Upload
dheera-al-ansar-gheztro
View
31
Download
6
Embed Size (px)
DESCRIPTION
cacatan fisika matematika
Citation preview
Catatan Kuliah Matematika untuk
Fisika
Ahmad Mukhlis Anshori
1
el-Madani
Karya sederhana ini kudedikasikan bagi
Purwaning Handayani
Azwa Safrina el Madani
2
el-Madani
ALJABAR VEKTOR
Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah, serta memiliki perilaku
terhadap transformasi. Vektor sangat bergantung pada besar dan arahnya. Vektor
dikatan tetap jika besar dan arahnya tetap. Jika salah satu vektor memiliki besar tetap
tetapi arahnya berubah, maka vektor tersebut dikatakan berubah. Contoh besaran
vektor adalah gaya (penyebab perubahan gerak). Sifat-sifat besaran vektor antara
lain adalah
1. � + �� = �� + � ...........(komutatif)
2. �� + �� � + � = � + ��� + ��...............(asosiatif)
3. � + 0� = 0� + � = �
Vektor nol �0� � adalah vektor yang jika dijumlahkan dengan vektor yang lain
maka hasilnya adalah vektor yang lain, atau dengan kata lain vektor nol
adalah yang tidak memberikan efek apapun pada penjumlahan.
4. ∀�,∃− � sedemikian rupa sehingga � + �−�� = 0�
−� adalah vektor negatif dari �. Vektor negatif adalah vektor yang besarnya
sama dengan vektor positifnya tetapi arah berlawanan. Gambar di bawah
merupakan ilustrasi dari vektor positif dan negatifnya. Arah panah
� + �� ��
�
�� + � ��
�
� + ��� + ��
��
�
�
�� + �
�� + �� � + �
��
�
�
� + ��
3
el-Madani
berlawanan menyatakan arah vektor yang berlawanan, sedangkan panjang
panah sama menyatakan besar kedua vektor sama ���� = �−���.
Jika diketahui dua vektor yaitu � dan �� maka dapat ditemukan vektor � = � +
�� . Untuk menemukan selisih antara � dan �� �� − �� �, maka harus ditentukan
dulu vektor −�� kemudian dijumlahkan dengan vektor �.
� + �−�� � = � − ��
Untuk � ∈ ℝ , � adalah vektor, maka perkalian � dan � akan diperoleh vektor
lain.
�� → a. besarnya = |�|���
b. arahnya paralel dengan arah � (bisa searah atau berlawanan)
Jika � < 0 maka �� berlawanan arah dengan �
Jika � > 0 maka �� searah dengan �
5. (� + �)� = �� + ��
6. ��� + �� � = �� + ���
7. (��)� = ����� = �����
8. 1� maka :
i. Karena 1 positif maka arahnya sama dengan arah �
ii. �1�� = |1|��� = ���
iii. Karena besarnya 1� sama dengan besarnya � dan arahnya sama
dengan arah � maka dapat disimpulkan bahwa 1� = �
Vektor Satuan
Jika � adalah vektor, maka ��� adalah vektor satuan dari � yang memenuhi syarat
sebagai berikut.
1) ��� searah dengan vektor �
�
−� � + �� ��
� −��
� − ��
4
el-Madani
2) Besarnya ��� adalah satu satuan
Buktikan bahwa ��� =�
���� !
Jawab :
�
���� searah dengan � karena
�
���> 0 dan skalar, sehingga arahnya akan mengikuti
arah dari vektor �
����� =1
������ =
���
���= 1 satuan
Sehingga
��� =1
����
������ = �
Contoh : Hukum Hubble
Dalam hukum Hubble disebutkan bahwa kecepatan galaksi menjauhi galaksi kita
memenuhi persamaan �� = ���� dimana
�� adalah kecepatan galaksi terhadap galaksi bimasaki
�� adalah konstanta Hubble
�� adalah posisi galaksi terhadap bimasakti
Tentukan kecepatan galaksi G’ jika pengamat berada di galaksi G
���� = ��� − ��
���� = ����� − ����
���� = ��(��� − ��)
���� = ��(����)
��
���
����
��
����
���
Bima Sakti
G
G’
5
el-Madani
HASIL KALI SKALAR
� ∙�� memenuhi sifat berikut
1. � ∙�� = �� ∙�
2. � ∙��� + �� = � ∙�� + � ∙�
3. � ∙���� � = ��� ∙�� �
4. � ∙� ≥ 0
5. � ∙� = 0 ↔ � = 0�
Buktikan ���� ∙�� = �(� ∙�� )!
Jaw ab:
���� ∙�� = �� ∙����
���� ∙�� = ���� ∙��
���� ∙�� = ��� ∙�� �
Salah satu contoh hasil kali skalar adalah � ∙�� = ������ � cos�
� ∙� = ������ cos�
� ∙� = ������ cos�
� ∙� = ����1
� � ∙� = ���
Buktikan 0� = 0� !
� = � = 1�
� = (1+ 0)�
� = � + 0�
� − � = � − � + 0�
0� = 0� + 0�
0� = 0�
Tentukan nilai dari �0� � !
0� ∙0� = (0�)∙(0�)
0� ∙0� = 0(� ∙�)���������
0� ∙0� = 0
θ
��
�
6
el-Madani
Maka
�0� � = �0� ∙0�
�0� � = √0 = 0
Andaikan ��� = 0 tetapi � ≠ 0� maka
� ∙� = ������ cos∠��,��
� ∙� = ���0cos∠��,��
� ∙� = 0
Dan
� ∙� = ������ cos0
� ∙� = 0
Karena ��� = 0 tetapi � ≠ 0� maka
� + � ≠ �
Kedua ruas diproduk skalarkan dengan � + � sehingga diperoleh
�� + �� ∙�� + �� ≠ � ∙�� + ��
� ∙� + � ∙� + � ∙� + � ∙� ≠ � ∙� + � ∙�
������ cos0+ 0+ 0+ 0 ≠ ������ cos0+ 0
����≠ ���
�
Dengan mengandaikan ��� = 0 tetapi � ≠ 0� ternyata menimbulkan kontradiksi,
sehingga dapat disimpulkan bahwa tidak mungkin ada vektor yang besarnya nol
tetapi vektor tersebut bukan vektor nol. Atau dengan kata lain bahwa vektor nol �0� �
adalah satu-satunya vektor yang besarnya nol.
Andaikan � = ���+ ���+ ���� dan �� = ���+ ���+ ���� maka
� ∙�� = ����+ ���+ ����� ∙����+ ���+ �����
� ∙�� = ������∙�+ �����∙�+ �����∙��� + ������∙�+ �����∙�+ �����∙���
+ �������∙�+ ������∙�+ ������∙���
� ∙�� = (����1+ ����0+ ����0)+ (����0+ ����1+ ����0)
+ (����0+ ����0+ ����1)
� ∙�� = ���� + ���� + ����
7
el-Madani
Untuk mencari sudut yang dibentuk oleh vektor � dengan �� dapat ditentukan dengan
cara berikut
� ∙�� = ������ � cos�
cos� =� ∙��
������ �
cos� =���� + ���� + ����
���� + ��� + ������� + ��� + ���
� = cos�� ����� + ���� + ����
���� + ��� + ������� + ��� + ����
HASIL KALI SILANG
� × �� → besaran yang memiliki besar dan arah
� × �� akan memenuhi
1. Besarnya = ������ � sin(< � ,�� )
2. Arahnya tegak lurus � dan �� sesuai dengan sekrup putar kanan
Sifat Hasil kali silang
1. � × �� = −��� × ��
2. � × ��� + �� = � × �� + � × �
3. � × ���� � = ��� × �� �
4. �� × �� � × � ≠ � × ��� × ��
5. �� × �� � × � + ��� × �� × � + �� × �� × �� = 0 →Identitas Jacobi
Buktikan �0� = 0� dan �� = 0� ↔ � = 0� !
Jawab :
�0� = �(0�)
�0� = (�0)�
�0� = 0�
�0� = 0�
�
��
� × �� �
��
�� × �
8
el-Madani
�� = 0�
�� �1
�� = 0� �
1
��
� = 0�
Buktikan � × � = 0� !
Jawab :
� × �� = −��� × ��
� × �� + �� × � = 0�
Kasus khusus jika �� = � maka
� × � + � × � = 0�
� × �� + �� = 0�
� × 2� = 0�
2�� × �� = 0�
� × � = 0�
Makna geometris dari �� × �� � adalah luas jajargenjang yang dibentuk oleh vektor �
dan ��
HASIL KALI TRIPLE
�� × �� � ∙� = � ∙��� × ��
Makna geometrisnya adalah volume paralelogram yang dibentuk oleh vektor �, ��
dan �
��� � sin� ��
�
�
�� × �� �
�
��
� � × ��
� ��� cos�
9
el-Madani
�� × �� � × � = �� ∙���� − ��� ∙���
Vektor dapat diuraikan menjadi vektor-vektor
yang saling bebas linear, salah satu contohnya
adalah vektor yang saling tegak lurus.
� = �� + ��
� = ���+ ���
{�,�} adalah basis dimana
� searah dengan membesarnya x
� searah dengan membesarnya y
� = �� + �� + ��
� = ���+ ���+ ����
�∙� = �∙����+ ���+ �����
�∙� = �∙(���)+ �∙(���)+ �∙������
�∙� = ��(�∙�)+ ��(�∙�)+ ����∙���
�∙� = ��
�∙� = �∙����+ ���+ �����
�∙� = �∙(���)+ �∙(���)+ �
∙������
�∙� = ��(�∙�)+ ��(�∙�)+ ����∙���
�∙� = ��
��∙� = ��∙����+ ���+ �����
��∙� = ��∙(���)+ ��∙(���)+ ��∙������
��∙� = �����∙�� + �����∙�� + �����∙���
��∙� = ��
Sehingga
� = ��∙���+ ��∙���+ ���∙����
Andaikan � = ���+ ���+ ����= 0� ↔ �� = 0,�� = 0,�� = 0
x
y
�
��
��
�� ���
���
y
x
z
�
�� �
�� �
�� �
�� ��
10
el-Madani
Bukti
�� = �∙�
�� = �∙0�
�� = �∙(0�)
�� = 0(�∙�)
�� = 0
�� = �∙�
�� = �∙0�
�� = �∙(0�)
�� = 0(�∙�)
�� = 0
�� = ��∙�
�� = ��∙0�
�� = ��∙(0�)
�� = 0���∙��
�� = 0
� = �� ↔�� = ��
�� = ��
�� = ��
Bukti
� = ��
� − �� = 0
(�� − ��)�+ (�� − ��)�+ (�� − ��)��= 0
�� − �� = 0
�� = ��
�� − �� = 0
�� = ��
�� − �� = 0
�� = ��
NOTASI SIGMA
Notasi sigma adalah cara penulisan penjumlahan maupun suatu bentuk kombinasi
linear, dengan menggunakan notasi sigma (∑). Tujuan penulisan dengan notasi
sigma adalah untuk menyederhanakan penulisan. Berikut ini adalah contoh penulisan
dengan notasi sigma.
���
��
���
= �� + �� + ⋯ + ���
�����
��
���
= ���� + ���� + ⋯ + ������
� ����
��
�,���
= ���� + ���� + ⋯ + ������ = ����
��
���
� ����
��
���
�
� ����
��
�,����� �
= ���� + ���� + ⋯ + ����� + ���� + ⋯ + ����� + ⋯ + �����
11
el-Madani
�� → �� ,�= ��� → �� ,�= ��� → �� ,��= ��
� � = ���� + ���� + ���� = �����
�
���
�� = �����
�
���
� ∙�� = ������
�
���
� ∙������
�
���
�
� ∙�� = ������� ∙������
�
�,���
� ∙�� = � ������� ∙���
�
�,���
�� ∙�� �
�= 1,�= 1 → �� ∙�� = �∙�= 1�= 2,�= 2 → �� ∙�� = �∙�= 1
�= 3,�= 3 → �� ∙�� = ��∙�� = 1
�
�� ∙�� �
1 ���� �= �
0 ���� �≠ �� ���
Notasi ��� disebut sebagai delta kronecker.
� ∙�� = � �������
�
�,���
Dengan menerapkan sifat delta kronecker yaitu bernilai 1 jika indeksnya sama maka
penulisan di atas menjadi
� ∙�� = ��������
�
���
Karena �= � maka indeks � pada sigma hilang dan indeks � pada suku-sukunya
diganti dengan �.
� ∙�� = �����1
�
���
� ∙�� = ������
���
� ∙�� = ���� + ���� + ����
12
el-Madani
� ∙�� = ������
���
Untuk vektor � yang dinyatakan sebagai berikut
� = �����
�
���
untuk mendapatkan komponen ke-�, maka dilakukan produk skalar antara vektor
satuan ke-� dengan � seperti berikut ini.
�� ∙� = �� ∙�����
�
���
�� ∙� = ��� ∙������
�
���
�� ∙� = ������ ∙���
�
���
�� ∙� = ������
�
���
= ��
�� ∙� = ��
Andaikan
3
1
ˆi
iieAA
dan
3
1
ˆj
jjeBB
maka hasil kali silang kedua vektor tersebut
jika dituliskan dalam notasi sigma adalah sebagai berikut.
� × �� = ������
�
���
� × ������
�
���
�
� × �� = � ������ × ��
�
�,���
��× �= ��
�× �� = �
��× �= �
�× �= −��
��× �= −�
�× �� = −�
�× �= 0�× �= 0
��× �� = 0
� ���� �1−10
���� = 123,231,312 ����= 213,132,321 ���� ���� ����
�
�� × �� = ����� ��
�
���
= ������ + ������ + ������
13
el-Madani
� × �� = � �����
�,���
����� ��
�
���
� × �� = � �������� ��
�
�,�,���
Bentuk pada ruas kanan adalah determinan matriks, sehingga hasil dari hasil kali
silang tersebut dapat dituliskan dalam bentuk determinan matriks berikut.
� × �� = ��� �� ��
�� �� ��
�� �� ��
�
= (���� − ����)�� + (���� − ����)��
+ (���� − ����)��
Jika komponen-komponen baris pertama dipindah ke baris kedua maka muncul tanda
negatif di depan determinan matriks sehingga persamaannya akan menjadi berikut.
� × �� = − ��� �� ��
�� �� ��
�� �� ��
�= −��� × ��
Dari persamaan tersebut tampak bahwa hasil kali silang tidak komutatif. Jika ditukar
lagi suku-suku baris pertama dengan ketiga maka akan kembali positif dan diperoleh
persamaan berikut.
� × �� = ��� �� ���� �� ��
�� �� ���
���� (tensor Levi-Civita)
������� ���
= ���� � = ��� ��� − ������
� × �� = ��������� ��
�,�,�
� × �� = ���������� ��
�,��
� × �� = ��� × �� ����
�
�� × �� � ∙� = ��� × �� ����
�
14
el-Madani
�� × �� � ∙� = ������������
�,��
�� × �� � ∙� = �����������
�,�,�
�� × �� � ∙� = ��� �� ��
�� �� ��
�� �� ���
�� × �� � ∙� = ��� �� ��
�� �� ��
�� �� ���
�� × �� � ∙� = �� × �� ∙��
�� × �� � × � = ������� × �� ������
�,�,�
�� × �� � × � = ������,�,�
���� �����
��
����
�� × �� � × � = � ��������� ��
�
�,�,�,�
���� ����
�� × �� � × � = � ��������� ��
�
�,�,�,�
���� ����
�� × �� � × � = � ������� − ��� ����
�,�,�,�
���� ����
�� × �� � × � = � ������ ���� ����
�,�,�,�
− � ��� ������� ����
�,�,�,�
�� × �� � × � = ��������
�,�
���� �� ��
�,�
− ���� �� ��
�,�
��������
�,�
�� × �� � × � = �����
�
��� ���
− �����
�
������
�� × �� � × � = �� ∙���� − ��� ∙���
15
el-Madani
Vektor � = ���+ ���+ ���� dapat diwakili oleh matriks ���
��
���
Vektor � = ��+ �� dapat diwakili oleh matriks ����
Jika sumbu x-y diputar sebesar � maka vektor � tetap, akan tetapi komponennya
berubah.
menurut sumbu x’ dan y’ maka
� = ����+ ����
� = ���
���
Dimana
�� = ��(�,�)
��= ��(�,�)
�� = ��∙�
�� = ��∙(��+ ��)
�� = ���∙�+ ���∙�
��= � 1∙1cos� + � 1∙1cos(90− �)
�� = � cos� + �sin�
��= ��∙�
��= ��∙(��+ ��)
��= ���∙�+ ���∙�
��= � 1∙1cos(90+ �)+ � 1∙1cos�
��= −� sin� + �cos�
y
x �
� �
y
x
x’
y’
�
�
�
�� ��
�
16
el-Madani
���
���= �
� cos� + �sin�−� sin� + �cos�
�
���
���= �
cos� sin�−sin� cos�
��� ��
Jika � = ��+ ��+ ��� maka wakilan matriksnya adalah �����. Apabila sumbu diputar
maka � = ����+ ����+ �����dengan wakilan matriks ���
��
���. Jika vektor � menurut
sistem koordinat lama dituliskan sebagai
� = �����
�
���
maka untuk menentukan komponen � pada sumbu yang baru dapat dilakukan denga
melakukan produk skalar antara vektor satuan baru dengan vektor �.
��� = ���∙�
��� = ���∙�����
�
���
��� = ������∙��
�
���
��� = ��� cos���
�
���
cos��� dapat dinyatakan sebagai ���. Dimana ��� adalah suatu matriks rotasi,
sehingga persamaan di atas dapat dituliskan sebagai berikut
��� = ������
�
���
��� = ������
�
���
��� = �� cos��� + �� cos��� + �� cos��� = ����� + ����� + �����
��� = �� cos��� + �� cos��� + �� cos��� = ����� + ����� + �����
��� = �� cos��� + �� cos��� + �� cos��� = ����� + ����� + �����
17
el-Madani
���
��
���= �
cos��� cos��� cos���cos��� cos��� cos���cos��� cos��� cos���
����
��
���
���
��
���= �
��� ��� ������ ��� ������ ��� ���
����
��
���
Ketika vektor � diamati dengan menggunakan sistem koordinat yang baru, ternyata
vektor � tersebut tidak mengalami perubahan panjang dan terjaga produk skalarnya.
Vektor � hanya mengalami perubahan pada komponen dan vektor satuannya ketika
dinyatakan dalam sistem koordinat yang baru.
Bukti
Andaikan � adalah vektor yang dinyatakan dalam sistem koordinat lama dengan
wakilan matriksnya � ⟺ ���
��
���. Sedangkan � adalah vektor yang dinyatakan dalam
sistem koordinat baru dengan wakilan matriks �� ⟺ ���
��
���. � adalah matriks rotasi.
Hubungan antara � dengan �� adalah sebagai berikut.
�� = ��
Atau dengan kata lain adalah �� dapat diperoleh dengan melakukan rotasi pada
sistem koordinat dimana � didefiniskan. Dengan memanfaatkan sifat tersebut dapat
diperoleh persamaan berikut.
� ∙� = ������
���
� ∙� = ���� + ���� + ����
Jika dinyatakan dalam wakilan matriks maka
� ∙� = [�� �� ��]���
��
���
� ∙� = ���
Andaikan suatu vektor posisi � memiliki wakilan matriks �. Jika sistem koordinatnya
dirotasi maka menurut sistem koordinat yang baru vektor posisi tersebut menjadi �
dengan wakilan matriks ��. Hubungan antara � dengan �� adalah sebagai berikut
��= ��
Dengan menggunakan sifat produk skalar di atas maka
18
el-Madani
��∙��= �����
��∙��= (��)���
��∙��= ������
��∙��= �� �� �������
�
�,�,���
��
��∙��= �� �� ������
�
�,�,���
��
Dimana ��� = ��� ∙�� maka
��∙��= �� �� (��� ∙��)�����������
���� ∙���
�
�,�,���
��
��∙��= �� �� �[(��� ∙��)���]∙��
�
���
�
�,���
��
��∙��= �� �� ��[(��� ∙��)���]
�
���
� ∙��
�
�,���
��
Ingat bahwa
� = ������
�
���
� = ����� ∙�����
�
���
Jika � diganti dengan �� maka
�� = �(��� ∙��)���
�
���
Sehingga
��∙��= �� �� �� ∙��
�
�,���
��
��∙��= �� �� ���
�
�,���
��
19
el-Madani
��∙��= �� �
��� ��� ������ ��� ������ ��� ���
��
Dimana ��� akan bernilai 1 jika indeks sama, dan bernilai 0 jika indeksnya berbeda,
sehingga
��∙��= �� �1 0 00 1 00 0 1
��
��∙��= ����
��∙��= ���
��∙��= �∙�
Jadi tampak bahwa rotasi tersebut melestarikan produk skalar. Sifat dari matriks
rotasi yang diperoleh dari penjelasan di atas adalah
��� = ��� = �
Berikut ini adalah bukti bahwa rotasi melestraikan panjang vektor.
|�|� = ������
�
= �������
�
|�|� = ��������
�
� �������
�
�
�
|�|� = ����������
� ����
��
|�|� = ������� ���
�
� ����
��
|�|� = �(���)������
��
|�|� = ��������
��
|�|� = �(��)�
�
Berdasarkan penjelasan di atas maka dapat disimpulkan bahwa suatu besaran yang
terdiri dari tiga komponen dikatakan sebagai vektor jika memiliki perilaku seperti
vektor posisi jika mengalami rotasi. Perilaku tersebut adalah sebagai berikut.
��� = ������
�
20
el-Madani
Determinan matriks rotasi � dapat ditentukan dengan cara berikut.
det(���)= det�
det(��)det(�)= 1
det(�)det(�)= 1
[det(�)]� = 1
det(�)= ±1
Karena det(�)= ±1 maka konsep rotasi dapat diperluas menjadi dua konsep.
Pertama rotasi adalah transformasi yang melestarikan panjang vektor dan produk
skalar karena det(�)= 1. Rotasi tersebut adalah rotasi wajar yaitu rotasi dengan
adanya sumbu rotasi dan sudut rotasi. Rotasi yang kedua adalah rotasi yang tidak
wajar, yaitu rotasi yang matriksnya memiliki det(�)= −1.
Andaikan �(3) adalah himpunan semua matriks rotasi baik wajar maupun tidak
wajar, maka �(3) dapat dinotasikan sebagai berikut.
�(3)= {� ∈ � �(3,ℝ)|��� = ��� = �}
“�(3) adalah himpunan semua matriks � anggota dari matriks persegi 3 × 3 riil
sedemikian rupa sehingga ��� = ��� = �”. Himpunan matriks rotasi ��(3)�
membentuk suatu grup.
Bukti
Sifat tertutup
Andaikan ��,�� ∈ �(3) maka ���� ∈ �(3). Bukti bahwa ���� ∈ �(3) adalah
sebagai berikut.
(����)�(����)= ��
��������
(����)�(����)= ��
����
(����)�(����)= ��
���
(����)�(����)= �
Sifat Asosiatif
Andaikan ��,��,�� ∈ �(3) maka
(����)�� = ��(����)
Memiliki identitas
Andaikan � adalah matriks identitas maka
���= ���
���= ��
Transpose dari matriks identitas adalah matriks identitas itu sendiri
21
el-Madani
���= �
Karena berlaku sifat
���= ��� = �
Maka dapat disimpulkan bahwa �∈ �(3).
Memiliki invers
Anggota �(3) pasti memiliki invers karena det� = ±1. Invers matriks adalah
matriks yang apabila dikalikan dengan matriks lain maka hasilnya adalah matriks
identitas. Apakah invers tersebut merupakan anggota �(3)? Berikut adalah
pembuktiannnya
��� = �
Jika kedua ruas dikalikan dengan invers dari matriks � dari kanan maka akan
diperoleh.
������ = ����
���= ���
�� = ���
Oleh karena itu
��� = ���
�= (��)���
�= (���)����
Jadi terbukti bahwa ��� ∈ �(3).Karena keempat sifat grup terpenuhi, maka �(3)
adalah sebuah grup matriks rotasi.
Matriks-matriks rotasi dengan det� = 1 membentuk suatu grup yang baru yaitu
grup ��(3) yaitu himpunan matriks rotasi dengan det� = 1 atau jika dinyatakan
dalam notasi matematisnya adalah sebagai berikut.
��(3)= {� ∈ �(3)|det� = 1}
Berikut adalah bukti bahwa ��(3) merupakan sebuah grup.
Sifat tertutup
Andaikan ��,�� ∈ ��(3) maka det�� = 1 dan det�� = 1 sehingga untuk matriks
���� juga merupakan anggota dari ��(3)
Bukti
det(����)= det�� det��
det(����)= 1∙1
det(����)= 1
22
el-Madani
Karena det(����)= 1 maka ���� ∈ ��(3)
Sifat asosiatif
Dalam operasi matriks bersifat asosiatif sehingga andaikan ��,��,�� ∈ ��(3) maka
(����)�� = ��(����)
Mempunyai identitas
Karena ��(3)⊂ �(3) dan determinan dari anggota ��(3) adalah 1 maka sudah
pasti bahwa matriks identitas ada di dalam ��(3) karena det�= 1 maka �∈ ��(3).
Mempunyai invers
Karena matriks anggota ��(3) memiliki determinan 1 maka pasti memiliki invers.
Dan karena ��(3)⊂ �(3) maka
��� = �
������ = ����
���= ���
�� = ���
Andaikan � ∈ ��(3) maka
det��� = det��
det��� = det�
Karena � ∈ ��(3) maka det� = 1 sehingga
det��� = 1
Karena det��� = 1 maka invers dari matriks � merupakan anggota dari ��(3).
Keempat sifat grup telah dipenuhi sehingga ��(3) adalah sebuah grup.
Rotasi wajar dapat dibedakan menjadi dua yaitu rotasi pasif dan rotasi aktif. Rotasi
pasif berarti yang dirotasi adalah sumbu-sumbu pada sistem koordinatnya. Rotasi
aktif adalah rotasi dimana yang dirotasi adalah vektornya.
23
el-Madani
Gambar di sebelah kiri adalah rotasi pasif, dimana sistem koordinat dengan sumbu-
sumbu �,� diputar sebesar � berlawanan arah jarum jam sehingga menghasilkan
sistem koordinat baru dengan sumbu-sumbu koordinatnya �,��. Komponen vektor �
di sumbu yang baru adalah
��= (��� ∙�)���
��= |���||�|cos(� − �)���
��= |�|cos(� − �)���
|��|= |�|cos(� − �)
dan
��� = (��� ∙�)���
��� = |���||�|sin(� − �)���
��� = |�|sin(� − �)���
����� = |�|sin(� − �)
Gambar di sebelah kanan adalah rotasi aktif, dimana sistem koordinat dengan
sumbu-sumbu �,� dibiar tetap sedangkan yang diputar adalah � sebesar � searah
arah jarum jam sehingga menghasilkanvektor baru ��. Komponen vektor �� setelah
dirotasi adalah
��� = (�� ∙�
�)��
��� = |��||�
�|cos(� − �)��
Dimana |��|= |�| sehingga
��� = |�|cos(� − �)��
|���|= |�|cos(� − �)
dan
��� = (�� ∙�
�)��
��� = |��||�
�|cos(� − �)��
Dimana |��|= |�| sehingga
��� = |�|cos(� − �)��
����� = |�|cos(� − �)
Berdasarkan penjabaran di atas tampak bahwa besarnya masing-masing komponen �
setelah dirotasi adalah sama, sehingga dapat disimpulkan bahwa rotasi pasif akan
sama dengan rotasi aktif dengan sudut rotasi sama tetapi arah rotasi berlawanan.
24
el-Madani
Contoh
Perhatikan sistem tiga benda
pada gambar. Benda 1 bergerak
berotasi dengan poros di garis
vertikal yang dilalui benda 2
dengan kecepatan sudut � , selian
itu benda 1 juga bergerak vertikal
sehingga lintasannya berbentuk
helix. Benda 2 bergerak vertikal.
Benda 1 dan 2 terpisah sejauh �.
Benda 3 berjarak � dari titik tengah garis yang menghubungkan benda 1 dan 2.
Benda 3 berotasi mengitari garis penghubung benda 1 dan benda 2 dengan kecepatan
sudut ��. Selama bergerak jarak ketiga benda selalu tetap. Tentukan persamaan gerak
dari masing-masing benda pada sistem tersebut.
Jawab :
Sistem benda tersebut mengalami gerak tegar yaitu gerak dimana jarak satu benda
dengan yang selalu tetap. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut maka perlu
beberapa langkah. Langkah pertama membuat suatu sistem koordinat agar dalam
sistem koordinat tersebut sistem benda dalam keadaan diam. Misalkan sistem
koordinat tersebut memiliki sumbu-sumbu �,��,�.
Vektor posisi masing-masing benda menurut
sistem koordinat tersebut jika dinyatakan dalam
bentuk matriks adalah sebagai berikut.
��������
�= ��00�, �
�������
�= �000�, �
�������
�= �
�
�
0�
�
Berikutnya sistem koordinat tersebut
diputar dengan poros di sumbu � dengan
arah searah putaran jarum jam dengan
kecepatan �� sehingga terbentuk sistem
koordinat baru dengan sumbu-sumbunya
���,���,���. Matriks rotasinya adalah
25
el-Madani
sebagai berikut.
����
���
����= �
cos��� cos��� cos���cos��� cos��� cos���cos��� cos��� cos���
�������
����
���
����=
⎣⎢⎢⎢⎢⎡cos0 cos
�
2cos
�
2
cos�
2cos��� cos�
�
2− ����
cos�
2cos�
�
2+ ���� cos��� ⎦
⎥⎥⎥⎥⎤
������
����
���
����= �
1 0 00 cos��� sin���0 − sin��� cos���
�������
Sehingga posisi masing-masing benda menurut koordinat ini adalah sebagai berikut.
Benda 1
�
����
����
�����= �
1 0 00 cos��� sin���0 − sin��� cos���
���������
�
�
����
����
�����= �
1 0 00 cos��� sin���0 − sin��� cos���
���00�
�
����
����
�����= �
�00�
Benda 2
�
����
����
�����= �
1 0 00 cos��� sin���0 − sin��� cos���
���������
�
�
����
����
�����= �
1 0 00 cos��� sin���0 − sin��� cos���
��000�
�
����
����
�����= �
000�
Benda 3
�
����
����
�����= �
1 0 00 cos��� sin���0 − sin��� cos���
���������
�
26
el-Madani
�
����
����
�����= �
1 0 00 cos��� sin���0 − sin��� cos���
��
�
20�
�
�
����
����
�����= �
�
2� sin���� cos���
�
Setelah menemukan koordinat masing-masing benda pada sistem koordinat
���,���,��� dilanjutkan dengan membentuk sistem koordinat yang baru lagi. Sumbu
pada sistem koordinat ���,���,��� diputar terhadap poros ��� dengan arah putaran
berlawanan arah jarum jam dengan kecepatan putaran � sehingga terbentuk sistem
koordinat baru dengan sumbu-sumbu ��,��,��.
langkah berikutnya adalah menentukan
matriks rotasi yang mengubah sistem
koordinat ���,���,��� menjadi sistem
koordinat ��,��,��. Berikut ini adalah
matriks rotasi tersebut.
���
��
���= �
cos��� cos��� cos���cos��� cos��� cos���cos��� cos��� cos���
�����
���
����
���
��
���=
⎣⎢⎢⎢⎢⎡ cos�� cos�
�
2+ ��� cos
�
2
cos��
2− ��� cos�� cos
�
2
cos�
2cos
�
2cos0⎦
⎥⎥⎥⎥⎤
����
���
����
���
��
���= �
cos�� −sin�� 0sin�� cos�� 00 0 1
�����
���
����
Matriks posisi masing-masing benda menurut sistem koordinat ��,��,�� adalah
sebagai berikut.
Benda 1
�
���
���
����= �
cos�� −sin�� 0sin�� cos�� 00 0 1
��
����
����
�����
27
el-Madani
�
���
���
����= �
cos�� −sin�� 0sin�� cos�� 00 0 1
���00�
�
���
���
����= �
�cos���sin��
0�
Benda 2
�
���
���
����= �
cos�� −sin�� 0sin�� cos�� 00 0 1
��
����
����
�����
�
���
���
����= �
cos�� −sin�� 0sin�� cos�� 00 0 1
��000�
�
���
���
����= �
000�
Benda 3
�
���
���
����= �
cos�� −sin�� 0sin�� cos�� 00 0 1
��
����
����
�����
�
���
���
����= �
cos�� −sin�� 0sin�� cos�� 00 0 1
��
�
2� sin���� cos���
�
�
���
���
����=
⎣⎢⎢⎢⎡�
2cos��− � sin��sin���
�
2sin��+ � cos��sin���
� cos��� ⎦⎥⎥⎥⎤
Berikutnya digeser ke arah vertikal dengan kecepatan � dan terbentuk sistem
koordinat baru dengan sumbu-sumbu �,�,� sehingga berlaku hubungan
�����= �
00���+ �
��
��
���
28
el-Madani
Sehingga posisi masing-masing benda adalah sebagai berikut.
Benda 1
�
�������= �
00���+ �
���
���
����
�
�������= �
00���+ �
�cos���sin��
0�
�
�������= �
�cos���sin����
�
Jadi persamaan gerak untuk benda 1 adalah �� = � cos�� �+ � sin�� �+ ����
Benda 2
�
�������= �
00���+ �
���
���
����
�
�������= �
00���+ �
000�
�
�������= �
00���
Jadi persamaan gerak benda 2 adalah �� = ����
Benda 3
�
�������= �
00���+ �
���
���
����
�
�������= �
00���+
⎣⎢⎢⎢⎡�
2cos��− � sin��sin���
�
2sin��+ � cos��sin���
�cos��� ⎦⎥⎥⎥⎤
�
�������=
⎣⎢⎢⎢⎡�
2cos��− � sin��sin���
�
2sin��+ �cos��sin���
� cos���+ �� ⎦⎥⎥⎥⎤
Jadi persamaan gerak benda 3 adalah
29
el-Madani
�� = ��
2cos��− �sin��sin�����+ �
�
2sin��+ � cos��sin�����
+ (�cos���+ ��)��
Penjelasan di atas menunjukkan bahwa vektor sejati akan memiliki perilaku seperti
vektor posisi jika vektor tersebut dirotasi. Vektor semu jika dirotasi tidak berlaku
sifat seperti vektor posisi
��� ≠ ������
�
Tetapi
��� = det(�)������
�
Contoh :
�(�)→ ∇� =
⎣⎢⎢⎢⎡��
����
��
��
��⎦⎥⎥⎥⎤
jika dirotasi akan menjadi ∇� =
⎣⎢⎢⎢⎡��
���
��
���
��
���⎦⎥⎥⎥⎤
Jika medan vektor maka
��
����= ����
��
����
Jika
��� = ������
�
������ = ��������
�
�
�������
�
= ����������
��
�������
�
= ������
�
�������
�
= ��
Sehingga
�� = �������
�
Dengan demikian maka untuk
30
el-Madani
��
����= �
��
������
�����
��
����= �
��
����
�����
��
��
����= �
��
����
�����
�������
�
��
����= �
��
����
��������
�����
��
����= �
��
����
��������
��
����= �
��
����
���
��
����= ����
��
����
Contoh :
Tunjukkan apakah momentum itu vektor atau bukan!
� = � � =�(� �)
��
�� ��
� ��
� ���→ �
� ���
� ���
� ����
Dimana
��� =����
��
��� =�
��������
�
�
�
��� = ��
�������
��
�
��� = �������
���
��� = ������
�
�� = � ���
31
el-Madani
�� = � ������
�
�� = ����� ��
�
�� = ������
�
Jadi momentum adalah vektor.
Andaikan terdapat dua vektor � dan �� dimana
� → ���
��
���→ �� = �����
�
�
�� → ���
��
���→ �� = �����
�
�
Maka jika terdapat vektor � dimana � = � × �� maka
� = � × ��
� = ������
� = ������������
���
Dari persamaan tersebut tampak bahwa
�� = ���������
��
Sehingga
��� = �����������
��
��� = �����������
�
���� ��
���
��� = � ���������� ����
����
Kedua ruas dikalikan dengan ��� sehingga diperoleh
�������
�
= � ���������� �������
���� �
32
el-Madani
�������
�
= ������������� ������
� ����
��
�������
�
= ���� � det(�)����
��
�������
�
= det(�)���� �����
��
�������
�
= det(�)��
Kedua ruas dikalikan dengan �� � sehingga diperoleh
������� � ���
��
= det(�)��� ���
�
�������� ��
�
�
��� = det(�)��� ���
�
�����
��� = det(�)��� ���
�
Untuk k = m maka
��� = det(�)��� ���
�
Karena dalam persamaan tersebut terdapat det(�) maka dapat disimpulkan bahwa
� × �� bukan vektor tetapi PSEUDOVEKTOR.
Sifat pseudovektor pada pencerminan adalah sebagai berikut.
� = �1 0 00 −1 00 0 1
�→ det(�)= −1
Matriks R merupakan representasi dari pencerminan terhadap bidang x-z. Sehingga
jika terdapat vektor � = ��+ ��+ ���
akan berlaku sifat berikut
�����→ �
��
��
���
���
��
���= �
1 0 00 −1 00 0 1
������= �−
����
y
x
z
� ��
�
�
� −�
33
el-Madani
Pada gambar tampak bahwa � dan �� berbeda panjangnya, padahal sebenarnya
adalah sama. Hal tersebut disebabkan masalah sudut pandang gambar. Jika arah
pandang kita searah dengan sumbu x (sumbu x tegak lurus bidang gambar) maka
akan tampak sama panjang seperti pada gambar berikut.
Jika yang dicerminkan adalah pseudovektor maka
���
��
���→ �
���
���
����
��� = det(�)��� ���
�
����
���
����= det(�)�
1 0 00 −1 00 0 1
����
��
���
����
���
����= (−1)�
1 0 00 −1 00 0 1
����
��
���
����
���
����= �
−��
��
−���
Berikut adalah gambar
hasil pencerminan
pseudovektor terhadap
bidang x-z.
Pada gambar tersebut
panjang � dan �� adalah
sama.
�� �
�
� −� y
z
��
�
��
��
��
−��
−��
y
x
z
34
el-Madani
Contoh
Besaran skalar adalah besaran dengan nilai yang tidak berubah terhadap alihragam
rotasi. Jadi sebuah besaran disebut skalar jika invarian terhadap rotasi.
a. Tunjukkan bahwa usaha oleh gaya nondisipatif merupakan sebuah skalar.
b. Jika � = ���,��,��� adalah sebuah vektor dan �� = ���,��,��� sebuah
vektor semu. Tunjukkan bahwa � ∙�� = ���� + ���� + ���� adalah sebuah
skalar semu
c. Apakah energi kinetik merupakan skalar? Buktikan
Jawab
a. Usaha
� = � � ∙��
�
�� = � ∙��
�� �� = ������
�
�� �� = �������
�
�������
��
�� �� = �������
�
�������
��
b. Bukti � ∙�� skalar semu
� = ���,��,���
���= �����
�
�
�� = ���,��,���
���= det������
�
�
� ∙�� = �����
�
�� ∙�� ���
= ������
�
�
�� ∙�� ���
= �������
�
det�������
��
35
el-Madani
�� ∙�� ���
= det��������
�
������
��
�� ∙�� ���
= det�������
�
�
c. Energi kinetik
�� =1
2� � ∙�
�� =1
2� �����
�
�� =1
2� �����
�
�
����=1
2� ����
���
�
����=1
2� �������
�
�
�
�
�
Karena tidak ada determinan maka energi kinetik adalah skalar.
TENSOR
Tensor berdimensi � dan berderajat � memiliki komponen sebanyak ��. Tensor di
ruang tiga dimensi dan berderajat dua memiliki jumlah komponensebanyak 3� = 9.
��� disebut tensor jika memiliki sifat berikut.
��� → ����= ��������
��
��
Jika diketahui � ⟺ ���
��
��� dan �� ⟺ �
��
��
��� maka
� ⊗ �� = ��� = ����� ���� ����
���� ���� ����
���� ���� �����
Bukti bahwa � ⊗ �� sebagai tensor adalah sebagai berikut.
���� ���= ����
���� ����
= �����
�
���� ����
= ������
�
������
�
36
el-Madani
���� ����
= �����������
��
���� ����
= ����������� ���
��
Jadi � ⊗ �� memenuhi sifat sebagai tensor. ���� disebut sebagai tensor jika
memenuhi sifat
�����
= � ������ ������ �
�
�,� ,���
Trace atau lacak dari suatu tensor adalah jumlah dari komponen diagonalnya yang
dapat dinyatakan sebagai berikut.
���� ⊗ �� � = ������
���
���� ⊗ �� � = � ∙��
Jadi trace dari suatu tensor adalah tensor berderajat nol atau skalar yang nilainya
sama dengan produk skalar dari dua vektor penyusun tensor.
Contoh
Komponen tensor stress Maxwell dinyatakan dengan persamaan
��� = �� ����� −1
2����
��+1
������� −
1
2����
��
Jika medan listrik di suatu tempat adalah �� = ��+ 2�� dan medan magnetnya
�� = ��� maka tentukanlah matriks tensor stress Maxwell!
Jawab
��� = �� ����� −1
2������
� + ��� + ��
���
+1
������� −
1
2������
� + ��� + ��
���
��� = �� ��.� −1
2(�� + (2�)� + 0)� +
1
���0−
1
2(0+ 0+ ��)�
��� = −3
2���� −
��
2��= −
��
2�3���� + 1
���
37
el-Madani
��� = ��� = �� ����� −1
2������
� + ��� + ��
���
+1
������� −
1
2������
� + ��� + ��
���
��� = ��� = ��(�.2�)
��� = ��� = 2����
��� = ��� = �� ����� −1
2������
� + ��� + ��
���
+1
������� −
1
2������
� + ��� + ��
���
��� = ��� = 0
��� = �� ����� −1
2������
� + ��� + ��
���
+1
������� −
1
2������
� + ��� + ��
���
��� = �� �2�.2� −1
2(�� + (2�)� + 0)� +
1
���0−
1
2(0+ 0+ ��)�
��� =3
2���� −
��
2��=��
2�3���� − 1
���
��� = �� ����� −1
2������
� + ��� + ��
���
+1
������� −
1
2������
� + ��� + ��
���
��� = 0 = ���
��� = �� ����� −1
2������
� + ��� + ��
���
+1
������� −
1
2������
� + ��� + ��
���
��� = �� �0−1
2(�� + (2�)� + 0)� +
1
����� −
1
2(0+ 0+ ��)�
��� = −5
2���� +
��
2��=��
2�1− 5����
���
Matriks tensor Maxwellnya adalah
38
el-Madani
� =
⎝
⎜⎜⎜⎛−��
2�3���� + 1
��� 2���� 0
2������
2�3���� − 1
��� 0
0 0��
2�1− 5����
���⎠
⎟⎟⎟⎞
PERSMAAN GARIS
Andaikan diketahui dua
titik �� = (��,��,��) dan
�� = (��,��,��) dengan
vektor posisi masing-
masing titik terhadap pusat
koordinat adalah �� =
���+ ���+ ���� dan
�� = ���+ ���+ ����.
Kedua titik tersebut dilalui oleh sebuah garis yang belum diketahui persamaan
garinya. Dengan mengetahui dua titik yang dilaui garis tersebut, maka persamaan
garis dapat ditentukan. Langkah pertama menentukan sembarang titik �(�,�,�) pada
garis. Vektor posisi titik � terhadap pusat koordinat adalah � = ��+ ��+ ���.
Langkah berikutnya adalah menentukan vektor yang menghubungkan antara titik ��
dan �� yaitu vektor �� − ��. Selanjutnya membuat vektor yang menghubungkan titik
�� dan � yaitu vektor � − ��.
Karena vektor �� − �� dan � − �� berada pada satu garis yang sama maka kedua
vektor tersebut memenuhi persamaan berikut.
� − �� = �(�� − ��)
Jika �� − �� < � − �� maka � > 1, tetapi jika �� − �� > � − �� maka � < 1
(� − ��,� − ��,�− ��)= �(�� − ��,�� − ��,�� − ��)
� − �� = �(�� − ��)
� − ��
�� − ��= �
� − �� = �(�� − ��)
� − ��
�� − ��= �
�− �� = �(�� − ��)
y
x
z
��
��
�
��
��
�(�,�,�)
�� − ��
� − ��
39
el-Madani
�− ��
�� − ��= �
Sehingga
� − ��
�� − ��=
� − ��
�� − ��=�− ��
�� − ��
Untuk mendapatkan persamaan garis di ruang tiga dimensi, maka diperlukan dua
persamaan yaitu
� − ��
�� − ��=
� − ��
�� − ��
� − �� =�� − ��
�� − ��� −
�� − ��
�� − ����
Dan
� − ��
�� − ��=
�− ��
�� − ��
� − �� =�� − ��
�� − ���−
�� − ��
�� − ����
Kasus berikut ini jika diketahui sebuah vektor � = ���+ ���+ ���� yang paralel
dengan garis dan titik ��(��,��,��) pada garis yang belum diketahui persamaanya.
Titik �� memiliki vektor posisi terhadap pusat koordinat �� = ���+ ���+ ����.
Persamaan garis tersebut dapat ditentukan dengan beberapa langkah berikut.
Langkah pertama adalah menentukan sembarang titik �(�,�,�) dengan vektor posisi
� = ��+ ��+ ��� . Kemudian menentukan vektor yang menghubungkan antara titik
� dengan �� yaitu vektor � − ��. Sebelumnya telah diketahui bahwa vektor � =
���+ ���+ ���� paralel dengan garis yang akan ditentukan persamaannya,
sedangkan vektor
� − �� berada pada
garis tersebut, hal
ini berarti bahwa
vektor � juga
paralel dengan
vektor � − ��.
y
x
z
��
� ��
�(�,�,�)
� − ��
� = (��,��,��)
40
el-Madani
Karena vektor � paralel dengan � − �� maka berlaku hubungan berikut.
� − �� = ��
Dimana � skalar yang bernilai positif jika vektor � paralel dan searah dengan � − ��,
� skalar yang bernilai negatif jika vektor � paralel dan berlawanan arah dengan
� − ��.
(� − ��,� − ��,�− ��)= �(��,��,��)
� − �� = ���
� − ��
��= �
� − �� = ���
� − ��
��= �
�− �� = ���
�− ��
��= �
Sehingga
� − ��
��=� − ��
��=�− ��
��
Untuk mendapakan persamaan garis di ruang tiga dimensi maka perlu dua buah
persamaan. Kedua persamaan tersebut adalah sebagai berikut.
� − ��
��=� − ��
��
� − �� =��
��� −
��
����
Dan
� − ��
��=�− ��
��
� − �� =��
���−
��
����
Contoh :
Tentukan persamaan dari sebuah garis jika diketahui terdapat sebuah vektor � =
2�+ 3�+ 4�� paralel dengan garis tersebut serta sebuah titik pada garis yaitu titik
�(1,1,1)!
Jawab :
41
el-Madani
� − ��
��=� − ��
��=�− ��
��
� − 1
2=� − 1
3=�− 1
4
Maka
� − 1
2=� − 1
3
3� − 3 = 2� − 2
3� − 2� − 1 = 0
Atau
� − 1
3=�− 1
4
4� − 4 = 3�− 3
4� − 3�− 1 = 0
KOMBINASI CEMBUNG (KONVEKSI)
Andaikan diketahui dua buah titik
yaitu ��(��,��,��) dan
��(��,��,��). Sembarang titik
�(�,�,�) adalah sebuah titik
yang berada di antara titik �� dan
��. Jika �� adalah vektor posisi
titik �� terhadap pusat koordinat,
�� adalah vektor posisi titik ��
terhadap pusat koordinat, � adalah
vektor posisi titik � terhadap pusat koordinat dan (�� − ��) adalah vektor posisi ��
terhadap ��, maka syarat agar � berada di antara �� dan �� adalah
�(�� − ��)= (� − ��)
dimana � − �� adalah vektor posisi titik � terhadap titik �� dan 0 < � < 1 sehingga
vektor posisi � dapat diperoleh sebagai berikut
��� − ��� = � − ��
� = ��� − ��� + ��
� = ��� + (1− �)��
� = ��� + ����
��
�
��
� − ��
y
x
z
�� �
��
�� − ��
42
el-Madani
� = �����+ ���+ ����� + ������+ ���+ �����
� = ����+ ����+ �����+ �����+ �����+ ������
� = (��� + ����)�+ (��� + ����)�+ (��� + ����)��
dengan �+ �� = 1
Contoh
Andaikan �� = (��,��,��) dan �� = (��,��,��) berturut-turut adalah merupakan
vektor vektor posisi titik � dan � dalam ruang. Sebuah titik � dalam ruang tiga
dimensi dikatakan kombnasi cembung titik � dan � apabila titik � terletak pada
garis lurus yang menghubungkan titik � dan �.
a. Tuliskan ungkapan vektor yang harus dipenuhi oleh vektor posisi titik �
untuk disebut sebagai kombinasi cembung titik � dan �
b. Himpunan � yang beranggotakan titik-titik dalam ruang disebut himpunan
cembung apabila semua kombinasi cembung sembarang dua titik pada
himpunan itu merupakan anggota himpunan itu, artinya jika titik � dan �
sembarang dua titik anggota himpunan �, maka semua titik yang meupakan
kombinasi cembung titik � dan � juga berada di �. Manakah dari wilayah-
wilayah dalam ruang berikut yang merupakan himpunan cembung dalam
ruang?
i. Permukaan bola berpusat di �(0,0,0) dengan jari-jari 2 satuan
ii. Sebuah bidang yang memuat titik (2,2,4) dan tegak lurus
terhadap vektor � = 2�+ 4�+ ��
iii. Ruang tiga dimensi tanpa titik-titik pada sumbu-x
Jawab
a. Vektor posisi � sebagai kombinasi cembung titik � dan �
��
��
�
�� − ��
y
x
z
� �
��
�� − ��
��
b. Yang termasuk himpunan cembung
i. Kulit bola
pada garis lurus yang menghubungkan titik
kulit bola.
ii. Bidang yang memuat titik
� = 2
tersebut
garis lurus yang menghubungkan titik
bidang tersebut.
iii. Ruang tiga dimensi tanpa titik
cembung
kemudian titik
koordinat
menghubungkan titik
sumbu
JARAK TITIK TERHADAP GARIS
Andaikan diketahui persamaan sembarang garis
�(�,�,�) dengan vektor posisinya
terhadap pusat koordinat adalah
�� = ��+ ��+ ���. Misalkan
adalah jarak titik �
maka � dapat ditentukan dengan
beberapa langkah berikut ini.
Langkah pertama adalah menentukan
dua buah titik yang dilalui garis
Andaikan kedua titik tersebut adalah
��(��,��,��) dan
dengan vektor posisi masing
�� − �� = �(�� − ��)
�� = �(�� − ��)+ ��
�� = ��� + (1− �)��
= �����+ ���+ ����� + (1− �)����+ ���
Yang termasuk himpunan cembung
Kulit bola bukan himpunan cembung karena titik
pada garis lurus yang menghubungkan titik � dan
kulit bola.
Bidang yang memuat titik (2,2,4) dan tegak lurus terhadap vektor
2�+ 4�+ �� merupakan himpunan cembung
tersebut meruakan bidang datar sehingga setiap titik yang berada pada
garis lurus yang menghubungkan titik � dan �
bidang tersebut.
Ruang tiga dimensi tanpa titik-titik pada sumbu-x
cembung karena misal diambil titik � dan � berada di bidang
kemudian titik � memiliki koordinat � positif sedangkan titik
koordinat � negatif maka akan ada satu titik pada garis lurus yang
menghubungkan titik � dan � berada di sumbu-x padahal titik
sumbu-x titik termasuk dalam anggota ruang tiga dimensi tersebut.
JARAK TITIK TERHADAP GARIS
Andaikan diketahui persamaan sembarang garis � dan sebuah titik sembarang
dengan vektor posisinya
terhadap pusat koordinat adalah
. Misalkan �
terhadap garis �
dapat ditentukan dengan
beberapa langkah berikut ini.
Langkah pertama adalah menentukan
dua buah titik yang dilalui garis �.
Andaikan kedua titik tersebut adalah
dan ��(��,��,��)
dengan vektor posisi masing-masing
43
el-Madani
�+ �����
himpunan cembung karena titik-titik yang berada
dan � tidak berada di
dan tegak lurus terhadap vektor
merupakan himpunan cembung karena bidang
meruakan bidang datar sehingga setiap titik yang berada pada
selalu berada pada
x bukan himpunan
rada di bidang � = 0
positif sedangkan titik �
negatif maka akan ada satu titik pada garis lurus yang
x padahal titik-titik di
nggota ruang tiga dimensi tersebut.
dan sebuah titik sembarang
44
el-Madani
adalah �� = ���+ ���+ ���� dan �� = ���+ ���+ ����. Langkah selanjutnya adalah
menentukan vektor yang menghubungkan titik �� dan �� serta vektor yang
menghubungkan titik �� dan � yaitu vektor �� − �� dan �� − ��. Vektor �� − ��
adalah vektor yang paralel dengan garis �.
Andaikan sudut yang dibentuk vektor �� − �� dan �� − �� adalah �, maka � dapat
ditentukan dengan melakukan hasil kali skalar antara �� − �� dengan �� − ��.
(�� − ��)∙(�� − ��)= |�� − ��||�� − ��|cos�
cos� =(�� − ��)∙(�� − ��)
|�� − ��||�� − ��|
Dengan identitas trigonometri
sin� � + cos� � = 1
sin� � = 1− cos� �
sin� = �1− cos� �
sin� = � 1− �(�� − ��)∙(�� − ��)
|�� − ��||�� − ��|�
�
�
|�� − ��|= � 1− �
(�� − ��)∙(�� − ��)
|�� − ��||�� − ��|�
�
� = |�� − ��|� 1− �(�� − ��)∙(�� − ��)
|�� − ��||�� − ��|�
�
� = � |�� − ��|� �1−[(�� − ��)∙(�� − ��)]
�
|�� − ��|�|�� − ��|
��
� = � |�� − ��|� −[(�� − ��)∙(�� − ��)]�
|�� − ��|�
� = �|�� − ��|�|�� − ��|� − [(�� − ��)∙(�� − ��)]�
|�� − ��|�
JARAK TITIK TERHADAP BIDANG
Andaikan diketahui persamaan dari sebuah bidang yaitu �� + �� + ��+ � = 0
dengan titik ��(��,��,��) berada pada bidang tersebut. Sembarang titik �(�,�,�)
berada di luar bidang. Jarak titik � terhadap bidang dapat ditentukan dengan terlebih
dahulu menentukan vektor normal dari bidang. Dari persamaan bidang �� + �� +
��+ � = 0 maka vektor yang
bidang adalah � =
vektor normal yang tegak lurus bidang
adalah
��=���
|��� |
��=��+
√�� +
Selanjutnya menentukan vektor yang
menghubungkan titik
���+ ���� adalah vektor posisi titik
��+ ��+ ��� adalah vektor posisi titik
terhadap bidang dapat ditentukan dengan
yang tegak lurus bidang
� = ���
� = �(��
PERSAMAAN BIDANG/ PERMUKAAN
Jika diketahui tiga titik pada bidang yaitu
��(��,��,��) serta sebuah vektor normal
persamaan dari bidang tersebut dapat ditentukan dengan cara terlebih dahulu
menentukan sembarang titi
menghubungkan titik
��� dan � − �� seperti tampak pada gambar.
maka vektor yang tegak lurus
= ��+ ��+ ��� dan
vektor normal yang tegak lurus bidang
�+ ��+ ���
+ �� + ��
Selanjutnya menentukan vektor yang
menghubungkan titik �� dengan titik � yaitu vektor �� − �� , dimana
adalah vektor posisi titik �� terhadap pusat koordinat, sedangkan
adalah vektor posisi titik � terhadap pusat koordinat. Jarak titik
terhadap bidang dapat ditentukan dengan menentukan panjang proyeksi
bidang.
� = |(�� − ��)∙(−��)|
� = |(�� − ��)∙��|
��+ ���+ ����− ���+ ��+ �����∙��+ ��+
√�� + ��
( � − �)�+ (�� − �)�+ (�� − �)���∙��+ ��
√�� + ��
� =(�� − �)� + (�� − �)� + (�� − �)�
√�� + �� + ��
PERSAMAAN BIDANG/ PERMUKAAN
Jika diketahui tiga titik pada bidang yaitu ��(��,��,��) ,
serta sebuah vektor normal �� yang tegak lurus bidang, maka
persamaan dari bidang tersebut dapat ditentukan dengan cara terlebih dahulu
menentukan sembarang titik � pada bidang. Selanjutnya menentukan vektor yang
menghubungkan titik �� dengan ��,�� dan �. Vektor-vektor tersebut adalah
seperti tampak pada gambar.
45
el-Madani
, dimana �� = ���+
terhadap pusat koordinat, sedangkan �� =
terhadap pusat koordinat. Jarak titik �
menentukan panjang proyeksi �� − ��
+ ���
� + ��
+ ���
� + ��
, ��(��,��,��) dan
yang tegak lurus bidang, maka
persamaan dari bidang tersebut dapat ditentukan dengan cara terlebih dahulu
pada bidang. Selanjutnya menentukan vektor yang
vektor tersebut adalah ���,
46
el-Madani
Vektor �� tegak lurus terhadap bidang sehingga �� juga tegak lurus terhadap � − ��
maka berlaku persamaan berikut.
�� ∙(� − �� )= 0
����+ ���+ ����� ∙�(� − ��)�+ (� − ��)�+ (�− ��)�� � = 0
��(� − ��)+ ��(� − ��)+ ��(�− ��) = 0
Dimana
�� = ��� × ���
�� = �
� � ��
�� − �� �� − �� �� − ��
�� − �� �� − �� �� − ���
�� = [(�� − ��)(�� − ��)− (�� − ��)(�� − ��)]�
+ [(�� − ��)(�� − ��)− (�� − ��)(�� − ��)]�
+ [(�� − ��)(�� − ��)− (�� − ��)(�� − ��)]��
Sehingga
��(� − ��)+ ��(� − ��)+ ��(�− ��) = 0
[(�� − ��)(�� − ��)− (�� − ��)(�� − ��)](� − ��)
+ [(�� − ��)(�� − ��)− (�� − ��)(�� − ��)](� − ��)
+ [(�� − ��)(�� − ��)− (�� − ��)(�� − ��)](�− ��) = 0
Jika diketahui satu titik ��(��,��,��) dan vektor normal �� = ���+ ���+ ���� maka
persamaan bidang dapat ditentukan dengan cara berikut. Langkah pertama
menentukan sembarang titik pada bidang misal titik �(�,�,�). Kemudian membuat
vektor yang dimulai dari titik � ke titik �� yaitu vektor � − ��. Vektor �� tegak lurus
y
x
z
��
��
��
�
���
��� �� ��� ��
�� � �� �
�� �
��
�� − �� �
47
el-Madani
bidang sehingga �� juga tegak lurus vektor � − �� sehingga berlaku persamaan
berikut.
�� ∙(� − ��)= 0
�� ∙� − �� ∙�� = 0
Dimana �� ∙�� adalah suatu skalar/tetapan, maka
�� ∙� = �� ∙��
����+ ���+ ����� ∙���+ ��+ ���� = ����+ ���+ ����� ∙����+ ���+ �����
��� + ��� + ��� = ���� + ���� + ����
Andaikan diketahui sebuah titik ��(��,��,��) dan vektor posisinya terhadap pusat
koordinat adalah �� = ���+ ���+ ����. Jika �(�,�,�) sembarang titik yang berjarak
� dari titik �� dan vektor posisinya terhadap pusat koordinat adalah � = ��+ ��+
���, maka berlaku hubungan berikut.
|� − ��|= tetapan= �
�(� − ��)∙(� − ��)= �
� ���+ ��+ ���− ����+ ���+ ������ ∙���+ ��+ ���− ����+ ���+ ������ = �
� �(� − ��)�+ (� − ��)�+ (�− ��)���∙�(� − ��)�+ (� − ��)�+ (�− ��)��� = �
�(� − ��)� + (� − ��)� + (�− ��)� = �
(� − ��)� + (� − ��)� + (�− ��)� = ��
y
x
z
�� �
���
�� � ��
�� − �� �
48
el-Madani
Persamaan tersebut adalah
persamaan permukaan bola
dengan jari-jari a berpusat di titik
(��,��,��). Jadi kumpulan
sembarang titik yang berjarak �
dari (��,��,��) akan membentuk
permukaan bola dengan jari-jari �
berpusat di titik (��,��,��).
Menentukan persamaan umum untuk silinder dengan jari-jari a.
Andaikan diketahui garis � adalah sembarang garis yang melalui pusat koordinat
dengan vektor satuan ��. Diambil sembarang titik � dengan vektor posisinya terhadap
pusat koordinat adalah � = ��+ ��+ ���. Jarak titik � terhadap garis sembarang
tersebut dapat ditentukan dengan terlebih dahulu menentukan sebuah vektor yang
tegak lurus garis � menuju ke titik �. Misalkan vektor tegak lurus garis � tersebut
adalah �. Hubungan vektor �
dengan � dapat diperoleh dengan
jalan menentukan sebuah vektor
yang setitik tangkap dengan
vektor � menuju ke pangkal
vektor � misalkan nama vektor
tersebut adalah �� . Besarnya
vektor �� sama dengan proyeksi �
ke garis � dengan vektor satuan
��. Proyeksi � dapat diperoleh
dengan melakukan produk skalar
antara vektor satuan �� dengan
vektor �. Hubungan tersebut
dapat dituliskan sebagai berikut.
�
��
� − ��
(��,��,��)
x
y
�
�
�
� = � − (��∙�)��
(��∙�)��
��
x
y
z
49
el-Madani
��� � = (��∙�)
Karena vektor �� searah dengan �� maka vektor �� dapat dinyatakan sebagai �� =
(��∙�)��. Hubungan antara vektor �, �� dan � adalah sebagai berikut.
� − �� = �
� − (��∙�)��= �
Besarnya � yang merupakan jarak titik � terhadap garis � adalah
|� − (��∙�)��|= |�|
|� − (��∙�)��|= �
Jika semua titik yang berjarak � dari garis � di sepanjang garis � tersebut
dikumpulkan maka akan terbentuk kulit silinder berjari-jari � dengan sumbu di garis
�.
Andaikan garis � adalah sembarang garis yang melalui titik ��(��,��,��) dan
��(��,��,��). Vektor �� adalah vektor yang menghubungkan titik �� dengan ��
sehingga dapat dituliskan �� = (�� − ��)�+ (�� − ��)�+ (�� − ��)��. Vektor
satuan pada garis � dinyatakan sebagai
�� =��
|�� |
�� =(�� − ��)�+ (�� − ��)�+ (�� − ��)��
�(�� − ��)� + (�� − ��)� + (�� − ��)�
Andaikan � adalah sembarang titik dengan koordinat (�,�,�) dan vektor posisinya
terhadap pusat koordinat adalah � = ��+ ��+ ���. Vektor yang menghubungkan
antara titik �� dan � dinyatakan sebagai
� = � − ��
� = (� − ��)�+ (� − ��)�+ (�− ��)��
Proyeksi vektor � pada garis � dapat diperoleh dengan melakukan produk skalar
antara � dengan ��. Andaikan hasil produk skalar tersebut adalah �, dimana � adalah
tetapan, maka secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut.
� ∙�� = �
Kedua ruas dibagi dengan |�| sehingga
�
|�|∙�� =
�
|�|
50
el-Madani
� ∙�� =�
|�|
|�||��|cos� =�
�(� − ��)� + (� − ��)� + (�− ��)�
Dimana � adalah sudut yang dibentuk oleh � dengan �� maka
1∙1cos� =�
�(� − ��)� + (� − ��)� + (�− ��)�
cos� =�
�(� − ��)� + (� − ��)� + (�− ��)�
�(� − ��)� + (� − ��)� + (�− ��)� =�
cos�
Semua titik yang vektor posisinya terhadap titik �� membetuk sudut � terhadap garis
� akan membentuk sebuah kerucut dengan puncak di titik ��.
Kasus khusus jika titik �� adalah titik pusat koordinat (0,0,0) maka � = � = ��+
��+ ��� dan �� = ���+ ���+ ���� sehingga persamaan kerucutnya menjadi
� ∙�� = �
�
|�|∙�� =
�
|�|
� ∙�� =�
|�|
|�|∙|��|cos� =�
|�|
x
y
z �
�
��
��
�
��
�
��
�
x
y
z
�
�
�
��
��
� ��
51
el-Madani
1∙1cos� =�
��� + �� + ��
cos� =�
��� + �� + ��
Elips
Elips adalah himpunan titik yang jumlahan jarak titik-titik itu dari dua titik yang
tetap (fokus) adalah sama. Andaikan ��(��,��) dan ��(�
�,��) adalah fokus dari
elips, dengan vektor posisi masing-masing adalah �� = ���+ ��� dan �� = ���+
���. Sedangkan titik �(�,�) adalah sembarang titik pada elips dengan vektor posisi
terhadap pusat koordinat adalah � = ��+ ��. Berdasarkan definisi elips, maka
semua titik � pada elips berlaku bahwa jumlah jarak � terhadap �� dan jarak �
terhadap �� selalu sama yaitu sebesar dua kali setengah sumbu panjangnya.
Pernyataan tersebut jika dinyatakan dalam persamaan vektor adalah sebagai berikut.
|� − ��|+ |� − ��|= 2�
Dimana � adalah setengah sumbu panjang elips.
|��+ ��− (���+ ���)|+ |��+ ��− (���+ ���)|= 2�
|��− ���+ ��− ���|+ |��− ���+ ��− ���|= 2�
�(� − ��)� + (� − ��)� + �(� − ��)� + (� − ��)� = 2�
Pada gambar sebelah kiri tampak bahwa � memiliki jarak yang sama terhadap titik
fokus �� dan �� yaitu sebesar �. Dimana � adalah setengah sumbu panjang elips, �
x
y
z
��(��,��)
2� �(�,�)
��(��,��)
�
�� ��
� − �� � − ��
��(��,��)
�
�(�,�)
��(��,��)
�
2�
�
x y
z
52
el-Madani
adalah setengah sumbu pendek elips sedangkan 2� adalah jarak kedua fokus.
Hubungan antara �, � dan � adalah sebagai berikut.
�� = �� + ��
Perbandingan antara setengah jarak fokus dan setengah sumbu panjang disebut
sebagai eksentrisitas.
�
�= �
Jika � = 0 yang berarti �� dan �� di titik yang sama, maka
�
�= �
0 = �
Akibatnya
�� = �� + ��
�� = ��
� = �
Hal tersebut berarti bahwa ketika elips memiliki eksentrisitas 0, maka akan
membentuk lingkaran. Berikut adalah buktinya.
|� − ��|+ |� − ��|= 2�
Karena �� = �� maka
|� − ��|+ |� − ��|= 2�
|��+ ��− (���+ ���)|+ |��+ ��− (���+ ���)|= 2�
|��− ���+ ��− ���|+ |��− ���+ ��− ���|= 2�
�(� − ��)� + (� − ��)� + �(� − ��)� + (� − ��)� = 2�
2�(� − ��)� + (� − ��)� = 2�
�(� − ��)� + (� − ��)� = �
(� − ��)� + (� − ��)� = ��
Persamaan tersebut adalah persaman lingkaran dengan pusat di titik (��,��) dan
berjari-jari �
Jika � = � maka
�� = �� + ��
�� − �� = ��
0 = ��
0 = �
Jika � = 0 berarti tidak ada sumbu pendek, sehingga
garis lurus. Eksentrsitasnya
Contoh :
Sebuah asteroid dengan orbit berbentuk elips tiba
benda asing sehingga pada saat jaraknya terhadap matahari
berhenti mengorbit. Dengan keadaan maka asteroid akan jatuh ke matahari dalam
waktu tertentu. Tentukan waktu yang diperlukan asteroid untuk jatuh ke matahari.
Jawab :
Karena asteroid berhenti mengorbit maka orbit asteroid menjadi beru
dengan jarak � dari matahari. Untuk menentukan waktu jatuhnya asteroid dapat
dilakukan dengan menggunakan hukum Kepler III
Periode bumi adalah 1 tahun, sedangkan jarak
bumi matahari adalah
tersebut dapat diselesaikan menjadi.
1
1=
1 =
���������
Satu periode asteroid dengan lintasan lurus
adalah waktu yang diperlukan asteroid menuju matahari kemudian kembali ke posisi
semula. Jadi waktu untuk sampai di matahari
berarti tidak ada sumbu pendek, sehingga bentuk lintasannya berbentuk
. Eksentrsitasnya adalah 1.
� =�
�
� = 1
Sebuah asteroid dengan orbit berbentuk elips tiba-tiba mengalami benturan dengan
benda asing sehingga pada saat jaraknya terhadap matahari � SA asteroid tersebut
berhenti mengorbit. Dengan keadaan maka asteroid akan jatuh ke matahari dalam
waktu tertentu. Tentukan waktu yang diperlukan asteroid untuk jatuh ke matahari.
Karena asteroid berhenti mengorbit maka orbit asteroid menjadi beru
dari matahari. Untuk menentukan waktu jatuhnya asteroid dapat
dilakukan dengan menggunakan hukum Kepler III
���� ��
���� �� =
����������
��
Periode bumi adalah 1 tahun, sedangkan jarak
bumi matahari adalah 1 SA maka persamaan
tersebut dapat diselesaikan menjadi.
����������
��
����������
��
�������� = ���
asteroid dengan lintasan lurus
adalah waktu yang diperlukan asteroid menuju matahari kemudian kembali ke posisi
la. Jadi waktu untuk sampai di matahari (�) adalah setengah dari periodenya.
�=1
2���������
�=1
2���
53
el-Madani
bentuk lintasannya berbentuk
tiba mengalami benturan dengan
SA asteroid tersebut
berhenti mengorbit. Dengan keadaan maka asteroid akan jatuh ke matahari dalam
waktu tertentu. Tentukan waktu yang diperlukan asteroid untuk jatuh ke matahari.
Karena asteroid berhenti mengorbit maka orbit asteroid menjadi berupa garis lurus
dari matahari. Untuk menentukan waktu jatuhnya asteroid dapat
adalah waktu yang diperlukan asteroid menuju matahari kemudian kembali ke posisi
adalah setengah dari periodenya.
54
el-Madani
KALKULUS VEKTOR
Seekor kupu-kupu terbang dengan persamaan posisi �(�)= �(�)�+ �(�)�+ �(�)��.
Pada saat �= �� posisi kupu-kupu berada di titik �(��) sedangkan pada saat �= ��
posisi kupu-kupu berada di
�(��). Selama selang waktu
antara �� dan ��, kupu-kupu
mengalami perpindahan
�(��)− �(��). Kecepatan
kupu-kupu selang waktu
antara �� dan �� dapat
ditentukan dengan persamaan
berikut.
⟨�⟩��→ �� =�(��)− �(��)
�� − ��
⟨�⟩��→ �� =[�(��)− �(��)]�+ [�(��)− �(��)]�+ [�(��)− �(��)]��.
�� − ��
⟨�⟩��→ �� = ⟨��⟩��→ �� �+ ⟨��⟩��→ �� �+ ⟨��⟩��→ ����
Kecepatan sesaat adalah kecepatan saat �� dekat ��. Andaikan �� = � dan �� = �+
∆� sehingga
⟨�⟩�→ �� ∆� =[�(�+ ∆�)− �(�)]�+ [�(�+ ∆�)− �(�)]�+ [�(�+ ∆�)− �(�)]��
�+ ∆�− �
⟨�⟩�→ �� ∆� =�(�+ ∆�)− �(�)
∆��+
�(�+ ∆�)− �(�)
∆��+
�(�+ ∆�)− �(�)
∆���
Untuk ∆� mendekati nol (∆�→ 0) maka ∆�= ��. Sehingga
�(�)= lim∆�→ �
⟨�⟩�→ �� ∆�
�(�)= �lim∆�→ �
�(�+ ∆�)− �(�)
∆���+ �lim
∆�→ �
�(�+ ∆�)− �(�)
∆���
+ �lim∆�→ �
�(�+ ∆�)− �(�)
∆����
�(�)= �(�)�+ �(�)�+ �(�)��
��
��=��
���+
��
���+
��
����
x y
z
�(��) �(��)
�(��)− �(��)
55
el-Madani
Andaikan diketahui
�(�)= ���(�)���
Maka berlaku aturan-aturan berikut.
��
��= �
���
����
�
�
����(�)∙�� (�)� =
�
�������(�)��
�
� ∙����(�)���
��
�
����(�)∙�� (�)� =
�
������(�)��(�)�� ∙��
�,�
�
�
����(�)∙�� (�)� =
�
������(�)��(�)���
�,�
�
�
����(�)∙�� (�)� =
�
������(�)��(�)
�
�
�
����(�)∙�� (�)� = �
�
�����(�)��(�)�
�
�
����(�)∙�� (�)� = �
���(�)
�����(�)�
�
+ ���(�)���(�)
���
�
����(�)∙�� (�)� =
��(�)
��∙�� (�)+ �(�)∙
��� (�)
��
Contoh :
Perubahan usaha sama dengan perubahan energi kinetik sehingga dapat dinyatakan
sebagai �� = ��. Perubahan energi kinetik terhadap waktu dituliskan sebagai
��
��=�
���1
2� � ∙��
��
��=1
2��
��(� ∙�)
��
��=1
2� �
��
��∙� + � ∙
��
���
��
��=1
2� �2� ∙
��
���
56
el-Madani
��
��= � � ∙
��
��
��
��= �
��
��∙��
��
��
��= �
��
��∙��
��
��
��= �� ∙
��
��
�� = �� ∙��
�� = �� ∙��
�
����(�)× �� (�)�=
�
���������
�(�)��(�)���,�,�
�
�
����(�)× �� (�)� = �����
�
�����(�)��(�)���
�,�,�
�
����(�)× �� (�)� = ����� �
� ���(�)�
�����(�)�+ ���(�)�
� ���(�)�
�����
�,�,�
�
����(�)× �� (�)� = ����� �
���(�)
����(�)� ��
�,�,�
+ ����� ���(�)
���(�)
��� ��
�,�,�
�
����(�)× �� (�)� =
��
��× �� + � ×
���
��
Contoh :
Momentum sudut adalah produk silang dari posisi terhadap pusat dengan mpmentum
linear benda yang dapt dituliskan sebagai �= � × �. Torka adalah turunan
momentum sudut terhadp waktu sehingga dapat dinyatakan sebagai
� =��
��
� =�(� × �)
��
� =��
��× � + � ×
��
��
� = � × � � + � × ��
57
el-Madani
� = � � × � + � × ��
� = � × ��
Jadi torka juga dapat diperoleh dari produk silang antara posisi dan resultan gaya
yang bekerja pada benda.
Andaikan �(�),�� (�) adalah vektor dan � = �(�)⊗ �� (�) adalah subuah tensor,
maka turunan tensor � terhadap � adalah sebagai berikut.
�����
��=
�
����(�)⊗ �� (�)�
���
�����
��=
�
����(�)�
�⊗ �� (�)�
��
�����
��=
�
��������(�)
�
�
⊗ �����(�)�
�
�
�����
��= �������
�,�
�
��(�(�)� ⊗ �(�)�)
�����
��= �������
�,�
��(�)�
��⊗ �(�)� + �������
�,�
�(�)� ⊗��(�)�
��
�����
��=��(�)�
�
��⊗ �� (�)�
�+ �(�)�
�⊗��� (�)�
�
��
��
��=��(�)
��⊗ �� (�)+ �(�)⊗
��� (�)
��
� ��(�)⊗ �� (�)�
��=��(�)
��⊗ �� (�)+ �(�)⊗
��� (�)
��
Contoh
Posisi pusat massa dari suatu sistem dinyatakan sebagai
N
jjj
N
jjjN
ii
trmM
trm
m
tR11
1
)(1
)(1
)(
Maka tentukanlah persamaan kecepatan, momentum dan gaya pusat massa tersebut!
Jawab
58
el-Madani
Kecepatan pusat massa
�(�)=��� (�)
��
�(�)=�
���1
��� ���(�)
�
���
�
�(�)=1
��� �
� ���(�)�
��
�
���
�(�)=1
��� ���(�)
�
���
�(�)=1
����(�)
�
���
Jadi kecepatan pusat massa sama dengan jumlahan momentum masing-masing
partikel dibagi dengan massa total sistem.
Momentum pusat massa
������� = � �(�)
������� = �1
����(�)
�
���
������� = ���(�)
�
���
Jadi momentum pusat massa sama dengan jumlahan momentum masing-masing
partikel.
������ =����������
������ =�
������(�)
�
���
�
������ = �� ���(�)�
��
�
���
������ = ���(�)
�
���
59
el-Madani
Contoh :
Jika �(�)= �cos(��)�+ � sin(��)�+ ��� maka tentukan besarnya |�| dan |�|
serta sketsa gerakannya.
Jawab :
�(�)=��
��=�
���� cos(��)�+ � sin(��)�+ ����
�(�)=�
��[�cos(��)]�+
�
��[�sin(��)]�+
��
����
�(�)= −�� sin(��)�+ �� cos(��)�
|�|= � � ∙�
|�|= �(−�� sin(��)�+ �� cos(��)�)∙(−�� sin(��)�+ �� cos(��)�)
|�|= ����� sin�(��)+ ���� cos�(��)
|�|= �����[sin�(��)+ cos�(��)]
|�|= ��
�(�)=��
��=�
��(−�� sin(��)�+ �� cos(��)�)
�(�)=�
��[−�� sin(��)]�+
�
��[�� cos(��)]�
�(�)= −��� cos(��)�− ��� sin(��)�
|�|= � � ∙�
|�|= �(−��� cos(��)�− ��� sin(��)�)∙(−��� cos(��)�− ��� sin(��)�)
|�|= ����� cos�(��)+ ���� sin�(��)
|�|= �����[cos�(��)+ sin�(��)]
|�|= ���
|�|= � = ���
� =����
�
� =��
�
Jadi |�|= �� dan |�|= ���.
60
el-Madani
Gerakan yan digambarkan oleh persamaan
pada bidang � = �. Berikut adalah sketsa gerakannya.
GAYA SEBAGAI FUNGSI POSISI
�
��
��
�
�
� = � ����(�)� ∙��(�)��
�� ∆�
�
TATA KOORDINAT KARTESIAN
1. GRADIENSI
Fungsi gradiensi adalah
mengubah skalar menjadi vektor.
Berdasarkan gambar, maka dapat
diperoleh hubungan
∆� = �(� + ∆�)− �
Dengan menggunakan deret taylor maka
berikut.
x
Gerakan yan digambarkan oleh persamaan-persamaan di atas adalah gerak melingkar
. Berikut adalah sketsa gerakannya.
GAYA SEBAGAI FUNGSI POSISI ��(�)�
�� = � ∙��
� ��
��
= � ���(�)� ∙��
��,�� ∆�
��,�
= � ���(�)� ∙�[�(�)]
����
�� ∆�
�
� = � ���(�)� ∙�(�)��
�� ∆�
�
( )��+ � ����(�)� ∙��(�)��
�� ∆�
�
+ � ����(�)�
�� ∆�
�
TATA KOORDINAT KARTESIAN
Fungsi gradiensi adalah
mengubah skalar menjadi vektor.
Berdasarkan gambar, maka dapat
) �(�)
Dengan menggunakan deret taylor maka �(� + ∆�) dapat diuraikan sebagai
�
x
z
y
� − ��� (0,0,�)
samaan di atas adalah gerak melingkar
( )� ∙��(�)��
dapat diuraikan sebagai
61
el-Madani
�(� + ∆�)= �(�)+��
��∆� +
��
��∆� +
��
��∆�+
1
2!
���
���∆�� +
1
2!
���
���∆��
+1
2!
���
���∆�� +
1
2!
���
����∆�∆� +
1
2!
���
����∆�∆�+
1
2!
���
����∆�∆�
+ ⋯
Untuk ∆�,∆�,∆� sangat kecil maka ∆� = ��,∆� = ��,∆� = �� kemudian suku
keempat dan seterusnya dapat diabaikan sehingga menjadi
�(� + ��)= �(�)+��
���� +
��
���� +
��
����
�(� + ��)− �(�)=��
���� +
��
���� +
��
����
�(��)=��
���� 1+
��
���� 1+
��
���� 1
�(��)=��
�����∙�+
��
�����∙�+
��
������∙��
�(��)= ���
���+
��
���+
��
�����∙����+ ���+ �����
�(��)= ��
���+
�
���+
�
�����
�������������∇
� ∙����+ ���+ �����
�(��)= ∇� ∙����+ ���+ �����
Jadi operator gradiensi adalah
∇=�
���+
�
���+
�
����
Andaikan diketahui �(�)= �(�,�,�) adalah suatu medan skalar stasioner
(bukan fungsi waktu (t) secara eksplisit) jika dikenai gradiensi maka akan
diperoleh vektor berikut.
��
��=��
��
��
��+��
��
��
��+��
��
��
��
∇� = ���� � =��
���+
��
���+
��
����
∇� = ���
�����
�
62
el-Madani
∇� = �������
∇� = �����
Andaikan � = ��+ ��+ ��� maka
|�|= � = ��� + �� + ��
� = �������
�
�
��
∇1
�= ��� ������
�
�
�
���
���
∇1
�= ��−
1
2�������
�
�
�
��� �
���������
�
�
� ���
∇1
�= ��−
1
2��������
�
�
�
���
�
�
������
�
����
���
∇1
�= ��−
1
2��1
���
�
�2�����
�����
�
∇1
�= −�
1
���
���������
∇1
�= −�
1
������
�
∇1
�= −
1
��������
∇1
�= −
�
��
Soal
� = −��
�
� = −∇�
� = ∇��
�
� = �� ∇1
�
M �
U
63
el-Madani
� = ���
��
∇(��)= ��(��)
�����
�
∇(��)= ����
���� + �
��
������
�
∇(��)= ����
�����
�
�� + � ����
�����
�
�
∇(��)= (∇�)� + �(∇�)
∇(��)= �(∇�)+ �(∇�)
∇��� ∙���� � = ��
������ ∙���� ���
�
∇��� ∙���� � = ��
�������� �
�
� ���
∇��� ∙���� � = ����� �
�����
��
MAKNA GRADIEN
Vektor kontravrian adalah vektor
yang merupakan garis singgung
suatu kurva.
Vektor kovarian adalah vektor yang
merupakan gradien dari suatu
medan skalar.
Iso/eki skalar adalah permukaan
yang nilai skalarnya sama.
Contoh :
� (�)= −��
�
� = −��
�
� = −��
�
x
z
y
��
��
�
∆�
� + ∆�
�(��)
�(��)
�(�)
64
el-Madani
� harus negatif agar diperoleh r positif. Bentuk ekipotensial dari � (�) adalah
permukaan bola.
Perhatikan gambar di samping. Semua nilai � yang terletak pada permukaan
ekipotensial adalah sama, sehingga
�(� + ∆�)− �(�)= 0
∆� = 0
Untuk ∆� → 0 maka �� = 0.
Karena � = �(�,�,�) maka
�� =��
���� +
��
���� +
��
����
�� = ∇���� + ∇���� + ∇����
�� = �∇���+ ∇���+ ∇����� ∙����+ ���+ �����
�� = ∇� ∙��
0 = ∇� ∙��
Karena �� ∙�� = 0 hal ini berarti bahwa �� dan �� saling tegak lurus dan berarti
�� tegak lurus permukaan ekipotensial.
Andaikan � = ��+ ��+ ��� maka ��
��= �, jadi
dapat disimpulkan bahwa � adalah vektor
kontravarian.
Andaikan ��(�,�,�)= � maka
∇�� =�����
�+���
���+
�����
��
∇�� =��
���+
�0
���+
�0
����
∇�� =��
���+ 0+ 0
∇�� = �
Dengan demikian � adalah vektor kovarian. Jadi �,�,�� adalah vektor kovarian dan
kontravarian.
Contoh :
PARABOLA
grafrik parabola dapat dinyatakan dengan persamaan berikut.
x
y
z
�(�)
65
el-Madani
� = �� ��� − � = 0
� − �� = 0�
Tentukan persamaan vektor yang tegak lurus pada titik (2,4)!
Jawab :
Kurva isoskalar
�(�,�)= �� − � = 0
∇� =��
���+
��
���
∇� =�(�� − �)
���+
�(�� − �)
���
∇� = 2��− �
Pada titik (2,4) maka ∇�(2,4)= 4�− �
sehingga arah ∇� mengikuti arah bertambahnya x.
�(�,�)= � − �� = 0
∇� =��
���+
��
���
∇� =�(� − ��)
���+
�(� − ��)
���
∇� = −2��+ �
Pada titik (2,4) maka ∇�(2,4)= −4�+ � sehingga arah ∇� mengikuti arah
bertambahnya y.
PARABOLOID
Persamaan untuk paraboloid adalah
�� + �� = �
�� + �� − � = 0
Tuliskan vektor yang tegak lurus
paraboloid pada titik (2,2,8) !
Jawab :
�(�,�,�)= �� + �� − � = 0
∇�(�,�,�)=��
���+
��
���+
��
����
∇�(�,�,�)=�(�� + �� − �)
���+
�(�� + �� − �)
���+
�(�� + �� − �)
����
∇�(�,�,�)= 2��+ 2��− ��
∇�(2,2,8)= 4�+ 4�− ��
x 2
4 � = �� − �
� = � − �� y
� = ��
x
y
z
2
2
8
∇� = 4�+ 4�− ��
66
el-Madani
HIPERBOLOIDA
Andaikan diketahui persamaan
��
��+��
��−��
��= 1
Persamaan tersebut adalah persamaan untuk hiperboloida.
Andaikan titik (��,��,��) berada pada permukaan hiperboloida maka vektor yang
tegak lurus titik tersebut adalah.
�(�,�,�)=��
��+��
��−��
��− 1 = 0
∇�(�,�,�)=��
���+
��
���+
��
����
∇�(�,�,�)=� ���
��+��
��−��
��− 1�
���+
����
��+��
��−��
��− 1�
���
+� ���
��+��
��−��
��− 1�
����
∇�(�,�,�)=2�
���+
2�
���−
2�
����
�∇�(�,�,�)|��,��,�� =2��
���+
2��
���−
2��
����
SELIMUT SILINDER
Andaikan diketahui persamaan selimut silinder �� + �� = ��, maka vektor yang
tegak lurus terhadap titik �(�,0,�) dan � ��
�√2�,
�
�√2�,�� dapat ditentukan dengan
jalan berikut. Andaikan diketahui medan skalar �(�,�,�)= �� + �� − �� = 0 maka
∇� =��
���+
��
���+
��
����
67
el-Madani
∇� =�(�� + �� − ��)
���+
�(�� + �� − ��)
���+
�(�� + �� − ��)
����
∇� = 2��+ 2��
Vektor yang tegak lurus selimut silinder di titik �(�,0,�) adalah
�∇�|�,�,� = 2��
Vektor yang tegak lurus selimut silinder di titik � ��
�√2�,
�
�√2�,�� adalah
�∇�|��√��,��√��,�
= √2� �+ √2� �
LAJU PERUBAHAN φ
Lintasan S berada pada
permukaan ekiskalar, sedangkan
S’ menembus permukaan
ekiskalar. Laju perubahan φ pada
lintasan S adalah 0 karena φ pada
S terletak pada permukaan
ekiskalar yang sama, sehingga
tidak ada perubahan φ di
sepanjang S.
���
���= 0
Laju perubahan φ pada S’ tidak sama dengan nol, karena S’ tidak berada pada
permukaan ekiskalar sehingga ada perubahan φ.
���
����≠ 0
x
z
y
�
�� ��
��
68
el-Madani
���
����= �
∇� ∙��
����
���
����= �∇� ∙
��
����
Nilai �� �
���� maksimum jika ∇� sejajar/paralel dengan ��
���
����= |∇�|�
��
����
Dimana |∇�| adalah laju perubahan maksimum dari �.
Jika �� paralel dengan ∇� maka laju perubahannya maksimum.
Jika �� searah dengan ∇� maka laju perubahannya maksimum.
Jika �� berlawanan arah dengan ∇� maka laju pengurangannya maksimum.
Jadi arah ∇� searah dengan laju perubahan maksimum.
Contoh :
Jika diketahui � = ���sin(��)= ��� maka
��
��=�(���)
��
��
��+�(���)
��
��
��+�(���)
��
��
��+�(���)
��
��
��
��
��= ���� + 0+ 0+ ��
��
��= ���� + ��
Jika diketahui � = ��sin(��)= �� maka
��
��=�(��)
��
��
��+�(��)
��
��
��+�(��)
��
��
��+�(��)
��
��
��
��
��= ��� + 0+ 0+ 0
��
��= ���
2. DIVERGENSI
Fungsi divergensi adalah untuk mengubah vektor menjadi skalar.
∇ ∙�� (�)=���
��+���
��+���
��
∇ ∙�� (�)= ���� + ���
� + ����
∇ ∙�� (�)= ����
����
69
el-Madani
∇ ∙�� (�)= �����
�
Jika dinyatakan dalam matriks maka dapat dituliskan sebagai berikut.
∇↔ �
������
� sedangkan �� ↔ ���
��
���
∇�� = ∇ ⊗ �� = �
���� ���
� ����
���� ���
� ����
���� ���
� ����
�
Trace�∇�� � = ∇ ∙��
Trace�∇�� � = ���� + ���
� + ����
∇ ∙∇� = ∇��
∇ ∙∇� = ∆�
∇ ∙∇� = ����
����
�
∇ ∙� = ����
����
∇ ∙� =��
��+��
��+��
��
∇ ∙� = 1+ 1+ 1 = 3
∇ ∙���� � = �������
����
∇ ∙���� � = ����
����� + �
���
����
�
∇ ∙���� � = ����
������
�
+ ������
����
�
∇ ∙���� � = ����
������
�
+ ������
����
�
∇ ∙���� � = ∇φ ∙�� + �∇ ∙��
3. ROTASI
Operator Rotasi didefinisikan sebagai berikut.
70
el-Madani
∇ × �� = ∇ ∧ �� = ��� �� = ���� ��
∇ × �� = �� � ��
�� �� ���� �� ��
�
∇ × �� = ����� − ���
���+ (���� − ���
�)�+ ����� − ���
�� �
∇ × �� = �����������
���
Contoh :
∇ × � = �����������
���
∇ × � = ��������
�����
���
∇ × � = �������������
∇ × � = ������������
∇ × � = �0.1.����
= 0
∇ × � = 0
Atau
∇ × �� =
⎣⎢⎢⎡� � ��
�
��
�
��
�
��� � � ⎦
⎥⎥⎤� ��
��
�
��� �
∇ × �� = ���
��−��
����+ �
��
��−��
����+ �
��
��−��
�����
∇ × �� = 0�+ 0�+ 0��= 0
Andaikan �� = ∇� maka curl dari �� adalah sebagai berikut
∇ × ∇� = ∇ × ��������
�
71
el-Madani
∇ × �� =
⎣⎢⎢⎢⎢⎡� � ��
�
��
�
��
�
����
��
��
��
��
��⎦⎥⎥⎥⎥⎤� ��
��
�
����
��
��
��
∇ × �� = ��
��
��
��−�
��
��
����+ �
�
��
��
��−�
��
��
����+ �
�
��
��
��−�
��
��
�����
∇ × �� = ��
��
��
��−�
��
��
����+ �
�
��
��
��−�
��
��
����+ �
�
��
��
��−�
��
��
�����
∇ × �� = 0�+ 0�+ 0��= 0
Atau
∇ × ∇� = ������������
���
Karena ���� bersifat asimetri sedangkan ���� adalah simetri, maka untuk semua
kombinasi ijk akan ada yang saling meniadakan contohnya adalah kombinasi berikut
�������� − �������� = 0
∇ × ∇� = 0
∇ × �� = 0 maka �� = ∇� jika ruangannya simple connected.
Andaikan � = �� maka curl dari � adalah
∇ × � = ∇ × ����
∇ × � = ������������
�,�,�
e��
∇ × � = ����� �(���)�� + ��������e���,�,�
∇ × � = �����(���)��e���,�,�
+ ������������e���,�,�
∇ × � = ∇� × � + �∇ × �
∇ × ���� = ∇� × � + �∇ × �
Andaikan �� = ∇ × � dan �� = � + ∇� maka
�� � = ∇ × ��
�� �= ∇ × �� + ∇� �
�� � = ∇ × � + ∇ × ∇�
�� �= ∇ × � + 0
72
el-Madani
�� �= ��
∇ ∙∇ × �� = ��
����
�∇ × �� ��
∇ ∙∇ × �� = ��
��������
�
�����
���
∇ ∙∇ × �� = ������
����
�����
���
∇ ∙�∇ × �� � = 0
∇�� ∙�� � = ����� ∙�� ����
∇�� ∙�� � = ��� �������
� ���
∇�� ∙�� � = ���������� + �������������
∇�� ∙�� � = ������� − ���� + ������� + ������� − ���� + ����������
∇�� ∙�� � = ������� − ���� + ��������� + ������� − ���� + ��������
��
∇�� ∙�� � = ������� − ��������� + ���������� + ������� − ���������
+ �����������
∇�� ∙�� � = ������� − ����������
��
+ ��������� − ��������
��
+ �������������
+ �����������
��
∇�� ∙�� � = ���∇ × ��������
��
+ �����∇ × �� �����
��
+ ��� ���������
�
�
+ ��� ���������
�
�
73
el-Madani
∇�� ∙�� � = ������∇ × ����������
+ ��������∇ × �� �������
+ ��� ���������
�
�
+ ��� ���������
�
�
∇�� ∙�� � = ��������∇ × ��������
+ ��������∇ × �� �������
+ ������
�
+ �������
�
∇�� ∙�� � = �� × �∇ × �� + � × �∇ × �� � + ��� ∙∇�� + �� ∙∇���
Contoh :
Andaikan sebuah sistem bergerak dengan persamaan posisi sebagai berikut.
�(�)= (1− ����)�� cos(��)�+ (1− ����)
�� sin(��)�+ ����
Tentukan sketsa gerak sistem!
|�(�)|= � �(�)∙�(�)
|�(�)|= �(1− ����)cos�(��)+ (1− ����)sin�(��)+ ����
|�(�)|= �(1− ����)[cos�(��)+ sin�(��)]+ ����
|�(�)|= �(1− ����)+ ����
|�(�)|= √1 = 1
Berdasarkan penyelesaian |�(�)| di atas, maka dapat disimpulkan bahwa benda
bergerak pada jarak 1 satuan dari pusat koordinat, dan daerah yang mungkin untuk
dilewati benda adalah permukaan bola. Gambar di bawah ini adalah sketsa lintasan
benda yang berupa permukaan bola.
x
y
z
Sketsa lintasan benda berbentuk permukaan bola
74
el-Madani
Gambar di bawah adalah sistem mekanik dimana bermassa m memiliki lintasan
berupa permukaan bola dengan jari-jari 1 satuan.
INTEGRAL LINTASAN DAN INTEGRAL PERMUKAAN
�(�) adalah gaya yang
bergantung pada posisi,
jadi di setiap titik
berubah besar dan
arahnya. Usaha yang dilakukan oleh �(�) pada masing-masing segmen adalah
∆� = �(�)∙∆�
Usaha seluruh panjang lintasan
� = �∆�
�
� = �(�)∙∆�
� = lim� ��|∆�|→ �
�(�)∙∆�
� = � �(�)∙��
�
Dimana
�(�)∙�� = ��(�,�,�)�� + ��(�,�,�)�� + ��(�,�,�)��
Maka
� �(�)∙��
�
= � ��(�,�,�)��
��
��
+ � ��(�,�,�)��
��
��
+ � ��(�,�,�)��
��
��
m 1 satuan
Sistem mekanik yang sesuai
�(��,��,��)
�(��,��,�� )
�(�)
��
75
el-Madani
Untuk arah yang berlawanan maka
� �(�)∙��
��
= − � �(�)∙��
�
Jika �� =� �
���� maka
� �(�)∙��
�
= � �(�)∙��
����
�
� �(�)∙��
�
= � �����
��+ ��
��
��+ ��
��
�����
�
Jika terdapat dua lintasan yang saling sambung menyambung maka akan memenuhi
persamaan berikut.
� = �� ⊕ ��
� �(�)∙��
��⊕ ��
= � �(�)∙��
��
+ � �(�)∙��
��
INTEGRAL LINTASAN TERTUTUP
C adalah lintasan tertutup, dimulai dari titik A
kembali lagi ke titik A. Oleh karena itu maka
persamaan integralnya menjadi berikut.
� = � �(�)∙��
�
Jika ∮ �(�)∙���
= 0,∀� lintasan tertutup maka � adalah medan vektor lestari
(konservatif).
��
�� � �
�
C A
76
el-Madani
Integral lintasan medan skalar
Integral lintasan bagi medan skalar dimulai dari jumlahan segmen-segmen garis
sebanyak � segmen.
��(��)∆��
�
���
Jika segmen tersebut semakin diperkecil sehingga menuju nol atau dengan kata lain
� → ∞ maka akan diperoleh integral garis bagi medan skalar.
� �(�)��
�� �
= lim� → �
���(��)∆��
�
���
�
Jika � = �(�,�,�) maka
� �(�)��
�� �
= � �(�)��
��
��
+ � �(�)��
��
��
+ � �(�)��
��
��
INTEGRAL PERMUKAAN
Perhatikan gambar di samping.
Berdasarkan gambar di samping
maka dapat dituliskan
∆� = ∆���
Dengan �� adalah vektor normal.
Vektor normal �� selalu berubah
arahnya dari titik ke titik dan ��
tegak lurus permukaan ∆�.
Sehingga x
z
y
��
�(�)
∆�
��
��
77
el-Madani
�(��)∙∆�� = �(��)∙��∆��
Untuk � elemen luas maka
�(�)∙∆� = ��(��)∙��∆��
�
���
Jika elemen luasan ∆�� → 0 maka dapat dituliskan sebagai ��. Sehingga
lim∆��→ �
���(��)∙��∆��
�
���
� = � �(�)∙��
�
Untuk permukaan tertutup maka berlaku
� �(�)∙��
�
Untuk medan skalar maka integral permukaan untuk permukaan terbuka adalah
� �(�)��
�
Sedangkan untuk permukaan tertutup adalah
� �(�)∙��
�
Contoh
Berapakah banyaknya fluida yang mengalir tiap satuan waktu melalui permukaan
terbuka � jika kecepatan fluida hanya merupakan fungsi posisi �(�).
Jawab
�� = ����
�� = ����|��|��
�� = �(�)��
78
el-Madani
�� = �(�)����|��|��
��
��= �(�)����|��|
��
��= �(�)���� cos� |��|
��
��= �(�)� ∙��
Untuk seluruh permukaan maka
�
�= � �(�)� ∙��
Contoh
Berapakah banyaknya fluida yang mengalir tiap satuan waktu melalui permukaan
tertutup � jika kecepatan fluida hanya merupkan fungsi posisi �(�).
Jawab
Fluida yang keluar dari permukaan
��
��= � �� ∙��
�
Massa keseluruhan di dalam permukaan tertutup
�� = �(�)��
79
el-Madani
� �� = � �(�)��
� = � �(�)��
Massa yang mengalir tiap satuan waktu
��
��=�
��� �(�)���������
����� ������ ������
��
��= �
��(�)
����
������������������ � ���������� �����
���� ����� ��������
Banyaknya fluida yang keluar dari permukaan tertutup tiap satuan waktu adalah
negatif dari perubahan massa fluida tiap satuan waktu di dalam permukaan tertutup.
� �� ∙��
�
= − ���(�)
����
� ∇ ∙(��)��
�
= − ���(�)
����
� �∇ ∙(��)+��(�)
�����
�
= 0
∇ ∙(��)+��(�)
��= 0
��������������������� ��� �����������
∇ ∙(��)+��(�)
��= 0
∇� ∙� + �∇ ∙� +��(�)
��= 0
80
el-Madani
���(�)
���+
��(�)
���+
��(�)
����� ∙����+ ���+ ����� +
��(�)
��
��
��+ �∇ ∙� = 0
���(�)
���+
��(�)
���+
��(�)
����� ∙�
��
���+
��
���+
��
�����+
��(�)
��
��
��+ �∇ ∙� = 0
��(�)
��
��
��+��(�)
��
��
��+��(�)
��
��
��+��(�)
��
��
��+ �∇ ∙� = 0
��(�)
��+ �∇ ∙� = 0
Untuk fluida yang incompressible maka ��(�)
��= 0 sehingga
��(�)
��+ �∇ ∙� = 0
�∇ ∙� = 0
Karena �(�)≠ 0 maka
∇ ∙� = 0
sehingga
� � ∙��
�
= � ∇ ∙���
�
− � �� ∙�����
������������������ ������
���� �� � ������ ����
������ ���
+ � �� ∙�����
��
+ � �� ∙�����
��
= � 0��
�
− � �� ∙�����
��
+ � 0� ∙�����
��
+ � �� ∙�����
��
= 0
−���� + ���� = 0
���� = ����
81
el-Madani
Contoh
Hukum gauss pada listrik statis berlaku persamaan
∮ �� ∙�� =�
�� dengan � adalah muatan yang dilunkupi
oleh permukaan tertutup �. Andaikan terdapat bola
pejal bermuatan berjari-jari � , dengan rapat muatan
konstan �, maka tentukan �� untuk
a. � < �
� �� ∙�� =�
��
� � ��� sin� ����
��
� ��
�
���
= ����
���
���(− cos�)�� ��|�
�� =�
��� � � �� sin� ������
��
� ��
�
���
�
���
����−(cos� − cos0)�(2� − 0)=�
��
1
3���|���
� (− cos�)�� ��|�
��
�4��� =�
��
4
3���
� =�
3���
b. � > �
� �� ∙�� =�
��
� � ��� sin� ����
��
� ��
�
���
= ����
���
���(− cos�)�� ��|�
��
=�
��� � � �� sin� ������
��
� ��
�
���
�
���
82
el-Madani
����−(cos� − cos0)�(2� − 0)=�
��
1
3���|���
� (− cos�)�� ��|�
��
�4��� =�
��
4
3���
� =���
3����
TEOREMA GAUSS
Andaikan A adalah permukaan yang
membatasi ruang dengan volum V, maka
berlaku persamaan
� � ∙��
�
= � ∇ ∙���
�
Untuk kasus ∇ ∙� = 0 maka
� � ∙�� = 0
Perhatikan gambar di bawah. Pada gambar sebelah kiri terdapat suatu permukaan
dengan luas A akan tetapi bagian alasnya terbuka. Gambar sebelah kanan adalah
gambar suatu permukaan dengan luas A dimana bagian alasnya tertutup dengan luas
alas B. Jika bagian B diikutkan, maka integral yang dilingkupi oleh permukaan
tertutup A’ adalah sebagai berikut.
V
A
�(�)
x
z
y
Alas berlubang
A
x
z
y
B
A
A’
83
el-Madani
� � ∙��
�
− � � ∙��
�
= 0
� � ∙��
�
= � � ∙��
�
Perhatikan gambar di samping. Kontur C
bergerak dari A menuju ke B dengan lintasan
atas. Kontur C’ bergerak dari B menuju A
padalintasan horisontal, sedangkan kontur �
bergerak dari A menuju B berlawanan arah
dengan C’. Integral lintasan tertutup pada
kontur di samping dapat dilkukan dengan
menelusuri kontur C dan di lanjutkan dengan
kontur C’. Sehingga persamaan integral lintasan
tertutupnya adalah sebagai berikut.
� � ∙��
�⊕ ��
= � � ∙��
�
+ � � ∙��
��
Hasil dari integral lintasan tertutup adalah nol sehingga persamaan di atas menjadi
berikut.
0 = � � ∙��
�
+ � � ∙��
��
Kontur C’ memiliki nilai yang sama dengan � tetapi arah berlawanan dan memenuhi
persamaan berikut ini.
� � ∙��
��
= − � � ∙��
�
Jika persamaan tersebut disubstitusikan ke persamaan sebelumnya maka akan
diperoleh persamaan berikut.
0 = � � ∙��
�
− � � ∙��
�
y
z
C
�
C’ B A
84
el-Madani
� � ∙��
�
= � � ∙��
�
Dengan demikian dapat disimpulakan bahwa hasil integral dari kontur C dapat
diperoleh dengan hasil yang sama melalui integral kontur � , dimana kontur �
merupakan proyeksi kontur C pada sumbu-x.
TEOREMA STOKES
Gambar di bawah ini menunjukkan suatu luasan A yang dibatasi oleh kontur C.
∮ � ∙���
= ∫ �∇ × �� ∙���
Contoh :
� �� ∙�� =�
��
� ∇ ∙�� �� =∭ � ��
��
� �∇ ∙�� � �� = � ��
�����
Sehingga
∇ ∙�� =�
��
Untuk Q adalah muatan titik di pusat koordinat maka
� = � �(�,�,�)��
�(�,�,�)= �= 0 ����� (�,�,�)≠ (0,0,0)
= � �����(�,�,�)= (0,0,0) �
Dengan demikian maka �� → 0 sehingga � harus infinite karena � =�
��→ ∞ . Oleh
karena itu maka
�(�,�,�,�)= ��(�,�,�)
��
�
�
85
el-Madani
�(�)= �0,� ≠ 0
→ ∞ ,� = 0 ⇒ � �(�)�� = 1�
�(�,�,�,�)= ��(�)
� �(�,�,�,�)�� = � ��(�)��
� �(�,�,�,�)�� = � � �(�)��
� �(�,�,�,�)�� = �.1 = �
Untuk
∇ ∙�� =�
��
∇ ∙�
4������ =
��(�)
��
∇ ∙1
4���
��� = �(�)
∇ ∙�−∇1
�� = 4��(�)
−∇ ∙∇1
�= 4��(�)
∇�1
�= −4��(�)
Contoh :
Tentukan nilai dari ∇� ��
�� !
∇� ��
�� = ∇ ∙∇ �
�
��
∇� ��
�� = ∇ ∙�
∇�
�+ �∇
1
��
∇� ��
�� = ∇ ∙�
∇�
��+ ∇ ∙��∇
1
��
∇� ��
�� = ∇ ∙�
∇�
��+ ∇� ∙∇
1
�+ �∇ ∙∇
1
�
∇� ��
�� = ∇ ∙�
∇�
��+ ∇� ∙∇
1
�+ ��−4πδ(�)�
86
el-Madani
Jika pada suatu sistem terdapat n
muatan seperti pada gambar di
samping, maka
�(�)= ��(� − ��)
Untuk n muatan maka
�(�)= ����(� − ��)
�
���
TEOREMA GAUSS UNTUK MEDAN SKALAR
�(�)= �(�)�
Dimana � adalah vektor tetap (tidak bergantung posisi)
� �(�)∙�� = � ∇ ∙�(�)��
� �(�)� ∙�� = � ∇ ∙(�(�)�)��
� �(�)� ∙�� = � ��∇ ∙�(�)�� + �(�)(∇ ∙�)���
� �(�)� ∙�� = � ��∇�(�)� ∙� + �(�).0���
� �(�)� ∙�� = � �∇�(�)� ∙���
� ∙� �(�)�� = � ∙� �∇�(�)���
� �(�)�� = � �∇�(�)���
TEOREMA STOKES UNTUK MEDAN SKALAR
�(�)= �(�)�
Dimana � adalah vektor tetap (tidak bergantung posisi)
� �(�)∙��
�
= � ∇ × �(�)∙��
��
��
��
�� y
x
z
�� ��
��
��
87
el-Madani
� �(�)� ∙��
�
= � ∇ × (�(�)�)∙��
� �(�)� ∙��
�
= � [�(�)(∇ × �)+ ∇�(�)× �]∙��
� �(�)� ∙��
�
= � [�(�)(0)+ ∇�(�)× �]∙��
� �(�)� ∙��
�
= � (∇�(�)× �)∙��
Dengan mengacu sifat �� × �� � ∙� = �� × �� ∙�� maka
� �(�)� ∙��
�
= � ��� × ∇�(�)�∙�
� ∙� �(�)��
�
= � ∙� ��� × ∇�(�)�
� �(�)��
�
= � −�∇�(�)× ���
� �(�)��
�
= − � ∇�(�)× ��
Contoh :
Hitunglah ∮ �� !
Jawab :
� �� = � ∇1��
�
� �� = � 0��
�
� �� = 0
Secara geometris soal
tersebut menunjukkan
y
x
z ��
��
88
el-Madani
proyeksi dua elemen luas �� yang sama tapi arah berlawanan sehingga saling
meniadakan dan hasil proyeksinya menjadi nol.
Atau
� �� = � ����
� �� = � ����� + � ����� + � ������
� �� = �� cos�� �� + �� cos�� �� + ��� cos�� ��
�� adalah sudut yang dibentuk antara
��� dengan sumbu-x.
Andaikan terdapat suatu bangun seperti
gambar di samping maka integral
tertutup dari keseluruhan luas � adalah
nol. Dimana luas total dari bangun
tersebut adalah luas bagian atas kontur
C yang memiliki luas S dan bagian
corong bawah. Kontur C adalah pada
bidang yang datar, sehingga
persamaannya sebagai berikut.
� �� = 0
� ��
�
+ � ��
��
= 0
� ��
�
= − � ��
��
Luas daerah yang diarsir pada corong tersebut adalah �
��� × �� �
�� =1
2���× ��
Sehingga persamaan di atas menjadi sebagai berikut
� ��
�
= − �1
2���× ��
��
y
x
z
��
� �
��
�
�
�
��
� × ��
89
el-Madani
� ��
�
= �� × ��
2��
Untuk seluruh corong, maka lintasannya tertutup sehingga persamaannya akan
menjadi
� ��
�
= �� × ��
2�
Jika bangun dengan luas S tanpa corong seperti pada gambar di bawah, maka dapat
diperoleh persamaan yang dapat diperoleh adalah sebagai berikut.
� ��
�
= �� × ��
2�
Dengan � = ��+ �� dan ��= �� = ���+ ��� maka
� ��
�
= �(��+ �� )× (���+ ��� )
2�
� ��
�
= �(��� − ��� )
2��
�
Suatu benda yang bervolum V sebenarnya tersusun atas volum-volum kecil ∆� yang
saling berdekatan sehingga sisi-sisi yang berhimpitan memiliki arah normal yang
berlawanan sehingga saling meniadakan kecuali permukaan yang paling tepi
sehingga tidak ada yang saling berhimpit dan tidak saling meniadakan.
(��,��,�)
(� − ��)� + (� − ��)
� = �� x
y
z
S
90
el-Madani
� � ∙��
∆�
= � ∇ ∙���
∆�
Sehingga secara keseluruhan sama dengan integral seluruh permukaan
� � � ∙��
∆�
= � � ∇ ∙���
∆�∆�
� � ∙��
�
= � ∇ ∙���
�
Aplikasi pada sirkulasi
� � ∙�� = � ∇ × � ∙��
�
� � ∙�� = � 0 ��
�
� � ∙�� = 0
Berarti tidak ada pusaran.
x
y
z
∆�
∆�
∆�
V
� � ∙�� = − � � ∙��
Bagian yang diarsir saling
meniadakan
� = �(�)
�
91
el-Madani
Jika ∇ × � ≠ 0 → ada pusaran
Jika ∇ × � = 0 ⇒ � = ∇� (gradien dari potensial)
Contoh
Andaikan �� adalah operator hermitean maka akan berlaku sifat
� �∗(�)���(�)��
�
��
= � ����(�)�∗�(�)��
�
��
Dengan mengacu sifat tersebut maka buktikan bahwa operator momentum linear
� = −��
��∇ hermitean.
Jawab
� �∗(�)�−�ℎ
2�∇�(�)� ��
�
��
= −�ℎ
2�� �∗(�)�∇�(�)���
�
��
� �∗(�)�−�ℎ
2�∇�(�)� ��
�
��
= −�ℎ
2�� �∇��∗(�)�(�)� − �(�)∇�∗(�)���
�
��
� �∗(�)�−�ℎ
2�∇�(�)� ��
�
��
= −�ℎ
2�� �∇��∗(�)�(�)����
�
� �� ��
+ �ℎ
2�� [∇�∗(�)]�(�)��
�
��
� �∗(�)�−�ℎ
2�∇�(�)� ��
�
��
= −�ℎ
2��∇��∗(�)�(�)��
��
�+ � �
ℎ
2�[∇�∗(�)]�(�)��
�
��
� �∗(�)�−�ℎ
2�∇�(�)� ��
�
��
= 0+ � �−�ℎ
2��∗
[∇�∗(�)]�(�)��
�
��
� �∗(�)�−�ℎ
2�∇�(�)� ��
�
��
= � �−�ℎ
2�∇�(�)�
∗
�(�)��
�
�������������������������������������������
����� � �� ��������
∇ � ��� ���� �
92
el-Madani
Contoh
Suatu aliran fluida memiliki rapat massa � yang tetap dan seragam. Fluida itu
mengalir dengan kecepatan �� . Aliran fluida itu menembus secara tegak lurus wilayah
yang berbentuk cakram berjari-jari � dan seterusnya melalui setengah bola dengan
jari-jari �.
a. Tentukan banyaknya fluida yang mengalir melalui cakram tiap satu satuan
waktu
b. Tentukan banyaknya fluida yang mengalir melalui permukaan setengah bola
tiap satu satuan waktu
c. Tentukan massa fluida yang melalui wilayah yang dibatasi oleh cakram dan
setengah bola itu tiap satu satuan waktu
Jawab
a. banyaknya fluida yang mengalir melalui cakram tiap satu satuan waktu
��
��= � ��� ∙��
��
��
��= �|�� |���
b. banyaknya fluida yang mengalir melalui permukaan setengah bola tiap satu
satuan waktu
��
��+ ∇ ∙(��� )= 0
��
��+ ∇� ∙�� + �∇ ∙�� = 0
��
��+ �∇ ∙�� = 0
Fluida incompressible maka ��
��= 0 sehingga ∇ ∙�� = 0, maka
� �� ∙��
�
= � ∇ ∙�� ��
�
93
el-Madani
� �� ∙��
��
− � �� ∙��
��
= � 0��
�
� �� ∙��
��
= � �� ∙��
��
��
��= � ��� ∙��
��
��
��= � � �� ∙��
��
��
��= � � �� ∙��
��
��
��= �|�� |���
c. massa fluida yang melalui wilayah yang dibatasi oleh cakram dan setengah
bola itu tiap satu satuan waktu
��
��=�
��� ���
�
��
��= �
��
����
�
��
��= − � ��� ∙��
�
��
��= − � � ��� ∙��
��
+ � ��� ∙��
��
�
��
��= − �2 � ��� ∙��
��
�
��
��= − �2�|�� |� ��∙(−��)��
��
�
��
��= −(−2�|�� |���)
94
el-Madani
��
��= 2�|�� |���
DELTA DIRAC
Rapat massa dari benda dapat dibagi menjadi tiga yaitu rapat massa linear, rapat
massa planar dan rapat massa volum. Rapat massa linear adalah rapat massa bagi
objek bermassa yang berupa garis. Rapat massa linear biasa disimbulkan sebagai
�(�). Andaikan terdapat objek bermassa berbentuk garis kemudian diambil elemen
massa Δ� dan elemen panjangnya Δ� maka rapat massa linearnya dapat dinyatakan
sebagai
�(�)≅Δ�
Δ�
Jika elemen panjangnya dibuat sekecil mungkin dengan ∆�→ 0 maka rapat massa
linearnya dinyatakan sebagai
�(�)≅ lim∆�→ �
Δ�
Δ�
Rapat massa planar biasa disimbulkan sebagai � . Andaikan terdapat objek bermassa
berbentuk bidang kemudian diambil elemen massa Δ� dan elemen luasnya Δ� maka
rapat massa linearnya dapat dinyatakan sebagai
� ≅Δ�
Δ�
Jika elemen luasnya dibuat sekecil mungkin dengan ∆� → 0 maka rapat massa
linearnya dinyatakan sebagai
� ≅ lim∆�→ �
Δ�
Δ�
Begitu juga untuk rapat massa volum, maka dapat dinyatakan sebagai
� ≅ lim∆�→ �
Δ�
Δ�
Pada ketiga kasus di atas, ketika elemen panjang, elemen luas atau elemen volum
diperkecil maka elemen massa juga akan mengecil. Permasalahan akan muncul
ketika yang menjadi obyek adalah benda titik. Andaiakan terdapat benda titik dengan
95
el-Madani
massa � terletak di sumbu-x (misalnya di ��) maka ketika elemen panjang
diperkecil ∆�→ 0 maka massa dari benda titik tersebut tetap � sehingga rapat
massanya akan menuju takhingga.
�(�)= lim∆�→ �
∆�
∆�
�(�)= lim∆�→ �
�
∆�
�(�)= ∞
Dengan rapat massa tersebut ketika dilakukan integrasi di seluruh ruang maka akan
diperoleh massa total � .
�� = �(�)��
� = � �(�)��
�
��
Berdasarka fenomena tersebut dapat disimpulkan bahwa rapat massa benda adalah
nol dimana-mana tetapi takhingga di titik �� (titik tempat benda titik diletakkan).
Oleh karena itu diperlukan suatu fungsi yang dapat mewadahi sifat dari rapat massa
tersebut nol di semua titik dan tak hingga di titik tempat benda diletakkan. Untuk
mewadahi sifat tersebut diusulkan suatu fungsi yang disebut sebagai fungsi delta
dirac. Rapat massa benda titik tersebut jika dinyatakan dengan delta dirac dapat
dituliskan sebagai berikut.
�(�)= � �(�� − �)
Dimana
�(�� − �)= �
0 ���� � ≠ ��
∞ ���� � = ��
�
Jika persamaan tersebut diintegralkan di seluruh ruang maka akan diperoleh
� = � �(�)��
�
��
� = � � �(�� − �)��
�
��
Karena � adalah tetapan maka
96
el-Madani
� = � � �(�� − �)��
�
��
1 = � �(�� − �)��
�
��
Jika terdapat dua benda titik dengan massa � � terletak di titik �� dan massa � �
terletak di titik ��, maka persamaan rapat massanya dapat diturunkan dengan jalan
berikut. Integral di seluruh ruang akan diperoleh massa total � � + � � sehingga
� � + � � = � �(�)��
�
��
� ��(�)��
�
��
+ � ��(�)��
�
��
= � �(�)��
�
��
� � ��(�� − �)��
�
��
+ � � ��(�� − �)��
�
��
= � �(�)��
�
��
� � ��(�� − �)+ � ��(�� − �)��
�
��
= � �(�)��
�
��
� ��(�� − �)+ � ��(�� − �)= �(�)
Secara umum rapat massa untuk � buah titik adalah
�(�)= �� ��(�� − �)
�
���
Jadi �(�� − �) adalah fungsi delta dirac pada garis. Jika
benda titik tersebut berada di ruang dua dimensi maka
fungsi delta dirac-nya akan berbeda. Andaikan sebuah
benda titik berada di titik (��,��) maka rapat massa benda
tersebut akan nol di semua titik selain (��,��) tetapi akan
tak hingga ketika di titik (��,��). Persamaan rapat massa
benda titik tersebut adalah
�(�)= � �(�� − �)
Persamaan delta dirac pada persamaan rapat massa benda dapat diuraikan sebagai
berikut.
�(�� − �)= �(�� − �)�(�� − �)
97
el-Madani
Di ruang tiga dimensi maka persamaan delta dirac untuk benda titik yang terletak di
titik (��,��,��) dapat dinyatakan sebagai berikut
�(�� − �)= �(�� − �)�(�� − �)�(�� − �)
Jika di dalam ruang tiga dimensi terdapat � buah benda titik, maka rapat massa
sistem benda tersebut adalah sebagai berikut.
�(�)= � �(�� − �)+ � �(�� − �)+ ⋯ + � � (�� − �)
�(�)= �� �(�� − �)
�
���
Fungsi delta dirac dari suatu variabel x
dilambangkan dengan �(�). Fungsi ini
diusulkan karena kebutuhan fungsi yang
nilainya nol dimana saja kecuali pada
suatu titik yang diskontinyu dan
berperilaku sebagai tinggi tak hingga
dengan luas kurvanya satu satuan.
Banyak pendekatan yang dapat dilakukan untuk memahami ini, namun secara
sederhana dapat digambarkan sebagai berikut.
Hal ini merupakan penggambaran
delta dirac yang paling sederhana
yaitu
∆�(�)
Jika diintegralkan maka akan
diperoleh hasil berikut.
� �(�)�(� − ��)��
�
��
= � �(�)�(� − ��)��
�
��
+ � �(�)�(� − ��)��
�
�
+ � �(�)�(� − ��)��
�
�
�
�
−1
2�
1
2�
� � ��
98
el-Madani
� �(�)�(� − ��)��
�
��
= 0+ � �(�)�(� − ��)��
�
�
+ 0
� �(�)�(� − ��)��
�
��
= �(��)
Meskipun didekati dengan sembarang interval disekitar �� maka akan diperoleh hasil
yang sama.
� �(�)�(� − ��)��
�
��
= � �(�)�(� − ��)��
�
��
+ � �(�)�(� − ��)��
����
�
+ � �(�)�(� − ��)��
��� �
����
+ � �(�)�(� − ��)��
�
��� �
+ � �(�)�(� − ��)��
�
�
� �(�)�(� − ��)��
�
��
= 0+ 0+ � �(�)�(� − ��)��
�
�
+ 0+ 0
� �(�)�(� − ��)��
�
��
= �(��)
Jika �(�)= 1 dimana-mana, maka �(��)= 1, sehingga
� �(�)�(� − ��)��
�
��
= �(��)
� �(� − ��)��
�
��
= 1
� �(� − ��)��
��� �
����
= 1
Analog dengan konsep sebelumnya, maka:
� � �� �� − � �� + �
99
el-Madani
� ∆��(�)��
��� �
����
= 1,� > �
dengan
�(� − ��)= lim�→ �
∆�(� − ��)
Sehingga bentuk di atas dapat dituliskan
lim�→ �
� �(�)∆�(� − ��)��
��� �
����
= � �(�)lim�→ �
∆�(�
��� �
����
− ��)��
Dimana
� �(�)lim�→ �
∆�(� − ��)��
��� �
����
= lim�→ �
�(�)∆�(� − ��)��
� �(�)lim�→ �
∆�(� − ��)��
��� �
����
= lim�→ �
�(�)1
��
� �(�)lim�→ �
∆�(� − ��)��
��� �
����
= �(��)
Hal yang sama juga berlaku jika diaplikasikan pada persamaan berikut :
∆��(�)=
1
2���|�|
��
∆��(�)=
1
�
�
�� + ��
∆��(�)=
1
�√�����
���
∆��(�)=
1
�
sin�(� �⁄ )
��
Fungsi delta dirac pada tiga dimensi (3D) dapat dituliskan sebagai berikut :
�(� − ��)= �(� − ��)�(� − ��)�(�− ��)
Jika
1
2�� ������
�����
��
�
= �1 ���� � = ��
0 ���� � ≠ ���
�� +1
2� ��
�
�
�� −1
2�
100
el-Madani
Maka
�(� − ��)=1
2�� ���(����)��
�
��
�(� − ��)= lim�→ �
1
2�� ���|�|����(����)��
�
��
�(� − ��)= lim�→ �
∆�(� − ��)
Jadi :
�(� − ��)=1
(2�)�� ���
� (����)����
�
��
Aplikasi teorema Gauss pada listrik statis
Andaikan terdapat muatan titik � dengan vektor posisi ��maka kuat medan listrik di
titik � yang vektor posisinya � dapat dinyatakan sebagai berikut.
�� (�)=�
4���
(� − ��)
|� − ��|�
Divergensi dari kuat medan listrik �� (�) adalah
∇ ∙�� (�)=�
4���
∇ ∙(� − ��)
|� − ��|�
Dengan menerapkan teorema Gauss maka dapat diperoleh
� �� ∙��
�
= � ∇ ∙�� ��
�
�
��= �
�
4���
∇ ∙(� − ��)
|� − ��|���
�
1
��� �(��)��
�
=�
4����
∇ ∙(� − ��)
|� − ��|���
�
101
el-Madani
� ��(� − ��)��
�
=�
4�� ∇ ∙�
(� − ��)
|� − ��|�� ��
�
� �(� − ��)��
�
=1
4�� ∇ ∙�
(� − ��)
|� − ��|�� ��
�
� �(� − ��)��
�
= �1
4�∇ ∙�
(� − ��)
|� − ��|�� ��
�
�(� − ��)=1
4�∇ ∙�
(� − ��)
|� − ��|��
∇ ∙�(� − ��)
|� − ��|�� = 4��(� − ��)
Medan listrik �� merupakan hasil gradiesi dari potensial skalar �� = −∇�, dimana
� =�
����
�
|����| , maka
�� = −∇�
�
4���
(� − ��)
|� − ��|�= −∇ �
�
4���
1
|� − ��|�
�
4���
(� − ��)
|� − ��|�= −
�
4���∇
1
|� − ��|
(� − ��)
|� − ��|�= −∇
1
|� − ��|
∇1
|� − ��|= −
(� − ��)
|� − ��|�
Pada persamaan sebelumnya telah diperoleh
∇ ∙�(� − ��)
|� − ��|�� = 4��(� − ��)
∇ ∙�−∇1
|� − ��|� = 4��(� − ��)
∇� �1
|� − ��|� = −4��(� − ��)
Andaikan �� adalah volum total dari suatu distribusi muatan dengan rapat muatan
�(�) dan � adalah volum dari permukaan Gauss yang luas permukaan Gaussnya �
seperti tampak pada gambar.
102
el-Madani
Berdasarkan ambar tersebut maka dapat diperoleh
��� =���
4���
(� − ��)
|� − ��|�
��� =�(��)���
4���
(� − ��)
|� − ��|�
�� (�)= ��(��)
4���
(� − ��)
|� − ��|����
� �
Dengan menerapkan teorema Gauss
� �� ∙��
�
= � ��(��)
4���
(� − ��)
|� − ��|����
� �
∙��
�
� �� ∙��
�
= ��(��)
4������
� �
�(� − ��)
|� − ��|�∙��
�
� �� ∙��
�
= ��(��)
4������
� �
� ∇ ∙(� − ��)
|� − ��|���
�
� �� ∙��
�
= ��(��)
4������
� �
� 4��(� − ��)��
�
� �� ∙��
�
= � ��(��)
4���4��(� − ��)��
�
���
� �
� �� ∙��
�
=1
��� � �(��)�(� − ��)��
�
���
� �
103
el-Madani
Dengan adanya delta dirac maka intergral tersebut akan ada nilainya hanya pada
daerah yang merupakan irisan dari volum distribusi muatan �� dengan volum dari
permukaan Gauss �, sehingga persamaan tersebut menjadi
� �� ∙��
�
=1
��� �(��)���
� �⋂ ����������� ����� ���� ����� ������/
� ����� �� ����� ���� ����� ����� �
� �� ∙��
�
=� �����
Contoh
Tiga buah muatan masing-masing �,2� dan 3� masing-masing terletak di titik
(1,2,3),(−2,−1,0) dan (6,7,8). Berdasarkan informasi tersebut maka tentukanlah
a. Rapat muatan dari sistem tersebut.
b. Persamaan kulit bola berjari-jari � satuan panjang dengan pusat di titik
tempat � berada
c. Kuat medan di titik-titik yang panjang vektor posisinya terhadap koordinat �
adalah 4√3 satuan panjang
d. Sebuah titik sembarang di kulit bola pada soal c dan tentukan vektor normal
pada titik tersebut
e. Persamaan kulit bola sembarang yang mencakup ketiga muatan tersebut
Jawab
a. Rapat muatan sistem
� = ����(� − ��)�(� − ��)�(�− ��)
�
���
� = ��(� − 1)�(� − 2)�(�− 3)+ 2��(� + 2)�(� + 1)�(�)
+ 3��(� − 6)�(� − 7)�(�− 8)
b. Persamaan kulit bola berjari-jari � berpusat di (1,2,3)
�� − �� � = �
����+ ��+ ���� − ��+ 2�+ 3���� = �
�(� − 1)�+ (� − 2)�+ (�− 3)��� = �
104
el-Madani
(� − 1)� + (� − 2)� + (�− 3)� = ��
c. Kuat medan listrik
����� = (−2 − 1)�+ (−1− 2)�+ (0− 3)��
������ � = �(−3)� + (−3)� + (−3)�
������� = 3√3
Muatan 2� tercakup
����� = (6 − 1)�+ (7 − 2)�+ (8 − 3)��
������ � = �5� + 5� + 5�
������� = 5√3
Muatan 3� tidak tercakup
� �� ∙��
�
=�
��
�4��� = ��
����
�
�4��� =1
��� ���(� − 1)�(� − 2)�(�− 3)+ 2��(� + 2)�(� + 1)�(�)
�
+ 3��(� − 6)�(� − 7)�(�− 8)���
�4��4√3��=� + 2�
��
�4�48 =3�
��
� =�
64���
d. Titik sembarang dan vektor normal
(� − 1)� + (� − 2)� + (�− 3)� = �4√3��
(� − 1)� + (� − 2)� + (�− 3)� = 48
Ambil � = 5,� = 6,� = 7
�� = ∇�
�� = ∇((� − 1)� + (� − 2)� + (�− 3)�)
105
el-Madani
�� =�((� − 1)� + (� − 2)� + (�− 3)�)
���
+�((� − 1)� + (� − 2)� + (�− 3)�)
���
+�((� − 1)� + (� − 2)� + (�− 3)�)
����
�� = 2(� − 1)�+ 2(� − 2)�+ 2(�− 3)��
��� |(�,�,�)= 2(5 − 1)�+ 2(6 − 2)�+ 2(7 − 3)��
��� |(�,�,�) = 8�+ 8�+ 8��
���|(�,�,�) =8�+ 8�+ 8��
√8� + 8� + 8�
���|(�,�,�) =8�+ 8�+ 8��
8√3
���|(�,�,�)=1
√3��+ �+ ���
e. Kulit bola sembarang
(� − 1)� + (� − 2)� + (�− 3)� = �6√3��
SISTEM KOORDINAT
SISTEM KOORDINAT KARTESIAN
Setiap sistem koordinat memiliki lengkung koordinat dan permukaan koordinat.
Lengkung koordinat adalah kurva dimana nilai koordinat yang bersangkutan berubah
tetapi koordinat (sumbu) yang lain tetap.
Contoh :
Lengkung koordinat x adalah kurva dimana nilai x berubah tetapi y dan z tetap.
Lengkung koordinat x pada sistem koordinat kartesian adalah garis sejajar
sumbu x.
Lengkung koordinat y adalah kurva dimana nilai y berubah tetapi x dan z tetap.
Lengkung koordinat y pada sistem koordinat kartesian adalah garis sejajar
sumbu y.
Lengkung koordinat z adalah kurva dimana nilai z berubah tetapi x dan y tetap.
Lengkung koordinat z pada sistem koordinat kartesian adalah garis sejajar
sumbu z.
106
el-Madani
Domain pada sistem koordinat kartesian adalah sebagai berikut.
� ∈ (−∞ ,∞ )
� ∈ (−∞ ,∞ )
� ∈ (−∞ ,∞ )
�� = ���� + ��� + ���
�� = ����, �� = ����, �� = ����
�� = ������
Permukaan koordinat adalah kurva dimana koordinat yang bersangkutan nilainya
tetap sedangkan yang lain berubah. Pada sistem koordinat kartesian, permukaan
koordinat semua sama yaitu bidang datar yang saling tegak lurus dengan masing-
masing sumbu, seperti tampak pada gambar di atas ( gambar bagian kiri).
SISTEM KOORDINAT SILINDER
Berikut ini adalah gambar lengkung
koordinat pada sistem koordinat
silinder.
domain bagi sistem koordinat silinder
adalah sebagai berikut.
� ∈ [�0,∞ )�
� ∈ (0,2�)
y
x
z
�� ��
��
(�,�,�)
(��,��,��)
�� − �
�� − �
�� − �
z
x
y
PK-x PK-y
PK-z
x
y
z
�
(�,�,�)
(�,�,0)
107
el-Madani
� ∈ (−∞ ,∞ )
Lengkung koordinat � adalah garis lurus yang memancar dari sumbu z melalui titik
yang dimaksud.
Lengkung koordinat � adalah lingkaran yang berpusat di sumbu z.
Lengkung koordinat z adalah garis lurus sejajar sumbu z.
Permukaan koordinat � adalah silinder dengan sumbu di sumbu z.
Permukaan koordinat � adalah bidang datar vertikal memancar dari sumbu z ke arah
luar.
Permukaan koordinat z adalah bidang datar yang tegak lurus sumbu z.
�� = ���� + ����� + ��
�� = �����,�� = ����,�� = �����
�� = �������
SISTEM KOORDINAT KULIT BOLA
Domain bagi sistem koordinat kulit bola adalah
� ∈ [�0,∞ )�
� ∈ (0,�)
� ∈ (0,2�)
� ��
��� �
��� ��
��
y
x
z
x
y
z
108
el-Madani
Lengkung koordinat � adalah garis yang
memancar dari pusat koordinat melalui titik yang
dimaksud dan ke arah luar.
Lengkung koordinat � adalah setengah lingkaran
mulai dari sumbu z positif.
Lengkung koordinat � adalah lingkaran datar
yang dimulai dari sumbu x positif.
Gambar di samping adalah lengkung-lengkung
koordinat pada sistem koordinat kulit bola.
Permukaan koordinat � adalah permukaan bola berpusat di (0,0,0).
Permukaan koordinat � adalah kerucut dengan puncak di (0,0,0).
Permukaan koordinat � adalah bidang datar vertikal dari sumbu z ke arah luar.
Berikut ini adalah gambar permukaan-permukaan koordinat pada sistem koordinat
permukaan bola.
�� = ���� + ����� + �� sin� � ���
�� = �����,�� = � sin� �� ��,�� = �� sin� �� ��
�� = ���.��.� sin� ��
�� = �� sin� �� �� ��
x
y
z
�
� �
(�,�,�)
x
y
z
y
x
z
�
��
�
��
�����
�
��
���
����� ��
109
el-Madani
SISTEM KOORDINAT UMUM
�� � ⊥ �� � ⊥ �� � tetapi nilainya tidak harus 1 satuan. Ketiganya merupakan vektor
singgung.
�� � =��
���
�� � =��
���
�� � =��
���
Dimana
� = �(��,��,��)�+ �(��,��,��)�
+ �(��,��,��)��
�� � =��
���
�� � =�
���������
�� � = ����
�����
�
Contoh :
Pada koordinat kulit bola maka dapat diperoleh.
�� � = ����
����
�
���
�� � =��
���+
��
���+
��
����
�� � =�(� sin� cos�)
���+
�(� sin� sin�)
���+
�(� cos�)
����
�� � = sin� cos� �+ sin�sin� �+ cos� ��
��� �� = �sin� � cos� � + sin� � sin� � + cos� �
��� �� = �sin� � (cos� � + sin� �)+ cos� �
��� �� = � sin� � + cos� �
��� �� = 1
��
�� ��
(��,��,��)
�� � �� �
�� �
�(��)
�(��) �(��)
�
��
x
y
z
�
110
el-Madani
�� � = ����
����
�
���
�� � =��
���+
��
���+
��
����
�� � =�(� sin�cos�)
���+
�(� sin�sin�)
���+
�(� cos�)
����
�� � = � cos� cos� �+ � cos� sin� �− � sin� ��
��� � � = � �� cos� � cos� � + �� cos� � sin� � + �� sin� �
��� � � = � �� cos� � (cos� � + sin� �)+ �� sin� �
��� � � = � �� cos� � + �� sin� �
��� � � = � ��(cos� � + sin� �)
��� � � = �
�� � = ����
����
�
���
�� � =��
���+
��
���+
��
����
�� � =�(� sin� cos�)
���+
�(� sin� sin�)
���+
�(� cos�)
����
�� � = −� sin�sin� �+ � sin� cos� �
��� � � = � �� sin� � sin� � + �� sin� � cos� �
��� � � = � �� sin� � (sin� � + cos� �)
��� � � = � �� sin� �
��� � � = � sin�
SISTEM KOORDINAT SILINDER ELIPTIK
Pada sistem koordinat silinder eliptik berlaku
� = � cosh� cos�
� = � sinh� sin�
� = �
111
el-Madani
Dimana
0 < � < ∞
0 < � < 2�
−∞ < � < ∞
u = tetapan
Perlu diingat bahwa
cos� =1
2���� + �����
sin� =1
2���� − �����
cosh� =1
2(�� + ���)
sinh� =1
2(�� − ���)
cosh� > sinh�
cosh� � − sinh� � = 1
Sehingga
cos� � =��
�� cosh� �
sin� � =��
�� sinh� �
sin� � + cos� � =��
�� sinh� �+
��
�� cosh� �
1 =��
��+��
��
Persamaan tersebut adalah persamaan silinder eliptik dimana A > B.
Andaikan
�� � adalah vektor basis kontravarian (sebagai garis singgung)
�� � adalah vektor basis kovarian
�� = ��(�,�,�)→ (medan skalar) disebut isoskalar.
�� � = ∇��
�� � =���
���+
���
���+
���
����
112
el-Madani
�� � = ����
�����
�
�� � ∙��� = ����
�����
�
∙����
�����
�
�� � ∙��� = ����
��� ���
����� ∙��
�,�
�� � ∙��� = ����
��� ���
������
�,�
�� � ∙��� = ����
��� ���
������
�
�� � ∙��� = ����
��� ���
����
= ���
��� adalah tensor metrik kovarian.
Besarnya �� � dapat ditentukan sebagai berikut.
��� � � = � �� � ∙�� �
��� � � = ������
�����
�
��� � � = � ℎ��
��� � � = ℎ� = ����
ℎ� sebagai faktor skala untuk mengubah besaran yang bukan panjang menjadi
besaran panjang.
Basis fisis
�� =�� �
��� � �
�� =�� �ℎ�
113
el-Madani
�� � ∙�� � = ����
�����
�
∙����
�����
�
�� � ∙�� � = ����
��� ���
����� ∙��
�,�
�� � ∙�� � = ����
��� ���
������
�,�
�� � ∙�� � = ����
��� ���
������
�
�� � ∙�� � = ����
��� ���
����
�� � ∙�� � = ���
��� adalah tensor metrik kontravarian
�� � ∙��� = ����
�����
�
∙����
�����
�
�� � ∙��� = ����
��� ���
����� ∙��
�,�
�� � ∙��� = ����
��� ���
������
�,�
�� � ∙��� = ����
��� ���
������
�
�� � ∙��� = ����
��� ���
����
�� � ∙��� =���
���
�� � ∙��� = ���
Sehingga
�� � ∙�� � =���
���
�� � ∙�� � = 1
��� � ���� � � = 1
114
el-Madani
��� � � =1
��� � �
��� � � =1
ℎ�
Dengan menggunakan persamaan-persamaan di atas maka dapat ditentukan besaran-
besaran dalam suatu sistem koordinat sebagai
berikut.
Elemen jarak
��� = ��� + ��� + ���
��� = �(���)�
�
��� = �������
�
��� = �������
����
���� �����
����
�����
�
��� = �������
����
���
���� �������
��
��� = ����������
��
Untuk � = � = � maka
��� = ���(���)�
��� = ℎ��(���)�
�� = ℎ����
Elemen luas
��� = ������
��� = (ℎ����)(ℎ���
�)
��� = ℎ�ℎ�������
(�,�,�)
(� + ��,� + ��,�+ ��)
��
�
� ��
��
��� = 0
� ≠ �
��
�� ��
��� = ℎ����
��� = ℎ����
��� = ℎ����
�� = ������
115
el-Madani
��� = ������
��� = (ℎ����)(ℎ���
�)
��� = ℎ�ℎ�������
��� = ������
��� = (ℎ����)(ℎ���
�)
��� = ℎ�ℎ�������
Elemen volum
Elemen volum dalam suatu sistem
koordinat umum dapat dirumuskan
sebagai berikut
�� = ���������
�� = ℎ����ℎ���
�ℎ����
�� = ℎ�ℎ�ℎ����������
Contoh :
Sistem koordinat silinder
� = � cos�
� = � sin�
� = �
Untuk menentukan faktor skala dengan menggunakan persamaan berikut ini
ℎ�� = ��
���
����
�
�
ℎ�� = ��
���
���
�
�
ℎ�� = �
��
����
+ ���
����
+ ���
����
ℎ�� = �
�� cos�
����
+ ��� sin�
����
+ ���
����
ℎ�� = (cos�)� + (sin�)� + 0
ℎ�� = 1
ℎ� = 1
��
��
��
��� = ℎ����
��� = ℎ����
��� = ℎ����
�� = ���������
116
el-Madani
ℎ�� = ��
���
���
�
�
ℎ�� = �
��
����
+ ���
����
+ ���
����
ℎ�� = �
�� cos�
����
+ ��� sin�
����
+ ���
����
ℎ�� = (−� sin�)� + (� cos�)� + 0
ℎ�� = ��(sin� � + cos� �)
ℎ�� = ��
ℎ� = �
ℎ�� = ��
���
���
�
�
ℎ�� = �
��
����
+ ���
����
+ ���
����
ℎ�� = �
�� cos�
����
+ ��� sin�
����
+ ���
����
ℎ�� = 1�
ℎ� = 1
Sehingga dapat diperoleh
��� = ℎ���
��� = ��
��� = ℎ� ��
��� = ���
��� = ℎ���
��� = ��
�� = ℎ�ℎ� ℎ�������
�� = �������
Koordinat kulit bola
� = � sin� cos�
� = � sin� sin�
� = � cos�
Fakot-faktor skala pada koordinat kulit bola
117
el-Madani
ℎ�� = ��
���
���
�
�
ℎ�� = �
��
����
+ ���
����
+ ���
����
ℎ�� = �
�� sin� cos�
����
+ ��� sin� sin�
����
+ ��� cos�
����
ℎ�� = (sin� cos�)� + (sin� sin�)� + (cos�)�
ℎ�� = sin� � (cos� � + sin� �)+ cos� �
ℎ�� = sin� � + cos� �
ℎ�� = 1
ℎ� = 1
ℎ�� = ��
���
���
�
�
ℎ�� = �
��
����
+ ���
����
+ ���
����
ℎ�� = �
�� sin� cos�
����
+ ��� sin� sin�
����
+ ��� cos�
����
ℎ�� = (� cos� cos�)� + (� cos� sin�)� + (−� sin�)�
ℎ�� = �� cos� � (cos� � + sin� �)+ �� sin� �
ℎ�� = �� cos� � + �� sin� �
ℎ�� = ��(cos� � + sin� �)
ℎ�� = ��
ℎ� = �
ℎ�� = ��
���
���
�
�
ℎ�� = �
��
����
+ ���
����
+ ���
����
ℎ�� = �
�� sin� cos�
����
+ ��� sin� sin�
����
+ ��� cos�
����
ℎ�� = (−� sin� sin�)� + (� sin� cos�)� + 0
ℎ�� = �� sin� � (cos� � + sin� �)
ℎ�� = �� sin� �
118
el-Madani
ℎ� = � sin�
�� = ℎ�ℎ�ℎ� ������
�� = 1.�.� sin� ������
�� = �� sin�������
��������
= �����
������
����
����
������
�����
��������
= ����
�����
���
������
����
�
��
���
���
��������
= ����
�����
���
������
����
�
��
���
���
��������
= ����
������
������
��
��������
= ����
������
������
�
��������
= ����
������
����
��������
=���
���
��������
= ���
Wakilan matriksnya adalah sebagai berikut
�
��� ��� ���
��� ��� ���
��� ��� �����
��� ��� ������ ��� ������ ��� ���
�= �1 0 00 1 00 0 1
�
Pada sistem koordinat bola maka
��� = �1 0 00 �� 00 0 �� sin� �
�
��� =
⎣⎢⎢⎢⎡1 0 0
01
��0
0 01
�� sin� �⎦⎥⎥⎥⎤
Berdasarkan persamaan-persamaan sebelumnya telah diketahui bahwa
119
el-Madani
��� � � =1
��� � �
��� � � =1
��� � �
Maka
�� � =�� �
��� � �
Persamaan umum gradiensi
��
���=
��
ℎ����
��
���=
��
ℎ����
��
���=
��
ℎ����
∇� =��
����� � +
��
����� � +
��
����� �
∇� =1
ℎ�
��
����� � +
1
ℎ�
��
����� � +
1
ℎ�
��
����� �
∇� = �1
ℎ�
��
����� �
�
Pada sistem koordinat silinder
∇� =1
ℎ�
��
����+
1
ℎ�
��
����+
1
ℎ�
��
���
∇� =��
����+
1
�
��
����+
��
���
Pada sistem koordinat kulit bola
∇� =1
ℎ�
��
��� +
1
ℎ�
��
����+
1
ℎ�
��
����
∇� =��
��� +
1
�
��
����+
1
� sin�
��
����
∇�� = �1
ℎ�
���
����� �
�
�(��,��,��)
��(��,�� + ���,��)
��
��
120
el-Madani
∇�� = �1
ℎ��� ���
�
�
∇�� =1
ℎ��� �
Persamaan umum divergensi
∇ ∙�� = ∇ ∙����� ��
Jika �� � tidak konstan maka
∇ ∙�� = �∇ ∙(���� �)
�
∇ ∙�� = �(∇�� ∙�� � + ��∇ ∙�� �)
�
∇ × �1
ℎ��� �� = ∇ �
1
ℎ��× �� � +
1
ℎ�∇ × �� �
∇ × ∇�� = −�� � × ∇ �1
ℎ��+
1
ℎ�∇ × �� �
0 = −�� � × ∇ �1
ℎ��+
1
ℎ�∇ × �� �
1
ℎ�∇ × �� � = �� � × ∇ �
1
ℎ��
∇ × �� � = ℎ��� � × ∇ �1
ℎ��
∇ × �� � = ℎ��� � × ��1
ℎ�
∂�1ℎ��
∂���� �
�
�
∇ × �� � = ℎ��� � × ��1
ℎ��−
1
ℎ���∂ℎ�
∂���� �
�
�
∇ × �� � = ℎ��� � × �−�1
ℎ�
1
ℎ��
∂ℎ�
∂���� �
�
�
∇ × �� � = −��� � × �� �
ℎ�ℎ�
∂ℎ�
∂���
∇ × �� � = −���� � × �� � �1
ℎ�ℎ�
∂ℎ�
∂���
121
el-Madani
∇ × �� � = −�������|�� �|��� � ��� ��
�1
ℎ�ℎ�
∂ℎ�
∂���
∇ × �� � = −�������� ��
1
ℎ�ℎ�
∂ℎ�
∂���
∇ × �� � = − �������� ��
1
ℎ�ℎ�
∂ℎ�
∂���
Jika
∇ ∙�������� ��
� = �����∇ ∙�� ��
Maka
∇ ∙��� � × �� �� = �� � ∙(∇ × �� �)− �� � ∙�∇ × �� ��
∇ ∙��� � × �� �� = − �������
�� � ∙�� �
ℎ�ℎ�
∂ℎ�∂��
+ �������
�� � ∙�� �ℎ�ℎ�
∂ℎ�
∂��
∇ ∙��� � × �� �� = − �������
���
ℎ�ℎ�
∂ℎ�∂��
+ �������
���ℎ�ℎ�
∂ℎ�
∂��
Ingat ��� = �1 ���� � = �0 ���� � ≠ �
� maka
∇ ∙��� � × �� �� = − ������
���
ℎ�ℎ�
∂ℎ�∂��
+ ������
���ℎ�ℎ�
∂ℎ�
∂��
∇ ∙��� � × �� �� = − ������
1
ℎ�ℎ�
∂ℎ�∂��
+ ������
1
ℎ�ℎ�
∂ℎ�
∂��
Ingat ���� = −���� sehingga
∇ ∙��� � × �� �� = ������
1
ℎ�ℎ�
∂ℎ�∂��
+ ������
1
ℎ�ℎ�
∂ℎ�
∂��
∇ ∙��� � × �� �� = ����� �1
ℎ�ℎ�
∂ℎ�∂��
+1
ℎ�ℎ�
∂ℎ�
∂���
�
∇ ∙��� � × �� �� = ����� �ℎ�
ℎ�ℎ�ℎ�
∂ℎ�∂��
+ℎ�
ℎ�ℎ�ℎ�
∂ℎ�
∂���
�
∇ ∙��� � × �� �� = �����1
ℎ�ℎ�ℎ��ℎ�
∂ℎ�∂��
+ ℎ�∂ℎ�
∂���
�
122
el-Madani
∇ ∙��� � × �� � � = �����1
ℎ�ℎ�ℎ�
∂
∂���ℎ�ℎ��
�
Contoh :
� = 1,� = 2 → ∇ ∙�� � = ����1
ℎ�ℎ�ℎ�
∂
∂��(ℎ�ℎ�)
� = 2,� = 3 → ∇ ∙�� � = ����1
ℎ�ℎ�ℎ�
∂
∂��(ℎ�ℎ�)
� = 3,� = 1 → ∇ ∙�� � = ����1
ℎ�ℎ�ℎ�
∂
∂��(ℎ�ℎ�)
Pada persamaan sebelumnya telah diketahui bahwa
∇ ∙�� = �(∇�� ∙�� � + ��∇ ∙�� �)
�
∇ ∙�� = �∇�� ∙�� ��
+ ���∇ ∙�� ��
∇ ∙�� = ���1
ℎ�
���
����
�� �� ∙�� ��
+ ���1
ℎ�ℎ�ℎ�
∂
∂���ℎ�ℎ�ℎ�ℎ�
�
�
∇ ∙�� = ����� � ∙�� �
ℎ�
���
����
�
�
+1
ℎ�ℎ�ℎ����
∂
∂���ℎ�ℎ�ℎ�ℎ�
�
�
∇ ∙�� = ������
ℎ�
���
����
�
�
+1
ℎ�ℎ�ℎ����
∂
∂���ℎ�ℎ�ℎ�ℎ�
�
�
∇ ∙�� = �1
ℎ�
���
����
+1
ℎ�ℎ�ℎ����
∂
∂���ℎ�ℎ�ℎ�ℎ�
�
�
∇ ∙�� = �1
ℎ�ℎ�ℎ�
ℎ�ℎ�ℎ�ℎ�
���
����
+1
ℎ�ℎ�ℎ����
∂
∂���ℎ�ℎ�ℎ�ℎ�
�
�
∇ ∙�� =1
ℎ�ℎ�ℎ���
ℎ�ℎ�ℎ�ℎ�
���
���+ ��
∂
∂���ℎ�ℎ�ℎ�ℎ�
��
�
∇ ∙�� =1
ℎ�ℎ�ℎ��
∂
∂���ℎ�ℎ�ℎ�ℎ�
���
�
Jika �� = ∇� maka
∇ ∙�� =1
ℎ�ℎ�ℎ��
∂
∂���ℎ�ℎ�ℎ�ℎ�
���
�
123
el-Madani
∇ ∙∇� =1
ℎ�ℎ�ℎ��
∂
∂���ℎ�ℎ�ℎ�ℎ�
1
ℎ�
∂�
∂���
�
∇�� =1
ℎ�ℎ�ℎ��
∂
∂���ℎ�ℎ�ℎ�ℎ��
∂�
∂���
�
Untuk koordinat kulit bola maka
∇�� =1
�� sin��∂
∂���� sin�
1
∂�
∂�� +
∂
∂���� sin�
��∂�
∂�� +
∂
∂���� sin�
�� sin� �
∂�
∂���
∇�� =1
�� sin��∂
∂���� sin�
∂�
∂��+
∂
∂��sin�
∂�
∂��+
∂
∂��1
sin�
∂�
∂���
∇ × �� = ∇ × ����
�
�� ��
∇ × �� = ��∇�� × �� ��
� + ����∇ × �� ��
�
∇ × �� = ���1
ℎ�
∂��
∂���� �
�
× �� ��
� − ����
�
������� �1
ℎ�ℎ�
�ℎ�
�����
�
∇ × �� = �������1
ℎ�
∂��
∂���� �
���
� − ����
�
������� �1
ℎ�ℎ�
�ℎ�
�����
�
∇ × �� = �������� �1
ℎ�
ℎ�ℎ�
∂��
∂�����
� − �− ������� �1
ℎ�ℎ���
�ℎ�
������
�
∇ × �� = �������� �ℎ�ℎ�
�ℎ�∂��
∂��+ ��
�ℎ�
����
���
�
∇ × �� = �������� �ℎ�ℎ�
ℎ�ℎ�
∂(��ℎ�)
∂�����
�
∇ × �� =1
ℎ�ℎ�ℎ�������� �ℎ�
∂(ℎ���)
∂�����
∇ × �� =1
ℎ�ℎ�ℎ�������� �ℎ�
∂(ℎ���)
∂�����
124
el-Madani
∇ × �� =1
ℎ�ℎ�ℎ�⎣⎢⎢⎢⎡ℎ��� � ℎ��� � ℎ��� �∂
∂��∂
∂��∂
∂��
ℎ��� ℎ��
� ℎ���⎦⎥⎥⎥⎤
RUANG VEKTOR DAN ALJABAR LINEAR
Definisi
Ruang vektor adalah suatu himpunan yang di dalamnya terdapat penjumlahan,
perkalian dengan skalar dan memenuhi sepuluh sifat dari ruang vektor. Sepuluh sifat
ruang vektor adalah
i. ∀�,�� ∈ � maka � + ��∈ �
ii. ∀�,��,��� ∈ � maka (� + ��)+ ��� = � + (��+ ���)
iii. ∀�,�� ∈ � maka � + ��= ��+ �
iv. ∃� ∈ � sedemikian rupa sehingga � + � = � + � = �,∀� ∈ �
v. ∀� ∈ �,∃− � ∈ � sedemikian rupa sehingga � + (−�)= −� + � = �
vi. ∀� ∈ �,∀� ∈ � maka �� ∈ �
vii. ∀�,� ∈ �,∀� ∈ � maka (� + �)� = �� + ��
viii. ∀�,� ∈ �,∀� ∈ � maka (��)� = �(��)= �(��)
ix. ∀� ∈ �,∀�,�� ∈ � maka �(� + ��)= �� + ���
x. ∀� ∈ � maka 1� = �
Atau ℱ(ℝ,ℝ)= {�:ℝ → ℝ}
i. (� + �)(�)= �(�)+ �(�) ∀� ∈ ℝ
ii. ∀� ∈ ℝ,∀� ∈ ℝ → (��)(�)= ��(�)
iii. [(� + �)+ ℎ](�)= (� + �)(�)+ ℎ(�)
[(� + �)+ ℎ](�)= [�(�)+ �(�)]+ ℎ(�)
[(� + �)+ ℎ](�)= �(�)+ [�(�)+ ℎ(�)]
[(� + �)+ ℎ](�)= �(�)+ (� + ℎ)(�)
[(� + �)+ ℎ](�)= [� + (� + ℎ)](�)
∀� ∈ ℝ
iv. (� + �)(�)= �(�)+ �(�)
(� + �)(�)= �(�)
∀� ∈ ℝ , �(�)= 0
v. ∀� ∈ ℱ,∀� ∈ ℝ → �(�)= −�(�)
125
el-Madani
�� + ��(�)= �(�)+ �(�)
�� + ��(�)= −�(�)+ �(�)
�� + ��(�)= 0
vi. (��)�(�)= ����(�)�
(��)�(�)= �(��)(�)
(��)�(�)= ����(�)�
(��)�(�)= �(��)(�)
Andaikan V adalah ruang vektor, dan � ⊂ �, maka W bisa dikatakan sebagai
subruang vektor jika W memenuhi sifat-sifat sebagai ruang vektor sekaligus
mewarisi operasi dari ruang vektor yang lebih besar yaitu V.
Contoh :
P
ada gambar di atas tampak bahwa �� dan �� merupakan vektor posisi yang
menunjukkan titik-titik yang berada pada bidang � = �. Apabila �� dan ��
dijumlahkan maka akan diperoleh hasil berikut.
�� + �� = ���+ ��+ ���� + ��′�+ �′�+ ����
�� + �� = (� + ��)�+ (� + �′)��+ 2���
Ternyata hasil penjumlahan kedua vektor dengan operasi penjumlahan biasa (“+”)
tidak menunjukkan vektor posisi dari titik yang berada di bidang � = �. Dengan
demikian dapat disimilkan bahwa sistem di atas dengan mengaplikasikan operasi
penjumlahan biasa (“+”) maka hasilnya tidak tertutup (tidak menunjukkan titik pada
bidang � = �) sehingga gagal disebut sebagai ruang vektor.
z
y
�� ⊞ ��
��
x
��
�� + ��
(�′,�′,�)
(�,�,�)
(��+ �,��+ �,2�)
(��+ �,��+ �,�)
(0,0,�)
126
el-Madani
Agar menjadi ruang vektor maka perlu didefinisikan penjumlahan baru
sehingga hasil penjumlahan tersebut menunjukkan vektor posisi dari titik di bidang
� = �. Misalkan didefinikan operasi penjumlahan berikut “⊞ ”
(�,�,�)⊞ (�′,�′,�)= (� + ��,� + ��,�)
�(�,�,�)= (��,��,�)
Sehingga
�� ⊞ �� = ���+ ��+ ���� ⊞ ��′�+ �′�+ ����
�� ⊞ �� = (� + ��)�+ (� + �′)��+ ���
Jadi sistem di atas dengan mengaplikasikan operasi pejumlahan “⊞ ” telah
memenuhi sebagai ruang vektor. Meskipun demikian sistem tersebut tidak bisa
dikatakan sebagai subruang vektor karena operasinya tidak mewarisi operasi
penjumlahan dan perkalian pada ruang normal.
Jika ditetapkan � = 0 maka sistem ini akan memenuhi sebagai subruang
vektor dengan mengaplikasikan operasi penjumlahan biasa (“+”), karena semua hasil
penjumlahannya akan menunjukkan titik-titik pada bidang � = 0.
Contoh :
ℋ (�,ℂ)= {� ∈ � �(�,ℂ)|(��)∗ = �} dengan ℋ = hermitean, maka
(� + �)�∗= (�� + ��)∗
(� + �)�∗= ��
∗+ ��
∗
(� + �)�∗= (� + �)∈ ℋ
Dengan demikian ℋ memenuhi salah syarat ruang vektor yaitu tertutup terhadap
penjumlahan. Syarat tersebut masih belum cukup untuk menyimpulkan bahwa ℋ
adalah ruang vektor. Oleh karena itu perlu dibuktikan syarat lain yaitu perkalian
terhadap skalar.
Jika � ∈ ℂ, � ∈ ℋ (�,ℂ) maka
(��)�∗= �∗��
∗
(��)�∗= �∗�
Hasil tersebut tidak hermitean yang berarti tidak tertutup terhadap perkalian dengan
skalar, sehingga ℋ bukan ruang vektor. Agar hermitean maka � ∈ ℝ sehingga
(��)�∗= �∗��
∗
(��)�∗= ��
127
el-Madani
Jadi ℋ merupakan ruang vektor ketika � ∈ ℝ , dan ℋ harus merupakan ruang
vektor riil walaupun merupakan anggota ℂ. Hal ini well difine mengingat matriks nol
ada di ℋ (�,ℂ).
Andaikan V adalah ruang vektor dan � suatu skalar dengan operasi
penjumlahan biasa maka dapat dituliskan sebagai (�,+,�). Jika terdapat � ⊂ �
maka W merupakan subruang vektor jika dan hanya jika :
1. ∀�,��∈ � → � + �′∈ �
2. ∀� ∈ �,� ∈ � → �� ∈ �
Contoh :
Andaikan �(ℝ,ℝ)= {� ∈ �(ℝ,ℝ)|� kontinyu dim ana− m ana} maka
�(ℝ,ℝ)⊂ �(ℝ,ℝ) adalah subruang vektor.
Bukti
1. �,� ∈ �(ℝ,ℝ)⟶ (� + �)(�)= �(�)+ �(�)
2. ∀� ∈ ℝ ⟶ (��)(�)= ��(�)
Contoh : (ruang vektor tidak harus fungsi)
� = {(��,��,��,… )|�� ∈ ℝ,konvergen}
sehingga
(��)+ (��)= (�� + ��)
(�� + ��)= lim�→ �
(�� + ��)
(�� + ��)= lim�→ �
(��)+ lim�→ �
(��)
(�� + ��)= (�� + ��)∈ �
�(��)= (���)
�(��)= lim�→ �
(���)
�(��)= � lim�→ �
(��)
f
g
f+g
x
y
128
el-Madani
�(��)= ��� ∈ �
Karena konvergen maka kembali ke �.
Contoh :
Diketahui ℬ = {(��,��,��,… )|�� ∈ ℝ} adalah himpunan barisan infinit. Andaikan
� = ��,��,��,… ∈ ℬ dan � = ��,��,��,… ∈ ℬ kemudian didefinisikan
� + � = (�� + ��,�� + ��,�� + ��,… )∈ ℬ atau ∀� ∈ ℝ,∀� = (��,��,��,… )∈
ℬ sedemikian rupa sehingga �� = (���,���,���,… )∈ ℬ atau
Sifat-sifat ruang vektor
1. Tertutup terhadap penjumlahan
(��)+ (��)= (�� + ��)∈ ℬ
2. Perkalian dengan skalar
�(��)= (���)∈ ℬ
3. Asosiatif
∀(��),(��),(��)∈ ℬ
4. Komutatif
5. Pilih � = (0,0,0,… )
� + � = (�� + 0)= (��)
� + � = (0+ ��)= (��)
Jadi � adalah vektor netral
6. ∀(��)∈ ℬ maka
(��)+ (��)= �
(��)+ (��)= (0)
(��)= (0)− (��)
(��)= (0− ��)
(��)= (−��)
Jadi vektor lawan bagi (��) adalah �– ���
7. ∀�,�,� ∈ ℝ dimana � = � + � maka
(� + �)(��)= �(��)
(� + �)(��)= (���)
(� + �)(��)= �(� + �)���
(� + �)(��)= (��� + ���)
(� + �)(��)= (���)+ (���)
(� + �)(��)= �(��)+ �(��)
129
el-Madani
8.
KOMBINASI LINEAR
Pada ruang vektor (�,+,�) maka
���� ∈ � ,�� ∈ �,�� ∈ �
���� ∈ � ,�� ∈ �,�� ∈ �
⋮
���� ∈ � ,�� ∈ �,�� ∈ �
Jika dijumlahkan akan menjadi ∑ �������� ∈ �, dan merupakan kombinasi
linear finit (k.l.f)
Contoh :
� ⊂ �, dengan S tidak harus merupakan subruang vektor. Span (s)himpunan semua
kombinasi linear finit (k.l.f) yang mungkin disusun oleh anggota-anggota di s. Jika
� ∈ span (�), ��,��,… ,�� untuk � < ∞ dan ��,��,… ,�� ∈ � sedemikian rupa
sehingga
� = ���� + ���� + ⋯ + ����
Maka jelas bahwa span (s) adalah himpunan bagian dari V.
Bukti
�,� ∈ span (�) ,� ∈ �
� = ���� + ���� + ⋯ + ����
� = ����� + ����� + ⋯ + �����
� + � = ���� + ���� + ⋯ + ���� + ����� + ����� + ⋯ + ����� ∈ span (�)
�� = ����� + ����� + ⋯ + �����
�� = ���� + ���� + ⋯ + ���� ∈ span (�)
Jadi jelas bahwa span (s) merupakan subruang vektor
Andaikan � = ��,�,��� ⊂ ℝ�, � = ��+ ��+ ���, maka ada dua subruang vektor
yang pasti dimiliki yaitu {�} dan V dimana � adalah fungsi kosong.
130
el-Madani
Misal � ⊂ span (�) yaitu salah satu subruang vektor yang memuat s. Dan
didefinisikan �(�) adalah himpunan yang semua subruang vektor yang memuat s,
maka
span (�)∈ �(�)⟹ � ∶= � �
� ∈�(�)
Dimana � adalah subruang vektor terkecil yang memuat s, sehingga dapat dikatakan
� ∈ �. Jika span(�)= � jelas bahwa � ⊂ span (�). Jadi tinggal membuktikan
bahwa span (�)⊂ �. Ingat bahwa jika � ⊂ B dan � ∈ � maka � ∈ � sehingga jika
� ∈ span (�) maka � = ���� + ���� + ⋯ + ���� dimana ��,��,… ,�� ∈ � ⊂ �
dengan � adalah kombinasi linear dari anggota-anggota di � maka � ∈ �. Jadi dapat
disimpulkan bahwa
span (�)⊂ �
Andaikan V adalah ruang vektor yang dituliskan (�,+,�), dan � ⊂ � , maka
W dikatakan sebagai subruang vektor jika memenuhi syarat-syarat sebagai ruang
vektor yatu tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian terhadap skalar. Dengan
demikian dapat dituliskan (� ,+,�)
Jika X adalah himpunan, maka kita dapat menentukan power set dari X yaitu
��. Power set adalah himpunan yang anggotanya himpunan bagian-himpunan
bagian dari X, termasuk X dan himpunan kosong { }. Andaikan jumlah anggota X
adalah n, maka jumlah anggota �� dapat ditentukan dengan persamaan 2�.
Contoh :
� = {�,�},|�|= 2⟹ |��|= 2� = 4
�� = �{�},{�},{��},{ }�
Sebelumya telah kita ketahui bahwa span (�) adalah subruang vektor terkecil
dari yang memuat s. Jadi span (�) merupakan subruang vektor yang dibangkitkan
oleh s. Jika ada subruang vektor lain yang memuat s maka pasti subruang vektor
tersebut memuat span (�). Bagaimana s agar span (�)= � ? Jika span (�)= �
maka sifat-sifat V dapat dicari melalui s, dan hanya ada satu cara menuliskan V
sebagai kombinasi linear.
Contoh :
Andaikan � = ��,�,��� maka
� � = ���+ ���+ ����
�� = ����+ ��
� �+ ������
�� = ���
�� = ���
�� = ���
131
el-Madani
BEBAS LINEAR DAN GAYUT LINEAR
Andaikan (�,+,�) adalah ruang vektor dan � ⊂ �, s dikatakan bebas linear
jika untuk setiap himpunan finit {��,��,… ,��}⊂ �, persamaan ���� + ���� + ⋯ +
���� = � = 0 mengharuskan �� = �� = ⋯ = �� = 0.
Contoh :
��,�,��� ⊂ ℝ�
Jika diambil
{�}⟹ ��= 0⟹ � = 0
{�,�}⟹ ��+ ��= 0⟹ � = � = 0
Bukti
�∙(��+ ��)= 0
��∙�+ ��∙�= 0
� + 0 = 0
� = 0
�∙(��+ ��)= 0
��∙�+ ��∙�= 0
0+ � = 0
� = 0
s dikatakan gayut linear jika s tidak bebas linear, maka ada subhimpunan
{��,��,… ,��}⊂ � sedemikian rupa sehingga persamaan ���� + ���� + ⋯ +
���� = 0 tidak mengharuskan �� = �� = ⋯ = �� = 0
Contoh :
{��,��}⊂ ℝ� dengan ��� = ��+ ��
�� = 2��+ 2���
Ditentukan
���� + ���� = 0
��(��+ ��)+ ��(2��+ 2��)= 0�+ 0�+ 0��
����+ ����+ 2����+ 2����= 0�+ 0�+ 0��
(��� + 2���)�+ (��� + 2���)�= 0�+ 0�+ 0��
��� + 2��� = 0
��� = −2���
132
el-Madani
�� = −2��
��� + 2��� = 0
��� = −2���
�� = −2��
Sehingga � dan � tidak harus nol.
Misal ℬ = {(��,��,⋯ ,��)= ��|�� ∈ ℝ}
(��)+ (��)= (�� + ��)
�(��)= (���)
dimana
−(��)= (−��)
� = (0,0,0,… )
Ambil �� ∈ ℬ dengan �� ≠ 0
� = �(��,��,��,⋯ )�����������
,(0,��,��,��,⋯ )�������������
,(0,0,��,��,��,⋯ )�������������
,(0,0,0,��,��,��,⋯ )���������������
,⋯ �
Jika
���� + ���� + ���� + ⋯ = � = (0,0,0,0,⋯ )
��(��,��,��,⋯ )+ ��(0,��,��,��,⋯ )+ ��(0,0,��,��,��,⋯ )+ ⋯ = �
= (0,0,0,0,⋯ )
(����,����,����,⋯ )+ (��0,����,����,����,⋯ )+ (��0,��0,����,����,����,⋯ )
+ ⋯ = (0,0,0,0,⋯ )
Suku yang seletak dijumlahkan
(���� + 0+ 0+ ⋯ ,���� + ���� + 0+ 0+ ⋯ ,���� + ���� + ���� + 0+ 0+ ⋯ )
= (0,0,0,0,⋯ )
Sehingga diperoleh
���� = 0⟹ �� = 0 karena �� ≠ 0
���� + ���� = 0⟹ �� = 0 karena �� = 0 , �� ≠ 0
���� + ���� + ���� = 0⟹ �� = 0 karena �� = �� = 0 , �� ≠ 0
⋮
���� + ������ + ������ + ⋯ + ���� = 0
���� = 0⟹ �� = 0
Jadi S adalah bebas linear.
133
el-Madani
Sifat-sifat
1. Jika � ∈ � maka s gayut linear.
2. Jika � ⊂ � dan s bebas linear maka T bebas linear
3. Jika � ⊂ � dan s gayut linear maka T gayut linear
Bukti
1. � = {�}→ �� = 0, maka � tidak harus 0
2. s memenuhi syarat bebas linear, sedangkan � ⊂ � maka semua subhimpunan
T juga merupakan subhimpunan s dimana subhimpunan tersebut juga
memenuhi syarat bebas linear, maka T juga bebas linear.
PROPOSISI
Andaikan (�,+,�) ruang vektor, � ⊂ � bebas linear dan jumlah anggota s adalah k,
maka setiap kumpulan k-1 buah vektor k.l.f dari s, gayut linear.
Untuk k+2, k+3, dst juga gayut linear
Untuk k buah vektor tidak ada ketentuan gayut linear atau bebas linear.
Bukti
�� = ������
�
���
�� = ������
�
���
⋮
�� = ������
�
���
��� � = ���� ����
�
���
���� + ���� + ⋯ + ��� ���� � = �
�����
�� �
���
= �
���������
�
���
�� �
���
= �
134
el-Madani
��������
�� �
���
�
�
���
�� = �
�����
�
���
= �
Maka �� = 0 sehingga
�� = �������
�� �
���
� = 0
[�� �� ⋯ ��]�
��� ��� … ���
��� ��� ⋯ ���
⋮��� � �
⋮��� � �
⋱ ⋮ ⋯ ��� � �
�= [0 0 ⋯ 0]
Kedua ruas ditranspos
�
��� ��� … ��� � ���� ��� ⋯ ��� � �⋮���
⋮���
⋱ ⋮ ⋯ ��� � �
��
����⋮��
�= �
00⋮0
�
Ada k+1 variabel dengan k persamaan, jadi harus ada � yang bernilai nol.
DEFINISI
Andaikan (�,+,�)ruang vektor, � ⊂ � dengan |�|< ∞ , s disebut basis finit bagi V
jika :
a. span (�)= � → � ∈ � ⟺ � ∈ span (�), sehingga v dapat dituliskan sebagai
kombinasi linear dari s. Jika misalkan |�|= � maka
� = �����
�
���
b. s bebas linear (cara menuliskannya tunggal)
� ∈ �
⎩⎪⎨
⎪⎧� = �����
�
���
� = �����
�
���
�
Maka
� − � = �����
�
���
− �����
�
���
135
el-Madani
0 = �(�� − ��)��
�
���
(�� − ��)= 0
�� = ��
c. Masing-masing � ∈ � dapat dituliskan sebagai kombinasi linear dari basis-
basisnya.
Andaikan {��,��,… ,��} adalah basis bagi � dan {��,��,… ,��} adalah
himpunan yang bebas linear maka
�� = ����
�
���
��
Karena �� bebas linear maka dapat dituliskan sebagai
�����
�
���
= �
Dimana �� harus 0.
�������
�
���
��
�
���
= �
��������
�
���
�
�
���
�� = �
������
�
���
= 0
Karena �� bebas linear maka �� harus nol semua jika determinan matriks ���
tidak boleh nol, karena jika
[�� �� … ��]= [�� �� … ��]�
��� … ���⋮ ⋱ ⋮��� … ���
�
Untuk menuliskan �� sebagai kombinasi linear dari �� maka ��� harus
dikalikan dengan inversnya. ��� akan memiliki invers jika det����� ≠ 0,
sehingga dapat dituliskan menjadi
��������
�
���
= ������������
�
���
�
���
136
el-Madani
��������
�
���
= �����������
�
���
�
�
���
��
��������
�
���
= ����
�
���
��
��������
�
���
= ��
Jadi ∀� ∈ � dapat dituliskan sebagai
� = �����
�
���
� = �����������
�
���
�
���
� = ����������
�
���
� ��
�
���
� = �����
�
���
Jadi setiap � dapat dituliskan sebagai kobinasi linear dari ��. Untuk
membentuk basis baru maka dapat melalui cara berikut.
[�� �� … ��]= [�� �� … ��]���� … ���⋮ ⋱ ⋮��� … ���
�
Dengan det(�)≠ 0.
Contoh
Di ℝ� diketahui basis ��,�,��� maka buatlah salah satu contoh basis baru di ℝ�!
[�� �� ��]= [� � ��]�cos� sin� 0− sin� cos� 00 0 1
�
[�� �� ��]= [cos� �− sin� � sin� �+ cos� � ��]
Jadi basis barunya adalah �cos� �− sin� �,sin� �+ cos� �,���.
Proposisi
137
el-Madani
Jumlah anggota semua basis finit bagi suatu ruang vektor berdimensi finit adalah
sama.
Bukti
Jika V ruang vektor , s dan s’ adalah basis finit bagi V maka |�|= |��|.
Berdasarkan definisi di atas span (�)= �, span (��)= �, maka
1. s basis, |�|= �, s’ bebas linear dan �� ⊂ � dimana � = span (�) sehingga
�� ⊂ span (�) yang berarti |��|≤ |�|
2. s’ basis, |��|= �, s bebas linear dan � ⊂ � dimana � = span (��) sehingga
� ⊂ span (��) yang berarti |�|≤ |��|
Karena |��|≤ |�| dan |�|≤ |��| maka |�|= |��|.
Jadi dimensi dari ruang vektor finit adalah sama dengan jumlah anggota
basisnya.
Andaikan V ruang vektor berdimensi n, maka setiap n buah vektor yang bebas
linear membentuk basis finit bagi ruang vektor itu.
Contoh :
��(2,ℝ)= ������ ������ ���
����� ∈ ℝ�
Berlaku sifat
�����+ �����= ���� + ����
������= ������
���� ������ ���
�= ���� 00 0
�+ �0 ���0 0
�+ �0 0��� 0
�+ �0 00 ���
�
���� ������ ���
�= ��� �1 00 0
������
+ ��� �0 10 0
������
+ ��� �0 01 0
������
+ ��� �0 00 1
������
���� ������ ���
�= ����� + ����� + ����� + �����
Sehingga � = {��,��,��,��}
���� + ���� + ���� + ���� = �0 00 0
�
�� �1 00 0
�+ �� �0 10 0
�+ �� �0 01 0
�+ �� �0 00 1
�= �0 00 0
�
��� 00 0
�+ �0 ��0 0
�+ �0 0�� 0
�+ �0 00 ��
�= �0 00 0
�
��� ���� ��
�= �0 00 0
�
138
el-Madani
�� = �� = �� = �� = 0
Jadi ��,��,��,�� bebas linear, dimensi ruang vektor � �(2,ℝ) adalah |�|= 4
Contoh :
Andaikan � = ��0 00 0
�,�1 00 1
�,�0 11 0
�,�1 10 1
�� apakah s bebas linear?
Jawab :
S tidak bebas linear karena terdapat �0 00 0
�= 0� .
Bukti
�� �0 00 0
�+ �� �1 00 1
�+ �� �0 11 0
�+ �� �1 10 1
�= �0 00 0
�
�0 00 0
�+ ��� 00 ��
�+ �0 ���� 0
�+ ��� ��0 ��
�= �0 00 0
�
��� + �� �� + ���� �� + ��
�= �0 00 0
�
�� = 0
�� + �� = 0
0+ �� = 0
�� = 0
�� + �� = 0
�� + 0 = 0
�� = 0
Jadi �� = �� = �� = 0 akan tetapi �� belum tentu nol, sehingga s gayut linear.
Contoh :
Andaikan � = ��0 01 0
�,�0 11 0
�,�1 00 1
�,�1 10 1
�� apakah bebas linear atau gayut
linear?
Jawab :
�� �0 01 0
�+ �� �0 11 0
�+ �� �1 00 1
�+ �� �1 10 1
�= �0 00 0
�
�0 0�� 0
�+ �0 ���� 0
�+ ��� 00 ��
�+ ��� ��0 ��
�= �0 00 0
�
��� + �� �� + ���� + �� �� + ��
�= �0 00 0
�
��� + �� = 0 → �� = −���� + �� = 0 → �� = −���� + �� = 0 → �� = −��
� gayut linear
139
el-Madani
Contoh :
Andaikan � = ��0 01 0
�,�0 11 0
�,�1 00 1
�,�1 00 0
�� apakah bebas linear atau gayut
linear?
Jawab :
�� �0 01 0
�+ �� �0 11 0
�+ �� �1 00 1
�+ �� �1 00 0
�= �0 00 0
�
�0 0�� 0
�+ �0 ���� 0
�+ ��� 00 ��
�+ ��� 00 0
�= �0 00 0
�
��� + �� ���� + �� ��
�= �0 00 0
�
�� = �� = 0
�� + �� = 0
0+ �� = 0
�� = 0
�� + �� = 0
�� + 0 = 0
�� = 0
Jadi s adalah bebas linear.
Contoh :
Andaikan diketahui sebuah matriks ���� ������ ���
� tentukan ��,��,��,�� agar bebas
linear !
Jawab :
���� ������ ���
�= ���� + ���� + ���� + ����
Misal kita ambil ��,��,��,�� = �0 01 0
�,�0 11 0
�,�1 00 1
�,�1 00 0
�
���� ������ ���
�= �� �0 01 0
�+ �� �0 11 0
�+ �� �1 00 1
�+ �� �1 00 0
�
���� ������ ���
�= �0 0�� 0
�+ �0 ���� 0
�+ ��� 00 ��
�+ ��� 00 0
�
���� ������ ���
�= ��� + �� ���� + �� ��
�
��� = ��
��� = ��
140
el-Madani
��� = �� + ��
��� = ��� + ��
�� = ��� − ���
�� + �� = ���
�� + ��� = ���
�� = ��� − ���
���� ������ ���
�= (��� − ���)�� + ����� + ����� + (��� − ���)��
Contoh :
Andaikan ℋ = ���0 � �0 0 �0 0 0
���,�,� ∈ ℝ� ⊂ � �(3,ℝ) , apakah termasuk ruang
vektor?
Jawab :
Untuk �,�,�,��,��,��∈ ℝ maka
�0 � �0 0 �0 0 0
�+ �0 �� ��
0 0 ��
0 0 0
�= �0 � + �� � + ��
0 0 � + ��
0 0 0
�
Karena � + ��∈ ℝ , � + ��∈ ℝ , � + ��∈ ℝ maka
�0 � + �� � + ��
0 0 � + ��
0 0 0
�∈ ℋ
Jadi ℋ tertutup terhadap penjumlahan.
Untuk � ∈ ℝ maka
� �0 � �0 0 �0 0 0
�= �0 �� ��0 0 ��0 0 0
�
Karena �� ∈ ℝ , �� ∈ ℝ , �� ∈ ℝ maka
�0 �� ��0 0 ��0 0 0
�∈ ℋ
Jadi ℋ tertutup terhadap perkalian dengan skalar. Karena dua syarat telah dipenuhi
maka ℋ adalah ruang vektor.
Contoh :
Jika diketahui ��(2,ℝ)= {�� ∈ � �(2,ℝ)|det� = 1}, maka apakah ��(2,ℝ)
termasuk ruang vektor?
Jawab :
141
el-Madani
Misalkan � = ���� ������ ���
� maka det� = ������ − ������ = 1.
Dari persamaan determinan tersebut maka tampak bahwa matriks anggota ��(2,ℝ)
tidak melalui (0,0,0) sehingga dapat disimpulkan bahwa ��(2,ℝ) bukan ruang
vektor.
Jika kita tidak bisa menemukan basis finit dari suatu ruang vektor, maka ruang
vektor tersebut berdimensi infinit.
Contoh :
Andaikan
ℬ = {�(��)|�� ∈ ℝ}
ℬ = {��,��,��,⋯ }
Dimana
�� = {��,��,��,⋯ } , �� = {0,��,��,��,⋯ } , �� = {0,0,��,��,��,⋯ }
(��)= ���� + ���� + ���� + ⋯
(��,��,��,⋯ )= ��(��,��,��,⋯ )+ ��(0,��,��,��,⋯ )+ ��(0,0,��,��,��,⋯ )+ ⋯
+ �� �0,0,⋯ ,0⏟���
,��,��,��,⋯ � + ⋯
(��,��,��,⋯ )= (����,����,����,⋯ )+ (0,����,����,����,⋯ )
+ (0,0,����,����,����,⋯ )+ ⋯
+ �0,0,⋯ ,0⏟���
,����,����,����,⋯ � + ⋯
(��,��,��,⋯ )= (���� + 0+ ⋯ ),(���� + ���� + 0+ ⋯ ),(���� + ���� + ����
+ 0+ ⋯ ),⋯ ,(���� + ������ + ⋯ + ����),⋯
�� = ���� → �� =����
�� = ���� + ���� → �� =�� − ����
��=�� −
������
��
⋮
�� = ���� + ������ + ⋯ + ����
⋮
PEMETAAN LINEAR
Andaikan (�,+,� ) dan (� ,+,�) masing-masing adalah ruang vektor. Suatu
pemetaan � yang didefinisikan sebagai
142
el-Madani
�:� ⟶ �
�:� ⟼ �(�)
maka pemetaan � disebut sebagai pemetaan linear jika memenuhi syarat berikut
1. �� = ��
2. Domain � adalah subruang vektor di �
3. ∀�,��∈ � maka �(� + ��)= �(�)+ �(��)
4. ∀� ∈ �,� ∈ � � ��� �(��)= ��(�)
Contoh :
Andaikan di ℝ�,� = �
������� dan didefinisikan suatu pemetaan
��:ℝ� ⟶ ℝ�
��:����� ⟶ �� ��
����� = �
����+ �
�������= �
� + ��� + ���+ ��
�∈ ℝ�
Apakah pemetaan tersebut merupakan pemetaan linear?
Jawab :
Pemetaan di atas sudah memenuhi syarat ke-1.
�� ������+ �
��
��
���� = �� ��
� + ��
� + ��
�+ ���� = �
� + ��+ ��� + ��+ ���+ ��+ ��
�
�� ������� + �� ��
��
��
���� = �
� + ��� + ���+ ��
�+ �
��+ ����+ ����+ ��
�= �
� + ��+ 2��� + ��+ 2���+ ��+ 2��
�
Karena �� ������+ �
��
��
���� ≠ �� ��
����� + �� ��
��
��
���� maka pemetaan �� tersebut bukan
pemetaan linear.
Contoh:
Andaikan diketahui �°(ℝ) adalah himpunan fungsi-fungsi kontinyu (fungsi yang
dapat dideferensialkan) maka jika didefinisikan suatu pemetaan berikut
�
��∶ �°(ℝ)⟶ �°(ℝ)
143
el-Madani
�
��∶ � ⟶
��
��
apakah pemetaan terebut merupakan pemetaan linear?
Jawab :
Andaikan � ∈ ℝ ; �,� ∈ �°(ℝ) maka
�
�
��(� + �)=
��
��+��
���
��(��)= �
��
��
� m em enuhi syarat 2 dan 3
Andaikan ��(ℝ)⊂ �°(ℝ) dimana ��(ℝ)= ��� ∈ �°(ℝ)���
��∈ �°(ℝ)� yaitu
himpunan fungsi-fungsi kontinu yang turunannya juga kontinyu.
Jika ��,�� ∈ ��(ℝ) maka
�
��(�� + ��)=
�����
+�����
Karena ��,�� ∈ ��(ℝ) maka
���
��∈ ��(ℝ) ,
���
�� ∈ ��(ℝ) sehingga �
�
��(�� + ��)�∈
��(ℝ) yang berarti bahwa �� + �� ∈ ��(ℝ) sehingga memenuhi syarat ke-1 dan ke-2
�
��(���)= �
�����
Karena � ∈ ℝ; ��,∈ ��(ℝ) maka
���
��∈ ��(ℝ) ,α
���
�� ∈ ��(ℝ) sehingga �
�
��(���)�∈
��(ℝ) yang berarti bahwa ��� ∈ ��(ℝ) sehingga memenuhi syarat ke-1 dan ke-3.
Jadi ��(ℝ) adalah subruang vektor di �°(ℝ) dan pemetaannya adalah pemetaan
linear.
Contoh :
Jika matriks � ∈ ��(� × �,�), pemetaan �� didefinisikan ��:�� ⟶ �� dengan ��
anggotanya adalah matriks kolom � × 1, sedangkan �� anggotanya adalah matriks
kolom � × 1
� = �
��⋮���→ �� ��
��⋮���� = �
��� … ���⋮ ⋱ ⋮
�� � ⋯ �� �
��
��⋮���= �
����� + ⋯ + �����⋮
�� ��� + ⋯ + �� ���
�∈ ��
Apakah pemetaan tersebut merupakan pemetaan linear?
Jawab :
Berdasarkan definisi pemetaan di atas maka dapat dituliskan sebagai berikut.
��:�� ⟶ ��
��:� ⟼ ��(�)= ��
144
el-Madani
dengan � ∈ ��,��(�)= �� ∈ �� sehingga telah terpenuhi syarat pertama.
��(� + �)= �(� + �)
Ingat bahwa pada operasi matriks berikut
�(� + �)= �� + ��
agar matriks B dan C dapat dijumlahkan, maka matriks B dan C harus memiliki
ukuran yang sama, sehingga dapat diterapkan pada �(� + �) dimana kedua matriks
� memiliki ukuran yang sama yaitu matrik kolom � × 1 dengan demikian dapat
diperoleh hasil berikut.
��(� + �)= �� + ��
��(� + �)= ��� + ���
Dengan demikian terpenuhi syarat ke-2.
Jika � ∈ ℝ,� ∈ �� maka
��(��)= �(��)
��(��)= ���
��(��)= �(���)
Terpenuhi syarat ke-3
Jadi pemetaan �� adalah pemetaan linear.
ISOMORFISME adalah pemetaan linear yang bijektif (satu-satu dan
menyeluruh). Dua ruang vektor yang berdimensi finit dan sama, dalam lapangan (�)
yang sama maka kedua ruang vektor tersebut isomorfis. Andaikan V dan W isomorfis
(� ≅ � ) maka himpunan yang beranggotakan SEMUA isomorfisme dari V menuju
ke W (� → � ) lazim dituliskan ��(�,� ). Jika V = W maka dituliskan ��(�). Jika
� = � = �� maka ditulis ��(��)= ��(�,�).
Jika f adalah pemetaan linear �:� → � maka range � = im (�) dan
merupakan subruang vektor di W. Jika ��,�� ∈ im (�) maka �� + �� ∈ im (�),
jika � ∈ � ⟹ ��� ∈ im (�) . Karena �� ∈ im (�) maka ada �� dengan sifat
�(��)= �� dan karena �� ∈ im (�) maka ada �� dengan sifat �(��)= ��
sehingga
�� + �� = �(��)+ �(��)
�� + �� = �(�� + ��)
Dengan demikian berarti �� + �� ∈ dom ain � dan �(�� + ��)= �� + �� ∈ im (�)
Jika � ∈ � maka
145
el-Madani
��� = ��(��)
��� = �(���)⟹ ��� ∈ im (�)
Gambar di samping adalah ilustrasi dari
penjelasan di atas.
Untuk ruang vektor V dengan
dim (�)= ∞ dan � ⊂ �, maka dim (� )
bisa infinit atau finit. Dimensi dari Range (�)
dari pemetaan linear disebut sebagai
Rank (�). Jadi
Rank (�)= dim �Range (�)�
Jika Rank (�)= 0 , maka f dikatakan singular. Subruang vektor ,dalam suatu
ruang vektor, terkecil adalah sub ruang vektor yang berisi vektor nol (�). Jika f
singular maka
Rank (�)= {��}
sehingga
∀� ∈ � ⟹ �(�)= ��
Pemetaan singular tidak harus diwakili oleh matriks nol.
Soal :
Andaikan (�,+,�) adalah ruang vektor, {��,��,… ,��} adalah basis bagi V, berikan
basis baru bagi V yang dikonstruksi dari {��,��,… ,��}.
Jawab :
Ambil � ∈ ��(�,�)
�� = ����� + ����� + ⋯ + �����
�� = ����� + ����� + ⋯ + �����
⋮
�� = ����� + ����� + ⋯ + ����� = ������
�
���
⋮
�� = ����� + ����� + ⋯ + �����
Misalkan {��,��,… ,��} adalah basis baru, maka agar menjadi basis harus bebas
linear.
x
y
x
f (x) = y
146
el-Madani
�����
�
���
= ��
���������
�
���
�
���
= ��
��������
�
���
� ��
�
���
= ��
�����
�
���
= ��
Maka �� = 0 yang berarti
������
�
���
= 0
[�]�
��⋮���= 0
[���][�]�
��⋮���= [���]�
0⋮0�
[�]�
��⋮���= �
0⋮0�
�
��⋮���= �
0⋮0�
Karena �
��⋮���= �
0⋮0� hal ini berarti bahwa ���� adalah bebas linear sehingga ��
adalah basis baru bagi V.
Andaikan f adalah pemetaan linear yang didefinisikan �:� → � dengan
{��,��,… ,��} adalah basis bagi V dan {��,��,… ,��} adalah basis bagi W. Jika
� ∈ � ⟹ � = �����
�
���
�(�)= � ������
�
���
�
147
el-Madani
�(�)= ����(��)
�
���
Dimana �(��)∈ � , jika
� ∈ � ⟹ � = �����
�
���
Sehingga
�(��)= ������
�
���
Dengan demikian maka
�(�)= ����(��)
�
���
�(�)= ���������
�
���
�
���
�����
�
���
= ��������
�
���
� ��
�
���
�����
�
���
− ��������
�
���
� ��
�
���
= ��
���� − ������
�
���
� ��
�
���
= ��
karena �� adalah basis maka �� ≠ 0 sehingga
�� − ������
�
���
= 0
�� = ������
�
���
�
��⋮���
��(�)
= �
��� ⋯ ���⋮ ⋱ ⋮
�� � ⋯ �� ��
������������
�
��⋮���
��
148
el-Madani
Jadi pemetaan linear dapat dinyatakan dalam matriks.
Berikut adalah bagan pemetaan linear
Andaikan ���� = {�� + ��� + ���� + ���
�|��,��,��,�� ∈ ℝ}, maka ���� adalah
ruang vektor.
Bukti :
(�� + ��� + ���� + ���
�)+ (�� + ��� + ���� + ���
�)
= (�� + ��)+ (�� + ��)� + (�� + ��)�� + (�� + ��)�
�
Jika � = 0+ 0� + 0�� + 0�� dan misalkan
��(�)= 1
��(�)= �
��(�)= ��
��(�)= ��
Maka
�� + ��� + ���� + ���
� = ����(�)+ ����(�)+ ����(�)+ ����(�)
Jadi {��,��,��,��} adalah basis bagi vektor dimensi 4
Andaikan � adalah pemetaan yang didefinisikan
�:���� ⟶ ����
�:� ⟼ ��(�)=��
��
�:�� + ��� + ���� + ���
� ⟼ ��(�)= �� + 2��� + 3���� ⟷ �
��2��3��0
�
� ∈ � � ∋ � = �(�) f
��� �� ������ � (�,� )
�
��⋮��� ∈ �� �� ∋ �
��⋮��
�= �
��� ⋯ ���⋮ ⋱ ⋮
�� � ⋯ �� ���
��⋮��� � ∈ � �(� × �,�)
149
el-Madani
�:�
��������
�⟼ �
��2��3��0
�
Jika pemetaan tersebut dinyatakan dalam matriks menjadi
�
0 10 0
0 02 0
0 00 0
0 30 0
�
�����������
�
��������
�= �
��2��3��0
�
�(ℝ,ℝ,ℝ) adalah himpunan semua fungsi dari ℝ ke ℝ yang dapat dituliskan
sebagai deret Taylor dengan radius konvergensi ℛ. Apakah �(ℝ,ℝ,ℝ) termasuk
ruang vektor atau bukan? Jika ruang vektor berapakah dimensinya?
Andaikan didefinisikan
�:ℝ ⟶ ℝ
Sedangkan
�(�)= �(��)+��(��)
1!(� − ��)+
���(��)
2!(� − ��)
� + ⋯
�(�)= ��(�)(��)
�!(� − ��)
�
�
���
Untuk �� = 0
�(�)+ �(�)= ��(�)(0)
�!��
�
���
+ ��(�)(0)
�!��
�
���
�(�)+ �(�)= �1
�!��(�)(0)+ �(�)(0)���
�
���
�(�)+ �(�)= �1
�!(� + �)(�)(0)��
�
���
Untuk � ∈ ℝ maka
��(�)= ���(�)(0)
�!��
�
���
��(�)= �1
�!�(�)(�)(0)��
�
���
��(�)= �1
�!(��)(�)(0)��
�
���
150
el-Madani
Jika ��(�)= �� ⟹ {��,��,��,… } jumlahnya ∞
� ⊂ �(ℝ,ℝ,ℝ)⟹ �(�)= ��(�)(0)
�!��
�
���
= ��(�)(0)
�!��(�)
�
���
� ⟷
⎣⎢⎢⎢⎢⎡�(0)
��(0)
���(0)
2!⋮∞ ⎦
⎥⎥⎥⎥⎤
Jadi �(ℝ,ℝ,ℝ) adalah ruang vektor dengan dimensi infinit (∞ ).
Jika didefinisikan pemetaan
��:�(ℝ,ℝ,ℝ)⟶ �(ℝ,ℝ,ℝ)
��:�(�)⟼ ��(�)=��
��
��:�(�)= ��(�)(0)
�!��
�
���
⟼ ��(�)= ��(�)(0)
�!�����
�
���
Sehingga
��(�)= ��(�)(0)
�!�����
�
���
��(�)= 0+ ��(�)(0)
�(� − 1)!�����(�)
�
���
��(�)= ��(�)(0)
(� − 1)!����(�)
�
���
��(�)= �(�)(0)��(�)+�(�)(0)
1!��(�)+
�(�)(0)
2!��(�)+ ⋯
Jika dinyatakan dalam matriks adalah sebagai berikut.
151
el-Madani
⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡�(�)(0)
�(�)(0)
�(�)(0)
2!�(�)(0)
3!�(�)(0)
4!⋮ ⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
=
⎣⎢⎢⎢⎢⎡0 1 00 0 20 0 0
0 0 ⋯0 0 ⋯3 0 ⋯
0 0 00 0 0⋮ ⋮ ⋮
0 4 ⋯0 0 ⋯⋮ ⋮ ⋱⎦
⎥⎥⎥⎥⎤
⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡�(0)
�(�)(0)
�(�)(0)
2!�(�)(0)
3!�(�)(0)
4!⋮ ⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
Andaikan f adalah suatu pemetaan dari ruang vektor V menuju lapangan � atau
dapat dinotasikan sebagai berikut
�:� ⟶ �
maka f disebut sebagai FUNGSIONAL LINEAR atau FORMA LINEAR.
Contoh :
� ��
�
��
:��(ℝ,ℝ)⟶ ℝ
� ��
�
��
:� ⟼ � �(�)��
�
��
Domain dari pemetaan ini bukan semua anggota vektor ��(ℝ,ℝ), akan tetapi
domainnya adalah fungsi-fungsi yang memenuhi syarat perlu berikut.
� �(�)��
�
��
< ∞ ⟹ lim�→ ±�
�(�)= 0
Jadi domainnya adalah fungsi-fungsi yang integralnya finit. Fungsi konstan tidak
termasuk dalam domain bagi pemetaan ini. Sifat-sifat pemetaan tersebut adalah
sebagai berikut.
� (� + �)(�)��
�
��
= � �(�)��
�
��
+ � �(�)��
�
��
� ��(�)��
�
��
= � � �(�)��
�
��
Himpunan dari semua fungsional linear disebut sebagai RUANG DUAL atau
RUANG JODOH yang dinotasikan V*. Ruang dual V* adalah ruang vektor.
Andaikan �,� ∈ �∗ dan didefinisikan
�:� ⟶ �
152
el-Madani
�:� ⟶ �
maka
(� + �)(�)= �(�)+ �(�), ∀� ∈ �
(��)(�)= ��(�), ∀� ∈ �
Fungsi nol dari fungsi linear adalah fungsional nol yaitu fungsi yang memetakan V
ke 0.
OPERATOR
Andaikan Ω adalah pemetaan linear Ω:� ⟶ � maka Ω disebut sebagai
operator pada V. Apabila pemetaan Ω adalah bijektif maka pemetaan ini akan
memiliki invers, dan Ω tergolong permutasi.
Andaikan V dan W adalah ruang vektor, pemetaan f didefinisikan �:� ⟶ �
sehingga f adalah pemetaan linear, maka
kernel (�)= ker(�)= {� ∈ �|�(�)= ��}
Jika f adalah pemetaan yang bijektif, maka ker(�)= �� .
Bukti
�(��)= �(� − �)
�(��)= �(�)− �(�)
�(��)= �� − ��
�(��)= ��
Atau
�(��)= �(0�)
�(��)= 0�(�)
�(��)= 0��
�(��)= ��
Contoh :
��:�(ℝ,ℝ,ℝ)⟶ �(ℝ,ℝ,ℝ)
��:� ⟼ ��� =��
��
Kernelnya adalah
�
000⋮
�= �
0 1 00 0 2
0 0 ⋯0 0 ⋯
0 0 0⋮ ⋮ ⋮
3 0 ⋯⋮ ⋮ ⋱
��
�00⋮
�
Jadi kernelnya adalah fungsi konstan �(�)= �
153
el-Madani
�(�)= �(��)+��(��)
1!(� − ��)+
���(��)
2!(� − ��)
� + ⋯
�(�)= � + 0+ 0+ ⋯
�(�)= �
Contoh :
Pada pemetaan ∫ ���
��:��(ℝ,ℝ)⟶ ℝ maka kernelnya adalah fungsi gasal, atau
fungsi lain yang nilai integralnya adalah nol.
Gambar di samping adalah gambar
fungsi yang hasil integralnya nol.
Sifat-sifat kernel dari pemetaan
�:� ⟶ �
1. �,��∈ ker(�)
�(� + ��)= �(�)+ �(��)
�(� + ��)= �� + ��
�(� + ��)= ��
Jadi (� + ��)∈ ker(�)
2. � ∈ ker(�),� ∈ �
�(��)= ��(�)
�(��)= ���
�(��)= ��
Jadi �� ∈ ker(�)
Berdasarkan sifat di atas maka ker(�) merupakan ruang vektor, sehingga dapat
dikatakan sebagai subruang vektor di domain.
TEOREMA
Andaikan �:� ⟶ � adalah pemetaan linear, maka f injektif jika dan hanya jika
ker(�)= {��}.
Bukti
Andaikan ker(�)= {��}, � ≠ �� tetapi �(� − ��)= ��. Karena ker(�)= {��},
maka menuntut � − ��= �� sehingga
� = �� + ��
� = ��
x
y
154
el-Madani
Hal ini berkebalikan dengan pernyataan bahwa � ≠ �� sehingga dapat disimpulkan
bahwa f adalah injektif.
SOAL :
Andaikan � = ��+ �, � ∈ ker(�), apakah pemetaan f ini bersifat injektif ?
Jawab :
�(�)= �(��+ �)
�(�)= �(��)+ �(�)
�(�)= �(��)+ ��
�(�)= �(��)
Jadi �(�)= �(��) menunjukkan image dari �(�) sama
dengan image dari �(��), padahal � ≠ ��. Karena � dan �� adalah anggota yang
berbeda dari V tetapi memiliki image yang sama maka pemetaan f tidak bersifat
injektif.
Range ( f ) adalah subruang vektor di W jika pemetaan f memenuhi
� ∶ � ⟶ �
�:� ⟼ �(�)
DEFINISI
Andaikan �,� adalah ruang vektor di atas lapangan � dan � ∶ � ⟶ � adalah
pemetaan linear serta � ∈ � diketahui, maka � dikatakan membangkitkan sistem
persamaan linear di � ∈ � dan sistem persamaan itu dapat dituliskan sebagai
berikut
�(�)= �
Apabila � = �� maka �(�)= �� disebut sebagai sistem persamaan homogen.
Jika di � dipilih basis {��,��,��,⋯ ,��} maka � ∈ � dapat diwakili oleh
matriks
�
����⋮��
�
Jika di � dipilih basis {��,��,��,⋯ ,�� } maka � ∈ � dapat diwakili oleh
matriks
f
f
v
v’
w
V W
155
el-Madani
�
����⋮��
�
Untuk
� ∶ � ⟶ �
�:� ⟼ �(�)= �
Maka � dapat diwakili oleh matriks berikut
�
��� ������ ���
⋯ ���⋯ ���
⋮ ⋮�� � �� �
⋱ ⋮⋯ �� �
�
Sehingga pemetaan �(�)= � dapat diwakili oleh matriks
�
��� ������ ���
⋯ ���⋯ ���
⋮ ⋮�� � �� �
⋱ ⋮⋯ �� �
�
����������������
�
����⋮��
�
��
= �
����⋮��
�
��
Atau dapat dituliskan
����� + ����� + ⋯ + ����� = ��
⋮
�� ��� + �� ��� + ⋯ + �� ��� = ��
Apabila � injektif dan � = �� maka ��,��,… ,�� = 0 karena pada pemetaan
injektif �(�)= �� sehingga dapat dikatakan � adalah ker(�). Sebagaimana teorema
sebelumnya untuk pemetaan injektif ker(�)= {��} sehingga � = �� .
Jika � = � , hal ini berarti bahwa dim� = dim� = � maka � bisa diwakili
��(� ≅ ��) begitu juga dengan � bisa diwakili ��(� ≅ ��) maka pemetaan
� ∶ � ⟶ �
� ∶ �� ⟶ ��
Sehingga
� ⟷ �
����⋮��
�⟶ �
��� ⋯ ���⋮ ⋱ ⋮��� ⋯ ���
��
����⋮��
�= �
����⋮��
�
Andaikan � adalah pemetaan bijektif (satu-satu dan menyeluruh), maka
domain � adalah seluruh anggota � dan range � adalah seluruh anggota � . Karena
pemetaan bijektif maka untuk setiap � ∈ � ada invers image di �. Hal ini menuntut
156
el-Madani
� adalah invertibel sehingga wakilan matriks dari � adalah matriks yang
determinannya ≠ 0, sehingga ada matriks inversnya.
� ∙� = �
� ∙� ∙��� = �∙���
� ∙�= ���
� = ���
Jika �(�)= �� maka wakilan matriksnya adalah
�
��� ������ ���
⋯ ���⋯ ���
⋮ ⋮��� ���
⋱ ⋮⋯ ���
��
����⋮��
�= � �
����⋮��
�
�
��� ������ ���
⋯ ���⋯ ���
⋮ ⋮��� ���
⋱ ⋮⋯ ���
��
����⋮��
�− � �
����⋮��
�= 0
��
��� ������ ���
⋯ ���⋯ ���
⋮ ⋮��� ���
⋱ ⋮⋯ ���
�− ���
����⋮��
�= 0
��
��� ������ ���
⋯ ���⋯ ���
⋮ ⋮��� ���
⋱ ⋮⋯ ���
�− �
�� 00 ��
⋯ 0⋯ 0
⋮ ⋮0 0
⋱ ⋮⋯ ��
�� = 0
�
��� − �� ������ ��� − ��
⋯ ���⋯ ���
⋮ ⋮��� ���
⋱ ⋮⋯ ��� − ��
�= 0
��,��,��,… ,�� adalah swanilai atau eigenvalue
Jika � dan � ∈ � diketahui
���� ⋯ ���⋮ ⋱ ⋮��� ⋯ ���
��
����⋮��
�= �
����⋮��
�
���� ⋯ ���⋮ ⋱ ⋮��� ⋯ ���
����� ⋯ ���⋮ ⋱ ⋮��� ⋯ ���
��1 ⋯ 0⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 1
��������
�
�
����⋮��
�= ���� ⋯ ���⋮ ⋱ ⋮��� ⋯ ���
��
����⋮��
�
157
el-Madani
���� ⋯ ���⋮ ⋱ ⋮��� ⋯ ���
����� ⋯ ���⋮ ⋱ ⋮��� ⋯ ���
����� ⋯ ���⋮ ⋱ ⋮��� ⋯ ���
�
��
���� ⋯ ���⋮ ⋱ ⋮��� ⋯ ���
��
����⋮��
�
= ���� ⋯ ���⋮ ⋱ ⋮��� ⋯ ���
��
����⋮��
�
⎣⎢⎢⎢⎡���� ���
� ����
0 ���� ���
�
���� ⋯ ���
�
���� ⋯ ���
�
0 0 ����
⋮ ⋮ ⋮0 0 ⋯
���� ⋯ ���
�
⋮ ⋱ ⋮⋯ 0 ���
� ⎦⎥⎥⎥⎤
⎣⎢⎢⎢⎡���
���
���
⋮���⎦⎥⎥⎥⎤
=
⎣⎢⎢⎢⎡���
���
���
⋮���⎦⎥⎥⎥⎤
Dari matriks di atas tampak bahwa �� dapat diperoleh ��� dimana keduanya
memenuhi persamaan berikut
��� = ������
�
���
⟷ �� = ��������
�
�
���
Sehingga
� = �����
�
���
� = ���������
�
�
���
��
�
���
� = ��������
�
���
��� ���
�
���
� = ���������
��
�
���
���
�
���
� = ������
�
�
���
Jika
�����
�
���
= �
�����������
�
���
�
���
= �
158
el-Madani
����������
�
���
� ��
�
���
= �
Karena �� basis maka �� ≠ 0 sehingga
��������
�
���
= 0
���� ⋯ ���⋮ ⋱ ⋮��� ⋯ ���
�
��
�
����⋮��
�= �
00⋮0
�
Maka �� = 0 (bebas linear)
Jika � memiliki basis {��,��,��,… ,��} dan {���,��
�,���,… ,��
�} maka ∃� ∈ ��(�,�)
sedemikian rupa sehingga berlaku
[���,��
�,���,… ,��
�]= [��,��,��,… ,��][�]
Atau
��� = ������
�
���
Jika � memiliki basis {��,��,��,… ,��} dan {���,��
�,���,… ,��
�} maka ∃� ∈
��(�,�) sedemikian rupa sehingga berlaku
[���,��
�,���,… ,��
�]= [��,��,��,… ,��][�]
Atau
��� = ������
�
���
Jika diketahui �(�)= � sedemikian rupa sehingga
���� ⋯ ���⋮ ⋱ ⋮��� ⋯ ���
��
����⋮��
�= �
����⋮��
�⟷������
�
���
= ��
Dimana
��� = ������
�
���
Sehingga
� = �����
�
���
159
el-Madani
� = ������
�
�
���
� = ����������
�
���
�
���
� = ���������
�
���
� ��
�
���
� = �����
�
���
Maka
������
�
���
= ��
���� ��������
�
���
�
�
���
= ����
�
���
���
���������
�
���
�
�
���
��� = ����
�
���
���
�(��)��
�
���
��� = ����
�
���
���
[�][�]����
⋮����= [�]�
���
⋮����
[�]��[�][�]�����������
����
⋮����= �
���
⋮����
Dari uraian di atas tampak bahwa perubahan basis akan diikuti dengan perubahan
wakilan-wakilan matriksnya.
KONSEP PANJANG
Di dalam ruang vektor ℝ�, sebuah vektor � ⟷ �
��⋮��� dapat ditentukan panjang
vektor �(‖�‖) dengan mengacu pada konsep panjang yang berlaku. Dalam ruang
vektor (�,+,�) maka konsep panjang adalah suatu pemetaan yang didefinisikan
sebagai berikut.
160
el-Madani
‖ ‖:� ⟶ ℝ
‖ ‖:� ⟼ ‖�‖
Sifat-sifat yang dimiliki oleh konsep panjang tersebut adalah
1. ‖�‖ ≥ 0,‖�‖ = 0 ⟺ � = 0
2. ‖��‖ = |�|‖�‖
3. ‖� + ��‖ ≤ ‖�‖ + ‖��‖
Contoh :
Pada bidang X-Y untuk � = (�,�) dan konsep |�|= ��� + �� apakah memenuhi
sifat sebagai konsep panjang ?
Jawab :
Jika ��� + �� = 0 maka �� + �� = 0 dimana �� ≥ 0,�� ≥ 0 sehingga �� + �� =
0 ⟺ � = 0,� = 0 yang berarti � = (0,0)
|��|= �(��)� + (��)�
|��|= ���(�� + ��)
|��|= |�|��� + ��
|��|= |�||�|
Untuk � = (�,�),�� = (��,��) sehingga � + �� = (� + ��,� + ��) maka
|� + ��|= �(� + ��)� + (� + ��)�
dan
|�|+ |��|= ��� + �� + � ��� + ���
maka
|� + ��|≤ |�|+ |��|
Jadi konsep |�|= ��� + �� memenuhi sifat sebagai
konsep panjang.
Contoh :
Andaikan konsep panjang didefinisikan ‖�‖ = m ax(|�|,|�|), apakah memenuhi sifat
sebagai konsep panjang?
Jawab :
�
��
� + ��
�
��
� + ��
161
el-Madani
Sifat ke-1
Konsep tersebut selalu bernilai positif karena �,� dimutlakkan sehingga hasilnya
akan selalu positif sehingga memenuhi sifat ‖�‖ ≥ 0. Jika ‖�‖ = 0 maka
m ax(|�|,|�|)= 0, sehingga jika nilai maksimum dari mutlak salah satu komponen
adalah 0 maka komponen yang lain tidak mungkin bernilai lebih dari 0, dengan
demikian dapat disimpulkan
‖�‖ = 0 ⟺ � = 0,� = 0
Jadi sifat ke-1 terpenuhi.
Sifat ke-2
‖��‖ = max (|��|,|��|)
‖��‖ = m ax(|�||�|,|�||�|)
‖��‖ = |�|m ax(|�|,|�|)
‖��‖ = |�|‖�‖
Jadi sifat ke-2 dipenuhi
Sifat ke-3
‖� + ��‖ = m ax(|� + ��|,|� + ��|)≤ m ax(|�|+ |��|,|�|+ |��|)
max (|� + ��|,|� + ��|)≤ max (|�|,|�|)+ max (|��|,|��|)
‖� + ��‖ ≤ ‖�‖ + ‖��‖
Jadi sifat ke-3 terpenuhi.
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa ‖�‖ = m ax(|�|,|�|) memenuhi sifat
konsep panjang.
Ruang vektor dengan disertai konsep panjang disebut sebagai ruang bernorma
(�,‖∙‖).
Contoh :
Pada ruang vektor ��([�,�],ℝ) dengan � ∈ ��([�,�],ℝ), terdapat beberapa konsep
panjang diantaranya adalah
1. ‖�‖� = ∫ |�(�)|���
�
2. ‖�‖� = �∫ |�(�)|����
��� �⁄
3. ‖�‖� = �∫ |�(�)|����
��� �⁄
Berikut ini adalah bukti bahwa ‖�‖� memenuhi sifat-sifat sebagai konsep panjang.
162
el-Madani
Sifat ke-1
‖�‖� = � |�(�)|��
�
�
Karena �(�) dimutlakkan maka pasti positif, sehingga memenuhi sifat ke-1
‖�‖� = � |�(�)|��
�
�
≥ 0
‖�‖� = � |�(�)|��
�
�
= 0 ⟺ |�(�)|= 0
Sehingga �(�) harus merupakan fungsi nol (�(�)= �) ∀� ∈ [�,�].
Jika �(�)= � maka
‖�‖� = � |�|��
�
�
‖�‖� = � |0|��
�
�
‖�‖� = 0
Jadi ‖�‖� = 0 ⟺ � = �
Sifat ke-2
‖��‖� = � |��(�)|��
�
�
‖��‖� = � |�||�(�)|��
�
�
‖��‖� = |�|� |�(�)|��
�
�
‖��‖� = |�|‖�‖�
Jadi sifat ke-2 terpenuhi.
Sifat ke-3
‖� + �‖� = � |�(�)+ �(�)|��
�
�
≤ � (|�(�)|+ |�(�)|)��
�
�
163
el-Madani
� |�(�)+ �(�)|��
�
�
≤ � |�(�)|��
�
�
+ � |�(�)|��
�
�
‖� + �‖� ≤ ‖�‖� + ‖�‖�
Jadi terpenuhi sifat ke-3 sehingga ‖�‖� = ∫ |�(�)|���
� memenuhi konsep
panjang.
KONSEP JARAK
Perhatikan gambar di samping. Posisi titik
� terhadap pusat koordinat dinyatakan dengan
vektor �� sedangkan posisi titik � dinyatakan
dengan vektor �� . Vektor ������� menyatakan
vektor posisi � terhadap titik �. Jarak antara �
dan � didefinisikan sebagai berikut.
�(�,�)= �������� �
�(�,�)= ‖�� − ��‖
�(�,�)= �(�� − ��)� + (�� − ��)� + (�� − ��)�
Pada ruang vektor (�,‖∙‖) didefinisikan suatu konsep jarak �(�,��)=
‖��− �‖, sedemikian rupa sehingga memenuhi sifat
1. �(�,��)≥ 0 ,�(�,��)= 0 ⟺ � = ��
2. �(�,��)= �(��,�) karena ‖��− �‖ = ‖� − ��‖
3. �(�,��)≤ �(�,���)+ �(���,��)
Pada suatu ruang vektor (�,∙,�) bisa ditemukan konsep jarak sedemikian rupa
sehingga memenuhi definisi
�:� × � ⟶ ℝ
�:(�,��)⟼ �(�,��)
Contoh :
Pada ruang vektor ��([�,�],ℝ) didefinisikan ��(�,�)= ‖� − �‖� = ∫ |�(�)−�
�
�(�)|��, apakah konsep tersebut memenuhi syarat konsep panjang?
Jawab :
Sifat ke-1
x
y
z �
�������
��
��
�
164
el-Madani
��(�,�)= ‖� − �‖�
��(�,�)= � |�(�)− �(�)|��
�
�
Dimana nilai dari ∫ |�(�)− �(�)|���
� pastinya positif sehingga ∫ |�(�)−
�
�
�(�)|�� ≥ 0
��(�,�)= 0
� |�(�)− �(�)|��
�
�
= 0
|�(�)− �(�)|= 0
�(�)− �(�)= 0
�(�)= �(�)
Atau
Jika �(�)= �(�) maka
��(�,�)= � |�(�)− �(�)|��
�
�
��(�,�)= � |0|��
�
�
��(�,�)= 0
Jadi ��(�,�)= 0 ⟺ �(�)= �(�) sehingga sifat ke-1 terpenuhi.
Sifat ke-2
��(�,�)= ‖� − �‖�
��(�,�)= � |�(�)− �(�)|��
�
�
Karena �(�)− �(�) dalam tanda mutlak maka jika diubah menjadi �(�)− �(�)
akan memberikan hasil yang sama
��(�,�)= � |�(�)− �(�)|��
�
�
��(�,�)= ‖� − �‖�
��(�,�)= ��(�,�)
Jadi sifat ke-2 terpenuhi
165
el-Madani
Sifat ke-3
� |�(�)− �(�)|��
�
�
≤ � |�(�)− ℎ(�)|��
�
�
+ � |ℎ(�)− �(�)|��
�
�
��(�,�)≤ ��(�,ℎ)+ ��(ℎ,�)
Jadi sifat ke-3 terpenuhi.
Karena semua syarat konsep jarak terpenuhi maka konsep ��(�,�)= ‖� − �‖� =
∫ |�(�)− �(�)|���
� merupakan konsep jarak.
Beberapa contoh konsep jarak di atas
adalah konsep jarak yang diimbas oleh
norma. Berikut adalah contoh konsep jarak
yang tidak diimbas oleh norma.
Andaikan didefinisikan konsep jarak
berikut
��(�,�)= �
|��|+ |�� | jika � dan � tidak segaris
|�� − �� | jika � dan � segaris radial
�
Bukti bahwa ��(�,�) memenuhi syarat sebagai konsep jarak adalah sebagai berikut.
Sifat ke-1
��(�,�)≥ 0 untuk � dan � segaris maupun tidak segaris, sudah pasti tidak pernah
negatif karena tedapat tanda mutlak.
��(�,�)= 0
|�� − �� |= 0
�� − �� = 0
�� = ��
Karena �� = �� maka � = �, sehingga sifat ke-1 terpenuhi
Sifat ke-2
��(�,�)= |��|+ |�� |
��(�,�)= |�� |+ |��|
��(�,�)= ��(�,�)
atau
y
x
�
�
�
�
�
��
��
��
��
��
166
el-Madani
��(�,�)= |�� − �� |
��(�,�)= |�� − ��|
��(�,�)= ��(�,�)
Jadi sifat ke-2 terpenuhi.
Sifat ke-3
|��|+ |��|≤ (|��|+ |�� |)+ (|�� |+ |��|)
��(�,�)≤ ��(�,�)+ ��(�,�)
Jadi sifat ke-3 terpenuhi.
Contoh :
Di ruang vektor (�,‖∙‖�,‖∙‖�) dan didefinisikan ‖�‖ = ‖�‖� + ‖�‖�. Apakah ‖�‖
memenuhi konsep panjang ?
Jawab :
Sifat ke-1
‖�‖ = ‖�‖� + ‖�‖� ≥ 0
Jika ‖�‖ = ‖�‖� + ‖�‖� = 0 maka ‖�‖� = 0, ‖�‖� = 0 sehingga dapat
disimpulkan bahwa � = 0. Jadi ‖�‖ = 0 ⟺ � = 0. Jadi sifat ke-1 terpenuhi.
Sifat ke-2
‖��‖ = ‖��‖� + ‖��‖�
‖��‖ = |�|‖�‖� + |�|‖�‖�
‖��‖ = |�|(‖�‖� + ‖�‖�)
‖��‖ = |�|‖�‖
Jadi sifat ke-2 terpenuhi.
Sifat ke-3
‖� + ��‖ = ‖� + ��‖� + ‖� + ��‖� ≤ ‖�‖� + ‖��‖� + ‖�‖� + ‖��‖�
‖� + ��‖� + ‖� + ��‖� ≤ ‖�‖� + ‖�‖� + ‖��‖� + ‖��‖�
‖� + ��‖ ≤ ‖�‖ + ‖��‖
Jadi sifat ke-3 terpenuhi.
Karena tiga syarat/sifat konsep panjang terpenuhi maka ‖�‖ = ‖�‖� + ‖�‖�
merupakan konsep panjang.
Contoh :
Jika didefinisikan suatu konsep ‖�‖� �� = m ax(‖�‖�,‖�‖�), apakah konsep
tersebut memenuhi syarat konsep panjang ?
167
el-Madani
Jawab :
Sifat ke-1
‖�‖� �� = max (‖�‖�,‖�‖�)≥ 0
Jika
‖�‖� �� = 0
m ax(‖�‖�,‖�‖�)= 0
Mestinya jika nilai maksimal salah satu nol, maka yang lain tidak mungkin lebih dari
nol dan tidak mungkin negatif sehingga ‖�‖� = ‖�‖� = 0. Jadi sifat ke-1 terpenuhi.
Sifat ke-2
‖��‖� �� = max (‖��‖�,‖��‖�)
‖��‖� �� = max �|�|(‖�‖�,‖�‖�)�
‖��‖� �� = |�|m ax(‖�‖�,‖�‖�)
‖��‖� �� = |�|‖�‖� ��
Jadi sifat ke-2 terpenuhi
Sifat ke-3
‖� + ��‖� �� = max (‖� + ��‖�,‖� + ��‖�)≤ max (‖�‖� + ‖��‖�,‖�‖� + ‖��‖�)
m ax(‖� + ��‖�,‖� + ��‖�)≤ m ax(‖�‖� + ‖��‖�,‖�‖� + ‖��‖�)
‖� + ��‖� �� ≤ m ax(‖�‖� + ‖�‖�)+ m ax(‖��‖� + ‖��‖�)
‖� + ��‖� �� ≤ ‖�‖� �� + ‖��‖� ��
Jadi sifat ke-3 terpenuhi.
Andaikan suatu fungsi �, dimana � adalah pemetaan �:ℝ ⟶ ℝ dan �� ∈ ℝ
maka � dikatakan kontinyu di �� jika
1. 000
limlim xfxfxfxxxx
2. ∀� > 0 ada � > 0 sedemikian rupa sehingga |�(�)− �(��)|< � jika
�(�,��)< �
Dengan mengetahui konsep jarak di ℝ maka � dikatakan kontinyu di �� jika
∀� > 0, ∃� > 0 sedemikian rupa sehingga ���(�)− �(��)� < � jika �(�,��)< �.
Andaikan �:� → � dan �� adalah konsep jarak di � dan �� adalah konsep jarak di
168
el-Madani
� maka � dikatakan kontinyu di �� jika ∀� > 0, ∃� > 0 sedemikian rupa sehingga
����(�)− �(��)� < � jika ��(�,��)< �.
Andaikan (��)= ��,��,��,… ∈ ℝ adalah barisan konvergen, dimana ��
konvergen menuju � jika
lim�→ �
�� = �
Atau ∀� > 0,∃� > 0 sedemikian rupa sehingga |� − ��|< � jika � > � . Pada
ruang vektor (�,�) terdapat (��)= ��,��,��,… dimana �� konvergen menuju �
jika ∀� > 0,∃� > 0 sedemikian rupa sehingga �(�,��)< � jika � > � .
BARISAN FUNDAMENTAL
Barisan ��,��,��,…disebut sebagai barisan fundamental (Cauchy) jika
∀� > 0,∃� > 0 sedemikian rupa sehingga �(��,�� )< �, ∀�,� > � . Jika (��)
konvergen maka (��) fundamental, jika (��) tidak fundamental maka (��) tidak
konvergen.
Contoh :
�� =1
�!
maka
|�� − �� |= �1
�!−1
� !�
|�� − �� |= �� !− �!
�!� !�
Barisan di atas merupakan barisan fundamental karena semakin besar � dan �
maka selisih antara keduanya semakin kecil, dan barisan di atas adalah
konvergen.
Jika (��) konvergen maka ∀� > 0,∃� dengan �(�,��)< � untuk � > � . Jika
ditemukan �
�> 0,∃� � sedemikian rupa sehingga �(�,��)<
�
� jika � > � �.
�(�� ,��)≤ �(�,�� )+ �(�,��)<�
2+�
2
�(�� ,��)< �
dimana � ,� > � �, sehingga dapat disimpulkan (��) fundamental. Suatu ruang
dikatakan lengkap jika barisan-barisan fundamentalnya konvergen.
Contoh
�� = 1
169
el-Madani
�� = 1+ 1
�� = 1+ 1+1
2!
�� = 1+ 1+1
2!+1
3!
⋮
�� = �1
�!
���
���
Setiap elemen/anggota dari barisan ini adalah bilangan rasional (ℚ). exnn
lim
dimana � adalah bilangan irasional, maka barisan ini dikatakan tidak konvergen
karena elemennya bilangan rasional sedangkan nilai limitnya irasional. Akan tetapi
barisan tersebut adalah fundamental.
Contoh :
Pada ��([0,1],ℝ) didefinisikan 1
01
dxxff dan �(�,�)= ‖� − �‖
x
y
1
1 0,5 0 x
y
1
1 �
� 0 �
���
��
�
���
��
��
x
y
1
1 0
��
� = 1
x
y
1
1 �
� 0 �
�
�
�
��
� = 2
x
y
1
1 �
� 0 �
�
�
�
��
� = 3
x
y
1
1 0
��
��
170
el-Madani
Barisan �� tidak konvergen tetapi fundamental.
��(�)=
⎩⎪⎨
⎪⎧0,0≤ � ≤
1
2−1
2�
1,1
2+1
2�≤ � ≤ 1
�
Semakin besar � dan � maka daerah yang diarsir akan semakin kecil yang berarti
deret fungsi ini fundamental.
PRODUK SKALAR
Sifat-sifat produk skalar
1. � ∙� ≥ 0,� ∙� = 0 ⟺ � = 0
2. �� ∙��� � = ��� ∙�� �
3. � ∙��� + �� = � ∙�� + � ∙�
4. �� ∙�� � = ��� ∙��∗
Jadi produk skalar adalah suatu skalar yang diperoleh dari dot product � dan �� yang
memenuhi sifat-sifat produk skalar dan � ∙�� tidak harus sama dengan ������ � cos�.
Pada ruang vektor (�,+,�) maka produk skalar adalah suatu pemetaan yang
didefinisikan sebagai berikut.
∙ = ⟨|⟩∶ (� × �)⟶ �
⟨|⟩∶ (�,��)⟼ � ∙��= ⟨�|��⟩ = ⟨�,��⟩
Sifat-sifat
1. ⟨�|�⟩ ≥ 0,⟨�|�⟩ = 0 ⟺ � = �
2. ⟨�|��⟩ = ⟨��|�⟩∗
3. ⟨�|���⟩ = �⟨�|��⟩
4. ⟨�|��+ ���⟩ = ⟨�|��⟩ + ⟨�|���⟩
Contoh :
171
el-Madani
Pada ��([�,�],ℝ)= �� ∈ ��([�,�],ℝ)|∫ |�(�)|����
�< ∞ � didefinisikan ⟨�|�⟩ =
∫ �∗(�)�(�)���
� apakah memenuhi sifat-sifat produk skalar?
Jawab :
Sifat ke-1
⟨�|�⟩ = � �∗(�)�(�)��
�
�
⟨�|�⟩ = � |�(�)|���
�
�
≥ 0
⟨�|�⟩ = 0
� |�(�)|���
�
�
= 0
|�(�)|� = 0
�(�)= 0
Jadi ⟨�|�⟩ = 0 ⟺ �(�)= 0
Sifat ke-2
⟨�|�⟩ = � �∗(�)�(�)��
�
�
⟨�|�⟩ = � ��(�)�∗(�)�∗��
�
�
⟨�|�⟩ = �� �∗(�)�(�)��
�
�
�
∗
⟨�|�⟩ = ⟨�|�⟩∗
Sifat ke-3
⟨�|��⟩ = � �∗(�)��(�)��
�
�
⟨�|��⟩ = � � �∗(�)�(�)��
�
�
⟨�|��⟩ = �⟨�|�⟩
172
el-Madani
Sifat ke-4
⟨�|� + ℎ⟩ = � �∗(�)��(�)+ ℎ(�)���
�
�
⟨�|� + ℎ⟩ = � ��∗(�)�(�)+ �∗(�)ℎ(�)���
�
�
⟨�|� + ℎ⟩ = � �∗(�)�(�)��
�
�
+ � �∗(�)ℎ(�)��
�
�
⟨�|� + ℎ⟩ = ⟨�|�⟩ + ⟨�|ℎ⟩
Ruang vektor yang disertai dengan produk skalar yang dipilih disebut ruang vektor
berproduk skalar. Konsep panjang dari produk skalar adalah ‖�‖ = � ⟨�|�⟩.
Andaikan ruang vektor (�,+,�) disertai produk skalar sehingga untuk
�,�� ∈ � maka
⟨�|��⟩ = � ∙�� ∈ �
Pemetaan
�:� × � ⟶ �
�:(�,��)⟼ �(�,��)
Dikatakan sebagai pemetaan bilinear jika memenuhi sifat berikut.
1. �(��,��)= ��(�,��)
2. �(�,���)= ��(�,��)
3. �(��,���)= ���(�,��)
4. �(�,��+ ���)= �(�,��)+ �(�,���)
5. �(� + ��,���)= �(�,���)+ �(��,���)
Apakah produk skalar ⟨|⟩ memenuhi pemetaan bilinear?
Bukti :
⟨��|��⟩ = ⟨��|��⟩∗
⟨��|��⟩ = (�⟨��|�⟩)∗
⟨��|��⟩ = �∗⟨��|�⟩∗
⟨��|��⟩ = �∗⟨�|��⟩
Dari sifat ini tampak bahwa ⟨ | ⟩ tidak memenuhi bilinear, kecuali jika � adalah
bilangan riil.
ORTHOGONAL (KETEGAKLURUSAN)
173
el-Madani
Dua vektor yang saling tegak lurus maka nilai dari produk skalarnya adalah nol.
� ∙�� = ������ � cos90
� ∙�� = ������ �0
� ∙�� = 0
Untuk �,�� ∈ � dikatakan saling tegak lurus/orthogonal jika
⟨�|��⟩ = 0.
Sifat-sifat norma dari produk skalar
1. ‖�‖ = � ⟨�|�⟩ = 0 ⟺ ⟨�|�⟩ = 0 ⟺ � = �
2. ‖��‖ = � ⟨��|��⟩
‖��‖ = � ⟨��|��⟩
‖��‖ = ��⟨��|�⟩
‖��‖ = ��(⟨�|��⟩)∗
‖��‖ = ��(�⟨�|�⟩)∗
‖��‖ = ���∗⟨�|�⟩∗
‖��‖ = �|�|�⟨�|�⟩
‖��‖ = �|�|�� ⟨�|�⟩
‖��‖ = |�|‖�‖
3. ‖� + ��‖� = ⟨� + ��|� + ��⟩
‖� + ��‖� = ⟨�|�⟩ + ⟨�|��⟩ + ⟨��|�⟩ + ⟨��|��⟩
‖� + ��‖� = ‖�‖� + ⟨�|��⟩ + ⟨�|��⟩∗ + ‖��‖�
‖� + ��‖� = ‖�‖� + ‖��‖� + 2 Re (⟨�|��⟩)
Karena Re(⟨�|��⟩)≤ |⟨�|��⟩|≤ ‖�‖‖��‖ atau 2 Re(⟨�|��⟩)≤ 2‖�‖‖��‖
Sehingga
‖� + ��‖� ≤ ‖�‖� + ‖��‖� + 2‖�‖‖��‖
‖� + ��‖� ≤ (‖�‖ + ‖��‖)�
Jika ‖�‖ = 1 maka � disebut vektor normal. Jika ‖�‖ ≠ 1, maka agar menjadi
normal
�� =�
‖�‖
Bukti bahwa �� normal adalah sebagai berikut
��
�
174
el-Madani
‖��‖ = ��
‖�‖�
‖��‖ =‖�‖
‖�‖= 1
Contoh :
Dari gambar di samping susunlah dua buah vektor yang saling
tegak lurus !
Jawab :
�� =��
��� �
Yang pertama dibuat vektor proyeksi � pada arah �� yaitu
vektor yang panjangnya � cos�
� cos�= ������� cos�
� cos� = ��∙�
Sedangkan vektornya adalah
���∙���� = �
Jadi vektor � adalah vektor proyeksi � yang arahnya
sama dengan arah vektor �� . Langkah berikutnya adalah
membuat vektor ��� yang tegak lurus dengan vektor
���∙���� = �. Berdasarkan gambar maka diperoleh
hubungan berikut.
��� = � − �
��� = � − ���∙����
Bukti bahwa � dan ��� tegak lurus
������ � = ����∙�����∙�� − ���∙�����
������ � = ���∙����∙� − ���∙����∙���∙����
������ � = ���∙�����∙�� − ���∙�����∙����∙��
������ � = ���∙�����∙�� − ���∙�����∙��1
������ � = 0
�
�� ��
�
�
�� ��
�
���∙���� = �
�
�� ��
�
���∙���� = �
���
175
el-Madani
Andaikan pada ruang vektor (�,+,�,⟨|⟩) terdapat himpunan {��,��,… ,��}
yang bebas linear dengan � ≤ dim �. Himpunan yang bebas linear tersebut dapat
dijadikan saling tegak lurus dan besarnya satu satuan dengan melakukan
orthonormalisasi GRAMM-SCHMITZ sebagai berikut.
�� ⟶ ��� =��‖��‖
�� ⟶ �� = �� − ⟨���|��⟩���
�� ⟶ ��� =��‖��‖
�� ⟶ �� = �� − ⟨���|��⟩��� − ⟨���|��⟩���
�� ⟶ ��� =��‖��‖
⋮
�� ⟶ �� = �� − �⟨���|��⟩���
���
���
�� ⟶ ��� =��‖��‖
Andaikan terdapat himpunan {��,��,��,… ,��}⊂ � dikatakan orthogonal jika ��
tegak lurus ��,∀�≠ � dan ⟨��|��⟩ = 0,∀�≠ �. Andaikan terdapat himpunan
{��,��,��,… ,��}⊂ � dikatakan orthonormal jika {��,��,��,… ,��} orthogonal dan
‖��‖ = 1∀�. Himpunan {��,��,��,… }⊂ � disebut orthonormal jika setiap sub
himpunan {���,���,���,… ,���}⊂ {��,��,��,… } orthonormal (dari bagian infinit
diambil bagian finit untuk diuji orthonormalnya, jika bagian finit orthonormal maka
bagian infinit juga orthonormal).
Contoh :
Andaikan ℂ� = {� = (��,��,��,… ,��)|�� ∈ ℂ}, maka produk skalarnya adalah
⟨�|��⟩ = ���∗��
�
�
���
Bukti bahwa produk skalar tersebut memenuhi syarat-syarat sebagai produk skalar
Sifat ke-1
⟨�|�⟩ = ���∗��
�
���
⟨�|�⟩ = �|��|�
�
���
≥ 0
176
el-Madani
⟨�|�⟩ = ���∗��
�
���
= 0 ⟺ � = 0
Sifat ke-2
⟨�|��⟩ = ���∗��
�
�
���
⟨�|��⟩ = �������∗
�
���
�
∗
⟨�|��⟩ = �����∗��
�
���
�
∗
⟨�|��⟩ = ⟨��|�⟩∗
Sifat ke-3
⟨�|���⟩ = ���∗���
�
�
���
⟨�|���⟩ = ����∗��
�
�
���
⟨�|���⟩ = �⟨�|��⟩
Sifat ke-4
⟨�|��+ ���⟩ = ���∗(��
�+ ����)
�
���
⟨�|��+ ���⟩ = ���∗��
�
�
���
+ ���∗��
��
�
���
⟨�|��+ ���⟩ = ⟨�|��⟩ + ⟨�|���⟩
Jika terdapat himpunan {(1,0,0,… ,0),(0,1,0,… ,0),… ,(0,0,0,… ,1)} maka
vektor ini adalah orthogonal (Besar masing-masing vektor 1, dan produk skalar satu
dengan lainnya nol). Jika {��,��,… ,��} orthonormal maka berlaku ������� = ���.
Himpunan vektor-vektor yang orthonormal adalah bebas linear.
Bukti
Jika {��,��,… ,��} orthonormal maka
�����
�
���
= �
177
el-Madani
Kedua ruas diproduk skalar dengan ��
���������
�
���
� = ������
���
�
���
������� = ����0���
���
�
���
��� = 0�������
����� = 0
�� = 0
TEOREMA PHYTAGORAS
Andaikan (�,+,�,⟨|⟩) adalah ruang berproduk skalar dan {��,��,… ,��}
himpunan orthonormal, maka untuk sembarang � ∈ � berlaku
‖�‖� = �|⟨��|�⟩|�
�
���
+ �� − �⟨��|�⟩��
�
���
�
�
Bukti
� = � − �⟨��|�⟩��
�
���������������
+ �⟨��|�⟩��
�
�����������
� = � + �
Jika � tegak lurus � maka
‖�‖� = ⟨�|�⟩
‖�‖� = ⟨� + �|� + �⟩
‖�‖� = ⟨� + �|� + �⟩
‖�‖� = ⟨�|�⟩ + ⟨�|�⟩ + ⟨�|�⟩ + ⟨�|�⟩
‖�‖� = ⟨�|�⟩ + ⟨�|�⟩ + ⟨�|�⟩ + ⟨�|�⟩∗
‖�‖� = ‖�‖� + ‖�‖� + 2 Re ⟨�|�⟩
Karena � tegak lurus � maka
⟨�|�⟩ = �� − �⟨��|�⟩��
�
���
��⟨��|�⟩��
�
���
�
178
el-Madani
⟨�|�⟩ = �����⟨��|�⟩
�
����������������
��� − ��⟨��|�⟩���������
��
�
���
���������
�
����������������
���
⟨�|�⟩ = �⟨��|�⟩
�
���
⟨�|��⟩ − ��������
�
���
�
���
�⟨��|�⟩���������
������
⟨�|�⟩ = �⟨��|�⟩
�
���
⟨�|��⟩ − ��������
�
���
�
���
����⟨��|�⟩���������
���
∗
⟨�|�⟩ = �⟨��|�⟩
�
���
⟨�|��⟩ − ��������
�
���
�
���
�⟨��|�⟩��������∗
⟨�|�⟩ = �⟨��|�⟩
�
���
⟨�|��⟩ − ��������
�
���
�
���
⟨��|�⟩∗�������
∗
⟨�|�⟩ = �⟨��|�⟩
�
���
⟨�|��⟩ − ��������
�
���
�
���
⟨�|��⟩�������
⟨�|�⟩ = �⟨��|�⟩
�
���
⟨�|��⟩ − ��������
�
���
�
���
⟨�|��⟩���
⟨�|�⟩ = �⟨��|�⟩
�
���
⟨�|��⟩ − �⟨��|�⟩⟨�|��⟩
�
���
���
⟨�|�⟩ = �⟨��|�⟩
�
���
⟨�|��⟩ − �⟨��|�⟩⟨�|��⟩
�
���
⟨�|�⟩ = 0
Sehingga
‖�‖� = ‖�‖� + ‖�‖�
‖�‖� = �� − �⟨��|�⟩��
�
���
�
�
+ ��⟨��|�⟩��
�
���
�
�
‖�‖� = �� − �⟨��|�⟩��
�
���
�
�
+ ��⟨��|�⟩
�
����������������
�����������
�
����������������
���
‖�‖� = �� − �⟨��|�⟩��
�
���
�
�
+ ��������
�
���
�
���
�⟨��|�⟩���������
������
179
el-Madani
‖�‖� = �� − �⟨��|�⟩��
�
���
�
�
+ ��������
�
���
�
���
����⟨��|�⟩���������
���
∗
‖�‖� = �� − �⟨��|�⟩��
�
���
�
�
+ ��������
�
���
�
���
�⟨��|�⟩��������∗
‖�‖� = �� − �⟨��|�⟩��
�
���
�
�
+ ��������
�
���
�
���
⟨��|�⟩∗�������
∗
‖�‖� = �� − �⟨��|�⟩��
�
���
�
�
+ ��⟨��|�⟩∗������
�
���
�
���
�������
‖�‖� = �� − �⟨��|�⟩��
�
���
�
�
+ ��⟨��|�⟩∗������
�
���
�
���
���
‖�‖� = �� − �⟨��|�⟩��
�
���
�
�
+ �⟨��|�⟩∗⟨��|�⟩
�
���
���
‖�‖� = �� − �⟨��|�⟩��
�
���
�
�
+ �|⟨��|�⟩|�
�
���
Atau
‖�‖� = �|⟨��|�⟩|�
�
���
+ �� − �⟨��|�⟩��
�
���
�
�
Berdasarkan persamaan tersebut berart bahwa
‖�‖� ≥ �|⟨��|�⟩|�
�
���
⟶ KETAKSAMAAN BESSEL
KETAKSAMAAN SCHWARTZ
Jika dari suatu himpunan orthogonal {�} diperoleh himpunan orthonormal
��
‖� ‖� maka dari ketaksamaan Bessel diperoleh
‖�‖� ≥ ���
‖�‖����
�
‖�‖� ≥ �����
‖�‖�∗
��
180
el-Madani
‖�‖� ≥ ��1
‖�‖⟨�|�⟩�
∗
�
�
‖�‖� ≥ �1
‖�‖(⟨�|�⟩)∗�
�
‖�‖� ≥1
‖�‖�|⟨�|�⟩|�
‖�‖�‖�‖� ≥ |⟨�|�⟩|�
‖�‖‖�‖ ≥ |⟨�|�⟩|
Kasus
Andaikan � dan �� adalah vektor setitik tangkap dengan sudut apit � maka :
Pada saat � = 0
�� ∙�� � = ������ � cos0
�� ∙�� � = ������ �
Atau secara umum
�� ∙�� � = ������ � cos�
�� ∙�� � ≤ ������ �
Himpunan orthonormal dikatakan maksimum jika himpunan tersebut tidak
dimuat oleh himpunan orthonormal yang lain. Himpunan orthonormal maksimal
adalah basis. Untuk dimensi yang finit, maka setiap penambahan satu vektor pada
basis maka tidak akan didapatkan vektor yang orthonormal, sehingga perlu
orthonormalisasi agar didapat himpunan maksimal yang orthonormal.
Jika dimensi ruang vektor infinit, maka � = ∑ �������� + � dan {��,��,… }
orthogonal maksimum, maka � = 0.
Bukti
� = �����
�
���
+ � = �⟨��|�⟩��
�
���
+ �
� − � = �⟨��|�⟩��
�
���
Kedua ruas diproduk skalar dengan �� dimana �� ≠ 0
����� − �� = �����⟨��|�⟩���������
���
�
���
181
el-Madani
������ − ������ = �⟨��|�⟩�������
�
���
������ − ������ = �⟨��|�⟩���
�
���
������ − ������ = ���������
������ − ������ = ������
������ = 0
� = 0
Jika {��,��,… } orthonormal maksimal di ruang vektor (�,+,�,⟨|⟩) maka
∀� ∈ � berlaku
� = �⟨��|�⟩���
⟶ ����� �������
‖�‖� = �|⟨��|�⟩|�
�
⟶ ��������� ��������
Andaikan ⟨∙|∙⟩:� × � → � maka akan muncul konsep panjang yang diinduksi
dari produk skalar. ∀� ∈ � maka ‖�‖ = � ⟨�|�⟩ kemudian muncul konsep jarak
�(�,�)= ‖� − �‖ = � ⟨� − �|� − �⟩. Jadi dari ruang vektor berproduk skalar
(�,⟨|⟩) menghasilkan ruang vektor bernorma (�,‖∙‖) dan muncul pula ruang vektor
bermetriks (�,�).
KONVERGENSI
1. (��)⊂ � konvergen menuju � ∈ � jika �(��,�) menuju nol untuk � menuju
∞
2. (��)⊂ � disebut barisan fundamental/Cauchy jika �(��,�� ) menuju nol
untuk � ,� menuju ∞
Suatu ruang disebut sebagai ruang lengkap jika setiap barisan yang fundamental
dalam ruang tersebut konvergen.
Contoh : ℝ dengan �(�,�)= |� − �|
RUANG HILBERT
Ruang Hilbert adalah ruang berproduk skalar sedemikian rupa sehingga ruang
itu lengkap relatif terhadap metriks �(�,�)= � ⟨� − �|� − �⟩
182
el-Madani
Contoh :
Di ℝ maka
⟨�|�⟩ = � ∙�
‖�‖ = ��� = |�|
�(�,�)= � ⟨� − �|� − �⟩
�(�,�)= �(� − �)�
�(�,�)= |� − �|
Di ℝ� maka
⟨(�,�)|(��,��)⟩ = ���+ ���
‖(�,�)‖ = � �� + ��
��(�,�),(��,��)� = �(� − ��)� + (� − ��)�
Di ℝ� maka
� = (��,��,… ,��)
⟨�|��⟩ = ������
�
���
‖�‖ = � ⟨�|�⟩
‖�‖ = ������
�
���
‖�‖ = ������
���
Di ruang kompleks
ℂ = ℝ + �ℝ ≡ ℝ� karena ℝ� lengkap maka ℂ juga lengkap. Di ruang kompleks
maka berlaku
⟨�|��⟩ = ⟨(�,�)|(��,��)⟩
⟨�|��⟩ = �∗��+ �∗��
‖�‖ = � �� + ��
Di ℂ� maka
� = (��,��,… ,��)
183
el-Madani
⟨�|��⟩ = ���∗��
�
�
���
‖�‖ = � ⟨�|�⟩
‖�‖ = ����∗��
�
�
���
‖�‖ = ��|��|�
�
���
Matriks � �(� × �,ℝ) dapat dipandang sebagai ℝ� ×� sehingga dapat diperoleh
produk skalar berikut
⟨�|�⟩ = ��������
�
���
�
���
‖�‖ = � ⟨�|�⟩
‖�‖ = ���������
�
���
�
���
‖�‖ = ���(���)��
���
�
���
�(�,�)= ‖� − �‖
�(�,�)= � ⟨� − �|� − �⟩
�(�,�)= ���(� − �)��(� − �)��
�
���
�
���
�(�,�)= ���[(� − �)��]��
���
�
���
Untuk � �(� × �,ℂ) maka
⟨�|�⟩ = �����∗ ���
�
���
�
���
184
el-Madani
‖�‖ = � ⟨�|�⟩
‖�‖ = ������∗ ���
�
���
�
���
‖�‖ = ���|���|��
���
�
���
�(�,�)= ‖� − �‖
�(�,�)= � ⟨� − �|� − �⟩
�(�,�)= ���(� − �)��∗ (� − �)��
�
���
�
���
�(�,�)= ���|(� − �)��|�
�
���
�
���
Untuk � �(�,ℂ) maka
⟨�|�⟩ = � ���∗ ���
�
�,���
‖�‖ = � ⟨�|�⟩
‖�‖ = �� ���∗ ���
�
�,���
‖�‖ = ��������
�
�,���
�(�,�)= ‖� − �‖
�(�,�)= � ⟨� − �|� − �⟩
�(�,�)= ��(� − �)��∗ (� − �)��
�
�,���
185
el-Madani
�(�,�)= ���(� − �)����
�
�,���
Eksponensial matriks
�� = ���
�!
�
���
→ ���� ����� ��� �� � ������
ln� = ���(�)
�
���
→ ����� ����� �������
Jika �(�,�)< 1 maka nilai ln� ada.
Contoh :
�([�,�],ℝ) adalah himpunan semua fungsi yang kontinyu dengan domain [�,�].
Untuk �,� ∈ �([�,�],ℝ ) maka
⟨�|�⟩ = � �∗(�)�(�)��
�
�
�(�,�)= � ⟨� − �|� − �⟩
�(�,�)= �� (� − �)∗(�)(� − �)(�)��
�
�
�(�,�)= �� |(� − �)(�)|���
�
�
�(�,�)= �� |�(�)− �(�)|���
�
�
Jika ditemukan ruang (�,⟨|⟩) tidak lengkap maka ada ���,⟨|⟩���� yang lebih besar
sehingga �� lengkap dan � mendominasi di ��. Jika �([�,�],ℝ ) tidak lengkap maka
ada ruang yang lebih besar dan lengkap yaitu ��([�,�],ℝ ) (Lebesgue square
integrable).
TEOREMA
Andaikan {��}���� adalah sebuah himpunan orthonormal dalam ruang Hilbert
(ℋ ,⟨|⟩) maka :
186
el-Madani
1. Deret
1kkke konvergen jika dan hanya jika
1
2
kk konvergen
2. Jika deret
1k
kkev konvergen maka koefisien �� merupakan koefisien
Fourier ⟨��|�⟩, jadi
1k
kk evev
3. ∀� ∈ ℋ maka deret
1k
kk evev konvergen
Contoh :
�(�)= �� + �(�� sin�� + �� cos��)
�
���
Dimana
��(�)�1,����� � = 0
cos�� ,����� � = 1,2,3,…
�
��(�)= sin�� ,����� � = 1,2,3,…
��(�)⟹ ��(�)=��
‖��‖
Karena ruang yang dipelajari adalah ��([0,2�],ℝ) maka
⟨�|�⟩ = � �(�)�(�)��
��
�
‖��‖� = ⟨��|��⟩
Untuk � = 0 maka
‖��‖� = ⟨��|��⟩
‖��‖� = � ������
��
�
‖��‖� = � 1��
��
�
‖��‖� = ��|�
��
‖��‖� = 2�
‖��‖ = √2�
Sehingga
�� =��‖��‖
187
el-Madani
�� =1
√2�
Untuk � ≠ 0 maka
‖��‖� = ⟨��|��⟩
‖��‖� = � ������
��
�
‖��‖� = � cos�� cos�� ��
��
�
‖��‖� = � cos� �� ��
��
�
‖��‖� =
1
2� (1+ cos2��)��
��
�
‖��‖� =
1
2�� +
1
2�sin2���
�
��
‖��‖� =
1
2�2� +
1
2�sin4�������
�
− 0− 0�
‖��‖� =
1
2(2�)
‖��‖� = �
‖��‖ = √�
Sehingga
�� =��‖��‖
�� =cos��
√�→ � = 1,2,3,…
‖��‖� = ⟨��|��⟩
‖��‖� = � ������
��
�
‖��‖� = � sin�� sin�� ��
��
�
188
el-Madani
‖��‖� = � sin� �� ��
��
�
‖��‖� =
1
2� (1− cos2��)��
��
�
‖��‖� =
1
2�� −
1
2�sin2���
�
��
‖��‖� =
1
2�2� −
1
2�sin4�������
�
− 0− 0�
‖��‖� =
1
2(2�)
‖��‖� = �
‖��‖ = √�
��� =��‖��‖
��� =sin��
√�→ � = 1,2,3,…
Jika
⟨��|���⟩ =
1
�� cos(��)cos(���)
��
�
�� = ����
⟨���|����⟩ =
1
�� sin(��)sin(���)
��
�
�� = ����
Sehingga
� = ���� + �����
�
���
+ ������
�
���
maka
⟨��|�⟩ = �������� + �����
�
���
+ ������
�
���
�
⟨��|�⟩ = ⟨��|����⟩ + ���������
�
���
� + ����������
�
���
�
⟨��|�⟩ = ��⟨��|��⟩ + ���
�
���
⟨��|��⟩ + ���
�
���
⟨��|���⟩
⟨��|�⟩ = ��
189
el-Madani
Berdasarkan definisi sebelumnya bahwa
⟨��|�⟩ = � ���(�)��
��
�
�� = �1
√2��(�)��
��
�
�� =1
√2�� �(�)��
��
�
⟨��|�⟩ = �������� + �����
�
���
+ ������
�
���
�
⟨��|�⟩ = ⟨��|����⟩ + ���������
�
���
� + ����������
�
���
�
⟨��|�⟩ = ��⟨��|��⟩ + ���
�
���
⟨��|��⟩ + ���
�
���
⟨��|���⟩
⟨��|�⟩ = ��
Atau
⟨��|�⟩ = � ���(�)��
��
�
�� = �1
√�cos(��)�(�)��
��
�
�� =1
√�� �(�)cos(��)��
��
�
⟨���|�⟩ = ��������� + �����
�
���
+ ������
�
���
�
⟨���|�⟩ = ⟨���|����⟩ + ����������
�
���
� + �����������
�
���
�
⟨���|�⟩ = ��⟨���|��⟩ + ���
�
���
⟨���|��⟩ + ���
�
���
⟨���|���⟩
⟨���|�⟩ = ��
190
el-Madani
Atau
⟨���|�⟩ = � ����(�)��
��
�
�� = �1
√�sin(��)�(�)��
��
�
�� =1
√�� �(�)sin(��)��
��
�
Maka dari itu persamaan
� = ���� + �����
�
���
+ ������
�
���
Dapat diruliskan menjadi persamaan berikut
� = ⟨��|�⟩�� + �⟨��|�⟩��(�)
�
���
+ �⟨���|�⟩���(�)
�
���
Jadi ��([0,2�],ℝ) himpunan orthonormalnya adalah
����,��,���|��(�)=�
��,��(�)=
�
√�cos(��),���(�)=
�
√�sin(��),� = 1,2,3,… �
Contoh :
Di ℝ� himpunan orthonormalnya ��,�,��� maka � ∈ ℝ� dapat dituliskan dalam deret
Fourier
� = ��∙���+ ��∙���+ ���∙����
� = ������+ ������+ ��������
Di ruang ��([−1,1],ℝ) maka untuk �,� ∈ ��([−1,1],ℝ) maka
‖�‖� = ⟨�|�⟩
‖�‖� = � �(�)�(�)��
�
��
‖�‖� = � |�(�)|���
�
��
< ∞
191
el-Madani
‖�‖� = � |�(�)|���
[��,�]
< ∞ → ��������� ���� ��������
Jika ��(�)= 1,��(�)= �,��(�)= ��,… ,��(�)= ��,… membentuk himpunan
yang bebas linear dimana {��,��,��,… }⊂ ��([−1,1],ℝ), maka
‖��‖� = � (��)���
�
��
‖��‖� = � �����
�
��
‖��‖� =
1
2� + 1����� �|��
�
‖��‖� =
1
2� + 1(1��� � − (−1)��� �)
‖��‖� =
2
2� + 1< ∞
Karena {��,��,��,… } bebas linear maka bisa dilakukan orthonormalisasi Gramm-
Schmidt sebagai berikut.
��(�)=��(�)
‖��(�)‖
��(�)=��
� 22� + 1
Untuk � = 0 maka
��(�)=��
� 22 ∙0+ 1
��(�)=1
√2
��(�)= ��(�)− ⟨��|��⟩��(�)
��(�)= � − �1
√2���
�
��
∙1
√2
��(�)= � −1
√2∙1
√2� ���
�
��
��(�)= � −1
2�1
2���
��
�
192
el-Madani
��(�)= � −1
4(1� − (−1)�)
��(�)= �
��(�)=��(�)
‖��(�)‖
��(�)=�
� 22 ∙1+ 1
��(�)=�
� 23
��(�)= �3
2�
��(�)= ��(�)− ⟨��|��⟩��(�)− ⟨��|��⟩��(�)
��(�)= �� − �1
√2����
�
��
∙1
√2− � �
3
2�����
�
��
∙�3
2�
��(�)= �� −1
√2∙1
√2�1
3���
��
�
− �3
2∙�3
2�1
4���
��
�
�
��(�)= �� −1
2
1
3(1� − (−1)�)−
3
2
1
4(1� − (−1)�)�
��(�)= �� −1
62 −
3
80�
��(�)= �� −1
3
��(�)=��(�)
‖��(�)‖
��(�)=�� −
13
� 22 ∙2 + 1
��(�)=�� −
13
� 25
193
el-Madani
��(�)= �5
2��� −
1
3�
��(�)= ��(�)− �⟨��|��⟩��(�)
���
���
��(�)=��(�)
‖��(�)‖
��(�)= �2� + 1
2���(�)− �⟨��|��⟩��(�)
���
���
�
POLINOM LEGENDRE
��(�)= �2� + 1
2��(�)→ � = 1,2,3,…
��(�)=1
2��!
��
���[(�� − 1)�]→ ������� ��������
Untuk � ∈ ��([−1,1],ℝ) maka � dapat dituliskan sebagai berikut
⟨��|�⟩ = � ���(�)��
�
��
⟨��|�⟩ = � �2� + 1
2��(�)�(�)��
�
��
POLINOM HERMITE
Di ruang ��([−∞ ,∞ ],ℝ) dimana
⟨�|�⟩ = � �(�)�(�)��
�
��
⟨�|�⟩ = � |�(�)|���
�
��
< ∞
Himpunan bebas linearnya adalah {��(�),��(�),��(�),… } dimana masing-masing
memenuhi
��(�)= ����
� ��(�)
��(�)= ����
� ��
194
el-Madani
‖��(�)‖� = ⟨��|��⟩
‖��(�)‖� = � �
���
� �� ∙����
� ����
�
��
‖��(�)‖� = � ���
������
�
��
‖��(�)‖� = 2� ���
������
�
�
‖��(�)‖� = 2�
Γ �2� + 12 �
2 ∙1��� ��
�
‖��(�)‖� = Γ�
2� + 1
2�
‖��(�)‖ = � Γ �2� + 1
2�
Dengan melakukan orthonormalisasi Gramm-Schmidt akan diperoleh himpunan
orthonormal {��(�),��(�),��(�),… } dimana
��(�)=1
�2��!√����
����
� ��(�)
Dengan
��(�)= (−1)���� ��
�������
�� → � = 1,2,3,…
Sehingga untuk � ∈ ��([−∞ ,∞ ],ℝ) dapat dituliskan sebagai berikut
� = �⟨��|�⟩��(�)
�
���
PERSMAAN DIFERENSIAL
Klasifikasi persamaan diferensial adalah sebagai berikut
Berdasarkan operator diferensialnya dibagi menjadi dua yaitu
1. Persamaan diferensial biasa
195
el-Madani
Disebut persamaan diferensial biasa karena menggunakan operator
diferensial biasa ��
�∎�
Contoh
���
���+ � �� = �(�)
2. Persamaan diferensial parsial
Disebut persamaan diferensial biasa karena menggunakan operator
diferensial parsial ��
�∎�
Contoh
∇��(�,�,�)= 0
���
���+���
���+���
���= 0
Berdasarkan variabel bebasnya (pangkat) dapat dibagi menjadi dua yaitu
1. Persamaan diferensial linear
Contoh :
���
���+ � �� = 0
Di semua suku yang mengandung �, �-nya berpangkat satu
2. Persamaan diferensial non-linear
Contoh
a. ���
���+
�
�cos� = 0
b. ���
��+ � ∙∇� = −
�
�∇� −
�
��
Berdasarkan kesamaan variabel bebas di suku-sukunya dapat dibagi menjadi dua
1. Persamaan diferensial homogen
Contoh
���(�,�)
��= −
1
2�∇��(�,�)+ �(�)�(�,�)
Di semua suku mengandung �(�,�)
2. Persamaan diferensial tak homogen
Contoh
a. ∇��(�)= �(�) diruas kanan tidak mengandung variabel yang dicari
(�(�))
196
el-Madani
b. ���
���+ � �� = �(�) diruas kanan tidak mengandung variabel yang dicari
(�)
Derajat suatu persamaan diferensial berdasarkan turunan tertinggi pada persamaan
diferensial tersebut.
PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR BERDERAJAT DUA
Persamaan diferensial linear berderajat dua secara umum dituliskan sebagai
berikut
�� = �
Contoh
∇��(�)= �(�)⟶ � = ∇�
���(�,�)
��= −
1
2�∇��(�,�)+ �(�)�(�,�)
−1
2�∇��(�,�)+ �(�)�(�,�)− �
��(�,�)
��= 0
�−1
2�∇� + �(�)− �
�
����(�,�)= 0
Maka
� = −1
2�∇� + �(�)− �
�
��
Secara umum � dapat dituliskan dengan persamaan berikut
� = � �����
������
�
�,���
+ ����
���
�
���
+ �
Dimana ���,��,� adalah fungsi yang bergantung pada (��,��,��,… ,��) dan ���
simetri sehingga ��� = ��� .
Contoh
∇��(�)= �(�) ���� ����� 3 ��� ���� � ����
� = 3(�,�,�)
��� = ���
�� = 0 � = 0
�
Sehingga
� = � �����
������
�
�,���
+ ����
���
�
���
+ �
197
el-Madani
� = � �����
������
�
�,���
+ 0+ 0
� =��
���� +
��
���� +
��
����
� =��
���+
��
���+��
���
Pada persamaan berikut
�−1
2�∇� + �(�)− �
�
����(�,�)= 0
Maka
� = 4(�,�,�,�)
�� = �
�� = 0 → �= 1,2,3 (�,�,�)
�� = −�→ �= 4 (�)
�
��� =
⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡
m
m
m
m
2
1000
02
100
002
10
0002
1
⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
� = �
Persamaan diferensial ini adalah di wilayah ℛ ⊂ ℝ� terbuka. Wilayah ℛ harus
tersambung karena perlu syarat batas. Solusi persamaan diferensial akan berkaitan
dengan tetapan yang jumlahnya bergantung derajat dan � (misal derajat 2 maka
jumlahnya 2 × �)
Sebelumnya telah diketahui bahwa
� = � �����
������
�
�,���
+ ����
���
�
���
+ �
Jika dikerjakan pada fungsi � maka
�� = � ������
������
�
�,���
+ �����
���
�
���
+ ��
Dimana
�
��������
��
���� = ����
���
������+��
���
�������
���
198
el-Madani
�������
������=
�
��������
��
���� −
��
���
�������
���
Dan
�
���(����)=
�(���)
���� + ���
��
���
�����
���=
�
���(����)−
�(���)
����
Sehingga persamaan
��� = � �������
������
�
�,���
+ ������
���
�
���
+ ���
menjadi
��� = � ��
��������
��
���� −
��
���
�������
����
�
�,���
+ ���
���(����)−
�(���)
�����
�
���
+ ���
��� = � ��
��������
��
�����
�
�,���
− � ���
���
�������
����
�
�,���
+ ���
���(����)�
�
���
− ���(���)
�����
�
���
+ ���
Ambil
�
�����
�������
���� =
��
���
�������
���+ �
��������
������
��
���
�������
���=
�
�����
�������
���� − �
��������
������
Sehingga persamaan
��� = � ��
��������
��
�����
�
�,���
− � ���
���
�������
����
�
�,���
+ ���
���(����)�
�
���
− ���(���)
�����
�
���
+ ���
Menjadi
199
el-Madani
��� = � ��
��������
��
�����
�
�,���
− � ��
�����
�������
���� − �
��������
�������
�
�,���
+ ���
���(����)�
�
���
− ���(���)
�����
�
���
+ ���
��� = � ��
��������
��
�����
�
�,���
− � ��
�����
�������
�����
�
�,���
+ � ����������
�������
�
�,���
+ ���
���(����)�
�
���
− ���(���)
�����
�
���
+ ���
Suku kedua
� ��
�����
�������
�����
�
�,���
= � ��
�����
�������
�����
�
�,���
⟶ ������ ��� �������
sehingga
��� = � ��
��������
��
�����
�
�,���
− � ��
�����
�������
�����
�
�,���
+ � ����������
�������
�
�,���
+ ���
���(����)�
�
���
− ���(���)
�����
�
���
+ ���
��� = �����������
�������
�
���
− ����(���)
����
�
���
+ ���
+ ��
����������
��
����
�
���
− ����������
����
�
���
+ (����)�
�
���
��� = � ���������
������
�
���
− ���(��)
����
�
���
+ ��� + ∇�� ∙�
��� = ���� + ∇�� ∙�
��� − ���� = ∇�� ∙�
Dimana
��������
������
�
���
− ���(��)
����
�
���
+ � = ��
� dikatakan “self adjoint” jika � = ��. Syarat self adjoint adalah
200
el-Madani
∫ … ∫����
(��� − ����)��� = ∫ … ∫����
∇�� ∙���� = A
Adp
∫ … ∫����
(��� − ����)��� = 0
Andaikan � dan � adalah operator pada persamaan diferensial parsial, maka �
dikatakan sama dengan � jika
�� = ��, ∀�
Jika
� = � �����
������
�
�,���
+ ����
���
�
���
+ �
� = � �����
������
�
�,���
+ �����
���
�
���
+ �
Maka
� ������
������
�
�,���
+ �����
���
�
���
+ �� = � ������
������
�
�,���
+ ������
���
�
���
+ ��
Dari persamaan tersebut tampak bahwa semuanya akan sama jika dan hanya jika
��� = ���
�� = ���
� = �
Jadi � = � ⟺ �� = �� ⟺ �
��� = ���
�� = ���� = �
�
� dikatakan self adjoint jika dan hanya jika � dapat dituliskan sebagai
� = ��
�������
�
����
�
�,���
+ �
Kemudian diperoleh kaitan
�� + �� = 0
� self adjoint, jika � sedemikian rupa sehingga � diskrit sehingga bisa dituliskan
� = ��. Begitu juga dengan � dapat dituliskan � = ��. Jika � self adjoint maka ��
adalah bilangan riil dan �� orthonormal lengkap yang berarti {��|� ∈ ℝ} adalah
basis orthonormal sehingga fungsi dapat dituliskan sebagai
� = �⟨��|�⟩���
201
el-Madani
Solusi persamaan diferensial parsial dapat dicari dengan menggunakan pendekatan
berikut.
�� = �
��⟨��|�⟩���
= �⟨��|�⟩���
�⟨��|�⟩����
= �⟨��|�⟩���
Dari persamaan sebelumnya
��� + ���� = 0
��� = −����
Maka
−�⟨��|�⟩�����
= �⟨��|�⟩���
�(−⟨��|�⟩�� − ⟨��|�⟩)���
= 0
Dimana �� ≠ 0 maka
−⟨��|�⟩�� − ⟨��|�⟩ = 0
⟨��|�⟩ = −⟨��|�⟩
��
�(��,… ,��)= �−⟨��|�⟩
���