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Determinazione delle funzioni delle caratteristiche della sollecitazione
Dal momento che le sollecitazioni, in generale, variano da sezione a sezione, esse sono delle funzioni (scalari) definite lungo l’asse della trave. Sono pertanto definite o da un’espressione analitica, o da un diagramma.
Obiettivi delle lezioneObiettivi delle lezione:
• Apprendere i metodi per la determinazione delle funzioni N,T,M
• Apprendere i metodi per tracciarne diagrammi significativi, coerenti con i dati e che contengano tutte le informazioni utili al progetto.
Scienza delle Costruzioni per Ingegneria Meccanica Prof. Massimo Cuomo
Esempio
P
Scienza delle Costruzioni per Ingegneria Meccanica Prof. Massimo Cuomo
1. Determinare le reazioni vincolari
2. Fissare un sistema di riferimento localeP
z
y
P P
P l
l
P
P l
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3. Eseguire una sezione retta in un punto qualsiasi della trave, identificata dalla sua ascissa.
4. Determinare con l’equilibrio di uno dei due segmenti il valore delle sollecitazioni nella sezione di ascissa z. Le espressioni trovate sono le funzioni richieste.
zy
P
P l
T(z)
N(z)
M(z)T(z)
M(z)
N(z)
zPzMPzTzN −=−== )()(0)(
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5. Si possono diagrammare le funzioni trovate. Si utilizza come asse di riferimento lo stesso asse della trave.
6. I diagrammi vanno fatti in scala.
7. Si riportano sul diagramma i valori notevoli, che consentono di avere le informazioni quantitative.
-P
T M -Pl
P Scala delle forze Pl Scala dei momenti
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Convenzione per il diagramma del momentoNon esiste una regola che stabilisce qual è il lato positivo neldiagramma dello sforzo normale, del taglio e del momento torcente. Conviene indicare un segno.
Esiste una regola per disegnare il diagramma del Momento Flettente, che prescinde da considerazioni di segno.
Il diagramma del momento flettente si disegna in modo tale che in ogni sezione l’ordinata del momento viene riportata dal lato teso della trave.
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Un ulteriore esempio
x
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kNmxxPzMkNPzV 5.2)(5.22
)( ====
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( ) ( ) kNmxxlPzMkNPzV 5.2102
)(5.22
)( −=−=−=−=
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5 kNm
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Nell’esempio precedente le funzioni presentano discontinuità di I o di II specie (sulla funzione o sulla sua derivata). Vanno quindideterminate 2 espressioni separate per le funzioni taglio e momento.
E’ quindi importante determinare in quali punti si hanno delle discontinuità in una qualunque delle funzioni N,V,M,T.
Chiamiamo tali punti punti notevoli.
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Procedura per il tracciamento dei diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione e per
la determinazione delle loro funzioni1. Determinare le reazioni vincolari.2. Identificare i punti notevoli.3. Considerare una sezione di ascissa arbitraria per ogni
intervallo compreso fra due punti notevoli. 4. Determinare N,T,M,Mt in ciascuna di queste sezioni. 5. Usare la convenzione dei segni.6. Disegnare i diagrammi o per punti o sulla base della
conoscenza delle funzioni nei punti notevoli e del loro andamento.
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p=60 kN/m
4 m 4 m
pL/2LpL/2
4
2pL
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pL/2
4
2pL
x
Lxp 2
Lxp
2
2/3 x
2
324)(
2)(
322
Lx
LxpxLpLpxM
LxpLpxT
≤
−+−=−=
T(x)
M(x)
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4
2pL
pL/2pL/4
p 2(L-x)/L
R1
R2
LxLp
LxRLxRLxLpxLpLpxM
LxLp
LxLp
LxLxpLpLpxT
LxLpLx
LxLpR
LxLxpLx
LxLpR
3)(
232
221
32
424)(
)(4
)2(2342
)(
4)2(
21
2)(21
232
)(2
3
21
2
222
2
2
2
1
−−
=
−−
−−
−−+−=
−=−−
−−−−=
−=
−
−−=
−−=
−−=
T(x)
M(x)
x
x-L/2
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0 2 4 6 8x
0
50
100
150
200
TNk
0 2 4 6 8x m
0
200
400
600
800
MmNk
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B
p
L/2 L/2
x
p
p L/2
243 Lp
241 Lp
B
B
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p
243 Lp
x
p x
T(x)
M(x)
−=
−=
≤
283)(
83)(
22xxLpxMxLpxT
Lx
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241 Lp
L-x
T(x)
M(x)
( )xLLpxMLpxT
Lx
−=−=
≥
8)(
8)(
2
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T
Lp83
Lp81−
22 0625.0161 LpLp =22 0703.0
1289 LpLp =
M
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Punti Notevoli
1. Estremità della trave (condizioni al contorno)2. Punti di applicazione di forze concentrate (attive o
reattive)3. Punti di applicazione di coppie concentrate (attive o
reattive)4. Punti in cui varia la legge di variazione (forma) del
carico distribuito5. Inizio e fine del carico distribuito6. Nodi (punti in cui varia la tangente all’asse della
trave).
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3 m 6 m6 kN
Determinare le sollecitazioni nelle sezioni immediatamente a sinistra e a destra della forza
9 kN m
Punti Notevoli
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4 ft 4 ft
50 lb/ft
A C
Punti Notevoli
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Pw
aL
b
x1x2
x3
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Pwa
Lb
x1x2
x3
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4 ft 4 ft
50 lb/ft
A C
Punti Notevoli
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Esercizi proposti
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Diagrammi delle sollecitazioni su un sistema di travi
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Ci sono 3 reazioni esterne e 2 elementi incernierati a 2 forze.
Le reazioni interne ed esterne si valutano con le equazioni di equilibrio esterno (3) e con le equazioni di equilibrio del nodo C (2)
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RB
HAVA
NHRHF
NVVF
NRRM
ABAx
AAy
BBA
3000
6000600
300016002
−=⇒=+=
=⇒=−=
=⇒=⋅−⋅=
∑
∑
∑
Calcolo delle reazioni esterne
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Reazioni interne
NR
NP
5.8482600
600
==
=
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Equilibrio del perno in A, per determinare le reazioni interne su AB
300
300 600 R=848.5
300
300
600
HAB
VAB VAB
HAB
NHV
AB
AB
3000
==
600 N
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Diagramma di corpo libero della trave verticale AB
300
300
600 Nz
yB
D
A
1 m
1 m
NmzMNT
N
BD
BD
BD
3003000
−=−=
=
NmzMNT
N
BD
DA
DA
)2(3003000
−−=+=
=
T + -
300
-300
M
300 Nm
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Gz
z
848.5 N
NmzMNTNN
AG
AG
AG
600600600
=+=+=
NmzMNTNN
AG
CG
CG
600600600
−=−=+=
+600
+600
N
+600
-600T
600 Nm
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+600
-600
+600
+600
-600
+300
-300
300 Nm
600 Nm
N T M
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Esercizi sulle caratteristiche della sollecitazione
Cap. 5
N. 5.15, 5.16, 5.17, 5.18, 5.20, 5.30, 5.34, 5.59, 5.60,
5.115, 5.116,
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