CỰC TRỊ CỦA BIỂU THỨC NHIỀU BIẾN
A/LêI NãI §ÇU
1/ LÝ do chän ®Ò tµi:
· Bất đẳng thức và cực trị của biểu thức nhiều biến từ lâu đả
trở thành đề tài quen thuộc đề cập trong nhiều tài liệu. Thường gặp
trong nhiều cuộc thi từ các lớp THCS đến bậc đại học,trong các kì
thi Olimpic trong nước và thế giới,nó là vấn đề khó và thật hấp dẫn
bởi vì việc giải nó nhiều khi phải rất công phu,sáng tạo đôi khi
phải biết kết hợp nhiều phương pháp,nhiều kỹ thuật mới giải được
chúng, mỗi bài một vẽ thật là đa dạng.
· Giải toán BĐT và cực trị nói chung và BĐT,cực trị của biểu
thức có nhiều biến số nói riêng không những rèn luyện phẩm chất tư
duy,óc sáng tạo,trí thông minh cách nhìn linh hoạt, tinh tế của
người học,người làm toán là động cjthucs đẩy lòng đăm mê, yêu thích
môn toán.
· Các bài toán BĐT và cực trị không những giáo dục các phẩm chất
trí tuệ của người học mà còn chứa đựng tính thực tiễn cao trong
việc ứng dụng toán họcvào thực tiễn cuộc sống giải các bài toán tối
ưu.
· Các bài toán BĐT và cực trị của biểu thức chứa nhiều biến số
là những vấn đề thường được đề cập trong các chuyên đề bồi dưỡng
học sinh giỏi.Không thể có một phương pháp chung để có thể giải cho
mọi loại bài toán,trong một chừng mực nào đó vẫn có thể nêu ra một
số kỹ thuật giải chung cho các bài toán,đó là một việc mà các nhà
sư phạm nên làm giúp cho học sinh có một nền kiến thức cơ bản khi
đứng trước một bài toán thuộc loại này.
· Vì những lý do trên việc đề cập đến một số kỹ thuật,một số
cách giải có tính thông dụng nhất về lớp các bài toán thuộc dạng
này là một việc cần thiết giúp cho người học nâng cao khả năng tự
học tự khai thác phát hiện và giải toán.
2/ Môc ®Ých cña ®Ò tµi:
Trªn c¬ sënhìng kinh nghiÖm gi·ng d¹y vµ thùc tiÔn häc tËp cña
häc sinh,®óc kÕt thµnh kinh nghiÖm vµ mét sè ph¬ng ph¸p t×m cùc trÞ
vµ chøng minh mét sè bÊt ®¼ng thøc nhiÒu biÕn sè
3/Ph¹m vi nghiªn cøu:
Ph¹m vi nmghiªn cøu cña ®Ò tµi xoay quanh c¸c d¹ng vµ ph¬ng ph¸p
gi¶i c¸c bÊt ®¼ng thøc vµ cùc trÞ cña biÓu thøc chøa nhiÒu biÕn
sè.
4/ C¬ së nghiªn cøu
C¬ së nghiªn cøu lµ dùa trªn c¸c kiÕn thøc ®· häc ë trêng ®¹i
häc,c¸c khãa båi dìng n©ng cao kiÕn thøc trong hÌ ®èi víi gi¸o viªn
d¹y chuyªn do bé tæ chøc,thùc tÕ gi·ng d¹y ë c¸c líp chuyªn to¸n
trong trêng chuyªn,kÜ yÕu héi th¶o ®µo t¹o hÖ trung häc phæ th«ng
chuyªn,t¹p chi to¸n häc vµ tuæi trÎ,s¸ch gi¸o khoa ,s¸ch tham kh¶o
cña bé m«n to¸n bËc trung häc phæ th«ng.
5/ Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu:
Thùc hiÖn ®Ò tµi nµy,t«i sö dông c¸c ph¬ng ph¸p sau ®©y:
-Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu lý luËn;
-Ph¬ng ph¸p kh¶o s¸t thùc tiÔn;
-Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch;
-Ph¬ng ph¸p tæng hîp;
-Ph¬ng ph¸p kh¸i qu¸t hãa;
-Ph¬ng ph¸p tæng kÕt kinh nghiÖm.
B/ NỘI DUNG ĐỀ TÀI
Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q
= F
(
)
12
,,...,
n
aaa
với
i
aD
Î
và ngoài ra
12
,,...,
n
aaa
còn chịu một số ràng buộc khác.
Các cách giải thông dụng
1/ Đánh giá trực tiếp Q bằng bất đẳng thức
2/ Đánh giá Q bằng phương pháp đạo hàm
3/ Đánh giá Q bằng phương pháp dồn biến
4/ Đánh giá Q bằng phương pháp lượng giác hóa
5/ §¸nh gi¸ Q th«ng qua t×m miÒn gi¸ trÞ...
Vấn đề dùng bất đẳng thức để đánh giá Q có trong rất nhiều tài
liệu ,trong đề tài này qua một số ví dụ nhằm làm rõ thêm về mặt
phương pháp dùng đạo hàm, dồn biến phương pháp lượng giác hóa,ph¬ng
ph¸p t×m miÒn gi¸ trÞ ®Ó tìm cực trị của biểu thức nhiều biến.
§Ó thuËn tiÖn cho viÖc nghiªn cøu t«i xin ®Ò cËp ®Õn ph¬ng ph¸p
chuÈn hãa trong c¸c hµm cã tÝnh thuÇn nhÊt ba biÕn.
Bµi to¸n: Tim cùc trÞ cñ biÓu thøc Q =
(
)
,,
Fxyz
biÕt
(
)
(
)
,,,,
FxyzFxyz
lll
=
(1) víi
0
l
¹
Hàm số
F
thỏa mãn điều kiện (1) gọi là hàm thuần nhất ba biến x,y,z
MÖnh ®Ò 1:Cho
(
)
,,
Hxyz
lµ mét ®a thøc ®¼ng cÊp bËc k vµ hµm sè
(
)
,,
Fxyz
thãa m·n (1) th× gi¸ trÞ cña
(
)
,,
Fxyz
trªn miÒn:
(
)
(
)
{
}
,,/,,;(0)
xyzHxyzaa
=>
kh«ng thay ®æi khi
a
thay ®æi.
Gi¶ sö
(
)
,,
Mxyz
lµ mét ®iÓm sao cho:
(
)
1
,,
Hxyza
=
(
)
'',','
Mxyz
lµ mét ®iÓm sao cho:
(
)
2
'',','
Hxyza
=
víi
1211
(0;0)
aaaa
¹>>
ta chøng minh
(
)
(
)
'
FMFM
=
.ThËt vËy
(
)
(
)
122
1222
211
(,,).,,,,
k
k
aaa
HxyzaaHxyzaHxyza
aaa
æö
==Û=Û=
ç÷
ç÷
èø
Û
EMBED Equation.DSMT4
222
2
111
.,.,.
kkk
aaa
Hxyza
aaa
æö
=
ç÷
ç÷
èø
EMBED Equation.DSMT4
(
)
2
',','
Hxyza
Û=
(®Æt
222
111
'.;'.;'.
kkk
aaa
xxyyzz
aaa
===
)
mÆt kh¸c
(
)
(
)
{
}
(
)
(
)
{
}
12
,,,,'',','',','
MxyzHxyzaMxyzHxyza
Î=ÛÎ=
nªn
(
)
(
)
,,',','
FxyzFxyz
=
do (1).¸p dông mÖnh ®Ò trªn ®Ó t×m gi¸ trÞ cña
(
)
,,
Fxyz
trªn c¸c miÒn
(
)
{
}
,,
Hxyza
=
chØ cÇn t×m gi¸ trÞ cña nã trªn miÒn
(
)
0
,,
Hxyza
=
cè ®Þnh.§iÓm mÊu chèt trong tõng bµi to¸n chän ®a thøc ®¼ng
cÊp
(
)
.,
Hxyz
nµo lµ thÝch hîp cho viÖc chuÈn hãa.
VÝ dụ minh họa: Cho c¸c sè thùc d¬ng
,,
abc
.
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc Q =
(
)
,,
Fabc
=
EMBED Equation.DSMT4
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
222
222
abcbcacab
bcacababc
+++
++
++++++
NhËn xÐt
(
)
(
)
,,,,
FabcFabc
lll
=
,vËy
F
lµ hµm thuÇn nhÊt nªn chØ cÇn t×m gi¸ trÞ cña
F
trªn miÒn
(
)
,,1
Habcabc
=++=
,khi ®ã Q
(
)
(
)
(
)
(
)
222
111
,,
122122122
aabbcc
Fabc
aabbcc
---
==++
-+-+-+
Ta cã
(
)
(
)
(
)
(
)
22
2
2
11
21
21121211
244
aa
aa
aaaaaa
++
+-
æö
-£=Þ-+=--³-
ç÷
èø
EMBED Equation.DSMT4
(
)
(
)
13
0
4
aa
-+
=>
(
)
(
)
(
)
(
)
2
141
3
4.41
121333
aaaa
a
aaaaaa
--
æö
Þ£==-
ç÷
-+-+++
èø
nªn Q
111
433
333
abc
éù
æö
£-++
ç÷
êú
+++
èø
ëû
V×
11199
333910
abcabc
++³=
++++++
96
433.
105
Q
æö
Þ£-=
ç÷
èø
. Q =
6
5
khi
1
3
abc
===
KÕt luËn: MaxQ =
6
5
khi
0
abc
==>
Sau đây là một số phương pháp tìm cực trị của biểu thức nhiều
biến số được đề cập trong đề tài này:
I ) Ph¬ng ph¸p ®¹o hµm: Phương pháp đạo hàm là chuyển việc đánh
giá Q về đánh giá biểu thức một biến số.
1/ Đánh giá đại diện : Nếu Q có dạng
(
)
(
)
(
)
12
...,
ni
QfafafaaD
=+++Î
đối xứng
a/ Đánh giá đại diện bằng phương pháp miền giá trị
Bài toán 1: Cho
,,
ABC
là ba góc của một tam giác.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
(
)
111
2cotcotcot
sinsinsin
QABC
ABC
æö
=++-++
ç÷
èø
.
Ta viết
222
cotcotcot
sinsinsin
QABC
ABC
æöæöæö
=-+-+-
ç÷ç÷ç÷
èøèøèø
Đánh giá đại diện
(
)
(
)
2
cot,0;
sinx
fxxx
p
=-Î
.Ta có
f
’
(
)
2
12cos
sin
x
x
x
-
=
Lập bảng biến thiên hàm số
f
trong khoảng
(
)
0;
p
x 0
p
f’(x)
- 0 +
f(x)
3
x 0
/3
p
p
Từ bảng biến thiên ta suy ra
(
)
(
)
(
)
3
3
3
fA
fB
fC
³
³
³
(
)
(
)
(
)
33
QfAfBfC
Þ=++³
. Dấu đẳng thức khi
ABC
D
đều
Bài toán 2: Cho các số thực
,,0
abc
>
,thỏa mãn điều kiện
222
1
abc
++=
.
Chứng minh BĐT
222222
33
,(1)
2
abc
bccaab
++³
+++
Ta có (1)
Û
EMBED Equation.DSMT4
(
)
222
222
33
.
1112
abc
abc
abc
++³++
---
Từ đó gợi ý ta chứng minh các bất đẳng
thức sau:
222
222
333333
;;
121212
abc
abc
abc
³³³
---
Hay phải chứng minh
(
)
(
)
(
)
222
222
1;1;1.
333333
aabbcc
-£-£-£
Khảo sát đại diện là hàm số
(
)
(
)
2
()1,0;1
fxxxx
=-Î
bằng đạo hàm tìm được giá trị lớn nhất của
()
fx
trên khoảng này là
2
33
từ đó suy ra điều cần chứng minh.
b/ Đánh giá gián tiếp thông qua biểu thức bậc nhất
Nếu bài toán có dạng sau cho n
*
Î
¥
và các số
12
,,...,
n
aaaD
Î
thỏa mãn
12
...
n
aaan
a
+++=
,
với
D
a
Î
Chứng minh rằng
(
)
(
)
(
)
(
)
12
...
n
fafafanf
a
+++³
( hay
(
)
(
)
(
)
(
)
12
...
n
fafafanf
a
+++£
),
Đẳng thức xãy ra khi
12
...
n
aaa
a
====
.
Dạng bài toán này có tính chất nổi bật: vế trái là biểu thức đối
xứng đối với các biến
12
,,...,
n
aaa
nên thường có nhiều cách giải.Tuy nhiên việc tìm ra một phương
pháp chung để có thể giải được hàng loạt bài
Toán như thế thì hoàn toàn không đơn giản.
Trong bài viết này ta sẽ vận dụng giả thiết
12
...
n
aaan
a
+++=
một cách linh hoạt, đó là ta sẽ tìm các hằng số A , B thích hợp
để đánh giá
(
)
Ax + B ,xD
fx
³"Î
,đẳng thức xãy ra khi
x
a
=
.Đối với nhiều bài toán ,biểu thức
y = Ax + B được chọn chính là phương trình tiếp tuyến của đồ thị
hàm số y = f(x) tại x =
a
.
Nhìn qua phương pháp này chúng ta sẽ thấy nó “tương tự”với
phương pháp sử dụng
BĐT Jensen- còn gọi là BĐT hàm lồi.Thật sự ở đây phương pháp này
sẽ “tốt” hơn,nếu sử dụng BĐT Jensen thì phương pháp này cũng sử
dụng được nhưng điều ngược lại thì có thể không xãy ra.
Ta có thể minh họa bằng đồ thị
f(x)=x^3+3x^2+2
f(x)=(15x)/4+1
-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
Hàm số y = f(x) trên khoảng D =
(
)
3;2
-
không lồi và cũng không lõm trên D nhưng đồ thị vẫn “nằm trên”
tiếp tuyến
15
1
4
x
y
=+
của nó tại
1
2
x
=Î
D .Trong bài này không thể áp dụng được BĐT hàm lồi được nhưng
vẫn có thể dùng phương pháp “tiếp tuyến” để giải quyết bài
toán.
Sau đây xin được trình bày một số bài toán minh họa cho phương
pháp trên được trích dẫn từ một số đề thi Olympic của nước ta và
các nước trên thế giới. Trong một số bài toán có thể chúng ta phải
sử dụng linh hoạt các giả thiết và tính chất của các biểu thức
trong bài toán để vận dụng phương pháp một cách hiệu quả nhất.
Bài toán 3:( Olimpic 30/4- 2006).Cho các số thực dương
,,
abc
.Chứng minh rằng:
Q =
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
222
222
6
5
abcbcacab
bcacababc
+++
++£
++++++
,(1)
Do Q có tính thuần nhất nên chỉ xét giá trị của Q với
1
abc
++=
Viết Q =
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
222
222
111
111
aabbcc
fafbfc
aabbcc
---
++=++
-+-+-+
Với
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
1
,0;1
12
1
xx
xx
fxx
xx
xx
-
-
==Î
-+
-+
.Khi đó tiếp tuyến tại
1
3
x
=
có phương trình:
2712271
25352525
yxx
æö
=-+=+
ç÷
èø
.Mặc dầu trong khoảng
(
)
0;1
đồ thị (C) của hàm số
()
yfx
=
không lồi
Nhưng vẫn có
271
()(*)
2525
fxx
£+
thật vậy
(
)
0;1
x
"Î
(*)
2
32
2
271
542710
22125
xxx
xx
xx
-+
Û£Û-+³
-+
Xét hàm số
()
gx
=
EMBED Equation.DSMT4
32
54271
xx
-+
với
(
)
0;1
x
Î
g’(x) =
(
)
5431
xx
-
lập bảng biến thiên của hàm số
y = g(x) ta được kết quả
(
)
()0,0;1
gxx
³"Î
.Áp dụng BĐT (*) cho các số a , b , c
(
)
0;1
Î
ta có
(
)
273306
()()()
2525255
fafbfcabc
++£+++==
.BĐT (1) được chứng minh .Đẳng thức xãy ra
khi
.
abc
==
Bài toán 4: (Hồng Kong,2005) .Cho các số dương
,,,
abcd
thỏa mãn
1.
abcd
+++=
Chứng minh rằng:
(
)
33332222
1
6
8
abcdabcd
+++³++++
.(1)
Từ giả thiết ta có
(
)
,,,0;1
abcd
Î
và BĐT (1)
1
()()()(),(2)
8
fafbfcfd
Û+++³
Trong đó
32
()6
fxxx
=-
xét
()
fx
với
(
)
0;1
x
Î
. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
()
yfx
=
tại
1
4
x
=
Có phương trình
51
88
yx
=-
.Mặt khác
(
)
(
)
2
32
51511
()641310
88888
fxxxxxxx
æöæö
--=---=-+³
ç÷ç÷
èøèø
với mọi
(
)
0;1
x
Î
hay
51
()
88
fxx
³-
Từ đó suy ra
(
)
511
()()()()4.
888
fafbfcfdabcd
+++³+++-=
. Vậy BĐT (1) được chứng minh.
Đẳng thức xãy ra khi
1
.
4
abcd
====
Bài toán 5: ( Mở rộng bài toán thi Olimpic Ba Lan,1996 và
Olimpic 30-4,1999)
Cho các số thực
,,
abc
thỏa mãn
1.
abc
++=
Chứng minh rằng
222
9
11110
abc
abc
++£
+++
,(1)
Đặt
2
().
1
x
fx
x
=
+
Khi đó BĐT (1) trở thành
9
()()(),(2)
10
fafbfc
++£
Ta có f’(x) =
(
)
2
2
2
1
1
,'()0
1
1
x
x
fx
x
x
=-
é
-
=Û
ê
=
ë
+
Bảng biến thiên ( ta đưa thêm vào một số giá trị như x = - 3, x
= -1/3, x = 2 và giá trị
()
fx
để so sánh)
x
-¥
- 3 - 1 - 1/3 1 2
+¥
f’(x)
-0+0-
f(x)
0 1/2 2/5
-3/10 -3/10
-1/2 0
(
132
(3)(),(2)
3105
fff
-=-=-=
). Xét các trường hợp xãy ra :
1/ Có một số , giả sử
(
]
;3
a
Î-¥-
EMBED Equation.DSMT4
4
bc
Þ+³
nên có một số , giả sử
2.
b
³
Khi đó ta có :
219
()()()0
5210
fafbfc
++<++=
2/ Có một số, giả sử
1
3;.
3
a
æù
Î--
ç
ú
èû
Khi đó
31179
()()()
10221010
fafbfc
++£-++=<
3/ Cả ba số
1
,,;.
3
abc
æö
Î-+¥
ç÷
èø
Khi đó tiếp tuyến của đồ thị
()
yfx
=
tại
1
3
x
=
có phương trình:
183
2550
yx
=+
.Ta có
(
)
(
)
(
)
2
2
2
3143
1831831
()0,
2550125503
501
xx
x
fxxxx
x
x
-+
æöæö
-+=-+=-£">-
ç÷ç÷
+
+
èøèø
Áp dụng BĐT này cho các số
1
,,
3
abc
>-
và
1
abc
++=
ta có
(
)
1839
()()()3.
255010
fafbfcabc
++£+++=
.Vậy trong mọi trường hợp BĐT (1) đều đúng.
bài toán được chứng minh,đẳng thức xãy ra khi
1
.
3
abc
===
Nhận xét: Đây là một bài toán khó,không thể sử dụng phương pháp
hàm lồi để giải.
Chúng ta đã giải bài toán bằng cách phân chia trục số thành các
khoảng
(
]
11
;3,3;,;
33
æùæö
-¥----+¥
çç÷
ú
èûèø
và sử dụng linh hoạt
giả thiết
1
abc
++=
để áp dụng tính chất của hàm số f(x) cùng với tiếp tuyến của
nó
tại điểm x = 1/3 một cách như mong muốn.
Bài toán 6: (Rumania,2005). Cho các số thực dương
,,
abc
thỏa mãn
3.
abc
++=
Chứng minh rằng:
222
222
111
abc
abc
++³++
(1)
Theo giả thiết
(
)
2
222
,,09.
abcabcabc
>Þ++<++=
Từ đó nếu có một trong ba số,giả sử a <1/3 thì
222
222
111
9
abc
abc
++>>++
nên (1) đúng.
Ta xét trường hợp
1
,,
3
abc
³
.Vì
7
3,ên a,b,c.
3
abcn
++=£
Vậy
17
,,;.
33
abc
éù
Î
êú
ëû
BĐT (1)
222
222
111
0,(2)
abc
abc
Û-+-+-³
. Xét hàm số
2
2
117
()ên ;.
33
fxxtr
x
éù
=-
êú
ëû
Tiếp tuyến của đò thị hàm số
()
yfx
=
tại x =1 là y = -4x + 4.Ta có
(
)
(
)
(
)
2
2
2
121
17
()440,;
33
xxx
fxxx
x
---
éù
--+=-³"Î
êú
ëû
(do
(
)
2
2
2
417
()211220ên;
333
gxxxxtr
æöéù
=--=--£-<
ç÷
êú
èøëû
) hay
()44
fxx
³-+
với mọi x
17
;
33
éù
Î
êú
ëû
.
Áp dụng cho các số
17
,,;
33
abc
éù
Î
êú
ëû
ta có
(
)
()()()44.30
fafbfcabc
++³-+++=
.Vậy BĐT (1) được chứng minh.Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi a =
b = c = 1.
Nhận xét cách giải: Tương tự bài toán trên, từ giả thiết bài
toán ta mới chỉ có điều kiện
(
)
,,0;3
abc
Î
.
Việc xét các trường hợp đặc biệt để đưa về xét trường hợp
17
,,;
33
abc
éù
Î
êú
ëû
và áp dụng tính chất của hàm số f(x) trên đó là hết sức cần
thiết.
Bài toán 7: (Trung Quốc ,2005).Cho các số không âm
,,
abc
thỏa mãn
1.
abc
++=
Chứng minh rằng :
(
)
(
)
333555
1091
abcabc
++-++³
(1)
Đặt
35
()109
fxxx
=-
.Khi đó (1) trở thành
()()()1,(2)
fafbfc
++³
Trường hợp 1. Trong ba số a,b,c có một số ,giả sử
9
.
10
a
³
Khi đó thì
91
;1;,0;
1010
abc
éùéù
ÎÎ
êúêú
ëûëû
.
Xét hàm số f(x) trên đoạn
9
;1
10
éù
êú
ëû
ta có f’(x)=
(
)
2422
304515230
xxxx
-=-£
với mọi
9
;1
10
x
éù
Î
êú
ëû
Vậy f(x) nghịch biến trên đoạn này và từ đó
()(1)1
faf
³=
với
9
;1.
10
a
éù
Î
êú
ëû
hơn nữa với
1
,0;
10
bc
éù
Î
êú
ëû
Thì
()
fb
=
EMBED Equation.DSMT4
35
1090
bb
-³
và
()
fc
=
EMBED Equation.DSMT4
35
1090
cc
-³
nên
()()()1001
fafbfc
++³++=
hay (2) đúng
Trường hợp 2. Các số
9
,,0;
10
abc
éù
Î
êú
ëû
.Khi đó tiếp tuyến của đồ thị hàm số
()
yfx
=
tại
1
3
x
=
có phương trình
2516
927
yx
=-
Ta có
35
25162516
()109
927927
fxxxxx
æöæö
--=---=
ç÷ç÷
èøèø
EMBED Equation.DSMT4
(
)
(
)
2
32
1
3127182116
27
xxxx
--+--
.
Xét hàm số
32
()27182116
gxxxx
=+--
trên đoạn
9
0;
10
éù
êú
ëû
.Ta có g’(x) =
2
813621
xx
+-
g’(x) = 0
1
3
x
Û=
hoặc
7
9
x
=-
.Bảng biến thiên của g(x) trên đoạn này như sau
x 0 1/3 9/10
g’(x)
-0+
g(x)
-16-637/1000
Suy ra trên đoạn
9
0;
10
éù
êú
ëû
; g(x) < 0 nên
2516
()0
927
fxx
æö
--³
ç÷
èø
hay
25169
(),0;
92710
fxxx
éù
³-"Î
êú
ëû
Áp dụng cho các số a,b,c
9
0;
10
éù
Î
êú
ëû
và a + b +c = 1 ta có
(
)
2516
()()()3.1
927
fafbfcabc
++³++-=
Hay (2) đúng. Vậy trong mọi trường hợp BĐT (1) đều đúng.
Đẳng thức xãy ra khi
1
3
abc
===
hoặc
(
)
,,
abc
là một hoán vị bất kì của bộ
(
)
1;0;0
Nhận xét : Đây là bài toán rất khó, để giải bài toán này chúng
ta phải chia miền giá trị của
các biến một cách chặt chẽ. Trong cách giải trên việc chia
đoạn
[
]
0;1
thành các đoạn
9
0;
10
éù
êú
ëû
,
9
;1
10
éù
êú
ëû
là một cách hợp lí.
Bài toán 8: (Moldova,2005) .Cho các số dương
,,
abc
thỏa mãn
444
3
abc
++=
.
Chứng minh rằng:
111
1,(1)
444
abbcca
++£
---
Lời giải:
Vì
22
2
ab
ab
+
£
nên
(
)
22
12
4
8
ab
ab
£
-
-+
do đó
(
)
(
)
(
)
222222
111222
444
888
abbcca
abbcca
++£++
---
-+-+-+
Để vận dụng giả thiết
444
3
abc
++=
ta đặt
(
)
(
)
(
)
222
222222
,,
xbcycazab
=+=+=+
thì ta có
x,y,z > 0 và
(
)
(
)
(
)
(
)
222
222222444
x + y + z =b412
ccaababc
+++++£++=
.
Ta phải chứng minh
1111
,(2)
2
888
xyz
++£
---
.Xét hàm số
(
)
1
(),0;12
8
ftt
t
=Î
-
.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị
()
yft
=
tại t = 4 có phương trình
15
14436
yt
=+
.
Hơn nữa ta có :
(
)
(
)
2
1151
240
14436144
8
ttt
t
æö
-+=---£
ç÷
-
èø
với
(
)
0;12
t
Î
.
Vậy
15
()
14436
ftt
£+
.Từ đó
(
)
151151
()()()3..12
14436144362
fxfyfzxyz
++£+++£+=
BĐT được chứng minh . Đẳng thức xãy ra khi
41
xyzabc
===Û===
2/ Đánh giá khử bớt biến đưa về đánh giá hàm một biến
Bài toán 9: Cho các số thực
,,0;1
abcabc
>++=
.
Tìm giá trị lớn nhất của biể thức Q =
(
)
79
abbccaabc
++-
Giải: Không mất tính tổng quát ta giả sử
0
abc
<££
kết hợp điều kiện
1
10
3
abca
++=Þ<£
Ta có Q =
(
)
(
)
(
)
32
1
71799357
4
aabcaaaa
-+-£--++
(do 7 -9a >0;
(
)
(
)
2
2
1
1
44
a
bcbc
-
£+=
)
Xét hàm số
32
1
()9357,0;
3
faaaaa
æù
=--++Î
ç
ú
èû
f’(a) =
2
15
2765270
39
aaaa
æöæö
--+=--+³
ç÷ç÷
èøèø
do
1
0;
3
a
æù
Î
ç
ú
èû
EMBED Equation.DSMT4
1
axf(a) = f()8
3
M
Þ=
Vậy giá trị lớn nhất của Q là 2 đạt được khi
1
3
abc
===
.
Bài toán 10: Cho
[
]
,,0;2
abc
Î
thỏa mãn
3
abc
++=
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q =
222
abc
++
Giải: Không mất tính tổng quát gỉa sử
abc
££
kết hợp với giả thiết ta suy ra
12
c
££
Vì
(
)
(
)
22
22
3
ababc
+£+=-
do
0
ab
³
suy từ giả thiết
Nên Q
(
)
[
]
2
22
()3269,1;2
fcccccc
£=-+=-+Î
Bảng biến thiên hàm số
()
fc
với
[
]
1;2
c
Î
c13/2 2
f’(c)
-0+
f(c)
55
f(3/2)
Từ BBT ta suy ra Q
5
£
.Đẳng thức xãy ra khi
(
)
,,
abc
là một hoán vị bất kì của bộ
(
)
0;1;2
Vậy giá trị lớn nhất của Q là 5.
3/ Đặt biến phụ chuyển về đánh giá hàm số một biến
Bài toán 11:Cho các số thực x,y,z thỏa mãn
4
2
,,0
xyz
xyz
xyz
++=
ì
ï
=
í
ï
>
î
(II) Tìm giá trị nhỏ nhất,giá trị lớn nhất của biểu thức Q =
444
xyz
++
Đặt t = xy + yz + zx thì Q =
(
)
2
232144
tt
-+
Ta có t =
(
)
(
)
2
22
44
xyzyzxxxx
xx
++=-+=-++
Hệ (II)
4
2
04
yzx
yz
x
x
+=-
ì
ï
ï
Û=
í
ï
<<
ï
î
Vì
(
)
2
32
2
44.81680
xxxx
x
-³Û-+-³
(do x > 0 )
Û
EMBED Equation.DSMT4
(
)
(
)
2
2640
xxx
--+³
kết hợp điều kiện
0 < x < 4 ta được
35;2
x
éù
Î-
ëû
.Khảo sát hàm số
2
2
()4,35;2
tfxxxx
x
éù
==-++Î-
ëû
ta được
Tập giá trị là
551
5;
2
éù
-
êú
ëû
. Vì Q = h(t) =
(
)
2
232144
tt
-+
với
551
5;
2
t
éù
-
Î
êú
ëû
do hàm số h(t) nghịch biến trên đoạn này, suy ra giá trị nhỏ
nhất của Q là
MinQ =
551
3831655
2
h
æö
-
=-
ç÷
ç÷
èø
,và giá trị lớn nhất của Q là MaxQ =
(
)
518
h
=
.
Bài toán 12: Cho các số thực
,,0
xyz
³
thỏa mãn (I)
3
1
xyz
xyyzzx
++=
ì
í
++=
î
Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức Q =
444
xyz
++
Đặt
3
s
= xyz thì Q =
3
4712
s
+
Hệ (I)
2
3
31
yzx
yzxx
+=-
ì
Û
í
=-+
î
Vì
(
)
(
)
2
22
34313650
xxxxx
-³-+Û--£
kết hợp
0
x
³
ta được
326
0;
3
x
éù
+
Î
êú
ëû
Khảo sát hàm số
32
3
326
()3,0;
3
sgxxxxx
éù
+
==-+Î
êú
ëû
và kết hợp với
3
0
s
³
ta được
3
469
0
9
s
-
££
Vì Q =
3
4712
s
+
nên giá trị nhỏ nhất của Q là MinQ = 47,giá trị lớn nhất là
MaxQ =
105166
3
+
Bài toán 13: Cho các số thực
,,0
xyz
>
thỏa mãn
8
4
xyyzzx
xyz
++=
ì
í
=
î
Tìm giá trị nhỏ nhất ,giá trị lớn nhất của biểu thức Q =
444
xyz
++
Giải: Từ giả thiết ta có
14
8
4
yz
xx
yz
x
ì
æö
+=-
ç÷
ï
ï
èø
í
ï
=
ï
î
Vì
22
2
14414
.84.816(0)
dox
xxxxx
æöæö
-³Û-³>
ç÷ç÷
èøèø
(
)
(
)
322
44101310
xxxxxx
Û-+-£Û--+£
Kết hợp với x > 0 ta được
3535
0;1;
22
x
æùéù
-+
Î
ç
úêú
ç
èûëû
U
.
Đặt s = x + y + z thì s= g(x) =
2
84
x
xx
+-
với
3535
0;1;
22
x
æùéù
-+
Î
ç
úêú
ç
èûëû
U
.
Khảo sát hàm số g(x) với
3535
0;1;
22
x
æùéù
-+
Î
ç
úêú
ç
èûëû
U
và chú ý s > 0 ta được
551
5
2
s
-
££
Mặt khác Q = f(s) =
42
551
3216128,5;
2
ssss
éù
-
-++Î
êú
ëû
.Dùng đạo hàm lập bảng biến thiên
hàm số f(s),ta được MinQ = f(5) = 33; MaxQ =
551271755
22
f
æö
--
=
ç÷
ç÷
èø
.
Bài toán 14: Cho các số thực
,,0
abc
>
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q =
(
)
(
)
2
333222
322
abc
abcabc
abcabbcca
++
++++
+-
++
§Æt Q =
(
)
,,
Fabc
th×
F
lµ hµm thuÇn nhÊt ta chuÈn hãa
222
3
abc
++=
.Khi ®ã:
(
)
(
)
2
32
abcabbcca
++=+++
;v×
(
)
(
)
333222
a3
bcabcabcabcabbcca
éù
++-=++++-++
ëû
(
)
(
)
333
33
abcabcabcabbcca
éù
Þ++=+++-++
ëû
Ta có Q =
(
)
(
)
(
)
5211113
3
2322
abbccaabbcca
abbccaabbcca
æö
éù
++++++-++-
ç÷
ëû
++
èø
Vì
1119
abbccaabbcca
++³
++
. Đặt
03
tabbccat
=++Þ<£
nên Q
212
2
3
t
t
³-++
Xét hàm số f(t) =
(
]
212
2,0;3
3
tt
t
-++Î
; f’(t) =
2
2
236
0inf(t)= f(3) = 4
3
t
M
t
-
<Þ
.
Kết luận: giá trị nhỏ nhất của Q là 4 khi a = b = c = 1.
Bài toán 15: Cho các số thực
,,0
xyz
>
thỏa mãn
2
xyz
++£
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q =
222
222
111
444
xyz
xyz
+++++
Trước hết ta chứng minh Q
(
)
2
2
111
4
xyz
xyz
æö
³+++++
ç÷
èø
Áp dụng BĐT
1119
xyzxyz
++³
++
ta suy ra Q
(
)
(
)
2
2
81
4
xyz
xyz
³+++
++
Đặt
(
)
2
txyz
=++
thì
(
]
0;4
t
Î
.Khảo sát hàm số
(
]
81
()4,0;4
fttt
t
=+Î
Ta được
145
min()(4)
4
ftf
==
suy ra Q
145
2
³
Đẳng thức xãy ra khi
2
3
xyz
===
Kết luận: minQ =
145
2
.
4/ Chuyển về khảo sát hàm số một biến bằng cách coi các biến còn
lại là tham số
Bài toán 16: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q =
22
2
xyxy
-+
trên miền E =
(
)
{
}
;/02;01
xyxy
££££
Coi x là tham số ta có hàm số
[
]
22
()2,0;1
fyxyxyy
=-+Î
.Ta có f’(y) =
2
4
xyx
-+
Bảng biến thiên của hàm số này trên đoạn
[
]
0;1
là
y0x/41
f’(y)
+ 0 -
f(y)
3
/8
x
0
2
2
xx
-
Khi
02
x
££
thì
2
20
xx
-£
EMBED Equation.DSMT4
2
()2()
fyxxgx
Þ³-=
.
Tiếp đến khảo sát hàm số
[
]
2
()2,0;2
gxxxx
=-Î
Tìm được ming(x) = g(1) = -1.Kết quả giá trị nhỏ nhất của Q là –
1 đạt khi x = 1 ,y = 1.
Bài toán 17: Xét các số thực dương
,,
xyz
thỏa mãn điều kiện
122821
xyzxyz
³++
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu trức Q =
23
xyz
++
Giải: Từ giả thiết
(
)
28
1221280
1221
xy
zxyxyz
xy
+
Þ-³+>Þ³
-
và
7
4
x
y
>
Do đó Q
28
2
47
xy
xy
xy
+
³++
-
.Xét hàm số
2
284587
(),
47474
xyxyxy
fxxx
xyxyy
+-+
=+=>
--
f’(x) =
(
)
222
2
16563235
47
xyxyy
xy
--+
-
tren khoảng
7
;
4
y
æö
+¥
ç÷
èø
thì f’(x) = 0
2
0
3214
7
44
y
xx
yy
+
Û==+
và đổi dấu từ âm qua dương khi
x
qua
0
x
00
5
()()2
4
fxfxx
y
Þ³=-
suy ra
Q
0
5
()222
4
fxyxy
y
³+³-+
.Đặt
()
gy
=
0
5
22
4
xy
y
-+
=
2
3214
9
2
42
y
y
yy
+
++
g’(y)= 0
(
)
22
89321428
yy
Û-+=
Đặt
2
3214
ty
=+
thì t > 0 và ta có phương trình
3
501120
tt
--=
phương trình này chỉ có một nghiệm dương t = 8 từ đó y =
0
5
4
y
=
Ta cũng có
0
15
()()
2
gygy
³=
.Vậy Q
0
15
()()
2
gygy
³³=
.
Đẳng thức xãy ra khi
3,5/4,2/3
xyz
===
.Kết quả
15
2
là giá trị nhỏ nhất của Q.
II/ Ph¬ng ph¸p dån biÕn( xét với ba biến)
Giả sử ta phải chứng minh
(
)
,,0
fabc
³
với
(
)
,,
fabc
là biểu thức đối xứng của
(
)
,,
abcD
Î
Bước 1/ ta chứng minh
(
)
(
)
,,,,
fabcfatt
³
(với
,
2
bc
tbct
+
==
hoặc
22
,...
2
bc
t
+
=
)
Đôi khi ta còn phải thêm điều kiện
abc
££
hoặc
abc
³³
nếu các biến có vai trò bình đẳng để chứng minh
Bước 2/ Chứng minh
(
)
,,0
fabc
³
nếu b = c
Bài toán 17: Cho các số thực
,,0à abc =1
abcv
>
.
Chứng minh BĐT
(
)
(
)
(
)
(
)
41,(1)
abbccaabc
+++³++-
Ta có (1)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,,460
fabcababbcbccacaabc
Û=+++++-+++³
Bước 1: giả sử
abc
³³
.
Xét hiệu
(
)
(
)
a,b,c,,
ffabcbc
-=
(
)
(
)
(
)
(
)
222
2242
abcbcbcabcbcbcbc
++-++--+-=
=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
222
2
424
bcabcabcbcabaca
éù
éù
-+-++=-+++-
ëû
êú
ëû
Vì
(
)
(
)
2
4
44
abacabc
++³³
(do
1
a
³
)
(
)
(
)
,,,,
fabcfabcbc
Þ³
.
Bước 2: Ta chứng minh
(
)
,,0
fabc
³
khi b = c khi đó từ (GT) ta có
2
1
b
a
=
(
)
(
)
(
)
222
,,2486486
bb
fabbababababab
aba
=++--+=++--+=
2
ab
ba
æö
+
ç÷
èø
488
ab
--+=
=
(
)
(
)
22
2
22
2.488248822488
ab
abbababbababab
ab
+
éù
--+=+--+=+---+=
ëû
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
22
2
22
2448824840
2421221,(*)
babababbabab
bababbabab
=+---+=+--+³
Û+³+-Û+³+-
Thay
2
1
a
b
=
vào (*) ta được
(
)
(
)
2
343643
12244210
bbbbbbbb
+³-+Û-+-+³
EMBED Equation.DSMT4
Û
(
)
(
)
2
2
232
1120
bbbb
éù
Û--++³
êú
ëû
.BĐT này luôn đúng từ đó ta có đpcm.
Bài toán 18: Cho các số thực không âm
,,
abc
thỏa mãn
222
3
abc
++=
Chứng minh rằng :
222222
abcabbcca
++³++
.
Không mất tính tổng quát ta giả sử
abc
££
kết hợp (gt)
(
)
2
22
1;2222
abcbcbcbc
Þ£+³Þ+-³Þ+³
. Đặt
(
)
222222
,,
fabcabcabbcca
=++---
Bước 1/ Xét hiệu
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2222
2
22
1
,,,,
224
2
bc
bcbc
fabcfabc
bcbc
éù
æö
+
++
êú
-=--³
ç÷
êú
ç÷
+++
èø
êú
ëû
(
)
2
21
0
4
22
bc
æö
³--³
ç÷
+
èø
. Vậy
(
)
2222
,,,,
22
bcbc
fabcfa
æö
++
³
ç÷
ç÷
èø
Bước 2 / Ta sẽ chứng minh
(
)
224
,,0220
fabbababb
³Û+--³
( do
22
23
ab
+=
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
22
2222
2
133
2333110
44
323
aaaaaaa
aa
éù
êú
Û+-³-+-Û-+-³
êú
-+-
êú
ëû
Nhưng với
1
a
£
thì BĐT trên hiển nhiên đúng vì
(
)
(
)
2
2
333
.1
44
323
a
aa
££+
-+-
Đẳng thức xãy ra khi a = b = c = 1
III/ Ph¬ng ph¸p lîng gi¸c hãa:
Cơ sở của phương pháp này là dựa vào các kiến thức sau:
1)Cho các số thực
,,,
2
xyzkk
p
p
¹+Î
¢
thì
tantantantanx.tany.tanzx + y + z = n,n
xyz
p
++=ÛÎ
¢
2)Cho các số thực
,,,
2
xyzkk
p
p
¹+Î
¢
thì
tanxtany+tanxtany+tanxtany =1x +y +z =,
2
nn
p
p
Û+Î
¢
3)Nếu
11
x
-££
thì tồn tại
;
22
a
pp
éù
Î-
êú
ëû
: sina = x và tồn tại
[
]
0;;osb = x
bc
p
Î
4)Với mỗi số thực x luôn tồn tại số
;:tana = x
22
a
pp
æö
Î-
ç÷
èø
.
5)Nếu có các số thực x và y thỏa mãn:
22
1
xy
+=
thì tồn tại
,:osa,y = sina
asaochoxc
Î=
¡
.
Bài toán 19: Cho các số thực dương
,,
xyz
thỏa mãn
1111
,(*)
xyzxyz
++=
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q =
2
21
111
y
xz
xyz
-
++
+++
.
Ta có (*)
...1
xyyzzx
Û++=
. Đặt
tan,tan,tan;,,0;
2222
xyz
abgp
abg
æö
===Î
ç÷
èø
Theo 2) ta suy ra
abgp
++=
và Q =
2
-
sinsinos= 2cosos2cos1
222
cc
gabg
abg
+--+
Vậy Q =
2
2
1-13
2osos1os
222222
ccc
gabab
-
æö
--++£
ç÷
èø
MaxQ =
2
2
3
3
3
23
2
tan
12
23
6
z
khi
xy
p
g
p
p
ab
ì
=
ì
=
ï
ïï
Û
íí
-
===
ïï
==
+
î
ï
î
Bài toán 20: Cho các số thực
,
xy
thỏa mãn
2222
11
xyxyyx
+=-+-
.
Chứng minh
345
xy
+£
Điều kiện xác định:
11;11
xy
-££-££
Nếu
[
]
1;0
x
Î-
hoặc
[
]
1;0
y
Î-
hoặc
x = 0,y =1
hoặc
y = 0,x =1
BĐT hiển nhiên đúng.
Ta chỉ cần xét 0 < x < 1 và 0 < y < 1
Đặt
os,y = sin;,0;
2
xc
p
abab
æö
=Î
ç÷
èø
khi đó từ giả thiết ta có
(
)
22
cossinos-1
c
abab
+=£
222
cos1sinososcos
cc
abbab
£-=Þ£
do
,0;
2
p
ab
æö
Î
ç÷
èø
(
)
3
343cos4sin3cos4in5cos5,arcos
5
xy
abbbajj
+=+£+=-£=
(đpcm)
IV/Ph¬ng ph¸p miÒn gi¸ trÞ:
Bài toán 21: Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Q =
xy
+
biết
22
1
xy
+=
Giải: Q là giá trị của biểu thức
xy
+
khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm
22
()
1
xyQ
I
xy
+=
ì
í
+=
î
hệ (I)
2
1
2
xyQ
Q
xy
+=
ì
ï
Û
í
-
=
ï
î
Vì x và y là nghiệm của phương trình
2
2
1
()0
2
Q
fttQt
-
=-+=
(*)
Nên hệ (I) có nghiệm
(*)
Û
có nghiệm
22
Q
Û-££
.KL MinQ =
2
-
;MaxQ =
2
.
Chú ý: Hệ (I) có nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng có phương
trình
xy
+=
Q có điểm chung với đường tròn (C) có phương trình
22
1
xy
+=
(
)
;()1
dOC
Û=
EMBED Equation.DSMT4
22
Q
Û-££
Ta thu được kết quả như trên.
Bài toán 22:(Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm 2004-2005
bảng A)
Tìm giá trị nhỏ nhất,giá trị lớn nhất của biểu thức Q =
x + y
biết
,
xy
thỏa mãn hệ thức
3132
xyxy
+=+++
Giải: Q thuộc tập giá trị khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm
(
)
312
xyQ
xyQ
+=
ì
ï
í
+++=
ï
î
(I)
Đặt
1,2
XxYy
=+=+
Ta có hệ mới
(
)
22
2
3
3
1
33
29
0,0
0,0
Q
XY
XYQ
Q
XYQXYQ
XY
XY
ì
+=
ï
ì
+=+
ï
ïæö
ï
+=Û=--
íí
ç÷
èø
ïï
³³
î
ï
³³
ï
î
(II)
Hệ (I) có nghiệm
Û
(II) có nghiệm
Û
phương trình
2
2
1
()30
329
QQ
ftttQ
æö
=-+--=
ç÷
èø
có hai ngiệm không âm
0
9321
09315
2
0
SQ
P
D³
ì
+
ï
Û³Û££+
í
ï
³
î
.Kết luận MinQ =
9321
2
+
;MaxQ =
9315
+
Bài toán 23: Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
Q =
(
)
22
36
46
xyxyxyxy
++++-
;biết x,y thỏa mãn
(
]
,0;1,(1)
3,(2)
xy
xyxy
ì
Î
ï
í
+=
ï
î
Đặt t = xy thì Q =
2
6
()3.93
6
ftttt
=+-
.Kết hợp (1) và (2) suy ra
1
,1
2
xy
££
.
Vậy t thuộc tập giá trị khi chỉ khi hệ sau có nghiệm
3
1
,;1
2
xyt
xyt
xy
ì
ï
+=
ï
ï
=
í
ï
éù
ï
Î
êú
ï
ëû
î
Û
Phương trình:
2
()3.0
fzztzt
=-+=
có hai nghiệm
12
,
zz
thỏa mãn
12
1
1
2
zz
£££
2
940
(1)120
41
112
0
92
24
1
1
22
tt
ft
t
t
f
S
ì
D=-³
ï
=-³
ï
ï
-
æö
Û££
í
=³
ç÷
èø
ï
ï
ï
££
î
.
Khảo sát hàm số
2
6
()3.93
6
ftttt
=+-
trên đoạn
41
;
92
éù
êú
ëû
bằng đạo hàm, ta suy ra trên đoạn này hàm số
()
ft
đồng biến, nên Min f(t) = f
(
)
342
4
99
+
æö
=
ç÷
èø
;Maxf(t) = f
1232
24
+
æö
=
ç÷
èø
Các bài tập tự luyện:
Bài tập 1:
a) Cho các số thực dương
,,
abc
.Chứng minh
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
222
222
222
222
8
222
abcbcacab
abcbcacab
++++++
++£
++++++
b) Cho các số thực dương
,,
abc
.Chứng minh
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
222
222
222
3
5
bcacababc
bcacababc
+-+-+-
++³
++++++
c) Cho các số thực dương
,,,
abcd
.Chứng minh
(
)
(
)
(
)
(
)
2222
1111
1
1111
abcd
+++³
++++
d) Cho các số thực không âm
,,
abc
.thỏa mãn
3
abc
++³
.
Chứng minh
222
111
1
abcbcacab
++£
++++++
e) Cho các số
125
,,...,0
xxx
³
và
5
1
1
1
1
i
i
x
=
=
+
å
.Chứng minh rằng:
5
2
1
1
4
i
i
i
x
x
=
£
+
å
Bài tập 2:
a)Với mọi số thực x, y ta đều có:
(
)
(
)
(
)
(
)
2222
22
22
1
11
44
11
xyxy
xy
--
-££
++
b)Cho các số thực x,y,z thỏa mãn
1
xyyzzx
++=
.
Chứng minh
222
33
1112
xyz
xyz
++³
---
c)Cho hai số thực x , y thỏa mãn
22
x1.
y
+=
Chứng minh
(
)
(
)
(
)
5533
162052
xyxyxy
+-+++£
Bài tập 3:
a) Cho các số thực dương a,b,c .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
Q =
(
)
2
333222
222
1
2
abc
abcabc
abcabcabbcca
++
æö
++++
+-
ç÷
++++
èø
b) Cho các số thực dương a,b,c .
Chứng minh rằng:
(
)
(
)
(
)
3
792
abcabbccaabcabc
++++£+++
b) Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác.Chứng minh
rằng:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
bcaacbacbabcabcbcaabcabc
+-+-++-+-++-+-£++
Bài tập 4: a) Tìm các giá trị thực của m,để hệ phương trình sau
có nghiệm thực:
os2x + cos2y = m
1
sinx + siny =
2
c
ì
ï
í
ï
î
b)Cho x,y là các số thực thỏa mãn điều kiện
115
2
xy
xy
+
+++=
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất,giá trị lớn nhất của biểu thức Q =
xy
+
.
C/ Tính thực tiễn của đề tài:
Đề tài này bản thân tôi đã áp dụng trong việc dạy và luyện cho
học sinh trong các đội tuyển học sinh giỏi thấy rằng đa số học sinh
rất hứng thú vận dụng tốt ,có thể nói phần nào rất tự tin khi gặp
các bài toán thộc dạng này.Trong ôn luyện thi đại học hàng năm (có
một phần chắt lọc )tôi đả hướng dẫn cho học sinh nắm để vận dụng
,thấy rằng đa số học sinh hiểu và thực hành rất tốt.
Tuy vậy chắc chắn vẫn còn có nhiều khiếm khuyết ,nhiều vấn đề
chưa được đề cập.
Bản thân tôi rất mong sự đóng góp của tổ chuyên môn và của các
bạn đồng nghiệp,
xin được chân thành cảm ơn .
D/Tài liệu tham khảo:
Tạp chí Toán học và tuổi trẻ.Hà Nội:NXB Giáo dục
Kỷ yếu hội thảo Đào tạo hệ trung học phổ thông chuyên
12/1997
Các tài liệu bồi dưỡng giáo viên dạy các trường chuyên tổ chức
hàng năm trong hè do Bộ giáo dục kết hợp với trường Đại học Khoa
học Tự Nhiên đồng tổ chức.
Phan Đức Chính .1999Bất đẳng thức.Hà Nội:NXB Giáo dục.
Đồng Hới,ngày 10 tháng 5 năm 2012
Người viết đề tài
NGÔ QUANG VIỆT
Nhận xét của tổ toán trường THPT Chuyên Quảng Bình
Nhận xét của hội đồng khoa học của trường THPT Chuyên Quảng
Bình
_1104670026.unknown
_1104771950.unknown
_1396768908.unknown
_1397394374.unknown
_1397396650.unknown
_1397397549.unknown
_1397397836.unknown
_1397398330.unknown
_1397398488.unknown
_1397496284.unknown
_1397496484.unknown
_1397496600.unknown
_1397398635.unknown
_1397398441.unknown
_1397397936.unknown
_1397397986.unknown
_1397397902.unknown
_1397397724.unknown
_1397397813.unknown
_1397397626.unknown
_1397396864.unknown
_1397397171.unknown
_1397397328.unknown
_1397396902.unknown
_1397396694.unknown
_1397396715.unknown
_1397396665.unknown
_1397395074.unknown
_1397395765.unknown
_1397395843.unknown
_1397396453.unknown
_1397396489.unknown
_1397396136.unknown
_1397395795.unknown
_1397395242.unknown
_1397395325.unknown
_1397395187.unknown
_1397394820.unknown
_1397395048.unknown
_1397394930.unknown
_1397394997.unknown
_1397394538.unknown
_1397394679.unknown
_1397394466.unknown
_1396806195.unknown
_1396807000.unknown
_1396807503.unknown
_1397393940.unknown
_1397394356.unknown
_1396807680.unknown
_1396807362.unknown
_1396807381.unknown
_1396807257.unknown
_1396806618.unknown
_1396806805.unknown
_1396806845.unknown
_1396806715.unknown
_1396806735.unknown
_1396806639.unknown
_1396806465.unknown
_1396806548.unknown
_1396806374.unknown
_1396805296.unknown
_1396805776.unknown
_1396805968.unknown
_1396806126.unknown
_1396805830.unknown
_1396805643.unknown
_1396805679.unknown
_1396805433.unknown
_1396805512.unknown
_1396769986.unknown
_1396770146.unknown
_1396770250.unknown
_1396770116.unknown
_1396769526.unknown
_1396769537.unknown
_1396769622.unknown
_1396769405.unknown
_1396769518.unknown
_1396769267.unknown
_1104860812.unknown
_1104926447.unknown
_1396768398.unknown
_1396768636.unknown
_1396768751.unknown
_1396768811.unknown
_1396768688.unknown
_1396768539.unknown
_1396768589.unknown
_1396768426.unknown
_1104928452.unknown
_1104930112.unknown
_1396768236.unknown
_1396768275.unknown
_1396768336.unknown
_1396768259.unknown
_1104930645.unknown
_1104930794.unknown
_1105013701.unknown
_1396768163.unknown
_1105014096.unknown
_1105013462.unknown
_1104930748.unknown
_1104930430.unknown
_1104930588.unknown
_1104930261.unknown
_1104929376.unknown
_1104929840.unknown
_1104929952.unknown
_1104930055.unknown
_1104929873.unknown
_1104929695.unknown
_1104929711.unknown
_1104929553.unknown
_1104928918.unknown
_1104929193.unknown
_1104929347.unknown
_1104928976.unknown
_1104928528.unknown
_1104928752.unknown
_1104928827.unknown
_1104928473.unknown
_1104927649.unknown
_1104928189.unknown
_1104928382.unknown
_1104928408.unknown
_1104928277.unknown
_1104928037.unknown
_1104928166.unknown
_1104927672.unknown
_1104927019.unknown
_1104927236.unknown
_1104927445.unknown
_1104927112.unknown
_1104926849.unknown
_1104926901.unknown
_1104926728.unknown
_1104861860.unknown
_1104862916.unknown
_1104925819.unknown
_1104926197.unknown
_1104926308.unknown
_1104925894.unknown
_1104925505.unknown
_1104925791.unknown
_1104925444.unknown
_1104862329.unknown
_1104862627.unknown
_1104862741.unknown
_1104862435.unknown
_1104862150.unknown
_1104862251.unknown
_1104861954.unknown
_1104861208.unknown
_1104861376.unknown
_1104861558.unknown
_1104861616.unknown
_1104861450.unknown
_1104861247.unknown
_1104861352.unknown
_1104860903.unknown
_1104861040.unknown
_1104860850.unknown
_1104773239.unknown
_1104774464.unknown
_1104774705.unknown
_1104774901.unknown
_1104860459.unknown
_1104774851.unknown
_1104774576.unknown
_1104774662.unknown
_1104774485.unknown
_1104773944.unknown
_1104774195.unknown
_1104774370.unknown
_1104774074.unknown
_1104773681.unknown
_1104773761.unknown
_1104773373.unknown
_1104773396.unknown
_1104772741.unknown
_1104773049.unknown
_1104773149.unknown
_1104773186.unknown
_1104773088.unknown
_1104772850.unknown
_1104773003.unknown
_1104772788.unknown
_1104772216.unknown
_1104772375.unknown
_1104772481.unknown
_1104772583.unknown
_1104772290.unknown
_1104772071.unknown
_1104772108.unknown
_1104772041.unknown
_1104753150.unknown
_1104755233.unknown
_1104771347.unknown
_1104771699.unknown
_1104771830.unknown
_1104771847.unknown
_1104771808.unknown
_1104771569.unknown
_1104771655.unknown
_1104771420.unknown
_1104770992.unknown
_1104771184.unknown
_1104771292.unknown
_1104771130.unknown
_1104755384.unknown
_1104770952.unknown
_1104755256.unknown
_1104754389.unknown
_1104754766.unknown
_1104755184.unknown
_1104755212.unknown
_1104755145.unknown
_1104754607.unknown
_1104754694.unknown
_1104754472.unknown
_1104753727.unknown
_1104753926.unknown
_1104753971.unknown
_1104753773.unknown
_1104753299.unknown
_1104753583.unknown
_1104753276.unknown
_1104672415.unknown
_1104686555.unknown
_1104690821.unknown
_1104693227.unknown
_1104694070.unknown
_1104694350.unknown
_1104753008.unknown
_1104753058.unknown
_1104694460.unknown
_1104694660.unknown
_1104694661.unknown
_1104694511.unknown
_1104694398.unknown
_1104694250.unknown
_1104694322.unknown
_1104694169.unknown
_1104693495.unknown
_1104693829.unknown
_1104693981.unknown
_1104693802.unknown
_1104693365.unknown
_1104693440.unknown
_1104693304.unknown
_1104691958.unknown
_1104692654.unknown
_1104692921.unknown
_1104693069.unknown
_1104692692.unknown
_1104692326.unknown
_1104692536.unknown
_1104692189.unknown
_1104691442.unknown
_1104691692.unknown
_1104691815.unknown
_1104691534.unknown
_1104691223.unknown
_1104691253.unknown
_1104691027.unknown
_1104689297.unknown
_1104690230.unknown
_1104690535.unknown
_1104690668.unknown
_1104690784.unknown
_1104690583.unknown
_1104690353.unknown
_1104690421.unknown
_1104690275.unknown
_1104689737.unknown
_1104690026.unknown
_1104690052.unknown
_1104689861.unknown
_1104689466.unknown
_1104689602.unknown
_1104689362.unknown
_1104688496.unknown
_1104688945.unknown
_1104689162.unknown
_1104689196.unknown
_1104689037.unknown
_1104688805.unknown
_1104688751.unknown
_1104688657.unknown
_1104687608.unknown
_1104688001.unknown
_1104688049.unknown
_1104687965.unknown
_1104686762.unknown
_1104687581.unknown
_1104686617.unknown
_1104685281.unknown
_1104685983.unknown
_1104686276.unknown
_1104686458.unknown
_1104686521.unknown
_1104686349.unknown
_1104686172.unknown
_1104686238.unknown
_1104686018.unknown
_1104685572.unknown
_1104685786.unknown
_1104685889.unknown
_1104685695.unknown
_1104685457.unknown
_1104685515.unknown
_1104685375.unknown
_1104673408.unknown
_1104673715.unknown
_1104673788.unknown
_1104673982.unknown
_1104673739.unknown
_1104673526.unknown
_1104673594.unknown
_1104673483.unknown
_1104672792.unknown
_1104673251.unknown
_1104673296.unknown
_1104672983.unknown
_1104672684.unknown
_1104672722.unknown
_1104672575.unknown
_1104672482.unknown
_1104672499.unknown
_1104670551.unknown
_1104671526.unknown
_1104672011.unknown
_1104672270.unknown
_1104672328.unknown
_1104672050.unknown
_1104671690.unknown
_1104671981.unknown
_1104671640.unknown
_1104670908.unknown
_1104671010.unknown
_1104671467.unknown
_1104670962.unknown
_1104670693.unknown
_1104670779.unknown
_1104670868.unknown
_1104670596.unknown
_1104670192.unknown
_1104670484.unknown
_1104670514.unknown
_1104670410.unknown
_1104670156.unknown
_1104670170.unknown
_1104670122.unknown
_1104605110.unknown
_1104667007.unknown
_1104668530.unknown
_1104669481.unknown
_1104669792.unknown
_1104669943.unknown
_1104669981.unknown
_1104669886.unknown
_1104669636.unknown
_1104669708.unknown
_1104669524.unknown
_1104669147.unknown
_1104669309.unknown
_1104669375.unknown
_1104669194.unknown
_1104668915.unknown
_1104669126.unknown
_1104668808.unknown
_1104667673.unknown
_1104668264.unknown
_1104668441.unknown
_1104668489.unknown
_1104668407.unknown
_1104667897.unknown
_1104668061.unknown
_1104667777.unknown
_1104667404.unknown
_1104667541.unknown
_1104667613.unknown
_1104667510.unknown
_1104667066.unknown
_1104667216.unknown
_1104667032.unknown
_1104607492.unknown
_1104608004.unknown
_1104608339.unknown
_1104666628.unknown
_1104666786.unknown
_1104608612.unknown
_1104608281.unknown
_1104608314.unknown
_1104608057.unknown
_1104607780.unknown
_1104607944.unknown
_1104607970.unknown
_1104607861.unknown
_1104607590.unknown
_1104607703.unknown
_1104607547.unknown
_1104606013.unknown
_1104606530.unknown
_1104607253.unknown
_1104607455.unknown
_1104606598.unknown
_1104606157.unknown
_1104606393.unknown
_1104606076.unknown
_1104605522.unknown
_1104605812.unknown
_1104605845.unknown
_1104605787.unknown
_1104605292.unknown
_1104605353.unknown
_1104605262.unknown
_1104601470.unknown
_1104603831.unknown
_1104604728.unknown
_1104604932.unknown
_1104605025.unknown
_1104605058.unknown
_1104605003.unknown
_1104604861.unknown
_1104604911.unknown
_1104604768.unknown
_1104604380.unknown
_1104604522.unknown
_1104604559.unknown
_1104604491.unknown
_1104604102.unknown
_1104604131.unknown
_1104603974.unknown
_1104603341.unknown
_1104603649.unknown
_1104603752.unknown
_1104603781.unknown
_1104603695.unknown
_1104603456.unknown
_1104603524.unknown
_1104603397.unknown
_1104602666.unknown
_1104603105.unknown
_1104603169.unknown
_1104602850.unknown
_1104602362.unknown
_1104602619.unknown
_1104602275.unknown
_1104598336.unknown
_1104599161.unknown
_1104600045.unknown
_1104601262.unknown
_1104601422.unknown
_1104601098.unknown
_1104599737.unknown
_1104599847.unknown
_1104599325.unknown
_1104598909.unknown
_1104598973.unknown
_1104599077.unknown
_1104598714.unknown
_1104598746.unknown
_1104598830.unknown
_1104598473.unknown
_1104597326.unknown
_1104597825.unknown
_1104598156.unknown
_1104598242.unknown
_1104597999.unknown
_1104597948.unknown
_1104597650.unknown
_1104597824.unknown
_1104597638.unknown
_1104596692.unknown
_1104597016.unknown
_1104597178.unknown
_1104596912.unknown
_1104595331.unknown
_1104595386.unknown
_1104595275.unknown
