相対性理論とベクトル（テンソル）解析

参考書時空の物理学 Taylor & Wheeler 現代数学社ファインマン物理学 岩波書店時空の幾何学 特殊および一般相対論の数学的基礎 J.J. Callahanシュプリンガー東京重力 アインシュタインの一般相対性理論入門 J.Hartle ピアソン

相対性理論 W. Pauli 講談社

理論電磁気学 砂川重信 紀伊国屋書店場の古典論 Landau & Lifshitz 東京図書

曲線と曲面の微分幾何 小林昭七 裳華房テンソル解析 田代嘉宏 裳華房解析概論 高木貞治 岩波書店

)(motionofEquation BvEpF qdtd

0

forlawsGauss' EE

0forlawsGauss' BB

tEjB 000lawsAmpere'

tBElawsFaraday'

マックスウェル方程式

パラドックス

一様な磁場の中の静止している荷電粒子

+q

Br

+q

BVqFrrr

Vr

Br

速度 で動いている観測者V

相対性原理

すべての物理法則は、相対速度が一定であるすべての観測者にとって、同じ形に書かれなければならない

一般相対性理論加速度運動をしている座標系に拡張

特殊相対性理論

等価原理

慣性質量と重力質量は等しい慣性力は質量に比例（加速度が質量に反比例）重力は質量に比例

無重力空間を重力加速度gで加速される箱の中にいる人は、地上にいるのと区別がつかない

2rMm

GF

amF

g

i

gi mm

ガリレイ変換

101

vzt

vzt

G

G

t

z

R

観測者 G は観測者R の z 軸上を正の向きに（速度 ）で移動v

O O

ガリレイ変換はニュートンの運動方程式を不変に保つが、マックスウェルの方程式は異なる形になる

ローレンツ変換

22 )(1sinh

)(11coshtanh

coshsinhsinhcosh

c/vc/vu

c/vuuc/v

cuuuu

zct

cG

c

G

ct

z

R

観測者 G は観測者R の z 軸上を正の向きに（速度 ）で移動v

O O

計量テンソル

zyxct

zyxctGQ

1000010000100001

T xx

4次元時空間の1点 事象

zyxct

x

計量テンソル G で内積を定義

ローレンツ変換不変量時空間での2点（2事象）間の間隔

00

)(422222

SforSSforSP

zyxtcPSz,y,x,ctP

）（

のノルム次元時空の事象

ローレンツ変換はこの間隔を不変に保つ計量テンソルが決まれば、それによって決まる内積を不変にする座標変換が定まる

ユークリッド空間での回転による座標変換で2点間の距離が不変 であることと対応222 zyx

エネルギーと運動量

相対論的運動量221 cvmvp

相対論的エネルギー

L2

422

22

2

83

21

1 cvmvmc

cvmcE

2mcE

2222 )()( pcEmc静止質量 m はローレンツ変換で不変

P = 0 エネルギーと質量は等価 原子力太陽

m = 0 （光子）)( chp,hEpcE より

例：3次元極座標の計量テンソル

dwdvdu

hh

hdwdvdu

dddr

rrdddr

drdrdrdsrzryrx

w

v

u

2

2

2

22

2

2222222

000000

sin0000001

sincos

sinsincossin

線素

直交曲線座標では対角成分のみ

パラドックス

一様な磁場の中の静止している荷電粒子

+q

Br

+q

BVqFrrr

Vr

Br

速度 で動いている観測者V

自分で調べてみてください。

電場・磁場のローレンツ変換

マックスウェル方程式はローレンツ変換で不変

等速直線運動する荷電粒子の作る電場

20

14 r

qE222

0 /1

114 cVr

qE

Vvv 0

曲率

空間曲線の曲率

単位接線ベクトル )(stds

sd )(t

)(st

)( sst

曲率半径

ss 半径1

ttt 1ss

t

曲面の曲率

曲面上の曲線

曲面上の曲線

曲面上の点Pの曲率Pで直交する2曲線のPでの曲率が最大値 最小値になるような2曲線が選べる （主曲率）

P

1 2

ガウス曲率 21K

曲面の曲率の他の求め方単位法線ベクトル

ガウス曲率K＝lim (面積比)P

面積をベクトル積で与えれば、負の値も取り得る

半径 R の球面の曲率＝ 22

1RR

半径1

n

n

面積は立体角に等しい

ガウス曲率

平面 曲率＝0

球面 曲率＞0

鞍面（双曲面） 曲率＜0では円筒面は？

曲率＝0

平面をしわなく円筒に巻き付けることができる計量が変わらない（平面上の直線は円筒面でも直線）

非ユークリッド幾何学（曲がった空間 曲率≠0 の幾何学）三角形の内角の和が180°でない平行線公準が成り立たない（任意の直線上にない一点を通る平行な直線がただ一本存在する）

例えば （2次元）球面上の幾何学

直線とは 2点間を最短で結ぶ線（測地線）

球面上の直線＝大円

三角形の内角の和＞180°（赤道と2つの直交する経線で囲まれた三角形の内角の和＝270°）

球面上の計量テンソル

2222

22

2222

222222

)(sin001

)(sin

sincos

sinsincossin

drdrdsRr

ddr

RrRddr

dRrRdr

RrdRdRdsRz

RRyRx

線素

半径

平面上の極座標

内在的幾何

)(sin001

22

RrRG

（ガウスの基本定理）

空間の計量テンソル が

与えられれば、空間のガウス曲率は決定できる

その空間がどのようにさらに高い次元の空間に埋め込まれているかを知る必要がない（曲面の法線ベクトルを知る必要がない）

一般相対性理論質量が時空間を曲げる（曲率≠0にする）物体は曲がった時空間の測地線（＝直線、最短距離）を通る時空間座標の関数として各点に計量テンソル（テンソル場）

アインシュタイン方程式 テンソルで表記質量の分布を与えて曲率（計量）を求める曲率から測地線が求まる（粒子の運動の軌跡）

一般相対性理論質量によって4次元時空間（多様体）がゆがむ

1919 皆既日食太陽のそばを通る星の光が曲がることで検証光は曲がった時空間の測地線（最短距離）を通る

ブラックホール 時空間に開いた穴？ ホワイトホールへ？

1919年の日食

一般相対論 Schwarzschildの解（球対称曲率源の外の真空空間の幾何学）

)sin(21)(21 222221

22

22 ddrdr

rcGMcdt

rcGMds

線素