Capitulo3 Cam Clay

Capítulo 3

Plasticidad y formulación constitutivadel modelo Cam-Clay

3.1. Introducción

Desde los albores del desarrollo de las leyes matemáticas, en la Mecánica del suelo, se ha usadola ley de Hooke para describir la respuesta de materiales granulares sometidos a cargas externas. Enrealidad, la relación tensión-deformación de los suelos granulares es no lineal, inelástica, anisótropa, yno homogénea. Además, el comportamiento de este tipo de suelos depende del tiempo y de la trayecto-ria seguida por la tensión. Debido a esto, para describir de una forma más realista el comportamientoinelástico de los suelos se necesitan leyes constitutivas más sofisticadas .

Para poder predecir este comportamiento tan complejo de los suelos granulares, se puede acudir ala teoría clásica de la plasticidad, la cual nos proporciona una estructura global con la que abordar elproblema. Bajo la hipótesis de aplicación infinitesimal de las cargas, el comportamiento del suelo esindependiente del tiempo. Esta independencia puede formularse con la teoría clásica de la plasticidadcomo una combinación de comportamiento elástico y plástico. Ya que no hay una correspondenciabiunívoca entre la tensión y deformación en el estado plástico, no es posible obtener una relacióntensión-deformación únicamente en términos del estado tensional actual. Por esta razón, en la teoríade la plasticidad, la relación incremental en términos de incrementos de tensión y deformación debeexpresarse mediante el historial de tensiones y deformaciones que soporta el suelo.

Desde que se planteó el criterio de plastificación de Von Mises para plasticidad en metales, sehan desarrollado una gran cantidad de modelos. A raíz de la dependencia de la tensión principal enel modelo de Von Mises, se desarrolló el modelo Drucker-Prager para modelar materiales isótropos(Drucker, 1951[8]). Posteriormente, se propuso la teoría de estados críticos, que asume la existenciade una única superficie en p0− q− e (tensión efectiva principal, tensión tangencial e índice de huecos).Esta teoría propició grandes avances en el campo de la plasticidad de los suelos. Entre los modelosdesarrollados más útiles para suelos se encuentra el modelo Cam-Clay (Roscoe et al., 1968[22]; Schofieldy Wroth, 1968[24]; Roscoe y Burland, 1968[21]) que fue el primer modelo de plasticidad de suelos queestableció una conexión entre la deformación volumétrica εv y las características de resistencia acortante de suelos normalmente consolidados. Este modelo fue la base para muchas formulacionesmatemáticas del comportamiento del suelo.

Aunque estos modelos fueron válidos durante mucho tiempo, la complejidad del comportamien-to real de materiales granulares hizo que se desarrollaran una gran variedad de modelos plásticosmacroscópicos. Aspectos que se tuvieron en cuenta en estos modelos fueron: la dilatancia y el com-portamiento a cargas cíclicas de suelos sueltos. Estos fenómenos son propios de los terremotos queprovocan asientos en suelos tipo arenas o liquefacción en suelos saturados sueltos. Para este tipo decasos, el modelo Cam-Clay ya no es apropiado ya que se basa en una relación única entre el tamañode la superficie de plastificación y la deformación volumétrica, excluyendo la posibilidad de dilataciónde materiales densos. Otra hipótesis en la que se basa este modelo es la plasticidad clásica, la cual es-tablece que existe una separación clara entre el comportamiento plástico y el elástico. Esta suposiciónincurre en grandes errores en la predicción de la presión intersticial y deformaciones elásticas irreales

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32 Capítulo 3. Plasticidad y formulación constitutiva del modelo Cam-Clay

durante la descarga en la aplicación de cargas cíclicas infinitesimales. Para resolver estos problemasse han desarrollado modelos que incluyen los siguientes conceptos:

1. Múltiples superficies de plastificación anidadas presentado por Mroz (1967)[17] y usado mástarde por Iwan (1967)[11].

2. Mecanismos múltiples de plastificación y leyes de flujo no asociativas presentado por Koiter(1953)[13] y usado más tarde por Lade (1977)[14].

3. Plastificación progresiva desde un estado de tensión hasta una superfice límite presentado porDafalias y Popov (1976)[6]. Fue usado más tarde por Borja et al. (2001)[4].

Los modelos con superficies de plastificación anidadas, resuelven la incapacidad de la plasticidadclásica para modelar el comportamiento anisotrópo, cuando se aplican cargas cíclicas. En estos mod-elos, se definen una serie de superficies anidadas que pueden desplazarse y crecer mientras se producela carga plástica. Los incrementos de deformación plástica se obtienen por la contribución individualde cada mecanismo de plastificación. El concepto de superficie límite presentado por Dafalias y Popov(1976)[6] abandona la idea de superficie de plastificación; en cambio, usa un estado imagen sobre lasuperficie límite para determinar el comportamiento del suelo en la zona plástica. Para obtener elmódulo plástico se usa una expresión que relaciona el estado de tensión con un estado imagen sobrela superficie límite.

Como acabamos de ver, la capacidad de los modelos constitutivos para suelos ha aumentado, peroesto ha llevado consigo un incremento de la complejidad de los mismos. Así, podemos concluir queno es nada sencillo caracterizar de forma apropiada los materiales mediante los modelos constitutivospresentados e implementarlos usando el metodo de los elementos finitos. Por lo tanto, se plantea labúsqueda de un modelo no muy complejo, con una formulación matemática robusta, pero sin desviarseexcesivamente del comportamiento real del suelo.

3.2. Notación estándar

Se usarán los caracteres en negrita para denotar a los vectores y tensores, mientras que la sumase indica mediante la repetición de índices. B ⊂ Rndim representa la configuración de referenciade un sólido, donde 1 ≤ ndim ≤ 3 es la dimensión del espacio. Se supone que B es abierto, confrontera suave ∂B y cerrado B := B ∪ ∂B. En la configuración tridimensional de referencia, se eligeuna base ortonormal {ei, i = 1, 2, 3}. Denominando a u como el campo de desplazamientos, el tensorde deformación infinitesimal se denota por

ε = ∇u := 1

2

£∇u+ (∇u)T

¤(3.1)

y usando la notación de índices

ε =1

2(ui,j + uj,i) ei ⊗ ej (3.2)

donde la coma representa la derivada respecto al correspondiente índice, y ⊗ indica el producto detensores. Los tensores simétricos de segundo orden pueden verse como transformaciones lineales en S,definidas como

S :=©ξ : Rndim −→ Rndim |ξ es lineal, y ξ = ξT

ªEl tensor de tensiones de Cauchy viene dado por

σ = σijei ⊗ ej (3.3)

Los tensores identidad simétricos de segundo orden “1” y cuarto orden “I” se definen por las relaciones1a = a y Ib = b respectivamente (donde a : tensor de segundo orden, b : tensor de cuarto orden).Usando la notación de índices

1 = δijei ⊗ ej (3.4)

I =1

2(δikδjl + δilδjk)ei ⊗ ej ⊗ ek ⊗ el (3.5)

3.3. Formulación General de la Elastoplasticidad 33

donde δij es la delta de Kronecker (es decir, δij = 1 si i = j, δij = 0 en otro caso). Los tensoresdesviadores de tensión y deformación, denominados como s y e respectivamente, vienen dados por

s = σ − 13tr(σ)1 (3.6)

e = ε− 13tr(ε)1 (3.7)

Como las relaciones constitutivas de los suelos hacen referencia a la deformación del esqueleto del suelo,el estado tensional actual debe estar relacionado con las tensiones efectivas. Observando la definiciónde la tensión efectiva, un incremento de la tensión efectiva σ puede relacionarse con el incremento detensión total σt y el incremento de presión intersticial u como

σ = σt − u1 (3.8)

En las siguientes secciones las tensiones se consideran efectivas.

3.3. Formulación General de la Elastoplasticidad

Durante la deformación irreversible, el estado del material puede definirse en términos del estadoactual de tensiones y de un conjunto de variables internas, o “parámetros históricos”, los cuales repre-sentan el historial de la carga a la que ha estado sometida el material. Aunque el nombre de “variablesinternas” se asocia normalmente con la inelasticidad, se usa en este contexto el nombre de “variablesinternas plásticas” (PIV) para hacer hincapié su asociación con la plasticidad (Dafalias y Popov,1976[6]). Las PIV suelen ser escalares: el trabajo plástico, componentes del tensor de deformaciones ode tensiones....

3.3.1. Ecuaciones Generales

En la plasticidad, el tensor de incremento total de deformaciones ε se descompone en las compo-nentes elástica εe y plástica εp. Así,

ε = εe + εp (3.9)

La componente elástica puede obtenerse mediante la ley de Hooke. Así,

εe = C−1 : σ (3.10)

σ = C : εe (3.11)

σ = C : (ε− εp) (3.12)

donde C−1 es la inversa del tensor elástico.Además de las formulaciones elásticas, se pueden considerar las formulaciones hiperelásticas o

hipoelásticas. En las primeras, las tensiones se definen a través de una función de almacenamiento deenergía Ψ :

Ψ: B× S −→ R (3.13)

tal que

σ =∂Ψ(ε)

∂ε(3.14)

y

C =∂2Ψ(ε)

∂ε ∂ε(3.15)

donde C es el tensor elástico.Por otro lado, en las formulaciones hipoelásticas existe una relación directa entre las tensiones y

las deformaciones

σ = f(σ, ε) (3.16)

C = f(σ) (3.17)


Para los materiales homogéneos, elásticos e isótropos con las partes desviadora y volumétrica de-sacopladas, el tensor elástico toma la siguiente forma

C = λ1⊗ 1+ 2GIo (3.18)

C = K1⊗ 1+ 2G(I−131⊗ 1) (3.19)

donde λ, G son las constantes de Lame, mientras queK = λ+ 23G es el módulo volumétrico. Aunque las

formulaciones lineales y elásticas son usadas en muchos campos de la Ingeniería (se toman constantesλ y G o K), muchos modelos de suelos suponen la variación de K y G con la tensión o la deformación(Borja y Lee, 1990[3]; Borja, 1991[1]). Los detalles de las formulaciones elásticas no lineales serántratadas más tarde.

Las deformaciones elásticas son las únicas que existen hasta que se alcanza la superficie de plastifi-cación. El lugar de todas las tensiones que provocan plastificación definen la superficie de plastificación,o función de plastificación. Por lo tanto, un estado de plastificación es un estado de tensiones que marcael comienzo de la deformación plástica y se sitúa sobre la superficie de plastificación. La existencia deuna superficie de convexa de plastificación permite separar el estado de tensiones en dos regiones: larespuesta puramente elástica y la elastoplástica. En general, la función de plastificación se representaen el espacio tensional como:

f(σ,q) = 0 (3.20)

donde σ es el estado de tensiones y q agrupa a un conjunto de variables internas que definen elendurecimiento o reblandecimiento del material. Los estados de tensiones admisibles plásticos σ selimitan al conjunto convexo definido por

Eσ := {(σ,q) ∈ S×Rm | f(σ,q) ≤ 0}

Se puede definir a este conjunto como Eσ = int(Eσ) ∪ ∂Eσ, donde int(Eσ) es el domino puramenteelástico y ∂Eσ es la frontera elástica

int(Eσ) : = {(σ,q) ∈ S×Rm | f(σ,q) < 0}∂Eσ : = {(σ,q) ∈ S×Rm | f(σ,q) = 0}

3.3.2. Respuesta irreversible

Regla de flujo y leyes de endurecimiento

Para caracterizar una respuesta irreversible, se necesita definir leyes que describan la evoluciónde las deformaciones plásticas εp y del conjunto de parámetros de endurecimiento q. Estas leyes sedenominan normalmente como “regla de flujo” y “ley de endurecimiento” respectivamente, y vienendefinidas por

εp = γm(σ,q) (3.21)

q = −γh(σ,q) (3.22)

donde γ ≥ 0 es un parámetro escalar no negativo, denominado parámetro de consistencia; la direccióndel flujo plástico se representa por m : S×Rm−→ S y h: S×Rm−→ Rm es una función que defineel tipo de endurecimiento.

En muchas ocasiones se supone que la dirección del flujo plástico,m, deriva de una función escalarQ(σ,q) denominada como el potencial plástico:

m = ∂σQ =∂Q

∂σ(3.23)

donde ∂4¤ representa la derivada de ¤ respecto a 4.

3.3. Formulación General de la Elastoplasticidad 35

Cuando la función de plastificación y el potencial plástico coinciden, es decir, f = Q, la regla deflujo es asociativa. En este caso, se cumple que

m = ∂σf =∂f

∂σ(3.24)

En el caso de f 6= Q, la regla de flujo se dice que no es asociativa. Tomando las Ecuaciones 3.9,3.10 y 3.21, la tensiones y deformaciones se relacionan con

ε = C−1 : σ + γm (3.25)

σ = C : (ε− γm) (3.26)

Basados en las condiciones de Kuhn-Tucker se puede establecer un criterio para la carga y descarga.En el estado plástico se cumple que f(σ,q) = 0 (Ecuación 3.20) y como el parámetro escalar γ esdistinto de cero, únicamente cuando se produce la deformación plástica, se puede definir el siguientecriterio para la carga-descarga:

γ > 0 , f(σ,q) = 0 −→ plastica (P ) (3.27)

γ = 0 , f(σ,q) = 0 −→ neutral (N)

γ = 0 , f(σ,q) < 0 −→ elastica (E)

En caso de carga, el punto que representa el estado tensional trata de salirse de la superficiede plastificación provocando las deformaciones plásticas. En cambio, en caso de descarga o carganeutral, el punto se mueve en el interior de la superficie de plastificación o sobre ella, sin producirselas deformaciones plásticas. Finalmente, la condición de consistencia se puede expresar como

γ ≥ 0, f(σ,q) ≤ 0, γ f(σ,q) = 0 (3.28)

la cual nos asegura que, durante un estado plástico, el estado tensional permanece en el conjuntoadmisible Eσ.

Definición del parámetro de consistencia γ y del tensor elastoplástico Cep

Anteriormente se comentó que durante la deformación plástica el estado tensional permanece sobrelas frontera de la región elástica, por lo que continua siendo un estado plástico. Es decir, si se cargadesde un estado plástico se llega a otro estado plástico. Esto puede expresarse matemáticamente conla condición de consistencia (Ecuación 3.28). Así,

f(σ,q) = L : σ + ∂qf · q = 0 (3.29)

donde L = ∂σf es el gradiente de la función de plastificación en el espacio tensional. En la plasticidadclásica, la regla de flujo y la ley de endurecimiento se suponen asociativas (Ecuaciones 3.21 y 3.22).Según esta hipótesis, se puede calcular la función escalar γ, la cual representa la magnitud del incre-mento de la deformación plástica. Sustituyendo la Ecuación 3.22 en la expresión anterior (Ecuación3.29), se obtiene

f(σ,q) = L : σ −Kp γ = 0 (3.30)

donde Kp es el módulo plástico y se define como

Kp = ∂qf h(m) =∂f

∂qh(m) (3.31)

Con la Ecuación 3.30 se puede obtener γ. De esta forma,

γ =1

KpL : σ (3.32)

A continuación, si se sustituye la Ecuación 3.26 en la última expresión obtenida (Ecuación 3.32), seobtiene

γ =L : C : ε

Kp + L : C :m(3.33)


donde “:” denota el producto entre dos tensores. Finalmente, tomando esta última expresión (Ecuación3.33) y sustituyéndola en la Ecuación 3.26, se llega a una expresión general del tensor elastoplásticoCep.

Cep = C− C : L⊗m : C

Kp + L : C :m(3.34)

Resumiendo, la expresión que relaciona la evolución de las tensiones y deformaciones es

σ = Cep : ε (3.35)

donde el tensor elastoplástico Cep se define en función del valor de γ. En el caso de γ = 0 :

Cep = C (3.36)

mientras que para γ = 0 :

Cep = C− C : L⊗m : C

Kp + L : C :m(3.37)

3.4. Formulaciones elásticas no lineales para suelos

Como se acaba de describir en las Ecuaciones 3.33∼3.35, el tensor elástico de cuarto orden C juegaun papel importante en la formulación elastoplástica. Aunque la elasticidad lineal (ley de Hooke) seha usado en suelos con pequeñas deformaciones, el comportamiento no lineal de los suelos requiereuna formulaciones de orden superior. Por lo tanto, un modelo constitutivo del suelo adecuado debedescribir ese comportamiento no lineal. En este sentido, hay autores que definen el módulo volumétricoK y el módulo a cortante G de los suelos variables con la tensión principal efectiva. Al principio, seusaron funciones lineales con la tensión normal efectiva p como por ejemplo

K =

µ1 + e

κ

¶p

G =3K

2

(1− 2ν)(1 + ν)

donde e es el índice de huecos, κ es la pendiente de la recta de carga-descarga y v es el coeficiente dePoisson. Estas relaciones se han usado junto a los modelos de estados críticos; sin embargo, debido ala energía existente bajo los lazos de tensión, no se describe de forma exacta el comportamiento realde los suelos.

Como vimos anteriormente, los modelos elásticos no lineales para suelos se clasifican en hiperelás-ticos e hipoelásticos. En hiperelasticidad, la tensión se obtiene derivando la función de energía dedeformación respecto a la deformación. La existencia de una función de almacenamiento de energíanos conduce a un modelo conservativo. Por otro lado, en hipoelásticidad la relación entre la tensióny la deformación se expresa en forma incremental. Ya que no se tiene en cuenta la energía de defor-mación, los modelos hipoelásticos pueden dar respuestas erróneas. A continuación, se profundiza enestos modelos.

3.4.1. Modelos Hipoelásticos

Recordando las Ecuaciones 3.6∼3.7, en las que se definían las componentes desviadoras de lostensores tensión y deformación, la ley de Hooke (Ecuación 3.10) se puede descomponer y expresarlaen función de las deformaciones desviadoras y volumétricas. Así, se llega a las siguientes relaciones:

ee =s

2G(3.38)

εev =tr(σ)

3K(3.39)

3.4. Formulaciones elásticas no lineales para suelos 37

donde ee y εev son los incrementos de las deformaciones elásticas desviadoras y volumétricas, respec-tivamente. El tensor de deformaciones elásticas se puede descomponer es sus partes desviadora yvolumétrica

εe = ee +1

3εev 1 (3.40)

εev = tr(εe) = εe : 1 (3.41)

Las relaciones estudiadas entre la tensión y la deformación elásticas pueden reformularse en el espaciotriaxial usando los invariantes vistos en el capítulo segundo. De esta forma,

εes =1

3Gq (3.42)

εev =1

Kp (3.43)

donde

εes =

µ2

3ee : ee

¶1/2(3.44)

Se han hecho muchos estudios sobre la no linealidad de los parámetros K y G. Entre estos estu-dios, destaca el realizado por Hardin y Drenevich (1972)[9], quienes demostraron la influencia de tresparámetros sobre el módulo a cortante: la amplitud de la deformación, la tensión efectiva normal y elíndice de huecos. En este sentido, el módulo a cortante se puede expresar como

G = Go(p

patm)b (3.45)

donde patm es la presión atmosférica, b es una constante del material y Go es el módulo a cortantepara p = patm. Por otro lado, el módulo volumétrico K depende del módulo a cortante G y ambos sepueden relacionar a través del coeficiente de Poisson ν: K = 2G(1−ν)

1−2/ν . Recientemente, se ha demostradoque el módulo volumétrico varía de forma similar a G,

K = Ko(p

patm)b (3.46)

donde Ko es el módulo de referencia para p = patm. En la elasticidad isotrópica de suelos (Ecuación3.19), el módulo elástico utilizado viene definido por las ecuaciones 3.45∼3.46.

3.4.2. Modelos Hiperelásticos

Las formulaciones hiperelásticas se basan en la existencia de una función de almacenamiento deenergía. Diversos autores han propuesto varios modelos conservativos, pero este proyecto se basa enel trabajo desarrollado por Ronaldo I. Borja et al.(1997)[5], quién parte de la la existencia de unafunción de almacenamiento de energía de la siguiente forma

Ψ = Ψ(εe) (3.47)

donde εe es el tensor elástico de deformación. La tensión efectiva elástica y el tensor o módulo elásticose obtienen usando las Ecuaciones 3.11 y 3.15, respectivamente. La función de almacenamiento deenergía se puede expresar en términos de los invariantes volumétrico y desviador del tensor de ladeformación elástica. De esta forma,

Ψ = Ψ(εev, εes) (3.48)

donde εev y εes se definen con las Ecuaciones 3.41 y 3.44, respectivamente. El tensor de tensiones(Ecuación 3.3) toma la siguiente forma

σ =∂Ψ

∂εev

∂εev∂εe

+∂Ψ

∂εes

∂εes∂εe

(3.49)


Como∂Ψ

∂εev= p y

∂Ψ

∂εes= q, obtenemos el tensor de tensiones de Cauchy en función de los invariantes

tensionales

σ = p1+

r2

3qn (3.50)

donde n = ee

keek . El tensor o módulo elástico puede obtenerse derviando p y q respecto a las componentesde la deformación. Así,

p =∂2Ψ

∂εev∂εev

εev +∂2Ψ

∂εev∂εes

εes (3.51)

q =∂2Ψ

∂εes∂εev

εev +∂2Ψ

∂εes∂εes

εes (3.52)

o en forma matricial, ½pq

¾=

∙C11 C12C21 C22

¸½εepεeq

¾(3.53)

donde, C11 =∂2Ψ

∂εev∂εev

, C12 =∂2Ψ

∂εev∂εes

, C21 =∂2Ψ

∂εes∂εev

, y C22 =∂2Ψ

∂εes∂εes

, respectivamente.

Si se escoge una función de almacenamiento de energía de la siguiente forma

Ψ(εev, εes) = poκ exp

µ−εev − εevo

κ

¶+3

2Gεe2s (3.54)

donde,

εevo = deformación elástica volumétrica correspondiente a una tensión normal

de referencia po.

κ = pendiente de la recta de carga-descarga en el espacio v − ln p.G = G(εev) = módulo elástico a cortante.

G = µo − α po exp

µ−εev − εevo

κ

¶µo = módulo elástico a cortante correspondiente a una tensión normal

de referencia po.

α = parámetro del modelo hiperelástico.

Tomando las Ecuaciones 3.51 3.52 y 3.54, los invariantes tensionales p y q se pueden expresar como

p = poβ exp

µ−εev − εevo

κ

¶(3.55)

q = 3Gεes (3.56)

β = 1 +3

2

α(εes)2

κ(3.57)

y las componentes de Cij de la ecuación 3.53

C11 = K = −pκ= −βpo

κexp

µεev − εevo

κ

¶(3.58)

C223

= G = µo −α

βp (3.59)

C12 = C21 =3 α εesβ κ

p (3.60)

Mediante las Ecuaciones 3.58∼3.60 el tensor de cuarto orden elástico se puede expresar, en notacióntensorial, como

C = K1⊗ 1+ 2G(I−131⊗ 1) +

r2

3C12 (1⊗ n+ n⊗ 1) (3.61)

Comparando las Ecuaciones 3.19∼3.61, el tercer término en la ecuación 3.61 nos muestra el efecto delacoplamiento entre las componentes desviadora y volumétrica.

3.5. Modelo Cam-Clay 39

3.5. Modelo Cam-Clay

3.5.1. Introducción

A la hora de trabajar con cualquier material, es necesario, o al menos interesante, conocer elcomportamiento del mismo; al hablar de un suelo, nos interesa conocer su comportamiento tenso-deformacional y su comportamiento mecánico. El primero viene determinado por la relación entre lastensiones que actúan sobre el suelo y las deformaciones que en él se producen, mientras el segundoestará caracterizado por los estados admisibles y no admisibles del mismo, relacionados directamentecon el estado natural o inicial del suelo. Estos dos comportamientos están intimamente ligados entre sí yquedan totalmente determinados al definir la frontera elástica, que separa las zonas de comportamientoelástico del suelo de las de comportamiento plástico.

Sin embargo, definir la frontera elástica de un suelo no es un procedimiento trivial y es necesariorecurrir a herramientas más sencillas, que nos permitan caracterizar el comportamiento del suelo. Estasherramientas se llaman Modelos de Comportamiento y su finalidad es la de definir el mayor númerode comportamientos posible, de forma sencilla.

Por lo expresado anteriormente, el suelo no es un material elástico, si no que presenta un compor-tamiento elástico en unas condiciones y un comportamiento plástico en otras. lo que hace necesariotrabajar con modelos elasto-plásticos, también llamados Modelos de Estado Crítico. Estos modelosrelacionan tensiones con deformaciones del suelo, tanto en el interior de la frontera elástica (com-portamiento elástico, lineal o no) como sobre ella (comportamiento plástico); es decir, definen elcomportamiento dual del suelo.

3.5.2. Modelo Cam-Clay modificado

Se han desarrollado numerosas teorías para el cálculo y predicción de las deformaciones plásticasen los suelos, siendo una de las más importantes la desarrollada en la Universidad de Cambridge enlos años 60 (Schofield y Wroth, en 1968, describieron el denominado Cam-Clay original, y Roscoe yBurland, también en 1968, el llamado Cam-Clay modificado). Esta teoría fue desarrollada para suelosnormalmente consolidados y ligeramente sobreconsolidados, y en la práctica sólo debería aplicarsea ellos, aunque no siempre sea así. Históricamente, se puede considerar el modelo Cam-Clay comoel primer modelo de endurecimiento plástico que fue adoptado de forma general para suelos. Existenotras teorías que, basándose en la de Cam-Clay, consiguen un mejor ajuste de los datos experimentales,pero lo hacen a costa de un desarrollo matemático bastante más complejo.

Una de las hipótesis básicas en el modelo Cam-Clay modificado es considerar que la superficie defluencia (o plastificación) coincide con el potencial plástico, lo cual implica una regla de flujo asociaday la aceptación del criterio de normalidad (el incremento de deformación plástica es normal, en todopunto, a la curva de fluencia o plastificación). Además, se asume la hipótesis de rigidización isótropa,es decir, que las sucesivas superficies de fluencia, que aparecen al aumentar las cargas sobre la muestra,son homotéticas.

Las superficies de fluencia son elípticas centradas en el eje p (Figura 3.1), cuya intersección conla recta de estados críticos (CSL) se produce en el máximo de dicha superficie (punto en el quela pendiente de la tangente es nula y, por tanto, presenta un estado de elasto-plasticidad perfecta(dpc = 0)). A la izquierda de dicho punto, se produce un comportamiento contractivo, es decir, pérdidade volumen y endurecimiento (dpc > 0), mientras a la derecha se produce un comportamiento dilatante,es decir, aumento de volumen y reblandecimiento (dpc < 0). De esta forma, se obtiene un modelosencillo y bastante representativo del comportamiento real de determinados suelos, y que, aunque nopermite predecir un comportamiento exacto, si define el comportamiento dual de contracción-dilatanciadel terreno

El modelo Cam-Clay modificado se usa en muchas aplicaciones geotécnicas ya que se pueden imple-mentar las principales características del comportamiento real de suelos granulares como son la presiónintersticial, el endurecimiento por deformación, el reblandecimiento y el acople de las deformacionesplásticas tanto volumétricas como desviadoras.

Una de las bases sobre las que se sustenta este modelo es la variación lineal del índice de huecos(o el volumen específico) con el logaritmo de la tensión normal que describe el endurecimiento por


pc pc/2

q

p

Figura 3.1 . Superficie de fluencia elíptica en el espacio p− q.

κ

λ

p = 1

υ0

υ

κ

ln p

Figura 3.2 . Linea de consolidación noval y línea de descarga-recarga en el espacio υ − ln p.

deformación del suelo (Figura 3.2). La expresión que relaciona el volumen específico y la tensión normaldurante una compresión isotrópica del suelo es la ecuación 3.62 y la expresión general de las líneas dedescarga-recarga es la ecuación 3.63:

υ = υ0 − λ ln p (3.62)

υ = υκ − κ ln p (3.63)

donde λ es la pendiente de la rama de compresión noval, κ es la pendiente de las ramas de carga-descarga y, tanto υ0 como υκ son constantes del suelo que localizan la rama noval y la rama dedescarga-recarga, respectivamente, en el plano ln p− υ (Figura 3.2).

La línea de descarga-recarga que corresponde a una determinada superficie de fluencia de tamañopc es:

υ = υ0 − λ ln p+ κ lnpcp

(3.64)

La pendiente de la rama de compresión noval λ está directamente relacionada con el parámetro Cc

(pendiente de la curva de compresión noval en el espacio e-log σ,obtenida de un ensayo edométrico)


υ

p

iso-ncl

url

cp

Figura 3.3 . Curva de consolidación noval y curva de descarga-recarga en el espacio υ − p.

mediante la expresión:

λ =Cc

ln 10(3.65)

Por otro lado, podemos hacer lo propio con la pendiente de la línea de carga-descarga κ con elparámetro Cs mediante la expresión siguiente

κ =Cs

ln 10(3.66)

Se define el estado crítico como aquella combinación de tensiones en la que la deformación de corteplástica progresa indefinidamente sin cambio en la tensión ni en el volumen.

∂p

∂εs=

∂q

∂εs=

∂υ

∂εs= 0

El estado crítico se alcanza cuando se estén produciendo deformaciones plásticas y el ratio detensiones sea:

qcspcs

=Mc (3.67)

Cada superficie de fluencia esta asociada con una curva de descarga-recarga (url) en el espaciop − υ que intersecta a la curva noval (iso-ncl) en p = pc (Figura 3.3). Por lo tanto, el crecimientode la superficie de plastificación, que esta ligado con la variación de la presión de preconsolidaciónpc, puede modelarse con la Ecuación 3.64 que tras modificarla convenientemente se llega a la ley deendurecimiento del modelo Cam-Clay modificado:

pc = pc0 exp(−εpvλ− κ

) (3.68)

donde pc0 es el valor inicial de la presión de preconsolidación y εpv es la deformación volumétricaplástica.

Se define la función de plastificación del modelo Cam-Clay modificado como:

F = F (p, q, pc) =q2

M2c

+ p(p− pc) = 0 (3.69)


pc pc/2

q

p

M

Figura 3.4 . Función de plastificación.

donde p y q son la tensión normal y la desviadora, respectivamente. Estos invariantes tensionales sedefinen como:

p =1

3tr(σ), q =

r3

2kξk, ξ = σ − p1 (3.70)

donde σ es el tensor de tensión y ξ es la componente desviadora de dicho tensor. La función deplastificación (Ecuación 3.69) es un elipsoide (Figura 3.4) que viene definido por dos parámetros: Mc

(pendiente de la línea de estados críticos Ecuación 3.67) y pc (presión de preconsolidación).El modelo Cam-Clay modificado se caracteriza por un módulo volumétricoK que varía linealmente

con la tensión efectiva normal. Por otro lado, el módulo a cortante G en algunos modelos se determinaa través del módulo volumétrico K (suponiendo que el coeficiente de Poisson permanece constante).Esta definición nos conduce a un modelo elástico no lineal y no conservativo, en el cual la energíapuede disiparse en casos de carga cíclica.

En los modelos conservativos o hiperelásticos se define una función de almacenamiento de energía opotencial. En el caso del modelo Cam-clay esa función de almacenamiento de energía toma la siguienteforma:

Ψ (εeυ, εes) = Ψ(ε

eυ) +

3

2µeεe2s (3.71)

donde

Ψ(εeυ) = −p0 κ expω (3.72)

ω = −εeυ − εeυ0κ

(3.73)

Ψ(εeυ) se define como la función de almacenamiento de energía para carga isótropa, y µe = µe(εeυ)

es el módulo elástico a cortante definido por la siguiente expresión:

µe(εeυ) = µ0 +α

κΨ(εeυ) (3.74)

Las variables independientes en 3.71 son los invariantes de la deformación volumétrica y desviadora:

εeυ = tr(εe)

εes =

r2

3keek

ee = εe − 13εeυ1 (3.75)

donde εe es el tensor de deformaciones elásticas, ee es la componente desviadora del tensor de deforma-ciones elásticas, κ es la pendiente de las ramas de carga-descarga (Figura 3.2) y εeυ0 es la deformaciónvolumétrica elástica para un valor de presión normal de p0. El módulo elástico a cortante µe, en la


Ecuación 3.74, contiene un término constante µ0 y un término variable que depende de la deformaciónvolumétrica elástica a través de coeficiente α. Si α = 0, el modelo elástico tiene un módulo volumétricovariable y un módulo a cortante constante.

La ley constitutiva se define por las siguientes ecuaciones hiperelásticas en términos de la funciónde almacenamiento de energía Ψ (εeυ, ε

es) :

σ =∂Ψ (εeυ, ε

es)

∂εe=

∂Ψ (εeυ, εes)

∂εeυ

∂εeυ∂εe

+∂Ψ (εeυ, ε

es)

∂εes

∂εes∂εe

(3.76)

pero∂εeυ∂εe

= 1 y∂εes∂εe

=

r2

3n (3.77)

donde n = ee/keek. Entonces, la Ecuación 3.76 puede ser reescrita de la siguiente forma:

σ = p1+

r2

3qn = p1+ ξ (3.78)

donde

p =∂Ψ (εeυ, ε

es)

∂εeυ; q =

∂Ψ (εeυ, εes)

∂εes(3.79)

y ξ es la parte desviadora de σ. Utilizando la Ecuación 3.71 y derivando adecuadamente respecto aεeυ o ε

es, podemos escribir

p = p0 expω

∙1 +

3α

2κ(εes)

2

¸(3.80)

q = 3(µ0 − α p0 expω)εes (3.81)

Definiendo el parámetro β como

β =

∙1 +

3α

2κ(εes)

2

¸se simplifica la Ecuación 3.80 quedando

p = p0 β expω (3.82)

Para ver el acoplamiento de las respuestas elásticas volumétrica y desviadora podemos derivar lasEcuaciones 3.80∼3.81, resultando el siguiente sistema½

pq

¾= De

½εeυεes

¾(3.83)

donde De, que es una matriz Hessiana de segundo orden de Ψ, viene dada por

De =

∙De11 De

12

De21 De

22

¸=

∙∂εeυp ∂εesp∂εeυq ∂εesq

¸=

∙∂εeυεeυΨ ∂εeυεesΨ∂εesεeυΨ ∂εesεesΨ

¸(3.84)

y cada elemento de la matriz hessiana

De11 = −p0

κexpω

∙1 +

3α

2κ(εes)

2

¸= −p

κ(3.85)

De22 = 3µ0 − 3α p0 expω = 3(µ0 − α

p

β) =

q

εes(3.86)

De12 =

3α p0 εes

κexpω =

3α εesκ

p

β(3.87)

De21 = De

12 (3.88)

Para el caso de carga isotrópa, se cumple εes = εes = 0 y p = De11ε

eυ, donde D

e11 se corresponde con el

módulo volumétrico K. De esta forma, se reconoce una característica fundamental del modelo Cam-Clay: la variación lineal del módulo volumétrico con la tensión normal efectiva p y su relación de


inversamente proporcional al parámetro de compresión κ. Por otro lado, si el parámetro hiperelásticotoma el valor α = 0, se cumple que De

21 = De12 = 0, desacoplándose las respuestas volumétrica y

desviadora. Además, de la Ecuación 3.83, q = De22ε

es, donde D

e22 = 3µ0, lo que se corresponde con un

modelo elástico con módulo a cortante constante. Para el caso de µ0 = 0 y α 6= 0 se tiene un modeloelástico no lineal, en el cual se acoplan completamente las respuestas volumétricas y desviadoras. La

matriz Hessiana De es invertible y no singular si εes 6=q

2κ3α o η =

qp 6=

q3ακ2 ; bajo esta condición, el

módulo a cortante es De223 = p η

3εes. De esta forma se ha obtenido el modelo elástico buscado, donde el

módulo elástico a cortante se incrementa linealmente con la presión principal normal efectiva p.Un aspecto interesante es la forma del tensor elástico de cuarto orden C, que relaciona tensiones y

deformaciones según la ecuación 3.89, obtenido del modelo elástico no lineal con respuestas acopladas

σ = C : εe (3.89)

Al derivar la Ecuación 3.78 se obtiene

σ = p1+

r2

3qn+

r2

3qn (3.90)

donde la derivada primera de n

n =d

dt

µee

keek

¶=

1

keek(I− n⊗ n) : ee (3.91)

siendo I el tensor identidad de cuarto orden, tal que Iijkl = (δikδjl + δilδjk)/2, y el símbolo ⊗ esun operador tensional que relaciona dos tensores de segundo orden cualesquiera, a y b, mediante(a ⊗ b)ijkl = aijbkl. Si se sustituye las Ecuaciones 3.91∼3.83 en la Expresión 3.89 se obtiene comotensor elástico la siguiente expresión:

C =

µDe11 −

2q

9εes

¶1⊗ 1+

r2

3De12(1⊗ n+ n⊗ 1) +

2q

3εes(I− n⊗ n) + 2

3De22n⊗ n (3.92)

Para el caso de µ0 = 0 y α 6= 0, este tensor es no singular e invertible ya que η = qp 6=

q3ακ2 .

Un caso particular visto anteriormente es α = 0, desacoplándose las respuestas elásticas volumétricay desviadora debido a que De

21 = De12 = 0, y además De

22 =qεes. Sustituyendo estos valores en las

Expresiones 3.85∼3.86 se obtiene

De11 = Ke (3.93)

De22 = 3µ0 (3.94)

y al sustituir las Ecuaciones 3.93∼3.94 en la Expresión 3.92 nos queda el tensor elástico para el casoisotrópico de la siguiente forma

Ce = Ke1⊗ 1+ 2µeµI− 1

31⊗ 1

¶(3.95)

Se estudia a continuación la componente elastoplástica del modelo constitutivo, en el caso detener una regla de flujo asociativo. Se supone que el tensor de deformación infinitesinal ε puededescomponerse es su parte elástica εe y plástica εp

ε = εe + εp = εe + γ∂F

∂σ(3.96)

En el caso del modelo Cam-Clay modificado, la función de plastificación viene en la Ecuación 3.69.Derivando esta función se obtiene

∂F

∂σ=1

3

µ∂F

∂p

¶1+

r3

2

µ∂F

∂q

¶n (3.97)

3.6. Integración implícita de las ecuaciones constitutivas 45

donde n = ξe

kξek =ee

keek . Si se deriva adecuadamente respecto a p y q obtenemos

∂F

∂p= 2p− pc (3.98)

∂F

∂q=

2q

M2(3.99)

El parámetro de consistencia γ y la función de plastificación F satisfacen las condiciones de consistenciay de Kuhn-Tucker dadas por

γ > 0, F (p, q, pc) ≤ 0, γF (p, q, pc) = 0 (3.100)

3.6. Integración implícita de las ecuaciones constitutivas

3.6.1. Introducción

Debido a la complejidad matemática de los modelos constitutivos de los suelos, en la teoría dela plasticidad es necesario una implementación numérica eficiente y robusta. La base de una imple-mentación numérica es la integración de la forma incremental de las leyes constitutuvas elastoplásticasen una serie discreta de pasos. La mayoría de las aproximaciones por elementos finitos utilizan lasecuaciones constitutivas en términos de las deformaciones. De este modo, los algoritmos de inte-gración están controlados en deformaciones. La integración de las ecuaciones constitutivas discretasse lleva a cabo mediante la cuadratura de los puntos de Gauss, donde la evolución del valor límitedel problema que define el comportamiento inelástico del material se fuerza localmente a un sistemade ecuaciones diferenciales. Por esta razón, existen tres factores que tienen un efecto en la exactitud,coste y convergencia de las soluciones globales por elementos finitos:

a) Precisión con la que se integran las leyes constitutivas.

b) Eficiencia del algoritmo escogido.

c) Estructura de la matriz constitutiva de rigidez.

Según Ortiz y Popov (1985)[19], un algoritmo adecuado debe satisfacer tres puntos:

1. Consistencia de las leyes constitutivas para integrarse, con precisión mínima de primer orden.

2. Estabilidad numérica.

3. Consistencia de los incrementos plásticos.

Los dos primeros puntos son necesarios para lograr la convergencia de la solución numérica amedida que disminuye el paso de tiempo. Por otro lado, la consistencia de los incrementos plásticos serefiere a la condición de consistencia plástica (Ecuación 3.100); es decir, el estado solución de tensionesque se obtiene del algoritmo se encuentre dentro del dominio elástico.

Entre los métodos de integración de las leyes constitutivas más utilizados, se encuentra el métodopredictor elástico-corrector plástico (Ortiz et al., 1983[18]). En este método, para obtener la solución,a un estado de prueba totalmente elástico le sigue un estado plástico llamado corrector (AlgoritmoReturn Mapping). La misión del estado plástico es hacer cumplir la condición de consistencia, respectoa una función prescrita de carga y a una regla de flujo, al término del paso de tiempo. En modeloscomplejos que incluyan superficies complicadas de plastificación o tengan elasticidad no lineal, llega aser necesario el uso iterativo del algoritmo.

Los algoritmos propuestos se clasifican en explícitos e implícitos, en función del método usadopara evaluar las incógnitas en un paso de tiempo discreto. Los algoritmos explícitos sólo incluyenevaluación de funciones y no necesitan resolver un sistema de ecuaciones para actualizar el estado delmaterial. Un ejemplo de algoritmo explícito es el método de plano de corte, propuesto por Ortiz ySimo (1986)[20]. La principal desventaja de estos algoritmos explícitos es la necesidad de pasos de


tiempo más largos que los implícitos, deteriorando la estabilidad numérica; sin embargo, una ventajade este tipo de métodos es la no necesidad de recurrir al proceso iterativo.

Los algoritmos implícitos, por su parte, son más estables, pero requieren la resolución de un sistemano lineal de ecuaciones a través de un proceso iterativo. El algoritmo general implícito para unasuperficie arbitraria de plastificación convexa fue propuesto por Simo y Taylor (1986)[26], al que sedenomina Método de Proyección del Punto más Cercano (CPPM). Este algoritmo se reduce a laaplicación sistemática del método de Newton a un sistema de ecuaciones no lineales, calculando laproyección del punto más cercano de un estado prueba dentro de una superficie de plastificación.

Se han realizado muchos estudios sobre los algoritmos implícitos de integración para materi-ales granulares. En este aspecto hay que destacar los trabajos realizados por Borja y Lee (1990)[3],Borja(1991)[1], Hashash y Whittle(1992)[10], Jeremic y Sture(1997)[12] y Borja et al. (2001)[4]. Borjay Lee(1990)[3] propuso una integración del algoritmo implícito, tanto para reglas de flujo asociativacomo no asociativa en el modelo Cam-Clay modificado. El uso de las ecuaciones elásticas no linealescon un método implícito de integración para el modelo del Cam-Clay modificado fue presentado porBorja (1991)[1] y Hashash y Whittle(1992)[10]. El primero presentó un modelo para la integración delas ecuaciones constitutivas elásticas no lineales y un método implícito para el cálculo de las deforma-ciones plásticas. Por otro lado, Hashash y Whittle(1992)[10] propuso que el tensor elástico C debía serestimado a partir de la pendiente de la línea de compresión unidimensional. Jeremic y Sture(1997)[12]presentó una variante del algoritmo implícito de Newton, buscaba la integración directa de ecuacionesconstitutivas en el espacio tensión-variables internas; además, este algoritmo incluía los conceptos deendurecimiento y reblandecimiento en materiales isotrópos dilatantes. Borja et al. (2001)[4] implemen-tó un algoritmo de integración implícito para modelos con superficie de plastificación límite con algúntipo de anisotropía usando un modelo Cam-Clay tipo elipsoide. En el trabajo desarrollado por Borja,se combina la hiperelasticidad con la isotropía no lineal y endurecimiento cinemático para cumplircon la conservación de la energía, siendo por tanto un modelo conservativo. Una versión tridimen-sional del modelo plástico con dos superficies para un suelo, propuesto e implementado por Manzariy Dafalias (1997)[16], también usa el concepto de CPPM. Esta versión del modelo incluye hipoelasti-cidad no lineal y engloba en un tensor la respuesta de descarga de materiales granulares, combinadocon endurecimiento no lineal.

3.6.2. Formulación discreta de la plasticidad

Introducción

La teoría de la elastoplasticidad se formula mediante ecuaciones que cumplan con la evoluciónde deformaciones plásticas, las variables de endurecimiento y las tensiones. Las tensiones deben serelásticamente admisibles, mientras que las deformaciones plásticas y los parámetros de endurecimientodeben satisfacer las condiciones iniciales. Debido a la imposibilidad de encontrar una solución exacta,el objetivo es la búsqueda de aproximaciones numéricas, para ello se discretizan las ecuaciones. De losdistintos métodos de discretización , se suele escoger la propuesta de Euler debido a su simplicidad yrobustez, necesarias en la implementación numérica de la plasticidad clásica (Simo,1998[25]).

El método de discretización de Euler puede ser explicado fácilmente mediante los problemas deprimer orden con condición inicial. Una ecuación diferencial de primer orden con forma F (y, y, t) sesuele escribir como y = f (y, t). Un problema con condición inicial esta formado por una ecuacióndiferencial, cuya solución en el instante inicial debe cumplir con el valor prescrito. De esta forma, unproblema de este tipo tiene la siguiente forma

y = f (y, t) , y(t0) = y0 (3.101)

donde f debe ser tal que el problema tenga una única solución en el intervalo que contiene a to.Como se puede ver en la Figura 3.5, el método de Euler aproxima la solución de una Ecuación

(3.101) mediante una extrapolación lineal. La forma general de la aproximación de Euler es

yn+1 − yn∆t

= fn+k (3.102)


nt 1+nt

ny

1+ny),(ff 111 +++ = nnn ty

),(ff nnn ty=

t∆

nt 1+nt

ny

1+ny),(ff 111 +++ = nnn ty

),(ff nnn ty=

t∆

Figura 3.5 . Representación de los metodos de integración de Euler implícitos y explícitos.

donde 4t es el incremento de tiempo y k = 0,1. Si k toma el valor 1, se tiene un método implícito,mientras que si k = 0 el método se denomina explícito. Por lo tanto, el valor de la variable y en elinstante n+ 1 mediante un método explícito (k = 0) será

yn+1 = yn +4t fn (3.103)

mientras que en el caso de utilizar un método implícito (k = 1) la expresión nos queda

yn+1 = yn +4t fn+1 (3.104)

Al desconocerse fn+1 = f(yn+1, tn+1), tenemos un método implícito. Para evaluar yn+1, es necesarioobtener una solución mediante un proceso iterativo en el instante n+ 1.

A continuación, discretizamos las ecuaciones de la plasticidad clásica usando el método de Eulerimplícito (Ecuación 3.104).

Algoritmo básico del problema controlado en deformaciones

Sea B ⊂ Rndim un sólido de referencia en estudio, donde 1 ≤ ndim ≤ 3 es la dimensión del espacioy el intervalo de tiempo a estudiar es [0, T ] ⊂ R. Para el instante tn ∈ [0,T ] y el punto x ∈ B, sonconocidad las tensiones totales, las deformaciones plásticas y las variables internas

{εn, εpn,qn} = {ε (x, tn) , εp (x, tn) ,q (x, tn)} (3.105)

Recordamos que el tensor de deformaciones elásticas y el tensor de tensiones se consideran comovariables independientes que pueden determinarse usando las variables básicas y las relaciones tensión-deformación elásticas. De este modo,

εen= εn−εpn (3.106)

σn = 5Ψ (εen) (3.107)

o σn = f (σn, εen) (3.108)

donde Ψ es la función de almacenamiento de energía y f (σn, εen) es una función que depende de

la tensión y la deformación elásticas. Las Ecuaciones 3.107∼3.108 corresponden a una formulaciónhiperelástica e hipoelástica, respectivamente.

El problema principal consiste en actualizar los valores de las variables de la Ecuación 3.105 parael instante tn+1 ∈ [0, T ], pero esta actualización debe ser consistente con las ecuaciones constitutivaselastoplásticas estudiadas en el capítulo anterior. En resumen, las siguientes ecuaciones

ε = ∇s (∆u) (3.109)


εp = γm (σ,q) (3.110)

q = γh (σ,q) o q = γD∂Q

∂q(3.111)

están sujetas a la condiciones de Kuhn-Tucker (Ecuación 3.27), a la condición de consistencia (Ecuación3.28) y las condiciones iniciales

{ε, εp,q}t=tn = {εn, εpn,qn} (3.112)

En las Ecuaciones 3.109∼3.110∼3.111, 5s (•) es el gradiente simétrico y D es el tensor plásticogeneralizado.

Discretización

Utilizando la estructura del modelo implicito de Euler con condición inicial (Ecuación 3.112), sediscretizan las Ecuaciones 3.109∼3.111, obteniendo

εn+1 = εn +∆εn+1 (trivial) (3.113)

σn+1 = Cn+1 : (εn+1−εpn+1) (3.114)

εpn+1 = εpn +∆γn+1m¡σn+1,qn+1

¢(3.115)

qn+1 = qn −∆γn+1Dn+1∂Q

∂q

¡σn+1,qn+1

¢(3.116)

donde Cn+1 es el tensor elástico obtenido de las Ecuaciones 3.19∼3.61 y ∆γn+1 = γn+1∆t. Parasimplificar la notación, en las siguientes ecuaciones se omitirá el subíndice “n+1”, de esta forma tenemosε = εn+1, σ = σn+1, ε

p = εpn+1, ∆γ = ∆γn+1, y q = qn+1.

Tomando las Ecuaciones 3.27∼3.28, las condiciones de Kunh-Tucker en forma discreta quedancomo sigue

f (σ,q) ≤ 0, ∆γ ≥ 0 (3.117)

mientras la condición de consistencia es

∆γ f (σ, q) = 0 (3.118)

Como ocurría para el caso continuo, las condiciones de Kunh-Tucker (Ecuaciones 3.27) definen uncriterio de descarga-carga (Ecuación 3.27).

Estas expresiones, en el caso del estado de prueba elástico del algoritmo Return mapping, tomanla siguiente forma:

εetrial

= ε− εpn (3.119)

qtrial= qn (3.120)

Ctrial =∂2Ψ

∂ε2, o f

³σn, ε

etrial´

(3.121)

σtrial = Ctrial : εetrial

(3.122)

Por lo tanto,

si f³σtrial,qtrial

´≥ 0→ Carga (3.123)

si f³σtrial,qtrial

´< 0→ Descarga


AlgoritmoReturn Mapping

[εn(x), εnp(x),qn (x)]

[εn+1(x), εn+1

p(x),qn+1 (x)]

Incremento dedeformación ∆εn (x)

Figura 3.6 . Algoritmo Return Mapping

3.6.3. CCPM algoritmo de integración

La evolución de las ecuaciones de la elastoplasticidad, estudiadas anteriormente, definen un sistemaalgebráico diferencial sujeto a las condiciones de Kuhn-Tucker. La integración numérica de éste sistemase reduce a un problema de optimización controlado por las condiciones de Kuhn-Tucker (Ecuaciones3.117∼3.118).

En elastoplasticidad, normalmente las aproximaciones numéricas se calculan con problemas con-trolados en deformaciones, de forma que las variables que definen el estado del material dependan delas deformaciones. La Figura 3.6 nos muestra un esquema del proceso seguido. Conocido el estado en elinstante tn y dado un incremento de deformación, mediante un proceso iterativo se obtiene la soluciónen tn+1, este algoritmo se denomina Return Mapping. El nombre de este algoritmo, en la Figura 3.6,indica que la solución de un problema dado se logra devolviendo el estado elástico de prueba sobre lasuperficie de plastificación. En la Figura 3.7 se ha representado la idea del algoritmo Return Mapping.A continuación, se va a estudiar la estructura del problema discreto linealizado, el papel fundamentalque juegan las condiciones de Kuhn-Tucker y la interpretación geométrica de la solución obtenida.Esta solución se calcula como la proyección más cercana, sobre el dominio elástico, de la norma de laenergía del estado de prueba.

Ortiz y Popov (1985)[19] intentaron generalizar las formulaciones discretas plásticas para métodosde un orden superior. Sin embargo, como advierte Simo (1998)[25], los métodos convencionales demayor orden no implican una mejora sustancial en la precisión numérica debido a la naturaleza delproblema estudiado. A continuación, basádos en el método de Euler, se presenta el algoritmo ReturnMapping.

Algoritmo general Return Mapping

Dada una superficie convexa, Figura 3.7, y un conjunto de variables internas plásticas q, la Ecuación3.114 se puede expresar para el estado de prueba como

σ = σtrial −∆γ C : m (σ,q) (3.124)

A continuación, se define la norma de la energía elástica en el espacio de tensiones como

x (σ,q) =1

2(σtrial − σ) : C−1 : (σtrial − σ) + 1

2(qtrial − q) : D−1 : (qtrial − q) (3.125)

=1

2kσtrial − σk2C−1 +

1

2kqtrial − qk2D−1


),( nn qσ

),( 11 ++ nn qσ

0=nf

01 =+nf

),( 11trialn

trialn q ++σ

01 =+trial

nf

),( nn qσ

),( 11 ++ nn qσ

0=nf

01 =+nf

),( 11trialn

trialn q ++σ

01 =+trial

nf

Figura 3.7 . Representación conceptual del algoritmo del Return Mapping usando el predictor elástico y corrector plástico

La solución σ y q, en el espacio tensional, puede interpretarse como la proyección del punto más cer-cano del estado de prueba (σtrial,qtrial) en la superficie convexa de plastificación. Una representacióngeométrica de esta idea se puede ver en la Figura 3.8. Así,

{σ,q} = mın[x (σ,q)] ∈ Eσ (3.126)

Se define la lagrangiana de la norma elástica asociada a este problema como

£ (σ,q,∆γ) =1

2kσtrial−σk2C−1 +

1

2kqtrial − qk2D−1 +∆γQ (σ,q) (3.127)

Sea una solución [σ,q] que minimiza la Ecuación 3.126. Para que esta solución sea óptima, segúnel criterio de optimalidad, se deben cumplir las siguientes condiciones:

∂σ£ = −C−1 : [σtrial−σ] +∆γ ∂Q∂σ

(σ,q) = 0 (3.128)

∂q£ = −D−1 : [qtrial−q] +∆γ ∂Q∂q

(σ,q) = 0

∂∆γ£ = f (σ,q) = 0

Deben cumplirse, además, las condiciones de Kuhn-Tucker:

f (σ,q) ≤ 0, ∆γ ≥ 0, ∆γf (σ,q) = 0 (3.129)

Las Ecuaciones 3.128 y 3.129 coinciden con la formulación discreta estudiada vista en las ecuaciones3.115 y 3.116. Hay que resaltar que tanto C como D son tensores definidos positivos. Por lo tanto, alminimizar el problema de la Ecuacíon 3.126 existe una única solución, (σ,q) ∈ Eσ (Simo, 1998[25]).

Predictor elástico - Corrector plástico

En la mayoría de los algoritmos implícitos de integración se utiliza una metodología común, lla-mada predictor elástico-corrector plástico (Ortiz y Simo,1986[20]). El proceso consiste en dar un pasopuramente elástico (predictor) al que le sigue un paso plástico (corrector). En la Figura 3.7 está rep-resentada gráficamente la idea del algoritmo. La actualización de los valores de tensión/deformación,para un paso de tiempo/carga dado, durante el paso predictor es totalmente elástica. Es en la fase


Min [χ(σ, )]

dominio χ

χ

q

σ

(σ, )q

Eσ

q

Figura 3.8 . Interpretación gráfica de la ecuación ??.

corrector, al final del paso de tiempo, cuando se impone la consistencia del estado solución para quesea consistente con las ecuaciones de la plasticidad (Simo, 1998[25]). De este modo,⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Totalε = ∇s (∆u)εp = γm (σ,q)q = γh (σ,q)

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭ =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩Predictor Elásticoε = ∇s(∆u)

εp = 0q = 0

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩Corrector Plástico

ε = 0εp = γm

q = γh (σ,q)

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭ (3.130)

Tomado las ecuaciones 3.119∼3.122, la fase predictor elástico se reduce a las siguientes ecuaciones:

ε = εn+∆ε (3.131)

εptrial

= εpn

qtrial = qn

donde, el subíndice trial hace referencia a un paso completamente elástico. El tensor de tensionesasociado a este estado de prueba elástico se obtiene fácilmente con

σtrial = Ctrial : (ε− εptrial) (3.132)

Si se evalua la función de plastificación, en el estado de prueba, y su valor no es positivo (es decir,f trial = f(σtrial, qtrial) ≤ 0), entonces el estado de prueba elástico se corresponde con la solución final.Sin embargo, si f trial = f(σtrial, qtrial) > 0 , el estado de prueba no cumple con las condiciones deKuhn-Tucker (Ecuaciones 3.117 y 3.118). Por lo tanto la condición de consistencia se logra aplicandola fase del corrector plástico.

El corrector plástico se logra imponiendo las reglas de flujo y endurecimiento junto a la condiciónde consistencia (Ecuación 3.118). Por lo tanto, la solución satisface las condiciones iniciales dadas porel predictor elástico y las leyes de la plasticidad de las Ecuaciones 3.113∼3.116.


Procedimiento del algoritmo CPPM

Como se vio anteriormente, el metodo de proyección del punto más cercano (CPPM) pasa por laevaluación de la proyección de estado de prueba sobre el dominio elástico. A continuación, ese estadose actualiza minimizando la norma de la energía (Ecuación ??). Los pasos a seguir en este algoritmoson:

1. Inicialización. En caso de carga plástica, f(σtrial,qtrial) > 0 ⇐⇒ ∆γ > 0. Se definen los k = 0(número de iteraciones), εp

(k)= εpn, σ(k) = σtrial, q(k) = qtrial, ∆γ(k) = 0.

2. Evaluación del residuo y convergencia. Para los valores de σ(k),q(k) y ∆γ(k), el residuo y lacondición de plastificación pueden expresarse como:

R(k)εp = εp

(k) − εpn −∆γ(k)m(σ(k),q(k)) (3.133)

R(k)q = q(k) − qpn −∆γ(k)h(σ(k),q(k))

R(k)f = f(σ(k),q(k))

El tamaño del vector del residuo R depende del número de variables internas q. En el momentoque f

(k)n+1 < Tol1 y kR k< Tol2, donde Tol1 y Tol2 son dos valores de tolerancias definidos

previamente, se alcanza la convergencia. En este caso, ir al punto 4 para actualizar los valoresde las variables.

3. Linearización. Como no se ha alcanzado la convergencia, se linealiza el residuo a partir del valoractual de la iteración (εp

(k), q(k) y ∆γ(k)) mediante el método de Newton (Figura 3.10) La nueva

solución es una aproximación usando la derivada direccional linealizada del residuo (Jacobiano)

δ(k+1) = δ(k) − R(k)

∂R(k)

∂δ(k)

=⇒ ∆δ(k+1) = −∂R(k)−1

∂δ(k)R(k) (3.134)

donde δ(k) = (εp(k),q(k),∆γ(k))

∆δ(k+1) = δ(k+1) − δ(k)

Para una iteración dada, se define el jacobiano linealizado como J(k) =∂R

(k)n+1

∂δ(k)n+1

. Como estas

ecuaciones incluyen tensores de segundo y cuarto orden, la principal desventaja de este métodoiterativo es la evaluación del jacobiano.

4. Actualización de la solución. Se actualizan los valores de la iteración

k = k + 1 (3.135)

εpk+1

= εpk+∆εp

k

qk+1 = qk +∆qk

∆γk+1 = ∆γk + d∆γk

Ck+1 =∂2W k+1

∂εk+12, o f(σk+1, εp

k+1)

σk+1 = Ck+1 : (ε− εpk+1)y se vuelve al punto 2.

Aunque la primera línea del residuo (Ecuación 3.133) está expresada en términos de la deforma-ciones plásticas, se puede escribir en función de las deformaciones elásticas (como se verá más tardeen la aplicación del CPPM al modelo Cam-Clay modificado). Cuando se han obtenido los valores delas incógnitas el resto de las variables pueden calcularse utilizando las ecuaciones apropiadas. Unainterpretación geométrica del CPPM aparece en la Figura 3.9. La condición de normalidad al final decada iteración se impone con la regla de flujo asociativa.

Al ser problema convexo, el método de Newton iterativo (Ecuaciones 3.134) garantiza la conver-gencia a una solución. Este método es competitivo frente a otros procesos de minimación al ser elradio de convergencia cuadrático (Simo, 1998[25]).


),( 11 ++ nn qσ

),( 11trialn

trialn q ++σ

),( 11kn

kn q ++σ

),( 11

11 ++ nn qσ

),( 11

11

++

++

kn

kn qσ

σE

),( 11 ++ nn qσ

),( 11trialn

trialn q ++σ

),( 11kn

kn q ++σ

),( 11

11 ++ nn qσ

),( 11

11

++

++

kn

kn qσ

σE

Figura 3.9 . Una interpretación geómetrica del método de proyección del punto más cercano en el espacio tensional (Simoy Hughes,1998). En cada iteración (∗)k, las ecuaciones del residuo sujetas a la condición de consistencia se linealizanpara encontrar la solución más cercana con fkn+1 = 0. En la siguiente iteración (∗)k+1, los valores de σk+1n+1 y q

k+1n+1 son la

proyección del punto más cercano de fkn+1 en fk+1n+1 , las cuales se han obtenido usando la relación dada por los módulosplásticos y elásticos, C y D, respectivamente.

R(δ)

δn0 δn+1

k δn+1k+1 δn+1

δ

R(δ)

R(δ) = 0

Jk

∆δn+1k

Figura 3.10 . Algoritmo de Newton.


3.7. Aplicación del CPPM al Modelo Cam-Clay modificado

En la anterior sección, se implementó de forma general un algoritmo implícito Return Mapping auna función de plastificación cualquiera. A continuación, se van a integrar las ecuaciones que carac-terizan el modelo elastoplástico Cam-Clay modificado usando el CPPM. Por motivos de simplificaciónen la notación se omite el subíndice “n+1”.

3.7.1. Discretización del modelo

Usando el método implícito de Euler, se pueden discretizar las ecuaciones del modelo Cam-Claymodificado

εp = εpn +∆γ∂f

∂σ(σ,q) (3.136)

pc = pnc exp

∙− εpvλ− κ

¸σ = C : (ε− εp) (3.137)

donde C es el tensor elástico obtenido usando la relaciones hiperelásticas. Además deben cumplirselas condiciones de Kuhn-Tucker

∆γ > 0, f(σ, pc) ≤ 0 (3.138)

y la condición de consistencia∆γ f(σ, pc) = 0 (3.139)

3.7.2. Predictor elástico

En primer lugar se aplica el predictor elástico, siendo un estado de prueba completamente elástico.Las variables de este estado se denominan con el superíndice trial y las ecuaciones que los definen son

∆γtrial = 0

εetrial

= εen +∆ε

σtrial = ptrial +

r2

3qtrial

ptrialc = pn = pco exp(−εpv

λ− κ)

donde ptrial y qtrial vienen definidas por el modelo hiperelástico visto en las secciones anteriores:

ptrial = βtrial p0 exp

"−ε

etrialv − εv0

κ

#(3.140)

qtrial = 3

"µ0 − αp0 exp

"−ε

etrialv − εv0

κ

##εe

trial

s (3.141)

y

βtrial = 1 +3α³εe

trial

s

´22κ

(3.142)

εetrial

v = εetrial

11 + εetrial

22 + εetrial

33 (3.143)

εetrial

s =

r2

3keek (3.144)

ee = εetrial − εe

trial

v

31 (3.145)

donde ee es la parte desviadora del tensor de deformaciones elásticas del estado trial εetrial

.

3.7. Aplicación del CPPM al Modelo Cam-Clay modificado 55

A continuación, se evalua la función de plastificación para el estado de prueba elástico

f³σtrial, ptrialc

´=

¡qtrial

¢2M2

c

+ ptrial³ptrial − ptrialc

´(3.146)

3.7.3. Corrector plástico

Cuando f¡σtrial, ptrialc

¢> 0 se aplica el corrector plástico para forzar a que se cumplan las condi-

ciones de Kuhn-Tucker (Ecuación 3.138), la condición de consistencia (Ecuación 3.139), la regla deflujo y la ley de endurecimiento. Estas leyes discretizadas, para el modelo Cam-Clay modificado, sonlas Ecuaciones 3.136. Se define un vector R, llamado residuo, y un vector de incógnitas δ para expresarel sistema de ecuaciones de una forma más compactas. De esta forma,

R =

⎧⎨⎩R1R2R3

⎫⎬⎭ =

⎧⎪⎨⎪⎩εe − εetrial +∆γ ∂f

∂σ

pc − ptrialc exph−∆γ(2p−pc)

λ−κ

if (σ, pc)

⎫⎪⎬⎪⎭ (3.147)

δ =

⎧⎨⎩εe

pc∆γ

⎫⎬⎭ (3.148)

Los elementos R2 , R3, pc y ∆γ son escalares, mientras que R1 y εe son tensores de segundo ordensimétricos. Si R = 0, se obtiene un sistema de ocho ecuaciones con ocho incógnitas (las deformacioneselásticas εe, la presión de preconsolidación pc y el parámetro de consistencia ∆γ).

3.7.4. Algoritmo de actualización

Si R = 0 en la ecuación 3.147, mediante el algoritmo de Newton se puede calcular el valor de lasincógnitas δ. El método consiste en un proceso iterativo donde, a partir de los valores en el instante k,se obtienen los del instante k+1. Para ello, la solución se obtiene aproximándola a través del Jacobianodel residuo:

k ←− k + 1, − Jk∆δk = Rk, δk+1 = δk +∆δk (3.149)

donde Jk =∂Rk∂δk

es el Jacobiano. El proceso iterativo termina cuando la solución ha convergido,es decir, kRk < Tol. En donde Tol es una tolerancia aceptable para el error de la norma del residuocalculada. La idea de este método se ilustra en la Figura 3.10.

3.7.5. Cálculo del Jacobiano

Aunque existen expresiones analíticas del Jacobiano del residuo, en este proyecto se ha optado porel cálculo mediante diferencias finitas. De esta forma, el Jacobiano utilizado en el método de Newtonsimple (Ecuaciones 3.149) se aproxima por:

Jk =∂Rk

∂δk' Rk(δk +∆)−Rk(δk)

δk +∆(3.150)

donde ∆ es un valor fijo y cercano al cero de la máquina.

3.7.6. Algoritmo de Newton modificado

Esta es una variante del algoritmo de Newton que, a priori, es más eficaz y precisa porque mejoraal anterior algoritmo para casos de no convergencia. La modificación que presenta este algoritmo,respecto al Newton simple, es la variación del tamaño del incremento ∆δn+1k (Figura 3.11) en laaproximación del Jacobiano. Para ello se define una función θ, que depende del vector de incógnitasδk. Así, para un paso de la iteración k cualquiera, la función θ tendrá la siguiente forma:

θ (δk) =1

2k R(δk) k2 (3.151)


R(δ) R(δ) = 0

Jk

R(δn+1k)

R(δn+1k + βm ∆ δn+1

k)

δ δn+1k δn+1

k+1

βm ∆ δn+1k

Figura 3.11 . Aproximación del Jacobiano en el método de Newton modificado.

Dado un vector de incógnitas δn+1k , el tamaño del incremento ∆δn+1k que determina el vector deincógnitas siguiente δn+1k+1 (Figura 3.11) se cálcula con el siguiente proceso iterativo:

1. Se inicializan los parámetros σ = 0,1, β = 0,9 y m = 0.

2. Se evalua la función θ en el vector de incógnitas δn+1k y en otro vector de incógnitas separado deéste una distancia βm∆δn+1k . Si se cumple la Ecuación 3.152:

θ(δn+1k + βm∆δn+1k ) > (1− 2σβm) θ(δn+1k ) (3.152)

se va incrementado el valor de m (toma solamente números enteros) hasta que el valor delprimer argumento de la Ecuación 3.152 sea inferior al segundo miembro. La interpretación deeste proceso iterativo es la disminución del tamaño del incremento ∆δn+1k , en la aproximacióndel Jacobiano (Figura 3.11), hasta encontrar el tamaño adecuado. Se busca que el error en elpunto δn+1k+1 sea menor que en el punto anterior δ

n+1k . Es decir, que se cumpla θ(δn+1k+1) < θ(δn+1k ),

porque en caso contrario nos estamos alejando de la solución pudiendo llegar a un punto en elque la solución diverge. Para ese caso, como cota inferior del proceso de convergencia, se tomaβm = 0,01, valor para el que el proceso de convergencia no es posible.

3. Una vez se tiene el tamaño del incremento adecuado se prosigue con el algoritmo de actualizaciónvisto anteriormente. Donde, a partir de los valores en el instante k, se obtienen los del instantek + 1. Para ello, la solución se obtiene aproximándola a través del jacobiano del residuo:

k ←− k + 1, −Jk∆δk = Rk, δk+1 = δk +∆δk (3.153)

donde Jk =∂Rk∂δk

es el jacobiano. El proceso iterativo termina cuando la solución ha convergido,es decir, kRk < Tol. En donde Tol es una tolerancia aceptable para el error de la norma delresiduo calculada.

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