Caso di studio: l’applicazione della geostatistica nell

Corso di formazione ambientale, giugno 2004 - APAT Roma

Caso di studio: l’applicazione della Caso di studio: l’applicazione della geostatistica nell’ambito del progetto geostatistica nell’ambito del progetto

SOILSAMPSOILSAMP

Paolo de Zorzi Paolo de Zorzi Sabrina BarbizziSabrina Barbizzi

Servizio di Metrologia AmbientaleServizio di Metrologia Ambientale

APAT- Agenzia per la Protezione dell’Ambiente e per i Servizi Tecnici


Elaborazioni statistiche e geostatistiche

• Parametri esaminati: Arsenico, Cromo, Cesio, Ferro, Scandio


Geostatistica

• E’ una branca della statistica finalizzata allo studio dei fenomeni naturali che si sviluppano su base spaziale e/o temporale

• Include• Analisi strutturale (variografia)• Interpolazione (Kriging)


La semivarianza

Dati z(x) e z(x+h)

semivarianza

h è il vettore (lag) che definisce distanza e direzione di separazione fra due punti di campionamento

2ii ))hx(z)x(z(

21)h(ˆ


Il semivariogramma o variogramma

Se nella regione o area indagata le coppie di osservazione separate da h sono N

Il variogramma è la funzione alla base dell’analisistrutturale di una variabile spaziale e/o temporale

N

1i

2ii )}hx(z)x(z{

N21)h(̂


Fattori che influiscono il variogramma

• Numero di osservazioni• Qualità dei dati• Livello di dispersione presentato dalla variabile

spaziale• Distanza tra i punti di campionati all’interno del

dominio


Il variogramma

• Range = distanza massima entro la quale si manifesta la correlazione spaziale

• Sill = valore massimo della semivarianza: quando si ha stazionarietà, esso approssima per eccesso la varianza campionaria

• Nugget = parte non spiegata della semivarianza, imputabile alla variabilità casuale (incertezza di misura e/o strumentale ecc.) e alla variabilità spaziale presente a distanze inferiori a quella di campionamento

N

1i

2ii )}hx(z)x(z{

N21)h(̂


Anisotropia

• La variabile si comporta in maniera differente in funzione della direzione– Anisotropia geometrica– Anisotropia zonale


Trend: fenomeno non stazionario

Se la variabile manifesta con evidenza un trend di variabilità, ciò significa che il valore medio della variabile dipende dalla posizione x dell’area in esame. L’analisi strutturale può essere fatta solo se si rimuove il trend

distance

gamm

a

0 20 40 60 80

05

1015

20

Omnidirectional Variogram - Sand (%)


L’analisi geostatistica si articola attraverso le fasi:

• Analisi esplorativa preliminare consistente nell’elaborazione delle statistiche elementari finalizzata a prendere conoscenza dei dati

• Stima del variogramma sperimentale per identificare la correlazione spaziale

• Ricerca di un modello teorico per descrivere la correlazione spaziale• Stima della variabile nelle localizzazioni non campionate con il kriging• Costruzione delle mappe di isovalore

Ma vediamo nel dettaglio……


Mappa delle concentrazioni di Cromo (mg/kg)

0 20 40 60 80x (m)

0

30

60

90

120

150

y (m

)

198.4

198.4

204.7

204.7

211.0

217.3

217.3

217.3

223.6

223.6

229.8

229.8

229.8

236

.1

236

.1

236.1

242.4

242

.4

242.4

SOILSAMP - Comparative Exercise - Auger

Chromium (mg/kg)


Elaborazioni statistiche

Summary statistics for Chromium (mg/kg)

Sample Size: 105 Mean: 228.4 Median: 226.1 Skew: 0.4 Kurtosis: -0.3 Min: 195.2 Max: 272.4 Range: 77.2 Standard Deviation: 15.8 Coefficient of Variation: 0.07

200 220 240 260 280

0.00.0

100.0

200.0

30

Cr

Rela

tive F

requ

ency

Histogram of Observed Datawith Fitted Normal Distribution

Order Statistics for Cr andNormal(mean=228.4463, sd=15.82625) Distribution

Cum

ulativ

e Pro

babil

ity

200 220 240 260

0.00.2

0.40.6

0.81.0

Empirical CDF for Cr (solid line)with Fitted Normal CDF (dashed line)

Quantiles of Normal(mean = 228.4463, sd = 15.82625)

Qua

ntile

s of C

r

200 220 240 260

200

220

240

260

Quantile-Quantile Plotwith 0-1 Line

Results of Kolmogorov-Smirnov GOF

HypothesizedDistribution: NormalEstimated Parameters: mean = 228.4463

sd = 15.82625Data: Cr in cromo.shovelSample Size: 105Test Statistic: ks = 0.08239687Test Statistic Parmeter: n = 105P-value: 0.4739941

Results of Kolmogorov-Smirnov GOF Test for Cr in cromo.shovel


Variogramma omnidirezionale sperimentale

distance

gam

ma

0 20 40 60

050

100

150

200

250

300

Omnidirectional Variogram - Chromium (mg/kg) - Shovel


Variogrammi direzionali

0

100

200

300

400

0 20 40 60 80

0 45

90

0

100

200

300

400

0 20 40 60 80

135

distance

gam

ma

Directional Variograms - Chromium (mg/kg) - Shovel


Variogramma teorico

Spherical modelrange: 60sill: 266nugget: 122

distance

gam

ma

0 20 40 60

050

100

150

200

250

300

objective = 9579.266

Omnidirectional Variogram - Chromium (mg/kg) - Shovel


Kriging (1/2)

• Il kriging costituisce la fase più propriamente predittiva dell’analisi geostatistica

• È un interpolatore esatto molto flessibile: consente di effettuare stime non distorte mediante un predittore lineare ricavato per interpolazione da un numero prestabilito di osservazioni localizzate nei dintorni del punto non campionato e sulla base di modelli statistici che includono la correlazione spaziale

• È in grado di fornire la stima dell’incertezza associata ai valori predetti


Kriging (2/2)

• Esistono diverse procedure di Kriging, ognuna delle quali è stata definita per tener conto di differenti condizioni di stazionarietà e di distribuzione di probabilità dei dati

• Permette di valutare quale sia la migliore disposizione di una eventuale nuova serie di punti di campionamento


Il Kriging ……

0 20 40 60 80x (m)

0

30

60

90

120

150

y (m

)

216.1

216.1

220.6

220.6

220.6

225.0

225.0

229.5

229.5

234.0

234.0

238.4 242.9

242.9 247.4

207

212

216

221

225

230

234

238

243

247

252

256

Kriging Prediction - Chromium (mg/kg) - Shovel


…… e l’incertezza della stima

0 20 40 60 80x (m)

0

30

60

90

120

150

y (m

)

12.6

12.6

12.6

12.6

12.6

12.6 12.6

12.6

12.6

12.6

12.6

12.6

13.1

13.

1

13.1

13.1

13.1

7.9

8.4

8.9

9.5

10.0

10.5

11.0

11.5

12.0

12.6

13.1

13.6

Kriging Prediction - Standard Error - Chromium (mg/kg) - Shovel


Mappa delle concentrazioni di Scandio (mg/kg)

0 20 40 60 80x (m)

0

30

60

90

120

150

y (m

)

SOILSAMP - Comparative Exercise - Mechanical Auger

Scandium (mg/kg)

7.2

7.7

8.1

8.1

8.1

8.1

8.5

8.5

8.5

9.0

9.0

9.0

9.4

9.4

9.4

9.9


Elaborazioni statistiche

Summary statistics for Scandium (mg/kg)

Sample Size: 105 Mean: 8.6 Median: 8.6 Skew: -0.5 Kurtosis: -0.4 Min: 5.9 Max: 10.3 Range: 4.4 Standard Deviation: 0.96 Coefficient of Variation: 0.11

6 7 8 9 10

0.00.1

0.20.3

0.4Sc

Rela

tive F

requ

ency

Histogram of Observed Datawith Fitted Normal Distribution

Order Statistics for Sc andNormal(mean=8.604999, sd=0.9671799) Distribution

Cum

ulativ

e Pro

babil

ity

6 7 8 9 10

0.00.2

0.40.6

0.81.0

Empirical CDF for Sc (solid line)with Fitted Normal CDF (dashed line)

Quantiles of Normal(mean = 8.604999, sd = 0.9671799)

Qua

ntile

s of S

c

6 7 8 9 10 11

67

89

1011

Quantile-Quantile Plotwith 0-1 Line

Results of Kolmogorov-Smirnov GOF

HypothesizedDistribution: NormalEstimated Parameters: mean = 8.604999

sd = 0.9671799Data: Sc in scandio.mecaugerSample Size: 105Test Statistic: ks = 0.09772459Test Statistic Parmeter: n = 105P-value: 0.2685247

Results of Kolmogorov-Smirnov GOF Test for Sc in scandio.mecauger


Variogramma omnidirezionale sperimentale

distance

gam

ma

0 20 40 60

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

Omnidirectional Variogram - Scandium (mg/kg) - Mechanical Auger


Variogrammi direzionali

0.0

0.5

1.0

1.5

0 20 40 60 80

0 45

90

0.0

0.5

1.0

1.5

0 20 40 60 80

135

distance

gam

ma

Directional Variograms - Scandium (mg/kg) - Mechanical Auger


Variogramma teorico

Spherical modelrange: 76sill: 0.67nugget: 0.14

distance

gam

ma

0 20 40 60 80

0.0

0.2

0.4

0.6

objective = 0.0386

Directional Variogram (45°) - Scandium (mg/kg) - Mechanical Auger


Il Kriging ……

0 20 40 60 80x (m)

0

30

60

90

120

150

y (m

)

6.7

7.1

7.5

7.8

8.2

8.5

8.9

8.9

9.3

9.3

9.6

9.6

6.0

6.4

6.7

7.1

7.5

7.8

8.2

8.5

8.9

9.3

9.6

10.0

Kriging Prediction - Scandium (mg/kg) - Mechanical Auger


…… e l’incertezza della stima

0 20 40 60 80x (m)

0

30

60

90

120

150

y (m

)

0.5

0.5 0.5

0.5

0.5 0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5 0.5 0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5 0.5

0.5

0.5 0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0.30

0.33

0.35

0.38

0.41

0.44

0.46

0.49

0.52

0.55

0.57

0.60

Kriging Prediction - Standard Error - Scandium (mg/kg) - Mechanical Auger


0 20 40 60 80x (m)

0

30

60

90

120

150

y (m

)

6.7

7.1

7.5

7.8

8.2

8.5 8.9

8.9

9.3

9.6

9.6

6.0

6.4

6.7

7.1

7.5

7.8

8.2

8.5

8.9

9.3

9.6

10.0

Kriging Prediction - Scandium (mg/kg) - Auger

0 20 40 60 80x (m)

0

30

60

90

120

150

y (m

)

6.7

7.1

7.5

7.8

8.2

8.5

8.9

8.9

9.3

9.3

9.6

9.6

6.0

6.4

6.7

7.1

7.5

7.8

8.2

8.5

8.9

9.3

9.6

10.0

Kriging Prediction - Scandium (mg/kg) - Mechanical Auger

0 20 40 60 80x (m)

0

30

60

90

120

150

y (m

)

6.7

7.1

7.5

7.8

8.2

8.5

8.9

8.9 9.3

9.3

9.3

9.6

9.6

6.0

6.4

6.7

7.1

7.5

7.8

8.2

8.5

8.9

9.3

9.6

10.0

Kriging Prediction - Scandium (mg/kg) - Shovel


0 20 40 60 80x (m)

0

30

60

90

120

150

y (m

)

76.4

81.8

81.8

87.3

92.7

92.7

98.2

103.6

60.0

65.5

70.9

76.4

81.8

87.3

92.7

98.2

103.6

109.1

114.5

120.0

Kriging Prediction - Zinc (mg/kg) - Mechanical Auger

0 20 40 60 80

x (m)

0

30

60

90

120

150

y (m

)

70.9

76.4

81.8

87.3

92.7

92.7 98.2

98.2

60.0

65.5

70.9

76.4

81.8

87.3

92.7

98.2

103.6

109.1

114.5

120.0

Kriging Prediction - Zinc (mg/kg) - Auger

0 20 40 60 80x (m)

0

30

60

90

120

150

y (m

)

76.4

87.

3

92.7 92.7

98.2

98.2

60.0

65.5

70.9

76.4

81.8

87.3

92.7

98.2

103.6

109.1

114.5

120.0

Kriging Prediction - Zinc (mg/kg) - Shovel


S nugget = S campionamento + S analisi+ S riduzione + S spaziale

Incertezza del campionamento

S campionamento = S nugget – (S analisi + S riduzione )


Valutazioni preliminari dell’incertezza di campionamento (valori %)

66n.d.2433n.d.Auger

CrCsScFeAs

6427271637Auger Mech.

399261811Shovel


Vantaggi della Geostatistica (1/2)

• Consente di giungere alla definizione di un modello che descriva la variabilità spaziale di un dato parametro

• A parità di errore, richiede un numero di misurazioni minore rispetto ai metodi classici fondati sull’indipendenza delle variabili

• Permette di compiere operazioni di inferenza in localizzazioni non campionate, stimando anche l’incertezza associata


Vantaggi della Geostatistica (2/2)

• La conoscenza della struttura della variabilità e della varianza di stima, inoltre, permette di ottimizzare, in termini di costi sia di prelievo sia di analisi in laboratorio, le campagne di campionamento dei suoli

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Caso di studio: l’applicazione della geostatistica nell