Capitulo Ix_análisis Bajo Riesgo e Incertidumbre en Proyectos de Inversión

LISIS DE RIESGO E

INTRODUCCIÓN

I. ANÁLISIS BAJO RIESGO

1.1 El Riesgo En Los Proyectos

1.2 Métodos Para Tratar El Riesgo

1.2.1 El Método del Criterio Subjetivo

1.2.1.1 Dependencia e independencia de los flujos de caja en el tiempo

1.2.1.2 Las distribuciones de probabilidad del VAN y la TIR

1.2.2 El Método del ajuste a la tasa de descuento. 1.2.3 El método de la equivalencia a certidumbre.

1.2.4 El método de los valores esperados. o modelo dl árbol de decisión

1.2.5 Los métodos basados en mediciones estadísticas o Modelo de

simulación de Monte Carlo

II. ANÁLISIS BAJO INCERTIDUMBRE

2.1. Criterio Maximin - pesimista o conservador

2.2. Criterio Minimax - pesimista o conservador

2.3. Criterio Maximax - optimista o agresivo

2.4. Principio de Laplace

LAPLACE

CONCLUSIONES DE ANÁLISIS BAJO RIESGO E INCERTIDUMBRE EN

PROYECTOS DE INVERSIÓN

RECOMENDACIONES DE ANÁLISIS BAJO RIESGO E INCERTIDUMBRE

EN PROYECTOS DE INVERSIÓN

CAPITULO

IXANÁLISIS BAJO RIESGO E INCERTIDUMBRE


INTRODUCCIÓN

Al no tener certeza sobre los flujos futuros de caja que ocasionará cada inversión, se estará en

una situación de riesgo o incertidumbre. Existe riesgo cuando hay una situación en la cual una

decisión tiene más de un posible resultado y la probabilidad de cada resultado específico se

conoce o se puede estimar. Existe incertidumbre cuando esas probabilidades no se conocen o

no se pueden estimar.

El objetivo de este capítulo es analizar el problema de la medición del riesgo en los proyectos

y los distintos criterios de inclusión y análisis para su evaluación.

Existen diversos factores que dan lugar a la introducción del riesgo en los proyectos de

inversión. La situación económica del país y las medidas de política que se adopten, el

mercado, la tecnología, la legislación laboral, las tasas de interés, etc. Hacen prácticamente

imposible predecir el futuro con exactitud. En consecuencia, los ingresos, costos y vida útil

del proyecto no se conocen en total certeza.

El análisis de riesgo de un proyecto permite dar al inversor una idea de la posibilidad de

obtener los retornos a su capital. De ahí la importancia de su análisis pues permite tomar una

decisión }en relación a invertir en un proyecto. En el cado de proyectos altamente riesgosos,

deberán tenerse mucho cuidado en la asignación de recursos debido que al variar las

condiciones originales proyectadas, podrían generarse proyectos no rentables y por lo tanto

deberían descartarse o postergarse, salvo que desde el punto de vista social se justifique su

ejecución.

I. ANÁLISIS BAJO RIESGO

1.1 EL RIESGO EN LOS PROYECTOS

El riesgo de un proyecto se define como la variabilidad de los flujos de caja reales respecto de

los estimados. Mientras más grande sea esta variabilidad, mayor es el riesgo del proyecto. De

esta forma, el riesgo se manifiesta en la variabilidad de los rendimientos del proyecto, puesto

que se calculan sobre la proyección de los flujos de caja.

Como ya se indicó, riesgo define una situación donde la información es de naturaleza

aleatoria, en que se asocia una estrategia a un conjunto de resultados posibles, cada uno de los

cuales tiene asignada una probabilidad. La incertidumbre caracteriza a una situación donde los

posibles resultados de una estrategia no son conocidos y, en consecuencia, sus probabilidades

de ocurrencia no son cuantificables. La incertidumbre, por lo tanto, puede ser una

característica de información incompleta. de exceso de datos, o de información inexacta,

sesgada o falsa.

La incertidumbre de un proyecto crece en el tiempo. El desarrollo del medio condicionará la

ocurrencia de los hechos estimados en su formulación. La sola mención de las variables

principales incluidas en la preparación de los flujos de caja deja de manifiesto el origen de la

incertidumbre: el precio y calidad de las materias primas; el nivel tecnológico de producción;

las escalas de remuneraciones; la evolución de los mercados: la solvencia de los proveedores;

las variaciones de la demanda, tanto en cantidad, calidad como en precio: las políticas del

gobierno respecto del comercio exterior (sustitución de importaciones, liberalización del

comercio exterior); la productividad real de la operación, etcétera.

Una diferencia menos estricta entre riesgo e incertidumbre identifica al riesgo como la

dispersión de la distribución de probabilidades del elemento en estudio o los resultados

calculados, mientras que la incertidumbre es el grado de falta de confianza respecto a que la

distribución, de probabilidades estimadas sea la correcta.

CAPITULO

IXANÁLISIS BAJO RIESGO E INCERTIDUMBRE


John nadá señala y analiza ocho causas del riesgo e incertidumbre en los proyectos. Entre

éstas cabe mencionar el numero insuficiente de inversiones similares que puedan proporcionar

información promediable: los prejuicios contenidos en los datos y su apreciación, que inducen

efectos optimistas o pesimistas, dependiendo de la subjetividad del analista: los cambios en el

medio económico externo que anulan la experiencia adquirida en el pasado, y la

interpretación errónea de los datos o los errores en la aplicación de ellos.

Se han hecho muchos intentos para enfrentar la falta de certeza en las predicciones. Las que

1.2. MÉTODOS PARA TRATAR EL RIESGO

Para incluir el efecto del factor riesgo en la evaluación de proyectos de inversión se han

desarrollado diversos métodos o enfoques que no siempre conducen a un idéntico resultado.

La información disponible es, una vez más, uno de los elementos determinantes en la elección

de uno u otro método.

El Criterio Subjetivo

es uno de los métodos comúnmente utilizados. Se basa en consideraciones de carácter

informal de quien toma la decisión, no incorporando específicamente el riesgo del

proyecto, salvo en su apreciación personal. Se ha intentado mejorar este método

sugiriendo que se tengan en cuenta la expectativa media y la desviación estándar del VAN,

lo cual, aunque otorga un carácter más objetivo a la inclusión del riesgo, no logra

incorporarlo en toda su magnitud. De igual forma, el análisis de fluctuaciones de los

valores optimistas, más probables y pesimistas del rendimiento del proyecto, sólo

disminuye el grado de subjetividad de la evaluación del riesgo, pero sin eliminarla.

Los métodos basados en mediciones estadísticas o

Modelo de simulación de Monte Carlo

son quizás los que logran superar en mejor forma, aunque no definitivamente, el riesgo

asociado a cada proyecto. Para ello, analizan la distribución de probabilidades de los

flujos futuros de caja para presentar a quien tome la decisión de aprobación o rechazo los

valores probables de los rendimientos y de la dispersión de su distribución de

probabilidad.

El Método del ajuste a la tasa de descuento.

Con este método, el análisis se efectúa sólo sobre la tasa pertinente de descuento, sin

entrar a ajustar o evaluar los flujos de caja del proyecto. Si bien este método presenta

senas deficiencias, en términos prácticos es un procedimiento que permite solucionar las

principales dificultades del riesgo.

El método de la equivalencia a certidumbre.

Según este criterio, quien decide está en condiciones de determinar su punto de

indiferencia entre flujos de caja por percibir con certeza y otros, obviamente mayores,

sujetos a riesgo.

El método de los valores esperados.

Este método, conocido comúnmente como análisis del árbol de decisiones, combina las

probabilidades de ocurrencia de los resultados parciales y finales para calcular el valor

esperado de su rendimiento. Aunque no incluye directamente la variabilidad de los flujos

de caja del proyecto, ajusta los flujos al riesgo en función de la asignación de

probabilidades.

El método del análisis de sensibilidad,

es una forma especial de considerar el riesgo, se analiza por la importancia práctica que

ha adquirido. La aplicación de este criterio permite definir el efecto que tendrían sobre el

resultado de la evaluación cambios en uno o más de los valores estimados en sus

parámetros.

1.2.1 METODO DEL CRITERIO SUBJETIVO

Se definió el riesgo de un proyecto como la variabilidad de los flujos de caja reales respecto

de los estimados. Ahora corresponde analizar las formas de medición de esa variabilidad

como un elemento de cuantifícación del riesgo de un proyecto.

La falta de certeza de las estimaciones del comportamiento futuro se pueden asociar

normalmente a una distribución de probabilidades de los flujos de caja generados por el

proyecto.

Su representación gráfica permite visualizar la dispersión de los flujos de caja, asignando un

riesgo mayor a aquellos proyectos cuya dispersión sea mayor.

Existen, sin embargo, formas precisas de medición que manifiestan su importancia

principalmente en la comparación de proyectos o entre alternativas de un mismo proyecto. La

más común es la desviación estándar, que se calcula mediante la expresión

n σ = ∑ (FC ti – FC t )2 * Pi

i=1donde

FC ti es el flujo de caja del periodo t, si ocurriera la situación i

FC t es el promedio ponderado de los flujos de caja del periodo t

Pi es su probabilidad de ocurrencia de la situación i

n FC t = ∑ FC ti * Pi

i=1

Mientras mayor sea la dispersión esperada de los resultados de un proyecto, mayores serán su

desviación estándar y su riesgo. y Aquellos FC con menor dispersión y menor variabilidad

son menos riesgosos

A partir de estas definiciones se puede derivar el valor esperado y la desviación estándar del

VAN con el que será posible medir el Riesgo del Proyecto, entonces el valor esperado es

igual a:

n

VE (VAN) = - I0 + ∑ FC t t =1 (1 + i) 2

1.2.1.1. Dependencia E Independencia De Los Flujos De Caja En El Tiempo

La Varianza del VAN dependerá de la correlación existente entre los Flujos de caja.

Si tales flujos son independientes entre si entonces:

n V (VAN) = ∑ σ 2 sin correlacion t =1 (1 + i) 2 t

lo usual sin embargo es que exista una correlación entre los flujos de caja de periodos

sucesivos dado que se ven afectados por Factores Propios del Proyecto. En la situación

extrema de una correlación Perfecta de los flujos de caja, la Varianza será:

n 2 V (VAN) = ∑ σ t con correlacion t =1 (1 + i) t

1.2.1.2. Las distribuciones de probabilidad del VAN y la TIR

A partir del cálculo del valor esperado y la desviación estándar del VAN es posible estimar la

probabilidad de que el VAN de un proyecto sea positivo o tome un valor determinado, dados

distintos valores para el COK. Para ello se utiliza la distribución estandarizada Z, de la forma:

Z = VANHo - E(VAN)

σ (VAN)

donde VANHo es el valor del VAN para el que se requiere determinar la probabilidad de

ocurrencia. De esta manera, será posible verificar diversas hipótesis sobre los valores que

puede tomar el VAN de un proyecto y/ó sobre los intervalos de confianza dentro de los cuales

se puede mover este indicador de rentabilidad.

Así mismo, a partir de la distribución de probabilidades del VAN es posible derivar la de la

T1R, si es que se recuerda que la probabilidad de que el VAN sea menor que cero es igual a la

probabilidad de que la T1R sea menor que el valor de la COK utilizado para estimar la

primera probabilidad. Si graficamos la probabilidad de que el VAN sea negativo para diversos

COK, será posible determinar el valor de este último que corresponde a una probabilidad

acumulada de 50%; dicho valor será la media de la T1R.

Para encontrar su desviación estándar, hay que tener en cuenta que en el caso de una

distribución normal, como la del VAN y la T1R, la probabilidad de que su verdadero valor se

encuentre en el intervalo E (VAN) ± σ (VAN), es igual a 68%; es decir, la desviación estándar

de la T1R estará dada por la distancia existente entre las tasas de interés que corresponden a

las probabilidades acumuladas 16% (50 - 68/2) y 84% (50 + 68/2) de la distribución del VAN.

EJEMPLO 1:

La inversión necesaria para ejecutar un proyecto de 3 años de duración es US$ 850,000. El

estimado de los flujos futuros se presenta en el cuadro siguiente:

ESTIMADO DE FLUJO DE CAJA

(En miles de dólares)

Prob. F1 Prob. F2 Prob. F3

0.1 200 0.2 300 0.2 4500.2 250 0.2 350 0.2 5000.3 300 0.1 400 0.1 5500.1 350 0.1 420 0,1 6000.1 400 0.1 440 0.1 6500.2 450 0.3 460 0.3 700

Si se asume independencia entre los términos del flujo, y la tasa costo de oportunidad de un

inversionista es 15% por período:

a) Determinar si le conviene ejecutar el proyecto asumiendo que los términos del flujo de caja

son independientes.

b) ¿Cuál es la probabilidad de perder en este proyecto?

SoluciónDe acuerdo con los datos, debemos entender que los beneficios netos por período se deben

considerar como variables aleatorias, cuyas funciones de probabilidad están especificadas en

el cuadro.

Por lo tanto, el primer paso es hallar los valores esperados y las desviaciones estándar de las

variables aleatorias F1 F2 y F3

E(F1) = 325 s(F1) = 81.3941

E(F2) = 394 s(F2) = 61.1882

E(F3) = 580 s(F3) = 97.9796

En segundo lugar, debemos hallar el valor esperado del VPN que se obtendrá en el proyecto.

Para ello utilizamos los valores esperados anteriormente hallados.

E(VPN) = - 850 + 325 + 394 + 580 (1.15) (1.15)2 (1.15)3

E(VPN) = 111.8887

El resultado anterior nos indica que, en promedio, podemos esperar obtener un VPN igual a

$111,888.70; sin embargo, en un contexto de riesgo. una variable adicional importante de

considerar es la desviación estándar. Para hallarla, debemos asumir una determinada relación

entre los términos del flujo de caja del proyecto, las cuales pueden ser:

1) Independencia

2) Correlación perfecta

3) Correlación imperfecta

En el último caso, el tratamiento formal matemático es muy complicado. por ello se

acostumbra a utilizar el método del árbol de probabilidades.

Si asumimos independencia entre los flujos del proyecto

σ2 (Ft)σ (VPN) = [∑ ——— ] 1/2

t=0 (1+i)2t

(81.3941)2 (61.1882)2 (97.9796)2

σ (VPN) = [ ————— + ———— + ———— ] 1/2

(1.15)2 (1.15)4 (1.15)6

σ (VPN) = 106.30

El resultado anterior nos indica que la variabilidad o dispersión promedio alrededor del valor

esperado del VPN es de US$ 106,300 aproximadamente.

Dados los resultados anteriores podemos hallar la probabilidad de perder en el proyecto, es

decir, de que el VPN sea menor que cero.

Si asumimos que el VPN es una variable aleatoria que se distribuye normalmente, el primer

paso será estandarizar la variable para luego hallar la probabilidad requerida:

Z = VPN - E(VPN) = VPN - 111.8887

o(VPN) 106.30

Donde z es una variable aleatoria que se distribuye normalmente con media cero y desviación

estándar igual a la unidad.

Prob (VPN<0) = Prob ( VPN-111.8887 < 0-111.8887 )

106.30 106.30

= Prob (z <-1.0526) Observando el valor de z en tablas:

Respuesta : Prob (VPN < 0) = 14.69%

EJEMPLO 2 :

Evaluar los siguientes proyectos si se sabe que el proyecto A está en unidades monetarias

reales del período cero, mientras que el proyecto B está en unidades monetarias reales del

período tres.

Proyecto A:

Prob. F1 Prob. F2 Prob. F3

0.3 20 0.3 40 0.3 500.1 40 0.1 60 0.1 600.1 60 0.1 65 0.1 700.1 70 0.1 70 0.1 800.2 100 0.2 100 0.2 900.2 120 0.2 110 0.2 110Proyecto B:

Prob. F1 Prob. F2 Prob. F30.1 10 0.1 40 0.1 600.1 20 0.1 60 0.1 650.1 60 0.1 65 0.1 700.2 65 0.1 70 0.2 750.2 70 0.3 75 0.2 900.3 90 0.3 95 0.3 95

Datos adicionales:

- La inversión que se requiere para ejecutar el proyecto A es 60 u.m. • del período cero.

- El proyecto B requiere para su ejecución una inversión de 60 u.m. del período tres.

- La inflación para los años 1, 2 y 3: 3%, 5% y 3% respectivamente.

- La tasa mínima atractiva de retorno (TMAR) corriente por utilizar es 10% anual.

Determinar cuál es el proyecto de menor riesgo relativo si se asume que los términos del

flujo:

a) Son independientes

b) Están perfectamente correlacionados

Solución

a) La TMAR está en términos corrientes y los flujos son reales; por tanto, el primer paso

consiste en hallar la tasa de descuento equivalente real para cada período:

TMAR1 = (0.1- 0.03)/(1.03) = 6.8% (períodos 1 y 3)

TMAR2 = (0.1- 0.05)/(1.05) = 4.76% (período 2)

El siguiente paso consiste en hallar los valores esperados para cada componente del flujo de

caja, así como sus desviaciones estándar. Luego se determinará el valor esperado del VPN

para cada proyecto, así como la desviación estándar de los mismos.

Proyecto A:

E(F1) = 67 σ (F1) = 39

E(F2) = 73.5 σ (F2) = 27.75 E(F3) = 76 σ (F3) = 22.45

E(VPNA) = - 60 + 67 + 73.5 + 76 (1.068) (1.068)(1.0476) (1.068)2 (1.0476)

E(VPNA)= 132.03 (unidades monetarias del período cero)

Si asumimos independencia entre los términos que conforman el flujo de cada proyecto, se

debe utilizar la siguiente expresión para hallar la desviación estándar del VPN de los

proyectos A y B. n

σ 2 (VPN) = ∑ σ 2 (F t) t =1 (1 + i) 2 t

σ 2 (VPNA) = (39) 2 + (27.75) 2 + (22.45) 2

(1.068)2 (1.068) 2 (1.0476)2 (1.068)4(1.0476)2

Despejando el valor de la desviación estándar:

σ 2 (VPNA) = 47.98 (unidades monetarias del período cero)

Proyecto B:

E(F1) = 63 σ (F1) = 26.38

E(F2) =74.5 σ (F2)= 16.65

E(F3) = 81 σ (F3) =12.81

E(VPNB) = - 60 + 63 + 74.5 + 81 (1.068) (1.068)(1.0476) (1.068)2 ( 1.0476)

E(VPNB) = 133.36 (unidades monetarias del período 3)

Si se asume independencia entre los términos del flujo del proyecto:

σ (VPNB) = [ (26.38) 2 + (16.65) 2 + (12.81 ) 2 ] 1/2

(1.068)2 (1.068)2(1.0476)2 (1.068)4(1.0476)2

σ (VPNB) = 30.77 (unidades monetarias del período 3) Transformando unidades monetarias:

E (VPNB) = 119.72 (unid. monetarias del período cero)

σ (VPNB) = 27.62 (unid. monetarias del período cero)

Según los resultados obtenidos, el proyecto A es el de mayor VPN sin embargo, también es el

de mayor riesgo. En estos casos debemos calcular el coeficiente de variación (desviación

estándar entre el valor esperado) con el fin de elegir aquel proyecto con menor riesgo relativo.

En forma resumida:

Proyecto A B

E(VPN) 132.03 119.72

σ (VPN) 47.98 27.62C.V. 0.36 0.23

Por lo tanto, lo recomendable es elegir el proyecto B si el objetivo es asumir el menor riesgo

relativo al ejecutar uno de los proyectos.

b) Si los flujos están perfectamente correlacionados, entonces la expresión para calcular la

desviación estándar del VPN es la siguiente:

. n σ (VPN) = ∑ σ (F t) t =1 (1 + i) t

Aplicando la expresión anterior a cada uno de los proyectos:

Proyecto A:

σ (VPNA) = (39) + (27.75) + (22.45)

(1.068) (1.068) (1.0476) (1.068)2(1.0476)

σ (VPNA) = 80.11 (unidades monetarias del período cero)

Proyecto B:

σ (VPNB) = (26.38) + (16.65) + (12.81)

(1.068) (1.068)(1.0476) (1.068)2(1.0476)

σ (VPNB) = 50.30 (unidades monetarias del período 3)

Respuesta :

Los resultados en relación al coeficiente de variación serían los siguientes:

Proyecto A B

E(VPN) 132.03 133.36

σ (VPN) 80.11 50.30

C.V. 0.61 0.38

Como podemos observar, el proyecto B es el de menor riesgo relativo. Cabe mencionar que

como el coeficiente de variación no tiene unidades, no es necesario que los proyectos A y B

estén expresados en las mismas unidades monetarias.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN:

CASO PRÁCTICO Nº 1

El desembolso inicial de una inversión, así como sus flujos de Caja nos e pueden determinar

con exactitud pero si es posible conocerlos en términos de Probabilidades.

Los posibles valores de dichos magnitudes y probabilidades son:

Io PR F1 PR1 F2 PR2 F3 PR3

30,000

34,000

36,000

38,000

40,000

48,000

0.15

0.15

0.20

0.20

0.15

0.15

8,000

10,000

12,000

14,000

16,000

18,000

0.10

0.05

0.25

0.25

0.05

0.30

16,000

18,000

20,000

22,000

24,000

26,000

0.15

0.25

0.20

0.10

0.20

0.10

23,000

25,000

29,000

32,000

35,000

38,000

0.20

0.10

0.15

0.15

0.30

0.10

A. Hallar: EL valor esperado, la varianza y la desviación estándar del valor presente del

proyecto asumiendo FLujos de Caja Independientes. El costo de capital es de 8%

(COK = 8%).

B. Flujos de Caja perfectamente correlacionados.






40,000

42,000

44,000

46,000

48,000

50,000

0.10

0.15

0.20

0.20

0.15

0.20

12,000

14,000

16,000

18,000

20,000

22,000

0.15

0.10

0.20

0.15

0.25

0.15

20,000

22,000

24,000

26,000

28,000

30,000

0.10

0.15

0.15

0.20

0.10

0.30

22,000

24,000

26,000

28,000

30,000

32,000

0.15

0.15

0.10

0.20

0.15

0.25



(COK = 9%).







37,000

39,000

41,000

43,000

45,000

47,000

0.20

0.20

0.20

0.10

0.15

0.15

5,000

7,000

9,000

12,000

13,000

15,000

0.15

0.15

0.15

0.15

0.10

0.30

17,000

19,000

21,000

23,000

25,000

27,000

0.30

0.15

0.15

0.15

0.15

0.10

30,000

32,000

34,000

36,000

38,000

40,000

0.25

0.15

0.20

0.10

0.15

0.15



(COK = 5%).


1.2.2 MÉTODO DEL AJUSTE A LA TASA DE DESCUENTO

Una forma de ajustar los flujos de caja consiste en hacerlo mediante correcciones en la tasa de

descuento. A mayor riesgo, mayor debe ser la tasa para castigar la rentabilidad del proyecto.

De esta forma, un proyecto rentable evaluado en función de una tasa libre de riesgo puede

resultar no rentable si se descuenta a una tasa ajustada.

El principal problema de este método es determinar la tasa de descuento apropiada para

cada proyecto. Al no considerar explícitamente información tan relevante como la

distribución de probabilidades del flujo de caja proyectado, de esta forma el mayor riesgo se

compensa por una mayor taza de descuento que tiende a castigar el proyecto de acuerdo con

esto el calculo del valor actual neto se efectúa de la siguiente manera:

n

VAN = ∑ BN t - I0

t =1 (1 + f ) 2

siendo BN, los beneficios netos del período t y f la tasa de descuento ajustada por riesgo que

resulta de aplicar la siguiente expresión

f = 1 + p

donde i es la tasa libre de riesgo y p es la prima por riesgo que exige el inversionista para

compensar una inversión con retornos inciertos.

La dificultad de este método reside en la determinación de la prima por riesgo. Al tener un

carácter subjetivo, las preferencias personales harán diferir la tasa adicional por riesgo entre

distintos inversionistas para un mismo proyecto.

1.2.3 EL MÉTODO DE LA EQUIVALENCIA A CERTIDUMBRE

La equivalencia a certidumbre es un procedimiento de alternativa al método de la tasa de

descuento ajustada por riesgo. Según este método, el flujo de caja del proyecto debe ajustarse

por un tactor que represente un punto de indiferencia entre un flujo del que se tenga certeza y

el valor esperado de un flujo sujeto a riesgo. Si se define este factor como a, se tiene que:

α = BNC t BNR t

donde

αt = es el factor de ajuste que se aplicará a los flujos de caja inciertos en el período t;

BNC t = representa el flujo de caja en el período t sobre el que se tiene certeza y

BNR t = representa el flujo de caja incierto en el período t.

El factor del coeficiente a varía en forma inversamente proporcional al grado de nesgo. A

mayor riesgo asociado, menor será el coeficiente αt cuyo valor estará entre cero y uno.

ejemplificando una situación en que debe optarse por una de estas alternativas:

a) recibir SI.000.000 si al tirar al aire una moneda perfecta resulta cara, sin obtener nada

si sale sello,

b) no tirar la moneda y recibir S300.000.

El valor esperado de la primera opción es $500.000 (0.5 x 1.000.000 + 0.5 x 0). Si el jugador

se muestra indiferente entre las alternativas, los S300.000 son el equivalente de certeza de un

rendimiento esperado de S500.000 con riesgo. Al reemplazar mediante estos valores en la

ecuación se tiene:

300.000 = 0,6

500.000


UNA DECISION INDIVIDUAL

Un individuo tiene la siguiente función de utilidad:

Utj = 2ln (FNtj+1)

Donde Utj es la utilidad asociada a FNtj (flujo neto probable) ocurrido en el período “t” para la

alternativa “j”.

Se tiene que optar por una de las dos alternativas siguientes, (ambas requieren una inversión

inicial de 100 U.M. y tiene una vida útil de 3 años).

Alternativa A

FN1A P1A FN2A P2A FN3A P3A507090

0.20.30.5

80100110

0.40.30.3

90110150

0.40.30.3

Alternativa B

FN1B P1B FN2B P2B FN3B P3B6090150

0.50.30.2

80150200

0.40.40.2

100180240

0.60.30.1

COK = 10%

a. Hallar la mejor alternativa (A o B) sobre la base del método del equivalente a la

certidumbre.

b. ¿Qué prima por riesgo se escogería en cada caso para que los resultados coincidieran

al usar una tasa de descuento ajustada?.

Solución

A. Es necesario estimar los flujos ciertos asociados a los flujos riesgosos de cada

alternativa. Ellos se muestran en el siguiente cuadro.

0 1 2 3 VAN(10%)Alternativa AA. E (FNAi)B. E(U(FNAi)1/

C. FNAi(cierto)2/

Alternativa BD. E(FNBi)E. E(U(FNBi)1/

F. FNBi(cierto)3/

-100

-100

-100

-100

768.6474

878.8281

959.1194

1329.65124

1149.44111

1389.75130

133

129

192

174

Respuesta. La mejor alternativa sobre la base del método del equivalente a la certidumbre es

la alternativa B: tiene un VAN10% mayor que el de A.

B. Para hallar la prima por riesgo es necesario calcular una tasa de descuento tal que el

valor actual de los flujos riesgosos sea igual que el valor actual de los flujos asociados

descontados al 10%. Así.

76 95 114129 = -100 + -------- + --------- + -----------

(1.1+PA) (1.1+PA)2 (1.1+PA)3

de donde PA = 0.009823

87 132 138174 = -100 + --------- + --------- + -----------

(1.1+PB) (1.1+PB)2 (1.1+PB)3

de donde PB = 0.033999

Respuesta.

La prima por riesgo necesaria para la alternativa A es de 0.98 puntos porcentuales y para la

alternativa B es de 3.4 puntos porcentuales.

1.2.4 EL MÉTODO DE LOS VALORES ESPERADOS.

O MODELO DL ÁRBOL DE DECISIÓN

El método de árboles de decisión es un enfoque por medio del cual se puede hacer un análisis

de como las decisiones tomadas en el presente afectan o pueden afectar las decisiones en el

futuro, ya que muchas decisiones tomadas en el presente no consideran las consecuencias que

pueden originar a largo plazo, por lo que se utiliza cuando es importante considerar las

secuencias de decisión y se conocen las probabilidades de que sucedan en el futuro los

eventos bajo análisis. Los árboles de decisión se construyen, por ejemplo, a partir de 3

situaciones u opciones mutuamente excluyentes que se pueden seleccionar. De cada una de

estas opciones se generan a su vez, otras dos o tres opciones. Los árboles de decisión se usan

para evaluar un proceso de decisión de “múltiples etapas” en el cual se toman decisiones

dependientes una tras otra.

Cada decisión se representa gráficamente por un cuadrado con un número dispuesto en una

bifurcación del árbol de decisión. Cada rama que se origina en este punto representa una

alternativa de acción. Además de los puntos de decisión, en este árbol se expresan, mediante

círculos, los sucesos aleatorios que influyen en los resultados. A cada rama que parte de estos

sucesos se le asigna una probabilidad de ocurrencia. De esta forma, el árbol representa todas

las combinaciones posibles de decisiones y sucesos, permitiendo estimar un valor esperado

del resultado final, como un valor actual neto, utilidad u otro.

Ejemplo 1

Una compañía tiene las opciones de construir una planta de tamaño regular o una pequeña que

se pueda ampliar después. La decisión depende principalmente de las demandas futuras del

producto que producirá la planta. La construcción de una planta de tamaño completo puede

justificarse en términos económicos si el nivel de demanda es alto. En caso contrario, quizá

sea recomendable construir una planta ahora y después decidir en dos años si esta se deba

ampliar.

El problema de decisión de múltiples etapas se presenta aquí por que si la compañía decide

construir ahora una planta pequeña, en dos años deberá tomarse una decisión a futuro relativa

a la expansión de dicha planta. El problema de decisión se divide en dos etapas: una decisión

ahora relativa a la dimensión o tamaño de la planta y una decisión de aquí a dos años referente

a la expansión de la planta(suponiendo que se decide construir una planta pequeña ahora).

El problema se va a resolver por medio de un árbol de decisiones, se supone que la demanda

puede ser alta o baja. Su representación gráfica puede observarse a continuación.

Solución

Si comenzamos con el nodo 1 (un punto de decisión), debemos tomar la decisión referente al

tamaño de la planta. El nodo es un evento probabilístico del cual emanan dos ramas que

representan demanda baja y alta, dependiendo de las condiciones del mercado. El nodo 3 es

también un evento probabilístico del cual emanan dos ramas que representan demandas alta y

baja.

Los datos del árbol de decisión deben incluir las probabilidades asociadas con las ramas que

emanan de los eventos de oportunidad y los ingresos asociados con las diversas alternativas

del problema. Si suponemos que la compañía está interesada en estudiar el problema en un

periodo de 10 años. Un estudio de mercado indica que las probabilidades de tener demandas

altas y bajas en los 0 años siguientes son 0.75 y 0.25, respectivamente. La construcción

inmediata de una planta grande costará $5 millones y una planta pequeña costara solo $1

millón. La expansión de la planta pequeña de aquí a dos años se calcula costará $4.2 millones.

Los cálculos del ingreso anual de cada una de las alternativas se indican a continuación:

1.- La planta completa y la demanda alta(baja) producirán $1,000,000 ($300,000) anualmente

2.- La planta pequeña y una baja demanda generarán $200,000 anuales

3. - La planta pequeña y la demanda alta producirán $250,000 para cada uno de los 10 años

4.- La planta pequeña ampliada con demanda alta(baja) generará $900,000 ($200,000)

anualmente

5.- La planta pequeña sin expansión y con alta demanda en los dos primeros años, seguida de

una demanda baja producirá $200,000 para cada uno de los 8 años restantes.

La evaluación de las alternativas está basada en el uso del criterio del valor esperado. Los

cálculos empiezan en la etapa 2 y después retroceden a la etapa 1, como se indica en la figura,

Por lo tanto en los últimos 8 años , es posible evaluar las dos alternativas en el nodo 4 como

sigue:

Por lo tanto, en el nodo 4, la decisión indica que no habrá expansión y la ganancia neta será

esperada es $1,900,000.

Después se reemplazan todas las ramas que emanan del nodo 4 por una sola rama con una

ganancia neta esperada de $1,900,000 que representa la ganancia neta para los últimos ocho

años. Ahora se efectúan los cálculos de la etapa 1 que corresponde al nodo 1 como sigue:

Ahora, se concluye que la decisión óptima en el nodo 1 es construir una planta grande, y por

lo tanto se eliminan las consideraciones tomadas en el nodo 4.

RESPUESTA: Se concluye que se debe optar por construir la planta grande

Ejemplo 2

se estudia el lanzamiento de un nuevo producto. Las posibilidades en estudio son introducirlo

a nivel nacional o regional. Si se decide lanzar el producto regionalmente, es posible luego

hacerlo a nivel nacional si el resultado regional a si lo recomendara.

Para tomar la decisión óptima, se analizan los sucesos de las alternativas de decisión más

cercanas al final del árbol, calculando el valor esperado de sus valores actuales netos y

optando por aquella que proporcione el mayor valor esperado del VAN

VAN

demanda alta P= 0.6 4000

Ampliar a nivel Nacional demanda Media P= 0.1 1000

demanda Baja P= 0.3 -2000

demanda Alta P= 0.7


Introducción Regional continuar a nivel Regional demanda Media P= 0.1 1500

demanda Baja P= 0.3 1000

demanda Media P= 0.1 2000

demanda Baja P= 0.2 1000


Introducción Nacional demanda Media P= 0.2 100

demanda Baja P= 0.3 -3000

Por ejemplo, la última decisión de nuestro caso es la [2], que presenta dos sucesos de

alternativa. El valor esperado del suceso (C) se calcula aplicando la ecuación de la siguiente

forma:

0.6 * 4000 = 2400

0.1 * 1000 = 100

0.3 * -2000 = -600

VAN = 1900

que representa el valor esperado del VAN en el caso de ampliar la introducción a nivel

nacional

En el caso de continuar en nivel regional se obtiene, por el mismo procedimiento. el siguiente

resultado:

0.6 * 2000 = 1200

0.1 * 1500 = 150

B

1

2

A

C

D

0.3 * 1000 = 300

VAN = 1650

Por lo tanto, la decisión será ampliar a nivel nacional, porque retoma un VAN esperado

mayor.

La siguiente decisión se refiere a la introducción inicial. Si es a nivel regional, existe un 70%

de posibilidades de que la demanda sea alta. Si así fuese, el VAN esperado sería de 1.900. que

correspondería al resultado de la decisión que se tomaría de encontrarse en ese punto de

decisión. Aplicando el procedimiento anterior, se obtiene:

0.7 * 1900 = 1330

0.1 * 2000 = 200

0.2 * 1000 = 200

VAN = 1730

Para la alternativa de introducción nacional se tendría:

0.5 * 5000 = 2500

0.2 * 100 = 20

0.3 *-3000 = -900

VAN = 1620

En consecuencia, se optaría por una introducción inicial en el nivel regional, que luego se

ampliaría a nivel nacional. Esta combinación de decisiones es la que maximiza el valor

esperado de los resultados.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN


Proyecto de apertura de una heladería.

Pedro García está pensando abrir una heladería este verano durante enero y febrero, sus

meses de vacaciones. Su mama le prestara un local, por lo que los únicos costos de

inversión necesarios serían mesas, sillas y la máquina de hacer helados, que cuesta $ 2

000. Según los noticieros, existe una probabilidad de o0.7 de que se presente el

Fenómeno del Niño (calor extremo). Además, si la demanda es alta (probabilidad de 0.6)

se puede pensar en ampliar el mercado.

Así pues, si la demanda es alta y se presenta el Fenómeno del Niño, los beneficios netos

para enero serían de $ 1 100; si no se presenta el fenómeno serían de $ 1 000. por otro

lado, si la demanda es baja y se presenta el Fenómeno del Niño, los beneficios netos

serían de $ 900 para enero y de $ 1 000 para febrero, si no se presenta el fenómeno serían

de $ 800 y de $ 900 para enero y febrero respectivamente. Además, si se presenta el

Fenómeno del Niño y se amplia el mercado, los beneficios para febrero serían de $ 1 500

con una probabilidad de 0.65 y de $ 1 300 con una probabilidad de 0.35. Si no se amplia

el mercado, dichos beneficios serían de $ 1 300. Si no se presenta dicho fenómeno y se

amplia el mercado, los beneficios para febrero serían de $ 1 250 con una probabilidad DE

0.2. De lo contrario, los beneficios netos de febrero serían de $ 1 220.

Pedro ha revelado que su función de utilidad por el dinero es logarítmica (U = LN

(Dinero)) y que el costo de oportunidad mensual de su capital, libre de riesgo, es de 5%.

¿Es conveniente que Pedro haga el negocio? Si lo hace, ¿conviene ampliar el mercado?


La empresa Aeronaves del Perú S.A.

La empresa Aeronaves del Perú S.A. está evaluando la compra de nuevas unidades para

sus rutas internacionales. Para ello cuenta con dos propuestas: un avión turbopropulsor

nuevo que costaría $ 550 000 y un avión de combustión de segunda mano que sólo cuesta

$ 250 000. En el caso que la demanda fuera alta en el próximo período se podrían hacer

refracciones al avión de segunda mano por $ 150 000 a principios el segundo período.

A continuación se presentan la evolución de las demandas, sus probabilidades de

ocurrencia y los beneficios netos asociados para cada uno de los aviones.

Opción 1: Avión turbopropulsor.

Primer año Prob. B. neto ($ miles) Segundo año Prob. B. neto ($ miles)

Demanda alta 0.6 150 Demanda alta 0.8 960 Demanda baja 0.2 220

Demanda baja 0.4 30 Demanda alta 0.4 930 Demanda baja 0.6 140

Opción 2: Avión de combustión.

Primer año Prob.B. neto ($

miles)

Segundo año

Prob.B. neto ($

miles)

Demanda alta 0.6 100 Repara

Demanda alta 0.8 800

-150Demanda

baja 0.2 100

No reparaDemanda

alta 0.8 410

Demanda

baja 0.2 180Demanda

baja 0.4 25Demanda

alta 0.6 220

Demanda

baja 0.4 100

Si el costo de capital es 10%, ¿Qué avión recomendaría usted comprar? (Haga el análisis para

un horizonte de dos periodos).


La empresa Petróleos del Norte.

La empresa Petróleos del Norte está evaluando la explotación de lote Lobitos y la del lote

Zorritos.

Se conoce que, por las condiciones de los lotes, la explotación de Zorritos costaría

$700000 y la de Lobitos, $30000. En el caso de que se explotara el lote Lobitos, la

probabilidad de que se encuentre petróleo es 0.7; y, en Zorritos; la probabilidad es 0.6. En

el caso que no se encontrara petróleo en Zorritos, se obtendrá un VAN de $ -900000; si

no se encontrara petróleo en Lobitos, se obtendría un VAN de $ -500000 ( en ambos

casos el VAN incluye la inversión inicial).

Se espera que la producción empezará en el segundo periodo para el cual se ha estimado

que las probabilidades que los precios sean altos, normales y bajos son 0.6, 0.3 y 0.1,

respectivamente.

En Zorritos, si el precio fuese alto en el periodo 2, se obtendrá hasta el período 6 un BN

de $ 1 500 000 anuales. Si el precio fuese normal, el BN será de $ 1 000 000 en el mismo

período, mientras que si el precio fuera bajo, este BN sólo será de $ 800 000. en el caso

de Lobitos bajo las mismas condiciones, el BN será $ 700 000, $ 500 000 y $ 300 000

respectivamente para los precios señalados.

Se tiene claro en Zorritos que si el precio fue alto en el período 2, es posible reinvertir en

el período 6. Si se reinvierte $ 400 000, ganaría $ 3 000 000 anuales en los periodos 7 y

10, y si no se reinvierte solo se ganaría $ 2 000 000 al año. Si el precio fuera bajo en el

período 2, se tiene la opción de vender sus activos en el período 6. si se vendieran los

activos se obtendría $ 2 500 000; y, si no se vendieran, se continuaría operando y se

ganaría $ 800 000 al año entre el período 7 y 10. si el precio fuese normal, se ganaría $ 1

800 000 anuales en el mismo período.

En el caso de Lobitos, las decisiones son más sencillas. Si el precio fuera alto en el

período 2, se tiene la opción de reinvertir $ 150 000 en el período 6, ganándose con ello $

900 000 anuales entre el período 7 y 10; y, si no se reinvirtiera, sólo se ganaría $ 800 000

al año en el mismo período. En el caso que el precio fuera normal en el período 2, el BN

sería $ 600 000 en promedio y, si el precio fuera bajo, el BN anual sería $ 550 000 en el

mismo período.

Evalué usted que lote es más conveniente explotar. (COK = 10%).


El caso del agricultor.

El señor Walter Gómez es un agricultor experimentado, poseedor de un terreno que

puede alquilar por S/. 200 000 anuales, los cuales serían pagados al final del período, o

que puede destinar al cultivo de fresas.

Si el señor Gómez se dedica a cultivar fresas puede sembrar hasta tres cosechas al año si

el invierno es corto, dos cosechas si es normal y sólo una cosecha si es largo. Walter ha

llevado un registró cuidadoso de la situación climatológica de su terreno en los últimos

18 años y ha establecido que en seis ocasiones el invierno ha sido corto y en tres ha sido

muy largo.

La experiencia de Walter le indica que los gastos de siembra, fumigación, mantenimiento,

recolección, y otros costos relacionados a este cultivo en su terreno ascienden a S/. 80

000 por cosecha y deben ser pagados al iniciar la siembra. Además, existen costos fijos

anuales de S/. 30 000 que corresponden primordialmente a los gastos de un asistente, que

deben ser pagados por adelantado.

Sin embargo, existen varios aspectos sobre los cuales Walter no tiene un conocimiento

preciso. En particular, siente incertidumbre acerca de los precios de venta de cada

cosecha, que puede ser de S/. 100 000, S/. 200 000 ó S/. 250 000, según la oferta nacional

e internacional que exista en el momento de la recolección. En principio, Walter tiene

incertidumbre al respecto, pero debido a la política de sustentación del gobierno, sabe con

certeza que su cosecha será comprada a uno de tres precios. El señor Gómez se ha

enterado de la existencia de una firma consultora que puede elaborar un cuidadoso

estudio de mercados (cuyo resultado será infalible) para predecir cuál será el precio de

venta de las cosechas durante el próximo año. La firma cobra S/. 32 000 por la prestación

del servicio.

En estas condiciones Walter se enfrenta con la decisión de sembrar el terreno o alquilarlo,

y de contratar o no los servicios de la firma consultora. Teniendo en cuenta que su tasa de

interés de oportunidad es del 2% mensual, ayúdelo a tomar la decisión.

1.2.5 EL MÉTODO BASADO EN MEDICIONES ESTADÍSTICAS

O MODELO DE SIMULACIÓN DE MONTE CARLO

El modelo de Monte Cario, llamado también método de ensayos estadísticos, es una técnica

de simulación de situaciones inciertas que permite definir valores esperados para variables no

controlables, mediante la selección aleatoria de valores, donde la probabilidad de elegir entre

todos los resultados posibles está en estricta relación con sus respectivas distribuciones de

probabilidades.

La simulación de Monte Carlo es una técnica que combina conceptos estadísticos (muestreo

aleatorio) con la capacidad que tienen los ordenadores para generar números pseudo

aleatorios y automatizar cálculos.

La simulación de Monte Carlo es una técnica cuantitativa que hace uso de la estadística y los

ordenadores para imitar, mediante modelos matemáticos, el comportamiento aleatorio de

sistemas reales no dinámicos (por lo general, cuando se trata de sistemas cuyo estado va

cambiando con el paso del tiempo, se recurre bien a la simulación de eventos discretos o bien

a la simulación de sistemas continuos).

Veamos un ejemplo sencillo:

Ejemplo:

al lanzar una moneda tres veces seguidas al aire quiero saber la probabilidad que las tres veces

resulte cara; no tengo idea de probabilidades y solo se que la probabilidad de obtener cara =

0.5 probabilidad de obtener sello = 0,5 para un lanzamiento individual.

¿ Que alternativas tengo?

- Lanzar muchas veces

- Usar tabla de números aleatorios, o ruleta de 100 valores.

CARA PAR (0, 2, 4,,,,,, 98)

SELLO IMPAR (1, 3, 5,,,,, 99)

EJEMPLOS DE TRES CARAS: (38, 36, 98) (74, 10, 46)

CARA ≥50 (50, 51, _ _ _, 99)

SELLO < 50 (0, 1, 2, _ _ _, 49)

EJEMPLOS DE TRES CARAS: (66, 96, 55) (50, 95, 99)

Ejemplo:

el casino de viña estudia ofrecer el siguiente juego:

*el jugador tira una moneda en forma repetida hasta que la diferencia absoluta entre caras y

sellos sea tres, momento en que se termina el juego.

*Para jugar se deben pagar $10.000, y el jugador gana $1.000 por cada moneda lanzada antes

de terminar el juego. Usando valor esperado, jugarias?

X : # de lanzamientos hasta que el juego termine.

X : 3, 5, 7 P(X) = ; NO ES FACIL DE CALCULAR

VE = (1000*X·P(X))- 10.000

SEA PAR = CARA E IMPAR = SELLO

LAN. N. A. C S C S |C-S|1 97 0 1 12 2 1 1 03 80 2 1 14 66 3 1 25 96 4 1 3 6 55 0 1 17 50 1 1 08 29 1 2 19 58 2 2 010 51 2 3 111 4 3 3 012 86 4 3 113 24 5 3 214 39 5 4 115 47 5 5 016 60 6 5 117 65 6 6 018 44 7 6 119 93 7 7 020 20 8 7 121 86 9 7 222 12 10 7 3

RESULTADO DE SIMULACION DEL JUEGO ANTERIOR

# DE JUEGOS

# DE LANZAMIENTOS

CANT. A RECIBIR

CANT. A PAGAR

PAGAR / RECIBIR

100 968 1000000 968000 96,8%200 1882 2000000 1882000 94,1%300 2746 3000000 2746000 91,5%400 3484 4000000 3484000 87,1%500 4432 5000000 4432000 88,6%600 5426 6000000 5426000 90,4%700 6260 7000000 6260000 89,4%800 7166 8000000 7166000 89,6%900 7900 9000000 7900000 87,8%1000 8786 10000000 8786000 87,9%

¿JUGARIAS?EJERCICIOS DE APLICACIÓN


La compañía Bristol S.A. una empresa comercializadora realiza una de sus tantas

operaciones en el puerto de Callao en Peru. Una de sus funciones consiste en el

desembarque de vagones de cargas provenientes de barcos que arriban desde puertos

extranjeros. Estos barcos llegan al puerto tanto de dia como de noche, y el numero de

llegada responde a una distribucion de probabilidad discreta como se presenta en la

siguiente tabla:

Numero de Vagones que llegan (X)

Probabilidad de llegada

0 0.231 0.302 0.303 0.104 0.055 0.02

La capacidad de descargue de la compañía es de dos vagones diarios, y el tiempo que se

utilizara para el siguiente estudio sera de 500 dias.


Gun Bound S.A.C, es una empresa que produce y exporta reposteros de gran tamaño y de

fino acabado hechos de caoba para las empresas mas importantes del mundo que luego la

comercializan. Actualmente una propuesta de un pedido de 1000 reposteros a entregar

dentro de 365 días útiles.

Sabemos que esta tiene una capacidad de producción de 2 reposteros por día, no mas.

La empresa cada vez que tiene un pedido, hace un contrato con su proveedor para que

este lo aprovisione de materia prima.

La materia prima consiste en planchas de caoba traídos de la selva, en cargas de 10

planchas (que caben en un 1 camión). Además sabemos que por cada 10 planchas de

madera se pueden hacer 2 reposteros.

La distribución de probabilidad para que el Nº de llegadas de los camiones es la

siguiente:

Numero de camiones que llegan

Probabilidad de llegadas

0123

0.180.280.290.16

4 0.09Ahora la planta de producción nunca para, a diario le llegan a su almacén materia prima,

de su proveedor muchas mas de la que esta necesita; por la que muchas veces esta tiene

colas de materia prima esperándola.

Lo que quiere la empresa es ¿como será la llegada de materia prima a sus almacenes,

puesto que el costo de inventario de m.p es de $40 por cada carga del camión ya que

repercute directamente con el precio del repostero ?


Se esta considerando la introducción de un nuevo producto. El producto tiene una vida

útil de tres años. Hay tres factores de incertidumbre; el precio de venta, el costo variable y

el volumen anual de ventas.

Debe suponerse que habrá incertidumbre para las ventas en el primer año , pero luego

aumentaran 20% en el segundo año y después descenderán 50% en el tercer año. Además

que la incertidumbre acerca del primer año de ventas puede describirse mediante una

distribución normal con una media de 2.0 millones de cajas y una desviación estándar de

0.6 millones de cajas.

El costo de fabricar el producto es incierto, y la incertidumbre puede representarse con

una distribución uniforme entre US $ 2.00 y US $ 4.00 por unidad.

La incertidumbre acerca del precio para el producto esta representada por una

distribución discreta, como sigue :

Los costos fijos asociados con introducir el producto son US $ 3.0 millones en el primer

año y US $ 1 millón para los años 2 y 3. Finalmente debe suponer que la empresa tiene la

capacidad de abandonar el producto después del primer año, si no es rentable.

¿La introducción del nuevo producto será rentable?

II. ANÁLISIS BAJO INCERTIDUMBRE

Se tomara en cuenta los siguientes criterios con su respectivo ejemplo.

- El criterio de decisión se toma basándose en la experiencia de quien toma la decisión.

- Este incluye un punto de vista optimista o pesimista, agresivo o conservador.

-Criterios:

* Criterio Maximin - pesimista o conservador

* Criterio Minimax - pesimista o conservador

* Criterio Maximax - optimista o agresivo

* Principio de Laplace

2.1. CRITERIO MAXIMIN

-Este criterio se basa pensando en el peor de los casos

-El criterio se ajusta a ambos tipos de decisiones, es decir pesimista y optimista.

* Una decisión pesimista se toma creyendo que el peor caso ocurrirá.

* Una decisión bajo criterio conservador asegura una ganancia mínima posible.

-Para encontrar una decisión optima:

* Marcar la mínima ganancia a través de todos lo estados de la naturaleza posibles.

* Identificar la decisión que tiene máximo de las “mínimas ganancias”.

EJEMPLO: La Inversión de John Pérez

John Pérez ha heredado $1000.

El ha decidido invertir su dinero por un año.

Un inversionista le ha sugerido 5 inversiones posibles:

* Oro.

* Bonos.

* Negocio en Desarrollo.

* Certificado de Depósito.

* Acciones.

John debe decidir cuanto invertir en cada opción.

LA DECISION MAS OPTIMA –600

El Criterio Maximin MinimosGan

anciaDecisi

ones

Gran

Alza

Peq

. Alza

Sin

Cambios

Peq

. Baja

Gra

n

Baja

Oro -100 100 200 300 0 -100

Bonos 250 200 150 -100 -150 -150

Negoci

o en D. 500 250 100 -200 -600 -600

Cert.

De Dep. 60 60 60 60 60 60

2.2 CRITERIO MINIMAX

-Este criterio se ajusta a decisiones pesimistas y conservadoras.

-La matriz de ganancia es basada en el costo de oportunidad

-El tomador de decisiones incurre en una perdida por no escoger la mejor decisión.

-Para encontrar la decisión óptima:

-Para cada estado de la naturaleza:

* Determine la mejor ganancia de todas las decisiones

* Calcule el costo de oportunidad para cada alternativa de decisión como la diferencia

entre su ganancia y la mejor ganancia calculada.

- Para cada decisión encuentre el máximo costo de oportunidad para todos los estados de

la naturaleza.

- Seleccione la alternativa de decisión que tiene el mínimo costo de oportunidad.

Continuación Problema John Pérez

Matriz de Ganancias

Decision Gran Alza Peq. Alza

Sin Cambios Peq. Baja

Gran Baja

Or

o-

10

0

1

0

0

2

0

0

3

0

0

0

Bonos2

5

0

2

0

0

1

5

0

-

10

0

-15

0Negocio 5

0

0

2

5

0

1

0

0

-

20

0

-

60

0Cert Dep 6

0

6

0

6

0

6

0

6

0

500 – (-100) = 600

Invertir en Oro incurre en una pérdida mayor cuando el mercado presenta una gran alza

Matriz de Costo de Oportunidad

Maximo

Costo

Op

Decision

Gran

Alz

a

Peq.

Alza

Sin

Cambios

Peq

Baja

Gran

Baja

Oro 600 150 0 0 60 600

Bonos 250 50 50 400 210 400

Negocio D. 0 0 100 500 660 660

Cert. Dep 440 190 140 240 0 440

La Decisión Mas Optima Es

2.3. EL CRITERIO MAXIMAX

- Este criterio se basa en el mejor de los casos.

- Este criterio considera los puntos de vista optimista y agresivo.

Un tomador de decisiones optimista cree que siempre obtendrá el mejor resultado sin importar la decisión tomada.

Un tomador de decisiones agresivo escoge la decisión que le proporcionará una mayor ganancia.

- Para encontrar la decisión óptima:

* Encuentre la máxima ganancia para cada alternativa de

decisión.

* Seleccione la decisión que tiene la máxima de las“máximas ganancias”.

El Criterio Maximax MáximasDecision Gran Alza Peq. Alza Sin Cambios Peq. Baja Gran Baja

Oro -100 100 200 300 0

Bonos 250 200 150 -100 -150

Neg. Des 500 250 100 -200 -600

Cert. Dep. 60 60 60 60 60

Decisión Optima :

EJEMPLO :

TOMA DE DESICIONES BAJO CONDICIONES DE INCERTIDUMBRE

Para la próxima temporada invernal, la fábrica textil "TELAS RECOMIENDO" desea

determinar que producto sacar al mercado, con la finalidad de satisfacer la demanda

creciente de ropa invernal.

A continuación se analizan las tres fases para el problema anterior:

FASE 1: Las alternativas que el fabricante tiene para satisfacer la demanda son:

a).- Fabricar abrigos

b).- Fabricar sweters

c).- Fabricar cazadoras

FASE 2: Los eventos futuros que pueden ocurrir (estados de la naturaleza) con respecto

a la demanda son:

a).- Demanda alta

b).- Demanda media

c).- Demanda baja

d).- Demanda nula

FASE 3: La tabla de beneficios estimados es la siguiente:

SOLUCION USANDO LOS CUATRO CRITERIOS.

Criterio maximax . Es un criterio optimista, el cual indica seleccionar el máximo de los

máximos. Para el ejemplo se selecciona el máximo de cada alternativa (500, 700, 300) y

de estos se selecciona el máximo (700) . La decisión usando este criterio es "fabricar

sweters"

Criterio maximín. Este es un criterio pesimista, el cual indica el valor máximo de los

mínimos. Para el ejemplo se seleccionan los valores mínimos de cada alternativa (-450, -

800, -100) y de estos se selecciona el máximo (-100). La decisión usando este criterio es

"fabricar cazadoras"

Criterio mínimax. Este criterio es también conocido como arrepentimiento. Es

necesario construír una nueva tabla conocida precisamente con ese nombre "tabla de

arrepentimiento". Es necesario suponer que en un momento conocemos cuales serán los

estados de la naturaleza y que podemos arrepentirnos de la decisión ya tomada con

anterioridad, así pues, si tomamos la decisión de fabricar abrigos ganamos $500 si se

presenta una demanda alta, pero si hubieramos sabido que la demanda sería alta,

hubiéramos tomado la decisión de fabricar sweters con una utilidad de $700 en lugar de

$500, por lo cual nuestro arrepentimiento es de $200 lo cual significa que dejamos de

ganar $200 por no haber tomado económicamente la mejor decisión, o en el caso de

pérdidas significa lo que se pierde demás por no haber tomado económicamente la mejor

decisión como se muestra en la siguiente tabla:

Valor mínimo.

Una vez de terminada la tabla de arrepentimiento se selecciona el valor máximo de cada

alternativa (350, 700, 400) y se escoge el valor mínimo de éstos (350) por lo cuál la decisión

sería "fabricar abrigos".

Criterio del realismo. Sin duda el criterio más flexible ya que puede transformarse en

un criterio optimista, pesimista o intermedio de acuerdo al valor que le demos al

coeficiente o índice de optimismo (a)

Usado en la siguiente relación :

Ri = Valor del realismo para la alternativa i = a (beneficio máximo) + (1- a ) (beneficio

mínimo)

Para el ejemplo tendríamos los siguientes valores con a = 0.7

R1 = 0.7 (500) + 0.3 (-450) = $125

R2 = 0.7 (700) + 0.3 (-800) = $250R3 = 0.7 (300) + 0.3 (-100) = $180

La decisión será en función del valor mayor de Ri por lo cual para este caso la decisión

es "fabricar sweters" con una utilidad estimada de $250.

2.4 EL PRINCIPIO DE RAZONAMIENTO INSUFICIENTE O CRITERIO DE

LAPLACE

- Este criterio puede ser utilizado por un tomador de decisiones que no sea optimista ni pesimista.

- El tomador de decisiones asume que todos los estados de la naturaleza son equi

probables.

- El procedimiento para encontrar una decisión óptima:

* Para cada decisión calcule la ganancia esperada.

* Seleccione la decisión con la mayor ganancia esperada.

El Análisis : E ( D1 ) = ( X11 + X12 + ..... + X1m ) / m

E ( D2 ) = ( X21 + X22 + ..... + X2m ) / m

.

.

E ( Dn ) = ( Xn1 + Xn2 + ..... + Xn m ) / m

LAPLACE

1.- Ejercicio

ESTADO DE LA NATURALEZA

DECISIÓN E1 E2 ....... Em

( p1 ) ( p2 ) ( pm )

D1 X11 X12 X1m

D2 X21 X22 X2m

.

.

Calcular la probabilidad de acertar los 14 signos de la quiniela:

Solución:

Se aplica la Regla de Laplace (casos favorables / casos posibles). El caso

favorable es tan sólo uno (acertar los 14 signos). Los casos posibles se calculan

como variaciones con repetición de 3 elementos (1, X y 2), tomados de 14 en 14 (los

signos que hay que rellenar).

Son variaciones y no combinaciones ya que el orden influye: no es lo mismo (1,1,X)

que (1, X, 1). Y son con repetición, ya que cualquiera de los signos (1, X y 2) se

puede repetir hasta 14 veces.

Por lo tanto, los casos posibles son:

Y la probabilidad de acertar los 14 resultados es:

No demasiado elevada....pero el que la sigue la consigue.

2.- Ejercicio

Y la probabilidad de acertar 12 signos de la quiniela:

Solución:

Aplicamos nuevamente la Regla de Laplace. En este caso los casos favorables se

calculan como combinaciones de 14 elementos tomados de 2 en 2, de esta manera

obtenemos todas las posibles alternativas de fallar 2 resultados de 14 (lo que

equivale a acertar 12 resultados). Utilizamos combinaciones y no variaciones ya que

el orden no importa (da lo mismo fallar el 3º y el 6º, que el 6º y el 3º)

Los casos posibles siguen siendo los mismos:

Por lo que la probabilidad de acertar 12 resultados es:

Por lo tanto, tenemos más probabilidades de acertar 12 resultados que 14 (¿será por

eso por lo que pagan menos?).

3.- Ejercicio

Calcular la probabilidad de, en una carrera de 12 caballos, acertar los 3 que quedan

primeros (sin importar cual de ellos queda primero, cual segundo y cual tercero).

Solución:

Se aplica la Regla de Laplace. El caso favorable es tan sólo uno: los 3 caballos

que entran en primer lugar. Los casos posibles se calculan como combinaciones de

12 elementos tomados de 3 en 3 (es decir, determinamos todos las posibles

alternativas de 3 caballos que pueden entrar en las 3 primeras posiciones). Como el

orden de estos 3 primeros caballos no importa, utilizamos combinaciones en lugar

de variaciones.

Por lo tanto, los casos posibles son:

Por lo que la probabilidad de acertar los 3 caballos ganadores es:

Algo mayor que en las quinielas.... Eso sí, se paga menos.

4.- Ejercicio

Y si hubiera que acertar, no sólo los 3 caballos que ganan, sino el orden de su

entrada en meta.

Solución:

El caso favorable sigue siendo uno: los 3 caballos que entran en primer lugar,

colocados en su orden correspondiente.

Los casos posibles se calculan ahora como variaciones (ya que el orden influye) de

12 elementos tomados de 3 en 3 (calculamos todas las posibles maneras en que los

12 caballos podrían ocupar las 3 primeras posiciones.

Por lo que la probabilidad de acertar los 3 caballos ganadores es:

Menor que en el ejemplo 3º. Ya no vale acertar que 3 caballos entran en primer

lugar, sino que tenemos que acertar el orden de su entrada.

4. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LAPLACE POR SEPARACIÓN DE VARIABLES.

COORDENADAS CARTESIANAS.

El problema fundamental de la teoría del potencial es encontrar una solución de la ecuación

de Laplace que satisfaga ciertas condiciones en el contorno de la región considerada.

En ciertos sistemas de coordenadas podemos ir más allá y escribir la solución como un

producto de funciones de las coordenadas individuales, de modo que las condiciones de

contorno puedan aplicarse a factores separados de una variable.

Puede agregarse que mientras que no existe un método general de solución de ecuaciones

diferenciales a derivadas parciales, la separación reduce la ecuación de Laplace a un conjunto

de ecuaciones diferenciales ordinarias, que en principio siempre tienen solución.

La ecuación de Laplace es:

y desarrollando en dos dimensiones:

Supongamos que V(x,y)=X(x).Y(y), donde X es una función de x solamente e Y una función de Y. La ecuación de Laplace resulta:

y dividiendo por V=X.Y

Observamos que el miembro de la izquierda no contiene a y. En consecuencia no cambia

cuando y varía. Análogamente el miembro de la derecha no contiene a x, y no cambia al

variar x. Como los dos miembros son iguales, su valor común no puede cambiar cuando se

modifica alguna de las variables y en consecuencia debe ser una constante k2.

La constante k2 es llamada parámetro de separación. Reemplazando en la última igualdad

resulta el sistema de ecuaciones:

Y"+k2Y=0

X"-k2X=0

que tienen soluciones generales:

Y=A senky + B cosky

X=C ekx + D e-kx

EJERCICIO : Demuestre las soluciones obtenidas. Suponga X=epx e Y=epy.

El producto de las soluciones generales del sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias es

una solución general de la ecuación de Laplace bidimensional. V(x,y)= ( C ekx + D e-kx).(A

senky + B cosky). Aplicaremos este resultado a dos ejemplos.

EJEMPLO 1.

FIGURA 1

Dos placas conductoras paralelas infinitas, Figura 1, están separadas por una distancia a. Las

placas están puestas a tierra (0 V) y una tercera placa, aislada de las anteriores se encuentra a

potencial 1 V respecto de aquellas, como se muestra en la figura. El medio entre las placas es

aire. Halle la distribución de potencial.

La solución de la ecuación de Laplace para dos dimensiones fue hallada en el apartado

anterior:

V(x,y)= ( C ekx + D e-kx).(A senky + B cosky)

sujeta en este problema a las siguientes condiciones de borde:

V(x,a)=0

V(0,y)=1

V(x,0)=0

V(infinity ,y)=0

La última condición de contorno nos indica que el potencial se desvanece cuando nos

alejamos del origen. Para que ello ocurra la constante C debe ser igual a cero. Para satisfacer

V(x,0)=0 debe ser B=0. La solución se reduce a :

V(x,y)=(A.D) e-kx sen ky

Dado que V(x,a)=0 y la exponencial no se anula, debe ser senka=0 o ka=np , con

n=0,1,2,3,.........., de donde k=np /a. Reemplazando en la función potencial :

Esta función por si sola no satisface la condición V(0,y)=1. En efecto:

Sin embargo, dado que la ecuación de Laplace es lineal, la condición puede ser satisfecha por una suma de funciones de la forma anterior, tal que:

donde los Cn son los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier de una función impar tal que y vale 1 en el intervalo [0,a]. Sea una onda cuadrada de amplitud unitaria:

Calculemos y representemos su desarrollo en serie de Fourier hasta la décima armónica espacial:

Los coeficientes Cn de los términos en coseno son nulos por tratarse de una función impar. Para los términos en seno solamente son distintos de cero los coeficientes correspondientes a n impar. Observando sus valores se comprueba que valen:

C[n_]=4/(n Pi)

A mayor cantidad de términos se mejora la aproximación a la función original.

Considerando hasta la armónica 51 resulta:

Representamos en la Figura 2:

EJERCICIOS DE MAXIMIN Y MÍNIMAS : FASES EN EL ENFOQUE DE TEORÍA DE DECISIONES

1.- Listar todas las alternativas viables.2.- Identificar todos los eventos futuros que pueden ocurrir.

3.- Construir una tabla de beneficios.

EJEMPLO: Considere un fabricante de ropa que esta considerando varios métodos alternativos para expander su producción a fin de adecuar una demanda creciente

para sus productos. |

FASE 1.- Las alternativas que el fabricante tiene para expander su producción son:

a).- Expander la planta actual.b).- Construir una nueva planta.

c).- Subcontratar la producción a otros fabricantes.

FASE 2.- Los eventos futuros que pueden ocurrir (estados de naturaleza) con respecto a la demanda son:

a).- Demanda alta.b).- Demanda moderada.

c).- Poca demanda.d).- Demanda nula.

FASE 3.- La tabla de beneficios es la siguiente dando un valor estimativo para cada combinación de posibilidades:

AMBIENTES EN QUE SE TOMAN LAS DECISIONES

- Bajo condiciones de certeza.- Bajo condiciones de incertidumbre.- Bajo condiciones de riesgo.

Bajo condiciones de certeza: Solo existe un estado de la naturaleza (evento futuro). Se escoge el mayor beneficio par este estado con respecto a sus diferentes alternativas.

Bajo condiciones de incertidumbre: Existe más de un estado de la naturaleza y se conoce poco o nada acerca de ellos.

En ambientes de este tipo, son utilizados cuatro criterios diferentes para la toma de decisiones:

1.- Maximax (criterio optimista)2.- Maximin (criterio pesimista)3.- Minimax (también llamado de arrepentimiento)4.- Realismo

Bajo condiciones de riesgo: Existe mas de un estado de la naturaleza y se conoce lo suficiente para poder asignar probabilidades de ocurrencia a cada uno de los estados posibles.

En ambiente de este tipo, son utilizados tres criterios para la toma de decisiones:

1.- Valor esperado.2.- Racionalidad.3.- Máxima verosimilitud.

EJEMPLO1: TOMA DE DECISIONES BAJO CONDICIONES DE CERTEZA. Se piensa organizar una tardeada de fin de cursos y se tienen las opciones de:

1.- Contratar un sonido.2.- Contratar un grupo musical.3.- Contratar la presentación de un grupo de imitadores.

Se sabe también que para cualquiera de las tres opciones se garantiza un cupo lleno, las utilidades obtenidas para cada una de las alternativas se indican a continuación:

¿ Qué decisión tomaría?

SOLUCIÓN:

Se tomaría la alternativa de contratar un sonido, ya que es la opción que

proporciona una mayor utilidad bajo la condición de un solo estado de la

naturaleza (cupo lleno).

EJEMPLO 2: TOMA DE DESICIONES BAJO CONDICIONES DE

INCERTIDUMBRE

Para la próxima temporada invernal, la fábrica textil "TELAS RECOMIENDO"

desea determinar que producto sacar al mercado, con la finalidad de satisfacer

la demanda creciente de ropa invernal.

A continuación se analizan las tres fases para el problema anterior:

FASE 1: Las alternativas que el fabricante tiene para satisfacer la demanda son:

a).- Fabricar abrigos

b).- Fabricar sweters

c).- Fabricar cazadoras

FASE 2: Los eventos futuros que pueden ocurrir (estados de la naturaleza) con

respecto a la demanda son:

a).- Demanda alta

b).- Demanda media

c).- Demanda bajad).- Demanda nula

FASE 3: La tabla de beneficios estimados es la siguiente:

SOLUCION USANDO LOS CUATRO CRITERIOS.

Criterio maximax . Es un criterio optimista, el cual indica seleccionar el

máximo de los máximos. Para el ejemplo se selecciona el máximo de cada

alternativa (500, 700, 300) y de estos se selecciona el máximo (700) . La

decisión usando este criterio es "fabricar sweters"

Criterio maximín. Este es un criterio pesimista, el cual indica el valor máximo

de los mínimos. Para el ejemplo se seleccionan los valores mínimos de cada

alternativa (-450, -800, -100) y de estos se selecciona el máximo (-100). La

decisión usando este criterio es "fabricar cazadoras"

Criterio mínimax. Este criterio es también conocido como arrepentimiento. Es

necesario construír una nueva tabla conocida precisamente con ese nombre

"tabla de arrepentimiento". Es necesario suponer que en un momento

conocemos cuales serán los estados de la naturaleza y que podemos

arrepentirnos de la decisión ya tomada con anterioridad, así pues, si tomamos la

decisión de fabricar abrigos ganamos $500 si se presenta una demanda alta,

pero si hubieramos sabido que la demanda sería alta, hubiéramos tomado la

decisión de fabricar sweters con una utilidad de $700 en lugar de $500, por lo

cual nuestro arrepentimiento es de $200 lo cual significa que dejamos de ganar

$200 por no haber tomado económicamente la mejor decisión, o en el caso de

pérdidas significa lo que se pierde demás por no haber tomado

económicamente la mejor decisión como se muestra en la siguiente tabla:

Valor mínimo.

Una vez de terminada la tabla de arrepentimiento se selecciona el valor máximo de cada

alternativa (350, 700, 400) y se escoge el valor mínimo de éstos (350) por lo cuál la decisión

sería "fabricar abrigos".

Criterio del realismo. Sin duda el criterio más flexible ya que puede transformarse en un

criterio optimista, pesimista o intermedio de acuerdo al valor que le demos al coeficiente o

índice de optimismo (a)

Usado en la siguiente relación :

Ri = Valor del realismo para la alternativa i = a (beneficio máximo) + (1- a ) (beneficio

mínimo)

Para el ejemplo tendríamos los siguientes valores con a = 0.7

R1 = 0.7 (500) + 0.3 (-450) = $125

R2 = 0.7 (700) + 0.3 (-800) = $250

R3 = 0.7 (300) + 0.3 (-100) = $180

La decisión será en función del valor mayor de Ri por lo cual para este caso la decisión es "fabricar

sweters" con una utilidad estimada de $250.

EJEMPLO3: TOMA DE DESICIONES BAJO CONDICIONES DE RIESGO

Considere que un distribuidor de artículos de NAVIDAD desea determinar el número óptimo

de árboles que debe pedir para esa temporada si dispone de los siguientes datos:

- Paga $20.00 por cada árbol y lo vende en $60.00

- Entrega todos los árboles que vende y paga $5.00 de comisión por cada uno

que es entregado antes de la temporada.

- Si le sobran árboles al final de la temporada puede venderlos para leña a

$5.00 cada uno.

SOLUCIÓN:

El vendedor tiene seis alternativas a seguir.

UX,Z = Utilidad obtenida si se pierden x árboles y se tiene una demanda z

Definiendo variables:

x = cantidad ordenada

z = nivel de la demanda

Casos posibles de presentar

1.- Que la cantidad ordenada sea igual a la cantidad demandada. x = z

2.- Que la cantidad ordenada sea menor a la cantidad demandada. x < z

3.- Que la cantidad ordenada sea mayor a la cantidad demandada. x > z

Para cada caso se obtiene una relación en función de la variable X (cantidad

ordenada). Aplicando estas relaciones se calculan los siguientes resultados en

la tabla:

El valor esperado se calcula mediante la fórmula siguiente:

E (z) = Zip (z)

i = j = 1,2,…6

La cantidad recomendada a pedir será aquella donde obtenemos el mayor valor

esperado, en este caso x = 4.

Por lo tanto, según el criterio de valor esperado, se recomienda pedir 4 árboles

con una utilidad promedio de $10.75.

ANÁLISIS MARGINAL PARA LA TOMA DE DECISIONES

Cuando al número de alternativas crece, la matriz de utilidades también crece y

el número de cálculos aumenta considerablemente, haciendo difícil el

procedimiento mediante el criterio de valor esperado, en su lugar puede usarse

como método alternativo el "análisis marginal".

La simbología utilizada y su significado es la siguiente:

UM = Utilidad obtenida por vender una unidad adicional.

PM = Pérdida obtenida por almacenar una unidad que no es vendida.

p = Es la probabilidad mínima requerida de vender al menos una unidad

adicional para justificar el almacenamiento de dicha unidad.

DEDUCCIÓN DE FÓRMULA:

La deducción se da a partir del siguiente razonamiento lógico:

Se debe pedir una unidad adicional solo que:

UTILIDAD MARGINAL ESPERADA >= PÉRDIDA MARGINAL ESPERADA

p (UM) ³ (1-p) (PM)

p (UM) ³ PM-p (PM)

p (UM) + p (PM) ³ PM

p (UM+PM) ³ PM

Definiendo:

p = Probabilidad de vender una unidad adicional.

1-p = Probabilidad de no vender una unidad adicional.

APLICACIÓN AL EJEMPLO 3 (ÁRBOLES DE NAVIDAD):

UM = 60 - 20 - 5 = 35

60 Lo que se obtiene de la venta de una unidad adicional.

-20 Lo que se paga por la compra de una unidad adicional.

-5 Lo que se paga de comisión por la venta de una unidad adicional.

PM = 20 - 5 = 15

20 Lo que se paga por la compra de una unidad adicional.

5 Lo que se recupera como valor de salvamento de una unidad que no es

vendida durante la temporada.

El valor de p = 0.30 es el valor de referencia para el análisis marginal en la

siguiente tabla de probabilidades acumulativas.

Se analiza el pedir 1 unidad, ésta se pide si p( z ³ i) ³ 30, lo cual ocurre para este

caso en que p( z ³ i ) = 1. Se analiza el pedir 2 unidades, lo cual ocurre ya que p(

z ³ i ) = 0.95

Se continua el análisis incrementando una unidad a la vez mientras se cumpla

la condición, lo cual ocurre hasta i = 4 donde p( z ³ i ) = 0.60 ya que en i = 5 ,

p( z ³ i) = 0.20 ya no cumple la condición, por lo cual se decide pedir 4 árboles.

EJEMPLO 4: El señor Juan Manzanero es un comerciante de frutas y verduras,

y quiere saber cuántos kilogramos de durazno debe comprar hoy para la venta

del día de mañana. Se cuenta con la información de ventas de los últimos 90

días, tal como se muestra en la siguiente tabla:

Juan compra el kilogramo de durazno a $3.00 y lo vende a $8.00, el producto no

tiene ningún valor después del primer día en que se ofrece a la venta.

El planteamiento es similar al mostrado en el ejemplo 3.

MATRIZ DE UTILIDADES CONDICIONALES

Según el criterio de valor esperado, la decisión es comprar 12 kg.

UTILIDAD ESPERADA CON INFORMACIÓN PERFECTA

(U.E.I.P.)

En este caso se considera que se conoce a la perfección la cantidad

demandada, esto es, si se sabe que la demanda será de 10, solo se pedirán 10,

si se sabe que la demanda será de 11, solo se pedirán 11 y así sucesivamente.

Observe que es el caso en que X=Z, por lo tanto la utilidad esperada será:

50(0.20)+55(0.40)+60(0.30)+65(0.10) = $56.5

La cuál se conoce como "utilidad esperada con información perfecta". Esta

utilidad es la máxima que se puede obtener con información perfecta.

El Problema del CarpinteroDurante un par de sesiones de tormenta de ideas con un carpintero (nuestro cliente), éste nos comunica que sólo fabrica mesas y sillas y que vende todas

las mesas y las sillas que fabrica en un mercado. Sin embargo, no tiene un ingreso estable y desea optimizar esta situación. El objetivo es determinar cuántas mesas y sillas debería fabricar para maximizar sus ingresos netos. Comenzamos concentrándonos en un horizonte de tiempo, es decir, un plazo de planificación, , para revisar nuestra solución semanalmente, si fuera necesario. Para saber más acerca de este problema, debemos ir al negocio del carpintero y observar lo que sucede y medir lo que necesitamos para para formular (para crear un modelo de) su problema. Debemos confirmar que su objetivo es maximizar sus ingresos netos. Debemos comunicarnos con el cliente. El problema del carpintero se trata de determinar cuántas mesas y sillas debe fabricar por semana; pero primero se debe establecer una función objetivo La función objetivo es: 5X1 + 3X2, donde X1 y X2 representan la cantidad de mesas y sillas; y 5 y 3 representan los ingresos netos (por ejemplo, en dólares o décimas de dólares) de la venta de una mesa y una silla, respectivamente. Los factores limitantes, que normalmente provienen del exterior, son las limitaciones de la mano de obra (esta limitación proviene de la familia del carpintero) y los recursos de materia prima (esta limitación proviene de la entrega programada). Se miden los tiempos de producción requeridos para una mesa y una silla en distintos momentos del día y se calculan en 2 horas y 1 hora, respectivamente. Las horas laborales totales por semana son sólo 40. La materia prima requerida para una mesa y una silla es de 1 y 2 unidades, respectivamente. El abastecimiento total de materia prima es de 50 unidades por semana. En consecuencia, la formulación de PL es la siguiente: Maximizar 5 X1 + 3 X2 Sujeta a:2 X1 + X2 40 restricción de mano de obra X1 + 2 X2 50 restricción de materiales tanto X1 como X2 son no negativas. Este es un modelo matemático para el problema del carpintero. Las variables de decisión, es decir, las entradas controlables son X1, y X2. La salida o el resultado de este modelo son los ingresos netos totales 5 X1 + 3 X2. Todas las funciones empleadas en este modelo son lineales (las variables de decisión están elevadas a la primera potencia). El coeficiente de estas restricciones se denomina denomina Factores Tecnológicos (matriz). El período de revisión es de una semana, un período conveniente dentro del cual es menos probable que cambien (fluctúen) las entradas controlables (todos los parámetros tales como 5, 50, 2,..). Incluso en un plazo de planificación tan corto, debemos realizar el análisis what-if o de hipótesis para responder a cualquier cambio en estas entradas a los efectos de controlar el problema, es decir, actualizar la solución prescripta. Nótese que dado que el Carpintero no va a ir a la quiebra al final del plazo de planificación, agregamos las condiciones que tanto X1 como X2 deben ser no negativas en lugar de los requerimientos que X1 y X2 deben ser números enteros positivos. Recuerde que las condiciones de no negatividad también se denominan "restricciones implícitas". Nuevamente, un Programa Lineal funcionaría bien para este problema si el Carpintero continúa fabricando estos productos. Los artículos parciales simplemente se contarían como trabajos en proceso y finalmente se transformarían en productos terminados, en la siguiente semana.

Podemos intentar resolver X1 y X2 enumerando posibles soluciones para cada una y seleccionado el par (X1, X2) que maximice 5X1 + 3X2 (los ingresos netos). Sin embargo, lleva mucho tiempo enumerar todas las alternativas posibles y si no se enumeran todas las alternativas, no podemos estar seguros de que el par seleccionado (como una solución) es la mejor de todas las alternativas. Otras metodologías preferidas (más eficientes y efectivas), conocidas como las Técnicas de Soluciones de Programación Lineal están disponibles en el mercado en más de 4000 paquetes de software de todo el mundo. La solución óptima, es decir, la estrategia óptima, , es establecer X1 = 10 mesas y X2 = 20 sillas. Programamos las actividades semanales del carpintero para que fabrique 10 mesas y 20 sillas. Con esta estrategia (óptima), los ingresos netos son de US$110. Esta . Esta solución prescripta sorprendió al carpintero dado que debido a los mayores ingresos netos provenientes de la venta de una mesa (US$5), el solía fabricar más mesas que sillas. ¿Contratar o no contratar a un ayudante? Supóngase que el carpintero pudiera contratar a un ayudante a un costo de US$2 por hora (adicionales $2) ¿Le conviene al carpintero contratar a un ayudante? En caso afirmativo, ¿por cuántas horas? X3 es la cantidad de horas extra, entonces el problema modificado es: Maximizar 5 X1 + 3 X2 - 2 X3 Sujeta a:2 X1 + X2 40 + X3 restricción de la mano de obra con horas adicionales desconocidas X1 + 2 X2 50 restricción de materiales En esta nueva condición, veremos que la solución óptima es X1 = 50, X2 = 0, X3 = 60, con ingresos netos óptimos de US$130. Por lo tanto, el carpintero debería contratar a un ayudante por 60 horas. ¿Qué pasaría si sólo lo contrata por 40 horas? La respuesta a esta pregunta y a otros tipos de preguntas del estilo "qué pasaría si" (what-if) se estudia en la sección sobre análisis de sensibilidad en este sitio Web. Un Problema de Mezcla

El taller LUBEOIL se especializa en cambios de aceite del motor y regulacion

del sistema electrico. El beneficio por cambio del aceite es $7 y de $15 por

regulación. Joe tiene un cliente fijo con cuya flota, le garantiza 30 cambios de

aceite por semana. Cada cambio de aceite requiere de 20 minutos de trabajo y

$8 de insumos. Una regulación toma una hora de trabajo y gasta $15 en

insumos. LUBEOIL paga a los mecánicos $10 por hora de trabajo y emplea

actualmente a dos de ellos, cada uno de los cuales labora 40 horas por semana.

Las compras de insumos alcanzan un valor de $1.750 semanales. LUBEOIL

desea maximizar el beneficio total. Formule el problema.

Esto es una pregunta de programación linear. Una porción de un

cambio del aceite o del ajuste no es factible.

X1 = Cambios del aceite, ajuste

X2 = Ajuste

Maximizar 7X1 + 15X2 Sujeta a:X1 30 Cuenta De la Flota20X1 + 60X2 4800 De trabajo tiempo 8X1 + 15X2 1750 Primas MateriasX1 0, X2 0. El coste de trabajo de $10 por hora no se requiere para formular el problema desde el beneficio por cambio del aceite y el ajuste toma en la consideración el coste de trabajo.

Supongamos que quiere hallar el peor de varios valores de funciones objetivos definidas con un conjunto común de restricciones en una sola corrida de computación. Como aplicación, supongamos que en el Problema del Carpintero, sin pérdida de generalidad, hay tres mercados con funciones objetivos de 5X1 + 3X2, 7X1 + 2X2, y 4X1 + 4X2, respectivamente. Al carpintero le interesa conocer el peor mercado. Es decir, la solución del siguiente problema: El problema del minimax: Min Max {5X1 + 3X2, 7X1 + 2X2, 4X1 + 4X2} Sujeta a:2 X1 + X2 40X1 + 2 X2 50Y ambos, X1, X2, son no negativos. El Problema del Minimax equivale a: Maximice y Sujeta a:y 5x1 + 3X2y 7X1 + 2X2 y 4X1 + 4X2 2X1 + X2 40X1 + 2X2 50Y todas las variables, X1, X2, y, son no negativas. Si se toman todas las variables a la izquierda de las restricciones y este problema se implementa en el paquete de computación, la solución óptima es X1 = 10, X2 = 20, y = $110. Esto significa que el primero y el segundo mercados son los peores (porque la primera y la segunda restricciones son obligatorias) aportando sólo $110 de utilidad neta.

CONCLUSIONES

Es importante diferenciar el riesgo de la incertidumbre, el primero se presenta cuando no

http://www.investigacion-operaciones.com/#rCarpenterPr

disponemos de la información necesaria como para asociar un evento con un conjunto de

posibles resultados cada uno de los cuales tiene una ocurrencia relativa.

Por otro lado la incertidumbre es una situación donde los posibles resultados de una

acción no se conocen o no es posible vincularlos con probabilidades de ocurrencia.

La medición del riesgo en un proyecto esta asociado con la variabilidad de los beneficios

netos anuales estimados y en consecuencia con la del rendimiento que es posible estimar

a partir de ellos de esta forma para determinar cuan riesgoso es un proyecto es necesario

calcular la desviación estándar del riesgo y del VAN Esperado.

RECOMENDACIONES

Hasta este momento se ha estado suponiendo que las proyecciones de los flujos de caja sobre

los cuales se calculaba la rentabilidad de un proyecto eran totalmente ciertas sin embargo es

bastante improbable ya que cualquiera sea el giro del negocio este tendrá asociado un cierto

grado de éxito, este ultimo se refleja principalmente en la posible variabilidad de los

beneficios netos anuales proyectados las que redundan en una rentabilidad incierta.

Por tanto es necesario tener en cuenta los distintos métodos para la evaluación de proyectos

los cuales se desarrollan a lo largo de estos capítulos

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Capitulo Ix_análisis Bajo Riesgo e Incertidumbre en Proyectos de Inversión