1

統計学 講義第 11 回 標準正規分布 Part-1

2016 年 5 ⽉ 24 ⽇（⽕）3 限担当教員： 唐渡 広志（からと・こうじ）研究室: 経済学研究棟4階432号室email: kkarato@eco.u-toyama.ac.jpwebsite: http://www3.u-toyama.ac.jp/kkarato/

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講義の目的

代表的な確率分布である正規分布および標準正規分布の特徴について理解します。

keywords: 正規分布，標準正規分布

参考書⽩砂 pp.115 – 125 ⿃居 pp. 77 – 92⼤屋 pp. 116 – 126

3

【復習】正規分布を記述する

」と読むの正規分布にしたがう，分散は平均「確率変数 )4(25 22 X

と書かれていたら，4,5~ NX

は分散を示しているは標準偏差を，

と書くまたは

のとき例．

422,104,10

4,10

2

2

2

NN

る。の正規分布を示してい，分散は平均 22, N

正規分布の表記⽅法

45 XVXE ，

【復習】正規分布の形は平均 と分散 2 のパラメータで決まる

4

-10 0 10 20 30

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

平均の異なる正規分布

x

f(x)

-10 0 10 20 30

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

分散の異なる正規分布

x

f(x)

4,10N 4,5N

4,10N

25,10N

x = のとき確率密度関数 f (x) の⾼さが最⼤になる。

正規分布の平均 が 10 から 5 に変わるとき，分布の「⼭」⾃体が平⾏移動する。分散が同じなら，⼭の裾の⻑さは変わらない．

正規分布の分散 が 4 から 25 に⼤きくなるとき，分布の「⼭」は平べったくなり，裾が⻑くなる。

平均 μ が同じ値なら，⼭の頂上の⾼さだけが変わる。

5

正規分布における標準偏差と確率

%686827.0Pr 約 X

x

fx

N2

x

fx

2 2

N2

%959545.022Pr 約 X

の範囲にいるの人が平均身長の

にしたがうとき。

が例．成人女性の身長

cm5%686827.0163153Pr

5,158]cm[ 2

X

NX

の範囲に入るの人が平均身長の

にしたがうとき。

が例．成人女性の身長

cm10%959545.0168148Pr

5,158]cm[ 2

X

NX

6

練習問題 (1)

-15 -10 -5 0 5 10 15

0.00

0.04

0.08

0.12

x

N032

50 100 150

0.00

00.

010

0.02

0

x

N100202

を塗りつぶしなさい。

標準偏差の範囲平均

となる範囲

フについて右図の正規分布のグラ

68.0Pr bXa

例題 1

7

-20 -10 0 10 20 30

0.00

0.04

0.08

0.12

x

-20 -10 0 10 20 30

0.00

0.04

0.08

0.12

x

XVabaXVYV

bXaEbaXEYE2

期待値演算ルール

819

832aYV

baYE

1,3 ba

8

aX + b の分布

222 ,~,~ abaNbaXNX

【定理】正規分布にしたがう確率変数を1次変換したものも正規分布にしたがう

1,6~15.0.

16,20~2.

4,10~.

NXc

NXb

NXa

のとき

例．

0 10 20 30 40

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

(a): X

0 10 20 30 40

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

(b): 2X

0 10 20 30 40

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

(c): 0.5X + 1

練習問題 (2)

9

を求めなさい。

である。の確率分布がのとき，

baNYbaXYNX

,3,2~9,5~

10

標準化された正規分布: N(0, 1)

のときを利用すると定理 baabaNbaX ,1,,~: 22

ba

XXXVXEXZX

1

の標準化：確率変数

111

01

22

22

22a

ba 1,0~ NZ

ぶ。「標準正規分布」とよを

と記述する。このことを

。の正規分布にしたがう，分散は平均を標準化した

確率変数であるとき，が正規分布にしたがう

1,01,0~

10

NNZZX

X

標準正規分布

11

140 150 160 170 180 190 200

0.00

0.02

0.04

平均170，分散49の正規分布

f(x)

正規分布と確率

？にして求めたらよいかとなる確率はどのようのとき 180Pr49,170 XN

積分するのは⾯倒 → 正規分布を標準化して考える

に対応する面積180Pr X

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正規分布の標準化

-10 0 10 20 30

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

「標準」正規分布と普通の正規分布

x

f(x)

1,0~, NZXZX 必ずするとを標準化

4,10N 1,0N

標準化

⾯積はどちらも 1

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標準正規分布と確率 (1)

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

%1001Pr Z %505.00Pr Z

%505.00Pr Z %27.686827.011Pr z

%68にある確率は約標準偏差の範囲平均

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標準正規分布と確率 (2)

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

%45.959545.022Pr Z

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

%28.20228.02Pr Z

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

%28.20228.02Pr Z

%952

の範囲にある確率は約

（標準正規分布の標準偏差は1）

標準正規分布表

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確率 Pr (0 ≦ Z ≦ A) あるいは Pr (0 < Z < A) を⽰した表

例．Z が0以上1.73以下

z

-4 -2 0 2 4

1.73

16

練習問題 (3)

85.00Pr:1 Z 96.10Pr:2 Z標準正規分布表を利⽤して次の確率を求めなさい．

例題 2

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8944.03944.05.025.100Pr25.1Pr5.0

ZPZZ

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

1.25

0.3944

を求めなさい25.1Pr Z

標準正規分布表に載っている値

5.00Pr Z

練習問題 (4)

18

96.1Pr.1 Z

64.1Pr.2 Z

19

例題 3. X ~ N(170,49) のときの Pr ( X≦180 )

140 150 160 170 180 190 200

0.0

00.02

0.04

平均170，分散49の正規分布

f(x)

となる確率のとき 180Pr49,170 XN

9236.043.1Pr180Pr

9236.043.10Pr0Pr43.1Pr

.2

43.17

170180180

.1

4236.05.0

ZX

ZZZ

ZX

を求める標準正規分布表で確率

標準化するカッコ内の式の両辺を

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

⾯積は同じ

標準正規分布

1.43

749492 なので，ただし

標準化と確率

標準化しても確率は変わらない点に注意

20

14.271.0Pr7

1701857

170175Pr185175Pr

43.143.1Pr7

1701807

170160Pr180160Pr

43.17

170180Pr180Pr

ZZX

ZZX

zPZX

のとき49,170N

21

練習問題 (5)

177Pr.2

172Pr.149,170~

X

XNX めなさい．とする。次の確率を求

であることに注意なので 7492

22

例題 4. Pr (Z > 1.96) の求め方

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

の求め方BZ Pr

0250.04750.05.096.1Pr Z

5.00Pr Z 96.10Pr Z

96.1Pr Z例．

半分の⾯積が0.5（ Pr (0 < Z ) =0.5）であることを利⽤する．

= －96.1B

求めたい⾯積

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

1.96

(2.5%)

標準正規分布表

23

練習問題 (6)

28.1Pr.2

32.2Pr.11,0~

Z

ZNZ ．次の確率を求めなさいとする．

z

-4 -2 0 2 41.28

24

例題 5. Pr (Z < −1.96) の求め方 の求め⽅BZ Pr

025.04750.05.096.10Pr0Pr

96.1Pr96.1Pr

ZZ

ZZ

96.1Pr Z

正規分布が 0 を中⼼に左右対象であることを利⽤する．

求めたい⾯積

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

-1.96

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

1.96

96.1Pr Z

＝

BZBZ PrPr【重要】

練習問題 (7)

25

86.0Pr.2

28.1Pr.11,0~

Z

ZNZ ．次の確率を求めなさいとする．

26

例題 6. Pr (− 1.96 < Z < 1.96) の求め方

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

の求め⽅BZB Pr

96.10Pr Z

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

1.96

2 ×

27

練習問題 (8) 64.164.1Pr:1 Z

119Pr

4,10~:2XNX とする．

練習問題 (9)

28

12.165.0Pr:1 Z

30.056.1Pr:2 X

練習問題 (10)ある国の15歳男⼦の⾝⻑は平均174 cm 標準偏差 6 cm であり，ほぼ正規分布にしたがうという。

29

[1]. この国の15歳男⼦の⾝⻑を2000⼈調べるとき，180 cm 以上の⼈はおよそ何⼈いると予想できるか。

[2]. この国の15歳男⼦の⾝⻑を2000⼈調べるとき，160 cm 以上 170cm 未満の⼈はおよそ何⼈いると予想できるか。

PCでの計算

30

の計算例 25.1Pr. Z

z

-4 -2 0 2 4

Excel

= normsdist(1.25)

R

= pnorm(1.25)