Upload
ramona-paula
View
118
Download
2
Tags:
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Matematica ASE
Citation preview
CAPITOLUL 9
CARACTERISTICI NUMERICE ALE VARIABILELORALEATOARE
9.1. Media; definiţie, proprietăţi
Fie X variabilă aleatoare pe câmpul de probabilitate),,( PKΩ .
DEFINIŢIE : Fie
= )(:
ii
i
xfpx
X , unde ni ,,1 Κ= .
Atunci valoarea medie variabilei aleatoare discrete X este
=
=n
iii xfxXM
1
)()( .
DEFINITIE : Fie
)(:
xfx
X , unde ],[ bax ∈ . Atunci
valoarea medie a variabilei aleatoare continue X este⋅=
b
adxxfxXM )()( .
OBSERVAŢIE : Pentru ∞→n , trebuie ca seria∞
=1
)(i
ii xfx să fie convergentă. Pentru a sau b tinzând către ∞− sau
∞+ , trebuie ca integrala improprie să fie convergentă.
EXEMPLE:
1)
3,05,02,0321
:X , 1,23,035,022,01)( =⋅+⋅+⋅=XM .
2)
= −xexfx
X)(
: , 0≥x , ∞ − =Γ==
01)2()( dxxeXM x .
Proprietăţi ale mediei:
P1. Fie
)(:
i
i
xfx
X , ni ,,1 Κ= . Dacă µλ ≤≤ ix , atunci :
µλ ≤≤ )(XM .
Demonstraţie: =
=n
iii xfxXM
1
)()(
Adunând aceste relaţii pentru valorile indicelui ni ,,1 Κ= , obţinem:
⋅⋅≤⋅≤⋅ )()()( iiii xfxfxxf µλ = =
⋅≤≤⋅n
i
n
iii xfXMxf
1 1
)()()( µλ ,deci
µλ ≤≤ )(XM , deoarece =
=n
iixf
1
1)( .
P2. kkM =)( , adică media unei constante este o constantă.
Demonstraţie:
1:
kX , kkkM =⋅= 1)( .
P3. Media unei constante înmulţită cu o variabilă aleatoare esteegală cu constanta înmulţită cu media variabilei aleatoare.Adică: )()( XMaXaM ⋅=⋅ .
Demonstraţie: Fie
n
n
ppxx
XΚΚ
1
1: , =
=n
iip
1
1, =
⋅=n
iii pxXM
1
)( .
Atunci
⋅⋅⋅
n
n
ppxaxa
XaΚΚ
1
1: .
)()()( 1111 XMapxpxapxapxaXaM nnnn ⋅=⋅++⋅⋅=⋅⋅++⋅⋅=⋅ ΚΚ .
P4. Dacă X şi Y sunt două variabile aleatoare, atunci :)()()( YMXMYXM +=+ .
Demonstraţie: Fie
i
i
px
X : , ni ,,1 Κ= , =
⋅=n
iii pxXM
1
)( ,
=
=n
iip
11 şi fie
j
j
qy
Y : , mj ,,1 Κ= , =
⋅=m
jjj qyYM
1
)( ,
=
=m
jjq
1
1 . Atunci
⋅+
+ji
ji
qpyx
YX : , ni ,,1 Κ= , mj ,,1 Κ= .
+⋅=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+=+ === == = ==
m
jj
n
iii
n
i
m
jjij
n
i
n
i
m
jjii
m
jjiji qpxqpyqpxqpyxYXM
111 11 1 11
)()(
)()(1 1
YMXMqypn
i
m
jjji +=⋅+
= =
.
P5. Dacă X şi Y sunt independente, atunci: )()()( YMXMYXM ⋅=⋅ .
Demonstraţie:
⋅⋅
⋅ji
ji
qpyx
YX : , ni ,,1 Κ= , mj ,,1 Κ= .
= ===
⋅===⋅n
i
m
jjj
n
iii
m
jjiji YMXMqypxqpyxYXM
1 111
)()()(
9.2. Dispersia; definiţie, proprietăţi
Fie
−−1,04,04,01,0
2112:X , 0)( =XM . Observăm că
valorile lui X nu diferă mult de medie.
Fie
−−1,04,04,01,0
1000551000:Y , 0)( =YM . Observăm că
valorile lui Y diferă mult de medie.Împrăştierea valorilor lui Y este mai mare decât
împrăştierea valorilor lui X.
Fie
n
n
pppxxx
XΚΚ
21
21: şi fie M(X) media sa. Construim
variabila aleatoare )(XMX −=ξ , numită abaterea variabileialeatoare X de la media sa. Fie m=M(X).
−−−
n
n
pppmxmxmx
ΚΚ
21
21:ξ
OBSERVAŢIE: 0)()()(][)( =−=−=−= mxMmMXMmXMM ξ .
Deci nu putem utiliza media variabilei aleatoare abaterepentru a determina împrăştierea faţă de media sa. Din acest motiv,ca o măsură a împrăştierii valorilor unei variabile aleatoare X faţă demedia sa, vom lua dispersia, notată cu D(X), unde:
)()( 22 ξσ MXD == . Dispersia este media pătratului variabileialeatoare de abatere ξ .
−−−
n
n
pppmxmxmx
ΚΚ
21
222
212 )()()(
:ξ .
)()(2)]([ 2222 XMXXMXXMX +⋅−=−=ξ .Atunci dispersia va fi :
=+−== )()()(2)()()( 222 XMXMXMXMMXD ξ )()( 22 XMXM − .Rezultă astfel că )()()( 22 XMXMXD −= .
EXEMPLE :
1)
−3,04,03,0101
:X , 0)( =XM ;
4,06,001
:2X , 6,0)( 2 =XM
6,0)()()( 22 =−= XMXMXD .
2)
−3,04,03,0
100001000:Y , 0)( =YM ;
6,04,0100
:6
2Y , 600000)( 2 =YM
600000)()()( 22 =−= YMYMYD .
3)
= −xexfx
X)(
: , 0≥x , 1)2()(0
=Γ== ∞ − dxxeXM x
= −xexfxX)(
:2
2 , 0≥x , 2!2)3()(0
2 ==Γ== ∞ − dxexXM x
112)()()( 22 =−=−= XMXMXD .
Proprietăţi ale dispersiei:
P1. Dispersia unei constante este egală cu zero. Adică 0)( =aD ,unde a este o constantă.
Demonstraţie: 0)()()( 2222 =−=−= aaaMaMaD .
P2. Dispersia unei constante înmulţită cu o variabilă aleatoare esteegală cu produsul dintre pătratul constantei şi dispersia variabileialeatoare. Adică: )()( 2 XDaXaD ⋅=⋅
Demonstraţie: −=⋅−⋅=⋅ )()()()( 22222 XMaXaMXaMXaD
)()]()([)( 222222 XDaXMXMaXMa =−=− .
P3. Dacă X şi Y sunt independente, atunci )()()( YDXDYXD +=+
Demonstraţie: =+−+=+ )(])[()( 22 YXMYXMYXD++=+−++= )()(2)()]()([)2( 2222 YMXMXMYMXMYXYXM
)()()()()(2)()( 222 YDXDYMYMXMXMYM +=−−−+ .
Consecinţa 1: ==
=
r
ii
r
ii XDXD
11
)( , unde variabilele iX
sunt independente, ri ,,1 Κ= .Consecinţa 2: )()( XDXaD =+ .Consecinţa 3: Dacă bXaY +⋅= , atunci )()( 2 XDaYD = .Consecinţa 4: Dacă YXZ −= , atunci )()()( YDXDZD += .
Într-adevăr, putem scrie )( YXYXZ −+=−= şi deci)()1()(])1[()()( 2 YDXDYDXDZD −+=−+= şi deci )()()( YDXDZD += .
TEOREMĂ: Fie nXXX ,,, 21 Κ variabile aleatoare cu
aceeaşi medie şi dispersie. Fie
=
= ==n
ii
n
ii
Xnn
XY
1
1 1 , media
aritmetică a veriabilelor iX . Atunci =
=n
iiXD
nYD
1
)(1)( .
Demonstraţie: )(1)(11)(1
21
i
n
ii
n
ii XD
nXDn
nX
nDYD =⋅⋅=
= ==
.
9.3. Abaterea medie pătratică
DEFINIŢIE: Se numeşte abatere medie pătratică a uneivariabile aleatoare X, rădăcina pătrată din dispersia variabileialeatoare.
Abaterea medie pătratică, )(XD=σ , are în principiuproprietăţi corespunzătoare dispersiei.
9.4. Momentele unei variabile aleatoare X
Momentele unei variabile aleatoare sunt valori tipice alevariabilei. Există două tipuri de momente: momente iniţiale şimomente centrate.
DEFINIŢIE: Momentul iniţial de ordinul k al uneivariabile aleatoare X este media variabilei aleatoare kX .
)( kk XMm = , Κ,2,1=k
Cazuri particulare:)(1 XMm = , )( 2
2 XMm = , deci 212)( mmXD −= .
DEFINIŢIE: Momentul centrat de ordinul k al uneivariabile aleatoare X este media variabilei aleatoare ]))([( kXMX − .
]))([( kk XMXM −=µ , Κ,2,1=k
Cazuri particulare:0)]([1 =−= XMXMµ , )()]([ 2
2 XDXMX =−=µ .
În cazul unei variabile aleatoare discrete, fie
n
n
ppxx
XΚΚ
1
1: ,
atunci
n
kn
kk
ppxx
XΚΚ
1
1: şi
−−−
n
kn
kk
ppmxmx
mXΚΚ
1
1 )()(:)( .
Prin urmare =
==n
ii
ki
kk pxXMm
1)( şi
=
−=−=n
ii
ki
kk pmxmXM
1
)(])[(µ ,
nk ,,2,1 Κ= .
În cazul unei variabile aleatoare continue, fie
)(:
xfx
X , ],[ bax ∈ ,
∈∞∪−∞∈
=],[),(
),(),(,0)(
baxxfbax
xf , momentele
vor fi =b
a
kk dxxfxm )( şi −=
b
a
kk dxxfmx )()(µ , nk ,,2,1 Κ= .
Fie F(X) funcţia de repartiţie. Atunci ∞
∞−= )(xdFxm k
k şi
∞
∞−−= )()( xdFmx k
kµ .
Relaţia dintre momentele iniţiale şi cele centrate:
=
−
=
− −=
−=−=−=
k
j
jkjjk
jk
j
jkjjk
kkkk XMmCXmCMmXMXMXM
00
)()1()1(][)]([µ
Dar jkjk mXM −
− =)( . Deci avem: =
−−=j
kjk
jjk
jk mmC
0
)1(µ .
OBSERVAŢIE : Pentru k=2 , obţinem :
022
2111
2202
2
0
22 mmCmmCmCmmC
jjk
jj +−==
=−µ .
Dar 1)1()( 00 === MXMm şi mm =1 .
Atunci )(0 212
2122 XDmmmm =−=+−=µ .
9.5. Funcţia generatoare de momente a unei variabile aleatoare
Funcţia generatoare de momente a unei variabile aleatoarese introduce pentru simplificarea calculului momentelor.
DEFINIŢIE: Se numeşte funcţie generatoare de momentea unei variabile aleatoare X, valoarea medie a variabilei tXe , unde
Rt ∈ .Notăm funcţia generatoare de momente cu RRg →: , dată
de )()( tXeMtg = .
Fie
n
n
pppxxx
XΚΚ
21
21: o variabilă aleatoare discretă,
deci
=
n
txtxtxtX
pppeee
en
ΚΚ
21
21
, iar funcţia generatoare de
momente este =
==n
ii
txtX peeMtg i
1
)()( .
Fie
)(:
xfx
X , ],[ bax ∈ , o variabilă aleatoare continuă,
deci
=
)(xfe
etx
tX , ],[ bax ∈ , iar funcţia generatoare de momente
este ==b
a
txtX dxxfeeMtg )()()( .
Proprietăţi ale funcţiei generatoare de momente:
P1. 1)0( =g
Demonstraţie: 1)1()()0( 0 === ⋅ MeMg t
P2. Dacă nXXX ,,, 21 Κ sunt variabile aleatoare independente cufuncţiile generatoare de momente )(,),(),( 21 tgtgtg nΚ , atunci funcţiageneratoare de momente a variabilei aleatoare
nXXXX +++= Κ21 , este )()()()( 21 tgtgtgtg n⋅⋅⋅= Κ .
Demonstraţie:=⋅⋅⋅⋅=== +++ ][)()()( 2121 )( nn tXtXtXXXXttX eeeMeMeMtg ΚΚ
)()()()()()( 2121 tgtgtgeMeMeM n
tXtXtX n ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= ΚΚ .
P3. Dacă variabila aleatoare X admite momente finite de orice
ordin, atunci ∞
=
⋅=0 !
)(k
k
k
mkttg .
Demonstraţie: Dezvoltăm în serie Taylor (Mc Laurin) pe tXe . Ştim
că ΚΚ +++++=!!2!1
12
kttte
kt .
Atunci tXe va avea forma :
∞
=
=+++++=0
22
!!!2!11
k
kk
kk
tX XktX
ktXtXte ΚΚ .
∞
=
∞
=
∞
=
==
==
0 00 !)()(
!!)()(
k kk
kk
k
k
kk
tX mkttgXM
ktX
ktMeMtg .
P4. Funcţia generatoare de momente este de n ori derivabilă înraport cu t şi k
k mg =)0()( sau ktk mtg ==0
)( |)( .
Demonstraţie:
a) Fie variabila aleatoare discretă
n
n
pppxxx
XΚΚ
21
21: .
=
⋅=n
ii
tx petg i
1
)(
=
⋅⋅=n
ii
txi pextg i
1
)('
=
⋅⋅=n
ii
txi pextg i
1
2)(''
………………………….
=
⋅⋅=n
ii
txki
k pextg i
1
)( )(
Înlocuind pe t cu zero, obţinem:
=
=⋅=n
iki
ki
k mpxg1
)( )0(
b) Fie variabila aleatoare continuă
)(:
xfx
X , ],[ bax ∈ .
=b
a
tx dxxfetg )()(
=⋅=⋅=b
a
b
a
tx mdxxfexgdxxfextg 10 )()0(')()('
==⋅=b
a
b
a
tx mdxxfxgdxxfextg 222 )()0('')()(''
……………………………………………………
==⋅=b
a kkkb
a
txkk mdxxfxgdxxfextg )()0()()( )()(
9.6. Funcţia caracteristică a unei variabile aleatoare
Funcţia caracteristică a unei variabile aleatoare X sefoloseşte tot pentru calculul momentelor.
DEFINIŢIE: Se numeşte funcţie caracteristică a variabileialeatoare X , valoarea medie a variabilei itXe , adică )()( itXeMtc = ,unde Rt ∈ .
Fie
n
n
pppxxx
XΚΚ
21
21: o variabilă aleatoare discretă,
deci
=
n
itxitxitxitX
pppeee
en
ΚΚ
21
21
, iar funcţia caracteristică este
=
⋅==n
jj
itXitX peeMtc1
)()( .
Fie
)(:
xfx
X , ],[ bax ∈ , o variabilă aleatoare continuă,
deci
=
)(xfee
itxitX , ],[ bax ∈ , iar funcţia caracteristică este
==b
a
itXitX dxxfeeMtc )()()( .
EXEMPLU: Fie
−5,05,011
:X , iar
=
−
5,05,0
itititX ee
e .
Funcţia caracteristică este :)(5,05,05.0)()( itititititX eeeeeMtc +⋅=⋅+⋅== −− .
Dar θθθ sincos iei += şi θθθ sincos ie i −=− , deci putem scrie
2cos
θθ
θii ee −+= şi
iee ii
2sin
θθ
θ−+= .
Astfel, funcţia caracteristică va fi :ttittittc cos)sin(cos5,0)sin(cos5,0)( =+⋅+−⋅= .
Proprietăţi ale funcţiei caracteristice:
P1. Funcţia caracteristică c(t) este o funcţie uniform continuă pe R
P2. 1)0( =c
Demonstraţie: 1)1()()()0( 00 ==== MeMeMc ti .
P3. Dacă nXXX ,,, 21 Κ sunt variabile aleatoare independente cufuncţiile caracteristice )(,),(),( 21 tctctc nΚ , atunci funcţiacaracteristică a variabilei aleatoare nXXXX +++= Κ21 este
)()()()( 21 tctctctc n⋅⋅⋅= Κ
Demonstraţie:=⋅⋅⋅=== +++ ][][)()( 2121 )( nn itXitXitXXXXititX eeeMeMeMtc ΚΚ
=⋅⋅⋅= )()()( 21 nitXitXitX eMeMeM Κ )()()( 21 tctctc n⋅⋅⋅= Κ .
Consecinţa 1: Dacă =
⋅=n
kkk XY
1
λ , Rk ∈λ , unde
nXXX ,,, 21 Κ sunt variabile aleatoare independente cu funcţiile
caracteristice )(,),(),( 21 tctctc nΚ , atunci ∏=
=n
kkXY tctc
k1
)()( λ .
Consecinţa 2: Un produs de funcţii caracteristice este tot ofuncţie caracteristică. În particular, dacă c(t) este funcţiacaracteristică a variabilei aleatoare X , atunci ntc )]([ este tot ofuncţie caracteristică.
P4. Fie )(tcX funcţia caracteristică a variabilei aleatoare X şi fieXY ⋅= α . Atunci )()( tctc XY ⋅= α .
Demonstraţie: )()()()( tceMeMtc XXititY
Y ⋅=== αα .
P5. Fie variabila aleatoare X şi )(tcX funcţia sa caracteristică. FiebaXY += . Atunci ibt
XY eatctc )()( = .
Demonstraţie:=⋅=== + ][)()()( )()( itbXatibaXititY
Y eeMeMeMtc )(][ )( atceeMe XitbXatiitb = .
P6. Fie variabila aleatoare X şi c(t) funcţia caracteristică. Atunci
∞
=
⋅=0 !
)()(k
k
k
mkittc .
Demonstraţie:
∞
=
∞
=
==
==
00
)(!)(
!)()()(
k
kk
k
kk
itX XMkitX
kitMeMtc
∞
=0 !)(
kk
k
mkit , unde
∞
=
=0 !
)(k
kk
itX Xkite .
P7. )0(1|)]([1 )(0
)( kkt
kkk c
itc
im == =
Demonstraţie:
a) Fie variabila aleatoare discretă
n
n
pppxxx
XΚΚ
21
21: .
=
n
itxitxitxitX
pppeee
en
ΚΚ
21
21
=
⋅=n
jj
itx petc j
1
)(
=
⋅⋅=n
jj
itxj peixtc j
1
)('
………………………….
=
⋅⋅=n
jj
itxkj
kk pexitc j
1
)( )(
Înlocuind pe t cu zero, obţinem:
=
⋅==⋅=n
jk
kkkkj
kj
kk miXMicpxic1
)()( )()0()0(
Deci )0(1 )(kkk c
im = , nk ,,2,1 Κ= .
c) Fie variabila aleatoare continuă
)(:
xfx
X , ],[ bax ∈ .
=
)(xfee
itxitX
=b
a
itx dxxfetc )()(
⋅⋅=b
a
itx dxxfexitc )()('
…………………………….
⋅⋅=b
a
itxkkk dxxfexitc )()()(
Înlocuind pe t cu zero, obţinem:
kkb
a
itxkkk midxxfexic =⋅⋅⋅= )()0()(
Deci )0(1 )(kkk c
im = , nk ,,2,1 Κ= .
9.7. Normarea (reducerea) unei variabile aleatoare X
Fie variabila aleatoare X cu mXM =)( şi 2)( σ=XD .
DEFINIŢIE: Variabila aleatoare σ
mXZ −= se numeşte
variabila normată a variabilei aleatoare X (sau redusa variabileialeatoare X).
Proprietăţi ale variabilei normate:
P1. 0)( =ZM
Demonstraţie: 0)(11)( =−=
−=σσσσmXMmXMZM
P2. 1)( =ZD
Demonstraţie: =−=
−= )]()([1)( 2 mDxDmXDZDσσ
11 22 =⋅σ
σ, deoarece
0)( =mD .
9.8. Valoarea mediană
DEFINIŢIE: Se numeşte valoare mediană a variabileialeatoare X numărul Me care satisface relaţia
)()( MeXPMeXP >=< , adică valoarea pentru care variabilaaleatoare X are aceeaşi probabilitate de a fi mai mare şi mai micădecât ea.
Relaţia )()( MeXPMeXP >=< se mai scrie şi sub forma
)(1)( MeFMeF −= sau 1)(2 =MeF sau 21)( =MeF .
Deci Me este soluţia ecuaţiei 21)( =xF . În cazul unei
variabile aleatoare continue
)(:
xfx
X , ],[ bax ∈ , mediana se va
determina din ecuaţia =Me
adxxf
21)( .
EXEMPLU:
Să se determine mediana variabilei aleatoare continue
+ )12(121: x
xX , ]3,0[∈x .
0621][
121)12(
121 22
0=−+=+=+ MeMeMeMedxx
Me .
]3,0[31 ∉−=Me şi 22 =Me . Deci 2=Me .
9.9. Modul (valoarea cea mai probabilă)
DEFINIŢIE: Se numeşte modul (valoarea cea maiprobabilă) a variabilei aleatoare X acea valoare pentru care funcţiade probabilitate )( ixf , pentru variabila aleatoare discretă, respectivdensitatea de probabilitate )(xf este maximă.
OBSERVAŢIE: În cazul variabilei aleatoare continue,maximul funcţiei )(xf se obţine prin rezultatele cunoscute aleanalizei matematice
În cazul variabilelor aleatoare discrete se procedează astfel:
EXEMPLU: Să se determine modul variabilei aleatoarebinomiale.
)(:
xfx
X , nx ,...,1,0= , xnxxn qpCxf −=)( .
Presupunem că funcţia )(xf are o valoare maximă *x .Atunci )()1( ** xfxf <− şi )1()( ** +> xfxf .
Deci obţinem (1) 1)1(
)(*
*
>−xf
xf şi (2) 1)(
)1(*
*
<+xf
xf .
>⋅+−=⋅−
−+−==− +−−−
−
11!)!(!
)!1()!1(!)1(
)(*
*
**
**
111*
*
***
***
qp
xxn
qp
nxnxxxnn
qpCqpC
xfxf
xnxxn
xnxxn
pnpqpxppxnpqx +<++−< )(*** pnpx +<* , deoarece 1=+qp .
qnpxqnpqpxqp
xxn
xfxf −>−>+<⋅
+−=+ ***
*
*
*
)(11)(
)1( .
Deci pnpMoqnp +≤≤− .
9.10. Covarianţa (corelaţia)
Fie variabilele aleatoare X, cu media XmXM =)( şidispersia 2)( xXD σ= şi Y, cu media YmYM =)( şi dispersia
2)( yYD σ= .Calculând dispersia sumei celor două variabile aleatoare
obţinem:=−+−=−−+=+ ])()[(])[()( 222
YXYX mYmXMmmYXMYXD)])([(2])[(])[( 22
YXYX mYmXMmYMmXM −−+−+−= .
DEFINIŢIE: Media )])([( YX mYmXM −− se numeştecovarianţa celor două variabile şi se notează ),cov( YX .
Efectuând produsul, obţinem şi o altă expresie a coverianţei:=+−−=+−−= YXXYYXXY mmYMmXMmXYMmmYmXmXYMYX )()()(][),cov(
YX mmXYM −= )( deoarece XmXM =)( şi YmYM =)( .
OBSERVAŢIE: Dacă X şi Y sunt variabile aleatoareindependente, atunci 0),cov( =YX . Reciproc nu este adevărat.
9.11. Coeficientul de corelaţie
Fie X, Y două variabile aleatoare cu dispersiile 2Xσ şi
2Yσ finite şi nenule şi mediile Xm şi Ym . Fie
X
XmXXσ−=' şi
Y
YmYYσ−=' variabilele aleatoare normate corespunzătoare.
(M(X’)=0, M(Y’)=0, D(X’)=1, D(Y’)=1) .
DEFINIŢIE: Se numeşte coeficient de corelaţie avariabilelor aleatoare X şi Y, coverianţa variabilelor aleatoarenormate X’ şi Y’ şi îl notăm cu ),( YXρ .
)','cov(),( YXYX =ρAvem:
−−==Y
Y
X
X mYmXMYXYXσσ
ρ ,)','cov(),(YXYX
YX YXmYmXMσσσσ
),cov()])([( =−−=
Proprietăţi ale coeficientului de corelaţie:
P1. Dacă X şi Y sunt independente, atunci 0),( =YXρ .
Demonstraţie: Deoarece 0),cov( =YX în cazul unor variabile
aleatoare independente, şi 0),cov(),( ==YX
YXYXσσ
ρ .
P2. 1),(1 ≤≤− YXρ , pentru orice X şi Y.
Demonstraţie: M(X’)=0, M(Y’)=0, D(X’)=0, D(Y’)=0 , deci 1)'( 2 =XM şi
1)'( 2 =YM .Din egalitatea )'''2'()''( 222 YYXXYX +±=± obţinem :
)''(22)'()''(2)'(])''[( 222 YXMYMYXMXMYXM ±=+±=± .Cum )','cov()''( YXYXM = , obţinem: 0),(1 ≥± YXρ , adică
1),(1 ≤≤− YXρ .
P3. Dacă pentru două constante reale a şi b variabila aleatoare
baXY += , atunci
<−>
=0.1
0,1),(
aa
YXρ .
Demonstraţie: Ştim că bammYM XY −==)( şi 222)( XY aYD σσ == .Atunci vom obţine:
=−−+−−−= )])([()])([(),cov( BambaXmXMmYmXMYX XXYX
=−=−−=−−= ])[()])([()])([( 2XXXXX mXMmXmXaMamaXmXM 2)( XaXaD σ= .
1||||
),cov(),( 2
22
±=====aa
aaaYXYX
X
X
YX
X
YX σσ
σσσ
σσρ .
9.12. Caracteristici ale formei de repartiţie. Simetrie şiasimetrie.
DEFINIŢIE: Variabila aleatoare X definită de funcţia f(x)este simetrică faţă de valoarea medie m dacă )()( εε +=− mfmf ,oricare ar fi 0>ε .
SIMETRICĂ
ε−m m ε+m
ASIMETRICĂ
ε−m m ε+m
Proprietăţi:
P1. Pentru o repartiţie simetrică, media, mediana şi modul coincid.
P2. Momentele centrate de ordin impar pentru o repartiţie simetricăsunt nule 012 =+kµ .
Coeficienţi utilizaţi pentru măsurarea asimetriei:Coeficientul lui Pearson:
X
XMXMσ
α )()( 01
−= .
Coeficientul lui Fisher: Xσ
µα 32 = .