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Capítulo 3: Dinâmica crítica do modelo de Baxter-Wu ______________________________________________________________________
25
Capítulo 3
Dinâmica crítica do modelo
de Baxter-Wu 3.1 O Modelo
O modelo de Baxter-Wu foi introduzido por Wood e Griffiths56 e resolvido
exatamento no contexto de mecânica estatística de equilíbrio por R.J. Baxter e
F.Y.Wu em 197336,37,57. Trata-se de um modelo bidimensional onde as
variáveis são do tipo Ising ( 1±=iσ ) e residem em uma rede triangular
(Figura 3.1).
A Hamiltoniana contém interações entre os 3 spins que formam os
vértices de cada triângulo e com o campo magnético quando ele existir.
∑ ∑−−=Ηkji
ikji hJ,,
σσσσ . (3.1)
Capítulo 3: Dinâmica crítica do modelo de Baxter-Wu ______________________________________________________________________
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Esse modelo é autodual56,58 e tem a mesma temperatura crítica, quando
em campo nulo, do modelo de Ising convencional, dada por:
( ) ...4406867,021ln21
=+==cB
c TkJ
K (3.2)
Fig. 3.1: Rede triangular do modelo de Baxter-Wu.
O estado fundamental do modelo de Baxter-Wu é quatro vezes
degenerado59 (Figura 3.2) um deles é o estado ferromagnético, ou seja, aquele
em que todos os sítios da rede são preenchidos com sinais positivos. As outras
três configurações são tais que dois terços dos spins são negativos sendo que
em cada triângulo deve haver a presença de um vértice positivo (estado
ferrimagnético)
Capítulo 3: Dinâmica crítica do modelo de Baxter-Wu ______________________________________________________________________
27
Estado Ferromagnético
Estados Ferrimagnéticos
Fig. 3.2: Quatro estados fundamentais do modelo de Baxter-Wu. Uma configuração do estado
ferromagnético, e três do estado ferrimagnético.
Capítulo 3: Dinâmica crítica do modelo de Baxter-Wu ______________________________________________________________________
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Pelo fato do modelo apresentar a mesma simetria e o mesmo grau de
degenerescência do estado fundamental do modelo de Potts60 com 4 estados e
do modelo de Ising com interação de três spins em uma das direções
(Figura 3.3) espera-se que esses três modelos estejam na mesma classe de
universalidade, apresentando os mesmos expoentes críticos. Isso significa
que α = ν = 2/3 e β = 1/12.
Modelo de Baxter-Wu
Ising com interações de
3 spins em uma das direção
Modelo de Potts
de 4 estados
Fig. 3.3: Estados fundamentais dos modelos de Baxter-Wu, Ising com interações de 3 spins
em uma das direções e do Potts de 4 estados.
O interessante é que, embora esteja na mesma classe de universalidade
do Potts com 4 estados, o modelo de Baxter-Wu não apresenta o operador
marginal (dimensão do operador = dimensão do espaço onde está embebido o
sistema) que tanto dificulta a determinação dos expoentes críticos no caso do
Potts-4.
A simetria do modelo de Baxter-Wu é semi-global uma vez que a
Hamiltoniana é simétrica por inversão de todos os spins de duas sub-redes
quaisquer, das três sub-redes41 triangulares interpenetrantes que compõem a
rede original. Na figura 3.4 fica claro que cada sítio de uma sub-rede interage
com 6 vizinhos formados apenas pelas outras duas sub-redes.
Capítulo 3: Dinâmica crítica do modelo de Baxter-Wu ______________________________________________________________________
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Fig. 3.4: O modelo de Baxter-Wu é definido por uma rede triangular formado por três sub-
redes. Sub-rede 1 representado por , sub-rede 2 por e a última sub-rede por .
Capítulo 3: Dinâmica crítica do modelo de Baxter-Wu ______________________________________________________________________
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Como o interesse nessa dissertação é investigar o modelo a partir do
comportamento universal em tempos curtos (quando o comprimento de
correlação ainda é pequeno e conseqüentemente não há problemas com o
“critical slowing down”) estaremos trabalhando com uma coleção de amostras
que evoluem no tempo de acordo com uma dinâmica previamente escolhida
(banho térmico, Glauber ou Metrópolis). As grandezas medidas são a
magnetização dependente do tempo e seus momentos, a derivada logarítmica
da magnetização em relação ao desvio da temperatura crítica e a correlação
entre a magnetização no instante t = 0 e a magnetização no instante t.
Seguindo os trabalhos de Janssen et al.34 e Zheng54 e colaboradores
três condições iniciais são utilizadas. A primeira delas é o caso em que as
amostras são geradas com magnetização média igual a zero e comprimento de
correlação também. A segunda quando as amostras são características de
temperatura alta mas têm uma magnetização residual m0 e a terceira, aquela
em que o estado inicial das amostras é o estado ordenado (m0 = 1). Como já
pudemos observar no capítulo 2, cada uma dessas condições permitirá obter
informações acerca dos expoentes dinâmicos e estáticos. Finalmente,
utilizamos uma outra abordagem que consiste em usar condições iniciais
mistas para estimar o valor do expoente crítico dinâmico z 39,61.
É importante ressaltar que as estimativas para esse expoente são muito
desencontradas para a maioria dos modelos. Mesmo para o modelo de Ising
bidimensional só muito recentemente chegou-se a um consenso razoável a
respeito do valor correto de z. Quanto aos outros expoentes o dinâmico θ só
pode ser determinado por essa abordagem de tempos curtos enquanto os
estáticos β e ν servem apenas para confirmar as relações de escala.
Capítulo 3: Dinâmica crítica do modelo de Baxter-Wu ______________________________________________________________________
31
3.2 Resultados Nessa investigação utilizamos, na maioria das vezes, a dinâmica de
banho térmico (heat-bath ), onde o novo estado do spin iσ no instante t+1 é
absolutamente independente do seu estado no instante t. Para obtê-lo,
compara-se um número aleatório r com a probabilidade do spin ser +1 no
próximo passo, aqui designada por ( )tpi . Assim, teremos:
( ) ( )[ ]rtpsinalt ii −=+ 1σ (3.3)
sendo ( )( )
( ) ( )thth
th
i ii
i
eee
tp −+= e ∑=
kjikjii tttKth
,,
)()()()( σσσ .
Pelo fato dos spins da rede da figura 3.4 se repetirem no sentido
horizontal a cada três posições e na vertical a cada duas, dificultando a
implementação de um programa, em todas as simulações adotamos uma rede
oblíqua que pode ser transposta sem problemas para uma rede convencional e
que apresenta a repetição dos spins a cada três posições, em ambos os eixos.
(a) (b) Fig. 3.5: Representação da rede utilizada nas simulações. (a) Rede oblíquo (b) Confi guração da
rede oblíquo transposta em uma rede convencional.
i
j
Sub-rede
Sub-rede 3
i
j
Capítulo 3: Dinâmica crítica do modelo de Baxter-Wu ______________________________________________________________________
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rede oblíquo transposta em uma rede convencional.
Durante todo o trabalho usamos condições periódicas de contorno e
para que não houvesse truncamento das interações entre os spins, as redes
escolhidas sempre foram múltiplas de três.
Fig. 3.6: Rede inapropriada (par) para o modelo de Baxter-Wu devido ao truncamento das
interações entre os spins e ao número diferente de spins de cada sub-rede.
3.2.1 Determinação do expoente dinâmico z
Para a determinação do expoente crítico dinâmico z, primeiramente
utilizamos a técnica do colapso, trabalhando com o quarto cumulante de
Binder62 generalizado para tratar situações de não equilíbrio ,
2)2(
)4(
4 )(31),0,(
MM
LtU −==ε , (3.4)
essa técnica se mostrou útil na determinação do expoente crítico z em
simulações de tempos curtos54,55, apresentando bons resultados quando
comparados às técnicas convencionais de equilíbrio.
Capítulo 3: Dinâmica crítica do modelo de Baxter-Wu ______________________________________________________________________
33
O estudo do cumulante de Binder foi feito para o caso de magnetização
inicial igual a zero e a relação de escala é dada por:
),,(),,( 1
44 LbtbTTULtTTU zcc
−−=== , (3.5)
sendo b = L/L’. Dessa forma o expoente z pode ser facilmente obtido
ajustando-se o fator de escala temporal zb de modo que os dois lados da
expressão (3.5) colapsem. Em outras palavras, o cumulante pode ser descrito
por uma função de escala do tipo:
)/(),,(4
zc LtfLtTTU == . (3.6)
A Figura 3.7 mostra o colapso do cumulante de Binder entre pares de
redes, cujo fator de escala é dado por 2'/ =LL .
0 100 2000,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
U4
t
L = 12 L = 24
(a)
200 300 400
0,5
U4
t
L = 24 L = 48
(b) Fig. 3.7: Cumulante de Binder U4 sendo para (a) L = 12 e 24 e em (b) L = 24 e 48. Em ambos
os casos a linha vermelha foi ajustada no eixo do tempo sobre a curva de pontos negros de
acordo com o fator de escala 2z , com z = 2.3. O sistema partiu do estado m0 = 0 .
Os cumulantes das redes menores (12 e 24) foram representados nas
figuras por pontos pretos, enquanto os pontos das linhas em vermelho referem-
se às redes de tamanho L2 (L = 24 no caso a e L = 48 no caso b) depois de
feito o rescaling no tempo. O domínio de valores para o qual o colapso ainda
Capítulo 3: Dinâmica crítica do modelo de Baxter-Wu ______________________________________________________________________
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é observado é dado por 1.03.2 ±=z . Para a construção do gráfico do
cumulante foram realizadas médias sobre cinco simulações com 50000
amostras cada uma.
Trabalhando com o cumulante de Binder pode-se perceber claramente a
importância de se respeitar a simetria do modelo de Baxter-Wu41.
A figura 3.8 mostra, por exemplo, a deformação do cumulante quando
não se trabalha com redes com L = 3 n, n ∈ Z+.
0 50 100
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
U4
t
L = 15 L = 16
Fig. 3.8: Deformação do cumulante de Binder U4 para o modelo de Baxter-Wu numa rede 16
confirmando a necessidade de trabalhar com tamanho de rede múltiplo de três.
Já na figura 3.9 mostramos o comportamento do cumulante quando não
são consideradas as sub-redes para o cálculo da magnetização. O leitor pode
observar que o cumulante da rede de maior tamanho (L = 51) cresce mais
rapidamente do que a de menor tamanho (L = 21), comportamento inverso do
esperado.
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35
0 20 40 60 80 1000,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
U
4
t
L = 51 L = 21
Fig. 3.9: Comportamento do cumulante de Binder U4 , para o modelo de Baxter-Wu, quando
não se considera a existência das 3 sub-redes.
O valor que encontramos para o expoente dinâmico z (~2.3) é bem
diferente daquele obtido por Santos e Figueiredo42.
Eles encontraram para z o valor de 2.07 ± 0.01 quando m0 = 1 e
1.96 ± 0.02 quando m0 = -1/3 utilizando a técnica de Zheng53 (veja também
Wang et al 63) que utiliza o segundo cumulante:
zdc t
MM
LtTTU /2
)2(
2 1),,( ∝−
== , (3.7)
onde d é a dimensão do sistema, com as amostras partindo do estado
ordenado (magnetização inicial igual 1 ou -1/3) .
Capítulo 3: Dinâmica crítica do modelo de Baxter-Wu ______________________________________________________________________
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Usando a mesma técnica (partindo do estado ferromagnético) nós
obtivemos (Figura 3.10) o z = 2.03 ± 0.01, próximo daquele encontrado por
Santos e Figueiredo42. A diferença utilizando o mesmo procedimento se deve
ao fato de estarmos usando a dinâmica de banho térmico e com uma rede de
102x102 sítios ao passo que eles trabalharam com a dinâmica de Glauber e
com uma rede com L = 258.
1001E-4
1E-3
tanφ = 0.9876 + 0.0003
L = 102
( M
(2) m
0=1 /
M2
m0=
1 ) -
1
t
Fig 3.10: Gráfico do cumulante U2 quando o processo dinâmico é iniciado com o sistema em
estado ordenado (m0 = 1). As barras de erro foram calculadas para 10 conjuntos de 30000
amostras e apresentam-se menores que o tamanho dos pontos.
Já foi verificado, porém, que a técnica de Zheng53 leva a valores de z
mais baixos do que o real como ocorreu na determinação do expoente z para o
modelo de Ising com interação de três spins em uma das direções39 e no
modelo de Potts com 3 estados53. Isso decorre, de acordo com o nosso ponto
de vista39,61, do fato de que o cumulante não deve obedecer à lei de potências
td/z quando partimos do estado ordenado.
Capítulo 3: Dinâmica crítica do modelo de Baxter-Wu ______________________________________________________________________
37
Para superar esse problema foi sugerido61 trabalhar com condições
iniciais mistas, ou seja, quando são utilizadas para o cálculo da média da
magnetização 10 =m e para a média do segundo momento 00 =m .
Essas condições são adotadas uma vez que o segundo momento varia
como54,
zdttM /)/2()2( )( νβ−∝ , (3.8)
onde d é a dimensão do sistema e β ,ν e z são os expoentes críticos do
modelo, quando as amostras são tomadas inicialmente com magnetização zero
)0( 0 =m . Por sua vez, o comportamento de escala da magnetização
zttM νβ /)( −∝ , (3.9)
é observado quando o sistema evolui a partir do estado inicial ordenado65, ou
seja, quando 10 =m . Considerando esses dois domínios independentes e
fazendo a seguinte a seguinte razão 22 )()( tMtM teremos:
zd
m
m tM
MLtF /
2
1
0
)2(
0
0),( ∝==
= . (3.10)
Aplicando esse método obtivemos através da inclinação da reta da
figura 3.11 o valor de 003.0296.2 ±=z . As médias e o desvio padrão foram
tomadas sobre 10 simulações independentes, com 30000 amostras cada uma.
Capítulo 3: Dinâmica crítica do modelo de Baxter-Wu ______________________________________________________________________
38
Fig. 3.11: Gráfico do quociente <M(2)
>/<M>2 em função do tempo, considerando-se o
crescimento do segundo momento da magnetização a partir do estado desordenado
(m0 = 0) e o decaimento da magnetização a partir do estado ordenado (m0 = 1). O resultado
para z foi 2.296 ± 0.001. As barras de erro foram calculadas a partir de 10 séries.
Para tentar eliminar o impasse quanto ao valor de z decidimos lançar
mão de outras técnicas para a sua determinação.
O primeiro teste consistiu em utilizarmos novamente o colapso das
curvas do cumulante de Binder54,62,
2)2(
)4(
4 )(31),0,(
MM
LtU −==ε , (3.11)
para diferentes tamanhos de rede, mas dessa vez com o sistema partindo do
estado ordenado, ou seja, m0=1.
1001E-4
1E-3
0,01
tanφ = 0.871+0.001
L = 144
U=<
M(2
) >m
0=0/<
M>2 m
0=1
t
Capítulo 3: Dinâmica crítica do modelo de Baxter-Wu ______________________________________________________________________
39
A Figura 3.12 mostra o colapso do cumulante de Binder entre o par de
redes (192 x 96), cujo fator de escala é dado por 2'/ =LL . Para obter o melhor
ajuste, exibido na figura, o valor utilizado para z foi 2.28. Variações de 2% em
torno desse valor conduzem também a colapsos aceitáveis e, portanto, a
estimativa para o expoente fica dada por z = 2.28 ± 0.05. Optamos por
trabalhar com redes maiores visando a eliminação de efeitos de tamanho finito.
Fig. 3.12: Cumulante de Binder U4 , com o sistema partindo do estado ordenado (m 0 = 1). As
linhas cheias representam as curvas com L = 96 (em vermelho) e L = 192 (em preto) e os
círculos abertos a curva com L = 192 reescaladas no tempo com o fator de escala 2z ,
com z = 2.28 ± 0.05. Cada curva foi feita fazendo a média de cinco conjuntos de 30 mil
amostras. As barras de erro são menores do que os círculos utilizados como símbolos.
Também se pode calcular o z utilizando o cumulante54,
2
)2(
||1),(
~MM
LtU −= (3.12)
e trabalhando com amostras que partem do estado ordenado.
0 200 400 6000,650
0,655
0,660
0,665
0,670
L = 96
z = 2.28 + 0.05
L = 192
UL
t
U4
Capítulo 3: Dinâmica crítica do modelo de Baxter-Wu ______________________________________________________________________
40
A Figura 3.13 mostra o colapso do cumulante U~
para as redes com
L = 196 e 92. O intervalo onde o colapso é observado é dado por
z = 2.29 ± 0.05.
Fig. 3.13: Cumulante de Binder U~
, com o sistema partindo do estado ordenado (m0=1). As
linhas cheias representam as curvas com L = 96 (em vermelho) e L = 192 (em preto) e os
círculos abertos a curva com L = 192 reescaladas no tempo com o fator de escala 2z ,
com z = 2.29 ± 0.05. Cada curva foi feita fazendo a média de cinco conjuntos de 30 mil
amostras. As barras de erro são menores do que os círculos utilizados como símbolos.
Para a construção da figura 3.13 foram realizadas médias sobre cinco
simulações com 30000 amostras.
Na seqüência, resolvemos investigar o comportamento do expoente z
nos dois casos anteriores, em função do tempo. Realizamos então o colapso
local e observamos que nos primeiros passos z está muito próximo de 2,
atingindo depois um patamar de aproximadamente 2.28 para o cumulante de
Binder com m0 = 1 (Figura 3.14.a) e de aproximadamente 2.29 para o
cumulante U~
(Figura 3.14.b).
0 200 400 600 800 1000
0,000
0,002
0,004
0,006
0,008
z = 2.29 + 0.05
L = 96
L = 192
U
t
U
Capítulo 3: Dinâmica crítica do modelo de Baxter-Wu ______________________________________________________________________
41
Fig. 3.14: Curvas mostrando os valores de z obtidos com m0 =1 a partir do colapso local de uma
rede 96 ← 192, (a) para o cumulante de Binder e (b) para o cumulante U. Em ambos os
casos o t representa os passos de Monte Carlo da rede menor.
Uma outra abordagem foi ainda utilizada para confirmar o valor de z.
Dessa vez trabalhamos com a proposta de Soares et al66 que também explora
o comportamento em tempos curtos para a investigação do expoente crítico
dinâmico z. Essa abordagem, conhecida como “finite-size dynamical scaling
approach” (FSDSA), parte das mesmas premissas que o grupo da Alemanha
utilizou mas a análise da relaxação é feita com duas quantidades introduzidas
por P. M. C. de Oliveira67 para sistemas em equilíbrio.
Sabe-se que, para uma dada quantidade P, a relação de escala
dinâmica pode ser escrita como:
),,,(),,,( 1/1 LtHPbLbtbHbbP zy εε φν −−− = , (3.13)
0 500 1000 1500 20001,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
B
z
z
2,29 + 0,05
t
0 500 1000 1500 20001,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
A
2,28 + 0,05
t
Capítulo 3: Dinâmica crítica do modelo de Baxter-Wu ______________________________________________________________________
42
onde b é o fator de escala , ε é a temperatura reduzida, H é o campo magnético
e L o tamanho da rede . Os expoentes ν, y e z são expoentes críticos e φ é a
dimensão anômala da quantidade P. Em geral, quando φ = 0, a variável P é
candidata a uma função de escala. Segundo P.M.C de Oliveira67, as
quantidades:
= ∑
=
N
iiN
tS1
1sinal)( σ (3.14)
e
= ∑∑
basei
topoi M
sinalM
sinaltR σσ11
)( (3.15)
apresentam dimensão anômala φ = 0. Nas equações acima, N = Ld é o número
total de spins e M = Ld-1 são os spins das linhas (em duas dimensões) ou
planos (em três) mais distantes entre si. Assim, a equação de escala para
essas quantidades pode ser escrita da seguinte maneira:
),,,(),,,( 01/1 LtHSbLbtbHbbS zy εεν =−− , (3.16)
),,,(),,,( 01/1 LtHRbLbtbHbbR zy εεν =−− . (3.17)
Considerando H = 0 e supondo que o sistema esteja na criticalidade,
0=ε , pode-se obter o expoente crítico dinâmico z reescalando, no tempo,
redes de tamanhos distintos.
Investigamos o comportamento de escala das quantidades S(t) e R(t)
para o modelo de Baxter-Wu. As médias para a obtenção de cada curva foram
feitas com 5 conjuntos de 50.0000 amostras.
A Figura 3.15 mostra a evolução temporal da quantidade S para as
redes L = 24, 36 (linhas cheias) e da rede L = 36 após o rescaling temporal (a
curva com bolas vazias). O colapso das curvas é obtido quando z = 2.3 ± 0.1.
Capítulo 3: Dinâmica crítica do modelo de Baxter-Wu ______________________________________________________________________
43
0 100 200 300 400 500
0,8
1,0
L = 36
z = 2.3 +0.1
L = 24
S
(t)
t
Fig. 3.15: Comportamento temporal de S(t) para as redes L=24 e 36 (linhas cheias). A curva
L = 36 (círculos abertos) está reescalada no tempo. O colapso foi obtido para z = 2.3. O
sistema partiu do estado ordenado, ou seja, m0 = 1.
O mesmo valor de z = 2.3 ± 0.1 foi encontrado no estudo da função R(t)
diante de duas condições iniciais diferentes (m0 = 1 e m0 = 0).
A figura 3.16.a apresenta o colapso das curvas 24 e 36, quando o
sistema parte do estado ordenado, ou seja, m0 = 1. Já na figura 3.16.b, o
estado inicial é preparado de forma que a magnetização seja nula em cada
sub-rede m0 = 0.
Capítulo 3: Dinâmica crítica do modelo de Baxter-Wu ______________________________________________________________________
44
0 50 100 1500,80
0,85
0,90
0,95
1,00
z = 2.3 +0.1
L = 24
L = 36
R(t
)
t
(a)
0 100 200
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
z = 2.3 +0.1
L = 24
L = 18
R(t
)
t
(b) Fig. 3.16: Comportamento de R(t) em função do tempo. (a) Partindo o sistema do estado
ordenado m0 = 1, curva L = 36 (símbolo aberto) está reescalada no tempo sobre a curva L = 24.
O melhor ajuste das curvas foi obtido com z = 2.3 (b) Partindo do estado inicial m0 = 0 a curva
L = 24 (símbolos abertos) está reescalada no tempo sobre a curvas L = 18 (linha cheia). O
colapso é observado quando z = 2.3.
Portanto, todos os métodos apresentados indicam que o valor de z deve
ser muito próximo de 2.3 como se mostra na Tabela 3.1.
Tab. 3.1: Valores de z para o modelo de Baxter-Wu usando a dinâmica de banho térmico e
várias grandezas dependentes do tempo.
Técnica empregada m0 Rede Z
0 12 ← 24 2.3 ± 0.1 U4 1 96 ← 192 2.28 ± 0.05
U~
1 96 ← 192 2.29 ± 0.05 S 1 24 ← 36 2.3 ± 0.1
1 24 ← 36 2.3 ± 0.1 R
0 18 ← 24 2.3 ± 0.1 F Mista 102 2.296±0.001
Nenhum dos resultados por nós obtidos para o expoente z suporta o
valor encontrado por Santos e Figueiredo42 ( z = 1.96 ± 0.02 e 2.07± 0.01) a
menos do segundo cumulante com m0 = 1 que também já se revelou
inadequado na determinação de z para o modelo de Ising com interação de
multispin39.
Capítulo 3: Dinâmica crítica do modelo de Baxter-Wu ______________________________________________________________________
45
3.2.2 Determinação do expoente dinâmico θ
Talvez a maior contribuição dos trabalhos de Huse35 e Janssen et al34
tenha sido a descoberta de um novo expoente dinâmico, independente de
todos os outros até então conhecidos. Esse novo expoente θ governa o
comportamento polinomial da magnetização em função do tempo, conhecido
como “critical initial slip” e não foi calculado por Figueiredo e Santos42.
Esse comportamento anômalo da magnetização em função do tempo
pode ser descrito por uma lei de potências universal dada por:
θtmtM 0)( ∝ , (3.18)
onde m0 é a magnetização inicial e θ o novo expoente crítico dinâmico.
A primeira estimativa numérica que obtivemos para θ (expoente não
determinado por Santos e Figueiredo) foi baseada na evolução da
magnetização de amostras cuidadosamente preparadas (com comprimento de
correlação zero e m0 pequena). As dificuldades, nesse tipo de cálculo,
decorrem da necessidade de preparar as amostras com determinada
magnetização e também de fazer o delicado limite para m0 → 0. Para um
número finito de spins, as possibilidades para valores pequenos de m ficam
bastante reduzidas.
A figura 3.17 mostra o resultado de nossas simulações que conduziram
ao valor de 005.0175.0 ±−=θ . Aqui a magnetização inicial foi 01.00 =m em
cada sub-rede e as médias foram feitas sobre 60000 amostras de aresta L=60.
Para o cálculo do erro foram utilizadas oito simulações independentes.
Capítulo 3: Dinâmica crítica do modelo de Baxter-Wu ______________________________________________________________________
46
10 1001E-3
0,01
tanφ = -0.175 +0.005
m0= 0.01
L = 60
M(t
)
t
Fig. 3.17: Evolução temporal da magnetização no gráfico log-log para uma rede L=60 com
m0 = 0.01. A inclinação da curva fornece o valor do expoente crítico dinâmico
θ = -0.175 ± 0.005.
Devido ao fato do expoente θ ter apresentado um valor bem inferior a
zero, ao contrário do modelo de Ising com interação de 3 spins, que apresenta
um valor próximo de zero e negativo, como foi observado por Wang et al63 e
Simões e Drugowich de Felício39, também utilizamos uma técnica alternativa
mais eficiente para o cálculo de θ , proposta por Tomé e de Oliveira51 para
modelos que apresentam simetria up-down . Eles mostram que esse expoente
pode ser calculado independentemente a partir da correlação temporal
da magnetização em amostras com configurações iniciais aleatórias que
também exibe comportamento polinomial,
θtStSN
MtMQi j
ji ∝== ∑∑ )0()(1
)0()( (3.19)
Capítulo 3: Dinâmica crítica do modelo de Baxter-Wu ______________________________________________________________________
47
evitando a necessidade da preparação inicial das amostras com magnetização
pequena e diferente de zero e a delicada extrapolação numérica para o caso
00 →m e portanto obtendo-se barras de erros bem menores. A figura 3.18
mostra em escala log-log o comportamento da grandeza Q para redes com
60=L . A inclinação dessa curva fornece o valor de 001.0181.0 ±−=θ ,
compatível com a estimativa anterior.
10 1001E-4
1E-3
tanφ = - 0.181+0.001
L = 60
Q
t
Fig. 3.18: Estudo da correlação temporal da magnetização para L=60. A magnetização inicial
do sistema é tomada aleatoriamente e a barra de erro foi calculada sobre 8 conjuntos de 60000
amostras.
Repetimos as simulações para verificar possível influência da dinâmica
sobre o valor de θ. Inicialmente utilizamos a dinâmica de Glauber onde a
probabilidade de inverter um dado spin depende explicitamente do estado do
spin iσ no instante t. Isso ocorre porque, dependendo do valor do spin iσ , o
número aleatório será comparado a diferentes partes do intervalo de
Capítulo 3: Dinâmica crítica do modelo de Baxter-Wu ______________________________________________________________________
48
probabilidades. A operação pode ser resumida como:
( ) ( )[ ] ( )( )[ ] ( )
−=−−−
+=−+=+
11sinal
1sinal1
tsertp
tsertpt
ii
iii σ
σσ (3.20)
Os resultados obtidos com a dinâmica de Glauber sugerem
universalidade para o novo expoente (ver tabela 3.2 ).
Na seqüência, trabalhamos com a dinâmica de Metrópolis onde um novo
valor é proposto para o spin, verificando-se em seguida se a energia da
amostra diminuiu ou aumentou. Na primeira situação, o novo estado é aceito
sem restrição; caso contrário a mudança do spin só poderá ser aceita se um
número aleatório r, gerado entre 0 e 1, for menor do que exp(-β∆E), onde ∆E
é o acréscimo de energia da velha para a nova configuração. Resumindo,
teremos que
( ) ( )[ ] ( )( )[ ] ( )
−=−−
+=−+=+
−
+
1
11
tsertpsinal
tsertpsinalt
ii
iii
σ
σσ (3.21)
só que dessa vez )(tpi é dada por:
( ) ( )( )thi
ietp 2,1min m=±
A tabela 3.2 mostra que a atualização por Metrópolis modifica
ligeiramente o valor de θ e não permite uma perfeita caracterização da
universalidade para o comportamento da magnetização em tempos curtos.
Observamos, no entanto, que todos os resultados foram obtidos por meio das
duas técnicas e são compatíveis entre si.
Capítulo 3: Dinâmica crítica do modelo de Baxter-Wu ______________________________________________________________________
49
Tab.3.2: Valor de θ para o modelo de Baxter-Wu, usando as dinâmicas de banho térmico,
Glauber e Metrópolis. Tamanho da rede L = 60. A média e as barras de erro foram calculadas
sobre 8 conjuntos de 60000 amostras.
Método θ
Mag. Residual (m0 = 0.01)
Tomé e de Oliveira
Correlação
Banho Térmico -0.175 ± 0.005 -0.181 ± 0.001
Glauber -0.172 ± 0.005 -0.185 ± 0.001
dinâ
mic
a
Metropolis -0.218 ± 0.009 -0.200 ± 0.001
A razão para encontrarmos um valor negativo para θ, bem diferente
daquele obtido para o modelo de Ising com interação de 3 spins e do modelo
de Potts com 4 estados que segundo a conjectura de Okano et al64 deveria ser
negativa mas muito próximo de zero pode estar relacionada com a ausência de
um operador marginal no modelo de Baxter-Wu (operador marginal é aquele
que tem a dimensão de escala igual à dimensionalidade do sistema e cujo
efeito frente a uma operação do grupo de renormalização não é aumentado
nem diminuído). Como se sabe, operadores desse tipo estão presentes nos
modelos de Potts, oito-vértices e Ashkin-Teller e são responsáveis pela não
universalidade característica daqueles casos.
3.2.3 Determinação do expoente ν
Tomando para z a estimativa conservadora 1.03.2 ±=z é possível
obter o valor do expoente estático ν através da derivada da magnetização53, a
qual apresenta a forma de escala:
0''
/10 |)'(ln|),(ln == ∂=∂ ττ
νττ ττ FttM z . (3.22)
Capítulo 3: Dinâmica crítica do modelo de Baxter-Wu ______________________________________________________________________
50
onde ∂τ é a derivada em relação à temperatura nas vizinhanças da temperatura
crítica.
A figura 3.19 mostra o comportamento de ),(ln ττ tM∂ quando
002.0=∆τ e 102=L . A inclinação da reta fornece 006.0680.0/1 ±=zν .
Portanto, chegamos a 03.064.0 ±=ν , um resultado que pode ser considerado
bom quando comparado ao valor exato19 3/2=ν e tendo em vista as
estimativas obtidas por outros métodos.
Fig. 3.19: Comportamento da derivada do logaritmo da magnetização em função do tempo em
gráfico log-log. O gráfico foi obtido repetindo-se dez vezes cada simulação com 30000
amostras. Relações de escala indica que a inclinação da curva é dada por 1/ zν .
Capítulo 3: Dinâmica crítica do modelo de Baxter-Wu ______________________________________________________________________
51
3.2.4 Determinação do expoente β
Tendo em mãos os valores dos expoentes ν (0.64±0.03) e z (2.3±0.1)
podemos calcular o expoente crítico estático β , por meio do decaimento da
magnetização quando m0 = 1:
zttM νβ /)( −∝ (3.23)
A figura 3.20 apresenta em escala log-log o comportamento da
magnetização contra o tempo e a inclinação da curva permite estimar o valor
de 006.0077.0 ±=β , que deve ser comparado com 1/12 = 0,08333.
100
1
tanφ = -0,0524 + 0,0001
mo = 1
L = 402
M(t
)
t
Fig 3.20: Comportamento no gráfico log-log do decaimento da magnetização com m0 =1 para
rede L=402. A barra de erro foi calculada sobre 3 conjuntos de 1000 amostras.
Capítulo 3: Dinâmica crítica do modelo de Baxter-Wu ______________________________________________________________________
52
Em resumo, os expoentes críticos estáticos encontrados para o modelo
de Baxter-Wu usando a dinâmica de tempos curtos:
03.064.0 ±=ν ,
e
006.0077.0 ±=β
estão muito próximos daqueles encontrados por Baxter e Wu19 e também dos
resultados para o modelo de Potts com quatro estados60 , ou seja, ν = 2/3 e
β = 1/12.
E para os expoentes críticos dinâmicos mostramos por seis maneiras
diferentes que o nosso valor para o expoente z não confirmam os resultados
obtidos por Santos e Figueiredo42 ( z = 1.96 ± 0.02 e 2.07± 0.01) levando-nos a
concluir que o verdadeiro valor de z seja 2.3 ± 0.1. Já para o expoente θ, os
resultados:
005.0175.0 ±−=θ (por magnetização residual)
e
001.0181.0 ±−=θ (por correlação),
revelam um diferença marcante entre o modelo de Baxter-Wu e o de Ising com
interação de três spins provavelmente relacionado a ausência de um operador
marginal no modelo de Baxter-Wu.