Cap´ıtulo 5 Tecnolog´ıa de elementos - w3.mecanica.upm.esw3.mecanica.upm.es/~felipe/mef0708/capitulo5.pdf · yy y τ xy, ya que la ... En la practica, materiales como el caucho

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Capıtulo 5

Tecnologıa de elementos

5.1. La prueba de la parcela

La formulacion de elementos finitos se puede interpretar como un me-todo de Rayleigh-Ritz modificado en el que las funciones de prueba tienensoporte local. Esta equivalencia queda establecida en el libro de Strang yFix [16], introduciendose posteriormente en esta referencia el termino de crı-menes variacionales para indicar las formulaciones de elementos finitos queno satisfacen la teorıa clasica de Ritz. Concretamente en el capıtulo 4 de lamencionada referencia se senalan los siguientes “crımenes variacionales”:

1. No verificar el requisito de conformidad, incumpliendo el requisito decontinuidad Cm−1 entre elementos.

2. Imponer las condiciones de contorno de forma aproximada debido a ladiscretizacion del dominio en el que se plantea el problema.

3. Realizar la integracion numerica de forma no exacta.

A dıa de hoy es sabido que los “crımenes” 1 y 3 de la lista anterior puedenser “virtudes”.

Los orıgenes de la prueba de la parcela estan relacionados con el desarrollode elementos no conformes, y con la controversia de admitir la continuidadentre elementos de la solucion como condicion necesaria para la convergencia.Actualmente esta aceptado que la prueba de la parcela permite determinarsi la formulacion de un determinado elemento satisface o no el requisito decomplitud. Puede aplicarse a elementos con formulaciones distintas a la dedesplazamientos estudiada en el capıtulo 4, que se revisaran en este capıtulo:b-barra, modos incompatibles, etc. La prueba de la parcela tiene hoy en dıadiversas variantes, pero en este apartado unicamente describiremos los doscasos correspondientes a la prueba de la parcela en desplazamientos y enfuerzas, en mallas de elementos solidos.

La prueba de la parcela puede interpretarse como el requisito de que unelemento que funcione correctamente debe resolver problemas “simples” de

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130 Tecnologıa de elementos

manera exacta tanto individualmente como formando parte de una mallacon elementos de geometrıa arbitraria. Por problemas “simples” se entiendenaquellos que dan lugar a movimientos de solido rıgido y a estados de defor-macion constante (en modelos de vigas la deformacion se reemplaza por lacurvatura).

5.1.1. La prueba de la parcela en desplazamientos

Si el ındice variacional del problema que nos ocupa es m y su dimen-sion espacial es ndim, el conjunto de los polinomios que expresan los camposde desplazamientos que, de acuerdo con el requisito de complitud, han derepresentarse de forma exacta se denomina Pm

ndim.

Ejemplo 5.1. En el caso de la elasticidad tridimensional m = 1, ndim = 3en coordenadas cartesianas, los polinomios P1

3 han de expresar campos dedesplazamientos arbitrarios, lineales en las coordenadas x, y, z:

ux

uy

uz

=

c11 c12 c13 c14

c21 c22 c23 c24

c31 c32 c33 c34

1xyz

(5.1)

El espacio funcional P13 tiene dimension 12. Cualquier campo de des-

plazamientos lineal se podra expresar como combinacion lineal de 12 modosde deformacion basicos que constituyan una base del espacio P1

3 . En conse-cuencia sera necesario hacer 12 pruebas, correspondientes a cada modo dedeformacion basico, para comprobar si se obtiene la solucion exacta. Los do-ce modos suelen tomarse de manera que correspondan a seis movimientos desolido rıgido:

ux

uy

uz

=

100

,

010

,

001

,

0

−zy

,

−z

0x

,

−y

x0

(5.2)

y seis modos de deformacion constanteux

uy

uz

=

x00

,

0y0

,

00z

,

yx0

,

z0x

,

0zy

(5.3)

Para aplicar la prueba de la parcela en desplazamientos se considera unamalla con elementos de forma arbitraria y con al menos un nodo interior. Secalculan los desplazamientos que hay que aplicar en el contorno para obtenerlos modos basicos de solido rıgido y de deformacion constante, y se aplicancomo movimientos impuestos. Dejando como incognitas los movimientos delos nodos interiores, se resuelven los modelos de elementos finitos y se com-prueba que la solucion obtenida es la exacta en todos los casos de prueba.

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La elasticidad incompresible y el fenomeno del bloqueo 131

5.1.2. La prueba de la parcela en tensiones

En esta prueba los modos a comprobar corresponden a estados de tensionconstante. Por ejemplo, en un modelo de tension plana las pruebas a realizarcorresponden a los estados de tension constante en las componentes σxx, σyy

y τxy, ya que la tension en cualquier otra direccion sera combinacion de estas.Tambien es posible considerar tres estados de tension axial constante σ1, σ2

y σ3 segun tres direcciones arbitrarias. Con esto se evita la prueba de laparcela para la tension tangencial, que es relativamente compleja de imponeren mallas arbitrarias.

En el contorno de la malla se aplican fuerzas nodales consistentes con losestados de tension constante que se desean verificar, restringiendo el numerode desplazamientos mınimo para evitar movimientos de solido rıgido. Losnodos interiores se dejan libres. En este caso no tiene sentido considerarel equivalente a los modos de solido rıgido de la prueba de la parcela endesplazamientos, ya que corresponderıan a estados triviales de tension nula.

Se obtiene mediante elementos finitos el vector de desplazamientos en losnodos interiores y a partir de este se recuperan, mediante las ecuaciones decompatibilidad y las ecuaciones constitutivas, las tensiones en los puntos deGauss. Estas tensiones deben corresponder a los estados de tension constanteimpuestos en el contorno. Si en todos y cada uno de los calculos que formanla baterıa de pruebas realizada se obtiene la solucion exacta, entonces elelemento pasa la prueba de la parcela en tensiones.

5.2. La elasticidad incompresible y el feno-

meno del bloqueo

Los materiales que al deformarse mantienen constante su volumen se de-nominan incompresibles. En la practica, materiales como el caucho y las go-mas, o los materiales biologicos que en su composicion tienen un porcentajemuy elevado de agua, se comportan como solidos incompresibles.

En el modelo de la elasticidad lineal isotropa la condicion de incompre-sibilidad se impone en terminos del coeficiente de Poisson: ν = 0.5. Estevalor de ν introduce una singularidad en las ecuaciones constitutivas, que enfuncion de los coeficientes de Lame se escriben:

σ = λ div u1 + 2µ∇su, σij = λuk,kδij + 2µu(i,j) (5.4)

ya que, como puede comprobarse en la expresion (3.92), para ν → 0.5 resultaλ →∞. En consecuencia es necesario reformular las ecuaciones constitutivasde la elasticidad para el caso incompresible:

σ = −p1 + 2µ∇su, σij = −pδij + 2µu(i,j) (5.5)

donde p es la presion hidrostatica, que es una incognita que ha de calcularsecomo parte de la solucion del problema de contorno. En consecuencia es

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necesario introducir una ecuacion adicional, que es la condicion cinematicade incompresibilidad:

div u = 0, uk,k = 0 (5.6)

La formulacion fuerte correspondiente al solido elastico incompresible que-darıa planteado con las ecuaciones (3.12), (3.13), (3.14), la ecuacion cinema-tica (5.6) y la ecuacion constitutiva (5.5).

En el marco de los elementos finitos ciertas restricciones fısicas conducena situaciones de bloqueo de la formulacion en desplazamientos, como porejemplo en el caso de la elasticidad incompresible y en los problemas deflexion de vigas y placas delgadas.

Conceptualmente el problema del bloqueo numerico se basa en que la me-todologıa de solucion es minimizar la energıa potencial total y el metodo delos elementos finitos ya introduce restricciones “per se” (se busca el mınimopara una cierta clase de desplazamientos, por ejemplo polinomios continuosa trozos). Si ademas existen restricciones adicionales de tipo fısico, el sistemapuede quedar con un exceso de restricciones que hagan que la unica solu-cion del sistema sea la nula. El problema debe plantearse introduciendo unaincognita por cada ecuacion de restriccion, o bien solucionarse modificandola formulacion en los terminos que dan lugar a los campos de deformacio-nes no constantes. La integracion reducida elimina la parte no constante delas deformaciones en el elemento, pero da lugar a modos espurios de energıanula.

En conclusion, el fenomeno del bloqueo aparece como consecuencia de unaformulacion numerica inadecuada que da lugar a un problema con demasiadasrestricciones. En concreto, dos defectos clave son la interpolacion lineal delas respuestas volumetricas y de corte.

5.3. Una formulacion mixta u-p para la elasti-

cidad compresible y cuasi-incompresible

Una forma de expresar las ecuaciones constitutivas de un solido elastico,que es valida tanto para materiales compresibles como incompresibles, es lasiguiente:

σ = −p1 + 2µ∇su σij = −pδij + 2µu(i,j) (5.7)

0 = div u +p

λ0 = uk,k +

p

λ(5.8)

donde p es una incognita adicional del problema de contorno, que interpre-taremos como un parametro de presion.

A partir de (5.7), la traza del tensor de tensiones es:

σkk = −3p + 2µu(k,k) = −3p + 2µuk,k (5.9)

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Una formulacion mixta u-p para la elasticidad compresible 133

y sustituyendo (5.8) en (5.9):

σkk = −3p− 2µ

λp (5.10)

En el caso incompresible (λ →∞) esta expresion resulta:

p = −σkk

3(5.11)

interpretandose la incognita p como la presion hidrostatica.En el caso de la elasticidad compresible p no es la presion hidrostatica. Si

se elimina el parametro de presion p en (5.7) mediante (5.8), se obtiene:

σij = λuk,kδij + 2µu(i,j) (5.12)

que coincide con la expresion (5.4), usual en los solidos compresibles. En estecaso la presion hidrostatica es:

phidrost = −σkk

3= (−λ + 2µ)uk,k (5.13)

valor que es distinto del que se obtiene para p en la ecuacion (5.8):

p = −λuk,k (5.14)

En este apartado se describe una formulacion mixta de elementos finitosbasada en el campo de desplazamientos u y el campo escalar p.

5.3.1. Formulacion fuerte

De forma similar a como se hizo en el capıtulo 3, sea Ω = Ω ∪ ∂Ω uncuerpo elastico (Ω ⊂ Rndim conjunto abierto), cuyo contorno ∂Ω admite ladescomposicion ∂Ω = ∂ui

Ω ∪ ∂tiΩ, ∂uiΩ ∩ ∂tiΩ = ∅, i = 1 . . . ndim. Sea n el

vector normal exterior en un punto de ∂Ω. La formulacion fuerte del problemase establece en los siguientes terminos:

Dados b : Ω → Rndim , u : ∂uΩ → Rndim , t : ∂tΩ → Rndim , encontrarlos campos u : Ω → Rndim y p : Ω → R que cumplen:

div σ + b = 0 en Ω (5.15)

u = u en ∂uΩ (5.16)

σn = t en ∂tΩ (5.17)

div u +p

λ= 0 en Ω (5.18)

verificando σ la ecuacion constitutiva (5.7), y siendo λ una constante depenalizacion que se puede interpretar en terminos del modulo de rigidez vo-lumetrica.

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5.3.2. Formulacion debil

En la formulacion debil de este problema ha de introducirse un terminoadicional a los considerados en la formulacion en desplazamientos (ver apar-tado 3.3), con objeto de verificar en forma debil la ecuacion (5.18). En con-secuencia, ademas de los espacios funcionales definidos en (3.18) y (3.19), esnecesario definir un espacio para las funciones de presion:

P = p ∈ L2(Ω, R) (5.19)

siendo L2(Ω, R) el espacio de funciones de cuadrado integrable:

L2(Ω, R) =

p : Ω → R |

∫Ω

p2 dΩ < ∞

(5.20)

Observacion. Al no existir en la formulacion fuerte condiciones de contornopara la presion, el espacio P contiene tanto las funciones (de prueba) depresion p(x) como las “presiones virtuales” o funciones de peso δp(x).

La formulacion debil de este problema de contorno se establece en lossiguientes terminos:

Dados b : Ω → Rndim y las funciones u : ∂uΩ → Rndim , t : ∂tΩ → Rndim ,encontrar los campos de desplazamientos u ∈ U y de presiones p ∈ P , talque ∀δu ∈ V y ∀δp ∈ P , se cumple:∫

Ω

σ · ∇sδudΩ −∫

Ω

(div u +

p

λ

)δpdΩ =

∫Ω

b · δudΩ +

∫∂tΩ

t · δudΓ

(5.21)

Integrando por partes (5.21):

0 =

∫Ω

(div σ + b) · δudΩ +

∫Ω

(div u +

p

λ

)δpdΩ

+

∫∂tΩ

(t− σn) · δudΓ (5.22)

Como δu y δp son arbitrarias, los terminos de la expresion (5.22) entreparentesis son nulos en el dominio en que estan definidas las integrales, ve-rificandose por tanto las ecuaciones (5.15), (5.17) y (5.18) de la formulacionfuerte.

Haciendo uso de la ecuacion constitutiva, el primer termino de (5.21) sepuede expresar (en notacion indicial):∫

Ω

δu(i,j)σijdΩ = −∫

Ω

pδu(i,j)δijdΩ +

∫Ω

2µδu(i,j)u(i,j)dΩ

= −∫

Ω

pδu(i,i)dΩ +

∫Ω

δu(i,j)Cijklu(k,l)dΩ (5.23)

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siendo Cijkl = µ(δikδjl + δilδjk).Si µ > 0, el tensor constitutivo Cijkl verifica:

CijklΨijΨkl ≥ 0, ∀Ψijsimetrico (5.24)

CijklΨijΨkl = 0 ⇔ Ψij = 0 (5.25)

5.3.3. Formulacion de Galerkin

Sean Vh y Uh las aproximaciones de dimension finita de los espacios fun-cionales V y U definidos anteriormente en el apartado 3.6. Sea ahora Ph ⊂ Pel subespacio funcional de dimension finita que es una aproximacion de P .

Admitiremos, al igual que en el apartado 3.6, que las funciones uh ∈ Uh

se pueden descomponer en la forma uh = vh + uh.La formulacion de Galerkin del problema de contorno que nos ocupa es-

tablece que:Dados b : Ω → Rndim y las funciones u : ∂uΩ → Rndim , t : ∂tΩ → Rndim ,

encontrar los campos de desplazamientos uh = vh + uh y de presiones ph,con δvh ∈ Vh, tal que ∀δuh ∈ Vh y ∀δph ∈ Ph se cumple:∫

Ω

∇svh · C∇sδuh dΩ−∫

Ω

ph div δuhdΩ−∫

Ω

(div vh +

ph

λ

)δphdΩ

=

∫Ω

b · δuh dΩ+

∫∂tΩ

t · δuh dΓ−∫

Ω

∇suh ·C∇sδuh dΩ+

∫Ω

div uhδphdΩ

(5.26)

5.3.4. Formulacion matricial

Para expresar (5.26) en forma matricial tendremos en cuenta lo descritoen el apartado (2.6) en cuanto a la discretizacion del dominio Ω, y considera-remos las interpolaciones de las funciones uh y δuh dadas en (3.44) y (3.45),respectivamente. La interpolacion del operador divergencia que aplica a loscampos de desplazamientos vh, uh y δuh, se expresa:

div vh =

ndim∑i=1

∑A∈η−ηui

uiA div(NAei) (5.27)

div δuh =

ndim∑i=1

∑A∈η−ηui

δuiA div(NAei) (5.28)

div uh =

ndim∑i=1

∑A∈ηui

uiA div(NAei) (5.29)

En este caso ademas es necesario definir la interpolacion de las funcionesph. Dado que las funciones ph tienen el requisito de ser funciones unicamentede cuadrado integrable, no es necesario que sean continuas entre elementos.

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Esto hace que existan mas posibilidades para definir la interpolacion de laspresiones que la interpolacion de los desplazamientos. En la figura 5.1 semuestran algunos ejemplos de posibles interpolaciones en dos dimensiones. Lacombinacion arbitraria del numero de nodos de desplazamientos y de presionpuede dar lugar a elementos de bajas prestaciones e incluso a soluciones noconvergentes.

Desplazamientosbilineales y

presionconstante

Desplazamientosbilineales y

presion bilinealcontinua

Desplazamientoscuadraticos y

presion bilinealdiscontinuaNodo de desplazamientosNodo de presión

Figura 5.1: Ejemplos de distintas interpolaciones de los campos de desplaza-mientos y de presion en formulaciones mixtas de elementos finitos.

La interpolacion de los campos de presiones las denotaremos mediante:

ph =∑eA∈eη

p eAN eA (5.30)

siendo η = 1, 2, . . . , npres el conjunto de cardinales correspondientes al nu-

mero npres de puntos de presion A, NA la funcion de interpolacion de las

presiones asociada al punto A y p eA el valor de la presion en el punto A.

Analogamente, las funciones de peso de la presion se interpolan con laexpresion:

δph =

npres∑eA=1

δp eAN eA (5.31)

Sustituyendo (5.27) a (5.31), junto con las interpolaciones de los despla-zamientos (3.44) y (3.45) y de los gradientes correspondientes, en (5.26) se

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obtiene:

ndim∑i=1

∑A∈η−ηui

δuiAeTi ·

ndim∑j=1

∑B∈η−ηuj

(∫Ω

BTACBBejujBdΩ

)−

ndim∑i=1

∑A∈η−ηui

δuiA

∑eB∈eη(∫

Ω

div(NAei)N eBp eBdΩ

)−∑eA∈eη

δp eAndim∑

j=1

∑B∈η−ηuj

(∫Ω

N eA div(NBej)ujBdΩ

)−∑eA∈eη

δp eA∑

eB∈eη(∫

Ω

1

λN eAN eBp eBdΩ

)=

ndim∑i=1

∑A∈η−ηui

δuiAeTi ·∫

Ω

NAbdΩ +

ndim∑i=1

∑A∈η−ηui

δuiAeTi ·∫

∂tΩ

NAtdΓ

+

ndim∑i=1

∑A∈η−ηui

δuiAeTi ·

ndim∑j=1

∑B∈ηuj

(∫Ω

BTACBBejujBdΩ

)+∑eA∈eη

δp eAndim∑

j=1

∑B∈ηuj

(∫Ω


) (5.32)

Operando:

ndim∑i=1

∑A∈η−ηui

δuiA

eTi ·

ndim∑j=1

∑B∈η−ηuj

(∫Ω

BTACBBejujBdΩ

)

−∑eB∈eη(∫

Ω


)− eT

i ·∫

Ω

NAbdΩ− eTi ·∫

∂tΩ

NAtdΓ

+ eTi ·

ndim∑j=1

∑B∈ηuj

(∫Ω

BTACBBejujBdΩ

)+∑eA∈eη

δp eA− ndim∑

j=1

∑B∈η−ηuj

(∫Ω


)−∑eB∈eη(∫

Ω

1

λN eAN eBp eBdΩ

)

−ndim∑j=1

∑B∈ηuj

(∫Ω


) = 0 (5.33)

y teniendo en cuenta que los coeficientes δuiA y δp eA son arbitrarios, resultan

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las ecuaciones:

eTi ·

ndim∑j=1

∑B∈η−ηuj

(∫Ω

BTACBBejujBdΩ

)−∑eB∈eη(∫

Ω


)

−eTi ·∫

Ω

NAbdΩ−eTi ·∫

∂tΩ

NAtdΓ+eTi ·

ndim∑j=1

∑B∈ηuj

(∫Ω

BTACBBejujBdΩ

)= 0

(5.34)

−ndim∑j=1

∑B∈η−ηuj

(∫Ω


)−∑eB∈eη(∫

Ω

1

λN eAN eBp eBdΩ

)

−ndim∑j=1

∑B∈ηuj

(∫Ω


)= 0 (5.35)

Las ecuaciones (5.34) y (5.35) se pueden expresar en forma matricial:

Kd + Gp = F (5.36)

GT d + Mp = H (5.37)

siendo:

K = [KPQ], d = dQ, F = FP, G = [GPR], p = pR,(5.38)

M = [MSR], H = HS, 1 ≤ P, Q ≤ ndeq, 1 ≤ S, R ≤ npres (5.39)

y ndeq el numero de grados de libertad en desplazamientos del problema. Lascomponentes correspondientes son:

KPQ = eTi ·∫

Ω

BTACBBdΩ ej (5.40)

dQ = ujB (5.41)

FP = eTi ·∫

Ω

NAbdΩ + eTi ·∫

∂tiΩ

NAtdΓ− eTi ·∫

Ω

BTACBBdΩ ejujB

(5.42)

GPR = −∫

Ω

div(NAei)NRdΩ (5.43)

MSR = −∫

Ω

1

λNSNRdΩ (5.44)

HS =

∫Ω

NS div(NBej)ujBdΩ (5.45)

P = id(i, A), Q = id(j, B) (5.46)

habiendose tenido en cuenta el criterio de numeracion definido en (3.61).

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Observacion. En elasticidad tridimensional y en deformacion plana:

div(NAei) =∂NA

∂xi

En problemas axisimetricos (ver apartado 3.9.1):

div(NAei) =

∂NA

∂r+ NA

rsi i = 1

∂NA

∂zsi i = 2

A continuacion se describen dos procedimientos para resolver el sistemade ecuaciones (5.36) y (5.37).

Procedimiento 1. Si M 6= 0 (material compresible), se despeja p en(5.37):

p = M−1(H −GT d) (5.47)

y se sustituye en (5.36):

(K −GM−1GT )︸︷︷︸K

d = F −GM−1H︸︷︷︸F

(5.48)

Una vez que se obtiene d de la ecuacion (5.48), se sustituye en (5.47) paraobtener p.

Procedimiento 2. Si M = 0 (material incompresible), se despeja d en(5.36):

d = K−1

(F −Gp) (5.49)

y se sustituye en (5.36):

GT K−1

Gp = GT K−1

F −H (5.50)

De la ecuacion (5.50) se obtiene p, y sustituyendo en (5.49) se calcula d.

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5.3.5. Formulacion local de elementos finitos

Las matrices descritas en el apartado anterior se pueden obtener ensam-blando las contribuciones de las matrices elementales:

ke= [k

e

pq], 1 ≤ p, q ≤ nednndim

(5.51)

ke

pq = eTi ·∫

Ωe

BTACBBdΩeT

j , p = ndim(a− 1) + i

(5.52)

q = ndim(b− 1) + j(5.53)

a = 1 . . . nedn (5.54)

b = 1 . . . nedn (5.55)

fe= f e

p (5.56)

fe

p =

∫Ωe

NAbidΩ +

∫∂tiΩ

NAtidΓ−nednndim∑

q=1

ke

pquq, uq = ujb (5.57)

me = [meeaeb], 1 ≤ a, b ≤ npres (5.58)

meeaeb =

∫Ωe

−1

λNeaNebdΩ (5.59)

ge = [gepea] (5.60)

gepea = −

∫Ωe

div(NAei)NeadΩ (5.61)

he = heea (5.62)

heea = −nednndim∑

p=1

gepeaup, up = uia (5.63)

siendo nedn el numero de nodos por elemento con variables de desplazamien-tos.

Los procedimientos de solucion 1 y 2 descritos anteriormente se plan-tean con matrices globales y son validos tanto para interpolaciones continuascomo para interpolaciones discontinuas del campo de presiones. En el casode que la interpolacion sea discontinua, en el caso compresible las presionesse pueden interpretar como variables internas del elemento, y eliminarlas delas ecuaciones a nivel local:

ke = ke − ge(me)−1(ge)T (5.64)

f e = fe − ge(me)−1he (5.65)

Las matrices en (5.64) y (5.65), planteadas a nivel elemental, son similaresa las que aparecen formuladas a nivel global en la ecuacion (5.48).

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Ensamblando las matrices ke y f e calculadas en (5.64) y (5.65) se ensam-blan de la manera estandar:

K =

nelm

Ae=1

ke (5.66)

F =

nelm

Ae=1

f e (5.67)

quedando planteado el problema con el formato clasico:

Kd = F (5.68)

Este procedimiento, que es similar al Procedimiento 1 descrito ante-riormente puede ser mas ventajoso porque todas las operaciones se realizana nivel elemento. Una vez calculados los desplazamientos, el vector elementalde presiones se obtiene mediante una expresion analoga a la (5.47):

pe = −(me)−1(ge)T de (5.69)

Como en el vector elemental de desplazamientos nodales de estan incluidoslos desplazamientos impuestos, estos ya no intervienen en el vector he y enconsecuencia el termino (me)−1he no aparece en la expresion (5.69).

5.3.6. Bloqueo de elementos mixtos

La condicion de incompresibilidad (5.6), en el marco de la formulacion deGalerkin se expresa:

nelm∑e=1

∫Ωe

div(uh)δphdΩ = 0 (5.70)

Supongamos un elemento mixto triangular con interpolacion lineal de losdesplazamientos e interpolacion constante de la presion. Como δph es unaconstante arbitraria, en cada elemento de la malla se verifica:∫

Ωe

div(uh)dΩ = 0, 1 ≤ e ≤ nelm (5.71)

indicando esta ecuacion que cada triangulo ha de deformarse sin cambiar devolumen.

Observacion. Como uh es un polinomio lineal en cada triangulo, entoncesdiv(uh) es constante y de (5.71) se obtiene que en cada elemento se verificala condicion de incompresibilidad en forma fuerte:

div(uh) = 0, 1 ≤ e ≤ nelm (5.72)

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Teniendo en cuenta esta restriccion y considerando la malla de la figura5.2, atendiendo a los elementos 1 y 2 resulta que el nodo A no se puedemover. Atendiendo ahora a los elementos 3 y 4, y teniendo en cuenta que yaesta demostrado que el nodo A no se puede mover, resulta igualmente queel nodo B no se puede mover. Siguiendo con este razonamiento para el restode los nodos de la malla se demuestra que ninguno de ellos se puede mover,habiendose alcanzado una situacion de bloqueo severo de la malla:

uh = 0 (5.73)

1

2

3

4

BA

2

1

AuA

A uA

Figura 5.2: Bloqueo severo de una malla de triangulos de presion constantecon interpolacion lineal de los desplazamientos

El bloqueo de la malla es uno de los principales problemas numericosque aparecen al modelar solidos incompresibles mediante elementos finitos.En el caso cuasi-incompresible puede aparecer el mismo problema: la ma-lla se bloquea y el campo aproximado de desplazamientos que se calcula espracticamente nulo:

uh ≈ 0 (5.74)

El problema del bloqueo puede afectar tanto a elementos con formula-cion en desplazamientos como a elementos con formulacion mixta. La teorıamatematica que aborda la convergencia de los metodos mixtos se basa enla condicion LBB (o condicion de Ladyzhenskaya–Babuska–Brezzi). Verificarsi un elemento pasa la condicion LBB es una tarea compleja, e incluso im-posible en los casos mas generales. El lector interesado en este tema puedeconsultar bibliografıa mas especializada, como por ejemplo los libros [2] y[12], saliendose del alcance de este texto su analisis pormenorizado. Que unelemento mixto verifique la condicion LBB es condicion suficiente para que no

BORRADOR

La integracion reducida selectiva 143

se bloquee en el lımite incompresible. Asimismo, los elementos que no pasanla condicion LBB pueden presentar modos espurios de presion que cuando seactivan dan lugar a soluciones en las que la presion cambia de signo alterna-tivamente en los elementos adyacentes. Estos modos se denominan modos dedamero o checkerboard modes (ver ejercicio 3 al final del capıtulo). En la refe-rencia [11] hay una lista relativamente completa de elementos mixtos, tantocon interpolacion continua como discontinua de las presiones, indicando siverifican o no la condicion de LBB. De los elementos mixtos mas comunes noverifican esta condicion los cuadrilateros de cuatro nodos de desplazamientoscon un punto de presion , ocho nodos de desplazamientos con interpolacion depresiones bilineal discontinua, y nueve nodos de desplazamientos con interpo-lacion bilineal continua o discontinua de presiones. La cuestion de si verificao no la condicion LBB el cuadrilatero de ocho nodos de desplazamientos coninterpolacion bilineal continua de las presiones no esta cerrada a dıa de hoy.

Un metodo mas heurıstico para determinar la capacidad de un elementomixto de proporcionar resultados correctos en situaciones de incompresibili-dad o cuasi-incompresibilidad se basa en comparar el numero de restriccionesde incompresibilidad (nodos de presion) frente al numero de grados de liber-tad en desplazamientos [11]. La idea es que si el numero de puntos de presioncomparado con los grados de libertad de desplazamientos es elevado, la mallase puede bloquear. Por el contrario, si el numero de nodos de presion es com-parativamente bajo el movimiento de la malla no verificara adecuadamentela condicion de incompresibilidad.

5.4. La integracion reducida selectiva

Es posible introducir una ligera modificacion en la formulacion en des-plazamientos que da lugar a elementos cuyas prestaciones son identicas aciertas formulaciones mixtas desplazamiento-presion con interpolacion dis-continua de los campos de presiones. Estas modificaciones estan basadas enlos denominados metodos de integracion reducida selectiva.

Como ya se ha visto en capıtulos anteriores, la matriz de rigidez elementalde la formulacion en desplazamientos es:

ke =

∫Ωe

BT CBdΩ (5.75)

La matriz constitutiva C se puede descomponer aditivamente en la forma:

C = C + C (5.76)

siendo C la parte afectada por el coeficiente de Lame µ en la ecuacion (5.4),

y C la parte afectada por el coeficiente λ. Por ejemplo, en deformacion plana:

C = λ

1 1 01 1 00 0 0

(5.77)

BORRADOR


y en modelos axisimetricos:

C = λ

1 1 0 11 1 0 10 0 0 01 1 0 1

(5.78)

Sustituyendo (5.76) en (5.75) resulta:

ke = ke + ke (5.79)

donde:

ke =

∫Ωe

BT CBdΩ (5.80)

ke =

∫Ωe

BT CBdΩ (5.81)

Observacion. La matriz ke definida en (5.80) es la misma que la matriz derigidez que se calcula en la formulacion mixta descrita en el apartado 5.3.

Dado que en un material cuasi-incompresible se verifica λ/µ >> 1, los ter-

minos de ke tienen valores elevados en comparacion con los de ke. La matriz

ke es la parte de la rigidez correspondiente al comportamiento volumetrico, yun tratamiento especial de esta puede aliviar el bloqueo de los elementos. Un

procedimiento sencillo y practico consiste en subintegrar ke, utilizando unacuadratura con menos puntos que los estrictamente necesarios para realizarla integral exacta.

Frente al termino integracion reducida uniforme o simplemente integra-cion reducida, que hace referencia a la subintegracion de la matriz de rigidezke, el termino integracion reducida selectiva hace referencia a la subintegra-cion de la parte de la matriz de rigidez afectada del parametro λ. El inconve-niente de aplicar la integracion reducida uniforme es que se puede disminuirel rango de la matriz de rigidez global de manera que aparezcan modos espu-rios de energıa nula (ver apartado 4.3.3). La integracion selectiva mantieneel rango correcto de la matriz de rigidez. Una justificacion de las ventajasque proporciona la integracion reducida selectiva se basa en suponer λ y µconstantes de manera que se puede escribir:

K = µK1 (5.82)

K = λK2 (5.83)

Entonces, en las ecuaciones de elementos finitos resulta:

(µK1 + λK2)d = F ⇒ d = (µK1 + λK2)−1F (5.84)

y para solidos cuasi-incompresibles en los que λ/µ >> 1:

d ≈ 1

λK−1

2 F (5.85)

BORRADOR

La formulacion B 145

De la expresion (5.85) se deduce que si λ → ∞, entonces d → 0 llegan-dose a una situacion de bloqueo de la malla. En consecuencia, para que laformulacion del elemento proporcione resultados correctos en el lımite incom-presible la matriz K2 ha de ser singular, no verificandose en este caso (5.85).Una forma de conseguir esto es disminuyendo el orden de la cuadratura conla que se calcula K2.

El teorema de equivalencia de Malkus y Hughes establece la equivalen-cia entre diversos elementos con formulacion mixta y otros con integracionreducida selectiva. Por ejemplo, el cuadrilatero mixto de cuatro nodos de des-plazamientos y presion constante es equivalente al cuadrilatero bilineal con

cuadratura 2 × 2 para ke y 1 × 1 para ke. Asimismo, el cuadrilatero mixtode ocho nodos de desplazamientos e interpolacion bilineal discontinua de lapresion (2 × 2 puntos de presion en los puntos de Gauss) es equivalente al

cuadrilatero de ocho nodos con cuadratura 3× 3 para ke y 2× 2 para ke

5.5. La formulacion B

Las expresiones estandar (3.53) o (3.54) de la matriz B de interpolacionde las deformaciones se puede modificar, obteniendose resultados correctosen el caso cuasi-incompresible.

A partir de las componentes de la parte dilatacional del tensor de defor-maciones:

εdilij =

1

3δij div u =

1

3δij

ndim∑k=1

∂uk

∂xk

=1

3

ndim∑k=1

∂

∂xk

[nnen∑A=1

dekANA

]δij (5.86)

la matriz de interpolacion de deformaciones dilatacionales en dos dimensioneses:

BdilA =

1

3

∂NA

∂x1

∂NA

∂x2∂NA

∂x1

∂NA

∂x2

0 0

, A = 1 . . . nen (5.87)

Una vez calculada la parte dilatacional, la parte desviadora de la matrizBA es:

BdevA = BA −Bdil

A =1

3

2∂NA

∂x1−∂NA

∂x2

−∂NA

∂x12∂NA

∂x2

3∂NA

∂x23∂NA

∂x1

, A = 1 . . . nen (5.88)

En la formulacion B, la parte dilatacional BdilA se ha de ver mejorada,

escribiendose:

Bdil

A =1

3

B1 B2

B1 B2

0 0

, A = 1 . . . nen (5.89)

BORRADOR


de tal manera que la matriz BA se remplaza por la matriz:

BA = BdevA + B

dil

A (5.90)

Evidentemente, las prestaciones de los elementos con formulacion B vie-

nen determinadas por la definicion que se haga de Bdil

A . Para el cuadrilaterode cuatro nodos son usuales las siguientes formulaciones:

a) Generalizacion de la integracion selectiva.

En este caso la matriz dilatacional se calcula en el centroide del elemento:

Bdil

A (ξ, η) = BdilA (0, 0) (5.91)

b) Generalizacion de la formulacion dilatacional media de Nagtegaal:

Bdil

A =

∫Ωe Bdil

A dΩ∫Ωe dΩ

(5.92)

La extension de las expresiones anteriores para el caso de la elasticidadtridimensional es inmediato.

En los modelos axisimetricos:

εdilij =

1

3δij

(∂ur

∂r+

∂uz

∂z+

ur

r

)(5.93)

Por tanto, con la hipotesis de simetrıa de revolucion, la matriz de inter-polacion de las deformaciones dilatacionales es:

BdilA =

1

3

∂NA

∂r+ NA

r∂NA

∂z∂NA

∂r+ NA

r∂NA

∂z

0 0∂NA

∂r+ NA

r∂NA

∂z

, A = 1 . . . nen (5.94)

y en consecuencia, la matriz desviadora resulta:

BdevA = BA−Bdil

A =1

3

2∂NA

∂r− NA

r−∂NA

∂z

−∂NA

∂r− NA

r2∂NA

∂z

3∂NA

∂z3∂NA

∂r

−∂NA

∂r+ 2NA

r−∂NA

∂z

, A = 1 . . . nen (5.95)

La matriz dilatacional mejorada Bdil

A se obtiene aplicando las formulacio-nes de generalizacion de la integracion selectiva y de la formulacion de Nag-tegaal, descritos anteriormente, a la matriz dilatacional expresas en (5.94).

BORRADOR

El metodo de los modos incompatibles 147

5.6. El metodo de los modos incompatibles

El metodo de los modos incompatibles se basa en el enriquecimiento dela interpolacion del campo de desplazamientos, mediante funciones de formano conformes (es decir, funciones de forma discontinuas entre elementos).

El desarrollo original del metodo de los modos incompatibles se debe aWilson y coautores, y se formulo para el elemento cuadrilatero de cuatronodos. La interpolacion de los desplazamiento se realiza con la expresion:

uhi (ξ, η) =

4∑a=1

deiANA(ξ, η) +

6∑α=5

αeiANA(ξ, η) (5.96)

siendo αeiA desplazamientos nodales generalizados y:

N5 = 1− ξ2 (5.97)

N6 = 1− η2 (5.98)

las funciones de forma de los modos incompatibles, que se representan en lafigura 5.3. Los modos incompatibles no estan asociados a la interpolacion delos desplazamientos nodales, y los desplazamientos generalizados se puedeninterpretar como grados de libertad internos del elemento.

N5(ξ, η)

-1 -0.5 0 0.5 1ξ -1 -0.5 0 0.5 1η

00.20.40.60.81N6(ξ, η)

-1 -0.5 0 0.5 1ξ -1 -0.5 0 0.5 1η

00.20.40.60.81

Figura 5.3: Funciones de forma de los modos incompatibles.

Las funciones de forma incompatibles no intervienen en la definicion delvector de fuerzas elemental:

f eA =

∫Ωe

NAbdΩ +

∫∂tΩe

NAtdΓ, a = 1 . . . 4 (5.99)

Si, por ejemplo, se consideran unicamente fuerzas volumetricas constantesla suma de los vectores elementales de cada nodo, f e

A, ha de coincidir con elvector de fuerzas volumetricas multiplicado por el volumen V e del elemento:

4∑a=1

f eA =

∫Ωe

bdΩ = V eb (5.100)

BORRADOR


Si consideramos los modos incompatibles en la definicion de f eA, la suma

de los vectores de fuerzas elementales es mayor que el valor correcto:

6∑a=1

f eA =

6∑a=1

∫Ωe

NAbdΩ =

V e +6∑

a=5

∫Ωe

NAdΩ︸︷︷︸>0

b (5.101)

Un razonamiento similar se puede hacer con el vector de tensiones im-puestas t.

La interpolacion del campo de desplazamientos con la expresion (5.96)conduce a que las funciones de forma incompatibles intervengan en la expre-sion de la matriz de interpolacion de deformaciones, a traves de los terminos∂ui/∂ξ y ∂ui/∂η, y en consecuencia tambien en la matriz de rigidez. Concre-tamente, en el cuadrilatero de cuatro nodos:

∂ui

∂ξ=

4∑A=1

deiA

∂NA

∂ξ+

6∑A=5

αeiA

∂NA

∂ξ(5.102)

∂ui

∂η=

4∑A=1

deiA

∂NA

∂η+

6∑A=5

αeiA

∂NA

∂η(5.103)

apareciendo dos submatrices B5 y B6 ademas de las cuatro submatricesasociadas a los nodos de desplazamientos en (3.81):

B = (B1 | B2 | B3 | B4 || B5 | B6) = (Bd || Bα) (5.104)

B5 =

∂N5

∂x0

0 ∂N5

∂y∂N5

∂y∂N5

∂x

= −2

ξ ∂ξ∂x

0

0 ξ ∂ξ∂y

ξ ∂ξ∂y

ξ ∂ξ∂x

(5.105)

B6 =

∂N6

∂x0

0 ∂N6

∂y∂N6

∂y∂N6

∂x

= −2

η ∂η∂x

0

0 η ∂η∂y

η ∂η∂y

η ∂η∂x

(5.106)

La matriz de rigidez se puede expresar en forma particionada:

ke =

(ke

dd kedα

keαd ke

αα

)(5.107)

siendo:

kedd =

∫Ωe

BTd CBddΩ, dim(ke

dd) = 8× 8 (5.108)

kedα =

∫Ωe

BTd CBαdΩ = (kαd)

T , dim(kedα) = 8× 4 (5.109)

keαα =

∫Ωe

BTαCBαdΩ, dim(ke

αα) = 4× 4 (5.110)

BORRADOR

El metodo de los modos incompatibles 149

Como no hay fuerzas elementales asociadas a los modos incompatibles:(ke

dd kedα

keαd ke

αα

)de

αe

=

f e

0

(5.111)

y dado que αe son grados de libertad internos al elemento, estos se puedencondensar estaticamente de las ecuaciones (5.111):

αe = −(keαα)−1ke

αdde (5.112)

de donde resultan:kede = f e (5.113)

siendo:ke = ke

dd − kedα(ke

αα)−1keαd (5.114)

Cuando Wilson y coautores propusieron el elemento de modos incompa-tibles, este mostro una mejora importante en la respuesta a flexion frente alelemento de 4 nodos con formulacion en desplazamientos. Sin embargo, alpoco tiempo se comprobo que esta mejora solo se producıa en elementos conforma de paralelogramo, y es que el elemento de Wilson cuando tiene formade cuadrilatero arbitrario no pasa la prueba de la parcela.

Si los desplazamientos nodales decs dan lugar a un estado de deformacion

constante, los desplazamientos generalizados αecs no se activan (ya que,de

acuerdo con la prueba de la parcela, el cuadrilatero con formulacion en despla-zamientos proporciona la solucion exacta). Sustituyendo αe

cs = 0 en (5.111):

keαdd

ecs = 0 ⇒

(∫Ωe

BTαCBddΩ

)de

cs = 0 (5.115)

Llamando εed,cs al campo de deformaciones constante que se obtiene in-

terpolando decs con las funciones de forma isoparametricas:

0 =

∫Ωe

BTαCεe

d,csdΩ =

∫Ωe

BTασe

d,csdΩ =

(∫Ωe

BTαdΩ

)σe

d,cs ⇒∫Ωe

BTαdΩ = 0 (5.116)

habiendo tenido en cuenta que el campo de tensiones σed,cs es constante (pro-

viene de un campo de deformaciones constante) y arbitrario. Sustituyendo(5.105) en (5.116) y operando:∫

Ωe

BT5 dΩ =

∫

BT5 jdξdη = 2

∫ 1

−1

∫ 1

−1

(−ξ dy

dη0 ξ dx

dη

0 ξ dxdη

−ξ dydη

)dξdη (5.117)

siendo j el determinante del jacobiano de la transformacion isoparametrica(ver apartado 4.7.1):

j = det J =dx

dξ

dy

dη− dx

dη

dy

dξ(5.118)

BORRADOR


Procediendo de forma analoga con la matriz B6 definida en (5.106), re-sulta:

∫Ωe

BT6 dΩ = 2

∫ 1

−1

∫ 1

−1

(η dy

dξ0 −η dx

dξ

0 −η dxdξ

η dydξ

)dξdη (5.119)

Las integrales anteriores se anulan si las derivadas de x e y respecto delas coordenadas isoparametricas ξ y η son constantes. Esto se verifica enelementos con forma de paralelogramo.

Para evitar este inconveniente, R.L. Taylor y coautores proponen susti-tuir las derivadas que aparecen en las matrices B5 y B6 por las derivadasmodificadas definidas en el centroide del elemento:

d∗x

dξdef=

1

j

dx

dξ

∣∣∣∣ξ=0,η=0

d∗x

dηdef=

1

j

dx

dη

∣∣∣∣ξ=0,η=0

(5.120)

d∗y

dξdef=

1

j

dy

dξ

∣∣∣∣ξ=0,η=0

d∗y

dηdef=

1

j

dy

dη

∣∣∣∣ξ=0,η=0

(5.121)

resultando:

B5 =2

j

−ξ ∂y(0,0)∂η

0

0 ξ ∂x(0,0)∂η

ξ ∂x(0,0)∂η

−ξ ∂y(0,0)∂η

(5.122)

B6 =2

j

η ∂y(0,0)∂ξ

0

0 −η ∂x(0,0)∂ξ

−η ∂x(0,0)∂ξ

η ∂y(0,0)∂ξ

(5.123)

de modo que para elementos de forma arbitraria se verifica:∫Ωe

B5dxdy = 0 (5.124)∫Ωe

B6dxdy = 0 (5.125)

y en consecuencia el elemento pasa la prueba de la parcela. El elemento deWilson-Taylor tiene altas prestaciones en problemas de flexion y de elasti-cidad cuasi-incompresible, razon por la que hoy dıa esta implementado ennumerosos codigos de elementos finitos.

Posteriormente Simo y Rifai generalizaron la formulacion del elemento deWilson–Taylor en el marco del principio variacional de Hu-Washizu, resul-tando este elemento un caso particular de la formulacion de deformacionesmejoradas supuestas que se explica en el siguiente apartado.

BORRADOR

Formulacion de deformaciones supuestas 151

5.7. Formulacion de deformaciones supuestas

5.7.1. Formulacion de la elasticidad infinitesimal conel funcional de Hu-Washizu

Con las definiciones del problema de contorno expresado en el apartado3.2, el principio variacional de Hu-Washizu [19] establece que, de todos loscampos de desplazamientos u que verifican (3.13), deformaciones ε y tensio-nes σ definidos en Ω, la solucion del problema de la elasticidad infinitesimales aquella que hace estacionario el funcional siguiente:

Π(u, ε, σ) =

∫Ω

(W (x, ε)− σ · ε + σ ·∇Su− b · u

)dΩ−

∫∂tΩ

t · u dΓ

(5.126)donde W (x, ε) es la funcion de densidad de energıa interna que interviene enla ecuacion constitutiva que relaciona tensiones y deformaciones:

σ =∂W (x, ε)

∂ε(5.127)

Observacion. En el caso de la elasticidad lineal:

W =1

2ε · Cε (5.128)

Se consideran los espacios de desplazamientos admisibles, deformacionesadmisibles y tensiones admisibles, definidos respectivamente por:

V =δu ∈ H1(Ω, Rn) | δu(x) = 0 ∀ x ∈ ∂uΩ

(5.129)

E =δε ∈ L2(Ω, Rnstr)

(5.130)

S =δσ ∈ L2(Ω, Rnstr)

(5.131)

con nstr = ndim(ndim+1)/2 para elasticidad bi y tridimensional y nstr = 4 paraproblemas axisimetricos. Asimismo, H1(Ω, Rn) y L2(Ω, Rnstr) son espacios deSobolev de grado 1 y orden 2 (de energıa finita) y Lebesgue de orden 2,respectivamente. Anulando la primera variacion de Π(u, ε, σ):

δΠ(u, ε, σ) = 0 ∀(δu, δε, δσ) ∈ V × E × S (5.132)

se obtienen las ecuaciones variacionales del problema:∫Ω

(σ ·∇Sδu− b · δu

)dΩ−

∫∂tΩ

t · δu dΓ = 0 (5.133)∫Ω

δσ ·(∇Su− ε

)dΩ = 0 (5.134)∫

Ω

δε ·(

∂W (x, ε)

∂ε− σ

)dΩ = 0 (5.135)

BORRADOR


Dado que (δu, δε, δσ) son arbitrarios, las ecuaciones de Euler-Lagrangedel problema variacional son:

div σ + b = 0 en Ω (5.136)

ε−∇Su = 0 en Ω (5.137)

∂W (x, ε)

∂ε− σ = 0 en Ω (5.138)

t− σn = 0 en ∂tΩ (5.139)

Observacion. El significado fısico de estas ecuaciones es claro:

– (5.136) es la ecuacion de equilibrio

– (5.137) establece la igualdad entre el campo de deformaciones indepen-diente ε y el campo de deformaciones compatible con los desplazamien-tos ∇Su

– (5.138) identifica el campo independiente de tensiones σ con el quederiva del potencial elastico W (x, ε)

– (5.139) iguala la tensiones impuestas en ∂tΩ con el vector tension ob-tenido a partir del tensor de tensiones.

5.7.2. Formulacion variacional modificada con camposde deformaciones mejoradas supuestas

El ingrediente basico de la formulacion con deformaciones mejoradas su-puestas es la descomposicion aditiva del campo de deformaciones indepen-diente en uno compatible con los desplazamientos y otro de “deformacionesmejoradas”:

ε = ∇Su︸︷︷︸compatible

+ ε︸︷︷︸mejorado

(5.140)

Las deformaciones admisibles definidas en (5.130) se reparametrizan deacuerdo con (5.140):

δε = ∇Sδu + δε; δu ∈ V , δε ∈ E (5.141)

siendo E ≡ E . Sustituyendo (5.140) en (5.126), se obtiene el funcional deHu-Washizu reparametrizado con el campo de deformaciones mejoradas:

Π(u, ε, σ) =

∫Ω

(W (x, ∇Su + ε)− σ · ε− b · u

)dΩ−

∫∂tΩ

t ·u dΓ (5.142)

Anulando la primera variacion:

δΠ(u, ε, σ) = 0 ∀(δu, δε, δσ) ∈ V × E × S (5.143)

BORRADOR


se obtienen las ecuaciones variacionales siguientes:∫Ω

(∂W (x, ε)

∂ε·∇Sδu− b · δu

)dΩ−

∫∂tΩ

t · δu dΓ = 0 (5.144)

−∫

Ω

δσ · ε dΩ = 0 (5.145)∫Ω

δε ·(

∂W (x, ε)

∂ε− σ

)dΩ = 0 (5.146)

Las ecuaciones de Euler-Lagrange del problema variacional reparametri-zado son las anteriormente expresadas en (5.136), (5.138) y (5.139), y ademas:

ε = 0 en Ω (5.147)

que reemplaza a (5.137)

Observacion. La ecuacion de compatibilidad (5.147) impone que, desde elpunto de vista de la mecanica del continuo, para la solucion exacta el campode deformaciones mejoradas es nulo. Para la solucion aproximada (problemadiscreto formulado mediante elementos finitos) en general se verifica que:ε 6= 0

5.7.3. Formulacion del problema variacional medianteelementos finitos mixtos

Para obtener la formulacion variacional mediante elementos finitos losespacios V , E y S se aproximan mediante subespacios de dimension finitaVh ⊂ V, Eh ⊂ E y Sh ⊂ S:

Vh =

δuh ∈ V | δuh = 0; δuh =

nnod∑A=1

δuANA(ξ); ∀x ∈ ∂uΩ

(5.148)

Eh =

εh ∈ E | εh =

nelm∑e=1

εe(ξ)χe

(5.149)

Sh =

σh ∈ S | σh =

nelm∑e=1

σe(ξ)χe

(5.150)

siendo χe : Ωe → R la funcion caracterıstica de Ωe definida como:

χe =

1 si x ∈ Ωe

0 en otro caso(5.151)

El campo de tensiones σh se elimina de la formulacion de elementos finitosmediante un requisito de ortogonalidad impuesto en la propia definicion deSh, de forma que se satisfaga directamente (5.145):∫

Ωe

σh · εhdΩ = 0 ∀σh ∈ Sh y εh ∈ Eh (5.152)

BORRADOR


Observacion. Al eliminar de la formulacion el campo de tensiones σh, lastensiones que se emplean en la formulacion son las que se obtienen a partirde la funcion de energıa interna:

σ(ε) =∂W (x, ε)

∂ε(5.153)

Los dos campos de tensiones en general no coinciden en la solucion apro-ximada: σh(ε) 6= σh. Aunque a efectos de post-proceso se puede emplearσh(ε), es posible recuperar las tensiones σh de forma variacionalmente con-sistente tal y como describen Simo y Rifai.

Con la hipotesis de ortogonalidad (5.152) y los espacios de dimensionfinita definidos en (5.148) y (5.149), las ecuaciones variacionales del problemadiscreto aproximado son:∫

Ω

(σh(ε) ·∇Sδuh − b · δuh

)dΩ−

∫∂tΩ

t · δuh dΓ = 0 (5.154)∫Ω

δεh · σh(ε) dΩ = 0 (5.155)

Observacion. Al eliminar el campo independiente de tensiones, las ecuacio-nes variacionales (5.154; 5.155) quedan con un planteamiento en deforma-ciones, muy adecuado para integrar cierta clase de ecuaciones constitutivasno lineales.

5.7.4. Formulacion matricial

Las interpolacion del campo de desplazamientos se realiza en la formaestandar descrita en el apartado 3.7 y el campo de deformaciones mejoradasse interpola de acuerdo con la expresion:

εe = Gαe (5.156)

donde αe son parametros internos del elemento, y G es una matriz de di-mension nstr×nenh, siendo nenh el numero de modos mejorados del elemento.

Observacion. La expresion (5.156), de acuerdo con la definicion (5.149),se formula a nivel de cada elemento por lo que no se le exige ningun tipo decontinuidad entre los mismos. De hecho, en ciertas situaciones (5.156) puedeinterpretarse como la interpolacion de un campo de deformaciones asociadoa un campo de desplazamientos no conforme.

Observacion. De acuerdo con las expresiones (3.52), (5.140) y (5.156),el campo de deformaciones ε se interpola a nivel de elemento mediante laexpresion:

εe = Bde + Gαe (5.157)

BORRADOR


Sustituyendo las interpolaciones del campo de desplazamientos, del campode deformaciones compatibles y del campo de deformaciones mejoradas enlas ecuaciones variacionales (5.154) y (5.155), resulta:

Rdef=

nelm

Ae=1

[f e,ext −

∫Ωe

BT σh(ε) dΩ

]= 0 (5.158)

he,enh def=

∫Ωe

GT σh(ε)dΩ = 0 (5.159)

donde A[·] es el operador de ensamblaje y f e,ext es el vector de fuerzas externasconvencional (3.82) que se obtiene a partir de la expresion (5.154).

Observacion. Las ecuaciones (5.158) y (5.159) estan planteadas en formaresidual, que es la adecuada para problemas no lineales.

En el caso de la elasticidad lineal, si denominamos C a la matriz demodulos elasticos (o matriz constitutiva):

σh(ε) = C (Bd + Gα) (5.160)

las ecuaciones (5.158) y (5.159) se expresan:

nelm

Ae=1

[∫Ωe

BT CeB dΩ

]d+

nelm

Ae=1

[∫Ωe

BT CeG dΩ

]α =

nelm

Ae=1

f e,ext (5.161)

nelm

Ae=1

[∫Ωe

GT CeB dΩ

]d+

nelm

Ae=1

[∫Ωe

GT CeG dΩ

]α = 0 (5.162)

Definiendo las siguientes matrices a nivel elemental:

ke =

∫Ωe

BTCB dΩ (5.163)

ΓΓΓe =

∫Ωe

GTCB dΩ (5.164)

He =

∫Ωe

GTCe(k)G dΩ (5.165)

en cada elemento es posible condensar estaticamente αe a traves de la ecua-cion (5.162) del elemento e y sustituir en la ecuacion (5.161) correspondientea dicho elemento e obteniendose, con un procedimiento similar al seguido en(5.114), la matriz elemental de rigidez modificada:

ke = ke −ΓΓΓeT He−1ΓΓΓe (5.166)

Ensamblando las matrices ke el problema se resuelve mediante un sistemalineal de ecuaciones con el formato estandar:

Kd = F , K =

nelm

Ae=1

ke (5.167)

BORRADOR


5.7.5. Condiciones de convergencia

Para que la formulacion descrita en los apartados anteriores converja a lasolucion exacta es necesario que se verifique:

1. Las columnas de la matriz G han de ser linealmente independientespara que la matriz:

He =

∫Ωe

GT CG dΩ (5.168)

sea invertible.

2. Para que el elemento pase la Prueba de la Parcela ha de representar demanera exacta los estados de tension constante σe

0, que se obtienen alimponer campos de desplazamientos lineales

Si el campo de desplazamientos es lineal, no existe contribucion de losmodos mejorados, resultando:

σe0 = CBde = constante (5.169)

Sustituyendo (5.169) en (5.159):(∫Ωe

GT CBdΩ

)de =

(∫Ωe

GT dΩ

)σe

0 = 0 (5.170)

Por tanto, para que se verifique la prueba de la parcela ha de cumplirse:∫Ωe

GT dΩ = 0 (5.171)

3. Estabilidad. Para que el elemento no tenga modos de energıa nula adi-cionales a los correspondientes a movimientos de solido rıgido, se im-pone:

E ∩∇SV = ∅ (5.172)

es decir, los espacios de interpolacion E y ∇SV son independientes. Lainterpretacion practica de esta restriccion es que cualquier modo mejo-rado de deformacion no debe coincidir con ningun modo de deformacioncompatible.

5.7.6. Diseno de elementos con campos de deformacio-nes mejoradas

En este apartado se analiza la metodologıa de diseno de elementos condeformaciones supuestas mejoradas. Dado que la idea clave de esta formula-cion es la reparametrizacion del campo de deformaciones, la discusion debecentrarse en la forma de construir la parte mejorada del mismo.

BORRADOR


Para obtener la matriz G de la expresion (5.156), que esta definida en elelemento Ωe, la interpolacion del campo εe se define previamente mediante uncampo E(ξ) definido en el espacio isoparametrico. Posteriormente, a partir

de E(ξ) se obtiene εe en el espacio euclıdeo mediante la relacion:

εe def=

J0

J(ξ)J−T

0 EJ−10 (5.173)

siendo J el jacobiano de la transformacion isoparametrica (ver apartado4.7.1), J0 es el valor de J en el centroide del elemento, y J(ξ) y J0 sonlos determinantes de J y J0 respectivamente.

Observacion. Como se demuestra mas adelante, el factor J(ξ)/J0 en ladefinicion de la transformacion (5.173) es imprescindible para que se cumplala prueba de la parcela

A continuacion se describe la sistematica de diseno de los elementos condeformaciones supuestas, particularizando las expresiones dadas para el casode deformacion plana. Dicha metodologıa consta de los siguientes pasos:

1. Definir en el espacio isoparametrico una matriz de interpolacion E(ξ),

tal que el campo de deformaciones mejoradas E(ξ) tiene la expresion: E11

E22

2E12

= E(ξ)αe (5.174)

siendo dim(E(ξ)) = nstr × nenh

2. Obtener la expresion de la matriz G(ξ), que interpola el campo dedeformaciones mejoradas ε en el espacio euclıdeo: ε11

ε22

2ε12

= Gαe (5.175)

Sustituyendo (5.174) en (5.173) y operando resulta:

G =J0

J(ξ)T 0E(ξ) (5.176)

donde:

T 0 =

J2011

J2021

J011J021

J2012

J2022

J012J022

2J011J012 2J021J022 J011J022 + J012J021

−1

(5.177)

BORRADOR


Observacion. La matriz E(ξ) ha de construirse de modo que verifique:∫

E(ξ)dξ = 0 (5.178)

para que el elemento pase la prueba de la parcela. Esta condicion se obtienea partir de (5.171):∫

Ω

GdΩ = 0 ⇒∫

J0

J(ξ)T 0E(ξ)J(ξ)dξ = 0 ⇒

∫

E(ξ)dξ = 0

(5.179)

Ejemplos

Con la metodologıa de diseno descrita, la formulacion de los elementos dedeformaciones supuestas queda descrita con la matriz E(ξ). A continuacionse describen tres tipos de elementos que seran analizados posteriormente1:

Elemento Q4/E4

Es un elemento de cuatro nodos con interpolacion bilineal del campode desplazamientos y con cuatro modos de deformaciones mejoradas.Se define mediante la matriz:

E(ξ) =

ξ 0 0 00 η 0 00 0 ξ η

(5.180)

Equivale al elemento de Wilson–Taylor que se formulo en el contextode los denominados “modos incompatibles”.

Observacion. El elemento de modos incompatibles original solo pasa-ba la prueba de la parcela cuando tenıa forma de paralelogramo. Dichoelemento, en el contexto de la formulacion que nos ocupa, queda defi-nido por la matriz:

E(ξ) =

ξ 0 0 0 ξη 00 η 0 0 0 ξη0 0 ξ η ξ2 η2

(5.181)

y, como es inmediato de comprobar, no verifica la condicion (5.179)

Elemento Q4/E5

Este elemento, propuesto por Simo y Rifai en 1990, se obtiene restandolas dos ultimas columnas de (5.181):

E(ξ) =

ξ 0 0 0 ξη0 η 0 0 −ξη0 0 ξ η ξ2 − η2

(5.182)

1La denominacion Q4/En proviene de cuadrilatero de cuatro nodos (Q4) con n modosadicionales de deformaciones supuestas (“enhanced”)

BORRADOR


Pasa la prueba de la parcela y tiene un comportamiento ligeramentemejor que el Q4/E4 cuando los elementos estan distorsionados.

Elemento Q4/E7

Este elemento, propuesto por Andelfinger y Ram en 1992, tiene sietemodos de deformaciones mejoradas, y queda definido por la siguientematriz:

E(ξ) =

ξ 0 0 0 ξη 0 00 η 0 0 0 ξη 00 0 ξ η 0 0 ξη

(5.183)

Es equivalente al propuesto por Pian y Sumihara en 1984 a partir delprincipio variacional de Hellinger. Desde el punto de vista de la plas-ticidad computacional, la ventaja de la formulacion en deformacionessupuestas frente a la de Pian, es que la variable basica es la deformacionen vez de la tension.

5.7.7. Cinematica de los elementos con deformacionesmejoradas supuestas

En este apartado se analiza el enriquecimiento que proporcionan los mo-dos mejorados a la cinematica del elemento. Un elemento compatible (conformulacion en desplazamientos) tiene cinco modos de deformacion, ademasde los tres correspondientes a los movimientos de solido rıgido (ver figura4.7), que expresados con la notacion vectorial de (5.174), son:

110

VOL

,

001

SHR

,

−110

STR

,

η0ξ

BG1

,

0ξη

BG2

∈ ∇SVh (5.184)

Las bajas prestaciones de estos elementos en flexion y en regimen in-compresible se justifican con los dos ultimos modos del espacio ∇SVh quecorresponden a los modos de flexion BG1 y BG2, respectivamente. La com-ponente ξ en BG1 introduce una deformacion de corte parasita cuando elelemento se excita en flexion pura (al igual que la componente η en BG2),que serıa deseable eliminar.

Los modos de deformacion adicionales en el elemento Q4/E4 son: ξ

00

,

0η0

,

00ξ

,

00η

∈ Eh (5.185)

La contribucion cinematica de estos modos se puede interpretar de lasiguiente manera:

Los dos ultimos modos de (5.185), al activarse, permiten que se cancelanlos terminos parasitos de los modos BG1 y BG2 compatibles en (5.184).

BORRADOR


Los modos 1 y 2 de (5.185) se activan unicamente para modificar losmodos de flexion compatibles, cuando el elemento no tiene los ladosparalelos.

Observacion. Como se ha referido en el apartado anterior, los modos me-jorados no deben variar los modos compatibles que recogen de manera exactalos estados de deformacion constante.

Observacion. Los modos adicionales a los del elemento Q4/E4 que tienenlos elementos Q4/E5 y Q4/E7 solo se activan cuando los elementos no tienenlos lados paralelos.

5.8. Ejercicios

1. Para realizar la prueba de la parcela se considera la malla de la figura,de lado 10, teniendo el nodo 5 las coordenadas x5 = 6 e y5 = 7. Considerandoun material elastico lineal, analizar y extraer las conclusiones pertinentes delos seis casos correspondientes a la prueba de la parcela de los elementos decuatro nodos con formulacion isoparametrica integrados con cuadraturas de2× 2 y de 1× 1 puntos de Gauss, el elemento mixto Q4/P0 y el elemento demodos incompatibles.

7 8

4

5

21

9

6

3

2. Un problema clasico para estudiar el flujo de Stokes es el flujo confinadoen una cavidad. Se considera una cavidad cuadrada de lado unidad, condiscretizacion de 10×10 elementos, con las condiciones de contorno indicadasen la figura, y las propiedades de un material elastico cuasi-incompresible conλ/µ = 106. Considerando elementos de cuatro nodos en deformacion plana,con formulacion isoparametrica y con formulacion mixta de presion constante(Q4/P0), obtener los siguientes resultados:

1. Contornos de desplazamientos

BORRADOR

Ejercicios 161

2. Perfil de presiones en la recta y = 0.5, calculando estas como un terciode la traza del tensor de tensiones cambiada de signo.

3. Perfil de presiones en la recta y = 0.5 obtenido a partir de los valores,de los puntos calculados para el perfil del punto anterior, promediadosdos a dos.

NOTA: Como condiciones de contorno de los vertices (0, 1) y (1, 1) se tomaranlas correspondientes al lado y = 1

ux = 0

uy = 0

ux = 0

uy = 0 x

y

ux = 1

uy = 0

1

1ux = 0

uy = 0

3. Consideremos el modelo del ejercicio anterior discretizado con N × Ncuadrilateros mixtos de lado h = 1/N . Se impone ahora la condicion dedesplazamiento unidad (ux = 1) en el lado y = 1 de dos formas distintas:

1. Rampa sobre un elemento:

ux =

xh

0 ≤ x ≤ h

1 h ≤ x ≤ 1− h1−x

h1− h ≤ x ≤ 1

(5.186)

2. Rampa sobre dos elementos:

ux =

x2h

0 ≤ x ≤ 22h

1 2h ≤ x ≤ 1− 2h1−x2h

1− 2h ≤ x ≤ 1

(5.187)

Para mallas con al menos 4× 4 elementos (N ≥ 4), se pide:

Obtener los contornos de presion utilizando mallas con valores paresdel numero de elementos por lado N .

Idem utilizando mallas con valores impares de N .

BORRADOR


Discutir en el lımite en que h → 0 la diferencia entre las dos formas deimponer las condiciones de contorno, y la diferencia de los resultadosobtenidos.

NOTA: La justificacion se debe a la presencia de un modo espurio de presiondenominado ”modo de tablero de damas”(checkerboard mode), y se discuteen el apendice 4.II de la referencia [11].

4. El modelo de elementos finitos de la figura corresponde a un cuadradoABCD de lado 2 en deformacion plana, discretizado con 20× 20 elementos,tal que el lado AB tiene completamente impedidos los desplazamientos. Enel punto medio del lado CD esta aplicada una carga puntual F = −1.0. Lasconstantes elasticas son:

E = 206.9

ν = 0.29

Para la solucion del modelo se consideraran elementos isoparametricos decuatro nodos con integracion completa, y con integracion reducida. Compararlos resultados obtenidos con ambas reglas de integracion.

B

CD

A

5. El modelo de la figura adjunta representa una zapata rıgida sobre unmedio elastico deformable. Sobre la zapata esta aplicada una carga puntual.Las dimensiones de la zapata son de 0.8× 0.5 y las del medio elastico 4× 2.El medio deformable tiene las constantes elasticas:

E = 206.9

ν = 0.29

Para la zapata se supone E = 206.9 · 1010. Empleando la discretizacionde la figura y cuadrilateros de 8 nodos, en el supuesto de deformacion planacalcular la deformada empleando cuadraturas de 2 × 2 y 3 × 3 puntos deGauss, y comparar los resultados obtenidos.

BORRADOR

Ejercicios 163

(Ejemplo 2, aptdo. 4.6, de la referencia [11])

6. Se considera una mensula elastica esbelta con relacion canto/longitudd/l = 0.03333, y una carga puntual en el extremo P . Con objeto de analizarla sensibilidad a la distorsion de distintas formulaciones de elementos finitosse consideran las mallas de la figura, con 8×1 elementos, que se distorsionande forma simetrica y asimetrica segun el parametro θ.

Obtener el desplazamiento en el extremo, normalizado respecto de la so-lucion teorica obtenida con las hipotesis de la Resistencia de Materiales:

f =Pl3

3EI=

4P

E

(l

d

)3

para valores del parametro θ de 0 a 45 cada 15.Se consideraran las formulaciones isoparametricas con cuadrilateros de 4

y 8 nodos, y triangulos de 3 y 6 nodos, y cuadrilateros de cuatro nodos conformulacion mixta y con formulacion de modos incompatibles.

P

l

d

θ P

l

d

θ

7. Repetir el ejercicio 6 del capıtulo 3 utilizando ahora elementos con formu-lacion mixta y elementos con deformaciones supuestas. Comparar los resul-tados obtenidos con estas formulaciones y los obtenidos utilizando elementosisoparametricos.

8. Sea una cubierta en forma de boveda cilındrica tendiendo un arco de80 (ver figura). Las dimensiones son R = 25 m (radio medio), L = 50 m,y espesor t = 0.25 m. El material es elastico con modulo de Young E =4.32 · 108 N/m2 y de Poisson ν = 0.

BORRADOR


Los dos extremos curvos estan apoyados sobre diafragmas rıgidos, mien-tras que los bordes laterales rectos estan libres. El conjunto esta sometido auna carga gravitatoria vertical uniforme, siendo el peso especıfico del materialigual a 360 N/m3.

Empleando discretizaciones de 8×8×1, 8×8×8 elementos y 16×16×1elementos, obtener el desplazamiento vertical en el punto medio del bordelibre empleando los elementos solidos tridimensionales formulados en despla-zamientos (disp), elementos con formulacion mixta (mixe) y los formuladoscon modos incompatibles (enha).NOTA: Este ejemplo, que se denomina Boveda de Scordelis-Lo, es muy utili-zado para validar elementos con formulacion de lamina. El valor de referenciapara el desplazamiento pedido es 0.3024 m.

RL

40

9. Se desea analizar la respuesta de la cupula esferica abierta de la figura,sometida a las cargas puntuales radiales indicadas en la misma. Este es unejemplo clasico para analizar el comportamiento de elementos lamina, queen esta practica resolveremos utilizando elementos solidos tridimensionales.La geometrıa de la cupula y las cargas aplicadas se muestran en la figura,teniendo el radio medio, el espesor y las propiedades del material los siguientesvalores:

R = 10 (5.188)

t = 0.04 (5.189)

E = 6.825 · 107 (5.190)

ν = 0.3 (5.191)

Se consideraran mallas con 1, 3 y 5 elementos en el espesor, y discretiza-ciones en direccion circunferencial y meridional de 5× 5, 10× 10, 20× 20 y50× 50 elementos. Los elementos a utilizar seran hexaedros isoparametricosde 8 nodos, tetraedros isoparametricos de 4 nodos, y hexaedros de ocho nodoscon formulacion mixta y con formulacion de modos incompatibles.

El objetivo es comparar, para las distintas mallas y formulaciones, el valordel desplazamiento radial del punto A con el valor de referencia uA = 0.093.

BORRADOR

Ejercicios 165

Libre

Libre

Sim.

Sim.

x

y

z18

F = 1

F = 1

A

10. Se considera una lamina cilındrica de radio medio R = 300.0, alturaH = 600.0 y espesor t = 3.0, cuyo material es elastico lineal con propieda-des mecanicas E = 3000.0 y ν = 0.3. En los extremos del cilindro hay dosdiafragmas rıgidos circulares, y en dos puntos diametralmente opuestos de laseccion transversal media estan aplicadas dos cargas radiales de compresionde valor P = 4.0 cada una de ellas. Este es otro ejemplo clasico del analisisde laminas, que en este ejercicio se analiza con elementos solidos tridimensio-nales. Para la discretizacion se tendran en cuenta las condiciones de simetrıaexistentes, y se utilizaran discretizaciones de 4× 4, 8× 8, 16× 16 y 32× 32elementos en direccion meridional y circunferencial, y 1, 3 y 5 elementos enel espesor. Las formulaciones a considerar son hexaedros isoparametricos 8nodos, tetraedros isoparametricos 4 nodos, hexaedros con formulacion mixtay hexaedros con modos incompatibles.

Obtener la ley de momentos flectores y esfuerzos cortantes en la secciontransversal media, la ley de esfuerzos axiles en las secciones extremas y eldesplazamiento radial en los puntos con cargas aplicadas, comparando esteultimo con el valor de referencia uA = 0.18248

Sim.

Sim.

Sim.

Diafragma

P

L

P

R

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Cap´ıtulo 5 Tecnolog´ıa de elementos - w3.mecanica.upm.esw3.mecanica.upm.es/~felipe/mef0708/capitulo5.pdf · yy y τ xy, ya que la ... En la practica, materiales como el caucho