数学科学習指導案 指導者 広島県立五日市高等学校 教諭 松本 大地 １ 日時・場所 平成 28年７月 19日（火）第１限目，７月 20 日（水）第２限目 １－３教室 ２ 学年・学級 １年３組 40名（男 16名 女 24 名） ３ 単元名 二次関数 ４ 単元について （１）単元観 中学校では，具体的な事象の中から二つの数量を取り出し，それらの変化や対応を調べることを通して，関数関係を見いだし表現し考察することを学習している。また，一次関数や関数 � = ��� などの単元を通して，表，式，グラフを相互に関連付けることも学習している。 本単元では，二次関数の値の変化について，グラフを用いて考察し，最大値や最小値を求めることができるようにする。現実世界の課題から関数関係を見いだし，表・式・グラフなどを用いて数学的に処理し，処理したことを現実の場面に戻して解釈することで，現実世界の課題を解決する。このような一連の流れを通して，二次関数を具体的な事象の考察に活用できるようにするとともに，二次関数を用いて数量の変化を表現することの有用性を認識させることをねらいとしている。

（２）生徒観 本単元に入る前に，関数の有用性についての意識調査をするため，事前アンケートを行った。それぞれの質問項目に対して「役に立たない（１），あまり役に立たない（２），まあまあ役に立つ（３），役に立つ（４）」の４段階で，各段階を数値で表して評価させた。事前アンケートの結果は次の通りである。 質問項目 回答の平均値 Ｑ１．関数のグラフをかくことは，課題を解決する上で役に立つと思いますか。 3.2 Ｑ２．関数の式は，課題を解決する上で役に立つと思いますか。 3.1 Ｑ３．関数で学習した内容は，現実の世界の課題を解決することに役に立つと思いますか。 2.1 事前アンケートの結果から，Ｑ３の「関数で学習した内容は，現実の世界の課題を解決することに役に立つと思いますか。」について否定的な傾向にあることが分かる。このことから，関数の有用性を認識している生徒が少ないことが課題といえる。 （３）指導観

問題解決の過程と関数的な考えを育てるための学習活動 問題解決の過程 関数的な考えを育てるための学習活動 １ 問題把握・形成 事象の中から依存関係を見付ける。 ２ 見通しを立てる 何を � とおき，何を � とおけば，よりよく問題が解決できそうかを考える。 ３ 解決の実行 伴って変わる二つの変量がどのような依存関係にあるかを表，式，グラフを用いて調べる。 ４ 検討 導かれた答えが問題の条件を満たすかどうかを確認する。

関数を活用することで現実世界の課題を解決できるということを通して，生徒に関数の有用性を実感させたい。そのために，「陸上競技トラックの問題」を用いて，「現実世界の課題から関数関係を見いだし，表・式・グラフなどを用いて数学的に処理し，現実世界の課題を解決する」ことで，関数を用いた問題解決の理解を深めさせる。 陸上競技トラックの問題 競技場内に次の条件を満たす陸上競技トラックを設計したい。 条件 ・陸上競技トラックは図のような形状とする。 ・カーブの部分は半円である。 ・１周 400ｍの陸上競技トラックにする。 ・６人が同時に走れるようにレーンは６つ作る。 ・各レーンの幅は１ｍとする。 ・内側の長方形の面積ができるだけ大きくなるようにする。 競技場の大きさが縦 200ｍ，横 100ｍであり，安全面を考慮して競技場の端から外側のトラックまでの距離を 10ｍ以上離す必要がある。このとき，条件を満たす陸上競技トラックを設計せよ。

問題解決の過程では，下の表のように，それぞれの過程において必要な関数的な考えを育てるための学習活動を組み入れる。

上の表の問題解決の過程１～４を「陸上競技トラックの問題」に，以下のように対応させる。 ◇（問題解決の過程１・２） 生徒が関数関係を見いだす場面を設定する。具体的には「この問題を解決するためには，

何が決まっていて何が変えられるか，そして，何を � とおけばよいか」を生徒に考えさせる。この問題では，� とおく数量が複数（３パターン）あり，これら３つのパターンすべてを生徒から引き出す。 ◇（問題解決の過程３） 条件を満たす陸上競技トラックについて，グループで相談しながら考察を進めさせる。 ◇（問題解決の過程４） 問題の条件から，定義域を調べ，求めた解を吟味する必要があることに気付かせる。 ３つのパターンの解答について，関数の式やグラフの違い，定義域の違いを比較することで，解答の見通しの重要性や既習事項の理解を深めさせる。また，この問題を解決することを通して，関数の式やグラフの必要性も生徒に感じさせたい。

５ 単元の目標 現実世界の課題から関数関係を見いだし，表・式・グラフなどを用いて数学的に処理し，現実世界の課題を解決することができる。 ６ 単元の評価規準 ①関心・意欲・態度 ②数学的な見方や考え方 ③数学的な技能 ④知識・理解 ア 二次関数とそのグラフについて関心をもち，それらを二次関数の考察に活用しようとしている。 イ 関数の値の変化を，グラフを用いて考察しようとしている。

ア 二次関数の式とグラフを関係付けて考察することができる。 イ 文字定数を含む二次関数の最大値・最小値の問題を，場合分けを用いて考察することができる。 ウ 現実世界の課題を解決するために，関数関係を見いだすことができる。 エ 数学を用いて処理したことを現実の場面に戻して解釈し，解決方法を説明することができる。

ア 与えられた関数の式から頂点と軸を求めることができる。 イ 二次関数のグラフを用いて，最大値や最小値を求めることができる。 ウ 与えられた条件に適する二次関数を求めることができる。

ア 関数を式で表す際，定義域の必要性について理解している。 イ 二次関数の式やグラフの特徴について理解している。 ウ 頂点や軸などの二次関数の特徴について理解している。 エ 連立三元一次方程式の解き方を理解している。

７ 単元の指導計画と評価（全 13時間） 学習内容 時数 評価 関 見 技 知 評価規準 評価方法 関数とグラフ １ ◎ ④－ア ノート 行動観察 小テスト 発表 ワークシート

２次関数のグラフ ４ ◎

◎ ◎ ◎ ①－ア ④－イ ③－ア ②－ア ２次関数の最大・最小 【本時５・６時間目】 ６ ◎

○ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ①－イ ③－イ ③－イ ②－イ，④－ウ ②－ウ ②－エ ２次関数の決定 ２ ◎

◎ ③－ウ ④－エ ８ 本時の展開（５時間目） （１）本時の目標 陸上競技トラックの問題について，関数関係を見いだし考察することができる。 （２）観点別評価規準 現実世界の課題を解決するために，関数関係を見いだすことができる。 （数学的な見方や考え方） （３）準備物 ワークシート（陸上競技トラックの問題），教科書（新編 数学Ⅰ 数研出版） （４）学習の展開（５時間目）

教授・学習活動 （○教授，●学習活動） 指導上の留意点◇ 「努力を要する」状況と判断した生徒への指導の手立て◆ 評価規準 〔観点〕 （評価方法） 導入 10 分 ○ワークシートを配付し，本時の課題を提示して，個人で考えさせる。 ●まず，「陸上競技トラックの問題」の題意や条件を捉えてワークシートに書き込む。 ◇陸上競技トラックの問題（図や条件を含む）を拡大印刷した紙を黒板に貼る。 ◇まず，題意や問題の条件を捉えさせる。

展開 35 分 ○この問題を考えるためには，何に注目したらよいかを考えさせる。 ●まず，関数関係にあるものを見付ける。

●次に，何を � とおけば問題を解決することができるかを個人で考える。

○４人のグループを作り，意見を交流させる。 ●何を � とおけばよいかをグループで考察し，候補を挙げる。 ●グループで出た考えをまとめて発表する。 ○各グループから発表された考えを整理して示す。 ○この問題で関数関係となっているものを多く挙げさせる。その関係と結び付けさせて何を � とおくかを全体で考えさせ，できるだけ多く出させる。 ●発表されたそれぞれの考えに対して，解決の見通しをもつ。

◆関数関係が見付けられない生徒には，前時に学習した問題を想起させる。 ＜前時に学習した問題＞ 長方形ＡＢＣＤにおいて，２辺ＡＢ，ＢＣの長さの和が 10ｃｍであるとする。このような長方形の面積の最大値を求めよ。 ◇候補になりそうな � を複数挙げさせる。

◇題意や条件についてもグループ内で確認させる。 ◇関数的な考えを育てるために，� とおくもののパターン１～３すべてを生徒から引き出す。パターン１～３がすべて出ない場合，陸上競技トラックの内側の部分で決まっているところと変えられるところに着目させて，考察しやすくする。

◆パターン１～３以外の考えで，題意を適切に捉えられていないと考えられるものは，

現実世界の課題を解決するために，関数関係を見いだすことができる。 〔数学的な見方や考え方〕 （行動観察，ワークシート） ＜予想される生徒の反応＞ �とおくもの ・内側の長方形の縦の長さ（パターン１） ・内側の長方形の横の長さ（パターン２） ・半円の弧の長さ（パターン３） ・競技場の端から外側のトラックまでの距離 ・内側の長方形の面積

○グループごとに，解決の方法として示された中から一つ選ばせる。 具体例を用いながら説明し，題意を正しく捉え直させる。 ◇一つのパターンに偏らないように選ばせる。 まとめ ５ 分 ○次時は，選んだパターンについてグループで考察し，問題を解決していくことを伝える。

９ 本時の展開（６時間目） （１）本時の目標 陸上競技トラックの問題を考察し，解決することができる。 （２）観点別評価規準 数学を用いて処理したことを現実の場面に戻して解釈し，解決方法を説明することができる。（数学的な見方や考え方） （３）準備物 ワークシート（陸上競技トラックの問題），解答プリント，教科書（新編 数学Ⅰ 数研出版） （４）学習の展開（６時間目）

教授・学習活動 （○教授，●学習活動） 指導上の留意点◇ 「努力を要する」状況と判断した生徒への指導の手立て◆ 評価規準 〔観点〕 （評価方法） 導入 ５ 分 ○前時を振り返り，本時も「陸上競技トラックの問題」を考察していくことを伝え，本時の流れを説明する。 ◇前時は「何を � とおけばよいか」を中心に考察し，３つのパターンの候補が出たことを確認する。 ◇本時は前時に選んだパターンについてグループで考察し，問題を解決していくことを確認する。

展開 40 分 ○グループで関数の式を作らせ，それを基にそれぞれでトラックを設計させる。 ●関数の式を導き，内側の長方形の面積が最大となるときを求める。

◇グループで相談しながら考察を進めさせる。 ◆平方完成が難しい生徒に対しては，具体例（� = −2�� + 2�など）を解かせ，それを参考に考えさせる。

●問題の条件から，定義域を求める。

●パターンごとの解答を求める。 ○解答プリントを配付して，自分の考えとの違いに気付かせる。 ●答えからどのようなトラックの形状になるかを求め，発表する。

◇問題の条件から，定義域を調べ求めた解を吟味する必要があることに気付かせたい。生徒が気付かないときは，問題の条件を再度確認させる。 ◇関数の式やグラフの違い，定義域の違いを比較することで，理解を深めさせる。 ◇難しい場合は，教師が説明を補足する。

数学を用いて処理したことを現実の場面に戻して解釈し，解決方法を説明することができる。〔数学的な見方や考え方〕 （行動観察，ワークシート） まとめ ５ 分 ●陸上競技トラックの問題を振り返り，学んだことや感想をワークシートに記入する。 ○ワークシートに記入したことを発表させ，全体で共有する。

◇問題解決の流れを振り返らせる。

10 参考文献 片桐重男（2004 年）：『新版 数学的な考え方とその指導 第１巻 数学的な考え方の具体化と指導』明治図書出版 岩田耕司（平成 26年）：小山正孝編『教師教育講座 第 14巻 中等数学教育』協同出版

ワークシート ２次関数の最大・最小の応用

問題 競技場内に次の条件を満たす陸上競技トラックを設計したい。 条件 ・陸上競技トラックは図のような形状とする。 ・カーブの部分は半円である。 ・１周 400m の陸上競技トラックにする。 ・６人が同時に走れるようにレーンは６つ作る。 ・各レーンの幅は１m とする。 ・内側の長方形の面積ができるだけ大きくなるようにする。 競技場の大きさが縦 200m，横 100m であり，安全面を考慮して競技場の端から外側のトラックまでの距離を 10m 以上離す必要がある。このとき，条件を満たす陸上競技トラックを設計せよ。 ポイント・・・何を � とおくか （自分の解答）

１年（ ）組（ ）番 氏名（ ） （グループでの話し合い）

　トラックの問題の解答例　　　　　　　　　　　１年 組 番　氏名

１．内側の長方形の縦の長さを xとした場合

内側の長方形の縦の長さを xとおく。トラックは１周 400mなので，カーブ部分の長さ（半円２つ分の円周の長さ）は400−2xである。これより，半円の直径（内側の長方形の横の長さ）aは

πa = 400− 2x より，a = 400− 2xπ

である。

これより，トラックの内側の長方形の面積 yは

y = ax

=

(400− 2x

π

)x

= − 2π(x2 − 200x)

= − 2π{(x− 100)2 − 10000}

= − 2π(x− 100)2 + 20000

π

ここで競技場の大きさの条件より

(i)縦の長さ

x+ a+ 12 ≦ 180x+

400− 2xπ

+ 12 ≦ 180(π − 2)x ≦ 168π − 400

x ≦ 168π − 400π − 2

(ii)横の長さ

a+ 12 ≦ 80400− 2x

π+ 12 ≦ 80

400− 2xπ

≦ 68x ≧ 200− 34π

(i)(ii)より

200− 34π ≦ x ≦ 168π − 400π − 2

93.24 · · · ≦ x ≦ 145.37 · · ·

よってグラフよりx = 100のとき，最大となる。

　　

　

x

a

x+ a+ 12

a2

a2

a+ 12

O

y

x

200− 34π168π−400

π−2100

２．半円の半径を xとした場合

半円の半径を xとおく。カーブ部分の長さ（半円２つ分の円周の長さ）は 2πxである。また，トラックは１周 400mなので，長方形の縦の長さを lとすると2l + 2πx = 400 より，l = 200− πxである。これより，トラックの内側の長方形の面積 yは

y = 2xl

= 2x(200− πx)= −2πx2 + 400x

= −2π(x2 − 200

πx

)

= −2π

{(x− 100

π

)2− 10000

π2

}

= −2π(x− 100

π

)2+

20000

π

ここで競技場の大きさの条件より

(i)縦の長さ

l + 2x+ 12 ≦ 180200− πx+ 2x+ 12 ≦ 180

x ≧ 32π − 2

(ii)横の長さ

2x+ 12 ≦ 80x ≦ 34

(i)(ii)より

32

π − 2≦ x ≦ 34

28.07 · · · ≦ x ≦ 34

ここで100

π= 31.84 · · · から，グラフより

x =100

πのとき，最大となる。

　　

　

l

x

l + 2x+ 12

x

x

2x+ 12

x

O

y

x

32π−2 34

100π

３．半円の弧の長さを xとした場合

半円の弧の長さを xとおく。トラックは１周 400mなので，内側の長方形の

縦の長さは400− 2x

2= 200− x である。

また，半円の直径（内側の長方形の横の長さ）aは

πa = 2x より，a =2x

πである。

これより，トラックの内側の長方形の面積 yは

y = a(200− x)

=

(2x

π

)(200− x)

= − 2π(x2 − 200x)

= − 2π{(x− 100)2 − 10000}

= − 2π(x− 100)2 + 20000

π

ここで競技場の大きさの条件より

(i)縦の長さ

200− x+ a+ 12 ≦ 180200− x+ 2x

π+ 12 ≦ 180

π − 2π

x ≧ 32

x ≧ 32ππ − 2

(ii)横の長さ

12 +2x

π≦ 80

x ≦ 34π

(i)(ii)より

32π

π − 2≦ x ≦ 34π

88.14 · · · ≦ x ≦ 106.76 · · ·

よってグラフよりx = 100のとき，最大となる。

　　

　

a2

200− x

a

200− x+ a+ 12

a+ 12

a2

x

x

O

y

x

32ππ−2 34π100

web指導案（二次関数の最大・最小）【★決裁済み】陸上競技トラックの問題の解答３パターン【★決裁済み】