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Cavidades Resonantes
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Cavidades Ressonantes
Vitaly Esquerre
Em freqüências na faixa de microondas (> 300MHz), elementoslocalizados tais como R, L e C têm comportamento bastantedi d b i f üê idiverso de seu comportamento em baixas freqüências.
Isto porque em altas freqüências o efeito pelicular e as perdasIsto porque em altas freqüências o efeito pelicular e as perdaspor radiação tornam-se importantes.
Assim, na faixa de microondas os circuitos ressonantes RLC sãosubstituídos pelas cavidades ressonantes.
As cavidades ressonantes são estruturas completamente fechadaspor paredes metálicas.
Elas confinam a energia eletromagnética e dispõem de grandesElas confinam a energia eletromagnética e dispõem de grandesáreas para a circulação de corrente, eliminando radiação ediminuindo as perdas.p
A figura mostra a transformação gradual de um circuitoressonante LC numa cavidade ressonante
Cavidades RetangularesCavidades Retangulares
Podemos começar a análise partindo da equação de onda e usar oPodemos começar a análise partindo da equação de onda e usar ométodo de separação das variáveis para obter os camposelétricos e magnéticos que satisfazem as condições de contornog q çda cavidade.Porém, fica mais fácil começar com os campos TE e TM do
i i já i f di d dguia, os quais já satisfazem as condições de contorno nas paredesdo guia
0,x a 0,0,
x ay b
Ë necessário apenas inserir as condições de contorno Ex = Ey = 0nas paredes inicial e final em z = 0
Os campos elétricos transversais (Ex, Ey) dos modos TEmn eTMmn, do guia de ondas retangular pode ser escrito como:
, , , mn mnj z j ztE x y z e x y A e A e , , ,t y y
,e x y Variação transversal do campo ,e x y
Amplitude dos campos em +z e -z,A A
Variação transversal do campo
A constante de propagação mn dos modos m,n (TE ou TM) podeser escrita como:
2 22 m nk kmn k
a b
k
Impondo a condição que o campo tem que ser nulo em z = 0
, ,0 , 0tE x y e x y A A
p q p q
Que era esperado pelo fato de termos reflexão numa superfícieA A
Que era esperado pelo fato de termos reflexão numa superfíciecondutoraImpondo a condição que o campo tem que ser nulo em z = dImpondo a condição que o campo tem que ser nulo em z d
, , , 0mn mnj d j dtE x y d e x y A e A e
, , , 2 sin 0t mnE x y d e x y jA d
d l l mnd l mn d
O número de onda ressonante da cavidade será
2 2 2m n lk mnlka b d
Modos TEmnl ou TMmnl são os modos ressonantes onde m, n, e lindicam o numero de meios ciclos da onda estacionária nasdi õ A f ê i d â i d d TEdireções x, y, e z. A frequência de ressonância do modo TEmnl ouTMmnl é dado por
2 2 2
2 2mnl
mnlck c m n lf
a b d
2 2r r r r a b d
Os campos para o modos TEmnl são dados por:
cos sin sinmnlxA n m n lE x y z
b a b d
A l sin cos sinmnly
A m m n lE x y za a b d
0E 0zE
sin cos cosmnlx
A m l m n lH j x y za d a b d
cos sin cosmnly
A n l m n lH j x y zb d a b d
22 cos cos sinmnl
zA l m n lH j k x y z
d a b d
0,1,2,3... 0,1,2,3... 1, 2,3.... 0m n l m n 2 2l Modo dominante (d > a > b) TE101 101 2 r r
c m lfa d
Após algumas simplificações, os modos TE10l tem as seguintesp g p 10l gexpressões para os campos:
sin sinx l zE E 0 sin sinyE Ea d
0 sin cosE x l zH j sin cosxTE
H ja d
0 iE x l zH
0 cos sin'zE x l zH j
k a a d
d a b
O q e claramente demonstra q e são formadas ondasO que claramente demonstra que são formadas ondasestacionárias dentro da cavidade
Fator de Qualidade: Q
Energia média armazenadaW W
Fator de Qualidade: Q
Energia média armazenadaEnergia Perdida por segundo
m eW WQP
Energia média armazenada nos campos magnéticos eeletricos.
,m eW W
P
eletricos.
Potência dissipada no condutor e no dielétrico
Na frequência de ressonância:We =Wm
Cálculo da energia armazenada no campo elétricoCálculo da energia armazenada no campo elétrico
2*
4 4e y y y
v v
W E E dv E dv
0 sin sinyx l zE Ea d
2 2 20 sin sin
4
d b a
ex l zW E dxdydza d
0 0 04 a d
2 1 1sin cos 2x x
abd
2 2
2016e
abdW E
Cálculo da energia armazenada no campo magnéticoCálculo da energia armazenada no campo magnético*
4mW H H dv
2 2* *
4 4m x x z z x zW H H H H dv H H dv
v
4 4v v
0 sin cosxE x l zH j
a d
0 cos sin'zE x l zH j
k a a d
TE a d k a a d
2 20 0i i
d b aE Ex l z x l zW d d d 0 0
0 0 0
sin cos cos sin4 'm
TE
W dxdydza d k a a d
2 1 1sin cos 22 2
x x 2 1 1cos cos 22 2
x x
22 1abdW E
0 2 2 2 216 'mTE
W Ek a
'TE
k
2
210 k
a a
2221 1 22
2 2 2 2 2 2 2
1 1' ' 'TE
ak a k
20m
abdW E 016m
Ou seja:We =Wmj e m
Perdas nas paredes condutoras: PPerdas nas paredes condutoras: Pc
2st
RP H ds 2c tparedes
P H ds
O d é i ê i fi i l d d áli d d
R
Onde Rs é a resistência superficial das paredes metálicas dadapor:
e Ht é o campo magnético tangencial as superfícies das paredes
2sc
R
t p g g p pmetálicas.
A ib i ã d id à d i é i l á ib i ã dA contribuição devido à parede superior é igual á contribuição daparede inferior, o mesmo acontece com as contribuições daparede lateral direita e esquerda e da parede da frente e posteriorparede lateral direita e esquerda e da parede da frente e posterior.
y
b Parede do fundo e da frente
Parede esquerda e direita
0zH x
xa
0xH z Parede superior e inferior
zd
0xH z 0zH x
2 22 0 2 0
b a d bsRP H z dxdy H x dydz
0 0 0 02 0 2 0
2s
c x zy x z y
P H z dxdy H x dydz
2 22 0 0
d a
H y H y dxdz 0 0
2 0 0x zz x
H y H y dxdz
2 ' 2 'k d
2 2 2 2R E l b bd l d
2k
TE l
Usando:
2 2 2 20
2 2 28 ' 2 2s
cR E l ab bd l a dP
d a d a
Fator de Qualidade considerando apenas perdas nos condutores:
abd
Fator de Qualidade considerando apenas perdas nos condutores:Qc
20
2 2 2 20
162 2m e mc
c c s
abd EW W WQP P R E l ab bd l a d
02 2 28 ' 2 2
c c s
d a d a
3
2 22
'c
k abdQl ab bd l a d
22 24
2 2sl ab bd l a dRd a d a
3
2 2 3 3 2 3 3
'c
kad bQ
l b bd l d d
2 2 3 3 2 3 32 2 2cs
QR l a b bd l a d ad
Fator de Qualidade considerando apenas perdas no dielétrico: QFator de Qualidade considerando apenas perdas no dielétrico: Qd
0" tanr 0' " 1 tanrj j
22* 0"1 ".
2 2 8dabd EP J E dv E dv
20
'' 116
abd EW W W
2 2 8v v
20
1162 2" " tan
8
m e md
d d
W W WQabd EP P
Fator de Qualidade considerando perdas no condutor e nodielétrico: Qdielétrico: Qtotal
11 1
totalQQ Q
totalc d
QQ Q
ExemploExemploConsidere uma cavidade oca com dimensões; 3cm x 2cm x7cm feita de cobre (c=5.8 x 107)Calcular a frequência de ressonância e o fator de qualidadedo modo dominante.
2 2 2103 10 1 0 1 5.439842 3 2 7rf GHz
3 'kad b k 2 2 3 3 2 3 32 2 2cs
kad bQ
R l a b bd l a d ad
2sc
R
k
'
0,01924242s
c
R
113,984k
3 'kad b
' 376,819
2 2 3 3 2 3 3
'10086
2 2 2cs
kad bQ
R l a b bd l a d ad
Exemplo 2Exemplo 2Considere uma cavidade preenchida com polyestireno (εr =2.56, tan δ = 0,0004) com dimensões; a = 3cm b = 2cm feitade cobre (c=5.8 x 107) determine o valor de d para
t f ê i d â i d 3 4 GHapresentar uma frequência de ressonância de 3,4 GHz.Determine o fator de qualidade do modo dominante.
2 2 2103 10 1 0 1 3,43 22 2 56rf GHz
d
7d cm
3 22 2.56 d
3 'kad b k 2 2 3 3 2 3 32 2 2cs
kad bQ
R l a b bd l a d ad
2sc
R
k
'
0,01521242s
c
R
113,984k
' 235,512
3
2 2 3 3 2 3 3
'7973,66
2 2 2cs
kad bQ
R l a b bd l a d ad
s
1 2500tandQ
1 11 1 1 1 1903 27Q
tan
1903, 277973,66 2500total
c d
QQ Q
Cavidades Cilíndricas
Podemos começar a análise partindo da equação de onda e usar oPodemos começar a análise partindo da equação de onda e usar ométodo de separação das variáveis para obter os camposelétricos e magnéticos que satisfazem as condições de contornog q çda cavidade.Porém, fica mais fácil começar com os campos TE e TM do
i i l i já i f di dguia circular, os quais já satisfazem as condições de contorno nasparedes do guia
a
Ë necessário apenas inserir as condições de contorno Eρ = Eϕ = 0nas paredes inicial e final em z = 0 e d
Os campos elétricos transversais (Eρ, Eϕ) dos modos TEnm e
j z j zE A A
p ( ρ ϕ)TMnm, do guia de ondas retangular pode ser escrito como:
, , , nm nmj z j ztE z e A e A e
,e Variação transversal do campo ,
Amplitude dos campos em +z e -z,A A
Variação transversal do campo
A constante de propagação nm dos modos TEnm e TMnm,respectivamente, pode ser escrita como:p p
22 'nmk
22 nmk
2 nmnm k
a
2 nm
nm ka
k
Impondo a condição que o campo tem que ser nulo em z = 0
, ,0 , 0tE e A A
p q p q
Que era esperado pelo fato de termos reflexão numa superfícieA A
Que era esperado pelo fato de termos reflexão numa superfíciecondutoraImpondo a condição que o campo tem que ser nulo em z = dImpondo a condição que o campo tem que ser nulo em z d
, , , 0nm nmj d j dtE d e A e A e
, , , 2 sin 0t nmE d e jA d
d l l mnd l mn d
Modos TEnml ou TMnml são os modos ressonantes onde m, n, e li di d i i l d d t i á iindicam o numero de meios ciclos da onda estacionária nasdireções ρ, ϕ, e z.A frequência de ressonância do modo TE l é dada porA frequência de ressonância do modo TEnml é dada por
2 2'nmnml
c lf 2nml
r r
fa d
0 1 2 3 1 2 3 1 2 3n m l
A frequência de ressonância do modo ou TMnml é dado por
0,1, 2,3... 1, 2,3... 1, 2,3....n m l
2 2
2nm
nmlc lf
d
2nmlr r
fa d
0,1,2,3... 1, 2,3... 0,1,2,3....n m l
O modo dominante TE é o modo TE111, cuja freqüência de111 j qressonância é dada por:
2 21 8412 111
1.84122
TE
r r
cfa d
O modo dominante TM é o modo TM010 cuja freqüência deressonância é dada por:
2
0102, 4049
2TM cf
a 2 r r
As freqüências de ressonância são iguais se d/a = 2,03 (modosdegenerados)
Quando d/a < 2,03, o modo dominante é o TM010 e quando d/a >
degenerados)
2,03 o modo dominante é o modo TE111
Os campos para o modos TEnml são dados por:
20
2
' ' sin sin'
nmn
nm
jk a nH lE J n za d
0' '' cos sin'
nmn
nm
jk aH lE J n za d
0zE
0 '' cos cos'
nmn
aH lH J n zd
' nnm a d
20
2
' sin cosnmn
a nH lH J n zd
0' cos sinnm
nlH H J n z
2'
nnm
a d
0 cos sinz nH H J n za d
2 2' 0,1, 2,3... 1, 2,3... 1, 2,3....n m l
Modo dominante TE11111
111'
2 r r
cfa d
Distribuição do campo para modos ressonantes com l = 1 e l = 2p p
O q e claramente demonstra q e são formadas ondasO que claramente demonstra que são formadas ondasestacionárias dentro da cavidade
Fator de Qualidade: Q
Energia média armazenadaW W
Fator de Qualidade: Q
Energia média armazenadaEnergia Perdida por segundo
m eW WQP
Energia média armazenada nos campos magnéticos eeletricos.
,m eW W
P
eletricos.
Potência dissipada no condutor e no dielétrico
Na frequência de ressonância:We =Wm
F t d Q lid d d M d TEFator de Qualidade dos Modos TEnml
Cálculo da energia armazenada, comoW =W
2
2 22
d a
W W E E d d dz
Cálculo da energia armazenada, comoWe Wm
0 0 0
22e
z
W W E E d d dz
2a
22 2 2 22 20
2
0
' ' '''4 '
a
nm nmn n
nmnm
k a dH naJ J da a
22 2 2 2
20' 1 'k a dH n J
2 1'8 '
n nmnmnm
J
Perdas nas paredes condutoras: PPerdas nas paredes condutoras: Pc
2st
RP H ds 2c tparedes
P H ds
O d é i ê i fi i l d d áli d d
R
Onde Rs é a resistência superficial das paredes metálicas dadapor:
e Ht é o campo magnético tangencial as superfícies das paredes
2sc
R
t p g g p pmetálicas.
A ib i ã d id à d i é i l á ib i ã dA contribuição devido à parede superior é igual á contribuição daparede inferior.
zd
zH a Parede lateralParede superior e inferior
0H z 0H
a 0H z H a
2 2 2d
sRP H a H a ad dz
0 02
sc z
zP H a H a ad dz
2 2 22 0 0
a
H z H z d d
0 0
2 0 0H z H z d d
2 22 2
2 2 ' 1 1sR da an a nP H J
0 2 21 12 2 '' '
c n nmnmnm nm
P H J
Fator de Qualidade considerando apenas perdas nos condutores:
22 2 2 2
Fator de Qualidade considerando apenas perdas nos condutores:Qc
22 2 2 220
2
2
' 1 ''4 '
2 2n nm
nmnmmc
k a dH n JWQP
2 22 22 20 2 2' 1 1
2 2 '' '
cc
sn nm
nmnm nm
QP
R da an a nH J
2
2
3
2
1'' nm
c
n
ka adQ
2 2 22 2
2 2
4 '1 1
2 '' '
cnm s
nmnm nm
QR ad an a n
Fator de Qualidade considerando apenas perdas no dielétrico: Qd
0" tanr 0' " 1 tanrj j
2 2*1 ".2 2d
v v
P J E dv E E dv
22 2 2 22 20" ' ' '
ak a dH na
2 202
0
''4 '
nm nmd n n
nmnm
k a dH naP J J da a
22 2 4 2" 'k a H n
20
2 1 ''8 '
d n nmnmnm
k a H nP J
Fator de Qualidade considerando apenas perdas no dielétrico: Qd
22 2 4 2
20' ' 1 'k a H n J
2
22 2 4 2
1'8 ' ' 1
" tan" '
n nmnmnmm e
dd
JW WQP k a H n
20
2 1 ''8 '
d
n nmnmnm
k a H n J
Fator de Qualidade considerando perdas no condutor e nopdielétrico: Qtotal
11 1
totalQQ Q
c dQ Q
Fator de Qualidade dos Modos TMFator de Qualidade dos Modos TM010
Ë importante quando d / a < 2,03Ë importante quando d / a 2,03
0E E H H
201 0 01
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