C a t a t a n S i T h a m r i n 1

A . Pen gert i an St at i st i k a Ilmu yang mempelajari pengambilan,

penyajian, pengolahan, dan penafsiran data

B . St at i st i k Da ta Tu ngg al 1. Median

Median adalah nilai tengah dari suatu

kumpulan data yang telah terurutkan

Diketahui n data yang telah diurutkan,

Jika n ganjil, median = 𝑥𝑛+1

2

Jika n genap, median = 1

2(𝑥𝑛

2

+ 𝑥𝑛

2+1)

2. Kuartil

Diketahui n data yang telah diurutkan

Kuartil pertama (𝑄1) adalah datum

ke-𝑛+1

4

Kuartil pertama (𝑄2) adalah datum

ke-𝑛+1

2

Kuartil pertama (𝑄3) adalah datum

ke-3(𝑛+1)

4

3. Statistik Lima Serangkai

4. Rataan Kuartil dan Rataan tiga

Rataan kuartil =1

2(𝑄1 + 𝑄3)

Rataan tiga =1

4(𝑄1 + 𝑄2 + 𝑄3)

5. Jangkauan/rentang data (𝑱)

𝐽 = 𝑥𝑚𝑎𝑘𝑠 − 𝑥𝑚𝑖𝑛

6. Jangkauan antarkuartil/hamparan (𝑯)

𝐻 = 𝑄3−𝑄1

7. Satu Langkah (L)

𝐿 = 1,5 × 𝐻

8. Pagar dalam (PD) dan pagar luar (PL)

𝑃𝐷 = 𝑄1 − 𝐿

𝑃𝐿 = 𝑄3 + 𝐿

C . Peny a j i an Data 1. Diagram Kotak Garis

Diagram kotak garis merupakan diagram yang

menyajikan nilai minimum, kuartil bawah,

median, kuartil atas, nilai maksimum, dan

jangkauan (range) dari suatu data

2. Diagram Batang daun

menyajikan penyebaran dari suatu data

sehingga secara keseluruhan data individu-

individu dapat terlihat apakah ada

kecenderungan data tersebut menyebar atau

memusat pada suatu nilai tertentu, atau nilai

manakah yang paling sering muncul dan yang

jarang muncul

Contoh:

Nilai ulangan umum fisika dari 36 siswa adalah

sebagai berikut.

Gambar berikut ini menyajikan diagram

batang daun untuk data yang tersedia.

Untuk membuat suatu diagram batang daun

untuk data nilai-nilai ulangan fisika yang

masing-masing terdiri dari dua angka seperti

pada situasi di atas, kita tetapkan angka

puluhan sebagai bagian batang dan angka

satuan sebagai bagian daun.

3. Tabel Distribusi Frekuensi Data

Berkelompok

Cara mengorganisasikan data dengan

membagi data menjadi beberapa

kelompok atau kelas. Setelah itu, setiap

kelompok atau kelas dari data dicatat

mengenai banyaknya data atau frekuensi

yang masuk dalam kelompok tersebut.

Langkah menyajikan data:

Tentukan rentang data

Bagi data dalam beberapa

kelompok/interval/kelas dengan

rentang antarkelas (Panjang interval)

sama besar. Kelompok tersebut

disebut kelas interval

Catat banyak datum yang termuat

dalam setiap kelompok atau kelas

Untuk menentukan banyak kelas interval

dapat digunakan dua aturan berikut:

a. Aturan Sturgess

𝑘 = 1 + 3,3(log 𝑛)

Keterangan:

𝑘 = Banyak kelas

𝑛 = Banyak data

b. Aturan semua panjang interval atau

kelas harus sama

𝑅 = 𝑥𝑚𝑎𝑘𝑠 − 𝑥𝑚𝑖𝑛

𝑐 =𝑅

𝑘

Keterangan:

𝑅 = Rentangan data

𝑐 = Panjang setiap kelas interval

Istilah-istilah dalam distribusi frekuensi:

a. Batas bawah dan batas atas kelas

Batas bawah kelas (𝐵𝑏): nilai terkecil

pada kelas interval

Batas atas kelas (𝐵𝑎): nilai terbesar

pada kelas interval

b. Limit bawah dan limit atas kelas

Limit bawah kelas (𝐿𝑏) = batas

bawah kelas - 0,5𝑙

Limit bawah kelas (𝐿𝑎) = batas atas

kelas + 0,5𝑙

Dengan 𝑙 = selisih antara batas atas interval

dengan batas bawah interval berikutnya

c. Panjang kelas

Panjang kelas (c) = limit atas kelas –

limit bawah kelas

d. Titik tengah kelas

Merupakan nilai rataan batas bawah

dan bawah atas kelas. Dapat

dianggap sebagai nilai yang mewakili

kelas itu.

Titik tengah kelas (𝑥𝑖) = 1

2 (batas

bawah kelas + batas atas kelas)

4. Tabel distribusi frekuensi kumulatif dan

relatif

Tabel frekuensi kumulatif pada suatu

kelas interval diperoleh dengan

menjumlahkan frekuensi dari kelas

interval pertama sampai dengan kelas

interval tersebut.

Distribusi frekuensi relatif menyatakan

proporsi data yang berada pada suatu

kelas interval.

𝐅𝐫𝐞𝐤𝐮𝐞𝐧𝐬𝐢 𝐫𝐞𝐥𝐚𝐭𝐢𝐟 =𝐟𝐫𝐞𝐤𝐮𝐞𝐧𝐬𝐢

𝐛𝐚𝐧𝐲𝐚𝐤 𝐬𝐚𝐦𝐩𝐞𝐥 𝐩𝐞𝐧𝐞𝐥𝐢𝐭𝐢𝐚𝐧

5. Histogram

Data yang diperlukan histogram adalah

tepi atas dan tepi bawah tiap kelas.

6. Poligon Frekuensi

Data yang diperlukan poligon frekuensi

adalah nilai tengah dari tiap kelas, dan

nilai tengah satu kelas sebelum dan

sesudah data kelas yang ada

7. Ogive

Ogive adalah kurva distribusi frekuensi kumulatif. Ogive

dibagi menjadi 2, Ogive positif dan Ogive negative.

a. Ogive positif

Data yang digunakan untuk ogif positif berasal

dari tabel distribusi kumulatif kurang dari

dengan tambahan tepi bawah dari kelas

terendah. Ciri dari ogif positif adalah grafiknya

menaik

b. Ogive negatif

Data yang digunakan untuk ogif negatif berasal

dari tabel distribusi kumulatif lebih dari

dengan tambahan tepi atas dari kelas tertinggi.

Ciri dari ogif negatif adalah grafiknya menurun

D. U ku ran P emu satan Data

1. Rataan Hitung (Mean)

Rataan hitung data tunggal

C a t a t a n S i T h a m r i n 2

C a t a t a n S i T h a m r i n 3

�̅� =𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + . . . + 𝑥𝑛

𝑛

�̅� =1

𝑛∑ 𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

Dengan �̅� menyatakan rataan hitung, n menyatakan

ukuran data, dan 𝑥𝑖 menyatakan datum ke-i.

Pada data berkelompok, data dianggap sebagai titik

tengah kelas dengan frekuensi sesuai dengan banyak

data pada kelas tersebut,

Rataan hitung data berkelompok

�̅� =𝑥1𝑓1 + 𝑥2𝑓2 + 𝑥3𝑓3 + . . . + 𝑥𝑛𝑓𝑛

𝑓1 + 𝑓2 + 𝑓3

�̅� =∑ 𝑥𝑖𝑓𝑖

𝑛𝑖=1

∑ 𝑓𝑖𝑛𝑖=1

Dengan �̅� menyatakan rataan hitung, n menyatakan

banyak kelas, 𝑥𝑖 menyatakan datum ke-i atau nilai

tengah kelas ke-i, dan 𝑓𝑖 menyatakan frekuensi kelas

ke-i.

2. Modus

Modus adalah nilai dari data dengan kemunculan atau

frekuensi tertinggi.

Modus data berkelompok adalah kelas interval dengan

frekuensi paling besar dan nilainya ditentukan sebagai

berikut.

𝑀𝑜 = 𝐿𝑏 + (∆1

∆1 + ∆2) 𝑐

Dengan 𝑀𝑜 menyatakan nilai modus, 𝐿𝑏 menyatakan

nilai limit bawah kelas modus, ∆1 menyatakan selisih

frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya,

∆2 menyatakan selisih frekuensi kelas modus dengan

kelas sesudahnya, dan 𝑐 menyatakan panjang interval

kelas.

3. Median

Median adalah nilai tengah dari data yang terurut.

Pada data berkelompok, median terletak pada kelas

dengan distribusi kumulatif 1

2 banyak data dan nilainya

ditentukan sebagai berikut.

𝑀𝑒 = 𝐿𝑏 + (

12

𝑛 − 𝑓𝑘

𝑓) 𝑐

Dengan 𝑀𝑒 menyatakan nilai median, 𝐿𝑏 menyatakan

nilai limit bawah kelas median, 𝑛 menyatakan ukuran

data, 𝑓𝑘 menyatakan frekuensi kumulatif dari kelas

sebelum kelas median, f menyatakan frekuensi kelas

median, dan 𝑐 menyatakan panjang interval kelas.

4. Kuartil, Desil, dan Persentil

Pada statistika juga dikenal ukuran-ukuran khusus yang

membagi data menjadi seperempat (kuartil),

sepersepuluh (desil), dan seperseratus (persentil)

Rumus untuk menentukan kuartil, desil, dan persentil

adalah sebagai berikut.

𝐿𝑏 + (𝑥 − 𝑓𝑘

𝑓) 𝑐

Dengan 𝐿𝑏 menyatakan nilai limit bawah kelas

kuartil/desil/persentil, 𝑥 menyatakan letak

kuartil/desil/persentil, 𝑓𝑘 menyatakan frekuensi

kumulatif dari kelas sebelum kelas

kuartil/desil/persentil, f menyatakan frekuensi kelas

kuartil/desil/persentil, dan 𝑐 menyatakan panjang

interval kelas.

E . U ku ran Peny ebara n D ata

1. Simpangan Rata-Rata Simpangan rata-rata menyatakan ukuran seberapa

jauh penyebaran nilai-nilai data terhadap nilai

rataan.

Simpangan rata-rata data tunggal

𝑆𝑅 =1

𝑛∑|𝑥𝑖 − �̅�|

𝑛

𝑖=1

Dengan �̅� menyatakan rataan hitung, n menyatakan

ukuran data, dan 𝑥𝑖 menyatakan datum ke-i.

Simpangan rata-rata data berkelompok

𝑆𝑅 =1

𝑛∑ 𝑓𝑖|𝑥𝑖 − �̅�|

𝑛

𝑖=1

Dengan �̅� menyatakan rataan hitung, n menyatakan

ukuran data, k menyatakan banyak kelas, 𝑥𝑖 menyatakan

datum ke-i atau nilai tengah kelas ke-i, dan 𝑓𝑖

menyatakan frekuensi kelas ke-i.

2. Ragam dan Simpangan Baku

Ragam dan simpangan baku data tunggal

𝜎2 =1

𝑛∑(𝑥𝑖 − �̅�)2

𝑛

𝑖=1

C a t a t a n S i T h a m r i n 4

𝜎 = √1

𝑛∑(𝑥𝑖 − �̅�)2

𝑛

𝑖=1

Dengan 𝜎2 menyatakan ragam, 𝜎 menyatakan

simpangan baku, �̅� menyatakan rataan hitung, n

menyatakan ukuran data, dan 𝑥𝑖 menyatakan datum ke-i

F . C onto h Soal

1. Perhatikan data berikut.

Nilai Frekuensi

4 2

12 8

24 20

34 10

Tentukan rataan hitung dan simpangan rata-rata

dari data tersebut!

Penyelesaian:

�̅� =∑ 𝑥𝑖𝑓𝑖

𝑛𝑖=1

∑ 𝑓𝑖𝑛𝑖=1

=8 + 96 + 480 + 340

2 + 8 + 20 + 10=

924

40= 23,1

𝑆𝑅 =1

𝑛∑ 𝑓𝑖|𝑥𝑖 − �̅�| =

1

40(38,2 + 88,8 + 18 + 109)

𝑛

𝑖=1

=1

40(254)

= 6.35

2. Perhatikan data berikut.

Tinggi Badan (dalam cm) Frekuensi

110 – 119 1

120 – 129 5

130 – 139 8

140 – 149 11

150 – 159 16

160 – 169 6

170 - 179 3

Tentukan modus dan median data tersebut!

Penyelesaian:

𝑀𝑜 = 𝐿𝑏 + (∆1

∆1 + ∆2) 𝑐

= 149,5 + (5

5 + 10) 10

= 149,5 + 3,33

= 152,83 cm

𝑀𝑒 = 𝐿𝑏 + (

12

𝑛 − 𝑓𝑘

𝑓) 𝑐

= 139,5 + (25 − 14

11) 10

= 139,5 + 10

= 149,5 cm

3. Perhatikan data berikut.

Nilai Frekuensi

2 3

4 4

6 6

8 4

10 3

Tentukan ragam dan simpangan baku dari data

tersebut!

𝜎2 =1

𝑛∑(𝑥𝑖 − �̅�)2 =

1

20(48 + 16 + 0 + 16 + 48)

𝑛

𝑖=1

=128

20

= 6,4

𝜎 = √𝜎2 = √6,4 = 2,53

4. Urutkanlah data berat badan berikut dari terkecil

sampai terbesar!

Penyelesaian:

- Tentukan berat terkecil, berat terbesar,

kuartil bawah, median, dan kuartil atas

dari data tersebut.

- Setelah data diurutkan, diperoleh berat

terkecil dan terbesarnya secara berturut-

turut adalah 40 dan 75.

- Banyak data keseluruhannya adalah 36

- Letak kuartil bawahnya ada pada data ke 36 + 1

4= 9,25, yaitu terletak di antara

data ke-9 dan 10. Sehingga 𝑄1

merupakan rata-rata dari data ke-9 dan

10, yaitu 𝑄1 =𝑥9 + 𝑥10

2=

47 + 50

2= 48,5.

C a t a t a n S i T h a m r i n 5

- Mediannya terletak pada data ke 36 + 1

2=

18,5, sehingga 𝑄2 =𝑥18+ 𝑥19

2=

58 + 60

2=

59.

- Kuartil atasnya terletak pada data ke 3

4∙

(36 + 1) = 27,75 yaitu 𝑄3 =𝑥27 + 𝑥28

2 =

64 + 64

2= 64.

5. Tentukan frekuensi kumulatif dan frekuensi relatif

dari data berikut!

Usia (dalam

tahun)

Frekuensi

15-19 2

20-24 10

25-29 19

30-34 27

35-39 16

40-44 10

45-49 6

50-54 5

55-59 3

60-64 2

Penyelesaian:

Usia

(dalam

tahun)

Frekuensi Frekuensi

Kumulatif

Frekuensi

Relatif

Frekuensi

Relatif

Kumulatif

15-19 2 2 0,02 0,02

20-24 10 12 0,10 0,12

25-29 19 31 0,19 0,31

30-34 27 58 0,27 0,58

35-39 16 74 0,16 0,74

40-44 10 84 0,10 0,84

45-49 6 90 0,06 0,90

50-54 5 95 0,05 0,95

55-59 3 98 0,03 0,98

60-64 2 100 0,02 1

6. Gambarlah histogram dan poligon frekuensi dari

data berikut.

Penyelesaian:

C a t a t a n S i T h a m r i n 6

1) Histogram

2) Poligon Frekuensi