CARTAS DE CONTROLE MULTIVARIADAS BASEADAS NO … · CARTAS DE CONTROLE MULTIVARIADAS BASEADAS NO MÉTODO KERNEL-STATIS PARA MONITORAMENTO DE PROCESSOS NÃO-LINEARES ... redes neurais

CARTAS DE CONTROLE

MULTIVARIADAS BASEADAS NO

MÉTODO KERNEL-STATIS PARA

MONITORAMENTO DE PROCESSOS

NÃO-LINEARES

DANILO MARCONDES FILHO (UFRGS)

[email protected]

Flávio Sanson Fogliatto (UFRGS)

[email protected]

luiz paulo luna de oliveira (UNISINOS)

[email protected]

Processos industriais que ocorrem em bateladas são empregados com

freqüência na produção de alguns itens. Tais processos disponibilizam

uma estrutura de dados bastante peculiar e, diante disso, existe um

crescente interesse no desenvolvimennto de cartas de controle

multivariadas mais apropriadas para seu monitoramento. Destaca-se aqui

uma abordagem recente que utiliza cartas de controle baseadas no método

Statis. O Statis constitui-se numa técnica exploratória que permite avaliar

similaridade entre matrizes de dados. Entretanto, essa técnica avalia a

similaridade no contexto linear, isto é, investiga estruturas lineares de

correlação nos dados. Neste artigo, propõe-se a utilização de cartas de

controle baseadas no Statis em conjunto com um kernel para

monitoramento de processos com presença de não-linearidades. Através

dos kernels, definem-se funções não-lineares dos dados para melhor

representação da estrutura a ser caracterizada pelo método Statis. Esta

nova abordagem, denominada Kernel-Statis, é desenvolvida e avaliada

utilizando dados de um processo simulado.

Palavras-chaves: Cartas de controle multivariadas, Kernels, Método

Statis, Processos em bateladas

XXIX ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO A Engenharia de Produção e o Desenvolvimento Sustentável: Integrando Tecnologia e Gestão.

Salvador, BA, Brasil, 06 a 09 de outubro de 2009

XXIX ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO A Engenharia de Produção e o Desenvolvimento Sustentável: Integrando Tecnologia e Gestão


2

1. Introdução

Processos industriais automatizados disponibilizam uma grande quantidade de informações sobre

seu desempenho. Em tais processos são geradas medições simultâneas e em tempo real de

diversas variáveis de processo. Obtêm-se então dados em quantidade suficiente para habilitar um

monitoramento preciso do desempenho de operações industriais. Parte dessas indústrias conduz

seus processos em bateladas.

Processos em bateladas apresentam uma série de operações e eventos complexos que provocam

efeitos não-lineares significativos nos dados, isto é, correlações não-lineares costumam estar

presentes entre as variáveis de processo. Frente a essa evidência, cartas de controle (CCs)

multivariadas mais apropriadas para seu monitoramento foram propostas na literatura.

As principais abordagens não-lineares de controle de processos em bateladas baseiam-se em

extensões não-lineares da MPCA (Multiway Principal Components Analisys – Análise de

Componentes Principais Multidirecionais), denominadas Non-Linear PCA (NLPCA – PCA não-

linear). As CCs baseadas em NLPCA são obtidas a partir do uso da PCA em conjunto com

modelos de redes neurais, algoritmo de curvas principais ou kernels. Martin & Morris (1996) e

Lee et al. (2004a;b) apresentam uma discussão comparativa de CCs baseadas em NLPCA.

Uma abordagem alternativa, denominada Statis, proposta por Lavit et al. (1994), utiliza um

arranjo de dados distinto em relação à MPCA. O Statis constitui-se em uma técnica exploratória

que oferece uma representação sumária do grau de similaridade entre matrizes de dados através

da utilização da ACP (Análise de Componentes Principais). As CCs baseadas no método Statis

foram propostas originalmente por Scepi (2002) e expandidas para o monitoramento on-line e off-

line de processos em bateladas por Fogliatto & Niang (2008). A caracterização dos dados

oferecida pelo Statis traz um acréscimo em relação ao arranjo usado na ACPM, pois permite a

construção de CCs para avaliar o desempenho do processo explicitamente a cada instante.

Entretanto, assim como as demais abordagens lineares, a técnica avalia a similaridade no

contexto linear, isto é, investiga apenas estruturas de correlação lineares nos dados.

Propõe-se aqui o desenvolvimento de CCs baseadas em uma modificação do Statis que incorpore

também não-linearidades presentes nos dados: o Kernel-Statis. Através dos kernels, definem-se

funções não-lineares dos dados para melhor representação da estrutura a ser caracterizada pelo

método Statis. A proposta apresenta duas importantes contribuições ao estado da arte sobre

monitoramento de processos não-lineares. Primeiro, as CCs baseadas no Kernel-Statis são de

natureza não-paramétrica, ao contrário de outras propostas disponíveis na literatura; tal

característica aumenta suas possibilidades de utilização. Segundo, a utilização do Statis como

base teórica para o desenvolvimento das CCs permite extensões para contemplar situações

especiais, tais como o controle de processos em bateladas com durações distintas e a utilização do

Statis Dual, uma análise alternativa pertencente ao ferramental do método Statis, como

ferramenta de diagnóstico de causas especiais. Tais desenvolvimentos encontram-se disponíveis

na literatura para o caso de processos lineares.

2. Fundamentação teórica



3

A presente seção divide-se em duas partes. Inicialmente, revisa-se o estado da arte sobre Controle

Estatístico Multivariado de Processos (CEMP) não-lineares. Na sequência são apresentados os

fundamentos analíticos do método Statis.

2.1. Estado-da-arte sobre CEMP para processos não-lineares

Gráficos univariados de controle de processos, tais como os gráficos de Shewhart e CUSUM (de

somas acumuladas), vêm sendo utilizados com êxito no monitoramento e melhoria da qualidade

de processos industriais (MONTGOMERY, 2001). Entretanto, gráficos univariados de controle

apresentam um desempenho deficiente quando aplicados a processos multivariados. Para

contornar essa deficiência, diversas estratégias de controle de processos foram desenvolvidas

utilizando métodos estatísticos multivariados como a análise de componentes principais (ACP) e

mínimos quadrados parciais. Os trabalhos de Nomikos & McGregor (1995) e Kourti et al. (1996)

exemplificam esses desenvolvimentos.

A ACP é a técnica de análise multivariada de dados mais utilizada no monitoramento de

processos (WISE & GALLAGHER, 1996), devido a sua capacidade de projetar, sem grande

perda de informação, bancos de dados de grandes dimensões, compostos por variáveis altamente

correlacionadas, em espaços de representação de menores dimensões, nos quais técnicas de

controle da qualidade são implementadas (mais especificamente, gráficos T2

e Q na fase de

detecção, e gráficos de contribuição na fase de diagnóstico). Entretanto, o CEMP baseado em

ACP apresenta um desempenho inadequado se aplicado no controle de processos não-lineares,

conforme demonstrado por Xu et al., 1992.

Para contornar o problema imposto por processos não-lineares, diversas abordagens foram

propostas na literatura. Kramer (1992) desenvolveu um método baseado em ACP não-linear e

redes neurais auto-associativas. A arquitetura da rede neural utilizada apresenta cinco camadas:

(i) de entrada, (ii) de mapeamento, (iii) camada gargalo, (iv) de mapeamento reverso, e (v) de

saída. Os nodos das camadas (ii) e (iv) são não-lineares, ao passo que as demais camadas são

lineares. Um algoritmo de gradiente conjugado é utilizado para treinar a rede. Como a dimensão

da camada (iii) é menor do que a dimensão de (i) e (v), a rede é forçada a desenvolver uma

representação compacta dos dados de entrada. O autor atinge esse objetivo introduzindo funções

não-lineares nos nodos das camadas de mapeamento e mapeamento reverso, em uma extensão da

ACP não-linear. Entretanto, a rede proposta é de difícil treino já que contém cinco camadas.

Além disso, a determinação do número de nodos a ser usado em cada camada não é tarefa trivial.

Dong & McAvoy (1996) também propuseram uma versão não-linear da ACP, combinando

curvas principais e redes neurais, para o controle de processos não-lineares contínuos e em

bateladas. Os escores e pontos amostrais corrigidos para as amostras de treinamento são obtidos

pelo método da curva principal; o modelo de rede neural é utilizado para mapear os dados

originais em seus respectivos escores, os quais são então mapeados para obter os pontos

amostrais corrigidos. Construindo a rede neural, uma estratégia de adaptação on-line pode ser

desenvolvida. A abordagem de Dong & McAvoy (1996) apresenta duas limitações: (i) o

algoritmo da curva principal pressupõe que a função não-linear possa ser aproximada por uma

combinação linear de diversas funções univariadas (isto é, a função não-linear pode ser

decomposta como uma soma de funções das variáveis individuais), o que limita a aplicação do



4

algoritmo a estruturas que apresentem comportamento do tipo aditivo; e (ii) deve-se resolver um

problema de otimização não-linear para calcular as curvas principais e treinar a rede neural e,

para tanto, o número de componentes principais deve ser especificado antes de treinar a rede;

assim, sempre que o número de componentes for alterado, o procedimento de modelagem deverá

ser rodado novamente.

Versões alternativas para a ACP não-linear foram também propostas por Hiden et al. (1999) e Jia

et al. (2001). Na abordagem em Hiden et al. (1999), as não-linearidades presentes no sistema são

explicitamente representadas em uma forma funcional, cuja natureza é otimizada usando um

processo evolutivo baseado em programação genética. Jia et al. (2001) propõem uma abordagem

combinando ACP e uma rede neural de entrada e treinamento (ITNN – input-training neural

network), de forma a considerar separadamente correlações lineares e não-lineares presentes nos

dados. Geng & Zhu (2005) reportam uma aplicação prática do método em Jia et al. (2001) no

monitoramento de um processo químico.

Os trabalhos a seguir utilizam a Kernel-ACP como técnica de ACP não-linear. A Kernel-ACP,

originalmente proposta por Scholkopf & Smola (2002), é capaz de calcular componentes

principais de forma eficiente em espaços característicos (feature spaces) de grandes dimensões

através de operadores integrais e funções kernel não-lineares. Em sua essência, a Kernel-ACP

consiste de duas operações: (i) o espaço de entrada (input space) é mapeado, através de funções

não-lineares, em um espaço característico, e (ii) uma ACP linear é aplicada no espaço

característico para obter componentes principais. Comparada a outros métodos não-lineares, a

Kernel-ACP apresenta a vantagem de não demandar um procedimento de otimização não-linear;

sua utilização envolve somente operações de álgebra linear, sendo de aplicação tão simples

quanto a ACP padrão. A Kernel-ACP demanda a extração de autopares (autovalores e

autovetores) do espaço característico e não requer que o número de componentes principais a ser

extraído seja conhecido a priori. Como pode ser operacionalizada usando diferentes kernels, a

Kernel-ACP pode ser eficiente na representação de diferentes tipos de não-linearidades.

Lee et al. (2004) apresentam um procedimento para o monitoramento de processos contínuos no

espaço característico obtido aplicando funções kernel sobre os dados de processo. Os autores

ilustram o procedimento em um processo de tratamento de resíduos líquidos onde os dados de

processo são mapeados no espaço característico através de uma função kernel de base radial.

Uma vez disponível a representação dos dados de entrada no espaço característico, o

procedimento proposto é essencialmente o mesmo proposto por Nomikos & McGregor (1995),

utilizando ACP linear. Mais especificamente, a estatística de Hotelling é usada para medir a

variação dentro do modelo Kernel-ACP, e a estatística , dada pelo quadrado do erro de

predição, provê uma medida de ajuste entre uma amostra qualquer e o modelo Kernel-ACP. O

monitoramento proposto pelos autores somente permite o controle on-line de processos

contínuos, já que sua operacionalização demanda, como amostra de entrada, a matriz completa de

dados do processo de interesse, não disponível, no caso de processos em bateladas, antes de seu

término.

Lee, Yoo & Lee (2004) estendem o procedimento em Lee et al. (2004) para o monitoramento on-

line e off-line de processos em bateladas. O esquema proposto para o monitoramento off-line

replica os desenvolvimentos propostos por Lee et al. (2004), já que o monitoramento on-line de

processos contínuos e off-line de processos em bateladas se equivalem em termos metodológicos.



5

Com relação ao monitoramento on-line de processos em bateladas, Lee, Yoo & Lee (2004)

propõem completar a matriz de dados de processo proveniente da batelada em curso utilizando

uma metodologia onde valores futuros são antecipados como uma média ponderada dos escores

disponíveis até o tempo atual da batelada e dos escores previamente calculados na distribuição de

referência. O procedimento é ilustrado em um processo de fermentação para produção de

penicilina.

Cho et al. (2005) propõem um método para o diagnóstico de pontos fora-de-controle sinalizados

nos gráficos e desenvolvidos por Lee et al. (2004). A contribuição em Lee et al. (2004)

limitou-se à fase de detecção do controle da qualidade, não trazendo propostas para o diagnóstico

de eventuais pontos fora-de-controle. O método de diagnóstico em Cho et al. (2005) está baseado

no cálculo do gradiente da função kernel utilizando no mapeamento dos dados de processo no

espaço característico, sendo aplicável no diagnóstico de sinais registrados nos gráficos e . O

método é ilustrado usando dados simulados de dois processos contínuos.

Cui et al. (2008) também abordam o problema do diagnóstico de pontos fora-de-controle em

gráficos baseados em Kernel-ACP, além de analisar estratégias para reduzir a dimensão da matriz

kernel durante a fase de treinamento da Kernel-ACP. Com relação ao problema do diagnóstico,

os autores propõem o uso conjunto da Kernel-ACP e da análise discriminante de Fisher (método

para extração de características e redução dimensional de grandes amostras. Para reduzir a

dimensão da matriz kernel, os autores propõem identificar subconjuntos de dados no banco

completo de dados de processo suficientes para expressar todos os dados no espaço característico

como uma combinação linear dos dados nos subconjuntos reduzidos. Os desenvolvimentos no

artigo são ilustrados utilizando dados simulados de processos previamente analisados por Lee,

Yoo & Lee (2004) e Cho et al. (2005).

Finalmente, Choi et al. (2008) combinam as proposições em Lee et al. (2004) e Cho et al. (2005)

para propor um novo esquema de monitoramento de processos não-lineares. O artigo enfatiza o

problema da detecção de eventos anormais ocorridos em escalas muito distintas. Em sua essência,

os autores propõem substituir o método de padronização de dados, prévio à Kernel-ACP,

proposto por Scholkopf & Smola (2002), pela utilização da transformação Wavelet. Na etapa de

diagnóstico, os autores propõem a utilização da transformação Wavelet inversa para mapear

dados do espaço característico no espaço de entrada.

2.2. Fundamentos do método Statis

O método Statis permite a análise de estruturas tridimensionais de dados, avaliando a

similaridade entre matrizes bidimensionais em um plano de dimensões reduzidas. Cada matriz

Xb, para b=1,...,B, de dimensão (T × P), contém vetores linha padronizados (isto é, cada

variável em Xb tem os valores subtraídos da média e divididos pelo desvio padrão da sua coluna)

que representam medições de P variáveis de processo durante T instantes de tempo. Tem-se então

uma estrutura com P variáveis × T instantes de tempo × B bateladas.

O método Statis foi proposto inicialmente por Lavit et al. (1994), e sua aplicação em controle de

processos em bateladas foi proposta por Scepi (2002) e aprimorada por Fogliatto & Niang (2008).

A estruturação de dados apresentada acima cumpre dois objetivos: (i) representar em um espaço

de dimensões reduzidas a correlação entre as P variáveis das matrizes e no conjunto dos T

instantes. Está análise permite verificar o comportamento global das variáveis de uma nova



6

batelada em relação à estrutura de referência capturada entre as B bateladas. Este objetivo é

alcançado através da análise da inter-estrutura; (ii) representar em um espaço reduzido a

correlação média (ou de compromisso) entre os T instantes, dois a dois, considerando todas as P

variáveis de processo. Esta análise busca identificar, a cada instante de tempo transcorrido na

nova batelada, possíveis desvios significativos em relação ao comportamento temporal de

compromisso do conjunto das variáveis. Este objetivo é alcançado através da análise da intra-

estrutura.

Os parágrafos que se seguem apresentam um resumo da análise da inter-estrutura. Considere uma

matriz bbb XXW , de dimensão (T × T), onde bX indica a transposta da matriz bX .

Genericamente, pode-se escrever essa matriz da seguinte forma:

bt

btb xxW , , para tt , = 1,...,T e b=1,...,B, (1)

onde btx e b

tx representam vetores linha, de dimensão (1 × P), representando medições das P

variáveis de processo no tésimo

instante da bésima

batelada. Calcula-se agora uma medida de

similaridade entre pares de matrizes bW , através do produto interno canônico de Hilbert-Schmidt

dado por:

)( bbHSbbbb Tr DWDWWWS , (2)

onde Tr (·) representa o operador de traço matricial, e D é uma matriz diagonal, de dimensão (T ×

T), contendo os pesos de importância para os instantes de tempo. Para simplificar, consideram-se

pesos iguais e com soma unitária; assim, D=I/T.

O valor de bb S indica o grau de similaridade entre as P variáveis nas matrizes bW e bW . Essa

medida de similaridade entre matrizes é semelhante à medida de similaridade entre vetores, pois a

eq. (2) é uma extensão do produto interno entre vetores no caso de matrizes quadradas.

As correlações lineares vetoriais entre bW e bW estão descritas na matriz:

bbB

SSΔ1

, onde

B

b

B1

11 (3)

Para obter uma caracterização resumida da estrutura de correlação entre as B bateladas, aplica-se

a ACP na matriz SΔ . Isto é feito através da sua diagonalização para seleção dos maiores

autovalores λi e respectivos autovetores ui (com i=1,...,B), que representam a localização das

matrizes bW nas principais direções ortogonais de variabilidade comum em SΔ .

A representação das B bateladas nos novos eixos ortogonais é realizada utilizando os autovetores

ui. Assim, cada elemento ui,b de ui ponderado pelo desvio padrão do CP correspondente (dado

pela raiz quadrada do i-ésimo autovalor) representa a posição da b-ésima batelada no i-ésimo

eixo ortogonal. Considerando dois CPs na análise, tem-se então:



7

biibi ua ,, , para i=1,2 (4)

onde bia , é a coordenada que representa essa posição.

Os parágrafos que se seguem apresentam um resumo da análise da intra-estrutura. Considerando

novamente a matriz bbb XXW explicitada na eq. (1), obtém-se agora a matriz de compromisso

W, que representa a estrutura de correlação média, aos pares (considerando as B bateladas de

referência), entre os T instantes de tempo. Mais explicitamente,

B

b

bb

1

WW .

Lavit et al. (1994) demonstram que a combinação linear que melhor relaciona as matrizes Wb

com W está associada ao maior autovalor (λ1) da matriz SΔ e ao seu autovetor correspondente

(u1). Assim, têm-se os pesos bb uB

,1

1

11

, onde 1,bu representa o b-ésimo elemento do vetor

u1 referente à b-ésima batelada.

Para obter uma caracterização resumida da estrutura de correlação de compromisso das P

variáveis nos T instantes de tempo, a exemplo do que foi feito na análise da inter-estrutura,

aplica-se uma ACP na matriz WD . Isto é feito através da sua diagonalização para seleção dos

maiores autovalores δi e respectivos autovetores εi (com i=1,...,T), que descrevem a posição das

observações b

tx médias, isto é, da matriz Xb ideal, em um número reduzido de eixos, derivados

das principais direções ortogonais de variabilidade comum em WD .

Para comparar, em cada instante, o comportamento do conjunto das P variáveis da bésima

batelada

Wb, em relação à batelada de compromisso W, obtém-se a representação de cada matriz Wb nos

novos eixos ortogonais. Utilizando dois CPs, tem-se:

i

b

t

i

b

tiT

z εw 11

,

, para i=1,2, (5)

onde iε é o vetor transposto do vetor linha iε , b

tw representa a t-ésima linha de Wb e b

tiz , é o

valor que representa a posição no i-ésimo eixo ortogonal da b-ésima batelada no t-ésimo instante

de tempo.

3. Kernel-Statis

Considere novamente os dados referentes à B bateladas contidos nas matrizes Xb. Define-se o

seguinte mapa não-linear:

Φ: IRP → F

b

tx → )( b

txΦ .

O vetor )( b

txΦ , de dimensão (1 × NF), onde NF = 1 ! !( 1)!d N d N , representa o vetor b

tx

ampliado, com elementos dados por todos os monômios de ordem d dos elementos do vetor b

tx .

Decorre disso que a matriz Xb passa a ter dimensão (T × NF), contendo assim T vetores linha

)( b

txΦ . Entretanto, os produtos internos entre os )( b

txΦ , obtidos substituindo b

tx por )( b

txΦ na

eq. (1) podem ser realizados em função das observações originais, através do produto interno



8

modificado entre as observações b

tx . Neste caso, o produto equivalente é dado pelo Kernel

Polinomial de ordem d, definido como (SCHOLKOPF; SMOLA, 2002):

db

t

b

t

b

t

b

tk xxxx ,, (6)

Dessa forma, tem-se a matriz kernel bW (designada por bbbk XXW ) obtida a partir das matrizes

Xb no espaço original das observações b

tx [isto é, Xb possui dimensão (T × P)]. A matriz

apresentada na eq. (1) é então reescrita como:

d

b

t

b

t

b

t

b

tb kk xxxxW ,),( , para tt , =1,...,T e b=1,...,B. (7)

Utilizando a eq. (7), procede-se então uma modificação não-linear nas estatísticas resultantes da

análise da inter-estrutura e da intra-estrutura, sumarizadas nas equações (4) e (5),

respectivamente. Esta nova abordagem é aqui denominada Kernel-Statis.

4. CCs IS e COt via Statis e Kernel-Statis

A viabilização do controle de bateladas novas através da análise Statis é operacionalizada através

da CC IS (derivada da análise da inter-estrutura) e das CCs tCO (derivadas da análise da intra-

estrutura), conforme proposto por Fogliatto & Niang (2008).

A CC IS permite verificar se a estrutura de correlação linear entre as P variáveis da batelada nova

segue a estrutura de correlação linear padrão, capturada nas B bateladas de referência. A CC kIS

(derivada do Kernel-Statis) realiza a mesma comparação em um contexto não-linear, isto é,

levando em conta as correlações “não-lineares” (quadráticas, dado o Kernel Polinomial).

As CCs tCO permitem verificar o comportamento temporal do conjunto das P variáveis de uma

batelada nova em relação ao comportamento temporal esperado em função das B bateladas de

referência. Analogamente a CC kIS, as CCs kCOt realizam esse monitoramento temporal

considerando uma estrutura não-linear nos dados. Como as CCs tCO oferecem uma

representação explícita das variáveis em cada instante, prioriza-se a sua utilização no controle on-

line do processo.

O passo seguinte consiste em obter uma região de controle para as CCs. Diferentemente do que

usualmente é feito nas CCs multivariadas tradicionais, a região de controle será determinada

através de um procedimento não-paramétrico. O procedimento que será apresentado constitui-se

numa adaptação proposta por Fogliatto & Niang (2008), para o contexto de CCs, do

procedimento em Zani et al. (1998).

Considerando a eq. (5) com dois CPs, tem-se B vetores ),( ,2,1b

tb

t zz . Inicialmente, calcula-se o

ponto que representa o vetor de média ),( ,2,1b

tbt zz . A seguir, obtém-se a distância de Mahalanobis

entre os vetores ),( ,2,1b

tb

tbt zzz e ),( ,2,1

bt

btt zzz . Tem-se então )()( 1

tbtt

btbD zzRzz ,



9

para b=1,...,B , onde )( tbt zz representa o vetor linha de diferenças entre os vetores b

tz e tz ,

cujo vetor transposto é dado por )( tbt zz e 1R é a matriz inversa da matriz R de covariâncias

dos vetores.

A seguir, as B distâncias bD são ordenadas em ordem crescente e as 50% menores distâncias são

retidas. Os vetores btz correspondentes formarão o convex hull (polígono) de abrangência 50%

no primeiro plano fatorial. Neste momento, obtém-se a expansão da região formada pelo convex

hull a partir de um fator de escala. Para tanto, define-se um múltiplo l da distância bD entre o

centróide (representado pelo vetor tz , obtido a partir dos vetores representados pelos pontos

internos do polígono) e os pontos limítrofes do polígono de abrangência 50%. O valor de l é

determinado a partir da probabilidade de alarme falso α (ou erro do tipo I) desejada para a CC,

com a suposição de que os dados btz do interior do polígono (isto é, apenas os 50% de menor

valor bD ) sigam uma distribuição normal bivariada. Detalhes podem ser encontrados em

Fogliatto & Niang (2008).

5. Exemplo numérico

Considere um processo industrial em bateladas simuladas, cujo desempenho pode ser avaliado

através de duas variáveis correlacionadas X1 e X2. Suponha que as leis físicas que regem esse

processo são descritas pelo seguinte sistema de equações diferenciais:

)()( )()(

)()(

221122112

22111

cx cxnlcxa cxbx

cxbcxax

, (8)

onde a, b e nl são constantes reais e os pontos sobre as variáveis denotam derivadas temporais de

21 e XX . Note que o sistema da eq. (8) é uma perturbação não-linear do sistema linear abaixo:

).()(

)()(

22112

22111

cxa cxbx

cxbcxax

(9)

O sistema na eq. (9) tem o ponto (c1,c2) como ponto de equilíbrio. Os dois autovalores associados

são números complexos; i.e., 1,2 a ib . Assim, tem-se um comportamento oscilatório em

torno do ponto de equilíbrio (c1,c2), que é estável se 0a e instável se 0a . O coeficiente nl

define o grau de perturbação na não-linearidade.

Para transformar a eq. (9) numa forma iterativa, adotou-se o esquema de Euler (PATEL, 1993), o

que as transforma em:

.)])(( )()[(

)]()([

22112211212

22t11111

tcxcxnlcax cbxxx

tcxbcxaxx

tttttt

ttt (10)

Para as simulações das bateladas de referência, foram adotados os seguintes valores para os

coeficientes da eq. (9): ,1a 2b , c1=10, c2=20 e nl=0. Neste trabalho, Δt é suficientemente

pequeno, tal que a eq. (10) seja uma aproximação do sistema contínuo na eq. (8). Esta



10

configuração gerou duas variáveis de processo com trajetórias similares a trajetórias de variáveis

observadas em processos industriais.

As trajetórias das duas variáveis envolvidas foram amostradas em T=20 instantes, igualmente

espaçados, em bateladas distintas a partir do sistema descrito na eq. (10). Pequenas variações

foram impostas nas condições iniciais, de batelada para batelada, obtendo-se assim bateladas

representativas do processo sob controle estatístico. A Figura 1 apresenta as séries temporais

trazendo as trajetórias das duas variáveis de processo em 100 bateladas simuladas (B=100), para

nl=0.

Figura 1 - Trajetórias das duas variáveis de processo amostradas em 100 bateladas de referência

Utilizou-se então a abordagem Statis e Kernel-Statis via kernel polinomial de ordem d [eq. (6)

com d = 2] para análise dos dados gerados. A partir das 100 bateladas de referência mostradas na

Fig. 1, determinou-se as regiões de controle utilizando splines para as CCs COt [com pontos

dados pelas projeções na eq. (5)] e CCs kCOt [com pontos dados elas projeções na eq. (5),

utilizando, entretanto, a matriz kWb apresentada na eq. (7)], utilizando α=0,01.

Em seguida, 10 bateladas foram simuladas com perturbações impostas na não-linearidade a partir

do instante 10 até o instante 14. Durante esses instantes, o valor de nl=0 foi substituído por nl=3.

As bateladas foram projetadas de maneira on-line nas CCs tkCO e tCO através da eq. (5) nas

matrizes WNEW e kWNEW [esta última gerada a partir da eq. (6)].



11

Figura 2 - (a) Esquerda – CCs tCO e (b) Direita – CCs COtk

As CCs tCO [Fig. 2 (a)] e tkCO [Fig. 2 (b)] apresentam a projeção das bateladas novas em

ordem cronológica, ao longo das linhas, representadas por pontos em vermelho e lilás,

respectivamente. Observa-se que, em ambas as abordagens, o descontrole é acusado corretamente

a partir do instante 10. Entretanto, observa-se a pouca acurácia nas CCs COt para detectar que o

processo retornou ao estado sob controle no instante 15, visto que as bateladas aparecem em sua

maioria fora da região de controle após esse instante. Diferentemente, as CCs tkCO identificam

que o processo está sob controle a partir do instante 15 em todas as bateladas verificadas (quando,

de fato, cessaram as perturbações), exceto no último instante quando gerou um alarme falso (isto

é, uma batelada mal classificada). Estes resultados evidenciam um ganho na caracterização do

sistema com a utilização do kernel polinomial quando o termo tt xnlx 21 se faz presente em algum

grau (neste caso, com nl=3).

6. Conclusão

Neste artigo, foram propostas CCs multivariadas baseadas no Kernel-Statis para monitoramento

de processos em bateladas, com variáveis apresentando correlações não-lineares do tipo

quadráticas. Inicialmente foi descrito o método Statis usual em estruturas de dados oriundas de

processos em bateladas. O Statis avalia, no contexto linear, a similaridade entre matrizes

bidimencionais bX , utilizando produtos internos canônicos entre vetores de observações btx ,

descritos em matrizes bbb XXW , onde bX contém dados disponíveis de uma batelada



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completa. Através da análise da inter-estrutura, captura-se resumidamente a estrutura de

correlação linear entre as P variáveis, em todos os instantes, nas diferentes bateladas, par a par;

através da análise da intra-estrutura, captura-se a estrutura de correlação linear temporal em T

instantes de tempo, das variáveis.

Em seguida, foi proposta uma abordagem para o Statis no contexto não-linear através da

utilização de kernels. Através dos kernels, definiram-se funções não-lineares de segunda ordem

dos dados a partir de um mapa polinomial não-linear de segunda ordem Φ. Dessa forma,

utilizaram-se funções )][][,][,][,][,]([)( 2122

2121

bt

bt

bt

bt

bt

bt

bt xxxxxxxΦ das observações b

tx e,

através da teoria de kernels, trabalhou-se com produtos internos modificados dos dados originais btx sem a utilização direta dos vetores )( b

txΦ .

No passo seguinte, construiu-se uma versão não-linear do Statis, denominada Kernel-Statis.

Foram redefinidas as estatísticas utilizadas na análise da inter-estrutura e da intra-estrutura para

caracterizar correlações não-lineares quadráticas dos dados. Foram apresentadas as CCs não-

lineares derivadas do Kernel-Statis, denominadas CCs kIS e kCOt.

A partir de um processo com dados simulados de um sistema não-linear de duas variáveis,

validou-se o Kernel-Statis e verificou-se o ganho de acurácia de tal procedimento em relação ao

Statis usual no monitoramento de bateladas futuras. Verificou-se que as CCs kIS e kCOt

ofereceram uma caracterização do processo superior as CCs IS e COt (derivadas do Statis usual),

na medida que as não-linearidades quadráticas foram pronunciadas com mais intensidade no

sistema proposto.

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