宇宙物理学　　　竹下版

特殊相対性理論

光速一定＋慣性系の同等性

　　　光子は（電子＋陽電子）に分解しない

　　　最高エネルギー宇宙線は<10^20eV光の速度c=3x10^8m/sが一定であることから、光を用いて遠くの星や銀河を見ることは宇宙の過去を見ることになる。例えば地球と太陽の距離はL=1.5x10^11m であるので（１AU天文単位）、t=L/c=0.5x10^3 sec = 500 sec　を要する。つまり今見ている太陽の姿は実は５００秒前の姿だということである。遠くを見る作業を続けてゆくと、最も遠くを見たくなる。つまり宇宙の最も過去である。現在見つかっている最も遠い銀河は１２８億光年（光が１年かかって走る距離=3x10^8*365*24*3600=3x10^8x3x10^7

=10^16mです。 その写真by SUBARU である。つまり128x10^8 x 10^16m=10^26m向こうにある銀河で、今見ている光は１２８億年前のものです。すなわちこの銀河は１２８億年前には有ったということになる。あるいは宇宙は１２８億年より長く存在している、と。どこまで古いのか？星あるいは銀河が無い限り光の観測で過去をみることはできない。宇宙は定常的に不変なのか？とういう疑問がある。この疑問の答えは1929年のHubbleの観測（あるいはいまや法則）から明らかになった。

(パロマー天文台の48インチシュミットカメラを操作するエドウィン・ハッブル:ウイルソン山天文台デ仕事し

た： )エドウィン・ハッブルが宇宙膨張を発見した100インチフッカー望遠鏡) ハッブルはノーベル賞をもらっていない、当時は天文学はその対象でなかった、しかし彼の死の直前天文学を物理学賞に入れる事に決めたが彼は無くなっていた１９５３年）つまり

図の横軸は写真等級であるが、明るさのlogである。ここにプロットされたの星あるいは

銀河は明るさがほぼ同じもの（近くをみて解っている）である。距離が異なるために遠く

のもは暗い（右へ移動する）。縦軸は速度（正確には視線速度で後退速度である）であ

り、横軸とは独立は測定である。

つまりHubleは縦軸速さvと横軸距離rに比例関係を見つけたのである。

v \ r , v = Hr :H const.この事は、我々の見る宇宙の星々、銀河が我々から遠ざかっている事を意味する。しかし

我々が宇宙の中心にあるはずはないし、他の星から見た宇宙も同じように遠ざかっている

のであろうから、次のピクチャーが考えられる。宇宙には中心はないし、膨張している。

ただし、別の観測として一様性がある。その上宇宙の支配力は重力であり、重力には引力

しかない。従って宇宙は「重力により引き留められつつ膨張する一様物質系」といえる。

ハッブルの観測の現代版が次の図である。

http://yujiwww.web.infoseek.co.jp/space-cosmological.htm

ここで上図は横軸z　(redshift）はハッブルの観測結果を信じた後退速度の相対性理論版

の値である。縦軸は距離に相当する量である。下図も同じ量を横軸に取り、縦軸は直線か

らのずれである。データ点は超新星Ia型の観測結果である。図中に線が３本有るのは、次

に説明するΩである。ちなみに図中のΩm+ΩΛ＝Ω　（本文中）である。灰色の線は宇

宙が平坦である場合の予言であり、黒はΩ=0.2で開いて永遠に膨張する宇宙であり、赤

はΩ=1で平坦であるが、ΩΛ=0 の宇宙である。

さて横軸の赤方偏移(red shift)について説明する。ガスなどの物質から出てくる光の波長

（振動数でも同じ事）は連続した分布ではなく、とびとびであることが実験事実であり、

これを量子力学は説明する。すなわち原子核の周りにある電子の状態を決めるエネルギー

はとびとびしか許されない（固有値問題に帰される）という結論である。エネルギー Eと

波長λには次の関係がある。E=hc/λ　ここでhはプランク定数、ｃが光速である。どち

らも宇宙の中ではどこでもいつでも定数である。その結果宇宙のガスからでる光を観測す

る天文学では特定の波長の光りの連なり（飛びとびだが一連の関係をたもった組）を観測

して、例えば水素があるなとか、メタンがあるなとかの情報を得ることができる。ところ

が、その連なりが全体としてずれている現象が発見された。それも赤（波長の長い方向を

我々は赤あるいは赤方と呼び、反対に短い方は紫なので紫外と呼ぶ）つまり波長が長い方

へずれていた。これを赤方偏移と呼ぶ。観測結果のひとつを示す。

観測結果は一番上のおとめ座からのH+Kのラインを見るとわかりやすい。２番目のおおぐ

ま座からの光の観測では右に移動しているし、３番目のかんむり座からの同じH+Kの光は

更に右に移動している。H+Kはカルシウムの発するH線とK線の光の波長である。移動す

る物体からでた光は静止した観測者（我々）にとって異なる波長として観測される。音の

場合ドップラー効果として知られている。よく出る例はサイレンを鳴らしながら走る救急

車のサイレンは車が自分に近づくときは音が高く、遠ざかるときは低く聞こえる現象であ

る。それと同じとが宇宙では光でおきる。つまり遠ざかる星からでた光は低いつまり波長

が伸びて（赤方へ）みえる。

vDoppler effect

星のだす波の数は変化しない、観測者が受け取る単位時間あたりの波の数は

しかし発光源の星が移動（遠ざかる）するので

その分減少する。

単位時間

観測に便利な変数　　z =m0

dm を定義する。ここで波長　m0の光が　m0 + dm　として観測

されるときであるとする。　

一様性は観測により指示されている。すなわち以下の図である。

この図は宇宙のある方向面

内にある星や銀河の距離ｚの関数としてプロットしたもの、明るさは入っていない。ｚ＝

０．４までのプロットで、黄色の領域は遠くにある。黄色の星あるいは銀河はまばらな訳

ではない、一様とは、単位体積当たりの星あるいは銀河の数が一定でああり、さらに宇宙

の至るところで一様である方向によらず（これを一様等方という）ことをこの図は示す。

一様な膨張は次のモデルを意味する。ゴムひもモデル（これは１次元で宇宙は３次元であ

る）

ゴムひもに等間隔に記しをつけて1,2,3,4と呼ぶ。ある時間t後にゴムひもをひっぱってa

倍なったときを考えよう。図では１番の位置を一致させて描いた。１から見ると２，３，

４が自分から離れて行っている。その時１から２を見た速度v12は

1 2 3 4

1' 2' 3' 4'

t=0

t=t

v12 v13v14

a = r2' - r1'r2 - r1 = r3' - r1'

r3 - r1 = r4' - r1'r4 - r1

v12 = t(r2' - r1') - (r2 - r1) = t

( a1 - 1)

(r2 - r1)

v13 = t(r3' - r1') - (r3 - r1) = t

( a1 - 1)

(r3 - r1)

v14 = t(r4' - r1') - (r4 - r1) = t

( a1 - 1)

(r4 - r1)

最後の３つの式は同じ事を意味している。すなわち　v = ( a1 - 1) t

r　距離ｒの

星の速度は(1/a-1) に比例する。これがハッブル定数Hであると。ゴムひものような伸び

はとても自然な動きであり、宇宙膨張はこの動きをしていることにより遠い銀河は速く遠

ざかるというハッブル則をいとも簡単に説明する。またゴムひも上のマークを共動座標と

いう。ただし、銀河はこの共動座標上に乗っかった存在として扱われる。空間が伸びてい

るということを共動座標の距離が伸びてゆくaをもって表される。ゴムひもが１次元宇宙

空間であり、膨張している。実際は３次元であり膨張しているが、３次元の膨張を解った

ような絵で表す事は難しいため、１次元で説明した。

Huble 定数の現在の測定値はおおよそ70km/s Mpc である。

H = 70km/s/Mpc を使って

x = H1

= 70km1sMpc

= 7 # 104

3 # 1022ms = 4 # 1017 s = 1.3 # 1010 y

これが宇宙の年齢です。このことから共動座標点の速度が光速となる点までの距離は、

rc = Hc= 130 # 108 ly (ly : Light Year 光年）つまり１３０億光年が我々

の見ることのできる限界（宇宙の地平線という）となる。実際１２７億光年遠くにある銀

河が見えているので、我々の光による観測はほとんど全ての見えるべき領域をカバーして

いる。共動座標速度が光速を超えた向こう側からの情報は我々に届く事はないが、存在は

している！宇宙は地平線の向こうにも存在しているのだ。

共動座標をχとして書き直す。倍率を　a とすると、位置 r= χa

ここで時刻 t の関数はｒとaである、座標点　χ　は時刻依存性が無いことに注意。

ちゃんと微分形式で書くと v=Hrが出てくる。ここで　ハッブル定数H=( da/dt )/aであ

る。

r(t) = χa(t), χ =ra

v = drdt=

d(χa)dt

=dadtχ =

dadt

ra=

1a

dadt

r = Hr

速度ベクトル

a=2の例

Δt0 1 2 3 4

0 1 2 3 　 4

χ

χ

遠いほど速度が速い

我々を中心とした宇宙の一部（半径R)を切り取った球

ｒ

星

あ

る

い

は

銀

河

端にある質量mの星A

速度V

我々を中心として半径rのところにある質量mの星Aについて非相対論的に考える。この系

では半径がｒより大きい星々からの寄与は対称性からキャンセルが起こり、系の内側のみ

考えればよい。系内の全質量　Mは密度ρを使って次の式で書ける。M =4π3ρr3

　

　系内の力学的全エネルギー（つまり運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和）E

は次の式となるE =

mv 2

2−

GMmr

⇒2Em

= v2 −2GM

r 　　これの速度

Vをハッブルの式で書き換えていく、また質量は先ほどの定義を使うと、

2Em

= Hr( )2−

2G4π3ρr3

r

= H2 (aχ )2 (1 − 8π3ρG

1H 2 )

= H2a2χ 2(1−ρ

ρCR

) = H 2a2χ2 (1 − Ω)　　　ここで　

ρCR =3H 2

8πG 　は臨界密度である。tCR = 1 # 10-5GeV/cm3

であり、陽子７個/m3 に相当

する。　これから議論する宇宙の膨張の様子を決定する密度パラメータ　

X = tCR

t　を与える、ここでρは現在の宇宙の密度であるが、直接測定はでき

ない。宇宙膨張は次の式から解る。

H2 a2 (1 −Ω) = 2Emχ 2

　　ここで右辺は系

の全質量Ｍに依存しない定数である。

このモデル計算では地球から脱出するロケットと同じ議論が適用できる。つまりE<0では

地球から飛び出したロケットは、地球の引力圏から脱出できず、戻ってくる。E>0　では

十分な運動エネルギーが有るため地球引力圏からロケットは飛び去る（双曲線）。また　

E=0　では脱出に必要な最低のエネルギーであり、無限遠において速度がゼロになる。軌

道は放物線となる。これと同じく E>0　(Ω<1)では宇宙はどんどん大きくなる。開いた

宇宙と呼ばれる。　E=0　(Ω=1)では開いているが、平坦な宇宙と呼ばれる。　E<0　

(Ω>1)は閉じた宇宙である。宇宙密度ρが宇宙の将来を決める。

（１）Ω＝１　つまり　Ｅ＝０　の場合を考える。

2Em

= Hr( )2−

2G4π3ρr3

r= ˙ a χ( )2

−8πρG aχ( )2

3 ＝０であ

り、

2Emχ 2 = ˙ a 2 −

8πρGa2

3= 0

　が成り立つ。

ここで、一様宇宙密度つまり密度ρは一定を仮定すると、半径ｒの球体内に含まれる質量

は常に時間によらず一定なので、密度は　宇宙の拡大率　a のマイナス３乗に比例する。

すなわち　ρ ∝ a−3

また　H =

1a

dadt

=˙ a a 　の表記を用いている。　この方程式　

oa2 - 38rtGa

= 0　は ˙ a ∝ a−

12　の関係があれば常に満たされる。

これを満たすaの時間依存性は　a ∝ t23　により実現できる。この場合　

H =1a

dadt

=˙ a a 　　を使って H = a

oa= 3

2t-1

ハッブル定数の

逆数が宇宙年齢90億年を与える。

今までの議論は非相対論、あるいは古典論での重力ポテンシャルの扱いで有った。これを

一般相対論的に扱うと、つまりN次元の重力理論で扱うと（ここでそれを述べることはと

うていできない）偶然にも上記記述と結果が一致する。特殊相対性理論が慣性系（つまり

力の働かない座標系）同士の同等性（相対性）を議論した、つまり、全ての慣性系で物理

学の法則は同じ形で書かれるという要請に対して、一般想定性理論は、非慣性系つまり加

速度系　すなわち重力の働く系について議論する。特殊相対性理論で全ての慣性系を同等

と扱ったように、一般相対性理論では、加速度系を同等とみなす、すなわち物理学法則は

どの加速度系でも同じ形で書かれるとする。一見奇妙な仮定にみえるが、ツナが切れて重

力加速度で落ちてゆくエレベータの中で、物体を落下させようとして手を離しても空中に

浮いたままになる。これをある階に静止した系（人）から見ると、人間も物体もエレベー

タも自由落下しているので、人間と物体の間には重力に引かれて落下しているという同じ

現象なので、人と物体は相対的に同じ位置を保つ。一方落下中の座標系（エレベータ中）

では、系の持つ加速度に質量を掛けて力が働くと考え、物体には上向きの力と重力の釣り

合いが実現して静止していると解釈できる。

つまり系が加速度運

動するとき系の持つ加速度は力として物体に作用すると、これを見かけの力という。見か

けの力と重力の同等性を主張するのが、一般相対性理論である。

宇宙空間を加速度なし運動をしているロケットの中では左からでた粒子は真右の壁に到達

する。 一方上向きに加速度のあるロケットの中では粒子が左

端を出発してからロケットが上向きに加速するため、右端の壁での到着地点は下側へずれ

る。

では質量の無い光の粒子＝光子でも同じことがおきる。ということは光も重力（＝加速度

の存在）の元で曲がるのである。上の図では左端白点から出発した粒子（質量によらな

い）が右に移動する間にロケットが上へ加速度運動するため、右端に到着したときは、壁

としてはロケットの後ろ側部分に着く、すなわちロケット内部の観測者に取っては実線の

飛積を描いて光が移動した。つまり曲がった！と見えるはずである。実際には光の速度は

大きいため観測される曲がりは極小さい。また太陽の後ろにあって、本来なら見えない星

が見えることが観測された。

太陽

地球

星

本来なら見えない

見えた！

これをどう解釈するか、太陽付近の強い重力場で光りが曲げられたというのである。

そもそも重力は質量に働くもののはずであるが、ここに来て質量のない粒子にも重力が働

くというのだ、これは空間の曲がりと解釈される。図で書くと大きな質量の周りでは空間

がひずんでいる。

ｘ－ｙ水平面内の中心点に太陽がある。空間のひずみは３次元のｚ軸方向に取った。重力

は空間をひずませる別の例。

地球の中心左右２つの玉は

落ちてゆくにつれお互いの距離が小さく近づく。これは力が働いたともとれる。これを重

力場のゆがみとするわけである。このひずみは地球が存在するために生じたものである。

さて光速は大きな値（生活や者周りの速度より）で歩けれども無限大ではない。有限値で

ある、このため有る距離を走る（飛ぶ？）には時間がかかる。ということは、遠くを見る

作業は実は過去を見ることとなる。