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Exercícios Sears & Zemanski, Young & Freedman Física 10ª Edição Editora Pearson Capítulo 10 Torque e Momento angular Prof. Dr. Cláudio S. Sartori QUESTÕES PARA DISCUSSÃO Q10.1 Ao apertar os parafusos da cabeça do motor de um automóvel, a grandeza critica é o torque aplicado aos parafusos. Por que o torque é mais importante que a força efetiva aplicada sobre o punho da chave de boca? Q10.2 Pode uma única força aplicada a um corpo alterar simultaneamente seu movimento de translação e de rotação? Explique. Q10.3 Suponha que você possa escolher qualquer tipo de roda para o projeto de um carro de competição soapbox (um veículo de quatro rodas sem motor que desce uma encosta a partir do repouso). Seguindo as regras do limite máximo para o peso do carro somado com o peso do competidor, você usaria rodas grandes e pesadas ou rodas pequenas e leves? Você usaria rodas maciças ou rodas ocas com a massa concentrada em um aro na periferia da roda? Explique. Q10.4 A menos que r e F sejam ortogonais, existem sempre dois ângulos entre estas forças que fornecem o mesmo torque para valores fixos dos módulos de r e F . Explique por que. Ilustre sua resposta com um desenho. Q10.5 O eixo da manivela do motor de um automóvel possui uma roda para aumentar o momento de inércia em torno do eixo de rotação. Por que isso e desejável? Q10.6 Quanto mais fortemente você pisar no freio enquanto o carro se desloca para a frente, mais para baixo a parte dianteira do carro se move (e a parle traseira se move mais para cima). Por que? O que ocorre durante a aceleração? Por que os carros de corrida do tipo dragster não usam apenas direção nas rodas dianteiras? Q10.7 Quando unia acrobata anda sobre uma corda esticada, ela abre e estende seus braços lateralmente. Ela faz isso para que seja mais fácil se equilibrar caso tombe para um lado ou para o outro. Explique como isso funciona. {Sugestão: Raciocine usando a Equação: 1 N i i I Q10.8 Quando um motor eletrico é acionado, ele leva mais tempo para atingir sua velocidade final quando existe um esmeril ligado ao eixo do motor. Por quê? Q10.9 Sem quebrar a casca do ovo, um cozinheiro experiente pode distinguir um ovo natural de outro que já tenha sido cozdo na água fazendo os dois rolarem sobre um plano inclinado (se você Fizer a experiência tome cuidado para segurar os ovos na base do plano). Como isso ê possível ? O que se espera concluir ? Q10.10 Quando um esmeril elétrico e desligado, a roda do esmeril leva cerca de um minuto ale parar. Quando uma furadeira elêtrica ê desligada, a broca leva apenas alguns segundos ate parar. Explique a razão dessa diferença. Q10.11 Sobre o martelo indicado na Figura l atua a força da gravidade, e sabemos que uma torça produz um torque que faz a velocidade angular de um corpo mudar. Como, então, explicar que a velocidade angular do martelo dessa Figura permanece constante ? Figura 1 Q10.12 Suponha que você puxe o Fio da figura 2 para cima. A energia mecânica seria conservada nesse caso ? Explique por quê. Figura 2 Q10.13 Uma roda eslá rolando sem deslizamento sobre uma superfície horizontal. Em um sistema de referência inercial no qual a superfície está cm repouso, existe algum ponto sobre a roda que possua uma velocidade puramente vertical ? Existe algum ponto sobre a roda que possua velocidade com um componente horizontal com sentido oposto ao da velocidade do centro de massa? Explique. Caso a roda deslize durante o giro, suas respostas semodificam ? Explique. Q10.14 Parte da energia cinética da rotação de um automóvel em movimento esta em suas rodas. Quando você aplica fortemente os freios em uma rua com gelo, as rodas ficam "bloqueadas", e o carro começa a deslizar. O que ocorre com a energia cinética da rotação ? Q10.15 Você está em pé no centro de um carrossel horizonlal que gira em um parque de diversões. O carrossel gira sobre apoios sem atrito, e sua rotação é livre (ou seja, não existe nenhum motor fazendo o carrossel girar). Quando você caminha até a periferia do carrossel, diga o que ocorre com o momento angular total do sistema constituído por você junto com o carrossel. O que ocorre com a velocidade angular do carrossel ? Explique suas respostas. Q10.16 Uma partícula descreve um movimento circular uniforme. Em relação a uma origem no centro do círculo, existe um torque resultante atuando sobre a partícula ? Uma força resultante ? O que ocorreria se a velocidade da partícula estivesse variando ? Explique sua resposta em cada caso. Q10.17 Uma partícula se move em linha reta

Capitulo10 Sears Exercicios Gabarito

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Exercícios – Sears & Zemanski, Young & Freedman – Física – 10ª Edição – Editora Pearson

Capítulo 10 – Torque e Momento angular

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori

QUESTÕES PARA DISCUSSÃO

Q10.1 Ao apertar os parafusos da cabeça do motor de

um automóvel, a grandeza critica é o torque aplicado aos

parafusos. Por que o torque é mais importante que a força

efetiva aplicada sobre o punho da chave de boca?

Q10.2 Pode uma única força aplicada a um corpo

alterar simultaneamente seu movimento de translação e de

rotação? Explique.

Q10.3 Suponha que você possa escolher qualquer tipo

de roda para o projeto de um carro de competição soapbox (um

veículo de quatro rodas sem motor que desce uma encosta a

partir do repouso). Seguindo as regras do limite máximo para o

peso do carro somado com o peso do competidor, você usaria

rodas grandes e pesadas ou rodas pequenas e leves? Você

usaria rodas maciças ou rodas ocas com a massa concentrada

em um aro na periferia da roda? Explique.

Q10.4 A menos que r

e F

sejam ortogonais,

existem sempre dois ângulos entre estas forças que fornecem o

mesmo torque para valores fixos dos módulos de r

e F

.

Explique por que. Ilustre sua resposta com um desenho.

Q10.5 O eixo da manivela do motor de um automóvel

possui uma roda para aumentar o momento de inércia em torno

do eixo de rotação. Por que isso e desejável?

Q10.6 Quanto mais fortemente você pisar no freio

enquanto o carro se desloca para a frente, mais para baixo a

parte dianteira do carro se move (e a parle traseira se move

mais para cima). Por que? O que ocorre durante a aceleração?

Por que os carros de corrida do tipo dragster não usam apenas

direção nas rodas dianteiras?

Q10.7 Quando unia acrobata anda sobre uma corda

esticada, ela abre e estende seus braços lateralmente. Ela faz

isso para que seja mais fácil se equilibrar caso tombe para um

lado ou para o outro. Explique como isso funciona. {Sugestão:

Raciocine usando a Equação:

1

N

i

i

I

Q10.8 Quando um motor eletrico é acionado, ele leva

mais tempo para atingir sua velocidade final quando existe um

esmeril ligado ao eixo do motor. Por quê?

Q10.9 Sem quebrar a casca do ovo, um cozinheiro

experiente pode distinguir um ovo natural de outro que já tenha

sido cozdo na água fazendo os dois rolarem sobre um plano

inclinado (se você Fizer a experiência tome cuidado para

segurar os ovos na base do plano). Como isso ê possível ? O

que se espera concluir ?

Q10.10 Quando um esmeril elétrico e desligado, a

roda do esmeril leva cerca de um minuto ale parar. Quando

uma furadeira elêtrica ê desligada, a broca leva apenas alguns

segundos ate parar. Explique a razão dessa diferença.

Q10.11 Sobre o martelo indicado na Figura l atua a

força da gravidade, e sabemos que uma torça produz um torque

que faz a velocidade angular de um corpo mudar. Como,

então, explicar que a velocidade angular do martelo dessa

Figura permanece constante ?

Figura 1

Q10.12 Suponha que você puxe o Fio da figura 2

para cima. A energia mecânica seria conservada nesse

caso ? Explique por quê.

Figura 2

Q10.13 Uma roda eslá rolando sem deslizamento

sobre uma superfície horizontal. Em um sistema de

referência inercial no qual a superfície está cm repouso,

existe algum ponto sobre a roda que possua uma

velocidade puramente vertical ? Existe algum ponto sobre

a roda que possua velocidade com um componente

horizontal com sentido oposto ao da velocidade do centro

de massa? Explique. Caso a roda deslize durante o giro,

suas respostas semodificam ? Explique.

Q10.14 Parte da energia cinética da rotação de

um automóvel em movimento esta em suas rodas. Quando

você aplica fortemente os freios em uma rua com gelo, as

rodas ficam "bloqueadas", e o carro começa a deslizar. O

que ocorre com a energia cinética da rotação ?

Q10.15 Você está em pé no centro de um

carrossel horizonlal que gira em um parque de diversões.

O carrossel gira sobre apoios sem atrito, e sua rotação é

livre (ou seja, não existe nenhum motor fazendo o

carrossel girar). Quando você caminha até a periferia do

carrossel, diga o que ocorre com o momento angular total

do sistema constituído por você junto com o carrossel. O

que ocorre com a velocidade angular do carrossel ?

Explique suas respostas.

Q10.16 Uma partícula descreve um movimento

circular uniforme. Em relação a uma origem no centro do

círculo, existe um torque resultante atuando sobre a

partícula ? Uma força resultante ? O que ocorreria se a

velocidade da partícula estivesse variando ? Explique sua

resposta em cada caso.

Q10.17 Uma partícula se move em linha reta

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Capítulo 10 – Torque e Momento angular

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori

com velocidade constante e a distância entre a reta e a origem é

igual a l. Em relação à origem, o momento linear da partícula é

igual a zero ou diferente de zero ? A medida que a partícula se

desloca ao longo da rela seu momento angular em relação à

origem varia ?

Q10.18 No Exemplo 10.13 (Seção 10.7) a velocidade

angular varia e isto deve significar que existe uma aceleração

angular diferente de zero. Porém não existe nenhum torque em

torno do eixo de rotação quando as forças que o professor

aplica sobre os pesos estão orientadas radialmente para dentro.

Então pela Equação:

1

N

i

i

I

deve ser igual a zero. Explique o que existe de errado nesse

raciocínio que conduziu a uma contradição aparente.

Q10.19 No exemplo 10.13 (Seção 10.7) a energia

cinética do professor junto com os halteres aumenta. Contudo,

como não existem torques externos, não existe nenhum

trabalho capaz de alterar a energia cinética da rotação. Então,

pela Equação (10.25) a energia cinética deve permanecer

constante! Explique o que existe de errado nesse raciocínio que

conduziu a uma contradição aparente. De onde vem a energia

cinética extra?

Q10.20 Conforme discutimos na Seção 10.7, o

momento angular de uma acrobata no circo se conserva à

medida que ela se move através do ar. Seu momento linear se

conserva? Explique sua resposta.

Q10.21 Quando você segura durante um intervalo

mínimo de tempo um ovo fresco que está girando e a seguir o

liberta, o ovo começa a girar novamente. Quando você repete a

experiência com um ovo cozido, ele permanece parado.

Experimente fazer isso. Explique.

Q10.22 Um helicóptero possui um rolor grande

principal que gira em um plano horizonlal e ocasiona a força de

sustentação. Existe também um rotor pequeno na traseira do

helicóptero que gira em um plano vertical. Qual é a finalidade

do rotor traseiro ? (Sugestão: Caso não existisse o rotor

traseiro, o que ocorreria quando o piloto fizesse variar a

velocidade angular do rotor principal ?) Alguns helicópteros

não possuem rotor traseiro, mas possuem dois rotores

principais grandes que giram em um plano horizontal. Por que

é importante que esses rotores girem em sentidos contrários ?

Q10.23 Em um projcto comum de giroscópio, o

volante que gira e o eixo do volante permanecem no interior de

uma estrutura leve e esférica, com o volante no centro da

estrutura. O giroscópio é a seguir equilibrado no topo de um

pivô de modo que o volante fique direlamcntc acima do pivô. O

giroscópio realiza precessão quando ele é libertado enquanto o

volante está girando ? Explique.

Q10.24 Um giroscópio leva 3.8 s para fazer uma

precessão de l.0 revolução em torno de um eixo vertical. Dois

minutos depois ele leva 1.0 s para fazer uma precessão de 1.0

revolução. Ninguém tocou no giroscópio. Explique o que

ocorreu.

Q10.25 Um giroscópio realiza um movimento de

precessão como indicado na Figura 3. O que ocorrerá se

você colocar suavemente algum peso em um ponto o mais

afastado possível do pivô. ou seja. na extremidade do eixo

do volante?

Figura 3

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Capítulo 10 – Torque e Momento angular

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Exercícios

Seção 10.2 – Torque

10.1 Calcule o torque (módulo, direção e sentido) em

torno de um ponto O de uma força F

em cada uma das

situações esquematizadas na Figura 4. Em cada caso, a força

F

e a barra estão no plano da página, o comprimento da barra

é igual a 4.00 m e a força possui módulo de valor F = 10.0 N.

Figura 4

10.2 Calcule o torque resultante em torno de um ponto

O para as duas forças aplicadas mostradas na Figura 5.

Figura 5

10.3 Uma placa metálica quadrda de lado igual a

0.180 m possui o eixo pivotado perpendicularmente ao plano

da página passando pelo seu centro O (Figura 6). Calcule o

torque resultante em torno desse eixo produzido pelas três

forças mostradas na figura, sabendo que F1 = 18.0 N, F2 = 26.0

N e F3 = 14.0 N. O plano da placa e de todas as forças é o

plano da página.

Figura 6

10.4 As forças F1 = 7.50 N e F2 = 5.30 N são

aplicadas tangencialmente a uma roda com raio igual a

0.330 m, conforme mostra a figura 7. Qual é o torque

resultante da roda produzido por estas duas forças em

relação a um eixo perpendicular à roda passando através

de seu centro? Resolva o caso (b).

Figura 7 (a)

(b)

10.5 Uma força atuando sobre uma parte de uma

máquina é dada pela expressão:

ˆ ˆ5.00 4.00F N i N j

O vetor da origem ao ponto onde a força é

aplicada e dado por:

ˆ ˆ0.45 0.15r m i m j

(a) Faça um diagrama mostrando r

F

e a

origem.

(b) Use a regra da mão direita para determinar a

direção e o sentido do torque.

(c) Determine algebricamente o vetor torque

produzido por essa torça. Verifique se a direção e o

sentido do torque são iguais aos obtidos no item (b).

Figura 8 - Regra da mão direita.

SEÇÃO 10.3

TORQUE E ACELERAÇÃO

ANGULAR DE UM CORPO RÍGIDO

10.6 O volante de uma certa máquina possui momento de

inércia igual a 2.50 kg.m2 em tomo do seu eixo de

rotação,

(a) Qual é o torque constante necessário para

que, partindo do repouso, sua velocidade angular atinja o

valor de 400 rev/min em 8.00 s ?

(b) Qual é sua energia cinética final ?

10.7 Usando o valor de a calculado no Exemplo

10.2 (Seção 10.3), qual é o valor da velocidade do cabo

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Capítulo 10 – Torque e Momento angular

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depois que ele foi puxado 2,0 m? Compare seu resultado com o

obtido no Exemplo 9.8 (Seção 9.5).

10.8 Uma corda é enrolada em torno da periferia de

uma roda de raio igual a 0.250 m, e a corda é puxada por uma

força constante de 40.0 N. A corda é montada cm apoios sem

atrito sobre um eixo horizontal que passa em seu centro. O

momento de inércia da roda em torno do eixo é igual a 5.00

kg.m2. Calcule a aceleração angular da roda.

10.9 (a) Calcule o modulo η da força normal para as

situações descritas no Exemplo 10.3 (Seção 10.3).

(b) Sua resposta do item (a) é menor do que, igual a,

ou maior do que o peso total do cilindro junto com a massa (M

+ m).g. Explique como isso ocorre.

(c) Suponha que o cilindro esteja inicialmente girando

no mesmo sentido dos ponteiros do relógio de modo que a

massa suspensa m suspensa esteja inicialmente se movendo

para cima com velocidade escalar v0 (o cabo permanece

esticado). Qual e o efeito que isso produz sobre a tensão T e

sobre a força normal η. Explique.

10.10 (a) Na situação descrita no Exemplo 10.2 da

Seção 10.3 (Figura 9), a torça normal η exercida sobre o

cilindro pelo mancal está orientada para cima e para a

esquerda. Explique a razão da força normal possuir essa

direção.

(b) Determine o modulo, a direção e o sentido de η.

Figura 9

10.11 Um esmeril em forma de disco sólido com

diâmetro de 0.520 m e massa de 50.0 kg gira a 850 rev/min.

Você pressiona um machado contra sua periferia com uma

torça normal de 160 N (Figura 10) e o esmeril atinge o repouso

em 7.50 s. Ache o coeficiente de atrito entre o machado e o

esmeril. Despreze o atrito nos mancais.

Figura 10.

10.12 Um balde com água de 15.0 kg é suspenso por

uma corda enrolada em torno de um sarilho, constituído por

um cilindro sólido com diâmetro de 0.300 m e massa igual a

12.0 kg. O cilindro e pivotado sobre um eixo sem atrito

passando em seu centro. O balde é libertado a partir do

repouso no topo de um poço e cai 10.0 m até atingir a

água. Despreze o peso da corda,

(a) Qual e a tensão na corda enquanto o balde

está caindo ?

(b) Com que velocidade o balde atinge a água ?

(c) Qual é o tempo de queda ?

(d) Enquanto o balde está caindo, qual e a força

exercida pelo eixo sobre o cilindro ?

10.13 Um livro de 2.00 kg está em repouso sobre

uma superfície horizontal sem atrito. Uma corda

amarrada ao livro passa sobre uma polia com diâmetro

igual a 0.150 m e sua outra extremidade está presa a

outro livro suspenso com massa de 3.00 kg. O sistema e

solto a partir do repouso e os livros se deslocam 1.20m

em 0.800 s.

(a) Qual é a tensão em cada parte da corda ?

(b) Qual e o momento de inércia da polia em

torno do seu eixo de rotação?

10.14 Uma barra horizontal fina de comprimento

L e massa M é articulada em torno de um eixo vertical

passando em sua extremidade. Uma força com módulo

constante F é aplicada à outra extremidade, fazendo a

barra girar em um plano horizontal. A força é mantida

perpendicularmente á barra e ao eixo da rotação. Calcule

o módulo da aceleração angular da barra.

SECAO 10.4 ROTAÇÃO DE UM CORPO

RÍGIDO EM TORNO DE UM EIXO

MÓVEL

10.15 Um fio é enrolado diversas vêzes em torno da

periferia de um pequeno aro de raio 0.0800 m e massa

0.180 kg. Se a extremidade livre do rio e mantida Fixa e o

aro é libertado a partir do repouso (Figura 11), calcule:

(a) a tensão no fio enquanto o aro desce à medida

que o fio se desenrola;

(b) o tempo que o aro leva para descer 0.750;

(c) a velocidade angular do aro no momento em que

ele desceu 0.750 m.

Figura 11.

10.16 Repita a parte (c) do Exercício 10.15

usando desta vez considerações de energia.

10.17 No Exemplo 10.5 (Seção 10.4)

verificamos que para uma casca cilíndrica oca rolando

sem deslizar sobre uma superfície horizontal, metade da

energia cinética total e translacional e a outra metade e

relacional. Determine que tração da energia cinética total

e dada pela parte relacional no case do rolamento sem

desilizamento dos seguintes objetos:

(a) um cilindro maciço homogêneo;

(b) uma esfera maciça homogênea;

(c) uma casca esférica,

(d) um cilindre eco cem raio externo K e raio

Exercícios – Sears & Zemanski, Young & Freedman – Física – 10ª Edição – Editora Pearson

Capítulo 10 – Torque e Momento angular

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interno R/2.

10.18 Uma casca esférica de massa igual a 2.00 kg

rola sem deslizar ao longo de um plano inclinado de 38°.

(a) Ache a aceleração, a força de atrito e e

coeficiente de atrito mínimo necessário para impedir o

deslizamenlo.

(b) Como suas respostas do item (a) seriam

alteradas caso a massa fosse dobrada para 4.00 kg ?

10.19 Uma roda de 392 N sai do eixo de um caminhão

em movimento e rola sem deslizar ao longo de uma estrada

inclinada. Na base de um morro ela está girando a 25.0 rad/s. O

raio da roda é igual a 0.600 m e seu momento de inércia em

tomo do eixo de rotação é igual a 0.800MR2 . O atrito realiza

trabalho sobre a roda a medida que ela sobe o morro até parar,

a uma altura h acima da base do morro: esse trabalho possui

módulo igual a 3500 J. Calcule h.

10.20 Uma bola subindo uma inclinação. Uma bola

de boliche rola sem deslizar para cima de uma rampa inclinada

de um angulo com a horizontal. (Veja o Exemplo 10.9 na

Seçao 10.4.) Considere a bola uma esfera homogênea e ignore

os seus orifícios.

(a) Faça um diagrama do corpo livre para a bola.

Explique por que a torça de atrito deve possuir sentido para

cima.

(b) Qual e a aceleração do centro de massa da bola?

(c) Qual deve ser o coeficiente de atrito estático

mínimo para impedir o deslizamenlo ?

SECAO 10.5 TRABALHO E POTÊNCIA NO

MOVIMENTO DE ROTAÇÃO

10.21 Um carrossel de um parque de diversões possui raio

de 2.40 m e momento de inércia igual a 2100 kg.m2 em torno

de um eixo vertical passando em seu centro e gira com atrito

desprezível.

(a) Uma criança aplica uma força de 18.0 N tangencialmente a

periferia do carrossel durante 15.0 s. Se o carrossel está

inicialmente em repouso, qual é sua velocidade angular depois

deste instante de tempo de 15.0 s?

(b) Qual é o trabalho realizado pela criança sobre o

carrossel?

(c) Qual é a potência média fornecida pela criança.?

10.22 O Exemplo 9.5 (Seção 9.4) descreve o projeto

da hélice propulsora de um avião. O motor fornece l.305.105 W

para a hélice a uma rotação de 2400 rev/min.

(a) Qual é o torque fornecido pelo motor do avião?

(b) Qual é o trabalho realizado pelo motor em uma

revolução da hélice?

10.23 A roda de um esmeril de 1.50 kg possui forma

cilíndrica com raio igual a 0.100 m.

(a) Qual deve ser o Iorque constante capaz de levá-lo

do repouso a uma revolução angular de 1200 rev/min em 2.5 s?

(b) Que ângulo ele girou durante esse intervalo de

tempo?

(c) Use a Equação ( 10.24) para calcular o trabalho

realizado pelo torque,

(d) Qual é a energia cinética do esmeril quando ele

está girando a 1200 rev/min? Compare sua resposta com o

resultado do item (c).

10.24 Qual e a potência em watts de um motor

elétrico que gira a 4800 rev/min e desenvolve um torque

de 4.30 N.m?

10.25 As extremidades dos dentes de carboneto

de uma serra circular estão situadas a uma distância de 8.6

cm do eixo de rotação,

(a) Quando a serra não está cortando nenhum

objeto, sua velocidade angular é de 4800 rev/min. Por que

sua potência é desprezível quando ela não está cortando

nenhum objelo?

(b) Quando ela está cortando tábuas, sua

velocidade angular se reduz para 2400 rev/min e a

potência de saída é igual a 1.417 kW. Qual e a força

tangencial que a madeira exerce sobre as extremidades

dos dentes de carboneto?

10.26 A hélice propulsora de um avião possui

comprimento de 2.08 m (de uma extremidade a outra) e

sua massa é de 117 kg. Logo no início do funcionamento

do motor, ele aplica um torque de 1950 N.m na hélice,

que começa a se mover a partir do repouso,

(a) Qual é a aceleração angular da hélice?

Considere a hélice como uma barra fina. {Sugestão: Veja

a Tabela 9.2.}

(b) Qual e a velocidade angular da hélice

propulsora quando ela atinge 5.00 rev ?

(c) Qual e o trabalho realizado pelo motor

durante

as 5,00 rev iniciais ?

(d) Qual é a potência média fornecida pela

máquina durante as 5.00 rev iniciais ?

(e) Qual é a potência instantânea do motor no

instante em que a hélice propulsora completa essas 5.00

rev ?

10.27 (a) Calcule o torque desenvolvido por um

motor industrial com potência de 150 kW para uma

velocidade angular de 4000 rev/min.

(b) Um tambor de massa desprezível com

diâmetro igual a 0.400 m é ligado ao eixo do motor e a

potência disponível do motor e usada para elevar um peso

pendurado em uma corda enrolada em torno do tambor.

Qual é o peso máximo que pode ser elevado com

velocidade constante ?

(c) Com que velocidade constante o peso sobe?

SEÇÃO 10.6 MOMENTO ANGULAR

10.28 Uma mulher com massa de 50 kg está em pé

sobre a periferia de um grande disco que gira com 0.50

rev/s em torno de um eixo que passa através do seu

centro.

possui massa de l IO kg e i aio igual a 4,0 m. Calcule o

modulo do momento angular total do sistema mulher-

disco. (Suponha que a mulher possa ser tratada como um

ponto.)

10.29 Uma pedra de 2.00 kg possui uma

velocidade horizontal com modulo de 12.0 m/s quando

esta no ponto P na Figura 10.40.

(a) Nesse instante, qual é o modulo, a direção e o

sentido do seu momento angular em relação ao ponto O ?

Exercícios – Sears & Zemanski, Young & Freedman – Física – 10ª Edição – Editora Pearson

Capítulo 10 – Torque e Momento angular

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(b) Caso a única força que atue sobre a pedra seja seu

peso, qual é a taxa de variação (módulo, direção e sentido) do

momento angular nesse instante ?

10.30 (a) Calcule o modulo do momento angular da

Terra considerando-a uma partícula que descreve urna órbita

em volta do Sol. A massa da Terra é igual a 5.97.1024

kg.

Suponha que ela descreva um movimento circular uniforme

com raio de 1.50.1011

m e que sua velocidade escalar orbital

seja de 2.9.104 m/s².

(b) Calcule o modulo do momento angular da Terra

devido a sua rotação em torno do eixo que liga o Pólo Norte

com o Pólo Sul. Considere a Terra uma esfera maciça e

homogénea de raio 6.38.106 m que completa uma revolução em

24.0 horas.

Figura 12.

10.31 Ache o módulo do momento angular do

ponteiro dos segundos de um relógio em torno do eixo que

passa pelo centro de massa da lace frontal do relógio. Esse

ponteiro do relógio possui comprimento de 15.0 cm e massa de

6.00 g. Considere-o uma barra delgada girando com velocidade

angular constante em torno de uma de suas extremidades.

SECAO 10.7 CONSERVAÇÃO 00 MOMENTO

ANGULAR

10.32 Sob determinadas circunstâncias, uma estrela

pode sofrer um colapso e se transformar em um objeto

extremamente denso, constituído principalmente por nêutrons e

chamado estrela de nêutrons. A densidade de uma estrela de

nêutrons é aproximadamente 1014

vêzes maior do que a da

matéria comum. Suponha que a estrela seja uma esfera maciça

e homogênea antes e depois do colapso. O raio inicial da estrela

era de 7.0.105

km (comparável com o raio do Sol): seu raio

final e igual a 16 km. Supondo que a estrela original

completava um giro em 30 dias, ache a velocidade angular da

estrela de nêutrons.

10.33 Um pequeno bloco apoiado sobre uma mesa

horizonlal sem atrito possui massa de 0.0250 kg. Ele está preso

a uma corda sem massa que passa através de um buraco na

superfície (Figura 13). No início o bloco está girando a uma

distância de 0.300 m do buraco com uma velocidade angular de

1.75 rad/s. A seguir a corda e puxada por baixo, fazendo com

que o raio do círculo se encurte para 0.150 m. O bloco pode ser

considerado uma partícula,

(a) O momento angular é conservado ?

(b) Qual é a nova velocidade angular ?

(c) Calcule a variação da energia cinética do bloco,

(d) Qual foi o trabalho realizado ao puxar a corda ?

Figura 13.

10.34 Um patinador girando. Podemos

considerar as mãos e os braços esticados para fora de um

patinador que se prepara para girar como uma barra

delgada cujo eixo de giro passa pelo seu centro de

gravidade (Figura 14). Quando suas mãos e braços se

aproximam do corpo e se cruzam em torno do corpo para

executar o giro, as mãos e os braços podem ser

considerados um cilindro oco com parede fina. A massa

total das mãos e dos braços e igual a 8.0 kg. Quando

esticadas para tora, a envergadura é de 1.8 m; quando

torcidas, elas formam um cilindro de raio igual a 25 cm.

O momento de inércia das parles restantes do corpo em

relação ao eixo de rotação é constante e igual a 0,40 kg

m². Se sua velocidade angular inicial é de 0,40 rev/s, qual

é sua velocidade angular final ?

Figura 14.

10.35 Uma mergulhadora pula de um trampolim

com braços estendidos verticalmente para cima e pernas

esticadas para baixo, fornecendo-lhe um momento de

inércia em torno do eixo de rotação igual a 18 kg.m². Ela

então se agacha formando uma pequena bola, fazendo seu

momento de inércia diminuir para 3.6 kg.m². Quando está

agachada ela realiza uma revolução completa em 1.0 s.

Caso ela não se agachasse, quantas revoluções faria no

intervalo de tempo de 1.5 s desde o trampolim até atingir

a água ?

10.36 Uma mesa giratória grande gira em tomo

de um eixo vertical fixo, fazendo uma revolução em 6.00

s. O momento de inércia da mesa giratória em torno desse

eixo é igual a l 200 kg.m² . Uma criança com massa de

40.0 kg, que estava inicialmente em repouso no centro da

mesa. começa a correr ao longo de um raio. Qual é a

velocidade angular da mesa giratória quando a criança

está a uma distância de 2.00 m do centro ? (Suponha que

a criança possa ser considerada uma partícula.)

10.37 Uma mesa giratória grande possui forma

de disco com raio de 2.00 m e massa igual a 120 kg. A

mesa giratória esta inicialmente a 3.00 rad/s em torno de

um eixo vertical que passa em seu centro.

Repentinamente, um pára-quedista pousa suavemente em

um ponto próximo da periferia da mesa.

(a) Ache a velocidade angular da mesa giratória

depois do pouso do pára-quedista. (Suponha que o para-

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Capítulo 10 – Torque e Momento angular

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qucdista possa ser considerado uma partícula.)

(b) Calcule a energia cinética do sistema antes e

depois do pouso do pára-quedista. Por que essas energias

cinéticas são diferentes ?

10.38 Uma porta sólida de madeira com largura de

1.00 m e altura de 2.00 m é articulada em um de seus lados e

possui massa total de 40.0 kg. Inicialmente ela está aberta e em

repouso, a seguir, uma porção de lama pegajosa de massa igual

a 0,500 kg, se deslocando perpendicularmente à porta com

velocidade de 12,0 m/s, colide no centro da porta. Calcule a

velocidade angular final da porta. A lama contribui

significativamente para o momento de inércia?

SEÇÃO 108 GIROSCÓPIOS E PRECESSÃO

10.39 (a) Desenhe uma vista de topo do giroscópio da

Figura 10.29 indicando letras para

, L

e

. Desenhe dL

produzido por

. Desenhe L dL

. Determine o sentido da

precessão examinando as direções e sentidos de L

e L dL

.

(b) Inverta o sentido da velocidade angular do rotor e

repita todas as etapas do item (a).

(c) Mova o pivô para a outra extremidade do eixo.

considerando a mesma direção e mesmo sentido da velocidade

angular de spin como na parte (b) e repita todas as etapas,

(d) Mantendo o pivô como na parte (c), inverta a

velocidade angular de spin do rotor e repita iodas as etapas.

10.40 O rotor (volante) de um giroscópio de brinquedo

possui massa de 0.140 kg. Seu momento de inércia em relação

ao seu eixo é igual a 1.20.104 kg.m². A massa do suporte é de

0.0250 kg. O giroscópio é suportado em um único pivô (Figura

15) e seu centro de massa está situado a uma distância de 4.00

cm do pivô. O giroscópio possui movimento de precessão cm

um plano horizontal completando uma revolução em 2.20 s.

(a) Ache a força de baixo para cima exercida pelo

pivô.

(b) Ache a velocidade angular com a qual o rolor gira

em torno de seu eixo, expressa em rev/min.

(c) Faça um diagrama, desenhando vetores para

mostrar o momento angular do rotor e o torque que atua sobre

ele.

Figura 15.

10.41 Um giroscópio estabilizador, ü giroscópio

esiaimi£íiuui

de um navio é um disco sólido de massa igual a 60.000 kg; seu

raio é igual a 2,00 m, e ele gira em tomo de um eixo vertical

com velocidade angular de 500 rev/min.

(a) Qual é o tempo necessário para ele atingir

essa velocidade, partindo do repouso, com uma potência

de entrada de 7.46 x 10 W?

(b) Ache o Iorque necessário para fazer o eixo

sofrer uma precessão em um plano vertical oscilando com

uma taxa de inclinação de 1.00°/s.

10.42 Um giroscópio possui movimento de

precessão em tomo de um eixo vertical. Descreva o que

ocorre com a velocidade angular de precessão quando são

feitas as seguintes mudanças nas variáveis, mantendo-se

as outras grandezas constantes:

(a) a velocidade angular de spin do volante

dobra;

(b) o peso total dobra.

(c) o momento de inércia em torno do eixo do

volante dobra;

(d) a distância entre o pivô e o centro de

gravidade dobra.

(e) O que ocorreria se todas as quatro variáveis

indicadas nos itens de (a) até (d) dobrassem de valor?

10.43 O período do movimento de precessão da

Terra é de 26.000 anos e o período de sua velocidade

angular de spin é de um dia. Estime o módulo do torque

que produz a precessão da Terra. Você pode usar dados

do Apêndice F. Faça a estimativa supondo

(i) que a Terra seja uma esfera maciça e

homogênea e

(ii) que a precessão da Terra seja semelhante ao

movimento de precessão do giroscópio indicado na Figura

15. Nesse modelo, o eixo de precessão e o eixo de rotação

de spin são perpendiculares. Na verdade, no caso da

Terra, o ângulo entre esses dois eixos é de 23.5°; isso

altera a estimativa do torque de um fator

aproximadamente igual a 2.

PROBLEMAS

10.44 Um esmeril de 55.0 kg é um disco sólido

de diâmetro igual a 0.520 m. Você comprime um

machado sobre a periferia com uma força normal de 160

N (Figura 10). O coeficiente de atrito cinético entre a

lâmina e a pedra do esmeril é igual a 0.60 e existe um

torque do atrito constante igual a 6.50 N.m entre o eixo do

esmeril e seus mancais,

(a) Ache a força que deve ser aplicada

tangencialmente à extremidade do eixo da manivela de

0.500 m de comprimento para acelerar a roda do esmeril

desde zero até 120 rev/min em 9.00 s.

(b) Depois que o esmeril atinge a velocidade de

120 rev/min, qual é a força tangencial que deve ser

aplicada à extremidade da manivela para manter a

velocidade angular constante de 120 rev/min ?

(c) Quanto tempo o esmeril levaria para reduzir

sua velocidade angular de 120 rev/min até zero quando a

única força atuante for apenas a força de atrito nos

mancais ?

10.45 Uma roda de bicicleta experimental está

sob teste, montada em um eixo de modo que ela possa

girar livremente em torno desse seu eixo. Se um torque de

5.00 N.m for aplicado ao pneu durante 2.00 s, a

velocidade angular cresce de zero a 100 rev/min. A seguir

o torque externo é removido, e a roda atinge o repouso em

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125 s pela ação do atrito em seus mancais. Calcule

(a) o momento de inércia da roda em torno do eixo de

rotação;

(b) o torque do atrito;

(c) o número total de revoluções realizadas pela roda

durante o intervalo de tempo de l 25 s.

10.46 Um volante com diâmetro de 0.600 m é

pivotado sobre um eixo horizontal. Uma corda é enrolada na

periferia do volante e puxada com uma força estacionária de

40.0 N. O volante começa a girar a partir do repouso, e um

comprimento da corda igual a 5.00 m é desenrolado em 2.00 s.

(a) Qual é a aceleração angular do volante ?

(b) Qual é a sua velocidade angular final ?

(c) Qual é a sua energia cinética final?

(d) Qual é seu momento de inércia em relação ao

eixo de rotação ?

10.47 Uma roda parte do repouso e gira com

velocidade angular constante em torno de um eixo fixo.

(a) Prove que a potência em qualquer instante é

proporcional ao quadrado do torque resultante em torno do

eixo.

(b) Se a potência para t = 3.00 s é 500 W com um

torque resultante constante de 20.0 N.m, qual seria a potência

para t = 3.00 s se o torque resultante constante fosse igual a

60.0 N.m ?

(c) Prove que a potência para qualquer deslocamento

angular é proporcional ao torque total elevado a 3/2 para esse

deslocamento angular,

(d) Sabendo que a potência depois de uma rotação de

37.5 rad com o torque de 20.0 N.m é igual a 500 W, qual seria

a potência depois de um deslocamento angular de 37.5 rad com

um torque de 60.0 N.m?

(e) As respostas dos itens (a) e (b) contradizem as

respostas dos itens (c) e (d) ? Tanto na resposta afirmativa

quanto para a resposta negativa explique por quê.

10.48 Uma viga de comprimento l está sobre o eixo

+0x com sua extremidade esquerda situada na origem. Um

cabo puxa a viga na direção do eixo +0y com uma força F

cujo módulo depende do ponto de aplicação na viga

0 1F F x l onde F0 é o módulo da força aplicada à

extremidade esquerda da viga.

(a) Qual é a direção e o sentido do torque da força F

?

(b) Faça um gráfico de F contra x desde x = 0 até x = l.

Expresse F em termos de F0 e x em termos de l.

(c) Faça um gráfico do torque contra x desde x = 0 até

x = l. Expresse o torque em termos de F0, x e l em termos de l.

(d) Determine o ponto ao longo da viga no qual a

força aplicada produz o torque máximo e qual é o valor desse

torque máximo.

10.49 Quando explora um castelo, Exena, a

Exterminadora, é surpreendida por um dragão que a persegue

pelo corredor. Exena corre para dentro de um quarto e tenta

fechar uma porta pesada antes que o dragão entre. A porta está

inicialmente perpendicular a parede, de modo que ela deve

girar a 90° para fechar. A porta possui alutura de 3.00 m e

largura de 1.25 m, e pesa 750 N. O atrito das dobradiças pode

ser desprezado. Se Exena aplica uma força de 220 N a

extremidade da porta e ortogonal a ela, quanto tempo leva

para fechar a porta ?

10.50 Urna barra fina de comprimento l repousa

sobre o eixo +Ox com sua extremidade direita na origem.

Um fio puxa a barra com uma força F

dirigida a um

ponto P situado a uma distancia h acima da barra.

Determine o ponto ao longo da barra onde você deve

amarrar o fio para obter o torque máximo em torno da

origem se o ponto P estiver situado

(a) acima da extremidade direita da barra:

(b) acima da extremidade esquerda da barra;

(c) acima do centro da barra.

10.51 Ato de equilibrar. Uma pequena esfera de

massa M é ligada a extremidade de uma barra longa, fina

e uniforme de comprimento L, e massa M.

(a) Localize a posição do centro de massa do

sistema barra e esfera. Anote essa posição em um desenho

da barra,

(b) Você equilibra cuidadosamente a barra no

topo de uma mesa sem atrito, de modo que a extremidade

sem a esfera fique apoiada verticalmente sobre a mesa. A

seguir a barra e inclinada de um angulo pequeno ;

calcule sua aceleração angular nesse instante. Suponha

que a extremidade sem a esfera permaneça em contato

com o topo da mesa. {Sugestão: Consulte a Tabela 9.2.)

(c) Você novamente equilibra a barra no topo da

mesa, porem agora com a extremidade contendo a estera

tocando a mesa. A seguir a barra e novamente inclinada

de um pequeno ângulo ; determine sua aceleração

angular nesse instante. Suponha que a extremidade com a

esfera permaneça em contato com o topo da mesa. Como

esse resultado se compara com o obtido no nem (b) ?

(d) Um taco de bilhar e uma barra de madeira

cónica grossa em uma extremidade e fina na outra. Você

pode equilibrar facilmente o taco na vertical sobre um

dedo quando a extremidade fina fica em contato com esse

dedo; esse equilíbrio e muito mais difícil quando a

extremidade grossa fica em contato com seu dedo.

Explique por quê.

10.52 Você amarra um fio a um ponto na

periferia de um disco uniforme vertical de raio R e massa

M. O disco pode girar livremente sem atrito em um eixo

horiznontal fixo passando em seu centro de massa.

Inicialmente o disco está em repouso com a conexão do

fio no ponto mais elevado do disco. Você puxa o fio com

uma força horizontal F

até que a roda lenha feito

exatamente um quarto de rotação em torno do eixo

horizontal que passa em seu centro, e a seguir o sistema é

libertado,

(a) Achar o trabalho realizado pelo fio.

2 2

2 1

1 1

2 2TotW I I

(b) Achar o trabalho realizado pelo fio pela

equação. Você obtém o mesmo resultado obtido no item

(a) ?

2

1

TotW d

(c) Ache a velocidade angular final do disco,

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(d) Calcule a aceleração radial (centrípeta) máxima de

um ponto sobre o disco.

10.53 O mecanismo indicado na Figura 16 e usado

para elevar um engradado de suprimentos do depósito de um

navio. O engradado possui massa total de 50 kg. Uma corda e

enrolada em um cilindro de madeira que gira em torno de um

eixo de metal. O cilindro possui raio igual a 0.25 m e momento

de inércia I = 2,9 kg.m² em torno do eixo. O engradado é

suspenso pela extremidade livre da corda. Uma extremidade do

eixo está pivotada em mancais sem atrito; uma manivela está

presa á outra extremidade. Quando a manivela gira. sua

extremidade gira cm torno de um circulo vertical de raio igual a

0.12 m. o cilindro gira e o engradado sobe. Calcule o módulo

da força F aplicada tangencialmente ã extremidade da manivela

para elevar o engradado com uma aceleração de 0.80 m/s² . (A

massa da corda c o momento de inércia do eixo e da manivela

podem ser desprezados.)

Figura 16

10.54 Um grande rolo de papel de 16 kg com raio R =

18.0 cm esta em repouso contra unia parede e e mantido no

lugar por um suporte ligado a uma barra que passa em seu

centro (Figura 17). A barra pode girar sem atrito no suporte, e o

momento de inércia do papel e da barra em torno do disco e

igual a 0.260 kgm² . A outra extremidade da barra está presa à

parede por uma articulação sem atrito de modo que a barra faz

um ângulo de 30.0° com a parede. O peso da barra e

desprezível. O coeficiente de atrito cinético entre o papel e a

parede é k = 0.25. Uma força constante vertical F = 40.0 N é

aplicada ao papel, e o papel desenrola,

(a) Qual é o modulo da força que a barra exerce sobre

o papel enquanto ele desenrola ?

(b) Qual e a aceleração angular do rolo ?

Figura 17

10.55 Um bloco de massa m= 5.00 kg desliza

para baixo de uma superfície honzontal inclinada a 36.9°

com a horizonlal (Figura 18). O coeficiente de atrito

cinético é 0.25. Um fio amarrado ao bloco é enrolado em

torno de um volante que pode girar em torno de um eixo

passando em O. O volante possui massa de 25.0 kg e

momento de inércia de 0.500 kg.m² em relação ao eixo de

rotação. O fio puxa a roda sem deslizar a uma distância

perpendicular ao eixo igual a 0.200 m.

(a) Qual é a aceleração do bloco para baixo do

plano?

(b) Qual é a tensão no fio ?

Figura 18

10.56 Dois discos metálicos, um com raio R1 =

2.50 cm e massa m1 = 0.80 kg e outro com raio R2 = 5.00

cm e massa m2 = 1.60 kg. são unidos por uma solda e

montados sobre um eixo sem atrito passando no centro

comum dos discos.

(a) Um fio leve é enrolado em torno da periferia

do disco menor, e um bloco de 1.50 kg é suspenso na

extremidade livre do fio. Qual é o módulo da aceleração

de cima para baixo do bloco depois que ele é libertado?

(b) Repita os cálculos da parte (a), agora

supondo que o fio seja enrolado na periferia do disco

maior. Em qual dos dois casos a aceleração é maior ? Sua

resposta faz sentido ?

10.57 Um rolo de cortar grama com forma de

uma casca cilíndrica de massa M é puxado

horizontalmente com uma força constante horizontal F

aplicada por um cabo ligado ao eixo. Sabendo que ele rola

sem deslizar, calcule a aceleração e a força de atrito.

10.58 Máquina de Atwood. A Figura 19 mostra

uma máquina de Alwood. Ache a aceleração linear dos

blocos A e B, a aceleração angular da roda e a tensão

em cada lado da corda supondo que não exista

deslizamento entre a corda e a periferia da roda. Os

pesoss dos blocos A e B são, respectivamente, 75.0 N e

125.0 N e o momento de inércia da roda em torno do eixo

é I e o raio do semicírculo no qual a roda se move e igual

a R.

Figura 19

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10.59 Um disco sólido rola sem deslizar sobre uma

superfície horizontal com velocidade constante de 2.50 m/s.

(a) Se o disco rola para cima de uma rampa inclinada

a 30.0° qual é a distância máxima que ele atinge ao longo da

rampa antes de parar ?

(b) Explique por que sua resposta do item (a) não

depende nem da massa nem do raio do disco.

10.60 O loiô. Um ioió é feito usando-se dois discos

uniformes. cada um com massa m e raio R, ligados por um eixo

leve de raio b. Um fio leve e fino e enrolado diversas vêzes em

torno do eixo e a seguir mantido fixo enquanto o ioiô e

libertado do repouso, caindo verticalmente à medida que o ioiô

desenrola. Calcule a aceleração linear e a aceleração angular do

ioiô e a tensão no fio.

10.61 Uma bola de gude homogênea de raio R parte

do repouso com seu centro de massa a uma altura h acima do

ponto inferior de uma volta completa de um trilho de raio K.

Um trilho que possui forma semelhante ao da Figura 7.26. A

bola de gude rola sem deslizar. O atrito de rolamento e a

resistência do ar são desprezíveis. (a) Qual é o valor mínimo

de h para que a bola de gude não abandone o trilho no topo da

circunferência?

{Sugestão: O raio R não é desprezível em comparação

com o raio R.}

(b) Qual seria a resposta do item (a) se o trilho fosse

bem lubrificado, de modo que o atrito se tornasse desprezível?

10.62 A Figura 20 mostra três ioiôs idênticos que

estão inicialmente em repouso sobre uma superfície horizontal.

Para cada ioiô o fio é puxado conforme indicado. Em cada caso

existe atrito suficiente para cada ioiô rolar sem deslizar.

Desenhe um diagrama do corpo livre para cada ioiô. Qual é o

sentido da rotação de cada ioiô? (Tente fazer essa experiência!)

Explique suas respostas.

Figura 20

10.63 Como indicado na Figura 11 um fio é enrolado

diversas vêzes cm torno da periferia de um pequeno aro de raio

0.0800 m e massa igual a 0.180 kg. A extremidade livre do fio

e puxada de baixo para cima de um modo exato tal que o aro

não se move verticalmente quando o fio é desenrolado,

(a) Ache essa tensão exata no fio.

(b) Calcule a aceleração angular do aro enquanto o fio

se desenrola,

(c) Ache a aceleração de baixo para cima ila mão que

puxa o fio.

(b) Quais as modificações das suas respostas se o aro

fosse substituído por um disco maciço com o mesmo raio e a

mesma massa ?

10.64 Em uma experiência de laboratório você faz

uma bola homogênea rolar para baixo de um trilho curvo.

A bola parte do repouso e rola sem deslizar. Enquanto

esta sobre o trilho, a bola desce uma distância h. A

extremidade inferior do trilho ê horizontal e se estende

para fora da extremidade da mesa do laboratório; a bola

abandona o trilho se deslocando horizontalmenie. Durante

a queda livre depois de abandonar o trilho, a bola se move

até uma distância horizontal x e uma distância vertical y.

(a) Determine y em lermos de h e de x,

desprezando o trabalho realizado pelo atrito,

(b) A resposta do item (a) seria diferente se a

experiência tosse feita na Lua ?

(c) Ao fazer a experiência com muito cuidado, o

valor de v medido é menor do que o calculado no item

(a). Por quê?

(d) Qual seria o valor de y para o mesmo h e y do

item (a) se você fízesse uma moeda de um real rolar para

baixo do trilho ? Despreze o trabalho realizado pelo trilho.

10.65 Em uma catapulta de mola, a constante da

mola é igual a 400 N/m c a mola sofre uma compressão

de 0.15 m. Quando ela e disparada, 80% da energia

potencial elástica armazenada na mola é convertida em

energia cinética para uma bola uniforme de 0.0590 kg que

estava rolando sem deslizar na base de uma rampa. A bola

continua a rolar sem deslizar subindo a rampa com 90%

da energia cinética que ela possuía na base convertida em

energia potencial gravitacional no momento em que ela

pára.

(a) Determine a velocidade do centro de massa

da bola na base da rampa,

(b) Nessa posição, qual é a velocidade de um

ponto no topo da bola ?

(c) Nessa posição, qual ê a velocidade de um

ponto na base da bola ?

(d) Qual é a altura vertical máxima acima da

base da rampa atingida pela bola ?

10.66 Quando uma roda rola ao longo de uma

superfície horizontal com velocidade constante, as

coordenadas de um ponto na periferia da roda são:

1 2x t R sen t T

e 1 cos 2y t R t T onde R e T são

constantes,

(a) Faça um desenho da trajetória do ponto desde

t = 0 até t = 2T.

A curva obtida denomina-se ciclóide.

(b) Qual é o significado das constantes R e T?

(c) Determine os componentes x e y da

velocidade e da aceleração do ponto em função de t.

(d) Ache os instantes para os quais o ponto

permanece momentaneamente em repouso. Quais são os

componentes x e y nesse instante ?

(e) Ache o módulo da aceleração do ponto. Ele

depende do tempo?

Compare o resultado com o módulo da

aceleração de uma partícula com movimento circular

uniforme, 2 24a R T . Explique seu resultado para o

modulo da aceleração de um ponto sobre a roda que rola

lembrando-se de que o rolamento sem deslizamento é

uma combinação de um movimento de rotação e de

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translação.

10.67 Urna criança faz uma bola de basquete de 0.600

kg rolar para cima de uma rampa longa. A bola de basquete

pode ser considerada uma casca esférica. Quando a criança

larga a bola na base da rampa, ela possui velocidade igual a 8.0

m/s. Quando a bola retorna para a base ela possui velocidade

igual a 4.0 m/s. Suponha que o trabalho realizado pelo atrito na

subida seja igual ao trabalho realizado pelo atnto na descida da

bola e que a bola rola sem deslizar. Ache a altura máxima

atingida pela bola quando ela sobe a rampa.

10.68 Uma roda partindo do repouso gira em torno de

um eixo fixo que passa em seu centro de massa de tal modo

que = bt3, onde b é uma constante positiva com unidades

rad/s .

(a) Use a equação:

2

1

W d

para mostrar que o

trabalho realizado pelo torque resultante sobre a roda quando

ela girou de um ângulo é dado por:

2 4

3 39

2cmW I b

(b) Use a equação: 0

limt

d

t dt

para calcular a velocidade angular da roda quando ela girou de

um ângulo .

(c) Use o resultado da parte (b) para calcular a energia

cinética da roda depois que ela girou de um ângulo . O

teorema do trahalho-energia. A equação é obedecida ?

Explique.

10.69 Um cilindro homogêneo de massa M e raio 2R

esta em repouso sobre o topo de uma mesa. Um fio é ligado por

meio de um suporte duplo preso às extremidades de um eixo

sem atrito passando através do centro do cilindro de modo que

o cilindro pode girar em torno do eixo. O fio passa sobre uma

polia em forma de disco de massa M e raio R montada em um

eixo sem atrito que passa em seu centro. Um bloco de massa M

é suspenso na extremidade livre do fio (Figura 20). O fio não

desliza sobre a superfície da polia, e o cilindro rola sem

deslizar sobre o topo da mesa. Calcule o módulo da aceleração

do bloco quando o sistema é libertado a partir do repouso.

Figura 20 -

10.70 Uma barra uniforme de 0.0300 kg e

comprimento de 0.400 m gira em um plano horizontal em torno

de um eixo lixo passando em seu centro e perpendicular ã

barra. Dois pequenos anéis, cada um com massa de 0.0200 kg,

são montados de forma que eles possam deslizar ao longo da

barra. Eles inicialmente estão presos por pregadores em

distâncias afastadas de 0.0500 m do centro da barra, e o

sistema começa a girar com 30.0 rev/min. Sem alterar

nada no sistema, os pregadores são libertados e os anéis

deslizam ao longo da barra e saem pelas suas

extremidades.

(a) Qual é a velocidade angular da barra no

instante em que os anéis atingem as extremidades dela ?

(b) Qual é a velocidade angular da barra depois

que os anéis saem pelas suas extremidades ?

10.71 Uma barra uniforme de comprimento L

repousa sobre uma superfície horizontal sem atrito. A

barra possui um pivô, de modo que ela pode girar sem

atrito em torno de um eixo passando por uma das suas

extremidades. A barra está inicialmente em repouso. Uma

bala se deslocando com velocidade v ortogonal à barra e

paralela à superfície atinge o centro da barra e permanece

retida em seu interior. A massa da bala é um quarto da

massa da barra.

(a) Qual é a velocidade angular final da barra ?

(b) Determine a razão entre a energia cinética do

sistema depois da colisão e a energia cinética da bala

antes da colisão.

10.72 A porta sólida de madeira de um ginásio

tem largura de 1.00 m e altura de 2.00 m, sua massa total

é igual a 35.0 kg e ela possui uma articulação em um dos

seus lados. A porta esta aberta e em repouso quando uma

bola de basquete colide Irontalmente no centro da porta,

aplicando sobre ela uma força média igual a 1500 N

durante 8.00 ms. Calcule a velocidade angular da porta

depois da colisão. (Sugestão: Integrando a Equação

i

i

dL

dt

, obtemos:

2

1

t

médt

L dt t

A integral 2

1

t

t

dt denomina-se impulso

angular.

10.73 Um alvo é constituído por uma placa

quadrada de madeira vertical com lado igual a 0.250 m e

massa de 0.750 kg, pivotada em um eixo horizontal

situado em seu topo. A placa á atingida frontal mente em

seu centro por uma bala de massa igual a 1.90 g que se

desloca a 360 m/s e que fica relida no interior da placa.

(a) Qual é a velocidade angular da placa logo

após o impacto da bala ?

(b) Qual é a altura máxima atingida pelo centro

de massa da placa antes que ela comece a oscilar para

baixo novamente ?

(c) Qual deveria ser a velocidade mínima da bala

para que a placa completasse a rotação passando a girar

em torno do eixo depois do impacto ?

10.74 Aceleração repentina de uma estrela de

nêutrons. Ocasionalmente uma estrela de nêutrons

(Exercício 10.32) sofre uma aceleração repentina e

inesperada conhecida como glitch. Uma explicação é que

Exercícios – Sears & Zemanski, Young & Freedman – Física – 10ª Edição – Editora Pearson

Capítulo 10 – Torque e Momento angular

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori

o glitch ocorre quando a crosta da estrela de nêutrons sofre uma

pequena sedimentação, fazendo diminuir o momento de inércia

em torno do eixo de rotação. Uma estrela de nêutrons com

velocidade angular 0 = 70.4 rad/s sofreu um glitch em outubro

de 1975 que fez sua velocidade angular aumentar para = 0 +

, onde /0 = 2.01.10-6

. Se o raio da estrela de nêutrons

era de 11 km, qual foi sua diminuição na sedimentação dessa

estrela ? Suponha que a estrela de nêutrons seja uma esfera

maciça e homogênea.

10.75 Dois discos A e B são montados em um disco SS

e podem ser conectados ou desligados por meio de uma

embreagem C (Figura 21). O disco A é feito de um material

mais leve que o de B, de modo que o momento de inércia de A

em torno do eixo é um terço do momento de inércia de B. O

momento de inércia do eixo e da embreagem são desprezíveis.

Quando a embreagem está conectada, o disco A é levado a uma

velocidade angular 0. O torque acelerador é então removido

de A, e a seguir o disco A é acoplado ao disco B pela

embreagem. (Despreze o atrito nos mancais.) Nota-se que são

produzidos 2400 J de energia térmica na embreagem quando a

conexão é feita. Qual é a energia cinética inicial do disco A ?

S S

A C B

FIGURA 21.

10.76 Um pequeno bloco de massa 0.250 kg está

amarrado por um fio que passa por um orifício em uma

superfície horizontal. O bloco está inicialmente em um círculo

com raio igual a 0.800 m em torno do orifício com velocidade

tangencial igual a 4.00 m/s. O fio a seguir é puxado por baixo

lentamente, fazendo o raio do círculo se reduzir. A tensão de

ruptura do fio é igual a 30.0 N. Qual é o raio do círculo quando

o fio se rompe ?

10.77 Um disco horizontal de madeira compensada de

massa igual a 7.00 kg e diâmetro de 1.00 m e pivotado em

mancais sem atrito em tomo de um eixo vertical passando em

seu centro. Você monta sobre o disco um modelo circular de

trilhos com massa desprezível e diâmetro igual a 0.95 m. Um

trem de brinquedo com 1.20 kg movido por uma bateria está

em repouso sobre os trilhos. Para demonstrar a conservação do

momento angular, você liga o motor do trem. O trem se move

no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, atingindo logo

uma velocidade constante de 0.600 m/s em relação aos trilhos.

Ache o módulo, a direçao e o sentido da velocidade angular do

disco em relação a Terra.

10.78 Uma partícula de massa m se move com

velocidade constante v em um círculo de raio R que está a uma

distancia R acima do plano xz. Outra partícula de massa m se

move do mesmo modo e com a mesma velocidade em outro

círculo de raio R situado a uma distancia R abaixo do plano xz.

As duas partículas giram com uma defasagem de meia

revolução, de modo que quando uma está no ponto (x, R, R) a

outra está no ponto (-x, -R,-z). Assim, o centro de massa das

partículas coincide com a origem O, porem o eixo de rotação (o

eixo O não e um eixo de simetria.

(a) Faça um esboço dessas partículas no instante

em que elas eslão no ponto (R, R, 0) e (-R, -R, 0) e mostre

os seguintes vetores em relação à origem: posição,

velocidade e momento angular.

(b) Mostre que em qualquer instante as duas

partículas possuem o mesmo momento angular,

(c) Qual e o angulo entre

(o vetor velocidade

angular do sistema das duas partículas) e o vetor

momento angular total do sistema ?

(d) Mostre que o componente v do momento

angular total do sistema e constante e igual a Ly = 2mvR.

(e) Qual e o componente v do torque resultante

que atua sobre o sistema ?

(f) Ache o módulo da força resultante que atua

sobre cada partícula e o módulo do Iorque total que atua

no sistema. (g) Mostre, usando seu esboço do item

(a), a direção e o sentido do torque resultante sobre o

sistema e verifique se esse torque é paralelo ao plano xz.

10.79 Rm um laboratório de Física, você realiza

a seguinte experiência de pêndulo balístico. Usando uma

espingarda de mola, você dispara uma bala com massa m

e velocidade v na direçao da horizontal. A bala fica

imediatamente presa a uma distancia r abaixo de um eixo

sem atrito por um dispositivo de massa M que a retêm e

que pode girar sem atrito em torno do pivô. O momento

de inércia desse dispositivo em torno do pivô ê igual a I.

A distância r é muito maior do que o raio da bala.

(a) Use a lei da conservação do momento

angular para mostrar que a velocidade angular do sistema

logo após o momento em que a bala é retida e dada por:

2

m v r

m r I

(b) Depois que a bala fica retida, o centro de

massa do sistema bala+dispositivo retentor oscila para

cima e atinge uma altura máxima h. Use a lei da

conservação da energia para mostrar que:

2

2 M m g h

m r I

(c) Sua amiga de laboratório diz que o momento

linear é conservado na colisão e deduza relação mv=

(m+M)V, onde V é a velocidade da bala depois da colisão.

Ela a seguir usa a lei da conservação da energia para

mostrar que:

2V g h

, logo: 2m v m M g h

Use os resultados dos itens (a) e (b) para mostrar que esse

resultado é satisfeito somente no caso particular quando r

for obtido da relação I = M r2.

10.80 Um corredor de 55 kg corre na periferia de

uma mesa giratória montada em um eixo vertical sem

atrito passando cm seu centro. A velocidade do corredor

em relação à Terra possui módulo de 2.8 m/s. A mesa

giratória gira em sentido contrário com velocidade

angular de módulo igual a 0.20 rad/s em relação ã Terra.

O raio da mesa ê de 3.0 m e seu momento de inércia em

torno do eixo de rotação ê igual a 80 kg.m2. Calcule a

velocidade angular do sistema quando o velocista fica em

repouso em relação à mesa giratória. (O velocista pode ser

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Capítulo 10 – Torque e Momento angular

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considerado uma partícula.)

10.81 Uma bicicleta caindo. O momento de inércia

da roda dianteira de uma bicicleta em torno de seu eixo ê igual

a 0.085 kg.m², seu raio ê de 0.33 m, e a velocidade da bicicleta

para a frente é igual a 6,00 m/s. Calcule a velocidade angular

da roda dianteira cm torno de um eixo vertical para

contrabalançar o torque que tende a fa/er a bicicleta virar

produzido por uma massa de 50.0 kg situado a uma distância

horizontal de 0.040 m da linha que liga os pontos de conlato

das rodas com o solo. (Ciclista: Compare sua resposta com sua

própria experiência e verifique se sua resposta é ra/oável.)

10.82 Centro de percussão. Um bastão de bola de

beisebol está em repouso sobre uma superfície hori/onlal sem

atrito. O bastão possui comprimento de 0,900 m. massa de

0,800 kg e seu centro de massa está situado a 0.600 m da

extremidade do punho do bastão (Figura 22). O momento de

inércia do bastão em relação ao centro de massa ê igual a

0.0530 kg.m² . O bastão é golpeado por uma bola de beisebol

que se desloca ortogonalmente a ele. O impacto fornece um

impulso

2

1

t

t

J Fdt em um ponto situado a uma distância x do

punho do bastão. Qual deve ser o valor de x para que a

extremidade do punho do bastão permaneça em repouso á

medida que o bastão se move? (Sugestão: Considere o

movimento do centro de massa e a rotação em (orno do centro

de massa. Ache v de modo que a combinação dos dois

movimentos forneça v = 0 para a extremidade do bastão logo

após a colisão. Note também que a integração da Equação

i

i

dL

dt

fornece 2

1

t

médt

L dt t

(Problema 10.72).) O ponto que você localizou denomina-se

centro de percurssão. Quando uma bola de beisebol colide no

centro de percussão, ocorre uma diminuição da força de

"picada" que o batedor sente nas mãos.

Figura 22

10.83 Considere um giroscópio com um eixo que não

esta na direção horizontal, mas possui uma inclinação em

relação á horizontal. Mostre que a velocidade angular da

precessão não depende do valor de porém é dada pela

equação (10.36).

PROBLEMAS DESAFIADORES

10.84 Uma bola uniforme de raio R rola sem deslizar

entre dois trilhos de tal modo que a distância horizontal entre

os dois pontos de eontato entre a bola e os trilhos seja igual a d.

(a) Faça um desenho e mostre que em qualquer

instante 2 2 4cmv R d . Discuta essa expressão

nos limites d = 0 e d = 2R.

(b) Para uma bola uniforme partindo do repouso

e descendo uma distância vertical h enquanto rola sem

deslizar para baixo de uma rampa, temos,

10

7cm

g hv

. Trocando a rampa pêlos dois trilhos,

mostre que:

2

2

10

25

14

cm

g hv

d

R

Em cada um desses casos, o trabalho realizado pelo atrito

foi desprezado.

(c) Qual das duas velocidades indicadas na parte

(b) e a menor ? Por quê? Raciocine em termos de como a

energia potencial e dividida entre o ganho da energia

cinética da translação e da energia cinética da rotação,

(d) Para qual valor da razão d/R as expressões

das duas velocidades da parle (b) diferem de 5.0% e

quando diferem de 0.50% ?

10.85 Quando um objeto rola sem deslizar, a

força de atrito de rolamento é muito menor do que a força

de atrito quando o ohjelo desliza sem rolar; uma moeda de

um real rola sobre sua periferia mais rapidamente do que

quando ela desliza com sua face voltada para baixo. (Veja

a Seção 5.4.) Quando um objeto rola sem deslizar ao

longo de uma superfície horizontal, podemos desprezar a

força de atrito, de modo que a e são nulos e v e são

constantes. Rolar sem deslizar implica v =R e a = r.

Quando um objeto se desloca sobre uma superfície sem

obedecer a essas igualdades, o atrito (cinético) de

deslizamento está aluando sobre o objeto ã medida que

ele desliza até que o rolamento sem deslizamento começa

a ocorrer. Um cilindro homogêneo de massa M e raio K.

girando com velocidade angular 0 em torno de um eixo

passando em seu centro, é lançado sobre uma superfície

horizontal sobre a qual o coeficiente de atrito cinético é

C.

(a) Faça um diagrama do corpo livre para o

cilindro sobre a superfície. Pense com cuidado sobre o

sentido da força de atrito sobre o cilindro. Calcule a

aceleração a do centro de massa do cilindro e a aceleração

angular em torno do centro de massa do cilindro,

(b) No início o cilindro desliza sem rolar, então

= 0 mas v = 0. O rolamento sem deslizamento começa

quando v = R. Calcule a distância que o cilindro

percorre no momento em que termina o deslizamento,

(c) Calcule o trabalho realizado pela força de

atrito sobre o cilindro desde o momento em que ele toca a

superfície até o momento em que começa o rolamento

sem deslizamento.

10.86 Um giroscópio de demonstração pode ser

construído retirando-se o pneu de uma roda de bicicleta

com diâmetro de 0.650 m, enrolando-se um fio de

chumbo no aro e fixando-o nele. O eixo se projeta 0.200

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Capítulo 10 – Torque e Momento angular

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m para cada lado da roda, e uma garota apoia as extremidades

do eixo em suas mãos. A massa do sistema é igual a 8.00 kg;

toda a sua massa pode ser considerada concentrada em sua

periferia. O eixo é horizontal, e a roda gira em torno do eixo

com 5.00 rev/s. Ache o módulo, a direção e o sentido da força

que cada mão exerce sobre o eixo

(a) quando o eixo está em repouso;

(b) quando o eixo está girando em um plano horizontal

em torno do seu centro com 0.050 rev/s;

(c) quando o eixo está girando em um plano horizontal

em torno do seu centro com 0.300 rev/s.

(d) Com que taxa o eixo deve girar de modo que ele

possa ser suportado apenas em uma das suas extremidades ?

10.87 Um bloco de massa m está girando com

velocidade linear v, em um círculo de raio r1, sobre uma

superfície horizontal sem atrito. O fio é puxado por baixo até

que o raio do círculo no qual o bloco se move é reduzido a um

valor r2.

(a) Calcule a tensão T no fio em função de r, a

distância entre o bloco e o orifício. Dê sua resposta em função

da velocidade inicial v e do raio r1.

(b) Use a relação 2

1

r

r

W T r dr

para calcular o

trabalho realizado pela tensão T

quando r varia desde r1 até r2.

(c) Compare o resultado do item (b) com a variação da

energia cinética do bloco.

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Capítulo 10 – Exercícios resolvidos pares

Editora Pearson

10-2:

,0.1230)00.2)(0.12(

,0.40)00.5)(00.8(

2

1

mNsinmN

mNmNo

onde o torque positivo está no sentido anti-horário, de modo que o

torque resultante é –28.0 Nm, onde o sinal negativo indica um torque sentido horário, ou um torque para dentro da página .

10-4:

.726.0)330.0)(50.730.5(

)(122121

mNmNN

RFFRFRF

10-6: (a)

.1.13)00.8(

min/

/

60

2min/400

)50.2( 2 mNs

rev

sradxrev

mkgt

II

(b)

.1019.2min/

/

60

2min/400)50.2(

2

1

2

1 3

2

22 Jxrev

sradxrevmkgI

10-8:

./00.2)0.5(

)250.0)(0.40( 2

2srad

mkg

mN

I

FR

I

10-10: (a) O cilindro não se move, então a força resultante deve

ser nula. O cabo exerce uma força horizontal para a direita, e a gravidade uma força para baixo, então a força normal deve ser para cima e para a esquerda

conforme mostrado na figura Fig. (10-8).

(b)N = ,490))/80.9)(50(()0.9( 222 NsmkgN

Em um ângulo de arctan o1.1

490

0.9

a partir da vertical (o peso é

muito maior que a força F aplicada).

10-12: Esta é a mesma situação apresentada no Exemplo 10-3.

(a) T = mg/(1 + 2m/M) = 42.0 N.

(b) ./8.11)2/1/(2 smmMghv

Existem muitas formas de se encontrar o tempo de queda . Ao invés de se realizar os cálculos intermediários da aceleração, o tempo é a distância

dividida pela velocidade média, ou seja h/(v/2) = 1.69 s.

A força normal na Fig. (10-1-9(b)) é a soma da tensão encontrada na parte (a) e o peso do molinete, um total de 159.6 N (mantido os algarismos

significativos da parte (a)).

10-14:

.3

3

1 2 Ml

F

Ml

Fl

I

10-16: Veja o Exemplo 10-6 e o Exercício 10-17. Para este caso temos:

2

2 , / 33.9 /cm cm cmK Mv v gh v R rad s

10-18: (a) A aceleração ladeira abaixo é:

fa g sen

m

sendo que o torque relativo ao centro da concha é dado por:

,3

2

3

2 2 MRaR

aRM

R

aIIRf

então .

3

2a

M

f

Resolvendo simultaneamente relações para

a e f encontramos: 5sen

3a g

2 23 3sen (9.80 / )sen38.0 3.62 /

5 5

oa g m s m s

22 2(2.00 )(3.62 / )4.83

3 3f Ma kg m s N

A força normal é: Mg cos , e desde que f sN, então finalmente temos:

.313.0tan5

2

cos

sen5

3

3

2

cos3

2

cos

3

2

g

g

g

a

Mg

Ma

N

fs

(b) a = 3.62 m/s2 , visto que ela não depende da massa . Contudo, a

força de atrito é duas vezes maior, 9.65 N, visto que ela também não depende

da massa . O valor mínimo de s também não varia.

10-20: (a)

A velocidade angular da bola deve diminui, e portanto o torque é determinado pela força de atrito que para cima .

(b) A força de atrito resulta em uma aceleração angular,

relacionada por : I = fR.

A equação do movimento é mg sin - f = mcm, enquanto

que a aceleração angular é relacionada por: cm = R (observe que a

aceleração positiva é considerada ser para baixo, e que a relação entre

cm e está correta para uma força de atrito direcionada para cima ).

Combinando as equações acima, temos:

),5/7(12

mamR

Imasinmg

do qual obtemos: cm = (5/7)g sin .

(b) Das relações entre f e cm, , dadas acima, temos:

,cos7

2

5

2 mgsinmgmaf

sscm

da qual obtemos: s (2/7) tan .

10-22: (a)

.519

min/

/

30min)/2400(

)/746)(175(mN

rev

sradrev

hpWhpP

(b) W = Δ = (519 Nm)(2) = 3261 J.

10-24: Da Eq. (10-26), a potência de saída é:

P = = (4.30 Nm)

,2161min/

/

60

2min/4800 W

rev

sradxrev

ou 2.9 hp.

10-26:

222 2.42)08.2)(117(12

1

12

1mkgmkgmLI

(a)

./2.46

2.42

1950 2

2srad

mkg

mN

I

(b) 2

22(46.2 )(5.0 2 ) 53.9 rads

rad s rev x rad rev

(c) Tanto de 2

2

1IKW

como da Eq. (10-24),

W = (1950 Nm)(5.00 rev x 2 rad/rev) = 6.13 x 104 J.

(d) O tempo pode ser encontrado da aceleração angular e do

ângulo total, enquanto que a potência instantânea é encontrada de

P = = 105 kW(141 hp).

A potência é metade desse valor, isto é: 52.6 kW.

10-28: Apenas como interesse, o momento de inércia da

mulher com relação ao eixo do disco é mR2, e portanto o momento

angular total é:

./1028.5

)/2/500.0()00.4(0.501102

1

2

1)(

23

2

2

smkgx

revradxsrevmkgkg

RmMIILLLwomandiskwomandisk

10-30: Para ambas as partes, L = I. Também , = v/r,

e portanto: L = I(v/r).

(a) L = (mr2)(v/r) = mvr

L = (5.97 x 1024 kg)(2.98 x 104 m/s)(1.50 x 1011 m) = 2.67 x 1040 kgm2/s

(b) L = (2/5 mr2)()

L = (2/5)(5.97 x 1024 kg)(6.38 x 106 m)2 (2 rad/(24.0 hr x 3600 s/hr))

= 7.07 x 1033 kgm2/s

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Capítulo 10 – Torque e Momento angular

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10-32: O momento de inércia é proporcional ao quadrado do raio, e

portanto a velocidade angular será proporcional ao inverso do

quadrado do raio, e dessa forma a velocidade angular final é:

./106.416

100.7

)/400,86)(30(

2 3

25

2

2

1

12sradx

km

kmx

dsd

rad

R

R

10-34: O momento de inércia inicial do patinador é:

,56.2)80.1)(00.8(12

1)400.0( 222

1mkgmkgmkgI

e o seu momento de inércia final é: ,9.0)1025)(00.8()400.0( 2222

2mkgmxkgmkgI

portanto da EQ. (10-33), temos:

./14.19.0

56.2)/40.0(

2

2

2

1

12srev

mkg

mkgsrev

I

I

Observe que a conversão de rev/s para rad/s não é necessária.

10-36: Faça

.1360)00.2)(0.40(1200

,12002222

02

2

01

mkgmkgmkgmRII

mkgII

Então da Eq. (10-33),

./924.01360

1200

00.6

22

2

2

1

12srad

mkg

mkg

s

rad

I

I

10-38: Faça a largura da porta ser l;

./223.0)500.0)(500.0()00.1)(0.40)(3/1(

)500.0)(/00.12)(500.0(

)2/()3/1(

)2/(

22

22

sradkgmkg

msmkg

lmMl

lmv

I

L

Ignorando a massa do barro no denominador da expressão acima,

resulta em = 0.225 rad/s, portanto a massa de barro afeta o momento de inércia em seu terceiro algarismo significativo .

10-40: (a) Como o giroscópio esta trabalhando no plano horizontal, lá não pode ter uma força vertical sobre ele, então a força que o eixo exerce deve ser igual

em módulo ao peso do giroscópio, isto é:

F = = mg = (0.1540 kg)(9.80 m/s2) = 1.372 N, ou 1.37 N para três algarismos significativos.

(b) Resolvendo a Eq. (10-36) para , temos:

,/160)20.2/2)(1020.1(

)1000.4)(372.1(24

2

sradsradmkgx

mxN

I

wR

a qual é 1.53 x 103 rev/min. Observe que nesta ou em outra situação

similar, desde que apareça no denominador da expressão para , a conversão

entre rev/s e rev/min deve ser feita.

(c)

10-42: Utilizando a Eq. (10-36) para todas as partes, temos:

(a) Compartilhado igualmente (b) Dobrado (supondo que o peso adicionado seja distribuído de tal

modo que tanto r como I não se modifiquem)

(c) Compartilhado igualmente (supondo que tanto como r não variam)

(d) Dobrado

(e) Inalterado .

10-44: (a) O torque resultante deve ser:

.60.2)00.9(

min/

/

60

2min/120

)86.1( 2 mNs

rev

sradxrev

mkgt

II

Este torque deve ser a soma da força aplicada FR e os torques de atrito

opostos f no eixo , e também fr = kr devido a faca . Combinando essas,

temos:

.1.68

))260.0)(160)(60.0()50.6()60.2((500.0

1

)(1

N

mNmNmNm

rR

Fkf

(b) Para se manter uma velocidade angular constante, o

torque resultante é nulo e, a força é:

F =

m500.0

1 (6.50 Nm + 24.96 Nm) = 62.9 N.

(c) O tempo t necessário para recuperar a parada é

encontrado do módulo da (10-27), com = f constante, ou seja:

.6.3)50.6(

)86.1(min/

/

60

2min/120 2

smN

mkgrev

sradxrev

ILt

ff

Observe que este tempo pode também se encontrado como:

.50.6

60.2)00.9(

mN

mNst

10-46: (a) O momento de inércia não é dado, então a aceleração angular deve ser encontrada através das equações da cinemática, isto é:

./33.8)00.2)(30.0(

)00.5(222 2

222srad

sm

m

rt

s

t

(b) t = (8.33 rad/s2)(2.00 s) = 16.67 rad/s.

(c) O trabalho realizado pela corda sobre o volante será a energia cinética final, isto é:

K = W = Fs = (40.0 N)(5.0 m) = 200 J.

(d)

.44.1)/67.16(

)200(22 2

22mkg

srad

JKI

10-48: (a) Da regra da mão direita, a direção do torque é:

,ˆˆˆ kjxi ou seja a direção +z .

(b)

(c)

(d) O módulo do torque é F0(x- x2/L), o qual possui seu

valor máximo em L/2.

(e) O valor do torque em x =L/2 é F0L/4.

10-50: (a) De considerações geométricas, o braço da alavanca e o

seno do ângulo entre reF

são ambos máximo se a corda estiver

presa no final da haste

(b)Em termos da distancia x onde a corda está presa, o módulo

da força é: ./ 22 hxFxh

Esta função satisfaz seu máximo no limite quando x = h,

então a corda deveria estar presa no lado direito da haste.

(c) Em função de x, l e h, o módulo do torque é:

.)2/( 22 hlx

xhF

Esta fórmula mostra que existem dois aspectos ao se aumentar o

torque: maximizando o braço l da alavanca e maximizando sin .

Diferenciando com relação a x e fazendo-se igual a zero temos: xmax = (l/2)(1+ (2h/l)2). Este será o ponto no qual deve-se

prender a corda, a não ser que 2h > l, no qual a corda deveria ser presa

em um ponto adicional, a direita, em x = l.

10-52: Na figura (10-19) e Eq. (10-22), com o ângulo medido a

partir da vertical , sen na Eq. (10-2). O torque é então:

= FR cos .

(a) .cos2/

0FrdFRW

(b) Na Eq. (6-14), dl é a dist6ancia horizontal que os

pontos se movem, e portanto temos: W = F ∫ dl = FR, que é o mesmo resultado encontrado em (a).

(c) De ./4,)/( 22

2MRFrMRWK

Exercícios – Sears & Zemanski, Young & Freedman – Física – 10ª Edição – Editora Pearson

Capítulo 10 – Torque e Momento angular

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori

(d) O torque, e por conseqüência a aceleração angular, é maior

quando = 0, e no ponto = (/I) = 2F/MR, e portanto a aceleração tangencial máxima é: 2F/M.

(e) Utilizando o valor para encontrado na parte (c), temos:

arad = 2R = 4F/M.

10-54: No ponto de contato as paredes exercem uma força de atrito f

direcionada para baixo e uma força norma direcionada para a direita. Esta é uma situação onde a força resultante sobre o cilindro é nula, então torques de

equilíbrio não seriam correto. Forças verticais de equilíbrio, Frod cos = f +

+ F, e forças horizontais de equilíbrio , Frod sin = N. Com f = kN, essas

equações se tornam: Frod cos = kN + F + ,

Frod sin = N.

(a) Eliminando N e resolvendo para Frod temos:

.26630)25.0(30cos

)0.40()/80.9)(0.16(

cos

2

Nsin

Nsmkg

sin

FF

oo

k

rod

(b) Com respeito ao centro do cilindro, a corda e a força normal

exercem torque nulo . O módulo do torque resultante é (F – f)R, e f = kN pode

se encontrada por inserção do valor encontrado para Frod dentro de ambas as

relações acima , isto é: f = kFrod sen = 33.2 N. Portanto,

./71.4)260.0(

)100.18)(54.310.40( 2

2

2

sradmkg

mxNN

I

10-56: Para uma tensão T na corda, temos:

mg – T = ma e TR = I = .

R

aI

Eliminando T e resolvendo para

a , temos:

,/1/ 22 mRI

g

RIm

mga

onde m é a massa do peso dependurado, I é o momento de inércia da

combinação do disco ( I = 2.25 x 10-3 kgm2 de acordo com o problema 9-75) e,

R é o raio do disco onde a corda está presa .

(a) Com m = 1.50 kg, R = 2.50 x 10-2 m, a = 2.88 m/s2.

(b) Com m = 1.50 kg, R = 5.00 x 10-2 m, a = 6.13 m/s2.

A aceleração é maior no caso (b); com a corda presa ao disco maior, a tensão na corda é capaz de aplicar um torque maior .

10-58: As aceleração dos blocos A e B terão o mesmo módulo a. Como a corda

não escorrega, a aceleração angular sobre a polia será: .R

a Denotando as

tensões na corda como: TA e TB, as equações do movimento são:

,2

aR

ITT

amgmT

amTgm

BA

BBB

AAA

onde a última equação é obtida pela divisão de = I por R e substituindo por

em termos de a. Somando-se as três equações, eliminamos ambas as tensões,

resultando em:

2/ RImm

mmga

BA

BA

Então, a aceleração angular é:

RIRmRm

mmg

R

a

BA

BA

/

E as tensões podem ser encontradas de:

2

2

/

/2)(

RImm

RImmmgagmT

BA

ABA

AA

./

/2)(

2

2

RImm

RImmmgagmT

BA

BAB

BB

Como verificação, pode ser demonstrado que :(TA – TB) R = I.

10-62: Na primeira situação a forca F

e a força de atrito estão em direção

opostas, e a força de atrito gera um torque maior o qual tende a gerar um movimento de rotação, para a direita, no iô-iô. A força resultante para a direita

é a diferença F – f, então a força resultante é para a direita enquanto o torque

resultante provoca uma rotação no sentido horário. Na segunda situação, tanto o torque como a força de atrito tenta

girar o iô-iô no sentido horário e, o iô-iô se movimenta para a direita.

Na terceira situação, a força de atrito tenta movimentar o iô-iô para a direita e, como a força aplicada é vertical, o iô-iô se movimenta para a

direita .

10-64: (a) A energia cinética da bola quando ela deixa a trilha (quando ela ainda está rolando sem deslizar) é :

(7/10)mv2, e este deve também ser o trabalho

realizado pela gravidade, isto é:

W = mgh, então .7/10ghv A bola fica no ar por um

tempo igual a: .7/20,/2 hyvtxentãogyt

(b) A resposta não depende de g, então o resultado deveria ser o mesmo sobre a lua .

(c) A presença de atrito de enrolamento diminuiria a

distancia . (d) Para moeda em dólar, modelada como um disco

uniforme, temos:

.3/8 portanto e,)4/3( 2 hyxmvK

10-66: (a)

(b)R é o raio da roda (y varia de 0 a R) e T é o período de

rotação da roda. (c) Diferenciando, temos:

.2

cos222

222cos1

2

2

2

T

tR

Ta

T

tsin

T

Rv

T

tsinR

Ta

T

t

T

Rv

yy

xx

(d)

2

20

T

tquandovv

yx

ou qualquer múltiplo de 2, então os tempos são múltiplos inteiros do

período T. As componentes das acelerações para estes tempos são:

.4

,02

2

T

Raa

yx

(e)

.422

cos2

2

2

22

2

22

T

R

T

tsin

T

tR

Taa

yx

independente do tempo. Este é o módulo da aceleração radial para um ponto se movimentando sobre um circulo de raio R com velocidade

angular constante igual a: .

2

T

Para movimentos que consiste deste

movimento circular sobreposto com um movimento de velocidade

constante ),0( a

a aceleração devido ao movimento circular será a

aceleração total .

10-68: Diferenciando e obtendo a resposta para a parte (b), temos:

.666

,333

3/13/2

3/1

3/23/1

3/2

2

bb

bbtdt

d

bb

bbtdt

d

(a) .

296 3/43/23/13/2 bIdIbdIW

cmcmcm

(b) A energia cinética é:

,2

9

2

1 3/43/22 bIIKcmcm

o que está de acordo com a Eq. (10-25); o trabalho total realizado é a

variação na energia cinética .

10-70: (a) Os anéis e as hastes exercem forças um sobre o outro, mas não existe força resultante ou torque sobre o sistema, e

portanto o momento angular será constante . Enquanto os anéis

deslizam na direção final, o momento de inércia varia e, a velocidade angular final é dada pela Eq. (10-33), isto é:

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Capítulo 10 – Torque e Momento angular

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori

,41000.2

1000.5

212

1

212

1

1

23

24

1

2

2

2

2

1

2

1

2

1

12

mkgx

mkgx

mrML

mrML

I

I

e portanto, 2 = 7.5 rev/min. Observe que a conversão de rev/min para rad/s

não é necessária.

(b) As forças e torques que os anéis e a haste exercem mutuamente irão desaparecer, mas a velocidade angular comum será a mesma,

isto é: 7.5 rev/min.

10-72: Admitindo que o sopro esteja concentrado em um ponto (ou utilizando

um ponto médio escolhido favoravelmente), a uma distância r da dobradiça,

então:

, aveave

rF e .rJtrFLave

A velocidade angular é então:

,2

3

3

1

)2/(

2 ml

tF

ml

tFl

I

trF

I

Laveaveave

onde l é a largura da porta. Substituindo os valores numéricos dados,

encontramos: = 0.514 rad/s.

10-74: Momento angular é conservado, então ,2200

II ou , usando o

fato de que para massas comuns o momento de inércia é proporcional ao

quadrado do raio, temos:

,2

2

20

2

0 RR ou

,2~)()( 2

0000

2

00

2

00

2

0 RRRRRRR

onde os termos em 2 eR foram omitidos. Cancelando os termos

0

2

0R , temos:

.1.12

0

0 cmR

R

10-76: A tensão está relacionada com a massa do bloco, a velocidade e o raio

do circulo através de:

.

2

r

vmT

O momento angular do bloco com relação ao buraco é L = mvr, então em termos de momento angular, temos:

.)(1

3

2

3

2

3

222

2

mr

L

mr

mvr

r

r

m

vm

rmvT

O raio no qual a corda rompe pode ser relacionada ao momento

angular inicial através de:

,)0.30)(250.0(

))800.0)(/00.4)(250.0(()( 2

max

2

11

max

2

3

Nkg

msmkg

mT

rmv

mT

Lr

para o qual r = 0.440 m.

10-78: (a), g)

(b) Utilizando a forma do produto vetorial para o momento

angular, temos: entãorrvv , e 2121

,1122

vxrmvxrm

então o momento angular é o mesmo .

(c) Seja .j

Então:

.ˆ)(ˆ)(ˆ)(

),ˆˆ(

22

111

11

kxRjyxixRmvxrmL

ekxizrxv

Com x2 + y2 = R2, o módulo de

,,2 22

1

2

1 RmLeRméL

e então cos .

6,

2

1

))(2( 2

22

e

Rm

Rm

Isto também é verdade para 2

L

, então o momento angular total faz um

ângulo de

6

com o eixo +y.

(c) Dos cálculos intermediários da parte (c),

,2

1mvRRmL

y

então a componente y total do momento angular é:

.2mvRLy

(d) Ly é constante, então a componente resultante na direção y do toque é nula.

(e) Cada partícula se movimenta em um circulo de raio R

com velocidade v, e portanto está sujeita a uma força para dentro cujo módulo é mv2/R. O braço de alavanca dessa força é R, então o torque

sobre cada tem módulo mv2. Estas forças estão direcionadas em direção

opostas para duas partículas, e os vetores de posição são opostos uns ao outros, portanto os torques possuem o mesmos módulos e direção, e o

torque resultante tem módulo igual a 2mv2.

10-80: O momento angular inicial é I1 – mRv1, com o sinal

menos indicando que o movimento do corredor é oposto

ao movimento da plataforma giratória sobre seus pés. O

momento angular final é 2(I + mR2), então:

,/776.0

00.3)0.55()80(

)/8.2)(00.3)(0.55()/200.0)(80(22

2

2

11

2

srad

mkgmkg

smmkgsradmkg

mRI

mRvI

onde o sinal negativo indica que a plataforma giratória

reverteu a sua direção de movimento (isto é, o homem tinha inicialmente

o maior módulo de momento angular) .

10-82:A velocidade do centro de massa irá variar de ,

m

Jv

cm

e a

velocidade angular irá variar de .

)(

I

xxJcm

A variação da

velocidade será

.

)(

I

xxxJ

m

Jxvv cmcm

cmcmend

Fazendo 0 endv permite o cancelamento de J, resultando em

,)( mxxxIcmcm

o qual quando resolvido para x é:

.710.0)600.0()800.0)(600.0(

)1030.5( 22

mmkgm

mkgxx

mx

Ix cm

cm

10-84: (a) A distância do centro da bola ao centro da linha que une os

pontos onde a bola esta em contato com o trilho é:

.4/,)2/( 2222 dRventãodR cm

Quando d = 0, isto fica reduzido para

,Rvcm que é o mesmo de estar rolando

sobre uma superfície plana . Quando d = 2R, o

raio de rolamento se aproxima de zero, e

0cmv para qualquer .

(b)

.)4/1(

25

10

)4/()5/2(

2

1

2

1

2

1

22

2

2

22

22

22

Rd

mv

dR

vmRmv

ImvK

cm

cm

cm

Igualando isto a mgh e resolvendo para vcm dá o resultado desejado .

(c) O denominador na raiz quadrada da expressão para vcm é maior do que para a situação quando d = 0, então vcm é menor . Para uma dada

velocidade, é maior do que quando d = 0, portanto uma grande parte

da energia cinética é rotacional, daí a energia cinética de translação e por conseqüência vcm, são menores.

(d) Tornando a expressão da parte (b) igual a 0.95 e resolvendo para a razão d/R obtemos d/R = 1.05. Colocando igual a 0.995 obtemos d/R =

0.37.

10-86: Denotando por FL e FR as forças para cima exercida pelas mãos,

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Capítulo 10 – Torque e Momento angular

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori

as

condições que estas forças devem satisfazer são:

,r

IFF

FF

RL

RL

onde a segunda equação é ,L dividido por r. Estas duas equações

podem ser resolvidas para as forças, através de, primeiro somando e então

subtraindo, o que conduz a:

.2

1

2

1

r

IF

r

IF

R

L

Utilizando os valores de = mg = (8.00 kg)(9.80 m/s2) = 78.4 N e

smkgm

revradxsrevmkg

r

I/7.132

)200.0(

)/2/00.5()325.0)(00.8( 2

obtemos:

).4.66(2.39),4.66(2.39 sNNFsNNF RL

(a) = 0, FL = FR = 39.2 N.

(b) = 0.05 rev/s = 0.314 rad/s, FL = 160.0 N, FR = 18.4 N.

(c) = 0.3 rev/s = 1.89 rad/s, FL = 165 N, FR = -86.2 N, como sinal negativo

indicando uma força para baixo .

FR = 0 obtemos = 575.0

4.66

2.39

sN

N rad/s, que é o mesmo que 0.0916

rev/s.

Gabarito –Gabarito – Exercícios Ímpares

Exercício Gabarito

10.1 (a) para fora da página 40N m (b) 34.6

N.m para fora da página (c) 20 N.m para

fora da página. (d) 17.3 N.m para dentro

da página (e) 0 (f) 0

10.3 2.50 N.m sentido anti-horário

10.5 (c) ˆ1.05N m k

10.7 1.2 m/s

10.9 (a) 3 1 2g M m m M (b)

menor (c) nenhum efeito.

10.11 0.482

10.13 (a) 7.7 N na parte horizontal, 18.2 N na

parte suspensa.

(b) 20.0160kg m

10.15 (a) 0.882N (b) 0.533s (c) 33.9 rad/s

10.17 (a) 1/3 (b) 2/7 (c) 2/5 (d) 5/13

10.19 11.7m

10.21 (a) 0.309rad s (b) 100J (c) 6.67W

10.23 (a) 0.38N m (b) 160rad (c) 59J

(d)59J

10.25 (b)65.6N

10.27 (a) 358N m (b) 31.79 10 N (c)

83.8m/s

10.29

(a) para dentro da página2115kg m s

(b)para fora da página 2 2125kg m s

10.31 6 24.71 10 kg m s

10.33

(b) 7 /rad s

(c) 21.03 10 J

(d) 21.03 10 J

10.35 0.6rev

10.37 (a) 1.4rad s (b) 1080 antesJ ;

500 depoisJ

10.39

10.41 (a) 36.8min (b) 51.10 10 N m

10.43 225.4 10 N m

10.45 (a) 0.955 ²kg m (b) 0.0800N m (c)

104 rev

10.47 (b) 4500W (d) 2600W

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Capítulo 10 – Torque e Momento angular

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Exercício Gabarito

10.49 0.675s

10.51 (a) L/4 a partir da extremidade com a esfera

(b) (9g/8L)sen (c) (3g/2L)sen

10.53 1200 N

10.55 (a) 1.12 m/s² (b) 14.0 N

10.57 a = F/2m; f = F/2

10.59 (a) 0.957 m

10.61 (a) (27R – 17r)/10 (b) (5R – 3r)/2

10.63 (a) 1.76N (b) 2123rad s (c)

9.80 ²m s

(d)T possui o mesmo valor, os valores de e

a dobrariam

10.65 (a) 9.34m s (b) 18.7m s

(c) 0 (d) 5.6m

10.67 3.4m

10.69 g/3

10.71 (a) 6v/19L (b) 3/19

10.73 (a) 5.60 rad/s (b) 3.17 cm (c) 1.01.103 m/s

10.75 3200 J

10.77 0.3 rad/s no sentido horário

10.81 12.7 rad/s

10.85 (a) ; 2C Ca g g R

(b) 2 2

0 18 CR g

(c) 2 2

0 6M R

10.87 (a) 2 2 3

1 1 1m v r r

(b) 22

1 1 1 22 1m v r r

(c)resultados iguais.