第十三章排列组合概率 - huajie100.com · 第十三章排列组合概率【注1】以下 ... 6 ，剩下的千位，百位，十位从剩下的5 个数字选3 个数字出来就满足题干的要求了

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第十三章排列组合概率

【注 1】以下解题过程仅参考。【注 2】更多的方法请观看老师系统班排列组合概率课程。

1 、【解析】条件（ 1 ）， 610

410 CC = ；条件（ 2 ）， 126

12346789

44

494

9 =××××××

==PP

C ，

84123789

33

393

969 =

××××

===PP

CC ，则 69

49 CC > ，充分。

【答案】B

2、【解析】 4 1 731 31

n nC C− += 4 1 7n n⇒ − = + 或者4 1 7 31n n− + + = ，所以83

n = 或者 5n = ．

条件（1） ( 3)( 4) 0 3n n n− − = ⇒ = 或者 4n = ，不充分．

条件（2） ( 4)( 6) 0 4n n n− − = ⇒ = 或者 6n = ，不充分．

考虑联合，联合为 4n = ，也不充分．【答案】E 3、【解析】此题利用组合数的计算规则，采用排除法较为快速，排除 A、B、D，选 C。【答案】C

4、【解析】 111

)2()1(1

21 −=== −

−−−−

−− mCCC m

mmm

mm ，

6)1()1(

33

313

1)2()1(

121

−+==== +

+−−+

+−+

nnnPPCCC n

nnn

nnn ，

则 ∑=

−+ =

+=

−+⋅

−=

−

n

k

nn knnnnn

nC

n 1

21 2

)1(6

)1()1(1

31

3，



12

34

则 ∑=

=−n

kkm

11 ⇒ ∑

=

+=n

kkm

11

【答案】D 【注】秒杀法请看黄河的系统班课程。

5、【解析】任意两站之间都有车票，且往返车票不同，则条件（1）有 9022

210 =PC 充分；

条件（2）有 7222

29 =PC 不充分。

【答案】A 6、【解析】“若每两次陈列的商品不完全相同”等价于“每两次拿出 5 种的商品不完全相同”，等价

于“15 件产品任取 5 件”，即 515

15 14 13 12 11 30035 4 3 2 1

C ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅种

【答案】B 7、【解析】本题为涂色问题，

① 先在“1”区域涂色，有15C 种涂法；

② 在“ 2 ”区域涂色，由于不能与“1”区域颜色相同，有 14C 种

涂法；

③ 在“3”区域涂色，由于不能与“1”，“2 ”区域颜色相同，有13C 种涂法；

④ 在“4 ”区域涂色，只要不与“2 ”，“3”区域颜色相同即可，有13C 种涂法；

根据分步原理，则共有涂法： 18013

13

14

15 =CCCC 。

【答案】D

8、【解析】构成的矩形的个数为 280225 =⋅ nCC ，解得 8=n 。

【答案】D



9、【解析】从 1 2 6, ,...,A A A 中取2 个点，再从 1 2 7, ,...,B B B ，中取2 个点，构成四边形，对角线必然

相交于一点，则交点共有 2 26 7 315C C = 个。

【答案】A 【注】不考虑交点在线段上的情况也不考虑交点重合的情况。

10、【解析】特殊位置优先安排，先选出个位数字 16C ，剩下的千位，百位，十位从剩下的 5 个数字

选 3 个数字出来就满足题干的要求了 35C ，所以四位数有 60 个。

【答案】D 【注】更多方法见黄河系统班排列组合概率课程。 11、【解析】条件（1）可以从种子选手的角度考虑，每天每队只比赛一场，一个队只跟其它 11 个

队比赛，所以需要 11 天完成比赛，充分。条件（2）比赛需要 6 天，不充分。【答案】A 【注】更多方法见黄河系统班排列组合概率课程。

12、【解析】假设受伤选手是第二小组的，则第一小组比赛场数为： 24 6C = ，第二小组比赛场数为：

231 4C+ = ，所以小组赛的实际比赛场数是10场。（单循环赛是每两个队只进行一场比赛）

【答案】E 13、【解析】假设一个球队胜了a 场，平了b 场，负了c场，那么列方程有

≤≤≤≤≤≤

=++

808080

8

cba

cba

，则它的得分 bay += 3 的可能性有 240 ≤≤ y 且 23≠y ，所以 y 的取值有 24 种

可能。【答案】B



*********************************************************************************** ***********************************************************************************

14、【解析】 22224 216)2(3 xxC =−⋅⋅ 。

【答案】D

15、【解析】3322

5 720)2(3 xxC −=−⋅⋅

【答案】B

16、【解析】2211

1 2)1(2 −−−+ +=⋅⋅ nnn

n nnxC

【答案】B

17、【解析】 28)1()( 23

628 =−

xxC

【答案】D

18、【解析】6)

33( xx− 中的常数项为： 20)

3()3( 333

6 −=−x

xC 。

【答案】C

19、【解析】

4

+

xax 的展开式中，常数项为： 66)( 2222

4 ==⋅⋅ axaxC ，解得 1±=a 。条件（1）

充分，条件（2）不充分。【答案】A

20、【解析】考虑rrrC −⋅⋅ 504

50 )3()2( ，成为有理数必须要2r和

450 r−

均为整数才行，解出

50,46,42,38,34,30,26,22,18,14,10,6,2=r 共 13 项。

【答案】C

【注】考虑rrrC )3()2( 450

50−

，必须要2

50 r−和

4r均为整数才行，解出 48,,8,4,0 =r 共 13 项。



21、【解析】 7)1( ax− 的展开式中 3x 的系数为：33

7 )( aC − ； 6)1( −ax 的展开式中 2x 的系数为：

4246 )1()( −aC ，解得

73

−=a ，条件（2）充分。

【答案】B

22、【解析】2x 的系数：

257 aC ；

3x 的系数：34

7 aC ；4x 的系数：

437aC ；成等差数列，所以

437

257

3472 aCaCaC += ，化简 03105 2 =+− aa ，根据求根公式解得

5101±=a 。

【答案】C

23、【解析】44

855

833

8 2 ααα CCC =+ ，化简得 0252 2 =+− αα ，因式分解求得 221

== αα or

【答案】A

24、【解析】 )2()2( 310 xxx −+ 的展开式中 11x 项的系数为：

1111210

328210

010010 178)24(2)2(2 xxCxxCxxC =−=⋅⋅⋅+−⋅⋅⋅

【答案】C

25、【解析】 102 )1()1( xx −+ 的展开式中 4x 的系数为：

28210

2022

37310

1112

46410

0202 )(11)(11)(11 xCxCxCxCxCxC −⋅⋅⋅⋅⋅+−⋅⋅⋅⋅⋅+−⋅⋅⋅⋅⋅

44210

310

12

410 15)( xxCCCC =+−= 。

【答案】B

26、【解析】 2 5 2 2 2 2 2( 3 1) ( 3 1)( 3 1)( 3 1)( 3 1)( 3 1)x x x x x x x x x x x x+ + = + + + + + + + + + +

2x 可以由 2x 与常数之积产生；也可以由3x与3x之积产生；



2抽查：7正品： 3次品：

1） 2 25 3 90C ⋅ = 2） 1 5

5 1 5C ⋅ = 则90 5 95+ =

【解析】黄老师上课方法：232023

325

05

401244

04

15 95)1()3()()1()3()( xxxCCCxxCCC =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ 。

大家可以利用我的方法把前面所有的题再练习一遍。【答案】E *********************************************************************************** *********************************************************************************** 27、【解析】：

1） 1 1 13

17CC

2） 0 2 23

07CC

(1)“一般事件数”—10件产品中有3件次品，从中随机抽出2 件，共有多少种不同的选法？

45210 =C

(2)“特殊事件数”—10件产品中有3件次品，从中随机抽出2 件，至少抽到一件次品的选法有多少

种？

2423

07

13

17 =+ CCCC

而“概率=特殊事件数

一般事件数”

则10件产品中有3件次品，从中随机抽出2 件，至少抽到一件次品的概率是

158

210

23

07

13

17 =

+=

CCCCCp 。

【参考答案】：D

28、【解析】至少 2 名男生：2 名男生 1 名女生或者 3 名男生，所以 5035

14

25 =+CCC

【答案】A

【注】请同学思考为什么这样做出错： 0616

25 =CC （先从 5 名男生中选 2 人，再从剩下的 6 人中选



1 人）错的地方当然是重复了，请思考明白！

29、【解析】一般事件： 49C 种；特殊事件数： 1 3

1 8C C 种；故概率为：1 31 8

49

49

C CC

=

【答案】D

30、【解析】“总的事件数”： 10 个人选 3 人；“特殊事件数”：每个专业选一人。1 1 15 4 1

310

16

C C CC

=

【答案】E 31、【解析】一般事件数：从 12 页试卷中抽出 1 页，有 12 种可能。

特殊事件数：抽出的 1 页是数学的可能有 4 种可能。

概率31

124==P

【答案】E

32、【解析】一般事件“10 件灯泡中随机抽出 5 件灯泡”：510C

特殊事件“5 件都是合格品”： 57C ，所以概率为：

121

510

57 =

CC

【答案】A

33、【解析】一般事件“10 件灯泡中随机抽出 5 件灯泡”： 510C

特殊事件“3 件是合格品 2 件是不合格”： 23

37CC ，所以概率为：

125

510

23

37 =C

CC

【答案】B

34、【解析】一般事件“10件产品中随机抽出2 件”： 210C ，特殊事件“至少有一件次品”： 1 1 0 2

7 3 7 3C C C C+ ，



则至少抽到一件次品的概率是：1 1 0 27 3 7 3

210

815

C C C CC+

= 。

【答案】D 同 27 题

35、【解析】条件（1）1 13 2

25

6 0.610

C CC

= = ，充分；条件（2）1 14 2

26

8 0.615

C CC

= ≠ ，不充分

【答案】A

36、【解析】一般事件数：24 6C = ( 4 只球中任取2 球)；特殊事件数： 1 1

2 2 4C C = (红球与三色球两

个球中取1球，则有红色，而另一只球从黑球、白球两个球中取1球)，则概率为：1 12 2

24

23

C CC

=

【答案】D

37、【解析】一般事件： 410C ，特殊事件：①2 红 2 黑，

2 26 4C C ；②1 红 3 黑，

1 36 4C C ；③0 红 4 黑

0 46 4C C ，

概率为：2 2 1 3 0 46 4 6 4 6 4

410

2342

C C C C C CC

+ +=

【答案】A

38、【解析】“总的事件数” 1035 == C ，

“特殊事件数” 1 21 3 3C C= = (4 号球一定选上，剩下的只能在1、 2 、 3这 3个球中任选 2 个)，

3 0.310

p = = ．

【答案】A

39、【解析】条件（1）说明布袋中的球数为2 10

0.2= 个，得不出黄球的个数，不充分；条件（2）



不充分；联合有黄球的概率为0.3，所以黄球的个数为10 0.3 3× = 个，充分。【答案】C 40、【解析】条件（1）举反例：布袋中有 2 个白球，2 个黑球，1 个红球，则随机取出的一球是白

球的概率为52，布袋中红球不是最多，不充分；条件（2）举反例：布袋中有 3 个白球，1 个黑球，

1 个红球，则随机取出的两球中至少有一个黑球的概率为：51

254

54

51

<=⋅ ，布袋中红球不是最多，

不充分；考虑联合，设取出一个红球的概率为 p ，那么由条件（2）取出两球中没有黑球的概率大

于54

，而取出两球中没有黑球分类：两球是白球，两球是红球，一球白一球红：

54

522

52

52 2 >⋅⋅++⋅ pp ，可以解得

21

>p ，所以红球的数量最多

【答案】C

41、【解析】O型血的有 110C 种选法，A型血的有 1

5C 种选法，B 型血的有 18C 种选法，AB 型血的有

13C 种选法，根据乘法原理有： 1 1 1 1

10 5 8 3 1200C C C C =

【答案】A

42、【解析】一般事件：236C ；

特殊事件数：①两人血型相同的是 A型 212C ；②两人血型相同的是 B 型 2

10C ；③两人血型相同的

是 AB 型 28C ；④两人血型相同的是O型 2

6C ；则两人血型相同的概率为：2 2 2 2

12 10 8 6236

77315

C C C CC

+ + +=

【答案】A

43、【解析】 1 1 1 1 1 12 3 2 4 3 4 26C C C C C C+ + = 种。

【答案】B



44、【解析】总共有 6 个班，其中有 2 个班和另 2 个班课程重复，所以不同选课方式为：

2 2 26 2 2 13C C C− − = 种。

【答案】D

45、【解析】条件（1）从11人中任选三人有 311 165C = 种，排除对立面“来自同一科室”，即 3 3

6 3 21C C+ =

种，则有 3 3 36 3 2 6 3( ) 165 21 144C C C+ + − + = − = 种选法，每天一种，有 144 天是不同的选择，充分；

条件（2） 1 1 16 3 2 36 62C C C⋅ ⋅ = < ，不充分。

【答案】A

46、【解析】分类考虑：①只能做英语翻译的选 2 人，只能做法语翻译的选 1 人，2 14 3 18C C = ；

②只能做英语翻译的选 1 人，只能做法语翻译的选 2 人， 1 24 3 12C C = ；

③既能做英语翻译的又能做法语翻译的选 1 人，剩下的选 2 人， 1 21 7 21C C = ；共有 51 人。

【答案】E 47、【解析】

总共有六座桥梁可供选择，在其中任选3座，有 36 20C = ，其中该种图案不满足要求:

故 36 4 16C − = 种。

【答案】B

48、【解析】设 A =“甲考试合格”，设 B =“乙考试合格”；则 AB =“甲乙考试都合格”， ,A B独



立。甲考试合格有两类：

第一类为甲恰好答对2 题： 2 18 2C C ；第二类为甲恰好答对3题： 3

8C ；

故甲考试合格的概率为2 1 38 2 8

310

14( )15

C C CP AC+

= = ；

同理乙考试合格有两类：

第一类为乙恰好答对2 题： 2 16 4C C ；第二类为乙恰好答对 3 题： 3

6C ；

故乙考试合格的概率为2 1 36 4 6

310

2( )3

C C CP AC+

= = ；

所以甲乙考试都合格的是28( ) ( ) ( )45

P AB P A P B= = 。

【注】此题不是很严谨，“甲乙抽出 3 题是相互独立的” 【答案】A 49、【解析】一般事件数：100 种，特殊事件数：20+14-2=32 种，所以概率为 0.32。【答案】D 50、【解析】价格的总可能性有 513,135,353,535,353,531,319共 6 种（其中353两次重复，只能算一

次），而正确的价格只有1种，所以顾客一次猜中价格的概率是16

p =

【答案】B

51、【解析】特殊事件，共4 件（可以取 ( , ) (1,1), (3,3), (5,5), (7,7)a b = ）；

一般事件数： 25 1 24− = （ (0,0) 不能构成直线），则4 124 6

=

【答案】B 52、【解析】特殊事件数：先从4 种赠品中任取一种作为相同的品种，则一位顾客应从选剩下的3种

赠品中任取一种，另一位顾客应从选剩下的 2 种赠品中任取一种，1 1 14 3 2C C C ；一般事件数：一位顾



客从4 种赠品中任取2 种，另一位顾客从4 种赠品中任取2 种， 2 24 4C C ，概率为：

1 1 14 3 2

2 24 4

23

C C CC C

= .

【答案】E *********************************************************************************** 53、【解析】一般事件：前两位可选数字共有 1001010 =× 种，特殊事件：前两位数字都不超过 5（小于等于 5）共有 3666 =× 种，概率为 0.36。【答案】A

54、【解析】一般事件：36 20C = ，特殊事件：列举法 10 1 3 6= + + 或者 10 1 4 5= + + 或者

10 2 3 5= + + 共三种，所以概率为3 0.15

20=

【答案】C 55、【解析】一般事件：“两前，一前一中，一前一后，两中，一中一后，两后”共 6 种，

特殊事件：不超过 70 元为：“一前一后，两中，一中一后，两后”共 4 种，概率为32

【答案】D 56、【解析】该质点移动3个坐标单位到达点 3x = 可以分为以下三类：

1）每次移动一个坐标单位，共移动3次，概率为

32 83 27

=

；

2）先移动一个坐标单位，再移动两个坐标单位到达，概率为2 1 63 3 27⋅ = ；

3）先移动两个坐标单位，再移动一个坐标单位到达，概率为1 2 63 3 27⋅ = ；

根据加法原理：8 6 6 2027 27 27 27

+ + =

【答案】B



57、【解析】分类讨论，甲获得冠军的可能为：①甲胜乙，丙胜丁，甲胜丙， 3.05.03.0 ⋅⋅ ②甲胜乙，

丁胜丙，甲胜丁， 8.05.03.0 ⋅⋅ ，算出概率为 165.0 【答案】A

58、【解析】分类：①从甲袋中抓出白球，从乙袋中抓出白球，115

83⋅ ，②从甲袋中抓出黑球，从乙

袋中抓出黑球，117

85⋅ ，所以概率为

8850

117

85

115

83

=⋅+⋅ 。

【答案】E 59、【解析】分类：①甲发球乙回球失败，则乙输掉一分的概率为：0.3；

②甲发球成功，乙回球成功，甲再回球成功，乙回球失败，则乙输掉一分的概率为

0.210.50.60.7 =×× ，所以在这几个回合中，乙输掉一分的概率为 0.51。

【答案】D

60、【解析】一般事件：4

12C ；特殊事件： 4 1 1 1 16 2 2 2 2C C C C C (这样可以保证没有成双的鞋子)，则概率

为：4 1 1 1 16 2 2 2 2

412

1633

C C C C CC

= 。

【答案】C

61、【解析】甲获胜的可能：“正，反反反正，反反反反反反正，...”概率为：74...

21

21

21

74 =+++

乙获胜的可能：“反，反正，反反反反正，反反反反反反反正，...”概率为：72...

21

21

21

852 =+++

丙获胜的可能：“反，反反正，反反反反反正，反反反反反反反反正...”概率为：71...

21

21

21

963 =+++

【答案】D 62、【解析】由于盒子中有 0只，1只，2只，...10只铜螺母是等可能的，则拿每个盒子的概率为

111。

今随机从盒中取出一个螺母，该螺母是铜螺母的可能性为：



若拿到的是 0只铜螺母的盒子，则拿到铜螺母的概率为111

111× （第一个

111是拿 0只铜螺母的盒子

的概率，第二个111是该盒子中拿到的铜螺母的概率，因为该盒子中有 10和螺母加上放进去的 1个

铜螺母，所以拿到铜螺母的概率为111）；

若拿到的是有 1只铜螺母的盒子，则拿到铜螺母的概率为112

111× ；


111× ；


111× ；...


111× .

根据加法原理，所以概率为116

1111

111

113

111

112

111

111

111

=×++×+×+×

【答案】A

63、【解析】一般事件：三个开关随机闭合两个，23 3C = ；特殊事件： 3S 闭合， 1 2,S S 闭合一个即

可， 1 11 2 2C C = ，概率为

23。

【答案】E 64、【解析】一般事件：连续停留 2 天，有 13 种选择；特殊事件：空气质量优良，有 4 种选择，（1

日 2 日；2 日 3 日；12 日 13 日；13 日 14 日），所以此人停留期间空气质量都是优良的概率为134

。

【答案】B 65、【解析】每条棱中间的3个小正立方体有两面涂有红漆，共有 36123 =× 个这样的小正立方体；而8个顶点的小正立方体有三面涂有红漆；共有 44836 =+ 个小正立方体至少两面涂有红漆，

则 352.012544

==p 。

【答案】D



66、【解析】64 个正方体中有 8 个正方体的三面是有红漆的，一般事件：364C ；特殊事件，

38

156

28

256

18 CCCCC ++ ；至少有1个三面是红漆的小正方体的概率是： 335.03

64

38

156

28

256

18 ≈

++C

CCCCC

【答案】E

67、【解析】条件（1）一般事件： 1 13 3 9C C = ，特殊事件：利用例举法得出有5个组合满足，所以概

率为59，充分；同理条件（2）也充分。

【答案】D

68、【解析】一般事件数： 26 36= 。特殊事件数如下：

1） 1, 1, 2,3, 4x y= = ；2） 2, 1, 2,3x y= = ；3） 3, 1,2x y= = ；4） 4, 1x y= = ；

共有10种。故概率是10 536 18

= 。（落在圆内，需要满足 1822 <+ yx ）

【答案】D

69、【解析】一般事件：26 36= 。特殊事件数如下：

1） 1, 1, 2,3, 4x y= = ；2） 2, 1, 2,3x y= = ；3） 3, 1,2x y= = ；4） 4, 1x y= = ；

共有10种。故概率是10 536 18

= 。（落在三角形内，需要满足

<+>>

600

yxyx

）

【答案】E

70、【解析】条件（1） 3=a ，则 222 )()( aayax =−+− 为 222 3)3()3( =−+− yx

满足条件的有：① 1=x ， 1=y ，2 ，3， 4 ，5；② 2=x ， 1=y ， 2 ，3， 4 ，5

③ 3=x ， 1=y ， 2 ，3， 4 ，5；④ 4=x ， 1=y ，2 ，3， 4 ，5；



⑤ 5=x ， 1=y ， 2 ，3， 4 ，5；共 25 种结果，则点 ),( ts 落入圆 222 3)3()3( =−+− yx 的概

率为41

625

2 ≠ ，不充分。

条件（2） 2=a ，则 222 )()( aayax =−+− 为 222 2)2()2( =−+− yx

满足条件的有：① 1=x ， 1=y ，2 ，3；② 2=x ， 1=y ，2 ，3；③ 3=x ， 1=y ，2 ，3；

共9种结果，则点 ),( ts 落入圆 222 2)2()2( =−+− yx 的概率为41

69

2 = ，充分

【答案】B

71、【解析】临界状态考虑，要使得 AB 是最大边的概率等于21，也就是说 P 点的可能性为 CD 线段

的一半，根据图形，所以 21, PP 是四分点，假设 xDP =1 ，那么47

4)3()4( 22

=−

=x

xxABAD

，因

为概率是大于21，所以

47

<ABAD

。条件（1）充分。

【答案】A *********************************************************************************** 72、【解析】第一个人可以有3种不同的选择；第二个人可以有3种不同的选择；第三个人可以有3种不同的选择；第四个人可以有3种不同的选择；

第五个人可以有3种不同的选择；根据乘法原理有： 53 243= 种不同的报法

【答案】A

73、【解析】“一般事件数” 6443 == ，“特殊事件数” 633 == P ，则概率

323

646==p

【答案】D

74、【解析】“一般事件数” 6443 == (将3人放入4 间房中)

“特殊事件数” 2433

34 =⋅= PC (先从4 间房中选3间，再将3个人放入3间房，且1人1间)。



则 =p “特殊事件数”/“一般事件数” 375.06424

43

33

34 ==⋅

=PC

。

【答案】B

75、【解析】“一般事件数”=“3个人，每人都以相同的概率被分配到4 间房的每一间的分法” 34= ；

“特殊事件数”=“某指定房间中恰有2 人的分法”：

① 先从3个人任意选2 个人放入某指定房间有 23C ；

② 再把剩下的1个人放入剩下的3间房中的一间有 13C ；

则649

43

13

23 ===CCp

“一般事件数”

“特殊事件数”。

【答案】C 76、【解析】

【答案】D

77 、【解析】 1 ）第一步：从 A B→ 有 ( )甲：山，乙：山， ( )甲：大，乙：大，

( )甲：山，乙：大， ( )甲：大，乙：山，共4 种；

2）若第一步为 ( )甲：山，乙：山，

甲乙丙

白红01

白红11

白红02

白红12

①

②

③

④

82201

12 =⋅⋅CC

412

11

12 =⋅⋅ CCC

212

01

22 =⋅⋅ CCC

111

22 =⋅CC

95

2 71 5

31248

3 ==+++

=p



则第二步从 B C→ ，有 ( )甲：山，乙：山，( )甲：大，乙：山，( )甲：山，乙：大，共3种；

即排除二人都更改道路： ( )甲：大，乙：大。

3）同理，第三步从C A→ ，即排除二人都更改道路的那种情形，共3种。根据分步原理有4 3 3 36× × = 种。【答案】C *********************************************************************************** 78、【解析】6 个人中有 1 个人得一等奖，剩下的 5 个人有 2 个得到二等奖，剩下的 3 个人得到三等

奖： 6033

25

16 =CCC 种结果。

【答案】D

79、【解析】先把班级分三组，一组 1 个班，一组 2 个班，一组 3 个班，33

25

16 CCC ，再把三个老师

分给三个小组， 33P ，所以分法有 3603

333

25

16 =PCCC 种

【答案】B

80、【解析】先将4 封信分成2 、1、1共3堆，有 622

12

12

24 =

⋅⋅P

CCC种分法，

再将3堆不同的信放入3个不同的邮箱，有 633 =P 种投法，

根据乘法原理，共有 3666332

2

12

12

24 =⋅=⋅

⋅⋅ PP

CCC种投法。

【答案】C

81、【解析】第一步：将5名志愿者分为2,1,1,1共 4 堆，有2 1 1 15 3 2 1

33

10C C C CP

= ；第二步：将这4 组分

配到4 所中学，有 44 24P = ；根据乘法原理有

2 1 1 145 3 2 1

433

240C C C C PP

⋅ = 种



【答案】A

82、【解析】10 组选手平均分 2 组的可能有5 510 5

22

C CP

种，两位选手不在同一组，先把 8 个分 2 组，再

与 2 名种子选手排4 4

28 422

2

C C PP

⋅ ，所以概率为4 48 45 510 5

22

59

C CC C

P

=

【答案】C

83、【解析】一般事件：6个人分甲乙丙三组，平均每组两人：22

24

26 CCC ；

特殊事件：每组都是异性： 33

33 PP ；所以概率为：

52

【答案】E 84、【解析】10个相同的小球，中间有9个空隙，在这9个空隙中任取3个空隙，可将这10个相同

的小球分为4 堆，因此 39 84C = 。

【答案】B ***********************************************************************************

85、【解析】1）先安排某一种工种，只能在前4 个中选择一种，即 14C ；

2）剩下的4 个工种随便排列，即 44P ；根据乘法原理有 1 4

4 4 96C P =

【答案】A

86、【解析】剩下的四位号码从九个数字里面选四个数字任意排列：4

9 3024P = 。

【答案】C



87、【解析】先选后排， 720055

24

35 =⋅⋅ PCC 。

【答案】D

88、【解析】2个女生在第二局和第四局有 22 2P = 种，剩下3个男生只能在第一局、第三局和第五局

有 33 6P = 种，根据乘法原理有 2 6 12× = 种．

【答案】A

89、【解析】条件（1）先从两名女生选一人出来进行第一位面试，剩下任意排列：1 42 4 48C P = ，不

充分；条件（2）第二位是指定男生，有一种选法，剩下四个位置四个人任意排列： 1 41 4 24C P = ，

充分。【答案】B

90、【解析】（1）“一般事件数”6 名与会者坐10个座位，有 6 610 6C P 种坐法

（2）求“特殊事件数”先从6 名与会者选4 名，坐4 个座位，有 4 46 4C P 种坐法，

再让剩下的 2 名与会者坐另外6 个座位中的 2 个，有 2 26 2C P 种坐法，根据乘法原理，则指定的 4 个

座位被坐满的坐法共有 4 4 2 26 4 6 2C P C P 种坐法；则概率为：

4 4 2 26 4 6 2

6 610 6

114

C P C PC P

= 。

【答案】A

91、【解析】利用捆绑法，先三个家庭内部排列，然后每个家庭看成整体进行排列： 4)!3(

【答案】D

92、【解析】11个座位安排2 人就座，总的坐法种数为 2 211 2 110C P = 种。

两个相邻的坐法共有 228 16P = 种：



因此，有110 16 94− = 种不相邻的坐法。【答案】C 93、【解析】错排问题，4 个错排，有 9 种选择。【答案】D *********************************************************************************** 94、【解析】条件（1）合格的概率是 20.81 0.6561 0.8= < ，不充分．条件（2）合格的概率是 20.9 0.81 0.8= > ，充分．【答案】B

95、【解析】 , ,A B C 三个为并联关系，则1 (1 )(1 )(1 )p q r− − − − 而， 1 2,D D 与 , ,A B C 构成串联电

路，则 )]1)(1)(1(1[)()]1)(1)(1(1)[( 221 rqpsDPrqpDP −−−−=−−−−

【答案】E

96、【解析】直接套用公式：

334

2 1 323 3 81

C =

。

【答案】C 97、【解析】①“他在每一个路口遇到红灯的事件相互独立”，事件是独立的。 ②“王先生驾车从家到单位必须经过三个有红绿灯的十字路口”，事件是重复的。 ③“他在每一个路口遇到红灯的概率都是 5.0 ”，事先知道概率



只有联合（1）（2），才会使以上三点都成立，那么该事件就是一个独立重复事件，其概率为

125.0)211()

21( 300

3 =−C ，因此联合充分。

【答案】C

98、【解析】条件（1）12815)2.01()2.0( 71077

10 ≠− −C ，不充分；

条件（2）12815

1024120)5.01()5.0( 71077

10 ==− −C ，充分。

【答案】B 99、【解析】设流感的发病率为 p ，从对立面思考问题，则 3 中至少有 1 人患该种流感的概率为

( )31 1 p− − 。条件（1） 0.3p = ， ( )3 31 1 1 0.7 0.271p− − = − ≠ ，不充分；

条件（2） 0.1p = ， ( )3 31 1 1 0.9 0.271p− − = − = ，充分

【答案】B

100、【解析】条件（1）答对 2 道题或者答对 3 道题： 2 2 3 33 3

2 1 2 20( ) ( )3 3 3 27

C C+ = ，充分．

条件（2）推出答错各题的概率是13，则答对的概率是

23，于是等价条件（1），充分

【答案】D

101、【解析】成功报警的对立面是没有一个报警，则1 (1 ) 0.999np− − ≥ ；

条件（1） 3n = ， 0.9p = ，则 31 (1 0.9) 0.999− − = ，充分；

条件（2） 2n = ， 0.97p = ，则 21 (1 0.97) 0.9991− − = ，充分

【答案】D

102、【解析】条件（1）显然不充分，条件（2）显然也不充分；联合（1）（2）有 9744.0)6.01(1 4 =−−=P ，



不充分。【答案】E

103、【解析】51

210

11

19 ==

CCC

P ，条件（1） 2=n ， PQ <=⋅−=10019

109

1091 不充分，条件（2）

PQ >=⋅⋅−=1000271

109

109

1091 ，充分

【答案】B 104、【解析】一个人的血型为O型的概率为 46.0 ，不是O型的概率为 54.0 。

至多一人血型为O型,可以分为两类：

1）血型为O型的一个人也没有： 0459.0)54.0()46.0( 5005 =C

2）血型为O型的有一人： 1956.0)54.0()46.0( 4115 =C

根据加法原理有 241.01956.00459.0 ≈+ 。【答案】D

105、【解析】A：表示“单天超过15人”的事件，则 ( ) 0.25 0.2 0.05 0.5P A = + + = ，B：表示“单

天不超过15人”的事件，则 ( ) 0.1 0.2 0.2 0.5P B = + + = 。

解法一：“连续两天至少有一天超过15人”的概率：

( ) ( ) ( ) 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5P P AB P BA P AA= + + = ⋅ + ⋅ + ⋅

解法二：“连续两天至少有一天超过15人”的概率 1 ( ) 1 0.5 0.5 0.75P P BB= − = − ⋅ =

【答案】E 106、【解析】用反面做最快，“至少有一个是 A 类细菌”的反面是“没有一个是 A 类细菌”，而没有

一个是 A 类细菌意味着全部是 B 类细菌，概率为 n)21( ，所以至少有一个是 A 类细菌的概率为：

n)21(1− 。



【答案】D 107、【解析】甲选手以 1:4 战胜乙选手，则比赛共进行5局，甲在前 4 局败了1局，最后一局一定

是甲胜（如若甲在最后一局败了，则前4 局全胜，比赛的结果为 0:4 ，根本无需赛第5局，因此甲

在前4 局败了1局，最后一局一定是甲胜）甲在甲在前4 局败了1局，可以在任何一局败，并无指定。

则甲选手以 1:4 战胜乙选手的概率为 334334 7.084.07.0)7.01()7.0( ×=⋅− −C 。

【答案】A 108、【解析】有 5 次试验，说明最后 1 次成功，前 4 次成功 1 次，失败 3 次，有贝努利定律有：

1 3 2 34 (1 ) 4 (1 )C p p p p p− ⋅ = − 。

【答案】A 109、【解析】“这三个事件不全发生”的对立事件是“这三个事件全发生”。

则 P (“这三个事件不全发生”)= −1 P (“这三个事件全发生”) 3321 1)(1 pAAAP −=−=

而选项 C． 32323 133331)1(3)1( ppppppppp −=−+−+−=−+− 。【答案】C 110、【解析】分类，第 1 个投中，还剩 4 个未投概率为：0.1 第 1 个没中，第 2 个投中，还剩 3 个未投概率为： 0.10.9× 前 2 个没中，第 3 个投中，还剩 2 个未投概率为： 0.10.90.9 ×× 前 3 个没中，第 4 个投中，还剩 1 个未投概率为： 0.10.90.90.9 ××× 所以概率为：0.1+0.09+0.081+0.0729=0.3439。【注】也可以考虑反面，“至少剩下一个未投”的反面为“5 个环都要投，前 4 个都没进，第 5 个投

中不投中都可以” 【答案】B

111、【解析】分类：①第一次结束：第一次正面朝上：21；

②第三次结束：81

21

21

21

=⋅⋅ ；



所以概率为85

【答案】C

112、【解析】前提通过每关的概率都是21，则不通过的概率也是

21．

要求是连续通过 2 关就算成功，分类：用√表示成功，用×表示不成功．

第一类（只需闯两关即可）：√√ 则概率为 21 1( )2 4

=

第二类（需闯三关才可）：×√√ 则概率为31 1( )

2 8=

第三类（需闯四关才可）：××√√ 则概率为41 1( )

2 16=

√×√√ 则概率为41 1( )

2 16=

第四类（需闯五关才可）：×××√√ 则概率为51 1( )

2 32=

×√×√√ 则概率为51 1( )

2 32=

√××√√ 则概率为51 1( )

2 32=

故总的概率是3219

【答案】E

113、【解析】设 iA =“第 i 将锁打开”，则101)( 1 =Ap ，

109)( 1 =Ap ，第 4 次试开时才将锁打开，

意味着前3次都没有打开，第 4 次时打开，即 4321 AAAA ，101

71

87

98

109)( 1234 =⋅⋅⋅=AAAAp

【答案】D

114、【解析】1）第一次打开的概率为1 1 1 1

10 9 8 720⋅ ⋅ = ，第一次没打开的概率为

1 7191720 720

− = ；

2）第一次没打开，第二次才打开的概率为719 1 1720 719 720

⋅ = ；



A B

A BC

3）第一次第二次没打开，第三次才打开的概率为719 718 1 1720 719 718 720

⋅ ⋅ = ；

则能够启动此装置的概率为1

240。

【答案】C

115．甲、乙、丙三人进行定点投篮比赛，已知甲的命中率为 0.9，乙的命中率为 0.8，丙的命中率

为 0.7，现每人各投一次，则三人中至少有两人投进的概率为( )。

A．0.398 B．0.496 C．0.504 D．0.892 E．0.902

116*．甲、乙、丙三人进行定点投篮比赛，已知甲的命中率为 0.9，乙的命中率为 0.8，丙的命中

率为 0.7，现每人各投一次，则三人中至多有两人投进的概率为( )。

A．0.398 B．0.496 C．0.504 D．0.892 E．0.902

115、【解析】无人投进：甲不中乙不中丙不中： 006.03.02.01.0 =×× 有一人投进：甲中乙不中丙不中；甲不中乙中丙不中；甲不中乙不中丙中：

092.00.70.20.10.30.80.10.30.20.9 =××+××+×× 有两人投进：甲中乙中丙不中；甲中乙不中丙中；甲不中乙中丙中；

398.00.70.80.10.70.20.90.30.80.9 =××+××+×× 有三人投进：甲中乙中丙中； 504.07.08.09.0 =×× 【答案】E 116、【解析】由 115 题可知，或者逆向考虑：总概率减去三人都投进的概率： 496.0504.01 =− 【答案】B 117、【解析】 ( ) ( ) ( )P A B P A P AB− = − ，得到 ( ) 0.2P AB = ，所以

( ) ( ) ( ) ( ) 0.5 0.4 0.2 0.7P A B P A P B P AB+ = + − = + − = 【答案】D



AB

118、【解析】 CA ⊃ ， 7.0)( =AP ， 4.0)( =−CAP ，

则 3.04.07.0)()()( =−=−−= CAPAPCP ，

CA ⊃ ， CB ⊃ ，则 CAB ⊃ ，则 2.03.05.0)()()( =−=−=− CPABPCABP 。

【答案】B

119、【解析】 6.04.01)(1)( =−=−= BPBP ， AB ⊃ ， 30.0)( =AP ，则 3.0)()( == APABP ，

3.03.06.0)()()()()( =−=−=−=− APBPABPBPABP ，

则 7.03.01)(1)( =−=−−=− ABPABP 。

【答案】D

120、【解析】 2.03.05.0)()()( =−=−−= ABAPAPABP

8.0)(1)()( =−==+ ABPABPBAP

【答案】E 121、【解析】 BA ⊃ ， CA ⊃ ⇒ BCA ⊃ ，

8.0)( =+CBP ⇒ ( ) ( ) 1 ( )P B C P BC P BC+ = = − ,可得 ( ) 0.2P BC = ，

7.02.09.0)()()( =−=−=− BCPAPBCAP

【答案】C

122、【解析】 9.0)(6.05.0)()()()( =−+=−+=+ ABPABPBPAPBAP ，

解得 2.0)( =ABP ， ( ) ( ) 1 ( ) 1 0.2 0.8P A B P AB P AB+ = = − = − = 。



【答案】E

123、【解析】 3.0)()(1)()( =⇒−==+ ABPABPABPBAP ，

所以 5.03.08.0)()()( =−=−=− ABPCPABCP 。

【答案】E

124、【解析】： ))(1))((1()()()()()()( BPAPBPAPBAPBPAPABP −−==== ，

即 6.0)())(1(6.0)(4.0 =⇒−= BPBPBP 。

方法二： )()()(1)(1)()( ABPBPAPBAPBAPABP =−−=−== ，

1)()( =+⇒ BPAP ，即事件 A和 B 为对立事件，则 6.0)(1)()( =−== APAPBP 。

【答案】E 125、【解析】条件（1）， ACBA = ，即 AABC = ABC ⊃⇒ AB ⊃⇒ 且 AC ⊃ 故 A发生必然导致 B 、C 同时发生，充分；

条件（2）， ACBA = ，即 ACBA =++ ACB ⊂+⇒ ，故 A发生， B 、C 未必同时发生，不充分；

【答案】A

126、【解析】条件（1） BCA⊂ ，即 CBA ⊂ ，故 A发生必导致 B 与C 至少有一个不发生，充

分；条件（2） BCA ⊃ ，即 BCCBCBA ==⊃ BCA⊂⇒ ，充分。

【答案】D

127、【解析】条件（1）事件 A与 B 相互独立⇒ A 与 B 相互独立，但由此推不出 Ω=BA ，即

推不出 BA 是必然事件，条件（1）不充分；

条件（2）事件 A与 B 互不相容，即 φ=BA

而 Ω=−Ω=−Ω=−Ω== φABBABABA ，即 BA 是必然事件，条件（2）充分。

【答案】B



128、【解析】 0)](),(min[ =BPAP ⇔ )(AP ， )(BP 至少一个等于零，即 0)( =AP 或 0)( =BP ，

因此两个条件联合时，有 0)()()( == BPAPABP 0)( =⇒ AP 或 0)( =⇒ BP

【答案】C

129、【解析】条件（1） A与 B 互不相容,即 φ=−= BABA ,从而 AB ⊃ ,不充分；

条件（2） A 与 B 互不相容，即 φ=−= ABBA ，从而 AB ⊂ ，故 )()()( BPAPBAP −=− ，充

分。【答案】B

130、【解析】（1） )()()()( ABPBPAPBAP −+=+ 在任何时候都成立；

（2）事件 A和 B 互不相容，则 0)( =ABP 成立；

（3）事件 BA 和 BA 有交集，则 )()( BPBAP = ， )()( APBAP =

)()()()()( BAPBAPBPAPBABAP +=+=+ 成立；

（4） 1)(1)()( =−==+ ABPABPBAP ，成立。

【答案】A

131、【解析】A． )()()()( APABPAPBAP =−=− ，正确；

B． ))(1()()()()( ABPAPABPAPBAP −−=−=−

)(1)( BAPAP ++−= ，正确；

C． )()()( BPAPBAP −=− ，因为 A， B 互不相容，则 BA ⊃ ，则

)()()()()( BPAPBAPAPBAP −=−=− ，正确；

D． )()()()()]()[( APABPAPBAPBABAP =−=−=− ，正确；

E． )()()(1)(1)( APABPAPBAPBAP =+−=−−=−



)()(1)()()()()( APABPAPABPAPBAPAP −=+−=−=− ，不正确；

【答案】E

132、【解析】 )()()(])[(])[( ABCPACPABCACPCABAPCBAP −=−=−=−

由条件（1）， A、 B 、C 两两独立，则 )()()( CPAPACP = ，

由条件（1）， )()()()( CPBPAPABCP =

故 )()()()()()()( CPBPAPCPAPABCPACP −=−

)()]()()([ CPBPAPAP −=

)()]()([ CPABPAP −=

)()( CPBAP −=

由以上推导易知，条件（1）和条件（2）单独均不充分，但联合充分。【答案】C

133、【解析】 CAB ⊂ ，故 1)()()()()()()( −+≥+−+=≥ BPAPBAPBPAPABPCP ，

（因 1)( ≤+ BAP ）。

【答案】B

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第十三章 排列组合概率 - huajie100.com · 第十三章 排列组合概率 【注1】以下 ... 6 ，剩下的千位，百位，十位从剩下的5 个数字 选3 个数字出来就满足题干的要求了

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