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3
確率変数と確率分布
•
2
3.1確率変数
試行 ・・・ 偶然をともなう実験や観測
事象 ・・・ 試行の結果
排反事象 ・・・ 2つも同時には起こり 得ない事象
根元事象 ・・・ これ以上簡単なものに分解できない
最小の単位の排反事象
標本空間 ・・・ 根元事象の全体の集合
3
排反事象の例~ l つのサイコロを振ったときの目を調べる』場ム
試行 サイコロを振る
1の目が出る
事象 ) 2の目が出る
6の目が出る
排反事象 flの目が出る」と f2の目が出る」
同時に起こりえない
4
例環境条件が同じとして
ある植物 n株を十分に離して植えたところ、株によって病気が発生..............................................................................................................................................................................................................................
病気になった株数 ・・・ X
X の取りうる値は 0，1，2，・・・ ，n
X の値が Zのとき
事象 Ex ... n株植えて、 Z 株が病気になる
確率PX 事象 Exが起こる確率
事象 IEo E1 E2 En
X 。1 2 η
確率 IPl P2 P3 Pn
5
起とり得る事象 Eo，E1 ， E2' . .. ，Eη:根元事象
P(Ex) = P(X = x) = Px， x二 0，1ぅ2ぅ・・. ，n
値がランダムに実現する量を確率変数という。
確率変数 X の取りうる値において
有限個あるいは可算個の値をとるとき E 二〉 離散型
連続の値を取るとき E 今 連続型
例 :
離散型 :サイコロの目、コインの裏表
連続型 :時間や身長、体重
6
確率の定義
標本空間 S (起こり得る事象すべてを集めた集合)
事象の集まり :F(標本空間の事象の組み合わせを要素とする集合)
可測空間 (S，:F)において F上で定義された関数 Pが
(1) P(S) = 1
(2) 0 < P(A)ぎ1，AεF
(3) ムパAj=ゆ(i手j)=今 P(u之lAi)=乞;こ1P(Ai) .......................................................................................................................................................................................................
満たすとき、
PをS上の確率測度。事象 Aの起こる確率 P(A)が定義される。
さらに、(Sヲ:F，P):確率空間と呼ぶ。
標本空間 Sから実数空間 Rへの写像(関数) Xを確率変数としづ。
7
3.2確率分布
確率変数Xが Z となる確率は P(Xニ x)
X が αとbの問の値となる確率は P(α三X ぎb)
例:
サイコロを振って出た芽が 6である確率
P(X = 6)
身長が 150cm以上 180cm以下である確率
P(150三X三180)
8
3.3期待値について
確率変数Xが離散型となる値を XO，Xl，X2γ・.， Xn とする
X 二 Xo，X 二 Xl，X = X2・・・ ，X=znとなる事象の確率
PO ， Pl ， P2 ， •.. ， Pη
.............................................................................................................................................................................................. ..
確率変数 X の値として期待される値
E (X) == x 0 x po + x 1 X Pl + . . . + xη X Pn
この値を期待値または平均とよぶ
μで表すことが多い
9
分散について.......・・・・・・・............・・・・・・・..........・・・・・・・............・・・・・・・..........・・・・・・・............・・・・・・・............・・・・・............・・・・・・・............・・・・・・・..........・・・・・・・............・・・・・・・..........・・・・・・・............・・・・・・・............・・・・・........・・h
確率変数 X の散らばり具合を表す関数
V(X) = (XO-μ)2pO + (Xl -μ)2Pl + ・・ +(Xn-μ)2Pn
平均と確率変数の実現値の距離の 2乗に確率を掛けたものの和
小さいほど確率変数 Xの散らばりが少なく平均の近くにある
σ2で表されることが多い
分散の値は確率変数 (X-μ)2の平均と考えられる
E[(X -μ)2]と書ける
10
期待値の計算
確率変数X，Yがあるとき
(1) 線形性 E(αX+bY) =αE(X) + bE(Y) (α，b定数)
(2) X とYが独立であれば E(XY)= E(X)E(Y)
(1)の性質より
l V(X) = E(X2) - μ2
分散は平均 μと2乗の期待値 E(X2)の値が分かれば計算可能
11
証明
V(X) = E(X2) - f.L2を導出する
V(X) = E(X-μ)2
二 E(X2- 2μX+μ2) ，.
性質 (1)より
線形性の利用
二 E(X2)- 2μE(X) + E(μ2)
二 E(X2)- 2μ ×μ+μ2
二 E(x2) μ2
12
13
離散型確率変数の種類
3.4.1ベルヌーイ分布とベルヌーイ試行
3.4.2幾何分布
3.4.3 二項分布
3.4.4 ポアソン分布
3.4.5負の二項分布
3.4.6超幾何分布
3.4.7多項分布
これらの確率分布は離散型確率変数の分布と呼ばれる
14
分散の計算の準備
離散型確率変数では分散を計算するとき式を変形させて使うことが多い
V(X) = fJ(X2))-E(X)2
-----v
= E(X2 - X) + E(X)
= E(X2) - E(X) + E(X) = E(X2)
E(X(X -1)) + E(X)
ι V(X) = E(X(X -1)) + E(X) -E(X)2
15
16
17
3.4.2幾何分布
ベルヌーイ試行において
初めて事象 Aが起こるまでに事象 Aが起こった回数を確率変数X とする
-・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・、
X=kとなる確率となる事象の確率
n P(X = k) = p(l -p)k
この確率分布を幾何分布という
18
19
幾何分布の平均
ふん一一x
p
Iκ
山工一一μ
ノ¥おとμ
一一Z
E
k=O
j展開して μと(1-p)μ求めて引く ;
μ= 1p(1 -p) + 2p(1 -p)2 + 3p(1 _ p)3 + ・・・ +ηp(l-p)怜+・・・
ヤ1一山 = 句(1-p)2十 2p(1_ p)3 + . . . + (η -l)p(l _ p)n +
pμ = p(l-p)+ p(1_p)2+ p(l-p)3十 ・・ + p(l_ p)n + ・
p(1-P) ~ l-(l-p) 等比数列
初項 p(l-p) 公比 1-p
来日仏=半コ2(r列)!-r
20
幾何分布の分散E(X(X -1)) =ν とおく
ν= L k(k -1) . P(X = k) k=O
;展開して νと(1-p)ν求めて引く j
ν=2・1p(1-p)2十 3・2p(1-p)3十 ・・・ +η(η -l)p(l -p)n十 ・.•
う(1-p)v二 2 匂(1-p)3+...+(ηー仰 -2)p(1 -p)n +
pv = 2・1p(1-p)2 + 2・2p(1_ p)3 + ・・・+ 2・(η -l)p(l _ p)n + ・
= 2(1 -p){ p(l -p) + 2p(1 _ p)2 + ・・ +(η l)p(l _ p)n-l + .. . }
= 2(1 -p)平ν_ 2(1てp)2
-p~
<xコ
E(X) = L k. P(X = k)
21
幾何分布の分散
V(X) = E(X(X -1)) + E(X) -E(X)2
........................................................................................................................................
2(1 -p)2 1-p (1-P¥2 V(X)=p2+-7-(-7)
2(1-p)2 +p(l-p)一(1_ p)2
1-p 2 p
2 p
22
Rの関数p=iの幾何分布の確率分布
> plot(O:10，dgeom(O:10，prob二 1/2)，type二 "hぺlwd二 10，colニ 3)
ばヲ. Cコ
，-..，
C『¥¥I 『寸. ー Cコ11
」。」コ σコo a
. o N
ー. . o Cコ'--"
寸雪山コー
竺4・・・ '・ • • • • • 。 l
6 10
。:1 0
23
3.4.3 二項分布
.......................................................................................................................................................................................................・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・、. .
;ベルヌーイ試行を η回行ったとき事象Aが起こった回数を確率変数Xとする
P(X = k) = ηCk x pk(l -p)n-k k二 0，1，2，・ 3η
...........................................................................................................................................................................................................................
この確率分布を二項分布という
ただし、nCkは η個の中から k個取り出す組み合わせの数
一 η!nVkニ
24
25
二項分布の平均
k' = k -1
とおく
E(X) = L k. P(X = k) k=O
E(X)二 Lk. nCk X pk(l -p)n-k
三L 円 ー
〉;k-1Pκ(1-p)η - /'o
ko k!(n-k)
ι(η-1)! ラ11 k-1(1-p)n-k
白 (k-1)!(η -k)
ド (η -1)! 予 ・ 1kr(1-p)n-kr-l
ho kf!(η -k' -1)
二 ηp ド (n-1)! I.;'山} J L/I { ~~ LI 唱、jP
必 (1-p)四一 局 1 = 1
26
二項分布の分散n
E(X(X -1)) = L k(k -1). P(X = k) k=O
、......................................................................................................................................
E(X(X -1)) =乞k(k-1) . nCkpk(l -pt-k
k' = k -2
とおく
n 'yl r
=):k(k-1)，11 …L¥.pk(l-p)η-k
ι(n -2)! = n(η _ 1)p2ちて ，pk-2(1 _ p)η-k
包 (k-2)!(n -k)!
ト; (η-2)! 二 n(n-1)p2 予 iPk'(1 _ P )n-k'-2 ho kf!(n-K1-2)
ニ η(n-1)p2
27
二項分布の分散
V(X) = E(X(X -1)) + E(X) -E(X)2
........................................................................................................................................
V(X) =η(η _ 1)p2 +ηp-(ηp)2
ニ η，p(ηp-p+1-ηp)
ニ np(l-p)
28
Rの関数
p=iの二項分布の確率分布size=5，
plo七(O:5，dbinom(O:5，5，prob=lj2)，type="h"，lwd=lO，col=3) 〉
n n
口市川
.GUN-DON.-
∞-.COF--
山口
.0
(N¥戸
川
円
40」♀
ばヲ
院旧日ロ
)EOC一』勺
。:5
29
3.4.4 ポアソン分布
X=kとなる確率となる事象の確率
j} \ k~一入
P(X = k) =す「
この確率分布をポアソン分布とい う
ごく稀に起こる事象の実験を数多く行った場合に用いられる
30
ポアソン分布の例
試行 :1等の確率が 10万分の 1であるような
宝くじをバラバラに 1000枚購入する
確率変数X: 1等の当たった枚数
1枚も 当たらない確率と 1枚当たる確率
一 (Tide-市P(X二 O)- o! キ 0.990
(市)le市P(Xニ 1)ニ ー・ ー0.00990
31
ポアソン分布の平均
E(X) =玄k. P(X = k)
k=O 、...............................................................................................................
k' = k -1
とおく
町X)ニ主k主主i
=乏人-J.eプ入
二入ζ午
= 入
L立竺 =1
32
ポアソン分布の分散
E(X(X -1))ニ Lk(ト 1). P(Xニ k)た=0
ι 刷 X-1)) =旨(k-1)午
=乞入"が
k' = k -2
とおく
ヤ白日∞芝
山ニ 入2
ζ竿 =1
33
ポアソン分布の分散
V(X) = E(X(X -1)) + E(X) -E(X)2
V(X) =入2+入-(入)2
=入2+入一入2
二入
34
Rの関数
入二 2のポアソン分布の確率分布
plo七(0:10，dpois(0: 10，2) ，type=" h"ヲlwd=1 0 ，col=3) 〉
UN--cN.0
山戸
.00{.DUG--cc.0
(~川島〔一で{〕
)ω一O♀七
• • • • • 10
。:10
35
ポアソン分布と二項分布との関係
ポアソン分布は二項分布の試行回数 η を無限大に限りなく近づけた場合
P(X = k) = nCk X pk(l _ p)n-k
平均 ηpを一定の値 入に保ちながら試行回数 η を無限大に近づける
np ==入
ー八一
η一一p
36
ポアソン分布と二項分布との関係-・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・、
二項分布の確率密度関数に代入、.............................................................................................................................
P(X = k) = nCk X pk(1 -p)η-k
4:予三×(;)(1-jy-
jjC)止と月(1ーが-k
n(n-1)1-k+づ(1-jy-
37
ポアソン分布と二項分布との関係
=仰 - 1)f - k+1)れ -~r-
(1-~)η
:(1-~)
= 1. (1ーか (1一平川{(1;キ}一入
38
ポアソン分布と二項分布との関係
一市 (， 1、(， k-1¥入叫 十手)為一入A¥ム n) ¥ム n ) k! / (1ーかた
関数の極限
北 (1+~r 二 eZ 二一;とすると n二一入Z
Z → ∞より n → ∞
入k e一入 、入k' 二 1・1・・・・・ 1・ 三 沢一入 一-
n→+∞ k! (1 -O)k '-' k!
39
2.4.5負の二項分布
幾何分布を一般化したもので、ベルヌーイ試行を繰り返し行ったとき γ回目
の事象 Aが起こったときまでに、事象互が起こった回数を確率変数Xとする
-・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・、
X=kとなる確率となる事象の確率
P(X = k) = T+k-lCkpT(1-p)k k = 0，1，2， • -・.........................................................................................................................................................................................
この確率分布を負の二項分布という
γ=1とした場合、幾何分布となる
40
負の三項分布の例
試行 :サイコロを振る
確率変数 X : 1の目が 3回出るまでに他の 目が出る回数
1の目が 3回出るまでに他の目が 5回出る確率
/噌 ¥3 / -<¥5
P(Xニ 5)二 7CS ~ 6) ~ 1 -6 )
ー0.0391
41
負の二項分布の平均
E(X) = ~ k. P(X = k)
E(X) = L k. r+k-lCkpr(1-p)k
k' = k -1
とおく
k=u
ゃ (γ+k -1)! L k ¥.0' ~ 'Y'. -_ 1 ~; ・ pr(1 _p) kt; k!(ァー 1)!
ι品
、lj
¥j
p
pA
一
什い
刊
司ム
竹Ua
+
日'一
Tp
t一川
山一川
計
芝山，|
1-P
¥/一
¥けノ
P晶
一
ぺ
二p
tE4-
11
/11一
(
T一
T
-
一一
42
負の二項分布の分散C幻
E(X(X -1)) = I:k(k -1). P(X = k) た=0
............................................................................................................................................ ..
ι E(X(X -1)) = L k(k -1) 仙 一1CkpT (トp)k
k'ニ k-2
とおく
ニ EK(k-1)比七!?pT(1ーが
2 か (γ+k' + 1)!叫
訂 (r+ 1)(1一吋記 F川 / tv f(1ーが
p2 ゃ (r+ k + 1)!γ+ 、、 ::pr+2(1_ p)k' = 1 ho kr!(γ+ 1)!
(r + l)r(l _ p)2
43
(γ+ 1)γ(1-p)2 ， r(l-p) γ2(1 _ p)2 (X) = っ + ー ヮ
P'" P p"
(γ+ l)r(l -p)2 + rp(l -p) -r2(1 -p? 円
4PA
負の二項分布の分散-・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・、
V(X) = E(X(X -1)) + E(X) -E(X)2
、............................................................................................................................................
1-p+p =P 2 T (1-p)l
r(l -p) 2 p
44
Rの関数
計ze=5pp=iの負の二項分布の確率分布
> p10七(O:20，dnbinom(O:20，5，prob=1/2)，type=" hぺ1wd=10ρ01=3)
~、
tZN ーー.ー
11 Cコ
」O」コ ー
♀ 00 o .
ばヲ o .
CコN -・『寸Cコ o、、ー〆・
E E CD
まgJIIIIIIIIIIII....... .. Cコ
O 5 10 15 20
。:20
45
3.4.6超幾何分布
箱の中に N個あり 、M 個が赤い玉、N-M個が白い玉とする
玉を箱から取り出して色を調べ、玉を元に戻さない非復元抽出でn回調べる
このときの赤い玉の個数を確率変数Xとする
X=kとなる確率となる事象の確率
Ck X N-MCn-k P(X = k) = M ハ
N'vn
この確率分布を超幾何分布という
46
超幾何分布の例
試行:カードを引く
確率変数 X:n枚ヲ|し 1たときに含まれる 当た りの数
20枚中当た り3枚のカードを 5枚号|し、て 1枚当たる確率
qC， X '7C11 P(X = 1)二 Oi J 官
20'"ノ5
35
76
ー0.460
47
48
超幾何分布の平均
E(X) = L k . P(X = k)
ふ MCkX N-MCn-k E(X) = ) ~ k . 円
k=u NV n
=M会会川::rcn-kk' = k -1 =M3Z刊にμ子-k'-l
とおく
=M 旦ト1 M一ん×山)づザM一1)ρC山)
川 k'=コO 、-ι N-1vn-l
nM
N ト1M lCk'X (N十 (M-l)C(n-l)-k'ー 1
h oN-ICn-1-
49
50
超幾何分布の分散
E(X(X -1)) = Lk(k -1). P(X = k)
ι'1' / .， ....'¥ MCk X N-MCn-k E(X(X -1)) = )ム(k-1) ι 門川
k'ニ k-2
とおく
k=O N'vn
M(M -1)η(η-1)ιM-2Ck-2 X N一MCn-k
N(N -1) 包 N -2Cn-2
M(M -1)η(η -1)ト2M-2CK'×(
N(N-1)h。M(M -1)η(η-1)
-2)一(M-2)C(n-2)-k'
-2Cn-2
N(N -1) ミー2M-2Ck'X (N-2)一(M-2)C(日 )-k' 1
h oN-2Cn-2-
51
超幾何分布の分散
V(X) = E(X(X -1)) + E(X) -E(X)2
(X) = M(M一l)n(n-12+竺 +(ηMYN(N -1) 'N ¥N )
M(M -1)η(n -1) +ηMN(N -1) -n2M2(η-1)
N2(N -1)
ηM(N2 +nM -NM-ηN)
N2(N -1)
ηM(N -M)(N -n)
N2(N -1)
52
超幾何分布と二項分布との関係
超幾何分布は二項分布の母集団の大きさ N を無隈大に限りなく近づけた場合
l¥;fCk X N -MCn-k P(X = k) = ハ
Nvn
zを一定の即こ保ちながら母集団の大きさ N を無限大に近づける
M 1¥T = P N
53
超幾何分布と二項分布との関係
ck X N-M Cn-k P(X=k)= ハ
N Vn
M (N -M)! η!(N -n)!
日(η -k)! (n -k)!{(N -M)一(η -k)}! N!
/・・・・・万r.・H・-¥ M!(N -M)!(N ー η) !
¥k!(η-k)!) (M -k)!{(N -M) -(η -k)}!lV!
....…¥ M!(N -M)!(Nー η)!
=: .. tr.--・1(M-k)!{(N-M)-(η -k)}!N!
54
超幾何分布と二項分布との関係
川山-M)〈(「jJP-r圏、を整理する
M! M " (M -1)""" {M -(k -1)} . (M -k) " {(M -(k + 1)}"" _"_. (M-k)! (M-k)"{M-(k+1r
= M " (M -1).・.{M 一(k-1)} 約分できる
( N 一 η吋)! 一 :..(ぽ;立主v二n丘.βn包:).日ム斗N! 一N. (N 一1) . . .イ{N一(nη 一1め)}.ro亦j押N目.ご羽 ブ.目"{N'日て.てご.(杭託.平1町7了?γ下r六.て:一つ:
N" (N -1)・・ "{N-(η -1)}
55
超幾何分布と二項分布との関係
M!吻釘一白泊叫!K知版Lぽぱg主 .......ごご二二..州.
(M 一kめ)!引〈《《:C:FNF.二ご'.M)一ベ(η 一一M司長均13予:!N川!ι 斗4ι 午 y ω
(N-M)!
{(N -M)一(η-k)}!
•................................................
(N -M) . {( N -M) -1} . . . {( N -M) -(n -k -1)} .! { (N -M) -(n -k)} . . . i{(N -M) -(n -k)} . {(N -M) -(n -k + 1)}... ~ ~
約分できる
= (N -M) . {( N -M) -1} . . . { (N -M)一(n-k -1)}
56
超幾何分布と二項分布との関係
M!(N -M)!(Nー η)!
(M -k)!{(N -M) -(n -k)}!N! P(X = k) = nCk
M.(M -1)... {M -(k -1)} . ( -M) . {(N -M) -1}・.• {( -M) -(η-k -1)} -1) . . . {N -(η-1)}
N で割る
決〉-悌 一元)• • • (芽上半)・ (1一等}(14 〉走)・・{(1一例 ーヰニl}
1・(1ーが一・(1一帯よ)
D ~=p とおくp. (pーが-一(p一半)• (1 -p) . (1 -pーが .{(l-p)ーヰニl}
1 . (1ーが (1一市主)
57
超幾何分布と二項分布との関係
pMお (p -綜)• (1 -p) . (1 -p鵠 {(1 -p)イ片サ1 . (1イ治 (1-hろ)
p'p・ p. (1 -p) . (1 -p)一(1-p) 二 pk(l-p)η-k
N →+∞ 1・1. . . 1
.、•• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
・
M!(N -M)!(N-η)! P(X = k) = nCk ('
¥ば(M一k刈)!町{れ(N一JVI)一(作η一k刈)}ド!N川!/
/
=πCdpk(υ1一pω)ηト 一 k勺)
. ・・ ・・・・・・・・・・ ・・・・・・・・・・ ・・・・・・・・・ ・・・・・・・・・ ・・・・・・・・・ ・・・・・・・・・ ・・・・・・・・・ ・J
58
3.4.7多項分布
1回の試行で、事象 A}， A2'・・.，Akのいずれかが起き
これらは互いに排反で P(Ai)ニ Pi (i二 1γ ・. ) k)とする
この試行を η回独立に繰り返すとき
Al，A2" ・・ ?AKの起こる回数をそれぞれ X1，X2，' .. ，Xkとする
η! P(X1ニ Xlγ ・.，Xk二 Xk)ニ 11 1PTPP---p?
Xl・X2!"'Xk!
院は非負な整数で Xl+ X2 + . . . + Xk = n
この確率分布を多項分布という
59
多項分布の例
10個のサイコロを投げるとき
1の目の出るサイコロの個数 :X1
2の目の出るサイコロの個数 :X2
6の目の出るサイコロの個数 :X6 、 ••.••.••.••.••.••.••.••.••.••.••.••.•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••.••.••.••.••.••.••.••.••.••.••.••.••.••.••.••.••.•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••.••.••.••.
サイコロの 目は 1・・・ 6は互いに排反な事象
η 回振ってそれぞれの 目が何回でるかを確率変数とすると
多項分布に従 う
60
連続型確率変数の種類
3.4.8一様分布
3.4.9指数分布
3.4.10正規分布
3.4.11 コーシ一分布
3.4.12 2次元正規分布
これらの確率分布は連続型確率変数の分布と呼ばれる
61
3.4.8一様分布
ある区間 (a，b)で一様に分布している
ι 確率密度関数が常に一定の値である
確 率 密 度 閥 的)=出 (α <x < b)
分布関数 F(x) =と土 (α く Z く b)Oー α
この確率分布を (連続型)一様分布という
62
一様分布の例
"・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・、
f(x)の値がある区間で一定になっている
1 b-α
f(x)
• 。| α
• X
b
63b-α
2
一様分布の平均
仰)ニ[x仰 z
的 )=Jdzdz
qL
α
α
b1|||」
一
2
1
2
JIu
--2
JL
「トトL
1一2
一α
一α
1一一
1二
一'hv
一'hu
--一一
64
一様分布の分散
げ)二lb
X2 f(x)dx
E同二lb
X2己dx
一己~ [~x3L
α2+αb + b2
3
65
一様分布の分散
V(X) = E(X2) -E(X)2
α2+αb+b2 (b +α)2 V(X)二 一一一一
α2ー αb+ b2
12
(α -b)2
2
4
66
Rの関数(0，1)の一様分布の確率密度関数
> curve( dunif，-1，2，col=3)
CコF
。。Cコ
f国『 ヘ
X <D
、..-' Cコ」←
カC コて寸
Cコ
〈刊
Cコ
Cコ
o
-1. 0 -0.5 0 . 0 0 . 5 1. 0 1. 5 2.0
X
67
3.4.9指数分布
パラメータに正の定数として 入を使用
確率密度関数 f(x) =入e-A.X (0く x)
分布関数 F(x) = 1 -e-A.x (0く x)
この確率分布を指数分布という
68
指数分布の例
待ち時間
寿命時間
事故の発生間隔
時間分布に利用される
69
指数分布の平均
E(X) = f'仰 )dx
¥ll，ノ
Z
，G
Z 、A
e
=入([xート- AX
O
= 入 {[-;e汁
入
70
指数分布の分散
Eば乍1=x2 f(x)dx
引すe->'X]下立O e:2jJ;:;;叫 日
三 2. ~[十入? 。
入2
¥、‘‘，a『，f/
Z
，α
お、A
e
z
71
指数分布の分散
-・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・、
V(X)二 E(X2)-E(X)2 、..............................................................................................................
Vば)二三 一G)2-1
入2
1
入2
72
Rの関数
入二 0.7の指数分布の確率密度関数
curve( dexp(x，O. 7) ，O，5，col=3) > ド
.0
∞.ou--寸
.0
円
.ON--
-.00.0
(作
.
0
JA)♀
X心力
X
73
74
正規分布の例
幼児の知能指数
人の身長
長さや重さの測定誤差
製品の出来上が りの誤差
多くの現象が正規分布の法則に従う
75
正規分布の平均-・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・、
E(X) = !: xf(x)dx
、...................................................................................................................
時
=友!:x.eーザdx
t = x-μ dt 1 =一万ーとおくと 弓 一定 x= y'2
v'l.σ dx v2σ'
二ム!:(V2σt+μ)e一句
76
正規分布の平均
=去1:(y'2，σt+μ)e-匂
= 4Z U J 〉+ 非蒜 :::む'.
奇関数杭なのでf柁一t午 0
にe午l~e 午
VIσ ハ .μ 「
ゾ否 -， v石〉π
=μ
77
正規分布の分散-・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・、
E川 =l内 (x)dx
、...................................................................................................................
引m附x2作2
= マ志嗣去た却言alι1:x
2
¥fご?ケ::〉シ:〉γx
2.eーザdx
t = x-μ dt 1
=一万ーとおくと 弓 一定 x= y'2 VL.σ dx v2σ'
=去1:帥
78
正規分布の分散
=ム1:(2cr2
t2十崎山γ2dt
2 r∞ 2 2.2♂μσ f∞ 2 4 μ2 r 一一 I t
2e-tw dt +一一一一 I te- t~ dt + t-" _ I e-t~ dt ゾ石 J-∞
' ゾ石 J-∞ 'J石J-
ιμdt = 100わP∞ヘ~t♂μ2
奇柑関数批な初の肘でl:t白e〆ん一→_t
2♂~午2d
乙 山t= 100 e-i〆山4♂i2dt = vn
よ工=去 (σ2. fo + 2hf.tcr . 0 +μ2. fo)
=σ2+μ2
79
正規分布の分散
-・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・、
V(X) = E(X2) -E(X)2
.....................................................................................................................
V(X) =σ2+μ2-d
2 二 σ
80
ガンマ関数
特殊関数と呼ばれ、普通の積分計算では求める ことができない
定義 r(x) ux-1e-Udu (x > 0)
-・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・4
..........................................................................................................................................、
性質 r(x) (x -l)r(x -1) (x > 1)
81
ガンマ関数の性質より..........................................................................................................................................~
性質 r(x) = (x -l)r(x -1) (x > 1)
x=2のとき
x=3のとき
x=4のとき
x=nのとき
r(2) = 1・r(l)
r(3) = 2・r(2)= 2・1・r(l)
r(4) = 3・r(3)= 3・2・1. r(l)
r(n) = (n -1) . . .3 . r(n -1)
=(n-1)...3・2・1. r(l)
= (n -l)!r(l)
82
ガンマ関数の性質より
時)= Io~ ux-1C udu (x > 0)
r(l) = 10
ガンマ関数の性質より
r(η) = (η-1)!
83
ガンマ関数...................................................................................~
時)= fo~ UXヤ
るすと
lF
換
1一2
変
=
数
z
変
=yn
dt = du 2t
84
広義積分
100
e-t' dt =手
~.........................................................
く証明 >
100 100
e-X'一川 u出 る
Un = {(xヲU)|Z>O?U>O?1く ゾx2十 y2く nn
極座標変換 (φ :Fη→Uη)
x=γcosB ， y = rsinB Fη = {(η吋
ヤコビアン dφ=
保一卵白一卵
白一か勾一か
cosB -rsinB
sinB rcosB = γ
85
広義積分
J L e-X'九 dy 二 J1. e-
r¥
=j(e一方 _e-n2)
t二 γ2
dt = du 2r
n→+∞
• f~ 10 fZ2ーν2似 U=2
7f
4
86
π一4
一一uu ，d
z
zα
qA W
3
円L
z
ρU
f匂 =jpt'''''nu z
d
e
f--ー。
1000
10
広義積分
π一4
一一
つe
血¥IBIs-ノ
Z
Ju
z e
∞
β'''''zfnU
/It--¥
1000
e-x' dx =手
87
ガンマ関数
100
t2e-
t2
dt =手~..............................................................................~
ガンマ関数の性質より
r(x) == (x -l)r(x -1)
z=;とする
、、・111fJ
/11¥
一介
r
v
M
一π
1一2
1一2
v
、、、EBE
，，，ノ
/ItlE1¥
r
2
88
標準正規分布
平均 O、分散 1の正規分布
標準正規分布 N(O，l)とよぶ
-・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・、
一般に確率変数 Xが正規分布 N(μ，0-2)に従うとき
z= x-μ 一
σ
の変換によって確率変数 Zは標準正規分布になる
89
Rの関数
正規分布 N(O，22)の確率密度関数
curve( dnorm(x，O，4) ，-lO，lO"col=3)
DF.0
∞0.
0
∞己
.0
寸
0.
0
円己.己
〉
(寸
J〕
J〈
)ε」
OC力
10
X
FhJV
-10
90
Rの関数
標準正規分布の確率密度関数
curve( dnorm，-4，4，col=3) 〉
寸
.0
的
.0
N.0
F.0
0.己
(X)E」OC力
X
91
3.4.11 コーシ一分布
布分シコ
自由度 1のt分布
1 1 確率密度関数 f(z)=EIτx2
中央値は Oで、平均および分散をもたない
この確率分布をコーシ一分布という
この分布は平均をもたない分布として有名である
92
93
2次元正規分布
.......................................................................................................................................................................................................・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・、-.
確率密度関数
: 山川)片~二27r針宵
仰ベ叶[-一山)×ぺ{べ(竺干引7三子剖子デ丹主つ)子2¥一2ρベ(守守引主ウ)(伴午守引Lウ川)+べ(中)¥]1. も............................................................................................................................................................................................................................'
このとき 2次元正規分布に従うという
記号 N2(μ，~)で表す
94
3.5 いろいろな確率分布のグラフ
Rを使ってさまざまな確率分布のグラフを描くことができる
Rでグラフを描く場合
離散型 I 今 plot
連続型 I > curve
