Caracterización de antenas lineales usando el Método de ... · Introducción EFIE AplicacióndelmØtodoenunaantenalineal Introducción 2 En un problema de radiación de antenas

IntroducciónEFIE

Aplicación del método en una antena lineal

Caracterización de antenas linealesusando el Método de los Momentos

Prof. A. Zozaya, Dr.1

1Laboratorio de Electromagnetismo Aplicado (LABEMA)Departamento de Electrónica y Comunicaciones

Universidad de Carabobo

Valencia, junio/2010

a.z. @ ‘abema Antenas lineales con MoM

IntroducciónEFIE


Contenido

Introducción

Ecuación integral del campo eléctrico

Aplicación del método en una antena linealFunciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación


IntroducciónEFIE


Introducción

2 En un problema de radiación de antenas lin-eales, se desea, conocidas las fuentes impresaso primarias, (e.g. el voltaje en los bornes de al-imentación) conocer:

2 por un lado: la distribución de corriente I (u) enlos alambres,2 por el otro: los campos de radiación E y H.2 pero: la distribución de corriente es una funciónde los campos y éstos de la corriente.

¿Cómo proceder?


IntroducciónEFIE


Introducción

2 En un problema de radiación de antenas lin-eales, se desea, conocidas las fuentes impresaso primarias, (e.g. el voltaje en los bornes de al-imentación) conocer:2 por un lado: la distribución de corriente I (u) enlos alambres,

2 por el otro: los campos de radiación E y H.2 pero: la distribución de corriente es una funciónde los campos y éstos de la corriente.

¿Cómo proceder?


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Introducción

2 En un problema de radiación de antenas lin-eales, se desea, conocidas las fuentes impresaso primarias, (e.g. el voltaje en los bornes de al-imentación) conocer:2 por un lado: la distribución de corriente I (u) enlos alambres,2 por el otro: los campos de radiación E y H.

2 pero: la distribución de corriente es una funciónde los campos y éstos de la corriente.

¿Cómo proceder?


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Introducción

2 En un problema de radiación de antenas lin-eales, se desea, conocidas las fuentes impresaso primarias, (e.g. el voltaje en los bornes de al-imentación) conocer:2 por un lado: la distribución de corriente I (u) enlos alambres,2 por el otro: los campos de radiación E y H.2 pero: la distribución de corriente es una funciónde los campos y éstos de la corriente.

¿Cómo proceder?


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Introducción

2 En un problema de radiación de antenas lin-eales, se desea, conocidas las fuentes impresaso primarias, (e.g. el voltaje en los bornes de al-imentación) conocer:2 por un lado: la distribución de corriente I (u) enlos alambres,2 por el otro: los campos de radiación E y H.2 pero: la distribución de corriente es una funciónde los campos y éstos de la corriente.

¿Cómo proceder?


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Ecuación integral del campo eléctrico –EFIE–

2 El campo radiado por una antena lineal se puede calcular, mediante elTeorema de Equivalencia, integrando las corrientes equivalentes (inducidas)en los alambres:

E = `|!„1 +

1»2rr´

«A

donde

A =—

4ı

ZS0Js (r 0)g(r ; r 0) ds 0

siendo g(r ; r 0) = e`j»jr`r0j

jr`r 0j


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2 El campo radiado por una antena lineal se puede calcular, mediante elTeorema de Equivalencia, integrando las corrientes equivalentes (inducidas)en los alambres:

E = `|!„1 +

1»2rr´

«A

donde

A =—

4ı

ZS0Js (r 0)g(r ; r 0) ds 0

siendo g(r ; r 0) = e`j»jr`r0j

jr`r 0j


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2 Sustituyendo A = —4ı

RS0 Js (r 0)g(r ; r 0) ds 0 en E = `|!

“1 + 1

»2rr´

”A,

se obtiene

E = ` |!—4ı

ZS0Js (r 0) ´

„I +

1»2rr

«g(r ; r 0) ds 0

donde I = axax + ayay + azaz es la diádica de Green.

2 Esta ecuación se conoce como Ecuación Integral del Campo Eléctri-co, EFIE (por sus siglas en inglés)2 En general, la corriente Js , cuyo valor viene dado por an ˆ H(SC ), sedesconoce: el campo H forma parte, en conjunto con E , de las incógnitasdel problema.


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RS0 Js (r 0)g(r ; r 0) ds 0 en E = `|!

“1 + 1

»2rr´

”A,

se obtiene

E = ` |!—4ı

ZS0Js (r 0) ´

„I +

1»2rr

«g(r ; r 0) ds 0

donde I = axax + ayay + azaz es la diádica de Green.2 Esta ecuación se conoce como Ecuación Integral del Campo Eléctri-co, EFIE (por sus siglas en inglés)

2 En general, la corriente Js , cuyo valor viene dado por an ˆ H(SC ), sedesconoce: el campo H forma parte, en conjunto con E , de las incógnitasdel problema.


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RS0 Js (r 0)g(r ; r 0) ds 0 en E = `|!

“1 + 1

»2rr´

”A,

se obtiene

E = ` |!—4ı

ZS0Js (r 0) ´

„I +

1»2rr

«g(r ; r 0) ds 0

donde I = axax + ayay + azaz es la diádica de Green.2 Esta ecuación se conoce como Ecuación Integral del Campo Eléctri-co, EFIE (por sus siglas en inglés)2 En general, la corriente Js , cuyo valor viene dado por an ˆ H(SC ), sedesconoce: el campo H forma parte, en conjunto con E , de las incógnitasdel problema.


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Funciones base y de pesoDistribución de corrienteDiagrama de radiación


2 En la figura se muestra la apariencia general deuna antena lineal alimentada en un punto central.

2 Para caracterizar esta antena (e.g. conocer suimpedancia de entrada y su diagrama de radiación),es necesario conocer la distribución de corriente.2 Como ejercicio de aplicación programaremos elmétodo de los momentos para estimar la distribu-ción de corriente de esta antena lineal.2 Premisas que aplicarán en nuestro análisis:

2 El radio a del alambre es muy pequeño comparado con su longitud L:afi L.2 El radio a del alambre es muy pequeño comparado con la longitud deonda –: afi –.2 El conductor se asume perfecto (ff ! 1), por esta razón la corrientese distribuye superficialmente: ff " ) J ! JS .2 La alimentación de la antena se efectúa a través de un «gap» ∆“ muypequeño comparado con –: ∆“ fi –


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2 En la figura se muestra la apariencia general deuna antena lineal alimentada en un punto central.2 Para caracterizar esta antena (e.g. conocer suimpedancia de entrada y su diagrama de radiación),es necesario conocer la distribución de corriente.

2 Como ejercicio de aplicación programaremos elmétodo de los momentos para estimar la distribu-ción de corriente de esta antena lineal.2 Premisas que aplicarán en nuestro análisis:



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2 En la figura se muestra la apariencia general deuna antena lineal alimentada en un punto central.2 Para caracterizar esta antena (e.g. conocer suimpedancia de entrada y su diagrama de radiación),es necesario conocer la distribución de corriente.2 Como ejercicio de aplicación programaremos elmétodo de los momentos para estimar la distribu-ción de corriente de esta antena lineal.

2 Premisas que aplicarán en nuestro análisis:



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2 En la figura se muestra la apariencia general deuna antena lineal alimentada en un punto central.2 Para caracterizar esta antena (e.g. conocer suimpedancia de entrada y su diagrama de radiación),es necesario conocer la distribución de corriente.2 Como ejercicio de aplicación programaremos elmétodo de los momentos para estimar la distribu-ción de corriente de esta antena lineal.2 Premisas que aplicarán en nuestro análisis:



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2 El radio a del alambre es muy pequeño comparado con su longitud L:afi L.

2 El radio a del alambre es muy pequeño comparado con la longitud deonda –: afi –.2 El conductor se asume perfecto (ff ! 1), por esta razón la corrientese distribuye superficialmente: ff " ) J ! JS .2 La alimentación de la antena se efectúa a través de un «gap» ∆“ muypequeño comparado con –: ∆“ fi –


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2 El radio a del alambre es muy pequeño comparado con su longitud L:afi L.2 El radio a del alambre es muy pequeño comparado con la longitud deonda –: afi –.

2 El conductor se asume perfecto (ff ! 1), por esta razón la corrientese distribuye superficialmente: ff " ) J ! JS .2 La alimentación de la antena se efectúa a través de un «gap» ∆“ muypequeño comparado con –: ∆“ fi –


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2 El radio a del alambre es muy pequeño comparado con su longitud L:afi L.2 El radio a del alambre es muy pequeño comparado con la longitud deonda –: afi –.2 El conductor se asume perfecto (ff ! 1), por esta razón la corrientese distribuye superficialmente: ff " ) J ! JS .

2 La alimentación de la antena se efectúa a través de un «gap» ∆“ muypequeño comparado con –: ∆“ fi –


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Aplicación del método en una antena linealCampo impreso

2 Admitimos que en nuestro problema el campoeléctrico consiste de dos partes:

E = Es + E i

2 E i es el campo impreso, debido a la excitación, que es distinto de cerosolo en el gap de alimentación:

E i =∆V∆“az ; 8z < j∆“=2j


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Aplicación del método en una antena linealCampo impreso

2 Admitimos que en nuestro problema el campoeléctrico consiste de dos partes:

E = Es + E i

2 E i es el campo impreso, debido a la excitación, que es distinto de cerosolo en el gap de alimentación:

E i =∆V∆“az ; 8z < j∆“=2j


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Aplicación del método en una antena linealCampo disperso

2 Es es el campo disperso, debido a la corrienteinducida en la superficie de la antena.

2 El campo Es se relaciona con la corriente segúnla ecuación

Es = ` |!—4ı

RS0 Js (r 0) ´

“I + 1

»2rr

”g(r ; r 0) ds 0

2 Como Js ! I (z 0)az , con Iaz = Js2ıa,2 Entonces

RS0 !

RL0 , ds

0 ! dz 0.2 Así las cosas, az ´ I = az , y az ´ r = @

@z ,

2 y como g(r ; r 0) ” e`j»p

(z`z 0)2+2p

(z`z 0)2+2, resulta:

Es = ` |!—4ı

Z L2

` L2

I (z 0)„az +

1»2

@

@zr«e`j»p

(z`z 0)2+2p(z ` z 0)2 + 2

dz 0

donde – a.


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2 Es es el campo disperso, debido a la corrienteinducida en la superficie de la antena.2 El campo Es se relaciona con la corriente segúnla ecuación

Es = ` |!—4ı

RS0 Js (r 0) ´

“I + 1

»2rr

”g(r ; r 0) ds 0


RS0 !

RL0 , ds


@z ,


(z`z 0)2+2p


Es = ` |!—4ı

Z L2

` L2

I (z 0)„az +

1»2

@

@zr«e`j»p

(z`z 0)2+2p(z ` z 0)2 + 2

dz 0

donde – a.


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Es = ` |!—4ı

RS0 Js (r 0) ´

“I + 1

»2rr

”g(r ; r 0) ds 0

2 Como Js ! I (z 0)az , con Iaz = Js2ıa,

2 EntoncesRS0 !

RL0 , ds


@z ,


(z`z 0)2+2p


Es = ` |!—4ı

Z L2

` L2

I (z 0)„az +

1»2

@

@zr«e`j»p

(z`z 0)2+2p(z ` z 0)2 + 2

dz 0

donde – a.


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Es = ` |!—4ı

RS0 Js (r 0) ´

“I + 1

»2rr

”g(r ; r 0) ds 0


RS0 !

RL0 , ds

0 ! dz 0.

2 Así las cosas, az ´ I = az , y az ´ r = @@z ,


(z`z 0)2+2p


Es = ` |!—4ı

Z L2

` L2

I (z 0)„az +

1»2

@

@zr«e`j»p

(z`z 0)2+2p(z ` z 0)2 + 2

dz 0

donde – a.


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Es = ` |!—4ı

RS0 Js (r 0) ´

“I + 1

»2rr

”g(r ; r 0) ds 0


RS0 !

RL0 , ds


@z ,


(z`z 0)2+2p


Es = ` |!—4ı

Z L2

` L2

I (z 0)„az +

1»2

@

@zr«e`j»p

(z`z 0)2+2p(z ` z 0)2 + 2

dz 0

donde – a.


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Es = ` |!—4ı

RS0 Js (r 0) ´

“I + 1

»2rr

”g(r ; r 0) ds 0


RS0 !

RL0 , ds


@z ,


(z`z 0)2+2p


Es = ` |!—4ı

Z L2

` L2

I (z 0)„az +

1»2

@

@zr«e`j»p

(z`z 0)2+2p(z ` z 0)2 + 2

dz 0

donde – a.


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Aplicación del método en una antena lineal2 Nos consta que Et ı 0 en = a:

(E i + Es ) ´ az j=a = 0

por tanto:

[ ∆V∆“

‹(z)az ` |!—4ı

RL0 I (z

0)„az + 1

»2@@z r

«g(r ; r 0) dz 0 ] ´ az = 0

y

RL0 I (z

0)“»2 + @2

@z2

”g(r ; r 0) dz 0 = ` |4ı»

”∆V∆“ ‹(z)

resultando:

Z L2

` L2

I (z 0)„»2 +

@2

@z2

«e`j»p

(z`z 0)2+a2p(z ` z 0)2 + a2

dz 0 = ` |4ı»”

∆V∆“

‹(z)


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(E i + Es ) ´ az j=a = 0

por tanto:

[ ∆V∆“

‹(z)az ` |!—4ı

RL0 I (z

0)„az + 1

»2@@z r

«g(r ; r 0) dz 0 ] ´ az = 0

y

RL0 I (z

0)“»2 + @2

@z2

”g(r ; r 0) dz 0 = ` |4ı»

”∆V∆“ ‹(z)

resultando:

Z L2

` L2

I (z 0)„»2 +

@2

@z2

«e`j»p

(z`z 0)2+a2p(z ` z 0)2 + a2

dz 0 = ` |4ı»”

∆V∆“

‹(z)


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(E i + Es ) ´ az j=a = 0

por tanto:

[ ∆V∆“

‹(z)az ` |!—4ı

RL0 I (z

0)„az + 1

»2@@z r

«g(r ; r 0) dz 0 ] ´ az = 0

y

RL0 I (z

0)“»2 + @2

@z2

”g(r ; r 0) dz 0 = ` |4ı»

”∆V∆“ ‹(z)

resultando:

Z L2

` L2

I (z 0)„»2 +

@2

@z2

«e`j»p

(z`z 0)2+a2p(z ` z 0)2 + a2

dz 0 = ` |4ı»”

∆V∆“

‹(z)


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(E i + Es ) ´ az j=a = 0

por tanto:

[ ∆V∆“

‹(z)az ` |!—4ı

RL0 I (z

0)„az + 1

»2@@z r

«g(r ; r 0) dz 0 ] ´ az = 0

y

RL0 I (z

0)“»2 + @2

@z2

”g(r ; r 0) dz 0 = ` |4ı»

”∆V∆“ ‹(z)

resultando:

Z L2

` L2

I (z 0)„»2 +

@2

@z2

«e`j»p

(z`z 0)2+a2p(z ` z 0)2 + a2

dz 0 = ` |4ı»”

∆V∆“

‹(z)


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Aplicación del método en una antena lineal2 En la ecuación:

RL0 I (z

0)“»2 + @2

@z2

”g(r ; r 0) dz 0 = ` |4ı»

”∆V∆“ ‹(z)

I (z 0) se desconoce.

2 I (z 0) se puede estimar usando el MoM.2 Para ello será necesario una expansión del tipo:I (z 0) ı

Pn Infn(z 0).

2 Establecer un procedimiento de pruebahwm;Lfni.2 Un dominio fuente.2 Un dominio de observación.

Discretización de los dominios de interés:2 Discretizamos ahora el dominio físico de las fuentes en un número N(par) de tramos, y seleccionamos N + 1 puntos fz 0ng con una separaciónconstante h = L=N: z 0n = nh, con n = 0;˚1;˚2; : : :˚ N

2 .2 Hacemos lo propio con el dominio físico de observación el cualse localiza en la superficie de la antena: fzmg: zm = mh con m =0;˚1;˚2; : : :˚ N

2 .


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RL0 I (z

0)“»2 + @2

@z2

”g(r ; r 0) dz 0 = ` |4ı»

”∆V∆“ ‹(z)

I (z 0) se desconoce.2 I (z 0) se puede estimar usando el MoM.

2 Para ello será necesario una expansión del tipo:I (z 0) ı

Pn Infn(z 0).




2 .


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RL0 I (z

0)“»2 + @2

@z2

”g(r ; r 0) dz 0 = ` |4ı»

”∆V∆“ ‹(z)

I (z 0) se desconoce.2 I (z 0) se puede estimar usando el MoM.2 Para ello será necesario una expansión del tipo:I (z 0) ı

Pn Infn(z 0).




2 .


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RL0 I (z

0)“»2 + @2

@z2

”g(r ; r 0) dz 0 = ` |4ı»

”∆V∆“ ‹(z)


Pn Infn(z 0).

2 Establecer un procedimiento de pruebahwm;Lfni.

2 Un dominio fuente.2 Un dominio de observación.



2 .


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RL0 I (z

0)“»2 + @2

@z2

”g(r ; r 0) dz 0 = ` |4ı»

”∆V∆“ ‹(z)


Pn Infn(z 0).

2 Establecer un procedimiento de pruebahwm;Lfni.2 Un dominio fuente.

2 Un dominio de observación.



2 .


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RL0 I (z

0)“»2 + @2

@z2

”g(r ; r 0) dz 0 = ` |4ı»

”∆V∆“ ‹(z)


Pn Infn(z 0).




2 .


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RL0 I (z

0)“»2 + @2

@z2

”g(r ; r 0) dz 0 = ` |4ı»

”∆V∆“ ‹(z)


Pn Infn(z 0).


Discretización de los dominios de interés:

2 Discretizamos ahora el dominio físico de las fuentes en un número N(par) de tramos, y seleccionamos N + 1 puntos fz 0ng con una separaciónconstante h = L=N: z 0n = nh, con n = 0;˚1;˚2; : : :˚ N


2 .


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RL0 I (z

0)“»2 + @2

@z2

”g(r ; r 0) dz 0 = ` |4ı»

”∆V∆“ ‹(z)


Pn Infn(z 0).



2 .

2 Hacemos lo propio con el dominio físico de observación el cualse localiza en la superficie de la antena: fzmg: zm = mh con m =0;˚1;˚2; : : :˚ N

2 .


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RL0 I (z

0)“»2 + @2

@z2

”g(r ; r 0) dz 0 = ` |4ı»

”∆V∆“ ‹(z)


Pn Infn(z 0).




2 .


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2 Selección de las funciones bases y de peso.

2Seleccionamos la siguiente familia de funcionesbases:

fn(z 0) =

8><>:sin»[z 0`h(n`1)]

sin»h ; hn > z 0 > (h ` 1)n;sin»[h(n+1)`z 0]

sin»h ; h(n + 1) > z 0 > hn;0; para el resto.

con n = 0;˚1;˚2; : : : ;˚N2

2 Seleccionamos la siguiente familia de funciones de peso:

w = ‹(z `mh)

con m = 0;˚1;˚2; : : : ;˚N2


IntroducciónEFIE




2 Selección de las funciones bases y de peso.2Seleccionamos la siguiente familia de funcionesbases:

fn(z 0) =

8><>:sin»[z 0`h(n`1)]



con n = 0;˚1;˚2; : : : ;˚N2


w = ‹(z `mh)

con m = 0;˚1;˚2; : : : ;˚N2


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2 Selección de las funciones bases y de peso.2Seleccionamos la siguiente familia de funcionesbases:

fn(z 0) =

8><>:sin»[z 0`h(n`1)]



con n = 0;˚1;˚2; : : : ;˚N2


w = ‹(z `mh)

con m = 0;˚1;˚2; : : : ;˚N2


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2 Llenado de la matriz del sistema o matriz deimpedancias y del vector de valores conocidos:

2 Dado que Zm;n = hw;Lfni, tenemos:2 Zm;n =

RL ‹(z `mh)Lfn dz , así:

2 Zm;n = Lfnjmh, esto es:

Zm;n =RL0 fn(z 0)

“»2 + @2

@z2

”g(r ; r 0)jmh dz 0

Así se tiene:

Zm;n =

Z L2

` L2

fn(z 0)„»2 +

@2

@z2

«e`j»p

(z`z 0)2+a2p(z ` z 0)2 + a2

˛̨̨̨˛z=mh

dz 0


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2 Llenado de la matriz del sistema o matriz deimpedancias y del vector de valores conocidos:2 Dado que Zm;n = hw;Lfni, tenemos:

2 Zm;n =RL ‹(z `mh)Lfn dz , así:


Zm;n =RL0 fn(z 0)

“»2 + @2

@z2


Así se tiene:

Zm;n =

Z L2

` L2

fn(z 0)„»2 +

@2

@z2

«e`j»p

(z`z 0)2+a2p(z ` z 0)2 + a2

˛̨̨̨˛z=mh

dz 0


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2 Llenado de la matriz del sistema o matriz deimpedancias y del vector de valores conocidos:2 Dado que Zm;n = hw;Lfni, tenemos:2 Zm;n =



Zm;n =RL0 fn(z 0)

“»2 + @2

@z2


Así se tiene:

Zm;n =

Z L2

` L2

fn(z 0)„»2 +

@2

@z2

«e`j»p

(z`z 0)2+a2p(z ` z 0)2 + a2

˛̨̨̨˛z=mh

dz 0


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Zm;n =RL0 fn(z 0)

“»2 + @2

@z2


Así se tiene:

Zm;n =

Z L2

` L2

fn(z 0)„»2 +

@2

@z2

«e`j»p

(z`z 0)2+a2p(z ` z 0)2 + a2

˛̨̨̨˛z=mh

dz 0


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Zm;n =RL0 fn(z 0)

“»2 + @2

@z2


Así se tiene:

Zm;n =

Z L2

` L2

fn(z 0)„»2 +

@2

@z2

«e`j»p

(z`z 0)2+a2p(z ` z 0)2 + a2

˛̨̨̨˛z=mh

dz 0


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Zm;n =RL0 fn(z 0)

“»2 + @2

@z2


Así se tiene:

Zm;n =

Z L2

` L2

fn(z 0)„»2 +

@2

@z2

«e`j»p

(z`z 0)2+a2p(z ` z 0)2 + a2

˛̨̨̨˛z=mh

dz 0


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2 Aproximando @2f@2z mediante diferencias finitas:

@2f@2z ı

1h2 [f (z ` h)` 2f (z) + f (z + h)]

se obtiene

Zm;n =R L2` L2

fn(z 0) 1h2

"e`j»Rm`1Rm`1

+ (h2»2 ` 2) e`j»RmRm

+ e`j»Rm+1Rm+1

#dz 0

donde Rm =p

(mh ` z 0)2 + a2.

2 La integral en z 0 se puede resolver asumiendo que (»2 + @2

@z2 )g(r ; r 0) semantiene uniforme en el subdominio fuente. En efecto:

Zm;n = 1h2

he`j»Rm`1;nRm`1;n

+ (h2»2 ` 2) e`j»Rm;nRm;n

+ e`j»Rm+1;n

Rm+1;n

i R L2

` L2fn(z 0) dz 0

donde Rm;n =p

[(m ` n)h]2 + a2.


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@2f@2z ı

1h2 [f (z ` h)` 2f (z) + f (z + h)]

se obtiene

Zm;n =R L2` L2

fn(z 0) 1h2

"e`j»Rm`1Rm`1

+ (h2»2 ` 2) e`j»RmRm

+ e`j»Rm+1Rm+1

#dz 0

donde Rm =p

(mh ` z 0)2 + a2.



Zm;n = 1h2

he`j»Rm`1;nRm`1;n

+ (h2»2 ` 2) e`j»Rm;nRm;n

+ e`j»Rm+1;n

Rm+1;n

i R L2

` L2fn(z 0) dz 0

donde Rm;n =p

[(m ` n)h]2 + a2.


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@2f@2z ı

1h2 [f (z ` h)` 2f (z) + f (z + h)]

se obtiene

Zm;n =R L2` L2

fn(z 0) 1h2

"e`j»Rm`1Rm`1

+ (h2»2 ` 2) e`j»RmRm

+ e`j»Rm+1Rm+1

#dz 0

donde Rm =p

(mh ` z 0)2 + a2.


@z2 )g(r ; r 0) semantiene uniforme en el subdominio fuente.

En efecto:

Zm;n = 1h2

he`j»Rm`1;nRm`1;n

+ (h2»2 ` 2) e`j»Rm;nRm;n

+ e`j»Rm+1;n

Rm+1;n

i R L2

` L2fn(z 0) dz 0

donde Rm;n =p

[(m ` n)h]2 + a2.


IntroducciónEFIE





@2f@2z ı

1h2 [f (z ` h)` 2f (z) + f (z + h)]

se obtiene

Zm;n =R L2` L2

fn(z 0) 1h2

"e`j»Rm`1Rm`1

+ (h2»2 ` 2) e`j»RmRm

+ e`j»Rm+1Rm+1

#dz 0

donde Rm =p

(mh ` z 0)2 + a2.



Zm;n = 1h2

he`j»Rm`1;nRm`1;n

+ (h2»2 ` 2) e`j»Rm;nRm;n

+ e`j»Rm+1;n

Rm+1;n

i R L2

` L2fn(z 0) dz 0

donde Rm;n =p

[(m ` n)h]2 + a2.


IntroducciónEFIE





@2f@2z ı

1h2 [f (z ` h)` 2f (z) + f (z + h)]

se obtiene

Zm;n =R L2` L2

fn(z 0) 1h2

"e`j»Rm`1Rm`1

+ (h2»2 ` 2) e`j»RmRm

+ e`j»Rm+1Rm+1

#dz 0

donde Rm =p

(mh ` z 0)2 + a2.



Zm;n = 1h2

he`j»Rm`1;nRm`1;n

+ (h2»2 ` 2) e`j»Rm;nRm;n

+ e`j»Rm+1;n

Rm+1;n

i R L2

` L2fn(z 0) dz 0

donde Rm;n =p

[(m ` n)h]2 + a2.


IntroducciónEFIE



Aplicación del método en una antena lineal2 Como:

R L2

` L2fn(z 0) dz 0 =R nh

(n`1)hsin»[z 0`h(n`1)]

sin»h dz 0 +R (n+1)hnh

sin»[h(n+1)`z 0]sin»h dz 0

2 Al resolver las integrales, se obtiene:

Z L2

` L2

fn(z 0) dz 0 =4 sin2(»h2 )

» sin»h

2 Finalmente Zmn tiene la forma:

Zm;n =1h2

»e`j»Rm`1;n

Rm`1;n+ (h2»2 ` 2)

e`j»Rm;n

Rm;n+e`j»Rm+1;n

Rm+1;n

– 4 sin2(»h2 )

» sin»h

donde Rm;n =p

[(m ` n)h]2 + a2.


IntroducciónEFIE




R L2


(n`1)hsin»[z 0`h(n`1)]




Z L2

` L2

fn(z 0) dz 0 =4 sin2(»h2 )

» sin»h


Zm;n =1h2

»e`j»Rm`1;n

Rm`1;n+ (h2»2 ` 2)

e`j»Rm;n

Rm;n+e`j»Rm+1;n

Rm+1;n

– 4 sin2(»h2 )

» sin»h

donde Rm;n =p

[(m ` n)h]2 + a2.


IntroducciónEFIE




R L2


(n`1)hsin»[z 0`h(n`1)]




Z L2

` L2

fn(z 0) dz 0 =4 sin2(»h2 )

» sin»h


Zm;n =1h2

»e`j»Rm`1;n

Rm`1;n+ (h2»2 ` 2)

e`j»Rm;n

Rm;n+e`j»Rm+1;n

Rm+1;n

– 4 sin2(»h2 )

» sin»h

donde Rm;n =p

[(m ` n)h]2 + a2.


IntroducciónEFIE




R L2


(n`1)hsin»[z 0`h(n`1)]




Z L2

` L2

fn(z 0) dz 0 =4 sin2(»h2 )

» sin»h


Zm;n =1h2

»e`j»Rm`1;n

Rm`1;n+ (h2»2 ` 2)

e`j»Rm;n

Rm;n+e`j»Rm+1;n

Rm+1;n

– 4 sin2(»h2 )

» sin»h

donde Rm;n =p

[(m ` n)h]2 + a2.


IntroducciónEFIE




R L2


(n`1)hsin»[z 0`h(n`1)]




Z L2

` L2

fn(z 0) dz 0 =4 sin2(»h2 )

» sin»h


Zm;n =1h2

»e`j»Rm`1;n

Rm`1;n+ (h2»2 ` 2)

e`j»Rm;n

Rm;n+e`j»Rm+1;n

Rm+1;n

– 4 sin2(»h2 )

» sin»h

donde Rm;n =p

[(m ` n)h]2 + a2.


IntroducciónEFIE




2 Dado que Vm = hwm;` |4ı»”

∆V∆“ i, al poner:

2 ∆V = 1, y2 ∆“ = h, se obtiene:

Vm =

Z L2

` L2

‹(z `mh)

„` |4ı»

”

1h

«dz

2 Y:

Vm =

` |4ı»

”1h ; m = N+1

2 ;0; para el resto.


IntroducciónEFIE






2 ∆V = 1, y

2 ∆“ = h, se obtiene:

Vm =

Z L2

` L2

‹(z `mh)

„` |4ı»

”

1h

«dz

2 Y:

Vm =

` |4ı»

”1h ; m = N+1



IntroducciónEFIE






2 ∆V = 1, y2 ∆“ = h,

se obtiene:

Vm =

Z L2

` L2

‹(z `mh)

„` |4ı»

”

1h

«dz

2 Y:

Vm =

` |4ı»

”1h ; m = N+1



IntroducciónEFIE






2 ∆V = 1, y2 ∆“ = h, se obtiene:

Vm =

Z L2

` L2

‹(z `mh)

„` |4ı»

”

1h

«dz

2 Y:

Vm =

` |4ı»

”1h ; m = N+1



IntroducciónEFIE






2 ∆V = 1, y2 ∆“ = h, se obtiene:

Vm =

Z L2

` L2

‹(z `mh)

„` |4ı»

”

1h

«dz

2 Y:

Vm =

` |4ı»

”1h ; m = N+1



IntroducciónEFIE



Distribución de corrienteResultados

−0.25 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

1

2

3

4

5

6

7

8x 10

−3

z′/λ

Re{

i(z′)}

<fI (z 0)g vs. z0

–

−0.25 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25−6

−5

−4

−3

−2

−1

0x 10

−3

z′/λIm

{i(z′

)}

=fI (z 0)g vs. z0

–


IntroducciónEFIE



Diagrama de radiación

2 El patrón de radiación F („) viene dadopor:

F („) =jN„(„)jjN„(ı=2)j

donde

N„(„) = [RL0 I (z

0)az e|»z0 cos „ dz 0] ´ a„

2 F („) se puede estimar, numéricamente, para un conjunto de K valoresdel ángulo „: „ = f„0; „1; ´ ´ ´ ; „Kg.2 Para ello se reemplaza I (z 0) por su aproximación: I (z 0) ı

Pn Infn(z 0):

N„(„) = ` sin „RL0Pn Infn(z 0) e|»z

0 cos „ dz 0

con „ = f„0; „1; ´ ´ ´ ; „Kg.


IntroducciónEFIE





F („) =jN„(„)jjN„(ı=2)j

donde

N„(„) = [RL0 I (z

0)az e|»z0 cos „ dz 0] ´ a„


Pn Infn(z 0):


0 cos „ dz 0

con „ = f„0; „1; ´ ´ ´ ; „Kg.


IntroducciónEFIE





F („) =jN„(„)jjN„(ı=2)j

donde

N„(„) = [RL0 I (z

0)az e|»z0 cos „ dz 0] ´ a„

2 F („) se puede estimar, numéricamente, para un conjunto de K valoresdel ángulo „: „ = f„0; „1; ´ ´ ´ ; „Kg.

2 Para ello se reemplaza I (z 0) por su aproximación: I (z 0) ıPn Infn(z 0):


0 cos „ dz 0

con „ = f„0; „1; ´ ´ ´ ; „Kg.


IntroducciónEFIE





F („) =jN„(„)jjN„(ı=2)j

donde

N„(„) = [RL0 I (z

0)az e|»z0 cos „ dz 0] ´ a„


Pn Infn(z 0):


0 cos „ dz 0

con „ = f„0; „1; ´ ´ ´ ; „Kg.


IntroducciónEFIE




2 La integral IN =RL0Pn Infn(z 0) e|»z

0 cos „ se puederesolver numéricamente.

2 Intercambiando los operadoresPn!

RL0 ,

2 Llamando ‘0n el sub-dominio de integración defn(z 0):

IN ıPn InR‘0nfn(z 0) e|»z

0 cos „ dz 0

con „ = f„0; „1; ´ ´ ´ ; „Kg.2 Sub-dividiendo ‘0n en M sub-tramos de longitud∆.

2 Aproximando IN :

IN ıPn InPMm fn(zc

0m ) e|»z

c0m cos „ ∆

donde zc0m es la coordenada z 0 del centro del tramo m-ésimo, y „ =

f„0; „1; ´ ´ ´ ; „Kg.


IntroducciónEFIE





0 cos „ se puederesolver numéricamente.2 Intercambiando los operadores

Pn!

RL0 ,



0 cos „ dz 0


2 Aproximando IN :

IN ıPn InPMm fn(zc

0m ) e|»z

c0m cos „ ∆


f„0; „1; ´ ´ ´ ; „Kg.


IntroducciónEFIE






Pn!

RL0 ,



0 cos „ dz 0

con „ = f„0; „1; ´ ´ ´ ; „Kg.

2 Sub-dividiendo ‘0n en M sub-tramos de longitud∆.

2 Aproximando IN :

IN ıPn InPMm fn(zc

0m ) e|»z

c0m cos „ ∆


f„0; „1; ´ ´ ´ ; „Kg.


IntroducciónEFIE






Pn!

RL0 ,



0 cos „ dz 0


2 Aproximando IN :

IN ıPn InPMm fn(zc

0m ) e|»z

c0m cos „ ∆


f„0; „1; ´ ´ ´ ; „Kg.


IntroducciónEFIE






Pn!

RL0 ,



0 cos „ dz 0


2 Aproximando IN :

IN ıPn InPMm fn(zc

0m ) e|»z

c0m cos „ ∆


f„0; „1; ´ ´ ´ ; „Kg.


IntroducciónEFIE



Diagrama de radiaciónResultados

0.2 0.4 0.6 0.8 1

π/6

5π/6

π/3

2π/3

π/2 π/2

2π/3

π/3

5π/6

π/6

π

0

N=i2.*exp(1j*2*pi*Zpctheta);N=sum(N,2);Nz=N'.*-sin(theta).*Delta;


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Caracterización de antenas lineales usando el Método de ... · Introducción EFIE AplicacióndelmØtodoenunaantenalineal Introducción 2 En un problema de radiación de antenas