Centr á lne vortexy a Gribovov horizont

Štefan Olejník Fyzikálny ústav SAV, BratislavaFyzikálny ústav SAV, BratislavaOddelenie komplexných fyzikálnych systémov

CentrCentráálne vortexy a Gribovov lne vortexy a Gribovov horizonthorizont

+ Jeff Greensite a Daniel Zwanziger

• JG, ŠO: Coulomb energy, vortices, and confinement, PR D67 (2003) 094503; arXiv:hep-lat/0302018

• JG, ŠO, DZ: Coulomb energy, remnant symmetry, and the phases of non-Abelian gauge theories, PR D69 (2004) 074506; arXiv:hep-lat/0401003

• JG, ŠO, DZ: Center vortices and the Gribov horizon, arXiv:hep-lat/0407032

• JG, ŠO, M. Polikarpov, S. Syritsyn, V. Zakharov: Localized eigenmodes of covariant Laplacians in the Yang–Mills vacuum, arXiv:hep-lat/0504008 [asi až nabudúce]

http://www.dcps.savba.sk/olejnik/seminars/s180405.pps

ŠO Fyzikálny ústav SAV, BratislavaFyzikálny ústav SAV, BratislavaOddelenie komplexných fyzikálnych systémov

2

SemiSeminár, FÚ SAV, 18.4.2005nár, FÚ SAV, 18.4.2005

Kvantová chromodynamikaKvantová chromodynamika

Kvantová chromodynamika je kalibračná teória interakcií farebných kvarkov, antikvarkov a gluónov s neabelovskou grupou symetrie SU(3).Lagranžián:

Tenzor farebného poľa:

Interakčné vrcholy:


3


Význačné vlastnosti QCDVýznačné vlastnosti QCD

Lokálna kalibračná invariantnosť:

Renormalizovateľnosť.Asymptotická voľnosť.Uväznenie farby: Kvarky, antikvarky a gluóny sa vyskytujú len v „bezfarebných“ stavoch, t.j. singletoch grupy SU(3). Môžu to byť singletné stavy kvarku a antikvarku (mezóny), troch kvarkov alebo antikvarkov (baryóny resp. antibaryóny), dvoch či troch gluónov (tzv. gluóniá) a iné.Nevyhnutnosť použiť neporuchové metódy – mriežka.


4


Čo nás zaujíma?Čo nás zaujíma?

Výpočet Greenových funkcií:

Wickova rotácia:

Na mriežke je dráhový integrál reprezentovaný násobným integrálom, ktorý možno počítať numericky metódou Monte Carlo. Mriežka zároveň zabezpečuje neporuchovú regulari-záciu teórie.


5


KalibraKalibračné polia na mriežkečné polia na mriežke

Fyzikálne premenné:

Tenzor poľa:

Kalibračná invariantnosť:


6


Účinok pre kalibračné polia:

Greenove funkcie:

Čistá SU(2) gluodynamika: budeme skúmať teóriu bez dynamických kvarkov s dvoma farbami.


7


Spojitá limitaSpojitá limita

Na mriežke vždy meriame bezrozmerné veličiny. Aby sme určili m, meriame v skutočnosti ma.Fyzikálne relevantný je pomer m k rozmernému parametru QCD L :

Vďaka asymptotickej voľnosti sa dá aL vyrátať pomocou poruchovej teórie:

Ak ma zodpovedá fyzikálnej veličine:


8


Modely uvModely uvääzneniaznenia farby v QCD farby v QCD

Prvý prístup: snažiť sa nahradiť konfigurácie kalibračných polí [SU(N) matice na spojoch mriežky] niečím jednoduchším, čo reprodukuje podstatné javy fyziky uväznenia:

Abelovské monopóly.Centrálne vortexy.Instantóny.Meróny.

Druhý prístup: hľadať, aká časť konfiguračného priestoru kalibračnej teórie spôsobuje nekonečnú energiu izolovaných farebných nábojov a lineárny rast potenciálu medzi statickým kvarkom a antikvarkom.

Gribovov–Zwanzigerov mechanizmus.


9


The Blind Men and the ElephantThe Blind Men and the Elephant

It was six men of Indostan To learning much inclined,

Who went to see the Elephant(Though all of them were

blind), That each by observation

Might satisfy his mind

[…]

John Godfrey Saxe (1816-1887), americký básnik

Moral:So oft in theologic wars,

The disputants, I ween, Rail on in utter ignorance

Of what each other mean,

And prate about an ElephantNot one of them has

seen!

[Nahradiť: theologic … physical?]


10

SemiSeminár, FÚ SAV, 18.4.2005nár, FÚ SAV, 18.4.2005Coulombovská kalibrácia v Coulombovská kalibrácia v elektrodynamikeelektrodynamike

Maxwellove rovnice v elektrodynamike:

Coulombovská kalibrácia:

Ostávajúca voľnosť:

Klasický hamiltonián:


11

SemiSeminár, FÚ SAV, 18.4.2005nár, FÚ SAV, 18.4.2005Fixovanie kalibrácie v dráhovom Fixovanie kalibrácie v dráhovom integráli v integráli v QQEDED

Faddejevov–Popovov trik:

Partičná funkcia:


12

SemiSeminár, FÚ SAV, 18.4.2005nár, FÚ SAV, 18.4.2005CoulombovskCoulombovská kalibrácia v á kalibrácia v chromodynamikechromodynamike

Klasický hamiltonián QCD in coulombovskej kalibrácii:

Faddejevov—Popovov operátor:


13

SemiSeminár, FÚ SAV, 18.4.2005nár, FÚ SAV, 18.4.2005Fixovanie kalibrácie v dráhovom Fixovanie kalibrácie v dráhovom integráli v integráli v QCDQCD

Faddejevov–Popovov trik:

Partičná funkcia:


14

SemiSeminár, FÚ SAV, 18.4.2005nár, FÚ SAV, 18.4.2005F-P operF-P operátor a Gribovova átor a Gribovova nejednoznačnosťnejednoznačnosť

Nech dve kalibračne ekvivalentné polia A, B obe spĺňajú coulombovskú podmienku:

potom

F-P operátor bude mať nulovú vlastnú hodnotu.


15



16


GribovGribovovaova nejednoznačnosťnejednoznačnosť and and kópiekópie

Gribovova oblasť (GO): množina priečnych polí, pre ktoré je F-P operátor pozitívny; lokál. minimá I.Gribovov horizont: hranica GO.Fundament. modulárna oblasť (FMO): absolútne minimá I.GO a FMO sú konvexné a ohraničené oblasti.Scenár uväznenia: Rozmernosť konfiguračného priestoru je obrov-ská, preto je možné očakávať, že väčšina relevantných konfigurácií sa nachádza blízko horizontu. Ak je hustota konfigurácií pri horizonte veľká, spôsobí výrazné zvýšenie coulombovskej interakčnej energie páru a uväznenie kvarkov.


17

SemiSeminár, FÚ SAV, 18.4.2005nár, FÚ SAV, 18.4.2005Podmienka uväznenia cez stavy F-P Podmienka uväznenia cez stavy F-P operátoraoperátora

Coulombovská vlastná energia izolovaného farebného náboja:

F-P operátor v SU(2):


18


Vlastné stavy F-P operátora:


19


Nevyhnutná podmienka divergencie :

V nultom ráde v silnej väzbovej konštante:

Aby boli farebné náboje uväznené, je potrebný nejaký mechanizmus, ktorý zvyšuje () a F() v oblasti malých .


20


Uväznenie a centrálne vortexyUväznenie a centrálne vortexy

Centrum grupy hrá dôležitú úlohu pri uväznení: V prípade grupy SU(N) sa reprezentácie grupy rozpadajú na N „reprezentačných tried“ (charakterizované sú tzv. N-alitou) podľa toho, ako sa daná reprezentácia Lieovej grupy transformuje pri transformáciách zo ZN. Potenciály pre kvarky z rôznych reprezentácií budú mať strunové napätie, ktoré závisí iba od N.


21


TenkTenký vortexý vortex

ED:


22


‘‘t Hooftov opert Hooftov operátorátor a kritérium uväzneniaa kritérium uväznenia

Neabelovský prípad: Singulárna kalibračná transformácia kreuje tenký centrálny vortex.

‘t Hooftov operátor:


23



24



25

SemiSeminár, FÚ SAV, 18.4.2005nár, FÚ SAV, 18.4.2005IdenIdentifikácia centrálnych vortexov na mriežke:tifikácia centrálnych vortexov na mriežke:Centrálna projekcia v maximálne centrálnej Centrálna projekcia v maximálne centrálnej kalibráciikalibrácii

Uskutočníme kalibračnú transformáciu [SU(2)]:

tak, aby bol maximálna hodnota veličiny:

Centrálna projekcia:

Interpretácia MCK: optimálny fit reálnej konfigurácie súborom tenkých centrálnych vortexov.


26


VVýsledky štúdia vortexov v mriežkových ýsledky štúdia vortexov v mriežkových konfiguráciáchkonfiguráciách

Dominantnosť centra grupy.Predčasná linearita. P-vortexy lokalizujú centrálne vortexy.P-vortexy lokalizujú fyzikálne objekty. Centrálne vortexy sú korelované s uväznením kvarkov, narušením chirálnej symetrie a topologickými vlastnosťami teórie.Prechod medzi fázou uväznenia a fázou bez uväznenia možno chápať ako prekolačný fázový prechod. Abelovské monopóly sú korelované s P-vortexami.


27


Tri sTri súbory konfiguráciíúbory konfigurácií

1. Úplné Monte Carlo konfigurácie:2. “Vortexové” konfigurácie:3. “Bezvortexové” konfigurácie:

Odstránenie vortexov:odstráni strunové napätie,obnoví chirálnu symetriu,vynuluje topologický náboj konfigurácií.

Philippe de Forcrand, Massimo D’Elia, hep-lat/9901020

Každý z troch súborov bol prevedený do coulombovskej kalibrácie maximalizovaním veličiny (pre každý čas t):


28


Úplné konfigurácieÚplné konfigurácie


29



30



31


VortexVortexové konfigurácieové konfigurácie


32



33



34


Bezvortexové konfigurácieBezvortexové konfigurácie


35


PoučeniaPoučenia

Úplné konfigurácie: Správanie hustoty vlastných hodnôt a F() pri malých je konzistentné s divergentnou coulombovskou vlastnou energiou stavov s farebnými nábojmi.Vortexové konfigurácie: Vortexový obsah konfigurácií je zodpovedný za zvýšenie hustoty vlastných hodnôt a F() v okolí nuly.Bezvortexové konfigurácie: Predstavujú len malú poruchu k teórii bez interakcie.


36


Kalibračná teória s higgsovským poľomKalibračná teória s higgsovským poľom

Osterwalder, Seiler ; Fradkin, Shenker, 1979; Lang, Rebbi, Virasoro, 1981

Vortex percolation

Vortex depercolation


37


Fáza „uväznenia“Fáza „uväznenia“


38



39


„„HiggsHiggsovská“ fázaovská“ fáza


40


CoulombCoulombovská energia statického páruovská energia statického páru

Fyz. stav s kvark-antikvark. párom v coulomb. kalibrácii:

Korelátor dvoch Wilsonových čiar:

Potom:


41

SemiSeminár, FÚ SAV, 18.4.2005nár, FÚ SAV, 18.4.2005MeMeranie coulombovskej eranie coulombovskej energnergieie na na mriežkemriežke

Korelátor na mriežke:

Otázky:Rastie V(R,0) lineárne s R pri veľkých ?Je coul rovnaké ako asympt?

Čo sa stane, keď odstránime centrálne vortexy?


42



43



44



45

SemiSeminár, FÚ SAV, 18.4.2005nár, FÚ SAV, 18.4.2005Škálovanie coulomb. strunového Škálovanie coulomb. strunového napätianapätia??

Overconfinement! Dobrá správa pre fenomenologické modely (model „gluónovej retiazky“).


46



47


ZáverZáver

Podpora pre Gribovov–Zwanzigerov scenár: Najnižšie vlastné hodnoty F-P operátora sa „tlačia“ k nule, keď objem mriežky rastie; hustota vlastných hodnôt a F() sa správajú ako malá mocnina v okolí 0, čo vedie k IČ divergencii vlastnej energie izolovaného farebného náboja. Coulombovská energia statického páru rastie lineárne, ale s podstatne väčším strunovým napätím ako skutočný medzikvarkový potenciál. Pevný súvis medzi vortexovým a Gribovovým–Zwanzige-rovým scenárom: Zvýšenie hustoty najnižších stavov F-P operátora je možné pripísať vortexovej zložke mriežkových konfigurácií. Coulombovské strunové napätie je po odstránení vortexov nulové.


48


Zopár analytických výsledkovZopár analytických výsledkov

Konfigurácie tenkých centrálnych vortexov ležia na Gribovovom horizonte.Gribovova oblasť (s istým obmedzením) a fundamentálna modulárna oblasť sú ohraničené aj v priestore konfigurácií mriežkových kalibračných polí.Tenké vortexy predstavujú kónické alebo klinovité singularity na Gribovovom horizonte.Coulombovská kalibrácia má špeciálny status; je atraktívnym fixovaným bodom všeobecnejšej kalibračnej podmienky, ktorá interpoluje medzi coulombovskou a Landau gauges.

hep-lat/0407032


49


LokalizáciaLokalizácia

Lokalizácia vlastných stavov F-P operátora a kovariantného laplaciánu v rôznych reprezentáciách.Možné analógie s Andersonovým modelom.Najnižšie vlastné stavy kovariantného operátora vo fundamentálnej reprezentácii sú lokalizované v konečnom objeme (vo fyzikálnych jednotkách).Najnižšie vlastné stavy kovariantného operátora vo fundamentálnej reprezentácii po odstránení vortexov nie sú lokalizované.Najnižšie vlastné stavy kovariantného operátora v pridruženej reprezentácii sú lokalizované v konečnom objeme, ktorý sa „scvrkáva“ do bodu v spojitej limite.Vlastné stavy F-P operátora nie sú lokalizované.


50


Documents

Centr á lne vortexy a Gribovov horizont