233

第十章 势散射理论

§10.1 一般描述

1, 散射(碰撞)实验的意义及分类

散射(碰撞)实验是指具有一定动量的入射粒子束流，射

向处于气、液、固体形态的靶粒子上，和靶粒子相互作用(电

-弱作用或强作用)之后，入射粒子、靶粒子或新生出的粒子

由相互作用的局限区域散射飞出。除入射粒子的流强和能量

之外，散射实验主要测量出射粒子的种类、能量、强度角分

布(微分截面)、极化状态、角关联等等。在实验和理论计算

中，可以近似认为入射粒子束流是单色平面波, 而(不一定和

入射粒子同类的)出射粒子束流是(渐近自由的)出射球面波，

入射粒子和靶粒子的相互作用导致入射和出射粒子不同状

态之间的跃迁。各种类型的跃迁可以在设定相互作用之后由

散射理论来计算。理论计算结果可以直接经受实验检验，因

此散射(碰撞)实验在对微观粒子相互作用以及它们内部结构

研究中处于一种特殊的地位，它们是原子物理、核物理的重

要研究手段，是粒子物理几乎唯一的研究手段。

散射(碰撞)过程可以区分为以下三大种类：

弹性散射过程 A B A B

非弹性散射过程 *A B A B ( *A 是 A的激发态)

碰撞反应过程 A B C D （+ ┄）

▲“弹性散射”过程中，不存在粒子种类的改变，而且不发

234

生机械能（ A、B粒子总动能和相互作用势能之和）和粒子

内能之间的转化。因此，机械能守恒，可以认定粒子不存在

内部结构自由度；

▲“非弹性散射”。存在机械能与粒子内能之间的转化。比

如，电子在原子上的散射造成靶原子内部状态的激发（或退

激发）；

▲“碰撞反应”。这类反应又按参与碰撞的组分粒子的数目

是否守恒而区分为“重组反应”和“碰撞反应”过程。

“重组反应”：碰撞造成复合粒子的重新组合，参与反

应的粒子守恒。这时没有新粒子产生和旧粒子湮灭，只是入

射复合粒子 A、B内部组分粒子在碰撞下的分解或重组，呈

现出C 、D不同于 A、B的现象。比如，入射粒子使靶粒子电

离或分解，或是各种原子核反应。它们属于一般的形式散射

理论处理范围。

“碰撞反应”：这时过程中出现新旧粒子产生和湮灭，

参与反应的粒子数不再守恒。一般更是C 、D不同于 A、B的

现象。比如正负电子偶碰撞相互湮灭成为两个光子，自由飞

行中子衰变成质子和电子。它们属于量子场论处理范围。

<原子物理典型例子>

*

e H

e H e H

e e p

<核物理典型例子>

235

12

12 12

3 9

p C

p C n N

p He Be

<粒子物理典型例子>

0

0 0

p

p K

p

散射(碰撞)相互作用可以分为两大类：可以用局域的空

间变数的函数——势函数描述的情况，这时的散射称为势散

射；不能用局域的空间变数的函数的情况。这些属于形式散

射理论和量子场散射理论。有时也把除了弹性散射以外的全

部散射(碰撞或反应)过程统称为非弹性散射过程。

本章只研究弹性的势函数散射的过程，但其中有些概念

对非弹性势散射(乃至碰撞反应过程)也适用。

2, 基本描述方法 —— 微分散射截面

设入射粒子束的流密度为 0j ，其量纲为 2 1( ) 厘米 秒 ，在

散射区域和靶粒子相互作用之后，朝 ( , ) 方向散射出去。设

( , )J 单位时间内沿 ( , ) 方向单位立体角散射出去的粒子

数目，量纲为 1秒 。于是，定义沿 ( , ) 方向散射的微分散射

截面 ( , ) ( , )d d 为

0

( , )( , )

J dd

j

(10.1)

按定义， ( , ) 的量纲为 2厘米 。但如果设定入射粒子束用

平面波ikze 描述(如同下面所做的那样)，则 0

kj v

。显然，

236

这时分母 0j 的量纲不正确，那是由于入射波函数量纲不正

确。但不要紧，只要在计算分子 ( , )J 时也使用这个入射波

函数， ( , ) 作为比值，量纲就自动是 2厘米 ，是正确的。

总散射截面为

4 4 40

1( , ) ( , )d d J d

j (10.2)

等于流强为每秒每平方厘米有一个入射粒子，并且该平方

厘米面积内只有一个靶粒子，经碰撞后散射粒子的份额。

3, 入射波、散射波和散射振幅

下面计算中假定对此两体问题取了质心系，并分离掉质

心系平动运动。于是势散射是入射粒子以折合质量 在静止

势场 ( )V r中散射， r

是靶粒子到入射（散射）粒子的矢径。

通常，入射粒子束流不可能绝对的单色，入射粒子波函

数应当以某种形式的波包来描述。但这种描述本身难以确切

和统一化 (事实上，不同的粒子加速装置所产生的同一种类

粒子束流，非单色情况会稍有差别)，从而给散射实验的理论

处理带来复杂性、不确定性。因此，下面总是将入射波理想

化成为（沿 z 轴前进的）平面波i k ze 。 进一步理论分析表明，

只要入射束流足够单色(束流的动量波函数 ( )p足够好地集

中在平均值附近)，则这种平面波近似将不会带来影响，就是

说，此时散射结果与 ( )p 的具体形状无关 1。

1 参见 J.R. Taylor，Scattering Theory：The Quantum Theory on Non-relativistic Collisions，John Wiley &

Sons，Inc.，1972。张永德,《高等量子力学(下册)》，科学出版社，2010 年, p.431。

237

在远离散射中心处（ r ），散射粒子状态（散射波）

是一个渐近形式为 ( , )i k re

fr

的出射球面波（这个波的位相

是 kr Et ，盯住波形上任意选定点，即认定某一位相值，

发现随 t 增加保持此位相值的 r 增大，表明向外传播）。这里

, 为出射粒子的方位角， 为相对于入射粒子飞行方向的

偏转角又称散射角， r 为散射中心到探测点的距离， k为散

射波的波数，由于是从固定力心上的弹性散射，k也就是入

射波的波数。其中， ( , )f 描述出射粒子朝向不同方向散射

的概率振幅，称为“散射振幅”。

下面计算渐近形式为 ( , )ikre

fr

的散射波平均流密度：

, , , ,2

ikr ikr ikr ikre e e ej f f f f

i r r r r

利用球坐标1 1

, ,sinr r r

计算比较方便，简单计算

即得

2

2 3 3

, 1 1, r

fkj e e O e O

r r r

散

由此可知，当 r 时散射球面波的流密度矢量为 2

2

( , )r

fkj e

r

散

将此流密度矢量乘以球面元 2dS r d

，即得沿 ( , ) 方向在

d立体角元内的散射流

238

2

, ( , )k

J d j dS f d

散

注意这时入射流密度 0

kj

，从而微分截面就等于

2

0

( , ) ( , )j dS

d f dj

散

就是说，

2( , ) ( , )f (10.3)

说明：在平面波i k r i k ze e

入射下，正能量的入射粒子经散

射后，散射球面波的渐近表达式如表示为 ( , )i k re

fr

形式，

则其中散射振幅 ( , )f 的模平方即为所求的微分截面。

于是散射问题计算可以明确地表述为：求解势函数为

( )V r的定态Schrodinger 方程的渐近形式如下的正能量解，

( , , ) ( , )ikr

r ikz er e f

r (10. 4)

得到散射振幅 ( , )f 后，按（10.3）式即得微分截面。

下面两节用不同方法（“分波法”和“Green 函数法”）

求这个正能量定态解的渐近表达式(10. 4)式，主要是第二项

——散射球面波的渐近表达式。

对（10.4）式应注意两点，其一，右边并未归一，也无

法归一，只要求其中第一项——入射波是i k ze 的形式，则整

个解的第二项——散射球面波项前面的系数自然就是散射

振幅；其二， 0 时，右边两项之间不存在干涉。这是因

为探测器通常放置在kr 处，kr 非常大。对于 0 ，两项

239

间的交叉项（干涉项）(1 cos )i k z i k r i k re e e ，指数上因

子 1 coskr 随 变化快速振荡。但探测器总有一个很小的张

角 ，只要探测器不放置在 0 处，此交叉项在 内的总和

将因指数上的快速振荡而被抹去。就是说，探测器只要不位

于 0 附近，将检测不到入射波i k ze 以及它与出射波的干

涉。这正是仅用散射波（而不计入i k ze 项）计算出射流密度

的实验根据。

§10.2 分波法 —— 分波与相移

1, 分波法的基本公式

当势场为中心场 ( ) ( )V r V r 时， 2L 、 zL 守恒。散射过程可

以用下面简单直观的理论描述。

这时散射具有绕 z 轴旋转对称性。就是说，散射分布与

角无关。于是散射问题归结为：

求解定态Schrodinger 方程具有如下渐近形式的正能解：

2 2

2

2 2

10 : ( , ) ( ) ( , ) ( , )

2

( ) ( )ikr

r ikz

LE r r V r r E r

m r r r r

er e f

r

为此，事先设定解的形式为（ la 是待定系数）

0

, cosl l kll

r a P R r

（10. 5）

能够如此设定的理由是：这时 ,l m都是好量子数。如果将入射

平面波分解为不同 l分波的叠加，各 l分波将各自独立散射，

可以分开处理；而且，问题具有绕入射轴旋转对称性，与角

240

无关，可以取定 0m 。这样一来，本应球谐函数展开就简化

成按 Legendre 多项式展开： ( , ) (cos )lm lY P 。下面的任

务就是确定 klR r 形式和系数 la 数值。

为此首先回忆起，平面波 ikze 可以展开为

cos

0

(2 1) ( ) (cos )ikz ikr ll l

l

e e l i j kr P

0

1(2 1) sin (cos )

2kr l

ll

ll i kr P

kr

1

0

(2 1)( 1) (cos )

2l ikr ikr

ll

le e P

ikr

其次，将展开式（10.5）式代入定态 Schrodinger 方程。不

同 l分波彼此分离，相应方程分别等于零。得

2 2

2 2 2

1 ( 1) 2( ) 0kl

kl

dRd l lr k V r R

r dr dr r

(10.6a)

这里 2

2

2 Ek

。作变换 ( ) ( )kl klr rR r ，得

2

2

2 2 2

( 1) 2( ) 0kl

kl

d l lk V r

dr r

(10.6b)

下面研究此方程的渐近行为：当kr 时，函数 kl 趋于满足，

22

20

d yk y

dr

其解为 ( ) sin( )y r kr ， 待定常数。于是 ( )kl r 渐近表达式

( ) 2sin2

kr

kl l

lr kr

这里按上面平面波ikze 展开可知，已令 kl 正弦函数前面振幅

为 2，同时从待定位相 中分离出2

l ，剩下部分当作新的待

241

定常数 l 。显然， l 是中心势 V r 使第 l个散射分波产生的相

移。现在可以顺利地从整个解中分离出平面波项。注意有

( 2 )12 1( ) sin ( ) ( 1)

2l lkr i i krl l ikr

kl l

lR r kr i e e e

r ir

将它代入(10.5)式，得

( 2 )1

0

( )( , ) ( 1) (cos )

l

l

ilkr i krl ikr

l ll

i er a e e P

ir

1

0

2

0

( )( 1) (cos )

( )1 (cos )

l

l

l

ill ikr ikr

l ll

ili ikr

l ll

i ea e e P

ir

i ea e e P

ir

将此渐近式第一项和平面波展开式比较，即得系数 la 表达式

2 1

2lil

l

la i e

k

将它们代入 ( , )r 渐近表达式，就得到最后结果，

0

2 1( , ) ( 1) (cos )

2

ikrkr ikz

l ll

e lr e S P

r ki

(10.7)

这里 exp 2l lS i 。最终，分波法的散射振幅表达式为

0

1( ) (2 1)( 1) (cos )

2l l

l

f l S Pki

(10.8a)

公式表明，中心场散射振幅计算归结为对各个 l分波相移 l

计算。这组相移 l 完全确定了散射。如果某个 l 分波相移为

n ，该分波的散射振幅为零。

由 f 的模平方可得微分截面 σ θ, ，再进一步对 θ,

积分可得总截面，

242

2

2 2

200

12 2 1 1 cos sin

4li

t ll

f d l e P dk

由于 Legendre 多项式 coslP 有如下正交归一关系

0

2cos cos sin

2 1l l l lP P d

l

于是得到

2

20

42 1 sint l

l

lk

(10.8b)

这里， t 展开式中的每一项代表该 l 分波的分波截面。因此，

中心场的分波法计算中，微分截面和总截面的计算(10.8a，

b)式都归结为各个 l 分波相移 l 的计算。

2, 分波法的一些讨论

i, maxl 的估值。实际计算中对 l求和不可能也不必要

算到无穷多项。下面按物理分析给出 maxl 的一个估值。

一般说， l 值越大的分波所对应的角动量越大，离心倾

向也越大，瞄准距离b也越大，受中心力场的影响就愈小，

因此对应的相移 l 也越小。当 l 增加到相应的 0l 时，就不

必再考虑此分波(及更大 l 值分波)了。于是 maxl 值可如下估算。

设a为势场范围尺度，由于最大瞄准距离b a ，故得

max maxmvb mva l ka l ka

说明：入射粒子能量越大（波数越大）或者力程越长，需要

考虑的分波数就越多。反之，低能入射粒子在短程势上的散

射，所要考虑的分波数就很少。事实上，当 1ka 时，只需

要考虑 0l 的 s 分波即可。这时由于 0 (cos ) 1P ，表明质心系

243

中低能散射角分布是各向同性的。

ii, 相移 l 是如下两种渐近径向波函数的位相差：

有 ( )V r 的 ( )klR r 渐近式 ━ 无 ( )V r 的 ( )lj kr 渐近式

如上所说，当 0l 或n 时，该分波不发生散射，仿佛从势场

中自由透过。一般情况，根据实验测得的 ( ) 曲线，用最小

二乘法拟合可以确定一组参数 l 。这组 l 是研究入射粒子

与靶粒子之间相互作用的重要资料；根据所得的 l ，可以

近似复原散射势的形状。为复原 ( )V r ，原则上只需要知道一

个相移 ( )l k 的函数形状(比如 s波相移 0 ( )k )就可以了1。

iii, 中心势 ( )V r 正负号与 l 正负号的关系。 由于出射球

面波位相2 l

lkr

， 0l 使达到某个固定 值所需要的 r

值较小；而 0l 则使达到某个 值所需要的 r 值变大。因此，

0, , 0

0, , 0

V l

V l

吸引力 出射波相位被拉向散射中心

排斥力 出射波相位被推离散射中心

注意，与微分截面不同，分波散射截面和总截面只依赖于 l 的

数值，并不依赖于 l 的符号。

※3, 光学定理

利用这里分波法基本公式，可以证明散射理论中一个普

遍规律：总截面 t (包括非弹性散射和吸收截面在内)和弹性

散射的朝前散射振幅虚部 Im (0)elf 成正比，即

1 如果有分立的(负)能级 nE ，还需要知道分立态波函数渐近式 nl n nR a exp r 的 na

244

4Im (0)t elf

k

(10.9)

证明：由上面 ( )f 公式，令其中 0 ，得

2 2

0 0

1 1( 0) (2 1)( 1) (1) (2 1)( 1)

2 2l li i

el ll l

f l e P l eki ki

于是

2 2

0

1 1Im (0) ( (0) (0)) (2 1)( 2)

2 4l li i

el el ell

f f f l e ei k

2

0

1(2 1)sin

4l tl

kl

k

实际上，不论导致散射的相互作用是否能够用势函数描述，

也不论入射粒子静质量是否为零，以及入射粒子能量高低，

这一关系式都成立。

物理解释是：总截面是入射波减弱的一种度量( t 越大，

入射波的减弱越大)，而这种减弱是由于入射波和(同方向的)

朝前散射波相消干涉的结果。于是，朝前散射波的波幅越大，

这种相消干涉也越大(它从入射波中移去一部分入射流，以说

明吸收反应、非弹性散射以及其余的弹性散射)，减弱也越多，

总截面也就越大。

§10.3 散射分道概念

1, 散射分道概念

电子在氢原子上的散射，既可以弹性散射，也可以激发

和电离。散射结果是多样的。对于有内部结构的粒子碰撞更

(2

2 n

n

E

)。详见朗道，栗弗席茨，《量子力学（下）》 ，高教社，1981 年，p.252。

245

是常有之事。即便是电子，由于有自旋，也会出现散射结果

有多样性。每一种散射结果称作散射的一个“分道”。

如果散射中相互作用势和自旋无关，散射中入射粒子和

靶粒子的自旋态分别保持不变。这就是前面考虑的情况。但

如果相互作用势中含有自旋相互作用，则散射前后，不守恒

的自旋量子数将发生变化，导致入射粒子和靶粒子自旋状态

在散射前后发生改变。散射分道既可以用两个散射粒子自旋

态的耦合表象基矢来标记，也可以用它们无耦合表象的基矢

来标记，视方便而定。若自旋初态为基矢 iχ ，称为第 i入射

分道；自旋末态为基矢 fχ ，称为第 f 出射分道； i fχ χ 散

射称为 i f 散射分道。一般说，两个散射粒子系统自旋初

态或末态并不止一个，所以有自旋散射将有多个散射分道。

原则上每个分道散射振幅(微分截面)各不相同，要分别计算。

2, 渐近正能量解的表达式

这时散射问题明确表述为：对入射平面波 ii k ze ，求解

势函数 1 2( , , )V r s s 定态 Schrodinger 方程如下渐近形式正能量解，

1 2, , ,i k r

r i k zi ff i

er s s e f

r

(10. 10)

这里，已设定出射自旋态为 f ，即， i f 自旋态散射。

(10.10)式右边渐近形式中，第一项为入射态，其自旋初态 i ，

第二项为渐近形式下的球面波出射态，其自旋末态为 f 。

注意，通常 i 和 f 受实验按排和测量意图决定，不一定就

是自旋耦合（或无耦合）表象的基矢。为理论上不失普遍性，

246

这里考虑的自旋初末态是任意的，于是散射也就不一定是某

个分道的散射。一旦求得散射振幅 ,f i

f ，即得极化微分

截面

2

, ,f i f i

f (10.11)

和无自旋情况类似，因为入射平面波和（渐近形式下的）出

射球面波之间的干涉项当 r 时因快速振荡而被抹去，可

将 ( , ) f if 写为

1 2( , ) | ( , , ) |i k rf i f k rf r s s re

(10.12)

下面求此正能量定态解的渐近表达式，主要是第二项——散

射球面波的渐近表达式。即求 1 2, ,r s s

的渐近形式。

§10.4, Green 函数方法与 Born 近似

1, Green 函数方法与势散射基本积分方程

求解散射入态体系总能量为E（ 0 ）的定态Schrodinger 方

程解，该解 r 时具有所要求的渐近形式：

2

1 2 1 2 1 2

1 2

, , , , , ,2

, , ,i k r

r i k zi ff i

V r s s r s s E r s s

er s s e f

r

(10.13)

解：记 1 2 1 22

2( , , ) ( , , )U r s s V r s s

， 2

2 Ek

。将(10.13)式改写为

2

1 2 1 2 1 2, , , , , ,k r s s U r s s r s s

(10.14)

引入与此方程相对应的“Green 函数 ( )kG r r 方程”，

2kk G r r r r (10.15)

求得 kG 将有助于求解 。因为乘(10.15)以 1 21 2 ,( , , ) ( , )s sU r s s r

247

对 r积分，得

1 2 1 21 2 1 22 ( , , ) ,, ,( ) ( , ) ( , ) ( , )k r s s s ss s sk G r r U r s dr U r r

将此方程与（10. 14）式比较即知，积分 GU dr 与 只相

差一个齐次方程 1 2

2( ) ( , , ) 0k r s s

通解 1 2( , , )r s s

。于是得到

1 21 2 1 2 1 2( , , ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( , , )kr s s r s s G r r U r s s r s s dr

(10.16)

方程(10.16)的物理意义很清楚：在 r点附近dr

范围内发生势

散射，形成了强度为 1 2 1 2, , , ,U r s s r s s dr

的散射点源，这个

点源按出射 Green 函数分布到r点，就是对r

点所求概率幅的

贡献。全部散射点贡献之和，再叠加上入射波波幅，即为r点

的总概率幅。

渐近条件下，右边第一项 即为 ikze ；而第二项内只有

Green 函数 ( )kG r r 含变数 r

，对 的渐近要求将施加到 kG

上。于是，往求kr 下，趋于出射球面波 1 ikrer

的 ( )kG r r 。

为此，将 kG 方程 (10.15)式两边同乘以无奇点正规算符

2 1( )k i （ 0 ），得

3( )

2 30

1( ) lim

(2 )i k r r

k

d kG r r e

k i

( ) 3

2 2 30lim

(2 )

i k r re d kk k i

(10.17)

由下面推导知 i前应取正号，才能满足边条件1 ikrer

(kr )，

得到出射 Green 函数(若取 i ，将给出入射 Green 函数。当

kr 时它趋于渐近入射球面波1 ikrer

)。现在计算这个积分，

248

( )

3 2 20

1( ) lim

(2 )

ik r r

k

eG r r dk

k k i

2

cos3 2 20 0 4

1lim sin

(2 )r rikk dk

e d dk k i

2 2 20 0

1 1lim

(2 )

r r r rik ik

r r

e ek dk

i k k i

2 2 20

1lim

4

ik r r

r r

k edk

i k k i

现在可以将积分变数k延拓到复平面，利用留数定理计算这

个积分。在k为复数的平面上，被积函数有两个一阶极点 A

和 B，分别位于

2 2k k i ( )2Ak k i

、 ( )2Bk k i

小量 0 的数值并不重要，因为积分完成后要令它趋于零。

添加上半平面半圆形回路，构成闭路积分。按 Jordan 引理，

此半圆形上积分随半径趋于无穷趋于零。由留数定理得到

2 0

1( ) lim(2 )

24

Aik r r

Ak

A

k eG r r i

ki r r

1

4

ik r rer r

（10. 18）

显然，此表达式满足kr 时趋于ikre r 的渐近条件。显然，

按 i k r t

e

考察，若要结果表示出射球面波，应取 0 。

最后得到势散射理论中处于中心位置的积分方程,

1 2 1 2 1 2

1( , , ) ( , , ) ( , , )

4

i k r ri k z

i

er s s e U r s s r s s dr

r r

(10.19)

方程(10.19)是基本方程(10.16)在传播形式上的具体体现。右

边第二项已经满足所设定的kr 的边条件，并且它代表出

射球面波。方程(10.19)是一个积分方程，正是以后迭代法近

249

似求解的出发点。

2, 一阶 Born 近似

当 1 2( , , )V r s s 很弱或相当局域(V 显著不为零的区域小)，或

者入射粒子能量足够大这三种情况下，上面积分方程的第二

项在数值上将显著小于第一项，即

1 2 1 2

1( , , ) ( , , )

4

i k r ri k z

i

ee U r s s r s s dr

r r

(对任意 r

值)

（10.20）

于是，求解积分方程（10.19）时可作“一阶 Born 近似”：

积分号下 1 2( , , )r s s

代以它的零阶近似 iik ze ；

由于 r r

，Green 函数分母 r r

取零阶近似（令为r）；

Green 函数分子ik r r

e

位相应当取高一阶的一级近似，

2 222 (1 ) r

r rr r r r r r r r e r

r

相应地，为表示简洁引入两个波矢记号：

入射波波矢 0 zk ke ， 散射波波矢 rk ke

现在是固定势场的弹性散射，两个波矢 0 ,k k

数值相同，仅方

向不同。注意 0zkz r k rke

，于是有

0 0,kik r r ikz ikr ik r i r ikr iq r q k k

。

q是入射粒子动量改变，又称传递动量。注意q

模值只依赖

于 (和k )，但出射k依赖于 ，q

方向依赖于 。由图可得

2 sin2

q k

250

在一阶 Born 近似——简称 Born 近似下， ( )r渐近表达式为

1 2 1 22( , , ) ( , , )

2

i k ri k z i q r

i i

er s s e e V r s s dr

r

（10.21）

用 f 左乘（10.19）或（10.21）式，以选定出射分道。再参

考散射振幅表达式（10.12）式即知：在 Born 近似下，选定

出射自旋态为 f 后，散射振幅表达式为

1 22( , ) | , , |

2i q r

f i f if e V r s s dr

(10.22)

此式和通常无自旋散射振幅表达式的差别仅仅在于：被积函

数中相互作用势 1 2( , , )V r s s 换成它在自旋初末态的矩阵元。于

是，一阶 Born 近似下，散射振幅 ( , ) fif 正比于势V 的自旋

初末态矩阵元 1 2| , , |f iV r s s

中对应于传递动量 q的

Fourier 分量。若 i 和 f 是耦合（无耦合）表象的两个基

矢，相应 ,fi

f 就是某个分道的散射振幅。

公式表明： i, 散射中，大动量传递(大q 值)的散射截面

较小。因为积分号内指数因子（当变数 r变化时）振荡加剧

导致积分数值减小；ii, 对高能( k较大)入射粒子，若要 ( , )

不为零，要求 较小，如此才能避免被积函数的快速振荡，

换句话说，高能散射多集中于朝前方向。

若 V 的空间函数为中心场， 1 2 1 2( , , ) ( , , )V r s s V r s s ，则（10.

22）式积分与 无关，对 , 积分可以先行算出，得到中心

场散射振幅公式

251

1 22 0, ,

2 sin2

2( ) sinf i f ir s s qr

q k

f r V drq

(10.23a)

于是，

1 20

2 2

4 2 ( , , ) sin4

( ) f i f ir V r s s qr drq

(10.23b)

这里入射粒子动量k和散射角 通过q的数值进入 表达式。

3, 无自旋例算

i, Coulomb 散射

这时 ( )A

V rr

，是中心场情况，于是用(10.23a)式，得

2 20 0

2 2( ) sin( ) sin( )

A Af r qr dr qr dr

q r q

(10.26)

这个积分在 r 处呈现不确定性，这种不确定性在有关

Coulomb 场的许多积分中都存在。可用下面常用的技巧绕过

去：在被积函数前面人为插入一个衰减因子 exp r （ 0 ），

待完成积分计算后，再令 0 取极限，以消除此衰减因子

的影响。这样就得到

2 00

2( ) lim exp sin( )

Af r qr dr

q

2 2 2 2 20

2 2lim

A q A

q q q

22

2 4 4

( ) ( )4 sin

2

Af

v

(10.27)

这正是著名的 Rutherford 散射公式，1909 年 Rutherford 研

252

究 -粒子在金属薄箔上散射时提出。此式表明：其一，小角

散射的截面大，其二，截面反比于入射粒子能量平方。其三，

小动量传递（低能入射和小角散射）极限下公式不成立。

ii, 电子在原子上的散射——屏蔽效应

电子和多电子原子散射时，入射电子除了受原子核库仑

吸力作用之外，还受核外各个电子云的库仑斥力作用。严格

说，这是一个多体相互作用问题。但如果将核外各个电子的

作用近似（！）代以分布电荷 ( )e r的作用，就可以将这个问

题化为两体散射问题，并进而简化为电子在固定力心散射的

单体问题。这时散射势由核及核外电子云的 Coulomb 作用组

成，表达式为

22 ( )

( )Ze r

V r e drr r r

(10.28)

2( ) ( )nlmr r

是电子云密度分布。代入非中心场的散射振

幅(10.22)式，

22

2

( )( , )

2iq r Ze r

f e e dr drr r r

2

2 2 2

4 4( )

2iq re Z

r e drq q

这里利用了下面两个积分公式：

2

4iq r dre

r q

和 2

4iq r iq rdre e

r r q

求这些积分也要用到上例 Coulomb 场积分技巧。注意第二个

积分是对第一个积分作了空间平移变换。所以只算第一个，

253

2

0 0 0

0 0

20 0

exp cos sin

12 exp cos

2 2 4exp exp 2 sin

iq r dre r dr i q r d d

r

r dr d i q ri q r

dr i q r i q r dr i q ri q i q q

令

( , ) ( ) iq rF r e dr

(10.29)

称为 Born 近似下的“弹性散射形状因子”。由于q方向固定，

而 r 可能各向异性，散射形状因子F 一般依赖于方位角

, 。最后得

2 2

2 2 2 2

2 2( , ) ( , ) eff

e ef Z F Z

q q

2 4 2

4 44

1( , )

4 sin2

effe Z

k

(10.30)

对此例稍作讨论：i, 如果只考虑原子核不考虑核外电子云的

散射，则 0 ，转化为上例库仑散射；ii, 由积分估值可知

( , ) ( )F r dr Z

；iii, 若采用 Yukawa 型函数 ( )r

ac

r er

代替核外电子分布，相应的屏蔽效应计算也很容易进行。

※4, Born 近似适用条件分析 1

如前面所说，若要 Born 近似成立，充要条件是基本积

分方程(10.13)右边第二项数值上要远小于第一项(对任意 r

值)。只有这样，对第二项才可以做上述 Born 近似。若要这

1 张永德，大学物理，1988 年，第 6 期，第 11 页。

254

个积分项数值小，需要下面三个条件中至少一个成立

i. ,

ii. .

iii. .

V

V

若 很弱

若 不很弱但其展布的空域很局域

入射粒子能量很高

(10.24)

当然，联合作用会使近似更好。这些结论是由于：

积分项的主要贡献来自 1 2( , , )V r s s

的不接近为零的基本

区域，如果这个区域相当小(和入射粒子波长 1k 相比较)，

也即势 1 2( , , )V r s s

相当局域，这项积分的数值自然就小；

其次，若 1 2( , , )V r s s

本身很弱，这项积分也不会大；

再就是，若入射粒子能量很大，k 就很大，被积函数中

的相因子 exp ik r r

将随积分变数 r变化快速振荡，这使

积分值急剧减少。

对积分进行估值可得如下“两个 Born 近似适用条件”

表达式1，

2

2;

vV V

a a

(10.25)

这里a是势场（不显著为零的）区域的尺度，v为入射粒子

速度。第一个不等式是说弱势。它只涉及势场本身，不涉及

入射粒子的能量。势能在数值上应显著小于（将粒子局域在

a范围时按不确定关系所得的）动能；第二个不等式是说高

能。只要入射粒子能量足够高，不论势场形状如何 Born 近

似总能成立。于是，一个散射势，如果低能时可以对它做 Born

1Л.Д. 朗道，E.M. 栗弗席茨，量子力学(非相对论理论)，高等教育出版社，1981 年。

255

近似，则高能时一定更可以；反之不一定。

但是，对于长程势的 Coulomb 势，显然难以给出一个确

定的a值。这时可将第二个不等式右边a代以 r (同时左边的

V 中也有同一个 r )，于是得A v

r r

，也即

1A

v

如果 2A Ze ，则要求137

Z v

c (

2 1

137

e

c

为精细结构常数)。当 Z 不

大并且入射粒子速度不小的情况下，Born 近似对 Coulomb

场也是成立的。

§10.5 ，全同粒子散射

1, 全同性原理在散射问题上的应用

设有两个自旋为 1s 、 2s 粒子，组成总自旋为S 系统，耦合

基矢为 1 2SMs s 。若将 1s 、 2s 交换，按角动量耦合理论可得

1 22 1 1 2( 1)s s SSMs s SMs s (10.31)

可以令 1 2

1

2s s ，即用两个电子的特殊情况直接检算这个公

式。这时

单重态： 1 2 1 21, 0 1s s S s s S ，自旋波函数反称；

三重态： 1 2 1 21, 1 0s s S s s S ，自旋波函数对称。

下面考察两个全同粒子系统的波函数：

首先，全同粒子的总自旋波函数。这时 1 2s s ，上式成为

2 1 1 2

2 1 1 2

( 1)

( 1)

S

S

Boson

Fermion

SMs s SMs s

SMs s SMs s

全同

全同 （10.32）

256

对 Fermion 已用了总S 为整数的事实。说明：两个全同粒子系

统的总自旋波函数是交换对称还是反对称，完全由总自旋 S 的

奇偶性决定。再考虑到：其一，全同 Boson(Fermion)系统总波

函数必须对称(反对称)，其二，两个全同粒子系统空间波函数

交换对称性由相对轨道运动的量子数 l 决定。因为两个全同粒

子交换（1 2 ）时即为空间波函数反演， 1 2( )r r r r

，有

1l

lm lmY r r Y r r

最后结论：不论两个全同 Boson 或是两个全同 Fermion，

也不论它俩处于散射态或是束缚态（后者如氦核外电子）：

两个全同 Boson 系统，总自旋S =奇数，总自旋波函数必

为反对称，于是总空间波函数必为反对称；S =偶数，总自旋

波函数必为对称，于是总空间波函数也必为对称。

两个全同 Fermion 系统，总自旋S =奇数，总自旋波函数必

为对称，于是总空间波函数必为反对称；S =偶数，总自旋波

函数必为反对称，于是总空间波函数必为对称。

换句话说，单就空间波函数而言，有

当两个全同粒子系统的总自旋S =奇数时，系统空间波函

数必为反对称（轨道角动量量子数 l 奇数）；当两个全同粒

子系统总自旋S =偶数时，系统空间波函数必为对称（轨道角

动量量子数 l 偶数）。

两个全同粒子交换时 ( ), , ( , , )r r 。于是，对

称化(反称化)空间波函数的渐近形式为

257

1

( , , ) ( , ) ( , )ikz ikz ikrr e e e f fr

(10.33)

注意，这里波函数（10.33）式中 f 不是平均而是求和（无

论是对称求和或是反称求和）。首先，第二项的表示是配合

第一项（两个指数求和而非平均）的。再说，从实验角度看，

两个全同粒子散射时，质心系中测到的沿 角散射粒子，实

验仪器对下图自左入射和自右入射两种过程无法区分，已经

将这两种过程的振幅一并计入相干（！）叠加了。再三，若

不考虑交叉干涉，现在这种做法也符合两种同时进行的经典

散射的图像。

因此有（脚标 s和a 分别表示对称和反对称。为了便于

和全同粒子情况比较，也同时测量两个可分辩粒子，结果是

两个概率之和）：

两全同粒子，S=偶数，2

( , ) ( , ) ( , ) ,s f f

两全同粒子，S=奇数，2

( , ) ( , ) ( , ) ,a f f

两个可分辩粒子，2 2

( , ) ( , ) ( , ) ,f f

(10.34)

全同粒子散射公式(10.34)表明：存在可正可负的交叉

项，即干涉项，体现了源自全同性原理交换作用的干涉效应。

这从理论上否定了 Dirac 所说的：“不同来源的光子不能相互

干涉”。

2, 例算

i, 两个全同 Boson 散射。

258

这包括 散射、 0 0 散射、16 16O O 核散射等自旋

为零粒子散射以及其他自旋为整数粒子的散射(如自旋 1 的

、 散射等)。这时，散射微分截面中应当使用

空间对称波函数还是反对称波函数，要看总自旋S是偶数还

是奇数决定。例如，对 和 16 16O O 散射而言，总自旋

0S ，因此这两个散射所使用的微分截面均为

2( ) ( ) ( )s f f

2 2( ) ( ) 2Re ( ) ( )f f f f

最后一项是干涉项，它是基于全同性原理显现出的粒子的波

动性，是纯量子效应。

再举个例子，设两个自旋为 1 的全同粒子散射，求非极

化散射微分截面。这时，总自旋 0,1, 2,S 有 1+3+5 共 9 个自

旋耦合基，其中 1S 的耦合基有 3 个，它们的空间波函数(按

前面所说)均为反对称的，其余 6 个耦合基对应总自旋为 0

或 2，空间波函数均为对称的。假如散射过程是非极化的，

即入射粒子与靶粒子均未极化，它们自旋取向都是无规的，

则所有自旋耦合基出现概率相等，而且它们之间是非相干叠

加。非极化截面等于相应截面对这些自旋初态所取的平均

值，即

3 6( ) ( ) ( )

9 9a s 非

2 21 2( ) ( ) ( ) ( )

3 3f f f f

259

2 2 2( ) ( ) Re ( ) ( )

3f f f f

这里和下面情况类似，第三项实部的交叉干涉项可正可负，

体现了源自全同性原理交换作用所带来的干涉效应。

ii, 两个全同 Fermion 散射

这包括e e 散射、e e 散射、 p p 散射、n n 散

射等。这时，对应自旋单态的微分截面必须使用对称空间波

函数；而对应自旋三重态的微分截面必须使用反对称空间波

函数。由此可知，非极化散射情况，对自旋初态平均时，对

称空间波函数的截面的统计权重为 1

4，反对称空间波函数的

截面的统计权重为 3

4。即，非极化散射截面为

1 3( ) ( ) ( )

4 4s a 非

2 21 3( ) ( ) ( ) ( )

4 4f f f f

2 2( ) ( ) Re ( ) ( )f f f f

上面分析是在耦合表象中进行的。其实分析也可以在无

耦合表象中进行。简记无耦合基为 1 2m m 。于是自旋初态有

四个： 1 1,

2 2， 1 1

,2 2

， 1 1,

2 2 ， 1 1

,2 2

，所以每个态的统计

权重都是 1

4。区分 4 种情况讨论：

入射粒子和靶的自旋初态为 1 1,

2 2（

1 1

0 0

粒 靶

）时，由于

现在的势散射 2 , zS S 守恒，出射自旋态仍如此。但由于两个全

同 Fermion 的自旋一直相同，无法区分在 角处测得的是入

260

射前的哪一个粒子，这导致干涉现象。由于现在自旋态是对

称的，所以空间波函数应为反对称的。于是此种情况为

2( ) ( ) ( )f f ；

自旋初态为 1 1,

2 2 （

0 0

1 1

粒 靶

）时，情况和上面类似，

结果也为2

( ) ( ) ( )f f ；

自旋初态为 1 1,

2 2 (

1 0

0 1

粒 靶

)时，这时自旋第三分量取

向不同，入射粒子与靶粒子已可区分。此时在 角处的测得

的微分截面总计（对应于入射粒子和靶粒子计数总和)为

2 2( ) ( ) ( )f f ；

最后，自旋初态为 1 1,

2 2 （

0 1

1 0

粒 靶

）时，和第三种情

况类同，也为2 2

( ) ( ) ( )f f 。

总计以上四种入射情况，各以 1

4权重相加，即得非极化

截面，

2 2 21( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( )

4f f f f

非

2 2( ) ( ) Re ( ) ( )f f f f

结果和耦合表象分析所得一致。

§10.6, 有关自旋散射计算

1, 分道之间的干涉问题

分道之间干涉可区分为：i, 入射分道间的干涉， ii, 出

射分道间的干涉。

261

若（10.22）式中自旋初、末态 i 、 f 是耦合基的任

意叠加态，需用耦合基或无耦合基将它们展开。为确定起见，

下面设用耦合基 l 展开，

;i f

i l l f m mc c

于是，散射振幅将相干分解成为

( ) ( )( , ) ( , )i ff i l m m l

l m

f c c f (10.35a)

其中 ( , )m lf 为 ( )l m 散射分道的散射振幅。微分截面为

2

( ) ( )( , ) ( , )i ff i l m m l

l m

c c f (10.35b)

一般说，入射分道之间和出射分道之间会出现干涉。相应散

射截面 ( , ) f i 不能表示为各散射分道截面 ( , )m l 按入

（出）射态展开系数模平方非相干叠加。这里区分两种情况：

其一，“极化散射”情况。极化粒子入射到极化靶。如果

初态为相干叠加的纯态 i i

i l ll

c ，散射总截面在各成

分 ilc 间相互干涉——入射分道干涉。但与此同时，正交出

射分道间非相干求和。即，按散射出态为各个耦合表象基矢

f ，计算全部出射分道截面，总截面为“非相干”的概

率相加（原因见下）：

2

( )( , ) ( , ) ( , )ifi l fl

f f l

c f (10.36)

其二，“非极化散射”情况。非极化粒子入射到非极化

262

靶。初态是一些纯态的非相干混合——混态 ,i

l lp （ lp >0

是此混态系综中 il 态出现的概率。 1l

l

p ）。这时，不存

在初态各成分间的干涉，出射道 f 的微分截面为

( , ) ( , )f i l f ll

p (10.37)

于是，总截面计算结果表现为对初态各成分态的平均，简称

等于对“初态平均”。但是，总截面对“末态求和”（正交基

坍缩非相干相加），仍为各出射道 f 微分截面之和，

( , ) ( , ) ( , )i fi l flf f l

p (10.38)

为什么总截面是末态各正交出射分道截面的和？这是由于，

伴随测量的波包坍缩总是导致相干性的破坏，所以测量总是

非相干的“选择”（Feynman 说的“alternative”））。对散射结

果作正交测量造成各种可能的正交塌缩，不同的正交塌缩之

间不存在干涉。但要注意，这里讲的“不同正交塌缩之间必

定不存在干涉”，不能将其扩大理解为“不同散射结果之间

必定不存在干涉”！不同类型的测量迫使散射末态有不同样

的塌缩。若测量一些彼此非正交的末态，就会显示出射分道

之间有“关联或干涉”。所以，出射分道之间是否存在关联

或干涉会依赖于如何进行测量、测量何种末态。但通常情况

下，对自旋末态测量常常是针对自旋末态的正交基（耦合基

或无耦合基）进行的。这时将不存在各出射分道之间的干涉。

263

这使得总截面就等于各出射分道截面之和。这种结果通常简

称为“对末态求和”。

总而言之：

非极化散射总截面=“对初态平均”+“对末态求和”

举个简单的极化情况的例子。设两个可分辨 1

2自旋粒子，

分别为1

0

和

/2

/2

cos2

sin2

i

i

e

e

。从自旋耦合（和无耦合）

表象来看，初态 i 是个叠加态：

/2

/2 /2

/2

cos1 1 1 1 12 cos , sin ,

2 2 2 2 2 20sin

2

i

i ii

i

e

e e

e

- / 2 /21cos 1,1 sin 1,0 0,0

2 22

i ie e

这里已经作了从无耦合基向耦合基的转换（当然也可以不做

这种转换，视末态如何、计算要求如何而定）。假如自旋末

态是一般态 f （就是说不想进一步关心它的展开），相应

的微分截面即为

2

/2 /2 /2

( ,11) ( ,10) ( ,00)

1 1( , ) cos ( , ) sin ( , ) sin ( , )

2 2 22 2

i i i

fi f f fe f e f e f

这正像上面所说的：当相互作用与自旋有关时，如初态是自

旋叠加态，则 f iσ 计算中将出现入射分道之间的干涉。一般

说，这时结果不等于各分道截面按 i 展开系数模平方为权

重的非相干叠加。

264

2, 自旋权重系数问题

i， 1

2自旋权重

这里先用一个非极化简单例子来说明，一般情况之后再

说。两个 1

2自旋“可分辨”粒子，散射势为 1 2V = αs s r

，

求非极化截面。

注意 2 2

1 2

1 3

2 2s s S

， 1 2S s s

是总自旋。由V 的形式知，

散射中 ,2zS S

守恒。就是说，散射前后耦合基保持不变。于是

0 1 22exp | |

2 f if if i k k r s s r dr

1 22| |

2 f is s

一般而言，耦合表象的散射分道总数目有4 4 16 个，但对这

种相互作用势实际上只有 4 个散射分道的分道散射截面，

222 22

0 2 22

31 30 :

2 2 82( )S

222 22

1 2 22

1 11 :

2 2 82( )S

由于是非极化散射，可以设自旋初态中 4 个耦合基出现的概

率相等。非极化截面为权重平均值，

2 2

0 1 28

1 3 3( ) ( ) ( )

4 4

非

因散射态和入射态为同一耦合基，不存在“末态求和”问题。

[思考题] 若此问题是无耦合基入射，两个粒子自旋可以

265

同时翻转吗？（答: 看入射无耦合基的自旋是否平行，平行

不可以同时翻转，反平行可以）。

如果入射的是耦合基1 1 1 1 1

0, 02 2 2 22

，测量末

态为1 1

,2 2

，结果如何？（答：可以）。

ii，现在研究两个自旋 s全同粒子非极化散射的自旋权重

系数。为简单起见，假设散射相互作用与自旋无关。于是散

射中自旋态不变，而且各个散射道的分道截面相等。按前面

所说，计算截面时应对自旋初态取平均，往算初态权重系数。

这时系统总自旋可能取值将由反平行取向为零，逐个增加 1，

一直到平行取向为2s。所以系统自旋耦合基总数为

2

2

0

12 1 2 0 2 1 2 1

22 2 1

x s

x

x s s s s

其中

当 s 半整数：, : (2 1)

, : ( 1)(2 1)

S even Number of state s s

S odd Number of state s s

当 s 整数： , : 1 (2 1)

, : (2 1)

S even Number of state s s

S odd Number of state s s

上面叙述过，当总自旋 s为偶数时，空间波函数是对称的；s

为奇数时，空间波函数是反对称的。于是得到如下结果：

,

, ,

1( , ) ( , ) ( , )

2 1 2 11

( , ) ( , ) ( , )2 1 2 1

s a

s a

s Fermion

s Boson

s s

s ss s

s s

非

非

半,

整

3, 含自旋计算举例

266

例 1，研究两个1 2自旋可分辨粒子(例如质子和中子)的

各种极化与非极化散射。假定散射振幅算符 f̂ 的两个本征方

程可写为

00 1 00f̂ f ， 1 3 1ˆ

M Mf f

这里 00 为自旋单态， 1M 为自旋三重态， 1f 和 3f 分别为

它们的散射振幅（一般为θ、的复值函数）。 往求：a) f̂ 表

达式；b) 散射前质子处于1

0p

态，中子为0

1n

态，散射后n、

p 自旋反向概率是多少；c) 若初态

/ 2

/2

cos1 2

0sin

2

i

iip

n

e

e

，

求散射总截面表达式。

解：a) 由题设 f̂ 的两个本征方程表明： f̂ 保持初末态总自旋

和第三分量不变 (也即， f̂ 在耦合表象中为对角的)，由此可

一般性地假设 1 2ˆ

p nf

， 1 、 2 为两个（依赖于θ、）

待定系数。利用质子—中子自旋交换算符 exchP

11

2exch p nP

：1 1 1 1 1 1 1 1

, , , , ,2 2 2 2 2 2 2 2

1, 1, , 0, 0 0, 0 ;

exch exch

exch s s exch

P P

P M M P

将 f̂ 用 exchangeP 表示出来

1 2 2ˆ 2 exchf P

因此可得

00 1 2 00 1 00

1 1 2 1 3 1

ˆ ( 3 )

ˆ ( )M M M

f f

f f

267

由联立方程 1 2 13 f 和 1 2 3f 可得 1 和 2 ，从而求得

f̂ 表达式为

1 3 3 11 3 3 1

3 1 1ˆ4 4 2 2

p n exch

f f f ff f f f f P

b) 根据给定初态1 0 1 1

,2 20 1

i

p n

，按题意散射发

生反转要求，可知自旋末态为0 1 1 1

,2 21 0

f

p n

。于是

3 1

1 1 1 1 1ˆ ˆ, ,2 2 2 2 2

f if f f f

相应微分截面为2

3 1

1

4f f 反向 。由于 f̂ 不改变量子数 sm（现

在此守恒量子数为零），出射自旋态只能是全反转1 1

,2 2

和

全不反转1 1

,2 2

两种1。这两种散射过程的散射振幅分别为

1 3 3 1 3 1

1 1 1 1 1 1 1, ,

2 2 2 2 2 2 2exchf f f f f P f f

反向

1 3 3 1 1 3

1 1 1 1 1 1 1, ,

2 2 2 2 2 2 2exchf f f f f P f f

不反向

于是，散射时发生自旋反转的概率 p 为

2

3 1

2 2

1 32

f fp

f f

反向

反向 不反向

此比值的分子表现出两粒子在自旋反转过程中散射分道之

间存在干涉。当然，也可以选用耦合表象计算，注意 f̂ 性质，

结果当然相同。

268

c) 将此处自旋初态用耦合基矢展开，得

/2

/2 /2

/2

cos1 1 1 1 12 cos , sin ,

2 2 2 2 2 20sin

2

i

i i

iip

n

e

e e

e

/2 /21cos 1,1 sin 1,0 0,0

2 22

i ie e

于是，各个出射分道的散射振幅分别为

/ 21 3 3 1 3

1 1ˆ1,1 1,1 ( ) ( ) cos2 2 2

ii exch if f f f f P f e

/2

3

1ˆ1,0 sin22

i

if f e ，

/2

1

1ˆ0, 0 sin22

i

if f e ， ˆ1, 1 0if

按照微分总截面应当是对全体可能的末态结果求和，有

2 2 2

ˆ ˆ ˆ( , ) 1,1 1, 0 0, 0i i if f f

2 2 22 2 2

3 3 1

1 1cos sin sin

2 2 2 2 2f f f

2 2 23 1

1 1cos sin sin

2 2 2 2 2

3 1 3 1

1 1(3 ) ( ) cos

4 4

例 2，上例中，若初态为

/2

/2

cos12

0sin

2

i

ii

e

e

靶

粒

的两个

1

2自旋全同粒子，求散射的非极化截面。

1 注意，题设 f̂ 虽然使总自旋2S 守恒，但所给入射、出射态均不是

2S 本征态。用无耦合基计算为宜。

269

下面计算中，可以将问题提得更一般化一些：若两个 1

2自

旋的全同粒子，各自处于自旋平均值为 1s

和 2s

的自旋初

态上，求（非极化的）散射总截面。

解：由于空间各向同性，两个矢量 1s

和 2s

也只是它们彼

此相对取向有意义。于是可设对应给定值 1 2s s

的自旋初态

为 i ，即有

1 2 1 2i is s s s

再一般性地假定：散射势为 1 2 1 2 1 2( , , ) ( ) ( )V r s s A r A r s s

形式，

1A r和 2A r

是某两个待定空间函数。鉴于有下面等式

2 2

1 2 1 21 2

1 13 2

4 4s s

，

所以此种形式 1 2( , , )V r s s

的各幂次仍保持为此种形式。现在，

总截面等于初态 i 下对全部末态 f 的分道截面求和：

2 2

( , ) ( , ) exp

|

f f

fit

i f f i

f c dr dr iq r i q r

V V

2

1 2 1 2exp ( ) ( , , ) ( , , )i ic dr dr iq r r V r s s V r s s

这里用了完备性条件 1f ff

。矩阵元内V 的二次幂乘积

算符仍可归纳为 1 2 1 2( , ) ( , )B r r B r r s s

形式，于是 ( , )t

对初态极化矢量的一般依赖关系为

1 2 1 2( , ) i ita b s s a b s s

注意系数a、b与自旋初态无关，可以选两种极端情况的初

270

态来确定它们：

第一，靶和入射粒子均为非极化的情况： 1 2 0s s

，

得 1

, , 3 ,4 s at

a ；

第二，靶和入射粒子均沿同一方向极化： 1 2

1

4s s

，

这时系统的总自旋必为1，空间波函数反对称，得

1

, ,4at

a b 。

解出a、b即得

1 21

, , 3 , , ,4 s a a st

s s

这就是本例所求结果。

若初态为本例设所特殊态 i ，可进一步算出 1 2s s

，

1 1

sin cos , sin sin ,cos 0,0,1 cos4 4

s s 粒 靶 粒 靶

相应的非极化散射总截面等于在上例 c)中作全同粒子替换，

3 1;a s

于是，本例结果正是上例化为全同粒子散射的结果。