ( )[ ] 3', leTu =ν

Queremos introduzir nesta expressão a dependência com a temperatura (T) e

frequência (ν).

Assim, vamos escrever as quantidades que temos interesse que estejam

presentes em termos das unidades escolhidas. Vamos lembrar que K, T têm unidade de

11

energia, de modo que K = e θ -1 (constante Boltzmann). Assim:

u v T c K

et t-1 θ lt-1 eθ-1

l3

Importante para nós são estas conco grandezas, já que tratando de radiação é

importante ν e c, e como estamos trabalhando com energia e temperatura, também são

importantes T e K.

Vamos tentar achar um produto entre estas grandezas de modo a termos uma

quantidade dimensional. Denominemos este número admensional por Π temos:

( ) gfdbaKcTu ν=Π

onde permitiremos aos exponentes serem positivos ou negativos. Do fato que estamos

querendo determinar u como função das demais, vamos estabelecer que a = 1. Isto é

necessário porque temos 5 epoentes a determinar e somente 4 unidades independentes.

Escrevendo as grandezas em termos das unidades temos (com a = 1):

π = etl-3t-b θdl f t-f egθ-g

Assim, por comparação teremos:

1 + g = 0 g = -1

1 - b - f = 0 d = -1

-3 + f = 0 f = 3

d - g = 0 b = -2

de modo que

KTvcu

2

3

=Π

onde ∏ denota um determinado número universal. Daqui tiramos

12

( ) Π=3

2

cKTv

T,vu

Esta expressão foi determinada em 1900 por Lord Rayleigh através da utilização de um

tratamento estatístico, obtendo ∏ = 8π (com π = 3.1416......). Após alguns anos ela foi

também determinada por J. H. Jeans e, portanto, é conhecida como fórmula de

Rayleigh-Jeans para a radiação do corpo negro.

( )3

2

cKT

8T,uνπ=ν

Uma maneira alternativa para obtenção da relação de Rayleigh-Jeans para

radiação consiste em utilizarmos o princípio da equipartição de energia e para os modos

de uma cavidade.

Assim, consideremos inicialmente uma cavidade cúbica de lado L dentro da qual

exite radiação. Para que esta radiação exista dentro da cavidade é necessário que toda

energia da radiação esteja entre os vários modos da cavidade.

Se a cavidade for constituída de um material perfeitamente refletor, o campo elétrico da

radiação deverá anular-se nas paredes, pois a radiação não pode existir além destes

contornos. Assim, é necessário que o comprimento L exista um número inteiro de 2λ

.

13

Estas várias possibilidades constituem os vários modos da cavidade. As condições de

contorno requerem que:

L2

n xx =

λ ou

π=

πλ L

2n XX

de onde tiramos (nas várias direções):

kxL = nxπ

kyL = nyπ

kzL = nzπ

nx,y,z = 1, 2, 3, ....

Qualquer conjunto de inteiros (nx, ny, nz) apresenta um modo da cavidade, como:

zkykxkk zyx ++=

( ) Lnnnk zyx /222 π++=

Como λπ= 2

k e ν

=λ c, temos

( )Lc

nnn zyx 2222 ++=ν

Para cada conjunto (nx, ny, nz), temos desta relação a freqüência do modo.

Se apresentarmos todos os possíveis modos num gráfico nx, ny, nz, termos uma

rede de ponto cúbico espaçados da unidade, preenchendo todo o octante positivo dos

eixos. Se, então, perguntarmos quais são os vários modos para uma determinada

freqüência ν,

22

2z

2y

2x c

L2nnn ν

=++

14

basta verificarmos todos os pontos que encontram-se sobre uma esfera de raio

ν=cL2

R .

Se perguntarmos quantos modos existem dentro do intervalo de frequência ν e ν +

dν, a resposta seria óbvia: todos aqueles que no gráfico anterior estão dentro de uma

casca esférica de raio R e espessura dR, onde:

ν=

ν=

dcL2

dR

e

.cL2

R

Com a densidade de pontos na rede de modos é 1 ponto/volume, o número de

pontos que caem dentro do volume da casca esférica acima é:

ννπ=π= dcL

4dRR481

dN 23

32

Se agora lembrarmos que cada modo pode ter duas polarizações independentes

(que corresponde a dois graus de liberdade por modo), pelo princípio da equipartivação

de energia, podemos associar a cada grau de liberdade da cavidade kT21

e, portanto,

kTkT21

x2 = por modo (cada modo representa um grau de liberdade que pode contar

energia de cavidade).

Assim, a energia total contida na cavidade será:

kT.dcL

4.2xdNxkT2du 23

3

ννπ==

portanto, a densidade de energia por unidade de frequência será:

( )3

2

3 ckT8

dLdu

T,uπν=

ν=ν

15

Cada modo está levando kT devido a energia do campo ter a forma (E2 + B2)

apresentando dois termos quadráticos cada um levando kT21

.

É razoável que esta lei corresponda à realidade para baixas frequências, pois

neste limite a seletividade dos modos é esperada de ser predominante.

É evidente que a relação de Rayleigh-Jeans fornece valores absurdos para u

quando altos valores na frequência são considerados, pois sabemos da prática, ao

observarmos um cargo aquecido que não temos indefinidamente mais energia quando

olhamos para maiores frequências da radiação emitida. Pelo contrário, normalmente as

componentes de radiação de mais alta frequência estão ausentes. Podemos atestar este

absurdo ainda de outra forma, dizendo que:

( )∫∞

∞→=0

, νν dTuu

denotando uma quantidade infinita de energia contrariando mesmo a lei de Stefan-

Boltzmann. Esta divergência de u é denominada de catástrofe do ultravioleta. Devemos

salientar, no entanto, que a lei de Rayleigh-Jeans é bastante razoável com os resultados

experimentais na região de baixas frequências.

É claro que estamos procurando uma concordância com os resultados

experimentais e, para isto, vamos considerar que se dependa de mais uma função que

contém uma constante α na sua determinação, constante esta que é uma combinação de

K e uma nova constante universal . Assim, escrevemos:

16

( ) ( )n3

2

TfckT

T,u ανν=ν

a função f foi introduzida para sanar os problemas com a lei de Rayleigh-Jeans. Não

sabemos ainda qual o valor de n, mas este exponente deverá ser escolhido de tal forma a

satisfazer as leis já conhecidas para a radiação do corpo negro. Calculando a densidade

total de energia no corpo negro.

( )∫ ∫∞ ∞

ναυν=ν=0 0

n23

dTfcKT

duu

Chamando x = ανTn → dx = αTndV e, portanto

( )∫∞−

α=

0

233

n31

dxxxfc

kTu

como u α T4 (Lei S. Boltzmann)

⇒ n = -1

Assim, temos

( )

ανν=νT

fcKT

T,u3

2

Normalmente escrevemos k α = h, de modo que α = Kh

,

( )

νν=νKTh

fcKT

T,u3

2

ou seja, a densidade ( )T,u ν é o produto de 3

2

cKTν

por uma função universal f que

depende da quantidade

νKTh

. Este resultado é conhecido como Lei de Wein . Esta lei

foi bastante importante porque reduziu uma função desconhecida de duas variáveis numa

17

função desconhecida de uma única variável.

A quantidade h que aparece nessa expressão representa uma nova constante que

tem dimensão de energia vezes tempo, denominada de “ação”.

Podemos antecipar que ela é denominada de constante de Planck e representa

um quantum de ação, ou seja, a unidade elementar de energia-tempo que um sistema

físico emitir ou absorver.

( )xfcKT

u3

2ν=

A fim de determinar a forma explícita da função f(x) Wien imaginou que dentro da

cavidade a radiação era semelhante a proveniente de moléculas de um gás aquecido

emitindo radiação. Portanto, a frequência da radiação poderia ser vista como

dependendo intrinsecamente da velocidade das moléculas.

Considerando uma distribuição de Maxwell-Boltzmann para as moléculas do

suposto gás emissor de radiação, podemos associar a energia das partículas com a

frequência emitida, de modo que a quantidade de partículas emitindo ν é proporcional a ν

exp (-νh/KT) e como a energia emitida por cada uma deve ser proporcional a ν, temos:

( ) ( ) T/b2 econstT,u ν−νν=ν

Conhecida como fórmula da radiação de Wien .

Com um ajuste apropriado das constantes que aparecem nesta expressão,

notamos que ela concorda relativamente bem com os resultados experimentais para

altas frequências não sendo muito boa para baixas e muito pior para frequências

intermediárias.

A situação está esquematizada na figura abaixo.

18

A fórmula geral de Wien, baseada numa função universal, está qualitativamente

certa. Neste sentido, ela prevê a existência de um máximo em u (ν,T) para determinada

frequência. Impondo a existência do máximo com u , na forma de u , 0d

ud =ν

, temos:

( ) ( ) 0KTh

x'fcKT

xfcKT2

3

2

3=ν+ν

e, como ν ≠ 0, a condição do máximo torna-se:

2f (x max) + x max f’ (x max) = 0

A existência deste T

x maxmax

αν= revela que, pelo menos qualitativamente, quando

temos aumento em temperatura, o máximo (ou pico) da emissão de radiação desloca-se

para maiores valores de frequência, como esperado e este deslocamento ocorre de

forma proporcional. Este resultado é conhecido como “Lei do Deslocamento de Wien”,

estabelecendo que a relação entre as posições das máximas de emissão do corpo negro,

2

)2(max

1

)1(max

TTν

=ν

quando são consideradas duas temperaturas diferentes. A comprovação

experimental da lei do deslocamento de Wien é uma importante constatação de que a

proposta de wien com relação a dependência de u (ν, T) com a função universal f(x) é

verdadeira.

Até este momento o problema permanecia em aberto, estando bastante afastada

uma teoria que reproduzia bem os resultados medidos.

A conecção para os resultados a baixas frequências (Rayleigh-Jeans) e altas

frequências (Wien) foi feita pelo físico Planck. Enquanto Rayleigh-Jeans considerou

apenas a radiação confinada num volume, Planck procurou imaginar uma situação

diferente. A radiação não é mais considerada isolada mas em equilíbrio com osciladores

capazes de tomar e dar energia ao campo. Planck imaginou que a energia armazenada

na radiação eletromagnética poderia ser descrita como a energia armazenada em

osciladores harmônicos carregados em contato com ra diação .

Assim, para Planck, o sistema que constitui o corpo negro pode ser descrito por

uma série de osciladores em equilíbrio com radiação. Cada oscilador tem sua frequência

19

natural ωωωω0 e um termo dissipativo que torna possível a troca constante de energia entre

osciladores e campo no interior da cavidade dando a radiação as caracterísitcas

necessárias.

Se o campo de radiação tem um valor Ex, a equação de movimento do oscilador

torna-se (onde estamos considerando a carga do oscilador como e e a componente x do

campo elétrico da radiação):

( ) x20 eExxxm =ω+ξ+ &&&

onde m e e denotam a massa e a carga do oscilador, enquanto ξ é o coeficiente de

dissipação que já determinamos (cap. IV) como sendo:

mce

32 2

3

2 ω=ξ

quando tratamos a interação da radiação com o sistema atômico.

Note que, apesar do oscilador ser tridimensional, somente uma componente está

sendo considerada e generalizaremos mais adiante.

Para o campo de radiação da forma tEEx x ωsen0= , o oscilador responderá com:

( )δ+ω= tsenxx 0

onde a amplitude

( )[ ] 2/12222

02

x0

o

m/eEx

ωξ+ω−ω=

Vamos calcular a energia do oscilador que podemos imaginar como sendo a energia

interna deste sistema. Neste caso ela está dividida entre cinética e potencial.

cinética → ( ) ( )δ+ωωξ+ω−ω

ω= tcos

m/Ee2m

xm21 2

22220

2

222xo

2

&

20

potencial → ( ) ( )δ+ωξω+ω−ω

ω=ω tsen

m/Ee2m

xm21 2

2220

2

20

22xo

222

0

de onde tiramos uma energia média para o sistema quando campo na frequência ωωωω é

considerado, e tirando média temporal

>+ω=< 2220 xm

21

xm21

U &

resultando em

( )

+−

+=2222

02

20

2

20

2

221

ωξωωωω

ω mEem

Ux

onde o fator ½ aparece da média temporal. Uω é a quantidade total de energia

armazenada nos osciladore de frequência ω .

Até este ponto consideramos a radiação como sendo monocromática. Esta é

apenas uma contribuição à energia, pois no campo de radiação temos um contínuo de

frequências formando o espectro da radiação. Assim, a amplitude x0E passa agora a

depender de ( )ωω x0E, . Assumimos que Uω acima, representa a energia contida entre as

frequências ω - ω + d ω e que x0E representa uma espécie de densidade espectral de

modo que:

∫∞

ω ω=0

dUU

( ) ( )( ) ω

ωξ+ω−ωω+ω

ω= ∫∞

dEm4

eU

2220

2

20

2

0

xo

22

A fim de simplificarmos esta integral, vamos considerar que ( )ωx0E varia bastante

lentamente com ωωωω, de modo que a maior contribuição vem do termo ( )0x0E ω . Também

vamos assumir que ω próximo de ω0 é a maior contribuição, de modo que:

21

( )( ) ( )2

020

2220

20

220

6026

42

2

4

6

422

20

20

2

4

a4m1

ce

94

mce

94

2

ω−ωω≅ω−ω

ωω=ω≈ωω=ωξ

ω≈ω+ω

com 3

2

mc3e

a =

Assim, a energia para o oscilador centrado em ω0 fica:

( )( ) ( ) 2

14 22

02

0

0

22

ωωωωω

a

dE

me

U xo

+−=

e a integral,

( )( ) ( )∫ ω+ω−ω

ωω=

00

0 220

20

0xo

2

a

d21

.m4

EeU

2

Esta última integral:

( ) ( ) ∫∫∞

ω− +θ

θω

=ω+ω−ω

ω=0a

1 220

00

0 20

20 1

da21

a

d21

I

com 20

0

aωω−ω

=θ e como temos 1a 20 <<ω , o limite inferior da integral pode tornar-se -∞

20

120 a2

/Tana21

Iωπ=θ

ω= ∞

∞−−

e assim temos para energia:

( )0x02

0

22

Ema8

eU ω

ωπ=

22

Como sabemos, a densidade de energia na radiação é (já tirando média temporal):

( ) 20

20

20 8

181

21

EBEuππ

=+=

e, como 20

x0 EE3

2

=

( ) ( )0x2

0x2

00 u3

8EE

83

Tu ωπ=→π

=ω

e, usando 3

2

mc3e

a = , obtemos ( )020

32

uc

U ωω

π=

e podemos trocar ω0 com ω, já que ω0 é arbitrário e deveremos ter osciladores em todas

as frequências.

( )ωω

π= uc

U2

32

Como πν=ω 2 , e como a quantidade de energia entre ω - ω + dω é igual a

quantidade de energia entre as equivalentes frequências ν → ν + dν.

( ) ( ) ( )πνωννωω

2)(u

ududu =→=

ou seja,

πν

νππ=

2)(u

4c

U22

32

( )νπν

uc

U2

3

8=

Esta é uma relação geral entre a energia do sistema e a densidade de energia no

campo de radiação mostrando que a energia total dos osciladores que constituem a

23

radiação é uma função universal da mesma forma que a densidade de energia da

radiação de corpo negro.

Estamos procurando uma expressão para u (ν,T) do corpo negro, mas segundo

Planck isto é equivalente a procurar a energia total do oscilad or em equilíbrio com a

radiação .

Para podermos calcular u (T) vamos associar ao oscilador uma entropia S

associado a uma temperatura T, de modo que:

TdU

dS =

Isto é uma maneira adequada de tratar o problema: usar entropia ao invés de

energia. Agora consideremos que fosse válido a lei de Wien, então usaríamos:

( ) T33

ecKA

T,uν

α−να=ν

Usando este resultado na epressão para U, obtemos:

T/T/332

3

Ae8K

ecKA

8c

U αυ−αυ− να=ναπν

=

de onde podemos eliminar a temperatura, obtendo a relação:

νααν−=

8Ak

ULn

1T1

Como dUdS

T1 = , podemos tomar uma nova derivada com respeito à U obtendo a

grandeza característica

2

2

dUSd

24

este é o valor de 2

2

dUSd

quando assumimos relação de Wien.

Vamos agora assumir como verdadeira a relação de Rayleigh-Jeans para )T,(u ν .

Neste caso,

( )3ckT8

T,uπν=ν

e com isto, dUdS

UK

T1 == ou seja

22

2

UK

dUSd −= o sistema oscilador-radiação que é

relação entropia-energia quando Rayleigh-Jeans é verdadeiro.

Como sabemos dos resultados experimentais, Wien concorda para altas

frequências enquanto Raylegh-Jeans concorda para baixas frequências. Desta forma,

Planck assumiu que ambas devem ser verdadeiras em seus respectivos limites, tornando

assim:

K/UU1

dUSd

22

2

+αν−=

Note que esta foi uma suposição feita por Planck que poderia não ter funcionado.

A equação 2

2

dUSd

pode ser integrada com a radiação que quando U → ∞, devem

necessariamente ter T → ∞, portanto, dUdS

→ 0 já que T1

dUdS = . Com isto,

ανκ+ανκ

αν=

/U1/U

ln1

dUdS

e como

T1

dUdS =

TUU αν

ανκανκ −=

+ /1/

ln

25

de onde tiramos, substituindo α = h / K

1eh

UkT/h −ν= ν

que usado de volta na expressão que relaciona ( )T,Ue υµ , teve a

( )1e

hc

8T,

kT/h3

2

−νπν=νµ ν

que é a lei de Planck para a radiação , estabelecendo uma expressão completa válida

para todo intervalo espectral.

Os limites para baixo νννν, leva à lei de Rayleigh-Jeans enquanto o limite para alta υ,

leva à lei de Wien.

É importante observar que o que Planck fez foi tratar a radiação contida na

cavidade como sendo um sistema constituído de osciladores em equilíbrio com radiação

e tratar este sistema termodinamicamente.

A fórmula obtida por Planck inicialmente tratava-se de uma adivinhação sem

nenhuma forte justificativa teórica. Alguns meses mais tarde, Planck deduziu sua relação

baseada numa hipótese mais fundamentada. Sua nova demonstração baseia-se no fato

que a energia de um oscilador não é uma grandeza contínua mas tem apenas valores

discretos múltiplos de uma quantidade elementar denominada do quantum de energia .

Assim, nesta hipótese, a energia do campo de radiação não pode assumir

qualquer valor mas sim, múltiplos inteiros de um valor ε0

0nU ε= n = 0, 1, 2, 3.........

Com esta expressão podemos calcular a energia média do campo à uma

determinada temperatura T (da mesma forma que fizemos ao tratar o gás ideal).

∫

∫∞ −

∞ −

=

0

/

0

/

dUe

dUUU

kTU

kTUe

26

Quando permitimos E ser contínuo, kTE = , mas sendo discreto, o integral

transforma-se numa soma

∑∑

∞

=−

∞

=−

=0

/

0

/0

0

0

ηηε

εεkT

n

kTn

e

enU

que pode ser escrita como:

−= ∑∞

=

−

0

0

n

nedd

U βε

β

Esta soma é uma progressão geométrica de valor 01

1βε−− e

Assim

1ee1e

U kT/00

00

0

−ε=

−ε= εβε−

βε−

que usada em ( )T,8

cU

2

3

υµπυ

= , leva a ( )1ec

8T, kT/

023 0 −

ευπ=υµ ε

Para que esta expressão concorde com Rayleigh-Jeans e Wien nos apropriados limites,

temos que ter

ε0 = hν, ou seja

( )1ec

h8T,

kT/h

3

3 −υπ=υµ υ

que é fórmula de Planck.

Esta brilhante dedução introduz o conceito de quantização, exigindo uma

discretização da energia ao invés de permitir sua variação contínua. Isto foi um dos

pontos mais importantes no estabelecimento da mecânica quântica.

O estabelecimento da relação Energia Média = 1/ −kTeε

ε traz um conceito muito

27

mais abrangente que é chamada estatísticas quântica.

A expressão acima representa a probabilidade de um determinado sistema ter

energia ε, isto é,

( )1e

1P

kt/ −=ε ε

Caso tenhamos um número N destes sistemas o provável número de osciladores

com energia ε será:

( )1e

1N

kt/ −=ε ε

Esta relação estabelece o chamado número de ocupação do estado com energia ε

um importante conceito que veremos posteriormente.

A fim de ilustrar o uso deste conceito vamos calcular o calor específico de um

sólido que será aqui considerado como sendo uma coleção de osciladores harmônicos

desacoplador. Este modelo é denominado de sólido de Einstein .

A energia de um mol de tais osciladores é:

13

/0 −=

kTeh

NU ευ

onde estamos considerando as 3 direções como independentes. O calor específico ao

volume constante e, portanto:

( )2/

/2

01

3−

==kTh

kTh

e

ekTh

kNdTdU

Cvν

νν

kThe kTh /1/ νν +≅

Inicialmente, para altas temperaturas kN

kThkT

hkNCv 02

2

0 31

3 ≅

=ν

ν

28

que é um resultado bastante conhecido.

(Cν = 6 Cal/Mol ok)

Para baixas temperaturas,

kT/h2

0 ekTh

kN3C υ−

υ=ν

que quando T → 0 a exponencial é dominante perante o termo quadrático. A variação

Cv(T) está mostrado abaixo.

3 - O Caráter de Partículas para Radiação Eletromag nética

Como vimos anteriormente, a existência do fóton de Planck como sendo a menor

porção de radiação eletromagnética que ainda preserva todas as características da

radiação começa a estabelecer um comportamento diferente para o campo

eletromagnético. A possibilidade de poder tratar a radiação como constituída de

pequenas porções que carregam energia e momentum, dão ao campo eletromagnético

uma característica de partículas.

Uma série de eperimentos estudados e eplicados no início do século revelam o

comportamento corpuscular da radiação distinguindo-a de seu comportamento

ondulatório tão evidente quando estudamos e descrevemos sua programação num meio

material ou mesmo efeitos como interferência e difração

Veremos agora alguns dos experimentos que revelaram este comportamento dual

para a radiação.

O primeiro efeito a estudarmos é o Efeito de Fotoelétrico . Ao redor de 1886, em

29

seus estudos envolvendo radiação e descargas em gases rarefeitos, H. Hertz observou

que quando a radiação ultravioleta incidia sobre um dos eletrodos da descarga, esta

ocorre mais prestemente, ou seja, a presença da radiação ultravioleta sobre um dos

eletrodos, facilitava a descarga. Estudos seguidos por Lenard mostraram que o efeito da

radiação na descarga era que a radiação ultravioleta fazia com que a superfície metálica

do eletrodo emitisse elétrons. Este fenômeno da ocorrência de elétrons ejetados pela

superfície de um metal quando iluminada pela luz suficientemente energética, é

denominado de efeito fotoelétrico .

O dispositivo eperimental que permite a observação deste efeito está

esquematizado na figura abaixo:

Brevemente descrevendo o sistema, uma ampola de quartzo evacuada, contém no

seu interior dois eletrodos que encontram-se polarizados. Radiação monocromática de

frequências ν atravessa as paredes de quartzo incidindo sobre a superfície do ânodo

(polo negativo). A superfície metálica do eletrodo ejeta elétrons denominados de

fotoelétrons que caminham em direção ao catodo (polo positivo).

Os fotoelétrons podem ser medidos através da corrente produzida, indicada pelo

amperímetro A, inserida em série com o circuito da ampola. A diferença de potencial

entre os eletrodos pode ser variada através do potenciômetro indicado. Se graficarmos

esta fotocorrente como função da voltagem de polarização, obtemos a curva mostrada na

figura abaixo:

30

Quando aumenta-se indefinidamente a voltagem de polarização observamos que a

fotocorrente não aumenta indefinidamente, mas sim atinge um valor de saturação aqui

denominada de Is. Ao variarmos a intensidade da luz incidente, notamos que o valor da

saturação também aumenta.

Outra informação importante é que ao invertermos a polarização entre os eletrodos

a fotocorrente não cai a zero abruptamente, mas sim lentamente até a polarização

reserva atingir um determinado valor Vo que inibe completamente a fotocorrente. Esta

observação nos permite concluir que os elétrons ejetados possuem uma determinada

energia cinética. Enquanto a polarização é positiva eles são acelerados para o cátodo,

quando a polarização é nula, eles não são acelerados, mas sua energia cinética (pelo

menos de um grande número dos fotoelétrons) é suficiente para conduzí-lo ao cátodo

produzindo a fotocorrente mesmo a polarização nula. Ao invertermos o potencial, o

campo elétrico da polarização passa a trabalhos contrários ao movimento dos elétrons.

Os elétrons mais energéticos são aqueles que conseguem sobreviver até a máxima

voltagem invertida Vo. Neste ponto, a força elétrica é suficiente para desacelerar mesmo

os elétrons ejetados de maior energia, impedindo que atinjam o “cátodo”. Chamando de

Kmax, a máxima energia cinética dos fotoelétrons, temos que esta, relacionados com Vo

pela relação:

Kmax = eVo

ou seja, o potencial elétrico é igual à energia cinética na situação onde a corrente vai a

zero.

Observa-se que Vo (ou Kmax) independe da intensidade da luz incidente.

Se medirmos o potencial Vo para diferentes frequências da luz incidente,

observamos que abaixo de determinada frequência denominada de frequência de corte

νo, não há mais produção de fotoelétrons. Observa-se que νo é característico do metal

que constitui a superfície (para sódio, νo = 4,39 10 14Hz).

31

Ao tentarmos explicar as observações no efeito fotoelétrico utilizando-se do

conhecimento do eletromagnetismo clássico, aparecem várias contradições. Em primeiro

lugar, notamos que a teoria ondulatória da radiação eletromagnética requer que o campo

elétrico da radiação tenha maior amplitude quanto maior for a intensidade. Quanto maior

for este campo, maior será a força sobre os elétrons do sólido, isto sugere que quanto

mais intensa for a luz maior deveria ser a energia cinética dos elétrons ejetados. No

entanto, observa-se experimentalmente que K max = eVo independe da intensidade

da raidação incidente . Outra contradição é que segundo a teoria ondulatória, os

fotoelétrons devem aparecer sempre que a energia do campo transferida ao elétron for

intensa o suficiente para arrancá-lo. Isto não é verdade, porque não importa o quanto

intensa seja a radiação, abaixo da frequência νo não há produção de elétrons. Este

resultado mostra que o que é importante no problema é a frequência e não a intensidade

de radiação. Outra contradição vem do

fato que a luz apresenta um fluxo contínuo de energia (segundo teoria clássica), e se

trabalharmos com baixas intensidades, a transferência de energia da radiação para o

elétron, a fim de removê-lo, ocorrerá num tempo finito diferente de zero. No entanto,

nenhum tempo de atraso entre ligar a radiação e detectar os elétrons tem sido

observado, a menos do tradicional tempo de vôo, mostrando que a transferência de

energia também não é bem explicada.

Influenciado pelos experimentos do efeito fotoelétrico e conhecedor do

eletromagnetismo, A. Einstein em 1905 propôs uma nova teoria para a luz que tinha

como supote a explicação para o efeito fotoelétrico. Como já havia sido mencionado por

Planck, ao tratar da radiação do corpo negro, que a radiação dos elétrons que

constituíam paredes de uma cavidade emitiam radiação quantizada, Einstein propôs que

a energia radiante é sempre quantizada em porções, que mais tarde vieram a ser

chamadas de fótons. A aparente contradição de que isto teria nos experimentos de

interferência e difração era explicada por Einstein como se tratando de situações onde

um número muito grande de fótons estão envolvidos e os resultados representam uma

média sobre o comportamento de vários fótons.

Einstein concentrou sua atenção na forma com que os fótons são emitidos ou

absorvidos. Assim, do resultado de Planck de que a energia da radiação tem energia 0,

1hν, 2hν, ...nhν, para Einstein isto adivinha do fato de que indo do estado nhν para (n+1)

hν, a fonte emitiu um fóton de energia, ou absorveu no caso do processo oposto. Na

hipótese de Einstein, este pacote de energia (fóton), está sempre localizado num

32

determinado volume de espaço que não se deslocaliza ao propagar-se com velocidade c.

Para ele, a quantidade de energia neste pacote é:

E = hν

Para explicar o efeito fotoelétrico, Einstein assumiu que neste processo um fóton

absorvido pela superfície libera um elétron de modo que a energia cinética do elétron

ejetado é:

K = hν - w

dependendo apenas da energia do fóton (hν) e de w que é o trabalho necessário para

remover o elétron do metal. Este trabalho é necessário para superar a atração que o

elétron sente no metal e eventuais perdas no processo de ejeção (como colisão, etc).

Alguns dos elétrons estão mais fortemente ligados, outros perdem mais energia na

saída, de modo que mesmo sendo constante a energia do fóton, a energia cinética do

elétron ejetado pode variar bastante. Isto é representado pela região de transiente nas

curvas Ivs V.

Os elétrons mais fracamente ligados e que apresentam a maior perda no processo

de saída são aquelas que apresentarão a máxima energia cinética. Assim,

Kmax = hν-wo

onde Wo só depende do metal e é denominada de função trabalho, e representa o

trabalho mínimo necessário para remoção do elétron.

Esta explicação sustenta, de forma satisfatória, o fato de que a energia cinética

dos fotoelétrons não dependa da intensidade da radiação. Um feixe de luz mais intensa,

somente representa mais fótons, de modo que há produção de um número maior de

fotoelétrons. Porém, sem nenhuma razão para aumento de sua energia dos elétrons.

A observação de que abaixo de determinada frequência da luz incidente não se

observa mais elétrons, advém do fato que a energia do fóton não tem energia para

remover o elétron, não interessando quanto deles atinjam a superfície. Finalmente não

haverá atraso na emissão porque toda energia é absorvida de uma única vez e não

paulatinamente.

33

Como Kmax = eVo, podemos escrever:

ewo

eh

V0 −ν=

Obtendo a relação linear mostrada anteriormente, e mais do que isto, com a

corrente inclinação h/e = 3.910V-sec., que é um valor que só depende das constantes

fundamentais.

As suposições de Einstein, junto com sua explicação para o efeito fotoelétrico, lhe

renderam o Prêmio Nobel em 1921.

A idéia de fóton estabelecida por Einstein constitui um dos mais importantes

conceitos da física moderna. Utilizando este conceito, junto com Bose eles determinaram

a expressão da radiação de Planck, simplesmente tratando radiação como um gás de

fótons como vimos anteriormente.

Uma das demonstrações mais claras do comportamento corpuscular para a

radiação encontra-se no Efeito Compton demonstrado em 1923.

No experimento de Compton, um feixe de raio-x quase que monocromático de

comprimento de onda λ é incidente sobre um alvo. O raio-x é espalhado pelo elétrons

deste alvo, e a medida da intensidade espalhada para vários comprimentos de onda

mostrou-se dependente do ângulo de espalhamento, dando origem a um segundo pico

num comprimento de onda distinto àquele incidente. Assim, um raio x de energia distinta

é originado neste processo.

O resultado mostra que a radiação espalhada apresenta dois comprimentos de

onda distintos λ (incidente) e λ cuja posição relativa à λo depende do ângulo de

espalhamento. Esta variação o' λ−λ=λ∆ é denominda de deslocamento Compton , que

evidentemente depende do ângulo de espalhamento.

Este deslocamento do comprimento de onda não pode ser explicado através da

teoria eletromagnética clássica, segundo o qual, quando a radiação interage com um

sistema atômico, faz com que o sistema oscile e reemita na mesma frequência. Assim,

baseado no entendimento clássico, o comprimento de onda da radiação espalhada pelos

elétrons do alvo deveriam ser igual ao incidente.

A fim de explicar os resultados obtidos experimentalmente Compton adotou a

visão quântica supondo que a radiação é composta de fótons, cada um com energia E =

hν, e que durante a interação destes com o alvo, o comportamento é semelhante ao

34

processo de colisão entre partículas.

Durante a colisão, o fóton (radiação) transfere aos elétrons do alvo uma porção de

sua energia de modo que os fótons emergentes apresentam energia mais baixa E’.

Assim, como E’ < E, necessariamente os fótons emergentes apresentam menor

frequências ν’ = E’/h que os incidentes.

Tendo uma frequência menor λ

ν c=' , representa um comprimento de onda mais

longo, explicando o deslocamento de comprimento de onda observado

experimentalmente. É importante salientar que os fótons que mudaram de frequência são

aqueles que colidiram inelasticamente com o alvo. Há, no entanto, os que colidem

elasticamente responsáveis pelo pico de intensidade não deslocado.

Vamos tratar a interação fóton-elétron (do alvo) afim de obtermos resultados

quantitativos para este processo.

Para nós, a situação física está mostrada abaixo:

Ao interagir com os elétrons do alvo, a radiação é espalhada segundo um ângulo

θ, enquanto elétrons sofrem um recuo adquirindo energia cinética K e momentum p na

direção γ com relação a direção inicial de incidência. Iniciemos considerando a relação

relativística energia-momentum:

42

0222 cmcpE +=

de modo que para partículas (fótons) com energia E = hν, temos associado a elas

momentum segundo a relação 2222 pch =ν , já que a massa de repouso mo dos fótons é

nula. Assim, λ

=ν= hch

p é o momentum carregado pelos fótons.

Vamos assumir que a colisão do raio-x com o alvo deve-se essencialmente a

interação com os elétrons, já que os resultados medidos mostraram-se independentes do

35

material do alvo.

Assim, considerando a colisão de um fóton com um elétron estacionário como

mostrado anteriormente, apliquemos as conhecidas leis de conservação de energia e

momentum.

Da conservação de momentum, usando os parâmetros mostrados acima,

ϕθννcoscos

'0 pc

hc

h += (direção X)

ϕθνsensen

'p

ch = (direção Y)

De onde obtemos, elevando ambas equações ao quadrado.

ϕθνν 222

coscos'

pc

hcoh =

−

ϕθν 2222

sensen'

pc

h =

e adicionando estas duas equações acima,

222

pcosc

'hvcoh

2c

'hvcoh =θν−

+

ν

Da conservação da energia, inicialmente temos somente a energia do fóton

incidente e a energia de repouso do elétron.

hνo + moc2 = hν’ + K + moc2, ou seja, K

c'h

chv

cK'hoh 0 =

ν−⇒=ν−ν

Para o elétron, podemos escrever (K + moc2)2 = c2p2 + (moc

2)2, de onde tiramos:

K 2 / c 2 + 2Km0 = p2

36

Expressando K em termos de ν0 e ν’ nesta última equação e utilizando a equação

anterior, tiramos:

θνν−

ν+

ν=

ν−ν

+

−ν

cosc

'hc

h2

c'h

c

h

c'h

c

hmoc2

c'hv

c

h 022

00

2

0

ou seja,

( )θ−νν=

ν−ν

cos1c

'hc

hc

'hc

hcm 00

0

que pode ser reduzida dividindo ambos os membros por:

c'h

ch 0 νν

( )θ−−=ν

−ν

cos1cm

1hc

'hc

:a00

e multiplicando por h

( )θ−=λ−λ=λ∆ cos1cm

ho''

0

que é a chamada equação de Compton e fornece o deslocamento do comprimento de

onda espalhado relativo ao incidente.

A quantidade 0

0

A0243,0cm

hc ==λ para elétron é chamado de comprimento de

onda Compton e representa a ordem de grandeza da variação de λ devido ao

espalhamento. ∆λ poderá variar até 2 λc.

Como estamos tratando do espalhamento de raio-x pela matéria, é conveniente

entendermos um pouco a respeito da produção de raio-x.

Em 1895 W. Roentgen observou que radiação altamente energética de natureza

não conhecida era produzida quando elétrons acelerados colidiam com a matéria e que

foram denominados de raio-x. Os raios eram mais penetrantes quanto mais rápidos eram

os elétrons que os produziam e a densidade de Raio-X maior quanto maior a quantidade

de elétrons. Logo depois de sua descoberta, sua natureza eletromagnética foi revelada

37

porque, afinal, o que estava acontecendo era que, durante o impacto na matéria, o

elétron veloz é altamente desacelerado, emitindo radiação. A radiação produzida nestas

circunstâncias é denominada de "Bremsstrahlumg" (do alemão).

Um esquema para produção de Raio-x é mostrado na figura abaixo.

Um cátodo aquecido gera elétrons que são acelerados contra um alvo metálico

mantido com o ânodo. A ampola que constitui esta fonte de raio-x está sob vácuo para

impedir que os elétrons sejam espalhados antes de atingirem o alvo. Ao atingirem o alvo,

estes elétrons rápidos são trazidos ao repouso e, neste processo de desaceleração, é

produzido radiação: o raio-x.

Utilizando-se dois alvos distintos temos os resultados mostrados a seguir:

Os dois materiais apresentam comportamentos distintos. No caso de Mo, notamos

que determinados comprimentos de ondas apresentam produção mais acentuada de

raio-x. Estes picos dependem do material e são originados devido a um rearranjo na

estrutura eletrônica do alvo, sendo bombardeados pelos elétrons do feixe. Este fato é

importante para produção de comprimentos de ondas bem definidos.

Notamos, ainda, que existe um comprimento de onda mínimo a partir do qual não

temos produção de raio-x.

38

No processo que estamos descrevendo temos energia cinética dos elétrons, sendo

transformados em radiação, de modo que, para uma determinada voltagem V, temos um

comprimento de onda mínimo, dado por:

,eVhc

hmin

max ==λ

ν

de onde tiramos:

)(1024,1 6

min emvoltsVx −

=λ (em metros)

Assim 35,0 kv, temos λmin = 1,2410-6 / 0,35104 = 3,5010m-10 = 0,35A que

concorda com os resultados mostrados no gráfico anterior.

4- Comportamento Ondulatório para Partículas

Como vimos anteriormente, em um grande número de situações o comportamento

de partículas para ondas eletromagnéticas e sua quantização é a única forma de

explicação para um número grande de observações experimentais, como as leis de

radiação de um corpo negro, o efeito fotoelétrico e o espalhamento Compton.

Existem, no entanto, uma série enorme de outros experimentos envolvendo

partículas cujos resultados só podem ser explicados se associarmos a elas um

comportamento ondulatório. Vamos agora discutir estes experimentos.

Vamos iniciar nossa discussão introduzindo o conceito de ondas materiais

introduzida pela físico francês Louis de Broglie, que analisando experimentos do efeito

fotoelétrico e de Compton, lançou a hipótese de que não somente as ondas

apresentam características de partículas mas, també m, as partículas possuem

comportamento ondulatórios . Segundo a hipótese de De Broglie, da mesma forma que

associamos a uma onda de comprimento de onda λ um momentum p a toda partícula de

momentum p pode ser associada um comprimento de onda.

Assim, tanto para partícula material como para radiação, temos que a energia e

frequência estão relacionados por:

E = hν

39

e que o momentum p e o comprimento λ estão relacionadas através da radiação.

P = h/λ

Com estas equações, veremos que os conceitos de partículas (E e p) estão

relacionados aos conceitos de onda (ν e λ) através da constante de Planck h.

O comprimento de onda λ = h/p estabelece a chamada relação de De Brolgie e

associa a cada entidade de momentum p um comprimento de onda λ.

Assim, ao considerarmos uma bola de tênis com velocidade de 10m/seg., estamos

tratando de uma onda cujo comprimento é λ ≅ 610-24 A0 infinitamente menor do que as

dimensões físicas da bola. Se considerarmos, por outro lado, um elétron a 100eV, temos

associado a ele λ = 1,2 A.

Ao tratarmos a radiação devemos lembrar que a óptica geométrica estava

presente sempre que as dimensões do dispositivo óptico em estudo (espessura de lente,

distância entre espelhos ou tamanho de fendas) forem muito maiores do que o

comprimento de onda da radiação em questão. Assim, chamando de d as dimensões

típicas do sistema óptico, o limite λ/d → 0 representa a validade da óptica geométrica .

Quando as dimensões do sistema que interagem com a radiação são comparáveis

ao comprimento de onda, efeitos de difração da ordem de θ = λ/d são predominantes no

processo e a manifestação da difração passa a ser importante, dando lugar ao domínio

da óptica física .

O mesmo ocorre com a manifestação da natureza ondulatória para partículas.

Estas necessitam de sistemas de dimensões muito pequenas para poderem se

manifestar. Para a bola de tênis descrita acima, sua manifestação ondulatória estaria

presente quando ela interagisse com sistemas de dimensões da ordem de 10-24 A0 que

não estão a disposição. Por outro lado, elétrons que apresentam comprimento De Broglie

da ordem de 1A0, devem manifestar sua natureza ondulatória ao interagirem com

estruturas cujas dimensões típicas são desta ordem, como cristais, superfícies sólidas,

etc. Assim, semelhantemente aos raios-x, a interação de elétrons com redes cristalinas

sólidas devem produzir padrões de difração. Os átomos na rede cristalina

convenientemente espaçadas funcionam como centros de difração para os elétrons.

Deste modo, Davisson e Germer realizaram um experimento onde elétrons acelerados

por uma diferença de potencial V emergem do sistema com uma energia eV e colidem

com uma superfície sólida e são posteriormente detectados por um detector D. O

40

esquema deste experimento está mostrado a seguir:

O detector pode ser posicionado para qualquer ângulo θ.

Numa primeira experiência, vamos fixar o ângulo θ de observação e variar a energia

cinética do feixe eletrônico emergente através de variação do potencial de grade. Como

resultado, observamos o resultado abaixo:

A existência de um máximo nos elétrons difratados, como função de sua energia

cinética, só pode ser explicado através da ocorrência de uma interferência construtiva

quando elétrons apresentam uma determinada energia ou comprimento de onda. Esta

interferência ocorre devido a elétrons serem espalhados em planos atômicos sucessivos

do cristal. Este resultado experimental comprova, de forma irrefutável, a hipótese de

Broglie, associando à partícula um comportamento ondulatório. Este mesmo resultado

pode ser confirmado se fixarmos o potencial de aceleração em 54V e variamos o ângulo

de observação.

41

A explicação desta observação pode ser feita analogamente à análise do

espalhamento de Bragg e não pode, de forma alguma, ser explicada através do

movimento clássico de partículas, pois partículas não apresentam interferências.

Assim, se tratarmos elétrons como ondas de comprimento λ sendo refletidas pelos

planos cristalinos de um cristal espaçados por d, podemos explicar as observações:

A diferença de caminho entre os feixes é de 2d senϕ e haverá interferência

construtiva sempre que esta diferença for um número inteiro de λ.

nλ = 2d senϕ

(no esquema do experimento 180-θ = 2ϕ)

É importante salientar que, quando dizemos que elétrons sofrem interferências,

não queremos dizer que ondas associadas com um elétron interferem com ondas

associadas com outro elétron, mas sim estamos nos referindo à interferência entre partes

diferentes da onda associada com o mesmo elétron.

Assim, mesmo que tivéssemos trabalhando com um feixe eletrônico de

intensidade bastante baixa, de modo que somente um elétron de cada vez colidisse com

o cristal, observaríamos o mesmo padrão de interferência.

No caso do cristal usado por Davisson e Germer, d = 0,91A (determinada por RX)

de modo que λ = 2d sen γ = 2x 0,91 sen 65o ou seja λ = 1,65A0 . Se calcularmos λ

usando a relação de De Broglie,

024

34

A65,1secjseg/m...410

610.6Ph =−== −

−

λ

(Me = 9,110-31 kg 1 e V = 1,610-19 joule)

42

Mostrando evidências experimentais claras da validade da relação de De Broglie.

O experimento de Davisson e Gerner não foi o único que comprovou de forma

marcante a relação de De Broglie. Experimentos realizados por G.P. Thomson em 1927

com espalhamento de elétrons em folhas finas de metal demonstrou os padrões de

interferência que revelaram, de forma definitiva, a natureza ondulatória do elétron. Em

1937 G.P. Thomson e Davisson ganharam o Prêmio Nobel pela brilhante demonstração

da natureza ondulatória do elétron.

Somente a título de curiosidade, G.P. Thomson era filho de J.J. Thomson que, em

1897 descobriu o elétron. Os livros textos relatam que na época que G.P. Thomson

ganhou o Prêmio Nobel, a comunidade científica da época brincava ao dizer que

"Thomson" (o pai) ganhou o Prêmio Nobel por demonstrar que o elétron é uma partícula,

enquanto que "Thomson" (o filho) ganhou o Prêmio Nobel por demonstrar que o elétron é

onda. Melhor assim, pois as discordâncias entre eles não passou de um mero problema

familiar e a comunidade científica absorveu ambos os conceitos, atribuindo ao elétron um

caráter dual de onda-partícula.

Não somente os elétrons, mas todas as partículas materiais apresentam

comportamento ondulatório. Outros experimentos realizados por Estermann, Stern e

Frisch demonstraram a difração de feixes moleculares de hidrogênio e hélio de uma

superfície de LiF.

No gráfico abaixo, mostramos o padrão de difração de feixes atômicos Hélio e H2

por cristais LiF.

Experimentos mais modernos têm sido capazes de estabelecer de forma completa

a chamada “Optica Atômica”.

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

INSTITUTO DE FÍSICA DE SÃO CARLOS

DEPARTAMENTO DE FÍSICA E CIÊNCIAS DOS MATERIAIS

CAPÍTULO VI

COMPORTAMENTO ONDULATÓRIO PARA

PARTÍCULAS E O PRINCÍPIO DE INCERTEZA DE

HEISENBERG

PROF. VANDERLEI S. BAGNATO

2

In classical physics science started from the belief – or should we say illusion? – that we

could describe the world or at least parts of the world without any reference to ourselves.

This is actually possible to a large extent. We know that the city of London exists whether

we see it or not. It may be said that classical physics is just that idealization in which we

can speak about parts of the world without any reference to ourselves.

Werner Heisenberg

3

Capítulo VI

COMPORTAMENTO ONDULATÓRIO PARA PARTÍCULAS E O PRINCÍPIO DE INCERTEZA DE

HEISENBERG

Como vimos nos capítulos anteriores, em um grande número de situações o

comportamento de partículas para ondas eletromagnéticas (fótons) é a única forma de

explicar observações experimentais como a radiação de um corpo negro, o efeito

fotoelétrico e o espalhamento Compton.

Existem, no entanto, uma série de outros experimentos envolvendo partículas cujos

resultados só podem ser explicados se associarmos a elas um comportamento

ondulatório. Vamos nesta parte do curso discutir estes conceitos inicialmente propostos

pelo físico Louis De Broglie .

Iniciemos nossa discussão introduzindo o conceito de ondas materiais introduzida

por De Broglie que, analisando experimentos do efeito fotoelétrico e de Compton, lançou

a hipótese de que não somente as ondas apresentam características de partículas, mas

também as partículas possuem comportamento ondulatório. Segundo a hipótese de De

Broglie da mesma forma que associarmos à uma onda de comprimento de onda λ um

momentum p , a toda partícula de momentum p pode ser associado a um comprimento

de onda.

Assim, tanto para partículas materiais como para radiação, temos que a energia e

freqüência estão relacionados por:

E = hυ

como E = pc; hυ = pc e assim tiramos que o momentum p e o comprimento λ estão

relacionados através da relação:

λh

p =

convencionalmente chamada de relação de De Broglie.

4

Os parâmetros que normalmente caracterizam partículas E e p estão relacionados

aos conceitos que normalmente caracterizam onda ν e λ através da constante de Planck

h.

O comprimento de onda ph=λ associa a cada entidade de momentum p um

comprimento de onda λ.

Como exemplo, seja uma bola de tênis com velocidade 10m/seg, aplicando a

relação acima, vemos que estamos tratando de uma onda cujo comprimento é:

λ=6 x 10-24Å, infinitamente menor do que as dimensões físicas da bola. Se

considerarmos, por outro lado, um elétron a 100 e V, associados a ele temos 2,1=λ Å

Recordemos que no âmbito da óptica, a chamada óptica geométrica está presente

sempre que as dimensões do dispositivo óptico em estudo (espessura da lente, distância

entre espelhos ou tamanho de fendas) forem muito maiores do que o comprimento de

onda da radiação em questão. Assim, chamando de d as dimensões típicas do sistema

óptico, o limite λ/d→0 representa a validade da óptica geométrica . Quando este limite

não vale temos o domínio da óptica física, onda efeitos inerentes da natureza ondulatória

se manifestam.

O mesmo ocorre com a manifestação da natureza ondulatória das partículas, que

necessitam de sistemas com dimensões típicas muito pequenas para se manifestarem.

Para a bola de tênis descrita acima, sua manifestação ondulatória estaria presente

quando ela interagisse com sistemas de dimensões da ordem de 10-24A0

que não estão à

disposição. Por outro lado, elétrons que apresentam comprimento de De Broglie da ordem

de 1Ao, devem manifestar sua natureza ondulatória ao interagirem com estruturas cujas

dimensões típicas são desta ordem, como é o caso do arranjo atômico em cristais,

superfícies sólidas, etc. Assim, semelhantemente aos raios – x, a interação de elétrons

com redes cristalinas sólidas, devem produzir padrões de difração. Os átomos na rede

cristalina, uniformemente arranjadas, funcionam como centros de difração para os

elétrons. Deste modo, Davisson e Germer realizaram um experimento onde elétrons

acelerados por uma diferença de potencial V emergem do sistema com uma energia eV e

colidem com uma superfície sólida e são posteriormente detectados por um detector D. O

esquema deste experimento está mostrado a seguir:

5

O detector pode ser posicionado em qualquer ângulo θ, permitindo observações

com dependência angular.

Numa primeira observação vamos fixar o ângulo θ de observação e vamos variar a

energia cinética do feixe eletrônico emergente. Isto pode ser feito através de variação do

potencial de grade. Como resultado observa-se o gráfico mostrado abaixo:

A existência de um máximo nos elétrons difratados como função de sua energia

cinética só pode ser explicado através da ocorrência de uma interferência construtiva

quando elétrons apresentam uma determinada energia ou comprimento de onda que

permita este efeito. Esta interferência ocorre devido à elétrons espalhados em planos

atômicos sucessivos do cristal. Este resultado experimental comprova, de forma clara, a

hipótese de De Broglie , associando às partículas um comportamento ondulatório. Este

mesmo resultado pode ser confirmado se fixarmos o potencial de aceleração em 54V, e

variarmos o ângulo de observação.

6

A explicação destas observações pode ser feita analogamente à análise do

espalhamento de Bragg, e não pode de forma alguma ser explicado através do

movimento clássico de partículas, pois partículas não apresentam interferência.

Assim, se tratarmos elétrons como ondas de comprimento λ sendo refletidas pelos

planos cristalinos de um cristal espaçados por d, temos a situação mostrada abaixo:

A diferença de caminhos entre os feixes espalhados em dois planos sucessivos é

2d senϕ e haverá interferência construtiva sempre que esta diferença for um número

inteiro de λ.

nλ = 2d senϕ

(no esquema do experimento 180 - θ = 2ϕ)

É importante salientar que quando dizemos que elétrons sofrem interferência, não

queremos dizer que ondas associadas com um elétron interfere com onda associada com

outro elétron, mas sim estamos nos referindo à interferência entre partes diferentes da

onda associada com o mesmo elétron. Assim, mesmo que tivéssemos trabalhando com

um feixe eletrônico de intensidade bastante baixa, de modo que somente um elétron de

7

cada vez colidisse com o cristal, observaríamos o mesmo padrão de interferência,

quando o experimento fosse repetido um grande número de vezes.

No caso do cristal usado por Davisson e Germer, d~0,9Å (determinado por técnicos

de raio X) de modo que λ = 2d sen ϕ = 2 x 0,91 sen 65o, ou seja λ = 1,65Å. Se

calcularmos λ usando relação de De Broglie , para elétron com energia de 54 eV,

Å65,1.sec/410

.sec610.624

34

=−== −

−

kgm

j

p

hλ

( meµ = 9,1 10-31kg 1eV = 1,6 10-19 joule)

mostrando evidências experimentais claras de validade da relação de De Broglie .

O experimento de Davisson e Germer não foi o único que comprovou de forma

marcante a relação de De Broglie. Experimentos realizados por G.P. Thompson em 1927

com espalhamento de elétron em folhas finas de metal demonstrou os padrões de

interferência que revelaram de forma definitiva a natureza ondulatória do elétron. Em 1937

G.P. Thompson e Davison ganharam o Prêmio Nobel pela brilhante demonstração da

natureza ondulatória do elétron.

Somente a título de curiosidade, G.P. Thompson era filho de J.J. Thompson que

em 1897 descobriu o elétron (como partícula).

Os livros texto relatam que na época que G.P. Thompson ganhou o Prêmio Nobel,

a comunidade científica da época brincava ao dizer que Thompson (o pai) ganhou o

Prêmio Nobel por demonstrar que o elétron é uma partícula, enquanto Thonspon (o filho)

ganhou o Prêmio Nobel por demonstrar que o elétron é uma onda. Melhor assim, pois as

discordâncias entre eles não passaram de um mero problema familiar e a comunidade

científica absorveu ambos os conceitos, atribuindo ao elétron um caráter dual de onda-

partícula, até hoje ultilizado.

Não são somente os elétrons, mas todas as partículas materiais apresentam

comportamento ondulatório. Outros experimentos realizados por Estermann, Stern e

Frisch demonstraram a difração de feixes moleculares de hidrogênio e hélio em uma

superfície de LiF. Hoje já é possível construir interferômetros de partícula maiores que

átomos .

Tendo o comportamento de onda, é natural que associemos às partículas uma

função de onda que descreva o seu movimento ondulatório. Esta função é normalmente

denotada de ψ e representa a função de onda de uma partícula cujo comprimento

8

associado é λ. Partículas que se movem na direção x com um valor preciso de

momentum e energia, deve ser representado por uma onda plana de parâmetros.

ph=λ e

hE=υ

Denotando de A a amplitude desta onda, temos:

( )

−= tx

2senAt,x νλ

πψ

Esta função de onda associada à partícula animada de momentum, deve ser

interpretada como estando relacionada com a probabilidade de que a partícula esteja

numa determinada posição num determinado instante de tempo. Esta é a chamada

interpretação probabilística para a mecânica ondulatória. Segundo esta interpretação a

função de onda ψ, por si só, não apresenta um significado físico direto, pois uma função

de onda, de um modo geral, assume valores positivos e negativos e a probabilidade não

representa nada físico, quando toma valores negativos. Assim, ψ não representa um

observável físico .

Se, no entanto, considerarmos a função ψ2, as objeções colocadas acima não

mais se aplicam. Desta forma, podemos dizer que a densidade de probabilidade deve

estar associado com ψ2.

A interpretação probabilística de mecânica ondulatória toma, então, o seguinte

aspecto: “A probabilidade de experimentalmente acharmos a partícula descrita pela

função de onda ψ (x, t) na posição x e no instante t é ( )2,txψ .

Desta forma, quando ψ2 tem um valor elevado, significa que é grande a

probabilidade de encontrarmos a partícula naquela localidade no instante de tempo

considerado. Desde que ψ2 não seja nulo há chance de que a partícula seja

encontrada num determinado ponto quando uma medida é realizada.

A interpretação probabilística da função de onda devemos a Max Born em 1926. O

problema todo em mecânica ondulatória corresponde à determinação da função de onda

ψ, pois a partir dela todas as propriedades físicas do sistema podem ser determinadas

através de operações matemáticas envolvendo esta função.

Uma pergunta que de imediato vem a nossa mente é: “Com qual velocidade a onda

de De Broglie deve propagar-se?” A resposta é óbvia: “Ela deve propagar-se com a

9

velocidade da partícula já que ela representa esta entidade movendo-se com v”. Assim,

vamos considerar a freqüência através da relação E=mc2=hv2 e o comprimento de onda

mvh=λ e determinarmos a velocidade de onda por

v

cv

mv

mc

h

E

v

hv

DB

DB

2

2

.

=

===µ

νλ

o que mostra que como v nunca é superior a c, vDB (velocidade da onda) e a velocidade

da partícula v nunca será igual. Isto leva a uma contradição do que dissemos como sendo

óbvio acima. Afim de esclarecermos este ponto, devemos introduzir o conceito de

velocidade de fase e velocidade de grupo.

Antes, porém, vamos salientar que a onda plana ψ que associamos a onda de De

Broglie está toda espalhada ocupando todo espaço considerado. Sendo esta associada à

probabilidade de encontrarmos a partícula, vemos que esta está espalhada em todo

espaço.

Esperávamos um considerável aumento da probabilidade na posição clássica

ocupada pela partícula.

Vamos começar nossa discussão considerando uma onda de amplitude A,

freqüência ν e comprimento de onda x. A função que descreve esta onda é

−=λ

νπ xt2cosAy

que pode ser escrita como

y = A cos(ωt – kx)

onde definimos a freqüência angular ω = 2πν e o número de onda λπ2

k = .

Pelos dois argumentos que descrevemos acima, é claro que a onda plana acima

não deve ser uma boa representação para uma partícula movendo-se com velocidade v.

Ao invés disto, nos parece razoável se a partícula for descrita por um pacote de onda

mais localizado ao redor de sua posição clássica.

10

Neste caso, os dois pontos acima são esclarecidos, já que a maior concentração

da probabilidade ocorre ao redor do centro do pacote, representando mais ou menos a

região na qual a partícula está localizada além do fato que o que é importante agora é a

velocidade com que o pacote se desloca ao invés da velocidade da onda em si.

Este pacote de onda que aparentemente representa bem uma partícula

preservando as características ondulatórias pode ser formado pela adição de ondas

planas com amplitudes e freqüências levemente variadas. Vamos considerar a interação

de duas ondas planas, cujas freqüências diferem levemente. A interferência de uma onda

com a outra, resulta numa onda cuja amplitude varia, fato este que define o pacote de

onda .

Se a velocidade das ondas que compõem o pacote são as mesmas a velocidade

do pacote seria a mesma da onda. No entanto, se as ondas componentes representam

velocidades diferentes as ondas individuais não propagarão juntas e como resultado o

pacote de onda propaga-se com uma velocidade diferente daquelas das ondas

componentes.

Assim, consideremos as duas ondas cuja freqüência angular difere por dω e cujo

vetor de onda difere por dk. Tendo a mesma amplitude, temos:

11

y1 = Acos(ωt – kx)

y2 = Acos[(ω+ dω)t - (k + dk)x]

A resultante da soma destas duas oscilações, resulta em:

−

+−

+=+=22

cos2

2

2

2cos221

dkxtdx

dkkt

dAyyy

ωωω

onde usamos a identidade cos a + cos b = 2 cos

+2

ba cos

−2

ba. Do fato que dω e

dk são pequenos, comparados com ω e k,

2ω + dω ≈ 2ω

2k + dk ≈ 2k

e temos, então:

y = 2A cos (ωt – kx) cos

− xdk

td

22ω

que representa uma onda de frequência ω e número de onda k, cuja amplitude está

modulada por uma frequência 2ωd

e número de onda 2

dk. O efeito desta modulação é o

de produzir sucessivos pacotes de onda, como mostrado na figura anterior. A velocidade

das ondas é a convencional,

kvp

ω=

denominada de velocidade de fase, enquanto o envoltório propaga-se com velocidade

dkd

v g

ω=

denominada de velocidade de grupo.

12

Como já vimos, a velocidade de fase é dada por:

v

cVp

2

=

enquanto a velocidade de grupo,

dv/dkdv/d

dkd

vg

ωω ==

Como ,υhE = definindo π2

h=h E = 2

2

2

02

12

c

c

v

mmch

h

−

==== υωπ

ωh

tiramos que:

( ) 2

2

2

0

1

2c

c

v

m

hv

−

= πω

2/3

2

2

0

1

2

−

=∴

c

vh

vm

dvd πω

Da mesma forma hmv2

mvh

22k

ππλπ ===

e como m =

2

2

0

cv

1

m

−

2

2

0

cv

1

vm

h2

)v(k

−

= π

13

de modo que

23

2

22

20

2

2

0

cv

1

1cv

hm2

cv

1

mh

2dvdk

−

+

−

=ππ

23

2

2

0

23

2

2

2

2

2

2

0

cv

1

mh

2

cv

1

cv

cv

1

hm2

−

=

−

+−= ππ

e calculando vg, de onde tiramos:

vg = v

demonstrando que a velocidade com que o pacote de onda se desloca corresponde à

velocidade da partícula. Este resultado é bastante razoável já que o máximo de

probabilidade acompanha o movimento do centro de massa da partícula e com a mesma

velocidade desta.

Assim, podemos afirmar que o pacote de onda de De Broglie associado com

uma partícula que move-se, tem a mesma velocidade q ue a partícula .

Da necessidade de uma partícula livre ser representada por um pacote de onda ao

invés de uma onda plana sugere que sempre estaremos adicionando várias ondas de

comprimento de onda ligeiramente diferente para formar o pacote. Como o comprimento

de onda está associada com o momentum da partícula, vemos que teremos um

compromisso entre saber exatamente o momentum da partícula com sua localização, pois

quanto mais ondas de comprimento de onda diferentes adicionamos, mais localizado

espacialmente é o pacote de onda e vice-versa. Chegando ao limite que quando só temos

um único comprimento de onda ou momentum, a partícula é representada por uma onda

plana igualmente espalhada em todo espaço, denotando que a partícula é igualmente

provável de ser encontrada em qualquer posição, o que representa uma completa

delocalização espacial.

Este compromisso entre a perfeita determinação do momentum e da localização

gera um dos mais importantes princípios da mecânica quântica que é o chamado

princípio da incerteza de Heisenberg .

14

Vamos fazer uma análise bastante simplificada para determinarmos a relação

entre a incerteza no conhecimento do centro do pacote de onda ∆x com a incerteza no

conhecimento do momentum ∆p da partícula. Simplificadamente, vamos considerar um

pacote de onda formado da adição de duas ondas planas que diferem levemente em

frequência (∆ω) e em número de onda (∆k).

Ψ1 = A cos (ωt – kx)

Ψ2 = A cos [(ω + ∆ω)t – (k + ∆k) X]

Fazendo o mesmo cálculo feito anteriormente,

Ψ = Ψ1 + Ψ2 = 2 A cos (ωt – kx) cos

−2

kxt ∆ω∆

que representa a série de pacotes de onda mostrados abaixo:

A extensão de cada grupo de onda e metade do comprimento de onda λm da

modulação de amplitude. No caso de estarmos associando este pacote com uma

partícula é razoável assumirmos que a partícula deva estar localizada dentro desta

extensão do pacote de tamanho 2mx

λ=∆ . Esta deve ser a incerteza máxima na

determinação da posição da partícula. É importante lembrar que caso estivéssemos

considerando infinitas ondas entre K e K + ∆k teríamos um único pacote ao invés de

múltiplos.

Como:

kx

kkmm ∆

=∆⇒

∆== πππλ 2

2122

15

Como as ondas que formam este grupo apresentam vetor de onda entre k e k +

∆k, estaremos incertos com respeito ao valor de k da onda final por uma quantidade no

mínimo de ∆k. Assim vamos supor, com razão, que a incerteza no número de onda é ∆k.

Desta forma, como k =

ph

22 πλπ =

ph

2k

π=⇒ , de modo que

ph

2k ∆π∆ =

e a incerteza em k representa uma incerteza no conhecimento do momentum da partícula.

Portanto, temos:

ph

22

k2

x∆π

π∆

π∆ ≅= ,

hp.x ≅∆∆

Agora, os valores que tomamos para ∆x e ∆p são os mínimos aceitáveis dentro da

lógica da construção de nosso problema. Desta forma, uma relação entre ∆x e ∆p mais

razoável fornece:

∆x . ∆p ≥ h

quaisquer outros fatores somente aumentarão ∆x e ∆p acima.

Esta última expressão é uma forma simplificada do chamado princípio de incerteza

de Heisenberg, obtido em 1927 pelo físico Werner Heisenberg. O princípio da incerteza

estabelece que a incerteza na posição de uma partícula e a incerteza no momento

durante uma determinada medida, apresenta na melhor das hipóteses como produto um

valor da ordem da constante de Planck. Note que este é um resultado inerente com a

natureza ondulatória da matéria.

16

Se especificássemos mais precisamente o que significa incerteza em posição e

momentum através das chamadas variâncias ( ) 22xxx −=∆ encontraríamos:

2.

h≥∆∆ px

com um fator extra de 2π que é uma relação mais formal e precisa do princípio da

incerteza.

=π2h

h

Da relação de incerteza entre momentum e posição, é possível obter uma relação

semelhante entre energia e tempo.

A incerteza em energia ∆E = h∆ν onde ∆ν é a incerteza na frequência. Se

tomarmos como medida de tempo a frequência da onda, temos que t

1∆

=ν∆ de modo que

∆E.∆t = h, e da mesma forma que anteriormente.

htE ≥∆∆ .

ou de uma forma mais formal.

π2.

htE ≥∆∆

que é o princípio da incerteza envolvendo energia e tempo.

A relação de incerteza entre energia e tempo tem uma importante consequência

em física atômica. Do fato dos estados eletrônicos apresentarem um tempo de vida finito,

implica que os estados estejam dentro de certo intervalo de energia.

Após vermos, em linhas gerais, o princípio de incerteza, vamos fazer algumas

aplicações deste importante resultado. Consideremos, inicialmente, a determinação da

posição de um elétron que apresenta momentum px. A fim de observar tal elétron,

incidimos sobre ele luz e observamos a luz espalhada (como fazemos com a obeservação

de qualquer objeto).

17

O sistema óptico tem um poder de resolução na determinação da posição, que é

escrita como (dependendo do ângulo de coleta de luz):

ϕλ=∆

senx

sendo λ o comprimento da onda da luz. Assim, erroneamente pensaríamos que

diminuindo λ aumentaríamos indefinidamente a resolução da posição do elétron. No

entanto, ao serem espalhados pelo elétron, os fótons transferem momentum ao elétron

(lembre-se quando falamos de pressão de radiação), que no caso seria todo momentum

espalhado dentro do ângulo ϕ.

ϕνsen

2

c

hpx =∆

e o fator de 2 é colocado devido ao fato de estarmos colhendo fótons de +ϕ à -ϕ.

Assim, teríamos:

hc

hxpx 2

sensen.

2. =≈∆∆

ϕλϕν

de modo que, na determinação da posição do elétron através da luz, vale a relação:

hx.p ≥∆∆

e, portanto, o princípio de incerteza é satisfeito.

18

Esta relação na determinação de ∆p e ∆x, pode ser escrita de outra forma.

Multiplicando e dividindo a relação acima por p/m

hp

xm.

mpp ≥∆∆

Como Em

pp ∆=∆ e ,tx

pm ∆=∆

ht.E ≥∆∆

demonstrando que a imprecisão no instante de medida relaciona-se com a incerteza na

energia medida através da relação acima.

Devido ao princípio de incerteza, a energia de um sistema localizado no espaço

nunca pode ser nula, pois isto acarretará ∆p = 0 e ∆x = ∞, delocalizando o sistema que

por princípio está localizado.

Consideremos como exemplo a determinação da energia mais baixa do átomo de

hidrogênio. Temos:

rZe

m2p

E22

−=

como p~∆p, r~∆r

( )r

Zem2p

E22

∆−∆≅

mas h~r.p ∆∆

( )h

pZem2p

E22 ∆−∆≅

Sendo ∆p o ponto mínimo da energia 0pd

dE =∆

19

2

42

2

2

2

2

242

22

meZ21

E

ZeZme

m2meZ

E

oumZe

p0Ze

m2p2

h

hh

hh

−≅

−=

=∆⇒=−∆

Só para referência, a energia exata dos níveis de energia do átomo de hidrogênio

é:

...)3,2,1n(n

meZ21

E22

42

n =−=h

e estaremos abordando mais este tema adiante.

OSCILADOR HARMÔNICO

Para o oscilador harmônico a energia é:

222

xm21

m2p

E ω+=

de modo que:

.2

~x.p2

~x.phh →∆∆

Desta forma, o estado de mais baixa energia:

2

22

2

0 p4m

21

m2p

Ehω+=

de modo que 0dpdE0 = , produz

2m

p2 hω= e, assim:

20

ω= h21

E0

Em linhas gerais, o estado de mais baixa energia de um sistema físico ligado (que

é o caso de partículas presas em potenciais) é aquele compatível com o princípio de

incerteza.

A existência de uma Energia diferente de zero como mínima para uma partícula

confinada tem importantes conseqüências pata os sistemas físicos.

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

INSTITUTO DE FÍSICA DE SÃO CARLOS

DEPARTAMENTO DE FÍSICA E CIÊNCIA DOS MATERIAIS

ESTRUTURA ATÔMICA

Prof. Dr. Vanderlei Salvador Bagnato

2

CAPÍTULO VII

ESTRUTURA ATÔMICA

O conceito de que toda matéria é constituída ao nível microscópico de partes

fundamentais, denominadas de átomos, é bastante antigo antecipando todas as idéias

mais modernas que levaram ao conhecimento do átomo. Este conceito ficou, no entanto,

embebido em mistério até aproximadamente um século atrás, quando os físicos e

químicos demonstraram, de forma decisiva, estas idéias.

Vários foram os modelos desenvolvidos para explicar as propriedades do átomo. A

descoberta do elétron e a conclusão de que todos os átomos contêm elétrons na sua

composição básica foi um dos passos decisivos na direção da determinação da estrutura

atômica.

Sendo os elétrons negativos, enquanto os átomos são eletricamente neutros, faz-

nos concluir que a matéria, mais precisamente o átomo, deve conter cargas positivas

suficientes para balancear as negativas. Da informação de que elétrons são milhares de

vezes mais leves que os átomos (obtidos dos experimentos anteriores de J. Thomson),

sugere que as cargas positivas constituintes dos átomos é que determinaram

grandemente a massa do átomo. Baseado nessas informações, J. Thompson propôs em

1898 que os átomos são esferas de cargas positivas nas quais os elétrons negativos

estão embebidos. Este era, em linhas gerais, o modelo de Thompson para o átomo. O

modelo era denominado de pudim com ameixas devido à semelhança.

O modelo parecia razoável, baseado nas informações experimentais apresentadas.

Nenhum experimento, no entanto, foi feito de imediato para comprovação do modelo. O

raio desta esfera foi tomado como sendo da ordem de 1Å (10-10m), obtido através do uso

do número de Avogrado e as densidades típicas do sólido. A repulsão mútua entre os

elétrons produziria uma distribuição uniforme destes dentro da esfera, no que

3

determinaria as posições de equilíbrio para os elétrons. A excitação dos átomos, por

exemplo, através do aumento de temperatura, era visto como vibrações destes elétrons

ao redor de suas posições de equilíbrio, dando origem à radiação eletromagnética que é

observada.

Consideremos, a fim de realizarmos uma estimativa, que temos uma esfera de

densidade ρ , carregada positivamente no interior da qual um elétron move-se ao redor

do centro (posição de equilíbrio).

Através da lei de Gauss, quando o elétron estiver a uma distância r do centro, a

força sobre ele será

rer

erF ρπρπ

3

4.

3

42

3 −==

que é linear na posição, demonstrando que tal elétron executa um movimento harmônico

ao longo do diâmetro, com constante de mola ρπe

3

4. Tomando a esfera como tendo um

diâmetro D da ordem de 1Å = 10-8 cm, teremos 43

4 3D

e

πρ = , de modo que a constante de

mola é 3

2

23

8.

3

43

D

eee

D=

π

π que vamos estimar 4 x (1,6 10-19 x 3109)2.

2410

1− que é

cmdynxx

x /10210

105,234 6

24

20

≅−

−

.

Esta força de mola leva a uma frequência de vibração

Hzxm

Kv 15

28

6

105.61110,9

10

2

1

2

1 ≅== −ππ

Esta frequência corresponde à:

λ ~ 600210,5

31015

10

≅=v

cÅ

Este comprimento de onda, que localiza-se na ultra-violeta, caracterizaria

totalmente a radiação emitida pelo átomo. Isto, evidentemente, não justifica a grande

4

variedade de linhas espectrais observada, mas desca rgas em vapores atômicos ,

demonstrando problemas com o modelo de Thomson.

A evidência definitiva de que o modelo de Thomson estava incorreto aconteceu

alguns anos mais tarde quando Rutherford realizou experimentos com o espalhamento de

partículas α demonstrando que a parte carregada positivamente do átomo estava

concentrada numa pequena região central no átomo, denominada de núcleo.

Estudando radioatividade Rutherford utilizou partículas α (que são átomos de

Hélio duplamente ionizados) para realizar experimento de espalhamento em películas

finas de metal. Nos seus arranjos experimentais, uma fonte radioativa produz um feixe de

partículas α que é colimado e colide sobre uma folha metálica.

Interagindo com as cargas dos átomos através da força Coulombiana, estas

partículas sofrem deflexões que são detectadas através de sua colisão com uma

superfície convenientemente preparada.

Caso o modelo Thomson fosse verdadeiro, não seriam esperadas deflexões a altos

ângulos. No entanto um número excessivamente grande de partículas

espalhadas a altos ângulos foi observado, propiciando a Rutherford a proposição de um

novo modelo atômico.

O modelo de Rutherford apresenta a estrutura atômica como tendo toda sua carga

positiva (e, portanto, toda sua massa) concentrada na região central denominada de

núcleo, cujas dimensões seriam muito menores do que as dimensões do átomo. Quando

as partículas α passarem muito próximas deste núcleo a repulsão Coulombiana

produzirá um grande desvio das partículas, como observado. Rutherford efetuou um

cálculo bastante detalhado para demonstrar aquilo que propunha em seu modelo, com

base nos resultados do espalhamento das partículas α .

5

Devido à grande concentração das cargas positivas numa determinada região é

sua interação com as partículas α que determina o espalhamento, podemos, assim,

esquecer os elétrons.

Consideremos, então, como predominante, o espalhamento devido à repulsão

Coulombiana entre as partículas α carregadas positivamente com os núcleos, também

positivos. Como estaremos tratando de átomos pesados, consideremos o recuo causado

pelas colisões nos núcleos como desprezíveis, ou seja, o modelo que tomaremos para

efetuar os cálculos consiste em imaginar os núcleos como pontos de carga fixos. Assim, o

modelo de espalhamento que tomaremos está convenientemente mostrado abaixo, onde

mostramos a trajetória de uma partícula α espalhada pelo núcleo.

Uma partícula α de carga ze e massa M passa próximo de um núcleo de carga

+Zé, tomado este como estando na origem do sistema de coordenada. Antes de

encontrar o núcleo, a partícula desloca-se em linha reta com velocidade v. Após o

encontro a partícula também continua deslocando-se com v’ em linha reta. Em cada

instante a posição da partícula com relação ao núcleo pode ser determinada pelas

coordenadas polares r e v como mostra a figura.

A distância entre a linha de movimento e a linha que determina um eixo

coordenado passando pelo núcleo b é chamada de parâmetro de impacto. O ângulo θ,

que a trajetória da partícula define após espalhamento, é chamado de ângulo de

espalhamento. A distância entre a linha de movimento final e sua paralela passando pelo

núcleo é b'.

Como a força de Coulomb que atua sobre a partícula é central (sempre na direção

radial), o torque exercido é nulo e, portanto:

cteLdt

LdrxF =→== 0

6

de onde tiramos Mvb = Mv'b' = L.

Sendo a força conservativa a energia é conservada ''2

1

2

1 22 vvMvMv =⇒= e,

portanto, b = b'.

Vamos considerar a partícula movendo-se sob ação da força Coulombiana e

vamos determinar sua equação de movimento.

A força é sempre radial valendo 2

2

rzZe , e durante o movimento da partícula existe

uma variação do comprimento do raio vetor r e de sua posição, de modo que temos:

−=2

2

2

2

2

dt

dr

dt

rdM

r

Zez

ϕ

sendo o primeiro termo a contribuição da variação do módulo da posição e o segundo tipo

força centrífuga r2ω− e variação da orientação do raio vetor. Isto vem do fato que:

ϕϕ ˆˆ &&& rrrr +=

de modo que (usando ϕϕ ˆˆ && =r e rˆ ϕϕ && −= )

( ) ( )ϕϕϕϕ ˆ2ˆ2&&&&&&&&& rrrrrr ++−=

sendo a força central, ficamos somente com o primeiro termo.

Vamos resolver esta equação de movimento escrevendo ur 1= e escrevendo a

equação em termos de u.

7

dt

d

d

du

du

dr

dt

d

d

dr

dt

dr ϕϕ

ϕϕ

... ==

ou seja

ϕϕ d

ud

M

L

M

Lu

d

du

udt

dr 22

2.

1 −=−=

pois LMrdt

d =2.ϕ

e a segunda derivada

−=∴

−=

=

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

.

ϕ

ϕϕ

ϕ

d

ud

M

uL

dt

rd

M

Lu

d

ud

M

L

dt

d

dt

dr

d

d

dt

rd

Substituindo na equação de movimento:

22

22

2

2

2

22

uzZeM

Lu

u

M

d

ud

d

uLM =

−−

ϕϕ

de onde tiramos, usando L = Mvb

22

2

2

2

bMv

zZeu

d

ud =+ϕ

De um modo geral, denominamos:

2

22

Mv

zZeD = , (dimensão distância)

de modo que

8

22

2

2b

Du

d

ud −=+ϕ

A solução geral desta equação é:

221 2cos

bDsenAAu −+= ϕϕ

o que nos leva à:

222121 22coscos

b

D

b

DsenAAsenAA −=−++−− ϕϕϕϕ

que prova a validade da solução.

Quando r→ 00, ϕ → 0 → u → 0

2121 220

bDA

bDA =→−=

Quando r → 00, ϕ → 0 → vdt

dr −=

( )

bMvb

MvA

AM

Lv

d

du

M

L

dt

dr

12

2

==⇒

−=−=−=ϕ

Assim, 22 2

1cos

2 b

Dsen

bb

Du −+= ϕϕ e, portanto, a solução para a trajetória da

partícula é:

( )1cos2

112

−+= ϕϕb

Dsen

br

9

A distância 2

21

2

Mv

zZeD = , representa a distância na qual a energia cinética e potencial

igualam-se 2

21

2

1mv

zZe De

= e representa a menor distância que a partícula e o núcleo ficarão

quando a colisão for frontal. Neste ponto a partícula reverte sua velocidade e volta para

sua origem.

O ângulo de espalhamento θ pode ser encontrado da equação da trajetória,

tomando-se o ponto ϕ onde r → ∞.

Como neste ponto πθϕ =+

b

D

b

Dsen

2cos

2=+ ϕϕ

de onde podemos tirar após alguns passos:

D

bang

2

2cot =θ

A distância de maior aproximação R pode ser calculada quando ( ) 2/θπϕ ==

−−+

−= 12

cos22

112

θπθπb

Dsen

bR

e

−+==222

cot2

θπθan

Dan

Db

de onde pode-se obter que:

10

+=2

11

2 θsen

DR

No experimento de Rutherford, o que era observado era o número de partículas α

que são espalhadas num determinado ângulo θ quando um grande fluxo de partículas α

incide sobre o alvo. É claro que não podemos precisar exatamente θ e o que estamos

procurando é o número de partículas que é espalhada entre θ e θ + dθ. Este número será

denominado por:

N(θ)dθ = número de partículas espalhadas entre θ e θ + dθ/tempo.

Se olharmos a relação que fornece o ângulo de espalhamento θ, veremos que o

que causará partículas espalharem em diferentes ângulos é somente o parâmetro de

impacto b diferente.

Deste modo, as partículas que espalham entre θ e θ + dθ são exatamente aquelas

que colidem com parâmetro de impacto entre b e b + db.

Vamos considerar uma porção do alvo de área de A/cm2, Ao redor de cada núcleo

atômico nesta área analisaremos o efeito discutido acima. Para cada núcleo estamos

considerando as partículas α colidindo num anel de área 2π bdb ao redor do núcleo.

Sendo t a espessura da porção considerada, o número de núcleos em A é Atρ , sendo ρ

a densidade atômica do material.

11

Seja P(b)db a probabilidade que a partícula α passa por um destes anéis. Como

estamos tomando uma densidade uniforme de partículas incidindo na amostra, temos

que:

( )A

anéistotaláreadbbP =

Assim,

( ) bdbtdbbP πρ 2=

mas utilizando o fato que 2

Db = cotan D/2

2

1

2 22

θθ

d

sen

Ddb −=

e, portanto

θθ

θd

sen

Dbdb

23

22 cos

8−=

e θθθ sensen 21

22cos =

θθθ

dsen

senDbdb

24

2

16−=

12

e finalmente ( )2

42

sin

sin

8 θ

θθρπ dtDdbbP

−=

o sinal (-) aparece devido ao fato que aumentando b diminuímos θ)

Como -P(b)db representa a probabilidade que as partículas incidentes sejam

espalhadas entre θ e θ + dθ,

( ) θθρπθθθ

dtDI

dN

24

2

sin

sin

8=

sendo 1 o número incidente e n(θ)dθ o número espalhado no ângulo considerado.

Este resultado mostra que a probabilidade de espalhamento em grandes ângulos

não é nula. De fato é bastante elevada, concordando com resultados experimentais.

Os experimentos realizados testaram a dependência angular usando chapas finas

de Au e Ag no intervalo 5° a 150° demonstrando boa concordância. A quantidade N(θ)dθ

mostrou-se experimentalmente proporcional a espessura t como previsto.

Sendo proporcional a 2

2

222

=Mv

zZeD ,N(θ)d(θ), varia inversamente proporcional

com o quadrado da energia cinética das partículas α incidentes. Isto foi testado

experimentalmente mostrando boa concordância.

Uma última observação, e das mais conclusivas, veio da determinação do mundo Z

a partir dos resultados de espalhamento. A concordância de Z medida com o número

atômico do metal utilizado é muito boa.

Tendo seu modelo confirmado pelas observações experimentais, Rutherford

utilizou sua relação para estimar um limite do tamanho do núcleo. Observando as

partículas que espalham a 180°,

2

2

180 2vM

zZeDR ==o

É claro que esta é uma estimativa superior, pois as partículas α aproximam-se do

núcleo por uma distância muito maior do que o tamanho real do núcleo.

13

Se compararmos os resultados experimentais e teóricos de N(θ) veremos que eles

concordam muito bem para R grandeza (~ 10-14m = 10-4Å). Isto mostra que esta deva ser

a ordem de R grandeza do núcleo atômico. Para produzirmos menores R, aumentamos a

energia das partículas. Neste caso há penetração destas partículas na região nuclear e aí

evidentemente o modelo não concorda.

A fórmula de Rutherford que obtivemos anteriormente pode ser escrita em termos

da chamada secção do choque diferencial Ωd

dσ, definida como:

ΩΩ

= Indd

ddN

σ

dN → número de partículas espalhadas num ângulo sólido Ωd a um ângulo θ

I → número de partículas que colidem

N → densidade nuclear por área

N = σ I n

A definição acima é parecida desta última nI

N1

σ= .

Como definimos N(θ) dθ = dN, temos:

24

2

2

2

sin

1

2 θ

=

Mv

zZedN

chamada de secção de choque diferencial de Rutherford.

14

De acordo com estas expressões, o número de partículas α por unidade de área

que atingem a tela que floresce a uma distância r deve ser proporcional a espessura t da

folha metálica, a densidade de átomos no metal e, o que é mais importante, com o

quadrado do número atômico Z. Este número ainda depende inversamente com a energia

cinética das partículas α e apresenta o termo de dependência com .

Todas estas dependências puderam ser verificadas demonstrando a validade do

modelo de Rutherford, no qual o átomo é constituído de um caroço positivo (núcleo)

circundada pelos elétrons negativos. A concordância experimental deste modelo valeram

a Rutherford o mérito da descoberta do núcleo atômico.

Como vimos, através do modelo de Rutherford, a única interação considerada foi à

eletrostática e os resultados obtidos permitem a determinação de um tamanho limite para

o núcleo atômico. Vamos calcular a distância mais próxima do centro nuclear que uma

partícula pode atingir. Para isto, vamos considerar aquelas colisões frontais (b = 0) onde o

ângulo de espalhamento é praticamente θ = 180°. Nesta situação a energia potencial

eletrostática no ponto mais próximo é igual à energia cinética inicial da partícula.

0

2

2r

Ze Energia cinética (~ 7.7 Mev)

Utilizando ouro Z = 79

( ) 126

0

18219

610,110.7,7910.610,1

2 −−

xr

Z

para ouro (Au) → r0 ~ 3 10-12 cm ~ 3 10-4 Å

Desta forma vemos que para ouro o raio nuclear é menor do que raio atômico.

Experimentos mais modernos onde partículas α podem ser artificialmente

aceleradas demonstraram que a relação de espalhamento de Rutherford começa a

discordar dos resultados experimentais.

O modelo estabelecido por Rutherford, no qual um núcleo massivo e positivo

apresenta os elétrons ao seu redor, exige que tais elétrons descrevam trajetórias estáveis

ao redor deste núcleo, semelhante ao modelo planetário que temos. Vamos examinar

mais de perto os elétrons ao redor do núcleo num dos átomos mais simples que é o

15

átomo de hidrogênio. Tomando por simplicidade uma trajetória circular, temos para uma

trajetória de raio r

2

22

r

e

r

mv =

e, assim, a velocidade está relacionada com o raio da órbita por:

mrev =

Através da conservação de energia, temos que a energia total:

r

emvE

22

2

1 −=

que com a relação anterior permite-nos obter

r

eE

r

e

r

eE

2

2

1

2

22

−=

−=

1 coul = 3 109 stacoul

Assim, a energia total do elétron é negativa como esperado, já que ele está ligado

ao núcleo. Qualquer energia E ≥ 0 significaria um elétron não ligado ao núcleo. Utilizando-

se dos resultados experimentais conhecidos de que a energia necessária para extrair o

elétron do átomo de hidrogênio é de 13,6 eV,

( )r

x2

910.610,1610,16,13

1821912

−− −=−

cmr 9310,5 −≅⇒ ~ RaioBohr

Ao

53,0

Esta análise clássica feita para avaliar o raio da órbita eletrônica, que

evidentemente determina o raio do átomo, está completamente em desacordo com a

16

teoria eletromagnética segundo a qual este elétron acelerado deveria radiar energia na

forma de elétron em movimento circular deveria continuamente perder energia e assim

gradativamente, aproximando-se do núcleo de uma forma espiralhada, como mostrado

abaixo, finalizando com o colapso do átomo.

Este colapso, evidentemente, está em contradição com as observações reais dos

átomos.

A razão desta contradição está no fato de que estamos tratando o elétron como

partícula de uma forma completamente clássica, mas como vimos anteriormente, seu

comportamento é ondulatório. A fim de evitarmos esta instabilidade do modelo de

Rutherford, é necessário a realização de um modelo que inclua as noções de onda

discutidas anteriormente. No entanto, de forma alguma isto invalida a fórmula de

Rutherford que sobrevive mesmo quando um tratamento puramente quântico é feito para

o espalhamento de partículas α . A questão básica onde o modelo falha é a estabilidade

das órbitas. A solução para tal problema foi proposta inicialmente por Niels Bohr (1913)

que foi muito bem sucedido na explicação e predição do espectro atômico absorvido em

vários experimentos.

Antes de discutirmos modelos mais sofisticados para o átomo é necessário

fazermos alguns comentários sobre a observação da radiação emitida pelos átomos no

que denominamos de espectro atômico.

Uma das maneiras de determinarmos a composição da radiação emitida pelos

átomos está mostrada abaixo.

17

A radiação dos átomos pode ser obtida através de uma descarga elétrica no gás

constituído pelos átomos em estudo. Durante a descarga ocorre colisões dos elétrons

com os átomos e, nestas colisões, há transferência de energia colocando elétrons dos

átomos em estados mais energéticos. Como estes estados mais energéticos não são

estáveis, os elétrons voltam para seus estados normais e neste processo emitem luz.

Esta luz emitida é uma assinatura dos níveis de energia do átomo e revelam toda

informação da estrutura atômica.

Esta radiação emitida pelos átomos pode ser bloqueada de modo que somente um

fino flash que passa por uma fenda é permitido incidir sobre um prisma (ou rede de

difração). Ao passar por este prisma a luz é dispersada, separando as várias porções de

comprimento de onda diferentes que compõem esta radiação. Desta forma, a placa

colocada para mostrar a luz dispersa também mostra a composição espectral da luz

proveniente dos átomos.

Ao realizarmos o experimento acima notamos que a composição espectral da luz

proveniente dos átomos não é um contínuo (como a emanada de um corpo negro), mas é

composta de somente alguns comprimentos de onda discretos, cada um denominado de

uma linha espectral. Observa-se que cada tipo de átomo apresenta um conjunto de linhas

espectras que o caracterizam totalmente. Isto permite em muitos casos a caracterização

química de elementos desconhecidos, muito importante na determinação de

composições, etc.

Um dos espectros mais simples e, portanto, mais solicitado para estudos é o do

átomo de hidrogênio. Na figura abaixo mostramos este espectro impresso num filme

fotográfico.

18

Uma série de observações interessantes pode ser feita neste espectro ao começar

pelo fato que seu espaçamento diminui ao diminuirmos , e que a série de linhas tem um

limite em 3645,6 Å.

Esta regularidade no espectro do hidrogênio fez com que vários autores

procurassem uma fórmula empírica para descrevê-lo.

Em 1885 Balmer propôs a relação

43646

2

2

−=

n

nλ

que explicava as 3 primeiras. Em 1890 Rydberg propôs que ...5,4,31

2

1122

=

−= nn

RHλ

onde RH é a chamada constante de Rydberg.

A observação do espectro atômico foi um dos mais importantes estímulos

experimentais para o início da mecânica quântica. A comunidade científica da época

procurava por um modelo que todos estes resultados experimentais observados e ainda

contivesse em seu corpo a precisão das linhas espectrais observadas.

Em 1913 Niels Bohr desenvolveu um modelo dinâmico que preenchia os requisitos

para explicar o espectro do átomo de hidrogênio, com a vantagem de ser escrito e

desenvolvido de uma forma inteligível e matematicamente simples. O então chamado

modelo atômico de Bohr tem seu desenvolvimento baseado em alguns postulados

básicos. Os postulados são:

1 - Um elétron no átomo move ao redor do núcleo em uma órbita

circular sob influência da atração Coulombiana obedecendo às leis

clássicas da mecânica.

19

2 - Ao contrário de ser possível ao elétron existir em qualquer

trajetória ao redor do núcleo, somente serão permitidas as

trajetórias cujo momento angular L é um múltiplo de h=π2/h .

hnL = n = 1, 2, 3, ...

3 - Apesar de estar numa órbita constantemente acelerada,

elétrons nas órbitas permitidas no postulado anterior são estáveis,

não irradiando energia eletromagnética e, portanto, mantendo

constante a sua energia.

4 - Toda vez que o elétron mudar de órbita passando de uma órbita

de energia Ei para outra de energia Ef haverá emissão de energia

na forma de radiação eletromagnética cuja freqüência é

vh

EE fi =−

sendo h a constante de Planck.

Todos os postulados tentam, utilizando os conhecimentos gerados por outros

modelos, justificar as observações experimentais, que existe um núcleo, que as órbitas de

elétron são estáveis e que há emissão de radiação. A quantização é introduzida no

momento angular, mas como veremos, reflete na energia.

Vamos, então, resolver o átomo utilizando os postulados acima gerando, assim, o

que chamaremos de modelo atômico de Bohr. Se considerarmos um átomo

monoeletrônico, cujo elétron tem massa m e efetua trajetórias circulares, temos que

r

vm

r

Ze 2

2

2

= onde foi considerado que sendo o núcleo muito mais massivo tem seu

movimento desprezível quando comparado com elétron.

Utilizando-se a condição de quantização de Bohr,

2

22

22

22

2

2

mZe

nr

rm

n

r

m

r

Ze

mr

nvnmvrL

hh

hh

=⇒=

=⇒==

ou seja

20

22

22

22hh

h

n

ZemZe

n

nv ==

A energia total do elétron é:

222

2

22

4222

2

1

2

1mZe

n

Ze

n

eZm

r

ZemvE

hh−=−=

2

242

2

1

nE

emZh

−

−= n = 1, 2, 3, 4...

demonstrando que a condição de quantização do momento angular leva diretamente a

uma quantização na energia total do elétron.

Cada valor de n representa a energia de uma possível órbita estável para o elétron,

que normalmente são denominados de estados do elétron.

Representando os vários estados numa escala energética, teríamos:

Usando os postulados de Bohr podemos determinar a freqüência da radiação

emitida quando o elétron passa de um determinado estado Ei para outro Ef,

caracterizados pelo números Ni e Nf. Assim temos que:

+−=

−=

223

42 11

4 fi

fi

NN

emZ

h

EEv

hπ

ou seja

−=− 223

42 11

4 iffi NN

emZv

hπ

21

Assim, ao observador a luz proveniente de uma descarga eletrônica em hidrogênio,

observamos vários agrupamentos de linhas de freqüências diferentes, provenientes de

emissões distintas de elétrons em diferentes estados.

As linhas de Lyman, entre 1000 - 1300Å, provém de transições eletrônicas de

todos estados excitados para estado n = 1.

As linhas Balmer, entre 4000 - 7000Å, são transições cujo estado final é o estado

n = 2.

As linhas Paschen são transições entre 10.000 - 20.000Å, que correspondem às

transições que tem como estado final o estado n = 3.

Estas linhas, perfeitamente em concordância com o modelo de Bohr, foram

fundamentais no desenvolvimento dos conceitos básicos da estrutura atômica.

Os postulados de Bohr não são afirmativas ao acaso, mas são resultados claros do

comportamento ondulatório do elétron, ou seja, são implicações diretas do conceito

quântico ou ondulatório para o elétron. Assim, consideremos um elétron em órbita ao

redor do núcleo, através do balanço de forças o elétron apresenta uma velocidade (para

átomo de hidrogênio).

2

22

r

e

r

vm =

mr

ev =

com esta velocidade seu comprimento de onde de De Broglie é:

me

mrh

mv

h ==λ

22

se colocarmos os valores numéricos teremos:

o

Acm 3,3310,3 8 == −λ

que corresponde exatamente ao perímetro da órbita clássica do elétron

oo

AAr 3,353,0..22 == ππ

demonstrando que temos aqui um caso claro onde a região na qual o elétron está

confinado é da ordem do comprimento de onda e, portanto, o tratamento ondulatório é

mais apropriado.

Assim não é nenhuma coincidência que para o estado de mais baixa energia

tenhamos o perímetro igual a λ , pois este é o mínimo que podemos fazer.

De um modo geral podemos ter o perímetro como sendo correspondente a um

número inteiro de λ . Nunca poderemos ter um número fracionário de λ , pois neste caso

levaria a uma rápida aniquilação da onda ao considerarmos algumas voltas.

Desta forma

nrn πλ 2=

e substituindo λ

ππ

22

nhmvrr

mv

hn nn =⇒=

ou seja hnL = que é o postulado básico de Bohr.

Assim, através da mecânica ondulatória, a interpretação das órbitas estáveis de

Bohr nada mais são do que a situação que representam interferência construtiva entre as

várias partes da onda que constitui o elétron considerado.

Como outras trajetórias produzirão necessariamente interferências destrutivas da

onda elas não podem existir. Como exemplo considere uma órbita como abaixo:

23

após considerarmos várias voltas, teremos um conjunto de órbitas fora de fase que

somam-se interferindo destrutivamente.

Como vimos, através de colisões com elétrons, é possível transferir energia para o

átomo fazendo com que seus elétrons sejam promovidos para estados mais excitados,

emitindo energia ao regressarem aos estados mais estáveis de mais baixa energia.

Colisões não são, no entanto, a única forma de transferir energia ao átomo. A absorção

de luz também é capaz de promover excitações. A luz só será absorvida quando a

energia do fóton ( νh ) for exatamente a energia necessária para promover o elétron do

estado que se encontra para algum estado excitado. Como conseqüência a luz só será

absorvida para alguns comprimentos de onda. Este é o fundamento do chamado espectro

de absorção do átomo.

A observação do espectro atômico, como discutimos anteriormente, não é a única

forma de investigarmos os níveis de energia discretos do átomo. É possível, em alguns

casos, medir o espectro de excitação, através da medida da energia que está sendo

fornecida ao átomo. O experimento realizado em 1914 por Franck e Hertz, demonstrou de

forma nítida a existência dos níveis discretos de energia, bem como introduziram uma

maneira alternativa para medida de níveis de energia (espectro). Franck e Hertz

bombardearam vapores de vários elementos utilizando um dispositivo como abaixo.

24

Elétrons produzidos por um filamento são acelerados através de um gás por um

potencial V0. Ao passarem pela grade tais elétrons experimentam uma diferença de

potencial reserva V0, de modo que somente aqueles elétrons que passaram com energia

cinética acima de K = e V0 é que atingirão a placa contribuindo para a corrente no

galvanamento A. Desta forma, aumentando V, mais e mais elétrons atingirão a placa

produzindo uma corrente maior.

Ao percorrer o caminho no gás, os elétrons colidem com os átomos deste. Quando

a energia do elétron é tal que cedendo esta para o átomo haverá excitação colocando o

sistema num estado de energia maior, ocorre transferência desta energia por colisão.

Perdendo esta energia os elétrons atingem a grade com baixa energia cinética e,

portanto, não conseguem chegar até a placa não contribuindo com a corrente. Assim, ao

aumentarmos a potência V, aumentando a energia dos elétrons, observamos quedas na

corrente que correspondem às excitações eletrônicas.

(Potenciais bastante elevados podem produzir elétrons que excitarão átomos mais do

que uma vez). No entanto potenciais baixos reproduzem com fidelidade a estrutura de

níveis do átomo.

O experimento de Franck-Hertz foi realizado imediatamente após o nascimento da

teoria de Bohr para átomo de hidrogênio e representa uma confirmação independente da

discretização dos níveis de energia.

O grande sucesso da teoria de Bohr, para explicar o átomo de hidrogênio e sua

surpreendente concordância com os resultados experimentais, criou uma grande

expectativa ao redor dos fundamentos envolvidos no modelo. Procurava-se obter

resultados mais gerais que descrevessem também outros sistemas físicos diferentes do

átomo de hidrogênio.

Os primeiros passos no sentido de estabelecer uma nova teoria , válida sempre e

que tornava-se mais evidente no micromundo foi dado por Wilson e Sommerfeld em

25

1916, que anunciaram determinadas regras que permitiam a quantização ou a

determinação dos estados energéticos de qualquer sistema físico cujas coordenadas

eram funções periódicas no tempo. Esta regra conhecida como regra de quantização de

Sommerfeld-Wilson , pode ser enunciada da seguinte forma:

“Em um sistema cujas coordenadas são funções periódicas no

tempo, tem como condição de quantização para suas coordenadas

∫ = hndp qqq nq = 1, 2, 3...

h = const. Planck

onde q é uma coordenada que tem como momentum associado pq

e nq será o número quântico que terá somente valores inteiros. A

integral deve ser efetuada sobre um período de oscilação das

coordenadas”.

Esta regra de quantização pode ser melhor entendida se considerarmos um exemplo.

Assim, vamos imaginar uma partícula no interior de uma caixa de paredes rígidas.

A energia desta partícula é:

m

pE x

2

2

=

de onde tiramos mEpx 2±= . Se aplicarmos a regra quantização para este problema,

temos:

26

2

22

2

22

842

222

2

2

2

ma

hnE

a

hnmE

nhdxmEdxmEdxpa

a

a

ax

=⇒=

=−+= ∫∫∫−

−

n = 1, 2, 3...

que são as energias possíveis para uma partícula numa caixa.

Se olharmos para as trajetórias que estas energias representam no espaço das

fases, teremos uma melhor idéia do que significa a condição de quantização W-S.

Assim, vamos para cada valor de n desenhar as trajetórias no espaço fases.

A integral ao longo de um período completo dxpx∫ , representa a área da figura

desenhada no espaço das fases e a regra de quantização requer que isto seja um número

inteiro da constante h, ou de outra forma, a área valida ao se passar de uma trajetória

para outra no espaço das fases deve ser um número inteiro de h.

Outro exemplo que podemos tomar é o oscilador harmônico.

222

2

1

2xm

m

pE x ω+=

Fixada a energia do oscilador, temos que as trajetórias no espaço das fases são

elipses.

122 2

22

=+ωm

E

x

mE

px

27

cujos eixos valem 22

2

ωmEb

mEa

=

=

A integral

abelipseáreadxP π==∫ .

Assim nhmEm

E =222 ωπ

ωω

πhnEnh

E =⇒=2

Como já determinamos pelo princípio da incerteza ωh2

10 =E

ωh

+=2

1nE

Utilizando a regra de quantização de W-S podemos recuperar a condição de

quantização de Bohr. Utilizando L e θ como coordenadas,

∫ ∫∫ ====π

πθ2

02 nhLLdoLdPdq

hnL =⇒

cuja interpretação mais física já discutimos anteriormente mostrando que esta condição

separa as trajetórias cujas ondas de Broglie interferem construtivamente.

Uma das importantes aplicações da regra de quantização W-S é o átomo de

hidrogênio, onde é permitido ao elétron mover-se em trajetórias elípticas . Este é

normalmente designado como modelo de Sommerfeld . Ao observarmos as linhas

espectrais previstas no modelo de Bohr para o hidrogênio, observamos no laboratório que

elas são compostas por outras linhas bastante juntas, ao invés de ser uma única linha.

Observa-se que o espaçamento entre linhas é 10-4 vezes o espaçamento entre linhas

28

principais. Esta estrutura de níveis é normalmente denominada de estrutura fina, e foi

tentando explicar estas linhas que Sommerfeld realizou este modelo.

Descrevendo o movimento do elétron em termos de θ e r, temos que W-S nos

fornece

hndrp

hnLd

rr =

=

∫

∫ 0θ

...2,1,0

...4,3,2,1

==

rn

nθ

Da primeira condição temos hθnL = .

Imaginando órbitas elípticas:

r

e

m

pE

22

2−=

mas r

Lp =θ , de modo que

r

e

mr

L

m

pE r

2

2

22

22−+=

Nos pontos A e A', pr = 0 → r2E + re2 - m

L

2

2

= 0 de onde tiramos r1 e r2.

E

Eee

r

r mL

2

4 242

2

12++−

=

++−=

E

Eeer m

L

2

2 242

2

Eerr 2

21−=+ mE

Lrr 2212. −=

29

(das propriedades de uma equação de 2° grau).

Assim,

hndrpdrp r

r

r rr == ∫∫2

1

2.

usando mr

e

mr

LEpr 2

2 2

2

2

2

+−=

( )[ ] drreErmr

mL 2

12

2222

1 −+=

Esta integral pode ser efetuada, revelando que

( )

( )22

42

2

42

12

2

θ

θ

π

π

nnh

meE

hnhm

meE

r

r

+−=

+−=

Como nθ = 1, 2, 3 ..., nr = 0, 1, 2 ..., temos que n = nr + nθ = 1, 2, 3 ... que reproduz

o resultado de Bohr, já que agora temos a dependência de 2 números quânticos.

22

42 12

nh

meE

π−=

O número quântico n é chamado de número quântico principal . Como nθ = n - nr,

nθ só pode variar de modo a manter nθ < n, e assim pode variar de 1 até n .

Assim, dado um número quântico principal n, que representa um determinado nível

energético, existem n passíveis valores de nθ (chamado de número quântico azimutal),

que corresponde a diferentes momentos angulares, correspondentes à mesma energia.

Cada valor de nθ leva a uma trajetória elíptica diferente.

Ex.:

30

Sempre o valor próximo de nθ corresponde às órbitas circulares e correspondem às

órbitas previstas por Bohr, enquanto que as demais são elípticas, não previstas por Bohr.

As várias órbitas possíveis caracterizadas pelo mesmo valor de n apresentam a

mesma energia e, por isto, são ditas ser degeneradas. É importante notar que embora n

caracterize o estado, nr e nθ estão mudando. Escolhemos n = nr + nθ como número

quântico principal, já que a energia total depende dele, mas são necessários dois

números (n e nθ) para determinar o estado energético, pois apenas existem várias

combinações nr e nθ que levam à mesma soma.

A tentativa de explicar a estrutura fina não foi bem sucedida com os cálculos

acima, que mostraram que cada estado é composto de vários outros. A justificativa para a

estrutura fina foi feita mais tarde pelo próprio Sommerfeld, que tratou o elétron no átomo

relativisticamente, mostrando que cada nθ tem na verdade energia levemente diferente

não revelada no primeiro tratamento.

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

INSTITUTO DE FÍSICA DE SÃO CARLOS DEPARTAMENTO DE FÍSICA E CIÊNCIAS DOS MATERIAIS

CAPÍTULO VIII

INTRODUÇÃO À MECÂNICA QUÂNTICA

PROF. VANDERLEI S. BAGNATO

2

Capitulo VIII

INTRODUÇÃO À MECÂNICA QUÂNTICA

Tudo o que vimos desde a radiação do corpo negro até a explicação do espectro

do átomo de hidrogênio representa um desenvolvimento de idéias que denominamos

de mecânica quântica antiga e obteve grande sucesso devido a resolução que

causou ao explicar muitos dos fenômenos pendentes na época. Este desenvolvimento,

no entanto, apresentava vários aspectos inconvenientes. Como sabemos, a regra de

quantização de Wilson-Sommerfeld somente pode ser aplicada para sistemas

periódicos, mas existem muitos sistemas não periódicos que apresentam um grande

interesse físico. Outro ponto em aberto é que embora reproduzisse o espectro do

átomo de hidrogênio não há nenhuma explicação porque determinadas linha s

espectrais são mais intensas do que outras. A teoria antiga só pode ser aplicada

para átomos com um único elétron.

A crítica mais forte à teoria antiga é no entanto o fato que ela é mais ou menos

constituída empiricamente sem uma conexão clara e embasada para todos os seus

fatos.

Baseado nestes fatos, houve no começo do século um grande esforço para a

construção de uma teoria quântica , livre das objeções colocadas acima e que fosse

de alguma forma mais generalizada. Assim, em 1925 Erwin Schrödinger desenvolve

uma teoria como uma generalização do postulado de De Broglie, deixando de lado

alguns conceitos como órbitas, etc, que ainda prevaleciam na mecânica quântica

3antiga. A nova mecânica quântica, além de ser matematicamen te precisa

introduzia uma nova forma abstrata para interpretaç ão dos resultados físicos.

Vamos passar a estudar, nas próximas páginas, o desenvolvimento da teoria de

Schrödinger, mas não o faremos com toda precisão e formalismo já que esta será o

objetivo de cursos posteriores.

Comecemos, revendo o postulado de De Broglie onde uma partícula livre com

momentum p e energia E é representada por uma onda cujo comprimento de onda e

freqüências são

ν

λ

hE

p

h

=

=

Neste caso, como vimos, a função de onda ( )tx,Ψ que representa esta onda é dada

por

( )

−=Ψ tx

Atx νλ

π2sen,

e como vimos. Com requisito para termos uma onda cuja velocidade corresponde à

velocidade da partícula além de satisfazermos o princípio de incerteza de Heisenberg.

A interpretação desta função de onda como vimos é devido a Born e representa

a probabilidade de encontrarmos a partícula numa determinada posição num

determinado instante de tempo. Aparentemente para partícula livres podemos manter a

seleção sem no entanto sabermos qual equação a determina. Num caso mais geral

com oscilador harmônico, etc, isto já não é verdade. Assim estamos procurando uma

4maneira mais geral de tratarmos através da mecânica ondulatória qualquer problema

físico.

Em mecânica clássica a descrição física de um sistema é completamente

conhecida se conhecermos a função trajetória de cada constituinte

( )trrrr =

Em mecânica quântica podemos ter a mesma afirmativa se conhecermos a função de

onda:

( )tr ,rΨ

cuja interpretação é que ( ) 2, txΨ representa a densidade de probabilidade para a

ocupação espacial da partícula e o problema central na mecânica quântica é

determinar ( )tx,Ψ quando partícula está sujeita a uma determinada lei de força.

Mesmo antes de acharmos Ψ , podemos verificar as características importantes

que esta função deve satisfazer. Do fato de que 2Ψ representa a probabilidade de

encontrarmos corpo numa determinada posição a integral desta quantidade em todo

espaço deve ser finita, pois ao considerarmos todo espaço a partícula deve estar em

algum lugar.

finitadv =Ψ∫2

A função ( )tx,Ψ ainda deve ser contínua em todo espaço já que a probabilidade não

pode assumir valores diferentes no mesmo ponto do espaço. A função deve também

5apresentar derivadas espaciais constantes em cada lugar do espaço pois, se

considerarmos o caso conhecido da onda plana

,22

sen

−=Ψ tx

A πνλπ

temos que

−+=∂Ψ∂

tx

Ax

πνλπ

λπ

22

cos2

e como,

h

pπλπ 22 = ,

temos que a primeira derivada é proporcional ao momentum da partícula, e este não

deve sofrer descontinuidades a menos que forças infinitas agem sobre a partícula.

Assim, resumindo, a função de onda deve satisfazer as seguintes propriedades:

(1) Finita em todo espaço

(2) ter integral finta (em todo espaço)

(3) ter derivadas espaciais contínuas (a menos que forças infinitas hajam na partícula).

Vamos começar analisando uma partícula livre que se desloca na direção + x.

Considerando uma das componentes de onda plana para tal partícula,

( )

−=Ψ tx

Atx νλ

π2sen, ,

que ainda não é solução integral da equação de onda pois sendo a função seno

solução também o será a função cosseno. Assim, uma solução aceitável é

6

( )

−+

−=Ψ tx

Atx

Atx νλ

πγνλ

π 2sen2cos,

Antes de continuarmos vamos, verificar baseados no que já sabemos, como deveria

ser numa equação que determina Ψ .

Tratando-se de uma onda, a primeira idéia que nos vem a cabeça é a função de

onda tradicional.

01

2

2

22

2

=∂

Ψ∂−∂

Ψ∂tvx

Consideremos, então, a onda plana acima

( )

−+

−=Ψ tx

Atx

Atx νλ

πγνλ

π 2sen2cos,

Tomando a derivada espacial

Ψ−=Ψ

−=∂

Ψ∂

−+

−−=∂Ψ∂

2

22

2

2 2

cos2

sen2

h

p

x

tx

Atx

Ax

λπ

νλ

γλπν

λλπ

Tomando a derivada temporal

( ) Ψ−=Ψ−=∂

Ψ∂2

22

2

2

2h

E

tπν

7que colocados na equação de onda anterior,

2

22

2

2

2

0

mvpvE

v

Ep

==

=−hh

isto parece de acordo com as relações de De Broglie só que não estão adequadas com

m

pE

2

2

= a equação não nos dar chance de introduzirmos um potencial externo agindo

sobre a partícula.

Para uma partícula movendo-se num potencial V(x), com uma energia E, temos

que

( ) ExVm

p =+2

2

e isto deve está retratado na equação que procuramos.

Como vimos anteriormente que o momentum da partícula ao quadrado está associado

com

2

2

x∂Ψ∂ α Ψ.2p

e que a energia está associada com a primeira derivada temporal

t∂Ψ∂ α ΨΕ,

faz sentido propormos como equação que descreva a onda

8

( ) ( )t

txtxVx ∂

Ψ∂=Ψ+∂

Ψ∂ βα ,,2

2

onde α e β são constantes a determinar-se. Vamos, requerer que estejamos tratando

com uma partícula livre V(x,t)=0, e vamos substituir a solução ( )tx,Ψ na equação

acima.

−−

−+=

−

−

−

−

tx

tx

tx

tx

νλ

ππνγβνλλ

ππβ

νλλ

πγλπαν

λπα

λπ

2cos22

sen2

2sen

22cos

222

de modo que precisamos,

γπνβα

λπ

πνγβαλπ

22

22

2

2

=

−

−=

−

e

Isto mostra que

γπνβπνγβ 2

2 =−

i±=⇒−=⇒ γγ 12

de modo que

9

.22

2

πνβλπα i±=

−

como

2

222

h

p=

λπ

e h

Ε=πν2

.2

2

βαhh

Ei

p ±=−

de modo que para esta equação ser satisfeita, escolhemos

m2

2h−=α e hmi=β

e terminamos com m

p

2

2

=Ε .

Com isto, a equação que propusemos anteriormente fica.

( ) ( )t

itxtxVxm ∂

Ψ∂=Ψ+∂

Ψ∂− hh

,,2 2

22

que e chamada de Equação de Schrödinger dependente do tempo e para o caso

da partícula livre tem como solução

Ψ−

−=Ψ sencos iAtx

A νλ

−±=Ψ

tx

i

Aeν

λπ2

A equação anterior, foi obtida inicialmente por Schrödinger em 1926 e a obtemos para

um caso particular, o da partícula livre, mas podemos verificar que ela satisfaz os

10requisitos básicos colocados inicialmente. Vamos postular que esta equação é válida

para qualquer potencial.

Antes de aplicarmos a equação de Schrödinger para alguns casos, analisamos o

caso especial e bastante comum, quando o potencial V(x,t) não é dependente do

tempo. Neste caso podemos escrever a solução como

( ) ( ) ( )txtx ϕΨ=Ψ , , e substituindo na equação

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xt

itxxVtxm

Ψ∂∂=Ψ+

∂Ψ∂− ϕϕϕ h

h.

2 2

22

Dividindo por ( ) ( )xt Ψϕ

( ) ( ) ( ) ctt

ixxV

xm=

∂∂=

Ψ+

∂Ψ∂−

Ψϕ

ϕhh

2

22

2

1

Assim

tecdt

di

cihh

−=⇒= ϕϕϕ

tc

itc

hhsencos −−=

Como a dependência temporal ,2 ti πν

tE

ie

cc

h

h

−=

Ε=⇒=

ϕ

πν2

11da parte espacial,

( ) ( ) ( ) ( )xExxVdx

xd

mΨ=Ψ+Ψ−

2

22

2

h

que é chamada equação de Schrödinger independente do tempo.

Mostrando quando V(x) não depende do tempo (explicitamente) a dependência

temporal é a de onda plana, portanto ( ) 2, txΨ não varia com tempo.

Esta equação que para nós será mais importante, já que trataremos essencialmente de

potenciais independentes do tempo, poderia ser obtida através de um argumento

bastante simples.

Vamos supor que a equação procurada deva ser de acordo com a equação da

conservação de energia

( ) ExVm

p =+2

2

E portanto

( )( )xVEm

p −=2

2

Como vamos então imaginar em cada ponto uma onda plana de momentum p como

Ψ−=

−=Ψ

2

2

2

2

2

2

22

sen

h

p

tx

dx

d

dx

d πνλπ

temos que, multiplicando a equação de energia pela função de onda Ψ

12

( )( )Ψ−=Ψ xVEm

p

2

2

como 2

222

dx

dp

Ψ−=Ψ h

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )xExxVdx

xd

m

xVEdx

d

m

Ψ=Ψ+Ψ−⇒

Ψ−=Ψ−

2

22

2

22

2

2

h

h

que é a equação de Schrödinger independente do tempo.

Nós somente mostramos a equação no caso unidimensional, mas ela pode ser

generalizada em 3-D

( ) ( ) ( )zyxEzyxzyxVzyxm

,,,,,,2 2

2

2

2

2

22

Ψ=Ψ+

∂Ψ∂+

∂Ψ∂+

∂Ψ∂− h

É importante sentir que a equação de Schrödinger é para a mecânica quântica aquilo

que as leis de Newton são para a mecânica clássica.

Nesta equação, normalmente o que conhecemos é o potencial V(x,y,z), o que

queremos determinar é o espectro de energia E e a função de onda Ψ, que permite

cálculo de outras propriedades do sistema. As condições de contorno são de extrema

importância na solução desta equação.

Vamos passar agora a utilizar, a equação de Schrödinger para a solução de alguns

problemas. Comecemos com o caso da partícula na caixa .

13

O potencial que estamos tratando apresenta a seguinte forma

( )

><∞+

<<

=

Lx

x

Lx

xV0

0

Sendo infinito o potencial a única possível solução para 0=Ψ pois a probabilidade de

encontrarmos a partícula naquela região é nula. Vamos então resolver a equação para

Lx <<0 . Neste intervalo

( ) 02

2

22

2

2

22

=Ψ+Ψ

Ψ=Ψ−

xEm

dx

d

Edx

d

m

h

h

A solução é do tipo

14

KxB

ou

KxA

sen

cos

2

1

=Ψ

=Ψ

ambas com a condição de contorno que ( ) ( ) 00 =Ψ=Ψ L , já que Ψ deve ser contínua

Primeiro vamos considerar a solução 1Ψ

,02

22 =Ε+−

h

mK

portanto

2

2

h

mEK =

e de todo que ( ) ( ) 00 =Ψ=Ψ L

010cos =⇒= AA

de modo que 1Ψ não pode representar a partícula na caixa.

Para Ψ2,

,...3,2,1

0sen

00sen

==⇒=

=

n

nKLKL π

desta condição obtemos a quantização da energia

2

222222

8mL

hnEnLK n =⇒= π

(as condições de contorno determinam a quantização) ,....2,1=n

Como já havíamos obtido anteriormente A função de onda

15

( ) xL

nBx

πsen=Ψ

Como ( ) 2xΨ representa a densidade de probabilidade,

( ) 10

2 =Ψ∫ dxxL

(Normalização)

Portanto

( )

=Ψ

=

==

∫

xL

n

Lx

LB

LBdx

L

xnB

n

π

π

sen2

2

21sen 222

Note que as várias energias possíveis para uma partícula na caixa, representam

diferentes distribuições de probabilidades de encontrarmos a partícula na caixa

16 Um outro exemplo importante na introdução da mecânica quântica é o caso da

barreira de potencial que além de ilustrativo introduz um conceito novo na mecânica

quântica.

Assim, imaginemos um potencial como mostrado abaixo.

Imaginemos uma partícula que vem de x=-∞ e colide com esta barreira. (E<V0)

classicamente esperaríamos que ela chocasse com esta barreira, invertesse seu

movimento e voltasse para x=-∞. Quanticamente isto não ocorre desta forma e mesmo

sendo classicamente impossível a partícula pode ultrapassar a barreira e continuar seu

movimento para x=+∞.

Na parte x<-a ou x>a, a partícula é praticamente livre e como vimos uma partícula livre

tem como função de onda

Ψ=Ψ=Ψ−m

pE

dx

d

m 22

2

2

22h

ou seja,

xp

iAe

pdx

d

h

h

±=Ψ

Ψ=Ψ− 22

22

17

a parte da solução com p>0 representa uma onda (ou a partícula) deslocando na

direção positiva do eixo x. A parte p<0 representa a partícula deslocando-se na direção

negativa do eixo x.

Voltemos ao caso da nova barreira e analisemos uma partícula com E<V0, para

x<-a

( )

( ) 02

02

22

2

2

22

=Ψ+Ψ

=Ψ−Ψ−

xmE

dx

d

xEdx

d

m

h

h

Chamando 22

2K

mE =h

022

2

=Ψ+ΨK

dx

d

como nesta região poderemos ter a partícula propagando-se na direção +x ou –x, a

solução é algo

( )22 BAfluxo

BeAex iKxiKxI

−=

+=Ψ −

à parte A2 representa probabilidade da partícula está incidindo sobre a barreira

12 =A

já que temos certeza que a partícula existe e veio de -∞ na direção +x.

B2 , representa a probabilidade da partícula está caminhando na direção –x, portanto

representa a probabilidade da partícula ter chocado-se com a barreira investido seu

movimento por conveniência vamos chamar B=R, para lembrar reflexão. A solução

para x<-a é então

18

( ) iKxiKxI ex −+=Ψ Re

com 2

2

h

mEK = .

Para x>a, a equação é exatamente do mesmo tipo, só que agora como a partícula está

vindo -∞, ao encontrar a barreira, ou ela volta (caso visto acima), ou ela ultrapassa a

barreira e neste caso, só encontraremos partículas deslocando-se para +x de modo

que a solução é

( ) iKxIII Tex =Ψ

sendo ( )22IIIT Ψ= a probabilidade da partícula ser transmitida pela barreira.

Classicamente T2=0.

Vamos, agora, analisar o que ocorre na região (II) que representa o interior

da barreira.

Neste caso,

( ) 02

2

02

22

02

22

=Ψ−+Ψ−

Ψ=Ψ+Ψ−

EVdx

d

m

EVdx

d

m

h

h

e temos que E<V0,

( ) 02

022

2

=Ψ−−ΨEV

m

dx

d

h

Chamando ( ),202

2 EVm

q −=h

a equação fica:

19

022

2

=Ψ−Ψq

dx

d

que tem como solução

( ) qxqxII BeAex −+=Ψ

Note portanto que 2IIΨ não é nula e portanto a partícula pode ser encontrada numa

região classicamente proibida.

Como dissemos anteriormente Ψ deve ser contínua em todo espaço, impondo

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )axax

axax

axax

axax

IIIII

IIIII

III

III

=Ψ′==Ψ′=Ψ==Ψ

−=Ψ′=−=Ψ′−=Ψ=−=Ψ

tiramos

( )( ) ( )22222

22

22senh

2

qKqaqK

KqT

++=

e

22 1 TQ −=

mostrando que, mesmo tendo E<V0 (energia menor do que a barreira) quanticamente a

partícula pode passar através da barreira num processo denominado de tunelamento .

Uma representação de 2Ψ seria:

20

Dentro da barreira a amplitude da onda decai demonstrando uma diminuição de

encontrarmos a partícula naquela região.

Um importante exemplo na mecânica quântica e que foi fundamental na sua

formulação é a solução do sistema atômico. A chamada mecânica quântica atômica é

fundamental para o entendimento da natureza, com os átomos interagem formando

moléculas estáveis, sólidos, etc. Vamos, aqui nos ater somente a formulação

matemática do átomo de hidrogênio, porém este assunto é mais vasto merecendo

maior atenção no futuro.

Vamos considerar o átomo de hidrogênio que como sabemos de um próton

central e um elétron. Sendo o próton 1840 vezes mais pesado que o elétron,

consideraremos o próton estacionário (semelhantemente ao modelo de Bohr). Assim,

em primeira aproximação a equação de Schrödinger para o elétron no átomo de

hidrogênio é

Ψ=Ψ++

−

∂Ψ∂+

∂Ψ∂+

∂Ψ∂− E

zyx

e

zyxm 222

2

2

2

2

2

2

22

2

h

Pela natureza do problema, é mais conveniente trabalharmos em coordenadas

esféricas (r, θ, ϕ) com

21

θϕθϕθ

cos

sensen

cossen

2222

rz

ry

rx

zyxr

===

++=

θ= ângulo zenital

ϕ= ângulo azimutal

Com estas novas coordenadas a equação de Schrödinger fica escrita como

Ψ=Ψ−

∂Ψ∂+

∂Ψ∂

∂∂+

∂Ψ∂

∂∂− E

r

e

rrrr

rrm

2

2

2

2222

2

2

sen

1sen

sen

11

2 ϕθθθ

θθh

e multiplicando por θ22 senr e 2

2

h

m−

0sen2

sensensen2

2

22

2

222 =Ψ

++

∂Ψ∂+

∂Ψ∂

∂∂+

∂Ψ∂

∂∂

Er

emr

rr

r h

θϕθ

θθ

θθ

que é a equação diferencial que descreve o elétron no átomo de hidrogênio. Vamos

procurar solução que passa ser escrita através de uma separação de variáveis

( ) ( ) ( ) ( )ϕθϕθ ΦΘ=Ψ rRr ,,

22onde R(r) é a função que descreve a dependência radial da função de onda, Θ a

dependência zenital e φ a azimutal.

Vamos, então substituir esta solução na equação original e dividir por Ψ

obtemos:

0sen21

sensensen 2

2

222

2

22

2

=

++

∂Φ∂

Φ+

∂Θ∂

∂∂

Θ+

∂∂

∂∂

Er

erm

r

Rr

RR h

θϕθ

θθ

θθ

Rearranjando o termo que só depende de ϕ temos que

2

22

2

2222

2 1sen2sen

sensen

ϕθ

θθ

θθθ

∂Φ∂

Φ−=

++

∂Θ∂

∂∂

Θ+

∂∂

∂∂

Er

erm

r

Rr

rR h

que requer que ambos lados desta equação sejam iguais à uma constante que

chamaremos 2lm

∂Θ∂

∂∂

Θ−=

=

++

∂∂

∂∂

=ΦΦ

−

θθ

θθθ

ϕ

sensen

1

sen

21

1

2

2

22

22

22

2

l

l

m

Er

er

m

r

Rr

RR

md

d

h

A segunda equação, também tem seus membros dependendo de variáveis

independentes, e portanto também devem ser iguais a uma constante que

chamaremos l(l+1). Assim, terminamos com

23

( )

( )

=

+−

++

=Θ

−++

Θ

=Φ+Φ

0121

0sen

1sensen

1

0

2

2

22

2

2

2

22

2

Rr

llE

r

em

dr

dRr

dr

d

r

mll

d

d

d

d

md

d

l

l

h

θθθ

θθ

ϕ

A solução de onda uma destas equações fornecerá uma parte da função de onda. Da

equação para função Φ , tiramos que

( ) ϕϕ limAe=Φ

onde A é uma constante pela própria geometria do átomo, esperamos que esta função

Φ(ϕ) não se modifique, ou seja

( ) ( )

,......3,2,1,0

1.

222

±±±==⇒=

Φ=+Φ

l

imimimim

m

eAeeAe llll πϕπϕ

ϕπϕ

O número lm é chamado de número quântico magnético.

Olhando para equação as chamadas funções associadas de Legendre , mas o que é

mais interessante é para que haja solução (o que é óbvio, pois a função de onda deve

existir). É necessário que l seja inteiro e maior ou igual à ml ou seja

lml ±±±= ,....2,1,0

esta constante l é chamada de número quântico orbital.

A solução para a parte radial é as conhecidas funções associadas de

Laguerre. Esta equação só terá solução quando a quantidade E da equação for da

forma

24

22

4 1

2 n

me

h−=Ε ,....2,1=n

com l não superando (n-1), ou seja

( )1,....2,1,0 −= nl

O número n é denominado de número quântico principal .

Estes tr~es parâmetros que só podem adquirir determinados valores para

que haja solução são os números quânticos

magnéticolm

orbitalnl

principaln

l ±±±=−=

=

,....2,1,0

)1,....(2,1,0

,....3,2,1

Assim, vemos que para descrevermos o estado de um elétron no átomo de hidrogênio,

são necessários três números quânticos. Normalmente escrevemos a função de onda

Ψ, como

ll mlmnlR ΦΘ=Ψ

onde os vários índices denotam a dependência da referida parte da função de onda

com os números quânticos.

É interessante visualizarmos os números quânticos em termos de um modelo

clássico e simplificado. Imaginando o átomo clássico, como anteriormente semelhante

a um sistema planetário, vemos que o número quântico principal determina o

espaçamento entre as possíveis energias. Separando parte cinética da parte potencial

da energia total

r

eKK orbitalradial

2

−+=Ε

25Introduzindo esta energia na equação radial, tiramos que

( )0

2

1212

2

22

2=

+−++

R

mr

llKK

m

dr

dRr

dr

d

rorbitalradial

h

h

Como queremos que a função radial seja determinada por uma equação que envolva

somente vetor radial e sendo ( )2θα &rKorbital , vamos requerer que os dois últimos termos

cancelem

( )2

2

2

1

mr

llKorbital

+= h

como

( )2

2

2

2

2

1

2 mr

ll

mr

LKorbital

+== h,

temos que ( ) 22 1 h+= llL , mostrando que o momento angular total é quantizado e que o

número quântico l é que o determina. É importante notar que o momento angular é um

múltiplo de h

( )h1+= llL

Dependendo do valor de l, costumamos denominar os estados por s,p,d,f...

O vetor momento angular Lr

é perpendicular ao plano da trajetória. O elétron

percorrendo esta trajetória determina um loop de corrente determinando um momento

magnético dipolar µr . Na presença de uma campo magnético externo Βr

, haverá uma

interação com µr , surgindo um torque

µ θ B

θµτ senB=

26

A energia de interação ∝ Brr

.µ , será nula para µ ← B e se quisermos determiná-los

θµθτ cos0

900

BdU m −== ∫

o dipolo magnético

2. reÁreai νπµ −==

como mvrL = = 22 rmνπ , temos que

Lm

e rr

−=2

µ

o fator m

e

2é denominado de fator giromagnético orbital. O valor de ml representa os

possíveis projeções de Lr

ao longo de um eixo determinado eixo escolhido z, de modo

que

hlz mL =

No modelo de Bohr o elétron é visualizado como revolucionando ao redor do

núcleo em trajetória circulares. No entanto a solução quântica do átomo de hidrogênio

modifica a idéia de Bohr de maneira radial. Primeiramente não mais podemos falar em

termos de trajetória e posição, mas sim somente em termos de probabilidades relativas

de encontrarmos o elétron nas várias posições, o que é naturalmente uma

conseqüência da natureza ondulatória do elétron.

Como vimos, ΘΦ=Ψ R , de modo que

2222 ΦΘ=Ψ R

onde o quadrado é entendido como ∗= fff .2 .

A parte em ϕ, fornece uma constante já que

27

π

π

2

12

1

2 =Φ

=→=Φ Φ AAe lim

A variação da radiação da função de onda e a variação com θ basicamente

fornecem os vários estados diferentes como ψ2 é a densidade de probabilidade

rdemelétronencontrardeadeprobabilidrd 332 =Ψ r

como ,23 drddrrd θϕ=

( ) drRrdrrrP nl22ξ=+→

A função Θ fornece a dependência da densidade de probabilidade com o ângulo zenital

θ. Esta distribuição dependerá essencialmente de l e m.

28

É possível mostrar que a distribuição de probabilidade nunca está contida num plano.

( ) 22222 1 h+=++= llLLLL zyx

como o máximo valor de Lz por exemplo lLz h= , esta mostra que 222hlLL zy =+ ,

mostrando que havendo componente além de Lz a distribuição não está só contida no

plano xy, este resultado é geral porque os eixos são arbitrários.

1

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO INSTITUTO DE FÍSICA DE SÃO CARLOS

DEPARTAMENTO DE FÍSICA E CIÊNCIAS DOS MATERIAIS

CAPÍTULO IXII

INTRODUÇÃO À FÍSICA NUCLEAR

PROF. VANDERLEI S. BAGNATO

2

CAPÍTULO IX

INTRODUÇÃO À FÍSICA NUCLEAR

Até agora temos tratado o núcleo atômico como sendo uma massa puoontual que

apresenta carga positiva. Na realidade o núcleo é mais complexo sendo tão complexo que

mesmo nos dias atuais ainda permanece propriedades a serem entendidas.

Vamos nesta parte do curso considerar algumas propriedades fundamentais do

núcleo e expor os principais modelos para explicá-las. Comecemos discutindo algumas

grandezas que nos permita ter um quadro representando o núcleo atômico.

A composição nuclear foi determinada ao redor de 1932 por Bother e Becker

através de experimentos de bombardeamento da matéria com particulapartículasr α e

com radiação gamaom ?. Observaram que após bombardeamento com

particulapartículasr α radiação misteriosa era emitida do núcleo. Experimentosa

realizadosa por James Chadwick mostraram que esta misteriosa radiação era constituída

de partíiculasr neutras cuja massa do próton. Devido a ser partícula eletricamente neutra

recebeu o nome de nêutron. O nêutron é um elemento fundamental na composição

nuclear, porém, é uma partícula que só é estável no interior do núcleo. Quando ela é

colocada livremente torna-se instável decaindo,

nêutron → próton + eletron elétron + anti-neutron ?

Este processo de decaimento demora da ordem 103segc. Discutiremos o

decaimento do nêutron oportunamente ?.

Logo após a descoberta do nêutron observou-se que ele era um ingrediente

necessário na estrutura nuclear sendo junto com o próton os constituintes fundamentais

do núcleo atômico e que determinam em linhas gerais a massa total do átomo.

As partículas que compõem o núcleo são chamadas de nuucleons. Assim, ambos:

prótons e nêutrons são denominadasprótons e nêutrons são denominados nucleons.

Normalmente usamos a seguinte notação para as espécies nucleares:

Z = número atômico = número prótons

N = número nêutrons

A = Z + N = número massa

3

E normalmente quando vamos descrever uma determinada espécie química X usamos a

notação:

ZXA

Assim, por exemplo:

33As75 representa o isótopo de número de massa 75 do arsênico.

Desta composição nuclear surge espontaneamente à idéia de isótopo que são

átomos com mesmo número de prótons e diferentes números de nêutrons, portanto

diferentes números de massa. Como as propriedades químicas dos elementos são

predominantemente determinadas pelos elétrons os isótopos passam a ser elementos

quimicamente equivalentes.

Com respeito ao tamanho nuclear os experimentos de Rutherford forneceram as

primeiras evidências do tamanho finito do núcleo. Como vimos naquele experimento

através do espalhamento de partículas a 180° foi po ssível calcular um limite de 10-4 Å

para o tamanho nuclear. Através de experimentos cuidadosos ? de espalhamento de

partículas foi possível determinar que o volume do núcleo é diretamente proporcional ao

número de nucleons contidos neste núcleo. Assim, se R é o raio nuclear o volume

correspondente é 3

34 Rπ que é proporcional à A (número massa) de modo que,

31

0 ARR =

E o valor de R0 obtido experimentalmente,

cmR 130 102.1 −×≈

E o valor de R0 apresenta uma incerteza devido à variação de resultados de acordo com o

método utilizado na sua determinação. Quando fazemos experimentos com espalhamento

de nêutrons estes interagem com o núcleo somente através de forças nucleares enquanto

num experimento de espalhamento de elétrons a interação é basicamente devido às

interações elétricas geradas pelas cargas nucleares essencialmente. Um fato curioso é

que R0 determinado a partir do espalhamento de elétrons ou partículas. α é menos do

que o determinado pelo espalhamento de nêutrons revelando desta forma um resultado

Formatado

4

importante que a distribuição de massa no núcleo e a distribuição de cargas não são

iguais.

Se conhecendo o tamanho dos núcleos vamos calcular a densidade mássica

contida nestes centros.

( ) 316

31334

236

1

303

410023,0

102,1

101cm

gg

Rdensidade ===

−

−

ππ

densidade nuclear = 2,3 1014 g/cm3

mostrando que o núcleo é cerca de 1014 mais denso do que a matéria macroscópica que

estamos acostumados. Este resultado mostra que praticamente a matéria é oca. Em

determinadas estrelas denominadas de “ anãs? brancas” os elétrons dos átomos

colapsaram devido a grande pressão entre átomos de modo que tais estrelas são

basicamente constituídas de matéria nuclear apresentando densidades como as

mostradas acima.

Ao analisarmos um núcleo estável vemos que sua massa é ligeiramente menor do

que a soma das massas de seus constituintes isolados. Como exemplo vemos que o

núcleo de 63 Li 3 LI6 tem massa 6,01697 uv.a. enquanto somando as massas dos três

prótons e três nêutrons que compõem o núcleo encontramos 6,0514 uv.a. A quantidade

de massa que esta faltando ∆m = 0,03443 uv.a que equivale a 32,1 MeV.

Lembre-se que,

MeVau

eVergs

mcau

925.

210,6492,110492,1

10.9.1003.6

1.

11103

22023

3

==⇒

⇒=⇒

−−

de modo que ∆m = 0,03443 → 32,1 MeV. Isto significa que para quebrarmos o núcleo de

3Li6 obtendo os vários nucleons individualmente é necessário fornecermos ao sistema

esta quantidade de energia. Esta energia contida na ligação entre os vários nucleons é

denominada de Energia de Ligação e como quanto mais fortemente ligados estiverem os

nucleons mais estável será o núcleo, a energia de ligação mede a estabilidade dos

núcleos.

Formatado

Formatado

Formatado

5

A energia de ligação tem sua origem na força que mantém os nucleons unidos que

são um pouco diferentes dos tipos de força que estamos acostumados até o momento. Se

dividirmos a energia de Ligação de cada núcleo pelo número de nucleons obtemos a

energia por nucleons.

A energia / nucleon mostrada como função do número de massa do núcleo estáa

abaixo:

O máximo da energia / nucleon ocorre em torno de A = 56 (núcleo Ferro) após o

qual há um vagaroso decréscimo. Como maior energia representa maior estabilidade, o

gráfico acima sugere que núcleos pesados apresentam tendência em dividir-se em

núcleos mais leves enquanto núcleos muito leves demonstram referência em juntar-se

formando núcleos mais pesados e estáveis. De fato, em condições apropriadas isto

ocorre sendo no caso de divisão nuclear denominado de fissão nuclear e no caso de

combinação fusão nuclear. Ambos ocorrem com as corretas análises energéticas. Se

forçarmos a fusão nuclear poderemos em muitas casas liberar energia sendo o fenômeno

portanto, portanto uma fonte de energia.

Vamos passar agora a estudar alguns modelos para forças nucleares . As forças

que mantém os nucleons juntos no interior do núcleo constituem, sem dúevida, as forças

mais fortes que conhecemos e por isto são comumente denominadas de interação fortes

e não pertencem a nenhuma das classes de forças que estamos acostumados a tratar no

nossno dia-a-dia.

Existem vários modelos para explicar a natureza desta interação e mesmo

atualmente muito é feito para estudar esta natureza. Vamos agora, brevemente descrever

os melhores modelos propostoas. Comecemos estudando a teoria dos méesons para

Formatado

6

forças nucleares. Formulada pelo físico japonês H.Yukawa, em 1935, explica que as

forças nucleares éas forças nucleares são o resultado de uma constante de intertrocas de

partíiculasr entre os núcleonsnucleons próximos. Estas partículas que participam da troca

são denominadas de mesonsmésons. O processo seria em alguns aspectos semelhante

aquele? no qual dois núcleos atômicos são mantidos juntas formando moléculas através

da intertroca de quantao eletromagnético através da circulação eletrônica ao redor de

ambos os núcleos.

De acordo com a teoria do méeson para forças nucleares todos os nucleons

consistem de centros idênticos circundados por uma nuvem de um ou mais

mesonsmésons. Estes mesonsmésons podem ser neutras neutros ou possuírem? cargas.

Neste contexto, a grande diferença entre nêutrons e prótons reside na composição de

suas nuvens mesônicas.

As forças existentes entre nêutrons ou entre prótons é o resultado de

mesonsmésons neutros designados por π°. Por outro lado, as forças fortes existentes

entre nêutrons e prótons resultam da intertroca de mesonsmésons carregados

designados por π+ ou π-, cujas cargas são exatamente a carga eletrônica. Assim, um

nêutron emitindo um meson π- converte-se num próton,

n → p + π-

enquanto que a absorção de um mesonméson π- por um próton leva a formação de um

nêutron,

p + π- → n

No processo inverso,

p → n + π+

n + π+ → p

Infelizmente embora o conceito seja bastante infinito não há uma forma simples de

demonstrar matematicamente como a intertroca de mesonsmésons leva a forças atrativas

ou repulsivas. Vamos, no entanto, usar um exemplo bastante simples para ilustração.

Imaginemos dois garotos, um com cada bola de jogar basquete, etc. A idéia é que eles

deverão trocar as bolas. Quando jogador A arremessa sua bola para jogador B e vice-

versa, no ato de emissão eles sofrem recuo de momentunmomentum? em direções

7

opostas, o mesmo ocorrendo quando eles recebem as bolas jogadas um contra o outro.

Assim, este método de trocar as bolas leva a uma repulsão entre os dois meninos A e B.

Repulsão

Se ao invés de arremessar as bolas um contra o outro os meninos resolvem trocar

as bolas, um tentando tirar as bolas do outro é fácil de imaginar que nesta nova situação

de troca eles tentarão ser unidos. Portanto fisicamente esta situação leva a uma força de

atração entre meninos A e B.

Atração

É possível provar através de técnicas matemáticas mais avançadas que a

intertroca de mesonsmésons leva a forças extremamente fortes, esta idéia leva a um

problema fundamental. Se os núcleonsnucleons constantemente emitem ou absorvem

mesonsmésons, porque nêutrons ou prótons nunca são encontrados com massas

8

ligeiramente diferentes? A resposta para isto esta no princíipio da incerteza. Se o

mesonméson emitido for absorvido por um nucleon vizinho ao emissor num tempo muito

curto não será possível pelo princíipio da incerteza determinar a variação de energia

melhor que,

tE ∆=∆ ~ ħ (sendo troca rápida? ∆t é pequeno e ∆E é grande)

Vamos considerar que as forças nucleares tem um alcance máximo da ordem de

R ~ 1.410-15m, de modo que assumindo o mesonméson com velocidade c, o tempo do

vôo? seria cRt =∆ e sendo 2cmE π=∆ , temos,

( ) kgRcmcRcm 282 510,2 −≈≈⇒≅ hh ππ

que corresponde á emm 275≈π

A teoria dos mesonsmésons para forças nucleares, apesar de fazerer previsões

importantes, ainda não consegue descrever em detalhes a estrutura nuclear

aparentemente mostra a correta direção para o pensamento.

O modelo de intertroca não é a única tentativa para explicar as interações fortes

entre nucleons. Um outro modelo conhecido como modelo d ae gota l íiquida que

passaremos brevemente a descrever. As forças nucleares são extremamente fortes,

porém de muito custo alcance de modo que cada nucle on basicamente interage

somente com seus vizinhos mais próximos numa situaç ão semelhante aquela das

moléculas num líiquido onde a única interação importante é aquela da molécula com as

moléculas que a rodeiam. Esta analogia das interações de um líiquido (numa gota) com

forças nucleares leva ao chamado modelo da gota líiquida para o núcleo prevendo

propriedades bastante importantes.

Consideremos que a energia associada com cada par nucleon-nucleon tenha o

valor U (evidentemente tratando-se de atração U é negativa, mas consideremos positiva

por conveniência?). Sendo que cada ligação mesôonica é partilhada por dois nucleons,

cada um deles tem U21 de energia de ligação. Quando fazemos um empacotamento de

esferas representando os nucleons cada um é circundado por 12 outros nucleons no

máximo numa estrutura chamada de empacotada e que contém o maior número de

esferas próximas possíveis.,

Formatado

Formatado

9

que contém o maior numero de esferas próximas possível.

Desta forma, cada nucleon terá associado a ele uma energia,

UU 612 21 =×

Assim, se todos nucleons tivessem rodeadostivessem rodeado por 12 a energia de

um determinado núcleo seria,

Ev = 6AU = d1A

esta energia Ev chamada de energia de volume é claramente uma idéia verdadeira para

os nucleons no interior do volume do núcleo, mas certamente não é verdade para aqueles

nucleons localizados na superfície do núcleo que não são circundados por 12 nucleons,

mas por um número inferior. O número de nucleons superficiais dependemO número de

nucleons superficiais depende da superfície do núcleo que é,

32

02 44 ARR ππ =

Assim, o número de nucleons superficial é proporcional à 32

A e a energia de

ligação de tais nucleons é Es,

32

2 AaEs −=

chamada de energia superficial do núcleo que leva o sinal negativo, pois corresponde á

diminuição em vΕ . . Para núcleos que levar esta forma energética é importante já que

Formatado

10

neste caso a fração de nucleons superficiais é elevada. Como o núcleo vai tentar tornar

uma forma de modo a maximizar a energia de ligação que significa estáas mais estável.

Desta forma o núcleo toma a forma mais próxima de uma esfera maximizando energia de

ligação, pois esta é a forma com menos área para um determinado volume semelhante à

gota de um líiquido.

Além da energia entre nucleons a repulsão eletrostática entre prótons no núcleo

também é importante, pois contribui para diminuir energia de ligação desestabilizando o

núcleo. A energia Coulombiana Ec do núcleo terá o trabalho necessário para trazer do

infinito os Zz prótons juntos numa distribuição volumétrica que é o núcleo. Dado Zz

núcleos, o número de pares que temos é:

Cada próton interage com Zz – 1 sendo z prótons separados em mídia de R

( 31

Aα ),

( )3

13

1

A

ZZaEc

−−=

e note sinal negativo pois esta energia desestabiliza o núcleo.

Desta forma, a energia total de ligação do núcleo é,

Eb = Ev + Es + Ec

Ou seja,

( )3

133

2

21

1

A

ZZaAaAaEb

−−−=

e assim a energia de ligação por nucleon é,

( )3

43

1

1321

A

zza

A

aa

A

Eb −−−=

Se graficarmos este resultado temos:

Formatado

11

Assim, comparando Eb obtida com o discutido anteriormente vemos uma previsão

razoável para Eb concordando como experimental demonstrando que este modelo pode

ser útil para uma série de estudos principalmente em reações nucleares como veremos

adiante.

O modelo da gota l íiquida para o núcleo atô mico tem sua base no fato que cada

núcleos interage primeiramente com seus vizinhos mais próximos como num líiquido.

Existem, no entanto evidências experimentais fortes de que isto não é verdade dando

evidências de uma interação generalizada ao invés de interações entre pares.

Existe um modelo de camadas para o núcleo atômico que é bastante semelhante

ao modelo de camadas eletrônicas para o átomo onde elétrons ocupam ou vão

preenchendo camadas designadas pelo seu número quântico principal. Átomos com 2,10,

18, 36, 54 e 86 elétrons apresentam suas camadas preenchidas e portanto

comportamcomporta-se de forma semelhante quimicamente além do que este modelo de

camadas determina uma periodicidade nas propriedades. Da mesma forma, observamos

que núcleos com 2, 8, 20, 28, 50, 82 e 126 nêutrons ou prótons são mais abundantes

no uiniverso do que outros núcleos com número massa semelhante, sugerindo que tais

números são mais estáveis. Estes números de prótons ou nêutrons para núcleos 2, 8, 20,

28, 50, 82 e 126 são normalmente conhecidos como números mágicos em estrutura

nuclear . Núcleos com N ou Z equivalendo aos números mágicos apresentam estrutura

nuclear bem próximo da esférica o que é demonstrado pelo pequeno momento

quadripolar que eles apresentam.

O modelo de camadas tem como importante suporte experimental à precisão

correta dos números mágicos e o spin nuclear.

Decaimento nuclear

Formatado

Formatado

Formatado

Formatado

Formatado

12

Um dos fenômenos mais significantes no desenvolvimento da fisica atômica e da

fisica nuclear é a radioatividade. Neste processo, um núcleo emite partíiculasr alfas

(núcleo hélio) e elétrons (partículas betas) e prótons (raios gamas) adquirindo

configurações mais estáveis. Nesta parte do curso iremos discutir um pouco este

fenômeno que normalmente chamamos de decaimento nuclear.

Imaginemos uma amostra de elementos radiativos que num determinado instante

apresenta N núcleos. Definimos a atividade R como,

dt

dNR −=

onde o sinal (-) é colocado para fazer R positivo. R é expresso em desintegraçõesão por

segundo. Algumas vezes expressamos R em termos do Curie.

1 curie = 3.7 1010 desintegração / segéc

Todas determinações experimentais de R mostram que a atividade apresenta um

decaimento exponencial com o tempo. Definimos a meia vida do elemento 2

1T como

sendo o tempo para sua atividade cair a metade do valor no iníicio da medida.

É importante salientar que após cada período 2

1T a atividade da amostra esfera reduzida

á metade,

...081

041

021

0

21

21

21

RRRRTTT

→→→

13

O comportamento mostrado acima permite que escrevamos a relação empírica,

teRRdt

dNNR λλ −=⇒

−== 0

onde λ é chamada de constante de decaimento e tem um valor diferente dependendo do

elemento radiativo considerado. A relação entre λ e 2

1T pode ser determinada,

λλ

λ

λ

693.02

21

21

21

0021

0

=→=

=

=−

−

TnT

eRR

eRRT

t

l

Da dependência exponencial colocada acima temos uma forte evidencia de que o

fenômeno de decaimento radiativo tem uma natureza estatística , isto é, cada núcleo

radiativo apresenta uma certa probabilidade de decair, mas não há meios de saber quais

núcleos decairão num certo instante de tempo. Se a amostra é grande o suficiente, fração

que decai num determinado instante corresponde razoavelmente bem à probabilidade de

decaimento de um único núcleo. Assim a probabilidade de um núcleo decair num período

de tempo 2

1T é 0,5.

Vamos supor que a probabilidade por unidade de tempo para decaimento de um

determinado núcleo seja constante λ . Assim, a probabilidade de decaimento num

intervalo dt é λdt. Se tivermos a amostra com N núcleos que ainda não decaíram, a

quantidade dN que decairá num intervalo dt é,

dtN

dN λ−=

de onde por integração tiramos,

teNN λ−= 0

que mostra a evolução como tempo do número de núcleos que ainda não decaíram sendo

N0 este número em t = 0. Desta lei podemos tirar a atividade radiativa.

Formatado

14

tt eReNdt

dNR λλλ −− ==−= 00

com 00 NR λ=

que apresenta 66% probabilia uma partícula beta decair e 34% chance de emitir em 208

81 lT .

figura

Ou ainda podemos escrever,

R = λN

Outra constante de tempo importante é o tempo de vida médio,

λ1=T

diferente do tempo de meia vida 2

1T . Normalmente T > 2

1T .

A maioriaedida dos elementos radiativos encontrados na natureza são membros de

quatro grupos denominados de séries radiativas. Estas séeries são elementos que

originam basicamente do mesmo elemento através de emissões radiativas ( )βα e . A

razão para existir exatamente 4 séries vem de fato que o decaimento α reduz a massa

atômica de 4 unidades. Assim, todos elementos radiativos cujas massas são

15

A = 4n

, onde n é um inteiro, pode decair uns nos outros em ordem descendente do número de

massa. Os núcleos radiativos cujo número massa é da forma acima 4n são denominados

de membros da série 4n. Temos ainda 3 outras séries,

A = 4n + 1

A = 4n + 2

A = 4n + 3

Em cada série radiativa os membros transformam-se uns nos outros através do

decaimento.

Cada série tem um elemento denominado do “pai da série” e um elemento estável

final que interrompe o processo de decaimento.

Número massa Série “pai” 2

1T (anos)

“pai” Estável final

4n Tório 90Th232 1,39 1010 82Pb208

4n + 1 Neptunio 93Np237 2,25 106 83Bi209

4n + 2 Urânio 92U238 4,51 109 82Pb206

4n + 3 Actinio 92U235 7,07 108 82Pb207

A série do neptunio tem um tempo de meia vida bastante curta comparada com a

idade do universo (~ 1010 anos) de modo que os membros desta série quase não são

encontrados nos dias atuais. Estes elementos podem, no entanto ser obtido através de

bombardeamento de núcleos mais pesados feitos em laboratório.

Estas series podem ser representadas graficamente. Cada decaimento α ou β

proporciona um passo na série.

Muitos núcleos radiativos podem decair de formas diferentes através de emissão α

ou β. Como exemplo temos o 83Bi212, um membro da série do tório, que apresenta 66%

probabilidade de emitir uma partícula beta decaindo em 212084 P e 34% de chances de

emitir alfa e decair em 20881 lT . (figura)

Formatado

16

Quando um núcleo zXA emite x particulasr α e y particular β, temos,

A

zA

z YyxX ′′− ++→ 0

14

2 βα

transforma-se no núcleo Az Y ′′ .

A conservação do número de massa,

A = 4x + A’1 → ∆A = 4x

do número atômico,

Z = A (2x – y) + Z’1 → ∆Z = -2x + y

Assim, emitindo α o número massa altera de 4 unidades e o número atômico altera

2 unidades.

Emitindo 1β, o número de massa não muda e o numero atômico altera (aumenta)

de uma unidade. Desta forma podemos acompanhar as séries anteriores.

Vamos agora ver em linhas gerais os produtos de decaimento.

Decaimento alfa:

Devido ao fato que as forças fortes de atração entre os nucleons somente

manifesta-se a curto alcance, isto é, quando eles estão próximos à energia total de

ligação entre os núcleos é proporcional ao número de massa A. Por outro lado, a força de

repulsão coulombiana age mesmo a méedias distâncias. Esta repulsão coulombiana tenta

Formatado

17

separar os prótons e o total desta tendência de ruptura do núcleo é aproximadamente

proporcional à Z2. Assim, núcleos muito grandenúcleos muito grandes (normalmente com

mais de 210 nucleons), apresentam a força de curto alcance que os mantém unidos,

quase que totalmente contrabalanceadacontrabalançada pela repulsão entre prótons.

Assim, o núcleo sendo grande há uma perda de estabilidade. O decaimento do núcleo

através de emissão de partículas α e uma alternativa natural para estes núcleos

diminuírem seu tamanho aumentando a estabilidade. Uma pergunta natural que fazemos

nesta altura é: porque o núcleo não emite somente prótons ou núcleos de 2He3 para

aumentar sua estabilidade ao invés de partículas α? A resposta para isto esta no fato que

a partícula α tem uma alta energia de ligação além do que sua massa é muito menors que

a de seus constituintes liberando parte da energia na forma de energia cinética necessária

para a emissão da partícula. Assim, a quantidade de energia é,

( ) 2cmmmK fi α−−=

mi é a massa do núcleo inicial, mf a massa do núcleo final e mα a massa da partícula.

Somente a emissão de partículas α é energicamente possível. Assim, imaginemos o

decaimento 92U232. Neste caso temos,

MeVK 4,5=

enquanto se supormos a emissão de um próton seria necessário fornecer ao sistema 6,1

MeV.

A energia cinética real carregada pela partícula α emitida não é IK anterior, mas

será um pouco inferior se considerarmos o recuo do núcleo na emissão. Através de

conservação de energia e momentum podemos mostrar que,

KA

AK

4−≅α

é a energia cinética carregada pela partícula α emitida.

Apesar de entendermos qualitativamente bem que a emissão nuclear de uma

partícula α leva o núcleo à um estado mais estável ainda não entendemos muito bem

como ocorre a emissão. Afim de entendermos este processo imaginemos o potencial de

interação entre uma partícula α e um núcleo pesado.

18

Estando no interior do núcleo, a partícula α esta sujeita à um constante potencial e

atingindo uma distância R0, que corresponde ao raio nuclear há um repentino aumento,

impedindo que a partícula escape. Isto é, como uma caixa contendo as partículas. Esta

barreira de potencial não é infinita, mas classicamente a partícula não pode sair desta

configuração. Normalmente a altura da barreira é de ordem de 25 MeV. Fora do núcleo, a

interação é essencialmente Coulombiana.

Embora não possamos explicar classicamente o decaimento espontâneo do

núcleo, a mecânica quântica nos fornece uma explicação clara e simples, sendo este

fenômeno, mesmo tomado como comprovação desta última. No nossno modelo, a

partícula no núcleo comporta-se como partícula na caixa de modo que vamos tratar

quanticamente o potencial mostrado anteriormente e comparar o resultado do escape de

partículas α com resultado experimental.

19

No presente modelo vamos imaginar que a partícula α tenha uma determinada

energia no interior de núcleo oscilando no seu interior (como partícula na caixa). Cada vez

que a partícula colide com a barreira de potencial localizada em r = R0 , há uma

probabilidade da partícula passar através da barreira representando um decaimento do

núcleo.

Seja P a probabilidade da partícula colidir na barreira e passar por ela e ν a

freqüência de colisão da partícula com a barreira. O número de vezes que a partícula

passa pela barreira // unidade de tempo é λ,

λ = ν P

Supondo que a partícula α tenha dentro do núcleo uma velocidade v, a freqüência

com que ela colide com a barreira é,

02R

V=ν

Tomando v como a velocidade com que a partícula deixa o núcleo (~ 2 107 m/s) e

sendo R0 ~ 10-14 m,

→ ν ≈ 1021 segc-1

Assim, vemos que mesmo colidindo 1021 vezes por segundo com a barreira a

partícula α algumas vezes tem que esperar 1010 anos para escapar do núcleo.

Classicamente como sabemos, Pp = 0, pois envolve passagem da partícula por

uma região que tem energia potencial maior que a energia total. Quanticamente, no

entanto, a partícula pode tunelar pela barreira (como vimos) e a probabilidade não é nula

e pode ser calculada.

Inicialmente vamos relembrar os resultados que vimos da transmissão de uma

partícula por uma barreira de potencial.

Formatado

[FSU1] Comentário:

20

Seja um feixe partícula α com energia E = IK cinética incidindo da esquerda para a

direita. Fora da barreira V = 0 e não há forças sendo partícula “livre”.

Como já vimos à probabilidade de transmissão por esta barreira é,

( )2

2 2

h

EVmq

−= 2

2 2

h

mEK =

( )( ) ( )22222

22

2senh

2

KqqKq

KqTP

++==

onde ( )

2

2

h

mEK = e

( )2

2

h

mEVq

−=

Como P é pequeno, podemos escrever,

qLeKq

KqP 2

2

22

2 −

+≈

[FSU2] Comentário:

21

Este resultado vale para a barreira de altura V e largura L. Se quisermos aplicar

este resultado para uma barreira qualquer podemos dividi-la em pequenas barreiras

retangulares de tamanho V (x) e largura ∆x, como mostrado à seguir.

De modo que,

individualbarreira

parciaisbarreiras

PP .π=

ou seja, a probabilidade de transmissão da partícula na barreira será o produto das

probabilidades de transição em cada uma das barreiras que constituem a barreira V (x).

Ou seja,

parciaisbarreiras

PnnP ∑= ll .

mas 22

222

Kq

KqnxqnPparciais +

+∆−= ll

Como primeiro termo é dominante na maioria das casoas (pois o segundo termo é

logaritmo do primeiro).

∑ ∆−= xqnP 2l

Como para cada barreira localizada em x,

( )( )2

2

h

ExVmq

−=

22

a soma transforma-se em integral fornecendo,

( )( )∫ −−=L

XdxExV

mnP

02

22

hl

e temos,

( )( )∫=−−

L

XdxExVm

eP 02

22h

Este resultado vale para a transmissão de uma partícula em qualquer barreira.

Para o caso que estamos tratando do decaimento α uma partícula com energia E

deveráa tunelar a barreira,

( )x

ZexV

22=

do ponto x = R0 até o ponto x = R deixando o sistema com uma energia cinética IK que é

todo E convertido em cinética.

23

Aplicando a relação da probabilidade de transmissão P a este caso:

21

221

2

22

−

= Kx

Zemq

h

Como ponto x = R é definido como sendo aquele que,

KR

Ze =22

temos,

( )2

12

1

2

2

12

2

−

=

=

x

RmKxq

KRZe

h

portanto,

( )

−

−

=

−

=

−

∫∫

21

02

1

02

1

012

1

2

21

21

2

1cos2

12

00

R

R

R

R

R

RR

mK

dxx

RmKdxxq

R

R

R

R

h

h

Como a barreira é muito mais larga do que as dimensões nucleares R0 << R,

24

11

2cos

21

0

21

02

1

01

≈

−

−≅

−

R

R

R

R

R

R π

de modo que,

( )

−

≅∫2

1

02

1

22

2

20 R

RR

mKdxxq

R

R

πh

E portanto,

−

−=2

1

02

22

22

R

RR

mKnP

πh

l

e usando

K

ZeR

22=

( )2

12

1

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

02

22

2

212

02

2

2

2

2

022

1

2

48

22

2

2224

2

222

22

2

222

RmZe

KZem

nP

KZe

R

K

Zem

K

Zem

K

Ze

R

K

ZemKnP

+

−=

+

−=

−

−=

hhl

hh

hl

π

π

π

Utilizando os valores numéricos para a massa da partícula α, carga do elétron e ħ,

21

21

02

195,397,2

−−= KZRZnPl

onde lK é a energia cinética da partícula α expressa em MeV, R0 o raio nuclear em

unidades de 10-15m e Z o número de prótons no núcleo.

A constante de decaimento λ que é a probabilidade por unidade de tempo,

25

21

21

02

1

0

0

95,397,22

2

−−+

=

==

KZRZR

vnn

PR

vP

ll λ

νλ

Assim, fazendo um gráfico de λnl medido versus 21−

KZ medido temos,

Os pontos experimentais concordam relativamente bem com a expressão teórica

num intervalo grande de 21−

KZ mostrando a validade do modelo proposto. Podemos usar

26

esta linha extrapolando para obter R0 quando Z → 0 e neste caso obtenha R0 ~ 10-14 m

que concorda com resultado de Rutherford.

A análise quântica do decaimento α é importante pois explica a grande variedade

de constantes de decaimento λ tendo como mais longo decaimento 90Th232 1,3x1010

anos? e mais curto 84Po212 com 3x10-7segc. Além desta, a explicação do decaimento α

através de penetração na barreira de potencial é extremamente candescente com a

natureza quântica do núcleo.

Decaimento β

Da mesma forma que no decaimento α, no decaimento β o núcleo procura uma

forma de atingir maior estabilidade. O decaimento β consiste na emissão de um elétron

pelo núcleo. Este elétron é originário do decaimento de um nêutron em um próton mais

um elétron sendo que o próton continua evidentemente no núcleo.

Medindo o momentum do elétron é possível calcular sua energia cinética,

20

42420 cmcpcmK −+=

Observa-se que normalmente que a energia cinética no decaimento β varia de 0

até um valor máximo, MeVKmáx 17.1≅ que deveria ser igual a variação máxima mássica do

núcleo. No entanto, observa-se que isto não é verdade, normalmente parecendo que a

energia esta sendo criada violando um dos importantes conceitos da Física.

É possível medir com relativa precisão o recuo sofrido pelo núcleo após o

decaimento beta e comparando seu momentum de recuo com o momentum do elétron

também há uma aparente violação da conservação de momentum.

Um terceiro agravante que aparece no decaimento β é o fato de que no processo,

n → p + e-

cada partícula tem spin h21 de modo que não é possível conservar momento angular com

este processo.

Todas estas contradições foram resolvidas com a proposta do neutrino por Pauli

em 1930. Para Pauli, o decaimento β deveria estar acompanhado da emissão de uma

Formatado

27

partícula não carregada de spin h21 que seria responsável de estar levando toda energia

e momentum não explicado acima. Esta partícula seria o neutrino .

Estudos mais apurados mostraram a existência de dois tipos de neutrino, o ν

(neutrino) e ν (anti-neutrino), e que no decaimento β ordinário a partícula envolvida é o

anti-neutrino,

n → p + e- + ν

A hipótese do neutrino para explicar o decaimento β foi muito bem sucedida.

Esperava-se inicialmente a massa do neutrino como sendo uma fração muito pequena da

massa do elétron. Hoje em dia acreditamos que a massa do neutrino seja realmente zero.

Decaimento Gama

O núcleo atômico existe em estados de energias bem definidas da mesma forma

que os estados eletrônicos. Um núcleo excitado N* pode retornar ao seu estado

fundamental emitindo fótons cuja energia correspondem à diferença entre os níveis

envolvidos. Os fótons emitidos temOs fótons emitidos têm energia que pode atingir vários

MeV e são denominados de raios gamasão denominados de raios gama . Normalmente o

tempo de vida dos estados nucleares é bastante curto, mas em alguns poucos casos o

decaimento gama , como é chamada esta missão, chega a atingir horas.

Reações Nucleares

Da mesma forma que em química, as reações entre elementos serve para trazer

informações de cada elemento e seu comportamento na natureza, as reações nucleares

são ricas em informações a respeito dos constituintes nucleares que é seu

comportamento. Além disso, as reações nucleares constituem-se na maneira de tirarmos

proveito prático do núcleo atômico, veja como um reservatório de energia, ou seja, como

mecanismos de formação desta fauna de elementos químicos presentes no universo.

A maioria das reações nucleares envolvem....... que contém o maior número de esferas

próximas possível.

Desta forma, cada nucleon terá associado a ele uma energia.

UUx 612 21 =

Formatado

Formatado

Formatado

Formatado

28

Assim, se todos nucleons tivessem rodeados por 12 a energia de um

determinado núcleo seria.

Ev = 6AU = d1A

Esta energia

1

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

INSTITUTO DE FÍSICA DE SÃO CARLOS DEPARTAMENTO DE FÍSICA E CIÊNCIAS DOS MATERIAIS

CAPÍTULO X

INTRODUÇÃO AOS SÓLIDOS

PROF. VANDERLEI S. BAGNATO

2

Capítulo X

Introdução aos sólidos

Os sólidos constituem uma classe especial de arranjo microscópico.

Quando os átomos ou moléculas se aproximam muito, vários efeitos ocorrem,

determinando o comportamento macroscópico do sistema. As ligações químicas

constituem uma das partes mais importantes das características dos sólidos. A

natureza e a forma com que os átomos se unem, determina sua estrutura bem

como suas características físicas, principalmente com relação à condutividade

elétrica. Como uma introdução ao tema dos sólidos, vamos descrever as ligações

químicas e realizar alguns modelos com relação ao transporte de cargas.

Ligações químicas

Devido às características eletrônicas apresentadas pelos átomos, eles têm

capacidade de se combinarem formando moléculas e muitas vezes se agruparem

em um maior número formandos os sólidos.

As ligações iônicas têm origem quando átomos de baixa energia de

ionização se unem com outros de alta afinidade eletrônica. O resultado é uma

transferência de carga criando íons positivos e negativos que interagem via

Coulomb. Normalmente neste caso a ligação formada não preserva informações

dos orbitais atômicas originais e a estrutura do grupo de átomos ocorre

principalmente de forma a obedecer aos impedimentos espaciais impostos pelo

3

tamanho efetivo entre os íons. Este é certamente o caso quando podemos

visualizar os sólidos através do empacotamento de esferas um exemplo tradicional

deste tipo de ligação é o NaCl . Onde íons de Na e Cl distribuem-se formando

uma rede cúbica. Normalmente no caso de ligações iônicas, é importante falarmos

em fator de empacotamento, etc.

A distribuição dos átomos pode obedecer a vários tipos de arranjos sendo

os mais importantes os chamados cúbicos .

É importante salientar que na ligação iônica não há direção de ligação já

que a conexão entre átomos dar-se através da interação de Coulomb entre cargas

puntuais. É o impedimento esférico que aparece quando os átomos se aproximam

muito que determinam a estrutura.

Por outro lado, temos átomos que quando se aproximam adquirem uma

situação mais estável se compartilharem elétrons com átomos adjacentes. Esta

situação cria as ligações covalentes e conseqüentemente os sólidos covalentes.

Neste caso, as ligações químicas que correspondem à concentração eletrônica

numa região ligando os átomos obedecem esta direcionalidade no espaço,

direcionalidade esta que normalmente advém das características do orbital

atômico original. Um exemplo tradicional deste caso é o diamante . Neste caso,

cada átomo de carbono possui 4 vizinhos partilhando elétrons. Os ângulos entre

as ligações são bem determinados e é exatamente este fator dominante no

estabelecimento da estrutura do sólido. A localização dos elétrons nas ligações

covalentes faz com que estes sólidos sejam maus condutores de calor e os

elétrons, mas muito estáveis quimicamente. Muitas vezes a natureza da ligação

4

química no sólido não é perfeitamente determinada, fazendo com que o sólido

tenha uma característica mista. Este é certamente o caso do quartzo (SiO2).

Há ainda substâncias que são bastante estáveis de tal forma que quando

aproximadas preservam sua individualidade, promovendo sua ligação de forma

diferente das iônicas ou covalentes. Exemplos desta classe de substâncias são

certamente os compostos orgânicos formando polímeros. Neste caso, as forças

intermoleculares são formadas por flutuações na polarizabilidade. Estas são a

chamadas interações De Van der Waals. E são também chamadas de ligações

secundárias por serem muito mais fracas do que as anteriores.

Para ilustrar a natureza da ligação de Van de Waals considere dois átomos

que se aproximam e vamos imaginar que suas nuvens eletrônicas como

osciladores harmônicos. Ao se aproximarem, as nuvens eletrônicas se deformam

estabelecendo um tipo de indução dipolar.

5

A energia deste sistema sem considerarmos interação é

22

222

1

21

0 2

1

22

1

2cx

m

pcx

m

pH +++=

e cada sistema tem sua freqüência natural m

c=0ω . Devido a interação

eletrostática

2

2

1

2

21

22

1 xR

e

xR

e

xxR

e

R

eH

−−

+−

−++=

que como x1, x2 R, pode ser expandida originando

321

2

1 R

xxZeH −=

Assim, o sistema físico é modelado como sendo dois osciladores acoplados por

H1. Definidas novas coordenadas

( ) ( ) ( )

( )as

asasas

xxx

ppppppxxx

−=

−=+=+=

2

12

1

2

1

2

1

2

211

A energia total é agora escrita como

6

23

222

3

22

10

2

2

1

2

12

2

1

2

1aass x

R

eCp

mx

R

eCp

mHHH

+++

−+=+=

mostrando que este sistema acoplado tem dois modos de vibração de freqüências

21

3

22

±=

mR

eC

a

s

ωω

∼

−± .....

2

8

12

2

11

2

3

2

3

2

0CR

e

CR

eω

A energia do ponto-zero deste sistema é ( )as ωω +h2

1 de modo que devido a

interação há um saldo energético

( ) 022

2

1 ωωω hh −+=∆Η as

fornecendo

66

R

C−=∆Η

com 2

40

6 2 c

eC

ωh=

Isto mostra que a aproximação dos dipolos oscilantes, produz uma situação mais

estável do que quando isolados. Assim, uma atração entre eles faz com que tais

entidades permaneçam unidas.

7

Esta ligação é responsável pela união das moléculas orgânicas formando

plásticos.

1

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO INSTITUTO DE FÍSICA DE SÃO CARLOS

DEPARTAMENTO DE FÍSICA E CIÊNCIAS DOS MATERIAIS

CAPÍTULO XI

PRINCÍPIOS DA MECÂNICA ESTATÍSTICA

PROF. VANDERLEI S. BAGNATO

2

Capítulo XI

Princípios da Mecânica Estatística

A grande parte do esforço feito pela física constitui em explicar as

observações macroscópicas através de modelos constituídos de porções

microscópicas. No entanto, os constituintes microscópicos de um sistema têm

normalmente suas grandezas físicas apresentando valores distintos dentro do que

chamamos uma distribuição de valores. Deste modo, as grandezas microscópicas

se manifestam através de uma certa média estatística de seus constituintes. A

maneira como as grandezas de um conjunto de entidades microscópicas se

distribuem estatisticamente dependem entre outras coisas do tipo e natureza dos

constituintes do sistema. A mecânica estatística, procura formular este problema

gerando os aspectos fundamentais das distribuições dos constituintes

microscópicos. Constitui-se então numa importante ferramenta para a física.

Vamos começar falando do conceito de Distribuição de Probabilidade .

Considere uma caixa dividida em K- compartimentos nos quais vamos adicionar

N- bolas de forma aleatória.

3

Como os compartimentos têm formas e tamanhos diferentes, os compartimentos

terão diferentes chances de receberem bolas. Esta probabilidade de cada

compartimento receber bola, chamaremos de probabilidade intrínseca de

ocupação (gi). Por exemplo, se cada compartimento tem área ai, e sendo A a área

total

A

ag i

i =

Esta probabilidade “a priori” ou intrínseca só depende do sistema. Ao deixarmos a

N-bolas sobre os compartimentos, cada compartimento receberá ni. No entanto,

há inúmeras maneiras de acomodarmos as N bolas nos K compartimentos. Por

exemplo, uma possibilidade é termos todas as bolas em somente 1 compartimento

e assim por diante. Este número de maneira que N bolas podem entrar nos K

compartimentos também afetam as possíveis de preenchermos o sistema.

Desta forma, a probabilidade do sistema ser encontrado numa determinada

ocupação in , depende destes dois fatores:

Probabilidade “a priori” de a bola cair num compartimento.

Número de possibilidades de distribuição das N bolas entre os vários

compartimentos. A composição destes fatores, gera a probabilidade

( )ii gnW ,

que chamamos de distribuição de probabilidades. Normalmente, nosso maior

interesse é saber quando W é máximo. Ou seja, estamos interessados em

4

determinar que conjunto in é o mais provável de ocorrer. Uma vez conhecida

isto, conectamos a distribuição microscópica com a macroscópica. Voltando ao

caso de nosso exemplo,

1=

=

∑∑

i

i

g

eAa

A probabilidade de termos ni bolas na i-ézima caixa é então ( ) inig . Desta forma a

probabilidade de termos uma certa distribuição n1, n2,....,nk é o produto:

( ) ( ) ( ) ( ) ki nk

ni

nn gggg .......21

21

onde Nni =∑

A próxima pergunta que fazemos é de quantas formas estas N bolas podem ser

arranjadas? A resposta desta pergunta corresponde exatamente à combinação de

N bolas em grupos n1, n2,......,nk, ou seja

!!...!

!

21 knnn

N

Assim, a probabilidade total do sistema adquirir a distribuição n1, n2, ... nk é

( ) ( ) ( ) knk

nn

n

gggnnn

NW ....

!!...!

!21

2121

=

que é a distribuição de probabilidades para a distribuição de bolas em questão.

5

A primeira curiosidade que temos é que a distribuição (n1, n2...nk) que

produz o maior W? esta é a chamada distribuição mais provável para obtermos

isto, vamos introduzir algumas aproximações

nnnn −≅ ln!ln

conhecida como fórmula de Stirling. Tomando logaritmo de W,

iii gnnNW ln!ln!lnln ∑∑ +−=

usando Nni =∑ e a fórmula para !ln N ,

iiii gnnnNNW lnlnlnln ∑∑ +−=

Para determinarmos ( ) ,lnln máxmáx WW = realizamos variações nos valores de ni

iii nnn δ+→

e verificamos para que conjunto in a variação causada em Wln é mínima (Isto é

equivalente á condição de máximo 0=∂∂

in

W). Assim,

0lnlnlnln =+−−= ∑∑∑ iiiiiimáx gnnnnnW δδδδ

como i

ii n

nn

δδ =ln , e 0=∑ inδ

já que o número de bolas é constante. Com isto chegamos á

0ln ==∑∑ iii nnn δδ

6

ou seja

0lnln =+− ∑∑ iiii ngnn δδ

Utilizando multiplicadores de Lagrange, obtemos que a distribuição mais provável

corresponde a

A

aNn i

i =

ou seja,

ii Ngn =

Se quisermos aplicar o conceito de distribuição de probabilidades para

analisarmos propriedades macroscópicas de sistemas físicos, é preciso primeiro

conhecer a natureza dos constituintes microscópicos. No caso de partículas

clássicas, elas são distinguíveis e em princípio podem adquirir qualquer valor da

energia. Isto faz com que inúmeras possíveis distribuições microscópicas podem

causar a mesma energia macroscópica. Caso as partículas sejam quânticas a

indistinguibilidade é um fator dominante e o princípio de exclusão de Pauli deve

ser levado em conta, quando montarmos as várias possibilidades de arranjos

microscópicos que levam a uma determinada energia macroscópica.

Um gás clássico, é um exemplo de partículas distinguíveis e estamos

interessados em determinar como que a energia do sistema está distribuída entre

os constituintes microscópicos do sistema. Esta é a chamada estatística de

Maxwell-Boltzmann , extremamente importante na determinação das

propriedades dos gases clássicos.

7

Comecemos considerando um conjunto de N moléculas cujas energias (

cinéticas neste caso), estão limitadas aos valores kµµµ ,..., 21 . Dentro das N

moléculas, temos n1, n2,...nk. Moléculas com cada valor das energias listadas. O

número total de partículas e a energia total do sistema E, estão vinculadas com a

distribuição n1, n2,...nk através de

En

Nn

ii

i

=

=

∑∑

µ

se a probabilidade á priori que uma molécula tenha energia µi for gi, então a

probabilidade W para qualquer distribuição será

( ) ( ) .....!!...!

!1

121

knk

n

k

ggnnn

NW =

com vimos anteriormente. Agora, temos que determinar a distribuição mais

provável com as condições acima. Neste caso, a aplicação dos métodos

matemáticos para determinar a Wmáx faz-nos chegar a

ieegn iiβµα −−=

que é conhecido como Lei de Distribuição de Maxwell-Boltzmann. Em outras

palavras, as partículas estarão alocadas a cada possível valor de energia µi, da

forma indicada como a forma mais provável. Ou seja, isto determina como a

energia estará distribuída entre as partículas.

8

As constantes α e β são quantidades independentes dos in . Para

calcularmos α e β convém considerar uma distribuição contínua de energia e não

discreta com bolas em caixas. Desta forma, o número de partículas com energia

entre µµµ d+→ será ( ) µµ dn de modo que

( ) µµµ βµα degedn −−=

Como em nosso sistema físico a energia está na forma cinética,

Ou seja,

( ) .2

2

dpegedppn m

pβα −−=

A probabilidade á priori de que um certa molécula está com energia entre µ e

µµ d+ deve ser determinada da mesma forma que no caso das bolas na caixa.

Sendo o gás isotrópico e obedecendo ao princípio de eqüipartição da energia,

( ) µµ dnN ∫∞

=0

e

( )

( )∫

∫∞

∞

=

0

0

2

3

µµ

µµµ

dn

dn

KT ou ( ) µµµ dnNKT ∫∞

=02

3

de onde é possível eliminar g, α e β. Na verdade determinamos

9

KT

1=β

sendo K a constante de Boltzmann e α−ge , juntos. O resultado é que

( )( )

µµπ

πµµµ

deKT

Ndn KT

−=

23

2

Lembrando que ,2

1 2mv=µ podemos converter esta expressão na distribuição de

velocidade, obtendo

( )( )

dvevKT

Nmdvvn KT

mv22

23

23

22 −=

ππ

10

Desta distribuição de energia podemos obter entre outras coisas a velocidade

mais provável, etc. O conhecimento da distribuição de velocidades permite a

determinação de importantes propriedades dos gases, como viscosidade,

transferência de calor e difusão.

As Estatísticas quânticas de Bose-Einstein e de Fer mi-Dirac

A distribuição estatística de Maxwell-Boltzmann considera um gás clássico

de partículas que podem ser distinguíveis e que podem assumir energias

quaisquer, ou seja, um contínuo de energia. Se o gás for quântico, no entanto os

valores possíveis de energia são discretos e as partículas são naturalmente

indistinguíveis. A ocupação de cada estado possui a mesma probabilidade à priori,

de modo que a probabilidade total de ocupação de cada estado representa na

verdade o número de estados com determinada energia. Se o número de

partículas no sistema com determinada energia iµ e in e havendo gi estados com

esta energia, há um certo número de maneiras que estas ni partículas podem ser

distribuídas pelos gi estados. O problema é parecido com a situação onde temos

1−ig paredes móveis numa caixa onde serão colocadas ni bolas

11

O número de bolas entre cada 2 paredes e o número de partículas num

determinado estado. O número de possíveis distribuições neste sistema será

( )( )!1!

!1

−−+

ii

ii

gn

gn

para um sistema de N partículas a probabilidade total é o produto de todas

probabilidades

( )( )!1!

1

−−+

∏=ii

ii

gn

gnW

Novamente estamos interessados em determinar o máximo de W, ou seja, qual é

a distribuição de partículas entre os estados que produz um máximo de

probabilidade, isto é, a distribuição mais provável.

O procedimento é semelhante ao caso da distribuição de Maxwell-

Boltzmann. Considerando ni+gi-1∼ni+gi e usando nnnn −= ln!ln

( ) ( ) ( )[ ]∑ −−−−++= iiiiiiii ggnngngnW !1lnlnlnln

Usamos agora um método variacional para obter o ponto máximo e W. o resultado

é que o conjunto de ocupação para os vários estados com probabilidade máxima

de ocorrer é

1−=

iee

gn i

i βµα

12

conhecida como distribuição de Bose-Einstein. Por argumentos semelhantes,

KT

1=β e α é um parâmetro determinado a partir da condição

Nni =∑

A distribuição de Bose-Einstein é válida para partículas que podem

acumular-se num determinado estado. Portanto, tratam-se dos bósons, partículas

com um determinado spin de valor zero ou inteiro.

Uma importante aplicação da estatística de Bose é o caso de um gás de

Fótons contidos numa caixa de volume V. neste caso, como os fótons estão

constantemente sendo absorvidos e emitidos, não é possível preservar seu

número. O resultado disto é que α=0, para que esta característica do sistema

possa ser preservada.

A cavidade que estamos considerando contém fótons indistinguíveis, cada

um com energia νh . O número de possíveis estados para fótons com freqüência

entre ν e νν d+ pode ser obtido somando-se os modos desta cavidade neste

intervalo de freqüência. Isto pode ser feito facilmente e o resultado obtido é

exatamente a probabilidade “a priori” gi, que aqui expressaremos como ( ) νν dg

( ) ννπνν dc

Vdg 2

2

8=

Com isto, podemos calcular a distribuição de fótons como sendo:

13

( ) ννπνν ν dc

V

e

dnKT

h

22

8.

1

1

−=

A densidade correspondente de energia espectral ( ) ννµ d , que é a energia por

unidade de volume contida na radiação entre as freqüências ν e νν d+ é dada

por:

( ) ( )1

8. 3

3−

==KT

he

d

c

h

V

dnhd ν

ννπνννννµ

esta é a conhecida fórmula de Planck da radiação . A densidade total de energia

dentro da cavidade é obtida adicionando-se todas as freqüências, ou seja

( ) 4

0

ATduu == ∫∞

νν

conhecida fórmula para a energia radiante emitida por um corpo negro.

Outra importante aplicação da distribuição estatística de Bose é a famosa

Condensação de Bose-Einstein (ver artigo sobre CBE, final da apostila).

Quanto o sistema é composto por partículas de spin semi-inteiro o princípio

de exclusão de Pauli impõe restrições que acabam por produzir uma nova

distribuição estatística denominada de Fermi-Dirac . A dedução da estatística de

Fermi-Dirac é parecida a de Bose-Einstein. Ao contrário desta ultima , férmions

não podem ocupar o mesmo estado. Somente uma partícula pode ocupar cada

estado. De forma paralela ao feito anteriormente, imaginemos que temos gi

estados com energia µi preenchidas por ni partículas. Como cada estado acomoda

apenas uma partícula, ni estados estão preenchidos e ( )ii ng − ainda disponíveis.

14

O número de maneira que estas ni partículas podem ser acomodadas é dado pelo

arranjo

( )!!

!

iii

i

ngn

g

−

e portanto a distribuição de probabilidades para as várias possibilidades dos

in deste sistema é

( )∏ −=

!!

!

iii

i

ngn

gW

Novamente, queremos determinar a distribuição mais provável máxin que

corresponde aquela que maximiza a probabilidade acima. Assim, tomando o

logaritmo

( )[ ]∑ −−−= !ln!ln!lnln iiii ngngW

com aproximação de Stirling nnnn −= ln!ln , ficamos com

( ) ( )[ ]∑ −−−−= iiiiiiii ngngnnggW lnlnlnln

Vamos agora utilizar o método variacional fazendo uma variação inδ na população

dos estados e verificar a condição onde isto não altera W, que deve corresponder

ao extremo

( )[ ] 0lnln =−+−=∑ iiiimáx nngnW δδ

15

Os vínculos para este problema são que o número de partículas seja conservado

0

0

=−

=−

∑∑

ii

i

n

n

δµβ

δα

Com estes vínculos, o método variacional leva a

( )[ ] 0lnln =−−−+−∑ iiiii nngn δβµα

Como inδ são independentes,

( ) 0lnln =−−−+− iiii ngn βµα

de onde tiramos, substituindo KT

1=β

1+=

KT

ii

i

ee

gn µ

α

que corresponde a distribuição de Fermi-Dirac, mostrando como um sistema de

férmions distribuem-se nos níveis de energia disponíveis num sistema físico.

A principal aplicação da estatística de Fermi-Dirac é a teoria dos elétrons

livres nos metais, que corresponde a um importante exemplo dentro da teoria dos

sólidos. Comecemos considerando um gás de elétrons no metal. Na consideração

que os elétrons são férmions e livres,a estatística anterior aplica-se bem. A

ocupação de cada estado µi vale

16

1+=

KT

ii

i

ee

gn µ

α

No entanto, devido a enormidade de partículas e estados é adequado

considerarmos um contínuo de estados. Assim agora falamos na ocupação dos

estados com energia entre µ e µµ d+

( ) ( )1+

=KTee

dgdn µ

α

µµµµ

para determinarmos ( ) µµ dg (número de estados com energia entre µ µ+dµ,

contamos os estados das partículas numa caixa de voluma V, verificando no

espaço dos números quânticos ( )zyx kekk , quantos estados estão no intervalo de

energia considerado. Este procedimento nos leva a

( ) µµµµ dh

Vmdg 2

1

3

23

28=

Aqui é importante lembrar que cada estado foi contado duas vezes, devido as

duas possibilidades de spin. Nosso próximo passo será determinar o parâmetro α.

Considerando o gás a baixas temperaturas, temos que a ocupação dos estados é

zero ou um, até que todos estados sejam preenchidos chegando a máxima

energia ocupada fµ . Isto é uma conseqüência do princípio de exclusão de Pauli.

Isto significa que o chamado índice de ocupação i

i

g

nf = , deverá ser um ou zero

até uf e cair rapidamente acima de µf

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( )1

1

+

=

+αµµKTe

f

para que esta fórmula seja condizente com o princípio de exclusão mencionado

acima, temos que colocar KT

fµα −= , e desta forma, o índice de ocupação fica

( ) ( ) 1

1

+= − KTfe

f µµµ

para T 0, µ < µf leva a ( ) 1=µf e para µ> µf ( ) 0→µf . Temos ( ) 21=ff µ .

Se nossa amostra de metal apresenta n elétrons livres, em T=0

( ) Ndgf

=∫ µµµ

0

e fazendo esta integral obtemos

322

8

3

2

=V

N

m

hf π

µ

como ρ=V

N, temos que

322

8

3

2

= ρπ

µm

hf

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independendo obviamente das dimensões da amostra e dependendo somente da

densidade. Um vez conhecida a distribuição e a energia de Fermi, podemos

determinar propriedades termodinâmicas do sistema como o calor específico, etc.