capitulo19

Problemas y Experimentos Recreativos www.librosmaravillosos.com Yakov Perelman

Preparado por Patricio Barros

Antonio Bravo

1

Captulo 19

Aritmtica divertida

Una multiplicacin fcil

Si no recuerda usted bien la tabla de multiplicar y tiene dudas cuando multiplica por

9, sus propios dedos le pueden ayudar.

Ponga las dos manos sobre la mesa: sus diez dedos le servirn de mquina

calculadora.

Supongamos que hay que multiplicar 4 por 9. El cuarto dedo da la respuesta: a su

izquierda hay tres dedos, a su derecha, seis; lea usted: 36; es decir, 4 x 9 = 36.

Otros ejemplos: cuntas son 7 * 9?

El sptimo dedo tiene a la izquierda seis dedos, y ala derecha, tres. La respuesta es

63.



Antonio Bravo

2

Cuntas son 9 * 9? El noveno dedo tiene ocho dedos a su izquierda y uno a su

derecha. La respuesta es 81.

Esta mquina de calcular animada le ayudar a recordar bien a qu es igual 6 * 9, y

no confundir, como hacen algunos, 54 y 56. El sexto dedo tiene a la izquierda cinco

dedos, y a la derecha, cuatro; por lo tanto, 6 * 9 = 54.

Las chovas y las estacas (Problema popular)

Llegaron las chovas

y se posaron en estacas.

Si en cada estaca

se posa una chova,

hay una chova

que se queda sin estaca.

Pero si en cada estaca

se posan dos chovas,

en una de las estacas no habr chova.

Cuntas eran las chovas?

y, cuntas las estacas?

Las hermanas y los hermanos

Yo tengo tantas hermanas como hermanos. Pero mi hermana tiene la mitad de

hermanas que de hermanos. Cuntos somos?



Antonio Bravo

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Figura 242

Cuntos hijos?

Yo tengo seis hijos. Cada hijo tiene una hermana. Cuntos hijos tengo?

El desayuno

Dos padres y dos hijos se comieron en el desayuno tres huevos, con la

particularidad de que cada uno se comi un huevo entero. Cmo explica usted

esto?

Tres cuartas partes de hombre

A un manijero le preguntaron cuntos hombres tena su cuadrilla. El respondi de

un modo bastante confuso:

-Los hombres no son muchos: tres cuartos de los que somos ms tres cuartos de

hombre, sa es toda nuestra gente.

Podra usted adivinar cuntos hombres haba en esta cuadrilla?

Cuntos aos tienen?

-Dgame, usted, abuelo, qu edad tiene su hijo?

-Tiene tantas semanas como mi nieto das,

-Y qu edad tiene su nieto?

-Tiene tantos meses como yo aos.

-Entonces, qu edad done usted?

-Los tres juntos tenemos exactamente 100 aos. Ingniate y sabrs qu edad

tenemos cada uno.

Quin es mayor?

Dentro de dos aos mi hijo ser dos voces mayor que era hace dos aos. Y mi hija

ser dentro de tres aos tres veces mayor que era hace tres aos.



Antonio Bravo

4

Figura 243

Quin es mayor, el nio o la nia?

La edad de mi hijo

Mi hijo es ahora tres veces ms joven que yo. Pero hace cinco aos era cuatro

veces ms joven.

Cuntos aos tiene?

Qu edad tiene?

A un aficionado a los acertijos le preguntaron cuntos aos tena. Su respuesta fue

intrincada.

-Multipliquen por tres los aos que yo tenga dentro de tres aos y rstenle el triplo

de los que tena hace tres aos y obtendrn precisamente los aos que tengo.

Qu edad tiene ahora?

Tres hijas y dos hijos

Un to fue a ver a sus dos sobrinos y tres sobrinas que ya haca bastante tiempo que

no vea. Los primeros que salieron a su encuentro fueron el pequeo Bolonia y su

hermanita Zhenia, y el rapaz le dijo muy ufano que l era dos veces mayor que su

hermana. Despus lleg corriendo Nadia, y su padre le dijo al recin llegado que las

dos nias juntas eran dos veces mayores que el nio.



Antonio Bravo

5

Cuando volvi de la escuela Aliosha, dijo el padre que los dos nios juntos tenan el

doble de aos que las dos nias juntas.

La ltima en llegar fue Lida y, cuando vio a su to exclam:

-To, ha llegado usted precisamente el da de mi cumpleaos. Hoy he cumplido 21

aos.

-Y sabes que -aadi el padre-, acabo de darme cuenta de que mis tres hijas juntas

tienen el doble de aos que mis dos hijos.

Cuntos aos tena cada hijo y cada hija?

Aos de sindicato

Yendo en el tranva tuve la ocasin de or la siguiente conversacin entre dos

pasajeros.

-Entonces, t llevas en el sindicato el doble do aos que yo?

-S, el doble.

-Pues, yo recuerdo que en una ocasin me dijiste que llevabas el triple.

-En efecto. Eso fue hace dos aos. Entonces llevaba el triple de aos, pero ahora

slo el doble.

Cuntos aos lleva cada uno en el sindicato?

Cuntas partidas?

Tres amigos jugaron a las damas. En total jugaron tres partidas. Cuntas partidas

jug cada uno?

El caracol

Un caracol decidi subir a un rbol de 15 m de altura. Durante cada da tena

tiempo de subir 5 m; pero mientras dorma por la noche, bajaba 4 m.



Antonio Bravo

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Figura 244

Al cabo de cuntos das llegar a la cima del rbol?

A la ciudad

Un koljosiano1 fue a la ciudad. La primera mitad del camino fue en tren, 15 veces

ms de prisa que si hubiera ido andando. Pero la segunda mitad del camino tuvo

que hacerla en una carreta de bueyes, dos veces ms despacio que a pie.

Figura 245

Cunto tiempo gan, sin embargo, en comparacin con el caso en que hubiera ido

todo el tiempo a pie?

Al koljs2

1 Campesino participante en una hacienda rural colectiva.2 Hacienda rural colectiva.



Antonio Bravo

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Desde la fbrica al koljs, la carretera no es lisa: primero va subiendo 8 km, y

despus baja una cuesta de 24 km. Mijilov fue hacia all en bicicleta y, sin

detenerse, lleg al cabo de 2 horas y 50 minutos. El regreso tambin lo hizo en

bicicleta, sin descansar, y tard 4 horas y 30 minutos.

Podra usted decir a qu velocidad suba Mijilov la cuesta y a qu velocidad la

baja?

Dos escolares

-Dame una manzana y tendr el doble que t -le dijo un escolar a otro.

-Eso sera injusto. Es preferible que t me des a m una manzana, y entonces

tendremos las mismas -le respondi su camarada.

Podra usted decir cuntas manzanas tena cada escolar?

El precio de la encuadernacin

He aqu un problema que parece fcil, pero que al resolverlo son muchos los que se

equivocan. Un libro encuadernado cuesta 2 rublos y 50 kopeks. El libro vale 2 rublos

ms que la encuadernacin.

Cunto cuesta la encuadernacin?

EL precio de la hebilla

Un cinturn con su hebilla vale 68 kopeks. La correa cuesta 60 kopeks ms que la

hebilla.

Cunto vale la hebilla?



Antonio Bravo

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Figura 246

Los barriles de miel

En un almacn quedaban siete barriles llenos de miel, otros siete llenos de miel

hasta la mitad, y siete vacos. Todo esto fue comprado por tres cooperativas, que

despus tuvieron que repartirse los envases y la miel en partes iguales.

Se plantea la pregunta: cmo hacer este reparto sin transvasar la miel de un barril

a otro?

Si cree que esto puede hacerse por varios procedimientos, diga todos los

procedimientos que haya ideado.

Los gatitos de Misha

Si Misha ve en cualquier parte un gatito abandonado, lo recoge y se lo lleva a su

casa. Siempre tiene varios gatitos, pero procura no decirle a sus camaradas cuantos

tiene, para que no se ran de l. Una vez le preguntaron:

- Cuntos gatos tienes ahora?

-Pocos -respondi -, tres cuartos de todos los que tongo y tres cuartos de gato,

sos son los que tengo en total.

Sus camaradas pensaron que Misha quera burlarse de ellos. Sin embargo, l les

puso un problema fcil de resolver.

Resulvalo!

Los sellos de correos

Un ciudadano compr 5 rublos de sellos de correos de tres valores distintos: de 50

kopeks, de 10 kopeks y de 1 kopek, en total 100 sellos.

Podra usted decir cuntos sellos compr de cada tipa?

Cuntas monedas?

A un ciudadano le devolvieron 4 rublos y 65 kopeks en rublos, monedas de diez

kopeks (grvennik) y monedas de una kopek3. En total recibi 42 monedas

Cuntas monedas le dieron de cada valor?



Antonio Bravo

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Cuntas soluciones tiene este problema?

Calcetines y guantes

En un cajn hay 10 pares de calcetines de color castao obscuro y 10 pares de

calcetines negros; en otro cajn hay 10 pares de guantes de color castao obscuro

y la misma cantidad de pares de guantes negros.

Cuntos calcetines y guantes ser suficiente sacar de cada cajn, para que con

ellos se pueda formar un par, cualquiera, de calcetines y un par de guantes?

El gusanillo del libro

Hay insectos que roen los libros hoja por hoja y de este modo se abren paso a

travs de los tomos. Uno de estos gusanillos de los libros, royendo, se abri

camino desde la primera pgina del primer tomo hasta la ltima del segundo tomo,

que estaba al lado del primero, tal como se representa en la figura.

Figura 247

Cada tomo tiene 800 pginas.

Cuntas pginas roy el gusanillo?

3 La kopek es la centsima parte del rublo.



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Este problema no es difcil, pero tampoco tan fcil como usted, probablemente,

cree.

Las araas y los escarabajos

Un pionero reuni en una caja araas y escarabajos. En total ocho. Si se cuentan

todas las patas de los bichos que hay en la caja resultan 54.

Cuntas araas y cuntos escarabajos hay en la caja?

Los siete amigos

Un ciudadano tena siete amigos. El primero vena a visitarlo cada tarde, el

segundo, cada segunda tarde, el tercero, cada tercer tarde, el cuarto, cada cuarta

tarde y as sucesivamente hasta el sptimo, que vena cada sptima tarde.

Figura 248

Con cunta frecuencia se encontraban los siete amigos y el anfitrin la misma

tarde?

Continuacin del anterior

Las tardes en que los siete amigos se reunan, el anfitrin los invitaba a beber vino

y todos chocaban las copas entre s por parejas.

Al hacer esto, cuntas veces se oyen las copas chocar entre s?

SOLUCIONES

Una multiplicacin fcil

Se resuelve en el mismo enunciado.



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Las chovas y las estacas

Este antiguo problema popular se resuelve as. Nos preguntamos: cuntas chovas

ms habra que tener en el segundo caso que en el primero, para llenar todos los

puestos en las estacas? Es fcil comprender que en el primer caso falt sitio para

una chova, mientras que en el segundo todas las chovas tenan puesto y an

faltaban dos chovas; por lo tanto, para ocupar todas las estacas, en el segundo

caso, hubiera sido necesario tener 1 + 2, es decir, tres chovas ms que en el

primero. Pero en cada estaca se posa una chova ms. Luego est claro que las

estacas eran tres. Si en cada una de estas estacas hacemos que se pose una chova

y aadimos un ave ms, obtenemos el nmero de pjaros: cuatro.

As, pues, la del problema es: cuatro chovas y tres estacas.

Las hermanas y los hermanos

En total son siete: cuatro hermanos y tres hermanas. Cada hermano tiene tres

hermanas y tres hermanos, y cada hermana, cuatro hermanos y dos hermanas.

Cuntos hijos?

En total son siete hijos: seis varones y una hembra. (De ordinario responden que

los hijos son doce; pero en este caso cada hijo tendra seis hermanas, y no una).

EL desayuno

La cuestin se explica fcilmente. A la mesa no se sentaron cuatro personas, sino

solamente tres: el abuelo, su hijo y el nieto. Tanto el abuelo como su hijo son

padres, y tanto el hijo como el nieto son hijos.

Tres cuartas partes de hombre

Sabemos que tres cuartas partes de la cuadrilla ms tres cuartas partes de hombre

constituyen la cuadrilla entera. Por lo tanto, estas tres cuartas partes de hombre es

la cuarta parte que le falta a la cuadrilla. Despus ya es fcil comprender que la

brigada completa ser cuatro veces mayor que tres cuartas partes de hombre. Pero

tres cuartas partes tomadas cuatro veces (es decir, multiplicadas por cuatro) dan

tres. Por consiguiente, en la cuadrilla haba en total tres hombres.



Antonio Bravo

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Cuntos aos tienen?

Calcular los aos que tiene cana uno no es difcil. Est caro que el hijo es siete

veces mayor que el nieto, y que el abuelo es 12 veces mayor. Si el nio tuviera un

ao, el hijo' tendra 7 y el abuelo 12, y todos juntos, 20. Esto es exactamente cinco

veces menos de lo que ocurre en realidad. Por lo tanto, el nieto tiene cinco aos, el

hijo. 35 y el abuelo, 60. Hagamos la prueba: 5 + 35 + 60 = 100.

Quin es mayor?

Mayor no es ninguno de los dos: son mellizos y en el momento dado tiene cada uno

seis aos. La edad se halla por medio de un simple clculo: dentro de dos aos el

nio tendr cuatro aos ms que hace dos aos y ser dos veces mayor que

entonces; por lo tanto, cuatro aos es la edad que tena hace dos aos, y ahora

tiene 4 + 2 = 6 aos.

Esta misma es la edad de la nia.

La edad de mi hijo

Si el hijo es ahora tres veces ms joven que el padre, ste ser mayor que l en dos

veces su edad. Cinco aos antes el padre, claro est, tambin era mayor que el hijo

en dos veces la edad actual de ste. Por otra parte, como el padre era entonces

cuatro veces mayor que el hijo, quiere decir que era mayor que l en tres veces su

edad de entonces. Por consiguiente, dos veces la edad actual del hijo es igual a tres

veces su edad anterior o, lo que es lo mismo, el hijo es ahora 11/2 mayor de lo que

era hace cinco' aos. De donde es fcil comprender que cinco aos es la mitad de la

edad anterior del hijo y, por lo tanto, hace cinco aos ste tena 10 aos y ahora

tiene 15 aos.

As, pues, el hijo tiene ahora 15 aos, y el padre 45. En efecto, hace cinco aos

tena el padre 40 aos y el hijo, 10, es decir, era cuatro veces ms joven.

Qu edad tiene?

La aritmtica es bastante complicada, pero el problema se resuelve fcilmente si se

recurre al lgebra y se plantea una ecuacin. Llamemos x al nmero de aos que



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buscamos. En este caso, la edad al cabo de tres aos deber designarse por x + 3,

y la edad hace tres aos, por x - 3. Tendremos la ecuacin:

3 (x + 3) - 3 (x - 3) = x, que una vez resulta da x = 18. El aficionado a los acertijos

tiene ahora 18 aos.

Hagamos la prueba: dentro de tres aos tendr 21 aos; hace tres aos tena 15.

La diferencia

3 x 21 - 3 x 15 = 63 - 45 = 18, es decir, igual a la edad actual del aficionado a los

acertijos.

Tres hijas y dos hijos

Sabemos que Volodia es dos veces mayor que Zhenia, y que Nadia y Zhenia juntos

tienen el doble de aos que Volodia. Por lo tanto, Nadia y Zhenia juntas tienen

cuatro veces ms aos que Zhenia sola. De aqu se deduce directamente que Nadia

es tres veces mayor que Zhenia.

Sabemos tambin que los aos de Aliosha y Volodia suman el doble que los aos de

Nadia y Zhenia. Pero la edad de Volodia es doble que la de Zhenia, y Nadia y Zhenia

juntas tienen cuatro veces ms aos que Zhenia sola. Por consiguiente, la suma de

los aos de Aliosha ms el doble de los de Zhenia es igual a 8 veces la edad de

Zhenia. Es decir, Aliosha es seis veces mayor que Zhenia.

Finalmente, sabemos que la suma de las edades de Lida, Nadia y Zhenia es igual a

la de las edades de Volodia y Aliosha.

Ante 1a vista tenemos la siguiente tabla:

Lida 21 aos,

Nadia tres veces mayor que Zhenia,

Volodia dos veces mayor que Zhenia,

Aliosha seis veces mayor que Zhenia,

podemos decir que la suma de 21 aos ms tres veces la edad de Zhenia, ms la

edad de Zhenia es igual a cuatro veces la edad de Zhenia ms 12 veces la edad de

Zhenia.



Antonio Bravo

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O sea: 21 aos ms cuatro veces la edad de Zhenia es igual a 16 veces la edad de

Zhenia.

De aqu se deduce que 21 aos es igual a 22 veces la edad de Zhenia y, por lo

tanto,

Zhenia tiene 21/12 = 131, aos.

Ahora ya es fcil determinar que Volodia tiene 31/2 aos, Nadia, 51/4 y Aliosha,

201/2 aos.

Aos de sindicato

Uno llena ocho anos en el sindicato y el otro, cuatro aos. Hace dos aos el primero

llevaba seis aos y el segundo, dos, es decir, tres veces menos (el problema se

resuelve fcilmente valindose de una ecuacin).

Cuntas partidas?

De ordinario responden que cada uno jug una partida, sin pararse a pensar que

tres jugadores (lo mismo que cualquier otro nmero impar) no pueden jugar en

modo alguno una partida solamente cada uno, porque, con quin jugara entonces

el tercer jugador? En cada partida tienen que participar dos jugadores. Si jugaron A,

B y C y fueron jugadas tres partidas, esto quiere decir que jugaron

A con B

A con C

B con C

Se ve fcilmente que cada uno jug no una, sino dos partidas:

A jug con B y con C

B jug con A y con C

C jug con A y con B

As, pues, la respuesta correcta a este acertijo es: cada uno de los tres jug dos

veces, aunque slo se jugaron tres partidas en total.



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El caracol

Al cabo de 10 das (con sus noches) y un da ms. Durante los primeros 10 das, el

caracol sube 10 m (uno cada da), y durante el ltimo da sube 5 m ms, es decir,

llega a la cima del rbol. (De ordinario responden errneamente que al cabo de 15

das).

A la ciudad

El koljosiano no gan nada, al contrario, perdi. En la segunda mitad del camino

emple tanto tiempo como hubiera tardado en hacer a pie todo el recorrido hasta la

ciudad. Por lo tanto, no pudo ganar tiempo, sino que slo pudo perderlo.

Perdi 1/5 parte del tiempo necesario para recorrer a pie la mitad del camino.

Al koljs

La de este problema queda clara si se parte de los siguientes cmputos:

En 24 km subiendo cuesta y 8 km bajando cuesta tarda 4 horas y 30 minutos.

En 8 km subiendo cuesta y 24 km bajando cuesta tarda 2 horas y 50 minutos.

Multiplicando el segundo .rengln por tres, tenemos que:

En 24 km subiendo cuesta y 72 km bajando cuesta tardara 8 horas y 30 minutos.

De aqu se deduce claramente que 72 menos 8, es decir, 64 km bajando cuesta, los

recorre el ciclista en 8 horas y 30 minutos menos 4 horas y 30 minutos, o sea, en 4

horas. Por consiguiente, en una hora recorrera 64 : 4 = 16 km bajando cuesta.

De un modo semejante hallamos que subiendo cuesta recorra 6 km por hora. De la

correccin de estas soluciones es fcil convencerse haciendo la prueba.

Dos escolares

Del hecho de que la entrega de una manzana iguale el nmero de las que tienen los

dos escolares se deduce, que uno de ellos tiene dos manzanas ms que el otro. Si

del nmero menor se quita una manzana y se agrega al nmero mayor, la

diferencia aumenta en dos ms y se hace igual a cuatro. Pero sabemos que en este

caso el nmero mayor ser igual al duplo del menor. Par lo tanto, el nmero menor

ser entonces 4, y el mayor, 8.



Antonio Bravo

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Antes de la entrega de la manzana, una de los escolares tena 8 - 1 = 7, y el otro 4

+ 1 = 5.

Comprobemos si estos nmeros se igualan cuando del mayor se quita una manzana

y se le agrega al menor:

7 - 1 = 6; 5 + 1 = 6.

As, pues, uno de los escolares tena siete manzanas y el oteo cinco.

EL precio de la encuadernacin

Por lo general responden sin pensar: la encuadernacin cuesta 50 kopeks.

Pero en este caso el libro costara 2 rublos, es decir, slo sera 2 rublos y 50 kopeks

ms caro que la encuadernacin.

La respuesta correcta es: el precio de la encuadernacin es 25 kopeks, y el del libro,

2 rublos 25 kopeks; entonces el libro resulta exactamente 2 rublos ms caro que la

encuadernacin.

El precio de la hebilla

Usted quiz haya pensado que la hebilla cuesta 8 kopeks. Si es as, se ha

equivocado, porque en este caso la correa costara no 60 kopeks ms cara que la

hebilla, sino slo 52. La respuesta correcta es: la hebilla cuesta 4 kopeks; entonces

la correa vale 68 - 4 = - 60 kopeks, es decir, 60 kopeks ms que la hebilla.



Antonio Bravo

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Figura 246

Los barriles de miel

Este problema se resuelve con bastante facilidad, si se considera que en los 21

barriles comprados haba 7 + 31/2, es decir, 10 1/2 barriles de miel.

Por lo tanto, cada cooperativa debe recibir 31/2 barriles de miel y siete barriles

vacos.

El reparto puede hacerse de dos maneras. Por una de ellas las cooperativas reciben:

Cuadro 29

Por el otro procedimiento, las cooperativas reciben:

Cuadro 30

Los gatitos de Misha

No es difcil comprender que 3/4 partes de gato es la cuarta parte de todos los

gatitos.

Por lo tanto, el total de los gatitos era cuatro veces mayor que 3/4 partes, es decir,

tres. En efecto, 3/4 de tres es 21/4, y quedan 3/4 partes de gato.

Los sellos de correos



Antonio Bravo

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Este problema tiene slo una.

EL ciudadano compr:

1 sellos de a 50 kopeks

39 sellos de a 10 kopeks

60 sellos de a 1 kopek.

Efectivamente, los sellos eran en total 1 + 39 + 60 = 100, costaban 50 + 390 + 60

= 500 kopeks.

Cuntas monedas?

EL problema tiene cuatro soluciones, a saber:

I

procedimiento

II

procedimiento

III

procedimiento

IV

procedimiento

Rublos 1 2 3 4

Monedas de 10

kopeks

36 25 14 3

Kopeks 5 15 25 35

Total de monedas 42 42 42 42

Calcetines y guantes

Bastarn tres calcetines, ya que dos de ellos sern siempre del mismo color. Con los

guantes es ms complicado el problema, ya que se diferencian entre s no slo por

el color, sino tambin porque la mitad de ellos son para la mano derecha y la otra

mitad, para la izquierda. Aqu bastar sacar 21 guantes. Si se sacan menos, por

ejemplo, 20, puede ocurrir que todos sean de la misma mano (40 castaos

izquierdos y 10 negros izquierdos).

EL gusanillo de libro

De ordinario responden que el gusanillo roy 800 + 800 pginas y dos tapas de

encuadernacin. Pero esto no es cierto. Ponga juntos dos libros: uno al derecho y



Antonio Bravo

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otro al revs, como muestra la fig. 247. Mire ahora cuntas pginas hay entre la

primera del primer libro y la ltima del segundo.

Se convencer de que entre ellas no hay nada ms que las dos tapas.

El gusanillo del libro slo estrope, pues, las tapas de los libros, sin tocar sus

hojas.

Las araas y los escarabajos

Para resolver este problema hay que empezar recordando lo que dice la historia

natural acerca de cuntas patas tienen los escarabajos y cuntas, las araas: el

escarabajo tiene seis patas y la araa, ocho.

Sabiendo esto, supongamos que en la caja slo haba ocho escarabajos. Entonces el

nmero total de patas sera 6 * 8 = 48, es decir, seis menos de las que indica el

problema. Probemos ahora a sustituir un escarabajo por una araa. Con esto el

nmero de patas aumentar en dos, porque la araa tiene ocho patas, en vez de

seis del escarabajo.

Est claro que si hacemos seis sustituciones como sta, el nmero total de las patas

que hay en la caja llegar a las 54 requeridas. Pero entonces slo quedarn cinco de

los ocho escarabajos, las dems sern araas.

As, pues, en la caja haba cinco escarabajos y tres araas.

Hagamos la prueba: los cinco escarabajos tienen 30 patas, y las tres araas, 24,

con lo que en total sern 30 + 24 = 54 como exige la condicin del problema.

El problema tambin se puede resolver de otro modo, a saber: puede suponerse

que en la caja slo haba ocho araas. Entonces el nmero total de patas resultara

ser 8 * 8 = 64, es decir, 10 veces ms de las indicadas en la condicin.

Sustituyendo una araa por un escarabajo disminuiremos en dos el nmero de

patas. Hay que hacer cinco sustituciones de este tipo para reducir el nmero de

patas a las 54 que se requieren. En otras palabras, de las ocho araas slo hay que

dejar tres y sustituir las dems por escarabajos.

Los siete amigos

No es difcil comprender que los siete amigos slo podran encontrarse juntos al

cabo de un nmero de das divisible por 2, 3, 4, 5, 6 y 7. El menor de estos



Antonio Bravo

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nmeros es 420. Por lo tanto, todos los amigos se reunan slo una vez cada 420

das.

Continuacin del anterior

Cada uno de los ocho asistentes (el anfitrin y sus siete amigos) choca su copa con

los otros siete; por lo tanto, resultan 8 * 7 = 56 combinaciones de dos. Pero, al

proceder as, cada pareja se cuenta dos veces (por ejemplo, el tercer husped con

el quinto y el quinto con el tercero se cuentan corno si fueran parejas distintas). Por

consiguiente, las copas sumarn 56/2 = 28 veces.

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