Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare · Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare Daniel N.Pop ULBs

Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare

Daniel N.Pop

ULBs

Noiembrie 2015

Daniel N.Pop (ULBs) Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare Noiembrie 2015 1 / 51

Continut

1 Caracteristici numerice ale VACaracteristici numerice ale VA discreteValoare medieMomenteCaracteristici numerice ale VA continueSuma si produsulProprietati ale valorii mediiInegalitatea lui CebısevCorelatieMod, asimetrie, exces, mediana, cuantile

2 Functia caracteristica


Caracteristici numerice ale VA

Variabilele aleatoare sunt complet caracterizate prin functiile lor derepartitie.

Cu toate acestea de multe ori este necesara o prezentare mai sumaraa variabilelor aleatoare sau nu avem suficienta informatie pentru ocaracterizare completa a lor.

In astfel de situatii, un rol deosebit ıl au caracteristicile numericeasociate unor variabile aleatoare.


Valoare medie I

Definitie 1

Fie X o variabila aleatoare discreta care ia valorile xn(n ∈ N) cuprobabilitatile pn = P(X = xn). Daca seria ∑

∞n=1 pnxn este absolut

convergenta, atunci expresia

M(X ) =∞

∑n=1

pnxn

se numeste valoare medie sau speranta matematica a variabileialeatoare X .

Proprietati.

1 Fie X si Y doua variabile aleatoare discrete. Daca exista M(X ) siM(Y ), atunci exista si M(X + Y ) si M(X + Y ) = M(X ) +M(Y ).


Valoare medie II

2 Fie X o variabila aleatoare si c o constanta. Daca exista M(X ),atunci exista si M(cX ) si M(cX ) = cM(X ).

3 (Generalizare) Daca Xi , i = 1, n sunt variabile aleatoare,ci ∈ R, i = 1, n si exista M(Xi ), i = 1, n, atunci existaM(∑n

i=1 ciXi ) si

M(n

∑i=1

ciXi ) =n

∑i=1

ciM(Xi ), (1)

adica M este un operator liniar.

4 Daca X si Y sunt doua variabile aleatoare discrete independente siexista M(X ) si M(Y ), atunci exista si M(XY ) si are locM(XY ) = M(X )M(Y ).

5 (Inegalitatea lui Schwarz) Daca X si Y sunt variabile aleatoarediscrete si exista M(X 2) si M(Y 2), atunci|M(XY )| ≤

√

M(X 2)M(Y 2).


Proprietatile valorii medii I

Demonstratie.

1 Fie {An}n∈N si {Bn}n∈N sisteme complete de evenimente. Fiexn = X (e), e ∈ An, ym = Y (e), n,m ∈ R. NotamCmn = {X (e) = xn} ∩ {Y (e) = ym}. Deducem ca {Cmn} estesistem complet de evenimente si An =

⋃

m∈N Cmn siBm =

⋃

n∈N Cmn. De aici

∞

∑n=1

P(Cmn) = P(Bm)

∞

∑m=1

P(Cmn) = P(An).


Proprietatile valorii medii II

Asadar

M(X + Y ) =∞

∑n=1

∞

∑m=1

(xn + ym)P(Cmn) =

=∞

∑n=1

∞

∑m=1

xnP(Cmn) +∞

∑n=1

∞

∑m=1

ymP(Cmn) =

=∞

∑n=1

xn

(∞

∑m=1

P(Cmn)

)

+∞

∑m=1

ym

(∞

∑n=1

P(Cmn)

)

=

=∞

∑n=1

xnP(An) +∞

∑m=1

ymP(Bm) =

=∞

∑n=1

xnP(X = xn) +∞

∑m=1

ymP(Y = ym).


Proprietatile valorii medii III

Deoarece M(X ) si M(Y ) exista, seriile din membrul drept al ultimeiegalitati sunt convergente si deci M(X + Y ) exista. Tinand cont ca

∑∞n=1 xnP(X = xn) = M(X ) si ∑

∞m=1 ymP(Y = ym) = M(Y ),

concluzia rezulta imediat.

2 Este imediata.

3 Generalizarea se obtine din proprietatile 1 si 2 prin inductie.

4 Tema.

5 Fie variabila aleatoare ρα = (X − αY )2;M(ρα) = M(X 2)− 2αM(XY ) + α2M(Y 2) ≥ 0 si cum discriminantulacestui trinom este negativ, rezulta concluzia.


Proprietatile valorii medii IV

Definitie 2

Fie variabila aleatoare X cu distributia X : (xipi)i∈I

si A un eveniment astfel

ıncat P(A) 6= 0. Daca seria

∑i∈I

xiP(X = xi |A)

este absolut convergenta, atunci

M(X |A) = ∑i∈I

xiP(X = xi |A)

se numeste valoare medie conditionata a variabilei X de evenimentul A.


Momente I

Definitie 3

Fie X o variabila aleatoare si r un numar natural. Daca exista M(X r ),atunci aceasta valoare medie se numeste momentul de ordin r alvariabilei aleatoare X si se noteaza

Mr (X ) = M(X r ) =∞

∑n=1

x rnpn.

Evident M1(X ) = M(X ).


Momente II

Definitie 4

Valoarea medie a variabilei aleatoare |X |r , M(|X |r ) se numeste moment

absolut de ordin r al variabilei aleatoare X . Se noteaza cu Mr (|X |) si

Mr (|X |) = M (|X |r ) =∞

∑n=1

|xn|rpn.

Definitie 5

Momentul de ordinul r al variabilei aleatoare X −M(X ) (numita abatere)se numeste moment centrat de ordinul r al variabilei aleatoare X si senoteaza cu mr (X ). Avem

mr (X ) = Mr (X −M(X )) = M ((X −M(X ))r ) .


Dispersie I

Definitie 6

Momentul centrat de ordinul doi al variabilei aleatoare X se numestedispersia variabilei aleatoare X si se noteaza

D2(X ) = σ2 = m2(X ) = M[

(X −M(X ))2]

.

Numarul D(X ) = σ =√

m2(X ) se numeste abaterea medie patratica avariabilei aleatoare X .

Proprietati.

1. Are loc egalitatea D2(X ) = M(X 2)− [M(X )]2 .Demonstratie.

D2(X ) = M[

(X −M(X ))2]

= M[

X 2 − 2M(X ) · X + (M(X ))2]

=

M(X 2)− 2M(X )M(X ) + (M(X ))2 = M(X 2) + (M(X ))2 .


Dispersie II

2. Daca a, b ∈ R si Y = aX + b, atunci D2(Y ) = a2D2(X ) siD(Y ) = |a|D(X ).Demonstratie.

M(Y ) = aM(X ) + b,

M(Y 2) = M[(aX + b)2

]= a2M(X ) + 2abM(X ) + b2,

din care utilizand proprietatea anterioara se obtine

D2(Y ) = a2[

M(X 2)− (M(X ))2]

= a2D2(X ).


Dispersie III

3. Daca ai ∈ R, i = 1, n sunt constante, iar Xi sunt variabile aleatoaredoua cate doua independente, atunci

D2

(n

∑i=1

aiXi

)

=n

∑i=1

a2i D2(Xi ).


Caracteristici numerice ale VA continue I

Fie (E ,K,P) un camp borelian de probabilitate si X o variabilaaleatoare continua a carei functie de repartitie este F si a careidensitate de probabilitate este f .

Expresia

M(X ) =∫ ∞

−∞xdF (x) =

∫ ∞

−∞xf (x)dx

(daca integralele improprii exista) se numeste valoarea medie avariabilei aleatoare X .

Variabila aleatoare Z = X −M(X ) se numeste abaterea variabileialeatoare X .

Daca r ∈ N, expresia

Mr (X ) = M(X r ) =∫ ∞

−∞x rdF (x) =

∫ ∞

−∞x r f (x)dx

se numeste momentul de ordin r al variabilei aleatoare X.


Caracteristici numerice ale VA continue II

Momentul absolut de ordin r al variabilei aleatoare X se definesteprin

Mr (|X |) = M(|X |r ) =∫ ∞

−∞|x |rdF (x) =

∫ ∞

−∞|x |r f (x)dx .

Fie m = M(X ). Analog cu cazul discret se definesc:

momentul centrat de ordin r

mr (X ) =∫ ∞

−∞(x −m)rdF (x) =

∫ ∞

−∞(x −m)r f (x)dx ;

dispersia

D2(X ) = σ2 =∫ ∞

−∞(x −m)2dF (x) =

∫ ∞

−∞(x −m)2f (x)dx

valoarea medie conditionata, etc.

Proprietatile valorii medii si ale dispersiei raman valabile si pentruvariabile aleatoare continue.


Densitatea de probabilitate a sumei I

Teorema 7

Fie vectorul aleator de tip continuu X (X1,X2) si f densitatea sa deprobabilitate.Atunci variabila aleatoare Z = X1 + X2 are densitatea deprobabilitate fZ : R → R+

fZ (z) =∫

R

f (u; z − u)du.

Demonstratie. Fie F functia de repartitie a vectorului aleator X si FZfunctie de repartitie a lui Z .

FZ (z) = P(Z < z) = P(X + Y < z) =∫

D

∫

f (t1, t2)d t1d t2,


Densitatea de probabilitate a sumei II

unde D = {(t1, t2) : t1 + t2 < z} (vezi figura 20). Vom presupune caz > 0. (Pentru z ≤ 0 se procedeaza analog). Vom face schimbarea devariabila u = t1, v = t1 + t2, deci t2 = v − u. Jacobianul transformarii

D(t1, t2)

D(u, v )=

∣∣∣∣∣∣∣

∂t1∂u

∂t1∂v

∂t2∂u

∂t2∂u

∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣

1 0−1 1

∣∣∣∣= 1.

Noul domeniu este d = {(u, v ) : v < z} (figura 20). Se obtine

FZ (z) =∫

D

∫

f (t1, t2)d t1d t2 =∫

d

∫

f (u, v − u)d ud v

=

z∫

−∞

∞∫

−∞

f (u, v − u)d ud v = limM→∞

z∫

−M

M∫

−M

f (u, v − u)d u

d v .


Densitatea de probabilitate a sumei III

Derivam ın raport cu z

d

dzFZ (z) = lim

M→∞

d

dz

z∫

−M

M∫

−M

f (u, v − u)d u

d v

= limM→∞

M∫

−M

f (u, v − u)d ud v =∫

R

f (u, z − u)d u.



Densitatea de probabilitate a produsului I

Teorema 8

Fie vectorul aleator de tip continuu X (X1,X2) si f densitatea sa deprobabilitate.Atunci variabila aleatoare Z = X1X2 are densitatea deprobabilitate fZ : R → R+

fZ (z) =∫

R

|u|−1f (u; zu−1)du.

Demonstratie.

FZ (z) = P(Z < z) = P(XY < z) =∫

D

∫

f (t1, t2)d t1d t2,


Densitatea de probabilitate a produsului II

unde D = {(t1, t2) : t1t2 < z}. Presupunem z > 0 (z ≤ 0 analog).

FZ (z) =∫

D

∫

f (t1, t2)d t1d t2 =

0∫

−∞

∞∫

zt1

f (t1, t2)d t2

d t1 +

∞∫

0

zt1∫

−∞

f (t1, t2

= limM→∞

0∫

−M

M∫

zt1

f (t1, t2)d t2

d t1 +

M∫

0

zt1∫

−M

f (t1, t2)d t2

d t1


Densitatea de probabilitate a produsului III

Derivam ın raport cu z :

d

dzFZ (z) = lim

M→∞

0∫

−M

d

dz

M∫

zt1

f (t1, t2)d t2

d t1 +

M∫

0

d

dz

zt1∫

−M

f (t1, t2)d t2

= limM→∞

0∫

−M

−t−11 f (t1, zt

−11 )d t1 +

M∫

0

t−11 f (t1, zt

−11 )d t1

= −

0∫

−∞

u−1f (u, zu−1)d u +

∞∫

0

u−1f (u, zu−1)d u =∫

R

1

|u|f (u, zu−1



Proprietati ale valorii medii I

1 M(aX + b) = aM(X ) + b

2 M(X + Y ) = M(X ) +M(Y )

3 X ,Y independente =⇒ M(XY ) = M(X )M(Y ).

Demonstratie.

1 Z = aX + b, a > 0Fz(z) = P(aX + b < z) = P(X <

x−ba

) = FX(x−ba

)=⇒

fZ (x) =1af(x−ba

).

M(aX + b) =∫

R

xfZ (x)d x =∫

R

x

af

(x − b

a

)

d x

Facem schimbarea de variabila t = x−ba

M(aX + b) =∫

R

(at + b)f (t)d t = a

∫

R

tf (t)d t + b

∫

R

f (t)d t

= aM(X ) + b.Daniel N.Pop (ULBs) Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare Noiembrie 2015 25 / 51

Proprietati ale valorii medii II

2 Fie f densitatea vectorului (X ,Y ) si Z = X + Y .

M(X + Y ) =∫

R

zfX+Y (z)d z =∫

R

z

(∫

R

f (u, z − u)d u

)

d z

=∫ ∫

R2zf (u, z − u)d ud z

Facem schimbarea de variabila u := u, v := z − u; jacobianul

transformarii este D(z ,u)D(v ,u)

= 1 si

M(X + Y ) =∫ ∫

R2(u + v )f (u, v )d ud v =

=∫

R

u

(∫

R

f (u, v )d v

)

d u +∫

R

v

(∫

R

f (u, v )d u

)

d v

=∫

R

uf1(u)d u +∫

R

vf2(v )d v = M(X ) +M(Y )


Proprietati ale valorii medii III

3 Tinand cont ca X si Y sunt independente

M(XY ) =∫

R

zfXY (z)d z =∫

R

z

(∫

R

1

uf1(u)f2

( z

u

)

d u

)

d z

Vom face schimbarea de variabila u := u, zu

:= v ; jacobianul esteD(z ,u)D(v ,u) = u, deci

M(X ,Y ) =∫ ∫

R2uvf1(u)f2(v )

1

|u||u|d ud v =

=

(∫

R

uf1(u)d u

)(∫

R

vf2(v )d v

)

= M(X )M(Y ).


Inegalitatea lui Cebısev I

Pentru a evita ın continuare demonstrarea separata a unor proprietatisi pentru cazul continuu si pentru cel discret vom folosi ın interiorulintegralelor notatia dF (x).

Daca X este de tip discret integrala∫ b

ag(x)dF (x) se transforma ın

∑k∈I g(xk )pk

daca X este de tip continuu ın∫ b

ag(x)f (x)dx .

Teorema 9 (Inegalitatea lui Cebısev)

Fie X o variabila aleatoare pentru care exista M(X ) si D2(X ). Are locinegalitatea

P (|X −M(X )| < ε) ≥ 1−D2(X )

ε2. (2)

Demonstratie. Fie F functia de repartitie a lui X .


Inegalitatea lui Cebısev II

P (|X −M(X )| ≥ ε) =∫

|x−M(X )|≥εdF (x) ≤

≤1

ε2

∫

|x−M(X )|≥ε(x −M(X ))2dF (x),

deoarece |X −M(X )| ≥ ε implica |X−M(X )|ε ≥ 1. Pe de alta parte

∫

|x−M(X )|≥ε(x −M(X ))2dF (x) ≤

∫

R

(x −M(X ))2dF (x) = D2(X );

prin urmare

P (|X −M(X )| ≥ ε) ≤D2(X )

ε2, (3)

de unde trecand la evenimentul contrar lui |X −M(X )| ≥ ε se obtineinegalitatea dorita.


Inegalitatea lui Cebısev III

Observatie 10

Daca ın (3) se ia ε = λD(X ), se obtine urmatoarea forma echivalenta

P (|X −M(X )| < λD(X )) ≥ 1−1

λ2. (4)

Caz particular: regula celor 3σ. Pornind de la (4) si luand λ = 3 obtinem,notand m = M(X ), σ = D(X )

P(m− 3σ ≤ X ≤ m+ 3σ) ≥ 1−1

9=

8

9≈ 0.88,

numita regula celor 3 σ. Interpretarea ei este urmatoarea: pentru ovariabila aleatoare X ın peste 88% din cazuri valorile nu se abat de lamedie cu mai mult de trei abateri medii patratice.


Corelatie I

Fie (E ,K,P) un camp (borelian) de probabilitate si X1 si X2 douavariabile aleatoare definite pe acest camp.

Definitie 11

Se numeste corelatie sau covarianta a variabilelor aleatoare X1 si X2

valoareacov (X1,X2) = M [(X1 −m1) (X2 −m2)] (5)

unde m1 = M(X1) si m2 = M(X2).

Din definitie rezulta imediat ca

cov (αX1, βX2) = αβcov (X1,X2)

si

cov (X1,X2) = cov (X2,X1).


Corelatie II

Definitie 12

Raportul

ρ(X1,X2) =cov (X1,X2)

√

D2(X1)D2(X2)(6)

se numeste coeficient de corelatie al variabilelor aleatoare X1 si X2.

Evident ρ(X1,X2) = ρ(X2,X1).Daca variabilele aleatoare sunt discrete si pij = P(X1 = xi ,X2 = yj),i , j ∈ N, atunci din (5) si (6) avem

ρ(X1,X2) =∑i ∑j (xi −m1)(yj −m2)pij

√

D2(X1)D2(X2).


Corelatie III

Daca variabilele aleatoare sunt continue si vectorul aleator (X1,X2) aredensitate de probabilitate f (x , y ),

ρ(X1,X2) =1

√

D2(X1)D2(X2)

∫

R

∫

R

(x −m1)(y −m2)f (x , y )dxdy .

Coeficientul de corelatie definit de (6) se poate scrie si sub forma

ρ(X1,X2) =M(X1X2)−M(X1)M(X2)

√

D2(X1)D2(X2).

Intr-adevar

cov (X1,X2) = M [(X1 −m1) (X2 −m2)] =

= M(X1X2 −m1X2 −m2X1 +m1m2) =

= M(X1X2)−M(X1)M(X2).

Proprietati.Daniel N.Pop (ULBs) Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare Noiembrie 2015 33 / 51

Corelatie IV

1 Daca X1 si X2 sunt independente, atunci ρ(X1,X2) = 0. Reciprocaeste falsa, caci ρ(X1,X2) = 0 nu implica faptul ca X1 si X2 suntindependente, asa cum rezulta din contraexemplul de mai jos.

Contraexemplu. Fie X :

(−1 0 11/2 1/4 1/2

)

, Y :

(0 11/2 1/2

)

.

Avem

Y\X -1 0 1 qj0 0 1/2 0 1/2

1 1/4 0 1/4 1/2

pi 1/4 1/2 1/4 1

si XY :

(0 −1 11/4 1/2 1/4

)

Se constata ca M(X ) = 0, M(Y ) = 1/2, M(X ,Y ) = 0, cov (X ,Y ) = 0,dar X si Y nu sunt independente. Doua variabile aleatoare X1 si X2,pentru care ρ(X1,X2) = 0 se numesc necorelate.


Corelatie V

2. Oricare ar fi X1 si X2 astfel ıncat exista M(X1) si M(X2) avemρ2(X1,X2) ≤ 1. Egalitatea are loc daca si numai daca ıntre X1 si X2

exista o dependenta liniara, adica ρ(X1,X2) = ±1 daca si numai dacaX2 = aX1 + b. Vom avea ρ(X1,X2) = 1 pentru a > 0 siρ(X1,X2) = −1 pentru a < 0.

Demonstratie. Din inegalitatea lui Schwarz obtinem

|M [(X1−M(X1))(X2−M(X2))] |≤[M2(X1−M(X1))M

2(X2−M(X2))]1/2

,

de unde rezulta imediat inegalitatea. Pentru cazul de egalitate seprocedeaza dupa cum urmeaza. Daca notam

X ′1 =

X1 −M(X1)

D(X1); X ′

2 =X2 −M(X2)

D(X2),

obtinem M2(X ′1) = M2(X ′

2) si M(X ′1X

′2) = ρ(X1X2) = ±1.


Corelatie VI

Rezulta atunci ca

M((X ′

1 ± X ′2)

2)= M2(X

′1) +M2(X

′2)± 2M(X ′

1X′2) =

= 2(1±M(X ′1X

′2))

si deci fie M((X ′

1 + X ′2)

2)= 0, fie M

((X ′

1 − X ′2)

2)= 0, adica

X ′1 ± X ′

2 = 0 aproape sigur. Spunem ca proprietatea P are loc aproape

sigur daca P(¬P) = 0. Cu alte cuvinte, avem

X1 = M(X1)−(X2 −M(X2))√

D2(X1)D2(X2),

ceea ce arata ca ıntre X1 si X2 exista o relatie liniara de formaX1 = aX2 + b cu a 6= 0. In plus, daca D2(X1) 6= 0, atunci din definitiacoeficientului de corelatie rezulta ca

ρ(X1,X1) = 1; ρ(X1,−X1) = −1.


Mod, asimetrie, exces, mediana, cuantile I

Fie X o variabila aleatoare a carei functie de repartitie este F si acarei densitate de probabilitate este f .

Abscisa punctului de maxim al functiei f se numeste mod (sau moda

sau modul) si se noteaza cu Mo.

Daca densitatea de probabilitate f are mai multe puncte de maxim,atunci variabila aleatoare X se numeste plurimodala. Pentrurepartitiile simetrice unimodale M(X ) = Mo.

Daca exista momentul de ordinul 3 al lui X , raportul

As =m3(X )

σ3

se numeste asimetrie. Asimetria are acelasi semn cu m3 si estepozitiva daca Mo < m si negativa daca Mo < m.


Mod, asimetrie, exces, mediana, cuantile II

Daca exista momentul de ordinul 4 al lui X , expresia

E =m4(X )

σ4− 3

se numeste exces.

Numarul Me pentru care

P(X ≥ Me) ≥1

2≤ P(X ≤ Me)

sau

F (Me) ≤1

2∧ F (Me + 0) ≥

1

2

se numeste mediana.

O proprietate importanta a medianei, utila ın aplicatii, esteurmatoarea: suma abaterilor ın raport cu un punct de abscisa λ esteminima daca λ = Me.


Mod, asimetrie, exces, mediana, cuantile III

Observatie 131 Din definitia medianei rezulta ca Me este una din valorile x ale

variabilei aleatoare X pentru care

∫ x

−∞dF (t) =

∫ ∞

xdF (t) =

1

2.

In cazul cand X este continua mediana este unic determinata deegalitatea

∫ x

−∞f (t)dt =

∫ ∞

xf (t)dt =

1

2.

2 Din punct de vedere geometric mediana este abscisa punctului princare trece paralela la axa Oy, care ımparte ın doua parti egale arialimitata de curba de ecuatie y = f (x) si de axa Ox.


Mod, asimetrie, exces, mediana, cuantile IV

Din consideratiile facute mai sus deducem ca mediana ne poate da, ınunele situatii, informatii mai bune decat valoarea medie.

Este firesc sa extindem notiunea de mediana pentru a obtine ın loculvalorii 1

2 o valoare de forma 1n, pentru n > 2. Astfel valorile xi

(i = 1, n− 1) pentru care

∫ x1

−∞dF (t) =

∫ x2

x1

dF (t) = . . . =∫ ∞

xn−1

dF (t) =1

n

se numesc cuantile. Astfel daca n = 4, se obtin cuartile, dacan = 10, decile, iar daca n = 100, procentile. Avem trei cuartile:cuartila mica sau inferioara, notata cu Q1, mediana si cuartila maresau superioara, notata cu Q3.


Mod, asimetrie, exces, mediana, cuantile V

Observatie 14

Daca X este o variabila aleatoare avand functia de repartitie F siα ∈ (0, 1), valoarea xα pentru care F (xα) = α se numeste cuantila de

ordin α a lui X .


Functia caracteristica

Definitie 15

Fie X o variabila aleatoare definita pe campul (E ,K,P). AplicatiagX : R −→ C, gX (t) = M(e itX ) se numeste functia caracteristica avariabilei aleatoare X .

Daca nu exista pericol de confuzie indicele X se omite.

Observatie 16

1 Daca X este o variabila aleatoare discreta cu distributia X : (xkpk)i∈I

,

atunci g(t) = ∑k∈I eitxkpk .

2 Daca X este de tip continuu si admite densitatea de probabilitate f ,atunci gX (t) =

∫

Re itx f (x)dx .


Functia caracteristica - proprietati I

Teorema 17

Daca X este o variabila aleatoare pe (E ,K,P) si g : R −→ C este functiasa caracteristica, atunci au loc relatiile:

1 g(0) = 1;

2 ∀t ∈ R |g(t)| ≤ 1;

3 daca X admite moment absolut de ordinul n, Mn(|X |), atuncig (k)(0) = ikMk(X ), k = 1, n;

4 daca Y = aX + b cu a, b ∈ R, atunci gY (t) = e itbgX (at), t ∈ R;

5 daca X si Y sunt independente, gX+Y = gX · gY ;

6 daca Z =n

∑k=1

Xk si Xk , k = 1, n sunt variabile aleatoare

independente, atunci gZ =n

∏k=1

gXk.


Functia caracteristica - proprietati II

Demonstratie.

1 g(0) = M(e itX )|t=0 = M(e0) = 1.

2 |g(t)| =∣∣∫

Re itxdF (x)

∣∣ ≤

∫

R

∣∣e itx

∣∣

︸︷︷︸

=1

dF (x) =∫

RdF (x) = 1.

3 Vom arata ca daca exista Mn(|X |), atunci exista toate momenteleobisnuite Mk , k ≤ n. Deoarece Mn (|X |) =

∫

R|x |ndF (x). Atunci,

pentru orice k ≤ n avem

∫

R

|x |kdF (x) =∫

|x |≤1|x |kdF (x) +

∫

|x |>1|x |kdF (x) ≤

≤∫

|x |≤1|x |kdF (x) +

∫

|x |>1|x |ndF (x) ≤

≤∫

|x |≤1dF (x) +

∫

|x |>1|x |ndF (x) ≤

≤∫

R

dF (x) +∫

R

|x |ndF (x) = 1+Mn (|X |) .


Functia caracteristica - proprietati III

Dar

|Mk(X )| =

∣∣∣∣

∫

R

xkdF (x)

∣∣∣∣≤∫

R

|x |kdF (x) ≤ 1+Mn (|X |) ,

deci Mk(X ) exista. In plus

g(t) =∫

R

e itxdF (x) =⇒ g (k)(t) = ik∫

R

xke itxdF (x). (7)

Relatia este corecta, caci avem

∣∣∣∣

∫

R

xke itxdF (x)

∣∣∣∣≤∫

R

|x |kdF (x)

si integrala din membrul drept al lui (7) exista. Luam ın (7) t = 0 siobtinem

g (k)(0) = ik∫

R

xkdF (x) = ikMk(X ).


Functia caracteristica - proprietati IV

4 gY (t) = M(

e it(aX+b))

= M(e itaX e itb

)= e itbgX (at).

5 Daca X si Y sunt independente, atunci si e itX si e itY suntindependente si M(e itX e itY ) = M(e itX )M(e itY ), adicagX+Y (t) = gX (t)gY (t).

6 Prin inductie.


Dezvoltarea functiei caracteristice ın serie de puteri I

Teorema 18

Fie g functia caracteristica a lui X . Daca pentru orice n ∈ N∗ exista

momentul absolut Mn(|X |) si sirul(Mn+1(|X |)Mn(|X |)

)

n≥1este marginit, atunci g

se poate dezvolta ın serie de puteri si are loc relatia

g(t) =∞

∑k=0

(it)k

k !Mk(X ).

Demonstratie. Formula lui MacLaurin pentru u(x) = e itx ne da

e itx = 1+itx

1!+

(itx)2

2!+ · · ·+

(itx)n−1

(n− 1)!+ (Rnu)(x)

unde

(Rnu)(x) =un(θx)

n!=

(itx)n

n!e iθx , θ ∈ [0, 1].


Dezvoltarea functiei caracteristice ın serie de puteri II

Dar

g(t) =∫

R

e itxdF (x) =∫

R

(n−1

∑k=0

(itx)k

k !+ (Rnu)(x)

)

dF (x) =

n−1

∑k=0

(it)k

k !

∫

R

xkdF (x) +∫

R

(Rnu)(x)dF (x) =

n−1

∑k=0

(it)k

k !M(X k) +

∫

R

(Rnu)(x)dF (x).

Vom arata ca ultima integrala tinde la 0.

∣∣∣∣

∫

R

(Rnu)(x)dF (x)

∣∣∣∣=

∣∣∣∣

(it)n

n!

∣∣∣∣

∣∣∣∣

∫

R

xne itθxdF (x)

∣∣∣∣≤

tn

n!

∫

R

|x |ndF (x) =

=tn

n!Mn (|X |) .


Dezvoltarea functiei caracteristice ın serie de puteri III

Fie sirul xn = |t|n

n!Mn(|X |). Avem

limn→∞

xn+1

xn= |t | lim

n→∞

Mn+1 (|X |)

Mn (|X |)·

1

n+ 1= 0,

deci limn→∞ xn = 0 (criteriul raportului), de unde rezulta ca

limn→∞

∣∣∣∣

∫

R

(Rnu)(x)dF (x)

∣∣∣∣= 0

si trecand la limita cand n → ∞ se obtine

g(t) =∞

∑k=0

(it)k

k !Mk(X ).


Dezvoltarea functiei caracteristice ın serie de puteri IV

Observatie 19

Din teorema de mai sus se deduce ca daca variabilele aleatoare X si Yadmit momente de orice ordin si au loc relatiileM(X k) = M(Y k), ∀k ∈ N, atunci gX = gY .

Am vazut ca, pornind de la functia de repartitie a unei variabile aleatoare,se poate construi functia sa caracteristica. Teorema care urmeaza nepermite sa obtinem functia de repartitie cu ajutorul functiei caracteristice.O enuntam fara demonstratie.


Dezvoltarea functiei caracteristice ın serie de puteri V

Teorema 20 (de inversiune a lui Paul Levy)

Fie X o variabila aleatoare pe campul (E ,K,P) si F si g functia sa derepartitie si respectiv functia sa caracteristica. Atunci pentru oricex1, x2 ∈ R, x1 < x2 puncte de continuitate ale lui F are loc

F (x2)− F (x1) =1

2π

∫

R

e−itx1 − e−itx2

itg(t)dt.

Observatie 21

Daca X este continua si f este densitatea sa de probabilitate, atunci

f (x) =1

2π

∫

R

e−itxg(t)dt (formula lui Fourier)


Documents

Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare · Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare Daniel N.Pop ULBs