特殊相対性理論におけるドップラー特殊相対性理論におけるドップラ効果と光行差

スタ ボウ現象の理解に向けて－スターボウ現象の理解に向けて―

理工学部 数理情報学科T050090 松野 功治指導教員 飯田晋司

目次目次

１ はじめに

２ ローレンツ変換２ ロ レンツ変換

３ 動いている座標系から見た速度

４ 速度の大きさVと角度θがどう変換されるか

５ 振動数の変化５ 振動数の変化

６ まとめ

参考文献

はじめにはじめに

「特殊相対性理論」とは１９０５年にアルベルト アインシ• 「特殊相対性理論」とは１９０５年にアルベルト・アインシュタインが発表した物理学の理論である。

• 「光速度不変の原理」とは光の速さが一定であることが自光速度不変の原理」とは光の速さが 定であることが自然界を支配する主要な原理と考えたこと。光の速さはほぼ秒速３０万kmである。

• 「スタ ボウ現象」とは亜光速で宇宙を移動したときに 前• 「スターボウ現象」とは亜光速で宇宙を移動したときに、前方に見える同心円の宇宙の虹である。この現象は、光行差現象とドップラー効果によって起こる。

• 「光行差現象」とは亜光速で宇宙を移動したときに、星が前方に集中して見える現象である。

• 「ドップラー効果」とは波の発生源と観測者との相対的な• 「ドップラー効果」とは波の発生源と観測者との相対的な速度によって、周波数が異なって観測される効果のことである。ドップラー効果によって同心円の虹が見える。

スターボウスターボウ

参考文献表紙よりキャプチャ

ローレンツ変換慣性系 慣性系 変換（慣性系から別の慣性系への変換）

逆変換

γ⎧ ⎛ ⎞′ ′= +⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪

2

vt t x

c γ⎧ ⎛ ⎞′ = −⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠2

vt t x

c

逆変換

( )γ⎝ ⎠

⎪′ ′= +⎨

⎪ ′⎪

cx x vt

y y

( )γ⎪ ⎝ ⎠⎪ ′ = −⎨⎪ ′⎪

cx x vt

=⎪⎩y y ⎪ ′ =⎪

⎩y y

2

1,

1

vc

γ ββ

= =− vβ

:c 光速

動いている座標系から見た速度

( )V V V 静止座標系での速度

= =( ) , ( )x yx t V t y t V t( ),x yV V V= 静止座標系での速度

( ),x yV V V′ ′ ′= 動いている座標系での速度

( )

( )x

x

xvx x vt x vt V vtV v v x vVvt

γ −′ − − −′ = = = = =′

( )y

( ) 2 22 21 1

xx

v v x vVvt t xt x c c tc cy

γ′ − −− −2

vt t x

cγ⎧ ⎛ ⎞′ = −⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠

⎪

( ) ( )2 2 21 (1 )

yy

x

yVy y tV vVv v xt t x

tγ γ γ

′′ = = = =

′ − − −

( )x x vt

y y

γ⎪ ′ = −⎨⎪ ′ =⎪ ( ) ( )2 2 2( )c c t c

γy y⎪⎩

速度の大きさVと角度θがどう変換されるか

Vy V ′y′Vθ

V

x

yV ′θ ′

V

′

yv

cosxx

V v V vV V V

θθ

− −′ = =

cos , sin ,θ θ= =x yV V V V

x x ′

cos , sin ,θ θ′ ′ ′ ′ ′ ′= =x yV V V V2 2

cos1 1

sin

xx

V vV vV

c cV V

θ

θ

− −

2 2= +x yV V V 2 2′ ′ ′= +x yV V V2 2

sincos

(1 ) 1

yy

x

V VV vV vV

c c

θθ

γ γ′ = =

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

( )

22 2 2

22 22 2( cos ) sin (1 )

VV v v

cθ θ− + −

V c=c⎝ ⎠

( )2 22 2

22(1 cos )

x ycV V V vV

c

cθ

′ ′ ′= + = ⇒−c

光の速さは変わらない

入射する光の角度はどう変換されるか

Vcosθ′ ′ ′=xV V cos sinθ θ= =V c V c

θθ

−

− −−′ 21 coscos

x

x

V vvV v

c vV′ =x

V ccos , sinθ θ= =x yV c V c

θθ

θ θ′ = = = =

− −

2

2

coscos

(1 cos ) 1 cos

xc vV c cv vc c c cc cc c

光が入射する場合y θ π+ ( )cos( ) cosθ π θ+ = −

θ +cosv

光が入射する場合

x

( )( )cos( ) cosθ π θ′ ′+ = −θ

θθ

′ =+

cos1 cos

cv 入射する光は前方に傾く

2sinv θc sin

cos cos 01 cos

cv

c

θθ θ

θ′ − = >

+

静止座標系での波長と動いている座標系での波長の関係

0 0 00 cos sin

A A At x yt x yλ θ λ θ= = == = =

　山の位置

0 cos sinB B Bt x yλ θ λ θ= = =

lsinl θv⎧ ⎛ ⎞

θθ

cosl θ( )

2

vt t x

cx x vt

y y

γ

γ

⎧ ⎛ ⎞′ = −⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪ ′ = −⎨⎪ ′ =⎪

cosl θy y=⎪⎩c

γ λ θ γλ θ λ θ

′ ′ ′= = =

′ ′ ′= − = =2

0 0 0

cos cos sin

A A A

B B B

t x y

vt x y

山の位置(波面)

2B B Bc

動いている座標系での波長１動いている座標系での波長１

θ

lsinl θ

cosl θcosl θ

cos( )cos( )cos( ) sin( )sin( )

a ba b a b−

= +′ cos( )cos( ) sin( )sin( )a b a b= +Bx′

cos sin sinl θ ϕ θ ϕ θ ϕ′ ′ ′ ′ ′ ′+=ABcos( - ) =A｛B cos ｝

同じ時刻ではない

cos sin sin

sin sin

l θ ϕ θ ϕ θ ϕ

θ θ ϕϕ

+

′ ′+ ′′

=ABcos( ) =A｛B cos ｝

=co ABcoss AB

cossin cos( ) sin( ) sin(( ))B Byxθ θ λ θγλ θθθ′ ′ ′ ′′= +′ = +cos

動いている座標系での波長２動いている座標系での波長２

θ

lsinl θ

cosl θcosl θ

′Bx′

2 cosvtc

γ λ θ′Δ = だけ時間が進む

2 cos cosv v

l c t l c lλ γ λ θ γ λ θ′ ′= + Δ = + = +

cos( ) cos( ) sin( ) sin( )l θ γλ θ θ λ θ′ ′= +

2c ccos

cos

vc

v

θθ

−′ =1 cosc

θ−

動いている座標系での振動数動いている座標系での振動数

2211 cos

βλ λβ θ−′ =

− ,c cλ ν λν′ ′= =β

2

2 2

11 cos 1 cos1

ββ θ β θν νλ λ β θβ β

−− −′ = = = =′ ′+

vc c2 2 1 cos1 1λ λ β θβ β′ ′+− −

coscos

1 cosθ βθβ θ

−′ =−

β = vc

( ), cos( ) cosθ θ π θ π θ′ ′ ′ ′→ + = −光が入射する場合は ＋

次のスライド

角度 で入射する光の振動数の変化θ ′角度 で入射する光の振動数の変化

2

θ

211vv ββ θ−′ =

′1 cosβ θ ′−

（よ て前方の星には近づいていくため（よって前方の星には近づいていくため振動数が大きくなり青方偏移し、後ろの星からは遠ざかるため振動数が小さくなり、赤方偏移する。）り、赤方偏移す 。）

0θ θ ν ν′ ′ ′< ⇒ > 21 1cos

βθ

− −′ =

0θ θ ν ν′ ′ ′> ⇒ <0cosθ

β=

まとめ１まとめ１

• 互いに等速度で動いている座標系の間の座標の関係式はローレンツ変換で表わされる。

• 光の速さは変わらない。

• 動いている座標系から見た入射する光は前方に傾動いている座標系から見た入射する光は前方に傾く。

• 前方の星には近づいていくため波長は短縮され青• 前方の星には近づいていくため波長は短縮され青方偏移し、後ろの星からは遠ざかるため波長は伸張され 赤方偏移する張され、赤方偏移する。

まとめ２まとめ２

• スターボウ現象とは宇宙の虹である。この現象は宇宙を亜光速で移動している場合に見象 宇宙を亜光速 移動 る場合 見ることができ、光行差現象とドップラー効果によって起こる 光行差によって頭上の星が前よって起こる。光行差によって頭上の星が前方に移動して見え、ドップラー効果によって同心円の虹が見える心円の虹が見える。

• スターボウの画像をコンピュータ上に作りたかったが、時間がなくできなかった。

参考文献参考文献

• 「なっとくする相対性理論」 松田卓也・二間瀬敏史著 講談社

• Newton 別冊 「相対性理論と時空の科学」

光行差と星の分散光行差と星の分散

入射する光は前方に傾く前方に傾く

前方に星が前方に星が集中する

参考文献表紙よりキャプチャ

θ ′ ⇒が小さい 青方変位

θ ′ ⇒が大きい 赤方変位θ ⇒が大きい 赤方変位

参考文献表紙よりキャプチャ

21vv β−′

参考文献表紙よりキャプチャ

1 cosv

β θ=

′−

光行差光行差

θ ′θ

coscos θ βθ +′ = vβ =cos1 cos

θβ θ+ c

β

二次元のドップラー効果二次元のドップラー効果

ν 光源から発せられた周波数

ν ′ 観測者が受け取る周波数

( )1 221 β

ν 観測者が受け取る周波数

( )211

βν ν

β θ

−′ = vβ =1 cosβ θ− c

β =

波の速さと 波長 振動数の関係波の速さと、波長、振動数の関係

c λν=(1 )c 波の速さ 秒間に動く山の距離　

波長 山 ら山ま 距離( )λ 波長 山から山までの距離　

(1 )ν 振動数 秒間に通り過ぎる山の数　

2ν = の場合