CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO TECNOLÓGICO

cenidet DISEÑO DE ELEMENTOS MAGNÉTICOS EN

ALTA FRECUENCIA

T E S I S PARA OBTENER EL GRADO DE

MAESTRO EN C I ENC I AS EN INGENIERiA ELECTRÓNICA P R E S E N T A

ING. ROGER EFRAíN CARRILLO D k

DIRECTOR DE TESIS:

DR. MARIO PONCE SILVA

CUERNAVACA. MORELOS, MÉXICO DICIEMBRE 2004

jdef Centro Nacional de Investigaci6n y Desarrollo Tecnológiw Sistema Nacional de Institutos Tecnológicos

ANEXO No.11 MI0

ACEPTACI~N DEL DOCUMENTO DE TESIS

Cuernavaca, Mor., a 15 de Octubre del 2004

C. Dr. Enrique Quintero-Mármol Márquez Jefe del departamento de Electrónica Presente.

At’n C. Dr. Gerard0 V. Guerrero Ramírez Presidente de la Academia de Electrónica

Nos es grato comunicarle, que conforme a los lineamientos para la obtención del grado de Maestro en Ciencias de este Centro, y después de haber sometido a revisión académica la tesis titulada: “Diseño de Elementos Magnéticos en Alta Frecuencia”, realizada por el C. Roger Efraín Carrillo Díaz y dirigida por el Dr. Mario Ponce Silva y habiendo realizado las correcciones que le fueron indicadas, acordamos ACEPTAR el documento final de tesis, así mismo le solicitamos tenga a bien extender el correspondiente oficio de autorización de impresión.

Atentamente ,@vat. La Comisión de Revisa

C.C.P. Subdirección Académica Departamento de Servicios Escolares Directores de tesis Estudiante

cenidet Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnolbgico Sistema Nacional de Institutos Tecnológicos

A N E X O No. 12

AUTORIZACI~N DE IMPRESI~N DE TESIS M11

Cuemavaca, Mor., a 16 de noviembre del 20004

C. Roger Efraín Carrillo Díaz Candidato al grado de Maestro en Ciencias en Ingeniería Electrónica Presente.

Después de haber atendido las indicaciones sugeridas por la Comisión Revisora de la Academia de Electrónica en relación a su trabajo de tesis cuyo titulo es: “Diseño de Elementos Magnéticos en Alta Frecuencia”, me es grato comunicarle que conforme a los lineamientos establecidos para la obtención del grado de Maestro en Ciencias en este centro se le concede la autorización para que proceda con la impresión de su tesis.

Atentamente

v ‘ I C. Dr. Enrique Quihero-Mármol Márquez Jefe del Departamento de Electrónica

C.C.P. Subdirección Académica Presidente de la Academia de Electrónica Depanamento de Servicios Escolares Expediente

.. . ..

Dedicatoria

A Dios Por concederme esta vida llena de grandes satisfacciones y por permitirme lograr mis mas grandes anhelos.

A mis Padres RÓger y Magaly Que con su apoyo incondicional han sido el pilar de mi formación en la vida.

A mi abuela Pilar Mujer incomparable que me alienta en todo momento. Te amo Abuela.

A mis hermanos José, Zazil, Leny Con su amor fraternal y cariño son mi sostén en tierras lejanas.

A Irene Mi compañera de todo momento en esta aventura. Te amo.

Agradecimientos A Mario Ponce, por tener la paciencia de aguantar todos estos años bajo su tutela y al invaluable conocimiento que me ha otorgado.

A mis revisores, Dr. Jaime Arau, Dr. Rodolfo Echevarria y Dr. Elías Rodriguez por todo el apoyo recibido.

AI Dr. Carlos Aguilar y Graciela por la amistad que me han brindado. Gracias.

AI Departamento de Electrónica, a todos los Doctores que he tenido el placer de conocer. A Mayra y Don Román muchas gracias.

AI Cenidet, institución que cambio mi vida por completo.

A mi familia adoptiva San Martin: Hermano Noe, Hermana Maura, Aurora, Violeta, Marina, Marta, Orquídea, Gadi, Itzamara y Elisa.

A todos mis amigos y compañeros del Cenidet, a la Generación 1999- 2001, gracias por su amistad.

A Daniel Melchor, por su amistad y por impulsarme a emprender este proyecto.

A Miguel Zapata siempre en las buenas y las malas. (y de comentario acertado y oportuno ...)

A mis amigos, hermanos de toda la vida, Fernando Ayil y Edson Cano.

A Ileana, mi mejor amiga.

AI CONACYT por brindarme el apoyo económico durante mi estancia en el Cenidet.

Resumen

El desarrollo de los sistemas electrónicos en la vida diaria ha sido enorme en los últimos años debido a las grandes ventajas que presentan, desde sistemas de alimentación conmutados, balastros electrónicos, filtros activos, etc.. En la actualidad, existe la tendencia a disminuir el costo y el tamaño de estos sistemas electrónicos, como consecuencia del acelerado desarrollo de la tecnología para la fabricación de dispositivos semiconductores y circuitos integrados. Sin embargo, los elementos magnéticos que se utilizan en estos sistemas son muy específicos, particulares a la aplicación, voluminosos y de costo relativamente alto, por lo que sobre ellos se enfoca gran parte del esfuerzo para reducirlos.

Una de las estrategias propuestas para disminuir las dimensiones de estos elementos magnéticos consiste en elevar la frecuencia de operación. Sin embargo, esto ocasiona nuevos problemas en el diseño, ya que aparecen fenómenos que deben de ser tomados en cuenta en el diseño, como el efecto piel, proximidad, dispersión en el entrehierro, etc.

En este trabajo se estudiaron los fenómenos que aparecen al elevar la frecuencia en estos elementos magnéticos, los criterios, métodos y técnicas utilizados en su diseño, teniendo como resultado el presentar una metodología de diseño practico y efectivo.

Existen innumerables artículos, en donde presentan varias propuestas de análisis de los efectos en alta frecuencia, la mayoría basado en la propuesta hecha por Dowell. Estos análisis se han ido complicando a la par con los programas de computadores por lo que ahora de una solución en lD , se tienen versiones en 2D y 3D, además se extienden los resultados a formas de onda de corriente arbitrarias.

Sin embargo, debido a la complejidad de los análisis algunos autores vuelven a las soluciones 1D complementando y ajustando los factores involucrados para permitir resultados comparativamente satisfactorios a los obtenidos en 2D y 3D en ciertos limites de operación y presentan simplificaciones a los métodos de análisis de formas de corriente arbitraria, basados en análisis de fourier. Esto permite ahorrar tiempo y dinero en un diseño magnético, dejando los análisis mas complejos por computadora a diseños en donde realmente sean necesarios.

De la extensa bibliografía se seleccionaron los análisis mas sencillos posibles pero con un buen grado de exactitud comparado con versiones mas complejas, se propusieron nuevos factores de ajuste para lograr una mejor solución, permitiendo una fácil implementación en paquetes matemáticos de bajo costo.

Abstract The development of the electronic systems in the daily life has been enormous in

the last years due to the big advantages that present, from switche power supplies sytems, electronic balast, active filters, etc.. at the present time, the tendency exists t o diminish the cost and the size of these electronic systems, as consequence of the quick development of the technology for the production of devices semiconductors and integrated circuits. However, the magnetic elements that are used in these systems are very specific, particular to the application, voluminous and relatively high cost, because of that the effforts is focused to reduce them.

One of the strategies proposed to diminish the dimensions of these magnetic elements consists on elevating the operation frequency. However, this causes new problems in the design, since they appear phenomenons that should be taken into account in the design, as the skin effect, proximity effect, dispersion in the gap ...

I n this work the phenomenons were studied that appear when elevating the frequency in these magnetic elements, the approaches, methods and techniques used in their design, having as a result presenting a design methodology, practices and effective.

Innumerable articles exist where present several proposals of analysis of the effects in high frequency, most based on the proposal made by Dowell. These analyses have gone making difficult at the same time with the computer programs because of that now from a solution in ID, it is had versions in 2D and 3D, the results also extend to arbitrar current waveform.

However, due to the complexity of the analyses some authors return to the solutions 1D supplementing and adjusting the factors involved to allow comparatively satisfactory results to those obtained in 2D and 3D in certain limits of operation and they present simplifications to the methods of analysis in arbitrary current waveform, based on fourier analysis. This allows to save time and money in a magnetic design, leaving the analyses but complex for computer to designs where are really necessary.

From the extensive bibliography the analyses were selected more simple possible but with a good degree of accuracy compared with more complex versions, new adjustment factors were proposed to achieve a better solution, allowing an easy implementation in mathematical packages of low cost.

Tabla de contenido

Sim bología

Nomenclatura

Capítulo 1. Introducción

1.1.- Antecedentes

1.2.- Objet ivos 1.2.1.- Objet ivo general

1.2.2.- Objet ivos particulares

1.2.3.- Metas 1.3.-

1.4.- Metodología desarrollada 1.5.-

1.6.- Referencias

Marco conceptual y estado del arte

Aportación o contribución del t rabajo

vi1

xi11

1

1 2 2 2 2 2 7 8 8

I

Capítulo 2. Conceptos básicos 11

2.1.- Int roducción 2.1.1.- Elementos magnéticos e n convert idores electrónicos

de potencia

2.2.1.- Circuitos magnéticos

2.3.1.- Elementos magnéticos: bobinas

2.2.- . Principios de la teoría electromagnética

2.3.- Parámetros eléctricos en los elementos magnéticos

2.3.1.1.- Inductancia

2.3.1.2.- Efecto de un entrehierro

2.3.1.3.- Bobinas con núcleos abiertos

2.3.1.4.- Energía almacenada en una bobina

2.3.2.- Elementos magnét icos: transformadores 2.3.2.1.- El transformador ideal

2.3.2.2.- Inductancia magnetizante

2.3.2.3.- La inductancia de dispersión Magnetización, permeabi l idad relativa y susceptibil idad

magnética

ferromagnéticos

2.4.-

2.5.- Materiales diamagnéticos, paramagnéticos y

2.6.- Dominios magnéticos 2.7.- Referencias

Capítulo 3. Efectos a frecuencias mayores a 1 kHz

3.1.- Alta frecuencia 3.1.1.- In t roducc ión 3.1.2.- Corrientes de Eddy e n e l conductor

3.1.2.1.- Efecto piel

3.1.2.2.- Efecto proximidad

3.1.2.3.- Análisis de corr ientes de Eddy en 1 D 3.1.2.4.- Conductor aislado tipo lamina

3.1.3.- Distr ibución de campo

11

11 12 14 17 17 17 20 23 24 25 26 28 29

31

32 33 34

37

37 37 37 38 41 42 42 44

3.1.3.1.- Distribución de campo en baja frecuencia

3.1.3.2.- Distribución de campo en alta frecuencia

3.1.3.3.- Aplicación del análisis en 1D

3.1.4.- Histéresis 3.1.4.1.- La curva dinámica de Histeresis

3.1.5.- Efecto del entrehierro 3.2.- Referencias

46 46 48 50 51 52 55

Capítulo 4. Análisis comparativo de métodos de diseño. Núcleos convencionales

4.1.- Diseño de componentes magnéticos 4.1.1.- Int roducción

4.1.2.- Tipos de dispositivos magnéticos 4.1.2.1.- Inductor de filtrado en convertidores en modo

de conducción continua (MCC)

4.1.2.2.- Inductor operado en modo de corriente discontinuo

4.1.2.3.- Inductor de CA

4.1.2.4.- Transformador

4.1.2.5.- Inductor acoplado Consideraciones generales para el diseño de un elemento magnético

4.2.-

4.3.- Métodos de diseño 4.3.1.- Producto de areas 4.3.2.- Constante geométr ica K, 4.3.3.- Diseño de u n t ransformador uti l izando la constante

geométr ica K,f,

Comparación de métodos de diseño 4.3.4.- Método del vo lumen mínimo 4.3.5.-

4.4.- Referencias

57

57 57 58

58 59 60 61 62

63 69 69 77

80 83 88 89

Capítulo 5. Método de diseño propuesto en alta frecuencia 91

5.1.-

5.2.- Selección del núcleo

Diseño magnét ico en alta frecuencia con núcleos

convencionales

5.2.1.- Restricciones de diseño 5.2.2.- 5.2.3.- Numero de vueltas 5.2.4.- Entrehierro 5.2.5.- Factor de dispersión 5.2.6.- Reajuste de vueltas

5.2.7.- 5.2.8.- Devanado 5.2.9.- Resistencia e n CD 5.2.10.- Resistencia en CA 5.2.11.- Optimización del devanado 5.2.12.- Conductores multi-hilos, hi lo t renzado 5.2.13.- Manufactura final. Prueba del e lemento magnét ico 5.2.14.- Hoja de cálculo para resolver el diseño de un e lemento

magnét ico

Selección de tamaño aproximado del núcleo

Selección del tamaño del conductor

5.3.- Tabla d e la metodología propuesta para el diseño de un e lemento magnét ico en alta frecuencia

5.4.- Prototipos 5.5.- Referencias

91 93 93 94 97 97 97 98 98 98 99 99 100 101 101

101

101 104 106

Capítulo 6. Conclusiones 109

6.1.- Conclusiones 6.2.- Trabajos fu turos 6.3.- Referencias

1 o9 110 111

I V

Anexo 1 113

Tablas de la guía de selección de productos 2004 FERROXCUBE

Tabla 1. Materiales de polvo férrico. Tabla 2. Matriz de aplicación. Tabla 3. Matriz de aplicación. Tabla 4. Materiales y aplicaciones.

Anexo 2

Calculo y optimización de la resistencia de CA para inductores con núcleo y entrehierro central y exter ior para formas de onda de corr iente arbitraria

Anexo 3

Formulas para el Óptimo grosor de un devanado para varias formas de onda, y = (5p2-1)/15, p = Número d e capas

Anexo 4

Formas geometricas comerciales Definición de índices sobre sus dimensiones

Anexo 5

Programa en Maple: Procedimiento de diseño de un inductor analizando los l imites de operación de los diferentes t ipos de núcleos.

119

129

131

135

Bibliografía 147

VI

Ab

. Ac

A C O "

AC"

Ad

AL

AP

At

A,

A6

B

BAC

B,a.

Br

BE

B S

Bsat

Simbología

Área del conductor desnudo

Área transversal del núcleo

Área del conductor

Área del cobre utilizada

Área disponible para el conductor

Factor de reluctancia

Producto de áreas

Área total

Área de la ventana

Área sin utilizar

Densidad de flujo

Densidad de flujo alterna

Densidad de flujo maxima

Flujo remanente

Retentividad

Punto de saturación

Flujo de saturación

VI1

Bo

d

D

e

f

F

F i

F2

Fd

FR

9

h

H

Hb

HC

Hdt)

Hm

HX

i l

i 2

im

imp

I

Io

I a c

I d c

Im

I,,,

J

JP

Is

VI11

Densidad de flujo magnético en un toroide

Ancho del devanado

Diámetro

Fuerza electromotriz (f.e.m.1 , . FrecUencia ,$.. i '.

: :!I . '' Fuerza magnetomotriz (f.m.m.)

Factor multiplicativo del efecto piel

Factor multiplicativo del efecto proximidad

Factor de dispersión

R,J%C

Entrehierro

Grosor del conductor

Intensidad de ca'mpo magnético

Altura de la bobina seleccionada

Fuerza coercitiva

Campo magnético variante en el templo

Valor del campo magnético a través de la capa m

Intensidad de campo magnético

Corriente del primario

Corriente del secundario

Corriente magnetizante

Corriente magnetizante en el primario

Corriente

Corriente de salida

Componente de corriente de CA

Componente de corriente de CD

Imanación

Corriente máxima

Densidad de corriente

Densidad de corriente producida por el efecto proximidad

Densidad de corriente producida por el efecto piel

Densidad de corriente sobre el plano z

Relación entre la corriente de DC y la corriente RMC

constante determinada por las condiciones de operación eléctrica y magnética

Coeficiente constante que depende de la forma de onda

Constante de forma geometrica del núcleo

Constante geometrica del transformador

Constante relacionada al crecimiento de temperatura

Constante del núcleo, perdidas por unidad de volumen

Factor de utilización de la ventana o factor de llenado (fill factor)

Constante relacionada a la configuración del núcleo

Coeficiente de utilización de la ventana

Longitud del elemento considerado

Longitud del entrehierro

Ruta magnética del núcleo

Ancho de la ventana del núcleo

Inductancia

Inductancia de dispersión

Inductancia magnetizante

Inductancia magnetizante en el primario

Número de capas

Campo producido por el material magnético

Longitud promedio por vuelta del embobinado

Número de vueltas

Número de vueltas corregido

Conductores por capa

Perdidas

Perdidas en,el devanado Potencia de entrada

Perdida por capa

Perdidas en el núcleo

Potencia de salida

I X

pérdidas por el efecto proximidad

Pérdidas por el efecto piel . .

Capacidad de potencia aparente

Pérdidas totales

Radio del conductor

Radio del área sin utilizar

Reluctancia

Resistencia en ac

Resistencia equivalente de CA por capa

Resistencia en dc

Reluctancia del núcleo

Resistencia efectiva

Reluctancia del entrehierro , .

Reluctancia debida a la dispersión

Tensión

Volumen en el cual existe un campo magnético

Volumen del núcleo donde se encierra todo el flujo

Volumen del entrehierro donde se encierra todo el flujo

Ancho de la ventana conductor tipo lamina

Densidad de energía en el entrehierro

Energía almacenada en una bobina

Energía almacenada en el núcleo

Energía almacenada en el entrehierro

Peso del transformador

Susceptibilidad magnética

Regulación

Profundidad piel

Profundidad piel a la frecuencia fundamental

h/6o

Rizo de corriente

Flujo magnético

Flujo magnético en el entrehierro

@I

v Porosidad Flujo magnético en la ruta magnética del núcleo

Flujo magnético total o de enlace

P Permeabilidad

PO Permeabilidad del vacio

P C Permeabilidad del núcleo

Pr Permeabilidad relativa

P Resistividad

P C " Resistividad del cobre

a Conductividad

ow Conductividad de lamina equivalente

w Frecuencia angular

XI

XI1

1D

2D

3D

CA

CD

Nomenclatura

Primera dimensión

Segunda dimensión

Tercera dimensión

Corriente alterna

Corriente directa

XI11

XIV

Capítulo I I n traducción

1.1.- Antecedentes

El desarrollo de los sistemas electrónicos ha sido enorme en los últimos años debido a las grandes ventajas que presentan en áreas como sistemas de alimentación conmutados, balastros electrónicos, filtros activos, etc. En la actualidad, existe la tendencia a disminuir el costo y tamaño de estos sistemas, como consecuencia del acelerado desarrollo de la tecnología para la fabricación de dispositivos semiconductores y circuitos integrados. Sin embargo, los elementos magnéticos que se utilizan en estos sistemas son muy específicos, voluminosos y de costo relativamente alto, por lo que sobre ellos se enfoca gran parte del esfuerzo en reducción de costo y tamaño.

Una de las estrategias propuestas para disminuir las dimensiones de los elementos magnéticos consiste en elevar la frecuencia de operación. Esto, ocasiona nuevos problemas en el diseño, ya que aparecen fenómenos que deben ser tomados en cuenta como el efecto piel, proximidad, distribución del campo magnético, entre otros.

Otras estrategias involucran el estudio de nuevos materiales, una nueva geometría del núcleo y el empleo de devanados no convencionales (transformadores planos, devanados dentro del circuito impreso).

Teniendo en cuenta que los sistemas electrónicos operan cada vez a frecuencias más altas, por lo que los fenómenos que surgen por este incremento hacen que el diseño de los elementos magnéticos se vuelva muy crítico. A esto hay que sumarle dichos elementos deben ser construidos en forma muy especifica según las características de la aplicación. En este trabajo se estudiaron los fenómenos mas importantes derivados de la operación de los elementos magnéticos en alta frecuencia más importantes; los criterios, los métodos y las técnicas utilizadas que los incluyen en el diseño magnético, teniendo como resultado final, una metodología de diseño práctica y efectiva en alta frecuencia.

1

1.2.- Objetivos

1.2.1.- Objetivo general

Estudio del comportamiento de elementos magnéticos en alta frecuencia enfocado ai diseño de dispositivos magnéticos,

1.2.2.- Objetivos particulares

Estudio de los fenómenos en alta frecuencia: efecto piel, efecto proximidad, parásitos, entre otros. Estudio de los diversos métodos y técnicas de diseño magnético en alta frecuencia. Selección de un método, práctico y efectivo, bajo los siguientes criterios: exactitud y precisión del método, mínimas pérdidas, menor tamaño y facilidad de devanado. Selección de un método práctico, para implementarse en los diseños que se realizan en el área de Electrónica de Potencia del Departamento de Ingeniería Electrónica.

1.2.3.- Metas

Dominio de los fenómenos en alta frecuencia. Comprender los análisis propuestos en 1D para evaluar e incluir los efectos en alta frecuencia en el diseño de un elemento magnético. Establecer criterios de diseño que tomen en cuenta los efectos en alta frecuencia, haciendo énfasis en la aplicación particular. Establecer ecuaciones de la literatura para evaluar los efectos de alta frecuencia, sencillos y prácticos, que no involucren tiempo y uso de equipo o software especializado, con la suficiente precisión para su uso efectivo. Obtención de un método de diseño en alta frecuencia efectivo (núcleos convencionales). Establecer algún método de optimización del diseño final, para reducir las perdidas de CA, especialmente para conductor de hilo redondo, el mas utilizado.

1.3.- Marco conceptual y estado del arte

Existen muchos trabajos sobre el diseño magnético en alta frecuencia; cada uno se enfoca en algún problema en particular: forma de los devanados, corrientes parásitas, resistencia de CA, etc.; pero no existe uno que abarque todos estos fenómenos, esto debido principalmente a que depende fuertemente de las características de la aplicación. Se han dedicado esfuerzos para analizar. los fenómenos de alta frecuencia con el fin de comprenderlos e incluirlos en el diseño magnético. Aquí se presentarán algunos de los métodos y técnicas existentes en la literatura que buscan solucionar algunos de los problemas que-surgen en alta frecuencia.

2

Colonel Wm. T. MacLyman. Transformer and Inductor Design Handbook. Método del producto de areas. [i]

Este método tiene por objetivo estimar el tamaño del núcleo necesario para la aplicación considerada, en función del parámetro conocido como producto de áreas, este parametro consiste en el producto del área efectiva por el área de ventana del núcleo magnético a utilizar (AP = A, x Ac). El parámetro parte de relaciones empíricas (Únicas) del producto de áreas con el volumen, el area de superficie, densidad de corriente y peso para los diferentes tipos de núcleos. Toda la información la proporciona el fabricante.

La premisa básica de la cual parte este método indica que: para máxima eficiencia las pérdidas del núcleo son iguales a las del devanado.

Básicamente el método consiste en lo siguiente:

Especificar un incremento de temperatura aceptable y los parametros de la

Calcular el entrehierro.

aplicación (L, I,,,, I,,, I,r) se obtiene un valor de A,. Seleccionar por medio de una tabla el núcleo adecuado. Calcular el número de vueltas, utilizando las relaciones de A,, utilizando como criterio el límite de saturación o las pérdidas. Calcular el diámetro del hilo, en función del número de vueltas y el área de ventana.

Las desventajas de este método son:

. . No es fácil especificar un incremento de temperatura aceptable. NO existen criterios suficientes para especificar una densidad de flujo máxima B ~ C . Para máxima eficiencia se suponen pérdidas en el núcleo iguala las del devanado, pero no se cumple cuando el límite de diseño es la saturación, es decir, podría operar por encima de B,,t. NO se toman en cuenta los fenómenos de alta frecuencia. .

r . 7

t-’ 1- D-4

Figura 1-1. Producto de areas para el núcleo tipo Pot: (a) Vista superior y (b) corte transversal.

3

~~

Juan Manuel Lopera Ronda. Tesis doctoral: “Elementos magnéticos en alta frecuencia: estudio, modelado y criterios de diseño”. Departamento de Ingeniería Eléctrica, Electrónica, de Computadores y de Sistemas de la Universidad de Oviedo, España. Diciembre de 1993. [ 2 ]

En su trabajo doctoral, I. Lopera hace una mejora al producto de areas y agrega algunos criterios para la selección del hilo y técnicas de devanado. Básicamente es el mismo método de producto de áreas.

Método de valoración de perdidas: . . .

Se obtiene el tamaño del núcleo a partir de la especificaciÓn de las máximas perdidas aceptables (producto de areas). Se obtiene una nueva relación con el volumen del núcleo. Se estima el volumen mínimo necesario en función de constantes de los materiales y de las perdidas aceptables. Se evita que el núcleo trabaje por encima de BSat. Se selecciona el núcleo de los cálculos anteriores. Se obtiene el volumen mínimo del núcleo. Se calcula el número de vueltas y el diámetro del hilo. Se calcula el entrehierro.

Lopera agrega algunos criterios de selección del hilo Óptimo:

o Hilo redondo y tipo laminar.

Por medio de un proceso iterativo es posible obtener las dimensiones del hilo Óptimo, considerando el efecto piel en alta frecuencia y realizando un análisis de perdidas en los devanados.

o Hilo de Litz.

Se caracteriza por tres parámetros: diámetro exterior, diámetro del hilo base y número de hilos base. El diseño se realiza con base en:

Selección de un diámetro exterior de forma que se llene completamente el área de ventana. ~ Elegir diámetro de hilo base menor que la profundidad piel, para evitar efectos en alta frecuencia. Desventaja: dificil de conseguir y costoso.

Igualmente Lopera presenta un proceso de selección del devanado Óptimo: dependiendo de la dimensión del hilo Óptimo propone dos métodos para encontrar el devanado óptimo para minimizar las perdidas.

Las conclusiones de Lopera, en cuanto al diseño magnético en alta frecuencia son:

J No es posible desarrollar un método completo de diseño de elementos magnéticos que permitan la selección del núcleo necesario.

J Recomienda e l uso del hilo redondo, por fácil de devanar y económico.

4

Ashkan Rahimi-Kian, Al¡ Keyhani, Jeffrey M Powell. “Mjnj,pjum L~~~ oesjgn of a 100 kHz Inductor with Litz Wire”. IEE PESC 1gg7.[31

LOS autores Presentan Un método iterativo para obtener pérdidas minimas en el núcleo y utilizan el método del producto de áreas para determinar los datos del núcleo y el tipo de hilo.

Con los datos anteriores determina Io siguiente:

Área de ventana. Sección transversal. Densidad de flujo. Número de vueltas.

En este punto realizan un nuevo calculo de la densidad de flujo y además:

Se comprueba si las pérdidas del núcleo son iguales a las perdidas del devanado. Si es cierto, se utiliza otro núcleo y se repiten los pasos anteriores. Si no es cierto se escoge otro tamaño de hilo y se repiten los pasos anteriores. Se comparan los resultados Para varios núcleos y se escoge el mejor caso.

, .

Dimensión del entrehierro de aire.

Se determinan las perdidas en el núcleo y del devanado. Se determina la resistencia de CA del hilo Litz. Determinación del factor de utilización de la ventana Kw.

D. K. W. Cheng, K. L. Ng. ” A new approach in switching mode transformer design with distributive configuration “. Politécnico de Hong Kong. IEEE PESC 1992. Pags 1387-1392. [4]

Los autores ofrecen un nuevo método de diseño utilizando una configuración distributiva:

Figura 1-2. Configuración distributiva.

La configuración se construye con núcleos planares tipo E. Las ventajas que presentan son:

5

El tamaño del transformador puede Ser reducido. Distribución térmica. La capacitancia y el coeficiente de acoplamiento pueden ser controlados.

Desventaja:

Incremento de las perdidas del cobre debido al efecto piel y perdidas del núcleo.

Jiankun Hu, Charles R. Sullivan. "Analytical Method for Generalization Of numerically Optimized Inductor Winding Shapes". IEEE PESC 1999. Pags 568- 573. [SI

Los autores presentan un método simple para optimizar la forma de embobinado de inductores, para cualquier diseño con el mismo núcleo, sin repetir las operaciones del calculo. Esto permite reducir las pérdidas de embobinado en alta frecuencia, debido al efecto proximidad y al entrehierro presente.

* . o . . .

10KHz 30KHz 50 KHz

Figura 1-3. Ejemplo de optimización del embobinado de u n inductor,

W.G.Hurley, E. Gath, and 3.6. Brelin. "Optimizing the AC resistance of multilayer transformer windings with arbitrary wave forms". IEEE PECC 1999.[6]

Los autores presentan una nueva fórmula para optimizar la dimensión de las capas de transformadores multicapa, utilizando Únicamente los valores eficaces de corriente y voltaje; aplicable a cualquier forma de onda. Esto evita el utilizar los coeficientes de

~~ _. ~~ Fourier de hasta 30 armónicos y obtener hasta 10 valores diferentes de capa hasta encontrar el óptimo.

Resumen

Como se puede observar en los artículos anteriores:

No existen criterios universales de diseño en alta frecuencia. Los fenómenos atribuidos a la alta frecuencia en los elementos magnéticos, como el efecto piel o proximidad, deben ser incluidos ai realizar el diseño.

6

El método base para cualquier diseño es el producto de areas, a pesar de que no es recomendable para alta frecuencia. La mayoría de los autores presentan técnicas para optimizar el diseño de los

elementos magnéticos una vez determinado los datos Dor medio del orodurtn de ~ ~~~ ~ --

areas. Estas técnicas son muy variadas y algunas son específicas a cierta(s) aplicación(es).

1.4.- Metodología desarrollada

Dado que el problema fue el estudio de los fenómenos en el diseño magnéticos en alta frecuencia, se siguió la siguiente metodología a fin de comprenderlos mejor y estudiar las soluciones propuestas en la bibliografía para tomarlos en cuenta en el diseño y optimizarlos.

ESTUDIO DE LA TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA. Revisión general de la teoría electromagnética:

1. Campo Magnético

Ley de Ampere Ley de Biot - Savart Fuerza de Lorentz Ley de Faraday EiemDio de campo magnético de un hilo, espira, solenoide y toroide. F¡ujo'magnético.y deniidad de flujo Ley de Gauss para campos magnéticos Intensidad de campo magnético H Fuerza magnetomotriz Autoinducción Energía almacenada en una bobina Energía almacenada en un campo magnetic0 El potencial vector magnético. Ley de la divergencia

2. Materiales magnéticos

- Fuentes de campo magnético - - -

Relación entre 8, H y M (imanación) Materiales diamagnéticos, paramagnéticos y ferromagnéticos Formación de dominios en los materiales ferromagnéticos

3. Magnetismo

- - - Circuito magnético -

Energía perdida en un ciclo de histéresis Perdidas por corrientes de Foucault

Transformador, autoinducción e inducción mutua

7

4. Ecuaciones de Maxwell. - - - - Aplicaciones de las ecuaciones de Maxwell, ondas electromagnéticas y

Ley de Faraday, Ampere, y de Gauss como ecuaciones de Maxwell Flujo magnético cuarta ecuación de Maxwell Potenciales para campos variables con el tiempo

propagación de energía.

ESTUDIO DE LOS FENÓMENOS EN ALTA FRECUENCIA. Efecto piel, proximidad, pérdidas en los devanados etc. y los problemas que ocasionan en el diseño de elementos magnéticos en alta frecuencia. Aplicaciones de las leyes de Maxwell a las estructuras de los elementos magnéticos (conductores, devanados, núcleo) para obtener las ecuaciones (Ecuación de Dowell) que predicen las pérdidas ocasionadas al incrementar la frecuencia, y la consiguiente optimización de dichas pérdidas en el diseño de los elementos magnéticos.

ESTUDIO DE LOS MÉTODOS Y TÉCNICAS DE DISENO DE ELEMENTOS MAGNÉTICOS EN ALTA FRECUENCIA.

VALIDACIÓN DE LOS MÉTODOC OBTENIDOS. Evaluación de las ecuaciones simplificadas obtenidas para determinar el incremento de resistencia en CA al elevar la frecuencia. Construcción de un prototipo experimental utilizando núcleo convencional, verificando que el método propuesto sea práctico, de fácil implementación y que no involucre rediseños innecesarios.

1.5.-

Esta tesis proporcionará bases sólidas para el diseño de elementos magnéticos en alta frecuencia. Se propondrá un método adecuado según los criterios establecidos y alguna(s) técnica(s) de optimización. Con este trabajo se espera enriquecer el área de Sistemas de Alimentación Conmutados.

Aportación o contribución del trabajo

1.6.- Referencias

[l] Colonel Wm. T. MacLyman. "Transformer and Inductor Design Handbook". Editorial Board, 1988.

[Z] Juan Manuel íopera Ronda. Tesis doctoral: "Elementos rnagnetjcos en alta frecuencia: estudio, modelado y criterios de diseño". Universidad de Oviedo, España. Diciembre de 1993. Gijon, España.

[3] Jiankun Hu, Charles R. Sullivan. "AnJ/itiCJ/ Method for GenerJ/ization o f numerical Optimizad Inductor Windings Shapes". PESC 1999. Pags. 568-573.

[4] Ashkan Rahimi-kian, Ali keyhani, Jeffrey M Powell. "Minimum Loss Design o f J 100 kHz inductor with Litz wire". IEEE Annual Meeting, New Orleans, LA., Octubre 5-9, 1997.

8

I51 K.W.E. Chang. P.D. Evans. "Optimization of high frequency inducor design of serie resonant converter". PESC 1992. Pags 1416-1422.

161 W.G.Hurley, E. Gath, and J.G. Breslin. "Optimizing the AC resistance of multilayer transformer windings with arbitrary wave forms". I E E E PESC 1999.

D.K.W Cheng, K.L. N g . ' X new approach in switching mode transformer design with distributive configuration". PESC 1992. Pags. 1387-1392.

[9] Magnetics Inc. Tecnicals Bolletin and Catalogs.

[lo] Unitrode. Power Supply Design Seminar 1993.

[ill I. Casada, T . Yamaguchi y K. Harada. "Methods for loss reduction in planar

[SI

inductors". PESC 1992. Pags 1410-1415.

9

10

Capítulo 2 Conceptos Básicos

2.1.- Introducción

Dentro del conjunto de dispositivos que constituyen un circuito eléctrico, los elementos magnéticos presentan una particularidad importante que los diferencia del resto, y es que, mientras que los demás componentes se adquieren ya fabricados, los elementos magnéticos en la mayor parte de los casos deben ser diseñados y construidos para cada aplicación específica.

Este hecho trae consigo la necesidad imperiosa de disponer de modelos que permitan conocer los parámetros eléctricos de los dispositivos magnéticos, así como de criterios de diseño que faciliten al mismo.

Dichos criterios de diseño serán diferentes en función de que en el elemento magnético aparezcan o no ciertos efectos de redistribución del campo electromagnético. Ello dependerá tanto de la frecuencia de trabajo como de las dimensiones del elemento a diseñar (conductores y núcleo).

2.1.1.- Elementos magnéticos en convertidores electrónicos de potencia

Los elementos magnéticos se dividen de forma general en dos grandes grupos según la función que realizan:

- Inductores El objetivo de los sistemas de potencia es extraer energía de una fuente primaria

para suministrarla a una determinada carga de forma controlada. En los sistemas electrónicos de potencia esta energía inicial proviene de un campo eléctrico. Para

controlar el flujo de energía hacia la carga sera necesario almacenar parte de la energía en algunos instantes de tiempo. Para ello existen dos formas clásicas: almacenar la energía en forma de campo eléctrico (condensadores) o almacenarla en forma de campo magnético (inductores).

AS¡ pues un inductor es un dispositivo que almacena energía procedente de una corriente eléctrica.

- Transformadores AI igual que los inductores, los transformadores convierten la energía de un campo

eléctrico en un campo magnético, pero no con la misión de almacenarla, sino para volver a convertirla en un nuevo campo eléctrico, y conseguir así modificar las propiedades (tensión - corriente) del campo inicial, además de proporcionar aislamiento galvánico.

Esta división general de los elementos magnéticos en transformadores e inductores es muy simple, ya que las misiones específicas de los componentes magnéticos son muy variadas. En un circuito electrónico podemos encontrar elementos tan diversos como:

Transformadores de alterna, de baja frecuencia. Inductores para filtros de entrada, de corrientes bajas. Transformadores de potencia de alta frecuencia. Inductores para filtros de salida, de corrientes altas. Transformadores de impulsos. Inductores auxiliares para circuitos resonantes. Amplificadores magnéticos. Inductores para filtros. Transformadores de corriente y señal.

2.2.- Principios de la teoría electromagnética

A continuación se citarán las leyes básicas que describen el comportamiento electromagnético.

* Ley de Bio-Savart [4] Esta ley permite obtener el valor de la densidad de flujo magnético en un punto del

espacio, considerando campo cercano, debido a un elemento diferencial de corriente. La expresión matemática resulta ser:

- - dl (2.1) - p u l d l x r d B = - -

4n r2 donde: P I r dl d¡

r -

12

es la permeabilidad del medio. Es la corriente por el conductor. Es la distancia entre el punto considerado y el elemento de corriente. Es la longitud del elemento considerado. Es un vector unitario tangente ai elemento de corriente y con sentido el de dicha intensidad Es un vector unitario en la dirección de la recta que va del punto al elemento de corriente y que apunta a P.

La figura

/ / I 1 4 -

I l r

/ I I I I

Figura 2-1. Campo creado por un elemento de corriente.

2-1 ilustra las magnitudes anteriormente consideradas.

* Ley de Ampere Esta ley establece que la integral de linea del vector intensidad de campo magnético

H a lo largo de una trayectoria sencilla cerrada, es igual a la corriente total (o fuerza magnetomotriz) encerrada por dicha trayectoria. La expresión matemática correspondiente será por lo tanto:

-- F = d H d l = xi

siendo:

F la fuerza magnetomotriz (A) H dl

el vector intensidad de campo (A/m) elemento diferencial de longitud del contorno cerrado (m)

* Ley de Faraday de la inducción electromagnética La f.e.m. inducida en yn circuito eléctrico es igual a la rapidez de disminución de

flujo magnético de enlace sobre el circuito.

d L dt

e=- - -

13

donde:

e es la fuerza electromotriz h es el flujo magnético de enlace o total, si se dispone de una bobina con N vueltas,

con un flujo por vuelta Q>, el flujo magnético de enlace responde a \a expresión:

A = N . Q (2.4)

La polaridad de la f.e.m. inducida viene dada por la ley de Lenz que afirma que la corriente inducida va en una dirección tal que se opone al cambio del flujo que la originó.

* Energía en e l campo magnético Crear un campo magnético requiere un "gasto" de energía para el que establece

dicho campo: la densidad de energía en cualquier punto del campo viene dado por la expresión:

w = F . d ? donde:

w B H

es la densidad de energía expresada en julios/m3 es el vector densidad de flujo (en Teslas) es el vector intensidad de campo magnético (en A/m)

En un medio isotrópico se verifica que:

siendo la p la permeabilidad magnética del medio, (para el vacío po=4n.10-' H/m), con lo cual:

* Ley de la divergencia Las líneas de campo magnético son continuas, forman trayectorias cerradas sin

fuentes ni sumideros. Se dice que la densidad de flujo B tiene carácter solenoidal.

div 2 = O

2.2.1.- Circuitos magnéticos

Como se acaba de indicar, las líneas de flujo magnético forman curvas cerradas. Si todo el flujo magnético (o una gran parte del mismo) asociado con una determinada distribución de corrientes, se confina en una serie de trayectorias bastante bien definidas, entonces podemos hablar de un circuito magnético. Esa 'buena definición" de las trayectorias va a servir para determinar los flujos magnéticos en las mismas, y ahí va a residir su interés. En la figura 2-2 se muestra un circuito de estas características en un anillo de material ferromagnético sobre el que se arrolla un devanado toroidal.

14

Figura 2-2. Devanado toroidal.

En un circuito magnético, la ley de Ampere describe la relación que existe entre la corriente eléctrica que genera un campo magnético y el propio campo. En el caso expuesto en la figura 2-2, con un total de N vueltas se cumple:

El sentido del vector de intensidad de campo H respecto a la intensidad i viene dado por la regla de mano derecha.

La anterior expresión se puede escribir también en la forma:

(2.10)

Siendo A el area de la sección transversal del circuito en el punto considerado.

En un circuito magnético como éste, se espera que sea constante en todos los puntos, con lo cual:

Se define la reluctancia del circuito magnético de la siguiente forma:

R = @ - dl P . A

(2.11)

(2.12)

se expresa en A/Wb y es un parametro que depende de las características del medio y de la geometría del circuito magnético. Si el flujo no fuera idéntico para todos los tramos de un determinado circuito magnético, se define la reluctancia para cada uno de los tramos en donde si cumple la constancia del flujo.

A partir de la anterior definición, se puede rescribir la ley de Ampere en la forma:

(2.13)

15

Ecuación que presenta una clara analogía con la expresión correspondiente a un circuito eléctrico (ley de Ohm)

e = r . i (2.14)

La analogía existente, se centra en magnitudes tales como:

e (f.e.m.) - F (f.m.m.) r (resistencia) - R (reluctancia) i (intensidad) - @ (flujo magnético)

La reluctancia es, por tanto, una medida de la 'resistencia" que presenta el circuito magnético o parte del mismo a la "circulación" de un flujo de campo magnético. La analogía con el circuito eléctrico puede emplearse para el análisis de circuitos magnéticos complejos, siendo posible la combinación de reluctancias en serie y en paralelo de la misma forma que era posible la asociación de resistencia, la figura 2-3 sugiere dos disposiciones, serie y paralelo respectivamente, para dos circuitos magnéticos diferentes así como sus dos circuitos eléctricos análogos.

i

Figura 2-3. Asociaciones serie y paralelo en circuitos magnéticos.

16

2.3.- Parametros eléctricos en los elementos magnéticos

2.3.1.- Elementos magnéticos: bobinas

Tal como se ha expuesto al principio, bobinas y transformadores están presentes en la mayoria de los circuitos electrónicos de potencia. De modo amplio, se puede decir que las bobinas son dispositivos almacenadores de energía y como tales son empleados para conseguir el filtrado de formas de onda conmutadas, la generación de corrientes o tensiones senoidales en circuitos resonantes, la limitación en la velocidad de variación en las corrientes o circuitos de protección, corrientes de arranque o transiciones limitadas, etc.

El parametro fundamental que define una bobina es su inductancia, cuyo significado físico y valoración sera establecido a continuación.

2.3.1.1.- Inductancia

El flujo magnético que atraviesa un circuito eléctrico aislado es función de la Forma geométrica del circuito, y dependiente de la intensidad de corriente en el propio circuito. Por tanto, para un circuito estacionario rígido, los cambios de flujo resultan de cambios en la corriente. Lo anterior se puede expresar como:

d A d A di dt di di _=_._

Donde h es el flujo de enlace total. Ver ecuación (2.4)

Se define la inductancia o coeficiente de autoinducción (L) como la relación:

d;l L=- di

(2.15)

(2.16)

Esta magnitud se mide en Henrios siendo:

1 Henrio = 1 Weber/l Amperio

Si la relación entre h y la corriente que causa el campo magnético es lineal, la inductancia es una constante:

A N . Q , L=-=- i i

De la anterior expresión y de la ley de Faraday (2.2) se puede obtener: di e = -L- dt

que resulta ser una expresión de importancia practica considerable.

(2.17)

(2.18)

17

Según se había expuesto con anterioridad, una bobina es un elemento de circuito que almacena energía en forma de campo magnético, siento la inductancia una medida de esa capacidad de almacenamiento de "energía magnética":

(2.19)

De la expresión anterior, se deduce que para una misma evolución de la corriente, a mayor inductancia, mayor cantidad de energía almacenada.

De la expresión (2.17) también se deduce que para la obtención de la inductancia de una bobina u otro circuito cualquiera, se hace necesario determinar el flujo total de enlace generado por una determinada corriente que circula por el propio circuito, para posteriormente, dividir ese valor por el de la corriente.

En los casos prácticos, para obtener la inductancia, no se hace necesario determinar de manera exacta el campo magnético generado, sino que se puede suponer con la suficiente precisión, que el campo sigue unos caminos dados, que presentan unas áreas transversales determinadas, sobre las cuales el campo es uniforme, es decir unos determinados tramos del circuito magnético total.

De las ecuaciones (2.13) y (2.17) también se puede obtener una relación de interés:

N2 L=- R

(2.20)

R es la reluctancia del circuito magnético de la bobina y se puede decir que depende de manera exclusiva de la geometría y de las propiedades magnéticas del material sobre el que se establece el circuito magnético según se puede apreciar en la expresión (2.12). El termino N2 resulta ser un factor de escala para la inductancia.

Por tanto, la reluctancia y su inversa, denominada permeancia (P) resultan de gran utilidad en el análisis de estructuras magnéticas complejas:

1 p = - R

(2.21)

En el caso de que en el circuito magnético se mantengan constantes las dimensiones geométricas y el material:

(2.22)

Según se había expuesto con anterioridad al hablar de los circuitos electromagnéticos, la analogía va a permitir determinar la inductancia cuando se emplean formas magnéticas variadas y complejas si se establecen las reluctancias de las trayectorias"preferidas" por las líneas de campo. El flujo seguirá los caminos de baja reluctancia ofrecidos por los materiales de alta permeabilidad antes que los caminos de alta reluctancia que brinda el aire, de manera análoga a la circulación de corriente a través de los cables conductores y no por el aire circundante de un circuito eléctrico.

18

sin embargo, existe una diferencia fundamental entre el comportamiento de un circuito eléctrico Y el de uno magnético: un circuito eléctrico se realiza con hilos de cobre u otros materiales conductores cuyas conductividades son mayores en unos doce Órdenes de magnitud que el aislante o el aire que lo rodea, mientras que un circuito magnético está hecho con materiales cuyas permeancias son sólo unos pocos Órdenes de magnitud superiores a la del aire del entorno, de hecho el aire forma parte frecuentemente del circuito magnético. Por tanto, una cierta cantidad de flujo circula fuera del camino magnético definido por el material y se cierra sobre sí mismo a través de trayectorias alternativas por el aire. Este flujo se conoce como flujo de dispersión fuera del circuito magnético y en una primera aproximación se puede suponer despreciable.

A partir del circuito magnético, resulta posible obtener la inductancia de una bobina realizada a partir de un determinado núcleo, como el que muestra la figura 2-4.

Se asume, en primer lugar que la permeabilidad del material del núcleo es mucho mayor que las del espacio libre con lo cual todo el campo magnético se supone encerrado en el núcleo. Éste constituirá por tanto el circuito magnético que puede dividirse en tres partes: la columna central, la rama derecha que consta de dos segmentos horizontales y uno vertical y la rama izquierda que es simétrica a la anterior. Los dos circuitos magnéticos por los que se cierra el flujo están definidos de manera clara y se puede establecer la analogía eléctrica según se muestra en la figura 2-4. La permeancia 0 reluctancia de cada rama depende sólo, según se viene insistiendo, de la geometría y de las propiedades del material del núcleo. Por lo tanto como aproximación se pueden obtener:

e =- &.A , (2.23) K.4 (2.24)

,

', p2 =-

1, + 21,

Figura 2-4. Circuito magnético y su analogía eléctrica: (a) Circuito magnético y (b).circuito eléctrico equwalente.

19

Resolviendo el circuito eléctrico análogo, y de (2.13) y (2.21) se obtiene:

Y de (2.17) N . O I _ 2 . A, , A, .,!ic. N 2 L, =- -

i 2 4 ~ l , + A , ( i , + 2 l 2 )

(2.25)

(2.26)

Para simplificar la determinación de la inductancia de una bobina dada, sin tener que calcular la reluctancia (tal como se ha indicado en el ejemplo anterior) para cada una de las formas geométricas posibles de núcleos magnéticos empleados, los fabricantes de núcleos, suministran para cada caso un parametro denominado factor de reluctancia (A,) que corresponde a la inductancia referida a una vuelta para el núcleo y material especificado. Por tanto, el factor de inductancia coincide con la permeancia puesto que

L = A , . N ~ (2.27)

La inductancia obtenida en el ejemplo anterior es linealmente dependiente de la permeabilidad del núcleo que se ha supuesto constante. Sin embargo, esta es una aproximación que puede ser errónea si se tiene en cuenta que esa permeabilidad depende del valor del flujo magnético. Para independizar ese valor de la inductancia de las variaciones de pLc, se incluye en ocasiones un entrehierro en el circuito magnético según se describe a continuación.

2.3.1.2.- Efecto de un entrehierro

La presencia de un entrehierro en un circuito magnético hace menos dependiente a la inductancia del nivel del flujo y aumenta la densidad de energía almacenada en la estructura según se puede observar con el siguiente ejemplo.

Supóngase ahora una bobina en un núcleo con entrehierro como el que aparece en la figura 2-5.

La reluctancia de los tramos de núcleo y entrehierro serán respectivamente:

g RE =- POA

La inductancia será por tanto:

(2.28)

(2.29)

(2.30)

20

(a) (b)

Figura 2-5. Bobina en núcleo con entrehierro: (a) Circuito magnético y (b).circuito eléctrico equivalente

si se verifica

(2.31)

lo cual puede darse de manera habitual puesto que ve >> po, entonces la inductancia no depende de las propiedades magnéticas del material y por lo tanto:

po. A . N ~ L = , (2.32)

Es frecuente intercalar un entrehierro para hacer que la inductancia sea predecible y estable ante variaciones de la temperatura, nivel del flujo o modificaciones en la Fabricación que afectan a las propiedades del material magnético, aun a costa de disminuir la inductancia del conjunto.

Los cálculos realizados hasta'ahora, con o sin entrehierro, se efectuaron asumiendo que todo el flujo que atraviesa el devanado está circulando a través del núcleo o del volumen definido por el mismo. Sin embargo, tal y como se ha comentado, debido a los pocos Órdenes de magnitud de diferencia existentes entre el entorno y el núcleo, aparece siempre un flujo de dispersión. Además, la existencia de un entrehierro hace que el flujo a traves del mismo incluya una componente adicional por la existencia de un "abombamiento" que extiende y amplia la sección efectiva atravesada por el flujo en esa zona. Ambos efectos incrementan el valor calculado pata la inductancia en el supuesto de que todo el flujo esté contenido en el núcleo y que el flujo en el entrehierro es perpendicular a las caras que lo limitan.

DGITl CENIDET

' CENTRO DE INFORMACION

21

lSEP

(a) (b)

Figura 2-6. Flujo de dispersión y en el entrehierro: (a) Circuito magnético y (b).circuito eléctrico equivalente

La figura 2-6(a) ilustra esa situación, apareciendo un flujo de dispersión OI respecto al circuito magnético y un flujo en el entrehierro @, que no se ajusta a la sección principal del circuito magnético.

El circuito eléctrico que aparece por analogía se representa en la figura 2.6(b). La reluctancia del entrehierro es ahora R,, menor que la correspondiente al ejemplo anterior, debido a la nueva distribución del flujo en el espacio del entrehierro. El flujo de dispersión "circula" a través de la rama RI en paralelo con la fuente.

La inductancia de una bobina realizada sobre este núcleo será pues:

(2.33)

E l valor de esta inductancia resulta ser mayor que el obtenido en la expresión del

La importancia de esta modificación depende de las dimensiones relativas del núcleo y del entrehierro, si éste es mucho menor que las dimensiones de los lados de la sección transversal, la modificación resultara mucho menos significativa. En otros casos en los que se necesite una mayor precisión, se debería valorar el flujo en cada punto mediante un análisis numérico, de elementos finitos por ejemplo.

En ciertas formas geometricas y para determinados núcleos, los fabricantes ya tienen prevista la necesaria inclusión y ajuste de un entrehierro.

Núcleos como el mostrado en la figura 2-7, del tipo denominado RM, disponen de una holgura (S) en el montaje de las dos partes que constituyen el conjunto que representa el entrehierro máximo posible. Sobre un hueco central vertical existente, puede entrar un tornillo con recubrimiento plástico e interior de material magnético de manera que se permite efectuar el ajuste del entrehierro en función de la mayor o menor introducción e n el hueco y por tanto de la ocupación con material magnético del entrehierro inicial.

ejemplo, (2.32).

22

\ 5.1 / 024.7:,,

>IO.@

-=5.,.3-

4

(a) ( b ) Figura 2-7. Núcleo RM con entrehierro ajustable':

(a) Vista superior, corte transversal y ( b ) accesorios.

8 , I N vuelios I 1. ..-- I

La modificación del valor de la inductancia, también se puede suministrar por medio de unas curvas las cuales. se grafican en función del número de vueltas dadas al tornillo de ajuste, la variación porcentual de la inductancia referida al valor mínimo correspondiente al entrehierro máximo.

2.3.1.3.- Bobinas con núcleos abiertos

En ciertas aplicaciones, como en el caso de las bobinas de las fuentes de alimentación que trabajan con un nivel de continua elevado, para evitar la saturación del núcleo magnético, se hace necesario el empleo de bobinas con núcleos abiertos, es decir bobinas en las cuales el "recorrido" del flujo magnético se verifique en gran medida por el aire como ilustra la figura 2-8.

Figura 2-8. Bobina con núcleo abierto.

' Cortesía de Ferroxcube

23

La determinación de la densidad de flujo magnético en el interior de la bobina se puede determinar a partir de la ley de Bio-Savart (2.2), extendiendo la integración a toda la bobina.

Procediendo de ese modo, se obtiene en el centro de la bobina una densidad de flujo:

mientras que en un extremo de la bobina se tiene, por el mismo método:

p . N . I 2 m

B =

(2.34)

(2.35)

Esta reducción se debe a la fuga de flujo cerca de los extremos del solenoide, de manera que si I es lo suficientemente grande, se puede considerar 6 como constante e igual al valor en el centro del solenoide.

Por tanto, la inductancia correspondiente será:

N . B . A p. N 2 .z. R2 - L = I - Jm

y en el caso habitual de que I >> R entonces se puede tomar como aproximación:

(2.36)

(2.37)

Si en el centro del solenoide no existiera un núcleo magnético sino un “núcleo de aire” todas las trayectorias de campo se describirían por el aire y se debería de sustituir en la anterior expresión la permeabilidad p por la correspondiente al vacío pa.

2.3.1.4.- Energía almacenada en una bobina

La expresión (2.38) permite determinar la energía magnética almacenada en una bobina en términos del campo magnético existente en la misma, de manera que se cumple:

1 2

W =- B . H .dV (2.38)

siendo V el volumen en el cual existe campo magnético. Si se dispone de un núcleo sin entrehierro y se supone la permeabilidad constante y uniforme, se verifica además:

w=- B2Vc 2P

donde V,, es el volumen del núcleo en el que se supone se encierra todo el flujo.

(2.39)

24

Si el núcleo dispone de entrehierro, el volumen de integración deberá incluirlo. Debido a la ley de divergencia, el valor de la densidad de flujo B, deberá de mantenerse a lo largo de las líneas de campo aunque se produzcan variaciones en la permeabilidad p. Se puede expresar por tanto, la energía total almacenada como suma de la energía almacenada en el núcleo y la energía almacenada en el entrehierro:

(2.40)

Admitiendo como aproximación que las secciones transversales atravesadas por el flujo en el núcleo y el entrehierro son iguales, la relación entre energías almacenadas en uno y otro resulta ser:

w, - PCg (2.41) T Po4

Para un núcleo magnético se verifica de manera habitual:

(2.42)

con lo cual la relación (2.41) resulta ser mucho mayor que uno, es decir la gran mayoría de la energía almacenada en la bobina se encuentra en el entrehierro hasta el punto de poder considerar:

(2.43)

La densidad de energía en el entrehierro por el volumen del mismo nos proporciona una buena aproximación de la energía total almacenada en una determinada inductancia.

Si el núcleo fuera de hierro, que suele presentar una densidad de flujo máximo de 1.4 Teslas, la densidad de energía máxima en el entrehierro sería:

(2.44)

Sin embargo, si el núcleo es de ferrita, la densidad de flujo maxima es típicamente de 0.3 Teslas, la densidad de energía maxima sería sólo de 0.05 J/cm3.

Cuando se diseña una bobina, los valores de la corriente y la inductancia de la misma, determinan la energía total almacenada y conocida la densidad maxima en el entrehierro, resulta inmediata la determinación del volumen necesario de éste.

2.3.2.- Elementos magnéticos: transformadores

En una primera aproximación, se puede decir que un transformador es un conjunto de dos o mas bobinas acopladas entre sí a través de un circuito magnético común, es decir dos o mas devanados enlazados por un flujo común. La figura 2-9 muestra por tanto un transformador de dos devanados.

25

Figura 2-9. Transformador de dos devanados.

El núcleo del transformador es el que suministra el circuito magnético de baja reluctancia a través del cual "circula" la gran parte del flujo generado por los devanados.

Los transformadores, dentro de los circuitos electrónicos de potencia, se emplean con muy diversos cometidos y características. En baja frecuencia (50 Hz, 60 Hz o 400 Hz) los transformadores de potencia se realizan con núcleos de chapas de acero laminado y su finalidad es elevar o reducir la tensión de linea, conseguir aislamiento eléctrico o lograr desplazamientos de fase en sistemas polifasicos. En alta frecuencia, el transformador hace posible el aislamiento y la modificación de tensiones. En las aplicaciones de alta frecuencia los fabricantes emplean mezclas de polvo de hierro o ferritas con la finalidad de reducir las pérdidas en el núcleo.

En otras ocasiones, es preciso emplear transformadores para efectuar el mando en la compuerta o en la base de los dispositivos de control de potencia. También son usados en ciertos casos como sensores de tensión o corriente en sistemas realimentados.

2.3.2.1.- El transformador ideal

Se dice que los devanados de un transformador de dos bobinas están perfectamente acoplados si ambos se encuentran atravesados por el mismo flujo de enlace y éste es el único que los atraviesa. En ese caso, la tensión inducida por vuelta es la misma, siendo además la tensión en cada devanado directamente proporcional a su número de espiras.

26

(2.45)

El origen del campo magnético en el transformador es la suma algebraica de las f.m.rn. producidas por cada uno de los devanados. Se emplea el convenio de puntos para indicar la polaridad de los devanados, de manera que si las corrientes son entrantes por los puntos señalados (terminales correspondientes), los flujos generados por ambos se suman, tómese como ejemplo el transformador de la figura 2-10 en la cual, la aplicación de la regla de la mano derecha nos indica cuales son las terminales correspondientes.

La intensidad del campo magnético se puede obtener a partir de la ley de Ampere (2.2):

H = NI i, + N2 i2 (2.46) 1,

Si la permeabilidad del núcleo fuese infinita, H debería ser cero para evitar que la densidad de flujo magnético B fuese infinita. Pero la condición de nulidad de H se verifica si la suma de f.m.rn. es cero, es decir:

(2.47)

Los sentidos de las corrientes son opuestos: uno entrante y otro saliente de "terminal con punto".

La impedancia "vista" desde las terminales de entrada, (correspondientes ai devanado 1) supuesta una señal senoidal en los mismos, corresponde a la relación entre su tensión y su corriente, por tanto a partir de las expresiones (2.45) y (2.47):

(2.48)

En la figura 2-10 se ilustra el caso de una impedancia de carga de valor Z2 situada en el secundario que podría reemplazarse a efectos del primario por una impedancia equivalente Z1 del valor indicado por (2.48).

Nl:N2

ZI

'1-1 2, r v, v,

-

Figura 2-10. Impedancia referida al primario

27

Las ecuaciones (2.45) a (2.48) describen el comportamiento de un transformador ideal. Un transformador real difiere del ideal en tres aspectos fundamentales:

1.- Las tensiones no responden exactamente a la relación (2.45) puesto que no todo el flujo que atraviesa uno de los devanados cruza el otro, debido a la existencia de un flujo de dispersión.

la permeabilidad es finita con lo que la relación (2.47) tampoco es totalmente cierta. Es necesaria una f.m.m. total no nula para crear un flujo en el núcleo, la corriente necesaria para crear ese campo se denomina corriente magnetizante.

Las relaciones (2.45) y (2.47) expuestas no dependen de la frecuencia pudiendo trabajar en continua, pero este no es el caso de un transformador real.

A pesar de estas diferencias, la aproximación del transformador ideal resulta muy

2.-

3. -

Út i l en el modelado de los transformadores reales.

2.3.2.2.- Inductancia magnetizante

Tal y como se ha dicho, para que dos devanados se encuentren acoplados magnéticamente deberá de existir un flujo que los atraviese a ambos, normalmente uno de ellos genera una densidad de campo B que enlaza al otro devanado. Sólo en el caso hipotético de permeabilidad infinita puede existir densidad de flujo B sin intensidad de campo H (2.6) y por tanto con f.m.m. total nula. La mayor aproximación se obtendrá empleando un núcleo sin entrehierro y alta permeabilidad. En ese caso, lo que se tiene desde uno de los devanados, si el otro se encuentra en circuito abierto, es simplemente una inductancia de valor muy elevado (pero finito) denominada inductancia magnetizante. En Función de cual sea el devanado desde el que se mide la inductancia magnetizante, ésta puede tomar dos valores distintos que estarán relacionados entre si por el cuadrado de la relación de espiras.

La figura 2-11 muestra un transformador con acoplamiento perfecto pero con una inductancia magnetizante finita L, que se sitúa en paralelo con el transformador ideal correspondiente.

Figura 2-11. Modelo con inductancia magnetizante.

28

~~

La inductancia magnetizante podría situarse en cualquiera de los dos lados del transformador ideal. La corriente que circula a traves de esa inductancia (i,,,), se denomina corriente magnetizante y es la causante de que la expresión (2.47) no sea exacta debido a la necesidad de que la f.m.m. total generada por los dos devanados sea no nula.

El calculo de la inductancia magnetizante de un transformador se obtiene por el mismo procedimiento de calculo de inductancias visto con anterioridad, si se considera Únicamente el devanado primario o el secundario y se mantiene el otro en circuito abierto.

2.3.2.3.- La inductancia de dispersión

Como ya se había comentado a la hora de hablar de los circuitos magnéticos, existe la posibilidad de que no todo el flujo generado por uno de los devanados circule por el circuito magnético y atraviese el otro devanado. Existe una porción de flujo que atraviesa el aire y no enlaza los dos devanados, lo que provoca un acoplamiento imperfecto entre devanados.

A la hora de incluir esta circunstancia en el modelo de un transformador real, se incorporan unas inductancias de dispersión en serie con las terminales de entrada y de salida tales como bl y Ld2 en la figura 2-12.

Por tanto, la relación de tensiones primario/secundario difiere de la dada por la expresion (2.45) debido a las ”caídas de tensión” existentes en las dos inductancias de dispersión.

La dispersión del flujo fuera del circuito magnético presenta un efecto más importante en los transformadores que e’n las bobinas. En éstas últimas, el único efecto es el aumento en el valor previsto, mientras que en el otro caso, se interfiere el funcionamiento básico del transformador. Por tanto sera necesario conocer el motivo de la dispersión del flujo en un transformador para realizar un diseño más efectivo. En la mayoría de las ocasiones se pretenderá minimizar ese parámetro, puesto que aparte de la discrepancia con la expresión (2.45) la inductancia de dispersión puede provocar la aparición de sobretensiones indeseadas en los dispositivos de conmutación ai intentar cortar de manera brusca la corriente que circula a través de ellos.

Figura 2-12. Modelo con inductancias de dispersión.

29

Ese seria el caso del convertidor CD/CD mostrado en la figura 2-13, donde la inductancia de dispersión se sitúa de manera directa en serie con el interruptor.

En caso como el de los convertidores resonantes, puede ser oportuno tener ajustado ese valor con la finalidad de incluir la inductancia de dispersión en la inductancia resonante (figura 2-14).

En cualquier caso, resulta evidente que en todas las aplicaciones se necesita tener controlado este parámetro.

La determinación de la inductancia de dispersión puede efectuarse por un procedimiento de medida, si se dispone ya del transformador, o por un procedimiento analítico a partir del detalle constructivo y disposición de los devanados. Este procedimiento será de mayor interés si se pretende realizar el ajuste de manera previa a la materialización del transformador, como ocurre en la mayoría de los casos.

Figura 2-13. Convertidor PWM de topología flyback.

Figura 2-14. Convertidor de interruotor resonante.

30

2.4.- Magnetización, permeabilidad relativa y susceptibilidad magnética

Si se considera el toroide de la figura 2-15(a), aplicando las leyes y ecuaciones mostradas anteriormente la densidad de flujo magnético 6 en el toroide será:

NI Bo = Po T (2.49)

Sin embargo, si se mide en el toroide de la figura 2-16(b), se obtiene una densidad de flujo mayor de la esperada.

Debe existir por tanto otra fuente de flujo magnético en el material que provoque dicho aumento. Dado que, para el caso del aire la fuente del campo magnético era una corriente, este flujo total B, puede expresarse en la forma:

N I

B = /io -(I + I,,,) = /io (2 .50 )

donde H es el campo producido por la corriente exterior I, M es el campo producido por el propio material magnético. I,,, representa al campo adicional M, conocido como magnetización o imanación.

Aire Núcleo

(a) (b)

Figura 2-15. Devanado toroidal: (a) con núcleo de aire y (b) con núcleo magnético,

31

Por analogía con el caso de núcleo de aire, donde:

B = poH (2.51)

para el caso de materiales magnéticos, en los que:

B = po(H + M ) = p0 I +- ( se define la permeabilidad como:

P = Po (1 +$) y la permeabilidad relativa como:

(2.52)

(2.53)

(2.54)

La relación adimensional M/H se conoce como susceptibilidad magnética X,, y da una medida del grado de imanación de un material por efecto de H. Es decir:

M = XmH (2.55)

j I r=l+xm (2.56)

2.5.- Materiales diamagneticos, paramagnéticos Y ferromagnéticos

Si se introducen como núcleo, en el toroide de la figura 2-16, varios materiales, se

a) Para unos materiales la B obtenida es ligeramente menor a la obtenida con núcleo de aire. Su susceptibilidad magnética sera por tanto negativa. A estos modelos se les denomina diamagnéticos.

b) En otros materiales la 6 observada es ligeramente superior que en caso de núcleo de aire. Su susceptibilidad magnética es positiva. Dichos materiales se denominan paramagnéticos.

c) Por Último, para algunos materiales la B obtenida es muy superior a Bo. Estos materiales, que se denominan ferromagnéticos, presentan además la peculiaridad de que dicho efecto (B>>B,) desaparece a partir de una temperatura denominada temperatura de Curie Te..

observan tres distintos efectos:

32

PARAMAGNÉTICO

DIAMAGNÉTICO

FERROMAGNÉTICO

Temperatura de Curie

La permeabilidad de los materiales usados para diseño de elementos magnéticos, como las ferritas, varían con la temperatura generalmente hasta un valor máximo y decae rápidamente hasta un valor de 1. La temperatura a las cual ocurre esto se llama temperatura de Curie. Es decir, en la temperatura Curie, el material del núcleo pierde SUS características magnéticas

Material Susceptibilidad Mg 1.2 x 10-5 Ai 2.2 x 10-5 Pt

3.6 x 1 0 ~ 7 aire 01 2.1 10-6 Na -0.24 x 10-5 cu -1.0 x 10-5

-2.2 x 10-5 diamante -3.2 x 10-5 Hg

Hz0 0.9 10-5 Fe (cristales) 1.4 x lo6

3.6 x

hojas para transformador 7 x lo4 cristales 3.8 x lo6

Si-Fe Si-Fe

p-metal 105

2.6.- Dominios magnéticos

Por debajo de la temperatura de Curie, los momentos dipolares magnéticos de los átomos de materiales ferromagnéticos tienden a alinearse por si mismos en una dirección paralela en pequeñas regiones llamadas dominios magnéticos. Cuando un material ferromagnético es desimanado por enfriamiento lento desde encima de su temperatura de Curie, los dominios magnéticos se alinean aleatoriamente de forma que no hay ningún momento magnético neto para una muestra del material (figura 2-16). Los dipolos están alineados en cada dominio, pero los dominios están alineados aleatoriamente, por lo que la magnetización neta es cero.

Dominios Magnéticos

Figura 2-16. Dominios magnéticos en un material ferromagnético.

33

Rotacian de los dominios por M momentos de los rnagnetizacion

Rotacion de los

c 3 Más crecimiento

Crecimiento de los dominios

crecimiento de favorables y dominios- disrninucion de los

desfavorables

Distribución al

H

Figura 2-17. Crecimiento y rotación de dominios de un material ferromagnético al aplicarse una intensidad de campo ti.

Cuando se aplica un campo magnético externo a un material ferromagnético desimanado, los dominios magnéticos cuyos momentos están inicialmente paralelos ai campo magnético aplicado crecen a expensas de los dominios menos favorablemente orientados (fig. 2-17). El crecimiento del dominio tiene lugar por el movimiento de las paredes del dominio, como se indica en la figura 2-17.

Cuando el crecimiento del dominio termina, si el campo aplicado material ferromagnético desimanado al imanarlo hasta la saturación mediante un campo magnético aumenta sustancialmente, ocurre la rotación del dominio. La rotación del dominio necesita considerablemente más energía que el crecimiento del dominio, y la pendiente de la curva B o M frente a H decrece para campos altos para la rotación del dominio (fig. 2-17). Cuando se elimina el campo aplicado, la muestra permanece imanada, aunque se pierde algo de imanación debido a la tendencia de los dominios a rotar a su alineación original.

2.7.- Referencias

[ 11 Colonel Wm. T. MacLyman. "Transformer and Inductor Design Handbook". Editorial Board, 1988.

[2] luan Manuel Lopera Ronda. Tesis doctoral: "Elementos magnéticos en alta frecuencia: estudio, modelado y criterios de diseño". Universidad de Oviedo, España. Diciembre de 1993. Gijón, España.

Electromagnetics 1. "6-M-fie/d.pdff. CN Kuo, Fall 2003.

M.A. Planus. "Electromagnetismo aplicado". Editorial Reverté. 1992.

Fundamentals of Power Electronics. Robert Erickson. Segunda Edición. Universidad de Colorado. 2003

131

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Fundamentals of Tape Wound Core Design Magnetics. Magnetics Corporation.

Lloyd H. Dixon. "Magnetics desing for switching Power supplies". Section 1 to section 5.

Lloyd H. Dixon. "Magnetic core properties". Unitrode Power Supply Seminar, 1990.

Magnetics Inc. Tecnicals Bolletin and Catalogs.

[lo] Peter Signell. "SELF-INDUCTANCE AND INDUCTORS". Michigan State University. M144.pdf.

[ll] R. Street. "Magnetism and Magnetic Materials". Dept. of Physics. The University of

[I21 Reitz and Milford. "Fundamentos de teoría electromagnética". Editorial UTEHA.

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[15] Soft Ferrites and Accessories. Soft Ferrites. 2002 Feb 01. H2OOZ.pdf.

[ 16) Thompson. "Inductance calculations techniques. Part 2 . Clasical methods". Power control and intelligent Motion. Vol 25, no 12. December 1999, pp 40-45. 1nd-pt-l.pdf.

35

36

Capítulo 3 Efectos a frecuencias mayores a 1 kHz

3.1.- Alta frecuencia

3.1.1.- Introducción

Los fenómenos que contribuyen en mayor medida a elevar las pérdidas como resultado de incrementar la frecuencia son: efecto piel, efecto proximidad, dispersión en el entrehierro y perdidas por histéresis en el núcleo. Estos fenómenos empiezan a ser significativos a frecuencias mayores a 1 Khz.

En general los efecto piel y proximidad son los responsables de las mayores perdidas de CA en los devanados, y sobre ellos se enfocan los esfuerzos por minimizarlos, sin embargo, cualquiera de estos fenómenos puede ser el predominante, ya que también dependen de la técnica de embobinado y terminado del elemento magnético.

En general las soluciones en l D , es una de las aproximaciones mas usadas para calcular las pérdidas en alta frecuencia, siendo suficiente para ernbobinados sencillos. Sin embargo, en situaciones de muy altas frecuencias y corrientes de excitación, es necesario tomar en cuenta los efectos en ZD, incluso 3D; requiriendo de software especializado (basado en Análisis de Elementos Finitos) para obtener resultados mas precisos.

3.1.2.- Corrientes de Eddy en el conductor

Los dispositivos magnéticos que operan en altas frecuencias incrementan sustancialmente las pérdidas en los conductores de los devanados y en el material magnético utilizado debido a los efectos de las corrientes de Eddy (corrientes inducidas). Los mecanismos que provocan corrientes de Eddy especificamente en conductores son llamados efecto piel y efecto proximidad. Estos efectos alteran la distribución de corriente y campo magnético entre los devanados lo cual resulta en un incremento en la resistencia de CA en función de la frecuencia.

37

El análisis de las perdidas en conductores operando en alta frecuencia no es una tarea sencilla. Cuando el embobinado es simple, una aproximación en 1D es suficiente para evaluar las perdidas en los conductores del devanado. Sin embargo, para estrategias de embobinados dificiles de analizar o el uso de frecuencias muy elevadas obligan a tomar en cuenta los efectos en 2D para predecir los efectos sobre las pérdidas. Se han propuesto factores de corrección a las soluciones en lD, para tomar en cuenta estos efectos. Cuando la complejidad es aun mayor, el análisis basado en elementos finitos a resultado ser una buena herramienta auxiliar.

3.1.2.1.- Efecto piel

El efecto piel es la tendencia de la corriente a fluir en una capa cercana a la superficie del conductor al incrementar la frecuencia. En bajas frecuencias este efecto es prácticamente despreciable, pero al elevar la frecuencia, esta redistribución de la corriente provoca que no se utilice toda el área disponible del conductor, incrementando su resistencia, y por lo tanto, las pérdidas asociadas.

En la figura 3-1 se muestra el efecto sobre la distribución de la corriente debido al efecto piel en un conductor aislado. Donde DS es la distancia desde la superficie del conductor hasta el punto donde se mide la densidad de corriente y Dw es el diámetro el conductor.

Esta distribución de corriente es producida en el conductor al circular una corriente i(t) variable en el tiempo la cual genera un campo magnético H(t) circular, tanto en el exterior del conductor como en el interior del mismo (figura 3-2). Este campo alterno (variable en el tiempo), de acuerdo a la Ley de Lenz, genera una corriente (corriente de Eddy) que trata de oponerse a la corriente que generó el campo original. Esto provoca que las corrientes tiendan a cancelarse al centro, disminuyendo la densidad y el campo magnético y se suman en las capas cercanas a la superficie, aumentando la densidad y el campo magnético. El resultado conjunto es una distribución de la densidad de corriente y campo magnético no lineal y variable con el tiempo. La corriente instantánea en el conductor no cambia, pero si su distribución sobre la sección del conductor; esto provoca que no se utilice la totalidad del area, incrementando las perdidas en el conductor (pobre utilización de cobre). Como las corrientes inducidas son proporcionales a las variaciones de la corriente principal, el fenómeno de redistribución de corriente incrementa sustancialmente con la frecuencia. En la figura 3-11 se muestra una comparación del campo magnético en baja y alta frecuencia y su efecto en la distribución de corriente en un devanado.

Densidad de corriente

Baja Alta

Figura 3-1. Distribución de corriente debido al efecto piel

38

t ill1 Figura 3-2. Corrientes de Eddy en el conductor: distribución del campo.

Se define como profundidad piel (6), a la distancia medida desde la superficie del conductor hasta el punto en que la densidad de corriente decae hasta l / e (.367) de su valor.

Para régimen sinusoidal la profundidad piel es :

6 = ~ 1 = \I- P (3.1) C W f Prrf

p es la permeabilidad ( p = pop,) , f es la frecuencia de la corriente sinusoidal y a la conductividad, que también puede expresarse como o =

Para el caso de un conductor de cobre, la resistividad en función de la temperatura es:

. ;/p

pcu = 1.724[1+ .0042(T -20)]. 10-*52 - rnm (3.2)

Donde T es la temperatura del cobre:

La permeabilidad relativa del cobre esp, = I

Sustituyendo en (3.1), la profundidad piel del cobre es:

6 = 3 1 8 * J y .0394796+.00018102 2' en m y

A una temperatura de 100°C la profundidad piel es:

a=- 76 en mm J7

(3.la)

(3.lb)

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Figura 3-3. Corte del conductor mostrando al área utilizada del conductor debido al efecto piel.

A pesar que la densidad de corriente decae exponencialmente desde la superficie del conductor, la resistencia en alta frecuencia (y las perdidas) para un conductor aislado pueden considerarse las mismas que para un conductor donde la densidad de corriente es constante desde la superficie hasta la profundidad piel, y cero en el resto del conductor (figura 3-3). El area sombreada muestra la densidad de corriente constante hasta la profundidad piel. R, es el radio del conductor, r, es el radio hasta la profundidad piel y 6 es la profundidad piel.

El area utilizada en alta frecuencia, incluyendo el efecto piel, se calcula considerando el concepto anterior, de la siguiente manera:

Área del conductor: A, = z * r c 2 Área sin utilizar: Ad =.or; Área cobre utilizada: A,. = A,-% = z * ( r r 2 - r ; ) = 2 x 6 * ( r c - 6 )

Donde rc es el radio del conductor, S la profundidad piel y r, = r, - 6 , el radio del área sin utilizar.

La resistencia del conductor es:

p es la resistividad, I la longitud y A. el area de cobre utilizada a la frecuencia de la corriente que circula a traves del conductor. Claramente se observa en esta Última ecuación la dependencia de la resistencia y de las perdidas, de la frecuencia de trabajo, en el termino S . La gráfica de la figura 3-4 muestra esta variación en un conductor en función de su radio y de la frecuencia considerando la ecuación anterior.

1

Figura 3-4. Gráfica de la variación de la resistencia del conductor en función del radio y de la frecuencia.

40

3.1.2.2.- Efecto proximidad

AI colocar un conductor aislado sin corriente neta circulando a través de él, en una región donde existe un campo magnético externo, variable en el tiempo, se inducen corrientes similares que producen el efecto piel como se observa en la figura3-5.

L c a e

a) b)

Figura 3-5. Corriente inducida en un conductor aislado: (a) Conductor inmerso en una región donde existe un campo H(t) y

(b) corte transversal del conductor, mostrando las corrientes inducidas.

En este caso las líneas de campo variables que atraviesan la sección del inductor inducen unas corrientes en el mismo, las cuales producen un campo que trata de oponerse al campo exterior. En la figura se muestra el efecto causado en un conductor circular, y las corrientes inducidas. Estas corrientes producen perdidas aún si el conductor no llevara corriente propia circulando a través de él.

Para el caso de que el conductor llevara una corriente neta, este efecto produce también una re-distribución de corriente, incrementando las perdidas con la frecuencia y reduciendo el area transversal del conductor (figura 3-6).

camir*i< I CmdYrm

,,. , . .. , Este efecto, llamado prox'imidad, se produce en los conductores que lleven corriente

variable en el tiempo, sujetos a campos externos variables en el tiempo, como es el caso de los conductores en los devanados de un dispositivo magnético y ocurre de manera simultánea con el efecto piel, ambos causan un re-distribución de corriente, disminuyendo el área transversal del conductor, aumentando la resistencia, por lo que las perdidas aumentan con la frecuencia.

3.1.2.3.- Análisis de las corrientes de Eddy en una dimensión (1D)

El análisis en 1D es una técnica de gran ayuda para entender la distribución de campo en los componentes magnéticos, además de que permite obtener aproximaciones muy Útiles de sus efectos en las pérdidas en alta frecuencia.

En el análisis aproximado en 1D se asume que una dirección principal donde el campo cambia y las componentes en las otras dos direcciones son constantes o nulas.

A continuación se presenta el análisis para el caso de un conductor aislado tipo lámina, para después extender el resultado a un embobinado con múltiples capas de conductor. AI final se presentan los resultados obtenidos para el caso de conductores circulares aislados, y en devanados en transformadores e inductores.

3.1.2.4.- Conductor aislado tipo lámina

Consideremos la sección transversal de un conductor aislado tipo lámina como se muestra en la figura 3-7. Se asume que el conductor lleva una corriente pico I fluyendo en la dirección 2 (densidad Jz), y que tiene un grosor h mucho más pequeño que su ancho w (h

a=- i+j 6

La solución general de la ecuación (3.4) tiene la forma:

(3.5)

H , = H,e"" + H,e-"' (3.6) Donde H i y H2 son constantes que pueden ser encontradas por las condiciones de frontera:

Por tanto la solución para el campo magnético, usando funciones hiperbólicas:

La densidad de corriente puede ser hallada usando la ecuación de Maxwell,

Las pérdidas por unidad de longitud, debido al efecto piel Pr, se calcula como: h -

I 2 s i n h A + s i n A 2 W P, =- fIJ:ky=- 2a __ h 4 ~ 0 6 C O S h A -COS A

2

(3.10)

Donde A es la dimensión definida como:

A = - h (3.11) S

Para el caso de que el conductor no lle