線形空間の入門編 Part3 - FC2minami106.web.fc2.com/math/3_handout.pdf商線形空間から次元定理へ. ここから先の内容は··· 理解できなければ, 最後の結果(次元定理)だけ知っておこう

.

......線形空間の入門編 Part3

あけまつしんじ

j1701

March 15, 2013

あけまつしんじ (j1701) 線形空間の入門編 Part3 March 15, 2013 1 / 46

table of contents

...1 線形写像の像と核

...2 商線形空間

...3 次元定理


まずは例

.f : R2 → R2を次の通りに定義..

......f

(x

y

)=

(1 −1−1 1

)(x

y

)=

(x− y

y − x

).

この写像は, y = xであるベクトル(xy

)をすべて 0に送る!!

.例..

......

f

(1

1

)=

(1− 1

1− 1

)=

(0

0

)f

(−2

−2

)=

(−2 + 2

−2 + 2

)=

(0

0

).


まずは例


まずは例

.y = xとはナニモノ??..

......

y = xは,

f で写すと 0に行くベクトルの集合

なので, 次の方程式の解!!

f

(x

y

)=

(x− y

y − x

)=

(0

0

).

この「f で 0に潰れる」集合が,とっても重要な役割を果たす!!


線形写像の核

.定義..

......

線形写像 f : V → W に対して,

Ker fdef= {x ∈ V | f(x) = 0} ⊂ V.

と定義. Ker f を線形写像 f の核 (Kernel)という.

V W

f

fKer

0


線形写像の核

Ker f をわざわざ考える理由.

Ker f は素敵な性質をいっぱい持っている!!


線形写像の核

.命題........Ker f は, V の部分空間である.

示すべきことは 3つ!!

Ker f = ∅.

∀v, w ∈ Ker f ⇒ v + w ∈ Ker f.

∀v ∈ Ker f, ∀c ∈ R ⇒ cv ∈ Ker f.


線形写像の核

.証明..

......

線形写像の性質より,f(0) = 0.

よって, 0 ∈ Ker f である.

∀v, w ∈ Ker f をとる. v + w ∈ Ker f を示すために · · ·

f(v + w) = f(v) + f(w) = 0 + 0 = 0.

よって, v + w ∈ Ker f .

∀c ∈ R, ∀v ∈ Ker f とする. cv ∈ Ker f を示すために · · ·

f(cv) = cf(v) = c · 0 = 0.

よって, cv ∈ Ker f. □


また例に戻ろう.

.最初の例 f : R2 → R2

..

......

f

(x

y

)=

(1 −1−1 1

)(x

y

)=

(x− y

y − x

).

いま, 適当に 4つの点をきめて f で写してみよう.(1

2

),

(−4

1

),

(1

−1

),

(5

2

).



f

(1

2

)=

(1 −1−1 1

)(1

2

)=

(−1

1

)f

(−4

1

)=

(1 −1−1 1

)(−4

1

)=

(−5

5

)f

(1

−1

)=

(1 −1−1 1

)(1

−1

)=

(2

−2

)f

(3

−2

)=

(1 −1−1 1

)(5

2

)=

(3

−3

)



予想直線 y = −xの上に必ず乗る??



.証明してみよう...

......

∀(xy

)∈ R2.(

1 −1−1 1

)(x

y

)=

(x− y

y − x

)= (x− y)

(1

−1

)∈⟨(

1

−1

)⟩

このことから,::::::::::::::::::::R2の元をすべて写すと,

⟨(1−1

)⟩になる

ということも分かる!! ⇒ もっと一般的に考えよう!!


線形写像の像

.定義..

......

線形写像 f : V → W に対して,

Im fdef= {f(x) ∈ W | x ∈ V } ⊂ W.

と定義. Im f を線形写像 f の像 (Image)という.

V Wf

Im f


線形写像の像

.命題........Im f はW の部分空間.

.Proof...

......

f(0) = 0より, 0 ∈ Im f.

∀f(v), f(w) ∈ Im f に対して,

f(v) + f(w) = f(v + w) ∈ Im f.

∀c ∈ R, ∀f(v) ∈ Im f に対して,

cf(v) = f(cv) ∈ Im f.

よって, Im f はW の部分空間.


線形写像の像

.さっきの例では..

......

Ker f =

⟨(1

1

)⟩.

Im f =

⟨(1

−1

)⟩.

　.さらに分かること..

......

dim (Im f) + dim (Ker f) = 2 = dimR2

(次元定理 (dimension theorem)によってこの謎が明らかに!!)


簡単な例

.次の線形写像 f の像と核の基底と次元を求めよ...

......

f : R3 → R3

f

xyz

=

1 2 −10 1 11 1 −2

xyz

定義を確認!!　

Ker f =

xyz

| f

xyz

=

000

Im f =

f

xyz

|

xyz

∈ R3


簡単な例

まず, Ker f を求めてみよう.1 2 −10 1 11 1 −2

xyz

=

000

の解を求めればOK. ⇒ 掃き出し法 1 2 −1

0 1 11 1 −2

∣∣∣∣∣∣000

→

1 2 −10 1 10 −1 −1

∣∣∣∣∣∣000

→

1 2 −10 1 10 0 0

∣∣∣∣∣∣000

→

1 0 −30 1 10 0 0

∣∣∣∣∣∣000


簡単な例

最後の行列から連立方程式をつくると,{x− 3z = 0 ⇒ x = 3z

y + z = 0 ⇒ y = −z.

z = tとおくと, x = 3t, y = −tなので,xyz

=

3t−tt

= t

3−11

. (t ∈ R).

∴ Ker f =

⟨ 3−11

⟩. dim (Ker f) = 1.


簡単な例

Im f を求めてみよう.xyz

∈ R3に対して, 次を計算.

1 2 −10 1 11 1 −2

xyz

.

1 2 −10 1 11 1 −2

xyz

=

x+ 2y − zy + z

x+ y − 2z

= x

101

+ y

211

+ z

−11−2


簡単な例

.ここで大事なこと..

......

3本のベクトル 101

,

211

,

−11−2

は, Im f の基底にはなっていない!! (why?)

Im f の基底を求めるためには, 余計な子を取り除く必要がある!!


簡単な例

.3つのベクトルの関係の判定..

......

3つのベクトルは, 1 2 −10 1 11 1 −2

の列ベクトル. 実は, これを基本変形で簡単にした1 0 −3

0 1 10 0 0

の列ベクトルどうしの関係は,最初の行列の列ベクトルのものと同じになる!!


簡単な例

これを使うと,

−3

101

+

211

=

−11−2

.

とわかるので, 右辺に左辺を代入.

f

xyz

= x

101

+ y

211

+ z

−3

101

+

211

右辺を整理すると,

f

xyz

= (x− 3z)

101

+ (y + z)

211

.


簡単な例

x− 3z = t, y + z = sとおきなおして,

f

xyz

= t

101

+ s

211

.

101

,

211

は線形独立なので, Im f の基底!!

　 ∴

101

,

211

は Im f の基底で, dim (Im f) = 2. □


商線形空間から次元定理へ

.ここから先の内容は · · ·..

......

理解できなければ, 最後の結果 (次元定理)だけ知っておこう.(数学科でも難しいといわれている内容)

理解できると, 剰余群, 剰余環等の理解の助けになる.


商線形空間から次元定理へ

.これからやることのイメージ..

......

線形空間を部分空間で割る!!

V,W : linear space,W ⊂ V

⇒ V/W

商線形空間 (quotient linear space)!!


同値関係

”イコール”の性質について考えてみよう..イコールは次のような性質を持つ..

......

...1 a = a (自分と自分はイコール)

...2 a = b ⇒ b = a (aと bがイコールなら bと aもイコール)

...3 a = b, b = c ⇒ a = c (三段論法)

イコールの他にも, 同じような性質を満たす”関係”が色々ある.


同値関係

.例..

......

ふたつの整数 a, bを 3で割った余りが同じなら,

a ≡ b mod 3.

とすると, 次が成立....1 a ≡ a mod 3 (自分自身とは 3で割った余りが同じ)...2 a ≡ b mod 3 ⇒ b ≡ a mod 3.(aと bの余りがおなじなら, bと aの余りが同じ)

...3 a ≡ b mod 3, b ≡ c mod 3 ⇒ a ≡ c mod 3.(aと bの余りが同じ, bと cの余りが同じなら, aと cも同じ)

a ≡ b mod 3 のとき, a, bは 3を法として合同という.


同値関係

.例..

......

ふたつの命題 P,Qが同値なら,

P ⇐⇒ Q.

とすると, 次が成立....1 P ⇐⇒ Q (自分と自分は同値)...2 P ⇐⇒ Q ⇒ Q ⇐⇒ P.(P とQが同値なら, Qと P も同値)

...3 P ⇐⇒ Q,Q ⇐⇒ R ⇒ P ⇐⇒ R(P とQが同値, QとRが同値なら, P とRも同値)


同値関係

大事な”関係”は, 一般にこういう性質を持っていることが多い..定義..

......

関係∼が以下の性質を満たすとき,∼は同値関係 (equivalent relation)であるという.

...1 a ∼ a. (反射律 / Reflexive)

...2 a ∼ b ⇒ b ∼ a. (対称律 / Symmetric)

...3 a ∼ b, b ∼ c ⇒ a ∼ c. (推移律 / Transitive)


商集合

「3を法として合同」という同値関係を考える.⇒ ”合同な数”を集めて分類してみる.

3で割った余りが 0の数だけを集めた.




商集合

...1 3で割った余りが 0の数を集めた集合def= 0



0, 1, 2を同値類といい, 0, 1, 2の任意の元を代表元という..商集合..

......

Z≥0/ ≡ def= {0, 1, 2}.

Z≥0の≡による商集合 (quotient set).


商集合

一般の同値関係についても同じ事ができる!!.定義..

......

集合X の上の同値関係∼に対して,

X/ ∼def= {x | x ∈ X}.

を, X の∼による商集合 (quotient set)という.(x = {y ∈ X | x ∼ y})


商線形空間

V は R-線形空間, W は部分空間とする..次のような関係を考える...

......

v ∼ wdef⇐⇒ v − w ∈ W.

これは, V の上の同値関係になる.

この同値関係により, V の商集合を考える..定義..

......

V/Wdef= V/ ∼ .

と定義し, V/W を V のW による商線形空間 (quotient linear space)という.


商線形空間

.定理..

......

V/W = {v | v ∈ V }は次の和とスカラー倍について R-線形空間になる.

x+ y = x+ y

cx = cx


商線形空間

.証明..

......

演算がwell-defined (代表元の選び方によらない)ということを示す.

v, wのそれぞれの別の代表元を v′, w′とする.v + w = v′ + w′を示す. v′ ∈ v, w′ ∈ wより,

∃x, y ∈ W s.t. v + x,w′ = w + y.

v′ + w′ = v′ + w′

= v + x+ w + y

= v + w + x+ y

= v + w + 0

= v + w


商線形空間

.証明..

......

cv = cv′を示す. v′ ∈ vより,

∃x ∈ W s.t. v′ = v + x.

cv′ = cv′

= c(v + x) = cv + cx

= cv + cx

= cv + 0

= cv

∴ 和とスカラー倍は well-defined. さらに, V/W は明らかに和とスカラー倍について閉じていて, 8つの代数的性質を満たす.よって, R-線形空間. □


準同型定理から次元定理へ

.定義..

......

線形写像 f : V → W が全単射のとき, f を線形同型写像 (linearisomorphism)と呼ぶ. f が線形同型写像であることを次のように書く.

f : V∼→ W

また, 線形空間 V,W の間に線形同型写像が存在するとき,V,W は同型 (isomorphic)であるといい, V ≃ W とかく(線形空間としての構造が全く同じ).



.定理..

......

準同型定理線形写像 ver. f : V → W を線形写像とする. f は自然な線形同型写像

φ : V/Ker f∼→ Im f

φ(v) = f(v).

を引き起こす.

示すべきことは 4つ!!...1 φは well-defined (代表元のとりかたによらずに値が定まる)...2 φは線形写像....3 φは全射....4 φは単射.



.証明..

......

φは well-defined. ∀v ∈ V/Ker f とし, 別の代表元を v′とする.

v′ ∈ vより, ∃x ∈ Ker f s.t. v′ = v + x.

φ(v′) = f(v′) = f(v + x)

= f(v) + f(x)

= f(v) + 0 (∵ x ∈ Ker f).

よって, f(v′) = f(v)だから, well-defined.



.証明..

......

φは線形写像.

φ(v + w) = f(v + w)

= f(v) + f(w)

= φ(v) + φ(w).

φ(cv) = f(cv)

= cf(v)

= cφ(v).

よって, φは線形写像.



.証明..

......

φは全射.∀f(v) ∈ Im f をとる.v ∈ V/Ker f をとると, φ(v) = f(v)なので, 全射.

φは単射.任意の線形写像について,

f が単射 ⇐⇒ Ker f = {0}.という定理を使う (証明せよ!!). ∀v ∈ Kerφをとると,φ(v) = f(v) = 0 より, v ∈ Ker f .∴ v = 0となり, Kerφ = {0}.よって, φは全単射. □



.命題..

......

V が有限次元 R-線形空間, W はその部分空間とすると,

dimV/W = dimV − dimW.

.Proof.........略 (商線形空間の基底の個数を数えることで得られる)



.次元定理 (dimension theorem)..

......

f : V → W を線形写像とする.

dim (Im f) + dim (Ker f) = dimV.

.Proof...

......

V/Ker f ≃ Im f.

より, 両辺に dimをとると,

dimV − dim (Ker f) = dim (Im f).

あとは移項して, 次元定理を得る.


レクチャーで取り上げた内容

...1 線形空間の定義

線形空間の例

線形独立, 線形従属基底

...2 部分空間

写像

線形写像...3 線形写像の像と核

商線形空間

準同型定理 (線形写像 ver)次元定理


ありがとう。

Thank you !!!Good luck !!!


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