Resumen—En este trabajo se presenta una técnica novedosa

para la caracterización espectral con alta resolución de procesosarmónicos ocultos en ruido coloreado. La aproximación propuesta enfoca el problema de la estimación espectral a través la fusióninteligente de dos paradigmas: (i) estimación paramétrica delíneas espectrales que identifica la señal multi-armónica aplicando el método modificado por regularización de Prony (MORP) y (ii)estimación espectral no paramétrica de Máxima Entropía (ME) yde Mínima Varianza (MV) para la caracterización del espectrodistribuido que representa el ruido coloreado. Mediante lapropuesta de la fusión de estrategias se alcanza una mejorasubstancial tanto en la resolución de líneas espectrales cercanasentre si, como en la reconstrucción de las características deespectro distribuido del ruido de fondo. Se verifica el métodopropuesto fusionado en dos versiones: MORP-ME y MORP-MVmediante los resultados de simulaciones computacionales yaplicaciones particulares.

Palabras Clave— Análisis Espectral, Estimador de MáximaEntropía (ME), Estimador de Mínima Varianza (MV), MétodoModificado por Regularización de Prony (MORP).

I. INTRODUCCIÓN

a estimación de la densidad espectral de potencia (PSDpor sus siglas en inglés Power Spectral Density) es tema

de gran importancia en el ámbito del procesamiento de datosen diversas áreas de las ciencias y la ingeniería. Lateledetección o percepción remota, procesamiento de voz,procesamiento de imágenes, procesamiento de señalesbiomédicas, comunicaciones y econometría son sólo algunosejemplos de su aplicación [1], [2], [3], [4]. De maneraespecífica, el aspecto de la resolución, tanto espacial deobjetos tipo fuentes puntuales cercanamente espaciados comola temporal generada por tonos de frecuencias cercanas, y lacaracterización de procesos armónicos inmersos en ruidocoloreado, han sido tópicos clave en el desarrollocontemporáneo de métodos de estimación espectral [1], [2],[3], [5], [6].

J. L. Ponce-Dávalos pertenece al Departamento de Ingeniería Electrónicadel ITESM, Campus Guadalajara, Av. Gral. Ramón Corona 2514, Zapopan,Jal., C.P. 45214, México. (e-mail: jlponce@itesm.mx).

Y.V. Shkvarko pertenece al Departamento de Telecomunicaciones delCINVESTAV del IPN, Unidad Guadalajara, Av. López Mateos Sur 590,Guadalajara, Jal., México. (e-mail: shkvarko@cts-design.com).

A la fecha, se ha propuesto una amplia variedad de métodosde estimación espectral, entre los que destacan diferentesversiones de los métodos de máxima entropía de Burg [1], elde máxima verosimilitud de Capon [2], métodos basados en ladescomposición de la matriz de correlación de datos entérminos de sus eigenvalores y eigenvectores (Pisarenko [2],MUSIC [1] ESPRIT [3]) y la formulación Bayesiana demáxima entropía [5], [6].

La intención principal de las diferentes propuestas deestimación espectral consiste en obtener métodos que puedanmanifestar un buen desempeño tanto de superresolución (i.e.poder distinguir fuentes puntuales cercanas entre sí [2]), comode alta resolución, (i. e. poder estimar la PSD deobservaciones con espectro distribuido de banda limitadacomo, por ejemplo, las generadas por el ruido coloreado [12]).Para evaluar el desempeño de las diversas propuestas deestimación espectral, es conveniente proponer secuencias dedatos obtenidas de manera sintética, esto tiene la ventaja deque se podrá trabajar con datos controlados, que pueden ser devalor real o de valor complejo permitiendo así incluirespectros no simétricos.

La alta resolución y la superresolución son situacionesincompatibles cuando se analiza la estimación espectral enforma global [1], [2], [3], [7], [8]. Por ello, los métodosreferidos se han enfocado principalmente a situaciones en lasque la escena de fondo se considera como ruido blancoGaussiano, y desafortunadamente poco se ha trabajado enescenarios en los que las señales de interés se encuentraninmersos en ruido coloreado. Más aún, a la fecha no existemétodo que aborde la problemática de la alta resolución y lasuperresolución de manera conjunta [1], [2], [3], [5], [7], [10],[17], [18].

Por otra parte, entre los métodos de estimación de líneasespectrales para el caso de modelos de señales multi-armónicas, los métodos de Prony y el de descomposiciónarmónica de Pisarenko son de los más extensamenteempleados [3], [8] [9], [10], [11]. Sin embargo, estos sonaltamente sensibles al ruido coloreado y sus resultados arrojanlíneas espectrales falsas en diversas posiciones [10], [17], [18].

El método que proponemos permite establecer un hechoimportante, esto es: con el método modificado porregularización de Prony (MORP) para estimación espectralque se describe en este trabajo, y bajo diferentes hipótesisacerca del número presente de componentes armónicas, resulta

Caracterización Espectral Mediante el Método Modificado por Regularización de Prony

Fusionado con Estimadores Espectrales No Paramétricos de Alta Resolución

J. L. Ponce-Dávalos, Member, IEEE y Y.V. Shkvarko, Senior Member, IEEE

L

IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 3, NO. 3, JULY 2005 255

que las líneas espectrales que verdaderamente están presentespermanecen relativamente inalteradas en su posición espectral,en tanto que las líneas falsas cambian su posición en elespectro para cada realización experimental. En caso de noexistir componentes armónicas, el método arroja resultados enposiciones espectrales aleatorias. A esta característica lellamamos Invariancia en la Posición Espectral (SPI por sussiglas en inglés Spectral Positional Invariance).

La característica SPI se estableció en primera instancia demanera experimental, pero ha sido corroborada enaplicaciones prácticas con resultados favorables. Sujustificación matemática se basa en el hecho de que lasposiciones espectrales verdaderas tienen mayor probabilidadde ocurrir que las espurias [11].

El objetivo principal de este trabajo es proponer unaaproximación alternativa a la estimación espectral/espacial dealta resolución y super resolución que agrega los paradigmasde estimación espectral paramétrica y no paramétrica demanera cooperativa. La propuesta hace uso de la propiedad deSPI de las líneas espectrales, obtenidas bajo diferenteshipótesis mediante el método MORP, el cual es unamodificación del método de estimación espectral modificadomediante regularización (MORSE por sus siglas en inglésModified Regularized Spectral Estimation) que fue propuestarecientemente en [10].

La estimación espectral propuesta en este trabajo suponeque los datos representan una señal de observación compuesta,formada por una parte multi-armónica y otra parte de ruidocoloreado. El procedimiento consiste primeramente en laaplicación iterada del método MORP varias veces bajodiferentes hipótesis acerca del número de posibles líneasespectrales, las cuales corresponderán a las componentesarmónicas de la señal. Este procedimiento ha permitidodesarrollar una estrategia para obtener la caracterizaciónparamétrica explícita del modelo multi-armónico. Después,realizamos un innovación regularizada a partir del registro deobservaciones iniciales restando la componente multi-armónica (estimada previamente aplicando el método MORP)de la señal original. El siguiente paso es reconstruir la partedistribuida del espectro PSD aplicando estimadores noparamétricos adaptivos de alta resolución a los datosinnovados.

En este trabajo proponemos cómo emplear los métodos noparamétricos de máxima entropía (ME) y de mínima varianza(MV) por producir los mejores desempeños en el sentido dealta resolución en balance con su eficiencia computacional [1],[2]. La fusión de estos métodos con MORP presenta unamejora sustancial en la reconstrucción espectral de la PSDresultante, tanto de la parte de alta resolución de líneasespectrales como de la parte distribuida del espectro continuode banda limitada.

El trabajo se ha organizado de la siguiente forma: en lasección II se enmarca el problema a estudiar con un análisis delos métodos de estimación existentes y la elección de losmodelos de prueba; en la sección III se presenta un brevepanorama de los métodos modernos de análisis y estimaciónespectral, los cuales se ilustran con simulacionescomputacionales; en la parte IV se presenta el métodopropuesto MORP y la estructura computacional de su

aplicación; en la sección V se presentan la estrategia de fusiónpropuesta y los resultados de la agregación de métodosMORP-ME y MORP-MV. Las simulaciones computacionalesobtenidas permiten verificar la eficiencia de los métodospropuestos. Finalmente en la sección VI se presentan lasconclusiones.

II. MARCO DE TRABAJO DEL PROBLEMA A ESTUDIAR

Dos características inherentes limitan el desempeño de losmétodos de estimación de la PSD, tanto clásicos comoparamétricos modernos [1], [2]: primeramente, la resolución,es decir, la habilidad de distinguir dos o más objetos puntualescercanos unos de otros; la segunda limitante es debida alproceso de ventaneo implícito de los datos cuando se trabajamediante procesamiento de la transformada discreta de Fourier(DFT, por sus siglas en inglés Discrete Fourier Transform) lacual produce una limitación finita en el ancho de banda. Elventaneo temporal, o registro finito de datos, se reflejaespectralmente como un “desparramamiento”, es decir, laenergía del lóbulo principal en el espectro estimado se“desparrama” hacia los lóbulos laterales traslapando ydistorsionando cualquier otra respuesta espectral cercana [1],[2]. Los métodos de alta resolución tienen por objetivo haceruna extrapolación fuera de la banda para corregir dichoproblema [12].

Los métodos paramétricos (basados en modelo espectral)permiten obtener resultados con superresolución pero nopueden reconstruir la parte continua o distribuida de la PSD, la cual está relacionada con el ruido coloreado [1], [2]. Por otraparte, los métodos no paramétricos (sin modelo espectral) noson capaces de resolver con superresolución líneas espectralescercanas, sólo proporcionan la envolvente espectral [1], [7].

A fin de explorar los métodos existentes y los métodospropuestos, se considerarán dos conjuntos de datos de prueba,los cuales se encuentran reportados en la literatura [1], [2] yson de uso frecuente como “test data”. Estos dos casos sonsecuencias de K valores de naturaleza compleja {u[k]; k = 0,1,…, K−1}. Es importante aclarar que si bien en cualquieraplicación ordinaria los datos medidos son cantidades de valorreal, la razón de emplear datos de valor complejo obedece aque como lo que se quiere estimar es el espectro el cual esinherentemente complejo, entonces, para tener un escenariocontrolado y que abarque cualquier posibilidad de estimaciónespectral, independientemente de la simetría de este, esnecesario generar de manera sintética espectros que no seannecesariamente simétricos, para así poder evaluar las ventajasy limitaciones de los métodos de estimación espectral [2]. Losprocesos de valor real quedarán contenidos dentro de laformulación compleja, como es usual en muchas aplicacionessemejantes.

En el dominio de la frecuencia el espectro se encuentradentro de una banda limitada de frecuencia normalizada con| f | < 1/2 [2].

El primer modelo de prueba detallado en la [1] consiste enuna secuencia de K = 32 datos complejos obtenidos de la sumade tres sinusoides de frecuencias normalizadas localizadas en0.05, 0.40 y 0.42 respectivamente. Así como una señal deruido coloreado extendido en toda la banda, el cual se obtiene

256 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 3, NO. 3, JULY 2005

al hacer pasar ruido blanco gaussiano a través de un filtroauto-regresivo de orden 1. La razón señal a ruido (SNR, porsus siglas en inglés Signal-to-Noise Ratio) es aproximada-mente de 30 dB en f = 0.4 y alrededor de 15 dB en f = 0.05. Elespectro teórico es simétrico y se ilustra en la Fig. 1.a.

El segundo conjunto de datos de prueba obtenido de lareferencia [2] es una secuencia de K = 64 muestras de unproceso que consiste de cuatro sinusoides complejas inmersasen un proceso de ruido coloreado. Las sinusoides a analizarson las frecuencias ubicadas en –0.15 y 0.1 (las cuales estánpor debajo del nivel de ruido coloreado), y otras dos que seencuentran cercanas entre sí, en 0.2 y 0.21, respectivamente.La señal de ruido coloreado se obtiene al hacer pasar una señal de ruido blanco Gaussiano a través de un filtro de cosenoalzado. En la Fig. 1.b se muestra el espectro teórico para estosdatos de prueba. En este caso se tiene un espectro no simétricocon SNR promedio de 15 dB.

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frecuencia Normalizada

PS

DR

ela

tiv

a(d

B)

a)

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frecuencia Normalizada

PD

SR

ela

tiv

a(d

B)

b)Fig. 1. Espectros teóricos de los procesos de ejemplo: a) Espectro simétricoespecificado en la ref. [1]; b) Espectro no simétrico especificado en la ref. [2].

III. BREVE PANORAMA DE LOS MÉTODOS MODERNOSPARA LA ESTIMACIÓN ESPECTRAL

La PSD está definida sólo para señales de potencia [1], [2].En el tiempo continuo se determina como [1]

)2exp()(21)(

2

∫−∞→−=

T

TTdttfjtu

TlímfP π (1)

en donde, u(t) es la señal de observación y es la representaciónmatemática del fenómeno a estudiar, T es el tiempo deobservación. La PSD, también se puede calcular por el métodoindirecto [1] como

∫∞

∞−−= ττπτ dfjrfP )2exp()()( (2)

en donde r(τ) es la función de autocorrelación (FAC) definida

por

∫−∞→+=+=

T

TTdttutu

TlímtutuEr )(*)(

21)}(*)({)( τττ (3)

con E{⋅} denotando el valor esperado y * el complejoconjugado.

Al tratar de evaluar las ecuaciones (1) ó (2) y (3), surgendificultades prácticas, ya que en la realidad el proceso aestudiar es observado en una ventana de tiempo dentro de lacual sólo se tiene un conjunto limitado de muestras. Por ello,es necesario tratar hipótesis acerca del comportamientoestadístico del fenómeno observado, con el objetivo de obtener un valor estimado de la PSD. Como hipótesis estadística detrabajo se considera que los datos son procesos ergódicosestacionarios en sentido amplio [1].

La estimación de la densidad espectral de potencia(PSD) de procesos aleatorios, ha sido estudiada en una ampliavariedad de enfoques [1], [2], [3]. Una manera de catalogar los métodos es categorizarlos en dos clases. La primeracomprende los Métodos No-Paramétricos, (clásicos ymodernos), los cuales obtienen la estimación de la PSDmediante el procedimiento estándar de la DFT y el cálculo dela función de autocorrelación, la cual es determinada mediantediferentes hipótesis como se explicará adelante. La siguienteclase comprende los Métodos Paramétricos, los cuales estánbasados en un modelo paramétrico del espectro, algunos de los métodos frecuentemente usuales son descritos brevemente enseguida. Se presentarán sólo las generalidades de dichosmétodos para ilustrar los resultados obtenidos por estosestimadores y se compararán con el método propuesto en estetrabajo. Para una descripción de mayor detalle se hacereferencia a la literatura citada [1], [2], [3], [7].

A. Estimación Espectral No-Paramétrica1) Métodos Clásicos:Usualmente se consideran de manera representativa dos

estimadores espectrales clásicos desarrollados a partir de losmétodos directo e indirecto de manera discretizada, ellos son:el Periodograma y el Estimador de Blackman-Tukey [7].

El periodograma es la aplicación del método directodiscretizado, dado por [7]

21

0

)2exp(][)(ˆ ∑−

=

−=K

kPG kTfjku

KTfP π (4)

en donde {u[k]; k = 0, 1…, K−1} representa un conjunto dedatos de valor real tomados como muestras durante elintervalo de tiempo T del proceso a estudiar. El método realizauna estimación relativamente pobre debido al efecto de“desparramamiento” espectral [1]. En la Fig. 2.a y 2.b y seilustran los periodogramas (4) relativos a los datos de pruebacuyos espectros son presentados en las Fig. 1.a) y 1.b)respectivamente. Es fácil ver que )(ˆ fPPG produce estima-ciones muy burdas de los espectros originales.

La discretización del método indirecto se conoce comocorrelograma [1] y su aplicación implica una ventanarectangular intrínseca en el dominio de las frecuencias, la cualprovoca variabilidad estadística [7]. Blackman y Tukey

PONCE-DÁVALOS AND SHKVARKO : SPECTRAL CARACTERIZATION VIA FUSING 257

desarrollaron un método alternativo (referido como estimadorBT) que emplea una ventana en el dominio de las frecuenciaspara reducir la varianza suavizando el periodograma. Laecuación que determinan el estimador BT es:

∑−=

−=K

KkBT TkfjkwkrfP )2exp(][][ˆ)(ˆ π (5)

en donde se ha empleado una estimación de la FAC definidacomo [7]

}1||0

];[*ˆ][ˆ;][][1][ˆ{1

0

*

−≤≤

−=−+= ∑−−

=

Km

mrmrkumkuK

mrmK

k(6)

y w[k] es una secuencia real llamada ventana de retardo [1].Dicha ventana puede ser alguna de las conocidas como la deHamming, Hanning, Bartlett, etc. [7]. En la Fig. 2.c y 2.d seilustra el estimador )(ˆ fPBT de los datos empleados comocasos de prueba con una de las ventanas más frecuentementeusadas de Hamming de ancho K/4.

2) Métodos Modernos:Los métodos de alta resolución (que en la literatura de

mayor reconocimiento [1], [2] en análisis espectral se lesnombra como métodos modernos) plantean hipótesis sobre elcomportamiento de los datos o del espectro. Los hayparamétricos y no paramétricos. Dentro de los más usualestenemos: el método de Mínima Varianza (MV) [1], el deMáxima Entropía (ME) [1] y el de clasificación de múltiplesseñales MUSIC (por sus siglas en inglés Multiple SignalClassification) [3].

Estimador de MV: El estimador de MV es una adaptacióndel Método de Máxima Verosimilitud desarrollado por Capon[2]. Este método permite estimar la PSD a partir de los datosmuestreados {u[k]; k = 0, 1,..., K − 1} del proceso a estudiar,mediante la minimización de la potencia de salida o varianzade un arreglo de I filtros pasa-banda de banda angosta [13],cada uno con respuesta al impulso {gi[k]} centrado en unafrecuencia determinada fi; i = 1,..., I, y restringidos a tener unaganancia unitaria para asegurar que no introduzcan distorsiónen su respuesta. Los filtros son altamente selectivos y cada uno rechaza cualquier potencia residual de salida debido acontribuciones fuera de banda [13].

En la aproximación de MV, cada filtro pasa-banda semodela como un filtro transversal de orden P+1. La respuestade cada filtro para la secuencia de datos de entrada u[k] seobtiene como [7]

}1,...,1,0y,...,1;][][][{0

−==−= ∑=

KkIipkupgkyP

pii . (7)

Para asegurar que el filtro no altera la potencia de la señalde entrada se establece como restricción de calibración que laganancia del filtro es unitaria en cada fi, es decir [7]

},...,1;1)2exp(][)({0

IifpjpgfGP

piiii ==−= ∑

=π . (8)

El objetivo del método de MV es estimar la potencia de laseñal observada {u[k]} en la frecuencia de interés fi con lamayor precisión posible. Esto se logra si el filtro pasa-bandacentrado en fi cancela tanta potencia residual de salida comosea posible. Por lo tanto el criterio de optimización de MV esla minimización del valor esperado de la potencia de salida delbanco de filtros, es decir la minimización de la varianza

}|][|{ 2kyE i , la cual representa indirectamente la PSD de la señal original {u[k]} en la frecuencia de interés fi [7].

En forma vectorial-matricial, definiendo u = [u[0] u[1] …u[K−1]T, gi = [gi[0] gi[1] … gi[P]]T y ei( fi ) = [1 e j2πfi ...e j2πfi P]T, la potencia de salida del filtro de MV es pordefinición

iPHii

HHi

iHH

ii

E

EkyE

gRgguug

guug

=

==

}{

)})(({}|][|{ 2

en donde H denota la transposición Hermitiana yRP = }{ HE uu representa la matriz de auto-correlaciónrestingida a un orden (P+1)×(P+1) con P < K de los datosobservados. La restricción de ganancia unitaria se impone através de

1== iHii

Hi geeg .

Efectuando el cálculo de minimización con restriccionesmediante la técnica usual de multiplicadores de Lagrange [7]se deduce que el estimador de MV para un espacio continuode frecuencias viene a ser [1]

)(ˆ)(1)(ˆ

1 fffP

PHMV

eRe −= (9)

donde e( f ) = [1 e j2π f ... ej2π f P]T es un vector formado por laspotencias de la exponencial compleja {ej2π f p ; p = 0, 1…, P}definido para un continuo de frecuencias | f | < 1/2. Este vectores denominado usualmente como “vector de asignación defrecuencias” [1] o “steering vector” en el análisis deestimación espacial espectral [13]. En (9), la matriz

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

+−−−

=

]0[ˆ]1[ˆ][ˆ

]1[ˆ]0[ˆ]1[ˆ][ˆ]1[ˆ]0[ˆ

ˆ

rPrPr

PrrrPrrr

P

L

MOMM

L

L

R (10)

representa la estimación de la matriz de autocorrelaciónrestringida definida mediante (6) [2]. En la Fig. 2.e y 2.f semuestran los espectros estimados mediante el método de MVde los datos de prueba de las Fig. 1.a) y 1.b) respectivamente.

Estimador de ME: El estimador de ME de Burg [1]pretende aliviar el problema del “desparramamiento”provocado por el truncamiento en los datos. La estrategiaconsiste en estimar por extrapolación a la función deautocorrelación definida por (6) fuera de un segmento delongitud P<K, es decir, si se conoce { r [0], r [1],…, r [P]}.Entonces se estima { r [P+1], r [P+2],… r [K]} mediante unproceso recursivo de predicción lineal mediante la expresión[2]

258 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 3, NO. 3, JULY 2005

},,1;][ˆ][ˆ][ˆ{1

KPkpkrpkrP

p

K+=−−= ∑=

α (11)

en donde los coeficientes ][ˆ pα son los parámetros estimadosdel modelo auto-regresivo de predicción lineal, los cuales sedeterminan a través del algoritmo recursivo clásico deLevinson detallado en [1] o [2], por ejemplo.

La estimación es tal que la entropía dentro del segmento Pde observación es máxima, en tanto que la aportación de lainformación fuera de dicho segmento es mínima. El cálculoestá sujeto a la restricción de que { ][ˆ pr ; p = 1,…, P)} y laPSD son pares de Fourier, es decir

∫−

==2/1

2/1

,,1],[)2exp()(ˆ PpprdfpfjfPME Kπ . (12)

El resultado es el estimador normalizado de ME [7]

2

1

)2exp(][ˆ1

1)(ˆ

∑=

−+

=P

p

ME

pfjp

fP

πα

. (13)

En la Fig. 2.g y 2.h se muestran los espectros de losprocesos de prueba de Fig. 1 estimados mediante el métodoME.

Método MUSIC: Este método es uno de los más popularespara la estimación espectral de alta resolución [3]. En estecaso, la idea consiste en separar los subespacios de señal y deruido. Si la señal consiste de P sinusoides inmersas en ruidoblanco, entonces la descomposición en autovalores de lamatriz de autocorrelación KR de la señal completa muestrauna separación acentuada entre los autovalores el espacio de laseñal y el de ruido, determinada por la magnitud de estos.

Los autovalores que pertenecen al ruido son sustancialmentemás pequeños que los de la señal para razones de señal a ruidoaltas. Definimos al conjunto {vp; p = P+1, P+2,…, P+K}como el conjunto de eigenvectores que representan al ruido,caracterizado por ser los de menor autovalor. Loseigenvectores correspondientes al subespacio de señal sonortogonales a los del subespacio de ruido y por lo tanto la

magnitud espectral ∑+=

=K

Ppp

HHpp

H fff1

2)())()()(( veevve

es nula al ser evaluada en las frecuencias de las componentesarmónicas presentes en la señal. Por lo tanto el recíproco deesta cantidad tiende a infinito en las frecuencias existentes enla señal. Schmidt [1] nota este resultado y define la PSDestimada por el método de “Múltiple clasificación de señales”MUSIC como

)()(1)(ˆ

fffP H

ppHMUSIC evve

= . (14)

Los espectros MUSIC estimados para los datos de prueba se presentan en la Fig. 2.i y 2.j.

B. Breve Panorama de Estimación Espectral Paramétrica La estimación espectral paramétrica consiste en proponer un

modelo que describa al espectro mismo [1], [2], [6] o a laseñal [1], [2], [7]. Los modelos usualmente empleados [1], [2],[6], [7] son los llamados auto-regresivo de promedio móvil(ARMA por sus siglas en inglés Auto-Regressive MovingAverage), de promedio móvil (MA) y el auto-regresivo (AR).Los parámetros del modelo son estimados usando sólo losdatos disponibles. Existen diversas técnicas para obtenerdichos parámetros [1], [2], [6], [7].

Otra forma de estimación espectral es aquella en la que sepropone un modelo para la señal [1], [2], [10], [11]. En estetrabajo se considera un modelo de señales armónicas inmersasen ruido coloreado como se detallada por ejemplo, en [10] y[11]. Los parámetros a determinar son las amplitudes, lasfrecuencias y las fases. En el dominio de las frecuencias estetipo de señales están representadas por líneas espectrales y unespectro distribuido dentro de una banda limitada defrecuencias.

La propuesta desarrollada en este trabajo consiste en lafusión inteligente de métodos paramétricos y no paramétricos.La ventaja de dicha fusión de métodos es que los resultadosbajo esta estrategia superan los resultados obtenidos por otrasmetodologías. Por una parte, los métodos paramétricospermiten determinar las componentes armónicas correspon-dientes al espacio de señal y, por otro lado, los métodos noparamétricos permiten identificar la componente distribuidadel espectro. Los resultados se muestran adelante.

C. Problemática de Estimación de Alta Resolución en RuidoColoreado

Los métodos de eigenvalores y eigenvectores para laestimación espectral de alta resolución, como el MUSIC, el dedescomposición armónica Pisarenko o el ESPRIT, han sidodesarrollados principalmente para señales inmersas en ruidoblanco.

La descomposición en eigenvalores de la matriz decorrelación para señales armónicas en ruido blanco exhibe uncomportamiento que permite identificar el subespacio de ruidodel subespacio de señal. Por inspección directa (dentro deciertos límites de probabilidad de detección determinados porde la razón señal a ruido [14]) se nota que los eigenvalores dela matriz de correlación asociados a la componente armónicason considerablemente mayores a los que corresponden alruido y por lo tanto, se puede discriminar bajo este criterio decomparación a los dos subespacios (señal armónica y ruido)[14].

En el caso de ruido coloreado no hay un umbral de decisiónni es posible definir un criterio de comparación que permitauna distinción clara de dichos subespacios [1], [2], [14]. Enconsecuencia no es posible separar directamente lossubespacios de señal y éste tipo de ruido. Esto provocainexactitudes en los resultados de la estimación espectral bajocualquier método.

PONCE-DÁVALOS AND SHKVARKO : SPECTRAL CARACTERIZATION VIA FUSING 259

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

(g) (h)

(i) (j)

Fig. 2. Panorama de los diferentes estimadores espectrales más usuales, aplicados a los datos de prueba. La columna izquierda corresponde alos datos de la Fig. 1.a. y la columna derecha a los datos de la Fig. 1b. (a) y (b): Periodograma. (c) y (d): Estimación de Blackman-Tukey. (e) y(f): Estimación de Mínima Varianza. (g) y (h): Estimación de Máxima Entropía. (i) y (j): Estimación MUSIC.

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frecuencia Normalizada

PS

DR

ela

tiv

a(d

B)

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frecuencia Normalizada

PS

DR

ela

tiv

a(d

B)

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frecuencia Normalizada

PS

DR

ela

tiv

a(d

B)

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frecuencia Normalizada

PS

DR

ela

tiv

a(d

B)

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frecuencia Normalizada

PS

DR

ela

tiv

a(d

B)

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frecuencia Normalizada

PS

DR

ela

tiv

a(d

B)

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frecuencia Noramlizada

PS

DR

ela

tiv

a(d

B)

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frecuencia Normalizada

PS

DR

ela

tiv

a(d

B)

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frecuencia Normalizada

PS

DR

ela

tiv

a(d

B)

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frecuencia Normalizada

PS

DR

ela

tiv

a(d

B)

260 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 3, NO. 3, JULY 2005

IV. MÉTODO PROPUESTO

A. Modelo de Datos Dos de los principales estimadores de líneas espectrales son

el método de Prony [8] y el de descomposición armónica dePisarenko [2]. El método de Pisarenko supone que lasfrecuencias de las sinusoides ocultas en una señal pueden serobtenidas a través del cálculo de los autovalores mínimos dela matriz de autocorrelación (10). Sin embargo, este método esaltamente sensible al ruido coloreado que es el considerado eneste trabajo, y por ello su uso práctico es limitado [1], [2] y[7]. Debido a esto, en el trabajo presente desarrollamos elmétodo modificado por regularización de Prony (MORP)como se detalla en seguida.

El modelo considerado para los datos es la composición

}1,,1,0;][][][{ )( −=+= Kkknksku M K (15)

es decir, la superposición de un número M < K (usualmentedesconocido) de sinusoides complejas con amplitudes Am,frecuencias características fm, y fases θm; m = 1, …, M, lascuales están contaminadas por ruido coloreado {n[k]} cuyadensidad espectral de potencia Pn( f ) es desconocida. Elmodelo de la parte multi-armónica en (15) es dado por

∑ ∑= =

−=+−=M

m

M

m

kmmmmm

M zdjkfjAks1 1

1)( ])1(2exp[][ θπ (16)

en donde {dm=Amexp(jθm) y zm= exp(j2πfm); m = 1, …, M}.En el caso determinístico (i.e. sin ruido {n[k] = 0; k =

0, 1…K−1} en (15)), el problema tiene solución exacta si elorden del modelo M es conocido y además M ≡ K/2 [2]. Encualquier otro escenario (i.e. datos ruidosos y/o Mdesconocida) el modelo (15) es sobre-dimensionado [2]. Enestos casos, sólo es posible obtener estimaciones aproximadasde los parámetros característicos }ˆ,...,1;ˆyˆ,ˆ{ MmfA mmm =θ

del modelo (16), en donde M es un estimado del verdaderovalor de M.

B. Planteamiento del Problema El objetivo principal a desarrollar en este trabajo consiste en

realizar una caracterización fusionada espectral explícita parael modelo de datos combinados (15). Primero, desarrollamosuna estrategia que ofrece la posibilidad a estimar el orden delmodelo M, y mediante las definiciones de {dm} y {zm} estimarlos parámetros característicos }ˆ,...,1;ˆyˆ,ˆ{ MmfA mmm =θpara así reconstruir el modelo multi-armónico (16) y obtener el espectro de líneas. Luego, proponemos una estrategia adaptivabasada en métodos de MV y/o ME, para estimar la densidadespectral del espectro distribuido )(ˆ fPn . Finalmentefusionando el espectro de líneas con el espectro distribuido delruido coloreado reconstruimos adaptivamente la PSD totalcombinada )(ˆ fP .

La característica principal de los estimadores espectrales delíneas, como el de Pisarenko y el de Prony, es la aparición delíneas espectrales falsas asociadas al ruido [1], [2], [7], [8]. Entrabajos recientes [10], [11], [12] se han propuesto métodos

alternativos para mejorar la estimación de los parámetroscaracterísticos del modelo (16). En este trabajo nos basamosen las técnicas de regularización [10], [12] para desarrollar unnuevo método consistente en la caracterización adaptiva delespectro de armónicos inmersos en ruido coloreado quesuperan todos los métodos de caracterización espectralparamétrica de espectro de líneas reportados en la literaturapreviamente, e.g. [1], [2], [3] y [7]. A este método nosotros lollamamos método modificado por regularización de Prony,detallado en la siguiente subsección.

C. Generalización del Método de Prony Mediante Regularización

El método original de Prony [2] calcula los parámetroscaracterísticos {Am, fm y θm} desacoplando la ecuación nolineal (16) mediante un sistema auxiliar de ecuaciones linealesen el que se determina primero {zm} como las raíces de unpolinomio característico. Luego, con los valores estimados de{ mz } obtiene { md } resolviendo (16).

Para el caso no determinístico en el que se considera ruidocoloreado el problema es no lineal y sobre-dimensionado [2].Referenciado al análisis detallado de este problema presentadoen [1] y [2] mencionamos los factores principales los cualesdificultan la solución del mismo. Primeramente, debido a la nolinealidad no existe solución analítica en forma cerrada delproblema. Como segundo aspecto, la presencia de unacomponente distribuida de PSD resulta en una sobreestimaciónde líneas espectrales correspondientes a la parte multi-armónica del espectro, las cuales pueden ser producidossolamente por métodos de estimación espectral paramétrica[1], [2]. Por ello, como ha sido resumido en [1] y [2], elproblema de estimación espectral no lineal bajo estudio debeser tratado mediante la fusión inteligente de métodosparamétricos y no paramétricos. Esta aproximación tiene queconsiderar algunas pruebas basadas en experimentos conestrategias de estimación espectral paramétrica parareconstruir el espectro de líneas de la componente multi-armónica eliminando el efecto de sobre-estimación del ordendel modelo. Este problema fue discutido y analizadoexplícitamente en [1] y [2], donde los autores declaran queeste problema está abierto y aún sin solución.

El aspecto innovador principal que proponemos en estetrabajo es una nueva aproximación del problema bajo estudiobasado en una nueva estrategia de estimación espectralfusionada que elimina el efecto de sobreestimación del ordendel modelo de la parte multi-armónica en los datos deobservación. Esta aproximación está justificada en pruebas dehipótesis que corresponden a diferentes órdenes del modelo deProny con una elección adaptiva de decisión a favor de lahipótesis que proporciona el mínimo error en la localización ycaracterización de las líneas espectrales en el espectrocombinado.

Para tratar diferentes hipótesis del orden M del modeloparamétrico en (16) consideramos que el orden estimado Mse sitúa dentro de un rango, es decir M ∈ [Mmín, Mmáx], en elque Mmín > Mverdadero y Mmáx < K. Nótese que la condición Mmín> Mverdadero implica que el modelo supuesto es sobre estimadoy por lo tanto forzosamente aparecerán componentes

PONCE-DÁVALOS AND SHKVARKO : SPECTRAL CARACTERIZATION VIA FUSING 261

armónicas adicionales (falsas). En procesos armónicos ocultosen ruido blanco esta situación se puede reducir, pues es fácildiscriminar el subespacio de ruido del subespacio de señal. Sin embargo, en el caso de ruido coloreado el estimador de Pronyes sensible al ruido y produce componentes espurias en todoslos casos sobredeterminados, como fue analizado en detalle en[1] y [2].

Para cada una de las hipótesis bajo análisis M ∈ [Mmín,Mmáx], el sistema de ecuaciones de desacoplamiento quepermiten calcular los valores de {zm} es [2]

1

ˆ

1

ˆ

ˆ

1

1ˆ2

01ˆ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

−

K

M

K

M

MMKK

M

u

u

a

a

uu

uu

ε

εMMM

L

MOM

L

(17.a)

que nosotros reescribimos ahora en forma vectorial-matricialcomo

U M a M = − u M + ε M . (17.b)

En (17.b), los parámetros {am; m = 1,…, M } se identificancomo los coeficientes del polinomio característico φ M (z) = z M

+ a1z M −1 +… a M , cuyas raíces {zm = exp(j2πfm); m = 1,…,M } especifican las posiciones de las líneas espectrales {fm;m = 1,…, M } para cada una de las hipótesis de prueba M ∈[Mmín, Mmáx]. El vector ε M = [ε M … εK−1 ]T en (17.b)representa el error de predicción.

Ahora el punto de partida es estimar los coeficientes{am; m = 1,…, M } resolviendo (17.b) y luego mediantefactorización polinomial de φ M obtener sus ceros {zm} paracada una de las hipótesis de prueba.

A partir del conjunto de ceros {zm} se obtienen loscorrespondientes valores de {dm} de (16) mediante el métodode regularización, con lo cual se tiene

MHH

M ˆ1

ˆ )(ˆ uZIZZd −+= μ (18)

con

111

1ˆ

12

11

2ˆ

22

21

ˆ21

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

−−− KM

KK

M

M

zzz

zzz

zzz

L

MOMM

L

L

L

Z

en donde u M está definido en (17), I representa la matriz deidentidad, Z es la matriz de Vandermonde compuesta de losceros {zm; m = 1,…, M } del polinomio característicoestimados previamente, y μ representa el parámetro deregularización. Este último representa un grado de libertad delalgoritmo (18) que con una adecuada selección proporciona laposibilidad de controlar el desempeño de la estimación Md .En este estudio seguimos el método de Tikhonov [5] paraajustar el parámetro μ como el recíproco de la relación señal aruido, i.e. μ = SNR-1.

Como una alternativa, el método MORSE propuestorecientemente en [10] resuelve (17) realizando unadescomposición en valor singular (SVD por sus siglas eninglés Singular Value Decomposition) de U M , minimizando elerror de predicción y eligiendo los autovalores que minimizanla norma de a M . Este método puede tratar el problema deestimación espectral de armónicas inmersas en ruido blanco enel que el resultado permite distinguir los subespacios de señaly ruido. Sin embargo, en el caso de ruido coloreado ladiscriminación del espacio de señal con este método es pobre,debido a que el MORSE enfrenta el problema obteniendo lapseudo-inversa mediante regularización y calculando elparámetro de regularización para cada eigenvector. En estetrabajo se incorpora el método de regularización en ladeterminación de la solución (18). En la siguiente sección sepresenta un método adaptivo robusto para determinar tanto elorden M del modelo como la posición de las líneasespectrales que aparecen realmente en los datos de prueba.

D. Invariancia de Posición Espectral

Para cualquier hipótesis de prueba M ∈ [Mmín, Mmáx] en loscasos sobredeterminados, M > Mverdadera, la descomposiciónSVD de MU produce un conjunto de líneas espectrales, de las cuales un subespacio asociado a la señal, de dimensiónMverdadera, representa a las líneas que verdaderamente estánpresentes en los datos observados y otro subespacio asociadoal ruido de dimensión M − Mverdadera que representa a laslíneas falsas [14]. En esta subsección proponemos unaestrategia que permite identificar este subespacio de señal.

Al aplicar iteradamente diferentes hipótesis de prueba sobreM ∈ [Mmín, Mmáx] para resolver (17) se observa en resultadosexperimentales [11] que un subconjunto de PM líneas,aparecen en posiciones espectrales cercanas incluso sobre lasposiciones que realmente están presentes, para todas lashipótesis probadas, todas ellas dentro de un rango detolerancia Δf. A esta condición le llamamos invariancia en laposición espectral (SPI por sus siglas en inglés SpectralPositional Invariance).

De los resultados experimentales tratados en este estudio ytambién otros analizados previamente [11], se observa quepara diferentes datos de prueba sintéticos las PM < Mlíneas que corresponden al subespacio de señal se mantienenfijas (dentro del rango de tolerancia aceptado Δf) y el resto M− PM correspondientes al subespacio de ruido cambianaleatoriamente en su posición espectral.

En base a las observaciones anteriores el SPI produce unamecanismo de prueba para separar los subespacios de señal yde ruido resolviendo (17) para diversas hipótesis sobre-determinadas M > Mverdadera.

Aplicando el método de regularización (18) a cada hipótesishacemos una caracterización de las PM líneas que en laspruebas de análisis aparecen en posiciones espectrales fijasdentro de la ventana de tolerancia Δf. Estableceremos quedichas líneas representan las armónicas que realmente están

262 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 3, NO. 3, JULY 2005

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-50

-40

-30

-20

-10

0

10

F r e c u e n c i a N o r m a l i z a d a

Es

pe

ctr

od

eL

íne

as

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-50

-40

-30

-20

-10

0

10

F r e c u e n c i a N o r m a l i z a d a

Es

pe

ctr

od

eL

íne

as

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-50

-40

-30

-20

-10

0

10

F r e c u e n c i a N o r m a l i z a d a

Es

pe

ctr

od

eL

íne

as

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-50

-40

-30

-20

-10

0

10

F r e c u e c i a N o r m a l i z a d a

Es

pe

ctr

od

eL

íne

as

presentes en el modelo (15). En el caso particular estudiadoen este trabajo el rango de tolerancia para identificar la SPI fue ajustado experimentalmente a Δf = 10−2.

A manera de ejemplo, la Fig. 3 ilustra los espectros delíneas obtenidos por el método propuesto bajo dos hipótesis deprueba con M = 12 y M = 16, en los que se aprecia lamanifestación de las líneas espectrales verdaderas y falsas. Semuestra la aparición de las líneas del subespacio de señal enlas posiciones fijas para las dos hipótesis de muestra. Estaprueba ilustra claramente la posibilidad de formar un ensamblede las PM líneas espectrales que se adaptaron a la hipótesisSPI. Dicho valor, vendrá a ser considerado como la mejorestimación para el número verdadero M de armónicaspresentes en el conjunto de datos.

a) b)

c) d) Fig. 3. Espectro de líneas mediante el método MORP para los modelos de

prueba bajo dos hipótesis de trabajo M = 12 y M = 16: a) y b) para losdatos de la Fig. 1.a, c) y d) para los datos de la Fig. 1.b.

La propuesta SPI para determinar el orden del modelo de lacomponente armónica de la señal tiene como sustento el hechode que es una prueba basada en la estadística delcomportamiento del proceso estudiado, ya que la probabilidadde ocurrencia de una línea espectral es máxima si éstarealmente existe en la señal mixta, independientemente de lascaracterísticas espectrales del ruido. Esto es claro ydemostrable en el caso de ruido blanco [3], pero en el caso deruido coloreado no existe método analítico único que permitadeterminar el número de componentes armónicas ya que elproblema es altamente no lineal [1], [2], [10] y por lo tantouna prueba razonable es de tipo estadístico basado en pruebade hipótesis. Para que el método propuesto sea válido, siemprese deberá suponer casos sobredeterminado en los que M >Mverdadera.

Experimentalmente también se probaron situaciones en lasque los datos contienen sólo ruido coloreado, sin componentesarmónicas. Como resultado se obtiene que en este caso no haycomponentes espectrales que se repitan para todas las hipótesis probadas, lo cual nuevamente verifica la eficiencia del

concepto SPI para la caracterización experimental de lacomponente multi-armónica en los datos mixtos del modelo(15).

E. Agregación de Métodos de Estimación Espectral La estrategia de fusión de métodos paramétricos y no

paramétricos de estimación espectral se basa en la separaciónde componentes del modelo (15). Una vez caracterizado elespectro de líneas dado por las estimaciones paramétricas

}ˆ,...,1;ˆyˆ,ˆ{ Pmmm MmfA =θ , estos ofrecen la posibilidad deseparar, en los datos de medición, la componente quecorresponde al ruido. Este proceso tiene un significadoestadístico llamado innovación de datos

}1,,1,0];[ˆ][][ˆ{ )ˆ( −=−= Kkkskukn PM K (19)

en donde ]}[ˆ{ )ˆ( ks PM es la señal del modelo multi-armónicoreconstruida a través de (16) usando los parámetros decaracterización { Pmm Mmzd ˆ,...,1;ˆ,ˆ = } de su espectro delíneas estimadas con el método propuesto modificado deProny. Esto es, los datos }1,,1,0];[ˆ{ −= Kkkn K

presentan la aproximación del ruido coloreado en el modeloestudiado definido por (15). En seguida, habiendo innovadolos datos (19), la estrategia de reconstrucción de lacomponente distribuida de la PSD es aplicar un método deestimación espectral no paramétrica de alta resolución.Basándonos en la experiencia con tratamiento de diferentesmétodos no paramétricos, en este trabajo proponemos fusionarel método desarrollado de Prony modificado con métodos demínima varianza (MV) y/o de máxima entropía (ME) [7], paraobtener como resultado la reconstrucción del espectro delruido coloreado )(ˆ fPn de alta resolución.

Finalmente, la estrategia de fusión que proponemos implicala agregación de dos espectros: (i) el espectro de líneascaracterizado por el método MORP y (ii) el espectro continuo

)(ˆ fPn estimado mediante alguno de los métodos noparamétricos MV y/o ME. A este método fusionado queagregan los paradigmas de estimación espectral paramétricos yno paramétricos nosotros lo presentamos en dos variantescomo método MORP-MV y/o MORP-ME, respectivamente.

La estructura computacional del método MORP-MV/MORP-ME, se describen en la TABLA I.

V. SIMULACIONES COMPUTACIONALES

Se presenta ahora la evaluación del desempeño del métodopropuesto mediante una serie de experimentos y simulacionescomputacionales. Los datos sintéticos de valor complejo quesirven como estándar para recuperar la PSD global del modelode datos, así como los datos de valor real, sirven para ilustrarla eficacia del método en situaciones de aplicaciones típicas.

A. Caracterización del Orden del Modelo del Espectro Multi-Armónico

En primer lugar se ilustra el procedimiento para ladeterminación del orden del modelo. La estrategia paraidentificar el orden del modelo es estadística de SPI basada en

PONCE-DÁVALOS AND SHKVARKO : SPECTRAL CARACTERIZATION VIA FUSING 263

prueba de hipótesis. Se emplearon doce hipótesis M ∈[ M mín,M máx] con M mín = 11 y M máx = 22, llevándose a cabo 12realizaciones computacionales siguiendo el algoritmo de laTabla I. La Fig. 4 presenta la verificación experimental delconcepto SPI a través de los conteos de las veces en queocurrieron las diferentes líneas espectrales usando el método

TABLA IALGORITMO MORP-MV/MORP-ME PARA LA ESTIMACIÓN DE LA

DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA

MORP [10]. En estas gráficas se ilustra, mediante lafrecuencia de repetición, que las líneas espectrales {fm; m =1,… PM } que verdaderamente se encuentran presentes en losdatos referidos en la Fig.1 tienden a repetirse dentro del rangode tolerancia Δf = 10-2 en cada realización. Por otra parte, laslíneas espectrales falsas no tienen ninguna frecuencia derepetición. También, en la Fig. 4.c se muestra el resultadoobtenido al aplicar en un procedimiento similar a lacomponente de solo ruido coloreado presente en los datos dereferencia de la Fig. 1.a, en la cual hay muy baja frecuencia derepetición detectada por la SPI en comparación con losresultados de caracterización espectral por la SPI quecorresponden al modelo combinado (15).

Finalmente, en la Tabla II se presentan los desempeñoscuantitativos del método propuesto para las estimacionesasociadas a la frecuencia que verdaderamente están presentesen cada uno de los modelos de prueba de este trabajo. Puede

observarse que las variaciones o errores de estimación siemprese encuentran por debajo de la tolerancia aceptada de Δf =10−2.

a)

b)

c)

Fig. 4. Número de repeticiones en las que aparece cada frecuencia para loscasos prueba de este trabajo. a) para los datos de la Fig 1.a. y b) para los datos

de la Fig. 1.b. Se emplearon 12 hipótesis para el valor de M . Y c) Ejemplodel método aplicado al ruido coloreado correspondiente a los datos de la Fig.1.a.

B. Resultados de las Simulaciones para los Datos SintéticosEn la Fig. 5 se muestran los espectros reconstruidos

mediante el método fusionado propuesto en sus dos variantes:MORP-MV y MORP-ME. Para el conjunto de datos de prueba referidos en la Fig 1.a, se ha empleado un modelo MV y MEde orden 4 y para el conjunto referido en la Fig. 1.b, se haempleado un modelo MV y ME de orden 8.

La comparación de los espectros resultantes obtenidos conel método propuesto y los resultados obtenidos con losmétodos previos muestran efectivamente una superioridad delmétodo aquí desarrollado respecto de los previos, ya que selogra una mejor reproducción con alta resolución de lacomponente distribuida de la PSD con superresoluciónparamétrica de las líneas espectrales que corresponden a lacomponente armónica de los datos.

Es claro que al innovar los datos sustrayendo la componentemulti-armónica, los métodos de alta resolución en ambas

• Colectar datos 11}{ −

=Kkku .

• Probar diferentes hipótesis de modelos de señal sobredeterminados,

M > M, M ∈ [Mmín, Mmáx], Mmáx<K. Caracterizar la IP de las líneas espectrales mediante el método MORP: - Formar el vector u M y la matriz U M , como se especifica en (17). - Mediante el algoritmo MORSE [10], resolver (17) para encontrar los

coeficientes del polinomio característico a M

- Mediante factorización polinomial, encontrar las raíces {z M } de φ M (z).

- Estimar las frecuencias de todas las M líneas espectrales {Mf ˆ

ˆ ;

m = 1, …, M } para las raíces { z M } en cada hipótesis. - Localizar las líneas espectrales que manifiestan IP analizando las

hipótesis propuestas mediante el conteo del número de repeticionesde las frecuencias espectrales y definir el valor de PM . Construir el

ensamble de frecuencias { mf ; m = 1, …, PM }.

- Estimar el vector de fasores {d M } usando (16).

- Obtener un estimado para el modelo de señal de Prony ][ˆ )ˆ( ks PM

usando (16).

• Formar el vector de datos innovados n como es definido en (19).

• Aplicar estimadores espectrales MV ó ME especificados en (9) y (13) a los datos innovados obtenidos mediante (19)

• Reconstruir la PSD resultante mediante la agregación del espectro de líneas obtenido por el método MORP con la componente del espectro distribuido estimado mediante las técnicas MV ó ME.

264 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 3, NO. 3, JULY 2005

versiones MV/ME logran una mejor aproximación que losmétodos previos (BT, Pisarenko, MUSIC, MORP, MV, ME,etc.)

TABLA IIVALORES ESTIMADOS DE LAS FRECUENCIAS MÁS CERCANAS A LAS

FRECUENCIAS VERDADERAS PARA LOS MODELOS DE PRUEBA

PRESENTADOS EN LA FIG. 1, BAJO DIFERENTES HIPÓTESIS EN M .

Casosde prueba

fm Verdadera

mfcon

M =12

mfcon

M =15

mfcon

M =16

mfcon

M =19

mfcon

M =20

mfcon

M =22

0.0500 0.0519 0.0527 0.0523 0.0529 0.0529 0.0525

0.4000 0.4001 0.4037 0.4001 0.4019 0.4035 0.4032

Dat

osde

lmod

elo

dela

Fig.

1.a.

0.4200 0.4282 0.4229 0.4236 9.4229 0.4212 0.4271

-0.1500 -0.1499 -0.1501 -0.1499 -0.1498 -0.1500 -0.1499

0.1000 0.0997 0.1000 0.0999 0.0999 0.1000 0.1000

0.2000 0.2008 0.2006 0.2009 0.2008 0.2004 0.2002

Dat

osde

lmod

elo

dela

Fig.

1.b.

0.2100 0.2132 0.2097 0.2096 0.2092 0.2098 0.2101

El empleo de datos de valor complejo permite ilustrardetalles de la recuperación de la PSD tanto en espectrossimétricos como en espectros no simétricos. Por ejemplo, lascomponentes espectrales de ruido coloreado en ambosconjunto de prueba recuperados con los datos innovadostienen mayor aproximación a los originales que con cualquierotro método previo.

En la Tabla III se muestra una comparación cuantitativa delos valores estimados de las frecuencias, amplitudes y fasesobtenidos con el método propuesto y los reportados en laliteratura de donde fueron tomados [1], [2]. El análisis dedatos muestra un error promedio porcentual de 4.54% en laamplitud y 0.79% en la fase para los datos del modelo de laFig. 1.a. y un error promedio porcentual de 2.54% en laamplitud y 0.84% en la fase para los datos del modelo de laFig. 1.b. Los cuales son resultados satisfactorios dentro de loslímites de tolerancia aceptados.

C. Simulaciones en Aplicaciones RealesUna de las aplicaciones típicas y de interés histórico para la

estimación espectral es el registro de la actividad solar, la cualse manifiesta por la aparición de manchas en el disco del Sol[2]. El conteo del número de manchas es el parámetroutilizado para medir la actividad solar. Para ello se cuenta conun registro histórico de más de 300 años, encontrándose unaperiodicidad aproximada de 11 años [2]. Los diversos métodosde estimación espectral han permitido extrapolar la serie deeventos de dicha actividad hasta 1500 años antes de Cristo

verificándola con registros geológicos de variacionesclimáticas y meteorológicas. Los métodos predicen queademás del ciclo de máxima actividad de 11 años, existenotros dos, uno de 5 años y otro de 21 años aproximadamente.

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frecuencia Normalizada

PS

DR

ela

tiv

a(d

B)

a)

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frecuencia NormalizadaP

SD

Re

lati

va

(dB

)

b)

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frecuencia Normalizada

PS

DR

ela

tiv

a(d

B)

c)

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frecuencia Normalizada

PS

DR

ela

tiv

a(d

B)

d)

Fig. 5. Espectros reconstruidos para los casos prueba de este trabajo. a)MORP-MV para los datos de la Fig 1.a. b) MORP-MV para los datos de laFig 1.b. c) MORP-ME para los datos de la Fig 1.a. d) MORP-ME para losdatos de la Fig 1.b.

En la Tabla VI se presentan los resultados obtenidosmediante diversos métodos modernos de estimación espectral[2] y el propuesto en este trabajo en donde se muestra totalconcordancia de resultados.

PONCE-DÁVALOS AND SHKVARKO : SPECTRAL CARACTERIZATION VIA FUSING 265

TABLA IIIVALORES ESTIMADOS DE LOS PARÁMETROS CARACTERÍSTICOS PARA LOS

MODELOS DE PRUEBA PRESENTADOS EN LA FIG..1. SE COMPRARA CON LOSDATOS REPORTADOS EN LA LITERATURA

Casosde prueba Frecuencia Amplitud

estimadaAmplitudreportada

Faseestimada

(rad)

Fasereportada

(rad)

−0.4200 1.0041 1.0000 -0.0293 0.0000

−0.4000 1.0250 1.0000 -0.0185 0.0000

−0.0500 1.0260 1.0000 0.0965 0.0000

0.0500 1.2613 1.0000 -0.1469 0.0000

0.4000 0.9615 1.0000 0.0319 0.0000Dat

osde

lmod

elo

dela

Fig.

1.a

−0.4200 0.9949 1.0000 0.0188 0.0000

−0.1500 0.1085 0.1050 -0.9088 -0.9112

0.1000 0.1046 0.1001 0.6100 0.5981

0.2000 0.9910 0.9810 1.2572 1.2369

Dat

osde

lmod

elo

dela

Fig.

1b

0.2100 0.9949 0.9819 1.3009 1.3010

TABLA IVCÁLCULO DEL PERIODO DE ACTIVIDAD SOLAR MEDIANTE LOS

MÉTODOS DE ESTIMACIÓN MODERNOS.

Método Periodo 1 Periodo 2 Periodo 3

Autorregresivo 20.90 años 10.72 años 5.20 años

Media móvil − 10.84 años 5.52 años

Prony (modelo de 4sinuoides) 24.48 años 10.96 años 5.96 años

Mínima varianza − 10.67 años 5.35 años

Método propuesto − 10.70 años 5.27 años

D. Sugerencias de AplicacionesEn general, la estimación espectral tiene una amplia y

prácticamente ilimitada variedad de aplicaciones. Tan sólomencionaremos algunos tópicos que han sido probados con elmétodo propuesto que han dado resultados satisfactorios.

Detección DTMF: El tipo de señalización usado en latelefonía digital es el llamado DTMF, i.e. Dual Tone Multi-Frequency, el cual es empleado en la marcación, selección yusos de servicios electrónicos. Es un estándar definido por laInternational Telecommunication Union (ITU) que consiste enla asignación de tonos duales para identificar los dígitos 0 a 9,las letras A, B, C y D y los símbolos # y * mediante lacombinación de dos sinusoides de frecuencias bajas y altas, lascuales en principio nunca se pueden generar mediante la vozhumana [15]. El estándar especifica los valores de lasfrecuencias, el porcentaje de tolerancia de desviación en la

frecuencia, la duración mínima de la señal, potencia y valoresmínimos de razón señal a ruido. El problema a resolver es ladetección de los tonos de la señal en presencia de ruido, de talforma que se cumpla la norma del ITU. Existen diversosmétodos basados en la transformada discreta de Fourier (DFT)agregado con un método de filtraje basado en el algoritmo deGoertzel [15]. El método propuesto en este trabajo es capaz dedetectar los tonos duales con la ventaja de que requiere menosdatos que los especificados en el estándar para tomar ladecisión de cuál es el dígito presente en un registro de datos.El análisis detallado de esta aplicación se encuentra endesarrollo.

Detección del Pitch de la Voz: El procesamiento de la vozes un tema de investigación que encuentra aplicacionesprincipalmente en tres áreas de desarrollo: la síntesis, lacodificación y la compresión de la voz. A la fecha se siguendesarrollando algoritmos para el tratamiento de la voz [16]. Un parámetro fundamental en el procesamiento es el llamado“pitch” de la voz. El parámetro identifica la componentesonora de la voz diferenciándola de los sonidos sordos. Elorigen de este parámetro está en el hecho de que las cuerdasvocales vibran con una frecuencia determinada para lacomponente sonora de la voz. En el dominio del tiempo elpitch representa la pseudo-periodicidad de la voz, y en eldominio de la frecuencia representa la separación defrecuencias adyacentes generadas por los pulsos periódicos delas cuerdas bucales [16]. Las pruebas parciales desarrolladashasta el momento muestran que el método propuesto, puederecuperar el periodo de pitch y reconstruir la envolventeespectral (la cual representa la característica del modelo deltracto bucal). El análisis detallado de esta aplicación está enprogreso.

VI. CONCLUSIONES

En este trabajo se ha propuesto una metodología novedosabasada en la fusión o agregación de métodos paramétricos y no paramétricos de estimación espectral que permiten resolvereficientemente el problema de la caracterización del espectrode procesos mixtos que están compuestos con una parte multi-armónica de orden desconocido inmersa en ruido coloreadocon espectro distribuido también desconocido.

Primero, el uso del método robusto de estimaciónparamétrica como lo ha sido el método de Prony modificado(MORP) propuesto en este trabajo ha permitido caracterizarlas componentes de líneas del espectro con superresolución. Elorden del modelo paramétrico ha sido determinado por laestrategia de invariancia de posición espectral (SPI) verificadaexperimentalmente con datos reales y sintéticos. La estrategiadesarrollada permite detectar la presencia de señalesarmónicas ocultas en cualquier tipo de señal ruidosa mediantela prueba de la hipótesis de SPI. En el método propuesto, loserrores cometidos en el cálculo de las frecuencias estimadas,respecto de las frecuencias verdaderas, se absorben en el factor de redondeo. Por lo tanto la hipótesis SPI es válida dentro delos límites de tolerancia especificados en este trabajo. Esimportante desatacar que debido a la no linealidad delproblema bajo análisis no existe su solución analítica única. La

266 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 3, NO. 3, JULY 2005

SPI es una prueba estadística propuesta cuya validez fuedemostrada experimentalmente en una variedad amplia desimulaciones con datos sintéticos y reales. Como resultado, elmétodo paramétrico MORP ofrece la ventaja de identificarcomponentes espectrales cercanas con superresoluciónevitando la sobre estimación del orden del modelo del espectro multi-armónico.

Por otra parte, la agregación de métodos no paramétricospermite reconstruir la componente distribuida del espectro dela señal asociada al ruido coloreado de fondo. Los métodosque proponemos emplear tienen la ventaja de que reducen lapérdida de resolución debida al registro finito de datos.

Como resultado de la estrategia de agregación de métodosque se ha propuesto fue presentado el método fusionado deestimación espectral en sus dos versiones: MORP-MV yMORP-ME. La metodología no hace hipótesis acerca de ladistribución espectral del ruido y por lo tanto afirmamos queeste resultado es general tanto para ruido blanco como pararuido coloreado. La fusión del método paramétrico MORPpara la localización y caracterización de líneas espectrales, con los métodos de estimación espectral no paramétricos MV yME, presenta como resultado una estimación espectralcompleta con alta resolución de la componente distribuida dela PSD y superresolución paramétrica de las líneas espectralesque corresponden a la componente multi-armónica de losdatos. Los desempeños de resolución/superresolución espec-tral del método MORP-MV/MORP-ME superan a aquellosproporcionados por todos los métodos previos. Esto verifica laeficiencia de la estrategia propuesta y el método desarrollado.

Finalmente, basándonos en los resultados del presenteestudio, planteamos que la metodología descrita abre unpanorama amplio de aplicaciones particulares para el métododesarrollado MORP-MV/MORP-ME en problemas de análisisespectral, tanto en tiempo-frecuencia como espacio-frecuenciaespacial. Los resultados de las simulaciones computacionalesreportadas verifican claramente las ventajas de la propuesta.

REFERENCIAS

[1] S. M. Kay, Modern Spectral Estimation, Theory ad application ,Prentice Hall, Englewood Cliff, NJ, 1987.

[2] S. L. Marple, Digital Spectral Analysis with Applications , PrenticeHall, Englewood Cliff, NJ, 1987.

[3] R. Kumaresan, Spectral Analysis, in Radar Handbook , Second Ed.Edited by M.I. Skolnik, McGraw Hill, Boston, 1990.

[4] D. L. Hall, J Llinas, Eds. Handbook of Multisensor Data Fusion .Boca Raton, Fl: CRC Press LLC, 2001.

[5] Y. Shkvarko, “Estimation of Wavefield Power Distribution in theRemotely Sensed Environment: Bayesian Maximum EntropyApproach”. IEEE Trans. on Signal Proc ., vol. 50, Sep 2002,pp.2333-2346.

[6] Y. Shkvarko, Y. Shmaly, R. Jaime-Rivas, M. Torres-Cisneros,“System Fusion in Passive Sensing Using a Modified HopfieldNetwork”. Journal of The Franklin Institute , Elsevier, vol. 338, no.4, pp. 405-427, Jul 2001.

[7] M. H. Hayes, Statistical Digital Signal Processing and Modeling ,John Wiley and Sons, Inc. NY, 1996.

[8] M. S Mackisack, M. R. Osborne, G. K. Smyth, “A modified Pronyalgorithm for estimating sinusoidal frequencies”. SIAM, Journal ofScientific and Statistical Computing , vol. 49, p.p. 111-124, Jan1991.

[9] R. Carrier, R.L. Mose: “High resolutions radar target modelingusing a modified Prony estimator”, IEEE Trans., AP-40, (1), pp.13-18, Jan 1992.

[10] L. Jun-Seok, K.M. Sun,. “Prony based radar target modeling usingmodified regularized SVD”, Electron. Lett., 32, (1), pp 64-65, Jan1996.

[11] J.L. Ponce, Y.V. Shkvarko, J.L. Leyva, “New Spectral PositionalInvariance Approach of Point Type Targets Embedded in ColoredNoise”. International Conference on Antenna Theory andTechniques (ICAATT 2003). Ukraine. Sep. 2003.

[12] M. Bertero, P. Boccaccio, Introduction to Inverse Problems inImagining. Bristol, London: IoP Publishing Ltd, 1998.

[13] A. Farina, Antenna-Based Signal Processing Techniques for RadarSystems. Artech House Antenna Library Series, Norwood, MA,1992.

[14] H.L. Van Trees, Optimum Array Processing (Detection Estimationand Modulation Theory, Part IV). New York: Wiley, 2002.

[15] J. Bellamy, Digital Telephony . New York, Wiley John & Sons, Inc,2000.

[16] L.R. Rabiner, “Applications of Voice Processing to Telecommuni-cations”, Proc. of the IEEE, vol. 82, no. 2, Feb 1994.

[17] V. I. Ponomaryov, L. Nino-de-Rivera “Order statistics – M Methodin Image and Video Sequence Processing Applications”,International Journal: Electromagnetic Waves and ElectronicSystems, Moscow: ISSN 1560-4128, 2003, vol. 8, no 7-8, pp. 99-107, 2003.

[18] F. J. Gallegos-Funes, V. I. Ponomaryov, “Real-Time Image FilteringScheme Based on Robust Estimators in Presence of ImpulsiveNoise”, Real Time Imaging VII, 8(2), Elsevier Publ., NY, pp. 69-80, 2004.

José Luis Ponce-Dávalos. Recibió el título deFísico por parte de la Universidad NacionalAutónoma de México (UNAM) en 1983.Obtuvo el grado de Maestro en Ciencias porparte de Centro de Investigaciones y EstudiosAvanzados (CINVESTAV) en 1993.Actualmente es candidato a Doctor en Ciencias en la Unidad Guadalajara del CINVESTAV.Trabaja como profesor asociado en InstitutoTecnológico de Estudios Superiores deMonterrey, Campus Guadalajara. Sus áreas deinterés en investigación son en procesamiento

de señales, estimación espectral, teledetección y procesamiento de imágenes.

Yuriy V. Shkvarko (M’95−SM’04). Ingeniero(con honores) en Radio Ingeniería en 1976,Candidato en Ciencias (equivalente a PhD) enradio sistemas en 1980 y Doctor en Ciencias enfísicas de radio, radar y navegación en 1990,todos del Instituto de Aviación de Kharkov,Ucrania, (ex URSS). De 1976 a 1991, estuvo enel Departamento de Investigación Científica delInstituto de Aviación de Kharkov, (ex URSS),desempeñándose como investigador endiferentes categorías y finalmente como Jefe delLaboratorio de Investigación en Tecnologías deInformación para radar y navegación. De 1991 a

1999 fue profesor de tiempo completo en el Departamento de Análisis deSistemas y Control del Instituto Politécnico Nacional de Ucrania en Kharkov,Ucrania. De 1999 al 2001 fue profesor visitante en la Universidad deGuanajuato en Salamanca, México. En 2001, se integró al CINVESTAV delIPN en Guadalajara, México, como profesor titular de tiempo completo. Susintereses de investigación son en aplicaciones de procesamiento de señalespara percepción remota, radar de formación de imágenes, navegación ycomunicaciones, particularmente en problemas inversos, estimación decampos aleatorios, análisis espacial adaptivo, procesamiento estadísticomulticanal, arreglo de sensor y fusión de sistemas. Posee 12 patentes y hapublicado 2 libros y más de 100 artículos en Revistas y Memorias deConferencias sobre estos tópicos.

PONCE-DÁVALOS AND SHKVARKO : SPECTRAL CARACTERIZATION VIA FUSING 267