CdL in Ingegneria per l’Ambiente e il Territorio – Prof ...elenaferretti.people.ing.unibo.it/Geometria_delle_Masse_psingola.pdf · Geometria delle masse 2/97 Testo di riferimento:

CdL in Ingegneria per l’Ambiente e il Territorio – Prof. Elena Ferretti

Geometria delle masse 1/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola

DETERMINAZIONE GRAFICA DEL BARICENTRO

(SISTEMA DI MASSE)



IL BARICENTRO DI UN SISTEMA DI MASSE È IL CENTRO DI UN QUALSIASI SISTEMA DI VETTORI PARALLELI E CONCORDI (DETTI VETTORI MASSA), APPLICATI IN CORRISPONDENZA DELLE MASSE, CON MODULO PROPORZIONALE ALLE MASSE STESSE.

IL CENTRO DI UN SISTEMA DI VETTORI È IL PUNTO ATTORNO AL QUALE RUOTA L’ASSE CENTRALE QUANDO I VETTORI RUOTANO ATTORNO AL PROPRIO PUNTO DI APPLICAZIONE (DELLO STESSO ANGOLO).

LA COSTRUZIONE GRAFICA DISCENDE DIRETTAMENTE DALLA DEFINIZIONE DI BARICENTRO.







MOMENTO STATICO (SISTEMA DISCRETO)

∑= iix ymS ∑= iiy xmS

∑=

=N

iimM

1 MASSA TOTALE

Coordinate del baricentro =G yx S M =G xy S M

y

x

G

xG

yG

x

y

P≡O i

imi



NOTA

DEFINIZIONE CANONICA DI MOMENTO STATICO PER I SISTEMI CONTINUI:

∫ ρ=Ax ydAS , ∫ ρ=

Ay xdAS CON

∫ ρ=A

dAM , G yx S M= , G xy S M=

NELLE APPLICAZIONI DI TIPO INGEGNERISTICO =ρ cost. ⇒ ρ INCIDE SULLE PROPRIETÀ STATICHE SOLO PER UN FATTORE MOLTIPLICATIVO MENTRE NON INFLUENZA LA POSIZIONE DEL BARICENTRO (SI SEMPLIFICA): SI PUÒ PORRE 1=ρ .

SI PARLA PIÙ PROPRIAMENTE DI GEOMETRIA DELLE AREE



MOMENTO STATICO (SISTEMA CONTINUO)

∫=Ax ydAS ∫=

Ay xdAS

Coordinate del baricentro =G yx S A =G xy S A

y

x

dAG

x

yG

x

y

A

P≡O

Figura piana



MOMENTO DI INERZIA ASSIALE

(SISTEMA DISCRETO)

MOMENTI DI INERZIA ∑= 2

iix ymI ∑= 2iiy xmI

MOMENTO CENTRIFUGO ∑= iiixy yxmI

y

xx

y

P≡O i

imi



MOMENTO DI INERZIA ASSIALE (SISTEMA CONTINUO)

MOMENTI DI INERZIA

∫=Ax dAyI 2 ∫=

Ay dAxI 2 (1.)

MOMENTO CENTRIFUGO

∫=Axy xydAI

y

x

dA

x

y

A

P≡O



PROPRIETÀ DISTRIBUTIVA

(DEI MOMENTI STATICI E DI INERZIA)

ASSEGNATE SU DI UN PIANO x/y n AREE DISGIUNTE 1A , 2A ,…, nA , SI VERIFICA:

( )11

n n

ai

ii

a iS SA A==

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠∑∪ (2.)

( )1

, ,1

n n

a a ib a ai

bi

iAI AI==

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠∑∪ (3.)

N.B. LE CARATTERISTICHE STATICHE ED INERZIALI DELLE AREE DISGIUNTE,

( )iaS A ( ), ia abI A , VANNO CALCOLATE TUTTE RISPETTO AGLI STESSI ASSI.



( ) ( ) ( )1 2x x xA AS AS S= + ( ) ( ) ( )1 2y y yA AS AS S= + ( ) ( ) ( )1 2x x xA AI AI I= + ( ) ( ) ( )1 2y y yA AI AI I= + ( ) ( ) ( )1 2xy xy xyA A AI I I= +

( ) ( ) ( )1 2x x xA AS AS S= − ( ) ( ) ( )1 2y y yA AS AS S= − ( ) ( ) ( )1 2x x xA AI AI I= − ( ) ( ) ( )1 2y y yA AI AI I= − ( ) ( ) ( )1 2xy xy xyA A AI I I= −

y

xP≡O

G1

G2A1

A2

1 2A A A= +

x P≡O

y

x

= -G1yy

P≡O P≡O

A1A G22A



MOMENTO DI INERZIA POLARE

(SISTEMA DISCRETO)

( )∑∑ +== 222

iiiiip yxmrmI xy II +=

y

xx

y

P≡O i

imi

r



MOMENTO DI INERZIA POLARE (SISTEMA CONTINUO)

( )∫∫ +==

AAP dAyxdArI 222 xy II += (4.)

y

x

dA

x

y

A

P≡O

r



L’AREA ELEMENTARE VA SCELTA IN MODO CHE I PUNTI CONTENUTI AL SUO INTERNO POSSANO RITENERSI EQUIDISTANTI DALL’ASSE (O DAL POLO) RISPETTO AL QUALE SI VUOLE CALCOLARE IL MOMENTO STATICO O D’INERZIA (O POLARE). MOMENTO STATICO RISPETTO A x

dA Bdy=

( )xdS Bdy y=

0

H

x xS dS Bydy= = =∫ ∫

2

2BH

= (5.)

ORDINATA DEL BARICENTRO

A BH= 2

xG

S HyA

= = (6.)

x

y

B

H

dy

y



MOMENTO STATICO RISPETTO A y dA Hdx=

( )ydS Hdx x=

0

B

y yS dS Hxdx= = =∫ ∫

2

2HB

= (7.) ASCISSA DEL BARICENTRO

A BH= 2

yG

S BxA

= = (8.)

MOMENTO D’INERZIA RISPETTO A x dA Bdy=

( ) 2xdI Bdy y=

2

0

H

x xI dI By dy= = =∫ ∫

3

3BH

= (9.)

x

y

B

H

dx

x

x

y

B

H

dy

y



MOMENTO D’INERZIA RISPETTO A y dA Hdx=

( ) 2ydI Hdx x=

2

0

B

y yI dI Hx dx= = =∫ ∫

3

3HB

= (10.)

ASSI BARICENTRICI

(11.)

dA Bdy=

( ) 2xdI Bdy y=

2

2

2

H

xH

I By dy−

= =∫

3

12BH

=

B/2

H/2

B/2

H/2

y

xG

y

dy

x

y

B

H

dx

x



y

xx≡G

y

r

dr

2R

dA dxdy=

( )xydI dxdy xy=

2 2

2 2

H B

xyH B

I xdx ydy− −

⎛ ⎞⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

2 22

2 2

02− −

⎡ ⎤= =⎢ ⎥

⎣ ⎦∫BH

H B

x ydy

x E y ASSI DI SIMMETRIA 0xyI⇒ = (12.)

(13.)

rdrdA π= 2 ( ) 22 rrdrdIG π=

43

0

22

R

GRI r dr= =∫ ππ

PER LA 4.: 4

2 4G

x yI RI I= = =

π

B/2

H/2

xG

B/2

H/2

y

dy

dx

x



12

A BH=

( ) BdA H y dyH

= −

( )xBdS H y dy yH

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) 2

0 6

H

xB BHS H y ydyH

= − =∫

3x

GS HyA

= = , 3

yG

S BxA

= = (14.)

H-y

y

y

x

B

Hd y

(H-y)B/H

atg(B/H)



( ) BdA H y dy

H= −

( ) 2⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

xBdI H y dy yH

( ) 3

2

0 12

H

xB BHI H y y dyH

= − =∫ (15.)

H-y

y

y

x

B

Hd y

(H-y)B/H

atg(B/H)



23

BdA H y dyH

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

223x

BdI H y dy yH

⎛ ⎞⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

2 33

2

3

23 36

H

xH

B BHI H y y dyH−

⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠∫

(16.)

y

2/3H-y

H

xG

y

B(2/3H-y)B/H

d y

H/3

atg(B/H)



dA dxdy=

( )xydI dxdy xy=

2 2 23 3

3 3

72

B BH y

H

xyH B

B HI xdx ydy−

− −

⎛ ⎞⎜ ⎟= = −⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

(17.)

xG

y

B

H

H/3

d yx

dx

2/3H

y



dA dxdy=

( )xydI dxdy xy=

2 2 23 3

3 3

72

BH

xyH B B

yH

B HI xdx ydy− − +

⎛ ⎞⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

(18.)

xG

y

B

H

H/3

d y x

dx

2/3H

y



xI ′ SI PUÒ OTTENERE INTEGRANDO L’AREA ELEMENTARE dA RISPETTO A y′. PIÙ AGEVOLMENTE, PER LA 3.:

( ) ( ) ( )CDEIADECIADCI xxx ′′′ −=

( ) ( )CDEIADCI xx ′′ = (POLARSIMMETRIA)⇒

( ) ( )12x xI ADC I ADEC′ ′= (19.)

DALLE 11. E 19. ⇒ 3

24xBHI ′ = (20.)

B

H G′

A D

C E

x′

y

G



2

2 2

0

2 sin 2xA

S ydA R t d R t

π

= = θ θ=∫ ∫

2xG

S RyA

= =π

( ) 2 2 3

0

42 sin2x GI tR R y d tR

π

π⎛ ⎞= θ− θ= −⎜ ⎟π⎝ ⎠∫ (21.)

( ) 32 2

0

2 sin2xtRI tR R d

π

π= θ θ=∫ yI= (22.)

N.B. [ ]

2

1sin sin cos2

bb

aa

dθ θ = θ − θ θ∫

R

x

x

G

y≡t

y

θRsinθ

Rdθθ= tRddA

π= tRA



43

xG

S RyA

= =π

22

0 0

42 sin3

R

xRI r r d dr

π

⎛ ⎞= θ− θ =⎜ ⎟π⎝ ⎠∫ ∫

4 488 9R Rπ

= −π

(23.)

( ) 42 2

0 0

2 sin8

R

xRI r r d dr

π

π= θ θ =∫ ∫

OPPURE, DALLE 3. E 13.: 4 41

2 4 8xR RI π π

= = (SIMMETRIA RISPETTO ALL’ASSE x)

212

A R= π

2 3

0

223

R

xS r dr R= =∫R

dry

G

y

x

xr



( )

2

2sin 3

2

2sin

3

s12

insin 12

H

x

H dAy

t HI z t z BHdα

−α

= α = =α∫

( )

2

2cos 3

2

2

d

c

A

os

coscos 12

H

y

H x

t HI z tdz

′α

′−

α

′= α = =

α∫

3

12B H

=′ ′ (24.)

y

xG

B'

BH'

H

dz

α

t

z



TEOREMI DEL TRASPORTO

PRIMO TEOREMA 2

0AdII aa += (25.)

TERZO TEOREMA AdhII baab +=

00 (26.)

y

x

dAG

A

P≡O

a0

a

b0 b

d

h



PER IL CALCOLO DI aI E abI , NON È LECITO CONCENTRARE L’AREA NEL BARICENTRO. ECCEZIONI:

a) SE IN UN RETTANGOLO b×δ RISULTA δ << b

SI HA:

0

2 3 2 2112x x i i iI I Ay b b y b y= + = δ + δ ≅ δ

b) iiiiyxxy yAxyAxII =+=00

y

xP≡O

Gx

y

δ b 0y

xi0

i



PER LE FIGURE NON ELEMENTARI, CON LE 3., 25. IL CALCOLO DI xI E yI È PIÙ AGEVOLE, RISPETTO ALL’USO DIRETTO DELLA DEFINIZIONE (1.).

y

x

x

y

B

HH/6

H/3

x′

y

G

y

xG

x

y

B

H

2 3

2 3x xH BHI I BH ⎛ ⎞= + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 3

2 6 36x xBH H BHI I ′

⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3

2 3 12x xBH H BHI I ⎛ ⎞= + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

CON xI ′ NOTO DALLA 20.



CON LE 22. E 25. SI RIOTTIENE LA 21.

( )2 3 42x x GI I A y tR π⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟π⎝ ⎠

DALLE 3., 13. E 25. SI RIOTTIENE LA 23.

( )4 4

2 88 9x x GR RI I A y π

= − = −π

R

x

x

G

y y

R

y

G

y

x

x



LEGGI DI TRASFORMAZIONE PER ROTAZIONE DEGLI ASSI x/y ATTORNO ALL’ORIGINE

0 0

OQ OH HQ OH WKOWcos SWsinOWcos ROsin cos sin

x

x y

= = + = + == α+ α == α+ α = α+ α

0 0

OT SQ SK QK SK HWSWcos OWsinROcos OWsin cos sin

y

y x

= = = − = − == α− α == α− α = α− α

S

T Q x

y 0y

R

α KH



0 0cos sinx x y= α+ α

0 0cos siny y x= α− α

MOMENTI D’INERZIA

( )220 0cos sinx A A

I y dA y x dA= = α− α =∫ ∫

2 2 2 20 0

0 0

cos sin

2sin cosA A

A

y dA x dA

x y dA

= α + α

− α α

∫ ∫∫

0 0 0 0

2 2cos sin 2 sin cosx x y x yI I I I= α+ α− α α

0 0 0 0

2 2sin cos 2 sin cosy x y x yI I I I= α+ α+ α α

( )0 0

0 0

2 2

sin cos sin cos

cos sin

xy x y

x y

I I I

I

= α α− α α+

+ α− α(27.)



RISULTA (28.) =+=+

00 yxyx IIII costante

ESSENDO (29.)

2 1 cos2cos2

+ αα = 2 1 cos2sin

2− α

α =

2sin cos sin2α α = α LE 27. DIVENTANO (30.)

0 0 0 0

0 0cos2 I sin2

2 2x y x y

x x y

I I I II

+ −= + α− α

0 0 0 0

0 0cos2 I sin2

2 2x y x y

y x y

I I I II

+ −= − α+ α

0 0

0 0sin2 I cos2

2x y

xy x y

I II

−= α+ α



IN UN PIANO xyx II , LE 30.1 E 30.3 DESCRIVONO LA ROTAZIONE DI UN RAGGIO VETTORE, CON ANGOLO DI ROTAZIONE α2 . LE COORDINATE DEL CENTRO DI ROTAZIONE, C, SI RICAVANO DAI TERMINI CHE NON DIPENDONO DAL PARAMETRO α2 :

0 0 , 02

x yI IC

+⎛ ⎞≡⎜ ⎟

⎝ ⎠. (31.)

LA POSIZIONE INIZIALE RISPETTO A C DELL’ESTREMO CHE RUOTA È DATA DAI COEFFICIENTI DEI TERMINI IN α2cos :

0 0 0 0

0 2 2x y x y

x

I I I II

α=

+ −= +

0 00Ixy x yI

α==



PER ROTAZIONE α DEGLI ASSI x E y RISPETTO AGLI ASSI x0 E y0, LA ROTAZIONE DEL RAGGIO VETTORE NEL PIANO xyx II È α2 . IL VERSO DI ROTAZIONE SI CONSERVA.

LA LUNGHEZZA DEL RAGGIO VETTORE SI RICAVA DAL TEOREMA DI PITAGORA, PER 0=α (32.):

( )0 0

0 0 0 0 0 0

222 21 4

2 2x y

x y x y x y

I IR I I I I

−⎛ ⎞= + = − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

(I , I )xyI

x0 0 y0(I , I )x

C2α

I

xx y

I + I x0 0y

2xI - I y

20 0

x

0y0xI

O

y 0

α

dAx

x0

A



POSIZIONE ASSUNTA PER 2α = π DALL’ESTREMO CHE RUOTA:

0 0 0 0

2 2 2x y x y

x

I I I II π

α=

+ −= −

0 02

Ixy x yI πα=

= −

(I , I )

0yx 0

Ixy

0x

π

C

x0y 0

I

(I , -I )y 0

0yx 0I

x0y 0

Ix

xI + I

I - I

y

20 0

x y

20 0

2I - I

0x y 0

O

y 0

α

dAx

x0

A



NEL PIANO xyy II , LE 30.2 E 30.3 DESCRIVONO LA ROTAZIONE IN α− 2 DI UN RAGGIO VETTORE CON STESSO CENTRO DI ROTAZIONE C E STESSA LUNGHEZZA R (IL VERSO NON SI CONSERVA). SOVRAPPONENDO I PIANI

xyx II E xyy II , I DUE RAGGI VETTORI SONO SIMMETRICI RISPETTO ALLA VERTICALE PER C ( α∀ ).

(I , I )

xI + I

I 0 yx 0

xy

0x

I - I 2α

y

20 0

Cx y

20 0

x(I , I )yx

x0 y0

I ,x

2α

2I - I

0x y0

Iy

(I , I )y yx(I , I )y0 yx0 0

O

y 0

α

dAx

x0

A



CIRCOLI DI MOHR CONSENTONO DI CALCOLARE I MOMENTI DI INERZIA xI E yI , RISPETTO AD UNA QUALSIASI COPPIA DI RETTE NORMALI PER O, x E y, NOTI I MOMENTI DI INERZIA

0xI , 0yI E IL MOMENTO

CENTRIFUGO 00 yxI , RISPETTO

AD UNA PREFISSATA COPPIA DI RETTE NORMALI 0x E 0y PER O.

SI COSTRUISCONO NEL PIANO x xyI I A PARTIRE DAI PUNTI

( )0 0 0, x x yD I I≡ E ( )0 0 0

, y x yD I I′ ≡ − .



A RIGORE, D′ NON DOVREBBE ESSERE DISEGNATO NEL PIANO

x xyI I , MA NEL PIANO y xyI I .

Ix

xy

D≡(I , I x x0 0 0y

D'≡(I , −I )y0 yx0 0

x

dA

A

O

x

y

0

0y

α



L’IDEA DI BASE È INDIVIDUARE 2 PUNTI DIAMETRALI, COI QUALI IDENTIFICARE IN MODO UNIVOCO L’INTERO CIRCOLO.

POICHÉ LE 30. SONO NEL PARAMETRO α2 , PUNTI DIAMETRALMENTE OPPOSTI (ANGOLO AL CENTRO DI π) RAPPRESENTANO PROPRIETÀ INERZIALI PER COPPIE D’ASSI RUOTATE TRA LORO DI 2π . NELL’IPOTESI CHE

0xI , 0yI E

00 yxI SIANO NOTI ( 0=α ) È QUINDI SUFFICIENTE TROVARE IL PUNTO PER 2α = π .



IL CIRCOLO È IDENTIFICATO IN MODO UNIVOCO SE SONO NOTI

( )0

,x xyD I Iα=

≡ E ( )2

,x xyD I I πα=

′ ≡ .

0 0 0 00, , , ,x y xy x y x yI I I I I I

α== NOTI

0 022

0 02 2

x y

xy xy

I Ix y

y x I I

ππ α=α= α= α=

π πα= α= α= α=

⎧ =⎧ =⎪⎪ ⇒⎨ ⎨

= − = −⎪ ⎪⎩ ⎩

RISULTA ( ) ( )0

2

, ,x xy y xyI I I Iπα= α=

≡ −

y

dA

0

Aα=0 0y

y

dA

Aα=π/2



SI SUOLE QUINDI PORRE ( )

000, yxy IID −≡′ E DISEGNARE

QUESTO PUNTO, CON ABUSO DI FORMALISMO, NEL PIANO

x xyI I , RESTANDO INTESO CHE

0yI È IL MOMENTO DI INERZIA

xI RISPETTO ALL’ASSE x, QUANDO QUESTO RUOTA DI UN ANGOLO TALE DA PORTARLO A SOVRAPPORSI ALL’ASSE 0y .

PER LO STESSO ANGOLO DI ROTAZIONE, IL MOMENTO CENTRIFUGO xyI PER LA COPPIA D’ASSI RUOTATA x y ASSUME IL VALORE

00 yxI− .



Ix

xy

D≡(I , I

C

x x0 0 0y

D'≡(I , −I )y0 yx0 0

x

dA

A

O

x

y

0

0y

α

00 yx II >

000

>yxI

x0xOy0

yα=0

Oy0

α=π

x0y



Ix

xy ξI

IηD≡(I , I

C

x x0 0 0y

D'≡(I , −I )y0 yx0 0

x

dA

A

O

x

y

0

0y

α

00 yx II >

000

>yxI

MOMENTI PRINCIPALI D’INERZIA



IL PUNTO DI COORDINATE ( ),0ξI È IL RUOTATO DI D SECONDO IL PIÙ PICCOLO DEGLI ANGOLI DI ROTAZIONE AL CENTRO CHE PORTANO D SULL’ASSE xI .

IL PUNTO DI COORDINATE ( ),0ηI È IL RUOTATO DI D' SECONDO IL PIÙ PICCOLO DEGLI ANGOLI DI ROTAZIONE AL CENTRO CHE PORTANO D' SULL’ASSE xI .

ξI E ηI , ESTREMANTI DI xI AL VARIARE DI α, SONO TALI CHE 0ξη =I .



SI RICAVANO DALL’ASCISSA DI C (31.), AGGIUNGENDO E TOGLIENDO IL RAGGIO (32.). SE

0 0>x yI I ⇒ ξ η>I I :

0 0 0 0

0 0

2

2

2 2

ξ

η

+ −⎛ ⎞= ± +⎜ ⎟

⎝ ⎠

x y x yx y

I

I I I II

I

OPPURE:

( )0 0

0 0 0 0

2 21 42 2

x yx y x y

II I

I I I

I

ξ

η

+= ± − +



SE 0 0

>y xI I , IL PUNTO D SI TROVA ALLA SINISTRA DEL PUNTO D' ⇒ η ξ>I I :

0 0 0 0

0 0

2

2

2 2

η

ξ

+ −⎛ ⎞= ± +⎜ ⎟

⎝ ⎠

x y x yx y

I

I I I II

I

OPPURE:

( )0 0

0 0 0 0

2 21 42 2

η

ξ

+= ± − +x y

x y x y

II I

I I I

I



Ix

D*

xy ξI

IηD≡(I , I

C

x x0 0 0y

D'≡(I , −I )y0 yx0 0

x

dA

A

O

x

y

0

0y

α

00 yx II >

000

>yxI

POLO DI MOHR 0*DD x , 0*D D y′



xdA

A

O

xy

0

0y

α

Ix

D*

xyI ξI

Iη

D≡(I , I )

C

x x0 0 0y

D'≡(I , −I )y 0 yx0 0

00 yx II >

000

>yxI

0*DD x , 0*D D y′

0x

0y



Ix

D*

xyIξI

IηD≡(I , I

C

x x0 0 0y

D'≡(I , −I )y 0 yx0 0

2β

β

T≡(I , I ⊥||||t t t

||t

00 yx II >

000

>yxI

PROPRIETÀ DEL POLO DI MOHR

x

dA

A

O

x

y

0

0y

α

tβ



Ix

D*

xy ξI

IηD≡(I , I

C

x x0 0 0y

D'≡(I , −I )y0 yx0 0

2α0

ξη

0α

x

dA

A

O

x

y

0

0y

α

ξ

η

α0

00 yx II >

000

>yxI

ASSI PRINCIPALI D’INERZIA



Ix

D*

xy

ξI

Iη

C2α0

ξη

0αxD≡(I , I )

000 x y

D'≡(I , −I )0x y00y

x

dA

A

O

x

y

0

0y

α

ξ

η

α0

00 yx II >

000

<yxI



Ix

D*

xy

ξI

Iη

C2α0ξ

η

0αxD≡(I , I )

000 x y

0D'≡(I , −I )y 0x y0

x

y

0

0y

α

ξ

η

α0

x

dA

A

O

00 yx II <

000

>yxI



Ix

D*

xy

ξI

Iη

C2α0

ξη

0αxD≡(I , I )

000 x y

0D'≡(I , −I y 0x y0

x

dA

A

O

x

y

0

0y

α

ξ

η

α0

00 yx II <

000

<yxI



NOTE

IL CIRCOLO DI MOHR È SEMPRE UBICATO NEL SEMIPIANO 0>xI .

SE GLI ASSI PRINCIPALI ξ E η SI RIFERISCONO AL BARICENTRO, PRENDONO IL NOME DI ASSI CENTRALI DI INERZIA.

x

dA

A

G≡O

x

y

0

0y

α

η

α0

ξ

x

dA

A

x

0

α

η

α0

ξ



ASSI PRINCIPALI DI INERZIA

(PROCEDIMENTO ANALITICO)

GLI ASSI RISPETTO A CUI SI HA UN ESTREMANTE DI xI E yI (33.):

( )0 0 0 0sin2 2 cos2 0x

x y x ydI I I Id

=− − α− α=α

DALLA 33. SI RICAVA L’ANGOLO

0α CHE ANNULLA LA DERIVATA PRIMA DI xI (34.):

0 0

0 0

0 0

2tg2 tg2 x y

x y

Ix

I I

∧

ξ = α = −−



0 0

0 0

0

21 atg2

x y

x y

II I

⎛ ⎞α = −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

0 0

0 0

20x y

x y

II I

− >−

ROTAZIONE ANTIORARIA

0 0

0 0

20x y

x y

II I

− <−

ROTAZIONE ORARIA



2xxy

dI Id

= −α

L’ANGOLO 0α PER IL QUALE SI HA UN ESTREMO DI xI ANNULLA IL MOMENTO CENTRIFUGO xyI .

y xdI dId d

= −α α

; 2 2

2 2y xd I d I

d d= −

α α

I MOMENTI DI INERZIA xI E yI ATTINGONO VALORI ESTREMI PER LO STESSO VALORE 0α : A maxxI CORRISPONDE minyI , A minxI CORRISPONDE maxyI .



UGUAGLIANDO A ZERO LA ydI dα, SI OTTIENE DI

NUOVO LA 34.:

0 0

0 0

0 0

2tg2 tg2 x y

x y

Iy

I I

∧

η = α = −−

SE 0α È SOLUZIONE DELLA 34., LO È ANCHE 0 2α + π :

0 0

0 0

0

22 atg x y

x y

In

I I⎛ ⎞

α = − + π⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

0 0

0 0

0

21 atg2 2

x y

x y

In

I I⎛ ⎞ π

α = − +⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠



⇓ RESTANO INDIVIDUATI 2

ASSI ξ E η, TRA LORO

ORTOGONALI, RISPETTO AI

QUALI ξI E ηI RISULTANO

UNO MASSIMO E L’ALTRO

MINIMO, MENTRE 0=ξηI .

ξI E ηI SONO DETTI

MOMENTI PRINCIPALI DI

INERZIA.



CALCOLIAMO 0

, ,x yI I I Iξ η α=α= ESPRIMENDO 0cos2α E 0sin 2α IN FUNZIONE DI 0tg2α (35.):

0 20

1cos21 tg 2

±α =

+ α 0

0 20

tg2sin21 tg 2± α

α =+ α

E TENENDO CONTO DELLA 34., PER

0α=α LE 30. DIVENTANO (36.):

DOVE SI È ASSUNTO

00 yx II > .

( )0 0

0 0 0 0

2 21 42 2

x yx y x y

II I

I I I

I

ξ

η

+= ± − +



DALLE 31., 32. E 36. SI RICONOSCE CHE, NEL PIANO x xyI I , I PUNTI

( ),0Iξ E ( ),0Iη SONO GLI ESTREMI DEL DIAMETRO DELLA CRF DI EQ. PARAMETRICHE 30.1 E 30.3, PARALLELO ALL’ASSE xI (

00 yx II > ):

SE 00 yx II < :

( )0 0

0 0 0 0

2 21 42 2

x yx y x y

II I

I I I

I

η

ξ

+= ± − +

RxI C +=ξ

RxI C −=ηI

xyI

(I , 0)C ξ(I , 0)η

R(I , I )x x y



NELL’IPOTESI ξ≡0x E η≡0y , ( 0=ξηI ) LE PRIME 2 DELLE 27. DIVENTANO (37.):

2 2cos sinxI I Iξ η= α + α

2 2sin cosyI I Iξ η= α + α E LE 30. DIVENTANO (38.):

cos22 2x

I I I II ξ η ξ η+ −

= + α

cos22 2y

I I I II ξ η ξ η+ −

= − α

sin22xy

I II ξ η−

= α



DAL CONFRONTO TRA LE 38. E LE EQ. PARAMETRICHE IN ϕ:

cossin

C

C

x x Ry y R

= + ϕ⎧⎨ = + ϕ⎩

DELLA CRF ( ) ( ) 222 Ryyxx CC =−+−

NEL PIANO x y, SI RICONOSCE CHE LE 38. SONO LE EQ. PARAMETRICHE IN α2 DELLA CRF DEL PIANO x xyI I (

00 yx II > ): 2 2

2

2 2x xy

I I I II Iξ η ξ η+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

CON ,02

I IC ξ η+⎛ ⎞

≡ ⎜ ⎟⎝ ⎠

, 2

I IR ξ η−

= .



LE 30.1, 30.3 E LE 38.1, 38.3 DESCRIVONO LA STESSA CIRCONFERENZA NEL PIANO

x xyI I . CIÒ CHE CAMBIA È L’ORIGINE DI PERCORRENZA.

30.1, 30.3 38.1, 38.3

Ix

xyI

(I , 0)C ξ(I , 0)η

2αorigine

(I , I )x x yx(I , I )

C

2α

xI

0y00 x

origine

(I , 0)η

Ixy

(I , 0)ξ

x x y

O

y

dA

ξ x

A

αO

y 0

α

dAx

x0

A



EQ. PARAMETRICHE 30.1/30.3 E 30.2/30.3 A CONFRONTO

30.1, 30.3 30.2, 30.3

I VERSI DI ROTAZIONE SU x xyI I (PIANO DI MOHR) SI CONSERVANO, SU y xyI I SI INVERTONO.

x(I , I )

C

2α

xI

0y00 x

origine

(I , 0)η

Ixy

(I , 0)ξ

x x y

O

y 0

α

dAx

x0

A

O

y 0

α

dAx

x0

A

(I , 0)η C

xyI2α

y x

I(I , 0)ξ

origine

y(I , I )x y0 0 0

y



ELLISSE CENTRALE DI INERZIA (O DI CULMANN)

2 2

2 2 1η ξ

ξ η+ =

ρ ρ

RAGGI DI INERZIA

IA

ξξρ =

IA

ηηρ =

ANALISI DIMENSIONALE

[ ]4

2

LIL

A Lξ

ξ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦⎡ ⎤ρ = = =⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

η

ξ

ρξ

G

ρη

E



ξρ ( ηρ ) MISURA QUANTO LE AREE ELEMENTARI SONO CENTRIFUGATE (LONTANE) RISPETTO ALL’ASSE ξ (η).

( )I I I Iξ η η ξ> > ⇒ IL DIAMETRO MAGGIORE È DISTESO LUNGO L’ASSE η (ξ).

POLARE DI R RISPETTO

A E * *

2 2: 1η ξ

ξξ ηη+ =

ρ ρr

R È IL POLO DELLA

RETTA r

ξ

ρξ

G

ρη

R≡(ξ , η )**

E



LA CORRISPONDENZA BIUNIVOCA TRA I PUNTI R E LE RETTE r PRENDE IL NOME DI POLARITÀ

1. SE ∈R E, LA POLARE r È TANGENTE AD E NEL POLO R.

2. SE ∈R r , LA POLARE r E IL POLO R SI DICONO AUTOCONIUGATI:

def∈ ⇔R r r E R SONO AUTOCONIUGATI

1. + 2. ⇒ E, ELLISSE CENTRALE DI INERZIA, È IL LUOGO DEI PUNTI AUTOCONIUGATI.

G

Ex

yr

R≡(ξ , η )**



DUE POLI R E ′R SI DICONO CONIUGATI IN UNA POLARITÀ QUANDO L’UNO APPARTIENE ALLA POLARE DELL’ALTRO:

def, ′′ ⇔∈ ∈R Rr r

R E ′R SONO CONIUGATI IN UNA POLARITÀ

DUE RETTE r E ′r SI DICONO CONIUGATE IN UNA POLARITÀ QUANDO L’UNA CONTIENE IL POLO DELL’ALTRA:

def, ′′ ⇔∈ ∈R Rr r

r E ′r SONO CONIUGATE IN UNA POLARITÀ



TEOREMA DI RECIPROCITÀ

TUTTE LE RETTE DI UN FASCIO, PROPRIO O IMPROPRIO, DI CENTRO H HANNO I POLI SULLA RETTA h, POLARE DI H.

H h′1

2h′

3h′4h′5h′

6h′

H ′4 ∞

H ′3

H ′5

H ′6

H ′2H ′1

G

FASCIO PROPRIO



FASCIO IMPROPRIO

G: BARICENTRO.

IL POLO DI UNA RETTA BARICENTRICA È UN PUNTO IMPROPRIO.

IL POLO DELLA RETTA IMPROPRIA È IL BARICENTRO.

h′ h′12h′3h′4h′

5h′

6 ∞h′

H ′4 ∞

H ′3

H ′5

H ′6

H ′2H ′1G=

H∞

H ′

h



DAL TEOREMA DERIVA CHE: QUANDO UNA RETTA r TRASLA, IL SUO POLO DESCRIVE UNA RETTA BARICENTRICA, DETTA DIAMETRO CONIUGATO ALLA DIREZIONE DI r. LE RETTE CHE PASSANO PER G, CENTRO DI E, SI DICONO DIAMETRI.

DUE DIAMETRI SI DICONO CONIUGATI QUANDO CIASCUNO DI ESSI È CONIUGATO ALLA DIREZIONE DELL’ALTRO.

diametri

EG



COSTRUZIONE GRAFICA DEL DIAMETRO CONIUGATO ALLA DIREZIONE DI 1 RETTA DATA

A È POLO DI 1c , B È POLO DI 2c ⇒ PER IL TEOREMA DI RECIPROCITÀ, LA RETTA d CHE PASSA PER A E B CONTIENE TUTTI I POLI DEL FASCIO IMPROPRIO AVENTE COME CENTRO IL PUNTO IMPROPRIO DI 1c E 2c .

E

A

G

c

c1

2

ddiametro coniugato alla

retta data

diametri coniugati



L’ANTIPOLO DI UNA RETTA r è IL PUNTO ′R SIMMETRICO, RISPETTO AL CENTRO G DI E, DEL POLO R DI r.

LA RETTA r È L’ANTIPOLARE DI ′R .

LA CORRISPONDENZA TRA r E ′R SI CHIAMA ANTIPOLARITÀ RISPETTO ALL’ELLISSE CENTRALE D’INERZIA E.

DUE PUNTI SI DICONO CONIUGATI NELL’ANTIPOLARITÀ QUANDO L’UNO APPARTIENE ALL’ANTIPOLARE DELL’ALTRO.

A: POLO DI 1c ANTIPOLO DI 2c

1c : POLARE DI A ANTIPOLARE DI B

E

A

G

c1

2



SU OGNI DIAMETRO d, I PUNTI CONIUGATI NELL’ANTIPOLARITÀ, R E

′R , VERIFICANO LA RELAZIONE:

′ =GR GR cost= k .

OVE LA COSTANTE k è LA POTENZA DELL’INVOLUZIONE, DI CENTRO G, SUBORDINATA DALLA POLARITÀ SUL DIAMETRO d.

EL

A

G

C

c

c1

2

2

: :C G GL GL GC

k GL

′ =

=



NOCCIOLO CENTRALE DI INERZIA

È IL LUOGO N DEGLI ANTIPOLI DELLE RETTE DEL PIANO CHE NON TAGLIANO LA FIGURA σ.

a) IL BARICENTRO G DI σ APPARTIENE

A N.

GσN



b) IL CONTORNO DEL NOCCIOLO È IL LUOGO DEGLI ANTIPOLI DELLE RETTE TANGENTI ALLA FRONTIERA DELLA FIGURA SENZA TAGLIARLA.

c) I PUNTI INTERNI AL NOCCIOLO

SONO GLI ANTIPOLI DELLE RETTE ESTERNE ALLA FIGURA.

d) IL NOCCIOLO È SEMPRE UNA

FIGURA CONVESSA.

X

Y

Gx

y

σNσ'



e) SE LA FRONTIERA DELLA FIGURA HA UN PUNTO ANGOLOSO, IL CONTORNO DEL NOCCIOLO HA UN TRATTO RETTILINEO; SE LA FRONTIERA DELLA FIGURA HA UN TRATTO RETTILINEO, IL CONTORNO DEL NOCCIOLO HA UN PUNTO ANGOLOSO.

S1

2S

U

V

1R 2R

G

1rr2

v

s1

s2

u σN



f) SE UNA FIGURA PIANA HA FORMA POLIGONALE, IL NOCCIOLO HA ANCH’ESSO FORMA POLIGONALE: I VERTICI DEL NOCCIOLO SONO GLI ANTIPOLI DEI LATI DELLA FIGURA, I LATI DEL NOCCIOLO SONO LE ANTIPOLARI DEI VERTICI DELLA FIGURA.



NOTE RIASSUNTIVE

SE LA FIGURA POSSIEDE UN ASSE DI SIMMETRIA, IL BARICENTRO APPARTIENE ALL’ASSE DI SIMMETRIA. IL MOMENTO CENTRIFUGO RISPETTO AGLI ASSI DI SIMMETRIA È NULLO. GLI ASSI DI SIMMETRIA SONO ANCHE CENTRALI D’INERZIA. L’ELLISSE E IL NOCCIOLO CENTRALE D’INERZIA RISULTANO ORIENTATI SECONDO L’ASSE RISPETTO AL QUALE RISULTANO MEDIAMENTE DISTRIBUITE LE MASSE (AREE) DELLA FIGURA. SE L’ELLISSE CENTRALE D’INERZIA È CONTENUTA ALL’INTERNO DELLA FIGURA, IL NOCCIOLO CENTRALE D’INERZIA È CONTENUTO ALL’INTERNO DELL’ELLISSE. POLO E RETTA ANTIPOLARE SI TROVANO SEMPRE DA PARTI OPPOSTE RISPETTO AL BARICENTRO.



ESERCIZIO 8.3

( ) ( ) ( )

0 0 0 0

1 2 3= + +x x x xI I I I

( ) ( ) ( )0 0 0 0

1 2 3= + +y y y yI I I I

( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0

1 2 3 0= + + ≠x y x y x y x yI I I I

0

023

yx

xO

G

s

t

H

B

cmt

cms

cmB

cmH

1

3,1

8

20

=

=

=

=



( )

0

23

34

212 2 2

2 2260.40

12

xBs H sI Bs

t H scm

⎛ ⎞⎛ ⎞= + − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

−+ ≅

( )

0

23

34

212 2 2

2 367.05

12

ysB B tI Bs

H s tcm

⎛ ⎞⎛ ⎞= + − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠−

+ ≅

0 0

4

22 2 2 2

680.68

x yH s B tI Bs

cm

⎛ ⎞⎛ ⎞= − − − ≅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

≅ −



2

2

4

2 2

2479.71 cm

x y x yx y

I I I II I0 0 0 0

0 0ξ

+ −⎛ ⎞= + + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

=

0 0 0 0

0 0

2

2η

4

2 2

147.74 cm

x y x yx y

I I I II I

+ −⎛ ⎞= − + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

=

xy

Ix

xD≡(I , I )000 x yD*

0D'≡(I , −I )y 0x y 0

2α0

0α ˜ 18°

ξ

η

ξI , 0)(ηI , 0)(

x0||

y 0|| xI + Iy

20 0( , 0)

=

ASCISSA CENTRO + RAGGIO

ASCISSA CENTRO – RAGGIO



0 0

0 0

0

2tan 2 0,72

I

∧

ξ = − =−x y

x y

Ix

I

( )01 arctan 0,72 17 882

∧′ξ = = °x

0

0xξ17°88'



0

3

17°88

0

0xξ

3

17°88'3

1 1

4 4

6

3



0

0

y

xξ17°88'5

0

0

y

xξ

44

17°88'

4

0y

5



118706,01 −=ξ cm; 178406,61 −=η cm

972907,02 −=ξ cm; 758750,02 −=η cm

491200,03 −=ξ cm; 654414,21 =η cm

118706,04 =ξ cm; 178406,64 =η cm

972907,05 =ξ cm; 758750,05 =η cm

491200,06 =ξ cm; 654414,26 −=η cm

0

0xξ17°88'

1

2

34

5

6



GLI ANTIPOLI 2, 3, 4 E 1, 6, 5 SONO PRATICAMENTE ALLINEATI ⇔ I RETTANGOLI POSSONO ESSERE CONSIDERATI SOTTILI E LA FIGURA PUÒ ESSERE STUDIATA IN RIFERIMENTO ALLA LINEA MEDIA.

ALLINEAMENTO = GRADO DI APPROSSIMAZIONE

1 1

4 4

2

25

5

0

0

y

xξ

η

1

2

4

5

Documents

CdL in Ingegneria per l’Ambiente e il Territorio – Prof ...elenaferretti.people.ing.unibo.it/Geometria_delle_Masse_psingola.pdf · Geometria delle masse 2/97 Testo di riferimento: