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Capítulo 2
CINEMÁTICA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS
2.1 INTRODUÇÃO
Por sistema de partículas, ou sistema de pontos materiais, designa-se um conjunto finito ou infinito de partículas, de tal modo que a distância entre qualquer dos seus pontos permanece invariável durante o movimento. Isto significa que apenas se irá considerar sistemas de partículas rígidos.
O sistema constituído por um número discreto ou finito de partículas é vulgarmente designado por sistema de partículas discreto ou simplesmente por sistema de partículas.
O sistema constituído por um número infinito de partículas é vulgarmente designado por sólido.
Note-se que a noção de corpo rígido é uma abstracção científica porque na realidade se sabe que não existem corpos completamente indeformáveis.
Neste capítulo será abordado a cinemática de corpos rígidos, investigando-se as relações existentes entre o tempo, as posições, as velocidades e as acelerações das várias partículas que formam um corpo rígido.
Os vários tipos de movimento de corpos rígidos podem ser agrupados da seguinte maneira:
• Movimentos simples
– Translação: quando qualquer linha recta no interior do corpo se mantiver na mesma direcção durante o movimento.
Capítulo 2
49
– Rotação (em torno de um eixo fixo): as partículas movem-se em planos paralelos e segundo circunferências em torno do mesmo eixo fixo, designado por eixo de rotação (as partículas situadas nesse eixo têm velocidade e aceleração nulas).
• Movimentos compostos
– Movimento plano geral: todas as partículas se movem em planos paralelos podendo, os seus movimentos, ser decompostos nos dois movimentos simples (translação e rotação).
– Movimento em torno de um ponto fixo: trata-se de um movimento tridimensional de um corpo rígido ligado num ponto fixo (por exemplo, o movimento de um pião numa superfície rugosa).
– Movimento geral: qualquer movimento de um corpo que não se enquadre em nenhum dos anteriores.
2.2 MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO
2.2.1 Definição e características
Considere-se um sistema de partículas em movimento e sejam A e B duas partículas quaisquer. No instante de tempo t, os vectores posição de A e B em relação a um sistema de referência fixo designam-se por Arr e Br
r , respectivamente, designando ABr /
r o vector que liga A a B.
Figura 2.1 – Movimento de translação.
Cinemática de um sistema de partículas
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Assim, o vector posição Brr pode ser obtido a partir do vector posição Arr , se
for conhecido ABr /r , da seguinte maneira:
)()()( / trtrtr ABABrrr
+= (2.1)
Se o movimento do sistema de partículas é de translação (rectilínea ou curvilínea), então o vector ABr /
r tem direcção e grandeza constante. Isto é, um segmento que une dois pontos quaisquer de um sistema de partículas em movimento de translação mantém-se com um comprimento constante e paralelo a si mesmo.
Derivando a expressão (2.1) em ordem ao tempo, t, vem:
dtrd
dtrd
dtrdv ABAB
B/
rrrr
+== (2.2)
tendo em conta que ABr /r é constante no tempo, portanto, 0/
rr=dtrd AB , e
dtrdv AArr
= , então:
BAvv AB ,, ∀=rr
(2.3)
portanto, num sistema de partículas em translação, a velocidade é igual em todos os pontos.
Derivando uma vez mais:
BAaa AB ,, ∀=rr
(2.4)
identicamente, a aceleração é igual em todos os pontos.
Assim, quando um sistema de partículas se encontra em translação, todos os pontos do corpo têm, em qualquer instante, a mesma velocidade e a mesma aceleração. Portanto, a caracterização cinemática do movimento de translação de um corpo rígido é a mesma para uma partícula qualquer desse corpo.
Capítulo 2
51
2.2.2 Casos particulares do movimento de translação
1º caso) Translação com velocidade vectorial instantânea constante
Se em qualquer instante t, a velocidade é constante em direcção, sentido e grandeza em todos os pontos do corpo rígido, isto é:
constante)(:,, =∀ tvBAt r (2.5)
Figura 2.2 – Translação rectilínea e uniforme.
então as trajectórias de todos esses pontos são rectilíneas. Neste caso, o movimento é designado de translação rectilínea e uniforme.
2º caso) Translação com velocidade vectorial instantânea constante em grandeza – Translação curvilínea
Como só a grandeza da velocidade é constante, isto é:
constante)(:,, =∀ tvBAt r (2.6)
então o sentido e a direcção podem variar.
Figura 2.3 – Translação uniforme curvilínea.
Neste caso, o movimento é designado de translação uniforme curvilínea.
3º caso) Translação com velocidade vectorial instantânea não constante
Neste caso, como a velocidade é variável no tempo, a translação diz-se variável.
Cinemática de um sistema de partículas
52
2.3 MOVIMENTO DE ROTAÇÃO (EM TORNO DE UM EIXO FIXO)
2.3.1 Definição e características
Diz-se que um sólido executa um movimento de rotação quando existem pontos de uma dada linha recta, ∆, que se encontram fixos (em repouso) durante o movimento. A esta direcção, ∆, de pontos fixos dá-se o nome de eixo de rotação.
Todas as partículas que não se encontram sobre o eixo de rotação descrevem uma trajectória circular cujo plano é normal ao eixo e cujo centro se situa sobre esse eixo.
Figura 2.4 – Rotação em torno de um eixo fixo.
Portanto, todas as partículas do corpo rígido têm a mesma velocidade angular no mesmo instante, podendo, todavia, ser diferente de instante para instante.
Por isso, o movimento de rotação de um sólido é mais facilmente descrito em termos de deslocamentos angulares e de velocidades angulares, uma vez que eles são, num dado instante, iguais entre as diferentes partículas.
O movimento de rotação é, usualmente, descrito de dois modos alternativos:
− através do ângulo de rotação, θ(t); ou,
− através do vector rotação ou vector velocidade angular, ω(t).
2.3.2 Descrição do movimento de rotação através do ângulo de rotação θ(t)
Considere-se um corpo rígido em movimento de rotação e sejam A e B duas partículas quaisquer não pertencentes ao eixo de rotação. Sejam θA e θB os ângulos de rotação nesses pontos medidos em relação a um plano de referência que contém o eixo de rotação Oz e o eixo Ox, e seja ϕ o ângulo de desfasamento dos planos
Capítulo 2
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temporais que contêm, respectivamente, A e B e o eixo de simetria. O ângulo de rotação θA(t) pode ser definido por:
BAtt BA ,,)()( ∀+= ϕθθ (2.7)
a) Representação no sistema Oxyz. b) Corte por um plano perpendicular ao eixo de rotação Oz.
Figura 2.5 – Movimento de rotação em torno do eixo Oz.
Como o movimento do corpo rígido é de rotação, então o ângulo de desfasamento, ϕ, é constante durante esse movimento. Portanto, derivando a expressão em ordem ao tempo, vem:
dtd
dtd
dtd BA
Aϕθθω +== (2.7)
como o ângulo ϕ é constante no tempo, a derivada dtdϕ é igual a zero, logo:
BABA ,; ∀=ωω (2.8)
ou seja, as velocidades angulares instantâneas são iguais em todas as partículas.
Face ao exposto, fica evidente que as grandezas cinemáticas, como a velocidade vectorial instantânea, )(tvr , e a aceleração vectorial instantânea, )(tar , de um corpo rígido em movimento de rotação, podem ser definidos de forma idêntica àquela abordada para a cinemática da partícula, uma vez que o ângulo de rotação, a velocidade angular e, consequentemente, a aceleração angular é igual em todos os pontos do corpo.
Cinemática de um sistema de partículas
54
Assim, a velocidade vectorial instantânea de um corpo rígido sujeito a um movimento de rotação é definida por ter:
− Direcção: tangente à trajectória no ponto considerado, que se encontra localizado num plano perpendicular ao eixo de rotação passando pela partícula considerada.
− Sentido: o da progressão do movimento associado à trajectória circular de cada partícula.
− Grandeza: ωθ ⋅== )()()( trtvtv rrr
Da mesma forma, a aceleração vectorial instantânea de um corpo rígido sujeito a um movimento de rotação é definido por:
⋅⋅=⋅=
⋅⋅=⋅=⋅=+=
nrnRvta
urudt
sdudtdvta
tatata
n
t
ntrrr
rrrr
rrr
22
2
2
)(
)(;)()()(
ω
α (2.9)
− Direcção: é definida de forma a que nt aatg =)(δ .
− Sentido: para o interior da trajectória.
− Grandeza: 4222 ωα +⋅=+= raaa ntr
2.3.3 Descrição do movimento de rotação através do vector rotação
Quando se estudou o movimento circular de uma partícula viu-se que a velocidade vectorial instantânea pode ser expressa por:
Atrttv AA ∀×= ;)()()( rrr ω (2.10)
Também se viu no ponto anterior que num corpo rígido em rotação as velocidades angulares em todas as partículas desse corpo são iguais num dado instante, isto é:
)()(, ttBA BA ωω =∀ (2.11)
Isto significa que a velocidade angular de qualquer partícula de um corpo rígido em rotação designa a velocidade angular do sólido.
Capítulo 2
55
Sabendo que o vector velocidade angular tem direcção perpendicular ao plano do movimento circular (ou seja, a direcção do eixo de rotação, ∆) então esse vector pode ser definido como:
∆⋅= utt rr )()( ωω (2.12)
onde ∆ur é o versor do eixo de rotação ∆.
Deforma idêntica, o vector aceleração angular, αr , do sólido em rotação é definido por:
∆∆ ⋅=⋅== utudt
tddt
tdt rrr
r )()()()( αωωα (2.13)
Verifica-se que a velocidade vectorial instantânea do sólido em rotação é sempre dada por:
)()()()( trtdt
trdtv rrr
r×== ω (2.14)
independentemente da origem do sistema de eixos cartesiano, desde que esteja situado no eixo de rotação.
Figura 2.6 – Definição do movimento de rotação através do vector rotação.
A justificação da afirmação anterior pode ser obtida definindo o vector posição )(trr ilustrado na figura 2.6 através da seguinte adição vectorial:
OOtrtr ')(')( +=rr (2.15)
então,
[ ] OOttrtOOtrttrtdt
trdtv ')()(')(')(')()()()()( ×+×=+×=×== ωωωω rrrrrrrr
r (2.16a)
como os vectores )(tωr e OO' são paralelos, então o produto vectorial OOt ')( ×ωr é igual ao vector nulo. Verifica-se portanto que:
Cinemática de um sistema de partículas
56
',;)(')()()()()( OOtrttrtdt
trdtv ∀×=×==rrrr
rr ωω (2.16b)
Assim, a determinação do vector velocidade instantânea pode ser obtida a partir do vector rotação e do vector posição, independentemente da origem, O ou O', considerada no eixo de rotação.
De igual modo, a aceleração vectorial instantânea de qualquer partícula P de um corpo rígido em movimento de rotação é definida como:
[ ] =×+×=×==dt
trdttrdt
tdtrtdtd
dttvd
ta PPP
pp
)()()()()()()(
)(r
rrr
rrr
r ωωω
)()()()( tvttrt pPrrrr
×+×= ωα (2.17)
A aceleração vectorial instantânea par pode ser definida através da soma das seguintes duas parcelas:
×=
×=+=
)()()(
)()()(com;)()()(
tvtta
trttatatata
pn
Pt
ntp
P
P
PP rrr
rrrrrr
ω
α (2.18)
2.3.4 Operador de rotação, ×ωr
Como se viu anteriormente, a velocidade vectorial instantânea, )(tvr , de um sólido em rotação é dada por:
)()()( trttv rrr×=ω (2.19)
independentemente da posição do ponto de origem situado no eixo de rotação.
Como, por definição:
dt
trdtv )()(r
r= (2.20)
então igualando as expressões (2.19) e (2.20), vem:
)()()( trtdt
trd rrr
×=ω (2.21)
Capítulo 2
57
Isto significa que o operador matemático dtd de derivação temporal é equivalente ao operador matemático ×ωr , desde que o operando (neste caso rr ) sobre o qual o operador actua seja um vector de grandeza constante. Na realidade, num corpo rígido em rotação, todas as partículas mantêm a mesma distância ao eixo de rotação, embora a direcção e o sentido de rr se altere.
NOTA: Em geral, o movimento de rotação de um sólido apresenta uma velocidade vectorial instantânea de grandeza variável. Por isso é que:
)()()( tvtdt
tvd rrr
×≠ω (2.22)
No entanto, quando o movimento circular é uniforme (isto é, vr =constante) então verifica-se a seguinte igualdade:
)()()( tvtdt
tvd rrr
×=ω (2.23)
De facto, viu-se anteriormente que no movimento circular uniforme o vector aceleração instantânea só tem componente normal dada por:
)()()( tvttanrrr
×=ω (2.24)
Mais uma vez se confirma que o operador de rotação ×ωr tem o significado do operador matemático dtd quando o operando tem grandeza constante.
Exercício de aplicação
Cinemática de um sistema de partículas
58
Capítulo 2
59
Cinemática de um sistema de partículas
60
2.4 MOVIMENTO GERAL DO SÓLIDO
2.4.1 Velocidade e aceleração
O movimento geral de um corpo rígido no espaço pode ser decomposto em movimentos simples elementares independentes constituídos por movimentos de translação e rotação.
O movimento de um corpo rígido pode ser caracterizado por um dos seguintes movimentos-tipo:
– Movimento plano: Todas as partículas se deslocam em planos paralelos.
– Movimento em torno de um ponto fixo: O corpo efectua a designada precessão em torno de um ponto fixo (por exemplo, o pião a girar em torno de um ponto de contacto com o solo).
– Movimento de rotação e deslizamento (movimento roto-translatório): Os pontos do eixo de rotação deslocam-se sobre ele, permanecendo sobre essa direcção (exemplo: movimento de um parafuso ou movimento helicoidal).
Sejam A e B duas partículas de um corpo rígido. Como se viu anteriormente, o vector posição
Brr pode ser obtido da seguinte maneira:
)()()( / trtrtr ABABrrr
+= (2.25)
Desta forma, o vector velocidade em B, Bvr , é por definição igual a:
dttrd
dttrd
dttrdtv ABAB
B)()()()( /
rrrr
+==
(2.26) Figura 2.7 – Movimento geral.
Capítulo 2
61
Ou seja:
)()()( / tvtvtv ABABrrr
+= (2.27)
em que )(/ tv ABr é a velocidade de B relativamente ao referencial Ax'y'z', ligado ao
ponto A e de orientação fixa. Dado que o ponto A está fixo neste referencial, o movimento do corpo relativo a Ax'y'z' é o movimento de um corpo com um ponto fixo. Assim, a velocidade )(/ tv AB
r pode obter-se como a velocidade em torno do ponto fixo A, ou seja, do movimento circular, com vector rotação ωr , em torno do eixo de rotação que passa pelo ponto A:
)()()( // trttv ABABrrr
×=ω (2.28)
Portanto, a velocidade num ponto qualquer, B, de um corpo rígido com um movimento geral é dado por:
)()()()( / trttvtv ABABrrrr
×+= ω (2.29)
em que a primeira parcela da soma vectorial, )(tvAr , representa a componente de
translação e a segunda parcela, )()( / trt ABrr
×ω , representa a componente de rotação.
A aceleração de B obtém-se por um raciocínio idêntico. Primeiro escreve-se:
)()()( / tatata ABABrrr
+= (2.30)
em que ABa /r é a aceleração de B relativamente ao referencial Ax'y'z' ligado a A e de
orientação fixa. Assim, a aceleração ABa /r pode obter-se como a aceleração em torno
do ponto fixo A, ou seja, do movimento circular em torno do eixo de rotação que passa por A e é caracterizado pelo vector rotação ωr :
( ) ( ) =+= )()()( /// tatata nABtABABrrr
=×+×= )()()()( // tvttrt ABABrrrr ωα
[ ])()()()()( // trtttrt ABABrrrrr
××+×= ωωα (2.31)
Portanto, a aceleração num ponto qualquer, B, de um corpo rígido em movimento (geral) é dado por:
[ ])()()()()()()( // trtttrttata ABABABrrrrrrr
××+×+= ωωα (2.32)
Cinemática de um sistema de partículas
62
em que a primeira parcela da soma vectorial, )(taAr , representa a componente de
translação e as segunda e terceira parcelas representam a componente de rotação, correspondendo a segunda parcela, )()( / trt AB
rr×α , à componente tangencial e a
terceira parcela, [ ])()()( / trtt ABrrr
×× ωω , à componente normal.
As equações de velocidade e de aceleração de um corpo rígido em movimento geral mostram que esse movimento é equivalente, num dado instante, à soma de uma translação, na qual todas as partículas do corpo têm a mesma velocidade e a mesma aceleração que a partícula de referência A, e um movimento (de rotação) no qual a partícula A se considera fixa.
2.4.2 Teoria do campo das velocidades de um corpo rígido
Como se viu no ponto anterior, a velocidade absoluta da partícula B em movimento geral, no referencial absoluto ou fixo, é dada por:
=+=dtrd
dtrdv ABA
B/
rrr
dtkdz
dtjdy
dtidxvA
'''rrr
r⋅+⋅+⋅+= (2.33)
sendo Avr a velocidade no ponto A do referencial móvel relativamente ao referencial fixo.
Por outro lado, de acordo com o conceito de operador de rotação, visto em 2.3.4, o operador matemático dtd de derivação temporal é equivalente ao operador matemático ×ωr desde que os operandos (neste caso 'i
r, 'jr
e 'kr
) sobre o qual o operador actua, sejam vectores de grandeza constante. Assim,
'' idtid rrr
×=ω (2.34a)
'' jdtjd rrr
×=ω (2.34b)
'' kdtkd rrr
×=ω (2.34c)
representando estas três expressões as fórmulas de Poisson. Assim,
Capítulo 2
63
( )''' kzjyixvv AB
rrrrrr⋅+⋅+⋅×+= ω (2.35)
ou seja, como se viu anteriormente:
ABAB rvv /rrrr
×+= ω (2.36)
representando esta expressão a designada lei das velocidades de um corpo rígido, onde Bvr representa o vector do campo de velocidades. Assim,
Bvr – Velocidade absoluta de B pertencente ao sólido móvel em movimento geral, no referencial fixo ou absoluto.
Avr – Velocidade vectorial instantânea no referencial fixo do ponto A do sólido móvel e, portanto, do referencial móvel; como se o sólido não rodasse no espaço, isto é, como se o sólido apenas estivesse submetido ao movimento de translação independente da velocidade de todas as partículas dada por
Avr .
ABr /rr
×ω – Velocidade vectorial instantânea de qualquer partícula B do sólido móvel, devido ao movimento de rotação instantâneo do sólido em torno do seu eixo de rotação instantâneo caracterizado pelo vector ωr .
NOTAS: O vector do campo de velocidades do movimento geral de um sólido contém os casos particulares de translação pura e rotação pura.
1. Translação pura (movimento geral de um corpo rígido sem rotação):
AB vvBA rrrr=⇒=∀ 0, ω (2.37)
2. Rotação pura (movimento geral de um corpo rígido sem translação):
ABBA rvvBA /0, rrrrr×=⇒=∀ ω (2.38)
3. ωr é um vector livre
Verifica-se que a expressão (2.36) é sempre a mesma qualquer que seja o referencial considerado:
ABAB rvv /rrrr
×+= ω (2.39a)
Cinemática de um sistema de partículas
64
ACAC rvv /rrrr
×+= ω (2.39b)
subtraindo as expressões (2.39a) e (2.39b) obtém-se:
( ) ⇒−×=− ACABCB rrvv //rrrrr ω
CBCB rvv /rrrr
×+=⇒ ω (2.40)
ou seja, ωr é um vector livre.
Exercício de aplicação
Capítulo 2
65
Cinemática de um sistema de partículas
66
2.5 MOVIMENTO PLANO DO SÓLIDO
2.5.1 Definição
O movimento plano de um corpo rígido é um movimento durante o qual todos os pontos do corpo se deslocam paralelamente a um plano fixo. Durante o movimento plano, todos os pontos do corpo situados sobre uma perpendicular ao plano deslocam-se do mesmo modo. 2.5.1.1.1.1.1.1
a) Movimento paralelo a um plano fixo π.
Por isso, para se estudar o movimento do corpo basta estudar o movimento de qualquer secção, S(t), obtida pela intersecção do corpo por um plano paralelo ao plano fixo de referência.
b) Corte obtido pelo plano β paralelo ao plano π.
Figura 2.8 – Movimento plano de um sólido.
Figura 2.9a – Decomposição do movimento plano (exemplo 1).
Capítulo 2
67
Figura 2.9b – Decomposição do movimento plano (exemplo 2).
Como se pode observar nos dois exemplos das figuras 2.9 (a e b), o movimento plano geral de um sólido pode ser considerado como a soma de uma translação com uma rotação.
2.5.2 Velocidade absoluta e velocidade relativa no movimento plano
No ponto anterior viu-se que qualquer movimento plano de uma placa pode ser substituído por uma translação, definida pelo movimento de qualquer ponto de referência A e, simultaneamente, por uma rotação em torno de A. A velocidade absoluta Bvr de uma partícula B da placa obtém-se a partir da fórmula da velocidade relativa deduzida em 2.4.1:
)()()( / tvtvtv ABABrrr
+= (2.41)
Figura 2.10 – Velocidade absoluta e velocidade relativa.
Cinemática de um sistema de partículas
68
A velocidade Avr corresponde à translação da placa com o ponto A, enquanto que a velocidade relativa ABv /
r está associada à rotação da placa em torno do ponto A e é medida em relação ao referencial centrado em A e com orientação fixa.
Representando por ABr /r o vector posição de B relativamente a A, e por ωr (ou
kr⋅ω ) a velocidade angular da placa em relação aos eixos com orientação fixa
então, a velocidade relativa, ABv /r , pode ser definida por:
ωω ⋅=×= rvtrttv ABABAB /// com;)()()( rrrr (2.42)
na qual r é a distância do ponto A ao ponto B. Substituindo na expressão (2.41), vem:
)()()()( / trkttvtv ABABrrrr
×⋅+= ω (2.43)
A caracterização da cinemática do movimento plano através das representações vectoriais com produtos vectoriais é, de certo modo, mais trabalhosa que outros tipos de representação cinemática do movimento plano que recorrem a outras características do movimento plano.
Assim, como a teoria do campo de velocidades (TCV), isto é a cinemática, é uma teoria de campo de momentos (TCM) do vector campo de velocidade, também existe uma propriedade projectiva da TCV obtida de modo análogo à propriedade projectiva da TCM (vista na disciplina de Mecânica I):
⇒×+= ABAB rvv /rrrr ω
ABABABAABB rrrvrv ////rrrrrrr⋅×+⋅=⋅⇒ ω (2.44)
como os vectores ABr /rr
×ω e ABr /r são
perpendiculares, então o seu produto escalar é nulo, vindo:
Figura 2.11 – Propriedade projectiva.
⇒⋅⋅=⋅⋅⇒ αβ coscos // ABAABB rvrv rrrr
αβ coscos ⋅=⋅⇒ AB vv (2.45)
Capítulo 2
69
Por intermédio desta relação, se for conhecido o vector velocidade num ponto e a direcção da velocidade noutro ponto, a grandeza dessa outra velocidade é determinável pelo teorema das projecções das velocidades.
A caracterização cinemática do movimento plano pode então ser feito através das trajectórias dos pontos da secção plana, das suas velocidades e acelerações, como já referido anteriormente.
– Equações paramétricas (duas equações temporais para a localização no espaço, para cada instante t, e uma equação temporal para definir a variação angular, ϕ, em cada instante t):
=
=
=
)(
)(
)(
t
tyy
txx
ϕϕ
(2.46)
O ângulo de rotação de qualquer direcção será:
0geralmente;)()()( 00 =−= tttt ϕϕθ (2.47)
– As velocidades de qualquer ponto B serão tais que:
)()()()( / trkttvtv ABABrrrr
×⋅+= ω (2.48)
– As acelerações serão:
[ ])()()()()()()()( // trktkttrkttadt
tvdta ABABAB
Brrrrrr
rr
×⋅×⋅+×⋅+== ωωα (2.49)
em que a primeira parcela da soma vectorial, )(taAr , representa a
componente de translação e as segunda e terceira parcelas representam a componente de rotação, correspondendo a segunda parcela,
)()( / trkt ABrr
×⋅α , à componente tangencial e a terceira parcela, [ ])()()( / trktkt AB
rrr×⋅×⋅ ωω , à componente normal.
Cinemática de um sistema de partículas
70
Exercício de aplicação
Capítulo 2
71
2.5.3 Centro instantâneo de rotação (CIR) no movimento plano
O conceito de centro instantâneo de rotação (CIR) permite aplicar um processo alternativo ao anterior de descrever o campo de velocidades de uma secção plana
em movimento geral.
Define-se centro instantâneo de rotação como sendo o ponto do plano da secção que num determinado instante tem velocidade nula.
Figura 2.12 – Centro instantâneo de rotação (CIR).
Cinemática de um sistema de partículas
72
Assim, as velocidades de todas as partículas da secção são as mesmas que se obteriam pela rotação dessa secção em torno de um eixo perpendicular ao plano e que passasse pelo ponto CIR:
CIRAA rv /⋅= ω (2.50)
em que CIRAr / representa a distância entre o ponto genérico A e o centro instantâneo de rotação (CIR). Note-se que os vectores Avr e CIRAr /
r são perpendiculares.
A posição do CIR pode definir-se através da consideração das direcções dos vectores velocidade de duas partículas, A e B, da secção. O CIR obtém-se pelo traçado da perpendicular a Avr passando por A e da perpendicular a Bvr passando por B e determinando o ponto de intersecção destas duas linhas.
Figura 2.13 – Determinação da posição do CIR.
Para verificar que de facto o ponto assim determinado é o centro instantâneo de rotação, considere-se, por redução a uma hipótese absurda que a velocidade no CIR não era nula, isto é, 0≠CIRv . Por aplicação do teorema das projecções das velocidades tem-se que:
βα coscos ⋅=⋅ CIRA vv (2.51)
como os vectores Avr e CIRAr /r são perpendiculares, ou seja α é igual a 90° (portanto,
0cos =α ), então:
0cos0cos =⋅⇒=⋅ βα CIRA vv (2.52)
como se considerou por hipótese que a velocidade no CIR não era nula ( 0≠CIRv ) então a segunda igualdade expressa em (2.52) só seria possível se 0cos =β , ou seja, se β fosse igual a 90°. Neste caso, a velocidade no CIR teria que se perpendicular a CIRAr /
r .
Considerando o mesmo raciocínio entre B e CIR, e mantendo a mesma hipótese (absurda) inicial, concluí-se que a velocidade em CIR também teria que ser perpendicular a CIRBr /
r . Como CIRAr /r e CIRBr /
r não têm a mesma direcção, então a igualdade:
Capítulo 2
73
0cos =⋅ βCIRv (2.53)
só é possível se a velocidade no CIR for nula ( 0=CIRv ).
O grande interesse na aplicação do conceito de centro instantâneo de rotação consiste na possibilidade de determinar de forma expedita a velocidade em qualquer ponto da secção, uma vez conhecida a localização do CIR. Nesta situação, a velocidade em qualquer ponto da secção pode ser obtida multiplicando unicamente a velocidade angular com a distância desse ponto ao CIR. De facto, pela lei geral das velocidades tem-se que:
CIRBCIRB rvv /rrrr
×+= ω (2.54)
como 0rr
=CIRv , então:
CIRBB rkv /rrr
×⋅= ω (2.55)
ou seja:
CIRBB rv /
rr⋅= ω (2.56)
Portanto, a grandeza das velocidades em dois quaisquer pontos são proporcionais às suas distâncias ao CIR:
CIRB
CIRA
CIRB
CIRA
B
A
rr
rr
vv
/
/
/
/ =⋅⋅
=ωω (2.57)
Alguns casos particulares de localização do CIR
1º) Movimento plano de rolamento, sem deslizamento, de um cilindro qualquer sobre uma superfície fixa
O centro instantâneo de rotação em qualquer instante – CIR(t) – situa-se no ponto de contacto do corpo com a superfície fixa (vsup.fixa=0):
Cinemática de um sistema de partículas
74
Figura 2.14 – Localização do CIR na superfície fixa de contacto.
Neste caso, a superfície fixa é a trajectória dos CIR’s (lugar geométrico dos pontos instantâneos com velocidade nula)
2º) Localização do CIR quando as velocidades em dois pontos quaisquer A e B são paralelas e a direcção AB não é perpendicular à direcção comum das velocidades
Figura 2.15 – Localização do CIR dum corpo em translação instantânea.
Pelo teorema das projecções das velocidades, vem:
βα coscos ⋅=⋅ BA vv (2.58)
como o ângulo α é igual ao ângulo β, então os respectivos co-senos são iguais, logo, a igualdade (2.58) só será válida se as velocidades em A e B forem iguais:
BAvv BA ,;coscos ∀=⇒=⇒= βαβα (2.59)
Este caso corresponde a uma situação de translação instantânea pura, logo as velocidades em qualquer ponto são iguais e, consequentemente, o CIR encontra-se no infinito.
3º) Localização do CIR quando as velocidades em dois pontos quaisquer A e B são paralelas e a direcção AB perpendicular à direcção comum das velocidades
Capítulo 2
75
Como se viu anteriormente,
CIRB
CIRA
B
A
rr
vv
/
/= (2.60)
Pelo teorema de Tales é possível determinar a posição do CIR.
Figura 2.16 – Localização do CIR.
Exercício de aplicação
Cinemática de um sistema de partículas
76
2.6 CINEMÁTICA DO MOVIMENTO RELATIVO
2.6.1 Considerações gerais e definições
O objectivo deste sub-capítulo é estudar as características do movimento de uma partícula ou de um sistema de partículas num referencial móvel, conhecida a descrição desse movimento num referencial (pseudo-)fixo em relação ao qual o movimento do referencial móvel é detectado.
Existem inúmeras aplicações deste tipo de movimento, como por exemplo:
– movimento de um passageiro num comboio em movimento relativamente à estação;
– movimento de um astronauta relativamente à nave em movimento relativamente à Terra;
– movimento de zonas atmosféricas ou oceânicas relativamente a outras zonas atmosféricas ou oceânicas em movimento;
– etc.
Neste tipo de movimentos consideram-se dois referenciais: um referencial S1(x, y, z) considerado absoluto ou fixo e um referencial S(x, y, z) considerado móvel em relação ao referencial S1 fixo.
O movimento absoluto de uma partícula M, ou de um sistema de partículas, em relação ao referencial fixo S1, pode ser considerado como a resultante cinemática do movimento de condução e do movimento relativo, assim definidos:
– Movimento relativo – movimento de qualquer partícula M em relação ao referencial móvel S.
– Movimento de condução, transporte ou arrastamento – movimento do referencial móvel S relativamente ao referencial fixo S1, como se as partículas M não se movessem no referencial móvel S, isto é, como se pertencessem a um corpo que está “colado” ao referencial S.
Capítulo 2
77
No exemplo atrás referido de um passageiro em movimento num comboio em movimento relativamente à estação (fixa), as analogias são as seguintes:
– Movimento relativo – é o movimento do passageiro em relação ao comboio (ou seja, está ligado ao referencial móvel);
– Movimento de condução, transporte ou arrastamento – é o movimento do comboio relativamente ao exterior ou à estação (ou seja, é o movimento que o passageiro teria em relação ao exterior se estivesse “amarrado” à cadeira);
– Movimento absoluto ou resultante – é o movimento do passageiro que se encontra sobre um comboio que, por sua vez, também está em movimento relativamente à estação (fixa).
Figura 2.17 – Movimento relativo.
Neste caso, a posição de um ponto M qualquer pode ser obtido da seguinte forma:
tMtrtrtr OMOOOM ∀∀+= ,;)()()( /// 11
rrr (2.61)
ou seja,
)()()()()()()()()()(1/111111 tktztjtytitxtrktzjtyitx OO
rrrrrrr⋅+⋅+⋅+=⋅+⋅+⋅ (2.62)
Cinemática de um sistema de partículas
78
onde 1ir
, 1jr
e 1kr
são os versores espacialmente e temporalmente fixos; e, ir
, jr
e kr
são os versores de orientação espacial variável no tempo.
De seguida vai-se identificar quais as variáveis e as constantes associadas aos movimentos absoluto, relativo e de transporte (ou condução).
– Movimento relativo:
variáveis – x1(t), y1(t), z1(t), x(t), y(t), z(t), )(tir
, )(tjr
, )(tkr
, )(1/ tr OO
r
constantes – 1ir
, 1jr
, 1kr
– Movimento condução, transporte ou arrastamento:
variáveis – )(tir
, )(tjr
, )(tkr
, )(1/ tr OO
r
constantes – x(t), y(t), z(t)
– Movimento relativo:
variáveis – x(t), y(t), z(t)
constantes – )(tir
, )(tjr
, )(tkr
, )(1/ tr OO
r
2.6.2 Teorema da composição das velocidades
Por definição, a velocidade absoluta é dada por:
111111/ )()()(
)()( 1 ktzjtyitx
dttrd
tv OMabs
r&
r&
r&
rr
⋅+⋅+⋅== (2.63)
ou então,
[ ])()()( // 1trtr
dtdtv OMOOabs
rrr+=
[ ])()()()()()()(
1/ tktztjtytitxdtd
dttrd OO
rrrr
⋅+⋅+⋅+=
dtkdzkz
dtjdyjy
dtidxix
dttrd OO
rr
&
rr
&
rr
&
r
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+=)(
1/
Capítulo 2
79
( )
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+=
dtkdz
dtjdy
dtidxkzjyix
dttrd OO
rrrr
&r
&r
&
r )(1/ (2.64)
Mas, por sua vez, a velocidade relativa é:
[ ] ⇒⋅+⋅+⋅== ktzjtyitxdtd
dttrdtv OM
rel
rrrrr )()()()()( /
⇒ kzjyixtvrel
r&
r&
r&
r⋅+⋅+⋅=)( (2.65)
Comparando com a velocidade absoluta e tendo em conta que,
)()()( tvtvtv condrelabsrrr
+= (2.66)
então conclui-se que a velocidade de condução ou de transporte, condvr , é dada por:
⋅+⋅+⋅+=
dtkdz
dtjdy
dtidx
dttrd
tv OOcond
rrrrr )(
)( 1/ (2.67)
Tendo em conta as fórmulas de Poisson, apresentadas nas expressões 2.34, sabe-se que:
×=
×=
×=
kdtkd
jdtjd
idtid
cond
cond
cond
rrr
rrr
rrr
ω
ω
ω
(2.68)
onde condωr é o vector rotação associado à rotação do corpo rígido (e, portanto, do referencial móvel que lhe está associado), com movimento de condução de velocidade angular condωr . Deste modo,
dtkdz
dtjdy
dtidx
dttrd
tv OOcond
rrrrr
⋅+⋅+⋅+=)(
)( 1/
kzjyixdt
trdcondcondcond
OOrrrrrr
r
×⋅+×⋅+×⋅+= ωωω)(
1/
( )kzjyixdt
trdcond
OOrrrr
r
⋅+⋅+⋅×+= ω)(
1/
Cinemática de um sistema de partículas
80
)()()(
// 1 trtdt
trdOMcond
OO rrr
×+= ω (2.69)
ou seja, é uma expressão do tipo:
)()()()( /0 trttvtv OMcondcondrrrr
×+= ω (2.70)
que traduz a cinemática do movimento geral do corpo rígido.
Resumindo, o teorema da composição das velocidades refere que a velocidade vectorial absoluta de uma partícula M que se encontra em movimento em relação a um referencial fixo é a soma vectorial da velocidade relativa dessa partícula em relação ao referencial móvel com a velocidade do referencial móvel em relação ao referencial fixo (velocidade de transporte, condução ou arrastamento), ou seja:
)()()( tvtvtv condrelabsrrr
+=
kzjyixtvrel
r&
r&
r&
r⋅+⋅+⋅=)(
)()()()( /0 trttvtv OMcondcondrrrr
×+= ω
2.6.3 Teorema da composição das acelerações ou teorema de Coriólis
Por definição, a aceleração absoluta é dada por:
1111112/
2
)()()()(
)( 1 ktzjtyitxdt
trdta OM
abs
r&&
r&&
r&&
rr
⋅+⋅+⋅== (2.71)
ou então,
2
2
2
2
2
2
2/
2
/
)(
)()(
1
1
dtkdz
dtkdz
dtkdzkz
dtjdy
dtjdy
dtjdyjy
dtidx
dtidx
dtidxix
dttrd
dtkdzkz
dtjdyjy
dtidxix
dttrd
dtdta
OO
OOabs
rr
&
r
&r
&&
rr
&
r
&r
&&
rr
&
r
&r
&&
r
rr
&
rr
&
rr
&
rr
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+
+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+=
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+=
Capítulo 2
81
( )
⋅+⋅+⋅⋅+
+
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+=
dtkdz
dtjdy
dtidx
dtkdz
dtjdy
dtidxkzjyix
dttrd
ta OOabs
r
&
r
&
r
&
rrrr
&&r
&&r
&&
rr
2
)()( 2
2
2
2
2
2
2/
21
(2.72)
Por sua vez, a aceleração relativa é:
[ ] ⇒⋅+⋅+⋅== ktzjtyitxdtd
dttvdta rel
rel
r&
r&
r&
rr )()()()()(
⇒ ktzjtyitxtarel
r&&
r&&
r&&
r⋅+⋅+⋅= )()()()( (2.73)
Também por definição, a aceleração de transporte é:
⇒
⋅+⋅+⋅+==
dtkdz
dtjdy
dtidx
dtrd
dtd
dttvdta OOcond
cond
rrrrrr
1/)()(
⇒ 2
2
2
2
2
2
2/
2 )()( 1
dtkdz
dtjdy
dtidx
dttrd
ta OOcond
rrrrr
⋅+⋅+⋅+= (2.74)
Identificando os termos respectivos com a expressão (2.72), verifica-se que:
⋅+⋅+⋅⋅++=
dtkdz
dtjdy
dtidxaaa condrelabs
r
&
r
&
r
&rrr 2 (2.75)
onde a parcela adicional que surge nesta expressão (e que não aparece na correspondente expressão da velocidade) é designada de aceleração complementar ou aceleração de Coriólis:
⋅+⋅+⋅⋅=
dtkdz
dtjdy
dtidxacor
r
&
r
&
r
&r 2 (2.76)
ou aplicando as fórmulas de Poisson (2.34):
( )
( )kzjyix
kzjyixa
cond
condcondcondcorr
&r
&r
&r
rr&
rr&
rr&
r
⋅+⋅+⋅×⋅=
×⋅+×⋅+×⋅⋅=
ω
ωωω
2
2 (2.77)
relvr
Cinemática de um sistema de partículas
82
assim a aceleração de Coriólis pode ser definida condensadamente pela seguinte expressão:
relcondcor va rrr×⋅= ω2 (2.78)
Então, o teorema da composição das acelerações diz que:
corcondrelabs aaaa rrrr++= (2.79)
Note-se que esta parcela adicional da aceleração (a aceleração de Coriólis) é calculada a partir de características dos movimentos elementares tais como a velocidade angular condωr do movimento de condução e a velocidade relvr do movimento relativo.
Logo, em qualquer corpo móvel, num referencial móvel em movimento relativamente a um referencial fixo existirá aceleração de Coriólis, a qual implicará o desenvolvimento de uma força adicional (ou complementar) sobre o corpo (de acordo com o princípio fundamental da dinâmica: amF rr
⋅= ), que é designada de força de Coriólis, corF
r.
Entre as aplicações e as consequências da existência da força de Coriólis em problemas de cinemática de movimento relativo, menciona-se alguns exemplos:
– sentido de rotação dos vórtices atmosféricos nos hemisférios norte e sul;
– forças de Coriólis associadas ao movimento do astronauta reparando um satélite no espaço;
– forças de Coriólis associadas a determinados fenómenos marítimos;
– variação terrestre das marés;
– estudo da evolução de fenómenos meteorológicos.
2.6.4 Casos particulares – Princípio da relatividade newtoniana
Se o sistema referencial móvel S tiver um movimento de translação em relação ao referencial fixo S1, então os versores i
r, jr
e kr
, bem como qualquer direcção considerada no referencial móvel, ocuparão durante o movimento posições paralelas entre si, pelo que os versores i
r, jr
e kr
, serão vectores constantes. Logo:
Capítulo 2
83
0r
rrr
===dtkd
dtjd
dtid (2.80)
e os teoremas da composição das velocidades e da composição das acelerações serão expressos, respectivamente, por:
=
⋅+⋅+⋅=
+=
dttrd
v
kzjyixv
vvvOO
cond
rel
condrelabs )(que em;1/
rr
r&
r&
r&
r
rrr (2.81)
=
=
⋅+⋅+⋅=
+=
0
)(que em; 2
/2
1
rr
rr
r&&
r&&
r&&
r
rrr
cor
OOcond
rel
condrelabs
a
dttrd
a
kzjyixa
aaa (2.82)
A aceleração de Coriólis é nula atendendo ao facto dos versores ir
, jr
e kr
, serem vectores constantes, ou seja, as respectivas derivadas são nulas, como está expresso em (2.80), resultando, de acordo com a expressão (2.76), no anulamento da aceleração de Coriólis.
Note-se que dtrd OO 1/r e 2
/2
1dtrd OO
r representam, respectivamente, as velocidades e as acelerações do centro do referencial móvel em movimento de translação, as quais coincidem com as velocidades e as acelerações do designado movimento de transporte (condução ou arrastamento) do referencial móvel S relativamente ao referencial fixo S1.
Se para além das premissas anteriores, o movimento de translação do referencial móvel S relativamente ao referencial fixo S1, for um movimento rectilíneo e uniforme, então 02
/2
1
rr=dtrd OO e o teorema da composição das
acelerações será:
relabs aa rr= (2.83)
Desta expressão conclui-se que um corpo terá a mesma aceleração em dois referenciais que executem, um em relação ao outro, um movimento de translação
Cinemática de um sistema de partículas
84
rectilíneo e uniforme. Isto traduz o designado Princípio da Relatividade Newtoniana. Assim:
1º) Um movimento de translação rectilíneo e uniforme comum aos aparelhos de medida e aos observadores, não altera as observações mecânicas;
2º) É impossível justificar com experiências mecânicas, realizadas num sistema de partículas mecânico, se este está em repouso ou em movimento rectilíneo e uniforme. Ou seja, repouso e movimento rectilíneo e uniforme são duas facetas equivalentes da mesma realidade mecânica.