REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER
POPLARPARA LA EDUCACIN UNIVERSITARIAINSTITUTO UNIVERSITARIO
POLITCNICOSANTIAGO MARIOEXTENSIN BARINAS
CENTRO DE GRAVEDAD
Bachiller: C.I:
Barinas, Noviembre del 2014INTRODUCCIN
Debido a que un cuerpo es una distribucin continua de masa, en
cada una de sus partes acta la fuerza de gravedad. El centro de
gravedad o centroide es la posicin donde se puede considerar
actuando la fuerza de gravedad neta, es el punto ubicado en la
posicin promedio donde se concentra el peso total del cuerpo. Para
un objeto simtrico homogneo, el centro de gravedad se encuentra en
el centro geomtrico, pero no para un objeto irregular. El centro de
gravedad de un cuerpo es el punto de aplicacin de la resultante de
todas las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes
puntos materiales que constituyen el cuerpo. Un objeto est en
equilibrio estable mientras su centro de gravedad quede arriba y
dentro de su base original de apoyo. Cuando ste es el caso, siempre
habr un torque de restauracin. No obstante, cuando el centro de
gravedad cae fuera del centro de apoyo, el torque de restauracin
pasa sobre el cuerpo, debido a un torque gravitacional que lo hace
rotar fuera de su posicin de equilibrio. Los cuerpos rgidos con
bases amplias y centros de gravedad bajos son, por consiguiente, ms
estables y menos propensos a voltearse. Esta relacin es evidente en
el diseo de los automviles de carrera de alta velocidad, que tienen
neumticos anchos y centros de gravedad cercanos al suelo. Tambin la
posicin del centro de gravedad del cuerpo humano tiene efectos
sobre ciertas capacidades fsicas El Centro de gravedad de un cuerpo
bidimensional
Centro de masa y centro de gravedad El centro de masa coincide
con el centro de gravedad cuando el cuerpo est en un campo
gravitatorio uniforme. Es decir, cuando elcampo gravitatorioes de
magnitud y direccin constante en toda la extensin del cuerpo. A los
efectos prcticos esta coincidencia se cumple con precisin aceptable
para casi todos los cuerpos que estn sobre la superficie terrestre,
incluso para una locomotora o un gran edificio, puesto que la
disminucin de la intensidad gravitatoria es muy pequea en toda la
extensin de estos cuerpos.Centro geomtrico y centro de masa El
centro geomtrico de un cuerpo material coincide con el centro de
masa si el objeto es homogneo (densidad uniforme) o cuando la
distribucin de materia en el sistema tiene ciertas propiedades,
tales comosimetra.
Propiedades del centro de gravedad La resultante de todas las
fuerzas gravitatorias que actan sobre las partculas que constituyen
un cuerpo pueden reemplazarse por una fuerza nica,, esto es, el
propiopesodel cuerpo, aplicada en el centro de gravedad del cuerpo.
Esto equivale a decir que los efectos de todas las fuerzas
gravitatorias individuales (sobre las partculas) pueden
contrarrestarse por una sola fuerza,, con tal de que sea aplicada
en el centro de gravedad del cuerpo, como se indica en la figura.
Un objeto apoyado sobre una base plana estar en equilibrio estable
si la vertical que pasa por el centro de gravedad corta a la base
de apoyo. Lo expresamos diciendo que el c.g. se proyecta
verticalmente (cae) dentro de la base de apoyo. Adems, si el cuerpo
se aleja ligeramente de la posicin de equilibrio, aparecer un
momento restaurador y recuperar la posicin de equilibrio inicial.
No obstante, si se aleja ms de la posicin de equilibrio, el centro
de gravedad puede caer fuera de la base de apoyo y, en estas
condiciones, no habr un momento restaurador y el cuerpo abandona
definitivamente la posicin de equilibrio inicial mediante una
rotacin que le llevar a una nueva posicin de equilibrio.
Calculo del centro de gravedad
Centro de gravedad. El centro de gravedad de un cuerpo viene
dado por el nico vector que cumple que:
DondeMes la masa total del cuerpo ydenota elproducto vectorial.
En un campogravitatorio uniforme, es decir, uno en que el vector de
campo gravitatorioes el mismo en todos los puntos, la definicin
anterior se reduce a la definicin del centro de masas:
En el campo gravitatorio creado por un cuerpo material cuya
distancia al objeto considerado sea muy grande comparado con las
dimensiones del cuerpo y del propio objeto, el centro de gravedad
del objeto viene dado por:
Ejemplo.Dada una barra homognea de longitudL, orientada hacia un
planeta lejano, y cuyo centro de masa dista una distanciaDc.m.,del
centro del planeta, el centro de gravedad de la barra est situado a
una distancia del centro del planeta dado por:
La diferencia entre centro de masas y el centro de gravedad se
debe en este caso a que el extremo de la barra ms cercano al
planeta es atrado gravitatoriamente con mayor intensidad que el
extremo ms alejado.
Centroide de reas de figuras geomtricas conocidas
El centroide Es el punto que define el centro geomtrico de un
objeto. El centroide nos ayuda a encontrar el punto en el que se
concentra las fuerzas que actan sobre una figura irregular, o
figuras geomtricas no muy conocidas. Por ejemplo el centroide nos
ayudara a encontrar el punto en el que se concentran las fuerzas de
un puente. Centroide de algunas reas Limitaremos la determinacin de
las posiciones de los centroides de Superficies a las ms usual, que
es el tringulo. Centroide del tringulo Para hallar el lugar que
ocupa el centroide del tringulo, o baricentro, como lo llamaban los
antiguos, podemos recurrir a vario procedimientos, el ms conocido
es trazar las medianas del tringulo y determinar su unto de
concurrencia. En realidad bastara con dibujar dos medianas, es
decir dos lneas que pasen por el centro de dos lados cuales quiera
y por sus vrtices opuestos: en la Interseccin se halla el
centroide. No obstante, este dato resulta poco prctico en la
resolucin de problemas usuales de ingeniera. En el captulo
correspondiente a resultantes de fuerzas paralelas, dedicamos un
apartado a las fuerzas distribuidas, y hallamos que la lnea de
accin de la resultante de un sistema de cargas representado
mediante un tringulo pasa por un punto situado a la tercera parte
de la altura a partir de la base. De modo que no necesitamos
ninguna otra demostracin para saber que el centroide de un tringulo
tiene esa posicin: basta conocer dos de las alturas para determinar
completamente las coordenadas de dicho punto.
Momento esttico El momento esttico es la suma de los productos
de cada elemento de un cuerpo por su distancia a un eje. Hay
momentos estticos del peso, de la masa, del volumen de los cuerpos,
y de reas y de lneas. Se llaman momentos por su semejanza con los
momentos de las fuerzas, que se obtienen mediante el producto de
una fuerza por la distancia de su lnea de accin a un cierto eje y
tienden a lograr que el cuerpo gire. Pero los momento estticos no
producen ninguna tendencia al giro, por eso son estticos. Se llaman
tambin momentos de primer orden. Aunque se trata de un concepto
meramente matemtico, sin ninguna referencia fsica, nos servirn para
obtener lugares reales, como el centro de gravedad y el centro de
masa de un cuerpo, as como los centroides de volumen, de rea y de
lnea.
Ejemplo: Si tenemos una figura de forma irregular dividimos la
figura dada en una serie de fajas paralelas al eje dado. Designamos
con dF a una cualquiera de las fajas, tendremos:dF = dy . biEl
momento esttico ser:dS = dF . yi.Para el conjunto de fajas ser:S =
yi . dS
Primer momento de rea o superficie:
Elprimer momento de rea(tambinmomento estticoode primer orden)
es una magnitud geomtrica que se define para un rea plana.
Normalmente aparece en el contexto del clculo devigaseningeniera
estructural, en particular latensincortante media dada por lafrmula
de Collignon, que es proporcional al primer momento de rea de una
subseccin de laseccin transversalde la viga. El primer momento de
rea coincide con el producto del rea total multiplicado por la
distancia entre el punto considerado alcentroidedel rea. Los
momentos de primer orden de un rea, se designan por la letraSoQ.
Dado un eje o recta se define el primer momento de rea del
rearespecto a un eje de ecuacinviene dado por la integral sobre el
rea de la distancia al eje fijado:
Si consideramos coordenadasxeycentradas en elcentro de masasy se
calculan los primeros momentos de rea respecto a los ejes
coordenados, por la propia definicin de centro de masas:
Eso implica que para cualquier otro eje que pase por el centro
de gravedad de la seccin se tiene:
El clculo respecto a un eje cualquiera que no pase por en centro
de masas es trivial ya que:
Donde resulta queccoincide con la distancia de ese eje al centro
de gravedad y el resultado anterior es el equivalente del teorema
de Steinerpara el primer momento de rea.
Primer momento de rea parcial Como se ha visto en la seccin
anterior el primer momento de rea calculado respecto al centro de
gravedad de la seccin es siempre nulo. Sin embargo, si se considera
un rea parcial de una seccin y se calcula el primer momento de rea
respecto al centro de gravedad de la seccin completa el resultado
no es cero. Designaremos a este primer momento de rea parcial por
la letray su valor vendr dado por:
Para una seccin rectangular de dimensiones 2hxbse tiene:
Segundo momento de rea Anlogamente al primer momento de rea se
define el segundo momento de rea, o momento de inercia, como:
Que puede expresarse en funcin de los segundos momentos de rea
respecto al centro de masas como:
Este ltimo resultado de demostracin inmediata se conoce
comoteorema de Steiner.
Momento de rea de orden superior En general se definen
losn-simos momento de rea de una rea plana como las integrales del
tipo:
Donde la integral se extiende sobre sobre todo el dominio
planoAde y donde la distanciares la distancia a un eje contenido en
el mismo plano que contiene al rea. En particular se definen los
dos momentosn-simos de rea como:
Determinacin del centro de gravedad de figuras complejas o
compuestas
Por ejemplo, si consideramos dos puntos materiales A y B, cuyas
masas respectivas valgan m1 y m2; adems los suponemos rgidamente
unidos por una varilla de masa despreciable, a fin de poder
considerarlos como formando parte de un cuerpo slido. La gravedad
ejerce sobre dichos puntos sendas fuerzas paralelas m1g y m2g que
admiten una resultante cuyo punto de aplicacin recibe el nombre de
centro de gravedad o centroide.
En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el
punto de aplicacin de la resultante de todas las fuerzas que la
gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que
constituyen el cuerpo. Centro de masa y centro de gravedad: El
centro de masas coincide con el centro de gravedad slo si el campo
gravitatorio es uniforme; es decir, viene dado en todos los puntos
del campo gravitatorio por un vector de magnitud y direccin
constante. Centro geomtrico y centro de masa: El centro de
geomtrico de un cuerpo material coincide con el centro de masa si
el objeto es homogneo (densidad uniforme) o si la distribucin de
materia en el objeto tiene ciertas propiedades, tales como simetra.
Un objeto apoyado sobre una base plana estar en equilibrio estable
si la vertical que pasa por el centro de gravedad corta a la base
de apoyo. Lo expresamos diciendo que el CG cae dentro de la base de
apoyo. Adems, si el cuerpo se aleja algo de la posicin de
equilibrio, aparecer un momento restaurador y recuperar la posicin
de equilibrio inicial. No obstante, si se aleja ms de la posicin de
equilibrio, el centro de gravedad puede caer fuera de la base de
apoyo y, en estas condiciones, no habr un momento restaurador y el
cuerpo abandona definitivamente la posicin de equilibrio inicial
mediante una rotacin que le llevar a una nueva posicin de
equilibrio.
Tabla de centros de gravedad:
CONCLUSIN
En conclusin el centro de gravedad es el punto en el que se
encuentran aplicadas las fuerzas gravitatorias de un objeto, o es
decir es el pto. En el que acta el peso. Siempre que la aceleracin
de la gravedad sea constante, el centro de gravedad se encuentra en
el mismo punto que el centro de masas.El equilibrio de una partcula
o de un cuerpo rgido tambin se puede describir como estable o
inestable en un campo gravitacional. Para los cuerpos rgidos, las
categoras del equilibrio se pueden analizar de manera conveniente
en trminos delcentro de gravedad. El Centro de gravedad es el punto
en el cual se puede considerar que todo el peso de un cuerpo est
concentrado y representado como una partcula. Cuando la aceleracin
debida a la gravedad sea constante, el centro de gravedad y el
centro de masa coinciden.Un objeto est en equilibrio estable
mientras su Centro de gravedad quede arriba y dentro de su base
original de apoyo.Cuando ste es el caso, siempre habr una torca de
restauracin. No obstante cuando el centro de gravedad o el centro
de masa cae fuera de la base de apoyo, pasa sobre el cuerpo, debido
a una torca gravitacional que lo hace rotar fuera de su posicin de
equilibrio.Los cuerpos rgidos con bases amplias y centros de
gravedad bajos son, por consiguiente ms estables y menos propensos
a voltearse. Esta relacin es evidente en el diseo de los automviles
de carrera de alta velocidad, que tienen neumticos y centros de
gravedad cercanos al suelo.El centro de gravedad de este auto es
muy bajo por lo que es casi imposible que se voltee.Cuando el
centro de gravedad queda fuera de la base de soporte, el objeto es
inestable (hay una torsin desplazadora).
