CDY 2015-1

Héctor Erick Gallardo Ferrera [email protected]

CARACTERIZACIÓN DINÁMICA DE YACIMIENTOS PETROLEROS

1757 – SEMESTRE 2015-1

1

10

100

1000

1.E-03 1.E-02 1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02

Caí

da

de

pre

sió

n -

psi

tiempo - hr

q

Radial infinito Almacenamiento de pozo

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I. Introducción a la Caracterización Dinámica de Yacimientos

Objetivos

El estudiante conocerá: 1. La definición de los procesos de caracterización

y modelado estático y dinámico.

2. Las etapas del proceso de caracterización de los elementos de un yacimiento.

3. La importancia de la caracterización dinámica de yacimientos.

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IMPORTANCIA DEL ELEMENTO

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𝜕𝜃

𝜕𝑥1=𝜕𝜃

𝜕𝑥2=𝜕𝜃

𝜕𝑥3= 0

𝜃𝑥1 = 𝜃𝑥2 = 𝜃𝑥3

Condición de Homogeneidad Condición de Isotropía

TIPOS DE CONDICIONES EN EL YACIMIENTO

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EL PROCESO DE MODELADO DE UN SISTEMA

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MODELO ESTÁTICO DEL YACIMIENTO

El modelo estático de un yacimiento tiene como objetivo integrar los

diversos estudios sedimentarios, petrofísicos, geofísicos y estructurales

para construir un modelo geo-celular.

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MODELO ESTÁTICO DEL YACIMIENTO

Wells SEG-Y 3D grids

Lines Points 2D Grids

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PROCESO DE ESCALAMIENTO Raw facies Raw por Upscaled facies Upscaled por

Sand

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MODELO DINÁMICO DEL YACIMIENTO

El objetivo de la modelación dinámica es la construcción de un modelo

capaz de simular el comportamiento de los fluidos a condiciones de flujo

en un yacimiento.

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EL PROCESO DE CARACTERIZACIÓN DINÁMICA

El objetivo del proceso de caracterización dinámica de un yacimiento (CDY)

es detectar y evaluar los elementos que afectan el comportamiento de un

yacimiento y definir un modelo útil.

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EL PROCESO DE CARACTERIZACIÓN DINÁMICA

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II. Flujo de fluidos homogéneos a través de medios porosos isotérmicos

Objetivos

El estudiante analizará: 1. Los principios básicos del flujo de fluidos en el

yacimiento.

2. Las ecuaciones y gráficos utilizados para la descripción de las diversas geometrías de flujo que ocurren en el yacimiento.

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FUERZAS QUE GOBIERNAN EL FLUJO

Fuerza de Presión

𝐅𝐩 = −𝛁𝑝∆𝑉

Efectos Gravitacionales

𝐅𝐬𝐠 = 𝜌 − 𝜌𝑓 𝑔𝛁𝐷∆𝑉

Efectos Viscosos

𝐅𝛍 = −𝜇𝑓𝑘𝑓𝐯𝐟∆𝑉

De la Segunda Ley de Newton a la Ley de Darcy

𝐯𝐠 = −𝐤 𝑘𝑟𝑔𝜇𝑔𝛁𝑝𝑔 + Δ𝜌𝑔𝛁ℎ

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ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CONTINUIDAD

Para un elemento saturado por una sola fase, la ecuación diferencial de continuidad de la materia (EDCM) para flujo de una fase (𝑆𝑓 = 1) en coordenadas

rectangulares resulta:

𝜕

𝜕𝑥𝜌𝑣𝑥 +

𝜕

𝜕𝑦𝜌𝑣𝑦 +

𝜕

𝜕𝑧𝜌𝑣𝑧 = −

𝜕

𝜕𝑡𝜙𝜌

Ecuación de Continuidad en coordenadas rectangulares

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cilíndricas resulta:

1

𝑟

𝜕

𝜕𝑟𝑟𝜌𝑣𝑟 +

1

𝑟

𝜕

𝜕𝜃𝜌𝑣𝜃 +

𝜕


𝜕

𝜕𝑡𝜙𝜌

Ecuación de Continuidad en coordenadas cílindricas


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esféricas resulta: 1

𝑟2𝜕

𝜕𝑟𝑟2𝜌𝑣𝑟 +

1

𝑟 sin𝜃

𝜕

𝜕𝜃sin𝜃 𝜌𝑣𝜃 +

1

𝑟 sin𝜃

𝜕

𝜕𝜎𝜌𝑣𝜎 = −

𝜕

𝜕𝑡𝜙𝜌

Ecuación de Continuidad en coordenadas esféricas


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En general, la EDCM puede ser expresada mediante el operador Divergencia (𝛁 ∙) en cualquier sistema ortogonal como:

𝛁 ∙ 𝜌𝐯 = −𝜕

𝜕𝑡𝜙𝜌

𝜕

𝜕𝑥𝜌𝑣𝑥 +

𝜕

𝜕𝑦𝜌𝑣𝑦 +

𝜕


𝜕

𝜕𝑡𝜙𝜌

1

𝑟

𝜕

𝜕𝑟𝑟𝜌𝑣𝑟 +

1

𝑟

𝜕

𝜕𝜃𝜌𝑣𝜃 +

𝜕


𝜕

𝜕𝑡𝜙𝜌

1

𝑟2𝜕

𝜕𝑟𝑟2𝜌𝑣𝑟 +

1

𝑟 sin𝜃

𝜕

𝜕𝜃sin𝜃 𝜌𝑣𝜃 +

1

𝑟 sin𝜃

𝜕

𝜕𝜎𝜌𝑣𝜎 = −

𝜕

𝜕𝑡𝜙𝜌

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La formulación de la Ecuación de Flujo Fundamental (EFF) para una fase asume: 1. Sólo una fase satura al medio poroso. 2. La Ley de Darcy es válida. 3. El yacimiento es isótropo y homogéneo respecto a sus propiedades. 4. La permeabilidad del yacimiento no depende de la presión. 5. La viscosidad y compresibilidad del fluido son constantes. El punto 5 es una aproximación bastante acertada durante el flujo isotérmico de líquidos, y bajo ciertas condiciones puede extenderse para el flujo de gas. Cuando no es posible asumir que las propiedades de los fluidos y/o del yacimiento son constantes, es necesario hacer uso de algunas funciones especializadas (pseudo-presión, por ejemplo) para evitar no-linealidades.

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𝑪𝒐 =𝟏

𝝆𝒐

𝝏𝝆𝒐𝝏𝒑

Ecuación de compresibilidad

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La forma general de la EFF en tres dimensiones puede expresarse mediante el operador Laplaciano (𝛻2) como:

𝛁2𝑝 =𝜙𝜇𝑐𝑡𝑘

𝜕𝑝

𝜕𝑡

Debido a que el término que multiplica al cambio de la presión en el tiempo no es constante, la ecuación es no-lineal y deben utilizarse métodos numéricos para su solución. Cuando el término que multiplica a la derivada de la presión respecto al tiempo es constante, se define a la constante de difusividad hidráulica (η) como:

η =𝑘

𝜙𝜇𝑐𝑡

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En general, el coeficiente de difusividad hidráulica muestra la facilidad con la que se transmiten los cambios de presión en un yacimiento. Los componentes de la constante de difusividad se muestran a continuación: • 𝒌 – permeabilidad intrínseca de la formación (capacidad de flujo) • 𝝁 – viscosidad del fluido (facilidad de movimiento del fluido) • 𝝓 – porosidad (capacidad de almacenamiento) • 𝒄𝒕 – compresibilidad total (energía de expansión del sistema) Los principales factores que influyen en la velocidad de propagación de los cambios de presión en un yacimiento son su permeabilidad y la viscosidad.

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ESTADOS DE FLUJO EN EL YACIMIENTO

pi pi

r r

FLUJO ESTACIONARIO Cuando la expansión de un fluido no es posible bajo las condiciones de presión existentes del yacimiento, se tiene que:

𝜌 ≠ 𝑓 𝑝 y se observa un estado permanente (INDEPENDIENTE DEL TIEMPO) definido por:

𝜕𝜌

𝜕𝑡|𝑠 = 0,

𝜕𝑝

𝜕𝑡|𝑠 = 0,

𝜕𝑣

𝜕𝑡|𝑠 = 0

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FLUJO TRANSITORIO Cuando la variación de la presión en el yacimiento provoca cambios en el volumen de los fluidos, se tiene que:

𝜌 = 𝑓 𝑝 y se observa un estado transitorio (DEPENDIENTE DEL TIEMPO) definido por:

𝜕𝜌

𝜕𝑡|𝑠 ≠ 0,

𝜕𝑝

𝜕𝑡|𝑠 ≠ 0,

𝜕𝑣

𝜕𝑡|𝑠 ≠ 0

pi pi

r r

tiempo

Producción a q constante Producción a pwf constante

tiempo

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FLUJO PSEUDO-ESTACIONARIO El flujo en los yacimientos volumétricos, pese a ser no-estacionario, puede tratarse como un caso “estacionario” cuando se produce a gasto constante, manteniéndose que:

𝜌 = 𝑓 𝑝 y la presión varía uniformemente (FUNCIÓN LINEAL DEL TIEMPO), con lo que:

𝜕𝑝

𝜕𝑡|𝑠 = 𝑐𝑡𝑡𝑒,

𝜕𝑣

𝜕𝑡|𝑠 = 𝑐𝑡𝑡𝑒

pi pi

r r Producción a q constante

t1

t2

t1

t2

CONDICIONES TIPO DIRICHLET Describen a la presión en una frontera del sistema, por lo que son del tipo:

𝑝 𝑥1 = 𝑝𝑎 Un problema tipo Dirichlet puede ser el siguiente:

𝒑|𝒓𝒘 = 𝒑𝒘𝒇

𝒑 = 𝒑𝒆

𝒑 = 𝒑𝒆

𝒑 = 𝒑𝒆

𝒑 = 𝒑𝒆 𝒓𝒊𝒏𝒗

𝒑 = 𝒑𝒊

𝒑 𝒓,𝒕 < 𝒑𝒊

Si 𝒓𝒊𝒏𝒗 < 𝒓𝒆, el yacimiento se

considera infinito

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CONDICIONES DE FRONTERA

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𝒑′|𝒓𝒘𝒇 = 𝑪

𝒑′ = 𝟎

𝒑′ = 𝟎

𝒑′ = 𝟎

𝒑′ = 𝟎

CONDICIONES TIPO NEUMANN Describen a la derivada de la presión en una frontera del sistema, por lo que son del tipo:

𝑝′ 𝑥1 = 𝐶 Un problema tipo Neumann puede ser el siguiente:

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Cuando hay otros pozos en un yacimiento, el efecto de su producción puede generar una frontera de drene como se observa a continuación: Los fluidos irán hacia el pozo más cercano, y aquellos que queden en la frontera permanecerán virtualmente inmóviles.

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Al inicio de la producción, los pozos se distribuyen el área total del yacimiento en porciones iguales. Posteriormente, los pozos ganan o pierden área de drene en forma proporcional al gasto con el que son producidos; por lo que cualquier cambio en las condiciones de producción afecta a todo el sistema.

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FLUJO DE FLUIDOS A TRAVÉS DEL YACIMIENTO

PROBLEMA 1 Determine cuáles de las siguientes condiciones son apropiadas para resolver el problema de flujo lineal de un fluido incompresible en un yacimiento homogéneo e isótropo respecto a sus propiedades: 1. 𝑝 = 𝑝0 en 𝑥 = 0; 𝑝 = 𝑝𝐿 en 𝑥 = 𝐿.

2. 𝑞 = 𝐶0 en 𝑥 = 0; 𝑞 = 𝐶𝐿 en 𝑥 = 𝐿.

3. 𝑞 = 𝐶0 en 𝑥 = 0; 𝑝 = 𝑝0 en 𝑥 = 0.

4. 𝑞 = 𝐶0 en 𝑥 = 0; 𝑝 = 𝑝𝐿 en 𝑥 = 𝐿.

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SOLUCIÓN La ecuación usada para este problema es la siguiente:

𝜕2𝑝

𝜕𝑥2=1

η

𝜕𝑝

𝜕𝑡= 0

lo que al integrar dos veces resulta:

𝑝 𝑥 = 𝑎1𝑥 + 𝑎2 donde 𝒂𝟏 y 𝒂𝟐 son las constantes de integración que deben determinarse mediante las condiciones de frontera proporcionadas.


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SOLUCIÓN 1. 𝒂𝟏 = 𝒑𝟎− 𝒑𝑳 /𝑳, 𝒂𝟐 = 𝒑𝑳

2. 𝑪𝟎 = 𝑪𝑳 = 𝑪𝑿, 𝒂𝟏 = −𝑪𝑿𝝁/𝑨𝒌

3. 𝒂𝟏 = −𝑪𝟎𝝁/𝑨𝒌, 𝒂𝟐 = 𝒑𝟎

4. 𝒂𝟏 = −𝑪𝟎𝝁/𝑨𝒌, 𝒂𝟐 = 𝒑𝑳 + 𝑪𝟎𝝁𝑳/𝑨𝒌 Puede observarse que las condiciones del inciso b. son las únicas que no permiten formular correctamente el problema. Esto se debe a que la variación de la presión es una función lineal de 𝒙, por lo que la derivada en cualquier punto será la misma. Si 𝑪𝟎 ≠ 𝑪𝑳 esto es violado y las especificaciones resultan inconsistentes o redundantes.


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GRUPOS ADIMENSIONALES

FLUJO LINEAL Esta geometría se caracteriza porque las líneas de flujo son paralelas en todo el yacimiento.

h

b

L 0

q

Ecuación de flujo: 𝝏𝟐𝒑

𝝏𝒙𝟐=𝟏

𝜼

𝝏𝒑

𝝏𝝉

Tiempo adimensional:

𝒕𝑫𝑳 =𝜷𝒌𝒕

𝝓𝝁𝒄𝒕𝑳𝟐

Presión adimensional:

𝒑𝑫𝑳 =𝒌𝒃𝒉

𝜶𝑳𝒒𝑩𝝁𝑳𝒑𝒊 − 𝒑

Frontera Interna (Pozo a gasto constante)

Frontera Externa

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FLUJO RADIAL HORIZONTAL Esta geometría se presenta cuando las líneas de flujo convergen a un mismo punto.

re

h

CFI (q ctte)

Ecuación de flujo: 𝟏

𝒓

𝝏

𝝏𝒓𝒓𝝏𝒑

𝝏𝒓=𝟏

𝜼

𝝏𝒑

𝝏𝝉



𝝓𝝁𝒄𝒕𝒓𝒘𝟐


𝒑𝑫𝑳 =𝒌𝒃𝒉

𝜶𝑹𝒒𝑩𝝁𝒑𝒊 − 𝒑

CFE

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FLUJO ESFÉRICO Esta geometría ocurre cuando existe flujo radial tanto en dirección vertical como horizontal. Se debe a la penetración parcial del pozo en la formación.

CFI (q ctte)

Ecuación de flujo: 𝟏

𝒓𝟐𝝏

𝝏𝒓𝒓𝟐𝝏𝒚

𝝏𝒓=𝟏

𝜼

𝝏𝒚

𝝏𝝉



𝝓𝝁𝒄𝒕𝒓𝒘𝟐


𝒑𝑫𝑳 =𝒌𝒓𝒘𝜶𝑬𝒒𝑩𝝁

𝒑𝒊− 𝒑

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PROBLEMA 2 Resuelva el siguiente problema de flujo estacionario en un sistema radial:

𝟏

𝒓

𝝏

𝝏𝒓𝒓𝝏𝒑

𝝏𝒓=𝟏

𝜼

𝝏𝒑

𝝏𝝉= 𝟎

Sujeta a:

𝒑 𝒕 = 𝟎, 𝒓 = 𝒑𝒊 … 𝑪. 𝑰.

𝒒 𝒕 > 𝟎, 𝒓𝒘 = 𝑪 … 𝑪. 𝑭. 𝑰.

𝒑 𝒕 > 𝟎, 𝒓𝒆 = 𝒑𝒊 … 𝑪. 𝑭. 𝑬. Obtenga la solución adimensional y dimensional de la misma.

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SOLUCIÓN La solución adimensional a este problema es:

𝒑𝑫 𝒓𝑫 = 𝒍𝒏𝒓𝒆𝑫𝒓𝑫

O en forma dimensional:

𝒑 𝒓 = 𝒑𝒊 +𝒒𝑩𝝁

𝟐𝝅𝒌𝒉𝒍𝒏𝒓𝒆𝒓


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UNIDADES UTILIZADAS EN LAS PRUEBAS DE PRESIÓN

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FLUJO LINEAL

SOLUCIONES PARA FLUJO NO-ESTACIONARIO

Canales fluviales

Pozos Horizontales Pozo Fracturado

2xf

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FLUJO LINEAL


SOLUCIÓN PARA OBTENER LA PRESIÓN EN CUALQUIER PUNTO (FLUJO LINEAL)

𝚫𝒑 𝒙, 𝒕 = 𝜶𝑳𝒒𝑩𝝁

𝒌𝒃𝒉𝟐𝜷

𝝅

𝒌𝒕

𝝓𝝁𝒄𝒕

𝟏𝟐

𝐞𝐱𝐩 −𝝓𝝁𝒄𝒕𝒙

𝟐

𝟒𝜷𝒌𝒕− 𝒙 𝐞𝐫𝐟𝐜

𝝓𝝁𝒄𝒕𝒙𝟐

𝟒𝜷𝒌𝒕

SOLUCIÓN PARA OBTENER LA PRESIÓN EN EL POZO (FLUJO LINEAL)

𝚫𝒑𝒘 𝒕 = 𝟐𝜶𝑳𝒒𝑩

𝒌𝒃𝒉

𝜷𝝁𝒌

𝝅𝝓𝒄𝒕

𝟏𝟐

𝒕

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FLUJO LINEAL

𝒑𝑫 𝒙𝑫 = 𝟎, 𝒕𝑫 = 𝟒/𝝅 𝒕𝑫 = 𝟏. 𝟏𝟐𝟖 𝒕𝑫


0

200

400

600

800

1000

1200

0 200 400 600 800 1000

pD

tD1/2

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FLUJO BILINEAL


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FLUJO BILINEAL


SOLUCIÓN PARA OBTENER LA PRESIÓN EN EL POZO (FLUJO BILINEAL)

𝚫𝒑𝒘 𝒕 =𝜶𝜷𝒒𝑩𝝁

𝒉 𝒌𝒇𝒃𝒇𝟏/𝟐𝝓𝝁𝒄𝒕𝒌

𝟏/𝟒 𝒕𝟒

𝒑𝒘𝑫 =𝟐.𝟒𝟓

𝑭𝑪𝑫𝟏/𝟐 𝒕𝑫𝒙𝒇

𝟒

𝑭𝑪𝑫 =𝒌𝒇𝒃𝒇

𝒌𝒙𝒇 Conductividad de

la fractura

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FLUJO RADIAL HORIZONTAL


Entrada de Agua Periférica (Flujo Dominado por las fronteras)

Yacimiento Acuífero

Flujo Cerca de los Pozos Malla Radial

Malla Cartesiana

Flujo Transitorio (Yacimiento Infinito)

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FLUJO RADIAL


SOLUCIÓN PARA UN YACIMIENTO CILÍNDRICO VOLUMÉTRICO (q ctte)

𝒑𝒘𝑫 =𝟐𝒕𝑫 + 𝟎. 𝟓

𝒓𝒆𝑫𝟐 − 𝟏

−𝟑𝒓𝒆𝑫𝟒 𝐥𝐧 𝒓𝒆𝑫 − 𝟐𝒓𝒆𝑫

𝟐 − 𝟏

𝟒 𝒓𝒆𝑫𝟐 − 𝟏

𝟐 + 𝟐 𝐞𝐱𝐩 −𝜶𝒏

𝟐𝒕𝑫 𝑱𝟏𝟐 𝜶𝒏𝒓𝒆𝑫

𝜶𝒏𝟐 𝑱𝟏𝟐 𝜶𝒏𝒓𝒆𝑫 − 𝑱𝟏

𝟐 𝜶𝒏

∞

𝒏=𝟏

SOLUCIÓN PARA UN YACIMIENTO CILÍNDRICO CON ENTRADA DE AGUA (q ctte)

𝒑𝒘𝑫 = 𝐥𝐧 𝒓𝒆𝑫 + 𝟐 𝐞𝐱𝐩 −𝜶𝒏

𝟐𝒕𝑫 𝑱𝟎𝟐 𝜶𝒏𝒓𝒆𝑫

𝜶𝒏𝟐 𝑱𝟎𝟐 𝜶𝒏𝒓𝒆𝑫 − 𝑱𝟏

𝟐 𝜶𝒏

∞

𝒏=𝟏

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SOLUCIÓN LÍNEA FUENTE


Cuando el área de drene es mayor a la del pozo, puede considerarse que su radio es despreciable, es decir:

𝒓𝒘 → 𝟎 De esta manera, el pozo es reducido a una línea fuente. Por otro lado, para modelar el flujo transitorio, se considera que:

𝒓𝒆 → ∞

𝒑 = 𝒑𝒊

q

t1

t2

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SOLUCIÓN LÍNEA FUENTE De esta manera, el problema para el flujo transitorio queda definido como:

𝟏

𝒓𝑫

𝝏

𝝏𝒓𝑫𝒓𝑫𝝏𝒑𝑫𝝏𝒓𝑫=𝝏𝒑𝑫𝝏𝒕𝑫

Sujeta a:

𝒑𝑫 𝒓𝑫, 𝟎 = 𝟎, 𝒓𝑫𝝏𝒑𝑫𝝏𝒓𝑫𝒓𝑫 → 𝟎, 𝒕𝑫 = −𝟏, 𝒑𝑫 𝒓𝑫 → ∞,𝒕𝑫 = 𝟎

La solución a este problema (solución línea fuente) es:

𝒑𝑫 𝒓𝑫, 𝒕𝑫 = −𝟏

𝟐𝑬𝒊 −

𝒓𝑫𝟐

𝟒𝒕𝑫


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SOLUCIÓN LÍNEA FUENTE Considerando que la función integral exponencial se define como:

−𝑬𝒊 −𝒙 = 𝒆−𝒖

𝒖𝒅𝒖

∞

𝒙= −𝒍𝒏 𝒙 + 𝒙−

𝒙𝟐

𝟐 × 𝟐!+𝒙𝟑

𝟑 × 𝟑!−𝒙𝟒

𝟒 × 𝟒!+⋯

Y cuando el argumento es suficientemente pequeño (x<0.01), puede realizarse la siguiente aproximación:

𝑬𝒊 −𝒙 ≈ 𝒍𝒏 𝒙 + 𝟎. 𝟓𝟕𝟕𝟐𝟏 = 𝒍𝒏 𝟏.𝟕𝟖𝟏𝒙 De esta manera, la solución línea fuente se reduce a:

𝒑𝑫 𝒓𝑫, 𝒕𝑫 =𝟏

𝟐−𝑬𝒊 −

𝒓𝑫𝟐

𝟒𝒕𝑫≈𝟏

𝟐𝒍𝒏𝒕𝑫𝒓𝑫𝟐 + 𝟎. 𝟖𝟎𝟗𝟏


1757 – SEMESTRE 2015-1

SOLUCIÓN LÍNEA FUENTE Validez: • Cualquier 𝒕𝑫 si 𝒓𝑫 ≥ 𝟐𝟎 y para 𝒕𝑫 ≥ 𝟐𝟓 si 𝒓𝑫 = 𝟏.

• La aproximación logarítmica requiere que 𝒕𝑫/𝒓𝑫𝟐 ≥ 𝟐𝟓.

Solución en términos de variables reales:

𝒑 = 𝒑𝒊− 𝟕𝟎. 𝟔𝒒𝑩𝝁

𝒌𝒉𝒍𝒏 𝒕 + 𝒍𝒏

𝜷𝜼

𝒓𝟐+ 𝟎. 𝟖𝟎𝟗𝟏

𝒑 = 𝒑𝒊 − 𝟏𝟔𝟐. 𝟔𝒒𝑩𝝁

𝒌𝒉𝒍𝒐𝒈𝟏𝟎 𝒕 + 𝒍𝒐𝒈𝟏𝟎

𝜷𝜼

𝒓𝟐+ 𝟎.𝟖𝟎𝟗𝟏


1757 – SEMESTRE 2015-1

FLUJO RADIAL

𝒑𝑫 𝒓𝑫 = 𝟏, 𝒕𝑫 =𝟏

𝟐𝐥𝐧 𝒕𝑫 + 𝟎. 𝟖𝟎𝟗𝟏 =

𝟏

𝟐𝐥𝐧 𝒕𝑫 + 𝟎. 𝟒𝟎𝟒𝟓𝟓


0

1

2

3

4

5

6

7

8

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06

pD

log (tD)


1757 – SEMESTRE 2014-2

EJEMPLO 3 Un pozo de aceite produce a gasto constante de 20 BPD. Considerando que las propiedades del pozo y la formación son las siguientes:

𝝁 = 𝟎. 𝟕𝟐 𝒄𝒑, 𝒌 = 𝟎. 𝟏𝒎𝒅, 𝒄𝒕 = 𝟏. 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟓𝒑𝒔𝒊−𝟏

𝒑𝒊 = 𝟑𝟎𝟎𝟎 𝒑𝒔𝒊𝒂, 𝒓𝒘 = 𝟎. 𝟓 𝒇𝒕, 𝑩𝒐 = 𝟏. 𝟒𝟕𝟓𝒓𝒃𝒍

𝑺𝑻𝑩

𝝓 = 𝟎. 𝟐𝟑, 𝒓𝒆 = 𝟑𝟎𝟎𝟎 𝒇𝒕, 𝒉 = 𝟏𝟓𝟎 𝒇𝒕 Calcule la presión del yacimiento a 1, 5 y 10 ft después de 300 horas de producción. Considere que el yacimiento siempre es infinito.


1757 – SEMESTRE 2014-2

SOLUCIÓN

𝒕𝑫𝒓𝑫𝟐 =𝜷𝒌𝒕

𝝓𝝁𝒄𝒕𝒓𝟐 =

𝟐. 𝟔𝟑𝟕 × 𝟏𝟎−𝟒 × 𝟎. 𝟏 × 𝒕

𝟎. 𝟐𝟑 × 𝟎. 𝟕𝟐 × 𝟏.𝟓 × 𝟏𝟎−𝟓 × 𝒓𝟐= 𝟏𝟎. 𝟔𝟏

𝒕

𝒓𝟐

Es decir:

𝟏𝟎. 𝟔𝟏𝒕

𝒓𝟐≥ 𝟐𝟓 → 𝒕 ≥ 𝟐. 𝟑𝟓𝟓𝒓𝟐

Con lo que los tiempos mínimos requeridos son: • A 1 ft, 2.355 hr. • A 5 ft, 58.88 hr. • A 10 ft, 235.5 hr.


1757 – SEMESTRE 2014-2

SOLUCIÓN En todos los casos, el tiempo de observación es mayor. Por lo que utilizando la aproximación a la integral exponencial se tiene que:

𝒑 = 𝟑𝟎𝟎𝟎 − 𝟗𝟗. 𝟗𝟔𝟗𝟔 𝒍𝒏 𝟑𝟎𝟎 + 𝒍𝒏𝟏𝟎. 𝟔𝟏

𝒓𝟐+ 𝟎. 𝟖𝟎𝟗𝟏

Y las presiones estimadas son: • A 1 ft, 2112.53 psia. • A 5 ft, 2434.42 psia. • A 10 ft, 2573.04 psia.

1757 – SEMESTRE 2015-1

FLUJO ESFÉRICO


SOLUCIÓN PUNTO FUENTE EN TÉRMINOS DE VARIABLES REALES

𝚫𝐩 𝒓, 𝒕 = 𝜶𝒔𝒑𝒉𝒒𝑩𝝁

𝒌𝒓𝐞𝐫𝐟𝐜

𝒓

𝟐

𝝓𝝁𝒄𝒕𝜷𝒌𝒕

SOLUCIÓN PUNTO FUENTE PARA CONDICIONES DEL POZO

𝚫𝐩𝒘 = 𝜶𝒔𝒑𝒉𝒒𝑩𝝁

𝒌𝒓− 𝜶𝒔𝒑𝒉

𝒒𝑩𝝁𝟑/𝟐 𝝓𝒄𝒕𝟏/𝟐

𝝅𝜷 𝟏/𝟐𝒌𝟑/𝟐𝒕−𝟏/𝟐

1757 – SEMESTRE 2015-1

FLUJO ESFÉRICO

𝒑𝒘𝑫 𝒓𝑫 = 𝟏, 𝒕𝑫 = 𝟏 −𝟏

𝝅𝒕𝑫𝟏𝟐

= 𝟏 − 𝟎. 𝟓𝟔𝟒𝒕𝑫−𝟏/𝟐


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

pw

D

tD-1/2

1757 – SEMESTRE 2015-1

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN Si una EDDO tiene 𝒏 soluciones independientes, entonces una combinación lineal de ellas es también una solución.


Si

Solución 𝟏: 𝚫𝒑𝟏 = 𝒇𝟏 𝒙,… , 𝒕

Solución 𝟐: 𝚫𝒑𝟐 = 𝒇𝟐 𝒙,… , 𝒕

…

Solución 𝒏: 𝚫𝒑𝒏 = 𝒇𝒏 𝒙,… , 𝒕

Entonces

𝚫𝒑 = 𝐂𝐢𝒇𝒊 𝒙,… , 𝒕𝒊

también es una solución

1757 – SEMESTRE 2015-1

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN


Pozo 1 q1

Pozo 2 q2

Pozo 3 q3

t

Δp

𝚫𝒑 𝒓, 𝒕 = 𝟏𝟒𝟏. 𝟐𝑩𝝁

𝒌𝒉 𝒒𝒋𝒑𝑫 𝒓𝑫𝒋 , 𝒕𝑫

𝒏

𝒋=𝟏

Δp debida al pozo 2

Δp debida al pozo 1

Δp total

1757 – SEMESTRE 2015-1

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN


𝚫𝒑 𝒓, 𝒕 = 𝟏𝟒𝟏. 𝟐𝑩𝝁

𝒌𝒉 𝒒𝒋 −𝒒𝒋−𝟏 𝒑𝑫 𝒓𝑫, 𝒕 − 𝒕𝒋−𝟏 𝑫

𝑵

𝒋=𝟏

Respuesta total

t

Respuesta a q2

Δp

q1

q2

Respuesta a q1

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CDY 2015-1