89
現代物理学序論第一 講義ノート 東京工業大学 理学部 物理学科 西森 秀稔

現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

  • Upload
    others

  • View
    2

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

現代物理学序論第一 講義ノート���� ���

東京工業大学 理学部 物理学科

西森 秀稔����������������������� �� ��������������

����年 �月  ����� ��� �� ������

Page 2: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

はじめに

 本講義では,現代物理学の重要な基礎である特殊相対性理論と量子力学の入門的

な解説を行う。いずれも ��世紀の終わり頃から ��世紀の初めにかけて確立した理

論体系である。諸君がこれまでに学んできた古典力学や電磁気学とは発想や構成が

全く異なるため,最初は概念を理解するのに少々戸惑うこともあるかもしれないが,

一度慣れてしまうと明快で奥深い話であることが分かるはずである。

まず前半では特殊相対性理論について説明する。古典力学と電磁気学における時

間と空間の概念を対比し,それらが互いに相容れないものであること,そして後者

が実験的に正しいことを示す。そこでアインシュタインに従って発想を転換して時

空の概念を再構成すると共に,その中で運動する物体の力学を単純な原理から導く。

特殊相対論は,基礎になる物理的な考え方さえ把握してしまえば計算は単純で,高

校生でも理解できる。実際,諸外国では高校で教えているところも多く,国際物理オ

リンピックに出題されることもある。ともかく分かりやすくて面白い話であり,こ

のような理論を一人で作り上げるのは何百年に一人の天才だというのが実感される

だろう。

後半では量子力学への導入を行う。エネルギー量子の発見から始めて,物質の波

動性,シュレディンガー方程式の導入,簡単な場合の解などについて解説する。量

子力学は相対論にも増して概念の把握が最初の壁となる学問である。物質が粒子で

あると共に波であるというのはどういう意味なのか,波が確率であるといういうの

は何のことなのかなどについて出来るだけ分かりやすく説明をするため,本講義で

は類書とは一線を画して,歴史的な順序に沿った解説を放棄し実験事実に基づいて

論理を簡潔かつ明快に構成していく方法を採用する。量子力学の入門に関する限り

他の多くの本よりずっと分かりやすいと自負している。

特に量子力学は,私たちの日常に深く入り込んでいる。現代の生活を支えるエレ

クトロニクスは,量子力学と統計力学の応用から生まれた英知の結晶である。自然

界の神秘を解き明かそうという純粋な好奇心から生まれた学問が,何十年も経って

から人類の生活水準の向上に大きく寄与しているという事実は痛快ですらある。そ

の一端にこれから分け入ってみよう。

西森 秀稔

Page 3: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

��

目 次

第 �部 特殊相対性理論入門 �

第 �章 古典力学と古典電磁気学 �

��� 古典力学(ニュートン力学)に現れる時空の構造 � � � � � � � � � � �

��� 古典電磁気学(マックスウェル理論)の特徴 � � � � � � � � � � � � � �

��� マイケルソン・モーレーの実験 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

第 �章 ローレンツ変換 �

��� 特殊相対性原理 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��� ローレンツ変換 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��� 速度の合成則 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��� 波動方程式の不変性 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

第 �章 ミンコフスキー空間 ��

��� ローレンツ不変量 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� �次元時空と世界線 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� ローレンツ変換の幾何学的解釈 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� 虚数角度の回転 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

第 �章 ローレンツ変換に従う時空の性質 ��

��� ローレンツ収縮 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� 時計の遅れ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��� 双子のパラドックス � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� ドップラー効果 �� 音の場合 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� ドップラー効果 �� 光の場合 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

第 �章 運動量と質量と運動方程式 ��

��� 完全非弾性散乱 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� 相対論的運動量 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� 運動方程式 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� エネルギー � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� 相対論的エネルギーの特徴 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

Page 4: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

���

第 �章 �元ベクトルと運動方程式の共変形 ��

��� �元ベクトル � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� 運動方程式の共変形 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

第 ��部 量子論 ��

第 �章 光の粒子性とエネルギー量子 ��

�� �重スリットの干渉実験 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� 光電効果 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� コンプトン効果 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

第 章 電子の波動性と不確定性原理 ��

�� 電子線の干渉と回折 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� ド・ブロイ波 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� 不確定性原理 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

第 �章 ボーアの原子模型と前期量子論 ��

��� ボーアの原子模型 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� 前期量子論 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

第 �章 シュレディンガー方程式 ��

���� 自由粒子の波 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

���� シュレディンガー方程式 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

���� 定常状態のシュレディンガー方程式 � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

第 ��章 �次元定数ポテンシャル系の境界値問題 ��

���� 箱形ポテンシャル � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

���� 境界における波動関数の連続性 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

���� 箱形ポテンシャル中の粒子のエネルギー固有値 � � � � � � � � � � � � ��

���� 階段ポテンシャル �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

���� 階段ポテンシャル �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

���� トンネル効果 �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� トンネル効果 �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

第 ��章 交換関係,不確定性,波束 ��

���� 交換関係 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

���� 交換関係と不確定性 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

���� 波束 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

���� ニュートン方程式の導出 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

第 ��章 熱平衡状態の電磁場と宇宙の温度 ��

Page 5: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

第�部

特殊相対性理論入門

Page 6: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に
Page 7: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

第�章 古典力学と古典電磁気学

��� 古典力学(ニュートン力学)に現れる時空の構造

ニュートン力学の第 �法則は,力を受けない物体は等速直線運動をすることを主

張する。その意味するところをつき詰めると

� どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に流れる絶対的な時間の存在を前提としている。

� 力を受けない物体が等速直線運動をする座標系(慣性系)で物理法則を記述することを宣言している。

� 慣性系 �に対して等速直線運動をする別の座標系 ��もやはり慣性系であるこ

とが分かる。

そこで本講義を通じて,特に断らない限り座標系と言えば慣性系に限ることにする。

古典力学における座標系の間の変換則はガリレイ変換 �������� �������������� と

呼ばれる。簡単のため � 系と �� 系は時刻 � � �� � �で完全に一致しており,さら

に �� �方向は常に一致するが,�� 軸は �軸に対して速度 � で動いているとする �図

��� 。このとき第 �法則と定義により次式が成立する。

図 ���� �つの慣性系 �� �� の関係

�� � �� � � ����

�� � � ����

�� � � ����

�� � � ����

Page 8: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

� 第 �章 古典力学と古典電磁気学

当然ながら,ガリレイ変換により移った座標系 �� でも運動の第 �法則が成立する

が,質量と力が座標変換によらないことを要請すれば� � ��� � � � 第 �法則

も成立する。

� � ��� � � � �� ����

というのは,� が定数ゆえ加速度が座標変換で不変だから �� � �� である。このよ

うに,ニュートン力学はガリレイ変換に対する不変性を持つと理解できる。

��� 古典電磁気学(マックスウェル理論)の特徴

マックスウェルにより完成された古典電磁気学によると,ファラデーの電磁誘導

則と拡張されたアンペールの法則

��� � ��

�����

��� ��

����

が真空中で成立する。これらから,電場 � および磁場� の各成分が波動方程式

����

��� �� �

��

���

��

���

��

�����

に従うことが,次のように導かれる。�は真空中の電磁場の伝搬速度(光速)であ

り,定数 ����� ��� ���� である。� � ���� � ��� として,

�� ���� � �

���� � �

�� ���� ����

� � ���

��� ��� �

��

�������

�� ���� � ���� ���� �� � ���� �����

これらを等しいと置き,� � ����� � に注意すればよい。

この結果の著しい特徴は,どの座標系でも � を同一の定数としてもつ波動方程

式 ��� が成立することである。ガリレイ変換は速度を �� � � � � と変えるから

�� � �� � でなければならず,したがって �� � �を主張する電磁気学はニュートン

力学と相容れない時空構造を記述していることになる。

実はマックスウェル方程式は,ガリレイ変換とはかなり異なる座標変換(あとで

詳しく述べるローレンツ変換)�!�����" �������������� で不変に保たれる。この

ローレンツ変換は古典力学の第 �法則(運動方程式)を不変に保たない。

ニュートン力学 �� ガリレイ変換 �����

マックスウェルの電磁気学 �� ローレンツ変換 �����

この �つの組み合わせのうち現実の世界を正確に記述するのはどちらか一方であり,

両方ではあり得ない。この問題に決着を付ける一番わかりやすい方法は,光速が座

Page 9: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

���� マイケルソン・モーレーの実験 �

標によらず一定かどうか ��� � �# を実験的に調べることである。マイケルソンと

モーレーは精密な実験を行い,光速が一定であることを初めて明確に示した。

後で詳しく解説するように,ニュートン力学は物体が光速に比べて十分遅い運動

をする場合には十分良い近似で成立しており,日常的な力学現象の記述には実用的

な差し支えは全くと言っていいほどない。光速ないしそれに近い運動という特殊な

状況においてのみアインシュタインの特殊相対性理論が必要になるのである。特殊

相対性理論は,速度が光速に比べて十分小さいときニュートン力学に帰着する。

��� マイケルソン・モーレーの実験

マックスウェルの理論が成立した当時 ����年代 は,何もない真空中を光の波が

伝搬するという考え方は受け入れられていなかった。「エーテル ���$�� 」なる無色

無味無臭の物質が宇宙全体を満たしており,光はエーテルの振動として宇宙空間を

伝搬するものとされていた。空気の振動として音が伝わるようなものである。エー

テルが静止して見える系を絶対静止系と言い,光を含む電磁波は空気中を伝わる音

波と同様に,絶対静止系に対して運動している観測者からは速度が違って見えると

いうのである。マックスウェル理論はこのような見方とは異なる立場 �光速の不変

性 を提供した。

マイケルソンとモーレーは �年,図 ���のような実験装置を使って光速の不変

性 �� � �を立証した。ガリレイ変換 �� � �� � が成立すると仮定して実験の説明を

図 ���� マイケルソンとモーレーの実験装置

試みてみよう。ビーム �は地球の運動(公転)方向に向けられており,ビーム �は

それと垂直である。光源からの光はビーム �と �に分かれ,鏡でそれぞれ反射され

たのち同一の干渉計に入射して干渉縞が観測される。

太陽系の重心が絶対静止系(エーテルの静止系)で静止しているとし,地球はそ

れに対して速さ �で公転しているとする。このとき,ビーム �の光は行きは「エー

テルの風」に逆らって走るから速さ �� �,帰りは「エーテルの風」に乗って近づい

てくるから速さ � � �を得,往復に要する時間は

�� ���

�� ��

��� � �

�����

�� � ���

����

�� ��

�� �

������

Page 10: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

� 第 �章 古典力学と古典電磁気学

となる。ここで ��はビームが分かれる所から鏡までの距離である。一方絶対静止系

(エーテルの静止系)で見ると,ビーム �の往復所要時間 �� は図 ���により

図 ���� ビーム �の運動を絶対静止系からみた様子

��

��� � ������ � � ��� �����

を満たすからこれを解いて

�� �����

���� ��

�����

となる。干渉の様子は所要時間の差で決まる。����� と ����� より,所要時間の差は

�� � �� � �� ��

����

�� ��� ��

�� ��

�����

で表される。

マイケルソンとモーレーの巧妙なところは,装置を水銀に浮かせて ��度回転でき

るようにしてビーム �とビーム �を入れ替えるようにしたことである。こうすると

所用時間差は,�と �をすべて入れ替えて ��� ��� �� ���� �� ���

��� ��

���

�� ��� ���

�� ��

�����

となり,従って所要時間差の装置の回転による変化は,� � �を使って

��� ��� ��

��� � ���� ��

� �� � ����� ��

� ���� � ��

�� � �� � �� ��

��� � ��

��� �����

と表される。

Page 11: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

���� マイケルソン・モーレーの実験 �

�つのビームの干渉は光路差が波長の何倍であるかによって決まるから,光路差

を波長 �で割った量 Æ � �����が重要な目安になる。装置の回転に伴う Æの変化は

�Æ ������ ���

�� �� � ��

��� �����

となる。地球の公転速度,装置の大きさ,波長などの実際に使われた値

�� � �� � �� �

� � ���� ���� �

� � ����

を入れて�

�Æ � ��� �����

となる。ついでながら,� � ���� ���� � ���� �� は緑の光,地球の公転速度は

��� %��� ��� �� %��$ ,また参考までに地球の自転速度は赤道付近で ��� ���

  ��� %��$ である。

�Æ � ���ということは,これまでの推論 �特にガリレイ変換 �� � �� � が正し

ければ装置を ��度回転すると干渉縞が半分近くずれるはずだということになる。と

ころが実際にはずれは観測されなかった。これにより,光速がエーテルに対する観

測者の移動速度によって異なるという,通常の波と同じ見方が否定された。

����� ���� ��� ������の波長を持つのは緑の光である。ちなみに,可視光の波長は紫の ���から赤の ����� 程度まで広がっている。また地球の公転速度は � ������� ���������� であり光速の �� � � ������ �およそ秒速 � 万 ��� と比較して � � ���� が導かれる。参考までに,地球の自転速度は赤道付近で �������� �������� で公転速度よりずっと小さく,このような実験には使えない。

Page 12: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

第�章 ローレンツ変換

��� 特殊相対性原理

光速が不変であることを認めれば,ガリレイ変換およびそれと密接に結びついた

ニュートン力学は修正を余儀なくされる。数々の試みが ���年代から ����年過ぎ

までなされたが,統一のとれた矛盾のない見方を提出する事は難しかった。このよ

うな中でアインシュタインは ����年,特殊相対性原理を出発点とする整然とした理

論体系 �特殊相対性理論 を発表し,すべての問題を一挙に解決した。

本章では,特殊相対性理論における時空の変換則であるローレンツ変換について

述べる。ローレンツ変換を足がかりとして力学がどう修正されるか,また電磁気学

とローレンツ変換の関連がどうなっているかは次章以後で詳述する。

特殊相対性原理 �&���'�(�� �� �(�'��� ������)��* とは

�� 物理法則はどの慣性系で見ても同一の形に表すことが出来る。

  (狭義の特殊相対性原理)

�� 光速は観測者および光源の速度によらずどの慣性系でも一定の値を取る。

  (光速度不変の原理)

まず ��(狭義の特殊相対性原理)の意味について考えよう。おおざっぱに言えば,

物理法則が見る人の立場によって変わることはないという主張である。やや間接的

な例であるが,ベクトル�のある座標系での成分表示 ���� ��� ��� � � � と別の座標系での成分表示 ���

�� ���� �

��� � � � においてそれぞれの成分の値は違っていても,ベ

クトル�自体としては同一であることと類似している。座標によって変わらないも

のが真の物理的実体(物理法則)であるということである。当然のようにも思える

が,これを物理の基本原理に据えてここを足がかりにして理論を展開するという発

想はアインシュタイン以前にはなかった。

��(光速度不変の原理)は古典電磁気学においてはマックスウェル方程式からの

帰結という地位にあるが,特殊相対性理論では理論構築の出発点になる。光速度不

変の原理は相対論的力学の帰結ではなく,出発点なのである。

Page 13: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

���� ローレンツ変換

��� ローレンツ変換

特殊相対性原理に基づいて,ガリレイ変換に代わる時空の座標変換であるローレ

ンツ変換を導こう。簡単のため,図 ���と同じ状況で考察する。時刻 � � �� � �で

両座標系の原点が一致していたとし,��系は �系に対して �方向のみの運動してい

る。�座標と � 座標は変換されない� 。

�� � � ����

�� � � ����

次に,�と �の変換を考える。等速直線運動で結ばれている座標系では,� 系で時

空に等間隔の点列を置けば,それは ��系でも等間隔になるべきである。これを時空

の一様性 ��(�'�+���� ,��������* という。時空の一様性により ��は �と �の一次式

で表されなければならない。

�� � ���� � ���� ����

さて,� 系から見て �� 系の原点 ��� � � は速度 � で �軸上を等速直線運動してい

る。言い換えれば �� � �は � � � �に相当する。したがって ���� は次の形をして

いるべきである。

�� � ���� � � ����

特殊相対性原理から定数 � を決めよう。狭義の特殊相対性原理より,�� �と ��� ��を

入れ替えて,さらに � を �� で置き換えると ���� と同じ形の次式が成立する。

� � ���� � � �� ����

さらに光速度不変の原理より,� � �� � �に両系共通の原点を出た光が � 系で時刻

�に位置 �にあるとして � � ��が成立するが,同様に �� � ��� も成立する。これら

を ���� と ���� に代入して

�� � ���� �

�� ��

��� �

�����

� � �

��� � �

��

�� ���

�� �

����

両辺を掛け合わせて

��� � �������� �� �� ��

� ���

��� � �ゆえ

� ���

�� ������

�より精密な論理を展開して �� � �� �� � � を導くこともできるが,結論は変わらないので本講義では省略する。興味のある人は冒頭で参考書にあげた風間氏の本を参照。

Page 14: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

第 �章 ローレンツ変換

が得られる。よって,���� と ���� を書き下すと

�� ��� � ��

�� �������

� ��� � � ���

�� �������

����� が,空間座標の変換式 ���� の具体的な形である。時間座標の変換式を導くに

は,����� と ����� から �� を消去すればよい。結果は

�� ��� ��

���� ��

�����

もう一度まとめておこう。特殊相対性理論の根幹をなす時空の座標変換が次のロー

レンツ変換 �!�����" �������������� である。時間の式では両辺に �を掛けてある

ことに注意。

�� ��� � ��

�� ���

�� � � ����� ��

�����

��� ���� ���

�� �������

この式を見ると次の特徴に気づく。

�� � � �でなければならない。つまり � � �であり,慣性系相互の相対速度は

光速を超えられない。

�� �と ��が対称な形になっている。

�� ��あるいは � �ではガリレイ変換 �� � �� � �� �� � �に帰着する。

�� と �� については,後に別の角度から再検討する。

��� 速度の合成則

ガリレイ変換によると,�� 系で �方向の速度成分 ��� をもって動いている物体を

� 系で見ると,速度の �成分は ��� � � となる。ローレンツ変換ではこの様子が少

し変わってくる。それを調べるため,まず �と �� の関係

� ��� �

����

�� �������

から �の �� 微分を求めておく。

��

����

� ��

���

������ ��

�����

Page 15: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

���� 波動方程式の不変性 �

すると,����� より

��� ����

����

��

��

��

���� �

��

������ ��

��� � ��

�� ��

� ��

�����

�� ������

よって

�� ������� �� �� �

����

� � � �� � ���

� ��

����

�� ��� � � ���� � �のとき ����

�� � �� の変換についても同様にして

�� �����

�� ���� � �

����

� �����

�� �����

�� ���� � �

����

� �����

となる �示せ 。このように,速度の各成分はやや込み入った変換を受ける。特に

��� � �� ��� � ��� � �のとき

�� �� � �

� � �� � �����

�� � �� � � �����

であり,光速が座標系によらないことが確かめられる。また ��� � �である限り �� � �

となる(確かめよ)。よって,どんな運動をする物体の速度も光速を越えることは

ない。

��� 波動方程式の不変性

波動方程式がローレンツ変換によって形を変えないことを示そう。�次元の波動

方程式

��

�����

��

�������

の解は,� を �階微分可能な関数として一般に ���� �� と書ける。簡単な例として

はサイン波

���� �� � ������� �� � ��� ��� �

��

� ������

�� ���

�����

があげられるが,これ以外でも良い。さて,ローレンツ変換により ���� �� の引数

は次のように変化する。

���� � �������� ���������� � �������� ���������� � ����� ������� �����

Page 16: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

�� 第 �章 ローレンツ変換

よって ��� � �� は ����� � � ��� � ��� となる。����� � � � � ��� として,

������ � ��� � ��� は ���� � ��� と書くことが出来る。これは明らかに

��

������

��

��������

あるいは,この式で � を �で置き換えた方程式を満たす。このように,波の速度が

�のときローレンツ変換により波動方程式は形を変えない。ただし,波長や振動数

は変わる。�問�サイン波で確かめよ。

なお,ガリレイ変換を適用すると �� �� � ��� � � � � �� � �� � ��� � �となり,

波の速度が変わるため同じ波速を持つ波動方程式は満たさなくなる。

Page 17: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

��

第�章 ミンコフスキー空間

��� ローレンツ不変量

ローレンツ変換は時空を記述する座標系の間の変数変換であるが,これを �次元

時空の線形変換として見るといくつか重要な特徴が現れてくる。まず本節では,ロー

レンツ変換によって不変に保たれる量を議論する。

時刻 � � �� � �において �� �� 系共通の原点を出た光は,任意の時刻で � 系では

��� � � �� � �� � �� ����

�� 系では

���� � � ��� � � ��� � � ��� � ����

を満たす点に到達する。これらを書き換えると

�� � �� � �� � ��� � � ��� � � ��� � � ��� � � ���� � � � ����

でとなる。つまり,�� � �� � �� � ��� � なる量は � から �� への座標変換(ローレ

ンツ変換)によって不変な量である。光の到達する点に限らず,より一般に

�� � �� � �� � �� � ��� � ����

がローレンツ不変量 �!�����" ��)������ であることは,ローレンツ変換により容易

に確かめられる(確かめよ)。

��� �次元時空と世界線

実は,��� �� �� �� を座標とする �次元時空 ���,�+-���������� �(�'�+���� は,上

で導入された �� を(拡張された)距離として持つミンコフスキー空間 �.��%�/�%�

�(�'� と呼ばれる空間になっている� 。簡単のため,座標変換の影響を受けない �� �

軸は省略して ��� �� なる �次元で議論する。

図 ���に示したように,�� � �は �� � ��の ���の直線を表し,原点から出た光

の軌跡である。�� � �なる点の集合は �� � ��� � ゆえ,原点から出た光やどんな質

点も到達できない部分である。この部分と原点との間には因果律が成立しない。(原

��� は負にもなりうるので,通常の距離とは区別しなければならない。

Page 18: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

�� 第 �章 ミンコフスキー空間

図 ���� ミンコフスキー空間と世界線

点で起きた事象 �できごと ��)��� を原因とする事象が発生できない。)逆に �� � �

を満たす点においては原点を出発した質点が到達しうる。

質点の速度は � � �ゆえ,ミンコフスキー空間上では質点の軌跡は図���に記入し

たような接線の傾きの絶対値が�以上の曲線になる。これをこの質点の世界線 �/���-

���� という。特に,等速直線運動では世界線は直線になる。

��� ローレンツ変換の幾何学的解釈

ローレンツ変換はミンコフスキー空間の線形座標変換であるが,通常のユークリッ

ド空間における座標の回転の一般化と見なすことが出来る。これを示すため,まず

通常の �次元ユークリッド空間の回転の復習をしよう。�次元の線形代数である。

図 ���に示したようなユークリッド空間の座標回転は,回転角 を使った線形変換

�� � '�� � � � ��� � � ����

�� � � ��� � � � '�� � � ����

で表される。空間の任意の点と原点の距離は回転により不変に保たれる。

�� � �� � ��� � � ��� � ���

次に,ローレンツ変換

�� � ��� �� � �� ���

��� � ��� � � � � � �� ����

を考察しよう。行列で書くと�� ��

���

� �

�� � ���

��� �

��� �

��

� �����

Page 19: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

���� ローレンツ変換の幾何学的解釈 ��

図 ���� ユークリッド空間の座標回転

� � ���

�� �� である。これらの式は回転 ���� 0 ���� とやや類似しているが,回

転においては係数が '�� � ��� であり,これらの �乗の和が一定

'��� � ���� � � �����

なる関係のため,距離の不変性 ��� が成立している。一方ローレンツ変換 ��� 0

���� では,係数の間に

�� � ���� � � �����

という,�乗の差が �になる恒等式が成立する。このことを反映して,ミンコフス

キー空間の拡張された距離

�� � �� � ��� � �����

が不変に保たれるのである。そこで双曲線関数の間の関係式

'��$� � ���$� � � �����

に着目し,

� � '��$ � �� � ���$ �����

とおくと� ,ローレンツ変換 ��� 0 ���� は

�� � '��$ � �� ���$ � �� �����

��� � � ���$ � � � '��$ � �� ����

という形になり,回転 ���� 0 ���� との類似性がより明らかになる。

さらに

���! � ���$ �� � � � ����

Page 20: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

�� 第 �章 ミンコフスキー空間

図 ���� ミンコフスキー空間の斜交座標変換がローレンツ変換である。光の世界線

� � ��はローレンツ不変であることが見て取れる。

なる角度 !を定義すると,この角度は図 ���にあるように �� 軸と ��� 軸が,それぞ

れ �� ��軸となす角度を表すことがわかる。というのは,まず ��軸は ��� � �なる点

の集合だから,���� より

�� � ���$ � � � ���! � � �����

であり,さらに ��� 軸は �� � �と ����� より

�� ��

���$ �

���!�����

となるからである。したがって,ローレンツ変換 ����� 0 ���� はミンコフスキー空

間の ��� �� 座標と ���� ��� 座標の間の斜交座標変換として理解できる。

��� 虚数角度の回転

さらに興味深いことに,ローレンツ変換はユークリッド空間の回転で,軸の一つ

と回転角を虚数化したものと見なすことが出来る。��� � 空間の回転 ���� 0 ���� で

� "��とおくと

�� � '�� � � � ��� � "�� �����

"��� � � ��� � � � '�� � "�� �����

ここで " とすると

'�� �#�� � #���

�� #�� � #�

�� '��$ �����

��� �#�� � #���

�"� #�� � #�

�"� " ���$ �����

�� � � と ���� � � が対応していることに注意。

Page 21: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

���� 虚数角度の回転 ��

となり,����� 0 ����� は

�� � '��$ � �� ���$ � �� �����

��� � � ���$ � � � '��$ � �� �����

で置き換えられる。これはローレンツ変換 ����� 0 ���� そのものである。

また,� "��という置き換えにより,ユークリッド空間の回転不変量(原点から

の距離)は次のように置き換えられる。

�� � �� � �� � ��� � ����

右辺はミンコフスキー空間のローレンツ不変量に他ならない。

Page 22: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

��

第�章 ローレンツ変換に従う時空の性質

ローレンツ変換は時間と空間を自明でないやり方で混ぜるため,直観ではすぐに

は理解しがたい現象が予言される。これらはすべて実験的に検証されている。

��� ローレンツ収縮

�� 系で �� 軸上に静止している棒を � 系で見ると動いて見える。�� 系で測ったと

きの長さが ��のとき,� 系ではこれより縮んで見える。� 系での測定は,棒の両端

の位置の座標 ��� ����� � �� を同時に測り,それらの差を求めることにより行われ

る� 。図 ���参照。

図 ���� 動いている棒の長さの測定

そこで,�� � へのローレンツ変換

� � ���� � ���� ����

�� � ����� � ��� ����

の第 � 式 ���� において � � ��� �� � ���� �

� � ��� �棒の左端の条件 および � �

��� �� � ���� �

� � ���(棒の右端の条件)とおくと

�� � ����� � ����� ����

�� � ����� � ����� ����

�同時に両端を測るという条件がないと,動いている棒の長さはいくらでも違って測れる。

Page 23: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

���� ローレンツ収縮 �

よってこれらの差を取って,� 系で測定される長さは

�� � �� � �� � ����� � ����� � ���� � ����� ����

である。�� は静止時の長さ(固有長)�(��(�� ���1�$ 。また第 �式 ���� で � � ��

(� 系での測定時刻)とおくと

��� � ������ � ���� �左端の測定時刻 ����

��� � ������ � ���� �右端の測定時刻 ���

そこで��� � ��� � ��� � ������ � ��� � ��� より

���� � ��� � � ��� ��� � ��

��� ���

が導かれる。

まず��� � �に注目しよう。�系で同時に行う測定は ��系では同時でないのであ

る。これは同時性の相対性 �������)��* �� ���,�������* と呼ばれる現象の一つであ

る。��� を ���� に入れると,

�� � �

��� � ��

���

�� ������ �� �

��� �� �� � �� ����

つまり � 系から見ると棒は縮んで見えるのである。ローレンツ収縮 �!�����" '��+

���'���� と言われる。

�� 系の立場から言うと,��� にあるように��� � �つまり ��� � ��� ゆえ,� 系の

測定の仕方というのはまず棒の先端の位置を時刻 ���で測ってから,その後 ���におい

て後端の位置を測っている。�つの測定時刻の間に棒は動いているのだから,� 系

で縮んで見えるのは当然である。

さらにこの結論の起源をさかのぼると,��� � �は ���� 0 ��� に行き着く。ロー

レンツ変換により時空が入れ混じって �� � �になること,つまり時間は観測者によ

り流れ方が違い,ニュートン力学の前提になっている普遍的な絶対時間なるものは

存在しないことがそもそもの原因になっていることが分かる。次に述べる時計の遅

れにもこのことは顕著に現れる。ニュートン力学では絶対時間の存在が第 �法則を

通して理論全体の前提条件になっているが,特殊相対性理論では時間の流れ方は相

対性原理(特に光速度不変の原理)からの帰結として導かれるのである。

ローレンツ収縮の影響が実際どの程度なのかについての感覚をつかむために,数

字で計算してみよう。例えば,旅客機の巡航速度に近い � � ���� %��$のときは,

� � �� �� %���より

� ��

�� ������

�����

���

�� ��� �� � ���� ���

���� �� � ���� ��� �����

これを�

�� �� � � � ���� に代入すると,�� � � � の棒の縮みは ����� �� �

���� ����� �となる。ちなみに,水素原子の大きさはおよそ ������,陽子の大き

さはおよそ �����なので,旅客機程度の速さではローレンツ収縮の効果は完全に無

Page 24: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

� 第 �章 ローレンツ変換に従う時空の性質

視できる。ところが光速近くで移動する物体では話が違ってくる。例えば � � �����

とすると,��� �� �

��� ����� �

��� ��� ���� �

��

�� ��� ���� ��

���� ��

�� ��� � ���� �����

と近似計算できる。これは全く無視できない効果を与える。これほど極端に速い運

動でなくても,カーナビでは人工衛星と地表との距離が長いことと光速が大きいた

めに,特殊相対論および一般相対論による補正効果を取り入れなければ実用的な精

度には達しない。

��� 時計の遅れ

��系の原点に固定された時計は �系で見るとゆっくり進むように見える。これを

動く時計の遅れ �-���* �� ��)��1 '��'% という。式で示せば,���� において �� � �

��� 系の原点 として,時計の刻みは

�� � ���� ������� ��

� ��� �����

ということになる。静止している時計の読みを固有時 �(��(�� ���� $ と言う。上式

では �� が固有時である。

光時計 ��(��'�� '��'% を使うと動く時計の遅れはより明確な形で理解できる。図

���のように長さ �� の棒の下端に電球をつけ,点灯する。光時計が静止している系

図 ���� 動いている光時計の進み方

で,光が下端を出て上端の鏡に当たって反射され元の位置まで戻ってくるのに要す

る固有時間 $ を単位時間とする。

$ �����

�����

この光時計が速度 �で右に動いて見えるような座標系では,光が進む距離は

� � ��

��� � ������ � �����

Page 25: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

���� 双子のパラドックス ��

である。ここで �� は光が上端の鏡に当たって元の位置まで帰ってくるまでの時間

(動く時計の単位時間)である。�� は

�� ��

��

��

��� � ������ �

������

を満たすから,これを解いて

�� �����

���� ��

�$�

�� ��� $ �����

これは ����� と同じ式である。動く時計では,光が長い距離を走らないといけない

から単位時間がのび,遅れて見えるのである。

実際の数字で時計の遅れの効果の大きさを見てみよう。$ � ���年 � ���� ��������秒 � �����秒のとき,前節の例の � � ���だと ��$ � ������秒となり大

した効果でない。ところが � � �����だと � � ���

�� �� � ���

���� ��

������

はおよそ になり,大幅な時間の遅れが起きる。例えば,ミューオンは寿命が ��� �

と短く光速で走ったとしても ���� ��� � �� ��� � ����しか進む事が出来ない。

しかし上空で生成したミューオンは大気中約 ��%�の距離を通り抜けて地上に達し

ている。これはミューオンが光速の �����2の速さで進むとして地上から見て寿命

が ��倍に伸びると考えることによって理解できる。

また,�&3によるナビゲーションシステムでは,特殊相対論に基づく時間の遅れ

の効果と一般相対論の効果により時計が速く進む現象� を考慮した補正が取り入れ

られている。

��� 双子のパラドックス

��系の原点に固定されていて �系から見ると動いて見える時計が遅れるというこ

とは,�系の原点に固定されている時計は ��系から見ると遅れて見えるということ

にもなる。どちらが「真実」なのかという問題が科学的に意味のある問いとして成

立するためには,�つの時計を照合する必要がある。もっとも自然な照合は,�つの

時計を同じ場所に同時に持ってきて読みを見ることである。

双子のパラドックス ��/�� (���-�4 として知られる問題は,双子のうちの片方 5

が地球(近似的には慣性系)にとどまっている間に,もう一方 6が速いロケットに

乗って長い宇宙旅行をして地球に帰ってきたときにどちらがより歳を取っているか

という話である。答えを先に言っておくと,ロケットに乗って旅をしてきた6が若

い �時計が遅れている 。

まず,5は慣性系に留まるため特殊相対性理論を自分の観測に適用することが出

来るが,6は加速と減速を行って地球から脱出してまた帰ってくるので単純にはい

かないことに注意しよう。このことからすぐに,5の結論(6の時計がゆっくり進

�重力加速度があると時計が遅くなるが,地上より人工衛星の軌道上の方が重力が小さいので地上の時計と比べると衛生上の時計は速く進んで見える。

Page 26: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

�� 第 �章 ローレンツ変換に従う時空の性質

み続けるように見える)のみが信頼できることがわかる。もう少し定量的に書くと

以下の通り。

慣性系に対して加速度を持った座標系であっても,各瞬間にはある速度を持って

いるから同じ速度を持つ慣性系 �� で瞬間的な観測の様子は記述出来る。このとき,

��系の原点にある時計が微小時間�$�固有時間 を刻んだとすると,ミンコフスキー

空間の距離のローレンツ不変性より

��� � � ���� � � ����$ � ����

が成立する。�は � 系の微小位置 �空間 ベクトルである。また ��� � �に注意しよ

う ��� 系の原点に固定された時計だから 。よって

�$ � ��

��� �

��

���

��

������

したがって,� 系から見たときの速度 � �����が �とともに変化するとき,�つ

の事象 &0 7の固有時間間隔は

�$ �

� �

��� �� �

���� �����

で表される。

静止している時計ではもちろん

�$ � �� � �� �����

また動いている時計を観測すると,加速度の有無によらず

�$ �

� �

�� � �� � �� �����

つまり固有時間は,� 系からの観測値より必ず小さい。

加速度のある ��系では光が直進しないために,特殊相対性理論が適用できないの

である。図 ���に示すように加速度は重力と同じ効果を持ち,光の進路は曲ってし

まう。

��� ドップラー効果 � 音の場合

ドップラー効果 �8�((��� �9�'� は音だけでなく,光についても存在する。光源と

観測者が相対的に近づいているときには振動数は上がるし(青方偏移)�:�,� �$��� ,

遠ざかっていれば下がる(赤方偏移)���- �$��� 。ただし光の場合には,音と違って

座標系によらず波の速さが一定であるために振動数の変化の仕方が音と異なってく

る。これを確かめるため,まず音のドップラー効果の復習をしよう。

Page 27: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

���� ドップラー効果 �� 音の場合 ��

図 ���� 等価原理。左のように加速度のないロケット内では光は直進するが,右のよ

うに加速度のあるロケット内の右端から発射された光は,左端に到達する間までに

曲がってしまうように見える。加速度を %とし左端から右端までの到達時間を �と

すると,光は鉛直方向に %����だけ落ちる。

音源 �� 系に固定 が,空気に対して静止している観測者 ��� 系)に近づいている

�図 ��� とき � 系での音の波形を

� ������� �� � � ���

���

��� ��

������

とする。ここでは �� 系が静止系であることに注意。波数 �は波長 �と

図 ���� 音源が静止観測者に近づいてるときの音のドップラー効果

� ���

������

なる関係がある。�� 系では同じ波の位相は

���� � ���� �����

と書ける。重要なことは,音の場合には絶対静止系 ��が存在して音速がその系で定

義されること,およびガリレイ変換

�� � � �����

�� � � � � � �����

を適用するべきことである。このとき ����� は � 系の見方をすると

���� ��� � ��� � ����

Page 28: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

�� 第 �章 ローレンツ変換に従う時空の性質

と書き換えられる。これが ����� の位相と一致するはずだから

� � �� � ���� � � �� ����

がわかる。音速は �� 系の角振動数と波数の比である。

�� ���

�������

これを ���� に代入して

� � �� � ��

��� � ��

��� �

��

������

したがって観測者の立場での角振動数 �� は,音源の立場での �より大きい。

�� ��

�� �

��

� � �����

次に,観測者の方が速度 � で静止音源に近づいているときには � 系(絶対静止

系)での速度が音速である。

�� ��

������

よって ���� より

�� � � � �� � �

�� �

��

�� � �����

�つの場合 ����� 0 ����� とも �� � �であるが少々形が異なることに注意しよう。こ

れに対して光では同じ形になるのである。

��� ドップラー効果 � 光の場合

光でも基本的な話の筋は同じようにして進められる。ガリレイ変換の代わりにロー

レンツ変換

��� � ���� � �� �����

�� � ��� � ��� �����

を使うことと,光速が系によらないことが相違点である。位相の式 ����� にローレ

ンツ変換を施すと

����� � ��� � ����� ��

�� � ���� � ���

� � � ���� � ���� � �����

����� と一致するという条件より

� � ���� � ���� ����

� � ���� � ���

� ����

Page 29: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

���� ドップラー効果 �� 光の場合 ��

つまり,��� ��� は ��� �� と同じ形のローレンツ変換性を持つ。観測者の立場の角

振動数は

�� � ��� � ��� � ��� � �� �����

したがって

�� � ���� � � � �

�� � �

�� ������

となる。� の符号,つまり � の符号により �� が �に比べて大きくなったり小さく

なったりするドップラー効果が現れるが,

� � ��

��� �

� � ������

より,音とは違って観測者と光源の相対速度だけに依存し,どちらが実際に動いて

いるかにはよらない。絶対静止系の存在を認めない相対論の立場からは,当然の結

果ではある。

Page 30: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

��

第�章 運動量と質量と運動方程式

時間や空間がニュートン力学と違った変換性を持つということは,質点の運動を

記述する運動方程式も書き換える必要があることを意味する。本章では運動量の概

念の再検討から初めて,相対論的運動方程式を導く。

��� 完全非弾性散乱

�つの同一粒子が完全非弾性散乱をする場合,運動量と質量の保存則が成立する

ことを要請するとどうなるかを考察しよう。実験室系 � 系において,ともに質量

の粒子の一方5が左から速度 �で走ってきて静止している粒子6に衝突する。衝突

後は �つの粒子はくっついて,質量 �の単一粒子として右向きに速度 � で動くと

する(図 ���左)。

図 ���� �つの同一粒子の完全非弾性散乱。実験室系 �左)と重心系 �右)。

この様子を重心系 ��で見ることにする。まず,衝突後は重心系では静止している

ことは明らかだから,��は �に対して � で動いていることが分かる。よって,衝突

前には � 系で静止していた6は �� 系では左に � で動いていたし,5は右に � で

動いていたことになる �図 ���右 。� と � の関係は,� 系で � で動いている 5を,

� 系に対して � で動く �� 系で見ると � に見えるのだから,相対論による速度の合

成則 ���� で �� � �� ��� � � とおいて

� ���

� �� �

��

����

となる。

運動量の保存則が成立していることを要請したいのだが,まず ��系では自明であ

る。� 系では,衝突前の

� ���

� �� �

��

����

Page 31: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

���� 相対論的運動量 ��

と衝突後の �� は異なっている。運動量保存則を理論を構築する際の指導原理と

する限り,今までの議論のどこかを修正しなければならない。

��� 相対論的運動量

速度の合成則 ���� はすでに相対論的考察から導かれたのだから,修正するとすれ

ば質量しかない。質量が速度 ��正確にはその絶対値としての速さ による��

として,その帰結を見てみよう。

衝突後の質量を& として,衝突前後で質量と運動量が保存されることを要請す

る� 。

�� � �� � &�� ����

�� � � &�� � ����

���� を ���� に入れて

�� � � ��� � � � ����

ただし�� � � と書いた(静止質量)����� ���� 。これより

��

��

� � �����

左辺には � は現れないから,右辺の � を �で表しておこう。���� を � について解

くと

� ���

���

��� ��

��

����

これを ���� の右辺に代入して整理すると

��

��

��

�� ��

��

���

�問題:確認せよ。  負符号は明らかにおかしいから落として,

�� ���

�� ��

��

� �� ����

を得る。質量が速度 �によって変わるのである。これに伴って運動量も

� �� ����� ��

��

� �� �����

�後で分かるように,質量保存則は実はエネルギー保存則である。運動量とエネルギーの組は,空間と時間の組と同じようにローレンツ変換で入れ混じり,片方だけの保存則を要請すると理論に一貫性が欠けることになる。

Page 32: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

�� 第 �章 運動量と質量と運動方程式

と修正される。もちろん,非相対論的極限 ��� �では通常の定義に戻る。

���� によると物体は速度が速くなればなるほど質量が大きくなり,� �の極限

では� � �である限り無限の質量を持つ。これは,�でない静止質量を持つ物質

の速度は光速に達することが出来ないことを意味する。

��� 運動方程式

質量と運動量の定義に基づいて運動方程式を立てよう。相対論的運動量 ����� は,

外力が働いてない �粒子系の完全非弾性衝突で系の全運動量が保存されるように定

義された。そこで,相対論的運動方程式を立てるための指導原理として

�� 力が働いてないとき,運動量 ����� が時間変化しないこと。

�� ��� �でニュートン力学の運動方程式に帰着すること。

�� 座標系に依存しない形式に書けること。

を設定する。これらを満たすもっとも自然な方程式は

�� �

��

���� ��

��

� � �����

であろう� 。これが特殊相対性理論における運動方程式である。

論理の筋道としては,上式はむしろ力 � の定義としてとらえられるべきである。

左辺に出てくる運動量その他の量はすでに定義されているが,力とは何かはまだ定

義されてないからである。ニュートン力学においてもこの事情は同じで,運動方程

式が力を定義しているのである。

��� エネルギー

力が定義されると,力がする仕事すなわちエネルギーが定義できるようになる。

力 � がある物体に働いてその物体を ��だけ動かしたとき,力が物体にした仕事は

�' � � � �� �����

とするのが相対論でも自然である。右辺をより詳細に調べるため,力の �成分を運

動方程式 ����� で求めると

(� �� ;����� ��

��

������� ;�� � �� ;�� � �� ;��

���

�� ��

��

��� �����

�第 番目の条件は狭義の特殊相対性原理である。これについては次の章で検討する。

Page 33: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

���� 相対論的エネルギーの特徴 �

(� � (� も同様。これらを ����� に代入して,�� � ��より

�' � �(����� � (����� � (�����

���

�� ��

��

��� ��� ;�� � �� ;�� � �� ;�� ��

� �

���� ��

���� ��

��

��� �����

�問題�確認せよ  したがって

) ���

���� ��

��

� ���� �����

によってエネルギーが定義できる。

��� 相対論的エネルギーの特徴

相対論的エネルギー ����� のもつ重要な特徴をいくつかあげておこう。まず,� � �

のときも物質はエネルギー

)� � ��� �����

を持つ。静止エネルギーという。質量がエネルギーに転化しうることを意味する重

大な結果である。さらに,質量の式 ���� とあわせて

) � ��

という有名な式が導かれる。質量とエネルギーの関係についての数字を見てみよう。

� � � %1の物質をすべてエネルギーに転換できたとすると,)� � ��� � �� ���

��� � � �� ��� <である。日本の年間発電量は約 ���� %/$����� � ��� � ���� �

���� ���� <であり,一日あたりに直すと ���� �������� � ��� <となる。よって

�%1の物質のエネルギーで �日間の電力をすべてまかなえる。

全エネルギー ����� から静止エネルギー ����� を引き去った残りが運動エネル

ギーである。運動エネルギーは,非相対論的極限 ��� �では古典力学の運動エネ

ルギーに帰着する。

� � )�)� � ���

���� ��

�� ��

��

� �

��� � ��

�� �

��

���� �

��

���

�����

Page 34: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

� 第 �章 運動量と質量と運動方程式

運動量とエネルギーの式 ����� 0 ����� からこれらの関係

)� � ���� � ��*� ����

が成立することが分かる。特に,静止質量をもたない光子などでは

) � �* �����

である。

Page 35: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

��

第�章 �元ベクトルと運動方程式の共変形

特殊相対性原理は,物理法則がどの座標系でも同じ形に書けることを要請する。

相対論的運動方程式がこの要請を満たすことを示すため,まず �元ベクトルの概念

を導入し,それを使って運動方程式を書き換える。

��� �元ベクトル

時空の微小要素のローレンツ変換

��� � ����� �� � �� � ���� ��� ����

を次のようにベクトルと行列の積で表現してみよう。���������

����

���

���

���

��������

���������

� ��� � �

��� � � �

� � � �

� � � �

��������

���������

���

��

��

��

��������

����

を,記号 �� � ��� �� � �� �� � �� �� � �を使って

���� � %��� ����

と書こう。ただし,重複した添字 � については � から � までの和を取ることにす

る(アインシュタインの規約)�=�������>� '��)������ 。念のため,係数は %�� �

�� %�� � ��� 等である。時空の微小要素に限らず,���� にしたがって座標系の間

の変換を受ける �成分のベクトル ����

��� � %�� ����

を �元ベクトル ���,� )�'��� という。������� がその一例である。念のためこれら

の変換則 ���� と ���� を上式にあわせた形で書いておくと

��

�� �

���� ���

�� ��� � �

��� � �

�����

となる。

Page 36: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

�� 第 �章 �元ベクトルと運動方程式の共変形

式 ����� で���が固有時間の間隔であり,定義によりローレンツ変換に対して不

変である。すなわち

�$ ���

�����

はローレンツ不変である。したがって �元ベクトル ����� ���� ���� ��� を �$ で割っ

たもの

� �

���������

����$����$����$����$

��������

� �

���������

���������������

��������

� �

���������

��

��

��

��������

���

は �元ベクトルである。�を �元速度 ���,� )���'��* という。�元速度から作られ

るローレンツ不変量は

��� � ��� � ��� � ��� � �� ���

である。

�元速度に静止質量をかけてもやはり �元ベクトルである。これが �元運動量 ���,�

������,� ���������

*�

*�

*�

*�

��������

� ��

���������

��

��

��

��������

����

である。�元運動量の空間成分は相対論的運動量 ����� であり,時間成分は相対論

的エネルギー ����� を �で割ったものである。つまり �)��� 。よって,ローレン

ツ変換により運動量とエネルギーが入れ混じる。エネルギーと運動量で具体的に書

けば

)�

�� �

�)

�� �*�

������

*�� � �

�*� � �

)

������

となる。

��� 運動方程式の共変形

相対論的運動方程式 ����� を �元速度 �を使って書き直してみよう。����� は

��

��� � � �����

Page 37: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

���� 運動方程式の共変形 ��

であるが,左辺の ��を固有時間 �$ � ���� にするには両辺に � をかけると良い。

���

�$� �� � �����

これは,�元運動量 ���� の空間成分の固有時間での微分が �� � に等しいことを

示している。�つの成分についての方程式を作るため,���� の時間成分の微分を取

ると,����� より

����

���

��� �

��

)

��� � �

�����

となる。最後の等式は,仕事とエネルギーの関係を示す。固有時間で書き換えると

�$� �

�� � �

� � �

��

�)

�������

����� と ����� をまとめて

�����$

� �� �����

と書くことにする。左辺は �元ベクトルだから右辺も �元ベクトルである。�元力

���,� ���'� あるいはミンコフスキー力 �.��%�/�%� ���'� という。その成分は

�� ��

�� � �

�)

��� � �� ����

である。����� はローレンツ変換によって別の座標系に移っても全く同じ形をして

いる。これが相対論的運動方程式の共変形式である。

運動方程式だけでなく,電磁気学のマックスウェル方程式も共変形式にかける。注

目すべきことは,マックスウェル方程式はニュートンの運動方程式と違って特に変

更はしなくても共変な形に表現できることである。つまり特殊相対性原理をはじめ

から満たしている。これについての詳細は「電磁気学第 �」で詳しく学ぶ。

Page 38: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

第��部

量子論

Page 39: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に
Page 40: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

��

第�章 光の粒子性とエネルギー量子

この章では,光(あるいは電磁波)が波としての性質と同時に粒子としての性質

も持っていることを見る。量子力学の誕生と深く関わる話である。なお,本講義ノー

トでの説明の順序は論理的な明快さを重視して,必ずしも発見の歴史的な順序には

従ってない。

�� �重スリットの干渉実験

図 ��のように,�つの狭いスリット ��� �� をあけた壁の前に光源を置き,壁の

後ろにあるスクリーンに映る光を調べる。まず ��と ��の両方をあけておくと5の

ように干渉縞が観察される。光が波として振る舞うため,�つのスリットからスク

リーン上の点までの距離に応じた位相差に応じて強めあったり弱めあったりするの

である。次にスリットを片方閉じると,図の 6のように開いたスリットに一番近い

図 ��� �重スリットから来る光の干渉実験

点を中心として明るさがなめらかに分布する� 。片方ずつ開いて観測した結果を足

しあげると図の ?のように �つのスリットの真ん中を中心とした単純な形になる。

5のような干渉縞は現れない。6の結果は光がスリットから噴出された古典的な粒

�厳密には,ひとつのスリットの幅と光の波長が同程度のときには光がスリットのどこを通ったかによってスクリーンまでの距離が少し違ってくるため干渉が起きる。

Page 41: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

��� 光電効果 ��

子であると思ってもあるいは波であると思ってもどちらでも理解できるが,5の干

渉縞は波でないと生じない。

次に,光源を非常に弱くしていくと奇妙な現象に遭遇する。スリット ��だけを開

いたときには図 ���� のように ��の後方を中心として,光の「粒」が �個ずつぽつ

ぽつと届く。あたかも粒子のように見えるのである。十分長時間測定すると,この

粒子の到達する場所の分布が図 ��の 6のように �� のすぐ後ろを中心とした単純

な形をしていることが分かる。��だけを開いたときも同じである。すると仮に光が

図 ��� 光源が非常に弱いときの干渉実験

古典的な粒子だとすると,両方のスリットが開いたときには図 ��の ?のように両

スリットの中点の後ろを中心とする単純な山になるだろうと思われる。しかし実際

には,図 ���' のように �個 �個の光の粒子 �光子)�($���� が到達する場所の分

布は濃淡を持つ。測定をずっと続けていくと,次第に図 ��の 5の干渉縞に近づい

ていく �- 。光源を極端に弱くして一度に�個の光子しかスクリーンに到達しないよ

うにしても同じである。ひとつひとつの光子は観測される時点では粒子のようにス

クリーンの �点に集中して到達するが,観測されるまでは自分自身と干渉をする波

のように振る舞うのである。これを光の(粒子性と波動性の)二重性 �(����'��+/�)�

-,����* という。特に,一個の光子ががどの位置で観測されるかという確率が波の

強さに比例していることに注意してほしい。

�� 光電効果

光の粒子性は別の実験でも確かめられる。金属に光を当てると電子が飛び出して

くる。光電効果 �($���+���'���' �9�'� という。この現象をよく調べると,飛び出し

Page 42: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

�� 第 章 光の粒子性とエネルギー量子

てくる電子の運動エネルギーの最大値 )��� と光の振動数 + の間には一次関数の関

係があることが分かる。

)��� � ,+ �' ���

ここで比例定数 ,はプランク定数 �&���'%>� '������� と呼ばれる基本定数で

, � ������ ����� �< � � ���

という値を持つ。' は仕事関数 �/��% �,�'���� と呼ばれ,金属の種類や表面状態

で決まっている。光電効果は次のような特徴を持っている。

�� + が +� � '�,より大きければ,どんな弱い光でも当てた瞬間に電子が飛び

出す。

�� + が +� より小さければ,どんな強い光を当てても電子は出てこない。

�� + が +� より大きいとき,+ を一定にして光を強くしていくと出てくる電子の

数は光の強さに比例して増加するが,一個一個の電子の持つ運動エネルギー

の最大値は ��� の式のままである。

図 ��� 光電効果における電子のエネルギーと光の振動数の関係

光が波であり,その波のエネルギーを光が金属中の電子に与えて光電効果が起こる

という考え方ではこれらの現象は非常に理解が困難である。一方,光が粒子 �光子

であり一個の光子は,+ というエネルギー �エネルギー量子 �����1* @,���,� を持

つとすると,一個の電子が金属を離れるのに要する最低エネルギーが仕事関数' で

あるとしてすべて説明が付く。一個の光子が一個の電子にエネルギー,+を与えて消

滅し,電子はこのうち少なくとも' を脱出用のエネルギーに使い,残り ,+�' �あ

るいはそれ以下 が金属外に出た電子の運動エネルギーになっているのである。こ

のように,光電効果は光の粒子性を明確に示している。

Page 43: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

��� コンプトン効果 �

�� コンプトン効果

光 �電磁波)は物質に当たると散乱される。光が波ならば,散乱は入射波と同じ

振動数・波長を持つ。ところが電磁波の一種であるA線を物質に当てて散乱されて

くるときの波長を測ってみると,図 ��のように入射A線とは異なる波長もはっき

りと観察される。コンプトン効果 �?��(��� �9�'� という。コンプトン効果は,光

図 ��� 物質で散乱された A線の波長の分布

が質量 �の粒子の集まりであると考えると以下のように説明できる。

エネルギーと運動量の関係 ���� において静止質量を �とした式 ����� ) � *�と

エネルギーの関係) � ,+ �アインシュタインの式 �=�������>� �������� が光子につ

いて成立するとする。このとき

* �,+

である。光子が静止質量� の静止電子に弾性衝突するときエネルギーと運動量が

保存されるとする(図 ��)。衝突後のA線の振動数を +�0 電子の速さを �としてエ

図 ��� コンプトン散乱

ネルギー保存則は

,+ � ��� � ,+� �

����

�� ��

�� �

����

Page 44: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

� 第 章 光の粒子性とエネルギー量子

運動量保存則は,図 ��の角度 � !を使って

,+

��

,+�

�'�� �

����� ��

'��! ���

,+�

���� �

����� ��

���! ���

問題は,散乱前後の波長 � � ��+ と �� � ��+� の間の関係を求めることである。

��� と ��� から !を消去し,さらに ��� により �を消去すると次式が得られる。

�問�確認せよ。

,++���� '�� � ����+ � +� ���

波長で書き換えると

�� � � �,

����� '�� ��

散乱角 の関数として波長のずれ����を与えるこの式は実験と良く一致している。

こうしてコンプトン効果からも,光はエネルギー) � ,+ と運動量 * � )��を持つ

光子の集まりとして理解できる。

Page 45: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

��

第章 電子の波動性と不確定性原理

光が粒子と波の �重性を持っているなら,物質も波として振る舞うことがあって

も良いように思われる。この章では電子が波の性質を持っていることを実証する実

験を紹介する。さらに電子の位置と運動量の同時測定精度に原理的な限界があるこ

とを示す。

��� 電子線の干渉と回折

図 ��に示した装置を使って,一定速度の電子ビーム(電子線)を電子線バイプ

リズムを通したあと検出器で観測する。電子線バイプリズムというのは,中心にあ

図 ��� 電子線バイプリズムによる干渉実験の模式図

るごく細いフィラメントに正電荷を与えてその左右を通過する電子線を曲げて干渉

させる装置である。電子線をごく弱くしていって検出器に到達する電子をモニター

画面で見ていくと,図 ��の �� のように,電子が一つ一つ粒として現れる。粒の跡

が次第に積み重なっていき,長い時間待つと図の �' のように干渉縞が現れる。電子

線をごく弱くして一度に一個の電子しか装置内にないようにしても十分長い時間待

てば干渉縞が見えるのである。光の干渉実験と全く同様の状況であり,中心のフィ

ラメントの右と左を通った電子の波が干渉していると解釈しなければならない。ま

た,各位置での波の強さがそこで電子が観測される確率に比例していると思われる。

電子の波は回折も示す。電子を結晶に入射したとき電子の波の波長が結晶の格子

間隔と同程度なら回折のパターンが出来る。電子線の回折実験は,電子が粒子とし

てだけではなく波としての性質も持っていることを初めて示した実験として有名で

Page 46: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

�� 第 章 電子の波動性と不確定性原理

図 ��� 電子線バイプリズムによる干渉実験。外村彰著「量子力学への招待」�岩波

書店「物理の世界」 による。�著作権上,ウェブ公開版では表示出来ません。

ある。今日では電子線の回折は,A線回折と並んで物質のミクロな構造を探る有力

な手段となっている。

��� ド・ブロイ波

電子が波としても振る舞うなら,波を特徴付ける重要な量である波長はどのくら

いになるだろう。ド・ブロイは,光について成立する式

* �,+

����

から光の特性である �を � � �+ により消去した式

� �,

*���

が物質一般の波長を与えると提唱した �ド・ブロイの関係式 �-� 6��1��>� �������� あ

るいはド・ブロイ波長 �-� 6��1��>� /�)� ���1�$ の式 。この波長で特徴付けられる

物質の波をド・ブロイ波 �-� 6��1�� /�)� という。

ド・ブロイの関係式 ��� を速度が光速よりずっと遅い非相対論的な粒子につい

て適用すると,) � ��

� より,エネルギー) を持つ自由粒子(ポテンシャルを受け

ない粒子)のド・ブロイ波長は

� �,�

�)���

で与えられる。電子のド・ブロイ波長を見積もるために例えば,� � ����B の電圧

で加速した電子の場合の数字

) � #� � ����� ����� � ����� ��� �<

Page 47: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

��� 不確定性原理 ��

, � ����� ����� �< � � � ����� ����� �%1

を入れると

� � ���� ����� �� � ���� ��� � ��� C5 ���

これはだいたい原子の大きさである。また結晶中の原子の間の間隔(格子定数)は

普通この数倍であり,電子線が回折を起こすのである。

波長に比べて十分大きなスケールで見ると波としての特性は見えなくなり,電子

は粒子と見なせる。上記の電子の例で言えば,例えば可視光の波長 �数千C5 程度の

スケールでの現象を扱う限り電子は粒子として振る舞うのである。逆に波長と同程

度かそれ以下になると,回折や干渉などの波に特有の現象が現れる。電子線バイプ

リズムによる干渉実験や結晶格子での回折が典型例である。また原子の大きさも �C5

程度であり原子内の電子も波として振る舞うため,これを考慮した理論を作る必要

がある。

��� 不確定性原理

電子は観測されるまでは波として振る舞うが,観測された瞬間に空間上の一点だ

けに存在する粒子として現れる。この �重性の一つの帰結として,位置と運動量の

測定精度に原理的な限界があるというハイゼンベルグの不確定性原理 �D�����:��1>�

,�'�������* (���'�(�� がある。存在確率を記述する波としてみると空間的な広がり

があるから,電子が粒子として観測される位置や運動量をあらかじめ完璧に予想す

るのはどんなに工夫をしてもある精度以上は出来ないというのである。

図 ��のように,電子を幅 �の狭いスリットを通してスクリーンに入射させたとし

よう。電子がスリットを通った段階で電子の位置はスリット間隔 �程度の精度で決

図 ��� 電子線の回折による不確定性

まる。これを�� � �と書くことにする。実験を繰り返すと回折によりスクリーン

上の各点に電子が当たる回数が多いか少ないか応じて明暗の縞模様が出来るが,中

Page 48: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

�� 第 章 電子の波動性と不確定性原理

央の明部からすぐ隣の明部までの角度 は,図 ��のような経路差についての考察

から

� ��� � � ���

であることが分かる。電子の運動量はスリットを通る前は図 ��で言って右向きの

図 ��� 回折における経路差

成分しか持ってなかったのだが,スリットを通った後は上下の成分も多少持つよう

になるのである。運動量の絶対値 *は変わらないから図 ��から分かるとおり,上

下の成分に �* � * ��� 程度の不確定性が生じることになる。したがって,スリッ

図 ��� 回折により運動量が上下方向の成分を持つようになる。

トを通過することに伴って生じた位置と運動量の不確定性の積は

�� ��* � � � * ��� � �* � , ���

である。最後の等式はド・ブロイの関係である。電子の位置と運動量を同時に正確

に測定しようとしても,測定精度には電子が波としての性質を持っている以上どう

しても越えられない原理的な限界があるということである。中心からもっと離れた

明部の可能性も考慮すると,一般に次式が成立する。

���* � , ��

Page 49: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

��� 不確定性原理 ��

これが不確定性関係あるいは不確定性原理である。この不等式はこれ以下は絶対に

許されないという厳密なものではなく,およそこの程度より大きくなるということ

を意味する。

いくつか注釈が必要である。まず,不確定性関係 ��� の右辺は非常に小さい数で

あるプランク定数になっていることに注目しよう。古典力学はプランク定数を �と

した極限と考えることが出来るが �古典極限 �'�����'�� ����� � ,この極限では不確

定性は消失する。古典力学では位置と運動量を同時にいくらでも正確に測定できる

のである。

初めてこの話を聞いた人は,図 ��みたいなことをして測定するから位置や運動

量が不確定になったのではないか,何もしなければ(例えばスリットに入る前は)

位置も運動量もきちんと決まっていたではないか,と思うかもしれない。しかしそ

れは違う。位置は測定しなければ分からないのである。ある場所に電子がいたかど

うかを測定するには,そこにスリットを設ける必要があるのである。あえて言えば,

スリットを通る前は位置についての情報がなかったという意味で位置の不確定さは

��� だったのである。式 ��� で��をどんどん大きくしていくと�*は �に

近づく。図 ��でスリットを通る前は運動量は上下成分を持たなかったという意味

で�* �であるから矛盾がない。スリットを通る前も不確定性原理を満たしてい

たと考えて良いのである。

測定という人間の行為を理論に取り入れるから話が混乱したのであって,測定な

どしなくても電子はある一定の位置と運動量を持っているはずだから,不確定性原

理というのは自然の客観的で正確な記述ではないという意見はどうだろう。残念な

がら,今日の標準的な量子力学の解釈ではこの立場は受け入れられてない。物理は

自然を人間が測定したときにどう見えるかを記述する学問であり,測定とは関わり

ない存在についての概念上の考察は形而上学(平たく言えば哲学)の領分となる。

後ほど述べるように,シュレディンガー方程式で記述される電子 �や物質一般 の波

は,測定を行ったときの電子の各位置での存在確率を決定する。確率以上のことは

原理的に分からないのである。もちろん日常的な(マクロなスケールの)レベルで

はプランク定数 ,は実質的に �と見なしてよく,不確定性原理が目に見える効果を

現すことは普通はない。

最後に,時間とエネルギーの測定精度の間にも不確定性関係

�)�� � , ��

が成立することを指摘しておこう。位置の測定に不確定性��があるときこれは,速

さ �で運動する電子においては測定時間に

�� ���

����

�このことは例えば,振動数 の光子が �個ある時と ���個ある時のエネルギーの差 ��������� �� が �� � の極限で � になり,古典理論と同様にエネルギーが連続値を取れるようになることから分かる。

Page 50: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

�� 第 章 電子の波動性と不確定性原理

の不確定さがあると見なして良い。さらに,運動量の不確定さ�*はエネルギーの

不確定さに結びつく。

�) � �

�*�

��

*�*

� ��* ����

よって

�)�� � ���* � , ����

が成り立つ。限られた時間の範囲��で測定できるエネルギーの値には ,���程度

以上の誤差が避けられないのである。

なお,不確定性関係は次の形に拡張できることが小澤により最近明らかにされた。

���* � -�* �� � -�� �* � E,

�����

ここで��は測定誤差,�*は測定による運動量の乱れ,-�* � -�� は波動関数から

計算した運動量と位置の標準偏差である。測定値と波動関数自体が持つ性質を区別

して評価した重要な式である。

Page 51: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

��

第章 ボーアの原子模型と前期量子論

物質も光も粒子と波の二重性を持つことが分かった。より具体的・定量的に波の

性質を調べるには波動方程式 �シュレディンガー方程式 を立てなければならない。

その話は次章でするがその前に,シュレディンガー方程式が提案される以前に発達

していた原子の模型について解説する。現在の立場からすると,量子力学を学ぶ上

で論理的には必ずしも必須ではない話だし実用上の意義も薄いが,歴史的に非常に

重要な役割を果たしたし,またごく簡潔な推論によりそれまで全く理解出来なかっ

た実験結果を完璧に説明できるようになる様子は今日でも十分鑑賞に値する。

��� ボーアの原子模型

原子は正電荷を帯びた重い原子核と負電荷を持つ軽い電子からなることが����年

過ぎまでにラザフォードの実験で明らかになっていた。しかし,電子がクーロン力

で原子核に引きつけられてその周りを回転しているという古典的な描像では,電子

は加速度を持つために電磁波を放出してエネルギーを次第に失い,急速に原子核に

向かって「落ち込んで」いく。原子が現実に持っている非常に長期にわたる安定性

はどうしても理解できない。また,水素原子などの気体原子で見いだされていると

びとびのスペクトル(原子の出す光の波長の集まり)は,連続エネルギーを許す古

典理論ではとても説明できない。

そこで,電子が波としての性質も持っていることを考慮し,電子が原子核の周り

を一周するときの軌道の長さがド・ブロイ波長の整数倍で定常波を作って安定化し

ていると考えることにする �図 ��� 。軌道半径を �とすると,円軌道を仮定して定

図 ���� 電子の波の定常状態

Page 52: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

�� 第 �章 ボーアの原子模型と前期量子論

常条件は

��� � .� �.,

*�

.,

��. � �� �� �� � � � ����

あるいは,角運動量 / � �* � ��を使って

/ � �� �.,

��� .E,

�E, �

,

��

�����

角運動量がE,の整数倍になるというこの式をボーアの量子化条件 �6�$�>� @,����"�����

'��-����� という。.は量子数 �@,���,� �,�:�� である� 。一方,水素原子にお

いて電子が持っているエネルギー

) ��

��� � #�

���������

を古典的なニュートン力学のつりあいの式 �なんというつぎはぎF

��

��

#�

����������

と組み合わせて � を消去すると

) � � #�

��������

が得られる。また量子化条件 ���� とつりあいの式 ���� より � を消去して

� �����.

�E,�

#�����

���� と ���� より,量子数が .のときのエネルギーは

)� � �#�

�E,�� �

����� �.����

.は自然数だから,水素原子はとびとびのエネルギー準位 �����1* ��)�� しか持た

ない。

図 ���に示すように,. が大きい準位から小さい準位に状態が遷移する �������+

���� とき,エネルギーの差が光子として放出されるため,エネルギー準位の離散性

�-��'�������� を反映してとびとびのスペクトルが観察されるのである。

,+ � E,� � ) �)� �#�

�E,�

��

.�� �

��

����� �� � . ���

この式は実験的に見いだされていた図 ���の水素原子のスペクトルと見事に一致し

ている。

なお,軌道半径の式 ���� で . � �とおいて得られる長さ

� �����E,

#�� ������ ����� �� ����

�歴史的にはド・ブロイの物質波動説はボーアの原子模型よりずっと後になって出てきた。ボーアは,量子化条件 � ��� を定常波などという考察なしにいきなり書き下し,こう仮定すれば水素原子のスペクトルが説明できると言ったのである。脱帽。

Page 53: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

���� 前期量子論 �

図 ���� 水素原子のエネルギー準位とスペクトル系列

はボーア半径 �6�$� ��-�,� といわれる。水素原子の基底状態 �1��,�- ����� �一番

エネルギーが低い状態 における電子の軌道半径であり,原子の大きさの目安を与

える。ちなみに,各定数の数値は次の通りである。

E, � ����� ����� < � � �����

� ����� ����� %1 �����

# � ����� ����� ? �����

�� � ��� ����� G�� �����

��� 前期量子論

ボーアの原子模型の成功に刺激されて,量子化条件 ���� をより一般的な状況でも

適用できるように拡張する理論が次々と提案された。シュレディンガー方程式が提出

され本格的な量子力学の建設が始まるまでの一連の試みを前期量子論 ���- @,���,�

�$���* という。

ボーアの条件 ���� は,運動量 * � � と軌道一周の距離 ���の積がプランク定

数 ,の自然数倍になることを要請している。そこで一般に,運動量 *と位置座標 0

で張られる位相空間 �($��� �(�'� において粒子の軌道に沿った *の一周積分が ,

の自然数倍になることを要請してみよう。�* �0 � ., �����

これをゾンマーフェルトの量子化条件 �3��������->� @,����"����� '��-����� と

いう。

Page 54: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

� 第 �章 ボーアの原子模型と前期量子論

例題として,調和振動子のエネルギー準位を前期量子論により導いてみよう。調

和振動子のエネルギーは運動エネルギーとポテンシャルの和

) �*�

��

��0� �����

である。外力を受けずしたがってエネルギーが保存されたまま振動を繰り返す調和

振動子の位相空間上の軌道は,図 ���のように,長径と短径が�

�)と�

�)��の

楕円を描く。ゾンマーフェルトの量子化条件 ����� によると,この楕円の面積が ,

図 ���� 調和振動子は位相空間で楕円軌道を描く。隣接する �つの楕円軌道の面積の

差が ,のとき,量子化条件が満たされる。

の自然数倍になる軌道のみ安定な定常状態になるから

��

�)

��)

�� ., �����

振動数 + � ���

� を使うとこれは

) � .,+ � .E,� ����

と表される。つまり ,+ � E,� を単位としてその自然数倍のとびとびのエネルギー

だけが調和振動子のエネルギーとして許されるのである。これは,プランクが空洞

放射の説明のために導入したのと同じエネルギー準位の構造である。電磁場は量子

化された光子の調和振動として理解できるのである。調和振動子のエネルギー準位

���� はシュレディンガー方程式をきちんと解いても導かれる。ただし,右辺に定

数 ��,+ が加わる。

Page 55: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

��

第��章 シュレディンガー方程式

本章では物質の波の様子を記述するシュレディンガー方程式を導く。

���� 自由粒子の波

物質の波の性質を定量的に記述するためには,波の満たす方程式を立てなければな

らない。そのためにまず一番簡単な自由粒子の波の関数(波動関数)�/�)� �,�'����

が満たすべき条件を考察する。簡単のためさしあたり �次元で考える。

ド・ブロイの関係式とアインシュタインの関係式

� �,

*� ) � E,� �����

が出発点である。粒子の速度が光速に比べて十分小さい非相対論的極限に話を限る

ことにすると

) �*�

������

が成立する。さらに,波数 �と波長 �の関係

� ���

������

も思い出しておこう。����� と ����� から導かれる

* � E,� �����

も頻繁に使われる。これで材料はそろった。����� の両辺に ����� を代入して

E,� ��

,�

�������

さらに ����� を使って �を �で書き換えると

E,� �E,���

������

が得られる。角振動数 �と波数 �を関係づける重要な式である。

ところで,一定の波数 � を持つということは * � E,� より一定の運動量を持って

いることになる。従って運動量の不確定さ�*は �である。つまり自由空間を運動

する自由粒子では運動量は一定であり(古典的な言い方をすれば速度が一定であり�

�量子力学では速度より運動量のほうが基本的な量である。

Page 56: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

�� 第 ��章 シュレディンガー方程式

),従って不確定性原理より位置は完全に不確定になる ��� � � 。粒子の存在確

率はどこでも同じ値の定数になるのである。一方,粒子の存在確率は波の強さに比

例していることが干渉実験から示唆されていることと波の強さは波動関数の絶対値

の �乗 �1��� � �� に比例することから,�1��� � �� が定数でなければならないことが分かる。

そこで,波数 �と角振動数 �を持つ波のうち絶対値の �乗が定数になるものを見

つけることが課題となる。波数が �で角振動数が �の波の一般形は

1��� � � � ������� �� � 2 '������ �� ����

と書くことが出来るが,�� 2を実数の範囲に限定する限り �角関数の合成則により

この式は実数の振幅 �と位相 Æを使って

1��� � � � ������� �� � Æ ����

と表すことが出来る。すると �1��� � ��はどうしても時空の変数 �と �に依存するこ

とになり,存在確率が場所や時間によらないという要求を満たすことが出来ない。

解決法はただひとつ,係数 �� 2 に複素数値を許すことである。� � "2とすれば

���� は

1��� � � 2#������� �����

となり,絶対値の �乗 �存在確率に比例する量 は実定数 �2�� になる。2自体は複素

数でもかまわない。このように量子力学では,ド・ブロイの式,アインシュタイン

の式,不確定性原理,存在確率を記述する波としての物質波の解釈などから波動関

数は必然的に複素数になる。直接観測にかかるのは実数である存在確率だから,波

動関数自体が複素数になっても特に問題は生じない。

���� シュレディンガー方程式

�次元自由粒子の波動関数が ����� の形になることを示したが,この式に出てく

る波数 �と角振動数 �の間には ����� の関係がある。そこで次の課題は,����� を

足がかりにして波動関数 1が満たすべき方程式を導くことである。

����� の左辺の�は1��� � を �で微分すると出てくる。右辺の ��は同じく1��� �

を �で �階微分すると出てくる。

1

�� �"�1�

�1

��� ���1 ������

これらを ����� に代入すると

"E,1

�� � E,�

�1

��������

となる。これが�次元自由粒子の波動関数の満たすシュレディンガー方程式 �3'$�H�-��1��

�@,����� である。

Page 57: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

����� シュレディンガー方程式 ��

シュレディンガー方程式 ������ は,古典的な関係式

) �*�

�������

を ) � E,�と * � E,�を使って式 ����� から導かれた。������ の右辺の ���はこ

の名残である。この推論を推し進めると,������ の右辺の微分�E,�����は *�を

置き換えたもの

* �"E,

�������

と考えることが出来る。実際,この式 ������ の右辺の微分演算を波動関数 1 �

#������� に作用させると

�"E,

�1 � E,�1 � *1 ������

を得ることからも,*をかけることと �"E,��を作用させることを同一視するこ

とが正当化される。このように,古典的なエネルギー ) の式において運動量に対し

て ������ の置き換えを行って全体を演算子として見直したものをハミルトニアン

�D���������� 3 という。自由粒子のハミルトニアンは

3 � � E,�

��������

であり,これを使ってシュレディンガー方程式 ������ は

"E,1

�� 31 ������

と表すことが出来る。

より一般的に,ポテンシャル � �� の中を運動する粒子の場合には,古典的なエ

ネルギー

) �*�

�� � �����

で置き換え ������ を行って得られるハミルトニアン

3 � � E,�

��� � �����

をシュレディンガー方程式の一般形 ������ に入れればよい。念のため具体的に書

いておくと

"E,1

�� � E,�

�1

��� � 1 ������

である。

以上の議論はポテンシャル中の粒子の満たすシュレディンガー方程式の「導出」

ではない。あくまで,何となくもっともらしい推論である。シュレディンガー方程

式 ������ は量子力学の出発点になる基本方程式であり,古典力学の運動方程式に

Page 58: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

�� 第 ��章 シュレディンガー方程式

相当する地位を占めている。他の何かから厳密な論理をたどって導かれる式ではな

く,その正当性は方程式を出発点にした量子力学の理論体系の結論が実験と一致す

るかどうかによってのみ判定される。実際,これまでのすべての実験でシュレディ

ンガー方程式の正しさが立証されている。

�次元の場合には自由粒子の波動関数は 1��� � � '���� � #��������� であり,これに対応して運動量の演算子での置き換えの規則 ������ が �成分になる。

�"E,� ������

ハミルトニアン

3 � � E,�

��� � � �� ������

を使ってシュレディンガー方程式が

"E,1

�� � E,�

���1 � � 1 ������

となる。

���� 定常状態のシュレディンガー方程式

自由粒子の波動関数は空間依存部分と時間依存部分の積に分離される。�次元の

例で書けば

1��� � � #�� #���� � !�� #���� � !�� #������ ������

そこで一般のポテンシャル中を運動する粒子の場合についてもエネルギーが一定の

解が

1��� � � !�� #������ ������

の形をしてると仮定してうまくいくかどうかを見てみよう。シュレディンガー方程

式 ������ に入れると

3! � )! ������

が得られる。つまりこの式を満たす !を持ってくればシュレディンガー方程式が満

たされるのである。この式ではあらわな時間依存性は消えている。������ を定常状

態のシュレディンガー方程式 �3'$�H�-��1�� �@,����� ��� ���������* ������ という。

�次元であってもこの形は同じである。������ は空間変数の関数 !に線形演算子3

を作用させるともとの関数の定数 �エネルギー 倍になっていることを示している�

。ハミルトニアンを演算子とする線形空間の固有値問題 ���1��)��,� (��:��� を解

� ��� � ��� � �� � �� ゆえ は線形演算子である。

Page 59: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

����� 定常状態のシュレディンガー方程式 ��

けば,定常状態のエネルギー ) と波動関数 !が分かるのである。この意味で,定常

状態のエネルギーをエネルギー固有値 �����1* ��1��)��,� と呼ぶことがある。

エネルギーは直接観測できる量だから実数でなければならない。固有値が実数の

みになるような演算子はエルミート演算子� である。ハミルトニアンはエルミート

演算子である。

�行列表示したときに,転置して複素共役を取ると元に戻るもの。念のため線形代数の復習です。

Page 60: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

��

第��章 �次元定数ポテンシャル系の境界値問題

この章では �次元でポテンシャルが定数であるという一番簡単な例について,定

常状態のシュレディンガー方程式の解の性質を調べる。ポテンシャルが定数であっ

ても,定数値がある場所を境に異なっているような場合には境界条件を考慮する必

要があるため,自明でない結果が導かれる。

���� 箱形ポテンシャル

� 次元の線上で � � � � / の区間はポテンシャルが �,それ以外では極めて大

きくて無限大と見なして良い値の定数ポテンシャルの中を運動する粒子を考えよう

�箱形ポテンシャル ���'���1,��� (�������� または井戸型ポテンシャル ��@,���+/���

(�������� �図 ���� 。以下特に断らない限りシュレディンガー方程式といえば定常

図 ����� �次元箱型ポテンシャル

状態のシュレディンガー方程式を意味することにする。� � � � /では自由粒子に

ついてのシュレディンガー方程式を解けばよい。

� E,�

��!

���� )! �����

波動関数 !は �や �� �によらない �のみの関数だから微分が常微分になっているこ

とに注意しよう。この方程式の解は,�階微分すると元の関数の負の定数倍に戻る

から複素数が肩に乗った指数関数

!�� � � #�� � 2 #��� �����

Page 61: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

����� 境界における波動関数の連続性 ��

であり,エネルギー固有値は

) �E,���

������

である。前章の話との違いは,� � �と � � /でポテンシャルが無限大になりこれ

らの区間に粒子が進入出来ないこと,したがって ! � �になることである。次節で

議論する !の連続性により,ちょうど � � �と � � /でも ! � �でなければならな

い。一般解 ����� のうちこの境界条件を満たすものを探すのである。

���� 境界における波動関数の連続性

境界条件を満たす解を探す前に,!の連続性について考察しておこう。一般のポ

テンシャル � 中の粒子のシュレディンガー方程式は

�) � � ! � � E,�

��!

��������

と書くことが出来る。もし � がある点で有限の値飛んで不連続になっているならば,

左辺が不連続だから右辺も不連続である。�階微分が不連続 �有限の飛び であって

も一度積分をして �階微分 �!���にすると連続である。もちろんもう一度積分して

!にするとなおさら連続である。それゆえ,ポテンシャルが有限の値だけ飛びを持

つような不連続点においても波動関数とその �階微分は連続でなければならない。

無限のポテンシャルが � � �と � � /にある箱形ポテンシャルでどうなるかはよ

く考えないといけない。上の議論はそのままでは当てはまらないが,ポテンシャル

が有限の場合について解を求め,その結果においてポテンシャルが無限になる極限

を取ってみると � � �と � � /において ! � �となるだけでなく,� � �と � � /

自体においても ! � �になっていることが分かる� 。したがって !は連続である。

しかし �階微分 �!���は � � �と /において必ずしも連続ではない。

���� 箱形ポテンシャル中の粒子のエネルギー固有値

箱形ポテンシャル中の粒子に戻り,波動関数 ����� に境界条件 !�� � !�/ � �

を課してみる。

!�� � � � 2 � �� !�/ � � #�� � 2 #��� � � �����

第 �式から � � �2,これを第 �式に代入して #��� #��� � �が得られる。よって

��� �/ � � �����

�/が �の整数倍のときに限ってこの式が満たされる。したがって

� ��.

/�. � �� �� �� � � � ����

�次節以後説明する計算においてポテンシャルを無限に飛ばしてみると分かる。

Page 62: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

�� 第 ��章 �次元定数ポテンシャル系の境界値問題

が境界条件を満たす波数の条件となる。波数が連続的な値を自由には取れず,この

式で指定されるとびとびの離散的な値になる �量子化される �@,����"�- のである。

なお . � �とすると � � �であり,波動関数 ����� は !�� � � � 2 � �という意

味のない結果になるので波数 �は許されない。また .が負の値のときの波動関数は,

以下に見るように正の値のときと同じなので特に改めて取り上げる必要はない。

波数 �は ���� をみたす .�量子数 �@,���,� �,�:�� の関数である。そのとき

の波動関数 !� は,係数を � � �2 � ����" と書き換えると

!��� � � ��� �� � � ����.�

/����

であり,エネルギー固有値は

)� �E,���

��

E,���.�

�/������

である。.を �.にすると )� は同じで !��� は符号が変わる。確率 �!��� �� のみが物理的に意味を持つから,!��� と !���� は全く同じ状態である。エネルギーは

図 ����のようなとびとびのエネルギー準位 �����1* ��)�� を取り,それに対応して

波動関数は .が増えるごとに節の数が増える正弦波になる。

図 ����� �次元箱型ポテンシャル中の粒子のエネルギー準位と波動関数

存在確率 �!��� �� は図 ����に対応して波打っており,空間的に一様ではない。古

典的には箱の中の粒子は一定の運動量を持っているので等速の往復運動をしており,

長い時間見ればどの場所にも同じ確率で存在するが量子力学ではそうはならないの

である。なお,最低エネルギー �基底エネルギー �1��,�-+����� ����1* を与える

. � �の基底状態においても,� � ��/ � �より * � �E,�/であり粒子は運動して

いる。これを零点振動 �"���+(���� )�:������ という。古典的には一番エネルギーが

低い状態はどこかに完全に静止していて *も �も確定している状態だが,量子力学

では不確定性原理のために完全に静止することが出来ないのである。

不確定性原理が今の場合,基底状態でどのようにして満たされているかを確かめ

ておこう。基底状態においては粒子が長さ/の箱のどの位置にいる確率もほぼ同じ

Page 63: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

����� 箱形ポテンシャル中の粒子のエネルギー固有値 �

だから,�� � /としてよい。運動量については,絶対値は * � E,� � �E,�/ � ,��/

だが定常波においては右に動いている確率と左に動いている確率が同じだから� 不

確定性は�* � � � ,��/ � ,�/。よって�*�� � ,となり不確定性原理が満たされ

ている。

最後に波動関数の規格化 ��������"����� について述べておこう。粒子は � � � � /

のどこかに必ず存在するから,�!��� �� を �から /まで積分すれば �にならなけれ

ばならない。���� より� �

�!��� �� �� � ����� �

�����.�

/�� �

/�����

� � ������

よって � �

��

/である。規格化された波動関数は

!��� �

��

/���

�.�

/������

なお厳密に言えば,以前の議論においては �!��� �� が存在確率密度 �(��:�:����*

-�����* �� �4�����'� �単位長さあたりの存在確率 であり区間 ��� � � �� に粒子が

存在する確率が �!��� ����であることを前提としていた。エネルギー固有値)� � �������

� �� がどの程度「とびとび」のエネルギーを表してい

るのかを見積もるため、まずマクロなスケールの箱 / � ��'� の中に電子を閉じこ

めた場合の基底エネルギーを求めてみる。

)� �E,���

�/��

������ �������� � � ��

�� ����� ����� � ����� ����� ����� �< ������

これはひどく小さなエネルギーである。例えば原子に電子が束縛されているときのエ

ネルギー �自由に動いているときと束縛されているときの差)の目安となる � ��B は

� ��B � ����� ����� �< ������

であり、この ���� 倍も小さい。また温度に換算するとボルツマン定数を使って

��� � ) より

� �)

���

����� �����

���� ������ ���� ����� �I ������

というとてつもない低温の熱エネルギーに相当する。励起状態も ������ のせいぜ

い定数倍だから、エネルギーの離散性(エネルギー準位間の間隔)は通常のスケー

ルからは実質的に �と見なして良くエネルギーは連続的に変わるとしてほとんど問

題は生じない。

�式 ����� のサイン関数を �������� � ������������ と書くと,第 �項が右向きの波,第 �項が左向きの波を表していることが分かる。これらは同じ係数の絶対値を持っているから同じ確率で実現している。定常波は右向きに進んでいるとも左向きに進んでいるとも言えないという当然の話である。

Page 64: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

� 第 ��章 �次元定数ポテンシャル系の境界値問題

今度はミクロな箱に電子を閉じこめたとするとどうなるだろうか。/ � ������ �����

というナノスケール(結晶格子間隔程度)の箱にすると、)� は上の値の ���� 倍に

なる。

) � ����� ����� �< � � � ���� ��� �I ������

である。これで分かるように、ミクロなスケールでしか動けないように束縛された

電子では、エネルギーの離散性は非常に顕著になり、例えば常温では基底状態以外

の状態(励起状態)に励起されている可能性はほとんど無視できる。常温は絶対零

度と見なして良いのである。このような場合にはエネルギーの離散性は物理現象に

顕著な影響を与える。

���� 階段ポテンシャル �

次に,図 ����のように � � �で �,� � �で ��の定数値のポテンシャル中での粒

子の運動を考察しよう。粒子のエネルギー) が �� より小さな場合を考えるのだが,

図 ����� 階段ポテンシャル ��

古典的には左から来た粒子は � � �でポテンシャルの壁に当たって跳ね返され,同

じ速さで左向きに戻っていく。ところが量子力学では � � �の部分にも少ししみこ

むのである。

まず � � �でのシュレディンガー方程式は

� E,�

��!

���� )! ������

一般解は

! � �#�� � 2#���� ) �E,���

������

である。次に � � �においては

� E,�

��!

���� ��! � )! �����

を書き換えて

��!

����

���� �)

E,�! � %�!

��% �

����� �)

E,�

� ������

Page 65: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

����� 階段ポテンシャル �� ��

としてみる。�� � ) より %は正の実数である。この式の一般解は

! � �#�� � �#��� ������

であるが,�が十分大きなところで !がいくらでも大きくなると存在確率としての

意味を失うという境界条件から,� � �でなければならない。次に,� � �で !と

�!���が連続であるという条件は ����� と ������ より

� � 2 � �� "��� "�2 � �%� ������

これらより

2 �� � "%

� � "%�� � �

��

� � "%� ������

が得られる。よって波動関数は

!�� � � � �

�#�� �

� � "%

� � "%#���

�������

!�� � � ����

� � "%#��� �

���

� � "%�4(

���

���� �)

E,�

�������

となる。いくつか注目すべき特徴がある。

まず,� � �でも �!�� �� � �であり,この領域に粒子が存在する確率がある。自

分の持っているエネルギーより高いポテンシャルがある部分に波が進入するのであ

る。������ と ������ をよく見ると,�� �という無限に高いポテンシャルの極限では %�になることより

�������

!�� � � � �������

!�� � � � � ������

となり,無限ポテンシャルが現れる点 � � �でも波動関数の連続性が保たれているこ

とが分かる。また ������ で E, �とすると !�� � � �となる。なお,�� �のあとで � ��としなければならない。そうしないと !� も連続になってしまう。

こうして,プランク定数が �になる古典極限では高いポテンシャル中への進入は消

失することが分かった。������ を !�� � � � �#��� と書くと,図 ����のように

波動関数は � � �の領域内の 4 程度のところまで進入している。4 がどのくらいか

図 ����� 階段ポテンシャル �� における波動関数の様子

Page 66: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

�� 第 ��章 �次元定数ポテンシャル系の境界値問題

を見積もってみよう。電子を考える。エネルギー差 �� �) が ��B の電圧で加速さ

れた電子のエネルギー ���B のとき

4 �E,�

���� �) �

������ �������� ������ ����� � ������ �����

� ����������� �� ������

というボーア半径の数倍の長さになる。原子スケール(ミクロなスケール)では波

動関数の高ポテンシャル域への進入が決して無視できないことが分かる。ついでな

がら,マクロな物体(日常スケールの物体)で 4 がどのくらいになるかも計算して

みると良い。例えば ��%1 の物体について通常の重力下で ��� 持ち上げる仕事に相

当するエネルギー差 �� �) � 5,で 4 を計算してみよ。

次に,������ で右辺第 �項は右に進行する入射波,第 �項は左に進行する反射波

を表すことに注目しよう。このことは,����節の話にしたがって波動関数に時間成

分を入れ戻してみるとよく分かる。

!�� � � #���� � �#������� � 2#�������� �����

同位相 �#の肩が定数 の点が,第 �項では ��� �� �'����より,時間 �とともに �

の正方向に移っていくのに対し,第 �項では ����� �'����より負の方向に移るの

である。さて,������ で右辺第 �項は左に動いていく反射波だが,入射波に対する

反射波の強さ �反射率 ���J�'��)��* は

6 �

����� � "%

� � "%

�����

� � �����

である。� � �に少ししみこむのだが,� � �だけ見ていると位相が少し変わっただ

けで完全に反射されているのである。ついでに位相のずれを求めておこう。

� � "%

� � "%� #��� ������

より

� �������%

�� � %�������

となる。なお今の問題では粒子の存在範囲が無限に広がっているため,波動関数の

規格化は出来ない。

���� 階段ポテンシャル �

今度は図 ����のように � � �でポテンシャルが ��� に下がっているときに左か

ら入射した粒子がどういう運動をするかを考察する。� � �での波動関数は前節と

同じである。

! � �#�� � 2#���� ) �E,���

�������

Page 67: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

����� トンネル効果 �� ��

図 ����� 階段ポテンシャル ��

� � �では �� の符号が前節とは逆になり,シュレディンガー方程式は

��!

���� ����� � )

E,�! � �0�!

��0 �

����� � )

E,�

� ������

と書ける。一般解は

! � �#��� � �#���� ������

であるが,� � �では左向きの波は存在しないという境界条件から � � �である。

� � �において波動関数 ������ と ������ およびその微分が連続という境界条件は

� � 2 � �� ���� 2 � 0� ������

これらより

2 �� � 0

� � 0�� � �

��

� � 0� ������

つまり

!�� � � � �

�#�� �

� � 0

� � 0#���

�������

!�� � � ����

� � 0#��� �����

� � �で左に進行する反射波が存在し,進行波に対する相対的な強さは

6 �

����� � 0

� � 0

�����

�����

で表される。波と考えれば,ポテンシャルが急に深くなるところで反射されて戻って

きてもそれほど奇妙ではないが,古典的な粒子だと思うと理解しがたい現象である。

���� トンネル効果 �

����0 ����節の階段ポテンシャルを組み合わせて図 ����のように有限の長さ/で

有限の高さ ��の障壁があるとどうなるだろうか。粒子のエネルギー)が ��より低

いと古典的には障壁にぶつかって単に戻っていくが,量子力学では右側にしみ出し

透過する。トンネル効果 ��,������1 �9�'� である。

Page 68: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

�� 第 ��章 �次元定数ポテンシャル系の境界値問題

図 ����� 有限の障壁があるときの波動関数

�つの領域を K �� � � 0 KK �� � � � / 0 KKK �� � / と名付けよう。各領域での波

動関数の一般解はこれまでと同じである。) � �� の場合について具体的に書くが,

逆の場合も同様である。

!� � �#�� � 2#���� ) �E,���

�������

!�� � �#�� � �#���� % �

����� �)

E,������

!��� � �#�� � 5#��� ������

Kの左の方から粒子が入射してくるとすると KKKでは右から左に戻ってくる波はない

から 5 � �である。KKでは,����節と違って �の範囲が有限だから �も �にはなら

ない。� � �と � � /で !と �!���が連続であるという条件を課すと,�つの係数

�� 2� �� �� � の間に �つの線形方程式が成立する。これを解くと 2� �� �� � が �の定数

倍として表される。具体的な計算は各自の演習とし,透過率 �����������)��* � �Kで

の入射波に対する KKKでの透過波の強さ の結果だけを書く。

� �

�����������

��)��� �)

�)��� �) � � �� ���$� %/

������

波動関数の様子は図 ����のようになる。

) が �� より大きい場合にも同様の計算が出来る。KKの領域で波動関数が実数が

肩に乗った指数関数ではなく K0 KKKと同じ複素数の形になるだけの違いである。透

過率は

� ��)�) � ��

�)�) � �� � � �� ���� 0/

� ) � �� �E,�0�

�������

である。各自確かめよ。以上の結果 ������ と ������ を図示すると図 ���のよう

になる。)��� が �に達するまで透過率はゆっくりと単調増加を続け,その後振動

しながら �に漸近する。特に,0/が � の整数倍のとき透過率は �である。領域 KK

において領域の長さ/が正弦波の波長の半分の整数倍になると,ちょうど波は領域

KKを「またいで」あたかもポテンシャル �� がないかのように振る舞うのである。

トンネル効果は例えば原子核のα崩壊のような自然現象で起きるだけでなく,半

導体デバイスなどにも応用されている。

Page 69: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

���� トンネル効果 �� ��

図 ���� 透過率のエネルギー依存性

��� トンネル効果 �

トンネル効果の別の例を見てみよう。図 ���に示すように,両側 �� � �/� � � /

を無限ポテンシャルで囲まれ中央 ��� � � � � に高いポテンシャル �� がある �次

元系の振る舞いを考察する。粒子のエネルギー ) が �� より低ければ,古典的には

図 ���� 中央に山があるポテンシャルの中にある粒子の基底状態と第 �励起状態

粒子はどちらかの谷に閉じこめられるが量子的にはトンネル効果により左右を行き

来する。シュレディンガー方程式の解法としてはこれまでと同じで,� � �/での

境界条件 ! � �と � � ��での !と �!���の連続性の条件から平面波の係数を決定

する。詳細は各自の演習とし答えを述べると,図 ���のように基底状態 !� の波動

関数は �� � � � �で小さな(しかし �でない)値を取る �の偶関数,第 �励起状

態 �L��� �4'���- ����� �基底状態の次にエネルギーが低い状態 は同じく奇関数であ

る。それぞれのエネルギーを )�� )�とし,第 �励起状態より高いエネルギーの状態

の影響は無視できるほど小さいと仮定すると,時間に依存する非定常状態の波動関

数は

1��� � � �!��� #������� � 7!��� #������� ������

Page 70: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

�� 第 ��章 �次元定数ポテンシャル系の境界値問題

さて,� � �で粒子が左側 �� � �� に局在 ���'���"� していたとしよう。この初

期条件を満たすには � � 7 とすればよい。なぜならこのとき

1��� � � ��!��� � !��� ������

であるが,� � �で !��� � �!��� なので上式は右半分ではほぼ0になるのである。

������ から出発して時間が経過すると,面白い現象が起きる。一般の時刻におけ

る波動関数は

1��� � � ��!��� #������� � !��� #�������

� �#��������!��� � #�������!��� ������

ここで �) � )� � )� はエネルギーギャップ �����1* 1�( である。������ の第

�項では,時間の経過とともに位相が角振動数 � � �)�E,で振動する。特に時刻

�� � ��. � � �E,��) �.は整数 においては位相が ��. � � �になり,波動関数は

1��� �� � �#��������������!��� � !��� �����

である。� � ��では !��� � !��� ゆえ,この波動関数は粒子が右側に局在した状

態を表している。� � �)�E,の角振動数で粒子が中央の高い障壁をトンネルして左

右を往復するのである。具体的な数字を出してみて感覚をつかむことにすれば,例

えば�) � ������B なら

� ����� � ������ �����

������ ������ ����� ���� �D" �����

という振動数(マイクロ波領域)となる。

アンモニア分子は図 ����のように上または下に窒素原子が配置した状態が安定で

ある。中間に窒素があるとエネルギーが高く不安定であり,上述のポテンシャルで

かなり良くモデル化される。実際,窒素原子がトンネル効果によって �つの安定な

配位を往復する現象が確かめられている。����� の振動数はメーザー �.535M �

として最初に作られたアンモニア・メーザーの実際の振動数である。

�マイクロ波領域の誘導発振がメーザー ���������� �������� ��� !" � ��#�� �$ �������� �% ��$��& ����であり,それより短波長だとレーザー ���'� �������� ��� !" � ��#�� �$ �������� �% ��$�� ����である。

Page 71: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

���� トンネル効果 �� ��

図 ����� アンモニア分子における �つの安定な原子配置

Page 72: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

��

第��章 交換関係,不確定性,波束

量子力学では運動量が演算子で表現される。このことは,交換関係を使うと位置

と運動量の演算子が非可換であることに結びついている。演算子の非可換性と同時

測定不可能性や不確定性の関係を議論し,さらに,こうした一般的な議論をガウス

波束で具体的に実現してみる。

���� 交換関係

式 ������ によると,古典力学の運動量は量子力学では演算子

N* � �"E,

������

で置き換えられる。演算子 N*は,その右側に置かれた位置座標の関数 ��� に作用し

て値が確定する。

N*��� � �"E,���

������

そこで,位置座標自体を表す �もその右側に置かれた関数に�をかける演算と見な

すことにする。

N���� � ���� �����

このとき,N*と N�は次の交換関係を満たす。

�N�� N* � N�N*� N*N� � "E, �����

これを確かめるために,上記の演算子を任意の微分可能な関数 ��� に作用させると

�N�N*� N*N� ��� � �"E,

�����

�� �����

�� "E,��� �����

となる。上式は任意の関数 ��� について成り立つから,演算子の関係として �����

が成立するとしてよい。次節で示すように,量子力学における演算子の交換関係は

数学的な関係式であるだけでなく,演算子に対応する物理量が同時に確定した値を

取れるかどうかという不確定性と深く結びついている。

Page 73: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

����� 交換関係と不確定性 �

交換関係に関する有用な演算規則をいくつか挙げておこう。

��7�8 � ��7�8 � ���8 7 �����

���78 � 7���8 � ���7 8 ����

�� � 7�8 � ���8 � �7�8 ����

���7 � 8 � ���7 � ���8 �����

これらはいずれも,両辺を定義に従って展開することにより容易に確かめられる。

例えば,����� は

��7�8 � �7 � 8 � 8 � �7

��7�8 � ���8 7 � ��78 � 87 � ��8 � 8� 7 ������

これらは明らかに等しい。他の関係式も同様。

���� 交換関係と不確定性

位置と運動量の演算子の間の交換関係を使うと,これらの物理量が不確定性関係

を満たすことが示される。不確定性関係は,��節において特定の実験条件の下に導

かれ,��におけるシュレディンガー方程式導出の基礎になったものである。結果と

して,量子力学の枠組みの中に交換関係を通じて不確定性関係が自然に組み込まれ

ているのは興味深い。

不確定性関係を導くために,波動関数 !�� による一般の演算子 �の期待値を定

義しよう。

�9� �

� �

��

!�9!�� ������

以下の議論では,位置と運動量の期待値 �N��� �N*� はいずれも �であると仮定する。

これらが �でない値を取る場合への拡張は比較的容易である。

さて,演算子 N�を次のように定義する。

N� � N�� "�N* ������

�は任意の実数である。波動関数が無限遠点で �に減衰するとき,演算子 N�とその

随伴演算子 N�� � N� � "�N*の積の期待値は負にならないことが証明できる。

� N� N��� � � ������

これを示すために,定義通り期待値を積分で書いてみると

� N� N��� �

� �

��

!��� � �E,� �� � �E,� ! ��

� �

��

��� �E,� !� ��� �E,� ! �� ������

Page 74: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

� 第 ��章 交換関係,不確定性,波束

�行目に行くときは部分積分を行った。この式は複素共役の �つの量の積の積分で

あり負にはならない。

式 ������ を展開してみると,�� N� � N7 N8 � � � N� N8�� � N7 N8�を使って,

� N� N��� � ��N� � "�N* �N� � "�N* �� ��N�� � � "��N�N*� N*N��� ���N*��� ��� � � "���N�� N* �� ����* �

� ��� � � "� � "E, � ����* � � � ������

��� �� ��* �はそれぞれ,位置と運動量の分散である。この式が任意の �で成立す

るための必要十分条件は,�次形式の判別式が正にならないことである。

E,� � ���� ���* � � � ������

よって

��� � ��* � E,

������

これは位置と運動量の不確定性関係である。

以上の議論をよく見ると,位置と運動量が交換関係 �N�� N* � "E, を満たすことが

������ で決定的に重要な役割を果たしていることが分かる。もしこの交換関係の右

辺が �なら,式 ������ は自明な関係しか与えない。さらに踏み込めば,位置と運

動量でなくても非可換な演算子で表される �つの物理量 N9� と N9� について同様の

議論が展開できる。 N9� と N9� が次の交換関係を満たすとする。

� N9�� N9� � "��E, N9� �����

このとき, N�� � N9� � "� N9� とすることにより上の議論がほぼそのまま適用できて,

��9� � ��9� � ���E, � N9����

������

を示すことが出来る。交換しない �つの演算子で表される物理量の値を同時に確定

することは原理的に出来ないのである。同時測定不可能性と言われる。

例として,角運動量演算子 �を見てみよう。古典的には角運動量は位置と運動量

の外積

� � � � ������

で定義される。成分で書けば,/� � �*� � �*�� /� � �*� � �*� � /� � �*� � �*�

となる。対応する量子力学の角運動量演算子は,この式で �� �� �および *�� *�� *�を

それぞれ演算子 N�� N�� N�および N*� � �"E,�� N*� � �"E,�� N*� � �"E,� で置き換えれば

よい。

Page 75: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

����� 波束 ��

�N�� N*� � �N�� N*� � �N�� N*� � "E,や,異なる成分については可換であること �N�� N*� � �

を使うと,運動量演算子の異なる成分は非可換であることが分かる。実際,前節の

式 ����� +����� を使うと次の交換関係が成り立つことが確かめられる。

�/�� /� � "E,/� ������

�/�� /� � "E,/� ������

�/�� /� � "E,/� ������

したがって ������ によると,角運動量の成分を同時に決めることは出来ない。例

えば,�成分を測定によって確定させると,�成分と �成分は不確定になる。�成分

を確定させたこの状況で続いて �成分の測定を行うと,今度は �成分の値が不確定

になるのである。

���� 波束

位置と運動量の不確定性関係を少し違った角度から見るために,波束を構成して

みる。自由粒子の波動関数は,波数を �として !�� � #��であることはすでに見

た。この波動関数においては,運動量は * � E,� に確定しているが位置は不確定で

ある。自由粒子で,位置がある程度の精度をもって決まった状態を表す波動関数は,

特定の波数をもつ波動関数 !�� を,適当な重み 5�� で足し上げると出来る。特

に,ガウス関数の重み #���� の場合,積分が実行できて話が分かりやすい。

�����

� �

��

��#���

��� "��

������

� �

��

��#�

�� � "�� �

��� ���

� � #����

� ������

!�� � ���� ��#����� とおくと,これは規格化されたガウス波束となっている。

すなわち,�乗を全空間で積分すると �になり,また �� を掛けて積分すると ����

になることから,原点を中心として幅 ���

��くらいの領域に局在した波を表してい

る。粒子の言葉で言えば,原点の周り ����� のあたりの位置に粒子が存在するこ

とがほぼ確実ということになる。

式 ������ は,波数空間でのガウス重み #���� のフーリエ変換と見ることも出

来る。波数空間での広がり �不確定性 �� が�

���のとき,実空間での広がり ��

が ���

��になるのである。これらの積をとり,さらに波数と運動量の関係 * � E,�

を使うと�� ��* � E,�� が得られる。これは不確定性関係に他ならない。波数空間

での広がりが大きくなると,実空間での広がりが小さくなる。また,波数空間の広

がりが減少すると実空間では広がってくる。これは今の例では,ガウス関数のフー

リエ変換として数学的に表現されている。� �の極限を取ると,波数空間では広

がりがなく � � �に波が集中するが,実空間では全空間に波が広がってどこに粒子

がいるか完全に不確定になる。逆の極限 � �では,波数空間では全く不確定になってあらゆる波数が同じ重みで寄与するが,実空間では原点に波が集中する。

Page 76: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

� 第 ��章 交換関係,不確定性,波束

In[1]:= f�x�, a�� :� Exp��a x2

2�

In[15]:= Plot��f�x, 0.5�, f�x, 2��, �x, �5, 5�, PlotStyle � �Thick, Dashed��

Out[15]=

�4 �2 2 4

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

In[18]:= Plot��f�x, 0.2�, f�x, 5��, �x, �5, 5�, PlotStyle � �Thick, Dashed��

Out[18]=

�4 �2 2 4

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

図 ����� ガウス波束(実線)とフーリエ変換(点線)。前者の幅が広くなると,後者

は狭くなる。

波束の時間変化(運動)を調べてみよう。まず,� � �� �) � E,� � �E,� という

分散のない波の場合,ガウス関数の重みで波束を作ると� �

��

�� #������������ �

���� #��������

�� ������

これは,形を崩さずに右向きに進む波束である。

次に ) � E,�����のような分散のある波について同様にガウス関数で波束を作

る。� � 2�� とおいて� �

��

�� #������������� �

� �

��

�� #������� ������

Page 77: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

����� ニュートン方程式の導出 �

ここで � � ��� � �"2�である。ガウス積分を実行してその結果を整理すると,���

��4(

�� ���

��� � ���2�� �

"��2���

� � ���2��

������

存在確率に関わる絶対値だけに注目することにすれば,指数関数の肩の第 �項は無

視してよい。すると上式は,原点を中心とした標準偏差

- �

�� � ���2���

������

のガウス分布である。右にも左にも進まず,だんだん広がっていく。平均値が進ま

ないのは,積分 ������ の段階で両方に進む波を加えあわせているからである。広

がりがだんだん大きくなるのは,分散のある波の特徴である。�と �が比例してな

いと,重ね合わせで得られた波束はだんだん崩れてくるのである。

実際の波束の広がりがどのくらいか見積もってみよう。式 ����� は時間が大き

いときには - � ���2� に近づく。マクロな粒子(通常の物体)を考えるとして

� ����%1とし,2 � E,��および例えば � � ���� を入れることにしよう。この

�の値は,初期の波の空間的な広がりがおよそ �����というごく小さいものである

という仮定に対応する。このとき

���2 � �� ��� � ����� �����

�� ����� ����� �������� � ����� ����� �������

である。相当な長時間経っても波束の広がりは実際には,ほぼ完全に無視できる程

度でしかない。マクロな物体において量子効果で波としての性質が見えてくること

は普通はないのである。,ちなみに,ミクロな物体(例えば電子)で同じ計算をす

るとどうなるかやってみると,ミクロとマクロの違いが分かって面白いだろう。

���� ニュートン方程式の導出

量子力学的な運動量の期待値が古典力学のニュートン方程式を満たすことを示そ

う。運動量の期待値は

* � �N*� �

���1���� � N*1��� � ������

である。運動量の時間微分が力に等しいというのがニュートン方程式だから,この

式の両辺を微分してみる。後の便宜上,"E,をかけておく。

"E,�*

��� "E,

���

1�

�N*1 � "E,

���1�N*

1

�������

この式に,シュレディンガー方程式およびその複素共役

"E,1

�� N31� �"E,

1�

�� N31� ������

Page 78: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

� 第 ��章 交換関係,不確定性,波束

を代入すると(ハミルトニアンが演算子であることを明示するために N3 とハットを

つけた)

"E,�*

���

��� �� N31� N*1 �

���1�N* N31 ������

あとで示すように,右辺第 �項のハミルトニアン演算子は1� の後に持ってくるこ

とが出来る。

"E,�*

���

���1��� N3 N*1 �

���1�N* N31

���1��� N3 N* � N* N3 1 �

���1��N*� N3 1 ������

これもあとで示すように,N*とハミルトニアンの交換子はポテンシャルの空間微分

になる。

�N*� N3 � �"E,��

��������

したがって,運動量の時間微分は次の式を満たすことが分かった。

�*

��� �

���1�

��

��1 � �

���

��

�������

ポテンシャルの空間微分の期待値を表す右辺を力と解釈すれば,これはニュートン

方程式に他ならない。

ハミルトニアン演算子と波動関数の複素共役の順序の交換について,��� � N31� N*1 �

���1�� N3 N*1 �����

を証明する。ハミルトニアン演算子は運動量の項とポテンシャルの項からなる。

N3 �N*�

�� � �� � � E,�

��

���� � �� �����

ポテンシャルの項の演算子としての役割は,単に � �� を直右の関数にかけるだけ

であり,順序は自明に交換する。��� �� �� 1� N*1 �

���1�� �� N*1 ������

運動量の項は空間微分なので,もう少し慎重に考える必要がある。部分積分をする

と(定数 �E,���はあとでかけることにして)���

���

���1��

N*1 �

��

��1��

N*1

�����

��

��

��

��

��1��

���N*1 ������

無限遠では波動関数は �になっているという物理的に自然な境界条件をつけると,

右辺第 �項は消える。そこで,右辺第 �項をもう一度部分積分して同様な境界条件

を考慮すると,1� にかかっている �回微分がさらに後ろに回せて���

���

���1��

N*1 �

���1�

��

����N*1 ������

Page 79: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

����� ニュートン方程式の導出 �

�E,���を両辺にかければ,運動エネルギーの演算子が 1� の後ろに回せたことが

結論される。��� �N*�1� N*1 �

���1��N*�N*1 ������

������ と ������ をあわせると,求める結果になる。��� � N31� 1 �

���1�� N3 N*1 ������

次に,運動量演算子とハミルトニアンの交換子を求めておく。運動量演算子は空

間微分の定数倍であり,ハミルトニアン中の運動エネルギーの項(空間 �回微分の

定数倍)とは自明に交換する。�N*�

N*�

�� �"E,

��E,�

���

�����

���

�� �

��

��

���� ��

����

��� � ������

自明でないのはポテンシャルとの交換子である。任意の関数 ��� に � �� をかけて

からその積を微分するのと,��� を微分してから � �� をかけるのとでは � �� の

微分の分だけ違ってくる。以下は,関数 ��� に左からかかる演算子の間の計算だと

思って読むこと。慣れてくると ��� を想像しなくてもよくなる。

�N*� � � �"E,

��

��� �

�� �"E,

��

��� � �

��

�� �"E,

��

��������

したがって

�N*� N3 � �"E,��

��������

Page 80: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

第��章 熱平衡状態の電磁場と宇宙の温度

角振動数 �の光子は E,�のエネルギーを持つ。このような光子が .個あれば,全

エネルギーは )� � .E,�となる。統計力学によれば,温度 � で熱平衡にある系がエ

ネルギー )� を持つ状態にある確率は

:� �#�����

;�����

で与えられる。ここで,�� � ���� ������<�I はボルツマン定数,; は確率の規

格化因子であり分配関数と呼ばれる量である。�

� :� � �より

; ���

#����� �����

すると,角振動数 �の光子が多数が熱平衡状態に達しているときの平均エネルギーE)� は

E)� �

�����

)� � :� �

�����

.E,�#������

�����

#�����������

で与えられる。ここで,� � ����� である。ここに現れる和は無限等比級数であり,

容易に計算できる。対数微分を使うとよい。

E)� �

��� ��1

�����

#������

��� ��1

�� #�����

�E,�#�����

�� #�����

�E,�

#���� � ������

E)�は特定の角振動数 �を持つ電磁場の熱平衡でのエネルギーであるが,どの角振

動数 �の付近にも多数の類似の角振動数がある。�から � � ��の間にある可能な角

振動数の数(モード数)を<�� ��とすると,この区間の電磁場の全エネルギーは,

ひとつの振動数のエネルギー E)� にモード数<�� をかけて得られる E)�<�� であ

Page 81: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

る。後で示すように,<�� は単位体積あたり ������� なので,結局,�と � � ��

の間のエネルギー密度は

��� �E,

������

#���� � ������

となる。これが有名なプランクの公式である。

式 ����� は図����のような振動数依存性を持つ。E,�����の関数としてE,����� ���� で比較的鋭いピークを持っている。すなわち,温度 � の熱平衡状態にある電磁

2 4 6 8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

図 ����� &���'%の公式の角振動数依存性

場は E,� � ������ をみたす振動数で最大のエネルギーをもつ。この振動数が可視

光領域にあれば,物体はその色に見えるのである。たとえば、波長 �����の赤い光

を出す物体の温度は

� ����

��

������

E,�����

に � ������を入れて

� �E,

������ ���

�� ��� ���I ����

と計算できる。星の表面の温度はこのようにして推定されている。

����� は古典極限 �E,� � ��� では

��� ������

��������

となる。この式は � の関数として極大を持たない。つまり、熱せられた物体が特

定波長の電磁波を強く出すという事実を古典統計力学は説明できない。このことは

&���'%以前の物理学者を大いに悩ませていた。&���'%は電磁場の各モード(振動

Page 82: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

� 第 ��章 熱平衡状態の電磁場と宇宙の温度

数)が飛び飛びのエネルギー値を持つと仮定すると,上述のような計算によりうま

く実験が説明できることに気づき,量子論の端緒を開いた。そして、���� で物体の

温度 � と物体が発する電磁波の波長 �に実験値を使い、定数 E,を求めたのである。

人工衛星などを使った観測により,宇宙のあらゆる方向からくる電磁場が観測さ

れている。この電磁場の強さの振動数依存性は,� � ����Iとしたプランクの公式

と �桁程度の精度でぴったりと一致している。これは,��億年前に宇宙が出来て

しばらくして達成された熱平衡状態の名残と考えられている(というより,他に理

解の方法がない)。��Iの宇宙背景輻射と呼ばれている。また,宇宙背景輻射には,

方向によってわずかなゆらぎがある。これは,宇宙生成初期におけるエネルギー密

度の量子的なゆらぎを反映したものと考えられており,このゆらぎが現在の宇宙に

見られる物質分布の片寄りに成長したと理解されている。

最後に,電磁場のモード数<�� を求めておこう。電磁場を一辺 /の立方体の空

洞に閉じ込めて周期境界条件を課せば,波数 �の各成分は ��� . �.は整数)なる飛

び飛びの値をとる。したがって波数空間の中で ����/ �の体積ごとにひとつずつ状

態が分布している。よって,波数空間の単位体積内には ��/��� � � ����� 個の状

態がある。�倍したのは,�つの偏光方向それぞれについて上記の議論が成り立つか

らである。そうすると,�成分を持つ波数 �空間内で波数が �付近の幅 ��の球殻内

の状態数は

���� ������ �

� ��

���� �����

である。これを振動数で書き換えると、� � ��より,微小区間 ��内にある状態数が

�������� � <�� �� ������

と表される。

Page 83: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

演習問題

�� �� 章   � 系で � つの出来事が起きた。第 � の出来事は位置 �� � �0 時刻

�� � ���で起こり、もう一つは位置 �� � ��0 時刻 �� � ����で起きた。これ

らの出来事が別の系 ��では同時に起きているように見えた。��系は �系に対

してどのような速度で動いているか。両系の �� �軸は一致しているとする。

�� ��章  ある慣性座標系 � の �軸上の点 �� で時刻 �� において光が発射され

�事象5 、時刻 ��に同じく �軸上の点 �� � �� ��に到達した �事象6 。この

様子を、� に対して �軸方向に速度 � で運動している �� 系で観測するとき、

事象 50 6の間の時間間隔はどれだけか。

�� ��章  次の用語の意味をそれぞれ �行程度以下で説明せよ。

�� ローレンツ収縮 �: 同時性の相対性 �' ド・ブロイ波長

�� ��章  静止質量が�の粒子が全エネルギー ����で等速運動をしている。

この粒子が静止している質量 �� の粒子に完全非弾性衝突をした。衝突後で

きた粒子の静止質量はいくらか。

�� ��章  図のように一直線上を質点5が右向きに速さ��

��で、質点 6が左

向きに速さ

��

��で進んできて完全非弾性衝突をした。50 6いずれも静止質

量は � であり、また � は光速である。衝突後の質点の速度と静止質量を求

めよ。

�� ��章   � � �で原点に静止していた静止質量 � の質点に、� � �で �軸方

向に一定の力 ( � �を加え続けた。このとき,� � �での速度を �の関数とし

て求め,グラフで図示せよ。

Page 84: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

第 ��章 熱平衡状態の電磁場と宇宙の温度

� �章  ある G.放送局は ��� .D"の電波を出力 �� %Oで送出している。

この電波塔から �� %�離れたところにある有効受信面積 �� '�� のアンテナ

には �秒間に何個の光子が届くか。

� �章  エネルギー ) の光子が静止質量� をもつ静止した粒子に衝突して

吸収された。光子を吸収した後の粒子の速さを求めよ。

�� �章 毎秒 ����'�の速さで動いている電子のド・ブロイ波長�を求めよ。ただし,

プランク定数と電子の質量はそれぞれ,, � ��������� <��0 � ���������%1

である。

��� ���章  図のような階段ポテンシャルがある。� � �から右向きにエネルギー

)�� �� で入射してきた質量の粒子の反射率を求めよ。

��� ���章  図のような階段ポテンシャル �� � �で �,� � �で ���� � があ

る。質量,全エネルギー)�� �� の粒子が � � �から左向きに入射すると

き,� � �における反射率を求めよ。

0

V0

m

��� ���章  図のように、� � /において無限に高いポテンシャル壁があり、� � /

ではポテンシャルがない。� � /で運動する �次元自由粒子について

�� 定常状態のシュレディンガー方程式を解いて、波動関数を求めよ。

Page 85: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

�: 壁での反射率を求めよ。

�' 存在確率の �依存性をグラフにせよ。

�- 定常状態では、どの位置にも同じ確率で粒子が存在するように思われる

が、必ずしもそうなってない。その理由を、式を使わずに言葉で述べよ。

�� � � �/にも無限に高い壁があるとき、波動関数はどうなるか。

��� ���章   ����節の透過率の式 ������ および ������ を導け。

��� ���章  上の問の結果をもとにして透過率とエネルギーの関係の図 ���を描

け。特に、)��� � �のときの値を求めること。

��� ���章  《やや 難》 ����節で領域 KKのポテンシャルが負の値��� のとき、負

のエネルギーを持つ領域 KKに閉じこめられた束縛状態が存在することを示せ。

��� ���章  図のようなポテンシャルの中をエネルギー)0 質量の粒子が運動

する。� � �には無限に高ポテンシャル0 � � / �領域 � には �� �� ) の定

数ポテンシャルがあり,� � � � / �領域 � にはポテンシャルはない。このと

き領域 �0 �における波動関数をそれぞれ次のように書くことにする。

1� � � #�� � 2 #���� 1� � � #��� � � #���� ������

以下の各問に答えよ。

�� �と 0を ) および �� を使って表せ。

以下の問に �および 0を使って答えよ。�� の結果を代入する必要はない。

�: � � �で波動関数が満たすべき性質を使って 2を �で表せ。

�' 上問の結果と � � /での波動関数の接続条件を使って,係数 �および �

を �� �� 0� /で表せ。

�- �� /から左向きに入射してきた平面波の反射率6を �と �で表せ。

Page 86: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

� 第 ��章 熱平衡状態の電磁場と宇宙の温度

�� 6を求めよ。

�� ���章  演算子 ��7�8 の間に交換関係 ���7 � ��7�� および ���78 �

7���8 � ���7 8 が成立することを証明せよ。

Page 87: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

授業アンケートの自由記入欄より

� 物理学科らしさを感じられた。

� 相対論は聞いていて面白かったが,量子論はいまいち実感がわかなかった。先生の冗談は幅が広そうなので,授業内容共々来期以降も期待したいです。来年

もこの授業を聞くつもりなのでそのときはよろしくお願いします。

� この授業は脱線したときが一番面白い。

� 物理学科でやっていることやこれからやることが聞けてモチベーションが上がった。全体としてわかりやすかった。

� 僕の生活のエントロピーも増大して困っています。

� 学生参加型の授業はとてもよかったです。化学科からの挑戦でしたが,興味が深まりました。

� 最初の �,�回テキトーにやっていたら,それ以降ついていけなくなりました。

だから自分で勉強です。どの科目もそうですが,やはり自分が悪いです。

� 今期の授業の中で一番面白かった。面白いから 5�� �とかはしないので4とか

も混ざっているけれど,総合的には一番高く点がついています。とにかく授業

が面白かった。

� オリジナリティーのある授業で面白かったです。これでしっかり内容が身についていればいいのですが���その辺は自分の努力次第だと思うのでがんばり

ます。

� 自分の堅い頭では理解に苦しむところも多々あったが,結局のところ感想は,おもしろかった。

� 先生の話は面白かったです。でも内容はほとんど分かりませんでした。一部の出来る生徒と先生だけで講義が進んでしまうのは,大学では仕方がないので

しょうか。本当に分からないと質問さえ出来ないのです。まあ頭が悪いので仕

方がないですが。。。ところで,マイクの音量あげすぎです。正常な音量だと

反響音が小さいので,あれ入ってない,と思うかもしれませんが,それで十分

です。

Page 88: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

� 第 ��章 熱平衡状態の電磁場と宇宙の温度

� すばらしい講義でした。

� 話が断片的で分かりづらかった。

� 演習問題の答えだけでもほしかったです。ゆっくりと説明してほしいです。

� 先生の話と授業のやり方が面白かったです。

� 自分でいろいろ問題を考えて,それを他の生徒たちで議論することの大切さを感じました。そういう能力を大学生活の中で培っていかなくてはならない

のですね。

� 大学の授業ではめずらしくよく笑いが起こり,おもしろかった。

� 興味を引くのが上手かったので,他の授業よりも話をはるかに集中して聞いていた。雑談の内容が非常におもしろかったので,楽しく授業を受けられた。

� シュレディンガー方程式など,難しいところもありましたが,量子力学のことが少し分かっておもしろかったです。

� 単位がほしいです。授業,おもしろかったです。��七夕

� 先生のユーモアのセンスは素敵だと思います。理学部の先生は,割と皆さん単調なので。。。 便所飯(?)はしない方がいいと思うけどなぁ。。。衛生上良く

ないと思う。

� 自然科学に対する考え方をかいま見れた気がしました。

� 数式をいじるのは,私にも出来ましたが,その数式が意味する物理現象(?)を読み取るのは難しいです。いまだに『~のパラドックス』系の問題はさっぱ

り分かりません。

� とても面白く興味深い講義でした。

� 講義ノートに沿っていてわかりやすかった。

� 実に物理的でした。

� 授業中に雑談をはさむのはとても有効だと思います。

� 一回体調不良で休んだときに出席があったことが残念です。

� 最後の最後まで面白い授業でした。

教員からのコメント

 この科目は比較的時間に余裕があるので,学生諸君にも出来るだけ参加しても

らいながらじっくり話が出来ます。量子力学や統計力学などのハードな基幹科目で

はそうはいきません。多くの皆さんに面白いと思ってもらえるのはうれしいのです

Page 89: 現代物理学序論第一講義ノートnishimori/lecture_data/ModernPhys_v1-2.pdf · どこでも同じ性質を持つ一様な空間と,無限の過去から無限の未来に一様に

が,予習復習なしに聞いても面白い授業と,長い目で見て本当に良い授業は必ずし

も同じではありません。深いところにある本当のおもしろさを理解するため,また

東工大の物理学科卒という資格に社会が期待している高い水準を満すためには,す

ぐには面白いと思えないことでもじっくり取り組まねばならない場合があることを

忘れないようにしてください。

それにしても,講義を講議と書く人が半数以上います。どうしてなのでしょう。期

末試験に書き取りを出してみようか。。。