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SEM0104 SEM0104 -- Aula Aula 1212Cinemática Cinemática e Cinética de e Cinética de Partículas no Plano e no Partículas no Plano e no EspaçoEspaçoPartículas no Plano e no Partículas no Plano e no EspaçoEspaço
Prof. Dr. Marcelo Prof. Dr. Marcelo BeckerBeckerSEM - EESC - USP
–– IntroduçãoIntrodução
– Sistemas de Referência
– Diferença entre Movimentos
Sumário da AulaSumário da Aula
– Diferença entre Movimentos
– Cinética
EESC-USP © M. Becker 2009 2/58
IntroduçãoIntrodução• Cinemática:estuda os movimentos dos
corpos (não suas causas)
• Cinética ou Dinâmica: estuda os
movimentos focando suas causas e origem
– Análise baseada na geometria do sistema
mecânico
– 3 Leis de Newton
• Inércia
• Variação da Quantidade de Movimento Linear
• Ação e Reação
EESC-USP © M. Becker 2009 3/58
–– IntroduçãoIntrodução
–– Sistemas Sistemas de de ReferênciaReferência
– Diferença entre Movimentos
Sumário da AulaSumário da Aula
– Diferença entre Movimentos
– Cinética
EESC-USP © M. Becker 2009 4/58
Sistema de Referência InercialSistema de Referência Inercial• Base vetorial com origem pré-definida
• Vetor Posição
kzjyixrOAI
rrrr000
++=z
=
0
0
0
z
y
x
rOAI
r
x
y
z
ij
k
rOA
Amplitude do vetor nas direções dos versoresA
O
EESC-USP © M. Becker 2009 5/58
Sistema de Referência InercialSistema de Referência Inercial• Vetor Velocidade
– O vetor velocidade absoluta é a derivada do
vetor posição (representado no sistema inercial)
( )
0x
dt
d
( )
( )
( )
( )
=
==
0
0
0
0
0
0
z
y
x
zdt
d
ydt
d
xdt
rdt
dv OAIAI
&
&
&rr
kzjyixvAI
r&
r&
r&
r000
++=EESC-USP © M. Becker 2009 6/58
Sistema de Referência InercialSistema de Referência Inercial• Vetor Aceleração
– O vetor aceleração absoluta é a 2a derivada do
vetor posição (representado no sistema inercial)
( )
02
2
xdt
d
( )
( )
( )
( )
=
==
0
0
0
02
2
02
2
02
2
2
z
y
x
zdt
d
ydt
d
xdt
rdt
da OAIAI
&&
&&
&&rr
kzjyixaAI
r&&
r&&
r&&
r000
++=EESC-USP © M. Becker 2009 7/58
Sistema de Referência MóvelSistema de Referência Móvel• Sistema de Referência Móvel:
– Pode facilitar a representação de determinados
movimentos complexos (dividindo-os em
movimentos mais simples que se somam para
compor o movimento absoluto)compor o movimento absoluto)
• Sistema Móvel com Translação Pura
• Sistema Móvel com Rotação Pura
– Matriz de Transformação de Coordenadas
• Relação entre os sistemas de referência que viabiliza a
passagem de um sistema móvel para o inercial e vice-
versa...
Qq. Movimento é uma composição desses dois!...
EESC-USP © M. Becker 2009 8/58
Sistema de Referência MóvelSistema de Referência Móvel• Sistema Móvel Transladando
– Sistema Inercial: I(x,y,z), origem O
– Sistema Móvel: B1(x1,y1,z1), origem A
Bz
x
y
z
ij
k
IrOAA
O
B1rAB
i1
j1
k1
B
x1
y1
z1Cursores de ambos sistemas permanecem sempre paralelos!
111,,,, kjikjirrrrrr
≡
{I}
{B1}
EESC-USP © M. Becker 2009 9/58
Sistema de Referência MóvelSistema de Referência Móvel• Sistema Móvel Transladando
– Assim:
=
j
i
j
ir
r
r
r
010
0011
=
k
j
k
jr
r
r
r
100
010
1
1
sIs IB
rr.
1= sIs BI
rr
1.
1−=
EESC-USP © M. Becker 2009 10/58
Sistema de Referência MóvelSistema de Referência Móvel• Sistema Móvel Transladando
– Dado um vetor:
rIrrrrr
.+=Bz
Posição de A no Sistema Inercial
ABBOAIOBI rIrrrrr
1.+=
x
y
z
ij
kIrOA
A
O
B1rAB
i1
j1
k1
B
x1
y1
z1
IrOB
Posição de B no Sistema Inercial
Posição de B relativa a A no Sistema Móvel
{I}
{B1}
EESC-USP © M. Becker 2009 11/58
Sistema de Referência MóvelSistema de Referência Móvel• Sistema Móvel Transladando
– Para que a soma seja possível é necessário que
o vetor seja representado no sistema
inercial:ABB rr
1
Bz
x
y
z
ij
kIrOA
A
O
B1rAB
i1
j1
k1
B
x1
y1
z1
IrOB
ABBABI rIrrr
1.=
{I}
{B1}
EESC-USP © M. Becker 2009 12/58
Sistema de Referência MóvelSistema de Referência Móvel• Sistema Móvel Transladando
– Para calcular a velocidade absoluta:
• Deriva-se o vetor posição com relação ao tempo
– No sistema Inercial:
( )( ) ( )ABBOAIOBIBI rIrdt
dr
dt
dv
rrrr
1.+==
( ) ( ) ( )ABBABBOAI rdt
dIrI
dt
dr
dt
d rrr
11.. ++=
0
ABIAIABBAI vvvIvrrrr
+=+=1
.
EESC-USP © M. Becker 2009 13/58
Sistema de Referência MóvelSistema de Referência Móvel• Sistema Móvel Transladando
– Para calcular a aceleração absoluta:
• Deriva-se o vetor velocidade com relação ao tempo
– No sistema Inercial:
( ) ( )ABBOAIOBIBI rIrdt
dr
dt
da
rrrr
1.
2
2
2
2
+==
ABIAIABBAI aaaIarrrr
+=+=1
.
EESC-USP © M. Becker 2009 14/58
Sistema de Referência MóvelSistema de Referência Móvel• Sistema Móvel Girando
– Sistema Inercial: I(x,y,z), origem O
– Sistema Móvel: B1(x1,y1,z1), origem A
Bz.
x
y
z
ij
k
IrOAA
O
B1rAB
i1
j1
k1
B
x1
y1
z1
{I}
{B1}
θθθθ.
Cursores de ambos sistemas deixam de ser paralelos e passam a manter uma relação que depende do ângulo θθθθ
EESC-USP © M. Becker 2009 15/58
Sistema de Referência MóvelSistema de Referência Móvel• Sistema Móvel Girando
– Supondo que o sistema móvel gire em torno de
z1:
Bz. 0 0
x
y
z
ij
k
IrOAA
O
B1rAB
i1
j1
k1
B
x1
y1
z1
{I}
{B1}
θθθθ.
=
)(
0
0
t
I
θ
ϖ&
r
=
)(
0
0
t
I
θ
ϖ&&
&r
EESC-USP © M. Becker 2009 16/58
Sistema de Referência MóvelSistema de Referência Móvel• Sistema Móvel Girando
– Projetando-se os cursores do sistema móvel para
o inercial (forma matricial):
iscirr
0
x
y
i
j
O
i1j1x1
y1
{I}
{B1}θθθθ
−=
k
j
i
cs
sc
k
j
i
r
r
r
r
100
0
0
1
1
1
θθ
θθ
sTs IB
rr.
1 θ= sTs BI
rr
1.
1−= θ
EESC-USP © M. Becker 2009 17/58
Sistema de Referência MóvelSistema de Referência Móvel• Sistema Móvel Girando
– Como o determinante de Tθ é sempre unitário:
TTT θθ =
−1
x
y
i
j
O
i1j1x1
y1
{I}
{B1}θθθθ
sTs IB
rr.
1 θ=
sTs B
T
I
rr
1.θ=
EESC-USP © M. Becker 2009 18/58
Sistema de Referência MóvelSistema de Referência Móvel• Sistema Móvel Girando
– Supondo que o sistema móvel gire em torno de
y1:
−
=
θθ sc 0
=
0
θϖ &r
x
z
i
k
O
i1k1x1
z1
{I}
{B1}θθθθ
=
θθ
θ
cs
T
0
010
=
0
)(tI θϖ &r
EESC-USP © M. Becker 2009 19/58
Sistema de Referência MóvelSistema de Referência Móvel• Sistema Móvel Girando
– Supondo que o sistema móvel gire em torno de
x1:
=
001
=
)(tθ
ϖ
&
r
y
z
j
k
O
j1k1y1
z1
{I}
{B1}θθθθ
−
=
θθ
θθθ
cs
scT
0
0
=
0
0Iϖr
EESC-USP © M. Becker 2009 20/58
Sistema de Referência MóvelSistema de Referência Móvel• Sistema Móvel Girando
– Deve-se observar que a matriz de transformação
Tθ depende do tempo!
{I} {B1111}
Tθθθθ
Tθθθθ
T
EESC-USP © M. Becker 2009 21/58
Sistema de Referência MóvelSistema de Referência Móvel• Sistema Móvel Girando
– Dado um vetor:
TrTrrrrr
.+=Bz
Posição de A no Sistema Inercial
.ABB
T
OAIOBI rTrrrrr
1.θ+=
x
y
z
ij
kIrOA
A
O
B1rAB
i1
j1
k1
B
x1
y1
z1
IrOB
Posição de B no Sistema Inercial
Posição de B relativa a A no Sistema Móvel
{I}
{B1}
θθθθ.
EESC-USP © M. Becker 2009 22/58
Sistema de Referência MóvelSistema de Referência Móvel• Sistema Móvel Girando
– Para que a soma seja possível é necessário que
o vetor seja representado no sistema
inercial:
ABB rr
1
Bz.
x
y
z
ij
kIrOA
A
O
B1rAB
i1
j1
k1
B
x1
y1
z1
IrOB
ABB
T
ABI rTrrr
1.θ=
{I}
{B1}
θθθθ.
EESC-USP © M. Becker 2009 23/58
Sistema de Referência MóvelSistema de Referência Móvel• Sistema Móvel Girando
– Para calcular a velocidade absoluta:
• Deriva-se o vetor posição com relação ao tempo
– No sistema Inercial:
( ) ( )ABB
T
OAIOBIBI rTrdt
dr
dt
dv
rrrr
1.θ+==
( ) ( ) ( )ABB
T
ABB
T
OAI rdt
dTrT
dt
dr
dt
d rrr
11.. θθ ++=
( ) ABB
T
ABB
T
IAI vTrTvrrrr
11.. θθϖ +×+=
EESC-USP © M. Becker 2009 24/58
Sistema de Referência MóvelSistema de Referência Móvel• Sistema Móvel Girando
– Assim:
( ) ABB
T
ABB
T
IAIBI vTrTvvrrrrr
11.. θθϖ +×+=
ABIABIIAIBI vrvvrrrrr
+×+= ϖ
EESC-USP © M. Becker 2009 25/58
Sistema de Referência MóvelSistema de Referência Móvel• Sistema Móvel Girando
– Para calcular a aceleração absoluta:
• Deriva-se o vetor velocidade com relação ao tempo
– No sistema Inercial:
( ) ( )ABB
T
OAIOBIBI rTrdt
dr
dt
da
rrrr
1.
2
2
2
2
θ+==
( ) ( ) ( )
++= ABB
T
ABB
T
OAI rdt
dTrT
dt
dr
dt
d
dt
d rrr
11.. θθ
( )[ ]ABB
T
ABB
T
IAI vTrTvdt
d rrrr
11.. θθϖ +×+=
EESC-USP © M. Becker 2009 26/58
Sistema de Referência MóvelSistema de Referência Móvel• Sistema Móvel Girando
– Assim:
( ) ( ) ( ) ( ) ABB
T
IABB
T
IAIBI rTdt
drT
dt
dv
dt
da
rrrrrr
11.. θθ ϖϖ ×+×+=
( ) ( ) ( ) ( )ABB
T
ABB
T
ABB
T
I rdt
dTr
dt
dT
dt
dr
dt
dT
dtdtdt
rrrr
111 2
2
... θθθϖ ++×+
( ) ( )( )( ) ( ) ABB
T
ABB
T
IABB
T
I
ABB
T
IIABB
T
IAIBI
aTvTvT
rTrTaa
rrrrr
rrrr&rrr
111
11
...
..
θθθ
θθ
ϖϖ
ϖϖϖ
+×+×+
××+×+=
EESC-USP © M. Becker 2009 27/58
Exercício 1Exercício 1• Imagine que um pistão hidráulico com uma massa m em sua
extremidade gire com velocidade angular θ em relação ao
eixo Z (inercial). Um sistema móvel de referência X1Y1Z1,
solidário ao pistão gira tb. com uma velocidade angular θ.
Obtenha os vetores posição, velocidade e aceleração do
ponto B nos sistemas inercial e móvel.
.
.
ponto B nos sistemas inercial e móvel.
X
Y
Z = Z1
θθθθ.
Y1
X1
B
EESC-USP © M. Becker 2009 28/58
Exercício 2Exercício 2• Imagine o disco principal B girando com velocidade angular
ω constante. Um disco secundário D é montado a uma
distância b em relação ao centro de rotação do disco
principal sobre o suporte C (fixo no disco principal). O centro
do disco secundário encontra-se a uma altura c em relação
ao disco principal e sua rotação p é constante. Deseja-se ao disco principal e sua rotação p é constante. Deseja-se
calcular a aceleração absoluta de um ponto A no disco
secundário, exatamente no instante em que θ = 0o e o ponto
A encontrar-se na posição vertical em relação ao disco
secundário.
EESC-USP © M. Becker 2009 29/58
Exercício 3Exercício 3• Imagine uma placa montada sobre um eixo rotativo. Nesta
placa constrói-se um rasgo onde uma partícula A, conectada
a uma mola, executa um movimento retilíneo. O eixo gira
com uma velocidade angular θ(t) e uma aceleração angular
θ(t). A partícula executa movimentos oscilatórios retilíneos s(t)
dentro do rasgo. O rasgo é construído na placa com um
...
dentro do rasgo. O rasgo é construído na placa com um
ângulo de inclinação β (fixo). Determine os vetores de
velocidade e aceleração absoluta do ponto A.
EESC-USP © M. Becker 2009 31/58
Exercício 4Exercício 4• O sistema mecânico mostrado na figura é composto pela
estrutura A, pelo rotor B, pelo braço com massa desprezível C
e pela massa concentrada D. Três sistemas de referência
devem ser utilizados, sendo o 1o Inercial, o 2o, B1 fixo no rotor,
e o 3o, B2 solidário ao braço C. A velocidade angular do rotor
é β [rad/s], variando com uma taxa β [rad/s2]. Em um dado ...
é β [rad/s], variando com uma taxa β [rad/s ]. Em um dado
instante os ângulos β e ϕ são diferentes de 0o, e a rotação e
aceleração do sistema braço-massa pontual é dada por ϕ e
ϕ. Obtenha os vetores posição, velocidade e aceleração
absoluta da massa pontual em D.
...
EESC-USP © M. Becker 2009 33/58
Exercício 4Exercício 4• Figura Y=Y1
B
C
X =X1
R
β ββ ββ ββ β. ..
OO1
LNo instante representado
X2Y2
A
D
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
...
LNo instante representado
X=X1 e Y=Y1
EESC-USP © M. Becker 2009 34/58
–– IntroduçãoIntrodução
–– Sistemas Sistemas de de ReferênciaReferência
–– Diferença entre MovimentosDiferença entre Movimentos
Sumário da AulaSumário da Aula
–– Diferença entre MovimentosDiferença entre Movimentos
– Cinética
EESC-USP © M. Becker 2009 35/58
Diferenças entre MovimentosDiferenças entre Movimentos• Movimentos Planos
– Caracterizados por rotações
consecutivas em torno dos mesmos eixos
(Z, Z1, Z2, ...)(Z, Z1, Z2, ...)
– Assim:
Bn-1θn
.
=0
0
θn
....B2θ3
.
=0
0
θ3
.B1θ2
.
=0
0
θ2
.Iθ1
.
=0
0
θ1
.
36/58EESC-USP © M. Becker 2009
Diferenças entre MovimentosDiferenças entre Movimentos– As matrizes de Transformação têm a
seguinte estrutura:
Tθ =
cosθ1
-senθsinθ1
cosθ0
0 .= TθB s sTθ1 = -senθ1
0cosθ1
0
0
1
.= Tθ1B1s Is
Tθn =
cosθn
-senθn
0
sinθn
cosθn
0
0
0
1
.= TθnBns Bn-1s
.
.
....
37/58EESC-USP © M. Becker 2009
Diferenças entre MovimentosDiferenças entre Movimentos– Transformação de Coordenadas da base
inercial { I } para a última base móvel {Bn}:
.= TBns Is
T =
cθ1
-sθ1
0
sθ1
cθ1
0
0
0
1
cθn
-sθn
0
sθn
cθn
0
0
0
1...
T =
0
0
1
c(θ1+ ...+θn)
-s(θ1+ ...+θn)
0
s(θ1+ ...+θn)
c(θ1+ ...+θn)
038/58EESC-USP © M. Becker 2009
Diferenças entre MovimentosDiferenças entre Movimentos– As velocidades angulares absolutas no
sistema inercial { I } serão:
Iθ1
.
=0
0Iω1 = .Tθ+
0
0Iθ1
.
Iω2 =T
B θ2
.
=Iθ1 = 0
θ1
.Iω1 = .Tθ1+ 0
θ1 + θ2
.Iθ1Iω2 = B1θ2 =.
.Tθ1+
0
0
θ1 + θ2 +...+ θn
.Iθ1
.
Iωn =T
B1θ2
.
=.
.Tθ1
T
Bn-1θn
.
+ +... ... Tθn-1
T
.
39/58EESC-USP © M. Becker 2009
Diferenças entre MovimentosDiferenças entre Movimentos� Assim, observa-se que em
movimentos planos, as rotações
ocorrem sempre no mesmo eixo,
podendo ser somadas diretamente...podendo ser somadas diretamente...
� Caso as rotações θ1, θ2, ..., θn sejam
constantes, as respectivas
acelerações angulares serão nulas!
. . .
40/58EESC-USP © M. Becker 2009
Diferenças entre MovimentosDiferenças entre Movimentos• Movimentos Tri-dimensionais
– Neste caso, as rotações ocorrem
sucessivamente em eixos diferentes (p.e.:
Z, X1, Z2, ...)Z, X1, Z2, ...)
– Assim:
B2θ3
.
=0
0
θ3
.B1θ2
.
=
θ2
0
0
.
Iθ1
.
=0
0
θ1
.
41/58EESC-USP © M. Becker 2009
Diferenças entre MovimentosDiferenças entre Movimentos– As matrizes de Transformação:
Tθ1 =
cθ1
-sθ1
0
sθ1
cθ1
0
0
0
1
.= Tθ1B1s Is
Tθ2 =
0
cθ2
-sθ2
0
sθ2
cθ2
1
0
0
.= Tθ2B2s B1s
Tθ3 =
cθ3
-sθ3
0
sθ3
cθ3
0
0
0
1
.= Tθ3B3s B2s
42/58EESC-USP © M. Becker 2009
Diferenças entre MovimentosDiferenças entre Movimentos– As velocidades angulares absolutas no
sistema inercial { I } serão:
Iθ1
.
=0
0Iω1 = .Tθ+
θ2.cθ1
θ .sθ
.
Iθ1
.
Iω2 =T
B θ2
.
=.
Iθ1 = 0
θ1
.Iω1 = .Tθ1+ θ2.sθ1
θ1
Iθ1Iω2 = B1θ2 =.
.Tθ1+.
Iθ1
.
Iω3 =T
B1θ2
.
=
.
.Tθ1
T
B2θ3
.
+ .Tθ2
T
.θ2.cθ1 + θ3.sθ1 .sθ2
θ2.sθ1 - θ3.cθ1 .sθ2
θ1 + θ3.cθ2
.
. .
43/58EESC-USP © M. Becker 2009
Diferenças entre MovimentosDiferenças entre Movimentos� Assim, observa-se neste exemplo que em
movimentos 3-D, embora as rotações
fossem apenas nos eixos X e Z (sistemas
móveis), quando vistas no sistema Inercial,
surgem termos em Y...surgem termos em Y...
� Mesmo que as rotações θ1, θ2, ..., θn sejam
constantes, as respectivas acelerações
angulares, vistas no sistema inercial, NÃONÃOserão nulas (Apesar de θ1, θ2, ..., θn serem
nulas...).
.... ..
. . .
44/58EESC-USP © M. Becker 2009
Diferenças entre MovimentosDiferenças entre Movimentos– As acelerações angulares absolutas no
sistema inercial { I } serão:
Iω1
.
=0
0Iω1 = d =0
0Iω1 = 0
θ1
..Iω1 = ddt
= 0
0
−θ1.θ2.sθ1
θ1.θ2.cθ1
0
. .
.
Iω2
.
=Iω2 = ddt
.
45/58EESC-USP © M. Becker 2009
Diferenças entre MovimentosDiferenças entre Movimentos
−θ1.θ2.sθ1 + θ1.θ3.cθ1.sθ2 + θ2.θ3.sθ1.cθ2
θ1.θ2.cθ1 + θ1.θ3.sθ1.sθ2 + θ2.θ3.cθ1.cθ2
−θ2.θ3.sθ2
. . .
Iω3
.
=Iω3 = ddt
. ..
. . . . . .
. .
� As acelerações angulares absolutas dos
sistemas B2 e B3 aparecem pois os vetores
velocidade angular variam de direção...
46/58EESC-USP © M. Becker 2009
–– IntroduçãoIntrodução
–– Sistemas Sistemas de de ReferênciaReferência
–– Diferença entre MovimentosDiferença entre Movimentos
Sumário da AulaSumário da Aula
–– Diferença entre MovimentosDiferença entre Movimentos
–– CinéticaCinética
EESC-USP © M. Becker 2009 47/58
CinéticaCinética� Foca causas e origem de movimentos
� Baseia-se nas 3 Leis de Newton:
� Primeira Lei de Newton ( Princípio da Inércia):"Um
móvel tende a permanecer em repouso ou em
movimento retilíneo e uniforme se a resultante das
Sir IsaacSir Isaac NewtonNewton
(1642(1642--1727)1727)
movimento retilíneo e uniforme se a resultante das
forças que atuam sobre ele for nula."
� Segunda Lei de Newton (Princípio Fundamental):
"Se um corpo estiver sujeito a uma resultante não
nula, esta causará uma aceleração proporcional à
sua intensidade."
� Terceira Lei de Newton (Princípio da Ação e
Reação): "Para cada força de ação corresponde
uma força de reação com as seguintes
características”:mesma direção; sentidos contrários; e
mesma intensidade.
48/58EESC-USP © M. Becker 2009
CinéticaCinéticaPrimeira Lei de Newton
(Princípio da Inércia):
� Se nenhuma força externa for aplicada sob � Se nenhuma força externa for aplicada sob
uma partícula, esta manterá sua
quantidade de movimento linear constante
IJA = m . IvA = cte
49/58EESC-USP © M. Becker 2009
CinéticaCinéticaSegunda Lei de Newton
(Variação da Quantidade de Movimento Linear):
� A Quantidade de Movimento Linear de uma � A Quantidade de Movimento Linear de uma
partícula só pode ser alterada mediante a
aplicação de forças externas
=d
dtm . IvA = m . IvA + m . IvA
. .IJAΣ
i =1
n
IFi =d
dt
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CinéticaCinética
� Considerando que a variação de massa seja
nula:
= m . IvA + m . IvA
. .JΣ
n
IFi =d
= m . IvA + m . IvAIJAΣi =1
IFi =dt
0
ou m . BnaAΣi =1
n
BnFi =m . IaAΣi =1
n
IFi =
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CinéticaCinéticaTerceira Lei de Newton
(Princípio da Ação e Reação):
� Torna possível a construção de Diagramas � Torna possível a construção de Diagramas
de Corpo Livre
� 2a e 3a Leis juntas tornam possível obter um
conjunto de equações responsável por
descrever o movimento do corpo ao longo
do tempo e obter as forças...
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CinéticaCinética� Equações de Movimento:
� Equações Diferenciais de 2a Ordem
• Lineares
• Não Lineares
x(t) = (x(t); x(t)).. .
fç
x(0); x(0).
• Condições Iniciais de Movimento
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ExercícioExercício• A partícula a seguir desloca-se sobre um cano
girando com velocidade angular constante ω. Pede-se para determinar a equação de movimento da partícula.
θθ2
ω
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ExercícioExercício
• Sistemas de coordenadas...
Y =Y1
Y2
Z2
θ2
θ2
x(t)B
A
ω
X
Z
X1
Z1 θ1
X2
Z2
O
A
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ExercícioExercício• O sistema mecânico mostrado na figura é composto pela
estrutura A, pelo rotor B, pelo conjunto braço-mola com
massa desprezível C e pela massa concentrada D. Três
sistemas de referência devem ser utilizados, sendo o 1o
Inercial, o 2o, B1 fixo no rotor, e o 3o, B2 solidário ao conjunto
braço-mola C. A velocidade angular do rotor é β [rad/s], ...
braço-mola C. A velocidade angular do rotor é β [rad/s],
variando com uma taxa β [rad/s2]. Em um instante genérico t,
os ângulos β e ϕ são diferentes de 0o, e a rotação do sistema
braço-mola é dada por ϕ e ϕ. Calcule: (a) as matrizes de
transformação de coordenadas dos sistemas móveis para o
inercial e vice-versa; (b) uma expressão analítica para a
velocidade angular absoluta da base B2 representando-a no
sistema de referência B2;
..
. ..
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Continuação...Continuação...
(c) Em um dado instante de tempo, o braço C é travado no
ponto O1 e impedido de girar, ficando na posição ϕ0. Determine
uma expressão analítica para a aceleração absoluta da massa
no sistema móvel B2; (d) Calcule as componentes da força
normal entre massa e braço uma mola com constante de normal entre massa e braço uma mola com constante de
elasticidade k e desprezando-se o atrito entre a partícula e o
braço; (e) Obtenha uma expressão analítica para o movimento
da massa D no sistema móvel de referência assumindo-se como
condições iniciais de movimento: braço travado em O1, L(0) = 0
e L(0) = 0..
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