1/18/2010

1

Wykład 13Wykład 13

Wprowadzenie do optyki Wprowadzenie do optyki ultraszybkiejultraszybkiej

Wykład 13Wykład 13

Wprowadzenie do optyki Wprowadzenie do optyki ultraszybkiejultraszybkiej

• O analizie fourierowskiej• Co to jest transformata Fouriera• Długość impulsu a jego widmo• Jak wytworzyć krótkie impulsy?• Ultrakrótkie impulsy laserowe• Dyspersja prędkości grupowej a impulsy światła• O ultraszybkiej spektroskopii laserowej• Optyka ultrakrótkich impulsów; optyka nieliniowa

Bardzo często w fizyce i innych naukach ścisłychmierzone wielkości mają charakter okresowy (sąpowtarzalne z określonym okresem).

Wielkości takie moŜna zazwyczaj opisać funkcją okresową,która daje się przedstawić w postaci nieskończonegoszeregu trygonometrycznego zwanego teŜ szeregiemFouriera :

Analiza Fouriera

Współczynniki Fouriera są amplitudami odpowiednich składowych harmonicznych:

Fm = f (t) cos(mt) dt∫ ′ F m = f (t) sin(mt) dt∫

0 0

1 1( ) cos( ) sin( )m m

m m

f t F mt F mtπ π

∞ ∞

= =

′= +∑ ∑część parzysta część nieparzysta

+ a0

1/18/2010

2

Przykład: Fale anharmoniczne b ędące sumami oscylacji sinusoidalnych:

RozwaŜmy sumę 2 fal sinusoidalnych (to jest harmonicznych) o róŜnych częstościach:

Fala będąca ich sumą jest okresowa, ale nie harmoniczna. Większość fal to fale nieharmoniczne.

1sza fala sinusoidalna

2ga fala sinusoidalna

Suma

Falę prostokątną zapisać moŜna jako sumę funkcji harmonicznych.

Fourierowska reprezentacja fali prostokątnej:

Im więcej składowych harmonicznych jest sumowanych, tym lepsze jest

przybliŜenie przebiegu prostokątnego.

Jedna składowa

Dwie składowe

Trzy składowe

Fala prostokątna

1/18/2010

3

Wniosek : Sygnały (fale świetlne) moŜna otrzymać jako superpozycjęnieskończonej liczby funkcji sin i cos. Współczynniki rozwinięciazaleŜą od charakteru funkcji, którą chcemy przedstawić. Ichznajomość jednoznacznie określa funkcję, jako taką.

Fourierowska reprezentacja fali prostokątnej:

PrzybliŜenie funkcji rect(t) szeregiem Fouriera.

K – liczba członów uwzględnionych w sumie

0 0

1 1( ) cos( ) sin( )m m

m m

f t F mt F mtπ π

∞ ∞

= =

′= +∑ ∑

Transformata Fouriera:Transformata Fouriera:

F(ω) jest transformatą fourierowską danej funkcji f(t). Zawiera ona tZawiera ona tZawiera ona tZawiera ona tęsamsamsamsamą informację, co funkcjainformację, co funkcjainformację, co funkcjainformację, co funkcja f(t).

Mówimy, że f(t) żyje w dziedzinie czasu (przestrzeni), a F(ω) żyje w dziedzinie cz ęsto ści ....

Transformata Fouriera zamienia charakterystyki czasowe lub przestrzenne

zjawisk, na ich charakterystyki częstotliwościowe.

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 - 1830),

francuski matematyk

( ) ( ) exp( )F f t i t dtω ω∞

−∞

= −∫jest częstością kołową

F(ω) jest innym sposobem patrzenia na funkcje lub fale:

1/18/2010

4

Odwrotna transformata Fouriera

Transformata Fouriera pozwala nam przejść od f(t) do F(ω):

A co z przejściem w drugą stronę?

1( ) ( ) exp( )

2f t F i t dω ω ω

π

∞

−∞

= ∫

( ) ( ) exp( )F f t i t dtω ω∞

−∞

= −∫jest częstością kołową

Czego oczekujemy od Transformaty Fouriera?

Chcielibyśmy mieć miarę częstości obecnych w fali, czyli widmo (spektrum) jej częstości

Fala płaska posiada jedynie jedną częstość ω.

Taka fala posiada wiele częstości. Częstość rośnie z czasem (od czerwonej do niebieskiej).

Byłoby dobrze, gdyby nasza miara zdawała sprawę z tego, kiedypojawia się dana częstość.

Pol

e el

ektr

yczn

e

Czas

Pol

e el

ektr

yczn

e

Czas

1/18/2010

5

Spektrum mocy: Definiujemy spektrum mocy S(ω), fali E(t):

2( ) { ( )}S E tω ≡ Y

Zdaje one sprawę z tego, jakie częstości są obecne w fali E(t):

Przykład: Transformata Fouriera funkcjirect(t)

1/ 21/ 2

1/ 2

1/ 2

1( ) exp( ) [exp( )]

1[exp( / 2) exp(

exp( / 2) exp(

2

sin(sinc(

F i t dt i ti

i ii

i i

i

ω ω ωω

ω ωω

ω ωω

ω ωω

−−

= − = −−

= − − /2)]−

1 − − /2)=( /2)

/2)= ≡ /2)( /2)

∫

{rect( }

sinc(

t

ω)

= /2)F Składowa urojona

= 0

F(ω)

ω

1/18/2010

6

Transformata Fouriera funkcji exp(-at2), jest te Ŝ funkcj ą wykładnicz ą:

2 2

2

{exp( )} exp( )exp( )

exp( / 4 )

at at i t dt

a

ω

ω

∞

−∞

− = − −

∝ −

∫F

t0

2exp( )at−

ω0

2exp( / 4 )aω−

→→→→

ω

2πδ(ω)

Transformata Fouriera funkcji δδδδ(t) to 1 .

1exp( ) 2 (i t dtω π δ ω∞

−∞

− = )∫A transforamta fouriera jedynki to 2πδ(ω):

( ) exp( ) exp( [0]) 1t i t dt iδ ω ω∞

−∞

− = − =∫

t

δ(t)

ω

1

t

1

1/18/2010

7

Transformata Fouriera funkcji exp(iωωωω0 t)

{ }0 0exp( ) exp( ) exp( )i t i t i t dtω ω ω∞

−∞

= −∫F

0exp( [ ] )i t dtω ω∞

−∞

= − −∫

Y Y Y Y {exp(iωωωω0t)}

0000 ω0

ω

02 ( )π δ ω ω= −

exp(iωωωω0t)

0000t

t Re

Im

0000

Transformata Fouriera funkcji cos(ωωωω0 0 0 0 t)

{ }0 0cos( ) cos( ) exp( )t t i t dtω ω ω∞

−∞

= −∫F

[ ]0 0

1exp( ) exp( ) exp( )

2i t i t i t dtω ω ω

∞

−∞

= + − −∫

0 0

1 1exp( [ ] ) exp( [ ] )

2 2i t dt i t dtω ω ω ω

∞ ∞

−∞ −∞

= − − + − +∫ ∫

0 0( ) ( )π δ ω ω π δ ω ω= − + +

+ω00−ω0ω

0{cos( )}tωFcos(ω0t)

t 0000

1/18/2010

8

Transformata Fouriera funkcji skauj ąca: f(at)

Im krótszy impuls, tym

szersze spektrum!

- jest to w istocie zasada nieoznaczoności

Krótkiimpuls

Impuls średniej długości

Długiimpuls

f(t)

F(ω)

ω

ω

ω

t

t

t

{ ( )} ( / ) /f at F a aω=F

Impulsy długie a krótkie:Impulsy długie a krótkie:Relacja nieoznaczoności: iloczyn szerokości czasowej i spektralnej

impulsu:

Długi impuls

Krótki impuls

NatęŜenie vs. czas Widmo

czas

czas

częstość

częstość

2tω π∆ ∆ ≥ 1tν∆ ∆ ≥lub:

1/18/2010

9

Transformata Fouriera wzgl ędem przestrzeni

Y { f(x)} = F(k)

( ) ( ) exp( )F k f x ikx dx∞

−∞= −∫

Jeśli f(x) jest funkcją połoŜenia,

k jest często ścią przestrzenn ą .

Wszystko to, co dotyczy transformaty Fouriera pomiędzy dziedziną ti ω ma zastosowanie równieŜ względem x i k .

k

x

System Metryczny

Prefiksy:

Milli (m) 10-3

Micro (µ) 10-6

Nano (n) 10-9

Pico (p) 10-12

Femto (f) 10-15

Atto (a) 10-18

Kilo (k) 10+3

Mega (M) 10+6

Giga (G) 10+9

Tera (T) 10+12

Peta (P) 10+15

Małe DuŜe

Przypomnijmy sobie prefiksy systemu metrycznego, gdyŜ impulsy światła potrafią być nieprawdopodobnie krótkie, a ich moce i intensywności naprawdę wysokie.

1/18/2010

10

Skala czasu

1 minuta10 fs-owy

impuls światła

10-14

10-9

10-4

101

106

1011

1016

Wiek wszech świata

Czas (sekundy)

Cykl kwarcowego

zegara w komputerze

Błyskflesza

Wiekpiramid

Jedenmiesiąc Wiek człowieka

10 fs ma się tak do 1 minuty

jak

1 minuta ma się do wieku wszechświata.

Skala czasu

1/18/2010

11

1s• Czas powszechnie spotykany w Ŝyciu codziennym.•Światło przebiega ¾ drogi na KsięŜyc.

1/30 s

• Najkrótszy czas, w którym oko zareaguje na impuls światła.• W tym czasie impuls światła przebywa dystans Chicago – Tokio (10000 km).

1µs = 10-6s

• Czas trwania błysku lampy błyskowej.• Pocisk pistoletowy sfotografowany w takim czasie wydaje się nieruchomy.

Ile trwa femtosekunda?

Ile trwa femtosekunda?

1ns = 10-9s• Czas przełączenia się tranzystora w procesorze ze stanu zaporowego do stanu przewodzenia.• Światło przebywa jedynie ok. 30 cm.

1ps = 10-12s• „ZamroŜone” obrazy ruchów molekuł.• Światło przebiega ok. 0,3 mm.

1fs = 10-15s

• Najkrótsze impulsy wytwarzane i mierzone przez człowieka.• Światło przebiega ok. 300 nm (światło o tej długości fali to ultrafiolet)

1/18/2010

12

Najkrótsze procesy

• 1.3 femtosekund– czas cyklu fali świetlnej λ=390 nm (widialne/ultrafiolet)

• 2.57 femtosekund– czas cyklu fali świetlnej λ=770 nm (widzialne/podczerwień)

• 200 femtosekund– najszybsze reakcje chemiczne

• 300 femtosekund– czas trwania wibracji atomów w cząsteczce jodyny

Palo Alto, CA 1872

Narodziny technologii ultraszybkiej

Nowoodkryta technologia zdjęć fotograficznych:Rozdzielczość

czasowa: 1/60 sekundy!

Zakład: czy wszystkie kopyta galopującego konia naraz znajdują się ponad ziemią?

1/18/2010

13

ModeMode--lockinglocking

technika indukowania stałych relacji fazowych pomiędzy modami wnęki laserowej.

Interferencja między modami sprawia, Ŝe światło lasera tworzy ciąg impulsów. W zaleŜności od cech lasera, impulsy te mogą być niezwykle krótkie: kilka femtosekund.

Jak wytworzyć krótkie impulsy?Jak wytworzyć krótkie impulsy?

ModeMode--lockinglocking

Przypadkowefazy modów laserowych

Ustalone(locked)

fazymodów

laserowych

nie nie niew fazie w fazie w fazie

nie niew fazie w fazie w fazie Ustalone

(locked)fazy

Ultrakrótki impuls

Przypadkowe fazy

NatęŜęnie vs. czas

CzasCzas

Czas

1/18/2010

14

ModeMode--lockinglockingtechnika indukowania stałych relacji fazowych pomiędzy modami

wnęki laserowej.

• Osiem modów, fazy ustalone

• Dwa mody, w chwili początkowej w fazie.

• Laser pracy ciągłej –poszczególne mody w róŜnych fazach

Ultrakrótkie impulsy laserowe

'65 '70 '75 '80 '85 '90 '95

10

100

1000

Naj

krót

sze

z im

puls

ów(f

emto

skun

dy)

Rok

Aktywny mode locking

Pasywny mode locking

Colliding pulse mode locking

Extra-cavity pulse compression

~ 2.0 fsec

Ultraszybki laserTi:szafir

Naj

krót

sze

z im

puls

ów(f

emto

skun

dy)

Aktywny mode locking

Pasywny mode locking

Colliding pulse mode locking

Extra-cavity pulse compression

Naj

krót

sze

z im

puls

ów(f

emto

skun

dy)

Aktywny mode locking

Pasywny mode locking

Colliding pulse mode locking

Extra-cavity pulse compression

Naj

krót

sze

z im

puls

ów(f

emto

skun

dy)

Aktywny mode locking

Pasywny mode locking

Colliding pulse mode locking

Naj

krót

sze

z im

puls

ów(f

emto

skun

dy)

Pasywny mode locking

Colliding pulse mode locking

Synchronizując w fazie mody lasera

moŜna otrzymać

femtosekundowe impulsy światła.

Ale równieŜ: impulsy attosekundowe

(10-18sec)!

1/18/2010

15

Ultraszybka optyka a elektronika

Ultrakrótkie impulsy laserowe są najkrótszymi wydarzeniami wykreowanymi przez człowieka!

Nie wydaje się, by elektronika mogła kiedykolwiek dogonić optykę.

NajwyŜsze natęŜenia:impulsowe lasery terrawatowe

1 kHz “Chirped-Pulse Amplification (CPA)” system (University of Colorado)

0.2 TW = 200,000,000,000 watów!

1/18/2010

16

Impulsy świetlne a światło ci ągłe

Stała i funkcja delata stanowią parę dla transformty Fouriera:

Wiązka ciągła:

Ultrakrótki impuls:

NatęŜenie vs. czas Widmo

czas

czas

częstość

częstość

Impulsy długie a krótkie:Impulsy długie a krótkie:Relacja nieoznaczoności: iloczyn szerokości czasowej i spektralnej

impulsu:

czas

Długi impuls

Krótki impuls

NatęŜenie vs. czas Widmo

czas częstość

częstość

2tω π∆ ∆ ≥ 1tν∆ ∆ ≥lub:

Im krótszy impuls, tym szersze spektrum!

1/18/2010

17

Dyspersja pr ędkości grupowej a impulsy światła

Impuls światła jest szeroki spektralnie (zawiera wiele częstości). Prędkość grupowa będzie jest dla róŜnych długości światła.

Dyspersja prędkości grupowej impulsu stanowi powaŜne wyzwanie, które nie istnieje w przypadku pracy z laserem o pracy ciągłej (CW).

vgr(Ŝółta) < vgr(czerwona)

czasowy początek impulsu

czasowy koniec

impulsu

Impuls „ ćwierkaj ący” (chirped)

Prędkość grupowa sprawia, Ŝe częstość impulsu zmienia się w czasie:

W tym impulsie częstość rośnie liniowo w czasie (od czerwieni do niebieskiego).

Impuls taki to impuls „ćwierkający” (chirped), przez analogię do dźwięków wydawanych przez ptaki.

1/18/2010

18

Schemat wzmacniania impulsu ćwierkaj ącego

Wyjściowy ultrakrótki impulso duŜej energii

Para siatek rozdziela spektrumi rozciąga impuls

o czynniktysiąc

Impuls po wzmocnieniu

Impuls początkowy

Źródło krótkich impulsów

Długi, słaby impuls(dobry do wzmacniania)

Wzmacniacze mocy

Druga para siatek,odwraca dyspersję 1szej pary,i ponownie kompresuje impuls

Światłowód

Soczewka

Charakterystyki czasowo-przestrzenne impulsów ultrakrótkich

Impulsy ultrakrótkie zawierają szerokie spektrum częstości. Ich róŜna prędkość grupowa (róŜne n) sprawiają, Ŝe impuls podlegać będzie zniekształceniom nie tylko w czasie, ale i przestrzeni.

Kąt rozbieŜności wiązki θzaleŜy od λ:

θ = 2λ/πw,gdzie: w = jest średnicą przekroju wiązki

Tak więc, jeśli λ zmienia się od 500 nm do 1000 nm, θ zmienia się o czynnik 2. A więc w polu dalekim, przekrój plamki wiązki i jej natęŜenie zmieniać się będą wyraziście z barwą!

1/18/2010

19

Dyspersja powoduje przechylanie si ę frontu falowego impulsu

Fronty fazowe impulsu wchodzącego są prostopadłe do kierunku propagacji. PoniewaŜ zazwyczaj prędkość grupowa jest mniejsza niŜ prędkość fazowa, front impulsu nachyla się po przejściu impulsu przez pryzmat.

Efekt ten moŜe być poŜyteczny (techniki pomiaru impulsu), ale moŜe stanowić istotny problem.

Impuls wchodzący

Pryzmat

Wyjściowy impulspochyły

Impuls wchodzący

Siatka dyfrakcyjna

UltraUltraszybka spektroskopia laserowaszybka spektroskopia laserowa

Większość procesów zachodzących w atomach i cząsteczkach:

femtosekundy i pikosekundy

W cząsteczkach skala przestrzenna jest bardzo mała, a więc i czas związany z ruchem poszczególnych atomów w cząsteczce jest króciutki.

Fluorescencja pojawia się po czasie rzędu nanosekund, ale konkurujące z nią procesy nieradiacyjne zwiększają prędkość procesów, gdyŜ poszczególne czasy (czasy relaksacji) sprzęgają się poprzez dodawanie prędkości:

1 1 1

ex fl nrτ τ τ= +

W waŜnych procesach biologicznych energia zuŜywana jest na inne cele niŜ fluorescencja i dlatego procesy te muszą być bardzo szybkie.

Zderzenia w cieczach w temperaturze pokojowej zachodzą w skali kilku femtosekund; prawie wszystkie procesy w cieczach są ultraszybkie.

Procesy o znaczeniu technologicznym w półprzewodnikach ( i nie tylko) są ultraszybkie (inaczej nie byłyby dla nas interesujące).

Czy jest potrzebna?

1/18/2010

20

Badanie narodzin cz ąsteczek:Nagroda Nobla 1999r w dziedzinie chemii, Ahmed Zewail, Cal Tech

Zewail uŜył ultraszybkiej techniki laserowej do zbadania, jak poruszają się atomy w czasie reakcji chemicznej.

Drgania cząsteczek liczy się w femtosekundach. PoniŜej tej granicy nie obserwuje się juŜ "chemicznego Ŝycia".

FemtochemiaFemtochemia , jak nazwano stworzony przez Zewaila obszar badań, umoŜliwia śledzenie najdrobniejszych szczegółów reakcji chemicznych.

UltraUltraszybka spektroskopia laserowaszybka spektroskopia laserowa

Reagent wprowadzany jest do komory próŜniowej w postaci strumienia cząsteczek. Silny impuls laserowy wzbudza cząsteczki tak, Ŝe pokonują one barierę energii aktywacji; reakcja rozpoczyna się. Następują kolejne impulsy laserowe próbkujące, juŜ słabsze, które "fotografują" kolejne etapy trwania reakcji. Analizie podlegają widma, jakie powstały w czasie kolejnych impulsów laserowych.

Technika: „pump-probe”

Review: Garraway and Suominen Rep. Prog. Phys. 58 (1995) 365

Sondowanie oscylacji cząsteczek

1/18/2010

21

Optyka ultrakrótkich impulsów to

OPTYKA NIELINIOWAOPTYKA NIELINIOWAZakres optyki liniowej: niewielkie natęŜenia światła ~(0,1-100) W/cm2

niewielkie natęŜenie pola E: 10-103 V/cm

Zakres optyki nieliniowej:natęŜenia światła ~GW/cm2natęŜenia pola elektrycznego: 105-108 V/cm

)(Enn =

dział optyki

obejmujący

zjawiska nie

spełniające zasady

superpozycji fal. Są

to zjawiska, w

których optyczne

własności ośrodka

zależą od natężenia

padającego światła.

Przykłady efektów nieliniowych:

1/18/2010

22

Przykłady efektów nieliniowych:

• Konsultacje (dla chętnych) odbędą się w dniu 25.01.2010r., godz.14:0025.01.2010r., godz.14:00w pokoju 4, budynek VIII, parter (lub w sali D)

• Egzamin odbędzie się: • 28.01.2010r28.01.2010r. . (czwartek)(czwartek)• 01.02.2010r. (poniedziałek) 01.02.2010r. (poniedziałek) w pokoju 4, budynek VIII, parter

Na egzamin zapisywać się moŜna od 25.01.2010r. wybierając termin na liście zawieszonej przed pokojem 4.

DziDziDziDziękujkujkujkuję za uwagza uwagza uwagza uwagę