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S.E.P. S.E.I.T. D.G.I.T.
CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO TECNOLÓGICO
cenidet MODELADO NUMÉRICO CON VERIFICACIÓN EXPERIMENTAL DE UN AMORTIGUADOR DE
IMPACTO TIPO ELASTÓMERO
T E S I S P A R A O B T E N E R E L G R A D O D E
M A E S T R O E N C I E N C I A S E N I N G E N I E R f A M E C Á N I C A
P R E S E N T A :
ING. P I E R 0 E S P I N O ROMAN
DIRECTOR DE TESIS: DR. DARIUSZ SZWEDOWICZ WASIK CO-DIRECTOR DE TESIS: MC. ELADIO MARTiNEZ RAYÓN
CUERNAVACA, MOR.
CENTRO DE SEP CENIDET
0 4 - 0 7 1 4 AGOSTO. 2004.
I
cenidet Centro Nacioiiai de iiIvestigaciñii
y Desarrollo Teciiológico
MI0
ACEPTACI~N DEL DOCUMENTO DE TESIS
Cueniavaca Mor.. a 24 dc agosto del 2004 C. M.C. CLAUDIA CORTÉS GARCÍA Jefa del departamento dc Ing. Mecánica Presente.
At'n C. Dr. José Ma. Rodriguez Lélis Presidente de la Academia de lng. Mecánica
Nos es grato comunicarle, que conforme a los lineamientos para la obtención del grado de Maestro en Ciencias de este Centro. y después de haber sometido a revisión académica la tesis titulada:" MODELADO NUM€RICO CON VERIFICACI~N EXPERIMENTAL DE ,UN AMORTIGUADOR DE IMPACTO TIPO EfiSTÓMERO". realizada por el C. Piero Espino Román y dirigida por Dr. Danusz Szwedowicz Wasik y M.C. Eladio Martinez Rayón y habiendo realizado las correcciones que le fueron indicadas. acordamos ACEPTAR el documento final de tesis. así mismo le solicitamos tenga a bien extender el correspondiente oficio de autorización de impresión.
Atentamente La Comisión de Revisión de Tesis
A?*. Dr. Martín E. Bal r López Nombre y firma Revisor
Nombre y firma Revisor
GL.Mdj*¿2 Dr. Dariusz Szwedowicz Wasik Nombre y firnia
C.C.P. Subdirección Académica üepatíainento de Servicios Escolares Directores de tesis
Estudiante
PROLONGACIÓN AV. PALMIRA ESQ. APATZINGÁN. COL, PALMIRA , A.P. 5-164. CP. 62490. CUERNAVACA. MOR. - MÉXICO TELSFAX: (777)3140637y3127613
DERICA TORIAS
A MI DIOS Por darme f e y fuerzas para seguir adelante, y aprender de todo lo que en mi camino se plasmo desde que empecé este sueño.
A MI MAMA’ SIL VIA Por apoyarme incondicionalmente y acompañarme con sus oraciones, su paciencia y su amor en todo momento, por creer en mi.
A MI HERMANA ALEJANDRA Por ser un gran apoyo en mi y ser una gran bendición en mi vida.
A MI FAMILIA Por sus buenos deseos hacia mí y el apoyo que me han brindado.
A MIS AMIGOS Por el apoyo moral que siempre me han dado, y por las palabras de aliento que siempre me brindaron, que Dios los bendiga a todos, muchas gracias.
A GRADE CIMIENTOS
Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CoSNET) por el apoyo de la beca-crédito que me fue otorgada para poder realizar mis estudios de Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica.
Al Ceniro Nacional de investigación de. investigación y desarrollo tecnológico, por todo el apoyo brindado.
Dr. Dariusz Szwedowicz Wasik y a MC. Eladio Martinez Rayón, por el asesoramiento, paciencia, apoyo y ayuda proporcionada durante toda mi tesis.
A los miembros de comité revisor. Dr. José María Rodríguez Lelis, Dr. Dariusz Szwedowicz Wasik, Dr. Martin E. Baltazar López y MC. Claudia Cortés Garcia.
A iodo el personal del CENIDET, a las secretarias, personal de vigilancia y servicios escolares y biblioteca por su indispensable apoyo.
A mis maestros del Cenidet.
A mis amigos de generación de la generación 2001, Aarón, Eduardo, Moisés, Carlos Moo, Gabriel Pedroza, Armando Hicochea, Aljiredo Andrade. A todos mis demás compañeros Rufael Castillo, .Jorge Olarie, .José Navarro y Carlos Mellado y a todos mis demás compañeros que tuve el gusto de conocerlos.
A mis amigos, Francisco, Julio, José Manuel, Darwin. Samantha y a todos aquellos que creyeron en mi, muchas gracias.
..... .. -----.. ....
Confenido
Contenido
CONTENIDO ............................................................................................ ¡
LISTA DE TABLAS ...................................................................................... vi i
... LISTA D E FIGURAS .................................................................................... 111 ..
... SIMBOLOGIA ............................................................................................. vi i i
CAPITULO 1.INTRODUCCIÓN ................................................................... 1 .. 1 . 1 Introduccion ....................................................................................... 1
1 . 2 Revision bibliografica .................................................................................................... 11 1.3 Descripcion del problema ........................................................................ 19
. . . . . . . . .
CAPITULO 2 . CAUCHO .............................................................................. 24 2.1 Propiedades del caucho .......................................................................... 24 2.2 Modelo teórico de Mooney-Rivlin ............................................................ 27 2.2.1 Determinación de las constantes del caucho .................................................. 29
. .
CAPITULO 3 . CONTACTO MECÁNICO ......................................................... 32 3.1 Problema de contacto de Hertz ................................................................. 32 3.2 Problema de contacto no Hertzian0 ............................................................. 37 3.2. I Distribución de esfuerzos en materiales viscoelásticos ...................................... 39
CAPlTULO 4.INTRODUCCIÓN A L A TEORIA DEL IMPACTO .......................... 41 4.1 Principios de la dinámica de la partícula ...................................................... 41 4.2 Colisión plana de dos partículas lisas ......................................................... 44 4.3 Impacto ............................................................................................. 46 4.4 Coeficiente de restitucion ........................................................................ 45 4.5 Modelado del impacto ............................................................................ 48
. . .
CAPITULO 5 . MODELADO POR ELEMENTO FINITO ....................... 5.1 ............................................................................................................... 5.2 Modelo discreto del problema .................................................................. 5.2.1 Sensor de fuerza ................................................................................... 5.2.2 Amortiguador de impacto de material elastómero ........................................... 5.2.3 Péndulo de impacto .................................................................. 5.3 Resultados de la simulación numérica por elemento finito ................................. 5.4 Conclusiones .......................................................................................
53 53 56 57 59 60 62 69
...- ............ ~ .. ...
Conienido
................................... CAPITULO 6 . BANCO Y PRUEBAS EXPERIMENTALES 6 . I 6.2 Banco experimental .............................................................................. 71
70 Introduction.. ..................................................................................... 70
6.2.1 Banco de pruebas de impacto ................................................................... 72 6.2.2 Dispositivo de medición del ángulo del péndulo ............................................. 75
. .
6.2.3 Sensor de fuerza .................................................................................. 78 6.2.4 Sistema de adquisición de datos experimentales .............................................. 80 6.2.4.1 Criterios de evaluación de incertidumbre ...................................................... 81 6.3 Metodología del experimento .................................................................. 83 6.4 Resultados experimentales ...................................................................... 87 6.4.1 Comparación experimental para diferentes amortiguadores ................................ 90 6.4.2 Determinación del coeficiente de restitución y duración del impacto ..................... 92 6.4.3 Determinación del factor de amortiguamiento del tope de caucho ......................... 95 6.5 Conclusiones ....................................................................................... 96
CAPÍTULO 7 . ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS ............................................. 98 7.1 Comparacion de los resultados ................................................................ 98 7 . I . 1 98 7.1.2 Energía disipada en la prueba de impacto .................................................... 100
CAPITULO 8 . CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ................................ 104
. . Distribución de los esfuerzos en el amortiguador de impacto .............................
APENDICES A- Diseño y construcción del sensor de fuerza ............................................... 109
120 C- Determinación el modulo de elasticidad y relación de Poisson del caucho y
D- Planos tecnicos ............................................................................... 135 BIBLIOGRAFIA .......................................................................................... 140
B- Diseño y construcción del medidor del ángulo de impacto .............................
constantes de Mooney-Rivlin ........................................................................................ 126 . . . .
Lisras de figuras _I?
Listas de figuras Figura 1 . I . Modelo masa-resorte.. ...................................................................................... Figura 1.2.Esquema del sistema de amortiguamiento por flexión. a) Vista del amortiguador, b)
Figura 1.3. Esquemas de diseño de amortiguadores utilizando e l efecto de Coulomb o fricción seca. a) Marca Lord Mfg.; b) Marca Barry Wright Corp.; y c) Marca Barry Wright
Amortiguador montado en la estructura. ...........................................................................
Corp ........................................................................................................................................................ Figura I .4. Amortiguador viscoso a) vista longitudinal, b) amortiguador con resorte (efecto de restitucion. ................................................................... ...: .............................................. Figura I .5. Disipador viscoela~t~co ...................................................................................... Figura I .6. Amortiguamiento viscoelástico sometido a cargas tipo: a)-compresión, b)
. ., . . , .
Figura 1.7. Amortiguador viscoelástico con superficie plana.. ....................................... Figura I .8. Amortiguador viscoelástico de forma cónica ..................................................
CompresionICizallamiento. ................................................................... Figura 1.9. Aplicaciones de caucho y metal; a)- Carga en compresión, b)- Carga de presión lateral, c)-
Figura I .IO. Aplicaciones amortiguadores de impacto como limitadores de piezas en movimiento
Figura 1 . I I . Vista del modelo de impacto
Figura 2.1. Curva esfuerzo-deformación de un elastómero. a)-Tensión, b)-Compresión, c)- Cortante. Casi toda la deformación es elástica: por tanto, el modulo de elasticidad varia conforme cambia la deformacion.. ................................................ Figura 2.2. Prueba de compresión; curva carga-deflexión para un amortiguador de
., .
......................................
. . ..................................
Figura.3.1. a) Dos esferas mantenidas en contacto por una fuerza F, b) El esfuerzo de contacto tiene una distribución elíptica en la cara de contacto de ancho 2 a,. . __ . _. _. . .............................. Figura.3.2. Análisis de contacto de dos cuerpos ............. , , , , , . , , , , , , , , , , , , . , , , , . , Figura.3.3. Distribución de presión en la zona de contacto ... .................................... Figura 3.4. Sistema en donde se presenta el contacto lineal. a) Contacto entre dos elementos circulares, b) Contacto entre un disco y una superficie plana, c) Contacto circular pequeño dentro de
.............................. otro de radio mayor ........................... Figura 3.5. Distribución de la presión en el caso de contacto lineal ............................ Figura 3.6. Colisión de cuerpos; Modelo de Maxwell lineal viscoelástico ....................... Figura 3.7. Muestra la deformación elástica inicial correspondiente a OA aplicada a un esfuerzo; A B se desarrolla la deformación elástica, si el material es capaz de fluir o fluencia un estiramiento continuo adquiere una deformación de fluencia BC. Cuando el esfuerzo es removido da una respuesta elástica C D (= -0A) y un retrazo en la respuesta elástica DC. En el punto E adquiere una deformación permanente a traves de la acción de fluencia .......................... Figura 4.1. A la izquierda tenemos la variación de momento lineal, y a la derecha la integral que se denomina impulso de la fuerza F en el intervalo que va de 1, a ip ............................ Figura 4.2. La panicula I se mueve bajo la acción de la fuerza FI2 que ejerce la partícula 2. La
..........................
2
h
6
7
8
I O
10
21
25
26
33
35 35
36
37
37
40
42
43 ... 111
Lisias defiguras
particula 2 se mueve bajo la acción de la fuerza F11 que ejerc
Figura 4.1. Esquema de cuerpo libre de particulas en colisión 44
46 ~ i ~ ~ r a 4.4. a)-Impacto central directo y b)- Impacto central oblicuo ..................
Figura 4.5. Grafica del comportamiento del coeficiente de restitución, en funcióri de la velocidad de
Figura 4.6. Variación típica de una fuerza normal para un impacto
Figura 4.7. Cuerpo libremente cayendo.. ..................................................
........................ 47 .............................
Figura 5.1. Elemento tipo ladrillo y sus grados de libertad en los nodos ......................................
Figura 5.1. Modelo discreto del sensor de impacto. ........................ 58
Figura 5.4. Fotografía del sensor de impacto material aluminio 6061 .................
56
Figura 5.2. Modelo discreto por elemento finito del sistema de impacto
Figura 5.5. Esquema del sensor de impacto y el amortiguador comercial de impacto de caucho.. ............................... .............. 58 Figura 5.6. Amortiguador de cauc ........................ 59
Figura 5.7. Modelo discreto del amortiguador de impacto de material compuesto .......................... 59
Figura 5.8. Péndulo de la máquina de impacto Charpy ........ 60
Vista del péndulo isometrico.. .....
..... Figura 5.9. Modelo discreto del péndulo de la máquina Charpy. a). Vista del péndulo frontal; b).
Figura 5.10. Modelo discreto por e
Figura 5.1 I. Modelo discreto por elemento finito (ALGOR v. 12) durante el instante del impacto
Figura 5.12. Modelo discreto por elemento finito. a) antes del impacto, tiempo 0.32 seg., b) durante el impacto, tiempo 0.33 seg. y c) después del impacto, tiempo 0.34 .............................................. Figura 5.13. Modelo discreto por elemento finito, se muestra la zona de concentración de esfuerzos durante e l impacto. Sensor de fuerza y amortiguador de impacto .............................................. Figura 5.14. Modelo discreto del amortiguador de impacto, mostrando la máxima concentración de
Figura 5.15. Modelo discreto del amortiguad desplazamiento producido por la fuerza del im Figura 5.16. La grafica de desplazamiento-tie del amortiguador de caucho, para un ángulo de caida libre del péndulo de 15O grados con respecto a la vertical.. .................. .............. ......... 66 Figura 5.17. Grafica desplazamiento-tiempo del nodo 4895, localizado en el péndulo en el punto de contacto con el amortiguador de caucho. .......... ........... 66 Figura 5.1 8. Fuerza del impacto vs dura .................................. 67
Figura 5.19. Relación de esfuerzos máximos del amortiguador (Von Mises) y e l ángulo de caida libre del péndulo (grados). ............................................................................ 68 Figura 5.20. Relación entre el esfuerzo y deformación en la zona de contacto del amortiguador de
63
64
esfuerzo. a) vista lateral, b) vista longitudinal (sección).. ..............
....... .......... impacto el péndulo ............. 68 Figura 6.1. Banco de pru rimental .................. 72 Figura 6.2-Esquema del péndulo antes y después del impacto .......... 73
Figura 6.3. Método para determinar masa efectiva del péndulo de Charpy .................................. 74
Figura 6.4. Potenciómetro ................................................................... 76
Figura 6.5. Esquema del p ................................................................... 76
76 Figura 6.6. Circuito eléctrico del potenciómetro ...........................................................
iv
Listas defiguras
Figura 6.7.Fotografia del sistema de medición del ángulo del péndulo.
Figura 6.9. Circuito general de un puente de Wheatstone.. .......
de Charpy, (4)-Sensor de impacto.. ................................................... 81
.............. 77
79 Figura 6.8. Fotografia del sensor de fuerza, wlocación de los extensómetros.. ..............................
Figura 6.10. Esquema del sistema de medición: (I)-Amplificador de señales de la serie 2300 marca Vishay Intruments, (2)- Medidor de ángulo “Potenciómetro”, (3)- Indicador de posición del péndulo
Figura 6. I I . Tamaño del error en té
Figura 6.12. Esquema del banco experimental de pruebas de impacto 87
88
88
89 91
91 93
Figura 6.13. Gráfica de fuerza de impacto.. ..........................................................
Figura 6. I S . Gráfica de la posición del péndulo de la máquina Charpy.. ...............................
fuerza máxima del impacto ................................. Figura 6.17. Comparación experimental de los diferentes amortiguadores de impacto .....................
fuerza del impacto con respecto al tiempo .........................................................................
......................................................... Figura 6.14. Gráfica del medidor del ángulo..
Figura 6.16. Resultado experimental de las pruebas impacto, ángulo de caida libre del péndulo contra
Figura 6.18. La grafica, muestra el comportamiento del amortiguador B cuando es sometido a la
Figura 6.19. Ubicación de los valores fuerza máxima-tiempo de la prueba de impacto .................... Figura 6.20. Simplificación triangular de la prueba de impacto, para determinar el coeficiente de restitucion.. ............................................................................................................ 94 . ., Figura 6.21. Modelo lineal del amortiguador viscoso ........... .... 95
Figura 7.1. En la siguiente gráfica se presenta la comparación de los resultados de la simulación numérica por método del elemento finito (ALGOR v.12) y las pruebas experimentales ................... Figura 7.2. Altura de caida libre del péndulo respecto a la linea de impacto de la prueba de impacto
99
101 I09
Figura A.2. Modelo discreto del sensor de fuerza ...................................................... 109
Figura A.3. Gráfica de longitud del sensor contra desplazamiento.. ........................................... I13
Figura A.4. Ubicación de los extensómetros en el sensor de fuerza I I 4
Figura AS. Diagrama de conexiones del puente de extensómetros ............................................ I 1 4
Figura A.6. Esquemade un extensómetro tipico utilizado para lamedición de deformaciones ............ 115
Figura A.7. Sistema de medición, para determinar la sensibilidad del sensor de fuerza basado en extensómetria. (I)-Sensor de fuerza, (2)-Viga de acero, (3) y (4)-lndicadores de carátula, (5)- Bases magnéticas, (6)- Amplificador modelo 2310, (7)- Multimetro digital .......................................... Figura A.8. Esquema de la viga en voladizo, con una fuerza en el extremo, la figura muestra la deflexión de la viga en voladizo .......................................................................... 118 Figura A.9. Calibración experimental del sensor de impacto basado en extensómetria.. ........ Figura B.I. Esquema del foto-transistor y led-infrarrojos, localizados en el péndulo de la máquina de
Figura 8.2. Circuito electrónico, utilizado para determinar la posición del péndu
Figura 8.3. Esque maquina de impacto ................................................................................................... 122 Figura B.4. La gráfica muestra la altura del péndulo w n respecto a la linea de impacto contra el voltaje de salida del potenciómetro.. ...................................... I23
....................................................................
116
impacto Charpy.. ....................................................................................... I20
determinado ángulo 121
. .
Lisias de fieuras
Figura C.I. Esquema general del banco de pruebas para determinar el modulo de elasticidad y las constantes de Mooney-Rivlin C , y C2. Componentes: ( I ) - Sensor de fuerza, (2)-viga de acero de (20.5 x 1.9) cm. y 12 cm. de longitud, (3,4, 5,6)- lndicadores de carátula, (7)- Multímetro digital, (8)-
Figura C.2. Banco de pruebas utilizado para determinar las propiedades del caucho..
Figura C.3. Probetas de caucho dimensiones
Figura C.4. Grafica esfuerzo vs deformación
Probeta de caucho. (9)- Amplificador modelo 2310 y (10)- Base magnéticas ............ .................. 129
Figura C.S. Grafica Fuerza vs desplazamiento ............ Figura C.6. Las constantes de Mooney-Rivlin corresponden a la ecuación de la recta Y = -2096366.76X + 4394542.28, para una prueba de compresión ............................................ 132
vi
Lisia de iablas
Lista de tablas
Tabla 1.1. Tamaño de las velocidades de aproximación de impactos y sus efectos .......................... 3
25 Tabla 2.1. Propiedades de elastómeros seleccionados ....................................................... Tabla 5.1. Resultados de la modelación por elementos finitos en la zona de wntacto, para los ángulos decaidalibredelpéndulo; IO", 12.5, 15"y2Oo .................................................................. 67
Tabla 6.1. Parámetros que influyen en el impacto.. ....... Tabla 6.2. Variables independientes y dependientes en la prueba de impacto ................................
de la máquina Charpy ....................................
impacto ..............................................................
................................
Tabla 6.3. Resultados de las fuerzas de impacto para las diferentes ángulos de caida libre del péndulo
Tabla 6.4. Resultados de los ángulos de caida libre del péndulo antes y después de las pruebas de
Tabla 6.5. Resultados experimentales de los tres diferentes amortiguadores A, B y C.
Tabla 6.6. Resultados experimentales de la duración del impacto y coeficiente de restitución, para diferentes ángulos de caida libre del péndulo de la máquina Charpy.. .................................. Tabla 6.7. Valores representativos del factor de amortiguamiento., ........................................... Tabla 6.8. Energía cinética suministrada al sistema, para las diferentes pruebas de impacto de ángulo de caida libre del péndulo de la máquina Charpy ..................... Tabla 7.1. Comparación de los resultados experimentales y los res
.......
71
71
89
90
90
94 96
96 98
Tabla 7.2. Resultados experimentales de la prueba de impacto Tabla 7.3. Resultados de la simulación numérica por elemento finito ......................
1 o2 I o2
Tabla 7.4. Comparación de los resultados de las pruebas experimentales y de la simulación numerica ......................................................... Tabla A. I .Resultados de la calibración exper
Tabla B. I, Resultados de la calibración experimenta, valor promedio
Tabla C. I . Resultados de la prueba de compresión del caucho Tabla C.2. Resultado de la prueba de compresión en la cual se obtienen los siguientes resultados ...... Tabla C.3. Relación de deformación axial y deformación transversal
Tabla C.4. Resultados de las pruebas experimentales
, .
124
132
132
134
134
Simbología
Sim bologia Descripción Área en la zona de contacto, aceleración Diferencia de energias potencial, área Base de la viga Coeficiente de amortiguamiento, onda de choque Constantes de Mooney-Rivlin Diámetro exterior Diámetro interior Diámetro medio Módulo de elasticidad (módulo de Young) Energia potencial inicial Energia potencial final Energia potencial disipada Coeficiente de restitución Voltaje de entrada y salida Energia disipada (energia potencial) Fuerza Fuerza ejercida durante el periodo de deformación Fuerza de impacto Carga dinámica ó carga estática equivalente Fuerza ejercida durante el periodo de restitución Factor de impacto Aceleración de la gravedad Módulo de cortadura, módulo de rigidez Momento de inercia, invariantes de deformación Rigidez de contacto Longitud Longitud de la viga Masa efectiva Masa del amortiguador y masa del péndulo Masa Marca registrada Presión hidroestática Presión máxima Impulso normal suministrado al sistema Impulso tangencia1 Impulso normal de aproximación Impulso normal de restitución Radio de un punto arbitrario en la zona de contacto Resistencia del potenciómetro RIIR2, Error probable Energía cinética Energia cinética disipada Tensor de esfuerzos de Cauchy Tiempo Velocidad Velocidades iniciales
Velocidades después del impacto Velocidades tangenciales
Voltaje Energia potencial Energía de deformación, peso ...
VI11
Simbologia
L
5
Trabajo realizado Coordenadas, posiciones Esfuerzo de fluencia dinámico Deflexión máxima
Angulo de salida, ángulo total
Desplazamiento Deformación estática
Deformación máxima
Deformaciones Termino no lineal y representa el rango del potenciómetro Alargamiento principal Densidad de masa Esfuerzo Relación de Poisson Frecuencia natural y frecuencia de oscilación amortiguada
Factor de amortiguamiento
ix
iniroducción
Capítulo 1
I -INTROD UCCIÓN.
El impacto, es uno de los tipos de carga dinámica que mayor daño pueden causar a los
elementos y sistemas mecánicos, ya que ésta se presenta súbitamente, causando grandes
esfuerzos en la zona de contacto. Por tal razón que el fenómeno del impacto constituye un
problema de interés especial, ya que no obstante la probabilidad de que ocurra es baja, su
efecto es potencialmente dañino. Por otro lado, a pesar de que las cargas dinámicas
representan sólo una fracción de los tipos de cargas presentes en los elementos o sistemas
mecánicos, su estudio y análisis es de gran importancia en ingeniería. Esto se debe a que el
impacto aparece cotidianamente durante el funcionamiento normal de muchos sistemas o elementos mecánicos de diferente diseño y aplicación. como por ejemplo: trenes de engranes,
muelles de suspensión automotriz, líneas transportadoras. etc. El impacto puede generar
efectos indeseables en máquinas. como desajustes, desgaste, fracturas, ruido y una vibración
excesiva, donde puede llegar a ocasionar un fallo repentino; e inclusive un accidente, por tanto
se le trata de minimizar o evitar. En otros casos, no obstante lo antes dicho, el impacto resulta
deseable, por ejemplo: está el caso del diseño de procesos de acuñado, forja y estampado.
Shigley (I 990), define al impacto como la fuerza externa que se aplica a una estructura o a una
parte de ésta, si el intervalo de tiempo en la aplicación de la carga es menor que 1/3 del
mínimo periodo natural de vibración de la pieza o estructura. De esta manera se liga la
clasificación de impacto o carga dinámica, al tiempo de aplicación y a las propiedades
intrínsecas de rigidez y masa del cuerpo que recibe la carga. Las cargas de impacto, así
definidas, tienen efectos vibratorios sobre la estructura, ya que excitan sus frecuencias
naturales como si se aplicaran excitaciones senoidales en un alto rango de frecuencias, al
mismo tiempo.
La mecánica tiene dos procedimientos para el análisis de las cargas de impacto (Lankarani,
1990). El primero asume que el tiempo de aplicación de la carga de impacto en el sistema es
muy pequeño, del tipo instantáneo. Así el análisis del sistema se divide en dos partes, antes y
1
Iniroducción
después del impacto, aplicando la teoría de impulsos y cantidad de movimiento. En esta teoría
se aplica la conservación de cantidad de movimiento y el impulso, mientras que el balance de
energía se tiene en cuenta mediante el coeficiente de restitución. El segundo procedimiento
asume que la fuerza de colisión es de tipo continúo. Así, el análisis del impacto de un sistema
puede realizarse agregando la fuerza de contacto a las ecuaciones de movimiento del sistema e
integrándolas en el tiempo. Estos dos procedimientos han permitido establecer metodologías
para el análisis y diseño de elementos y estructuras sometidas a impacto. (Lankarani, 1990).
En las estructuras, los impactos pueden ocasiona daños internos que a menudo no pueden
descubrirse por una inspección visual. Este daño interno puede causar severas reducciones en
la resistencia del sistema y crecer bajo cargas aún inferiores a la nominalmente crítica. Por
consiguiente, deben entenderse los efectos de los impactos en las estructuras, y deben tomarse
las medidas apropiadas en el proceso de diseño para responder a los eventos esperados. El
primer paso para la compresión del problema es desarrollar modelos matemáticos, numéricos
o experimentales para poder predecir la fuerza y el efecto del impacto en una estructura. Para
este efecto, el modelo debe responder el movimiento de la estructura, el movimiento del
proyectil que causó el impacto, y las deformaciones locales en la zona de contacto, (Abrate,
1998). En ciertos casos, el registro de la fuerza de contacto puede ser determinado con
precisión modelando la estructura a un sistema equivalente de masas y resortes como el que se
observa en la figura 1 . I .
rnPh///h/////; Figura 1.1. Modelo masa-resorte, Abrate (1998)
2
capílulo I Inlroducción -- ~
Tamaño de la velocidad
La velocidad es quizás el parámetro más simple para clasificar los distintos tipos de impacto.
En los impactos a baja velocidad, es frecuente un comportamiento no lineal, con grandes
desplazamientos y deformaciones. A medida que la velocidad del impacto es mayor, adquiere
relevancia los fenómenos de transmisión de onda de esfuerzo e incluso ondas de choque. Sin
embargo, la velocidad no es el único parámetro que afecta en la clasificación del impacto, ya
que otras variables de tipo geométrico o relacionado con las propiedades de los cuerpos en
colisión tienen una importancia decisiva. A pesar de todo, y con objeto de realizar una primera
aproximación, se han propuesto diversas clasificaciones, como la de Zukas (i982), que se
muestra en la tabla I. I .
Tabla 1.1. Tamaño de las velocidades de aproximación de impactos y sus efectos Zukas (1982)
Efectos esperados
Velocidad media (5Om s<i.<iOOm/s) - . alta (íOOm/s<v<2000m/s)
&r\ elocid:id(2000in -. S<YJ
Delbrinacion plasiica gen~.ralimda.
f .I mmrial pwde considerarse coino fluido hidrodináinico.
.- -. . - I a resistencia - - viscosa del material aún tiene importancia '7
-- Entre los fenómenos a considerar producidos por el impacto se encuentran (Goicolea, 1996):
El movimiento dinámico y la vibración estructural, las cuales dependen principalmente de la
geometría, siendo relevantes en los impactos de baja velocidad. La propagación de onda de
esfuerzo y choque en los impactos a velocidades medias y bajas, es importante analizar con
detalle el efecto de las ondas de esfuerzo, que se convierten en ondas de choque para impactos
a hipervelocidad, por encima de los 2000 m/s aproximadamente. Comportamienlo no lineal
del material; se produce en mayor medida al aumentar la velocidad de impacto, aunque para
velocidades muy elevadas el material pasa a comportarse prácticamente como un fluido, su
resistencia puede despreciarse. Grandes desplazamientos; es decir cambios de geometría y
rotaciones finitas que a su vez influyen en las cargas. Grandes deformaciones los
alargamientos unitarios de los materiales en fases sólidas pueden superar el loo%, bajo
presiones muy elevadas el material se comporta como fluido. Contacto, es clave en cualquier
modelo de impacto, ya que a través de él se transmiten las cargas. Penetración y perforación
se denomina penetración cuando el proyectil no traspasa y perforación cuando e l proyectil
pasa al otro lado del blanco, (Goicolea, 1996).
3
Infroducción
En general el impacto no se puede evitar, lo que es posible es conocer y analizar los efectos
del impacto en dispositivos mecánicos y estructuras, con el objetivo de establecer estrategias
para controlarlas y/o reducir sus efectos. De acuerdo con Harris y Crede (l961), se han
agrupado en tres categorías los métodos de control de choque y vibración para cualquier
sistema elástico, a continuación se enlistan con sus posibles soluciones.
I-Reducción del origen. a).Balanceo de masas. b).Balanceo de fuerzas magnéticas. c).Control de claros.
a).Aislamiento del origen. b).Aislamiento del equipo.
a).Alteración de la frecuencia natural b).Masa auxiliar. c).DisipaciÓn de la energía.
2-Aislamiento.
3-Reducción de la respuesta.
Por tanto en ingeniería resulta imprescindible considerar un estudio profundo de las cargas
dinámicas. de sus influencias y de su eliminación o reducción. La eliminación o reducción del
impacto constituye una parte fundamental de ingenieria, y son cada vez más numerosas las
técnicas empleadas para la solución de este problema. Una de las técnicas tradicionales
utilizadas consiste en el cálculo y la selección de elementos elásticos y disipativos (resorte y
amortiguador), que al ser instalados reducen al mínimo los efectos indeseados.
El uso de amortiguadores reducen los efectos nocivos del impacto, ya que pueden aplicarse a
un amplio intervalo de cargas y velocidades, generando una desaceleración relativa predecible
y controlada de los objetos que chocan. Las relaciones fuerza-tiempo y fuerza-desplazamiento
son importantes para detener en el espacio disponible del cuerpo que choca y este debe ser
capaz de sobrevivir a las desaceleraciones y a las deformaciones y esfuerzos locales que esto implica. El objetivo del amortiguador es la absorción de energía con fuerzas y esfuerzos
tolerables, impulsos, desaceleraciones y distancias de paro especificas. Además. es posible
utilizar los amortiguadores de impacto como dispositivos para controlar la vibración, como
muestra Martinez (1999). Entre las ventajas de utilizar amortiguadores de impacto se
encuentra que:
4
lnlroduccion Capífulo I P
Reducen significativamente las fuerzas de choque y la vibración en las máquinas. Los efectos nocivos del movimiento, tales como el ruido, vibración e impacto son disminuidos o eliminados. Los amortiguadores de impacto proporcionan una parada suave con los objetos que chocan. Ofrecen deceleraciones predecibles, fiables y controladas. 0
Básicamente los amortiguadores de impactos se clasifican en dos grupos. Aquellos que basan
su mecanismo de trabajo en la histéresis, de aquí en adelante llamados histeréticos. Estos
dependen del desplazamiento y utilizan la deformación de los metales por flexión, torsión,
cortante o extrusión y la fricción entre superficies. Por otro lado se encuentran los que basan
su mecanismo de trabajo en la viscoelasticidad de sus elementos componentes, de aquí en
adelante llamados viscoelásticos. Su comportamiento depende de la velocidad y pueden estar
elaborados utilizando fluidos forzados a través de orificios, sólidos y fluidos viscoelásticos.
Existen muchas variaciones y combinaciones en los amortiguadores de impacto, histeréticos y
viscoelásticos, y a continuación se presentan ejemplos escogidos de ellos.
En la figura I .2 se presenta un amortiguador histerético, el cual se basa en la deformación de
metales la cual se produce a partir de esfuerzos estructurales o bien a partir de procesos de
extrusión. Cualquier esfuerzo, sea de torsión, flexión, cortante o axial puede producir procesos
de deformación en los metales. El acero ha sido si duda el metal mas empleado en disipador de
energía, como lo cita Salah (2003). Se puede observar en la figura 1.2 un amortiguador por
flexión, las dos placas en forma de U disipan energía por flexión al enrollarse por efecto de
desplazamiento relativo entre sus extremos.
5
Introducción Capitiilo I -
ira disipadora de 8)- acero rectanguiu b)-
Figura 1.2. Esquema del sistema de amortiguamiento por flexion. a) Vista del amortiguador, b) Amortiguador montado en la estructura.
Otro tipo de amortiguador histerético son los que utilizan la fricción. El amortiguamiento por
fricción disipa energía, basándose en el rozamiento existente entre dos superficies en contacto
bajo presión y con deslizamiento entre ellas. La fuerza de fricción en cada conexión es igual al
producto de la fuerza normal por el coeficiente de rozamiento. En la figura 1.3, se muestra el
esquema de amortiguadores utilizando el efecto de Coulomb o fricción seca, donde el
movimiento es amortiguado y paralelo a las superficies de fricción.
Figura 1.3. Esquemas de diseño de amortiguadores utilizando el efecto de Coulomb o fricción seca. a) Marca Lord Mfg.; b) Marca Barry Wright Corp.; y c) Marca Barry Wright Corp. Harris y Crede, (1961).
6
Introducción
El mayor inconveniente que presenta este tipo de dispositivos es que el coeficiente de fricción
durante el desplazamiento depende de la velocidad, de presión normal y de las condiciones de
superficie en contacto. Consecuentemente, resulta dificil garantizar un coeficiente de fricción
independiente del tiempo y de las condiciones del dispositivo. Sin embargo, se ha observado
que la variación del coeficiente de fricción durante el desplazamiento no afecta
significativamente a la respuesta estructural si la estructura permanece en el rango lineal
elástico, mientras que esta influencia puede ser significativa si esta entra en el rango no lineal,
(Cameron, 1990).
Un ejemplo de amortiguador viscoelástico son los amortiguadores viscosos. Este tipo de
amortiguamiento disipa la energía al forzar a un material viscoso a fluir a través de pequeñas
perforaciones. Estos amortiguadores crean turbulencia fluida absorbiendo la energía
transferida como calor al medio ambiente. El calor es el principal inconveniente, ya que el uso
continuo provoca un cambio de viscosidad en el fluido (GABRIEL, MONROE y BOGE. MR).
En la figura I .4, se presenta un amortiguador viscoso sometido a compresión y a tensión. Las
marcas más comunes de este tipo de diseño que existen en el mercado son GABRIEL,
MONROE y BOGE.
a)- b)-
Figura 1.4. Amortiguador v~scoso. a) vista longitudinal (sección), b) amortiguador con resorte (efecto de restitución)
Otro ejemplo de un amortiguador viscoelástico sólido, se muestra en la figura 1.5, está
formado por dos chapas metálicas unidas por una capa de material viscoelástico. Los materiales viscoelásticos tienen un comportamiento característico que presentan ciclos de
histéresis elípticos. Su acción disipativa se basa en el aumento del amortiguamiento
7
Iniroducción
estructural. Este tipo de amortiguador presenta algunas ventajas con relación a los distintos
tipos de amortiguadores. No requieren de una fuerza de umbral para disipar.
Caucho
Figura 1.5. Disipador viscoelástico
Los amortiguac-res viscoelásticos más comunes están hechos generalmente I os
viscoelásticos como el caucho. El amortiguamiento viscoelástico es generado por la
deformación del material sujeto a fuerzas de compresión, tensión, torsión y cortante; por lo
que la disipación de energía se debe a la deformación del cuerpo. En la Figura 1.6, se
presentan algunas de las formas en que puede ser usado este tipo de elementos.
s
Presión
Metal
Caucho Caucho
4 b)
Figura 1.6. Amortiguador viscoelástico sometido a cargas tipo: a) compresión, b) corte o cizallamiento (Paulstra, 2004).
Los amortiguadores rígidos empleados como limitadores de desplazamiento de piezas en
movimiento. Presentan esfuerzos muy elevados en el momento del choque y por consiguiente
un deterioro rápido, acompañado de ruido a menudo inaceptable sobre todo cuando se trata de
choques periódicamente repetidos. Los amortiguadores viscoelásticos suprimen
8
Introducción Capítulo I
completamente estos inconvenientes al disponer de un material insonoro como lo es el caucho.
En la figura 1.7, se muestra un amortiguador simple de superficie plana de caucho y por tanto
da una respuesta inmediata al choque, sin ampliar excesivamente la carrera de la pieza en
movimiento.
Hembra jC- Macho f$ - - --2-
ut
Figura 1.7. Amortiguador viscoelástico con superficie plana. (Paulstra. 2004)
Algunos amortiguadores de caucho están formados por soportes de forma cónica o cilíndrica,
unidos a una chapa metálica con un espárrago como elemento de fijación como se presenta en
la figura 1.8. Este amortiguador presenta por tanto un contacto en una superficie progresiva,
creciente con el aplastamiento. La acción es más gradual y se presta particularmente bien a
una absorción de energía considerable, sin esfuerzo instantáneo excesivo (Paulstra, 2004).Este
tipo de topes esta hechos generalmente de caucho natural (NR) de 55 y 60 Shore A de dureza.
Cuando se produce el choque, el diámetro exterior del tope aumenta, por io tanto hay que
prever el espacio necesario en el momento del montaje. El montaje debe de hacerse de manera
que, en el momento del impacto, el eje del tope sea perpendicular a la superficie de contacto.
Este tipo de amortiguador de forma cónica que se presenta en la figura I .8 es el objetivo de
investigación de esta tesis.
Figura 1.8. Amortiguador viscoelastiw de forma cónica. (Paulstra, 2004) 9
Capiiulo I Iniroducción
Los aisladores caucho, se utilizan para la reducción de vibraciones, choque, ruidos, y para el
aislamiento de maquinaria sensible a las vibraciones, como equipos electrónicos y eléctricos.
En la figura 1.9 se muestra el esquema de colocación de este tipo de amortiguadores para
diferentes cargas transmitidas.
e),
Figura 1.9. Aplicaciones amortiguadores de caucho. a) Carga en compresión, b) Carga de presión lateral, c) Cizallarnienio ó cone. Farrat (2003).
En la figura 1.10, se presentan algunas aplicaciones de amortiguadores de impacto como limitadores de piezas en movimiento.
d)- c)-
Figura 1.10. Aplicaciones de amortiguadores de impacto como limitadores de piezas en movimiento. a) Carga que baja por un plano inclinado. b) Carga propulsada por rodillos. c) Carga transmitida a un brazo a través de un motor d) Carga veriical de caída libre
10
Iniroducción Capiiulo I
Como se puede observar los amortiguadores de caucho son utilizados en diversos diseños y
tienen aplicación en ingeniería mecánica. Una de las principales características de estos
amortiguadores, es el de recuperar su forma original después de ser deformados. El
amortiguamiento interno de estos materiales suele ser mayor que e l de otros materiales. Sin
embargo, e l comportamiento mecánico se puede complicar más si tenemos en cuenta la
sensibilidad a efectos de temperatura, medio ambiente, historia de carga, etc. También
podemos observar que afecta el método o los ingredientes que utilizan para su construcción,
por ejemplo negro de humo y los polímeros primarios. Esto nos ha llevado a que durante parte
de la historia e l caucho se ha utilizado mediante e l ciclo prueba y error. Es decir se realiza la
fabricación de una pieza y se prueba para ver s i cumple los requisitos exigidos, este ciclo al ser
antieconómico se pretende eliminar utilizando técnicas de cálculo por elementos finitos.
Para caracterizar e l comportamiento mecánico de este tipo de materiales se han desarrollado
múltiples modelos teóricos (Mooney-Rivlin, Ogden, Yeoh, etc.), los cuales se basan en e l
estudio de geometrías y pruebas de compresión uniaxial, tracción uniaxial y cortadura, etc.
Algunos de estos modelos han sido implementados en programas de cálculo por elementos
finitos que permiten poder realizar el estudio y la optimización de una pieza para obtener la
curva fuerza desplazamiento deseada, sin necesidad de llegar a fabricar un prototipo real,
(Robotiker, 2000). En esta tesis se aplica el método elemento finito para analizar las
deformaciones en amortiguadores de forma cónica hechos de material viscoelásticos.
1.2-RE VISIÓN BIBLIOGRÁFICA
Un impacto o choque puede definirse como una transferencia de energía cinética a un sistema,
que ocurre en un tiempo relativamente corto en comparación con el periodo natura! del
sistema. Un impacto es seguido por un movimiento vibratorio del sistema en su frecuencia
natural, e l cual poco a poco decae (Avallone, 1995). Otro concepto es aportado por Shigley
(i990), quien define al impacto como la colisión de dos o más masas con velocidad relativa
inicial. Uno de los primeros análisis estáticos satisfactorios de los esfuerzos originados durante
e l contacto de dos sólidos elásticos fue presentado por Hertz; él desarrolló una teoría para
0 4 - 0 7 7 4
Iniroduccion Capiiulo I
conocer la distribución de presión entre dos cuerpos en contacto que tenían superficies
esféricas.
Los topes de impacto se han diseñado en forma empírica desde hace mucho, tan solo se le
atribuye a Ormondroyed y a Den Hartog. La utilización de topes elásticos como absorbedores
de vibración se presenta desde 1928, y se ha empleado para el amortiguamiento de álabes de
turbinas desde 193 I y en las alas de avión en 1945. Hiriyuki Matsumoto (1976) realizan un
estudio del impacto en vigas cilíndricas, donde se da a conocer e l efecto de las propiedades
del material y áreas de contacto en el momento del impacto.
Yasuda y Toyota (l978), evaluaron e l comportamiento de los amortiguadores de impacto, los
cuales consisten de un cilindro con tapas en los extremos y una esfera metálica en su interior.
Utilizaron para ello un sistema óptico y una cámara para grabar vibraciones y encontraron que
existe un limite mínimo de frecuencia de vibración para e l cual el amortiguador no funciona.
Así también, descubrieron que los parámetros que más afectan a la eficiencia del amortiguador
son la relación de peso, y el coeficiente de restitución entre la esfera y las tapas del cilindro.
La representación del análisis de los diferentes tipos de amortiguadores de impacto fue hecho
por Hunda1 (i981), donde se establece los efectos de un amortiguador de choque, haciendo
una comparación de las características de estos amortiguadores tanto lineal como cuadrático.
El amortiguador viscoso es conocido por el importante uso automotriz, ya que este tipo de
amortiguador disipa energía a l forzar a un material viscoso a fluir a través de pequeñas
perforaciones.
Gunter y Sankar (i982), analizan los amortiguadores viscosos de parámetro variable en los
que e l índice de amortiguamiento varia en función del desplazamiento, la velocidad o la
aceleración del sistema.
La utilización del método del elemento finito, aplicado al análisis de impacto longitudinal en
sistemas elásticos restringidos, ha sido desarrollados por Rismantab-Sany y Shabana ( I 990),
comparando la solución obtenida por medio del método del elemento finito con respecto con 12
Iniroducción
la solución obtenida por el método de Fourier. Utilizaron ecuaciones dinámicas de
movimiento mediante el uso del principio de trabajo virtual. Se consideró el estudio de
vibración longitudinal de una barra rotatoria con una velocidad angular constante, el cual es golpeado por una masa en el extremo libre de la barra rotatoria en dirección radial. Los
resultados presentados demuestran que la solución del método de elemento finito y del método
de Fourier. predice del movimiento de onda. KO y Kawak (i992), proponen un modelo de
elemento finito en el cual simulan el choque de dos cuerpos sólidos, y en el que el principal
enfoque es el de determinar las fuerzas normales y tangenciales en el nodo de contacto entre
los cuerpos. Robison y Davies (1 996) encontraron que el daño que sufre un espécimen por la
carga de impacto es función de la energía de impacto, y no de la velocidad o la masa del
impacto separadamente.
Luo y Hanagun (i998), estudiaron la mecánica de los absorbedores de vibración por medio de
topes elásticos. En su trabajo evalúan los estados de contacto y no contacto y concluyen lo
siguiente: I ) del estado de contacto al no-contacto la fuerza de reacción entre los cuerpos
cambia de un valor positivo a cero, no existe valor negativo, 2) durante el estado de no-
contacto el tope tiene libertad de movimiento, 3 ) para cambiar el estado de no-contacto al
contacto el claro se define como la distancia entre el tope y el elemento a controlar.
La teoría de viscoelasticidad, se ha desarrollado para la aplicación de los elastómeros, esta es
la generalización viscoelástica de la teoría cinética de la elasticidad del caucho. Christensen
(1980) desarrolló un modelo numérico utilizando la teoría no lineal viscoelástica para
aplicaciones en elastómeros. El método de derivación reveló que esta teoría es aplicable a
esfuerzos en lugar de condiciones de deformación. De esta manera la prueba de fluencia
provee los medios para determinar las propiedades del material, mientras que la técnica de la
prueba de relajación no es aplicable. Cuando la duración de las dos pruebas es muy larga se
presenta el mismo nivel de deformación, el comienzo y el grado de no linealidad en la prueba
de relajación puede ser más severo que aquéllos que involucran la prueba de fluencia. Las
propiedades mecánicas incluyendo esfuerzo-deformación y las mediciones de esfuerzo- relajación fueron investigados por Ming-Fung y Kai Shiao (1995). donde determinaron los
valores del módulo de Young (E), Mooney-Rivlin relacionados con los parámetros elásticos
13
Introducción
Ci y C2, módulos de relajación E l (O) y E2 (O), y el tiempo de relajación t i y t2, los análisis
estimarán los efectos de los segmentos suaves causados por los copolimeros. Los resultados
determinaron que la temperatura influye en las propiedades mecánicas de un bloque de
copolimero. Los resultados de las mediciones de esfuerzos-deformaciones por medio de
Mooney-Rivlin fueron aceptables. De las mediciones de esfuerzo-relajación los resultados que
se investigaron para e l copolimero no encajaron al modelo simple de Maxwell por lo que se
plantea que podría conformar en un modelo múltiple de Maxwell.
Chao-Hsun Chen y Yu Cheng Wang (i996), estudiaron de forma experimental la conducta de
fluencia de un caucho compuesto de fibras sólidas por medio del modelo de Mooney-Rivli; la
prueba experimental consistió en una prueba de tensión axial y prueba de fluencia con carga
constante. Los resultados reportados en esta investigación coincidieron con la curva esfuerzo-
deformación de la prueba de fluencia y con la curva esfuerzo-deformación de la prueba de
tensión axial, sugiriendo que la teoría de elasticidad del caucho puede ser descrita por la curva
de esfuerzo-deformación por la prueba de fluencia.
Lee y Rivin (I 996), analizaron por medio de elemento finito la carga y deflexión, en pruebas
de compresión, para componentes de caucho para el control de vibraciones. Este articulo se
basó en discutir la teoría constitutiva de la elasticidad del caucho aplicada al análisis de
esfuerzos no lineales de los elastómeros, aplicando e l método el elemento finito y confirmando
los resultados en forma experimental. Concluyeron que existe una buena relación de la carga-
deformación y la carga-frecuencia natural. Además se demostró que entre e l análisis del
método del elemento finito y experimental se pueden comparar las grandes deformaciones
axiales y radiales en cilindros de elastómeros. El análisis del método del elemento finito
mostró que la velocidad de fluencia en los cilindros cargados radialmente era
significativamente baja en relación a los cilindros cargados axialmente, para el mismo material
de caucho. Este efecto es sobre todo pronunciado para altas cargas de compresión.
Vallee y Shukla (i996), han realizado un estudio dinámico de la conducta de un material
elastómero usando elemento finito, cargado principalmente a compresión. El método
empleado para obtener los datos fue el uso de la barra dividida de Hotpkinson (SHPB), esta 14
Capíiulo I Iniroduccion - - técnica define la naturaleza molecular del modelo para el elastómero. La teoría molecular
predice la conducta dinámica del material en varios modos de deformación usando un
programa de elemento finito ABAQUS. La carga de impacto de muestras de elastómeros se
cotejó con los resultados dinámicos de carga- deflexión, concluyendo que el modelo del
elemento finito para (SHPB) predijo la compresibilidad de las curvas esfuerzo-deformación
que era muy similar a las curvas obtenidas experimentalmente.
La predicción del impacto en elastómeros fue estudiada por Suresh Goyal (I 999), donde se calculó la fuerza del impacto y la deflexión, como resultado de la prueba de dejar caer una
masa contra una superficie de impacto, mostrando que la fuerza puede ser obtenida
cuantitativamente ajustando los parámetros, cuya teoría solo entra para la característica lineal
viscoelástica de los materiales. Se muestra que el espectro lineal viscoelástico que caracteriza
las propiedades del impacto de los materiales de cauchos disponibles comercialmente, pueden
recomendarse adecuadamente en productos de protección de choque. También se muestra la
característica importante del impacto, al saber la fuerza máxima, la deflexión y la duración del
impacto.
Robotiker (2000) estudió el comportamiento mecánico de caucho, utilizando múltiples
modelos teóricos (Mooney-Rivlin, Ogden, Yeoh), ya que el estudio del caucho es u n problema
no lineal. El propósito de este estudio fue hacer una comparación entre los diferentes modelos
teóricos disponibles en programas de elemento finito y cuál de estos modelos proporciona un
mejor resultado; dicho procedimiento se realizó utilizando probetas de compresión tal como se
indica en la norma de ensayos de elastómeros a compresión, concluyendo que el mejor modelo
que representa el ajuste de la ecuación constitutiva del material es el modelo de Ogden. Dicho
modelo es aplicable para cualquier tipo de dureza y cualquier grado de deformación.
Guen (2001), presentó un estudio de un modelo de las deformaciones elásticas para un caucho.
El método original es provisto de un modelo con pocos grados de libertad, mientras se conserva la no linealidad y las características energéticas del caucho. La disipación de la
energía del elastómero es integrada a los niveles estructurales del material por la introducción
de modelos reológicos. Los resultados obtenidos pueden integrarse a modelos completos de
15
Introducción Capitulo I
vehículos. Este estudio desarrolló el plan del diseño de los eslabones elásticos de una
suspensión.
Song y Chen (2003), determinaron la curva de esfuerzo-deformación para una compresión
dinámica del caucho EPDM (propylene-diene monomer copolymer), la prueba fue
determinada con el uso modificado de la barra dividida de Hotpkinson (SHPB). LOS
experimentos fueron monitoreados por una cámara digital de alta velocidad y transductores de
fuerza piezoeléctricos. Los resultados dinámicos de la curva de esfuerzo-deformación del
EPDM, indicaron que el material es sensible a la rapidez de deformación. Basados en la teoría
de la energía de deformación, la ecuación dinámica para el caucho es modificada para
describir las altas deformaciones que se obtienen en los resultados experimentales.
En años recientes se ha observado un gran interés en investigar el problema del impacto en
diferentes áreas de aplicación. Por lo que esta investigación es continuación de los trabajos
anteriores realizados en el Depto. de Ingeniería Mecánica del cenidet. Entre las
investigaciones relacionadas con el impacto y amortiguamiento de impacto, se han dado a
conocer la influencia del uso de topes de impacto de diferentes materiales y geometría de
contacto, así como la respuesta de vigas sometidas a cargas dinámicas. En estas
investigaciones se han llevado a cabo con el uso de análisis tanto numérico como experimental
para comprobar los resultados. A continuación se dará una breve descripción de estos trabajos.
Un estudio realizado por Sotelo (i995), presentó la influencia del impacto en sistemas
vibratorios con restricciones, Él planteó que en el momento del impacto, en la estructura de la
viga se genera una propagación de onda transitoria con frecuencia igual a la primera
frecuencia natural del sistema viga-tope. Un estudio similar fue elaborado por Diego (1998).
donde se lleva a cabo un análisis puramente experimental utilizando como variables la forma,
material y ubicación del tope, y mantiene constantes la frecuencia de excitación y el claro
entre la viga y el tope. Este estudio, verificó que existía un segundo rebote en la viga el cual se presentaba cuando la restricción se aproximaba al empotramiento, se observó además que el
material y la forma geométrica de los cuerpos influyen en la magnitud de la fuerza.
16
Iniroducción Capíiirlo I -
Concluyendo que existe una relación directa entre la fuerza de impacto y la posición a lo largo
de la viga, e l material y forma de los topes influyen en la magnitud de la fuerza.
Szwedowicz (1997) presento una técnica numérica para la vibraciones en el estado
estacionario de las alabes de una turbina rotatoria, que incluyen impacto lateral y efectos de
fricción seca. El modelo presentado fue verificado experimentalmente y numéricamente,
obtenido buena concordancia entre los resultados numéricos y experimentales de la fuerza del
impacto
Agregando otros estudios hechos por Szwedowicz (1998a), él presenta e l diseño de un banco
experimental para l a medición de las fuerzas de impacto provocadas por una viga sujeta a
vibraciones transversales forzadas, por lo que tiene una buena aplicación en estudios de
sistemas y modelos mecánicos. Continuando con estudio realizado por Szwedowicz ( I 998b)
plantea e l análisis numérico y experimental de vigas vibrantes con claros en los que demuestra
que el elemento finito es una buena opción para simular e l impacto.
Además Szwedowicz (1999) desarrollo una técnica numérica para la identificación de la
rigidez resultante del contacto entre los cuerpos elásticos en contacto. La rigidez de contacto
evaluada de la relación fuerza-desplazamiento obtenida por computadora, puede ser aplicada
con confianza para pequeñas deformaciones dinámicas y esfuerzos inducidos en la región de
contacto durante el impacto.
Martinez (1990) presentó un estudio sobre las cargas de impacto en vigas en voladizo, este
análisis permitió observar el comportamiento de una viga, que vibra bajo la influencia de una
fuerza armónica de origen inicial, a la cual se le amortigua con topes de impacto de distintas
geometrías, materiales y con distintos puntos de aplicación, concluyendo que la geometría del
tope de impacto es más eficiente s i es plana. Esta condición superó a la condición de impacto
lineal e impacto puntual, durante las pruebas experimentales. También observó, que el mejor
material para disminuir e l coeficiente de restitución fue el hule neopreno, seguido del bronce,
aluminio y acero. Sin embargo estos tres últimos no tenían una diferencia marcada entre sí. Se
demostró que es viable el uso de amortiguadores de impacto, en vigas de sección rectangular, 17
Iniroducción Capíirrlo I
y que estos tienen aplicación cuando se puede tolerar ciertos niveles de ruido y vibraciones de
alta frecuencia.
El diseño del banco experimental para pruebas de disipación de energía por fricción en
uniones mecánicas sometidas a impacto fue presentado por Szwedowicz (2003), el diseño
presentado puede adaptarse a diferentes condiciones de prueba. Además, se le puede colocar
otros sistemas mecánicos a experimentar, por ejemplo topes de impacto de diferentes
materiales. Otro estudio realizado por Szwedowicz (2003), analiza la simulación numérica y
experimental del impacto en uniones mecánicas con apriete. Donde la simulación numérica se
realiza utilizando dos diferentes áreas de contacto, por lo tanto la relación entre las magnitudes
de las cargas dinámicas obtenidas experimentalmente con el área mayor y menor de contacto,
no rebasa el 2 YO y el desplazamiento de la placa móvil fue en general I O % mayor usando en
el área de menor contacto. El deslizamiento de la placa móvil con el análisis numérico fue en
promedio del 22 % con respecto a pruebas experimentales cuando se usaron fuerzas normales
menores a 3 kN.
Gaona (2003) desarrolló una investigación del análisis del comportamiento dinámico de
amortiguadores de fricción seca sometidos a carga de impacto. Entre los factores a analizar
fueron, el área aparente de contacto y la fuerza normal de apriete, cuando se varían estos
parámetros en la prueba de impacto, provocan una gran influencia en la capacidad del
amortiguador de fricción seca para disipar la energía del impacto. Así, se llega a la conclusión
que la fuerza de impacto es directamente proporcional a la fuerza normal de apriete. El
desplazamiento de la placa móvil fue inversamente proporcional al área aparente de contacto,
para las mismas condiciones de fuerza normal y altura de caída libre del péndulo. Por último
se presentó desgaste en zonas específicas, por lo que se considera que la distribución de los esfuerzos no es uniforme en la superficie de contacto.
lniroducción
Todo lo que se presentó en este capítulo muestra un panorama general de los estudios realizados sobre el fenómeno de impacto, donde las diferentes investigaciones presentan
resultados considerando diversas variables, como deformación, velocidad, fuerza de impacto,
aceleración, rapidez propagación de onda, parámetros adimensionales, topes de impacto de diferentes materiales y geometrías de contacto, etc., en cada caso dependiendo del tipo de
investigación que se pretenda realizar. También hay que tomar en cuenta la importancia de
amortiguadores de impacto tipo elastómero, los cuales se aplican como aislamiento sísmico.
vibración, ruido, suspensiones de motores eléctricos y automotriz. limitadores de piezas en
movimiento y defensas de vehículos, etc. Con respecto a los trabajos teóricos experimentales
que se han desarrollado relacionados con el impacto, amortiguadores y modelos teóricos de
caucho, podemos citar que se han estudiado bajo el comportamiento de cargas dinámicas y se
han desarrollado modelos numéricos para predecir la respuesta de amortiguadores sometidos a
cargas dinámicas. Todos estos estudios, ha demostrado obtener buenas aproximaciones entre
la simulación numérica por elemento finito y experimental. En este caso se analizarán
amortiguadores de impacto de caucho de forma cónica donde se pretende realizar un estudio
del comportamiento estático y dinámico de un amortiguador de impacto con el propósito de
verificar su diseño. Con los resultados obtenidos en esta investigación, se espera una mayor
compresión de la influencia del impacto en materiales como el caucho, con esta información
permitirá realizar nuevos diseños o modificaciones en amortiguadores de impacto.
1.3- DESCRIPCION DEL PROBLEMA.
Este traba.jo se dirige a la investigación del control del impacto, por medio de disipación de
energía, basado en el uso de amortiguadores de impacto tipo elastómero, los cuales absorben
energía en la deformación. Esto se logra por la capacidad del caucho de cambia de geometría
y una histéresis en su etapa de restitución. El caucho es un material que es usado
extensivamente en el diseño de varias máquinas, aplicado particularmente a elementos
flexibles de dispositivos de vibración, choque, control de ruido y en acoplamientos de
transmisión de poder.
19
il
Iniroducción
El objetivo de esta investigación es el estudio del comportamiento estático y dinámico de un
amortiguador de impacto tipo elastómero, con el propósito de verificar su diseño. Para este
efecto se utilizan modelos físicos y numéricos que permitan evaluar el comportamiento del
amortiguador bajo diversas condiciones de trabajo. Para acotar el alcance de este estudio, se ha
limitado sólo a obtener el modelo numérico del amortiguador de impacto, a l diseño del banco
experimental, sus componentes, el sistema de adquisición de datos y la comprobación y
verificación de su aplicación en la medición de problema de impacto, así como evaluar e l
Comportamiento estático y dinámico del caucho. Mediante esta investigación se pretende
mostrar hasta que punto es viable el utilizar este tipo de análisis, comparando los resultados
numéricos y experimentales obtenidos de una prueba de impacto en la máquina de impacto
Charpy con los resultados obtenidos en la simulación numérica mediante el programa de
cómputo ALGOR v.12.
Con un banco de pruebas (basado en una máquina de pruebas Charpy modificada) se estudia
el comportamiento del amortiguador de caucho para diferentes condiciones de ángulo de caída
libre del péndulo (9.7",12.0",14.6"~ 18.0" y 21.9"). La prueba se realiza dejando caer el péndulo
desde un ángulo determinado (ver la figura 1.1 I ) ; midiendo el ángulo del péndulo antes y
después del impacto y la duración de la prueba, se pueden determinar las energías potencial y
cinética del péndulo, así como también el coeficiente de restitución. En la figura 1.1 I , se
aprecia el modelo a analizar. Además, en este trabajo se investigan los siguientes parámetros:
esfuerzo en la zona de contacto, fuerza del impacto, coeficiente de restitución, tiempo y ángulo
de caída libre del péndulo; tanto en un modelo numérico realizado por elemento finito, como
en un modelo experimental con un banco de pruebas. Se analizan estos resultados y se
correlacionan con la teoría existente para definir un criterio de evaluación, para topes de
impacto elaborados en caucho.
20
Angula de I ’, unpacto +
Sensor de f u a n a
- Péndulo de Is L rnéauina
Y
í caucho
Figura 1.1 1. Vista del modelo de impacto.
Primero se analiza la simulación numérica por medio del elemento finito y aplicación del
modelo de Mooney-Rivlin. Luego se realizan las pruebas experimentales para su posterior
comparación con los resultados numéricos. El método del elemento finito es una técnica
numérica muy apropiada para conocer el comportamiento de las fuerzas de impacto en el
tiempo. Además permite obtener información del comportamiento de los esfuerzos t n el
amortiguador de impacto y en el péndulo (dependiente del tiempo, cargas de impacto,
esfuerzos y deformaciones). El método del elemento finito se ha usado en el diseño asociado
con grandes deformaciones y en materiales no lineales, como es el caso de caucho. Para el
caso de esta investigación, se estudia el comportamiento mecánico del caucho ba.jo el modelo
de Mooney-Rivlin. Este modelo de Mooney-Rivlin se implementa al programa de cálculo por
elemento finito (Algor v.12), el cual permite realizar el estudio y verificación del
amortiguador de impacto tipo elastómero. El método del elemento finito ha demostrado ser
una buena herramienta en el análisis de los componentes de caucho. Los resultados en los estudios con elemento finito permiten predecir la respuesta dinámica de caucho. Finalmente
los resultados por el método del elemento finito son comparados de forma experimental.
La parte experimental consiste en la utilización de un banco de pruebas basado en una
máquina de pruebas de impacto Charpy modificada, que se encuentra en el Laboratorio de
Ingeniería Mecánica, especialidad de diseño en el cenidet. La prueba de impacto así realizada,
21
CENTRO DE INFORMACION SEP CENIDET I
Introducción
proporciona información de la fuerza del impacto vs tiempo que se obtiene a través del
analizador de espectros HP3566A. La carga de impacto se mide con el uso de extensómetros
localizados en el sensor de fuerza. La señal generada que se registra es una compleja
combinación entre el comportamiento del material, efecto de inercia.
El banco experimental es un diseño propio y puede ser utilizado para comprobación de
amortiguadores de impacto de diferentes formas y uso industrial. Para este efecto se estudiaran
modelos fisicos y numéricos que permitan evaluar el comportamiento de sistemas
amortiguados por impacto. También se presenta el procedimiento de medición de la fuerza de
impacto, el sistema de adquisición de datos experimentales y además, ejemplos de resultados
experimentales obtenidos. A continuación se presenta la estructura de este trabajo de tesis con
una breve descripción del contenido de cada uno de los capítulos.
0 En el capítulo uno, se presenta una breve introducción sobre los problemas
ocasionados por el impacto y la solución del problema por medio de un amortiguador
de impacto tipo elastómero y su funcionamiento. Además se presenta el objetivo
general, los alcances que se pretende lograr y el estado del arte relacionado con esta
investigación.
En el capítulo dos, se presenta las propiedades del caucho, así como la teoría del
modelo de Mooney-Rivlin, aplicada al análisis de los esfuerzos no lineales en el
caucho.
En el capítulo tres, se describe las bases teóricas del contacto mecánico, ya que a través
de él se transmite la fuerza del impacto.
En el capítulo cuatro, se describen los principios básicos de la teoría del impacto, presentando las ecuaciones de impacto que permiten calcular los cambios en el
movimiento de los cuerpos rígidos, basándose en el uso del coeficiente de restitución.
En el capítulo quinto, se presenta el modelado discreto de los elementos que integran el
amortiguador de impacto, mediante el modelado por elementos finitos. Además se
analizan los resultados obtenidos mediante la simulación numérica. También se
0
22
Introducción
presenta el problema propuesto y las posibles soluciones obtenidas mediante el
impacto del péndulo de la máquina Charpy sobre el amortiguador de impacto
En el capítulo sexto, se muestra el análisis experimental del impacto que se origina por
el choque del péndulo de la máquina Charpy, sobre el amortiguador de impacto de
material elastómero. Además, se describe el banco de pruebas, los sistemas de
adquisición de datos experimentales, la metodología para realizar las pruebas
experimentales y los resultados de las pruebas de impacto.
En capítulo séptimo, se presenta la comparación de los resultados obtenidos con el análisis experimental y simulación numérica de elemento finito de las pruebas de
impacto.
En el capítulo octavo, se presentan las conclusiones de la investigación y
recomendaciones para trabajos futuros relacionados con impacto en materiales
viscoelásticos.
23
cupílulo 2 Caucho ~
Capítulo 2
2- CAUCHO.
El caucho es un hidrocarburo de gran importancia que se obtiene del látex de ciertos árboles
de la zona tropical. AI combinar el caucho con azufre y calentándolo a una temperatura
superior a 100 "C, el azufre se combina químicamente con el caucho. Este proceso es llamado
vulcanización, distintas sustancias como el negro de humo, óxidos de zinc y plomo, actúan
como acelerantes de la vulcanización, mejorando las propiedades del caucho haciéndolo más
tenaz y duradero. Una vez vulcanizado, el caucho pierde la propiedad de volverse a unir en
dos piezas entre sí con solo presionar uno contra otro, pero adquiere una mayor elasticidad,
pudiendo alargarse hasta seis veces su longitud original. El alargamiento del caucho
vulcanizado es acompañado de una elevación de temperatura y en cambio se produce un
enfriamiento cuando retorna a su estado normal. En este capítulo, se presentan las propiedades
del caucho, así como la teoría del modelo de Mooney- Rivlin, aplicada al análisis de los
esfuerzos no lineales en el caucho.
2.1- PROPIEDADES DEL CAUCHO.
Los elastómeros, incluyendo el caucho, tienen una estructura molecular intermedia, en la cual
se permite que ocurra una ligera formación de enlaces cruzados entre las cadenas poliméricas.
Los elastómeros tienen la capacidad de deformarse elásticamente en grandes cantidades sin cambiar de forma permanentemente. Sin embargo, la deformación es más complicada en los
elastómeros que en los metales y que en los cerámicos, ya que el proceso de deformación
depende del tiempo y de la rapidez de aplicación de la carga. En los elastómeros, la aplicación
de un esfuerzo hace que este se estire y se distorsionen los enlaces covalentes de las cadenas
poliméricas, permitiendo que éstas se alarguen elásticamente. AI eliminar el esfuerzo, se
recuperan de esta distorsión prácticamente de manera instantánea. Por otro lado se ha dicho
que los elastómeros tienen un comportamiento viscoelástico. Por tanto, la viscoelasticidad es
la capacidad de un esfuerzo para provocar el deslizamiento de cadenas y deformación plástica, 24
Capilulo 2 Caucho
está relacionada con el tiempo y la rapidez de deformación. Si el esfuerzo se aplica lentamente
(una rapidez de deformación lenta), las cadenas se deslizan fácilmente una al lado de otra; por
otro lado si se aplica con rapidez, no ocurre deslizamiento y el polímero se comporta de
manera frágil. Este comportamiento viscoelástico también ayuda a comprender las
propiedades del caucho al impacto. A muy altas velocidades de deformación, como en una
prueba de impacto, no hay tiempo suficiente para que las cadenas se deslicen causmdo
deformación plástica (Askeland, 1998). La curva típica de esfuerzo-deformación para un
elastómero es mostrada en la figura 2.1. En estas gráficas se aprecia la enorme no-linealidad
del caucho. En la tabla 2.1, se pueden apreciar las diferentes propiedades de elastómeros,
como son la resistencia a la tensión y la densidad.
a)- b)- 0-
r I o
D E f a l l X W i h iierornuri6n
Figura 2.1. Curva esfuerzo-deformación de un elastómero. a) Tensión, b) Compresión, c) Cortante. Como se puede observar, casi toda la deformación es elastica: por tanto, el modulo de elasticidad varia conforme cambia la deformación (Harris, 1961).
Tabla 2.1. Propiedades de elastómeros seleccionados (Askeland 1998).
25
Caucho
La curva de carga-deflexión para un amortiguador de vibración de caucho se muestra en la
figura 2.2. El área entre las curvas de carga y descarga representa la histéresis ó amortiguación
del elemento. La rigidez y la histéresis del amortiguador dependen de la temperatura del
espécimen y del intervalo de deformación (Harris, 1961).
Carga
Figura 2.2. Prueba de compresión; curva carga-deflexión para un amortiguador de caucho. Harris ( I 961).
Muchos elastómeros utilizados en ingeniería, contienen rellenos y extensores que son
compuestos particulados. Los extensores pueden hacer más rígido al caucho, incrementando
su dureza, su resistencia al desgaste, su conductividad térmica, y mejorando su resistencia a la
termofluencia; sin embargo reducen la tenacidad y la ductilidad. Algunos elastómeros utilizan
extensores como carbonato de calcio, esferas sólidas de vidrio y diversas arcillas. Un ejemplo
clásico de compuestos particulados es el negro de humo, en el caucho vulcanizado. El negro
de humo esta formado por partículas esféricas diminutas de carbono, de 5 a 500 nm de
diámetro. Además el negro de humo mejora la rigidez, la dureza, la resistencia al desgaste y al
calor del caucho (Askeland, 1998), por lo que las propiedades básicas del caucho vienen
determinadas principalmente por el polimero base empleado. Sin embargo las propiedades
finales, por un lado, son adaptables hasta ciertos límites mediante los aditivos utilizados para
la elaboración de la mezcla. Por otro lado, las propiedades físicas finales de una muestra de
caucho dependen del vulcanizado, y este a su vez es dependiente del espesor, tamaño y forma
del elemento que se utilizaron para su obtención. Esto es debido a que la fabricación del caucho se realiza de una forma artesanal, a diferencia de io que ocurre en los metales, que
26
Caucho Capiiulo 2
requieren relativamente pocas propiedades para caracterizar su comportamiento, en cambio el
tratamiento del caucho es más complejo al tratarse de un problema no lineal y de material.
Debido a sus excelentes propiedades mecánicas dentro de una amplia gama de temperaturas
(-45 "C hasta 70 "C). el caucho natural es el material empleado en la fabricación de piezas
para amortiguación de impacto. El caucho tiene un módulo de elasticidad bajo, y es capaz de
deformarse hasta un 1000 por ciento. Después de tal deformación recupera rápidamente su dimensión original. Además el caucho es prácticamente incompresible, teniendo un módulo de
volumen de aproximadamente de 354000 Ib/in2. (24300 kg/cm2) y una Relación de Poisson de
0.5. (Harris, 1961) y diferentes grados de dureza, comprendidos entre 55 y 70 Shore A, rango
de dureza que se encuentran comprendidas las diferentes piezas de caucho que posee el
amortiguador de un vehículo.
2.2- MODELO DE MOONEY-RiVLIN.
El caucho es usado cada dia más en el diseño en ingenieria. Estos diseños requieren de
modelos numéricos para Caracterizar su comportamiento, ante un tipo de material no lineal.
Este tipo de material hiperelástico se encuentra caracterizado por la expresión de su función de
densidad de energía de deformación. Se han desarrollado diversos modelos para analizar el
comportamiento no lineal y están planteados en el marco de la hiperelásticidad (por lo que
basta con definir la función de densidad de energía en función del estado de deformación); a
partir de estas funciones de energía de deformación se llegan a diversos modelos como el de
Ogden, Mooney-Rivlin y el neohookeano. Estos modelos hiperelásticos se expresan en términos de la función de la energía de deformación como una función del tensor de Cauchy-
Green como mas adelante se muestra (Castañon, 2004). El modelo de Mooney-Rivlin se
emplea generalmente para describir el comportamiento de materiales tipo caucho isotropico.
La simulación numérica de componentes mecánicos depende de las ecuaciones constitutivas
que describen la conducta elástica del material. La teoría fenomenológica es fundamental en el
método el elemento finito. Es basado en asumir que el elastómero es hiperelástico
aproximadamente un material isotrópico incompresible (Lee, 1996). Rivlin ( I 956) propuso
27
Caircho Capitulo 2
que la función de densidad de energía de deformación (W) se podría expresar como un polinomio de:
las elongaciones principales: W = W ( A , , A,, 2,)
los invariantes de deformación: W = (II, I , , I , )
donde A es la elongación principal, relación-entre la longitud final y la inicial de cada uno de
las direcciones principales e I es la matriz de identidad (Robotiker, 2000). Los invariantes
pueden expresarse en términos de tres proporciones de elongaciones principales, A,, A,, 1,
I , = a; + a; +a: I , =n;a;+n;/;+n:n: I , =a, a2a3 2 2 2
W puede considerarse como una función de I , y 12 para un material incompresible, (a, = I ) y
tiene la siguiente forma polinomial. (Lee, 1996).
,Y
W = c C y ( I , -3)'(1, -3)' i+j=i
donde N es el orden de la función de ,energía y Ci, son las constantes del material que son
determinadas de forma experimental. Para el modelo de Mooney Rivlin (N = 2). (Lee, 1996).
W =C,(I, -3)+C,(12 -3) (2.7)
Donde CI = CIO y C2 = COI. Este modelo es aceptable para elongaciones grandes como de
150%. El tensor de esfuerzos de Cauchy T es definido como la derivada parcial de W con
respecto a la deformación. (Lee, 1996).
28
~ = 2 -,I --a- - P I (: 2 ,
Donde p e s la presión hidroestática. Por tanto el esfuerzo de Cauchy esta en función de la
energía de deformación (Lee, 1996).
Z.Z.I-DETERMINACI~N DE LAS CONSTANTES DEL CAUCHO.
Considerando el caso simple de una prueba de tensión uniaxial del modelo de Mooney-Rivlin
í j l = 2), de la ecuación 2.7, tenemos.
aw - = c, 34
aw - = c, 81,
(2.9)
(2.10)
Si el espécimen es cargado a lo largo de la dirección I , entonces las direcciónes 2 y 3 son las
direcciones transversas en el espécimen, y T2 = T3 = O. Se asume que el material es isotrópico
e incompresible, entonces 1, = 4 y se puede escribir como:
I (2.1 I ) 2, = & =-
?iñl Sustituyendo las ecuaciones 2.9,2.1 O y 2.1 I en la ecuación 2.8, en los esfuerzos de Cauchy T,
y T2, tenemos que:
7; =2c,a; -2c,a;* - p
T2 = o = 2c,a;, - 2 c 2 4 - p
Eliminado p de las ecuaciones 2.12 y 2.13
(2.12)
(2.13)
(2.14) 29
Capi1ulo 2 Caucho
T = 2 - A - - A - p l (: : -.) Donde p e s la presión hidroestática. Por tanto el esfuerzo de Cauchy esta en función de la
energia de deformación (Lee: 1996).
22.1-DETERMINACIÓN DE LAS CONSTANTES DEL CAUCHO.
Considerando el caso simple de una prueba de tensión uniaxial del modelo de Mooney-Rivlin
(N = 2), de la ecuación 2.7, tenemos.
(2.9)
(2.1 O)
Si el espécimen es cargado a lo largo de la dirección I, entonces las direcciónes 2 y 3 son las
direcciones transversas en el espécimen, y T2 = T3 = O. Se asume que el material es isotrópico
e incompresible, entonces A2 = ,I3 y se puede escribir como:
I a - 4 - * - 3 7 (2.1 I)
Sustituyendo las ecuaciones 2.9, 2.10 y 2.1 1 en la ecuación 2:8, en los esfuerzos de Cauchy TI
y T2, tenemos que:
r, = 2 c , a; - 2~~3,;' - T~ = o = 2c,ay1 - 2c ,a , -
Eliminado p de las ecuaciones 2.1 2 y 2.13.
(2.12)
(2.13)
(2.14) 29
Los esfuerzos de Cauchy en la ecuación 2.14, puede reescribirse para el uso del esfuerzo ui
definida por la relación de una carga aplicada a sección de área (Lee, 1996).
(2.15)
El modelo de Mooney-Rivlin presenta característica que son aplicadas para pequeñas
deformaciones y por tanto podemos tratar la curva esfuerzo-deformación con términos de la
elasticidad clásica, es decir, módulo de Young (E), módulo de cortadura (G) y el módulo
volumétrico donde:
E = (C,, + C,, ). 3G (2.16)
E 3(1- 20)
K = (2.17)
Posteriormente sucesivos investigadores como James-Green-Simpson desarrollaron la
ecuación general de Rivlin con un alto número de constantes, y como resultado nació e l
modelo Mooney- Rivlin de segundo orden ( 5 constantes), de ecuación:
w =C,,( l , -3)+C,,(I, -3)+C,,(I , - 311 , -3)+C,,(I, -3)2 +Ca2(12 -3)2 (2.18)
La ecuación 2.18 podía ser utilizada hasta un mayor grado de deformación por incorporar un
punto de inflexión en la curva de esfuerzo-deformación, (Robotiker, 2000).
El caucho presenta características de amortiguamiento elástico e histeiético, esto lo hace
utilizable para el uso en vibraciones y productos de aislamientos de impacto, es por ello que en
este capítulo se presentaron las propiedades del caucho, y se propuso el modelo de Mooney-
Rivlin para la solución de este problema ya que e l caucho es considerado como un material
hiperelástico.
30
Cnucho
Para el análisis de este problema se plantea en considerar el material como un continuo y
observar su evolución bajo varias condiciones de deformación homogénea. Para ello se supone
que el caucho es un material isotrópico, y por tanto podemos definir la función en densidad de
energía de deformación. En esta función únicamente cuentan los efectos elásticos (puramente
reversibles) y no se incluye los efectos de histéresis que dependiendo de los diferentes
componentes que tenga e l caucho serán más o menos amplios. Esto no invalida
necesariamente la aplicación de la función de densidad de energía de deformación, pero
requiere de la necesidad de introducir variaciones en los datos experimentales para el posterior
uso e interpretación en las predicciones obtenidas mediante el cálculo por elementos finitos.
La ecuación de Mooney-Rivlin y las constantes del material se presentaron en este capítulo,
del cuál se obtiene e l modelo de la simulación numérica del caucho para las pruebas de
impacto (las constantes de Mooney-Rivlin son determinadas mediante una prueba de
compresión ver e l apéndice C). Este modelo normalmente es usado para determinar e l
comportamiento no lineal del caucho, basado en este comportamiento se utiliza el método del
elemento finito (Algor v.12), e l cuál dispone del modelo de Mooney-Rivlin. En general la
capacidad de este modelo depende del número de las constantes expresadas en el modelo de la
energía de deformación.
31
Contacto Mecánico
Capítulo 3
3. CONTACTO MECÁNICO.
Cuando dos elementos se presionan uno contra e l otro, en mutua deformación, se desarrolla
una zona donde se encuentra la mayor concentración de esfuerzos, esta zona se llama área de
contacto. Inicia en un punto, desarrollándose a causa de factores tales como la geometría y el acabado superficial de los elementos, la forma de aplicación y magnitud de la fuerza. Los esfuerzos desarrollados en esta zona de contacto se llaman esfuerzos dz contacto y son la
causa de un gran número de las fallas en las máquinas. Además, las aplicaciones ciclicas de
estos esfuerzos causan desgaste en las uniones y además propician fisuras, que a causa de la
aplicación continua desarrollan fracturas. En este capítulo, se describen las bases teóricas del
contacto mecánico, ya que a través de él se transmiten las fuerzas del impacto.
3.1- PROBLEMA DE CONTACTO DE HERTZ,
Uno de los primeros análisis satisfactorios de los esfuerzos originados durante el contacto de
dos sólidos elásticos fue presentado por &. Édesarrolló una teor ia, para conocer la
distribución de presión entre dos cuerpos en contacto que tenían superficies esféricas. Cuando
dos cuerpos tienen superficies curvas y se presionan uno contra otro, el contacto ocurre en un
punto o linea, que se transforma, a medida que la presión aumenta, en un área de contacto y
este desarrolla en ambos cuerpos un esfuerzo tridimensional.
El caso más general de esfuerzo, ocurre cuando cada cuerpo en contacto tiene un doble radio
de curvatura; esto es, cuando e l radio en el plano de rotación es diferente del radio en un plano
perpendicular, y ambos planos pasan por el eje de la fuerza del contacto. Para ejemplificar se
cita el caso de dos esferas macizas de diámetros dl y dz, como se muestra en la figura 3 . I , que
se presionan entre si con una fuerza F, por tanto se obtiene un área de contacto circular de
radio a como se muestra en la ecuación 3.1. S i se especifica queE,,v, y E2,v2 son las
constantes elásticas, el módulo de üung y la relación de Poisson de los dos cuerpos
respectivamente.
Conlacto Mecánico Capiiulo 3
I / d , + I l d , (3.1)
La presión dentro de cada esfera tiene distribución semielíptica, como se indica en la figura
3.1.
Y
4 4
Figura. 3.1 a) Dos esferas mantenidas en contacto por una fuerza F, b) El esfuerzo de contacto tiene una distribución elíptica en la cara de contacto de ancho 2 a. Shigley, (1990).
La presión máxima ocurre en el centro del área de contacto y es:
(3.2)
Las ecuaciones 3.1 y 3.2 son generales y se aplican también al contacto de una esfera plana
apoyada contra una superficie esférica interna. Para una superficie plana se toma que d=m. En el caso de superficies internas, el diámetro se expresa como una cantidad negativa. Los
esfuerzos máximos se tienen en el eje z y son esfuerzos principales. SUS valores son:
33
Conracto Mecánico Capitdo 3
- PMAW (3.4) z 2 I+, a
lJz =-
Las ecuaciones 3.3 y 3.4 son validas para una u otra esfera, pero el valor utilizado para la
relación de Poisson debe corresponder a la esfera en consideración (Shigley, 1990). Para el
caso de dos esferas de material isotrópico se observa una zona de contacto circular de radio a ,
aunque la presión normal p varía (Abrate, 1998). I
P = Po [ I -( 3'1' (3.5)
donde po es la presión máxima de contacto al centro de la zona de contacto y r es la
posición radial de un punto arbitrario en la zona del contacto. Definiendo los parámetros R y
E, de la siguiente forma: donde R I y Rz son los radios de curvatura de los dos cuerpos.
2 2 2 1 I - V I 1 - v 2
E El E2 -=___ f-
El radio a en la zona de contacto esta dada por la ecuación 3.8:
(3.7)
I
a = [ 3 g ) j (3.8)
34
Conrocto Mecanico capirulo 3
Las ecuaciones 3.3 y 3.4 son validas para una u otra esfera, pero el valor utilizado para la
relación de Poisson debe corresponder a la esfera en consideración (Shigley, 1990). Para el
caso de dos esferas de material isotrópico se observa una zona de contacto circular de radio a ~
aunque la presión normal p varia (Abrate, 1998).
donde pa es la presión máxima de contacto al centro de la zona de contacto y i es la
posición radial de un punto arbitrario en la zona del contacto. Definiendo los parámetros R y
E, de la siguiente forma: donde R I y R2 son los radios de curvatura de los dos cuerpos.
2 2 2 1 I - V I I - v *
E El E2 ----+-- -
El radio a en la zona de contacto esta dada por la ecuación 3.8:
(3.7)
Coniacio Mecánico
En la figura 3.2 se puede observar los radios de contacto de dos cuerpos.
Figura. 3.2 Análisis de contacto de dos cuerpos. (Abrate, 1998)
La figura 3.3 se muestra la distribución de la presión en la zona de contacto.
I r n
Figura.3.3 Distribución de presión en la zona de contacto. (Abrate, 1998)
El desplazamiento relativo a, esta dada por la ecuación 3.9:
La presión máxima en la zona de contacto se muestra en la ecuación 3. I O:
3P 6PE2 Pa =y- 2m -(=) (3.10)
35
Contacto Mecánico Capitulo 3 ~
La fuerza se expresa como: (Abrate, 1998)
P = k a 2 3 -
donde P es la fuerza de contacto, k la rigidez de contacto y esta dado por I
k = - E R 4 1 5
(3.1 1)
(3.12)
La ecuación (3.11) normalmente es llamada ley de contacto de éítz o ley hertziana del
contacto (Abrate, 1998). Existen además otros sistemas de contacto es un rectángulo, lo
suficientemente angosto para llamarlo contacto lineal. En la figura 3.4 se presenta tres
diferentes sistemas en donde se encuentra el contacto lineal. La figura 3.4a representa el
contacto entre dos elementos circulares en donde la línea de contacto es perpendicular al
papel. En la figura 3.4b aparece contacto lineal entre un disco y una superficie plana. La figura
3 . 4 ~ ilustra el contacto lineal entre un elemento circular pequeño y dentro de otro de radio
mayor. En todos los casos anteriores, los radios R; y R; , los cuales están en un plano
perpendicular al papel, son infinitamente largos de tal forma que las relaciones I l R ; y I lR ;
pueden ser despreciadas y el ángulo = O.
Figura 3.4. b) Contacto entre un disco y una superficie plana c) Contacto circular pequeño dentro de otro de radio mayor.
Sistema en donde se presenta el contacto lineal. a) Contacto entre dos elementos circulares,
En la figura 3.5 se presenta la distribución de la presión para el caso de contacto lineal como
consecuencia de la aplicación de una carga por unidad de longitud inEl área de contacto es un
rectángulo angosto de espesor 2b en la dirección del eje x y de longitud 2a en la dirección de z.
36
Contacto Mecánico Capitulo 3
- ..
Figura 3.5. Distribución de la presión en el caso de contacto lineal. (bhnson, 1985)
3.2-PROBLEMA DE CONTACTO NO HERTZIANO.
En la mayoría de la literatura se describe la dinámica de la colisión entre cuerpos elásticos o
elástico- plástico, sin embargo hay ejemplos de impacto entre cuerpos no metálicos donde la
fuerza de contacto es viscoelástico. Las grandes fuerzas de contacto que actúan durante la
colisión provocan deformaciones locales cerca del punto de contacto, deformaciones globales
y vibraciones en el cuerpo entero. El modelo de Maxwll es el elemento viscoelástico más
simple que se representa la fuerza de contacto entre dos cuerpos y se representa con un resorte
linear y un amortiguador en serie como se muestra en la figura 3.6. Este modelo satisface la
región de deformación dada por una fuerza normal que se incrementa con la compresión
normal, y la energía cinética relativa al movimiento durante la restitución (Stronge, 2000).
&---“--I x .Ao
Figura 3.6. Colisión de cuerpos; Modelo de Maxdl lineal viscoelástico (Stronge, 2000)
37
Contacto Mecánico a El desplazamiento es debido a la compresión del amortiguador y está dado por la fuerza
normal F que actúa en el cuerpo B'(1a misma fuer za actúa en el amortiguador y el resorte).
F = -k(x - y ) = - cy (3.13)
La colisión de los cuerpos B y B'tienen masa M y M'respectivamente, la masa efectiva m
puede ser obtenida de la siguiente forma m-'= M-' +M I' . Esta es una ecuación relativa al
movimiento. mx = -k(x - y ) . Diferenciando la ecuación (3.1 3) y agregando la ecuación del
movimiento, la ecuación de movimiento es obtenido en términos del resorte, z =x-y.
z + 2 4 ¿ 0 , t + o ~ z = 0 , 00 = k i m , < = m o , / 2 c (3.14)
La ecuación 3.14 muestra el movimiento armónico simple del resorte durante el periodo de
contacto.
Donde la frecuencia de oscilación amortiguada o, = o,-, la duración del impacto es
t , = n/o,. La fuerza normal entre dos cuerpos durante la colisión se muestra en la ecuación
3.16:
(3.16) F = -kz = (I - < ) Para un impacto directo se obtiene el coeficiente de restitución e. el cual se inuestm en la
ecuación 3.1 7, (Stronge, 2000).
2 -112 moOvO exp-s'on' sen(o,t) , w,t 2 n
(3.17)
38
Conlaclo Mecánico Capírulo 3 - 3.2. I - DISTRIBUCI~NDE ESFUERZOS EN MATERIALES VISCOEIA'STICOS.
Muchos materiales, como los polímeros, muestran una conducta que depende del tiempo con
relación entre el esfuerzo y deformación que se describen como viscoelástico. La figura 3.7, ilustra los intervalos de conducta de los materiales viscoelásticos donde se muestra la
variación de la deformación E(t)en un espécimen de un material bajo la acción constante de
un esfuerzo c0 aplicada para un periodo t , (hhnson, 1985). El comportamiento de estos
materiales pueden ser incorporados a la teoría de contacto, de tal forma que la relaciones de
esfuerzo-deformación viscoelástico del material puede ser considerado lineal. Las
deformaciones deben permanecer pequeñas para este requisito (como la teoría lineal de
elasticidad). Cuando dos cuerpos esféricos puramente elásticos son presionados en contacto
por una fuerza P, el radio del círculo de contacto a , el desplazamiento máximo S y la presión
de contacto p son dadas por las ecuaciones 3.8, 3.9 y 3. I O. Si una esfera es rígida y la otra es
incompresible con un módulo de rigidez G , las expresiones para a y 6 pueden ser escritas:
y para la distribución de esfuerzos:
4 p(r)=-2G(a2 ??R -r2) ,"
(3.18)
(3.19)
Donde 1R es la relación de las curvaturas de las dos superficies (1R I +IR z), y r < a . (hhnson, 1985).
39
Conlacto Mecánico Capitulo 3 -
t l Tiempo
i
Figura 3.7. A B se desarrolla la deformación elástica, el material es capaz de fluir o fluencia un estiramiento continuo adquiere una deformación de fluencia BC. Cuando el esfuerzo es removido da una respuesta elástica CD (= -OA) y un retrazo en la respuesta elástica DC. En el punto E adquiere una deformación permanente a traves de la acción de fluencia. bhnson (1985).
Muestra la deformación elástica inicial correspondiente a OA aplicada a un esfuerzo;
El análisis del contacto es esencial en la mayoria de los cálculos de impacto. El contacto
involucra dos tipos de cálculos:
I)- determinación del contacto, mediante algoritmos que analicen la fricción y geometría de las superficies. 2)- cálculo de las fuerzas de interacción.
En este capitulo se analizaron las fuerzas de interacción que actúan durante la colisión
provocaron deformaciones y esfuerzos en el punto de contacto. El estudio de la distribución de
los esfuerzos para materiales viscoelásticos como es el caso del caucho, involucra u n análisis
detallado de cómo se presentan los esfuerzos esto debido a que dependen del tiempo como
relación entre el esfuerzo y deformación. Sin embargo, se observó que este tipo de material
viscoelástico puede ser analizado con la teoría de contacto lineal de elasticidad. El único
requisito para cumplir esta condición es que los esfuerzos no deben alcanzar el límite de
proporcionalidad de la curva esfuerzo-deformación. Los resultados de los esfuerzos del
modelo analítico son comparados con los resultados numéricos en el capítulo 7.
40
Inlroduccion a la ieoria del impacio Capi1ulo I
Capitulo 4
4-INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DEL IMPACTO.
Dentro de los procedimientos clásicos de la mecánica de sistemas rígidos, el impacto se
estudia mediante la teoría de impulsos y cantidad de movimiento, por la que la duración de los impactos se considera instantánea. En esta teoría se aplica la conservación de cantidad de
movimiento y momento cinético, mientras que el balance de energía se tiene en cuenta
mediante el denominado coeficiente de restitución. Sin embargo, en la mayoría de las
situaciones reales es necesario un estudio más detallado, profundizando precisamente en
aquello que la teoría de impulso no trata, por ejemplo: la pérdida de la energía y la manera que
se desarrolla la fuerza de impacto a través del contacto entre los cuerpos. Generalmente es
necesario recurrir a métodos numéricos, que incluyen una solución adecuada de las ecuaciones
dinámicas en el tiempo. En este capítulo, se describen los principios básicos de la teoría del
impacto y las ecuaciones de impacto, las cuales permiten calcular los cambios en el
movimiento de los cuerpos rígidos, basándose en el uso del coeficiente de restitución.
4.1-PRINCIPIOS DE LA DINÁMICA DE LA PARTICLILA. La mayor parte de los problemas relacionados con el movimiento de la partícula se resuelven
mediante el uso de la ecuación fundamental del movimiento. El momento lineal de una
partícula de masa m que se mueve con una velocidad v se define como el producto de la masa
por la velocidad.
P = m v (4.1)
Se define el vector fuerza, como la derivada del momento lineal respecto del tiempo
F = - dP dt (4.2)
La segunda ley de &n es un cas
la partícula es constante (Alvarenga, 1983) o particular de la definición de fuerza, cuando la masa de
41
introducción a la teoria del impacto Capitulo 4
De la ecuación F = ma y los principios de la cinemática podemos obtener dos métodos
adicionales de análisis, e l método del trabajo y la energía, y el método del impulso y la
cantidad de movimiento. Despejando dp en la definición de fuerza de la ecuación 4.2 e
integrando.
dp = Fdi
En la figura 4. I , se muestra el impulso de la fuerza en intervalo de tiempo.
F
Figura 4.1. A la izquierda tenemos l a variación de momento lineal, y a la derecha la integral que se denomina impulso de la fuerza F en el intervalo que va de I, a lr.
Considérese dos partículas que pueden interactuar entre sí, (ver la figura 4.2) pero que están
aisladas de los alrededores. Las partículas se mueven bajo su interacción mutua pero no hay
fuerzas exteriores a l sistema presentes. Aplicando la segunda ley de &n a cada una de las
partículas se obtiene:
di dl dt (4.5)
42
Introducción a la teoría del impacio Capítulo 4 - ~
Figura 4.2. La partícula 1 se mueve bajo la accion de la fuerza F ,Z que ejerce la partícula 2. La partícula 2 se mueve bajo la acción de la fuerza Fzi que ejerce la partícula I . (Alvarenga, 1983)
Así, el principio de conservación del momento lineal afirma que el momento lineal total del
sistema de partículas permanece constante, si el sistema es aislado, es decir, si no actúan
fuerzas exteriores sobre las partículas del sistema. El principio de conservación del momento
lineal es independiente de la naturaleza de las fuerzas de interacción entre las partículas del
sistema aislado
mlu l + m2uz = m,v, + m2v2 (4.6)
Donde UI y u2 son las velocidades iniciales de las partículas 1 y 2 y V I y v2 las velocidades
finales de dichas partículas,
El principio de conservación de energía: El trabajo de una fuerza de conservación, como el
peso de una partícula ó la fuerza ejercida por un resorte puede expresarse como un cambio de
energía potencial.
Sustituyendo U I+ 2 de la ecuación 4.8 en ecuación 4.7, (donde VI y V2 = energía potencial
inicial y final, TI y TZ =energía cinética inicial y final) obtenemos:
43
Capíiulo 4 Introducción a la teoría del impacto
VIV2=T2-T1 TI +VI =T2+V2 (4.9)
De la ecuación 4.9 indica que, cuando una particula se mueve bajo la acción de fuerzas
conservativas, la suma de la energia cinética y la energía potencial de la particula permanece
constante. La suma T + V s e llama energía mecánica total de la partícula (Alvarenga, 1983)
4.2- COLISION PLANA DE DOS PARTiCULAS LISAS.
En la figura 4.3 se presenta un esquema de cuerpo libre de dos partículas en un sistema
inercia1 coordinado. Para colisiones entre dos cuerpos, uno de los problemas clásicos es
relacionar las velocidades finales con respecto a las velocidades iniciales. Para este caso, se
hace las siguientes consideraciones (Branch, 1991):
1. Los vectores iniciales de velocidad están en el plano n-t. 2. Las velocidades angulares son despreciables. 3. La deformación es pequeña; el contacto ocurre en un punto en cada masa. 4. El eje normal pasa a traves de cada centro de masa y el punto de contacto. 5. Las superficies son lisas (sin fricción); no se generan fuerzas tangenciales en el
punto de contacto. 6 . La duración del contacto es corta. 7. La fuerza normal debida al impacto de las dos masas es bastante grande tal que
todas las fuerzas excepto la fuerza normal generada por el impacto puede ser despreciada.
8. Durante la duración del contacto, los desplazamientos son intinitesimales, los cambios de velocidad son finitos, y las aceleraciones son infinitas.
t "
Figura 4.3. Esquema de cuerpo libre de patticulas en colisión. (Branch, 1991)
Cada masa tiene dos componentes de velocidad inicial. Las componentes de velocidad inicial
de las masas m , y mz son vln, VI, y v2,,, v2,. De la misma forma, las componentes de velocidad
final de las masas después del impacto son VI,,, V I , y Vz,. Vz,. Sí las velocidades iniciales son
conocidas y las velocidades finales son desconocidas, se requiere de un total de cuatro
44
Introducción a la íeoria del impaclo Capitulo 4
ecuaciones para dar una solución. Basándose en el figura 4.3 se obtienen las siguientes
ecuaciones (Branch, 1991).
mi Vi, - mi vin = pn ml VI, - m1 v I I =PI = O
m2 V,, - m2 vZn = - Pn m2 V2( - m2 v21 = - PI = O
(4. I O)
(4.12)
(4.13)
(4.1 I )
Igualando la Ec. 4.10 y la Ec. 4.12 se obtiene:
*I VI, + m2 V2n = ml vir? + m2 V 2 n (4.14)
De esta forma, se obtienen tres ecuaciones 4.1 I , 4.13 y 4.14. La cuarta ecuación se encuentra
reconociendo que durante un impacto real, la deformación debida al impacto, origina energía
que deber ser disipada.
4.3- IMPACTO.
El choque entre dos cuerpos, en donde se presentan fuerzas relativamente grandes duranie un
intervalo de tiempo corto, se llama impacto. Una recta perpendicular al plano de contacto de
dos cuerpos que chocan se llama linea de impacto. Si los centros de gravedad de los dos
cuerpos se encuentran sobre la linea de contacto, se dice que se trata de un impacto central, en
cualquier otro caso, es un impacto excéntrico. Si las cantidades de movimiento lineales de los
centros de gravedad también están dirigidas a lo largo de la línea de impacto, se tiene un
impacto colineal o central directo; en cualquier otro caso se dice que el impacto es oblicuo
(Avallone, 1995). En la figura 4.4, se muestra los dos tipos de impacto central y central
oblicuo. Bajo el impacto, se propaga una onda de compresión por todo el elemento con una
velocidad c = JE/p en donde p es la densidad de masa. Conforme esta onda de compresión
viaja una y otra vez por reflexión desde un extremo de la barra hasta el otro, se produce un
esfuerzo máximo, que es muchas veces mayor que el que se produciría estáticamente
(Avallone, 1995).
45
il
Introducción a la teoría del impacio
Figura 4.4. a) Impacto central directo y b) Impacto central oblicuo. (Beer, 1995)
Para definir una carga de impacto se tiene que conocer el periodo natural fundamental del
cuerpo donde se aplica. Cuando una carga tiene un tiempo de implicación mayor a los tres
periodos naturales del elemento cargado, se dice que es una carga estática. Pero s i es igual o
menor a la mitad de su periodo natural, entonces se considera una carga de impacto (ihvinall
Marshek, 199 I ) .
4.4- COEFICIENTE DE RESTITUCI~N.
El coeficiente de restitución indica e l grado de elasticidad del impacto. De tal forma para un
coeficiente con valor uno, no existe diferencia entre la restitución y la deformación, y no
existe pérdida de energía. El otro extremo es cuando e l coeficiente es cero, indicando un
restitución nula y un máximo en la pérdida de la energía del impacto. El coeficiente de
restitución se puede determinar en forma experimental o calcular en forma analítica, pero
siempre hay que tomar en cuenta que varía con la forma de los cuerpos, sus materiales y sus
velocidades de aproximación. Principalmente este último parámetro (velocidad de
aproximación), es el que mas afecta en aplicaciones de ingeniería y así lo demuestra la grafica
de Brach (199i), de la figura 4.5. Otra forma de definir el coeficiente de restitución (e) es e l
cociente entre los módulos de los impulsos correspondientes, respectivamente, a los periodos
de restitución y de deformación, y se representa:
(4.1 5)
46
Introducción a la teoría del impacio
I Pelferiamente elártico
“o Yeiffldad de aproximación
Figura 4.5. Grafica del comportamiento del coeficiente de restitución, en función de la velocidad de aproximación (Branch, 1991)
hhnson (1985) define que el coeficiente de restitución e es un valor numérico que relaciona la
velocidad de impacto V correspondiente a la energía cinética absorbida antes de la máxima
compresión, con la velocidad V’correspondient e al trabajo hecho durante la recuperación
elástica, esto es:
V’ V
e = - (4.16)
La ecuación (4.16) puede relacionarse con las propiedades mecánicas de los elementos en
contacto a través de la ecuación. (bnson, 2003).
siendo
donde:
Y* = Esfuerzo de fluencia dinámico m= Masa del cuerpo en contacto p , , .u2 = Coeficientes de Poisson de los materiales 1 y 2
(4.17)
(4.18)
47
Introducción a la teoría del impacto Capitulo 4
E, , Ez = Módulos de elasticidad de Mung de los materiales 1 y2 R,, R2 = Radios de curvatura de los cuerpos 1 y 2 V = Coeficiente que relaciona p con E
La ecuación (4.17) indica que el valor del coeficiente de restitución no es una propiedad
intrínseca del material solamente, sino que depende tanto de las propiedades y geometría de
los materiales en contacto, como de las velocidades de los cuerpos en contacto.
4.5. MODELADO DEL IMPACTO.
La fuerza entre las partículas es diferente de cero sólo durante el intervalo de tiempo de
contacto de T I a TZ. En la figura 4.6 se presenta una gráfica típica de una carga de impacto.
Para determinar analíticamente la cantidad del impulso transmitido al sistema, es
frecuentemente conveniente usar una fuerza triangular ideal, como se muestra en la Figura 4.6
con línea punteada. Por definición el impulso normal (P,) generado por el impacto entre los
cuerpos, será igual al área bajo la curva de una gráfico fuerza-tiempo. De esta forma, el
impulso se calcula como:
Donde: Pn = Impulso normal suministrado al sistema pi .SI Fp = Fuerza impacto I\i
T I y ~ 2 = Tiempo inicial y final del impacto 61
(4.19)
Figura 4.6. Variación típica de una fuerza normal para un impacto. (Brach, 199 I)
48
9 Introducción a la teoría del imuacto
Una relación importante es determinar la fuerza de impacto, en función de las velocidades
iniciales vIn. v2n de las masas m, y m2, la duración del impacto y el coeficiente de restitución,
se presenta en la Ec. 4.20.
(4.20)
Donde: m , es la masa equivalente del sistema, que se calcula como m = m1m2 ( mI + m 2 ) .
La Ec. 4.20 demuestra que comparando entre un impacto perfectamente inelástico (e = O ) y un impacto perfectamente elástico (e = I) , el impacto perfectamente elástico tendrá el doble de
impulso, para el mismo pulso de duración (Brach, 1991)
Las fuerzas repentinamente aplicadas a estructuras o máquinas son llamadas choques o cargas
de impactos, dando como resultado una carga dinámica (Ugural, 1995). Una fuerza dinámica
actúa para modificar los esfuerzos estáticos y deformaciones así como las propiedades de la
resistencia de los materiales. Las cargas de choque, son usualmente producidas por la
aplicación repentina de una fuerza o movimiento en un miembro, mientras que las cargas de
impacto, resultan de la colisión de cuerpos. Los problemas de impactos son analiza por Ugural
( I 995) haciendo las siguientes consideraciones:
I . El desplazamiento es proporcional a la fuerza aplicada, estática o dinámica. 2. La inercia del miembro sujeto a cargas de impactos, será despreciada. 3. El material se comporta elásticamente. Se considera que no hay pérdida de
energía asociada con la deformación local inelástica que ocurre en el punto de impacto o en el soporte. La energía de este modo es conservada dentro del sistema.
Para idealizar el sistema elástico sujeto a una carga de impacto, se considera un modelo como
el que se presenta en la Figura 4.7. El peso Wcae a una distancia h, golpeando el extremo libre
de un resorte. La velocidad inicial del peso es cero y su velocidad final en el instante de la
máxima deflexión del resorte (&&,) también es cero. El cambio de energía cinética del sistema
49
Introducción a la ieoria del impacto Capiiulo 4
es cero, y es igual al trabajo realizado en el sistema. El trabajo total consiste en el trabajo
realizado por la gravedad sobre la masa mientras esta cae y el trabajo realizado por el resorte.
1 2 W(h + ijmax)- kij,,, = o (4.21)
donde: k,= constante del resorte @i] h,= altura de caída libre del peso [m ] Fmax = deformación máxima [m ] W peso
El 1lL
A Figura 4.7. Cuerpo cayendo libremente. (Ugural, 1995)
Se considera que el peso permanece en contacto con el resorte. La deflexión correspondiente a
la fuerza estática del peso del cuerpo es simplemente Wlk. Este término es la deflexión estática
Ast. De este modo, la expresión general de la deflexión dinámica máxima (Ugural, 1995, Gere,
1998) se calcula de la siguiente forma.
Reordenando la ecuación 4.22 se obtiene:
(4.22)
(4.23)
El factor de impacto &,,) se define como la relación entre la deflexión máxima knax con
respecto a la deflexión estática S,,,, la cuál está dada por:
(4.24)
50
Introducción a la teoría del impacto Capi/ulo 4
Multiplicando el factor de impacto V;n,p) por el peso (W') se genera una carga dinámica o carga
estática equivalente:
Fdrn = W ( I + E) (4.25)
donde: Fd,,, es la carga dinámica o carga estática equivalente. Dos casos extremos de interés
son:
a) h e &;, donde el término de trabajo de la Ec. 4.21 puede ser despreciado, reduciendo la expresión a:
(4.26)
b) h = O, la carga es repentinamente aplicada, la Ec. 4.21 se convierte en:
Cuando el peso W se mueve en dirección horizontal con una velocidad v y es detenido por un
cuerpo elástico, la energía cinética Wv2/2g reemplaza a W(h + hex), que es el trabajo realizado
por el peso. La carga dinámica máxima y la deflexión máxima son:
(4.28)
(4.29)
donde: &,, es la deflexión estática causada por la fuerza horizontal W.
El estudio del impacto se debe a que se presenta constantemente en sistemas mecánicos,
provocando daños sobre estos, o alterando notablemente en su estabilidad o movimiento. Es
por ello que en este capitulo se presentó un análisis global del impacto. En la teoría de impacto
se tienen en cuentra la conservación de momento y momento cinético, mientras que el balance
de energía da lugar a obtener el coeficiente de restitución. En definitiva, la teoría de impulso
51
Iniroducción a la teoria del impacio
permite calcular el movimiento después de la carga de impacto. En ciertos casos, los
problemas de impacto pueden estudiarse mediante este tipo de teorías. M obstante,
generalmente es necesario recurrir a métodos numéricos, como elemento finito, que incluyan
una respuesta adecuada de las ecuaciones dinámicas con respecto al tiempo. Un ejemplo del
uso del elemento finito para el problema de impacto es cuando se desean conocer los esfuerzos
en la zona de contacto entre dos cuerpos que se impactan, la propagación de onda en la zona
de impacto y la deformación en el material, este fenómeno es extremadamente complejo para
represéntalos en los principios básicos de la mecánica.
52
Modelado por elemento.finilo
Capitulo 5
5-MODELADO POR ELEMENTO FINITO.
Este trabajo surge de la inquietud de conocer la forma en que el impacto afecta a materiales
viscoelásticos como el caucho, ya que no se cuenta con estudios profundos de los efectos que
se originan por las cargas de impacto sobre estos tipos de materiales viscoelásticos. En este
trabajo se trata el caso específico de un amortiguador de impacto tipo elastómero que es sometido a cargas de impacto, mediante un péndulo que se encuentra colocado a una altura
"h" con respecto a la línea de choque. En el modelado de este problema se utilizó el método
del elemento finito mediante la ayuda de un programa de cómputo ALGOR v.12, y con la
ayuda de la información técnica de amortiguadores de caucho que se encuentran disponibles
en el mercado. A continuación se presenta el modelo discreto de los elementos que integran el
sistema de impacto, mediante el modelo por elementos finitos. También se presenta, el
problema propuesto y las posibles soluciones obtenidas mediante el impacto de u n péndulo.
Además se analizan los resultados obtenidos mediante la simulación numérica.
5. I - INTRODUCCION.
Muchos de los problemas de ingeniería, y de las ciencias aplicadas, están gobernados por
ecuaciones diferenciales o integrales. La complejidad de geometría o de las condiciones de
frontera halladas en muchos de los problemas del mundo real impiden obtener una solución
exacta del análisis considerado, por lo que se recurre a técnicas numéricas de solución de las
ecuaciones que gobiernan los fenómenos físicos. El método del elemento finito es una de las
técnicas numéricas, muy apropiada para su implementación en computadoras (dada su facilidad para el manejo de algoritmos numéricos, rapidez en los cálculos). Por lo que el
método del elemento finito ha llegado a ser una herramienta poderosa en la solución numérica
de un amplio rango de problemas de ingeniería. Las aplicaciones van desde el análisis por
deformación y esfuerzos de automóviles, aeronaves, edificios y estructuras de puentes hasta el
análisis de los campos del flujo de calor, de fluidos, magnéticos, de filtraciones en medios
porosos. sometidas a acciones estáticas o dinámicas (impactos, vibraciones). En este método 53
Modelado por alemcnto.finito Capiiulo-
de análisis, una región compleja que define un continuo se discretiza en formas geométricas
simples llamadas elementos finitos. Las propiedades del material y las relaciones gobernantes,
son consideradas sobre esos elementos y expresadas en términos de valores desconocidos en
los bordes del elemento. Un proceso de ensamble, cuando se consideran debidamente las
cargas y restituciones, dan lugar a un conjunto de ecuaciones. La solución de esas ecuaciones
da el comportamiento aproximado del continuo (Chandrupatla, 1999).
El método del elemento finito convierte las condiciones de equilibrio en un conjunto de
ecuaciones algebraicas en función de los desplazamientos nodales. Después de obtener la
solución de las ecuaciones se pueden hallar las deformaciones y los esfuerzos en los elementos. A medida que se utiliza un mayor número de elementos para representar la
estructura, los esfuerzos se acercan más al estado de equilibrio con las cargas aplicadas. Por
tanto, un concepto importante en el uso del método de los elementos finitos es que, un modelo
discreto se aproxima a la solución real del problema a medida que se incrementa la densidad
de elementos, lo cual conduce a la realización de un análisis de convergencia de la solución. El
cálculo de esfuerzos y deformaciones con métodos clásicos de análisis, se logra a través de la
solución de ecuaciones gobernantes y condiciones de frontera descritas en el problema.
Spyrakos ( I 995), menciona las diferencias en usar un método clásico y el método de elemento
finiio, el cual consiste en la manera en que se ve a la estructura y el procedimiento para
obtener la solución. El método clásico considera a la estructura como un continuo, dominado
por ecuaciones diferenciales ordinarias o parciales. En tanto que, el método de elemento finito,
considera la estructura como un ensamble de elementos pequeños de tamaño finito. El método
de elemento finito basa su operación en la capacidad de dividir un continuo en un número
finito de elementos, para posteriormente resolver un sistema de funciones continuas,
considerando las interacciones que pudieran ocurrir entre ellos. Con la ayuda de este método
es posible analizar el esfuerzo de una manera exacta y rápida de un componente así como
posteriormente realizar su optimización. La secuencia de pasos de acuerdo a Moaveni (1999) para la solución de un problema por medio del elemento finito, es:
54
Capílulo 5 Modelado por elemeniofinilo P
Fase de preprocesamiento.
I . Especificar la geometría. Esto puede hacerse dibujando de la geometría directamente en el paquete o importando el modelo desde otro programa de cómputo.
2. Definir el tipo de elemento y las propiedades del material. 3. Discretizar los elementos. Consiste en dividir la estructura en elementos finitos. 4. Aplicar las condiciones de frontera (restricciones) y las cargas externas. 5. Desarrollar las ecuaciones del elemento 6 . Refinar la malla. El método de elemento finito es un método aproximado, y en general
la precisión de la solución se incrementa con el número de elementos usado;. El número de elementos requeridos para obtener una respuesta confiable depende de número de elementos en el objeto.
7. Construir la matriz global de rigidez.
Fase de solución
8. Resolver las ecuaciones algebraicas simultáneas lineal o no lineal, para obtener los resultados de esfuerzo, deformaciones y desplazamientos.
Fase de postprocecamiento.
9. Interpretación de los resultados. Este paso es crítico para lograr la aplicación de los resultados en la solución de los problemas reales, o para identificar los posibles errores cometidos durante la etapa de modelado.
IO. Facilita la manipulación de los resultados numéricos, bien sea en forma de listas, tablas o en forma gráfica.
El método del elemento finito se basa en un modelo discreto, este modelo divide las
propiedades de una estructura en elementos finitos, convirtiendo al modelo discreto en un
número finito de grados de libertad. Un elemento es la pieza básica de construcción del
análisis de elementos finitos. Los elementos llenan toda la región excepto una pequeña región
en la frontera. Esta región no cubierta existe en fronteras curvas y puede reducirse escogiendo
elementos mas pequeños o elementos con frontera curva. La idea del método del elemento
finito es resolver en forma aproximada el problema continuo y esta región no cubierta contribuye en alguna medida a esta aproximación, (Chandrupatla, 1999).
Existen varios tipos de elementos, entre los más comúnmente usados estás los elementos tipo
barra, viga, axisimétricos, membranas, placas, cascaron, sólidos o ladrillos y elementos de
contacto o gap. Dichos tipos, son usados dependiendo del objeto que será modelado y el tipo 55
Capíiulo 5 Modeiado por elemeniofinilo
de análisis que se desee realizar. Los elementos utilizados en el modelado del péndulo y del
amortiguador de impacto son elementos tipo ladrillo (brick). En la figura 5.1, se muestra un
elemento tipo ladrillo el cual tiene ocho nodos, estos elementos sólidos son elementos
tridimensionales con tres grados de libertad de translación por cada nodo. La ventaja de usar
elementos ladrillos es que se pueden aplicar, para analizar en componentes cilíndricos o
esféricos, álabes de turbina y elemento sólidos. Este tipo de elemeiito provee informcción
acerca de las variaciones de los esfuerzos y deformaciones en tres dimensiones dentro del
componente.
Figura 5.1. Elemento tipo ladrillo y sus grados d e libertad en los nodos. (Spyrakos, 1995).
5.2- MODELO DISCRETO DEL PROBLEMA.
El modelo discreto esta compuesto por cuatro elementos, el sensor de fuerza, el elemento de
fijación, el amortiguador de impacto y el péndulo (ver la figura 5.2). Un modelo discreto
representa a un modelo físico real (por ejemplo una suspensión automotriz), con un arreglo de
parámetros concentrados. Así, es como los elementos de este modelo se constituyen de
elementos tipo ladrillo, en el ambiente no lineal del procesador APAK4 del paquete comercial
de elemento finito ALGOR v.12.
56
Capitulo 5 Modelado por elemento finito
Sensor de h e n a
A m o h p a d o r 1 de caucho
Péndulo de la
Figura 5.2. Modelo discreto por elemento finito del banco experimental de impacto
5.2.1- SENSOR DE FUERZA.
Con el fin de conocer la carga de impacto originadas por el choque del amortiguador y el
péndulo, se construye una pieza de aluminio 6061 cuya función es la de medir la fuerza. Las
dimensiones y diseño de este sensor de fuerza se muestran en el apéndice A y D. El sensnr de
fuerza, se modeló utilizando elementos tipo ladrillo. En la figura 5.3, se presenta el modelo
discreto por elemento finito del sensor de fuerza. En la figura 5.4, se muestra la fotografía el
sensor de fuerza de material de aluminio 606 I.
57
iclodelado por elemento .finito
Figura 5.3. Modelo discreto del sensor de fuerza.
Figura 5.4. Fotografía del sensor de fuerza material aluminio 6061, (sin extensómetros)
Figura 5.5. Esquema del sensor de fuerza y el amortiguador comercial de impacto de caucho.
de caucho
58
Capirulo 5 Modelado por elemenio,finiio
5.2.2- AMORTIGUADOR DE IMPACTO DE MATERIAL ELASTÓMERO.
El amortiguador de impacto tipo cónico, se modeló utilizando elementos tipo ladrillo.
También se consideró al elemento interno que se encuentra en el interior del amortiguador una
chapa metálica con un espárrago como elemento de fijación, por lo que el elemento interno
del amortiguador de impacto se modeló como elemento tipo ladrillo. Las dimensiones del
amortiguador de impacto se encuentran en la sección de apéndice D. Para realizar el modelado
por elemento finito del caucho se debe definir el elemento el modelo de Mooney-Rivlin ya que
este es aceptable para elongaciones grandes como del 150% (Lee, 1996;. Las pruebas para
determinar las propiedades del caucho y las constantes de Mooney-Rivlin se presentan en el
apéndice C. En la figura 5.6, se muestra la fotografía del amortiguador de caucho utilizado en
la simulación numérica, y en la figura 5.7, se aprecian dos vistas del modelo discreto del
amortiguador de impacto de material elastómero.
Figura 5.6. Amortiguador de caucho
Figura 57. Modelo discreto del amortiguador de impacto de material elast6mero.
59
Capitulo 5 Modelado por elemenlofinilo
5.2.3- PENDULO DE IMPACTO
Se realizó la medición de las dimensiones del péndulo de la máquina Charpy (ver la figura
5.8), para desarrollar el modelo discreto por elemento finito. Las dimensiones del péndulo de
la máquina Charpy se encuentran en la sección del apéndice D. Con las dimensiones del
péndulo se realizó el modelado por elemento finito con ayuda del programa ALGOR v12,
considerando que el péndulo esta fabricado con acero ASTM A-36, y utilizando elementos
finitos tipo ladrillo. El modelo discreto del péndulo se presenta en la figura 5.9.
Sensor de fuerza
Amortiguad( de caucho
Péndulo de la máquina C h a w
Figura 5.8. Péndulo de la máquina de impacto Charpy.
Una vez establecidas las geometrías de cada uno de los elementos que conforman el sistema,
se seleccionan las condiciones de frontera. La fuerza del impacto se produce con la caída libre
del péndulo de la máquina Charpy el cual es colocado a diferentes ángulos con respecto a la
vertical del punto de contacto (9.7",12.0°,14.60,18.00 y 21.9'). En la figura 5.10, se aprecia el modelo discreto por elemento finito, así como las condiciones de frontera del banco
experimental del impacto.
60
Capítulo 5 Modelado por elementofiniio
Figura 5.9. Modelo discreto del péndulo de la máquina Charpy. a). Vista del péndulo frontal; b). Vista isométrica del péndulo.
Las condiciones de frontera que se utilizaron en este modelo son las siguientes:
I - Se aplican condiciones de frontera de restricción total, en e l extremo del sensor de fuerza para simular e l empotramiento.
2- Se aplica condiciones de frontera que permitan el giro en el eje “x” en e l extremo articulado del péndulo de impacto.
3- Se simulan superficies de contacto, tanto en el tope como en el péndulo, del tipo superficie-superficie, válidos para ALGOR v.12, con e l fin de garantizar e l impacto en los dos elementos.
El tipo de análisis se realiza simulando como modelo, materiales no lineales. Por ultimo se
definen las propiedades de los materiales. AI terminar se definen las condiciones globales de
61
Capitulo 5 Modelado por elemenio,finiio
la simulación del evento mecánico. Se selecciona una duración del evento de 0.4 segundos y
se especifico un número de 100 iteraciones. Además, se selecciono una curva de carga
constante.
Pénduia d i la
,/:?""
Figura 5.10. Modelo discreto por elementos finitos del sistema de impacto y amortiguamiento.
5.3- RESULTADOS DE LA SIMULACIÓN NUMÉRICA POR ELEMENTO FINITO.
En esta sección se presentan los resultados del modelado por elemento finitos del sistema de
amortiguador de impacto, que esta conformado por el sensor de fuerza, amortiguador de
caucho y el péndulo. Para las diferentes condiciones de ángulos de impacto del péndulo, se
considera la altura de caída libre del péndulo "h" referenciándola con respecto a la punta del
amortiguador de impacto. Los esfuerzos producidos por el choque del péndulo y el amortiguador de caucho, se analizaron los esfuerzos equivalentes de Von Mises del modelo.
62
Capilirlo 5 Modelado por elemento finito - La simulación numérica se llevó a cabo utilizando el paquete comercial de elemento finito
ALGOR v.12. En la Figura 5.11, se presentan dos vistas del modelo por elementos finitos
durante el instante del impacto.
Figura 5.1 1. Modelo discreto por elemento finito (ALGOR v.12) durante el instante del impacto.
En la figura 5.12, se presentan tres vistas del modelo por elemento finito antes, durante y
después del impacto entre el amortiguador y el péndulo.
Figura 5.12. Modelo discreto por elemento finito. a) antes del impacto, tiempo 0.32 seg., b) durante el impacto, tiempo 0.33 seg. y c) después del impacto, tiempo 0.34.
63
Capitulo 5 Modelado por elemento,finito
La figura 5.13, muestra el modelo discreto del amortiguador de impacto y el sensor de fuerza,
donde se presenta las zonas de concentración de esfuerzos durante el impacto entre el péndulo
y el amortiguador de impacto.
/I.<.
b)- Figura 5.13. Modelo discreto por elemento finito del sensor de fuerza y amortiguador de impacto, donde se muestra la zona de concentración de esfuerzos durante el impacto.
La mayor concentración de esfuerzos durante el impacto se presentó en el elemento de fijación
(tornillo) del amortiguador de impacto, como se muestra en la figura 5.14. Esta respuesta
puede ser causada por el comportamiento viscoelástico del caucho, el cual al recibir una carga
repentina se endurece en mayor proporción que el acero del tornillo.
<.I , ',
Figura 5.14. Modelo discreto del amortiguador de impacto, mostrando la máxima concentración de esfuerzo. a) vista lateral, b) vista longitudinal (sección).
64
Modelado por elementofinilo Capilulo 5 - La figura 5.15, muestra los desplazamientos máximos del amortiguador de impacto durante la
fuerza del impacto
a)- b)-
Figura 5.15. desplazamiento producido por la fuerza del impacto.
Modelo discreto del amortiguador de impacto y el sensor de fuerza, muestra el máximo
La simulación por elemento finito (ALGOR v.12) del impacto entre el amortiguador de
impacto tipo elastómero y el péndulo, permite obtener el desplazamiento máximo del
amortiguador de caucho y el movimiento de caída libre del péndulo, mediante los siguientes
gráficos que se presentan a continuación. La figura 5.16, presenta la curva del desplazamiento
de un nodo en la punta del amortiguador de impacto, con respecto al tiempo de duración de la
simulación numérica. El desplazamiento se mide en la dirección del eje coordenado y, que es
la dirección en la que se produce el impacto. De la figura 5.16 se observa el carácter de
deformación en la punta del amortiguador y además la duración del impacto.
65
Modelado por elemenio,finito Capítulo 5 -
Figura 5.16. La gráfica de desplazamiento-tiempo del nodo 3484, el cual esta localizado en la punta del amortiguador de caucho, para un angulo de caída libre del péndulo de 14.6' grados con respecto a la vertical.
La figura 5.1 7, muestra el movimiento de caída libre del péndulo de la maquina Charpy de un
nodo localizado en la zona de contacto del péndulo, con respecto al tiempo de duración de la
simulación numérica. La figura 5. IS , da a conocer la respuesta del amortiguador de impacto al
producirse el choque con el péndulo, se puede apreciar la variación de la fuerza normal tlpica
en el impacto, la fuerza del impacto es con respecto a la duración de la simulación numérica.
Figura 5.17. Gráfica desplazamiento-tiempo del nodo 4895, localizado en el péndulo en el punto de contacto con el amortiguador de caucho.
66
Modelado por elemenio,finilo Capiiulo 5
Ángulos de caída libre del péndulo libre del
Altura de caída
péndulo con respecto a la
línea de
5
Esfuerzo Deformación (Nlm') máxima ( m h )
I Duración de la simulación (seg)
Figura 5.18. Fuerza del impacto YS duración de la simulación numérica
impacto (m)
En la tabla 5.1, se presentan los resultados numéricos de los esfuerzos en la zona de contacto,
deformaciones y desplazamiento en el amortiguador de impacto, para las siguientes ángulos de
caída libre del péndulo: 9.7",12.Oo,14.6",18.O0 y 21.9"
9.7" 12.00 14.6' 18.0' 21.9'
Tabla 5.1. Resultados de la modelación por elementos finitos en la zona de contacto, para los ángulos de caída libredel péndulo; IO", 12.5, 15",17.5 y 20'
n.00~787 1986359 0.32501 0.001654 O . O O ~ O M 2165305 0.3386 0.002024 0.013322 2308374 0.4095 0.002372 0.019880 2543741 0.4462 0.002926 0.029499 2725659 0.4672 0.0030773
Desplazamiento máximo (m)
La figura 5.19, muestra el comportamiento de los esfuerzos en la zona de contacto del
amortiguador de impacto con respecto al ángulo de caída libre del péndulo de la máquina
Charpy, se puede observar que conforme se aumenta e l ángulo, los esfuerzos en la zona de
contacto aumentan.
67
Modelado por elemenlo.finil0 Capítulo 5
1500000 - s z E 1000000 - o
500000 ~
O ,
3 u> W -
I
_______
I900000 2100000 2300000 2500000 2700000 2900000 Esfuerzos en la zona de contacto (Nlm"2)
Figura 5.19. Relación de esfuerzos máximos del amortiguador (Von Mises) y el ángulo de caída libre del péndulo (grados).
En la figura 5.20, se presenta la curva esfuerzo-deformación de la prueba de impacto en la
simulación numérica, se puede apreciar que cuando se aumenta la rapidez de deformación,
como es el caso de las condiciones de impacto, se incrementa el esfuerzo en la zona de
contacto entre el amortiguador y el péndulo.
I
Figura 5.20. Relación entre el esfuerzo y deformación en la zona de contacto del amortiguador de impacto el péndulo.
68
capilulo 5 Modelado por elemenlo finilo ~
5.4- CONCLUSIONES
Basándose en los resultados obtenidos en la simulación numérica se concluye que: los
resultados por medio de elemento finito permitieron analizar los esfuerzos y desplazamientos
para pruebas de impacto para un amortiguador de caucho. Mediante esfuerzos equivalentes de
Von Mises se determinaron las zonas de mayor concentración de esfuerzos. La mayor
concentración se esfuerzos se registró en el elemento de fijación (tomillo), considerando que
el material utilizado es un acero 4130 (uv= 361 MPa, c."= Resistencia de fluencia, Shigley,
199i), y aplicando los términos de esfuerzos permisibles, los esfuerzos no superaron el
esfuerzo de fluencia del material, por lo que no se presentó deformación plástica en el
elemento de fijación.
Los esfuerzos permisibles en el amortiguador de impacto no se pudieron determinar ya que no
se encontró en la literatura el valor de la resistencia de fluencia del caucho utilizado en este
estudio. Se observó que la concentración de los esfuerzos en el amortiguador de impacto no
fue uniforme, esto debido al comportamiento viscoelástico del caucho, y conforme el caucho
desarrolla una deformación elástica a causa del esfuerzo, sufre una compresión continua
adquiriendo una deformación de fluencia y cuando el esfuerzo es removido da una respuesta
elástica.
Este estudio se basó en discutir el modelo teórico de Mooney- Rivlin aplicado al análisis de
esfuerzos no lineales en el caucho, y aplicando el método del elemento finito. Las constantes
de Mooney-Rivlin del caucho necesarias para el análisis numérico son determinadas por
medio de un prueba de compresión (ver apéndice C), otro factor a considerar que puede
afectar en los resultados de la simulación numérica es la selección del número de pasos o iteraciones para alcanzar la convergencia.
69
Banco y pruebas experimentales Capitulo 6 - - Capítulo 6
6- BANCO Y PRUEBAS EXPERIMENTALES.
En este capítulo, se presenta el análisis experimental del impacto que se origina por el choque
del péndulo del banco de pruebas basado en una máquina Charpy modificada, sobre el
amortiguador de impacto tipo elastómero. Además, se describe el banco de pruebas, los
sistemas de adquisición de datos experimentales, la metodología para realizar las pruebas
experimentales y los resultados de las pruebas de impacto.
6. I - INTRODUCCI~N.
Los dos ensayos de impacto más extendidos son: impacto con péndulo e impacto con dardo,
ambas metodologías son efectivas. En esta investigación se utiliza impacto con péndulo, de un
banco de pruebas basado en una máquina Charpy modificada. Conociendo la masa del
péndulo, la diferencia entre sus alturas inicial y final, se puede calcular la energia absorbida
por el amortiguador de impacto.
Con esta investigación se pretende proporcionar la base para el diseño de amortiguadores de
impacto tipo elastómero. Se analiza un amortiguador sometido a una fuerza de impacto, donde
se varía el ángulo de caída libre del péndulo del banco de pruebas. En este capítulo se
proporciona información de las diferentes partes que conforman el experimento, los cuales son
los equipos e instrumentos utilizados y características de cada uno de ellos, etc. La parte
experimental, tiene cinco objetivos principales:
I - Construir el banco de pruebas, el cual se empleará en la realización de los experimentos de amortiguadores de impacto.
2- Estudiar la distribución de esfuerzos y deformación en el amortiguador. 3- Determinar la capacidad del amortiguador para absorber y disipar la energía producida
por el choque. 4- Determinar el coeficiente de restitución. 5 - Determinar el factor de amortiguamiento del caucho.
70
Banco y pruebas experimenlales
Propiedad del material Elementos geométricos Módulo de elasticidad E Los radios y las área en la Módulo de Poisson U zona de contacto de los
cuerpos
Elementos dinámicos Lasmasasde loscuerpos Las velocidades de cada cuerpo en el momento del imnartn
Cuando se varían algunos de estos parámetros originan cambios en el resultado de la prueba
de impacto, como son la fuerza de impacto, la deformación y el tiempo de contacto. Así, se
llega a la definición de las variables dependientes e independientes de la prueba, como se
Variables independientes Velocidad de impacto Masa del péndulo Masa del amortiguador Angulo de caida del péndulo Radios y áreas en la zona de contacto
listan en la tabla 6.2.
Variables dependientes Fuerza del impacto Esfuerzo de contacto Deformación máxima Coeficiente de restitución Factor de amortiguamiento Energía consumida en el impacto
6.2- BANCO EXPERIMENTAL.
El banco de pruebas que se utilizó, es la adaptación de la máquina de impacto Charpy que se
encuentra en el Laboratorio de Ingeniería Mecánica, especialidad de diseño en el cenidet.
Algunas modificaciones fueron elaboradas para una investigación anterior, por Gaona (2003).
En esta investigación se realizaron además, una serie de modificaciones, como lo son la forma
de sujeción del amortiguador, la liberación del péndulo y el registro de la energía consumida.
Estos elementos fueron diseñados y construidos de acuerdo a los requerimientos de la investigación. En la figura 6.1 se presenta un esquema general del banco de pruebas de
impacto.
71
Hanco y pruebas experimeniales
Dispositivo de pruebas de impacto
Péndulo de la máquina C h a w
Tablero de posición del péndulo
Figura 6.1. Fotografia del banco de pruebas experimentales de impacto
6.2.1-BANCO DE PR VEBAS DE IMPACTO.
Como se mencionó anteriormente, el banco de pruebas está basado en una máquina de pruebas
de impacto Charpy, esta basa su funcionamiento en la aplicación de una carga de impacto
durante un tiempo muy corto a una muestra o probeta, y se registra la cantidad de energía
consumida por la ruptura de la muestra. La generación de la energía de impacto se obtiene
mediante un péndulo oscilante. cuyo funcionamiento se describe a continuación. La masa de
un péndulo dispuesto en el extremo de una barra describe un movimiento circular alrededor de
un eje. En el punto mas bajo de su trayectoria descarga su energía a la probeta, al producirse el
impacto. En este punto es donde el péndulo desarrolla su máxima capacidad de trabajo,
determinada por el peso del péndulo y la altura de caída medida verticalmente. En la figura
6.2, se muestra el esquema del péndulo del banco de pruebas antes y después del impacto.
72
Capiiulo 6 I_
P¿ndulo despues dtl impacto
sensorpe fuena
--- I
Figura 6.2-Esquema del péndulo antes y después del impacto.
La ecuación 6.1 representa la energía inicial, es decir, la que posee el péndulo antes del
impacto. (Moreno, 1999).
A0 = m,gh, (6.1)
Donde: A0 =energía inicial (energía potencial) A I = energía después del impacto m,, = masa efectivo del péndulo g = aceleración de la gravedad ho =altura antes del impacto hl =altura después del impacto
Después del impacto una porción del trabajo se consume en la deformación del amortiguador
de impacto, de tal forma que la energía restante eleva al péndulo a una altura determinada h l ,
como lo muestra la ecuación 6.2. (Moreno, 1999).
A , =mp& (6.2)
De lo anterior se establece que la energía consumida en la deformación del amortiguador de
impacto, será igual a la diferencia de las energías arriba expresadas:
73
Capílirlo 6 Banco y pruebas experimenlales P
Se establece que se debe determinar el trabajo en la máquina midiendo la diferencia de alturas.
Esto sin embargo, resulta casi imposible, por lo que se exige que la máquina ofrezca la
posibilidad de registrar con precisión el ángulo del péndulo antes y después del de la prueba.
El banco experimental para pruebas de impacto está integrado por la máquina de impacto
marca TMI 43-01, con un péndulo Charpy, (ver figura 6.1). Con la caída libre del péndulo se
generan diferentes cargas de choque, modificando la posición del péndulo con respec;o al
amortiguador de impacto. Otra parte importante en el banco de pruebas, es la máquina de
pruebas de impacto marca TM143-01 modelo 52004. Para esta máquina de pruebas de impacto
se aplican las normas ASTM D-256 y ASTM D-1822, para realizar pruebas experimentales
tipo Charpy. Para obtener la cantidad de energía que puede proporcionar el péndulo es
necesario determinar su centro de percusión y masa efectiva, los cuales fueron determinados
por Gaona (2003). Él encontró que el centro de percusión del péndulo está una distancia de
400 mm: a partir de la distancia del eje del soporte donde hace impacto el péndulo con el
amortiguador de impacto. Así el centro de percusión esta dentro el intervalo dado por la norma
ASTM D-256. La capacidad de energía que puede entregar el péndulo del banco de pruebas,
esta limitado por la masa efectiva del péndulo, el cual se determina por la norma ASTM D-
256-92 inciso X.13. Este procedimiento menciona que el péndulo debe ser colocado en
posición horizontal y apoyado por una barra de masa conocida en el punto donde hace impacto
el péndulo. (Ver Figura 6.3), (Gaona, 2003).
L I I
Barra - Báscula
Figura 6.3. Método para determinar masa efectiva del péndulo de Charpy. Gaona (2003)
74
Capiiulo 6 Banco y pruebas experimeniales -
Tal procedimiento dio como resultado que la masa efectiva del péndulo de Charpy sea de
2.366 Kg., De este modo, la energía potencial disponible de la máquina de impacto será:
E,, =W e/ .h=mef . g . h (6.4)
Donde: ,Ep =energía potencial disponible [J] We/ = peso efectivo del péndulo p] h =distancia vertical de caída libre del péndulo al punto de impacto [m]
me/ =masa efectiva del péndulo [kg]
g =aceleración local de la gravedad [m/s2]
Gaona (2003) determinó que la máxima energía de impacto para la cual fue diseñado el
dispositivo de pruebas de impacto, corresponde a una altura de caída libre del péndulo de
20 cm, por lo que la energía máxima que puede entregar el péndulo es:
E,, =me/ . g . h = (2.366kg 9.81 7 (0.2m) = 4.6 Joules 1( 9 6.22- DISPOSITIVO DE MEDICION DEL ÁNGULO DEL PÉNDULO.
Otra adaptación que se realizó al banco de pruebas es la medición del ángulo del péndulo en
forma continua, mediante un potenciómetro. Este dispositivo de medición consiste en una
resistencia lineal fi,ja, sobre la cual se desliza un contacto giratorio, unido con una chaveta al
eje impulsor (ver figura 6.4 y 6.5). El potenciómetro es un transductor de posición angular, de
tipo absoluto y con salida de tipo analógico. Básicamente es una resistencia de hilo bobinado
en una pista de material conductor, distribuida a lo largo de un soporte en forma de arco y un
cursor adherido a un eje de salida que pueda deslizar sobre dicho conductor. El movimiento
del eje arrastra el cursor provocando cambios de resistencia entre éste y los extremos. De esta
forma si se alimentan los extremos con un voltaje constante Vo aparece en la toma de medida
un voltaje proporcional al ángulo girado a partir del origen. Es importante que esta variación
sea lineal como se representa en la figura 6.6. La resistencia o el voltaje medido entre las
terminales 1 y 2 (suponiendo constante el voltaje entre las terminales I y 3) son directamente
75
Capítulo 6 Banco y pruebas experimentales - - -
proporcionales al ángulo A de la figura 6.4, (Avallone, 1995). La calibración y construcción
del medidor de ángulo se presenta en el apéndice B.
Figura 6.4. Potenciómetro
En la figura 6.5, se aprecia el esquema de un potenciómetro.
Figura 6.5- Esquema del potenciómetro
Voltaje
Ángulo
Figura 6.6. Circuito eléctrico del potenciómetro.
76
Capítulo 6 Banco y pruebas experimentales
Las ecuaciones básicas que gobiernan el circuito (Estrada, 1993).
RI RI + R2 V = vo
I 1 +[ I /(I + r)l[AR, I R, + r(AR, I R 2 ) ]
7=1-
Donde: Vo = Voltaje de entrada V = Voltaje de salida RI, R2 = Resistencia del potenciómetro F RiIR2 7= Es un término no lineal, y representa el rango del potenciómetro.
Mediante un acoplamiento se conecta el péndulo del banco de pruebas a un potenciómetro,
con el que se obtiene un voltaje proporcional al desplazamiento angular. Mediante una sencilla
relación lineal se puede obtener la posición angular del péndulo en fufición del tiempu en
grados. (Ver figura 6.7).
Potenciómetro Eje del Péndulo /< Acoplamiento
Figura 6.7-Fotografia del sistema de medición del ángulo del péndulo
77
Capitulo 6 Bancoy pruebas experimentales
6.23- SENSOR DE FUERZA.
Con el fin de conocer la fuerza de impacto originadas por el choque del amortiguador y el
péndulo, se construye una pieza cuya función es la de medir la fuerza. Este sensor de fuerza
basa su funcionamiento en extensómetria eléctrica para poder actuar como traductor de fuerza.
El sensor de fuerza es acondicionado con un puente de Wheatstone completo de cuatro
extensómetros marca Measurements Group. La deformación provocada por esta fuerza hace
que la resistencia del puente cambie y sea medida por un analizador dinámico de espectros
marca Hewlett Packard modelo 3566A, donde se procesan las señales eléctricas en forma
digital y, por medio de una computadora Hewleii Packard 486166 se obtienen la señales de
fuerza de impacto en el tiempo. Un amplificador Measurements Group modelo 2310, al cual
se conecta al sensor de fuerza, envia la señal eléctrica al analizador. La señal generada que se
registra, es una compleja combinación entre el comportamiento del material, efectos de
inercia. Si se tiene en cuenta el reducido volumen de un extensómetro eléctrico y el hecho de
que el mismo se adosa completamente al elemento en estudio, es posible medir deformaciones
no solo con cargas estáticas sino que se puede llegar inclusive a la determinación de fuerzas
bajo cargas de impacto. Los extensómetros eléctricos se pueden utilizar indistintamente a
tensión y a compresión. El diseño y procedimiento de pegado y calibración del sensor de
fuerza se presentan en el apéndice A. En la figura 6.8, se presenta la ubicación de los
extensómentros en el sensor de fuerza. Estos extensómetros son elementos delgados que tiene
una resistencia, que pueden ser pegados en algún componente o estructura. Cuando el
componente se carga, se desarrolla una deformación que es transmitida al extensómetro. La
resistencia del extensómetro cambia proporcionalmente a la deformación inducida por la
carga, y si la carga se mantiene en el rango elástico del extensómetro, el cambio de la
resistencia también será proporcional a la carga (Helfgot, 1979). En el sensor de fueva se
utilizó un puente completo de Wheatstone elaborado con extensómetros de la marca Micro-
Measurements de Measurements Group Inc, de tipo N2A-13-T004R-350.
78
Capiiulo 6
Extensómeiros
Sensor de Fuerza
Péndulo del banco de prueba
Amortiguador de Caucho
Figura 6.8. Fotografia del sensor de fuerza, colocación de los extensómetros.
El puente de Wheatstone es el circuito mas comúnmente utilizado en la extensómetria para
determinar el cambio en la resistencia de los extensómetros de resistencia eléctrica cuando
estos están sujetos a una deformación. El circuito en puente de Wheatstone que se representa
en la figura 6.9 permite medir estas diferencias de potencial y, según cuántas galgas se utilicen
y dónde se conecten, amplificar la señal producida por la deformación para facilitar su lectura.
El puente de Wheatstone está formado por cuatro resistencias unidas en serie o en paralelo, de
las cuales una o varias de ellas son galgas eléctricas o extensómetros, mientras que las
restantes son simples resistencias eléctricas que completan el diseño del puente. La figura 6.9
muestra dos ilustraciones diferentes del puente de Wheatstone que son idénticas
eléctricamente.
?
Y F
Figura 6.9. Circuito general de un puente de Wheatstone.
79
Capiiulo 6 Banco y pruebas experimeniales
Las cuatro ramas del circuito están formadas por las resistencias Ri , R2, R3 y R4. Los puntos 2
y 3 del puente designan las conexiones para el voltaje de excitación del puente (Ve) . La señal
de medida es voltaje de salida del puente (KT), que se obtiene en los puntos I y 4. La
alimentación del puente se puede realizar en corriente continua Ó alterna. El estado de balance
se logra s i e l voltaje Ve se divide en el camino 1,2 y 3 por las resistencias RI y R2 en l a misma
relación que en e l trayecto 2,3 y 4 por las resistencias R3 y b. Entonces los puntos 1 y 4
estarán al mismo potencial. Por ello, si no pasa corriente quiere decir que:
Ahora, s i b se desconoce y R I , Rz, y R3 se conocen, se puede encontrar Rq mediante:
R, Rl
R, = R, - (6.9)
6.2.4- SISTEMA DE ADQUISICION DE DATOS EXPERIMENTALES.
La respuesta del sistema sometido a prueba, fue observada con el uso de sensor de fuerza y el
equipo de adquisición de datos. La selección de estos dispositivos fue ajustada a los criterios
de la prueba y a la disponibilidad del laboratorio de diseño del cenidet.
Se diseñó e instrumentó un sensor de fuerza, para una capacidad de 30.3 kN. La respuesta de
sistema fue obtenido por un amplificador de la serie 2300 marca Vishay Intruments, el cual
consta de diez canales. Para la prueba de impacto se utilizó e l canal 9, el cual amplifica la
señal de los extensómetros colocados en el sensor de fuerza. Por medio de un cable BNC el
amplificador manda la señal a i multiple, y este lo transmite al analizador de espectros
HP3566A el cual trasfiere las señales para poder analizarlas en la computadora marca Hewlett
Packard, modelo Vectra 486DX2. En la figura 6. I O se muestra un esquema de cómo fueron
dispuestos los canales utilizado.
80
Capiiulo 6 Banco y pruebas experimeniales -~
Figura 6.10. Esquema del sistema de medición: (I)-Amplificador de señales de la serie 2300 marca Vishay Intruments, (2)- Medidor de ángulo “Potenciómetro”, (3)- Indicador de posición del péndulo de Charpy, (4)- Sensor de fuerza.
6.2,4.1- CRITERIOS DE EVALUACIÓN DE INCERTIDUMBRE.
Ninguna medición se puede realizar con una exactitud perfecta, pero es importante descubrir
cual es la exactitud real y como se generan los diferentes errores en las mediciones. Un estudio
de los errores es el primer paso al buscar modos para reducirlos con objeto de establecer la
exactitud de los resultados finales. Los errores pueden provenir de diferentes fuentes y por lo
general se clasifican en tres categorías principales (Cooper, 1994):
I . Errores gruesos: son en gran parte de origen humano, como mala lectura de los instrumentos, ajuste incorrecto y aplicación inapropiada, as¡ como equivocaciones en los cálculos.
2. Errores sis/emá/icos: se deben a fallas de los instrumentos, como partes defectuosas o gastadas, y efectos ambientales sobre el equipo del usuario.
3 . Errores uleaiorios: ocurren por causas que no se pueden establecer directamente debido a variaciones aleatorias en los parámetros o en los sistemas de medición.
Durante las pruebas experimentales se presentan errores aleatorios que se deben a causas
desconocidas y ocurren incluso cuando todos los errores sistemáticos se han considerado. Esta
variación no se puede corregir por ningún método de calibración. La única forma para
compensar estos errores es incrementar el número de lecturas y usar medios estadísticos para
obtener la mejor aproximación del valor real de la cantidad medida (Cooper, 1994).
81
Capitulo 6 Banco y pruebas experimrniales
Sin embargo, se han seguido ciertas estrategias para minimizar los efectos de los errores en la
medición. Se midió la deriva del amplificador de la serie 2300 y antes de cada prueba
experimental se dio tiempo a este para calentar y obtener una deriva mínima y constante ( I .5
horas), se verifica que el amplificador de la serie 2300, conectado en el sensor de fuerza, tenga
un valor aproximado a cero cuando este sometido a carga de impacto. Se esperó el tiempo
necesario, después de cada prueba, para alcanzar un estado estacionario en el sistema antes de
comenzar la medición (15 minutos). Las pruebas experimentales se hicieron en una sola
sesión, para cada una de las condiciones establecidas, en caso de que una medición no cumplía
con los requisitos o se dudaba se desecha y se vuelve a realizar, esto garantiza la tendencia de
los resultados. Se realizan I O pruebas de impacto para cada una de las condiciones de ángulo
de caída libre del péndulo (9.7",12.0",14.6",18.0" y 21.9O). Se realizó un análisis estadístico de
los datos de medición los cuales permiten obtener una determinación analítica de la
incertidumbre del resultado final. Se obtiene la media aritmética del número de lecturas
tomadas.
En análisis estadísticos de errores aleatorios, la raíz media cuadrática de las desviaciones o
desviación estándar es de gran ayuda. Por definición, la desviación estándar CT de un número
infinito de datos es la raíz cuadrada de la suma de todas las desviaciones cuadradas
individuales, divididas entre el número de lecturas. La desviación estándar tiene la ventaja de
tener las mismas unidades que la variable, lo que facilita la comparación de magnitudes. La
ley normal de error o gaussiana constituye la base del estudio analítico de los efectos
aleatorios. La curva de la distribución de error se basa en la ley de distribución normal y
representa una distribución simétrica de errores. La cantidad i se llama error probable y se
define como (Cooper, 1994):
r = I 0 . 6 7 4 5 ~ (6. I O)
Este valor es probable en cuanto que hay igual probabilidad de que alguna observación tenga
un error aleatorio no mayor que k r (Cooper, 1994). Si se examina un conjunto de errores
aleatorios con respecto a su valor promedio se encuentra que su frecuencia de ocurrencia con
relación con su tamaño está descrita mediante una curva que se conoce como curva de Gauss
82
Banco y pruebas experimentales Capítulo 6
(ver la figura 6.1 I). Otro error que no se puede evitar son los errores ambientales, condiciones
externas que afectan la operación del dispositivo de medición, como los efectos de cambio de
temperatura, humedad y electrostáticos. Aunque no podemos controlar los efectos del medio
ambiente, se realizaron las pruebas en un periodo de tiempo relati\iamente corto y a
temperatura y humedad ambiente. P::,P,.?:,tlfC:,d <IC> oanrnncia
Figura 6.1 1. Tamaño del error en términos de desviaciones estándar. (Cooper, 1994)
6.3- METODOLOGh DEL EXPERIMENTO.
Una vez planteadas los posibles datos de entrada de la tabla 6.1, se propone la metodología
para el experimento. Las pruebas evalúan la eficiencia del amortiguador de impacto para cada
una de las variables de los datos de entrada. En cada sistema se realizaron una serie de
pruebas, cada prueba a diferente ángulo (9.7",12.0",14.6",18.0" y 21.9"), logrando así variar la
velocidad de impacto, y obtener así la fuerza del impacto, la deformación del amortiguador, el
registro de la energía consumida y el tiempo al cual ocurre el impacto. Esto se logra por medio
del péndulo oscilante de masa M que se deja caer desde una altura h, y golpea al amortiguador de masa m, con una constante de rigidez k y en el punto de contacto es donde se
descarga su energía al amortiguador y se produce el impacto. En la figura 6.12, se presen3 un
esquema general del banco de pruebas de impacto con el equipo necesario para poder llevar
acabo las pruebas de impacto. A continuación se presenta la descripción del funcionamiento y
manejo del banco de pruebas:
83
capiru-6- Banco y pruebas experimrniales
1 - Sujeción y posicionamiento del amortiguador de impacto.
2- Colocar el péndulo en la posición inicial antes del impacto, logrando así el
almacenamiento de la energía potencial.
3- Liberación de la energía potencial. La liberación de la energía potencial se logra al
liberar el péndulo del elemento de sujeción, debe estar colocado de manera que sea de
manejo fácil, rápido y seguro.
4- La transformación de la energía cinética en energía de impacto.
5- La aplicación de la carga de impacto se produce al momento que el péndulo golpea al
amortiguador.
6- Registro de la energía consumida
La metodología que se utilizó para llevar a cabo las pruebas de impacto, fue la siguiente:
1 - Se fija el amortiguador de impacto por medio de un tornillo en la parte posterior sobre
el sensor de fuerza.
2- Se coloca, fija y alinea el dispositivo de sujeción con respecto a la línea de impacto en
la mesa de trabajo de la máquina de prueba Charpy marca TMI, modelo 52004.
3- Se alinea el amortiguador de impacto en el punto de contacto con el péndulo de la
máquina Charpy.
4- Se coloca el péndulo de la máquina Charpy a un ángulo de caída del libre, como
respecto a la vertical de la línea de impacto.
5- Se conecta el sensor de fuerza al canal 9 del amplificador modelo 2310. El procedimiento para el balanceo del sensor de fuerza, se fundamentó con el manual del
usuario (Instruction Manual 2300 system, 1993).
6- Una vez balanceado el sensor de fuerza, se conecta el amplificado modelo 23 1 O ccn un
cable BNC a la salida de 10 VDC al analizador de espectros HP3566A. 7- Se conecta la fuente de poder regulador de voltaje variable al medidor del ángulo del
péndulo (potenciómetro de IOK), y se ajusta el voltaje de salida a 9 Volts.
8- Por medio de un cable de osciloscopio se contacta el medidor del ángulo del péndulo
(potenciómetro de I OK), al analizador de espectros HP3566A.
84
Banco y pruebas experimentales
9- Se conecta la fuente de poder regulador de voltaje variable al circuito electrónico del
foto-transistor y los led infrarrojos, y por medio un cable de osciloscopio se conecta al
analizador de espectros HP3566A.
IO-Se enciende la computadora H P Vectra 486, iniciando el programa 3566A-67. Se
declaran los parámetros de voltaje y la sensibilidad del sensor de fuerza, medidor del
ángulo y la posición del péndulo (circuito electrónico foto-transistor y los led
infrarrojos), también se establecen las unidades de fuerza o\i), ángulo (Deg) y voltaje
(V). Se asigna el canal del medidor del ángulo como el canal de disparo (Trigger).
11- Una vez ubicado y conectado todos los elementos, se libera el péndulo de la máquina
Charpy desde el ángulo de caída libre previamente ajustada.
12- El analizador de espectros procesa las señales eléctricas en forma digital y, por medio
de la computadora HP Vectra 486 se obtiene los gráficos de fuerza, ángulo y posición
del péndulo con respecto al tiempo.
13- Se realizan cinco pruebas para las condiciones de impacto y ángulo de caída libre del
péndulo. El ángulo de caída libre del péndulo con respecto a la vertical del punto de
contacto del amortiguador de impacto son: 9.7",12.0",14.6",18.0" y 21.9" grados. Se
realizaron diez pruebas manteniendo constante el ángulo de caída libre del péndulo,
con el fin de obtener los valores representativos para cada una de las condiciones dadas
e incrementando el ángulo de caída libre hasta llegar al ángulo máximo establecido.
14- Mediante el uso de métodos estadísticos se obtienen los valores representativos de las
pruebas experiméntales.
85
Banco y pruebas experimentales
\ \
, . . . . .. . d . : . . ., : . - . . . . . . ' , .: ' . ' . . ... ~
. . .,,.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ' , . j : <..d $. .
Figura 6.12. Esquema del banco experimental de pruebas de impacto
A continuación se presentan los componentes de la figura 6.12, que integran ai banco
experimental:
I . Máquina de pruebas de impacto, marca T M I 43-01 modelo 52004 con péndulo de Charpy.
2. Amortiguador de impacto tipo elastómero. 3. Sensor de fuerza para 30.3 kN. 4. Base de sujeción del sensor de fuerza. 5. Multímetro marca LG, modelo DM-312. 6. Módulos Amplificadores Modelo 231 O, marca Vishay Intruments. 7. Múltiple. 8. Tabla de posición del péndulo de Charpy (Led infrarrojos). 9. Medidor del ángulo del péndulo de Charpy, Potenciómetro 1 Ok. 1 O. Circuito electrónico (Foto-transistor y Led infrarrojos). 1 1. Fuente de voltaje variable de 120 VAC - 24 VCD. 12. Analizador de espectros HP3566A 13. Computadora marca Hewlett Packard, modelo Vectra 486DX2.
86
Capííulo 6
6.4- RESULTADOS.
Se presentan aquí, los resultados obtenidos durante la parte experimental con ayuda del banco
de prueba, sometidas a diferentes ángulos de caída libre del péndulo de la máquina Charpy.
Los resultados de las pruebas de impacto se obtienen de los gráficos de la fuerza de impacto,
ángulo de impacto y posición del péndulo con respecto al tiempo.
En la figura 6.13, se observa el c6nportamiento. del impacto con respecto al tiempo de
contacto. Esta información indica el impulso experimental de la prueba de impacto, el
coeficiente de restitución y distinguir entre una carga dinámica y una estática.
Fuerza
N
Rcal
-189.5377 mSc Tiempo (mSec) 475.7388 mSec
Figura 6.13. Gráfica de fuerza de impacto.
La figura 6.14, indica la posición del péndulo de la máquina Charpy antes y después del
impacto. Representa la energía inicial, es decir, la que posee el péndulo antes del impacto y la
energía final, después del impacto una porción del traba.jo se consume en la deformación de amortiguador, elevando al péndulo a un ángulo determinado.
87
Banco y pruebas experimerilales Capitulo 6
0 Y:.lliS 2x13 in5c-c lnst %me 2
Y.1 , *l,? -8 0 1 % I>;; Prueba de impacto 15 grados
18
Angulo de caida libre
Real i n
En
-2 -500 mSec 3.5 Sec
Tiempo (See)
Figura 6.14. Gráfica del medidor del ángulo.
figura 6.15, se verifica la posición del péndulo con el medidc d ángulo. Los led infrarrojos que se encuentran a un costado del péndulo (ver apéndice B), mandan una señal
eléctrica la cual es recibida por un foto-transistor, indicando el ángulo exacto que se encuentra
el péndulo.
9 S:- l '~í . .~I25 iliior Y:I4.551X'> l:lc;! lnst %me 2 lnst 'l'imc 5. . . . . Prueba de impacto I5 grados ~~~ .....
14
Posición del péndulo
-6 -500 mSec 3.5 Sec
Tiempo (Seg)
Figura 6.15. Gráfica de la posición del péndulo de la máquina Charpy.
Inst time 5: Posición del péndulo
lnst time 2: Medidor de ángulo
88
.-
Ángulos de caida libre del péndulo (Grados)
9.7' 12.0" 14.6" 18.0" 21.9"
C u p i i u l 0 ~ Bunco y pruebas experimentales
Fuerza del impacto Desviación (N) porcentual %
(N) 280.913 4.238 373.161 3.833 490.746 3.714 582.255 3.456 719.031 1.764
La figura 6.1 6, se presenta los resultados experimentales de las diferentes pruebas de impacto,
variando el ángulo de impacto del péndulo de la máquina Charpy se puede observar un incremento en la fuerza del impacto registrada por el sensor de fuerza.
t Resultados
O 100 200 300 400 500 600 700 800
Fuerza maxima del impacto (N)
Figura 6.16. Resultado experimental de las pruebas impacto, ángulo de caída libre del péndulo contra fuerza máxima del impacto.
89
Banco y pruebas experimenlaies Capítulo 6
del péndulo (Grados)
9.1' 12.0" 14.6' 18.00 21.9'
La figura 6.16, se presenta los resultados experimentales de las diferentes pruebas de impacto,
variando el ángulo de impacto del péndulo de la máquina Charpy se puede observar un
incremento en la fuerza del impacto registrada por el sensor de fuerza.
(N) porcentual (N)
280.913 4.238 373.161 3.833 490.746 3.714 582.255 3.456 7 1 ~ n ? i 1 76.4
O 100 200 300 400 500 600 700 800
Fuerra maxima del impacto (N)
Figura 6.16. Resultado experimental de las pruebas impacto, ángulo de caida libre del péndulo contra fuerza máxima del impacto.
Los resultados de las pruebas experimentales se presentan en las tablas 6.3 y 6.4. Los
resultados de las pruebas experimentales de las figuras 6.13, 6.14 y 6.15, se analizan por
medio de hojas de cálculo (Excel), donde se obtiene la información estadística de la fuerza del
impacto y ángulos del péndulo antes y después del impacto promedio. Se realizaron diez
pruebas manteniendo constante el ángulo de caída libre del péndulo con el fin de obtener los
valores promedio de cada prueba experimental.
Tabla 6.3. Resultados de las fuerzas de impacto para las diferentes ángulos de caida libre del péndulo de la maquina Charpy.
1 Angulos de caida libre I Fuerza del impacto I Desviación I
89
Bunco y pruebas experimenlales
Angulos de &da
libre del
oéndulo
Tabla 6.4. Resultados de los ángulos de caida libre del péndulo antes y después de las pruebas de impacto.
Fuerza de Desviación Fuerza de Desviación Fuerza de Desviación impa,-to (,y) porccntual impacto (N) pnrcentual impacto (N) porcentual
Amortiguador % Amortiguador O/O Amortiguador 0%
A (N) B (N) c (N)
impacto
(Grados) 9.7 14.6 21.9
14.6" I 0.788 1 8.7" I 4.466 18.0" I 4.400 I 12.0" I 4.862 21.90 I 1 7 0 7 I 11.ILo I 1717
280.913 4.238 329.44 2.561 449.27 1.886 490.746 3.714 541.61 1.562 647.16 1.947 719.031 1.764 796.63 2.087 949.9s 1.339
6.4.1. COMPARACIÓN EXPERIMENTAL PARA DIFERENTES AMORTIGUADORES.
La comparación experimental consistió en tomar una muestra de diferentes amortiguadores de
impacto tipo elastómero, disponibles en el mercado con las mismas forma geometiia y
dimensiones del amortiguador de caucho (A) utilizado para la realización de este estudio. El procedimiento del análisis experimental fue el misma planteado en este capítulo, solo que en
esta ocasión solo se tomaron tres diferentes ángulos de caída libre del péndulo de la máquina
Charpy (9.7",14.6" y 21.9"). La muestra experimental consistió en un total de tres
amortiguadores. En la tabla 6.5, se presentan los resultados experimentales de los tres
diferentes amortiguadores. Se observa que existe una diferencia en los resultados de los tres
amortiguadores de caucho, a pesar que evaluados bajo las mismas condiciones de impacto y
que tienen las mismas dimensiones, esta diferencia es debido a que presenta diferentes
propiedades mecánicas debido al método utilizado su fabricación.
90
ljanco y pruebas experimentales Capitulo 6 - La comparación de los resultados de las pruebas de impacto para diferentes amortiguadores se
presenta en la grafica 6.17. La gráfica 6.17, muestra la relación que existe entre difercntes
amortiguadores disponibles en el mercado con la misma geometría, el ángulo de caída libre
del péndulo y la fuerza del impacto. En la gráfica 6.1 8, se aprecia los resultados de la prueba
de impacto del amortiguador B, donde se observa el incremento de la fuerza de impacto para
los ángulos de caída libre del péndulo (9.7",14.6' y 21.9"). con respecto a la duración del
impacto.
(amortiguador A)
(amortiguador B) +Prueba de impacto
--&-Prueba de impacto
O 200 400 600 800 1000 Fuerza maxima de impacto (N)
Figura 6.17. Comparación experimental de los diferentes amortiguadores de impacto.
900 800 - 700
$ 600 500
E 400 a 300 m 200
a L O
-100 -200
.d
everimenta 1 5 O .-
: 100
Tiempo (seg) ~ ~~
Figura 6.18. La grafica. muestra el comportamiento del amortiguador B cuando es sometido a la fuerza del impacto con respecto al tiempo.
91
IMPACTO.
El coeficiente de restitución se obtiene dividiendo la duración del tiempo de contacto r2 - rI ,
en las dos partes. Estos son r , a r y r a rl . Durante el inicio del contacto tl a r , al acercarse
las masas y comprimirse una contra otra sus centros de masa se aproximan. Posteriormente
durante el rebote, r a t2, los centros de masa se separan. Donde el tieinpor es cuando la
velocidad normal relativa es cero, rl es el tiempo inicial de la carga de impacto y r2 es el
tiempo final de la carga de impacto. El impulso normal es dividido en las dos partes
correspondientes, PA impulso normal de aproximación ó deformación y P,, impulso normal
de restitución Ó rebote y se presenta de la siguiente forma, (Brach, 1991).
(6 . I I )
En general, la fuerza F,< que se ejerce durante el periodo de restitución difiere de la fuerza FA
ejercida durante el periodo de deformación y la magnitud sF,<dt de su impulso es menor que
la magnitud del impulso de FA. El cociente de las magnitudes de los impulsos que
corresponden al periodo de restitución y al periodo de deformación, respectivamente, se
denomina coeficiente de restitución. (Beer 1990).
(6.12)
donde FR es la fuerza normal durante el período de restitución y FA es la fuerza normal
durante el período de aproximación.
En la gráfica 6.1 9, se aprecia el impulso de aproximación o deformación, será igual al área
bajo la curva de la gráfica fuerza máxima-tiempo, en el periodo de deformación y se calcula:
92
fl Banco y pruebas experimentales
(G.13)
El impulso de restitución o rebote, será igual al área bajo la curva de la grafica fuerza máxima-
tiempo, en e l periodo de restitución y se calcula:(ver la figura 6.19).
(6.14)
Sustituyendo las ecuaciones 6.13 y 6.14 en la ecuación 6.12. El coeficiente de restitución nos
queda de la siguiente forma:
(6.15)
Para calcular los impulsos de deformación y restitución es necesario obtener los valores de
fuerza máxima-tiempo al inicio de la carga y descarga de la fuerza del impacto.
Finer
Fuerza de impacto (N)
FA FB
Tiempo (Seg) Figura 6.19. Ubicación de los valores fuerza máxima-tiempo de la prueba de impacto
Debido a la selección de los intervalos de captura de datos de las pruebas de impacto, no hay
un punto de medición para el cual la fuerza sea igual a O N, cuando inicia el periodo de
93
Banco y pruebas experimentales Capirtilo 6
Angulos decaída
libre de1
péndulo
deformación y cuando finaliza el periodo de restitución. Mediante interpolación entre los
Duración Desviación Coeficiente Desviación del porcentual de porcentual impacto % restitución % (Son.) (Se&) (e)
puntos A y B cercanos al valor de O N, se obtiene el tiempo para el cual la fuerza de impacto
es igual a cero, correspondiente a O N y t, . De igual forma interpolando en los puntos C y D
cercanos al valor de O N, se obtiene el tiempo para el cual la fuerza es igual a cero,
correspondientes a O N y z2, mientras que la fuerza máxima es F,mm y t,, . De esta forma se
obtienen los datos presentados en la figura 6.20. En la tabla 6.6, se presenta un resumen de los
resultados obtenidos para las diferentes pruebas de impacto donde se aprecian los resultados
de la duración del impacto y del coeficiente de restitución, usando la interfase grafica
VIEWDATA del analizador de espectros HP3566A.
(Grados) 9.7" 12.00 14.6" 18.00 21.90
Fuerza de impacto (N)
n.01~3 0.437 0.8379 0.626 n.o200 1.421 0.~498 2.510 0.0221 0.178 0.8630 0.625 n.o160 1.~28 0.8460 2.440 0.0197 0.364 0.8343 0.534
O
i1 t t?
Tiempo (Seg) Figura 6.20. Simplificación triangular de la prueba de impacto, para determinar el coeficiente de restitución.
Tabla 6.6. Resultados experimentales de la duración del impacto y coeficiente de restitución, para diferentes ángulos de caida libre del péndulo de la máquina Charpy.
94
Ranco y pruebas experimenlales Capírirlo 6 -
64.3. FACTOR DE AMORTIGUAMIENTO DEL TOPE DE CAUCHO.
La figura 6.21. Muestra un modelo físico ocasionalmente usado en modelos de ingeniería de
impacto cuando la energía se disipada a través del efecto viscoelástico. Se dice que un modelo
lineal viscoso no es realista porque la velocidad inicial causa una fuerza viscosa discontinua en
el modelo lineal del amortiguador viscoso (Brach, 1991).
--+-
Figura 6.21. Modelo lineal del amortiguador viscoso (Brach, 1991)
Para encontrar el coeficiente de restitución se utiliza la ecuación 6.16:
e = exp(- ni /R) (6.16)
El coeficiente de restitución edepende exclusivamente solo de las propiedades del sistema, el
factor de amortiguamiento 6 . Este no depende de las velocidades iniciales. Note que si no
hay amortiguamiento (6 = 0)el impacto es completamente elástico, e = I . Para ( 6 = 1 ) y
c = c,, normalmente llamado amortiguamiento critico, e = O . Esto ocurre para
c = c, = 2&, donde k es la constante de rigidez, y m e s la masa efectiva del sistema
(Brach, 1991, Stronge, 2000). En la tabla 6.7, se presenta los valores de factor de
amortiguamiento de diferentes polímeros. De la ecuación 6.16 se despeja el factor de
amortiguamiento:
(6.17)
95
~ a n c o y pruebas experimentales Capitulo 6
Polimero Facior de amoriiguamienío (c 1 e,.)
SBR (Copolymer o f butadiene and styrene) .................. 0.05-0.15 Natural rubber ................................................................ 0.01-0.08 Choloraprene rubber ...................................................... 0.03-0.08 Butyl rubber ................................................................... 0.05-0.50
Tabla 6.7. Valores representativos del factor de amortiguamiento. Harris ( I 961)
De las pruebas experimentales se obtiene la energía consumida en e l impacto de acuerdo con
la ecuación 6.3. La velocidad de impacto es calculada utilizando ecuación 4.9 de l a
conservación de l a energía. A continuación en la tabla 6.8, se presentan los resultados de la
energía consumida en el impacto, velocidad de impacto del péndulo, coeficiente de restitución
y factor de amortiguamiento.
Tabla 6.8. Energía cinética suministrada al sistema, para las diferentes pruebas de impacto de ángulo de caída libre del péndulo de la máquina Charpy.
6.5- CONCLUSIONES
Basándose en los resultados obtenidos en las pruebas experimentales se concluye que: se
observó por medio de las pruebas de impacto el comportamiento de la fuerza del impacto con
respecto al tiempo. Esta información da a conocer los impulsos que experimenta el
amortiguador de impacto, e l cual permite obtener e l coeficiente de restitución y distinguir
entre una carga dinámica y una estática. Se monitoreó el comportamiento del péndulo del
banco de pruebas, antes y después del impacto, esta información permitió calcular la
96
Banco y pruebas experimeniales Capíiiilo 6 -
diferencia en su energía potencial. Esta diferencia es la energía de impacto absorbida durante
la deformación del amortiguador de impacto. Las pruebas realizadas a los tres amortiguadores
de caucho (A, B y C) presentan una diferencia en sus propiedades mecánicas para las mismas
condiciones de impacto. Podemos observar que afecta el método o los ingredientes que se
utilizan para su obtención. Esto se debe a que la fabricación de estos amortiguadores de
caucho se obtiene de forma empírica.
Para las pruebas de impacto se obtuvo en promedio un coeficiente de restitución de 0.8462
entre el amortiguador de impacto y el péndulo. También se obtuvo un factor de
amortiguamiento promedio de <= 0.0532, para las mismas condiciones de impacto. Se
determinó la frecuencia natural del sistema de, impacto (sensor de fuerza y amortiguador de
caucho), se obtuvo una frecuencia natural de 181 Hz cuyo período natural es de 5.506 ms. El período promedio de la duración del impacto es de 1.862 ms (ver la tabla 6.6). La duración del
impacto es relativamente corto comparado con el período natural de los cuerpos en colisión. El
período promedio fue menor 113 del período natural de vibración del sistema de impacto, por
lo que se considera que existe una carga de impacto durante la colisión del péndulo y del
amortiguador. El comportamiento viscoelástico del caucho ayudó a comprender las propiedades de impacto, ya que a muy altas velocidades de deformación, como en una prueba
de impacto, no hay tiempo suficiente para que las cadenas del polímero se deslicen causando
deformación plástica.
97
Capítulo 7 Análiw de lor resuliados -
Capítulo 7 7- ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS.
Z 1 - COMPARACIÓN DE LOS RESULTADOS.
En este capítulo, se presenta la comparación de los resultados obtenidos con el análisis
experimental y la simulación numérica de elemento finito de las pruebas de impacto. La
comparación de los resultados obtenidos en la simulación numérica por elemento finito y las
pruebas experimentales, se dividió en dos partes. En la primera parte, se comparan los valores
numéricos de la distribución de los esfuerzos y desplazamiento en el amortiguador de caucho
con los resultados numéricos. Por ultimo, se comparan los valores del coeficiente de
restitución y se analiza la energía disipada en el impacto.
ZI.I.-DISTRIBUCI~N DE LOS ESFUERZOS EN EL AMORTIGUADOR DE IMPACTO,
La tabla 7.1, muestra la comparación de los resultados de las pruebas experimentales
obtenidos de la ecuaciones (3.18 y 3.19) y la simulación numérica por elemento finito
(ALGOR v.12). En la figura 7.1, se muestra la comparación de los esfuerzos en la zona de
contacto contra ángulo de caída libre del péndulo de los resultados numéricos con los
resultados experimentales.
Tabla 7.1. Comparación de los resultados experimentales y los resultados numéricos (ALGOR v.12).
resultados numericor y
98
Análisis de los resultados Capitulo 7
I
1900000 2100000 2300000 2500000 2700000 2900000
numénca . -B . . Resultados expenmentales
1 Esíuerzosen la zona de coníacb (Nlm"2)
Figura 7.1. En la siguiente gráfica se presenta la comparación de los resultados de la simulación numérica por método del elemento finito (ALGOR v.12) y las pruebas experimentales.
Comparando los resultados que se presentan en la tabla 7.1, se obtiene las siguientes
observaciones y conclusiones:
LOS resultados experimentales para obtener el área de contacto y los esfuerzos en la zona de
contacto son obtenidos en las ecuaciones (3.18 y 3.19) para materiales viscoelásticos, el
comportamiento del caucho utilizado en este estudio muestra una conducta lineal en la curva
esfuerzo-deformación hasta un valor de 5068887.20 N/mZ, (ver apéndice C). Las pruebas de
impacto obtenidas en esta tesis, no alcanzan a llegar al límite de proporcionalidad de la curva
esfuerzo-deformación del caucho, por tanto se pueden comparar los resultados obtenidos
experimentales con la teoría de contacto lineal, tomando en cuenta por supuesto las
condiciones de deformaciones pequeñas y los esfuerzos inferiores al límite de
proporcionalidad de la curva esfuerzo-deformación. Los esfuerzos en la zona de contacto del
amortiguador de caucho del modelo numérico, se aproximan a los resultados experimentales,
para las mismas condiciones de ángulo de caída libre del péndulo. Se demuestra que el resultado del modelo de elementos finitos y el del modelo experimental, se pueden comparar
para las grandes deformaciones que sufre el amortiguador de caucho a causa del impacto.
99
Capirirlo --I- 7
7.1.2- ENERGIA DISIPADA EN LA PRUEBA DE IMPACTO.
La pérdida de energía asociada con el impacto ocurre de muchas formas. La energía puede ser
transferida o disipada como energía de deformación elástica, energía de deformación plástica,
fractura y sonido. Sin embargo, durante el impacto existen pérdidas de energía las cuales
pueden ser en forma de vibraciones, calor, deformación, etc. El trabajo realizado por los
impulsos de la prueba de impacto, es demostrado en las ecuaciones (7. I a 7.4), se relaciona
directamente con los cambios de la energía cinética. El trabajo es igual a la integral del
producto de la fuerza y la velocidad con respecto al tiempo (Brach, 1991).
F, es la fuerza de la componente y Y , es la velocidad de la componente a lo largo de la misma
dirección de la coordenada. Sacado el término v, ( 1 ) de la integrar queda la siguiente ecuación:
2 w, = v, 1, Fr(t)dt = v,P,
Donde Y, es la velocidad promedio en el punto de aplicación del impulso en la dirección del
impulso. Pr es el componente del impulso correspondiente a F,. De la ecuación 7.2, el trabajo
realizado es el producto de la velocidad promedio y el impulso P,; el impulso P, es:
La ecuación 7.4 es comúnmente usada para determinar la energía cinética disipada en una colisión, donde TL = -W*, (TL = energía cinética disipada, W,, = trabajo realizado,
m = mlm2 /(m, + m 2 ) =masa efectiva), (Brach, 1991).
1 2
2 w,, =T,, =--m(i-e2)(v2,,-v,,,) (7.4)
1 O0
Aná1iri.r de los resuliados
Supongamos que el péndulo se deja caer desde una altura inicial h. A continuación se presenta
el procedimiento para obtener las diferentes alturas de los sucesivos rebotes que experimenta
el péndulo en la prueba de impacto. En el primer y segundo rebote, la velocidad del péndulo es
calculada aplicando el principio de conservación de la energía. (Londoño, 2004)
Capitulo 7 - -
1 2
mgh=-mu: uI =J2gh (7.5)
La velocidad del péndulo después del rebote es (Londoño, 2004):
El péndulo del banco de pruebas asciende con una velocidad inicial V I , y alcanza una altura
máxima hl que se calcula aplicando el principio de conservación de la energía. (Londoño,
2004) (ver figura 7.2)
1 2 -mv, =mgh, h, = e 2 h 2
(7.7)
3.5 O 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Curaci6n de la prueba experimental (seg)
Figura 1.1. Altura de caida libre del péndulo respecto a la linea de impacto de la prueba de impacto de IOD grados.
101
Capírtrlo 7 Análisis de los re.wliadas
4_
Sustituyendo los resultados de las pruebas experimentales de las tablas 6.4 y 6.5 en las
ecuaciones 7.8 se obtienen los siguientes resultados de la energía disipada (resultados
experimentales ver la tabla 7.2), el trabajo realizo por la prueba de impacto y velocidad de
impacto. Por medio de la ley de la conservación de energía, se obtiene que la energía potencial
final más la energía disipada es igual a la energía potencial inicial.
Angulos de caida lihre del péndulo
~
Altura de Altura Coeficiente Velocidad Enprgia Energia Energia Porcentaje caida lihre después de de impacto potencial potencial disipada de encrgia
del impacto restitución ( 4 s ) inicial final cn cl disipada péndulo h,(m) (e) Ep,(.l) Ep,(J) impacto ( % )
La tabla 7.3, presenta los resultados obtenidos en la simulación numérica por elemento finito
(Algor v. 12).
Ángulos de caida l ibre del péndulo péndulo h, (m) (mis) (Grados)
9.7" 0.005787 0.3498 12.00 n.oo9n16 0.4371 14.6" 0.013322 0.5238 18.0" 0.n19s80 0.6105 21.9" 0.029499 0.6969
Altura de caida l ibre del Velocidad de impacto
Tabla 7.3. Resultados de la simulación numérica por elemento finito (Algor).
Coeficiente de restitución
(e) 0.8571 0.8461 0.8571 0.8492 0.8461
102
____ Capíiulo 7 Analisi.7 de /os resuliados
_e
Tabla 1.4. Comparación de los resuliados de las pruebas experimentales y de la simulación numérica.
Ángulos de caída lihre del péndulo
(Grado)
12.0" 14.6" 18.00 21.9''
Comparando los resultados que se presentan en la tabla 7.4, se obtiene las siguientes
observaciones y conclusiones: se puede asumir que no hay pérdida de energía hasta el instante
del impacto. Por tanto, la energía potencial almacenada antes del impacto se convertirá en
energía cinética. Como la teoría dice, el coeficiente de restitución esta relacionado con la
energía disipada en el impacto. Con esta relación se logró obtener la energía disipada por el
péndulo después de n rebotes. La obtención de los ángulos de caída libre del péndulo para la
prueba experimental, se hizo con el dispositivo medidor de ángulo presentado en el capítulo 6 ,
con estos datos se determinó la energía disipada en el impacto, la velocidad del péndulo, y el
coeficiente de restitución. En la simulación numérica por elemento finito (ALGOR v.12) la
velocidad del péndulo se obtuvo del visualizador grafico del soflare ALGOR, y ai igual que
en el caso experimental con estos datos se determinó la velocidad del pénaulo, y el coeficiente de restitución. 1
Por ultimo la comparación de los resultados de la simulación numérica por elemento finito y
las pruebas experimentales, mostraron poca desviación porcentual.
103
Capitulo 8 8- CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES.
En este trabajo Se analizó el comportamiento de un amortiguador de impacto tipo elastómero,
sometido a cargas dinámicas, mediante simulación numérica (ALGOR v.12) y pruebas
experimentales. En la parte de la simulación numérica (ALGOR v. 12), se presentó el modelo
discreto de los elementos que integran el amortiguador de impacto, mediante el modelado por
elementos finitos. En la parte experimental se presentó e l diseño y construcción del banco de
pruebas con su sistema de adquisición de datos experimentales para la medición de la fuerza
de impacto provocada por el choque entre el amortiguador y su péndulo. También se presentó
el dispositivo de medición del ángulo del péndulo el cual permite conocer el ángulo de caída
libre del péndulo. Se presentó además el diseño del sensor de medición de la fuerza de
impacto, así como e l banco experimental para determinar las propiedades del módulo de
elasticidad y las constantes de Mooney-Rivlin del caucho. Es necesario mencionar que en este
estudio se obtuvieron, el modelo numérico del amortiguador de impacto, e l diseño del banco
experimental, sus componentes, el sistema de adquisición de datos y la comprobación y
verificación de su aplicación en la medición del problema de impacto.
Con base en los resultados obtenidos mediante la simulación numérica por elemento finito
(ALGOR v.12), se concluyó:
La utilización del programa comercial de elemento finito (ALGOR v.12), confirmó
que es muy versátil y permite obtener información del comportamients del
amortiguador y el péndulo bajo casi cualquier condición. Permite resolver problemas
en estado estable o dependiente del tiempo, lineal o no lineal.
La principal limitación del método del elemento finito radica en la precisión de los
resultados ya que depende de la densidad de elementos utilizados. Cualquier región
con alta concentración de esfuerzos debe ser cuidadosamente analizada mediante un
mallado suficientemente fino para obtener resultados confiables.
104
-- Capitulo 8
El modelo uttilizado mostró tener buen comportamiento en la simulación numérica, y
es de gran ayuda para conocer la distribución de los esfuerzos en el amortiguador de
impacto.
El método del elemento finito ha demostrado ser una buena herramienta en el análisis
de los componentes de elastómeros, que es un material no lineal. Los resultados en los
estudios con elemento finito permiten predecir la respuesta dinámica del caucho.
Para el modelo de Mooney-Rivlin utilizado en la simulación numérica se obtuvieron
dos constantes (ver el apéndice C).
Con los resultados obtenidos en las pruebas experimentales se concluyó que:
Las pruebas experimentales realizadas mostraron un buen comportamiento del banco experimental, de su sistema de adquisición de datos experimentales, sensor de fuerza y
el dispositivo de medición del ángulo del péndulo.
El banco experimental presentado en esta tesis es un diseño universal con posibilidad de muchas aplicaciones en estudio de problemas de impacto.
La prueba de impacto proporcionó información del comportamiento del impacto con
respecto al tiempo. Esta información nos permitió determinar la fuerza máxima, la
duración del impacto, coeficiente de restitución, factor de amortiguamiento y la
energía consumida en el impacto.
La fuerza del impacto es proporcional al ángulo de caída libre del péndulo del banco
de pruebas. Se experimentó con diferentes durezas del caucho y se analizó su comportamiento. Se
observó que presenta diferencias en sus propiedades mecánicas para las mismas
condiciones de impacto. Esto se debe a que la fabricación de estos amortiguadores de cauchos se obtiene de forma empírica. Se calculó el coeficiente de restitución del primer impacto entre amortiguador de
impacto y el péndulo, para diferentes condiciones de ángulo de caída libre del péndulo.
De acuerdo a estos resultados, el coeficiente de restitución se mantuvo con un valor
promedio de e = 0.8462 para las condiciones antes mencionadas.
105
Capitulo 8 Conclusiones y Recomendaciones -
El amortiguador de impacto de material elastómero disminuye el coeficiente de restitución. Esto se debe a que el caucho puede absorber mayores cambios de volumen
y por consiguiente mayor energía durante el impacto.
Se calculó el factor de amortiguamiento del amortiguador de impacto, para diferentes
condiciones de ángulo de caída libre del péndulo. Se observo que el factor de
amortiguamiento de mantuvo un valor promedio de <= 0.0532 para las mismas
condiciones de impacto.
A continuación se presenta las aportaciones de este estudio al cenidet, las cuales fueron las
siguientes:
I. Se logró un método de simulación del comportamiento del amortiguador de impacto
elastómero mediante el cálculo por elemento finito, de tal forma que se puede conocer
la respuesta carga-desplazamiento que posee una determinada geometría sin necesidad
de tener un prototipo fisico.
2. Se desarrolló una metodología para el análisis de amortiguadores de impacto utilizando
el método del elemento finito y pruebas experimentales.
3. Se caracterizó el comportamiento mecánico del caucho, desarrollado por el modelo
teórico de Mooney- Rivlin.
4. Se diseñó y construyó los bancos de pruebas para la realización de pruebas de impacto,
prueba para determinar la sensibilidad del sensor de fuerza (ver apéndice A) y prueba
para determinar las propiedades del caucho y constantes de Mooney-Rivlin (ver
apéndice C). El banco de pruebas de impacto utilizado tiene la capacidad de indicar la
posición en la que se encuentra el péndulo y medir la energía producida antes y
después del impacto.
5. Se diseñaron, fabricaron y calibraron los siguientes componentes utilizados en el banco experimental: un sensor de fuerza de 30.3 kN basado en extensóinetria eléctrica (ver
apéndice A), y un medidor y posicionador de ángulo del péndulo de la máquina
Charpy (ver apéndice B).
106
Capitih 8
A continuación se presentan las aplicaciones de este estudio sobre amortiguadores de material
elastómero.
Aislamiento sismico.
Aislamiento de vibración.
Aislamiento de ruido.
Suspensión automotriz.
Defensas de vehículos.
Etc.
Suspensiones de motores eléctricos con arreglos de flexibilidades.
Limitadores de piezas en movimiento.
Recomendaciones para trabajos futuros:
I . Se sugiere cambiar la geometría del amortiguador de impacto cónico por un
amortiguador de impacto con superficie plana, para evaluar el comportamiento del
contacto plano en el impacto.
2. Se sugiere utilizar otros modelos teóricos para caracterizar el comportamiento del
caucho. Por ejemplo el modelo de Ogden representa un mejor a.juste de las ecuaciones
constitutivas del material, dicho modelo es aplicable para cualquier tipo de dureza y
cualquier grado de deformación, aunque esto no descarta que en ciertas ocasiones se
puedan utilizar otros modelos.
3. Se propone utilizar un medidor de ángulo comercial ó rediseñar el medidor de ángulo
propuesto en esta tesis.
4. Se recomienda diseñar diferentes sistemas de sujeción del sensor de fuerza, para probar
experimentalmente otros amortiguadores de impacto de diferente geometría. 5. Se recomienda desarrollar un programa para predecir la fuerza del impacto en este tipo
de materiales viscoelásticos, y también que incluya las condiciones de temperatura, ya
que esta condición afecta en gran medida el funcionamiento optimo del caucho.
107
Capíiulo 8 Conclusiones y Recomendaciones ___I
6 . Se recomienda promover el 'banco de pruebas a la industria cuyo propósito sea la
verificación y calibración de amortiguadores de impacto.
La comparación de los datos obtenidos del análisis por elemento finito con los resultados
experimentales, se muestra que los porcentajes de desviación porcentual son relativamente
pequeños, lo que indica una buena consistencia entre los dos métodos utilizados. Entre las
ventajas de utilizar la simulación numérica, es el hecho de que en un momento dado se puede
reemplazar una prueba real por la simulación, reduciendo costos en uso de equipos y
materiales en el laboratorio.
IO8
Conclusiones y Recomendaciones Cnpiiulo 8 I -
6. Se recomienda promover el banco de pruebas a la industria cuyo propósito sea la
verificación y calibración de amortiguadores de impacto.
La comparación de los datos obtenidos del análisis por elemento finito con los resultados
experimentales, se muestra que los porcentajes de desviación porcentual son relativamente
pequeños, lo que indica una buena consistencia entre los dos métodos utilizados. Entre las
ventajas de utilizar la simulación numérica, es el hecho de que en un momento dado se puede
reemplazar una prueba real por la simulación, reduciendo costos en uso de equipos y
materiales en el laboratorio.
108
Apéndice A
Apéndice A
A- DISENO Y CONSTRUCCI~N DEL SENSOR DE FUERZA. A.1- DISENO DEL SENSOR DE IMPACTO.
A continuación se presenta el diseño del sensor de fuerza. El material que fue utilizado para la
construcción del sensor es aluminio 6061, con un esfuerzo de fluencia de u,,= 240 MPa y un
módulo de elasticidad de E = 70 GPa (Shigley, 1990). Considerando el caso en el que uno de
los extremos del sensor esta fijo y el extremo libre esta sometida a una carga dinámica, ver
figura A . l , en la figura A.2, se presenta el modelo discreto por elemento finito del sensor de
fuerza.
Base
Fuerza -t-- dinámica
Sensor de fuerza
Figura A.I. Sensor de fuerza.
K2 K3
Fdui 2 4 1
Figura A.2. Modelo discreto del sensor de fuerza
109
-------- ~- . . . ~.. ~~
Apéndice A -- Por lo que el primer paso fue determinar la carga de impacto máxima a la cual puede estar
sometido el sensor. El peso del péndulo es de 23.2 N y la altura de caída libre del péndulo de
0.05 (altura mínima de las pruebas de impacto). Las dimensiones del sensor de fuerza, se
presentan en el apéndice D.
Datos: Sensor de fuerza de Aluminio 6061: E = 70 GPa (Modulo de Elasticidad) L = 84 mm = 0.084 m (Longitud) D = 40 mm = 0.04 m (Diámetro exterior) d = 9.52 mm = 0.00952 in (D. Interno) d i = 25 mm = 0.025 (Diámetro medio) h = 50 mm =0.05m (altura)
Se determinan las constante de rigidez total del sensor de fuerza. Determinar constante de
rigidez Ki y área Ai
n ( D ’ - d * ) - ~(0.019’ -0.00952’) =2,,23x10-4m2 - 4 A, =
4
9N K’=d= 0.012 m
= 1.238~10 - AE 2.123~1 04(70xl 0’)
Determinar constante de rigidez K2 y Az.
nD’ - ~ ( 0 . 0 2 5 ’ -0.009522) = 4 , 9 0 1 6 x 1 0 - 4 m 2
4 A, = T -
A,E 4 . 9 0 1 6 ~ 1 0 ~ ( 7 0 ~ I 0 ~ ) = 6 8 6 , 2 2 x l o 6 - N - - 0.050 m K , =- L’
Determinar constante de rigidez K3 y A3.
Z(D’ - d 2 ) - n(0.0402 -0.00952’) =1~1854x10-3mz - 4 4 A, =
(A-3)
(A-4)
(A-5)
I I O
Apéndice A I_ ___p
= W [ I + F) I +- ~ 2 3 . 2 1 [ I + ,/m)=30310.40N I + se,, 53726x1 O-* (A-IO)
Aplicando el método de elemento finito se puede determinar las microdeformaciones en el
lugar donde se pegaran los extensómetros. Basándose en la figura A.2, las condiciones de
frontera son las siguientes:
C = O , F2=0, Fj=O, F4= 30310.40 N, K/= 1 . 2 3 8 ~ 1 0 ~ N/m, K2= 6 8 6 . 2 2 ~ 1 0 ~ N/m,
Kj= 3.77~1 O9 N/rn
La matriz global del cisterna es:
- Kl O O
- K , K , + K , O O - K ,
(A- I I )
Sustituyendo los valores y resolviendo el sistema de ecuaciones:
1.238~1 O’ - 1.238~1 O’ O O Fl -3.;xiO’][]
- 1.238~1 O’ 1.924~1 O’ - 686 .22~10~ O - 686.22~1 O6 4 .45622~10~
\30:0.4j = I O O -3.77 3.77~10’
LOS desplazamientos y deformaciones obtenidos son:
UI = o El = o
u, = 6.869~1 O-’m LZ uZ = 2.4499~10-~m ‘2 2’4499x10-’ 2 , 0 4 0 ~ ~ 0 ~ ~ = 2040p(~
€2 =- = o,o12
€3 =- = o,o62 ‘3 6’869x10-5 = 1 , I 07x1 O-3 = 1 I07p1~ uq = 7.673~1 O-’m L3
Apéndice A
Para determinar las microdeformaciones en el lugar donde son colocados los extensómetros
se hace una interpelación con los valores presentados en la figura A.3.
0 4 1 O 8 16 24 '32 40 40 56 64 72 80
Longitud del sensor de impacto (mm)
Figura A.3. Gráfica de longitud del sensor contra desplazamiento
Los extensómetros estarán colocados a una distancia de 37 mm, con respecto al origen, las
deformaciones que se obtienen en ese punto son: A una distancia de 37 mm del sensor de
fuerza se encontró un desplazamiento de u,= 4 .815~10-~ m por lo que la microdeformacion
en ese punto del sensor de fuerza es:
(A-12)
De esta forma, las microdeformaciones calculadas en el lugar donde se ubican los extensómetros, están dentro del intervalo sugerido por Measurement group (1988): por Iú que
se consideró aceptable el diseño del sensor de fuerza.
1 I3
Apdndice A
A.3- SENSOR DE FUERZA BASADO EN EXTENSOMETRh
El sensor de fuerza, se bas0 en extensómetria eléctrica. El sensor es un elemento flexible de
aluminio, ver figura A.4.
T S e n s o r de Impacto
Figura A.4. Ubicación de los extensómetros en el sensor de impacto
Se utilizaron extensómetros de la marca Micro-Measurements de Measurements Group Inc.,
comercializada en México por Micromedidas S.A. de tipo N2A-I 3-T004R-350. La conexión
es de puente completo como lo indica la figura AS. Los extensómetros marcados con T, son
sometidos a tensión y los extensómetros marcados con C son sometidos a compresión.
Figura AS. Diasrama de conexiones del puente de extensómetros.
I I4
Apéndice A
Cubierta protectora
Ejes de referencia
Figura A.6. Esquema de un extensómetro típico utilizado para la medición de deformaciones
El esquema de un extensómetro es most’rado en la figura A.6. El extensómetro está constituido
básicamente por un conductor que forma una rejilla, esta se forma por laminillas impresas de
un material el cual tiene un espesdr de 0.0025 a 0.0005 mm aproximadamente. El
extensómetro debe tener pequeñas terminales, las cuales sobresalen al encapsulamiento. En
ocasiones las terminales son placas de cobre o tienen terminales integradas de cobre de
circuitos impresos incorporados, para hacer el pegado de las terminales más convenienta. El
alambre usado en el extensómetro debe ser muy fino o delgado de tal forma tenga una
resistencia eléctrica alta, (Estrada, 1993). El pegado de extensómetros en el sensor de fuerza,
se realizó de acuerdo al procedimiento y técnica de instalación presentado en el boletin de
instrucciones “Instruction Bulletin B-I 27-14” de Measurement Group, Vishay. La soldadura
de las terminales de los extensómetros se realizó de acuerdo al procedimiento de soldadura
presentado en el boletín de instrucciones “Tech Tip TT-609” de Measurement Group, Vishay.
A.4- DETERMINAR LA SENSIBILIDAD DEL SENSOR DE FUERZA BASADO EN
EXTENS~METRIA.
Para determinar la sensibilidad del sensor de fuerza basado en extensometría se utilizó un
mecanismo basado en una viga empotrada en uno de sus extremos como lo indica la
figura A.7, y en el extremo contrario el sensor de fuerza el cual cumple la función de generar 115
una fuerza de reacción a un movimiento vertical producido por la máquina fresa copiadora.
Para determinar la sensibilidad del sensor de fuerza se utilizaron los siguientes instrumentos
de medición y materiales:
Módulo amplificador modelo 2310, marca Vishay Intruments. Multímetro digital marca LG modelo DM-3 12 Viga de acero de 6.35 x I .5 cm
Dos bases magnéticas Dos indicadores de carátula, marca Mitutoyo
Fresadora copiadora como banco de pruebas.
Figura A.7. Sistema de medición, para determinar la sensibilidad del sensor de impacto basado en extensómetria. (I)-Sensor de fuerza, (2)-Viga de acero, (3) y (il)-lndicadores de carátula, ( 5 ) - Bases magnéticas, (6)- Amplificador modelo 2310, (7)- Multimetro digital.
A continuación se presenta el procedimiento de calibración de la sensibilidad del sensor de
fuerza.
Se fija el sensor de fuerza ( I ) a la mesa deslizante de la fresa copiadora, como se
muestra e n la figura A.6. La mesa deslizante solamente se de5plaza en direrción
vertical.
Se fija la viga en empotramiento (2) a la mesa deslizante de la fresa copiadora,
manteniendo fija esta mesa.
116
Apéndice A - Se fijan las bases magnéticas (5) sobre la mesa fija de la fresa copiadora. En los extremos libre de la extensión de la base magnética se fijan los indicadores de carátula.
Un indicador de carátula es colocado en la parte final de la viga (3) y el otro indicador
en la mitad de la viga (4).
Se conecta el sensor de impacto al canal 9 del modulo amplificador de señal modelo 23 I O (6) y se ajusto el voltaje de excitación a 1 O Volts con una ganancia de 1000.
Se conecta el multimetro (7) al canal de salida del modulo amplificador, para registrar
los voltajes de salida en funciónde la fuerza de compresión.
Se ajustan las carátulas del indicador a cero, hasta hacer contacto con el sensor de
fuerza. Realizando todas las conexiones, se empieza a mover la placa deslizante de la fresa
copiadora y se van registrado las señales de voltaje y desplazamientos obtenidos con el
multímetro e indicador de carátula.
Se realizan seis pruebas con las ,mismas condiciones. La grafica A.2, se Presenta la
curva de sensibilidad promedio, para las condiciones antes mencionadas.
.
Para determinar la fuerza aplicada al sensor de fuerza, producida por la flexión de la viga se da
una explicación detallada: se dice que una'estructura o elemento mecánico es rígido cuando no
se deforma, flexiona o tuerce demasiado, al aplicársele exteriormente una fuerza' un momento
flexionante o una torsión. Pero si el desplazamiento debido a la perturbación externa es
grande, entonces se dice el elemento es flexible. Un método llamado teorema de Castigliano
ofrece un procedimiento de análisis de la deflexión fuera de lo común, poderoso y, a menudo,
sorprendentemente simple, El teorema de Castigliano expresa que cuando actúan fuerzas sobre
sistemas elásticos sujetos a pequeños desplazamientos, el desplazamiento corresponde a una
de ellas, colineal con la fuerza, es igual a la derivada parcial de la energía de deformación total
con respecto a esa fuerza. El teorema de Castigliano se expresa en forma matemática como,
Shigley (1990).
au ' aF; 6.=- (A-12)
I I7
- Apéndice A
Donde 6, es el desplazamiento del punto de aplicación de la fuerza e , en la dirección de esta.
Para el caso de una viga en voladizo la deflexión puede ser determinada por la ecuación:
(Shigley, 1990).
FI - Y,, -- 3EI (A- 13)
Donde: 8 4 I = Momento de inercia = 1.7859 x 10- m
1 = Longitud de la viga = 0.20 m , h = altura de la viga = 0.01 5 m 1
b = Base de la viga = 0.0635 m
y,,,, = Deflexión máxima (m)
E = Modulo de elasticidad = 207 GPa
F = Fuerza (N)
Despejando la fuerza F, de la ecuación ' A-13, del teorema de Castigliano nos queda de la
siguiente forma:
(A-14)
VISTA FRONTAL VISTA LATERAL
Figura A.8. Esquema de la viga en voladizo, con una fuerza en el extremo, la figura muestra la deflexion de la viga en voladizo.
En la tabla A. l , se presenta los resultados de la prueba para determinar la sensibilidad del sensor de fuerza.
1 I8
a U a -0.5 3 -
-1 ’- 9 z 2 -1.5 P = E m .- a a -2
E -2.5 a In
O
a O L
-3 J ~~ 1 . L . ~ .......... ,_ I...: ..... ......... I . . . . .
Fuerza normal (N)
-promedio de las
Figura A.9. Calibración experimental del sensor de impacto basado en extenrómetria
Basándose en la figura A.9, de la zona lineal se obtiene la sensibilidad del sensor de fuerza
basado en extensometria: -0.0002 V N . La ecuación de la recta es: -0.0002X - 0.0276, se
obtiene la sensibilidad (-0.0002 VN) , y el valor de Buckout que es de -0.0276 V. Este valor se
declara en la ventana de los parámetros de ajuste de sensibilidad del programa del analizador
de espectros.
1 I9
Apéndice B
B. DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DEL MEDIDOR DEL A'NGULO
DE IMPACTO. B.I- CIRCUITO ELECTRONICO PARA DETERMINAR EL ÁNGULO DE IMPACTO
DEL PÉNDULO.
El circuito electrónico utilizado esta conformado por un foto-transistor, el cual se encuentra
colocado sobre el péndulo y recibe la señal de un led infrarrojo, que se localiza en una placa
colocada a un constado del péndulo de la máquina de impacto ver la figura B.1.
Figura B.l. Esquema del foto-transistor y led-infraFojos, localizados en el péndulo de la máquina de impacto Charpy.
La resistencia Ri (70 m), ajusta la sensibilidad del foto-transistor y las resistencias R2, R3,
R4, R5, R6, R7, R8 (2 ksL) sólo tienen la función de disminuir la corriente en los led
infrarrojos. La resistencia R9 (8 kQ) , ajusta la señal baja a cero, un mayor valor en esta
resistencia aproxima más la señal bajo cero. Pero si es demasiada suprime la señal aita. El potenciómetro PI ( I O m), es un divisor de,voltaje y tiene el propósito de ajustar el umbral
120
Apéndice 8
indicado en la terminal 3 del comparador de voltaje. El circuito integrado LM311P es un
comparador de voltaje, manda una señal escalón cada ocasión que el voltaje de la terminal se
aproxima al de la terminal 3. Este circuito se baso en el empleado por Martinez (i999), con
algunas modificaciones. El circuito electrónico del foto-transistor y los led infrarrojos es
acopla al analizador HP3566A, y es indicado en la figura B.2.
I
Figura 8.2. Circuito electrónico, utilizado para determinar la posición del péndulo para un determinado ángulo.
121
Se puede apreciar en la figura B.4, el voltaje de salida del potenciómetro con respecto a la
altura del péndulo de la máquina Charpy, la altura es con respecto a la línea de impacto entre
el amortiguador de caucho y el péndulo. En la figura B.3, se presenta la ubicación del medidor
de ángulo, el cual esta formado por, un potenciómetro y un acoplado el cual conecta el
potenciómetro con el péndulo. I
O 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
I 1 Voltaje de salida (V) I
Figura 6.4. La gráfica muestra la altura del péndulo con respecto a la línea de impacto contra el voltaje de salida del potenciómetro.
B.3- RELACIÓN DE VOLTAJE YÁNGULO DEL POTENCIOMETRO.
La relación de voltaje y ángulo del potenciómetro de forma numérica. es determinado por el
ángulo de acuerdo con el voltaje de entrada y de salida: Ames Rally (1991).
Datos: V =
Vo = Volta.je de entrada a = Angulo de salida
ao= Angulo total = 300"(rados)
Voltaje de salida = 9 V
1 I Voltaje de salida del potenciómetro:
123
-e v =
Angulo de salida. I
B.4- CALIBRACIÓN EXPERIMENTAL DEL MEDIDOR DE ANGULO.
I24
Apéndice A
~ 0.7
0.6
% 0.5 0 2 0.4
0.3
-
al
O
.- 9 0.2 ’ 0.1
l o O 5 10 15 20 25
Angulo de caida del pendulo (Deg)
-Lineal (Seriel)
Figura B.5. Calibración experimental del potenciómetro
Basándose en la figura B.2, de la zona lineal se obtiene la sensibilidad del potenciómetro,
medidor del ángulo: 0.029371 V/Grados. De la ecuación de la recta Grados = 0.029371 X. Este
valor se declara en la ventana de los parámetros de ajuste de sensibilidad del programa del
analizador de espectros.
125
Apéndice B
O 5 10 15 20 25
Angulo de caida del pendulo (Deg) I
Figura B.5. Calibración experimental del potenciómetro
Basándose en la figura B.2, de la zona lineal se obtiene la sensibilidad del potenciómetro,
medidor del ángulo: 0.029371 V/Grados. De la ecuación de la recta Grados = 0.029371X. Este
valor se declara en la ventana de los parámetros de ajuste de sensibilidad del programa del
analizador de espectros.
125
Apéndice C -
Apéndice C
c . DETERMINACI~N EL MÓDULO DE ELASTICIDAD Y
R E L A C I ~ N DE POISSON DEL CAUCHO Y CONSTANTES DE
MOONEY RÍVLIN.
c.1- MODULO DE ELASTICIDAD Y R E L A C I ~ N DE POISSON.
Existen muchas técnicas experimentales que se pueden emplear para medir la deformación.
Por consiguiente, si se sabe qué relación hay entre el esfuerzo y la deformación, es posible
calcular el estado de esfuerzo en un punto, después de medir el estado de deformación,
(Shigley, 1990). El grado de elongación recibe el nombre de deformación, y se define como el
alargamiento producido por unidad de longitud original del tope de caucho. La elongación
total se llama deformación total.
6 I
E = -
Donde 6 es el elongación total (deformación total) del tope de caucho de longitud original 1.
La elasticidad es la propiedad por la que un material puede recobrar su forma y dimensiones
originales cuando se anula la carga que lo deformaba. La ley de Hooke establece que, dentro
de ciertos limites, el esfuerzo en un material es directamente proporcional a la deformación
que lo produce. Para la condición de que el esfuerzo sea proporcional a la deformación, se
puede escribir la relación:
Donde la constante E se llama módulo de elasticidad (longitudinal). y o es el esfuerzo. Los
experimentos muestran que, cuando un cuerpo se somete a tensión o compresión, no solo se le producirá una deformación axial (alargamiento), sino también lateral (estrechamiento).
126
Apéndice C - Poisson demostró que estas dos deformaciones son proporcionales entre sí, dentro de los
límites de la ley de Hooke. Esta constante se expresa como.
u =-6, I E, (C-3)
Y se conoce por la relación de Poisson. Estas mismas relaciones se verifican para la
compresión pero en este caso se produce una deformación lateral de ensanchamiento.
(Shigley, 1990). Estas tres constates elásticas están relacionadas entre sí como sigue: donde G es el modulo de rigidez.
E = 2G(1 +U) (C-4)
C.2-RESISTENCIA A LA COMPRESI&.
La resistencia a la compresión es la fuerza necesaria para aplastar un material, y se define
mediante la siguiente expresión: r r A <r=- (C-5)
La resistencia a la compresión se puede calcular dividiendo la fuerza de compresión (F)
máxima en Newton por el área del material (A) en metros cuadrados; así, el resultado se
obtiene en pascales. La resistencia a la compresión, o capacidad de una muestra para resistir
cargas de aplastamiento, se mide aplastando una muestra cilíndrica segun la norma ASTM-
D695. La resistencia a la compresión máxima es igual a la carga que causa rotura del material
dividida por la sección transversal mínima. Puesto que hay muchos materiales que no se rompen en compresión, se registran normalmente las resistencias que cawan una deformsción
determinada, (Raimond, 1998)
127
Apéndice C -- C.3- CONSTANTES DE MOONEY- RWLIN.
Con la prueba de compresión se pueden determinar las propiedades del caucho, así como las
constantes de Mooney-Rivlin. El modelo matemático es expresado como:
u = 2(C, + c, / A ) ( & I//?)
donde:
a = & + i
Por medio del diagrama esfuerzo deformación se pueden obtener las constantes de Mooney-
Rivlin C I y CZ. La ecuación (C-6) puede manipularse para tomar la forma siguiente.
0 = C , L + c,
Que es análogo a una expresión lineal de la forma:
Donde m es la pendiente, que corresponde a la segunda constante de Mooney-Rivlin C2; y b es
la intercepción d e y que corresponde a la primera constante de Mooney-Rivlin CI . En la
grafica el valor de A;' le corresponde la abscisa (x) y el valor de 7e11 le corresponde
la ordenada (y). (Lee, 1996).
128
Apéndice C - ~
C.4- PROCEDIMIENTO DE LAS PRUEBAS.
Para la realización de esta prueba se utilizó el siguiente material e instrumento de medición:
Cuatro bases magnéticas
o
Modulo amplificador modelo 2310, marca Vishay Intruments.
Multímetro digital marca LG modelo DM-3 12
Viga de acero de 20.5 x 1.9 cm.
Cuatro indicadores de carátula, marca Mitutoyo
Fresadora copiadora como banco de pruebas
Figura C.1. Esquema general del banco de pruebas para determinar el modulo de elasticidad y las constantes de Mooney-Rivlin C, y Ci. Componentes: ( I ) - Sensor de fuerza, @)-viga de acero de (20.5 x 1.9) cni. y 12 cm. de longitud, (3,4, 5,6)- lndicadores de carátula, (7)- Multímetro digital, (8)- Probeta de caucho. (9)- Amplificador modelo 2310 y (10)- Base magnéticas.
A continuación se presenta el procedimiento de las pruebas para encontrar el modulo de
elasticidad, relación de Poisson y las constantes de Mooney-Rivlin (Ci y C2):
Se fija el sensor de fuerza ( I ) a la mesa deslizante de la fresa copiadora, como se
muestra en la figura C.I. La mesa deslizante solamente se desplaza en dirección
vertical.
129
Apéndice C ~ -
.
o
Se coloca la probeta de caucho (8) entre el sensor de fuerza (1) y la viga en voladizo,
para garantizar una compresión cuando la mesa deslizante se desplace en forma
vertical.
Se fija la viga en empotramiento (2) a la mesa deslizante de la fresa copiadora,
manteniendo fija esta mesa.
Se fija una de las bases magnéticas (10) sobre la mesa fija de la fresa copiadora, y en el
extremo de la viga se coloca el indicador de carátula, la otra base magnética es fijada
sobre la mesa fija y el indicador de carátula es colocado sobre la mesa deslizante que
se desplaza en dirección vertical ver figura C. I .
Se conecta el sensor de fuerza al canal 9 del modulo amplificador de señal modelo
23 I O (6) y se ajusto el voltaje de excitación a 1 O Volts con una ganancia de 1000.
Se conecta el multímetro (7) al canal de salida del modulo amplificador, para registrar
los voltajes de salida en función de la fuerza de compresión.
Se ajustan las carátulas del indicador a cero, hasta hacer contacto con el sensor de
fuerza.
Se coloca un indicador de carátula (3) encima de la viga empotrada, donde se mide la
deflexión de la viga a causa de la fuerza de reacción provocada por el sensor de fuerza.
Se coloca un indicador de carátula (4) sobre la mesa deslizante el cual indica el
desplazamiento vertical del caucho al ser comprimida entre el sensor de fuerza y la
viga empotrada.
Los indicadores de carátulas (5 y 6) son colocados a 90" uno respecto a otro, x tos
indicadores tienen la función de medir los desplazamientos horizontales del caucho.
Realizando todas las conexiones, se empieza a mover la placa deslizante de la fresa
copiadora y se van registrado las señales de voltaje y desplazamientos obtenidos con el
multímetro e indicador de carátula.
Se realizan seis pruebas con las mismas condiciones.
I30
Apéndice C L
Figura C.2. Banco de pruebas utilizado para determinar las propiedades del caucho.
C.5- RESULTADOS DE LAS PRUEBAS DE COMPRESíÓN
Los ensayos de compresión unixial se realizan como indica la norma de ensayo de elastómero
a compresión. Para ello se toman probetas de 12.5 mm de espesor y 29 mm de diámetro (ver la
figura C.3). Esta prueba experimental se utiliza una probeta de caucho con rango de dureza de
55 y 70 Sh A, en el que se encuentran comprendidas las diferentes piezas de caucho que posee
el conjunto amortiguador de un vehículo (Robotiker, 2002). En la tabla C.1, se presentan los
resultados experimentales de las pruebas de compresión del caucho.
Probeta de caucho
Figura C.3. Probetas de caucho dimensiones en milimetros
131
Apéndice C
a-’ Deformación(&) Esfueno ( O ) Elongación ( 1) Vertical ( a = F I A ) (1 = & + I ) i m W
Tabla C.1. Resultados de la prueba de compresión del caucho
O/[2(a-,r2)]
Sustituyendo los datos obtenidos en la tabla C.1 en las ecuaciones C.1, C5, C7 y C8, se
obtienen los valores de deformación, esfuerzo y alargamiento principal ver la tabla C.2.
Tabla C.Z. Resultado de la prueba de compresión, en la cual se obtienen los siguientes resultados,
En la figura C.4, se muestra la curva esfuerzo-deformación de la prueba de compresión de la
probeta de caucho y en la figura C.5, se aprecia la curva de fuerza-desplazamiento para la
prueba de compresión.
132
Apéndice C - - ~
Tabla C.1. Resultados de la prueba de compresión del caucho.
Sustituyendo los datos obtenidos en la tabla C.1 en las ecuaciones C.1, C5, C7 y CS, se
obtienen los valores de deformación, esfuerzo y alargamiento principal ver la tabla C.2.
Tabla C.2. Resultado de la prueba de compresión, en la cual se obtienen los siguientes resultados
En la figura C.4, se muestra la curva esfuerzo-deformacion de la prueba de compresión de la
probeta de caucho y en la figura C.5, se aprecia la curva de fuerza-desplazamiento para la
prueba de compresión.
I32
Apéndice C
05 O 0.1 o. 2 0.3 0.4 Q e g i l ~ ~ l n i a l t o (iiil
Defoii>blíbii
Figura C.4. Grafica esfuerza vs deformación c.s. Grafica Fuerza vs desplazamiento,
En la figura C.6, se aprecia la ecuación de la recta Y = -2096366.76X + 4394542.25, que
corresponden a las constantes de Mooney- Rivlin. El valor de 4394542.28 corresponde a la
primera constante de Mooney-Rivlin y el valor de -2096366.76 corresponde a la segunda
constante de Mooney-Rivlin.
a-
Figura C.6. Las constantes de Mooney-Rivlin corresponden a la ecuación de la recta Y = -2096366.76X + 4394542.28, para una prueba de compresión.
133
Apindice C - La obtención de la de relación de Poisson se llevó a cabo utilizando la ecuación C.3; en la
tabla C.3, se muestran los resultados obtenidos de deformación axial y deformación
transversal de la prueba de compresión de la probeta de caucho.
U Relación de
Poisson
0.5
Tabla C.3. Relación de deformación axial y deformación transversal
ci c2 Constante de Constante de
Mooney- Mooney Rivlin Rivlin (N/m2) (N/m2)
4394542.28 -2096366.76
Deformación(Ea ) Deformación(E[ )
(E, , = A l / l > ( E , = A l l D ) Axial Transversal
Tabla C.4. Resultados de las pruebas experimentales
Área de la Modulo de probeta elasticidad
( N / d )
6.605 x 10- 131 83387.40
La tabla C.4, muestra los resultados experimentales de las pruebas de compresión del caucho,
encontrando un módulo de elasticidad de 131 83387.40 N/m2 y una relación de Poisson de 0.5.
El caucho puede absorber mayores cambios de volumen y por asociación mayor energia. Las
constantes de Mooney- Rivlin obtenidas en esta investigación fueron verificadas en la
literatura, para pruebas de compresión encontrando que s i se reporta constantes con valor
negativo, como por el ejemplo en el articulo de Feng, (1986) quien presenta un análisis sobre
las ecuaciones constitutivas de incompresibilidad del caucho para una prueba de compresión,
utilizando las técnicas del método del elemento finito. I34
Apéndice D
Apéndice D
D-PLANOS TECNICOS.
En Apéndice D se muestran los planos técnicos, de los elementos que integran el diseño de los componentes del banco experimental.
1 NO. DE PLANOS I TITULO I I Sensor de fuerza 2 I Amortiguador de impacto 3 r4-
I35
lluminio 60
Sensor de fuerza
Apéndice D
.. x
I
137
I Material aluminio 6061 cenidet
Fecha 18107L2003
Ing Piem Espino R . m h Dr I'ariusz Smedowicz
Escala 1 1 C o b (mnl (Pig)
Union del potenciometro No 03
Apéndice D -
_.
I_/
u I I co?
139
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