Capítulo 3Matrices

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Matrices3

El objeto de este capítulo será el estudio de los elemen-tos básicos del álgebra matricial, la cual tiene múltiplesaplicaciones en la Administración Pública en camposcomo las finanzas públicas, la prospectiva y los proyec-tos de desarrollo principalmente. Para abordar este capí-tulo, buscando hacer más aplicada la enseñanza de lamatemática en aras de un aprendizaje significativo, seestudiarán las matrices orientándolas al análisis de re-des sociales. Sin embargo, ello no quiere decir que Éstasea la única aplicación de las matrices a lo público o laúnica que se estudie en el módulo, ya que los próximoscapítulos abordarán otras aplicaciones en otros camposcomo son las matrices de impacto cruzado y las matri-ces de entrada - salida de Leontief, entre otras.

MATRICES

3

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Matemática II

PLAN DEL CAPÍTULO

1. MATRICES PARA REPRESENTAR SISTEMAS SOCIALES

2. OPERACIONES CON MATRICES

OBJETIVO GENERAL

• A partir del estudio de los conceptos elementales del álgebra matricialy del desarrollo de ejercicios, adquirir habilidad en el manejo de estospara luego aplicarlos en situaciones relacionadas con las áreas dedominio de la Administración Pública.

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Matrices31. MATRICES PARA REPRESENTAR REDES SOCIALES

La forma más elemental de representar información sobre redes sociales, son los grafos. Sin embargo, cuandoexisten muchos actores y/o muchas clases de relaciones, éstos pueden hacerse tan visualmente complicadosque se hace muy difícil identificar estructuras. En su lugar, también es posible representar la informaciónsobre redes sociales en forma de matrices. De esta forma, la representación de la información permite lautilización de herramientas matemáticas y de computación para identificar estructuras. Los analistas de redessociales utilizan las matrices de una variedad de formas1.

Matemáticamente las matrices son arreglos de números en fi-las y columnas que se colocan entre llaves. Sin embargo, en lasaplicaciones reales no las encontramos de la misma forma, yaque predominan las formas de tabla de doble entrada, entreotras presentaciones. (Doc.1)

Extraer la información de un evento o conjunto de eventospara convertirla en una matriz es una de las tareas de mayorcuidado ya que el posterior procesamiento matemático lo ha-cen las computadoras.

Las matrices pueden representar una situación de mercado, larelación entre los insumos y los productos, las relaciones enuna red social, etc. Estas últimas conforman las matrices deadyacencia. (Doc.2)

Conformadas las matrices, podemos manipularlas sin alterarsu información, intercambiando filas o columnas. Esto nospermite identificar algunas divisiones significativas como blo-ques, facilitando así el análisis sobre éstas. (Doc.3)

Para cerrar la lección, terminamos viendo otro campo de apli-cación de las matrices como es la planeación prospectiva delargo plazo, donde las matrices representan las probabilidadesrelativas de ocurrencia de cada evento dentro de cada escena-rio. (Doc.4)

Red Social. Es un sistema formado por acto-res sociales que constituyen nodos loscuales se conectan entre sí, a travésde unas relaciones o vínculos.

Escenario. Conjunto posible de eventos quese presentaría en una situación futura.

Prospectiva. Disciplina que explora futurosposibles, considerando que el futurono es ignorado, simplemente es in-cierto, no nos adaptamos al futuro sinoque ideamos un proyecto de futuro ytrabajamos para llegar a Él. Implica ellargo plazo, se apoya en el enfoquesistémico logrando una visión ampliay en el empleo de criterios y métodosracionales que con base científica laalejan de la adivinación. Supone tam-bién el uso fructífero y creativo de laimaginación.

Matriz de afiliación: matriz con una serie deactores en las filas y una serie de even-tos en las columnas.

Matriz de incidencia: matriz binaria resul-tante de transformar una matriz de ac-tores x actores que muestra los acto-res en las filas y las relaciones en lascolumnas, señalando la presencia oausencia de una relación para cadaactor.

VOCABULARIO

1 Este capítulo es una adaptación de los capítulos dos y cinco del texto de HANNEMANRobert “Introducción a los métodos de análisis en redes sociales” traducido por RenéRios del Departamento de Sociología de Universidad de Chile, para la revista electrón-cia redes. 2002.

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Matemática II

Para comenzar, una matriz es simplemente la disposición rec-tangular de un conjunto de elementos (de hecho, es un pocomás complicado que eso, pero las matrices de más de dos di-mensiones no se incluyen aquí). El tamaño de los rectángulosviene dado por el número de filas y columnas de elementos quecontienen. Una matriz de "3 por 6" tiene tres filas y seis colum-nas; una matriz de "i por j" tiene i líneas y j columnas. A conti-nuación se muestran una matriz de 2 por 4 y una de 4 por 2.

Los elementos de una matriz, se identifican por sus "ubicacio-nes". El elemento 1,1 es el elemento ubicado en la primera fila yla primera columna; el elemento 13,2 está en la treceava fila y lasegunda columna. Las ubicaciones de las celdas han sido utili-zadas como elementos constitutivos de las matrices en los dosejemplos anteriores. A menudo, las matrices se presentan comoordenaciones de elementos limitados por líneas verticales a suderecha e izquierda, o corchetes a la izquierda y derecha. En ellenguaje HTML (utilizado para preparar páginas Web), es muyfácil utilizar "tablas" para representar matrices. Las matricespueden ser nombres dados; estos nombres a menudo se mues-tran en letras capitales en negrita.

Los científicos sociales que utilizan matrices para representarredes sociales a menudo no utilizan las convenciones matemá-ticas y simplemente muestran sus datos como una ordenaciónde filas y columnas etiquetadas. Las etiquetas no son realmen-te parte de la matriz, sino que son utilizadas sólo para clarificarla presentación. La matriz que se muestra en seguida, por ejem-plo, es una matiz de 4 por 4, con etiquetas adicionales. Supon-gamos que estamos describiendo la estructura de la red deamistad en un grupo de cuatro personas: Luis, Carol, Pedro yAlicia. Es sencillo hacerlo usando palabras. Supongamos que aLuis le agradan Carol y Pedro, pero no Alicia, a Carol le agradaPedro, pero ni Luis ni Alice, a Pedro le agradan las tres personasdel grupo y a Alicia únicamente Pedro (quizás esto suene a ladescripción de una estructura social muy poco frecuente).

Podríamos también describir este patrón de lazos vinculantescon un matriz, donde las filas representen las elecciones reali-zadas por cada actor. Pondremos "1" si a un actor le gusta otroy "0" si no. Este sería el resultado:

2 * 41,1 1,2 1,3 1,42,1 2,2 2,3 2,4

4 * 21,1 1,22,1 2,23,1 3,24,1 4,2

Doc.1. ¿Qué es una matriz?

Luis Carol Pedro AliciaLuis - 1 1 0Carol 0 - 1 0Pedro 1 1 - 1Alicia 0 0 1 -

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Matrices3

La forma más común de matriz en el análisis de redes sociales es una matrizsimple compuesta por tantas filas y columnas como actores existan en el conjuntode datos y dónde los elementos representan los vínculos entre los actores. La mássimple y común de las matrices es la matriz binaria. Es decir, si existe un vínculo,se coloca un 1 en la celda, si no lo hay se escribe un cero.

Este tipo de matriz es el punto de partida de casi todos los análisis de redes y sellama "matriz de adyacencia" porque representa quién está cerca de quién, o adya-cente a quién en el "espacio social" mostrado por las relaciones que hemos medi-do. Por convención, en un grafo dirigido el origen de un vínculo es la fila y el objetoes la columna. Veamos un ejemplo simple. El grafo dirigido de las preferencias deamistad entre Luis, Carol, Pedro y Alicia sería como sigue:

Figura 1. Grafo para una red social.

Ya que los vínculos se miden en el nivel nominal (es decir, los datos son datosbinarios de preferencias), se puede representar la misma información en una ma-triz como la siguiente:

Doc. 2. La matriz de "adyacencia"

L C P AL - 1 1 0C 0 - 1 0P 1 1 - 1A 0 0 1 -

➥

DOCUMENTOS

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Matemática II

Es necesario tener presente que las filas representan el origen de los vínculos dirigidosy las columnas los destinos: Luis escogió a Carol, pero Carol no lo escogió a él. Éste esun ejemplo de una matriz "asimétrica" que representa vínculos dirigidos (vínculos quevan de un origen a un receptor). Es decir, el elemento i,j no necesariamente es igual queel elemento j,i. Si los vínculos que representamos en nuestra matriz fueran "vínculosrecíprocos" (por ejemplo, vínculos que representan la relación "es compañero de nego-cios de ..."), o de "co-presencia o concurrencia", (dónde los vínculos representan unarelación como "trabaja en el mismo grupo de di rectores que...") la matriz necesaria-mente sería simétrica; es decir, el elemento i,j sería igual al elemento j,i.

Los datos de preferencias binarias a menudo se representan con ceros y unos, indican-do la presencia o ausencia de cada relación lógica posible entre pares de actores. Losgrafos dirigidos se representan a menudo en forma de matriz con -1, 0 y +1 paraindicar relaciones negativas, nulas o neutrales y relaciones positivas. Cuando se midenlos vínculos de forma ordinal o de intervalo, la magnitud numérica del vínculo medido secoloca como un elemento de la matriz. Hay otras formas posibles de datos (multicate-goría nominal, ordinales con más de tres rangos, nominales con orden de rangos tota-les). Estas otras formas, sin embargo, raramente se utilizan en estudios sociológicos yno les prestaremos mucha atención.

En la representación de datos de redes sociales como matrices, la pregunta que siem-pre surge es: ¿qué hago con los elementos de la matriz donde i=j? Es decir, por ejem-plo, ¿Luis se ha considerado como amigo cercano de él mismo? A esta parte de lamatriz se le conoce como la diagonal principal. A veces, el valor de la diagonal principalcarece de significado y se ignora (se deja en blanco). A veces, sin embargo, la diagonalprincipal puede ser de gran importancia, y puede tomar valores muy significativos. Estoes particularmente cierto cuando las líneas y las columnas en nuestra matriz son "su-pernodos" o "bloques".

A menudo es conveniente hacer referencia a ciertas partes de una matriz utilizando unaterminología resumida. Si se toman todos los elementos de una fila (por ejemplo, aquiénes escoge a Luis como amigos: 1,1,1,0), se examina el "vector fila" para Luis. Sisólo se observa quién escoge a Luis como amigo (la primera columna o 1,0,1,0), seexamina el "vector columna" para Luis. A veces es útil hacer ciertas operaciones conlos vectores fila o los vectores columna.

Por ejemplo, si se suman los elementos de los vectores columnas en este ejemplo,puede obtenerse la medida de cuán "popular" es cada nodo (en términos de con cuántafrecuencia fueron objeto de un vínculo dirigido de amistad).

Doc. 2. Continuación

DOCUMENTOS

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Matrices3

Doc. 3. Permutación, bloques e imágenes de matrices

También es útil, a veces, reorganizar las filas y columnas de una matriz de formatal que pueda observarse los patrones de manera más clara. Al intercambio defilas y columnas (si se quiere reagrupar las filas, se deberá reagrupar las colum-nas de la misma forma o la matriz no tendrá sentido para la mayoría de operacio-nes), se le conoce como "permutación" de la matriz.

Nuestros datos originales serían:

Reorganicemos (permutemos) la matriz de forma tal que los dos hombres y lasdos mujeres sean adyacentes en la matriz. La permutación de la matriz simple-mente significa el cambio del orden de las líneas y columnas. En tanto que lamatriz es simétrica, si se cambia la posición de una línea, se debe cambiar laposición de su columna correspondiente.

Ninguno de los elementos ha visto cambiar sus valores a través de esta operacióno reorganizado las filas y las columnas, sólo se han cambiado las cosas de sitio.También se han resaltado algunas zonas de la matriz. Cada sección sombreadase denominada bloque. Los bloques se forman trazando líneas de división a travésde las filas y columnas de la matriz (por ejemplo, entre Pedro y Carol). El trazadode estas líneas divisorias a través de la matriz suele llamarse partición de lamatriz. Esta matriz la hemos dividido en función del sexo de los actores. La parti-ción a veces es conocida como el proceso de "hacer bloques en una matriz" yaque la partición produce bloques.

Este tipo de agrupamiento de celdas con frecuencia se hace en análisis de redespara entender cómo algunos conjuntos de actores se encuentran "inmersos" enroles sociales o en entidades grandes. Aquí, por ejemplo, puede verse que todos

Luis Carol Pedro AliciaLuis - 1 1 0Carol 0 - 1 0Pedro 1 1 - 1Alicia 0 0 1 -

Luis Pedro Carol AliciaLuis - 1 1 0Pedro 1 - 1 1Carol 0 1 - 0Alicia 0 1 0 -

➥

DOCUMENTOS

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Matemática II

los ocupantes del rol social conocido como "mujer" escogen a los demás como suamigo; que ninguna mujer escoge a otra como su amiga, y que los hombres sonmás propensos a escoger mujeres (se han seleccionado 3 de cuatro posibilida-des) y que las mujeres a escoger hombres (se han seleccionado sólo 2 de lascuatro posibles combinaciones). Se ha agrupado a las mujeres juntas para crearuna "partición", "supernodo", "rol social" o "bloque". A menudo se dividen matricesde redes sociales de esta forma para identificar y probar ideas acerca de la forma enque los actores se encuentran "involucrados" en roles sociales u otros "contextos".

Puede quererse evitar el análisis de los nodos individuales y examinar sólo posi-ciones o roles. Si se calcula la proporción de todos los vínculos que están presen-tes en un bloque, se puede crear una matriz de bloques de densidad. Haciendoesto se ignoran los vínculos reflexivos de nuestro ejemplo:

Se puede querer agrupar la información aún más, utilizando una imagen de bloqueo matriz Imagen. Si la densidad en un bloque es mayor que una cantidad dada (amenudo se utiliza la densidad promedio para la totalidad de la matriz como unapuntuación de corte, en el actual ejemplo la densidad es .58), se introduce un "1"en una celda de la matriz de bloques, y un "0" en caso contrario. Este tipo desimplificación se llama "imagen" de la matriz de bloques.

Las imágenes de matrices de bloques son herramientas muy útiles en la simplifi-cación de estructuras complejas de datos. Como cualquier procedimiento de sim-plificación, debe utilizarse el buen juicio en la decisión de cómo identificar losbloques y qué cortes utilizar en la creación de imágenes -o se podría perderinformación importante.

Doc. 3. Continuación

Matriz de bloques de densidad

Hombre Mujer

Hombre 1.00 0.75

Mujer 0.50 0.00

Matriz Imagen

Hombre Mujer

Hombre 1 1

Mujer 0 0

DOCUMENTOS

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Matrices3 DOCUMENTOS

La matriz de impacto cruzado es otro ejemplo de la aplicación de las matrices en unmétodo de planificación prospectiva desde el análisis de sistemas conocido como el mé-todo de los impactos cruzados. Este método parte de la aplicación del método Delphibasado en la consulta de expertos, al que agrega nuevos componentes permitiendo supe-rar el defecto del método predecesor de no tener en cuenta la interrelación entre sucesos.

El método de los impactos cruzados se utiliza en el campo de la prospectiva o largo plazo,se basa en información subjetiva ya que utiliza la opinión de expertos como punto departida, su objetivo es dar información probabilística sobre los futuros sucesos y futurosescenarios, toma como consideración la realidad sistémica de la existencia de relacionesentre sucesos (impactos), de tal forma que la ocurrencia de cualquiera de ellos puedeaumentar o disminuir la probabilidad de los demás.

Después de depurar estas probabilidades relativas entre pares de eventos, frente a lasabsolutas de cada suceso, se organizan en una tabla o arreglo conocida como la matriz deimpactos cruzados. En el ejemplo 1 se representa una de ellas, y aunque se presenta contodos los detalles del estudio prospectivo para que se entienda su sentido, en lo quedebemos fijarnos es en el uso y aplicación de las matrices.

Doc. 4. Matriz de impactos cruzados

Ejemplo 11

Consideremos un ejemplo de orden práctico de la aplicación de la técnica; como es elcaso de tratar de visualizar a futuro el sistema de educación superior en los paíseslatinoamericanos.

Suponga que se consideran los siguientes EVENTOS "CARACTERIZADORES" DEL FUTU-RO EXPLORADO:

Caracterización de LOS SISTEMAS DE EDUCACIÓN SUPERIOR de los países latinoameri-canos a futuro, dentro de un horizonte temporal de 10 años.

E1: Predominio de la educación a distancia a través del uso del INTERNET.E2: Crecimiento vertiginoso de los programas de EDUCACIÓN CONTINUA.E3: Desarrollo de altos vínculos entre las universidades y los sectores industriales.E4: Cambios radicales en los esquemas de ENSEÑANZA-APRENDIZAJE (desaparición

progresiva de la enseñanza basada en clases magistrales).E5: Incremento sustancial de la matrícula de educación superior (aumento sustantivo

de la población estudiantil).

1 Arape Jesús E.Programa deProspectiva Tec-nológica paraLatinoamérica yel Caribe. Ma-nual de metodo-logías. Técnicade las matricesde impacto cru-zado Caracas,2.000.➥

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Matemática IIDOCUMENTOS

HORIZONTE TEMPORAL "PROSPECTIVO": 10 AÑOS

Para establecer LOS INSUMOS se elabora la MATRIZ DE IMPACTOS CRUZADOSde los eventos considerados como "relevantes" para la caracterización del futuroexplorado, con relación a los sistemas de educación superior en los países lati-noamericanos:

EI EI

E1 E2 E3 E4 E5

E1

(+) (+)

E2

(+) (+)

E3

(+) (+) (+) (+)

E4

E5

De acuerdo a "la opinión de este grupo de expertos":

a. El predominio de la educación a distancia a través del uso masificado delinternet, contribuye positivamente a:i. El apuntalamiento de los programas de educación continua.ii. El estímulo a desarrollar mayores vínculos entre el sector industrial y las

universidades.b. El crecimiento vertiginoso de los programas de educación continua, contribuye a:

i. Al uso de Internet como plataforma expedita del proceso educativo.ii. Mayor vinculación entre universidades y el sector industrial.

c. El desarrollo de altos vínculos entre el sector industrial y las universidadescontribuirá a:i. Impulsar los programas de educación a distancia, mediante el uso de Internet.ii. Impulsar los programas de educación continua (orientación no académica).iii. Modificación sustantiva de los esquemas de enseñanza - aprendizaje, para

poder así dar respuestas más ágiles, en la formación del recurso humanoque absorbe la industria.

MATRIZ DE IMPACTOS CRUZADOS DE LOS EVENTOS CARACTERIZADORES DEL FUTURODEL SISTEMA DE EDUCACIÓN SUPERIOR EN LOS PAÍSES LATINOAMERICANOS EN UNHORIZONTE TEMPORAL DE (10) AÑOS.

➥

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Matrices3 DOCUMENTOS

iv. El hecho de un mayor vínculo con el sector industrial, abrirá mayor oportunidada fuentes de trabajo y demandas del capital humano que egresa de las univer-sidades; por lo que ello incidirá en una mayor demanda por formación en estascasas de estudio aumentando, en consecuencia, la matriícula universitaria.

NOTA: Esto es sólo un ejemplo hipotético, para entender la lógica subyacente en latécnica.

De acuerdo a esta matriz de impactos cruzados, los INSUMOS requeridos para larealización del EJERCICIO DE PROSPECTIVA son:a. Las probabilidades simples de ocurrencia de cada uno de los EVENTOS (caracte-

rizadores) del futuro, esto es: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )50

40

30

20

10 .,,,, ΕΡΕΡΕΡΕΡΕΡ y .

b. Las probabilidades condicionadas entre tales eventos; ellas son:

ΕΕΡ

ΕΕΡ

ΕΕΡ

ΕΕΡ

ΕΕΡ

ΕΕΡ

ΕΕΡ

ΕΕΡ

3

50

3

40

3

20

3

10

2

30

2

10

1

30

1

20 ,,,,,,, y.

Los resultados que a continuación aparecen son producto de un ejercicio hipotéticorealizado con la participación de diez (10) personas altamente calificadas en esamateria:

Para las probabilidades simples (iniciales) se obtuvieron los siguientes resultados:

Tabla de Po (Ei)’s: probabilidades simples

( )iΕΡ0

N°. DE EXPERTO

( )10 ΕΡ

( )20 ΕΡ

( )30 ΕΡ

( )40 ΕΡ

( )50 ΕΡ

1Ε 0.80 0.60 0.99 0.60 0.40

2Ε 0.90 0.80 0.80 0.50 0.45

3Ε 0.95 0.50 0.90 0.65 0.70

4Ε 0.70 0.70 0.99 0.55 0.50

5Ε 0.99 0.80 0.80 0.90 0.40

6Ε 0.99 0.75 0.99 0.50 0.80

7Ε 0.85 0.75 0.99 0.80 0.75

8Ε 0.99 0.99 0.99 0.75 0.30

9Ε 0.85 0.99 0.85 0.55 0.40

10Ε 0.99 0.60 0.95 0.40 0.60

( ):0 iΕΡ 0.90 0.75 0.93 0.62 0.50

➥

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Matemática IIDOCUMENTOS

De acuerdo a estos resultados de LAS PROBABILIDADES SIMPLES (INICIALES)asignadas por el grupo de expertos:

a. Los EVENTOS: E1 - Predominio de la educación a distancia con el uso deInternet; y E3: Desarrollo de altos vínculos universidad y sector industrial,serían eventos CUASI-CIERTOS, ya que sus probabilidades superan el 90%.

b. El EVENTO: E2 - Crecimiento vertiginoso de la educación continua; se con-sidera como un evento de MUY ALTA PROBABILIDAD, ya que se le asignó75%.

c. El EVENTO: E4 - Cambios radicales en los esquemas ENSEÑANZA - APREN-DIZAJE; se le asignó una probabilidad del orden del 60%, lo que indica unaprobabilidad dominante de que pueda ocurrir; pero muy cercana al umbralde la incertidumbre total; como ocurre con el EVENTO E5 -, al cual se leasignó una probabilidad simple del 50%, o sea, incertidumbre total de queello pueda o no pueda ocurrir.

Para las probabilidades condicionadas (iniciales) se obtuvieron los siguientes re-sultados:

Tabla de :´0 sj

i

ΕΕΡ Probabilidades condicionadas

ΕΕΡ

j

i0

N°. DE EXPERTO

ΕΕΡ

1

20

ΕΕΡ

1

30

ΕΕΡ

2

10

ΕΕΡ

2

30

ΕΕΡ

3

10

ΕΕΡ

3

20

ΕΕΡ

3

40

ΕΕΡ

3

50

1Ε 0.70 0.99 0.85 0.99 0.90 0.75 0.70 0.60

2Ε 0.90 0.90 0.95 0.85 0.95 0.85 0.65 0.60

3Ε 0.65 0.95 0.98 0.95 0.90 0.70 0.75 0.85

4Ε 0.80 0.99 0.75 0.99 0.75 0.80 0.65 0.70

5Ε 0.85 0.85 0.99 0.85 0.99 0.85 0.95 0.60

6Ε 0.80 0.99 0.99 0.99 0.99 0.85 0.70 0.85

7Ε 0.85 0.99 0.90 0.99 0.90 0.80 0.85 0.80

8Ε 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 0.80 0.60

9Ε 0.99 0.95 0.90 0.90 0.90 0.99 0.75 0.60

10Ε 0.70 0.99 0.99 0.99 0.99 0.70 0.60 0.70

ΕΕΡ

j

i0 0.82

0.96

0.93

0.95

0.93

0.83

0.74

0.69

82

Matrices32. OPERACIONES MATEMÁTICAS CON MATRICES

La representación de los vínculos entre los actores a través de matrices puede ser de ayuda para observarestructuras de relaciones mediante la realización de manipulaciones simples como la suma de vectores fila o lapartición de una matriz en bloques. Los analistas de redes sociales utilizan una gran cantidad de operacionesmatemáticas adicionales que pueden desarrollarse con matrices para una gran variedad de propósitos (sumay resta de matrices, transposiciones, inversas, multiplicación de matrices y otras exóticas como determinan-tes, autovalores y autovectores). Igualmente son muy útiles en otras materias, pero en este capítulo hemostomado como problema las redes sociales y seguiremos con ellas.

En la lección anterior vimos que las matrices son conjuntos de elementos dispuestosen filas y columnas. A menudo se utilizan en análisis de redes para representar laadyacencia de cada actor a cada uno de los demás en una red. Una matriz de adya-cencia es una matriz cuadrada de actor por actor (i=j), donde la presencia de víncu-los se registran como elementos. La diagonal principal, o "vínculo reflexivo" de unamatriz de adyacencia, a menudo se ignora en el análisis de redes.

Los sociogramas, o grafos de redes pueden representarse en forma de matriz, ypueden hacerse operaciones matemáticas para resumir la información en el grafo.Operaciones con vectores, formación de bloques y particiones; matemáticas dematrices como: producto por escalar (Doc.1), traspuestas (Doc.2), determinantes(Doc.3), adjuntas (Doc.4), inversas (Doc.5), adición, sustracción (Doc.6), multipli-cación y multiplicación booleana (Doc.8). Todas éstas son operaciones matemáti-cas que resultan en ocasiones útiles para permitirnos observar ciertas cosas en rela-ción con las estructuras de relaciones en redes sociales.

Los datos de redes sociales son, a menudo, múltiples (por ejemplo, hay múltiplestipos de vínculos entre los actores). Tales datos se representan como series de ma-trices de igual dimensión con los actores en igual posición en cada matriz. Muchasde las herramientas que se utilizan para trabajar con una matriz individual (suma ycorrelación de matrices, formación de bloques, etc.), son útiles para intentar resu-mirlas y observar los patrones en datos múltiples.(Doc.7)

Una vez que un patrón de relaciones sociales, o un vínculo entre un conjunto deactores se ha representado de una manera formal (grafos o matrices), podemosdefinir algunas ideas importantes sobre la estructura social en formas más precisasvaliéndonos para ello de la matemática.

Como las operaciones matemáticas se tornan a veces tediosas por su volumen, esnecesario encomendarlas al computador. En la práctica con Derive, se verá comoapoyar el trabajo con el Software.

83

Matemática II

Esto es, simplemente, el intercambio de filas y co-lumnas de forma tal que i se convierte en j y vice-versa. Si se toma la matriz traspuesta de una ma-triz de adyacencia directa y se examinan sus vec-tores fila, se estará observando los orígenes de losvínculos dirigidos a un actor. El grado de similitudentre una matriz de adyacencia y esta matriz trans-puesta, es una forma de resumir el grado de sime-tría en el patrón de relaciones entre los actores. Esdecir, la correlación entre una matriz de adyacen-cia y la transpuesta de esa matriz es la medida delgrado de reciprocidad de los vínculos. La reciproci-dad de los vínculos puede ser una propiedad muyimportante de una estructura social ya que se re-fiere tanto al equilibrio como al grado y forma de lajerarquía de una red.

Es simplemente multiplicar una matriz por un nú-mero real y se lleva a cabo multiplicando cadaelemento de la matriz por el escalar y obtendre-mos como resultado una nueva matriz. Esta ope-ración es útil cuando queremos ajustar una equi-valencia en los valores de una matriz, por ejemplouna matriz expresada en dólares que nosotrosqueremos ver en pesos, la multiplicaríamos por elescalar correspondiente al valor del dólar a la tasarepresentativa del mercado.

Si A=

−150312

y c=4, entonces

cA =

−4200

1248.

Doc 1. Producto por escalar Doc 2. Transposición de una matriz

Ejemplo 1Transposición de una matriz

Vamos a mostrar dos matrices y sus traspuestas. Fíjese en el uso del apóstrofo para simbolizar la matriztranspuesta.

−

−=

255166361284

A y su transpuesta es

−−

=′

261562538164

A

( )195=B y su traspuesta es

=′

195

B .

84

Matrices3 DOCUMENTOS

Un determinante es una función cuyo dominio son las matrices cuadradas y cuyocodominio es el conjunto de los números reales. Los determinantes son de gran utili-dad para la solución de sistemas de ecuaciones lineales y para facilitar el cálculo delas matrices inversas. El cálculo de los determinantes es una operación sencilla paramatrices 2x2 o 3x3, pero para matrices de mayor tamaño se torna dispendioso elproceso, por lo que es recomendable el uso de un software especializado como Deriveo Demat. Para simbolizar los determinantes de forma diferente a las matrices, se usanlas llaves cuadradas.

El siguiente procedimiento funciona sólo para matrices 2x2 y 3x3, para el cual identifi-caremos las diagonales principales y las secundarias. Para el determinante de la si-

guiente matriz 2x2:

2795

Det , la diagonal principal está formada por los elementos

5 y 2, mientras que la diagonal secundaria está formada por los elementos 7 y 9. Igualde sencillo es identificar las diagonales en cualquier matriz 2x2. Recuerde siempre quelas matrices 2x2 tienen sólo una diagonal principal y una secundaria.

Ahora que ya se han identificado las diagonales, el valor del determinante resulta demultiplicar los elementos de la diagonal principal y a este producto se le resta elproducto de la diagonal secundaria. (5x2) - (7x9) = 10 - 63 = - 53.

Ahora, para el determinante de la siguiente matriz 3x3:

504851140

Det , podemos

facilitar la identificación de las diagonales con un artificio que consiste en repetir a laderecha las columnas de la matriz a excepción de la última como se muestra a conti-nuación:

Doc 3. Determinante de una matriz

➥

85

Matemática IIDOCUMENTOS

045045185140140

, en este caso y el de todas las matrices 3x3 tenemos tres diago-

nales principales y tres secundarias. El determinante se obtiene entonces, como lasuma de los productos de los elementos de cada diagonal principal menos la suma delos productos de los elementos de cada diagonal secundaria, así:

(0x5x5) + (4x8x4) + (1x1x0) - [(4x5x1) + (0x8x0) + (5x1x4)] =(0x5x5) + (4x8x4) + (1x1x0) - (4x5x1) - (0x8x0) - (5x1x4) =0 + 128 + 0 - 20 - 0 - 20 = 88

Infortunadamente el procedimiento no sirve para matrices cuadradas de mayor tama-ño. Ahora se explicará el proceso que se sigue para hallar el determinante de cualquiermatriz cuadrada. Aunque resulta ser un poco más dispendioso que el anterior paramatrices 3x3, permite calcular determinantes de matrices más grandes.

Trabajemos con la misma matriz 3x3 anterior, para ver el procedimiento. Siempre elegi-mos una fila o una columna a nuestro gusto (por lo general la que tenga más elemen-tos de valor cero), la cual nos servirá para elaborar una ecuación con determinantes demenor grado:

504851140

Det =

⋅+

⋅−

⋅

8514

45014

15085

0 DetDetDet

=0 - 1(20 - 0) + 4(32 - 5)= -20 + 108 = 88

El procedimiento que se siguió fue: primero se escogió la primera columna de la matrizde forma más bien arbitraria pues hubiera sido lo mismo escoger la primera fila, latercera fila o la segunda columna, ya que todas contenían un cero el cual simplifica laoperación de multiplicación.

Tomando el primer término de la columna uno elegida es decir el cero (0), lo multiplica-mos por un determinante llamado cofactor y que aparece de omitir la fila y la columnadonde está el cero (puede usar dos cintas de papel u otro material para ir tapandodichas fila y columna). Luego hacemos lo mismo con el segundo término de la colum-na elegida, pero en este caso restamos dicho producto, y así sucesivamente. De talmanera que para matrices de mayor tamaño al hallar el determinante se irá iterando

Doc 3. Continuación

➥

86

Matrices3 DOCUMENTOS

Doc 3. Continuación

sucesivamente la suma y la resta hasta el final, esto se da por que los cofactores vantomando tales valores de acuerdo con un subfactor que llevan implícito. La siguientetabla facilita el procedimiento sin importar la columna o fila escogida.

+ - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - +

Resulta sencillo entender por que se escogen filas o columnas que contengan cerosya que el producto de cero por cualquier determinante es cero, ya con eso se reduceel procedimiento en un determinante menos.

Notemos que el ejercicio de hallar un determinante de una matriz 3x3 quedó convertidoen el de hallar los cofactores o determinantes de 3 matrices 2x2. Cuando nos enfren-temos a un determinante de una matriz 5x5 por ejemplo, lo podemos convertir de estemodo en el ejercicio con determinantes 4x4 y luego 3x3, los cuales ya sabemos calcu-lar fácilmente.

Doc 4. Matriz de cofactores y matriz adjunta

De acuerdo con el procedimiento para calcular los determinantes, encontramos unoscofactores, los cuales correspondían al determinante de la matriz conformada por loselementos que no pertenecen ni a la fila ni a la columna del factor respectivo. Sicalculamos el valor de los cofactores de cada elemento de una matriz obtendremosotra matriz llamada la matriz de cofactores. Cuando trasponemos la matriz de cofacto-res obtenemos la matriz adjunta.

Si tenemos como ejemplo la matriz A =

−−−

415420231

y necesitamos calcular la

matriz adjunta adj(A), comenzamos a calcular cofactores:

87

Matemática IIDOCUMENTOS

Doc 4. Continuación

Elemento de

A

Cofactor Elemento de

A

Cofactor Elemento de A

Cofactor

1 12

4142

=

−−

−Det

3 20

4540

)1( =

−

− Det 2 10

1520

=

−−

Det

0 10

4123

)1( =

−−

− Det

- 2 14

4521

−=

−

Det 4 16

1531

)1( =

−

− Det

5 16

4223

=

−

Det - 1 4

4021

)1( −=

− Det

- 4 220

31−=

−

Det

Revise cuidadosamente la obtención de los cofactores, si este cuadro le aclaró dudas es por que aún no lequedan cosas claras en el cálculo del determinante por el último método, y se le aconseja por lo tanto, revisarde nuevo el tema.

Apóyese en la tabla anterior y calcule el determinante de la matriz A, luego lo va a necesitar.

Ahora conformamos la matriz de cofactores B=

−−−

2416161410102012

, a partir de la transposición de ésta obte-

nemos la matriz adjunta Adj(A) = B' =

−−−

2161041420

161012

88

Matrices3 DOCUMENTOS

Doc 5. Inversa de una matriz

Se trata de una operación matemática que origi-na una matriz tal, que al multiplicarla por la matrizoriginal produce una matriz nueva I con números1 en la diagonal principal y cero en las demásposiciones (esto recibe el nombre de matriz deidentidad, véase el ejemplo 2). Sin ahondar eneste tema, puede pensarse que la inversa de unamatriz es un tipo "opuesto" de la matriz original.Las matrices inversas se utilizan para hacer otroscálculos en el análisis de redes sociales. Sinembargo, a veces también es interesante estu-diarlas en sí mismas. Es algo similar a mirar unrótulo negro sobre un papel blanco en contrastecon un rótulo en blanco sobre un papel negro: aveces pueden observarse cosas diferentes.

Refiriéndonos a las redes sociales encontramosque se trabaja sólo con matrices cuadradas, esdecir que tienen igual número de filas que de co-lumnas. Sin embargo, en otros casos se debetener en cuenta que las matrices que no son cua-dradas no tienen una matriz inversa.

La matriz inversa de A se simboliza como A-1.

Ejemplo 2. Matriz identidad

Las siguientes son matrices identidad para susrespectivos conjuntos de matrices cuadradas:

=

1001

I ,

=

100010001

I ,

=

1000010000100001

I

Ejemplo 3Cálculo de la matriz inversa

Para el cálculo de la matriz inversa hay dos méto-dos muy conocidos, sin embargo sólo estudiare-mos uno por razones de tiempo y necesidad deotros conocimientos previos. El método que seusará se basa en un teorema que dice:

)()(

11 AAdjADet

A =−, es decir que, para ha-

llar la inversa de una matriz necesitamos calcularsu determinante y su matriz adjunta.

Regresemos a la matriz A de un ejemplo anterior:

A=

−−−

415420231

, ya sabemos que

Adj(A) =

−−−

2161041420

161012

y además usted ya

calculó el determinante de A que es Det(A) = 92,por lo tanto:

−−−=

−−−=−

461

234

465

231

467

235

234

465

233

1

2161041420

161012

921A .

Haga usted mismo el ejercicio, le servirá para re-pasar producto por escalar, multiplicación de frac-ciones y simplificación.

89

Matemática IIDOCUMENTOS

Doc 6. Suma y resta de matrices

Éstas son las operaciones matemáticas conmatrices más fáciles. Simplemente se suma oresta cada elemento correspondiente i,j de dos(o más) matrices. Por supuesto, para realizaresto, las matrices deben tener el mismo númerode elementos i y j (a esto se le llama matrices"compatibles" con la adición y la sustracción) ylos valores de i y j deben estar en el mismo ordenen cada matriz. A menudo, la suma y la resta dematrices se utilizan en análisis de redes cuandose intenta simplificar o reducir la complejidad demúltiples datos a formas simples.

Si se tiene una matriz simétrica que representael vínculo "intercambio de dinero" y otra que re-presenta la relación "intercambio de bienes", puedesumarse las dos matrices para indicar la intensi-dad de la relación de intercambio. Las parejascon una puntuación cero no tendrán ninguna re-lación, aquellas con un "1" estarán vinculadas bienpor el trueque o bien por un intercambio de pro-ductos; y aquellos con una puntuación de "2"podrían estar vinculados tanto por relaciones detrueque como por intercambio de productos.

Si se sustrae la matriz de "intercambio de bie-nes" de aquélla de "intercambio de dinero", unapuntuación de -1 indicaría parejas con una rela-ción de trueque; una puntuación de cero indica-ría o bien ninguna relación o una relación de true-que o intercambio de productos y una puntua-ción de +1 indicaría parejas que sólo poseen unarelación de intercambio de productos.

Uno u otro enfoque son útiles según las pregun-tas de investigación planteadas.

Doc 7. Correlación y regresión de matrices

La correlación y regresión de matrices son mane-ras de describir la asociación o similitud entre lasmatrices. La correlación interroga a dos matricesacerca de "cuán similares son". La regresión utili-za las puntuaciones de una matriz para predecirlas puntuaciones en la otra. Si queremos sabercuán similar es la matriz A a la B, se toma cadaelemento i,j de la matriz A, se compara con el mis-mo elemento i,j de la matriz B, y se calcula lamedida de asociación (qué medida se utilice de-pende del nivel de medida de los vínculos en lasdos matrices).

La regresión de matrices realiza esta misma ope-ración con los elementos de una matriz definidoscomo las observaciones de la variable dependien-te y los correspondientes elementos i,j de otramatriz que se han definido como las observacio-nes de las variables independientes. Estas herra-mientas son utilizadas por los analistas de redessociales para el mismo propósito que persiguenaquellos que no lo son: evaluar la similitud o co-rrespondencia entre dos distribuciones de puntua-ciones. Podemos, por ejemplo, preguntar qué tansimilar es el patrón de vínculos de amistad entreactores a su patrón de parentesco. Podemos que-rer ver hasta qué punto es posible predecir quénaciones tienen buenas relaciones diplomáticascon otras sobre la base de la importancia de losflujos comerciales entre ellas.

90

Matrices3 DOCUMENTOS

La multiplicación de matrices es una operación poco frecuente en el análisis de redes,pero puede ser muy útil para el analista de redes. Es necesario tener un poco depaciencia en este apartado. Primero, necesitamos mostrar cómo hacer una multipli-cación de matrices y unos pocos resultados importantes (como qué sucede si semultiplica una matriz de adyacencia por sí misma, o si se eleva a una potencia).Intentaremos, entonces explicar la utilidad de éstas operaciones.

Para multiplicar dos matrices, éstas deben ser "compatibles" con la multiplicación.Esto significa que el número de columnas en la primera matriz debe ser igual al núme-ro de filas en la segunda. Dicho de otra forma, que el número de elementos de la filaen la primera matriz sea igual al número de elementos de la columna de la segundamatriz. Con frecuencia, los analistas de redes utilizan matrices de adyacencia, queson cuadradas y, por tanto, compatibles con la multiplicación. Para multiplicar dosmatrices, se comienza en la esquina superior izquierda de la primera matriz, y semultiplica cada celda en la primera fila de la primera matriz por el valor en cada celdade la primera columna de la segunda matriz, y luego se suman los resultados. Seprocede de igual forma para cada celda en cada fila de la primera matriz, multiplicadapor la columna en la segunda. Para realizar una multiplicación booleana de matrices,el proceso es el mismo, pero se introduce un cero en la celda si el producto de lamultiplicación es cero y un uno si el producto es diferente de cero.Supongamos que queremos multiplicar estas dos matrices:

⋅

118

10976

531

420

El resultado es:

×+××+××+××+××+××+××+××+××+×

)115()84()105()74()95()64()113()82()103()72()93()62()111()80()101()70()91()60(

La operación matemática en sí misma no nos resulta de mucho interés (muchasaplicaciones como Mathematica, Excel, Derive y Demat pueden ejecutar una multipli-

Doc 8. Multiplicación y multiplicación booleana de matrices

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91

Matemática IIDOCUMENTOS

cación de matrices). Sin embargo, la operación es útil cuando se aplica a una matriz de adyacencia. Volvamosal ejemplo del capítulo:La matriz de adyacencia para los cuatro actores L, C, P y A (en ese orden) es:

0100101101000110

Otra forma de pensar en esta matriz, es advertir qué nos dice si hay un camino de un actor a otro. Un 1representa la presencia de un camino, un cero representa la ausencia de éste. La matriz de adyacencia esexactamente lo que su nombre sugiere - nos dice cuáles actores son cercanos o tienen un camino directo deuno a otro.

Ahora, supongamos que multiplicamos esta matriz de adyacencia por sí misma (por ejemplo elevando lamatriz a 2, o al cuadrado).

×+×+×+××+×+×+××+×+×+××+×+×+××+×+×+××+×+×+××+×+×+××+×+×+××+×+×+××+×+×+××+×+×+××+×+×+××+×+×+××+×+×+××+×+×+××+×+×+×

)00()11()00()00()10()01()10()10()00()11()00()10()00()11()00()00()01()10()01()01()11()00()11()11()01()10()01()11()01()10()01()01()00()11()00()00()10()01()10()10()00()11()00()10()00()11()00()00()00()11()01()00()10()01()11()10()00()11()01()10()00()11()01()00(

O lo que es lo mismo:

1011031010111111

Esta matriz (por ejemplo, la matriz cuadrada de adyacencia) cuenta el número de caminos entre dos nodos quetienen longitud dos. Detengámonos por un minuto y verifiquemos esta afirmación. Por ejemplo, nótese que elactor "B" está conectado con cada uno de los demás actores por un camino de longitud dos; y que no hay másque un camino como ese a ningún otro actor. El actor T está tres veces conectado a sí mismo por caminos delongitud dos. Esto es porque el actor T tiene vínculos recíprocos con cada uno de los otros tres actores. No haycamino de longitud dos de T a B (aunque hay un camino de longitud uno).

Doc 8. Continuación

➥

92

Matrices3

Entonces, la matriz de adyacencia nos dice cuántos caminos de lon-gitud uno hay de cada actor a los demás. La matriz cuadrada deadyacencia, nos dice cuántos caminos de longitud dos hay de cadaactor a los demás. También es cierto (pero ahora no lo demostrare-mos) que la matriz de adyacencia elevada al cubo indica el número decaminos de longitud tres de cada actor a los demás, y así sucesiva-mente...

Si calculamos el producto booleano, además del simple producto dela matriz, la matriz cuadrada de adyacencia nos dirá dónde hay uncamino de longitud dos entre dos actores (no cuántos caminos deeste tipo hay). Si tomamos la matriz booleana cuadrada y la multipli-camos por la matriz de adyacencia utilizando una multiplicación boolea-na, el resultado nos indicará qué actores estaban conectados por unoo más caminos de longitud tres, y así sucesivamente...

Finalmente, ¿a qué debe prestarse atención?

Algunas de las propiedades fundamentales de una red social tienenque ver con cómo están conectados los actores a los demás. Lasredes que tienen pocas o débiles conexiones o actores conectadossólo por caminos de gran longitud, pueden mostrar baja solidaridad,una tendencia a quedar apartados, lentitud de respuesta a estímulosy otras características similares. Las redes que poseen conexionesmás fuer tes con caminos pequeños entre los actores pueden sermás robustas y más capaces de responder con rapidez y efectividad.La medición del número y longitud de los caminos entre los actoresen una red nos permite catalogar estas tendencias importantes entoda red.

Las posiciones de los actores individuales en las redes son tambiéndescritas muy útilmente por el número y la longitud de los caminosque poseen con otros actores. Los actores que tienen muchos cami-nos hacia otros actores pueden ser más influyentes sobre ellos. Losactores que tienen caminos cortos a muchos otros actores puedenser figuras influyentes o centrales. Entonces, el número y la longitudde los caminos en una red son muy importantes para entender tantolas limitaciones individuales como las oportunidades y para entenderel comportamiento y potenciales de la red en su totalidad.

Doc 8. Continuación

DOCUMENTOS

93

Matemática II

PRÁCTICA CON DERIVE

Ingrese al software Derive for Windows.

Ingrese lo siguiente: [1,3,4,2;3,1,0,-1;5,7,8,3;1,-1,1,-1]

Con la anterior instrucción habrá ingresado una matriz 4x4, cuyos elementos de fila fueron ingresadosseparados por comas y las filas separadas entre sí por columnas. Después de pulsar Enter, aparecerá en lapantalla la matriz en su formato tradicional frente a la etiqueta de ecuación #1:. Esta etiqueta sirve parahacer referencia a la ecuación y en este caso a la matriz sin necesidad de volver a escribirla. Si usted ingresóotra expresión antes, la etiqueta de la matriz no será #1: sino una similar con otro número, por lo que deberátener en cuenta ello para el desarrollo del ejercicio.

Otra forma de ingresar la matriz es usando la opción Matriz del menú desplegable Editar(Autor), el cual lepresentará un cuadro de diálogo preguntándole por el número de filas y columnas, a partir de ello presentaotra ventana en la que aparecen las casillas de la matriz en forma de tabla para ser llenadas.

Ingrese ahora la matriz siguiente: [5,1,0,6;2,0,4,9;0,0,8,3;0,0,1,-3] y pulse Enter. Aparecerá la matriz enpantalla con la etiqueta #2:.

Ahora ingrese la instrucción #1+#2 y pulse el icono ≈ aproximar. Habrá entonces obtenido en pantallaotra matriz que representa la suma de las dos matrices anteriores. Siga practicando con las siguientesactividades:

1. Resta de matrices: #1 - #2 y pulse el icono ≈ aproximar.

2. Producto de Matrices: #1*#2 y pulse el icono ≈ aproximar.

3. Determinantes: DET (#1) + DET (#2) y pulse el icono ≈ aproximar.

4. Transpuesta: #1` y pulse el icono ≈ aproximar.

5. Inversa de una matriz: #1^-1 y pulse el icono = simplificar. Note que #1 no tiene inversa, ya que sudeterminante es cero. Pruebe ahora con #2^-1

6. Bloques de una matriz: #1 ROW [3,4] y pulse el icono = simplificar. #1 COL [1,3] y pulse el icono =simplificar.

Siga probando con Derive hasta que domine estas funciones.➥

ACTIVIDADES Y DOCUMENTOS

94

Matrices3

1. Pensar en algún grupo pequeño del que sesea miembro (quizás un club, un grupo de ami-gos, o gente que vive en el mismo complejode apartamentos, etc.). ¿Qué clase de rela-ciones entre ellos nos diría algo sobre las es-tructuras sociales de esta población? Intentarpreparar una matriz que represente uno de lostipos de relaciones escogido. ¿Puede aplicar-se esta matriz también para describir un se-gundo tipo de relación? (por ejemplo, una pue-de comenzar con "¿Quién le agrada a quién?"y luego añadir "¿Quién está más tiempo conquién?")

2. Utilizando las matrices creadas en el puntoanterior ¿tiene sentido dejar la diagonal "enblanco" o no? Intentar permutar y hacer blo-ques con la matriz.

3. ¿Es posible hacer una matriz de adyacenciapara representar una red "estrella"? Qué suce-de con la "línea" y el "círculo". Observar losunos y ceros en estas matrices -a veces pode-mos reconocer la presencia de ciertos tiposde relaciones sociales por estas representa-ciones "digitales". ¿A qué se parece una jerar-quía estricta? ¿A qué se parece una pobla-ción que está segregada en dos grupos?

ACTIVIDADES Y DOCUMENTOS

PRÁCTICA DE ENTRENAMIENTO

1. Si una matriz es "3 por 2", ¿cuántas columnasy cuántas filas tiene?

2. Las matrices de adyacencia son "cuadradas",¿por qué?

3. Si hay un "1" en la celda 3,2 de una matriz deadyacencia que representa un sociograma,¿qué nos indica?

4. ¿Qué quiere decir "permutar" una matriz y "ha-cer bloques" con una matriz?

5. A las siguientes matrices, calcúlele el determi-nante, la transpuesta, la adjunta, la inversa sila tienen, multiplique cada una por sí mismasi es posible, halle el producto por el escalar- 5. Si no tiene el software o la calculadora,debe hacerlo manualmente.

=

6131

A ,

=

050294731

B,

=

248111010

C,

−=

284420

D ,

−=

643051

E

6. A partir de las matrices del ejercicio 5 calcu-lar: (-5)A, AxD, B'+C, C - B, DxE, ExD, BxE.

7. Explicar por qué con las matrices del ejerci-cio 5 no se pueden hacer cada una de lassiguientes operaciones, e indicar 5 operacio-nes más que no se pueden hacer: D-1, C+D,E+A, ExB, DxD, CxD y BxE'.

PRÁCTICA DE APLICACIÓN

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Alan Beer Gerald. Matemáticas Aplicadas para Economía y Ne-gocios con una introducción a matrices. Editorial Prenti-ce Hall Internacional. Traducción: Guillermo Jara-millo Recio Universidad del Valle (Cali). Madrid,1984.

Arape Jesús E. Programa de Prospectiva Tecnológica para Latino-américa y el Caribe. Manual de metodologías. Técni-ca de las matrices de impacto cruzado Caracas,2000.

Gerver Harvey. Álgebra Lineal. Grupo Editorial Iberoaméri-ca. Título original Elemntary Linear Algebra. Méxi-co, 1992.

Hanneman Robert. Introducción a los Métodos de Análisis enRedes Sociales.Universidad Católica de Chile, San-tiago, 2002.

Kleiman Ariel & DE Kleiman Elena. Matrices: AplicacionesMatemáticas a la Economía y la Administración. Edito-rial Limusa. México, 1973.