積分定理

各種轉換公式(重要！) 必須了解三者間的關係

Green’s 定理：線積分↔面積分(雙重積)

Gauss’s 定理：面積分↔體積分(三重積)

Stokes’s 定理：線積分↔面積分

事實上為曲線積分

：沿著 x 軸對 f(x)(被積分項)積分，起始點 a，終點 b

被積分項

代表曲線 C 之參數表示式(即為積分路徑)

封閉路徑

積分C∫

箭頭表示積分方向

C∫

( )r b=

( )r a =

平滑曲線的條件

純量

1 2 3

( )( )

F F i F j F k

dr dxi dyj dzkdr t dx dy dzr t i j k

dt dt dt dtx i y j z k

= + +

= + +

′ = = + +

′ ′ ′= + +

重要公式！

dxdt

dzdt

dydt

封閉路徑積分

功積分

注意解題步驟！ Step 1:圓曲線方程式

Step 2: ( )r t 代入F 中

Step 3: drdt

Step 4:

( )F r r dt′= ∫ i 積分能力很重要！

Step 1:螺線方程式

Step 2 Step 3

Step 4:

( )F r r dt′= ∫ i

√

√

√

1. C 的不同形式表示式，並不影響積分值； 2. 路徑不同(例 C1 與 C2 路徑)會影響積分值。

功等於動能的獲增量

位移

drdt

積分後為向量

( ) cos sin 3 r t t i t j t k= + +

個別分量取積分

積分後為純量

( ) ( )b b

a aF r dr F r r dt′=∫ ∫i i

比較

注意 P415 教過的 解題步驟！

1

21

1

21 1

1

1 10

1 2

0

( )

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

13

r t ti tj

F r t jr t i j

F r r t t

F r r t dt

t dt

= +

=

′ = +

′• =

′•

= =

∫

∫

故

22

32

2

42 2

1

2 20

1 4

0

( )

( )( ) 2

( ) ( ) 2

( ) ( )

225

r t ti t j

F r t jr t i tj

F r r t t

F r r t dt

t dt

= +

=

′ = +

′• =

′•

= =

∫

∫

故

補充資料(台師大機電 15%)：

Evaluate the line integral with

F( r ) = [5z, xy, x2z] = 5z i + xy j + x2z k

Along two different paths with the same initial point A: (0, 0, 0) and the same terminal point B: (1, 1, 1), namely (As shown in Figure)

(a) C1: the straight-line segment 1r ( t ) = t i + t j + t k, 0 ≤ t ≤ 1, and

(b) C2: the parabolic arc 2r ( t ) = t i + t j + t 2 k, 0 ≤ t ≤ 1.

【Solution】

與路徑無關之線積分 → 必須注意其成立之條件！

( ) ( )f B f A= − 僅與起始點、終點有關，與積分路徑無關

三種與路徑無關之線積

分需滿足之條件！

If F is given. 步驟 1：證明 0Curl F F= ∇× = 步驟 2：利用 grad f F= 求出 f 步驟 3： ( ) ( )f B f A−

If F is given. 步驟 1：證明 0Curl F F= ∇× = 步驟 2：利用 grad f F= 求出 f 步驟 3： ( ) ( )f B f A−

用以求出 ( , , )f x y z 函數

( )C

F r dr =∫ i

( )C

F r dr =∫ i

1 2 3, ,F F F 代入

Chain rule: df f dx f dy f dzdt x dt y dt z dt

∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂

( ( ), ( ), ( ))( ( ), ( ), ( ))

A x a y a z aB x b y b z b

重要公式！

定積分公式！

先求出 f

(見以下補充資料：有完整的計算過程)

+c

+c

1 2 3 F F F

If F is given. 步驟 1：證明 0Curl F F= ∇× = 步驟 2：利用 grad f F= 求出 f 步驟 3： ( ) ( )f B f A−

心算速解：

3

2

2

2

3 2

2

3

2

x

y

z

x

y z

ff xxff yzyff yz

y z

f x y z c

∂= = →∂∂

= = →∂∂

= = →∂= + +故

2

C1+C2 形成封閉曲線，則積分 C1 (正值 A→B) + C2 (負值 B→A)其值為 0，

故 C1 曲線：積分 A→B

C2 曲線：積分 A→B

即封閉曲線積分為零時，積分式(1)與路徑無關。

相同的式寫

一次即可！

兩者有相同值(固定起始點 A與終點 B，沿不同路徑積分)

1 2 3 F F F

+c

功、保守(守恆)與非保守(非守恆)物理系統！

1. 功與路徑無關。

2. 任意封閉路徑所作的功為零。

3. F 為一潛位 ( )f 之梯度 ( )F grad f= ， 則 F 及其所定義之向量場稱守恆的。

4. 守恆系統必須滿足 0F∇× =

5. ( ) 0F Curl grad f∇× = =

完全性

兩個式子相同

1 2 3F F i F j F k

dr dxi dyj dzk

= + +

= + +

Chain rule: df f dx f dy f dzdt x dt y dt z dt

∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂

用以求出 f

1 2 3

0

Curl F F

i j k

x y zF F F

= ∇×

∂ ∂ ∂=∂ ∂ ∂

=

i 的分量=0

j 的分量=0

k 的分量=0

1 2 3 f f fF grad f i j k F i F j F kx y z∂ ∂ ∂

= = + + = + +∂ ∂ ∂

) (9. )0 9Curl grad f =即 節教過(

(1)式積分與路徑無關的條件

3 0F =

(補充資料)

速解：

1

2

3

( , , )

x

y

z

ff F

F

F

f x y

xffyfz

z

f

∂= =∂∂

= =∂∂

= =∂

求出

滿足(6’)式(即 0F∇× = )，

故積分與路徑無關

1 2 3 F F F

+c

雙重(面)積分 → 僅做簡單複習，細節請 Review 微積分

dA dxdy=

dxdy

R

A dxdy= ∫∫

均值定理

先對 y積分，再對 x積分

R

面積 A

●

0 0( , )x y

先對 x積分，再對 y積分

求體積

求面積

視為高(厚)度

求極慣性矩

求重心位置

求慣性矩

求 R 內的總質量

視為密度 2( / )kg cm

2r=

請

複

習

靜

力

學

！

√

√ 取絕對值，故

一定是正值

1. 改變積分變數後，積分範圍也要改變。

2. 一定要增加 Jacobian 項

√ 重要公式！

x yu ux yv v

∂ ∂∂ ∂=∂ ∂∂ ∂

注意解題步驟！

Step 1:先找出 x,y 為 u,v 的函數關係

Step 2:求出 Jacobian 項

Step 3:找出 u,v 的範圍

Step 4: 代入積分

取絕對值

x y u+ =

x y v− =

極座標

θ r

x

y

( cos , sin )r rθ θ•

重要！

自行練習

cossin

0 1

02

x ry r

r

θθ

πθ

==≤ ≤

≤ ≤

公式 P429

R 為封閉區域 C 為封閉區域的邊界曲線

1 2 1 2( ) ( )

C C

C C

dx d dtdt

yF F F x F y dtdt

d Fr dtF r

′ ′= + +

= ′

=

=

∫ ∫∫ ∫i i( )

R

Curl F k dxdy =∫∫ i 平面的 Stokes’s 定理即為 Green’s 定理

R

C

1 2 3

Curl F F

i j k

x y zF F F

= ∇×

∂ ∂ ∂=∂ ∂ ∂

R 必須在積分方向的左側

1 2C CR

= −∫∫ ∫ ∫

Green’s 定理：線積分↔面積分(雙重積)

先對 y 積分

(補充資料！)

f g

87 成大航太(15%)

圓面積

( )C

F r dt′ ′= ∫ i注意積分技巧！

R

C: 2 2 1x y+ =

2 3 2 2 2

0

2 3 2 2 22

0 0 0 0

2 2

0 0

2

2 2

2

2

( sin 7sin 2cos s

sin

1 1sin (1 cos 2 ),cos (1 cos 2 )2 2

sin cos

i

1 cos

n 2cos )

7 2 cos 2

d(sin

s

) cos , d(co

sin co

s ) sin

2

in

s 27

t t

t t t t t dt

dt t d

t t t t

t t dt t t dt

td tdt

t

t

td

t

t

π

π π π π

π π

− + +

−

= − = +

= =

+

= + + +

= +−

−

∫∫ ∫ ∫ ∫

∫

公式

2 22

0 0

2 2 2 222

0 0 0 0

2 2 23

0

32

0 0 0

1 cos 22

1 cos 2 1

2 cos 2

7 2 cos

cos

co(1 c 2

[ ] 7[ ] 2[ ] 2[ ]

9

cs

cos3

os 22 2

sin 2 sin 22 4 2 4

7 2

os ) cos

cosc

0

os3

0

t d t

tt

t

t t

dt t dt

dt t dt

d t

t

t t t

d

tt

π π

π π π π

π π π π

ππ π

+

− +

−

+

= + +

= + − +

= + −

−

−

+=

+

−

−

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

2 11 2( ) ( )C

R

F F dxdy F dx F dyx y

∂ ∂− = +

∂ ∂∫∫ ∫

Green’s 定理證明(前已有補充)

同理可證

(A)式

(B)式

(B)式–(A)式得證 Green’s 定理

有 dx 項者為 0

1. 一個密封區域的面積分，可以分成幾個小密封區域的面積分和。

2. 每個小區域的 R，仍必須在積分方向的左側

R1

R3

R2 R5

R4

A= A= 兩式相加

再除以 2

利用線積分求出面積

橢

圓

面

積

dxdt

dydt

1 12 2

( ) ( )C C

dy dxx y dt xy yx dtdt dt

′ ′= − = −∫ ∫

心

臟

形

曲

線

面

積

封閉區域面積公式(4)，在極座標時的適用公式

心臟形曲線

2 2 2 2

2 2 2 2

1 1( ) ( sin cos cos sin cos sin )2 2

1 1(cos sin )2 2

C C

C C

xdy ydx r dr r d r dr r d

r d r d

θ θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ

− = + − +

= + =

∫ ∫

∫ ∫

面積分之表面(表示法)(參數表示式)

投影

先找出面的參數表示式→作面積分

投影於 u, v 平面後，變成對 u, v作積分，故要知道 u, v 的範圍

對 t 作積分

a t b≤ ≤

表面的表示法

半球

曲線參數表示法

( )

( ) ( ) ( )

r r t

x t i y t j z t ka t b

=

= + +≤ ≤

( )

b

C a

b

a

drF dr F dtdt

F r t dt

=

′=

∫ ∫

∫

i i

i

線積分

User矩形

表面的參數表示法 重要！

圓柱體的參數表示式

球體的參數表示式

理解後必須記憶.....

少用

x y z

x y z

a cosx a u=

siny a u=

sinz a v=

cosa v

( , , )x y z

v

sin u y× =

cos u x× =

a

v for (3*)

圓錐體的參數表示式

請比較與圓柱體的差異性！

切線平面 表面法線

單位法線向量

法線向量

z z

y

x

H

0

2 2H z x y− = +

u vdu dv u vdt d

r r r ru v t

′ ′= + =∂ ∂

∂+

∂

以參數表示法

表示曲面時，求

N 與n，是面積分的關鍵步驟

切線向量，展開成切

線平面， u vr r N× =

面方程式

面上的線方程式 (沿著時間 t 的變化)

( ) ( , ) ( , )S R

r uF n dA F N u v dv udv=∫∫ ∫∫i i面積分

r 分別對 u, v 取微分

以純函數式表示曲面時… 重要觀念！

= ∇ ( , , )( , , )

( , , )

grad g x y zg x y z

g x y z代表曲面 之法線向量 單位法線向量

grad ggrad g

= 2 2 2

2 2 2

2 2

grad g x i y j z k

grad g x y z a

= + +

= + + =

2 2 2 2

2

x ygrad g i j kx y x y

grad g

= + −+ +

=

注意解題步驟

由 10-5 節所定義

純量

Step 1: 定義曲面的參數表示式

Step 2: 求出法線向量

R 為 S 在 u-v 平面的投影面

類似線積分的觀念 見 P414 的 eq(3)

重要！

( ( )) ( )b

C aF dr F r t r t dt′=∫ ∫i i

(補充資料！)

( ) ( )u vr r dudv r r dudvu v∂ ∂

= × = ×∂ ∂

Step 3: ( , )r u v 代入FStep 4: ( )F r Ni Step 5: ( )F r Ndudv∫∫ i

S

R

【向量面積分定義】

dr r du r dvdt du vt dt

∂ ∂= +∂ ∂

(補充資料)

向量解法純量解法

比較兩者的差異

大小

向量

(v 為常數)

(u 為常數)

N dudv=

大小

向量

If F given, Step 1:找出φ

Step 2:求出 φ∇ 或 φ∇

Step 3: i j kφ φ φ∇ ∇ ∇i i i算出 , 或

Step 4: dA ndA代入 或 公式

Step 5: F ndA∫∫ i再代入 公式

( )φ∇ 法線向量

dxdy

dA

dxdy (投影面積)

k

θ

θ γ=

θ

曲面φ

dA

切線向量

( )u vr r dudv Ndudv= × =

x-y 平面

【補充題】(清大電機, 12 分)

Use the method of parametric representation to find the surface integral of the

vector function

3 3 3F y i x j z k= + +

over the portion of the surface defined as

2 2: 4 4, 0, 0, 0S x y x y z b+ = ≥ ≥ ≤ ≤ 【Solution】(必須以參數法做運算)

3 3 3

3 3

320 0

0 , 02

2sin cos

2cos

0

0 0 1

cos 2sin 0

( ) sin 8cos

(sin cos 16cos sin )

[ si in

s

n s 1

in

u

v

u v

b

u v b

r ui uj k

r i j k

N r r ui uj k

r ui uj vk

F r ui uj v k

F ndA F Ndudv

u u u u dud

d

v

uuπ

π≤ ≤ ≤ ≤

= − + +

= + +

= × = + +

= + +

=

=

−

+ +

=

+

∫∫ ∫∫∫∫

∫ ∫

i i

320

4 4200

0

6 cos ]

sin c

c

os[ 16 ]4 4

17

o

4 4

s

17

b

b

u dv

u u dv

dv b

d uπ

π

= −

= =

∫

∫

∫

( ) ( , ) ( , )S R

r uF n dA F N u v dv udv=∫∫ ∫∫i i面積分

見

前

補

充

資

料

流量積分(通量積分)

R

F Ndudv= ∫∫ i

必須先找出cos ,cos ,cosα β γ 的正負號

If cos 0β < , 則必須放負號

判斷n 的方向 (見 P447 的圖 247)

拋物線圓柱體

自行練習！

參數法解題步驟！

Step 1:曲線參數表示式

Step 3: ( , )r u v 代入F

Step 2: dr drNdu dv

= ×算出法線向量

Step 4: ( )F r Ni

Step 5: ( )F r Ndudv∫∫ i

投影在 xz 平面！ 2

2

3 2 2

0 0

(2 )

(6 6)

(6 6) 72

x y

ndA dxdz xi j dxdzj

F ndA xz dxdz

xz dxdz

φφφ

= −∇

= = −∇

= −

− =∫ ∫

i

i

(另一種解法) P444 的 Eq (5)

1 2 3( )S

F dydz F dzdx F dxdy= + +∫∫

亦可用投影法計算(Try it!)

cos

[cos , cos , cos ]

cos 2

cos 1, cos 0

n i

N N

NN N n i N i uN

N N

α

α β γ

α

β γ

=

=

= = =

= − =

i

i i

前頁

同理得

Step 1:曲線參數表示式

第一象限的範圍

投影法解題步驟！

Step 3: ( , )r u v 代入F

Step 2: dr drNdu dv

= ×算出法線向量

Step 4: ( )F r Ni

Step 5: ( )F r Ndudv∫∫ i

定向

以 447 頁的圖形說明

與 example 1差一個負號

與 example 1的 u,v 參數設定相反

可定向的

逆時針

順時針

( ) [cos ,cos ,cos ]α β γ=+

( )−

Step 1:曲線參數表示式

Step 2:dr drNdu dv

= ×算出法線向量

圓環表面

看圖自

行思考

Step 1:曲線參數表示式(P440)

Step 2: dr drNdu dv

= ×算出法線向量

球的面積

Step 3: u vN r r= ×

Step 4: u vr r dudv×∫∫

不考慮方向之表面積

請與 P443 的(3)式形式比較

S

R

面積 A

●

0 0( , )u v

du dxdv dy

==

( , )dA N u v dudv=

參數法變形解法 (亦可使用 x-y 投 影法計算)

b

sinz b v=

cosb v

( cos )a b v+ sin

cos

y

x

u

u

×

×

=

=

Step 3: u vN r r= ×

Step 4: u vr r dudv×∫∫

Gauss’s 散度定理：面積分 ↔ 體積分(三重積)

3D 的封閉區域

Gauss’s 定理：面積分↔體積分(三重積)

散度(純量) F= ∇ =i

3D 的封閉區域 T 的外圍封閉曲面(T 的外殼)

觀念同 444 頁

(同 10.6節面積分)

常出現的型式

真正要您計算的型式

85 年台大造船 (10%) 注意解題步驟！

Step 1:算出divF

Step 3:積分參數變換(圓柱座標)

Step 2: T

divF dxdydz∫∫∫算出

積分功力問題

T

divF dxdydz= ∫∫∫F1 F2 F3

cossin

xyz z

θθ

===

注意解題步驟！

Step 1:球參數表示式(一定要會！)

Step 3: ( , )r u v 代入F

Step 2: dr drNdu dv

= ×

算出法線向量

Step 4: ( )F r Ni

Step 5: ( ) 64F r Ndudv π=∫∫ i 0 2 ,

2 2u vπ ππ≤ ≤ − ≤ ≤

3 323

43

r ππ= =球體積

F

x y z ( )

(7 )

6

6=64

6

( )

S

a

xi zk ndA

dxdydz

dxdydz

dxd

Gaus

ydz

s

divF

π

−

=

=

=

=

∫∫

∫∫∫∫∫∫∫∫∫

i

定理解法

球體積

(b)

參數法面積分的解法

Stokes’s 定理：線積分 ↔ 面積分

旋度(向量) F= ∇× =

各種轉換公式(重要！) 必須了解三者間的關係

Green’s 定理：線積分↔面積分(雙重積)

Gauss’s 定理：面積分↔體積分(三重積)

Stokes’s 定理：線積分↔面積分

x-y 平面的 Stokes’s 定理即為 Green’s 定理

Stokes’s 定理：線積分↔面積分

2 1

1 2

( )

(

'

(

)

)

R

R

C

Curl F k dxdy

F F dxdyx

Gree

y

n s Theo

F d

em

x F y

r

d

∂ ∂= −

∂ ∂

= +

∫∫

∫∫

∫

i

若 S 退化為 x-y 座標上的平面，則 Stokes’s 定理退化為 Green’s 定理

將 S 投影於 u-v 平面，以投影面 R(或其封閉邊界曲線C )做計算

R

CurlF Ndudv =∫∫ i

z=1

2 2: 1, 0C x y z+ = =

R

S

2 2( , ) 1z f x y z x yφ = − = + + −

97 彰師大機電(15%) 97 中興生物機電(16%)

CF dr= ∫ i

注意解題步驟！ Step 1:圓曲線方程式 ( )r s

Step 3: ( )r s 代入F 中 Step 2: drds

Step 4: ( )F r r ds′∫ i

Stokes’s 式的右側計算

Stokes’s 式的左側計算

2 1 cos 2sin2

αα −=

Step 1:求出 Curl F F= ∇×

Step 2:求出 ( )N grad φ= 法線向量

Step 3:求出 Curl F Ni

Step 4:求出 R

Curl F Ndxdy∫∫ i 2 2 1

(2 2 )

ndAx y z

ndA dxdyk

xi yj k dxdy

φφφ

= + + −∇

=∇

= + +

i

以投影法求出

或 積分參數變換(圓座標) cossin

xy

θθ

==

x-y 平面，其單位法向量為 k

1 2 3

Curl F F

i j k

x y zF F F

= ∇×

∂ ∂ ∂=∂ ∂ ∂ Green’s 定理

2 1( )

( 28)

( 28)

(4 )( 28)112

C

S

S

S

S

F r ds

CurlF ndA

F F dAx dy

dA

dA

ππ

′

=

∂ ∂= −

∂

= −

= −

= −= −

∫∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

i

i

與積分路徑無關的條件

0

不管路徑 C 的選擇為何？在 S 上的積分必為零

= 0

(補充資料！)

【練習題】

(補充資料！)

C 曲線

(z=4)

指C曲線為順時針方向

投影至 x-y 平面

cossin

0 20 2

x ry r

r

θθ

θ π

==≤ ≤≤ ≤

極座標轉換

2 2x y= +

必須加強積分功力

封閉曲線積分範圍： 逆時針方向：0 2π→ 順時針方向： 2 0π →

0