Cap´ıtulo 3 Funciones realesmatesup.cl/portal/apuntes/mate-kine/05cap3.pdf · Cap´ıtulo 3 Funciones reales 3.1. Introduccion Uno de los conceptos m´as importantes en matem´atica

Capıtulo 3

Funciones reales

3.1. Introduccion

Uno de los conceptos mas importantes en matematica es el de funcion. Este concepto for-maliza matematicamente la interdependencia entre dos cantidades, situacion que se presentaen la modelacion de una gran cantidad de importantes situaciones de caracter aplicado.

Si bien la idea que encierra este concepto surgio en la Grecia clasica no es hasta el ano 1694en que la palabra funcion aparece por primera vez en los trabajos del matematico alemanLeibniz, pero referida solo al ambito geometrico. Posteriormente, en el ano 1718, J. Bernoulli,alumno destacado de Leibniz, entrega el primer intento de definir funcion independiente dellenguaje geometrico:

Una funcion de una cantidad variable es una magnitud formada dealguna manera de esta cantidad variable y constantes

66

Capıtulo 3: Funciones reales Resumen de contenidos

Posteriormente, L. Euler, alumno brillante de J. Bernoulli, afino el concepto de funcion dandola siguiente definicion en su libro Calculo diferencial:

Cantidades que dependen de otras de modo que cuando la segunda cam-bia, tambien cambia la primera, son llamadas funciones

Finalmente, y solo en el siglo pasado, el matematico aleman Direchlet entrega una definicionsuficientemente general de funcion, que es la que actualmente se usa.

Una cantidad variable y se dice ser una funcion de una cantidad variablex, si para cada valor de la cantidad x corresponde un unico valor de lacantidad y

3.2. Definicion de funcion

Sean A y B dos subconjuntos de R. Una funcion real f de A en B es una regla que hacecorresponder a cada x del conjunto A un unico numero real y en B, denotado por f(x).Esta funcion se denota por:

f : A −→ B

x 7−→ y = f(x)

Nota: Un ejemplo de funcion es:

f : R \ {1} −→ R

x 7−→ y = f(x) =x + 3

x− 1

3.3. Nociones basicas

En lo que siguef : A −→ B, g : C −→ D

son funciones, donde A, B, C y D son subconjuntos de R.

Si b = f(a), b se llama imagen de a y a se llama pre-imagen de b.

A se llama Dominio de f , lo que se denotara Dom(f) = A. El conjunto B se llamaCodominio de f , que se denotara Cod(f).

El subconjunto de B:

{b ∈ B / b = f(a), para algun a ∈ A}

es llamado Recorrido de f , y se denotara Rec(f).

Instituto de Matematica y Fısica 67 Universidad de Talca


La grafica de una funcion f es la grafica de la ecuacion y = f(x) y consiste en la curvade todos los puntos (x, f(x)) del plano cartesiano.

En la funcion y = f(x), la variable x recibe el nombre de variable independiente y lavariable y recibe el nombre de variable dependiente.

Nota: En lo que sigue una funcion como la f del ejemplo anterior, sera presentada simple-

mente por su formula: y = f(x) =x + 3

x− 1. En tal caso se subentendera que su dominio es el

maximo subconjunto de R donde la formula puede evaluarse (regla del maximo dominio),y que su codominio es R.

Ejemplos graficos: Consideremos la funcion y = f(x) = x2 + 5, con dominio [−3, 4]:

Dominio de y = f(x) Recorrido de y = f(x)

Imagen de x = 3 Preimagen de y = 15



3.4. Igualdad de funciones

f = g siempre y cuando A = C, B = D y f(x) = g(x) para todo x en A.

3.5. Composicion de funciones

La funcion compuesta g◦f esta definida siempre y cuando Rec(f) ⊆ C, en tal caso

g◦f : A −→ D, definida por (g◦f)(x) = g(f(x)), para x ∈ A

Nota: El dominio de g◦f es el conjunto de todos los numeros x, tales que x esta en el dominiode f y f(x) esta en el dominio de g.

3.6. Tipos especiales de funciones

1. f es inyectiva o 1-1 o uno a uno ⇐⇒ [f(a) = f(b) =⇒ a = b, a, b ∈ A]

Graficamente: Una funcion es inyectiva cuando toda recta horizontal, intersecta a sugrafico en a lo mas un punto.

Funcion inyectiva

Observar que toda recta horizon-tal corta el grafico en a lo mas unpunto.

Funcion no inyectiva

Observar que al menos una rectahorizontal corta el grafico en masun punto.



2. f es sobreyectiva o sobre o epiyectiva ⇐⇒ Rec(f) = B

3. f es biyectiva ⇐⇒ f es 1-1 y sobre.

3.7. Funcion inversa

Si f de A en B es biyectiva, existe una unica funcion f−1 : B −→ A, llamada funcion inversade f y definida por:

f−1(y) = x ⇐⇒ y = f(x)

Notas:

1. f−1◦f = idA y f ◦f−1 = idB, donde la notacion idX denota la funcion identidad en X,es decir, idX : X −→ X definida por idX(x) = x, para todo x ∈ X.

2. Si y = f(x) tiene funcion inversa, el grafico de la inversa es el grafico simetrico respectoa la recta y = x, del grafico de f .

Relacion entre el grafico de una funcion y su inversa (cuando tiene inversa)

3.8. Algebra de funciones

Las funciones f y g se pueden combinar para formar nuevas funciones: suma, diferencia,producto y cuociente, de la siguiente manera:

1. (f ± g)(x) = f(x) ± g(x). Dom (f ± g) = Dom f ∩Dom g.

2. (fg)(x) = f(x)g(x). Dom (fg) = Dom f ∩Dom g.

3.(

fg

)(x) =

f(x)g(x)

, g(x)6=0. Dom(

fg

)= (Dom f ∩Dom g) \ {x / g(x) = 0}.



3.9. Funciones pares e impares

Una funcion f es par cuando cumple f(x) = f(−x), para todo x.

Por coincidir las imagenes de valores opuestos, la grafica de una funcion par es simetricarespecto del eje Y .

Una funcion f es impar si cumple f(−x) = −f(x), para todo x.

Por corresponder a valores opuestos de x, imagenes opuestas, la grafica de una funcionimpar es simetrica respecto al origen de coordenadas.

Funcion par

Funcion impar

3.10. Funciones crecientes y decrecientes

Una funcion f es creciente en un intervalo I cuando:

a < b, a, b ∈ I =⇒ f(a) 6 f(b)

es decir, cuando su grafico sube de izquierda a derecha.



Una funcion f es decreciente en un intervalo I cuando:

a < b, a, b ∈ I =⇒ f(a) > f(b)

es decir, cuando su grafico baja de izquierda a derecha.

Funcion creciente Funcion decreciente

3.11. Relacion entre los graficos de una funcion y sus

funciones relacionadas

Se denominan funciones relacionadas con una funcion dada y = f(x) a las siguientes fun-ciones:

g1(x) = f(x) + a g2(x) = f(x)− a g3(x) = f(x + a) g4(x) = f(x− a)

g5(x) = −f(x) g6(x) = f(−x) g7(x) = bf(x) g8(x) = f(bx)

g9(x) = |f(x)|

donde a > 0 y b es un numero real no nulo.

Existen procedimientos para obtener facil y rapidamente los graficos de las funciones rela-cionadas, a partir del conocimiento del grafico de y = f(x). La manera de proceder se indicaen la siguiente tabla:



Definicion de la funcion g Operacion a realizar a la graficade f para obtener la grafica de g.

g1(x) = f(x) + a Subirla a unidades

g2(x) = f(x)− a Bajarla a unidades

g3(x) = f(x + a) Trasladarla a unidades a la izquierda

g4(x) = f(x− a) Trasladarla a unidades a la derecha

g5(x) = −f(x) Dibujar la curva simetrica con respecto al eje X

g6(x) = f(−x) Dibujar la curva simetrica con respecto al eje Y

g7(x) = bf(x), b > 0 Estirarla verticalmente en un factor b, cuando b > 1Contraerla verticalmente en un factor 1/b, cuando 0 < b < 1

g7(x) = bf(x), b < 0 Las mismas operaciones del caso anterior,pero agregando una reflexion en torno al eje X

g8(x) = f(bx), b > 0 Contraerla horizontalmente en un factor b, cuando b > 1Estirarla horizontalmente en un factor 1/b, cuando 0 < b < 1

g8(x) = f(bx), b < 0 Las mismas operaciones del caso anterior,pero agregando una reflexion en torno al eje Y

g9(x) = |f(x)| La parte positiva queda igual yla parte negativa se refleja en el eje X



Por ejemplo, si el grafico de una funcion y = f(x) es:

Grafico de y = f(x)

a continuacion se entrega el grafico de y = f(x) junto al grafico de algunas de sus funcionesrelacionadas:

y = f(x) a(x) = f(x− 3)

y = f(x) b(x) = f(x + 2)



y = f(x) c(x) = f(x) + 2

y = f(x) d(x) = f(x)− 3

y = f(x) e(x) = 2f(x)

y = f(x) g(x) = f(2x)



y = f(x) h(x) = f(−x)

y = f(x) i(x) = f(−x)

y = f(x) j(x) = f(x/2)

y = f(x) k(x) = |f(x)|


Capıtulo 3: Funciones reales Ejemplos

3.12. Ejemplos

1. A continuacion se entrega la grafica de una funcion y = f(x):

-

6

q q q q q q q q q q q qqqqqq

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-2

-1

1

2

3

x

y

0,5

1,5

-0,52,5

JJ

JJ

JJ

JJ

JJJ]

rb

q qqq

a) Determina el valor aproximado de: f(3), f(−2), f(−1), f(0)

b) ¿En que punto(s) f no esta definida?

c) Determina el dominio de f

d) En el intervalo ]− 14, 0[ del eje Y , ¿hay imagenes de f?

e) Determina el recorrido de f

f ) Determina el valor de x1, x2, x3 y x4 tal que:

f(x1) = 0; f(x2) = −2; f(x3) = 1/2; f(x4) = 2

g) ¿f inyectiva?. Justificar la respuesta.

h) Por simple observacion de una grafica es posible resolver inecuaciones. ¿Cual esel conjunto solucion de la inecuacion f(x) 6 0,5?

i) Cuando se consideran valores de x suficientemente grandes, ¿cual es el comporta-miento de f?



Solucion:

a) f(3) = 32, f(−2) = 2, f(−1) = 1

2, f(0) = −1

4

b) f no esta definida solamente en x = 2

c) Dom(f) = R \ {2}

d) No

e) R\]− 1/4, 0]

f ) • No hay • ≈ 1,8 • −1 y 6 • −2 y 52

g) No, por ejemplo: f(−1) = f(6) = 12

h) [−1, 2 [∪[6, +∞ [

i) Se aproxima a 0, es decir a medida que x crece, las imagenes se van acercando al0

2. Sea f(x) =2x− 1

x + 3una funcion real. Sean A = Dom(f) y B = Rec(f).

a) Determinar A, el dominio de f .

b) Mostrar que f es inyectiva.

c) Determinar B, el recorrido de f .

d) Calcular f−1(x).

Solucion:

a) A = Dom(f) = R \ {−3}.

b) Sean a, b ∈ A tal que f(a) = f(b).

f(a) = f(b) =⇒ 2a− 1

a + 3=

2b− 1

b + 3

=⇒ 2ab + 6a− b− 3 = 2ab + 6b− a− 3 =⇒ a = b.

Luego f es inyectiva.

c) Sea y ∈ R.

(∃x ∈ A) : f(x) = y ⇐⇒ 2x− 1

x + 3= y ⇐⇒ 2x− 1 = yx + 3y ⇐⇒ x =

3y + 1

2− y.



Por lo tanto B = Rec(f) = R \ {2}.

d) Considerando A y B determinados anteriormente se tiene que f es biyectiva. Por

lo tanto f es invertible, y f−1(x) =3x + 1

2− x.

3. Sea f la funcion de R en R definida por la relacion: 2y = 1− 3xy. Sean A = Dom(f)y B = Rec(f).

a) Determinar A y B.

b) Probar que f : A −→ B es biyectiva.

c) Calcular f−1(x).

Solucion:

a) Como y(2 + 3x) = 1, luego y =1

2 + 3x.

Entonces: A = Dom(f) = R \ {−2/3}.

Como x =1− 2y

3yse tiene que, B = Rec(f) = R \ {0}.

b) f : A −→ B esta definida por: f(x) =1

2 + 3x,

f es 1 - 1. En efecto: Sean a, b ∈ A : f(a) = f(b)

f(a) = f(b) =⇒ 1

2 + 3a=

1

2 + 3b=⇒ 2 + 3a = 2 + 3b =⇒ a = b

f es sobre ya que B =Rec(f).

Luego, f es biyectiva.

c) f−1(x) = y ⇐⇒ x = f(y) ⇐⇒ x =1

2 + 3y⇐⇒ y =

1− 2x

3x.

Luego, f−1(x) =1− 2x

3x.

4. Considerar la funcion f definida por:

f(t) =

1 si −1 < t < 53 si 5 6 t 6 7t− 3 si 7 < t 6 50

a) Determinar Dom(f)

b) Calcular f(0), f(7), f(13), y f(−5)

Solucion:



a) Esta funcion esta definida por mas de una ecuacion. El dominio de f es el conjuntode todos los t tales que −1 < t 6 50, es decir, Dom(f) =]− 1, 50].

b) El valor de t determina que ecuacion se debe utilizar:

f(0) = 1 pues −1 < 0 6 5

f(7) = 3 pues 5 6 7 6 7

f(13) = 13− 3 = 10 pues 7 < 13 6 50

f(−5) no esta definido, ya que −5 no pertenece al Dom(f).

5. Considerar la siguiente funcion:

f(x) =

4

x− 3si x > −1

12

1− xsi x < −1

a) Determinar Dom(f).

b) Calcular el valor de 3 · f(−3)− f(−1) + (f ◦ f)(−5).

c) Determinar, en caso que exista(n), la(s) preimagen(es) del 10.

d) Sea g(x) = 2x + 5. Calcular (f ◦ g)(x).

Solucion:

a) Para x > −1 (∗):f(x) = 4

x−3no esta definida en x = 3 y como 3 satisface (∗), se tiene que

3 /∈ Dom(f)

Para x < −1 (∗∗):f(x) = 12

1−xno esta definida en x = 1 pero como 1 no satisface (∗∗), no hay

que sacar el 1 del Dom(f).

Por lo tanto: Dom(f) = R \ {3},

b) . 3 · f(3)− f(−1) + (f ◦ f)(−5) = 3 · 12

1− (−3)− 4

(−1)− 3+ f(f(−5))

= 3 · 12

4− 4

−4+ f

(12

1− (−5)

)= 3 · 3 + 1 + f(2)

= 9 + 1 +4

2− 3= 10− 4 = 6



c) Para x > −1 (∗):f(x) = 4

x−3= 10 =⇒ x = 3,4 y como 3.4 satisface (∗), x = 3,4 es una

preimagen del 10.

Para x < −1 (∗∗):f(x) = 12

1−x= 10 =⇒ x = −0,2, pero como x = −0,2 no satisface (∗∗),

x = −0,2 no es una preimagen del 10.

Por lo tanto, la unica preimagen del 10 es x = 3,4

d) (f ◦ f)(x) = f(f(x)) = f(2x + 5)

Si 2x + 5 > −1, es decir, x > −3: f(2x + 5) =4

(2x + 5)− 3=

2

x + 1

Si 2x + 5 < −1, es decir, x < −3: f(2x + 5) =12

1− (2x + 5)= − 6

x + 2Luego:

(f ◦ f)(x) =

2

x + 1si x > −3

− 6

x + 2si x < −3

6. Considerar las funcion f y g definidas por:

f(x) =

{−2x si x 6 03√

x si x > 0g(x) =

{2√

x + 2 si x > −2−x− 4 si x < −2

a) Calcular f(−3), g(14), f(104), g(−10).

b) Calcular (f ◦ g)(−13), (f ◦ f)(−8), (g ◦ f)(49), (g ◦ g)(−2).

c) Obtener los graficos de f y g.

d) Por inspeccion de los graficos obtenidos, determinar

i) si estas funciones son inyectivas, sobreyecticas o biyectivas.

ii) recorrido de f y g

Solucion:

a) f(−3) = −2 · (−3) = 6, g(14) = 2√

14 + 2 = 8,

f(104) = 3√

104 = 300, g(−10) = −(−10)− 4 = 6.

b) (f ◦ g)(−13) = f(g(−13)) = f(−(−13)− 4) = f(9) = 3√

9 = 9,

(f ◦ f)(−8) = f(f(−8)) = f(−2 · −8) = f(16) = 3√

16 = 12,

(g ◦ f)(49) = g(f(49)) = g(3√

49) = g(21) = 2√

21 + 2 = 2√

23,

(g ◦ g)(−2) = g(g(−2)) = g(0) = 2√

2.



c) Graficos de f y g:

Funcion y = f(x) Funcion y = g(x)

d) i) f no es inyectiva, no es sobreyectiva, no es biyectiva.g no es inyectiva, no es sobreyectiva, no es biyectiva.

ii) Rec(f) = [0, +∞[ y Rec(g) =]− 2, +∞[

7. Considerar la funcion f definida por:

f(x) =x + 4

2− x

a) Determinar dominio y recorrido de f y de g.

b) Determinar A, B ⊆ R para que f−1 : A −→ B, sea funcion. (A dominio maximo).Encontrar f−1(x).

Solucion:

a) Se tiene que f(x) esta definida si y solo si 2− x 6= 0, es decir, si y solo si x 6= 2,luego Dom(f) = R \ {2}.El recorrido de f es el conjunto de los y ∈ R tal que y = f(x) = x+4

2−xpara algun

x ∈ Dom(f). Despejando x en funcion de y se tiene:

y =x + 4

2− x=⇒ (2− x)y = x + 4

2y − xy = x + 42y − 4 = x + xy2y − 4 = x(1 + y)

x =2y − 4

1 + y

Se debe tener que 1 + y 6= 0 =⇒ y 6= −1. Luego Rec(f) = R \ {−1}.



b) f−1 es funcion ⇐⇒ f es biyectiva. Como f : Dom(f) −→ Rec(f) es biyectiva,entonces basta tomar

A = Rec(f) = R \ {−1}, B = Dom(f) = R \ {2}

f−1(x) =2x− 4

1 + x(ver parte (a) donde se despejo x).

8. Un campesino va a cercar un pastizal rectangular que se encuentra al lado de un rıo. Nose requiere alambrada a lo largo del rıo. Si el area del potrero es de 3.200m2, expresarla longitud de la cerca como una funcion de la longitud del lado no cercado.

Solucion: Sean x e y variables que denotaran las longitudes de los lados del potrero,y L la longitud de la cerca, luego:

L = x + 2y y xy = 3200

Como se quiere la longitud de la cerca expresada como una funcion de x se debeencontrar una ecuacion que relacione a x y a y, o sea, se debe expresar y en terminosde x.

De lo anterior se tiene: y =3200

x

Luego: L = f(x) = x +6400

x

Notar que la funcion f esta definida solo para valores de x distintos de cero, ademas xrepresenta la longitud de uno de los lados de la cerca, luego x no puede ser un numeronegativo. Luego, el Dom(L) =]0, +∞[.

9. Se dice que y varıa directamente con x o que y es directamente proporcional a x, cuandoexiste k ∈ R, k 6= 0 tal que

y = kx

Cuando existe una constante k 6= 0 tal que

y =k

x

Se dice que y varıa inversamente con x o que y es inversamente proporcional a x.

En ambos casos k se llama constante de variacion o de proporcionalidad.

Observacion: Que w varıa conjuntamente con x e y equivale a la existencia de k 6= 0tal que

w = kxy

Escribir cada enunciado en relacion funcional.



a) Los geologos han encontrado, en estudios sobre la erosion de la tierra, que lafuerza erosiva P de una corriente rapida de agua varıa directamente con la sextapotencia de la velocidad v del agua.

b) El biologo Reaumur propuso en 1735 que el tiempo t que toma una fruta enmadurar en la temporada de crecimiento varıa inversamente con el promedio Tde la temperatura de los dıas de la temporada de crecimiento.

Solucion:

(a) P = kv6 ; (b) t =k

T

10. El numero N de genes alterados que resulta de una exposicion a los rayos X es di-rectamente proporcional a la dosis d de exposicion. ¿Cual es el efecto sobre N si d secuadruplica?

Solucion:

De los datos del problema se tiene: N = kd. Ahora si d se cuadruplica, entoncesN = k(4d) = 4kd. Luego N tambien se cuadruplica.

11. Una variable u varıa directamente con la raız cuadrada de v. Si u = 10 cuando v = 4,encontrar el valor de u cuando v = 8.

Solucion:

De la relacion entre las variables, se tiene u = k√

v. Ahora como u = 10 cuando v = 4,se tiene que 10 = k

√4, de donde k = 5.

Luego u = 5√

v. Ahora, si v = 8 se tiene que u = 5√

8 = 10√

2. Por lo tanto, u = 10√

2cuando v = 8

12. Una companıa de seguros examino los historiales de un grupo de personas hospita-lizadas por una cierta enfermedad. Se descubrio que la proporcion total de los quehabıan sido dado de alta al final de t dıas de hospitalizacion esta dado por f(t), endonde

f(t) = 1−(

300

300 + t

)3

a) Evaluar f(0) y f(100)

b) ¿Al final de cuantos dıas se habra dado de alta a la mitad de los pacientes?

Solucion:



a) f(0) = 1− ( 300300+0

)3 = 1− (300300

)3 = 1− 1 = 0

f(100) = 1− ( 300300+100

)3 = 1− (34)3 = 1− 27

64= 37

64≈ 0, 578

b) La mitad de los pacientes corresponde a la proporcion 0.5

Luego, 0,5 = 1 − ( 300300+t

)3 , de donde, ( 300300+t

)3 = 0, 5. Luego t ≈ 77, 976, es decir,aproximadamente en 80 dıas se habra dado de alta a la mitad de los pacientes.

13. Durante un programa nacional para inmunizar a la poblacion contra el sarampion, losfuncionarios del ministerio de salud, encontraron que los costos de inoculacion del x %de la poblacion era aproximadamente de:

C = C(x) =150x

200− x(∗)

donde C viene expresado en millones de dolares.

a) Graficar la funcion y especificar la porcion del grafico que es importante para lasituacion concreta considerada.

b) ¿Cual es el costo para inocular al 75 % de la poblacion?.

c) Si solo se cuenta con 50 millones de dolares, ¿que porcentaje de la poblacion selograrıa inmunizar?.

d) ¿Cuanto dinero se requiere para inmunizar al 100 % de la poblacion?.

Solucion:

a) El grafico de la funcion que modela la situacion planteada es:

Mientras, que la porcion del grafico para esta situacion es:



puesto que el dominio practico es [0, 100].

b) Sustituyendo x = 75 en (∗):

C = C(70) =150 · 75

200− 75= 90

Luego, el costo para inocular al 75 % de la poblacion es de 90 millones de dolares.

c) Sustituyendo x = 50 en (∗):

50 =150x

200− x

Resolviendo esta ecuacion, se obtiene que x = 50.

Luego, con 50 millones de dolares, se lograrıa inmunizar al 50 % de la poblacion.

d) Sustituyendo x = 100 en (∗):

C = C(70) =150 · 100

200− 100= 150

Luego, el costo para inocular al 100 % de la poblacion es de 150 millones dedolares.


Capıtulo 3: Funciones reales Ejercicios

3.13. Ejercicios

1. Considerar la funcion f : R− {0} −→ R, cuya grafica es la siguiente:

x

y

-

6

css

ss

s s

s−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−3

−2

−1

1

2

2,5

3

Por inspeccion del grafico,

a) Calcular 6 · {f(2)− f(3) + f(4)}b) Calcular f(−3) + 2 · f(−2)− 123 · f(−1)

c) Determinar aproximadamente todos los x tales que cumplen que:

i) f(x) = 2,5

ii) su imagen es cero.

iii) su imagen es positiva.

iv) f(x) > −1

d) Obtener un esbozo de los graficos, de cada una de las siguientes funciones asociadasa y = f(x): y = f(x)+1, y = f(x)−1, y = f(x+1), y = f(x−1), y = −f(x),y = |f(x)|, y = f(−x)

2. Si f(x) =x

x− 3, encontrar, resolver o responder:

a) La imagen del 2 b) La preimagen del 30 c) f(x + a) = f(x) + a

d) Dominio de f e) Recorrido de f f) f(x2) = (f(x))2

g) f(2x)− 2f(x) h) f(−x)− f(x) > f(0) i)f(x + h)− f(x)

h

j) ¿f es inyectiva? k) ¿f es sobreyectiva? l) ¿f es biyectiva?

m) ¿f tiene inversa? n) f−1(x) (si es que ∃) n) f(f−1(x))



3. Determinar dominio (usando la regla del maximo dominio) y recorrido de las funcionessiguientes:

(a) f1(x) =√

2x + 3 (b) f2(x) = 2x2 − x− 5(c) f3(x) = 1

2−x(d) f4(x) = |x− 2|

(e) f5(x) =√−x (f) f6(x) = 12

4. Sean f y g funciones reales definidas por

f(x) =−3

1− xg(x) = x2

Determinar:

a) Dominio de f .

b) {x ∈ Dom(f)/ f(x) = x}.c) Calcular (f + 2g)(5), y (g ◦ f)(x).

5. Considerar la funcion definida por:

f(x) =

2x + 5 si x > 9x2 − |x| si −9 6 x 6 9x− 4 si x < −9

a) Determinar dominio de f

b) Esbozar el grafico de f .

c) Por inspeccion del grafico de f determinar el recorrido de f .

6. Definir por medio de una formula las siguientes funciones:

a) A cada numero real asignarle por g el numero mas su valor absoluto.

b) La funcion h asigna a todo numero real mayor o igual que 3 el cubo del numero,a cada numero no negativo menor que tres el numero 4, y cada numero negativosu inverso multiplicativo.

c) Sea x la longitud del lado de un triangulo equilatero.

i) Expresar el perımetro P en funcion de x.

ii) Expresar el area A en funcion de x.

iii) Expresar el area A en funcion de su perımetro P .

7. Dadas las funciones f : R −→ R y g : R −→ R definidas de la siguiente maneraf(x) = x2 + 3x + 1, g(x) = 2x− 3. Se pide:



a) Encontrar (f ◦g)(4), (g◦f)(4) y (f ◦f)(4)

b) Mostrar que en general (f ◦g)(x) 6= (g◦f)(x)

c) ¿Existe algun x ∈ R tal que (f ◦g)(x) = (g◦f)(x)?

8. Un alambre de 16 pulgadas de longitud se corta en dos trozos. Con uno de los pedazosse hace una circunferencia y con el otro un cuadrado. Determinar una funcion queexprese la suma de las areas encerradas, por cada una de las figuras realizadas, enterminos de la longitud de uno de los trozos.

9. Dos automoviles salen de una interseccion al mismo tiempo. Uno viaja al Oriente a unavelocidad constante de 50Km

h, mientras que el otro va hacia el Norte a 30Km

h. Expresar

la distancia entre los automoviles como una funcion del tiempo t.

10. Una hoja rectangular de un libro contiene una superficie de 12 pulgadas cuadradasimpresas, con un margen de 1 pulgada tanto arriba como abajo, y 2 pulgadas en cadalado. Expresar el area total de la hoja en funcion del ancho de la parte impresa.

11. La cantidad de calcio que permanece en la sangre, despues de t dıas de inyectar calcioal torrente sanguıneo, esta dada por:

C = C(t) = t−3/2, para t > 0,5

donde C esta medido en gramos.

a) Graficar esta funcion.

b) ¿Cuantos gramos de calcio permanecen en la sangre despues de 18 horas?.

c) ¿En que instante, la concentracion de calcio en la sangre alcanzara 0,2 gramos?.

12. La frecuencia cardıaca (f) se relaciona con la longitud del ciclo (l) de la siguientemanera:

f =1

l

donde la frecuencia cardıaca esta medida en latidos/min y la longitud del ciclo es eltiempo entre una onda y otra.

Determinar:

a) Un grafico adecuado de la funcion, que representa el problema.

b) Si la longitud del ciclo es de 0.8 seg, ¿cual es la frecuencia cardıaca?.



c) Si la frecuencia cardıaca es de 90 latidos/min, ¿cual es la longitud del ciclo?.

d) Al observar el grafico, ¿que ocurre con la frecuencia cardıaca cuando la longituddel ciclo aumenta considerablemente?, y ¿que ocurre con la frecuencia cardıacacuando la longitud del ciclo es cada vez mas pequena?.

3.14. Respuestas a los ejercicios

1. a) −3

b) −2

c) i) x ≈ 2,6, x = 4

ii) x = −3, x = −1, x = 1

iii) ]−∞,−3[, ]− 1, 0[, ]2, +∞[

iv) ]−∞, 0[, [1,8, +∞[

2. a) −2

c) x =6− a±

√a2 − 12

2

e) R \ {1}

g)2x2

(3− x)(2x− 3)

i)3

(3− x)(x + h− 3)

k) No, pues Rec(f) = R \ {1} 6= R = Cod(f)

m) Considerando f : R \ {3} −→ R \ {1}, la funcion f tiene inversa, y su inversa es

f−1(x) =3x

x− 1

n) x

3. a) Dom(f1) = [−3/2, +∞[, Rec(f1) = [0, +∞[

c) Dom(f3) = R \ {2}, Rec(f3) = R \ {0}e) Dom(f5) =]−∞, 0], Rec(f5) = [0, +∞[

4. a) Dom(f) = R \ {1}.

b) f(x) = x ⇐⇒ −3

1− x= x ⇐⇒ x =

1±√

13

2.



c) (f + 2g)(5) = f(5) + 2g(5) = 34

+ 50 = 2034

.

g◦f : R \ {1} −→ R esta definida por (g◦f)(x) = g(f(x)) =9

(1− x)2.

5. a) Dom(f) = Rb) El grafico es:

c) Rec(f) = R \ [−13, 0[

6. a) g(x) = x + |x|b)

h(x) =

x3 si x > 34 si 0 < x < 31/x si x < 0

c) i) P = P (x) = 3x ii) A = A(x) = x2√

34

iii) A = A(P ) = P 3√

336

7. a) (f ◦ g)(4) = 41, (g ◦ f)(4) = 55, (f ◦ f)(4) = 929

c) 3± 2√

2

8. A = A(x) =x2

4π+

(16− x)2

16, donde con el segmento de longitud x se ha construido el

cırculo.

9. d = d(t) = 10√

34 · t



10. x: ancho parte impresa, y: largo parte impresa, xy = 12, A = 20 + 2x +48

x

11. a) Un grafico de C = C(t) = t−3/2 es:

b) La cantidad de calcio que permanece en la sangre despues de 10 horas (0, 75 dıas)es de 1,54 gramos.

c) Despues de 3 dıas, aproximadamente, la cantidad de calcio que permanece en lasangre es de 0,2 gramos.

12. a) Un grafico es:

b) 1,25 latidos/min.

c)1

90seg.



d) Al aumentar a valores extremos la longitud del ciclo (mas de 1 segundo), la fre-cuencia cardıaca disminuye a valores cercanos a cero y si la longitud del ciclo esmuy pequena (0,001 segundos) la frecuencia cardıaca aumenta drasticamente.


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Cap´ıtulo 3 Funciones realesmatesup.cl/portal/apuntes/mate-kine/05cap3.pdf · Cap´ıtulo 3 Funciones reales 3.1. Introduccion Uno de los conceptos m´as importantes en matem´atica