第四章機率分配和抽樣估計 - fcu.edu.t · title ‘using a random number function’; run; 程式中第二列設定seed的起始值為1234，第三到六列為迴圈，

第四章機率分配和抽樣估計 (Pr o b a b i l i t y a n d s a m p l i n g e s t i m a t i o n）

例4－1 程式(4－1)

D A T A T E S T ;

R E T A I N S E E D 1 2 3 4 ;

D O I = 1 T O 5 ;

X = R A N U N I ( S E E D ) ;

O U T P U T ;

E N D ;

P R O C P R I N T ;

T I T L E ‘ U S I N G A R A N D O M N U M B E R F U N C T I O N ’ ; R U N ;

程式中第二列設定SEE D的起始值為123 4，第三到六列為迴圈，

可反覆執行同樣的動作。此例，將產生均勻分配的亂數(值在0與1

之間)共5筆。列印結果如表4-1。

表4－1

U S I N G A R A N D O M N U M B E R F U N C T I O N

O B S S E E D I X

1 1 2 3 4 1 0 . 2 4 3 8 1

2 1 2 3 4 2 0 . 0 8 9 4 8

3 1 2 3 4 3 0 . 3 8 3 1 9

4 1 2 3 4 4 0 . 0 9 7 9 3

5 1 2 3 4 5 0 . 2 5 7 5 8

在SA S中有極多的函數可利用，列舉如下：

亂數函數

NO R M A L ( s e e d ) 衍生標準常態分配的pse u d o隨機變數

RA N N O R ( s e e d ) 衍生標準常態分配的觀察值

RA N C A U ( s e e d ) 衍生Ca u c h y導數

R A N E X P ( s e e d ) 衍生指數導數

RA N B I N ( s e e d , n , p ) 衍生二項分配的觀察值

RA N G A M ( s e e d , a l p h a ) 衍生加瑪分配的觀察值

RA N P O I ( s e e d , l a m b d a )從po i s s o n分配衍生觀察值

3 4

R A N T B L ( s e e d , p 1 , p 2 ,… , p n ) 從ta b l e d機率函數衍生導數 RA N T R I ( s e e d , h ) 衍生三角分配的觀察值

RA N U N I ( s e e d ) 衍生均勻導數

機率函數（Pro b a b i l i t y f u n c t i o n）

P O I S S O N ( l a m b d a , n ) 計算po i s s o n分配的機率值

PR O B B E T A ( x , a , b ) 計算be t a分配的機率

PR O B B N M L ( p , n , m ) 計算二項分配的機率

PR O B C H I ( x , d f , ) 求算卡方分配的機率

PR O B F ( x , n d f , d d f ) 求F分配的機率

PR O B G A M ( x , a ) 求加瑪(ga m m a )的機率

PR O B H Y P R ( n n , k , n , x ) 求超幾何分配的機率

PR O B N E G B ( p , n , m ) 求負二項分配的機率

PR O B N O R M ( x ) 求標準常態分配的機率

PR O B T ( x , d f , n c ) 求T分配的機率

計量函數(Qu a n t i l y f u n c t i o n )

P R O B I T ( a r g u m e n t ) 計算標準常態分配函數之倒數

GA M I N V ( p , a ) 計算pr o b g a m函數之倒數

CI N V ( p , d f ) 計算卡方值

FI N V ( p , n d f , d d f ) 計算F分配統計量

樣本統計函數

MA X 求一系列數字的最大值

MI N 求一系列數字的最小值

SU M 求總和

ME A N 求算術平均數

CV 計算變異係數

VA R 計算變異數

ST D 計算標準差

ST D E R R 計算平均值的標準差(標準誤)

N 計算非缺失值引數的個數

NM I S S 計算缺失值引數的個數

RA N G E 求最大值與最小值之差距

SK E W N E S S 計算偏態係數

KU R T O S I S 計算峰度係數

US S 計算未修正的平方和

CS S 計算修正後的平方和

3 5

例4－2（由亂數表作二項分配）

(1 )假設以隨機方式在數線0與1之間任取一點，如果所取之點在

0與0. 4之間稱之為成功，否則為失敗，重複500組，若每組作10次

的試驗，試作其成功次數之直方圖．

(2 )由 SA S函數產生二項分配B(1 0 , 0 . 4 )的觀察值500個，畫直

方圖．

程式(4－2－1)

d a t a r e x p ;

d o i = 1 t o 5 0 0 ;

d o k = 1 t o 1 0 ;

x = r a n u n i ( 0 ) ;

i f x < = . 4 t h e n o u t p u t ;

e n d ;

e n d ;

p r o c m e a n s n o p r i n t ;

o u t p u t o u t = n u m b e r n = n ;

v a r x ;

b y i ;

p r o c c h a r t ;

v b a r n / d i s c r e t e ;

p r o c m e a n s ;

v a r n ;

程式(4－2－2)

d a t a b i n o ;

r e t a i n s e e d 0 ;

d o i = 1 t o 5 0 0 ;

x = r a n b i n ( s e e d , 1 0 , . 4 ) ;

o u t p u t ;

e n d ;

p r o c c h a r t ;

v b a r x / d i s c r e t e ;

p r o c u n i v a r i a t e ;

v a r x ;

r u n ;

R A N B I N ( s e e d , n , p )：其中n為整數，且n>0，0< p < 1 ( p為機率

值)。此函數的作用為，由參數n與p的二項分配來產生觀察值。

列印結果如圖4-2 , 4 - 3

3 6

圖4－2(程式(4 - 2 - 1 )列印結果)

F R E Q U E N C Y O F N

F R E Q U E N C Y

1 2 0 + * * * * *

| * * * * * * * * * * * * * * *

8 0 + * * * * * * * * * * * * * * *

| * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

4 0 + * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

| * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

1 2 3 4 5 6 7 8 9

N

A n a l y s i s V a r i a b l e : N

N O b s N M i n i m u m M a x i m u m M e a n S t d D e v

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

4 9 7 4 9 7 1 . 0 0 0 0 0 0 0 9 . 0 0 0 0 0 0 0 4 . 0 9 0 5 4 3 3 1 . 5 8 9 3 5 8 2

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

圖4－3(程式(4 - 2 - 2 )列印結果)

F R E Q U E N C Y O F X

F R E Q U E N C Y

1 2 0 + * * * * * * * * * *

| * * * * * * * * * * * * * * *

8 0 + * * * * * * * * * * * * * * *

| * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

4 0 + * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

| * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

0 1 2 3 4 5 6 7 8

X

3 7

U N I V A R I A T E P R O C E D U R E

V a r i a b l e = X

M o m e n t s

N 5 0 0 S u m W g t s 5 0 0

M e a n 3 . 9 2 4 S u m 1 9 6 2

S t d D e v 1 . 5 5 2 7 5 4 V a r i a n c e 2 . 4 1 1 0 4 6

S k e w n e s s 0 . 1 4 6 4 6 9 K u r t o s i s - 0 . 2 2 1 5 8

U S S 8 9 0 2 C S S 1 2 0 3 . 1 1 2

C V 3 9 . 5 7 0 7 S t d M e a n 0 . 0 6 9 4 4 1

T : M e a n = 0 5 6 . 5 0 8 1 7 P r o b > | T | 0 . 0 0 0 1

S g n R a n k 6 1 8 7 6 . 5 P r o b > | S | 0 . 0 0 0 1

N u m ^ = 0 4 9 7


V a r i a b l e = X

Q u a n t i l e s ( D e f = 5 )

1 0 0 % M a x 9 9 9 % 7

7 5 % Q 3 5 9 5 % 7

5 0 % M e d 4 9 0 % 6

2 5 % Q 1 3 1 0 % 2

0 % M i n 0 5 % 1

1 % 1

R a n g e 9

Q 3 - Q 1 2

M o d e 4


V a r i a b l e = X

E x t r e m e s

L o w e s t O b s H i g h e s t O b s

0 ( 4 9 4 ) 7 ( 4 8 1 )

0 ( 2 7 5 ) 8 ( 2 8 )

0 ( 3 8 ) 8 ( 8 6 )

1 ( 4 8 8 ) 8 ( 3 0 0 )

1 ( 4 5 8 ) 9 ( 1 4 4 )

3 8

例4-3

擬產生常態 N(0 , 1 ) ，指數 (1) ，均勻 U(0 , 1 ) 分配的亂數各

100 0個，分別作直方圖，並求其平均數及標準差等。

程式(4－3)

D A T A N O R ;

R E T A I N S E E D 1 0 ;

D O I = 1 T O 1 0 0 0 ;

X = R A N N O R ( S E E D ) ;

O U T P U T ;

E N D ;

P R O C C H A R T D A T A = N O R ;

V B A R X ;

P R O C M E A N S ;

V A R X ;

D A T A E X P ;

D R O P I ;

D O I = 1 T O 1 0 0 0 ;

Y = R A N E X P ( 1 0 ) ;

O U T P U T ;

E N D ;

P R O C C H A R T D A T A = E X P ;

V B A R Y ;

P R O C U N I V A R I A T E D A T A = E X P ;

V A R Y ;

D A T A U N I F O R M ;

D R O P I ;

D O I = 1 T O 1 0 0 0 ;

X = R A N U N I ( 2 2 2 ) ;

O U T P U T ;

E N D ;

P R O C C H A R T ;

V B A R X ;

P R O C U N I V A R I A T E ;

V A R X ;

R U N ;

列印結果如圖4-4 , 4 - 5 , 4 - 6

3 9

圖4－4 ( N ( 0 , 1 )分配)


F R E Q U E N C Y

| * *

1 5 0 + * *

| * * * * * * * *

1 0 0 + * * * * * * * * * *

| * * * * * * * * * * * * * *

5 0 + * * * * * * * * * * * * * * * * * *

| * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - -

3 2 2 2 1 1 0 0 0 0 0 1 1 2 2 2 3

. . . . . . . . . . . . . . . . .

2 8 4 0 6 2 8 4 0 4 8 2 6 0 4 8 2

X M I D P O I N T

A n a l y s i s V a r i a b l e： X

N O b s N M i n i m u m M a x i m u m M e a n S t d D e v

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

1 0 0 0 1 0 0 0 - 3 . 1 8 5 1 1 6 8 3 . 2 9 5 2 7 8 7 - 0 . 0 1 0 0 7 8 0 1 . 0 4 8 8 8 0 0

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

圖4－5 ( E X P ( 1 )分配)

F R E Q U E N C Y O F Y

F R E Q U E N C Y

| * *

3 0 0 + * *

| * * * *

2 0 0 + * * * * * *

| * * * * * *

1 0 0 + * * * * * * * *

| * * * * * * * * * * * *

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

0 0 1 1 2 3 3 4 4 5 6 6 7 7 8

. . . . . . . . . . . . . . .

0 6 2 8 4 0 6 2 8 4 0 6 2 8 4

Y M I D P O I N T

4 0


V a r i a b l e = Y

M o m e n t s

N 1 0 0 0 S u m W g t s 1 0 0 0

M e a n 1 . 0 1 2 6 2 9 S u m 1 0 1 2 . 6 2 9

S t d D e v 1 . 0 2 9 8 8 V a r i a n c e 1 . 0 6 0 6 5 3

S k e w n e s s 2 . 1 4 4 9 0 1 K u r t o s i s 7 . 1 8 6 2 8

U S S 2 0 8 5 . 0 1 C S S 1 0 5 9 . 5 9 2

C V 1 0 1 . 7 0 3 6 S t d M e a n 0 . 0 3 2 5 6 8

T : M e a n = 0 3 1 . 0 9 3 0 8 P r o b > | T | 0 . 0 0 0 1

S g n R a n k 2 5 0 2 5 0 P r o b > | S | 0 . 0 0 0 1

N u m ^ = 0 1 0 0 0


V a r i a b l e = Y

Q u a n t i l e s ( D e f = 5 )

1 0 0 % M a x 8 . 4 0 0 9 7 6 9 9 % 4 . 5 1 9 3 3 2

7 5 % Q 3 1 . 3 8 9 0 4 1 9 5 % 3 . 0 7 3 1 5 5

5 0 % M e d 0 . 7 0 2 8 7 1 9 0 % 2 . 3 7 1 9 6 7

2 5 % Q 1 0 . 2 8 5 8 5 7 1 0 % 0 . 1 0 4 9 0 2

0 % M i n 0 . 0 0 1 2 1 5 5 % 0 . 0 5 4 7 2 9

1 % 0 . 0 1 1 0 0 5

R a n g e 8 . 3 9 9 7 6 1

Q 3 - Q 1 1 . 1 0 3 1 8 4

M o d e 0 . 0 0 1 2 1 5


V a r i a b l e = Y

E x t r e m e s


0 . 0 0 1 2 1 5 ( 6 4 9 ) 5 . 3 5 8 4 2 6 ( 4 5 )

0 . 0 0 1 4 6 2 ( 2 7 0 ) 6 . 3 2 5 0 4 2 ( 8 8 1 )

0 . 0 0 1 7 5 8 ( 3 ) 7 . 1 3 8 1 2 4 ( 9 7 4 )

0 . 0 0 4 4 7 9 ( 5 6 ) 7 . 4 7 4 1 8 2 ( 2 6 2 )

0 . 0 0 6 0 7 4 ( 7 7 9 ) 8 . 4 0 0 9 7 6 ( 1 9 0 )

4 1

圖4－6 ( U ( 0 , 1 )分配)


F R E Q U E N C Y

|

8 0 + * * * * * *

| * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

4 0 + * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

| * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

. . . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 1 2 2 3 3 4 5 5 6 6 7 8 8 9 9

3 9 5 1 7 3 9 5 1 7 3 9 5 1 7 3 9

X M I D P O I N T


V a r i a b l e = X

M o m e n t s

N 1 0 0 0 S u m W g t s 1 0 0 0

M e a n 0 . 5 0 4 1 6 S u m 5 0 4 . 1 6 0 3

S t d D e v 0 . 2 9 2 5 2 V a r i a n c e 0 . 0 8 5 5 6 8

S k e w n e s s - 0 . 0 5 4 7 8 K u r t o s i s - 1 . 1 8 6 9 9

U S S 3 3 9 . 6 6 C S S 8 5 . 4 8 2 3

C V 5 8 . 0 2 1 2 S t d M e a n 0 . 0 0 9 2 5

T : M e a n = 0 5 4 . 5 0 2 1 1 P r o b > | T | 0 . 0 0 0 1

S g n R a n k 2 5 0 2 5 0 P r o b > | S | 0 . 0 0 0 1

N u m ^ = 0 1 0 0 0

Q u a n t i l e s ( D e f = 5 )

1 0 0 % M a x 0 . 9 9 9 1 3 6 9 9 % 0 . 9 8 8 1 1 9

7 5 % Q 3 0 . 7 4 7 3 7 7 9 5 % 0 . 9 5 2 9 6 6

5 0 % M e d 0 . 5 2 0 0 8 1 9 0 % 0 . 9 1 0 1 6

2 5 % Q 1 0 . 2 4 6 7 1 0 % 0 . 0 9 6 6 4 7

0 % M i n 0 . 0 0 0 5 2 8 5 % 0 . 0 3 8 8 1

1 % 0 . 0 0 6 6 5 3

R a n g e 0 . 9 9 8 6 0 8

Q 3 - Q 1 0 . 5 0 0 6 7 7

M o d e 0 . 0 0 0 5 2 8

4 2

E x t r e m e s


0 . 0 0 0 5 2 8 ( 6 5 8 ) 0 . 9 9 2 5 9 1 ( 9 1 8 )

0 . 0 0 0 8 6 2 ( 4 4 9 ) 0 . 9 9 7 3 3 7 ( 8 9 4 )

0 . 0 0 1 4 7 5 ( 6 0 3 ) 0 . 9 9 8 5 1 7 ( 3 9 6 )

0 . 0 0 2 9 6 1 ( 7 6 6 ) 0 . 9 9 9 0 1 3 ( 2 3 )

0 . 0 0 3 1 8 3 ( 1 1 8 ) 0 . 9 9 9 1 3 6 ( 4 7 )

例4－4（中央極限定理）

有20 0組不同樣本，每一樣本均有k個服從均勻分配U(0 , 1 )的觀

察值，試分別求 k=5 k = 1 0 k = 2 0時樣本平均值之直方圖及敘

述統計量，以瞭解樣本平均數的分配與樣本大小的關係。

程式(4－4)

d a t a s a m p l e 5 ;

d r o p n ;

d o s a m p l e = 1 t o 2 0 0 ;

d o n = 1 t o 5 ;

x = r a n u n i ( 2 2 2 ) ;

o u t p u t ;

e n d ;

e n d ;


o u t p u t o u t = m e a n 5 m e a n = m e a n ;

v a r x ;

b y s a m p l e ;

p r o c c h a r t ;

v b a r m e a n ;


v a r m e a n ;

d a t a s a m p l e 1 0 ;

d r o p n ;

d o s a m p l e = 1 t o 2 0 0 ;

d o n = 1 t o 1 0 ;

x = r a n u n i ( 2 2 2 ) ;

o u t p u t ;

e n d ;

e n d ;

4 3


o u t p u t o u t = m e a n 1 0 m e a n = m e a n ;

v a r x ;

b y s a m p l e ;

p r o c c h a r t ;

v b a r m e a n ;


v a r m e a n ;

d a t a s a m p l e 2 0 ;

d r o p n ;

d o s a m p l e = 1 t o 2 0 0 ;

d o n = 1 t o 2 0 ;

x = r a n u n i ( 2 2 2 ) ;

o u t p u t ;

e n d ;

e n d ;


o u t p u t o u t = m e a n 2 0 m e a n = m e a n ;

v a r x ;

b y s a m p l e ;

p r o c c h a r t ;

v b a r m e a n ;


v a r m e a n ;

r u n ;

第 2列是將變數N去掉，故該資料集將不再有變數N，第9到12列

仍是作MEA N S程序，其中NOP R I N T表不列印所產生出來的值，第10

列表示將所得之結果置於名為MEA N 5的資料集中，至於BY S A M P L E

則是令MEA N S程序在處理時，依不同的SAM P L E值分別處理，亦即

當 SAM P L E = 1 時求一個 MEA N 值， SA M P L E = 2 再求一 MEA N 值，故在

MEA N 5 這個資料集中將會產生 200 個 ME A N 值。結果如圖 4-7 , 4 -

8 , 4 - 9：

4 4

圖4－7( S A M P L E S I Z E = 5 )

F R E Q U E N C Y O F M E A N

F R E Q U E N C Y

| * * * * *

4 5 + * * * * * * * * * *

| * * * * * * * * * *

3 0 + * * * * * * * * * * * * * * *

| * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

1 5 + * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

| * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

0 . 2 0 0 . 2 8 0 . 3 6 0 . 4 4 0 . 5 2 0 . 6 0 0 . 6 8 0 . 7 6

M E A N M I D P O I N T


V a r i a b l e = M E A N

M o m e n t s

N 2 0 0 S u m W g t s 2 0 0

M e a n 0 . 5 0 4 1 6 S u m 1 0 0 . 8 3 2 1

S t d D e v 0 . 1 2 9 9 5 8 V a r i a n c e 0 . 0 1 6 8 8 9

S k e w n e s s 0 . 0 8 6 1 8 8 K u r t o s i s - 0 . 2 8 3 7 5

U S S 5 4 . 1 9 6 4 7 C S S 3 . 3 6 0 9 3 4

C V 2 5 . 7 7 7 1 4 S t d M e a n 0 . 0 0 9 1 8 9

T : M e a n = 0 5 4 . 8 6 3 0 8 P r o b > | T | 0 . 0 0 0 1

S g n R a n k 1 0 0 5 0 P r o b > | S | 0 . 0 0 0 1

N u m ^ = 0 2 0 0

Q u a n t i l e s ( D e f = 5 )

1 0 0 % M a x 0 . 8 3 6 9 9 9 % 0 . 7 8 9 5 7 5

7 5 % Q 3 0 . 5 9 0 2 4 4 9 5 % 0 . 7 2 3 3 9 9

5 0 % M e d 0 . 5 0 1 8 1 8 9 0 % 0 . 6 9 2 9 9 5

2 5 % Q 1 0 . 4 1 7 5 9 9 1 0 % 0 . 3 2 8 0 2 6

0 % M i n 0 . 1 7 0 2 8 7 5 % 0 . 2 9 3 0 2 9

1 % 0 . 2 2 1 5 2 2

R a n g e 0 . 6 6 6 6 1 3

Q 3 - Q 1 0 . 1 7 2 6 4 5

M o d e 0 . 1 7 0 2 8 7

4 5

E x t r e m e s


0 . 1 7 0 2 8 7 ( 1 1 1 ) 0 . 7 6 2 1 6 2 ( 4 7 )

0 . 2 1 4 3 2 ( 4 4 ) 0 . 7 6 5 6 9 7 ( 1 6 4 )

0 . 2 2 8 7 2 5 ( 1 9 1 ) 0 . 7 6 8 9 ( 8 )

0 . 2 2 8 8 3 9 ( 1 4 3 ) 0 . 8 1 0 2 5 ( 4 5 )

0 . 2 4 4 7 2 2 ( 1 4 4 ) 0 . 8 3 6 9 ( 3 5 )

圖4－8( S A M P L E S I Z E = 1 0 )


F R E Q U E N C Y

| * * * * *

4 5 + * * * * * * * * * *

| * * * * * * * * * * * * * * *

3 0 + * * * * * * * * * * * * * * *

| * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

1 5 + * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

| * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

0 . 3 0 0 . 3 6 0 . 4 2 0 . 4 8 0 . 5 4 0 . 6 0 0 . 6 6 0 . 7 2 0 . 7 8




M o m e n t s

N 2 0 0 S u m W g t s 2 0 0

M e a n 0 . 4 9 7 8 4 4 S u m 9 9 . 5 6 8 8 6

S t d D e v 0 . 0 9 5 5 9 2 V a r i a n c e 0 . 0 0 9 1 3 8

S k e w n e s s 0 . 0 7 9 2 7 8 K u r t o s i s 0 . 1 8 2 3 9

U S S 5 1 . 3 8 8 2 C S S 1 . 8 1 8 4 1 3

C V 1 9 . 2 0 1 1 1 S t d M e a n 0 . 0 0 6 7 5 9

T : M e a n = 0 7 3 . 6 5 2 7 2 P r o b > | T | 0 . 0 0 0 1

S g n R a n k 1 0 0 5 0 P r o b > | S | 0 . 0 0 0 1

N u m ^ = 0 2 0 0

4 6



Q u a n t i l e s ( D e f = 5 )

1 0 0 % M a x 0 . 7 6 1 0 9 5 9 9 % 0 . 7 2 4 7 2 1

7 5 % Q 3 0 . 5 5 4 9 9 3 9 5 % 0 . 6 7 3 2 1

5 0 % M e d 0 . 4 9 5 3 2 9 0 % 0 . 6 2 6 3 1 6

2 5 % Q 1 0 . 4 3 7 5 0 2 1 0 % 0 . 3 7 8 3 0 7

0 % M i n 0 . 2 3 6 7 8 1 5 % 0 . 3 3 8 5 8 1

1 % 0 . 2 5 2 9

R a n g e 0 . 5 2 4 3 1 5

Q 3 - Q 1 0 . 1 1 7 4 9 1

M o d e 0 . 2 3 6 7 8 1



E x t r e m e s


0 . 2 3 6 7 8 1 ( 7 2 ) 0 . 6 9 9 8 6 1 ( 5 5 )

0 . 2 4 7 6 8 3 ( 1 5 4 ) 0 . 7 0 9 1 9 8 ( 1 9 7 )

0 . 2 5 8 1 1 6 ( 1 3 0 ) 0 . 7 1 2 6 1 9 ( 8 2 )

0 . 2 8 4 7 4 2 ( 2 2 ) 0 . 7 3 6 8 2 3 ( 1 8 )

0 . 3 0 8 6 1 4 ( 5 6 ) 0 . 7 6 1 0 9 5 ( 1 3 4 )

圖4－9( S A M P L E S I Z E = 2 0 )


F R E Q U E N C Y

| * * * * *

4 5 + * * * * *

| * * * * * * * * * * * * * * *

3 0 + * * * * * * * * * * * * * * *

| * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

1 5 + * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

| * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

0 . 3 8 0 . 4 2 0 . 4 6 0 . 5 0 0 . 5 4 0 . 5 8 0 . 6 2 0 . 6 6


4 7



M o m e n t s

N 2 0 0 S u m W g t s 2 0 0

M e a n 0 . 5 0 1 1 1 3 S u m 1 0 0 . 2 2 2 6

S t d D e v 0 . 0 6 8 0 7 2 V a r i a n c e 0 . 0 0 4 6 3 4

S k e w n e s s 0 . 2 8 4 1 1 1 K u r t o s i s 0 . 2 1 5 4 0 9

U S S 5 1 . 1 4 4 9 4 C S S 0 . 9 2 2 1 2 7

C V 1 3 . 5 8 4 1 7 S t d M e a n 0 . 0 0 4 8 1 3

T : M e a n = 0 1 0 4 . 1 0 7 4 P r o b > | T | 0 . 0 0 0 1

S g n R a n k 1 0 0 5 0 P r o b > | S | 0 . 0 0 0 1

N u m ^ = 0 2 0 0



Q u a n t i l e s ( D e f = 5 )

1 0 0 % M a x 0 . 7 0 9 9 6 5 9 9 % 0 . 6 7 0 4 6 3

7 5 % Q 3 0 . 5 3 8 2 5 6 9 5 % 0 . 6 1 9 1 9 1

5 0 % M e d 0 . 4 9 6 7 5 6 9 0 % 0 . 5 8 9 4 1 4

2 5 % Q 1 0 . 4 6 1 7 2 4 1 0 % 0 . 4 1 3 5 2 6

0 % M i n 0 . 3 4 6 5 5 7 5 % 0 . 3 9 3 0 1 8

1 % 0 . 3 5 3 0 9 6

R a n g e 0 . 3 6 3 4 0 8

Q 3 - Q 1 0 . 0 7 6 5 3 2

M o d e 0 . 3 4 6 5 5 7



E x t r e m e s


0 . 3 4 6 5 5 7 ( 1 9 1 ) 0 . 6 6 1 8 6 3 ( 1 4 5 )

0 . 3 5 1 0 2 4 ( 7 7 ) 0 . 6 6 2 6 1 8 ( 2 5 )

0 . 3 5 5 1 6 7 ( 1 1 ) 0 . 6 6 2 9 1 6 ( 2 )

0 . 3 6 5 5 3 4 ( 1 0 8 ) 0 . 6 7 8 0 0 9 ( 1 6 7 )

0 . 3 6 6 6 7 ( 1 5 3 ) 0 . 7 0 9 9 6 5 ( 1 0 3 )

4 8

例4－6 大樣本 σ 2未知時， μ 之區間估計為測定台北市某十字路口交通的噪音程度，特於白天隨機記錄

該路口的噪音度量，依小而大列表於下： (單位：分貝)

5 2 . 0 5 5 . 4 5 6 . 3 5 6 . 5 5 7 . 8 5 7 . 9 5 8 . 0 5 8 . 2 5 8 . 4 5 8 . 6

5 8 . 7 5 8 . 8 5 9 . 6 5 9 . 6 6 0 . 1 6 0 . 3 6 0 . 4 6 1 . 0 6 1 . 2 6 1 . 5

6 1 . 6 6 1 . 7 6 1 . 7 6 1 . 9 6 2 . 0 6 2 . 2 6 2 . 2 6 2 . 3 6 2 . 3 6 2 . 3

6 2 . 4 6 2 . 4 6 2 . 4 6 2 . 5 6 2 . 5 6 2 . 8 6 3 . 0 6 3 . 8 6 3 . 8 6 3 . 9

6 4 . 7 6 5 . 2 6 5 . 4 6 6 . 0 6 6 . 1 6 6 . 9 6 7 . 2 6 8 . 9 6 9 . 4 7 1 . 1

這些數值相當於該路口的交通噪音分佈的50個度量，若視測定期

間所有發生的交通噪音量構成一個母體，則這50個度量即為一個樣

本，試求此母體平均值95%的信賴區間？

程式(4－6)

D A T A N O I S E ;

I N P U T B E A @ @ ;

C A R D S ;

5 2 . 0 5 5 . 4 5 6 . 3 5 6 . 5 5 7 . 8 5 7 . 9 5 8 . 0 5 8 . 2 5 8 . 4

5 8 . 6 5 8 . 7 5 8 . 8 5 9 . 6 5 9 . 6 6 0 . 1 6 0 . 3 6 0 . 4 6 1 . 0

6 1 . 2 6 1 . 5 6 1 . 6 6 1 . 7 6 1 . 7 6 1 . 9 6 2 . 0 6 2 . 2 6 2 . 2

6 2 . 3 6 2 . 3 6 2 . 3 6 2 . 4 6 2 . 4 6 2 . 4 6 2 . 5 6 2 . 5 6 2 . 8

6 3 . 0 6 3 . 8 6 3 . 8 6 3 . 9 6 4 . 7 6 5 . 2 6 5 . 4 6 6 . 0 6 6 . 1

6 6 . 9 6 7 . 2 6 8 . 9 6 9 . 4 7 1 . 1

P R O C C H A R T ;

V B A R B E A / M I D P O I N T S = 5 2 . 0 5 T O 7 0 . 0 5 B Y 3 ;

P R O C M E A N S N O P R I N T ;

O U T P U T O U T = M N O I S E M E A N = M E A N S T D E R R = S T D E R R ;

D A T A C O N F I ( K E E P = U C B L C B ) ;

S E T M N O I S E ;

E R R = S T D E R R * P R O B I T ( . 0 2 5 ) ;

U C B = M E A N + A B S ( E R R ) ;

L C B = M E A N - A B S ( E R R ) ;

L A B E L L C B = ' L O W E R C O N F I D E N C E B O U N D O F M E A N '

U C B = ' U P P E R C O N F I D E N C E B O U N D O F M E A N ' ;

P R O C P R I N T ;

T I T L E ' T H E 9 5 % C O N F I D E N C E I N T E R V A L O F M E A N ' ;

R U N ;

4 9

程式中之PRO B I T ( α)是用來計算常態分配機率值為 α = 0 . 0 2 5的臨界點，LAB E L用來定義變數名稱．列印結果如圖4－10

圖4－10

F R E Q U E N C Y O F B E A

F R E Q U E N C Y

| * * * * *

2 0 + * * * * *

| * * * * *

1 5 + * * * * *

| * * * * *

1 0 + * * * * *

| * * * * * * * * * * * * * * *

5 + * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

| * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

5 2 . 0 5 5 5 . 0 5 5 8 . 0 5 6 1 . 0 5 6 4 . 0 5 6 7 . 0 5 7 0 . 0 5

B E A M I D P O I N T

T H E 9 5 % C O N F I D E N C E I N T E R V A L O F M E A N

O B S U C B L C B

1 6 2 . 8 2 2 3 6 0 . 8 0 5 7

例4－7 ( 1 )小樣本 σ 2 未知時， μ 之區間估計 ( 2 )常態母體， σ 2的區間估計為了要知道台北市每位計程車司機一天行駛計程車的里數，特

隨機選出15位計程車司機，觀察他們一天行駛計程車的里數，並分

別記錄於下：

4 3 2 5 1 6 3 6 5 3 8 1 4 8 9

3 5 6 4 2 2 2 5 7 4 1 8 4 6 2

2 8 3 3 6 0 3 3 4 3 8 2 4 0 5

假設母體分配為常態分配， μ 為計程車司機一天行駛計程車的平均里數，求(1) μ 的95%信賴區間．(2) σ 2之95%信賴區間．

程式(4－7)

d a t a t a x i ;

i n p u t m i l e @ @ ;

c a r d s ;

5 0

4 3 2 5 1 6 3 6 5 3 8 1 4 8 9

3 5 6 4 2 2 2 5 7 4 1 8 4 6 2

2 8 3 3 6 0 3 3 4 3 8 2 4 0 5


o u t p u t o u t = s m v s t d e r r = s t d e r r m e a n = m e a n

v a r = v a r n = n ;

d a t a c o n f ( k e e p = u c b m l c b m u c b v l c b v ) ;

s e t s m v ;

m e r r = 2 . 1 4 5 * s t d e r r ;

u c b m = m e a n + m e r r ;

l c b m = m e a n - m e r r ;

u c b v = ( n - 1 ) * v a r / 5 . 6 2 8 7 2 ;

l c b v = ( n - 1 ) * v a r / 2 6 . 1 1 9 0 ;

p r o c p r i n t ;

l a b e l u c b m = ' u p p e r c o n f i d e n c e b o u n d o f m e a n '

l c b m = ' l o w e r c o n d i d e n c e b o u n d o f m e a n '

u c b v = ' u p p e r c o n f i d e n c e b o u n d o f v a r i a n c e '

l c b v = ' l o w e r c o n f i d e n c e b o u n d o f v a r i a n c e ' ;

r u n ;

列印結果如表4－11

表4－11

O B S U C B M L C B M U C B V L C B V

1 4 2 9 . 8 8 8 3 5 1 . 7 1 2 1 2 3 9 1 . 5 2 2 6 7 0 . 4 1

例4－8(驗證95 %信賴區間的涵義)

由30組樣本數為15而其母體服從標準常態分配N(0 , 1 )的樣本，

試求(1) σ 2未知 ( 2 ) σ 2 已知分別有幾組樣本所計算得到母體平

均數 μ 的95%信賴區間會涵蓋了 μ = 0．程式(4－8－1)

d a t a n o r ;

d r o p n ;

d o s a m p l e = 1 t o 3 0 ;

d o n = 1 t o 1 5 ;

x = r a n n o r ( 1 1 ) ;

o u t p u t ;

e n d ;

e n d ;

5 1


o u t p u t o u t = s m e a n m e a n = m e a n s t d e r r = s t d e r r ;

v a r x ;

b y s a m p l e ;

d a t a c o n f i ( k e e p = u c b l c b ) ;

s e t s m e a n ;

e r r = s t d e r r * t i n v ( 0 . 9 7 5 , 1 4 ) ;

u c b = m e a n + e r r ;

l c b = m e a n - e r r ;

l a b e l u c b = ' u p p e r c o n f i d e n c e b o u n d o f m e a n '

l c b = ' l o w e r c o n f i d e n c e b o u n d o f m e a n ' ;

p r o c p r i n t ;

t i t l e ' t h e 9 5 % c o n f i d e n c e i n t e r v a l o f m e a n ' ;

t i t l e 2 ' i f s a m p l e s i z e < 3 0 a n d v a r i a n c e i s

u n k n o w n ' ;

d a t a t r u e ;

s e t c o n f i ;

i f u c b > = 0 a n d l c b < = 0 ;

p r o c m e a n s n ;

v a r u c b ;

p r o c p r i n t ;

t i t l e ' t h e n u m b e r o f s a m p l e ' ;

t i t l e 2 ' w h i c h c o n f i d e n c e i n t e r v a l i n c l u d e

t r u e m e a n 0 ' ;


u n k n o w n ' ;

r u n ;

程式(4－8－2)

d a t a k c o n f ( k e e p = u c b l c b ) ;

s e t s m e a n ;

e r r = p r o b i t ( . 9 7 5 ) / s q r t ( n ) ;

u c b = m e a n + e r r ;

l c b = m e a n - e r r ;

p r o c p r i n t ;

l a b e l u c b = ' u p p e r c o n f i d e n c e b o u n d o f m e a n '

l c b = ' l o w e r c o n f i d e n c e b o u n d o f m e a n ' ;

t i t l e ' t h e 9 5 % c o n f i d e n c e i n t e r v a l o f m e a n ' ;

5 2


k n o w n ' ;

d a t a k t r u e ;

s e t k c o n f ;

i f ( l c b l e 0 ) a n d ( u c b g e 0 ) ;

p r o c m e a n s n ;

v a r l c b ;

p r o c p r i n t ;

t i t l e ' t h e n u m b e r o f s a m p l e t h a t c o n f i d e n c e

i n t e r v a l

t i t l e 2 ' i n c l u d e t r u e m e a n 0 ' ;

t i t l e 3 ' i f v a r i a n c e i s k n o w n a n d s a m p l e

s i z e < 3 0 ' ;

r u n ;

列印結果如表4-1 2 , 4 - 1 3

表4- 1 2 ( 1 ) σ 2未知

t h e 9 5 % c o n f i d e n c e i n t e r v a l o f m e a n

i f s a m p l e s i z e < 3 0 a n d v a r i a n c e i s u n k n o w n

O B S U C B L C B

1 0 . 2 4 6 7 1 - 0 . 5 2 5 1 6

2 0 . 2 5 0 8 4 - 0 . 7 3 0 5 4

3 1 . 2 1 4 4 5 0 . 1 5 0 1 7

4 0 . 5 9 0 4 5 - 0 . 5 2 6 3 6

5 1 . 0 0 3 7 1 - 0 . 2 7 8 0 4

6 0 . 6 0 7 2 5 - 0 . 2 0 0 9 1

7 0 . 5 1 6 9 7 - 0 . 7 0 3 5 3

8 0 . 5 2 2 7 1 - 0 . 6 4 4 2 1

9 0 . 4 7 1 5 5 - 0 . 6 4 4 7 8

1 0 - 0 . 0 2 8 9 3 - 1 . 0 1 0 1 0

1 1 0 . 7 2 4 2 0 - 0 . 6 5 0 9 9

1 2 0 . 7 5 7 3 3 - 0 . 4 0 0 8 1

1 3 0 . 6 6 4 0 4 - 0 . 3 3 6 3 5

1 4 0 . 4 3 5 1 8 - 0 . 6 5 4 0 3

1 5 0 . 5 2 2 4 5 - 0 . 5 0 2 8 9

5 3

1 6 1 . 1 0 3 0 5 - 0 . 3 0 7 8 5

1 7 0 . 1 7 1 0 7 - 0 . 9 1 4 5 6

1 8 1 . 0 5 6 0 2 - 0 . 1 9 9 4 6

1 9 1 . 1 0 0 8 0 - 0 . 2 6 1 8 0

2 0 0 . 3 1 5 7 2 - 0 . 8 5 1 4 9

2 1 0 . 9 4 6 0 9 - 0 . 2 3 1 0 6

2 2 - 0 . 0 0 6 3 2 - 0 . 6 2 1 0 5

2 3 0 . 2 6 5 5 6 - 0 . 7 2 0 0 8

2 4 0 . 1 4 0 7 0 - 1 . 0 5 5 6 3

2 5 0 . 7 0 7 5 3 - 0 . 7 3 5 2 5

2 6 0 . 6 6 9 8 3 - 0 . 2 8 5 4 2

2 7 0 . 6 8 6 3 2 - 0 . 4 7 5 1 2

2 8 0 . 5 9 5 6 9 - 0 . 3 9 8 2 1

2 9 0 . 7 5 5 7 1 - 0 . 5 4 5 8 0

3 0 0 . 6 0 5 4 3 - 0 . 2 0 8 5 2

t h e n u m b e r o f s a m p l e

w h i c h c o n f i d e n c e i n t e r v a l i n c l u d e t r u e m e a n 0

i f s a m p l e s i z e < 3 0 a n d v a r i a n c e i s u n k n o w n

A N A L Y S I S V A R I A B L E : U C B

N O B S N

- - - - - - - -

2 7 2 7

- - - - - - - -

表4－13 ( 2 ) σ 2已知

t h e 9 5 % c o n f i d e n c e i n t e r v a l o f m e a n

i f s a m p l e s i z e < 3 0 a n d v a r i a n c e i s k n o w n

O B S U C B L C B

1 0 . 3 6 6 8 4 - 0 . 6 4 5 2 8

2 0 . 2 6 6 2 1 - 0 . 7 4 5 9 1

3 1 . 1 8 8 3 7 0 . 1 7 6 2 5

4 0 . 5 3 8 1 1 - 0 . 4 7 4 0 2

5 0 . 8 6 8 8 9 - 0 . 1 4 3 2 3

5 4

6 0 . 7 0 9 2 3 - 0 . 3 0 2 8 9

7 0 . 4 1 2 7 8 - 0 . 5 9 9 3 4

8 0 . 4 4 5 3 1 - 0 . 5 6 6 8 1

9 0 . 4 1 9 4 5 - 0 . 5 9 2 6 8

1 0 - 0 . 0 1 3 4 5 - 1 . 0 2 5 5 8

1 1 0 . 5 4 2 6 7 - 0 . 4 6 9 4 5

1 2 0 . 6 8 4 3 2 - 0 . 3 2 7 8 0

1 3 0 . 6 6 9 9 0 - 0 . 3 4 2 2 2

1 4 0 . 3 9 6 6 4 - 0 . 6 1 5 4 9

1 5 0 . 5 1 5 8 4 - 0 . 4 9 6 2 8

1 6 0 . 9 0 3 6 6 - 0 . 1 0 8 4 6

1 7 0 . 1 3 4 3 2 - 0 . 8 7 7 8 0

1 8 0 . 9 3 4 3 4 - 0 . 0 7 7 7 8

1 9 0 . 9 2 5 5 6 - 0 . 0 8 6 5 6

2 0 0 . 2 3 8 1 8 - 0 . 7 7 3 9 5

2 1 0 . 8 6 3 5 8 - 0 . 1 4 8 5 4

2 2 0 . 1 9 2 3 7 - 0 . 8 1 9 7 5

2 3 0 . 2 7 8 8 0 - 0 . 7 3 3 3 2

2 4 0 . 0 4 8 5 9 - 0 . 9 6 3 5 3

2 5 0 . 4 9 2 2 0 - 0 . 5 1 9 9 2

2 6 0 . 6 9 8 2 7 - 0 . 3 1 3 8 5

2 7 0 . 6 1 1 6 6 - 0 . 4 0 0 4 6

2 8 0 . 6 0 4 8 0 - 0 . 4 0 7 3 2

2 9 0 . 6 1 1 0 2 - 0 . 4 0 1 1 1

3 0 0 . 7 0 4 5 2 - 0 . 3 0 7 6 0

t h e n u m b e r o f s a m p l e t h a t c o n f i d e n c e i n t e r v a l

i n c l u d e t r u e m e a n 0

i f v a r i a n c e i s k n o w n a n d s a m p l e s i z e < 3 0

A N A L Y S I S V A R I A B L E : L C B

N O B S N

- - - - - - - -

2 8 2 8

- - - - - - - -

5 5

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第四章 機率分配和抽樣估計 - fcu.edu.t · title ‘using a random number function’; run; 程式中第二列設定seed的起始值為1234，第三到六列為迴圈，

第四章機率分配和抽樣估計 - fcu.edu.t · title ‘using a random number function’; run; 程式中第二列設定seed的起始值為1234，第三到六列為迴圈，