Cap´ıtulo 6 Funciones trigonométricasmatesup.cl/portal/apuntes/mate-kine/08cap6.pdf · 2007-10-27 · Cap´ıtulo 6 Funciones trigonométricas 6.1. Definiciones y fórmulas

Capıtulo 6

Funciones trigonometricas

6.1. Definiciones y formulas elementales

Consideremos la circunferencia unitaria de ecuacion x2 + y2 = 1 en el plano cartesiano.Denotemos por A al punto de coordenadas (1, 0). A cada numero real α le asignamos unpunto P (α) en la circunferencia unitaria, de la siguiente manera:

1. Si α > 0, medimos sobre la circunferencia unitaria, a partir del punto A y en senti-do contrario a los punteros del reloj, la longitud α. El punto final de esta medicionsera P (α).

2. Si α = 0, le corresponde P (α) = A = (1, 0).

3. Si α < 0, se mide a partir de A la longitud |α| en el sentido de los punteros del reloj.

140

Capıtulo 6: Funciones trigonometricas Resumen de contenidos

α > 0 α < 0

6.2. Funciones trigonometricas

Sea α un numero real y P (α) = (x, y), entonces se define:

seno α = sin α = y cosecante α = csc α =1

y, y 6= 0

coseno α = cos α = x secante α = sec α =1

x, x 6= 0

tangente α = tan α =y

x, x 6= 0 cotangente α = ctg α =

x

y, y 6= 0

Observacion: Para una mayor agilidad de lenguaje, se dira que α esta en determinadocuadrante, cuando P (α) este en dicho cuadrante.

6.3. Valores principales de las F.T.

0 6 α 6 π2

α Cuadrante P (α) cos α sin α tan α0 (1, 0) 1 0 0π

6I

(√3

2, 1

2

) √3

212

√3

3

π

4I

(√2

2,√

22

) √2

2

√2

21

π

3I

(12,√

32

)12

√3

2

√3

π

2(0, 1) 0 1 No existe

Instituto de Matematica y Fısica 141 Universidad de Talca


π2

< α 6 π

α Cuadrante P (α) cos α sin α tan α2π

3II

(−1

2,√

32

)−1

2

√3

2−√

3

3π

4II

(−

√2

2,√

22

)−

√2

2

√2

2−1

5π

6II

(−

√3

2, 1

2

)−

√3

212

−√

33

π (−1, 0) −1 0 0

π < α 6 3π2

α Cuadrante P (α) cos α sin α tan α0 (1, 0) 1 0 07π

6III

(−

√3

2,−1

2

)−

√3

2−1

2

√3

3

5π

4III

(−

√2

2,−

√2

2

)−

√2

2−

√2

21

4π

3III

(−1

2,−

√3

2

)−1

2−

√3

2

√3

3π

2(0, 1) 0 1 No existe

3π2

< α < 2π

α Cuadrante P (α) cos α sin α tan α5π

3IV

(12,−

√3

2

)12

−√

32

−√

3

7π

4IV

(√2

2,−

√2

2

) √2

2−

√2

2−1

11π

6IV

(√3

2,−1

2

) √3

2−1

2−

√3

3

2π (1, 0) 1 0 0

6.4. Signos de las funciones trigonometricas

Cuadrante en que esta P (α) sin α cos α tan αI + + +II + − −III − − +IV − + −



Nota: Una funcion f es periodica si existe un real positivo p tal que f(x + p) = f(x), paratodo x en Dom(f). El numero real p mas pequeno, si existe, se llama periodo de f .

6.5. Propiedades de algunas funciones trigonometricas

A continuacion se revisan con mas detalle, 3 de las 6 funciones trigonometricas:

6.5.1. La funcion seno

sen : R −→ Rx 7−→ sen x

Su dominio es R, y su recorrido es [−1, 1]. Su grafica (parcial) es

Grafico de y = sin x

Principales propiedades y caracterısticas de la funcion seno

Intersecciones con los ejes coordenados:

Eje X: los puntos de abscisa 0, ±π, ±2π, ±3π, etc.Eje Y : el punto (0, 0)

No es inyectiva ni sobreyectiva.

La funcion seno es impar, es decir, sin(−x) = − sin(x)

Intervalo(s) de crecimiento: Es creciente en los intervalos]−π

2,π

2

[,

]3π

2,5π

2

[, etc.



Intervalo(s) de decrecimiento: Es decreciente en los intervalos]−3π

2,−π

2

[,

]π

2,3π

2

[, etc.

Periodicidad: Esta funcion es periodica, de periodo 2π, ya que 2π es el menor numeroreal que cumple:

sin(x + 2π) = sin x para todo x ∈ REn general: sen (x + 2kπ) = sen x, k ∈ Z.

6.5.2. La funcion coseno

cos : R −→ Rx 7−→ cos x

Su dominio es R y su recorrido es [−1, 1]. Su grafica (parcial) es

Grafico de y = cos x

Principales propiedades y caracterısticas de la funcion coseno


Eje X: Los puntos de abscisa 0, ±π2, ±3π

2, etc.

Eje Y : el punto (0, 1)

No es inyectiva ni sobreyectiva.

La funcion coseno es par, es decir, cos(−x) = cos(x)

Intervalo(s) de crecimiento: Es creciente en los intervalos ]− π, 0[ , ]π, 2π[, etc.

Intervalo(s) de decrecimiento: Es decreciente en los intervalos ]− 2π,−π[ , ]0, π[, etc.

Periodicidad: Esta funcion es periodica, de periodo 2π, ya que 2π es el menor numeroreal que cumple:

cos(x + 2π) = sin x para todo x ∈ REn general: cos (x + 2kπ) = cos x, k ∈ Z.



6.5.3. La funcion tangente

tan : D −→ Rx 7−→ tan(x)

Su dominio es D = R \ {π2

+ kπ, k Z}, y su recorrido es R. Su grafica (parcial) es

Grafico de y = tan x

Principales propiedades y caracterısticas de la funcion tangente


Eje X: Los puntos de abscisa 0, ±π, ±2π, ±3π, etc.Eje Y : El punto (0, 0).

No es inyectiva.

Es sobreyectiva.

La funcion tangente es impar, es decir, tan(−x) = − tan(x)

Intervalo(s) de crecimiento: Es creciente en los intervalos]−3π

2,−π

2

[,]−π

2, π

2

[, etc.

Intervalo(s) de decrecimiento: En ningun intervalo es decreciente.

Periodicidad: Esta funcion es periodica, de periodo π, ya que π es el menor numeroreal que cumple:

tan(x + π) = tan x para todo x ∈ D

En general: tan (x + kπ) = tan x, k ∈ Z.



6.6. Identidades basicas de las funciones trigonometri-

cas

1. tan x =sin x

cos x, cot x =

cos x

sin x

2. sec x =1

cos x, csc x =

1

sin x

3. cot x =1

tan x, tan x =

1

cot x

4. (sin x)2 + (cos x)2 = sin 2x + cos2 x = 1

5. 1 + tan 2x = sec 2x

6. 1 + ctg 2x = csc 2x

6.7. Formulas de Reduccion

Usaremos FT para designar cualquiera de las 6 funciones trigonometricas y coFT su respec-tiva cofuncion (la cofuncion del sin es cos, de la tan es cot y de la sec es la csc).

1. FT(α± π2) = ±coFT(α).

2. FT(α± 3π2

) = ±coFT(α).

3. FT(α± π) = ±FT(α).

4. FT(α± 2π) = ±FT(α).

Observacion: El signo depende del cuadrante donde este situado P (α± π2), P (α± 3π

2), P (α±π)

y viene dado por la tabla de los signos de tabla de la seccion 6.4.

6.8. Graficas de funciones asociadas a las funciones

seno y coseno

Recordar que las funciones asociadas a y = sin x e y = cos x son:

y = A sin(Bx + C) e y = A cos(Bx + C)

La idea es obtener, a partir de los graficos conocidos de las funciones y = sin x e y = cos x,los graficos de sus funciones asociadas.



1. Graficos de y = A sinx e y = A cosx.

Los graficos de estas funciones se obtienen simplemente por un estiramiento vertical(cuando |A| > 1) o una contraccion vertical (cuando |A| < 1) de las graficas basicas.Recordar que cuando A < 0, se debe hacer una reflexion en torno al eje de las X.

En este caso, el periodo de las funciones relacionadas se mantiene (2π) y su recorrido esamplificado por |A|. Este factor representa la maxima desviacion de la grafica respectoal eje X y recibe el nombre de amplitud.

2. Graficos de y = A sinBx e y = A cosBx, con B > 0. (∗)

La amplitud de esta funciones relacionadas es |A| y su periodo es2π

B.

Cuando 0 < B < 1, la curva basica se estira horizontalmente y cuando B > 1 secontrae horizontalmente.

Grafico de y = 3 sin(2x) a partir del grafico de y = 3 sin(x)

3. Graficos de y = A sin(Bx + C) e y = A cos(Bx + C), con B > 0.

La amplitud de esta funciones relacionadas es |A| y su periodo es2π

B.



Estas curvas tienen una traslacion horizontal, con respecto a (∗) (llamada cambio defase) igual a:∣∣∣∣CB

∣∣∣∣ unidades hacia la derecha cuandoC

B< 0.

C

Bunidades hacia la izquierda cuando

C

B> 0.

Grafico de y = 3 sin(2x + 2) a partir del grafico de y = 3 sin(2x)

Notas:

1. En general, para obtener el grafico de y = A sin(Bx + C), a partir del grafico dey = sin x, se procede de la siguiente manera:

Del grafico de y = sin x se obtiene, por cambio de amplitud, el grafico de

y = A sin x

Del grafico de y = A sin x se obtiene, por cambio de perıodo, el grafico de

y = A sin(Bx)

Del grafico de y = A sin(Bx) se obtiene, por cambio de fase, el grafico de

y = A sin(Bx + C) = A sin(B(x + C/A))

2. Del mismo modo se procede para obtener el grafico de y = A cos(Bx +C), a partir delgrafico de y = cos x.



Ejemplo: Para obtener el grafico de y = 3 cos(2x− π), se procede de la siguiente manera:

Paso 1: Graficar y = cos x:

Grafico de y = cos x

Paso 2: Graficar y = 3 cos x. Para ello, se cambia la amplitud de la funcion anterior. Laamplitud de y = 3 cos x es igual a 3.

Grafico de y = 3 cos x

Paso 3: Graficar y = 3 cos(2x). Para ello, se modifica el perıodo de la funcion anterior. Elperıodo de y = 3 cos(2x) es igual a 2π

B= π.

Grafico de y = 3 cos(2x)



Paso 4: Graficar y = 3 cos(2x − pi). Para ello, se aplica el cambio de fase a la funcionanterior. El cambio de fase es igual a C

B= π/2.

Grafico de y = 3 cos(2x− π)

6.9. Funciones trigonometricas inversas.

6.9.1. Definiciones

Si x = sin y entonces y = arcsin x es la relacion inversa. En general:

1. sin y1 = x1, (−1 6 x1 6 1) =⇒ arcsin x1 = (−1)ny1 + nπ, n ∈ Z.

2. cos y1 = x1, (−1 6 x1 6 1) =⇒ arc cos x1 = (−1)ny1 + 2nπ, n ∈ Z.

3. tan y1 = x1, (x1 ∈ R) =⇒ arctan x1 = y1 + nπ, n ∈ Z.

Con el fin de que las relaciones trigonometricas inversas sean funciones se restringen losdominios del siguiente modo:

sin : [−π2, π

2] −→ [−1, 1].

cos : [0, π] −→ [−1, 1].tan : ]− π

2, π

2[ −→ R.

es decir,

−π2

6 arcsin x 6 π2.

0 6 arc cos x 6 π.−π

2< arctan x < π

2.

Por lo tanto, las funciones trigonometricas inversas estan definidas por:



arcsin : [−1, 1] −→ [−π2, π

2]

x −→ y = arcsin x

arc cos : [−1, 1] −→ [0, π]x −→ y = arc cos x

arctan : R −→ ]− π2, π

2[

x −→ y = arctan x

y=arcsin x y=arccos x y=arctan x

6.9.2. Propiedades

y = arcsin x ⇐⇒ sin y = x

y = arc cos x ⇐⇒ cos y = x

y = arctan x ⇐⇒ tan y = x

sin(arcsin(x)) = x, para −1 6 x 6 1.

arcsin(sin(x)) = x, para −π/2 6 x 6 π/2.

cos(arc cos(x)) = x, para −1 6 x 6 1.

arc cos(cos(x)) = x, para 0 6 x 6 π.

tan(arctan(x)) = x, para x en R

arctan(tan(x)) = x, para −π/2 < x < π/2.


Capıtulo 6: Funciones trigonometricas Ejemplos

6.10. Ejemplos

1. Usando las identidades basicas de las funciones trigonometricas, simplificar la siguienteexpresion:

sec(x) + tan(x)

sec(x) + tan(x)− cos(x)

Solucion

sec(x) + tan(x)

sec(x) + tan(x)− cos(x)=

1cos(x)

+ sin(x)cos(x)

1cos(x)

+ sin(x)cos(x)

− cos(x)

=

1+sin(x)cos(x)

1+sin(x)−cos2(x)cos(x)

=1 + sin(x)

1 + sin(x)− cos2(x)

=1 + sin(x)

1− cos2(x)︸︷︷︸+ sin(x)

=1 + sin(x)

sin2(x)︸︷︷︸+ sin(x)

=1 + sin(x)

sin(x)[1 + sin(x)]

=1

sin(x)

= csc(x)

2. Expresar en funcion de sin A, cada una de la 5 funciones trigonometricas de A.

Solucion:

csc A =1

sin A

sin2 A + cos2 A = 1 ⇒ cos A = ±√

1− sin2 A

sec A =1

cos A⇒ sec A = ± 1√

1− sin2 A



tan A =sin A

cos A⇒ tan A = ± sin A√

1− sin2 A

cot A =cos A

sin A⇒ cot A = ±

√1− sin2 A

sin A

3. Sabiendo que tan α = 12

y sin α < 0, determinar los valores de las restantes 5 funcionestrigonometricas.

Solucion.

Como tan α > 0, α puede estar en el primer o tercer cuadrante, ademas comosin α < 0 , α puede estar en el tercer o cuarto cuadrante.

Por lo tanto, α esta en el tercer cuadrante.

Ahora bien.

a) cot α =1

tan α= 2.

b) De la relacion 1 + tan2 α = sec2 α

se tiene sec α = ±√

1 + tan2 α = ±√

1 + 14

= ±√

52

.

y como α esta en el tercer cuadrante: sec α = −√

5

2

c) cos α =1

sec α= − 2√

5.

d) De la relacion 1 + cot2 α = csc2 αSe tiene csc α = ±

√1 + cot2 α = ±

√1 + 22 = ±

√5 y como α esta en el tercer

cuadrante: csc α = −√

5.

e) sin α =1

csc α= − 1√

5.

4. Dado que tan α = 2,05 y cos α < 0, encontrar α sabiendo que 0 < α < 2π.

Solucion:

Como tan α > 0 y cos α < 0, α esta en el tercer cuadrante. Usando la calculadora, setiene que α = arctan 2,05 = 1,117 rad.

Por lo tanto, α = π + 1,117 = 4,258 rad

5. Sabiendo que tan(x) = 3 y sin(x) < 0. Calcular el valor de:

sin(x)[cos(x) + sec(x)]



Solucion: Como tan(x) es positivo, el punto terminal del arco de longitud x, P (x), seencuentra en el primer o tercer cuadrante.

Como sin(x) es negativo, el punto terminal del arco de longitud x, P (x), se encuentraen el tercer o cuarto cuadrante.

Por lo tanto, P (x) se encuentra en el tercer cuadrante (∗).Ahora bien:

sec(x) = ±√

1 + tan2(x) = ±√

1 + 32 = ±√

10. Por (∗), sec(x) = −√

10

cos(x) =1

sec(x)=

1

−√

10= −

√10

10

sin(x) = ±√

1− cos2(x) = ±√

1− 1

10= ±

√9

10= ± 3√

10.

Por (∗), sin(x) = − 3√10

Por lo tanto:

sin(x)[cos(x) + sec(x)] = − 3√10

[−√

10

10−√

10

]= − 3√

10

[−11

√10

10

]=

33

10

6. Usando las formulas de reduccion, escribir en terminos de x las siguientes expresiones:

a) csc(3π2

+ x) b) tan(π + x) c) − cos(π2

+ x)

Solucion:

a) csc(3π2

+ x) = − sec(x)

b) tan(π + x) = tan(x)

c) − cos(π2

+ x) = −[− sin(x)] = sin(x)

7. En el siguiente grafico:



El punto Q tiene coordenadas (2, 3). La recta que pasa por el origen intersecta al circulotrigonometrico en el punto P . El arco AP mide x. Determinar todas las funcionestrigonometricas de x.

Solucion: El primer objetivo es encontrar las coordenadas del punto P , pues suscoordenadas son (cos x, sin x).

Para ello, encontremos la ecuacion de la recta L que pasa por el origen (0, 0) y Q =(2, 3). Se tiene que mL = 3

2. Luego la ecuacion de L es y = 3

2x.

Para encontrar las coordenadas de P , se deben buscar los puntos de interseccion entreL y el circulo trigonometrico. Para ello se resuelve el siguiente sistema:

x2 + y2 = 1y = 3

2x

Resolviendo este sistema se obtiene que P =

(2√13

,3√13

)Por lo tanto:

sin(x) =3√13

cos(x) =2√13

tan(x) =sin(x)

cos(x)=

3

2

csc(x) =1

sin(x)=

√13

3sec(x) =

1

cos(x)=

√13

2cot(x) =

1

tan(x)=

2

3

8. Encontrar todos los valores de x, entre 0 y 2π tales que:

2 cos(2x) + 0,5 = 0,2

Solucion:

2 cos(2x) + 0,5 = 0,2

2 cos(2x) = 0,2− 0,5

2 cos(2x) = −0,3

cos(2x) = −0,3

2= −0,15

2x = arc cos(−0,15)

2x = 1,72; / 2π − 1,72 ≈ 4,56; / 2π + 1,72 ≈ 8,00 / 4π − 1,72 ≈ 10,84

x ≈ 0,86; / 2,28; / 4,00 / 5,42



9. Establecer la amplitud, periodo, cambio de fase y obtener un esbozo de su grafico,para cada una de las siguientes funciones asociadas a las funciones sen y cos: a)

y =1

2sin

(x

2

)b) y = −3

4sin(2x + 4π)

Solucion:

a) Amplitud= |A| = 1

2, Periodo=

2π

B=

2π

1/2= 4, No tiene cambio de fase.

b) Amplitud= |A| = | − 34| = 3

4, Periodo=

2π

B=

2π

2= π, Cambio de fase =

C

B=

4π

2= 2π

Grafico de y = −3

4sin(2x + 4π) Grafico de y =

1

2sin

(x

2

)

10. Dada la ecuacion tan x = x. Se pide:

a) Comprobar que x = 1,43π es, aproximadamente, una raız.

b) Verificar que si a es una raız, −a tambien los es.

c) Graficar en un mismo sistema de coordenadas las funciones y = tan x e y = x. Deeste grafico, obtener otras raıces.

Solucion:

a) tan 1,43π = tan 4,49 = 4,47.

b) Si a es una raız de la ecuacion, entonces tan a = a. Ahora bien, tan(a) = a ⇒− tan a = −a ⇒ tan(−a) = −a. Por lo tanto −a tambien es raız.

c) El grafico es:



Por inspeccion del grafico se obtiene que, por ejemplo, x = 0 y x = 7,75 son otrasraıces.

11. El siguiente grafico corresponde a una funcion del tipo y = f(x) = a sin(bx + c):

a) Por inspeccion del grafico determinar su amplitud, perıodo y desplazamiento defase. Fundamentar detalladamente los valores encontrados.

b) En base a los valores encontrados, proponer una formula para y = f(x).

Solucion:

a) Amplitud: Claramente la amplitud es 3.

Perıodo: Como el grafico entre 0 y 2 se repite, el perıodo de esta funcion es 2.

Cambio de fase: Observando el grafico se deduce que el cambio de fase es 1(a la derecha o la izquierda).

b) Como la amplitud es 3, se tiene que a = 3.

Como perıodo=2π

b= 2, se tiene que b = π



Como cambio de fase=c

b=

c

π= 1. se tiene que c = π

Por lo tanto la funcion graficada es: y = f(x) = 3 sin(πx + π)

12. La marea en una playa subio a media noche. El nivel del agua durante la marea alta fuede 9.9 pies, mas tarde, en la marea baja, fue de 0,1 pies. Suponiendo que la siguientemarea alta fuera exactamente 12 horas despues y que la altura del agua esta dada poruna curva de seno o coseno. Hallar una funcion del tipo

y = g(x) = A cos(Bt) + C

para modelar el nivel del agua como funcion del tiempo.

Solucion:

En el modelo propuesto, A es la amplitud, 2πB

es el periodo y C indica el corrimientovertical.

Primero se determina la amplitud y el periodo y luego se hara un esquema del enunciadopara poder determinar la funcion que se pide.

Amplitud= A =Valor maximo− Valor minimo

2=

9,9− 0,1

2= 4,9

Periodo =2π

B⇒ B =

2π

12=

π

6

Luego, sin considerar aun el termino C, la funcion (parcial) es:

y = 4,9 cos

(π

6t

)cuyo grafico es:

Como el punto mas bajo de esta curva es −4,9 y la curva buscada debe tener un mınimode 0,1, se tiene que el termino C debe ser igual a 5. Por lo tanto, la funcion que modelael nivel del agua en funcion del tiempo es:

y = g(t) = 4,9 cos

(π

6t

)+ 5



cuyo grafico es:

13. En cierta ciudad la funcion que representa (aproximadamente) la temperatura prome-dio en la semana x de un ano viene dada por:

y = T (x) = 15 sin(πx

24

)+ 5

donde y esta expresado en grados Celcius y x varıa entre 1 y 48.

Nota: En esta situacion se asume que todo mes tiene 4 semanas.

a) Determinar, aproximadamente, la temperatura promedio en la tercera semana deMayo.

b) ¿En que semana la temperatura promedio es maxima?. ¿Cual es esta temperaturamaxima?

c) Determinar, en caso que existan, las semanas en las cuales la temperatura pro-medio es de 10◦C.

d) Determinar, en caso que existan, las semanas en las cuales la temperatura pro-medio es de 25◦C.

Solucion:

a) La tercera semana de Mayo corresponde a x = 19.

Por lo tanto, la temperatura promedio de esta semana es:

y = T (19) = 15 sin

(π · 19

24

)+ 5 ≈ 14,13142143

Luego, la temperatura promedio en la tercera semana de Mayo es aproximada-mente de 14◦C.



b) La temperatura promedio es maxima cuando sin(πx

24

)es maxima, esto es maximo

cuandoπx

24=

π

2, de donde x = 12. Luego, la temperatura promedio es maxima

en la semana 12, es decir, la ultima semana del mes de Marzo, y como

y = T (12) = 15 sin

(π · 12

24

)+ 5 = 20

el valor de esta temperatura maxima es 20◦C.

c) Sea x la semana en la cual la temperatura promedio es de 10◦C, luego:

15 sin(π · x

24

)+ 5 = 10

15 sin(π · x

24

)= 5

sin(π · x

24

)=

1

3π · x24

= arcsin

(1

3

)π · x24

= 0,34 // π − 0,34 = 2,8

x = 2,6 // 21,4

Por lo tanto, la temperatura promedio es de 10◦C en las semanas 2 y 21 (aproxi-madamente).

d) Sea x la semana en la cual la temperatura promedio es de 25◦C, luego:

15 sin(π · x

24

)+ 5 = 25

15 sin(π · x

24

)= 20

sin(π · x

24

)=

4

3> 1

Como el rango de la funcion sin es el intervalo [−1, 1], esta ecuacion no tienesolucion, y por lo tanto no existe una semana en la cual la temperatura promediosea de 25◦C.


Capıtulo 6: Funciones trigonometricas Ejercicios

6.11. Ejercicios

1. Sea k un numero entero, determinar el valor de sin(kπ) y cos(kπ).

2. Determinar los valores de las seis F.T. para los siguientes valores de x : π2, 3π, 5π

2, y

−11π2

3. Determinar, sin usar calculadora, el signo de la siguiente expresion:

sin 2 · sin 15 · csc(−π8)

csc (−23π8

) · tan (−2, 2) · cot(9π7

)

4. Escribir todas las funciones trigonometricas en terminos de la funcion tangente.

5. Escribir la expresionsin α + tan α

sec α + 1en funcion unicamente de sin α.

6. Comprobar que la longitud de una cuerda (de la circunferencia unitaria) cuyo arcotiene longitud x viene dada por

√2− 2 cos x.

Sugerencia: En la circunferencia unitaria (ver figura siguiente), considerar los puntosA = (1, 0) y P (x) = (cos x, sin x)

7. En la figura anterior, P = P (x) = (cos x, sin x). AR y BT son tangentes a la circunfe-rencia unitaria.

a) ¿Que segmentos corresponden a cos x y sin x?

b) Comprobar que tan x = AR (Sugerencia: Usar triangulos semejantes).



c) Verificar que cot x = BS

d) ¿Que relacion se puede obtener al comparar las areas del triangulo OAP , delsector circular OAP y del triangulo OAR?

8. Determinar el valor de las restantes funciones trigonometricas si:

a) tan α = −13, α en el segundo cuadrante.

b) sin α = 513

, tan α < 0

9. a) Obtener el grafico de la funcion y = f(x) = sin x− cos x

b) Usando el grafico encontrado de f(x) obtener de manera aproximada:

Rec(f)

Las soluciones principales (es decir que estan entre 0 y 2π) de la ecuaciontrigonometrica sin x = cos x.

10. Establecer la amplitud y el periodo de

a) y = 5 cos 3x

b) y = −1

2sin(2πx)

11. Establecer la amplitud, periodo y cambio de fase de

a) y = 3 cos(πx + π/2)

b) y = 3,5 sin(π2(x− 0,5))

12. El espesor, x, de la capa de ozono se puede modelar por la expresion:

ln I0 − ln I = k x sec α

donde:

I0 es la intensidad de una particular longitud de onda de luz solar antes de quellegue a la atmosfera

I es la intensidad de la misma longitud de onda despues de pasar por una capade ozono de xcm de espesor

k es la constante de absorcion de ozono para esa longitud de onda

α es el angulo agudo que la luz solar hace con la vertical



Suponer que para una longitud de onda de 3055 · 10−8cm se tiene que: k = 1,88, I0/Imide 1,72 y α = 12◦. Determinar el espesor de la capa de ozono (aproximado a 2decimales).

13. El bombeo cardiaco consta de una fase sistolica, en la cual la sangre sale del ventrıculoizquierdo hacia la aorta, y de una fase diastolica, durante la que el corazon se relaja.En ocasiones, la funcion cuya grafica se muestra a continuacion sirve para hacer unmodelo de un ciclo completo de este proceso. Para un individuo en particular, la fasesistolica dura 1

4de segundo y tiene un volumen maximo de 8 litros por minuto (l/min).

Hallar a y b.

-

6

t (segundos)

y (l/min)

Fasesistolica

Fasediastolica

0.25

y = a sin bt

14. Para una persona en reposo la velocidad v, en litros por segundo, del aire que fluye enun ciclo respiratorio es

v = 0,85 sin

(πt

3

)donde t se mide en segundos.

a) Graficar la funcion e indicar la porcion del grafico que corresponde a la situacionplanteada.

b) ¿Cual es la velocidad para el tiempo cero?.

c) ¿Para que valor de t la velocidad es de 0, 425 l/seg?.

d) ¿En que instante la velocidad es maxima?.

e) ¿Cual es el valor de esa velocidad maxima?.

f ) ¿Cual es la duracion del ciclo respiratorio?.

15. En cierto dıa de primavera con 12 horas de luz diurna, la intensidad luminosa I tomasu maximo valor de 510 calorıas/cm2 al mediodıa. Si t = 0 corresponde a la salida delsol, hallar un modelo del tipo I = a sin bt que se ajuste a esta informacion.



6.12. Respuestas a los ejercicios

1. sin(kπ) = 0 para k ∈ Z, cos(kπ) = (−1)k para k ∈ Z

2. : sin cos tan csc sec cotanπ/2 1 0 ∃/ 1 ∃/ 03π 0 −1 0 ∃/ −1 ∃/

5π/2 1 0 ∃/ 1 ∃/ 0−11π/2 −1 0 ∃/ −1 ∃/ 0

3. La expresion es positiva

4. sin A = ± tan A√1 + tan2 A

, csc A = ±√

1 + tan2 A

tan A, cos A = ± 1√

1 + tan2 A,

sec A = ±√

1 + tan2 A, cot A =1

tan A

5. sin α

6. Calcular la distancia entre A y P.

7. a) sin x = CP , cos x = OC

c) cot x =OC

PC. Como 4OCP ∼ 4SBD, se tiene que

OC

PC=

BS

OB=

BS

1= BS.

Por lo tanto, cot x = BS

8. a) sin α =1√10

, cos α = − 3√10

, etc.

9. . a) .

Grafico de y = sin x− cos x



10. a) Amplitud: 5, Periodo: 2π/3

11. a) Amplitud: 3, Periodo: 2, Cambio de fase: 1/2 a la izquierda

12. 0,28cm

13. a = 8, b = 4π

14. a) .

Grafico de v = 0,85 sin(πt3) Grafico de acuerdo a la situacion

b) 0

c) t = 0,42seg, t = 2, 58seg

d) t = 1, 5seg

e) 0,85 l/seg.

f ) 3seg.

15. I = 510 sin(πt/24)


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Cap´ıtulo 6 Funciones trigonométricasmatesup.cl/portal/apuntes/mate-kine/08cap6.pdf · 2007-10-27 · Cap´ıtulo 6 Funciones trigonométricas 6.1. Definiciones y fórmulas