Cap´ıtulo3 CampoElétricomacbeth.if.usp.br/~gusev/campo eletrico.pdf · 20 CAPÍTULO 3. CAMPOELETRICO´ definimosocampoelétrico deumadistribui¸cãodecargasnoponto(x,y,z):

Capıtulo 3

Campo Eletrico

3.1 O Campo Eletrico

Suponhamos uma distribuicao de cargas q1, q2,..., qn fixas no espaco, e ve-

jamos nao as forcas que elas exercem ente si, mas apenas os efeitos que

produzem sobre alguma outra carga q0 que seja trazida as suas proximida-

des.

Sabemos que a forca sobre q0 e:

�Fo = Ko

n�

i=1

qoqir2o,iro,i

Assim, se dividirmos→

F 0 por q0 teremos:

�Foqo

= Ko

n�

i=1

qir2o,iro,i (3.1)

uma grandeza vetorial que depende apenas da estrutura do sistema ori-

ginal de cargas q1, q2,..., qn e da posicao do ponto (x,y,z). Chamamos essa

funcao vetorial de x,y e z de campo eletrico criado por q1, q2,..., qn e usa-

mos o sımbolo→

E . As cargas sao chamadas fontes do campo. Desta forma

19

20 CAPITULO 3. CAMPO ELETRICO

definimos o campo eletrico de uma distribuicao de cargas no ponto (x,y,z):

�E(x, y, z) = Ko

n�

i=1

qir2o,iro,i (3.2)

�Fo = qo �E (3.3)

Note que utilizamos como condicao que as cargas fontes do campo es-

tavam fixas, ou seja, que colocar a carga q0 no espaco nao perturbara as

posicoes ou movimento de todas as outras cargas responsaveis pelos campos.

Muitas pessoas, as vezes, definem o campo impondo a q0 a condicao de

ser uma carga infinitesimal e tomando→

E como: limqo→0

�Fqo

Cuidado! Na realidade este rigor matematico e falso. Lembre-se que no

mundo real nao ha carga menor que e!

Se considerarmos a Equacao 3.2 como definicao de→

E , sem referencia

a uma carga de prova, nao surge problema algum e as fontes nao precisam

ser fixas. Casa a introducao de uma nova carga cause deslocamento das

cargas fontes, entao ela realmente produzira modificacoes no campo eletrico

e se quisermos prever a forca sobre a nova carga, devemos utilizar o campo

eletrico para calcula-la.

Conceito de campo: um campo e qualquer quantidade fısica que pos-

sue valores diferentes em pontos diferentes no espaco. Temperatura, por

exemplo, e um campo. Nesse caso um campo escalar, o qual nos escrevemos

como T(x,y,z). A temperatura poderia tambem variar com o tempo, e nos

poderıamos dizer que a temperatura e um campo dependente do tempo e

escrever T(x,y,z,t). Outro exemplo e o campo de velocidade de um lıquido

fluindo. Nos escrevemos→

v =(x,y,z,t) para a velocidade do lıquido para cada

ponto no espaco no tempo t. esse e um campo vetorial. Existem varias ideias

criadas com a finalidade de ajudar a visualizar o comportamento dos campos.

A mais correta e tambem a mais abstrata: nos simplesmente considerarmos

os campos como funcoes matematicas da posicao e tempo.

3.2. DISTRIBUICOES CONTINUAS DE CARGA 21

O campo e uma grandeza vetorial e na unidade no SI eN

C(Newton/Coulumb).

Se tivermos somente uma carga:

�E =Koq

r2r

Observacao 3.1. Campo eletrico e radial e cai com a distancia ao quadrado

O Princıpio da superposicao tambem e aplicado para os campos eletricos,

ou seja, o campo eletrico resultante em um ponto P qualquer sera a soma

dos campos eletricos que cada uma das cargas do sistema gera nesse ponto.

�E = �E1 + �E2 + ...+ �En

3.2 Distribuicoes Contınuas de Carga

Figura 3.1: Distribuicoes contınuas de carga

Usando o Princıpio da Superposicao: �E =�d �E =Ko

�dq

r2r

3.2.1 Tipos de Distribuicoes:

a) linear: carga distribuıda ao longo de um comprimento (ex: fio, barra,

anel).

Densidade linear de carga = λ =dq

dldq = λdl


�E = Ko

�λdlr2r

b) superficial: carga distribuıda ao longo de uma superfıcie(ex: disco,placa).

Densidade superficial de carga = σ =dq

dsdq = λds

�E = Ko

�σdsr2r

c) volumetrica: carga distribuıda no interior de um volume(ex: esfera,

cubo, cilindro).

Densidade volumetrica de carga = ρ =dq

dvdq = ρdv

�E = Ko

�ρdv

r2r

Exercıcio 3.1. Determinar o campo eletrico no ponto P.

Figura 3.2: Determinacao do campo no ponto P

Resolucao. Se tomarmos limite quando b>>L temos:�� EP

�� = KoλL

b2= KoQ

b2NC

= carga pontual


Colocando uma carga q no ponto P, a forca e dada por:

�F = q �EP = qKo

λL

b(b− L)iN

Quando lim b >> L temos:

�F = Ko

qQ

b2i = forca de Coulomb entre duas cargas pontuais q e Q

Observacao 3.2. So funciona para materias isolantes. Com os metais terıamos

uma redistribuicao de carga no condutor quando a presenca da carga q.

Exercıcio 3.2. Determinar o campo eletrico no ponto P.

Figura 3.3: Determinacao do campo no ponto P


Exercıcio 3.3. Calcular o campo eletrico a uma distancia z de um anel de

raio R

Figura 3.4: Anel de raio R

Resolucao.

��r� = z2 +R2 dl = Rdθ

dEz = dE cosα =λRdθ

z2 +R2

z√z2 +R2

Por simetria so teremos componente na direcao z.

�E = k0

2π�

0

z√z2 +R2

λRdθ

z2 +R2k ⇒ �E = k0

zRλ2π

(z2 +R2)3

2

k

�E =2πk0λRz

(z2 +R2)3

2

k

�N

C

�

=Qzλ

(z2 +R2)3

2

k

Analisando os limites R →∞ e z >> R:


z >> R : E =2πλRk0z

z3=k0Q

z2= carga puntual

R→∞:E→ 0, com1

R3se Q for fixa

com1

R3se λ constante

Exercıcio 3.4. Calcular o campo eletrico a uma distancia z de um disco

com densidade de carga σ.

Figura 3.5: Anel de raio R

Resolucao. Pela simetria so temos componente na direcao z.


ds = rdθdr

dEz = dE cosα = dEz

√r2 + z2

Ez = k0

2π�

0

R�

0

zσrdθdr√r2 + z2 (r2 + z2)

= k0zσ2π

R�

0

rdr

(r2 + z2)3

2

r2 + z2 = u du = 2rdr

Ez = k0zσ2π

R2+z2�

z2

du

(u)3

2

= k0zσπu−1

2

−1

2

��

R2+z2

z2

Ez = −k0zσ2π

�1

√R2 + z2

−1

|z|

�

= 2πk0σ

�z

|z|−

z√R2 + z2

�

Analisando os limites:

z << R : Ez =σ

2ε0

z

|z|

�E =

σ

2ε0, z > 0

−σ

2ε0, z < 0

z >> R :

1−z

√z2 +R2

= 1 +

�

1 +R2

z2

�−

1

2

= 1−

�

1−1

2

R2

z2+ ...

�

≈1

2

R2

z2

⇒ Ez =σ

2ε0

R2

2z2=σπR2

4πε0z2=

Q

4πε0z2


Ez =

σ

2ε0

�

1−z

√z2 +R2

�

, z > 0

σ

2ε0

�

−1−z

√z2 +R2

�

, z < 0

Fazendo os graficos:

z << R

Figura 3.6: Grafico para z << R

z >> R

Figura 3.7: Grafico para z >> R


3.3 Linhas de Forcas

Os esquemas mais utilizados para a representacao e visualizacao de um campo

eletrico sao:

a) Uso de vetores associamos um vetor a cada ponto do espaco

Figura 3.8: Linhas de forca-vetores

Quando q > 0 o campo e divergente.

Simples campo radial proporcional ao inverso do quadrado da distancia.

b) Desenhar as linhas de campo:

Linhas de forca de um campo, ou simplesmente linhas de campo sao retas

ou curvas imaginarias desenhadas numa regiao do espaco, de tal modo que, a

tangente em cada ponto fornece a direcao e o sentido do vetor campo eletrico

resultante naquele ponto.

As linhas de campo fornecem a direcao e o sentido, mas nao o modulo. No

entanto, e possıvel ter uma ideia qualitativa do modulo analisando as linhas.

A magnitude do campo e indicada pela densidade de linhas de campo.

Exemplo 3.1. carga puntual +q

Atencao: o desenho esta definido em duas dimensoes, mas na realidade

representa as tres dimensoes.

3.3. LINHAS DE FORCAS 29

Figura 3.9: Linhas de forca de um campo

Figura 3.10: Carga pontual + q

Se considerassemos duas dimensoes, a densidade de linhas que passam

atraves de uma circunferencia seria igual a

n

2πr

, o que faria com que

E ∝1

r

Caso 3D a densidade seria igual a

n

4πr2

e

E ∝1

r2


, o que e correto.

Existem algumas regras para desenhar as linhas:

1) As linhas de campo nunca se cruzam. Caso contrario, terıamos dois

sentidos diferentes para o campo no mesmo ponto. Isto nao faz sentido pois

o campo que elas significam e sempre o resultante.

2) As linhas de campo comecam na carga positiva e terminam na carga

negativa, ou no infinito.

3) O numero de linhas e proporcional ao modulo das cargas.

Q1

Q2

=n1

n2

Figura 3.11: Linhas de Campo

Exemplo 3.2.

3.4 Fluxo

Consideremos uma regiao no espaco, onde existe um campo eletrico como na

figura abaixo:

Uma superfıcie de area A perpendicular a direcao de E.

O fluxo atraves desta superfıcie e: f = EA

3.4. FLUXO 31

Figura 3.12: Fluxo na area A

Se esta superfıcie estiver na mesma direcao de

�E��a⊥ �E

�


Se esta superfıcie estiver inclinada em relacao as linhas de campo em um

angulo θ

Considere agora, uma superfıcie fechada qualquer. Divida a superfıcie em

pedacinhos, de tal forma que cada um possa ser considerado plano e o vetor



campo nao varie apreciavelmente sobre um trecho.

Nao deixe que a superfıcie seja muito rugosa nem que essa passe por uma

singularidade. (ex: carga puntiforme)

Figura 3.15: Superfıcie

A area de cada trecho tem certo valor e cada uma define univocamente

uma direcao e sentido, a normal a superfıcie orientada para fora. Para cada

trecho, temos um vetor→

a j que define sua area e orientacao.

3.5. LEI DE GAUSS 33

O fluxo atraves desse pedaco de superfıcie e dado por: Φ =→

Ej .→

a j

E o fluxo atraves de toda a superfıcie: Φ =�

j

→

Ej .→

a j

Tornando os trechos menores, temos: Φ =� →

E .d→

a em toda a superfıcie

3.5 Lei de Gauss

Tomemos o caso mais simples possıvel: o campo de uma unica carga punti-

forme. Qual e o fluxo Φ atraves de uma esfera de raio r centrada em q?

Figura 3.16: Fluxo devido a uma carga puntiforme


�E = k0

q

r2r

d�a = r2senθdθdϕr

Φ =

�

s

�E · d�a =

��

�

s

k0

q

r2r2senθdθdϕr

= k0q

π�

0

2π�

0

senθdθdϕ =

= 4πk0q =4πq

4πε0=q

ε0

Ou simplesmente:

E × area total = k0

q

r24πr2 =

q

ε0

Portanto o fluxo nao depende do tamanho da superfıcie gaussiana.

Agora imagine uma segunda superfıcie, ou balao, mas nao esferica envol-

vendo a superfıcie anterior. O fluxo atraves desta superfıcie e o mesmo do

que atraves da esfera.

Figura 3.17: Fluxo devido a uma carga puntiforme

3.5. LEI DE GAUSS 35

Para ver isto podemos considerar a definicao de linhas de campo:

O numero de linhas que atravessam as duas superfıcies e o mesmo.

Ou entao podemos considerar um cone com vertice em q.

Figura 3.18: Comparacao de fluxos

O fluxo de um campo eletrico atraves de qualquer superfıcie que envolve

uma carga puntiforme eq

εo

Corolario 3.1. Fluxo atraves de uma superfıcie fechada e nulo quando a carga

e externa a superfıcie.

O fluxo atraves de uma superfıcie fechada deve ser independente do seu

tamanho e forma se a carga interna nao variar.

Superposicao:

Considere um certo numero de fontes q1, q2, ..., qn e os campos de cada

uma�E1, �E2, ..., �En

O fluxo Φ , atraves de uma superfıcie fechada S, do campo total pode ser

escrito:


Φ =

�

S

�E · d�s =

�

S

( �E1 + �E2 + ...+ �En)·d�s

�

S

�Ei · d�s =qiε0⇒ Φ =

q1 + q2 + ...+ qnε0

=qint

ε0

LEI DE GAUSS:

O fluxo do campo eletrico→

E atraves de qualquer superfıcie fechada e igual

a carga interna dividida por �0 .

�

S

�Ei · d�s =qint

ε0

Pergunta: A lei de Gauss seria valida se

�� E

�� ∝

1

r3

?

Nao, pois:

Φ = �E · �A = EAtotal = k0

q

r34πr2 =

q

ε0r

Por meio da lei de Gauss e possıvel calcular a carga existente numa regiao

dado um campo. Esta lei simplifica problemas complicados, porem limitados

a sistemas que possuem alta simetria.

3.5.1 Aplicando A Lei De Gauss:

1) Identifique as regioes para as quais E deve ser calculado.

2) Escolha superfıcies gaussianas observando a simetria do problema,

preferencialmente com E perpendicular e constante ou→

E paralelo.

3) Calcule

Φ =

�

S

�Ei · d�s

3.6. APLICACOES DA LEI DE GAUSS 37

4) Calcule qint

5) Aplique a Lei de Gauss para obter→

E

Figura 3.19: Simetrias mais comuns

3.6 Aplicacoes da Lei de Gauss

E essencial que a distribuicao tenha elemento de simetria (plana, axial,

esferica) de tal forma que se possa exprimir o fluxo tatalo atraves de uma

superfıcie gaussiana fechada judiciosamente escolhida para aproveitar a sime-

tria, em termos de magnitude do campo, a mesma em qualquer ponto desta

superfıcie.

Plano Uniformemente Carregado

Fio Cilındrico de densidade linear λ

Casca Esferica

O campo eletrico externo a camada e o mesmo que se toda a carga da

esfera estivesse concentrada no seu centro.

CAMPO ELETRICO NA SUPERFICIE DE UM CONDUTOR

A carga pode deslocar-se livremente no interior de um meio condutor.

No equilıbrio nao pode haver cargas no interior do condutor, pois as cargas

se deslocariam sob a acao do campo, rompendo o equilıbrio estatico. So e

possıvel ter componente do campo normal a superfıcie.


Figura 3.20: Plano Uniformemente Carregado

Figura 3.21: Fio Cilındrico de densidade linear λ

3.7 Divergencia de um vetor e Equacao de

Poisson

A lei de Gauss e um indicador global de presenca de cargas:

Φ =

�

S

�E · d�s =qint

ε0

3.7. DIVERGENCIA DE UM VETOR E EQUACAO DE POISSON 39

Figura 3.22: Casca esferica

Queremos agora achar um indicador local que analise a presenca de fontes

num ponto P.

Considere um ponto P:

Vamos colocar uma gaussiana ∆Σ de volume infinitesimal ∆V, a carga

dentro deste volume e ρ∆V, entao:

Φ∆Σ =

�

∆Σ

�E.d�s =qint

ε0=

�

V

ρ∆V

ε0⇒

1

∆V

��E.d�s =

1

∆V

�

V

ρ∆V

ε0

lim∆V→0

1

∆V

�

∆Σ

�E.d�s =ρ(P )

ε0(3.4)

Este limite caracteriza que a densidade de fontes do campo em P inde-

pende de ∆Σ e e uma caracterıstica local do campo.

Para um vetor qualquer, definimos a divergencia como sendo:

div�v(P ) = �∇.�v = lim∆V→0

1

∆V

�

�v.d�s

onde ∆V e um volume arbitrario que envolve o ponto P e d→

s (elemento

orientado de superfıcie).

De acordo com a Equacao 3.4


Figura 3.23: Esquema para aplicacao da Lei de Gauss


Figura 3.24: Continuacao

Figura 3.25: Gaussiana e volume infinitesimal

�∇. �E =ρ

εo

Equacao de Poisson ou a forma local da Lei de Gauss

O divergente de→

E num ponto P e o fluxo para fora de→

E por unidade de

volume nas vizinhancas do ponto P.

Mas sempre que for calcular o divergente nos temos que calcular pela

definicao?


Figura 3.26: Paralelepıpedo infinitesimal

�∇.�v = lim∆V→0

1

∆V

�

�v.d�s

Nao. Vamos ver a forma do�∇.�v

em coordenadas cartesianas:

Segundo a definicao ∆V e qualquer. Vamos considerar um paralelepıpedo

de lados ∆x, ∆y e ∆z centrado no ponto P (x,y,z).

Vamos calcular o fluxo de→

v na face 2:

vx(2).∆y.∆z


Fluxo→

v na face 1:

−vx(1).∆y.∆z

Observe que vx(2) �= vx(1)

vx(2) = vx(x+1

2∆x, y, z) = vx(x+ y + z) +

1

2

∂vx∂x

∆x

vx(1) = vx(x−1

2∆x, y, z) = vx(x+ y + z)−

1

2

∂vx∂x

∆x

Fluxo sobre 1 e 2:

�fluxos =

∂vx∂x

∆x∆y∆z

Da mesma forma se considerarmos as outras faces:

Φtotal =�∂vx

∂x+ ∂vy

∂y+ ∂vz

∂z

�∆x∆y∆z

Φtotal =�∂vx

∂x+ ∂vy

∂y+ ∂vz

∂z

�∆V

Φtotal = ∂��v • d�s =

�∂vx

∂x+ ∂vy

∂y+ ∂vz

∂z

�∆V

Superfıcie infinitesimal = ∆Σ

�∇�v =∂vx∂x

+∂vy∂y

+∂vz∂z

Por outro lado se somarmos para todos os elementos:

�∇�v∆V =

�

V

�∇�vdV

Ao somarmos os fluxos sobre todos os elementos notamos que contri-

buicoes as superfıcies internas sao iguais a zero.


�

i

�

∆P

i

�vd�s =

�

S

�vd�s

�

V

�∇�vdV =

�

S

�vd�s

Vimos que a definicao de divergente e:

div�v(P ) = �∇.�v = lim∆Vi→0

1

Vi

�

Si

�v.d�si

sendo→

v um campo vetorial qualquer, Vi e o volume que inclui o ponto

em questao e Si a superfıcie que envolve este volume Vi.

Significado de→

∇ .→

v :

a) Fluxo por unidade de volume que sai de Vi no caso limite de Vi infi-

nitesimo;

b) Densidade de fluxo desse valor atraves da regiao;

c) Grandeza escalar que pode variar de ponto para ponto.

3.8 Teorema de Gauss e forma diferencial da

Lei de Gauss

Φ =

�

S

�Fd�s =n�

i=1

�

Si

�Fd�si =n�

i=1

∆Vi

�

Si

�Fd�si

∆Vi

Fazendo limN→∞

e Vi −→ 0

�

S

�Fd�s =

�

V

�∇�FdV

Teorema de Gauss ou Teorema de Divergencia

Ja tınhamos visto a equacao de Poisson:

3.8. TEOREMADEGAUSS E FORMADIFERENCIAL DA LEI DE GAUSS45

�∇. �E =ρ

εo

Vamos usar o teorema da divergencia para chegar neste resultado:

�

s

�Ed�s =

�

V

ρdV

ε0

Pelo teorema da divergencia:

�

s

�Ed�s =

�

V

�∇ �EdV =1

ε0

�

V

ρdV

Como o volume e qualquer, temos:

�∇. �E =ρ

εo

sendo a relacao local entre densidade de carga e campo eletrico

O DIVERGENTE EM COORDENADAS CARTESIANAS:

Figura 3.27: Divergente


�F = Fxi+ Fy j + Fzk

�∇�F = limVi→0

1

Vi

�

si

�Fd�si

Queremos saber o→

∇ .→

F no ponto P

Sabemos que:

∂Fy∂y

=Fy(x, y +∆y, z)− Fy(x, y, z)

∆y

Fy(x, y +∆y/2, z) = Fy(x, y, z) +∂Fy∂y

∆y

2

Fluxo por 2:

�F �A = Fy(x, y +∆y/2, z)∆x∆z =

�

Fy(x, y, z) +∂Fy∂y

∆y

2

�

∆x∆z

Fluxo por 1:

�F �A = −Fy(x, y −∆y/2, z)∆x∆z = −

�

Fy(x, y, z)−∂Fy∂y

∆y

2

�

∆x∆z

Somando fluxo 1 + fluxo 2:

∂Fy∂y

∆x∆y∆


∂Fx∂x

∆x∆y∆z



∂Fz∂z

∆x∆y∆z

Figura 3.28: Superfıcies consideradas

Fluxo total que sai do volume Vi

�∂Fx∂x

+∂Fy∂y

+∂Fz∂z

�

∆x∆y∆z

�∇�F = lim∆Vi→0

1

∆Vi

�∂Fx∂x

+∂Fy∂y

+∂Fz∂z

�

∆Vi =∂Fx∂x

+∂Fy∂y

+∂Fz∂z

�F = Fxi+ Fy j + Fzk

Operador nabla: �∇ =∂

∂xi+

∂

∂yj +

∂

∂zk

Em coordenadas esfericas: (r,θ,ϕ):

�∇�F =1

r2∂

∂r(r2Fr) +

1

rsenθ

∂

∂θ(senθFθ) +

1

rsenθ

∂Fϕ∂ϕ

Em coordenadas cilındricas: (r,ϕ,z):

�∇�F =1

r

∂

∂r(rFr) +

1

ρ

∂Fϕ∂ϕ

+∂Fz∂z


Exemplo 3.3. Seja um cilindro com densidade volumetrica de cargas posi-

tivas uniforme.

Figura 3.29: Cilindro com densidade volumetrica de cargas uniforme

Resolucao.

E2πrL =ρπr2L

ε0↔ E2πrL =

ρπa2L

ε0

−→E =

ρr

2ε0r (r < a)↔ E2πrL =

ρπa2L

ε0

�∇ �E (r < a) =1

r

∂

∂r(rEr) =

1

r

∂

∂r

�

rρr

2ε0

�

�∇ �E =ρ

ε0

�∇ �E (r > a) =1

r

∂

∂r(rEr) =

1

r

∂

∂r

�

rρa2

2ε0r

�

�∇ �E = 0


O divergente do campo so e diferente de zero onde ha carga!

CARGA PONTIFORME

�E =1

4πε0

q

r2r

�∇ �E =q

4πε0

1

r2∂

∂r(r2Er) = 0 , r �= 0

Nao faz sentido calcular o campo em cima dela mesma (a carga), ja que

ela gera o campo.


Documents

Cap´ıtulo3 CampoElétricomacbeth.if.usp.br/~gusev/campo eletrico.pdf · 20 CAPÍTULO 3. CAMPOELETRICO´ definimosocampoelétrico deumadistribui¸cãodecargasnoponto(x,y,z):