CENTRO PREUNIVERSITARIO CEPNASA MATEMATICA

CENTRO PRE UNIVERSITARIO CEP NASAMATERIAL DE APOYO

MATEMTICA INTEGRALHABILIDAD NUMRICA Y RAZONAMIENTO LGICOGUIA DE EJERCICIOS RESUELTOS PASO A PASO

COORDINADORA: YOLANDA NAVARROTEXTOS Y RECOPILACIN:PROF. SANTIAGO QUINTERO

INTRODUCCINEl objeto fundamental de la Prueba de Admisin Interna de las Universidades Nacionales, es detectar dentro del universo de aspirantes al ingreso, el grupo de bachilleres que estn adecuadamente capacitados para enfrentar con xito los contenidos curriculares de las diferentes carreras que se dictan en sus facultades.Por ello, todos los bachilleres que deseen estudiar en esas instituciones y que no hayan sido asignados por otra modalidad, deben presentar la Prueba.Las Pruebas de Admisin Internas constan de dos componentes que les son comunes, independientemente de la carrera seleccionada por el aspirante. El Razonamiento Numrico y Lgico, y el Razonamiento Verbal. Ello se debe a que todo conocimiento requiere su expresin en cdigos que conforman un lenguaje sin cuyo manejo apropiado ,es imposible la comprensin y solucin de los innumerables problemas que supone el ejercicio cabal de una profesin que utilice herramientas cientficas.

Razonamiento Matemtico y LgicoEl Razonamiento Matemtico y Lgico constituye el proceso sistmico mediante el cual operamos funciones y relaciones numricas para sintetizarlas en soluciones de un conjunto de problemas y planteamientos matemticos. Para ello, es absolutamente necesario el dominio fluido de los conocimientos bsicos en el rea de matemtica, vale decir, el manejo adecuado y pertinente de todas aquellas habilidades instrumentales mnimas que debe manejar el bachiller aspirante a estudiar alguna de las carreras que se imparten en las Universidades ,las cuales deben haber ido adquiridas en sus estudios previos de Educacin Bsica y Media Diversificada ya que son indispensables principalmente en los dos primeros semestres de las carreras a cursar.La Matemtica indudablemente es una herramienta fundamental en las reas de las Ciencias Exactas , sin embargo, an en las Ciencias Sociales, el uso de razonamientos asociados con la Matemtica, es primordial para tomar decisiones, obtener conclusiones y predecir situaciones con razonable exactitud.

CONTENIDO:La Prueba de Admisin Interna relacionada con la evaluacin de los conocimientos y habilidades en esta rea, tendr planteamientos para medir razonamiento, habilidad y algunos conocimientos bsicos. Los tpicos corresponden a Aritmtica, lgebra, Geometra y Trigonometra. Los temas especficos de estas reas, los hemos agrupado en esta gua en 10 mdulos para la Matemtica Instrumental y 6 de Habilidad Numrica y Razonamiento Lgico, componentes absolutamente complementarios que se entrelazan en una gran diversidad de problemas y que en esta gua hemos seccionado segn referimos, con el nico inters de facilitar su aprendizaje y aplicaciones. All se encuentran todos los tipos de problemas que podemos observar en las diversas pruebas de admisin que se realizan para ingresar al Subsistema de Educacin Superior.Dentro de la filosofa CEP-NASA, hemos dispuesto el material de apoyo haciendo nfasis en su utilidad prctica a la que privilegiamos sobre la terica, sin disminuir el aporte de sta que consideramos indispensable y bsico, pero colocando nuestra mayor cobertura e inters en los problemas y los ejercicios, justamente para desarrollar habilidades y destrezas en el estudiante. De all nuestra metodologa de resolucin de problemas paso a paso, para no perder detalle en la descripcin de las soluciones y los mtodos ms sencillos de acceder a ellas, configurando formas de abordaje seguro, rpido y comprensible de ejercicios y problemas. Cada mdulo se inicia con un pre-test de 5 preguntas para medir el dominio del participante previo al estudio del contenido y la explicacin de clase, y finaliza con una autoevaluacin de 10 preguntas tipo examen sobre el tema estudiado.Los diez mdulos de matemtica instrumental son los siguientes: lgebra Elemental, Funciones, Polinomios, lgebra Aplicada, Geometra, Progresiones, Trigonometra, Logaritmos, Vectores y Nmeros Complejos.Los mdulos de Habilidad Numrica y Razonamiento Lgico son los siguientes: Los nmeros y sus estimaciones, Porcentajes, Razones y Proporciones, Lgica, , Razonamiento algortmico, Razonamiento EstadsticoHemos incluido como anexos, pruebas modelo de distintas universidades en matemtica y habilidad numrica, para que sirvan de gua evaluativa histrica de los exmenes de admisin previos a la Prueba propiamente dicha.Esperamos que este material de apoyo sirva de mucha utilidad al participante. En el encontrar preguntas de nivel bsico, intermedio y avanzado, justamente del tipo que se presentan en las diversas evaluaciones de admisin. Cualquier duda podr plantearse al Profesor Facilitador o al Profesor Tutor que les estar acompaando durante todo el proceso de aprendizaje. El Curso ha comenzado y te deseamos mil xitos! CEP-NASA

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MATEMTICA INSTRUMENTAL

GUIA DE EJERCICIOS RESUELTOS PASO A PASO

MATEMTICA INSTRUMENTALMDULO IALGEBRA I:COMPETENCIA: 1 Dominar los conocimientos del lgebra elementalINDICADORES: 1.1 Manejar correctamente los signos de agrupacin1.2 Descomponer un nmero en sus factores primos1.3 Hallar el Mximo Comn Divisor de varias expresiones1.4 Hallar el mnimo comn mltiplo de varias expresiones1.5 Resolver operaciones con fracciones1.6 Simplificar una expresin algebraica a travs de la factorizacin y de Productos Notables1.7 Resolver ecuaciones usando la regla del producto nulo1.8 Conocer las nociones de simtrico opuesto y simtrico inverso o recproco1.9 Conocer que es valor absoluto y sus propiedades 1.10 Dominar el concepto bsico de radical

CUESTIONARIO EXPLORATORIO MDULO I1) La mayor expresin que divide exactamente a:4xy; 6xyz; 2 y es:a) 4xyb) 2xyzc) 2xyd) 12 yze) 6x2) Un valor de x que convierte a la expresin , en un mltiplo de tres es:a) 10b) 1c) 2d) todos los anteriorese) N.A

3) Tres alarmas intermitentes se activan cada 24, 12 y 2 minutos respectivamente. Si a medianoche coinciden por primera vez a qu hora coinciden por cuarta vez?a) 12:24 a.mb) 1:36 a.mc) 12:48 a.md) 1:12 a.me) 2:12 a.m

4) Al efectuar la operacin - { - [ ( x - y ) ] + [- ( y-x ) ] } se obtienea) 1b) xc) -yd) 0e) N.A

5) Al simplificar la siguiente expresin algebraica se tiene:a) a+6a+3b) 3-ac) a-3d) a+9e) no se puede simplificar

NOTA

MDULO 1: LGEBRA I SINTESIS TERICA

1.- CONSTANTES, VARIABLES, INCGNITAS Y EXPRESIONES ALGEBRACAS Se llama constante a toda expresin que tiene un valor fijo: 5; 7; 9; - ; ; etc. Se llama variable a toda expresin que no tiene un valor fijo, sino que por el contrario, puede tomar varios valores de un problema dado. Se representan con letras, Ejemplo: x, y, z, etc. Se llama incgnita a una expresin de un valor fijo o un conjunto de valores fijos pero desconocidos en un problema dado. Tambin se representan con letras. Ejemplo 2x+ 1 = 5x=2 Se llama expresin algebraica a la suma o producto de nmeros y letras. Ejemplo: 2mn-zxy

2- OPERACIONES BSICAS:Operaciones de suma, resta, multiplicacin y divisin de nmeros y variables manejando smbolos de agrupacin (parntesis, corchetes y llaves), aplicando la propiedad distributiva y la agrupacin de trminos semejantes, recordando que el producto de signos iguales es (+) y el de signos distintos es (-)

Ejemplos: a) 3(a + b) 4 (-a+b) = 3 a + 3b + 4a - 4b = 7a - b

b) -(3 + b) (4 - a)-2 (-1 + b) = - (12-3 a+ 4b- ba) +2 - 2b= -12+3 a-4b+ba+2-2b=3 a+ba-6b-10 c) - [-3 a- {b+ [ -a+ (2 a-b) - (-a+b )] +3b} +4 a]= -[-3 a-{b+ [-a+ 2 a-b +a-b ] +3b} +4a]= -[-3 a-{b-a+ 2 a-b +a-b +3b} +4a]= -[-3 a-b+a-2 a+b a+b -3b +4a]= +3 a+b-a+2 a-b +a-b +3b -4a= 3 a+2 a+a-a-4 a+b-b-b+3b = a+2b

3 - FACTORES O DIVISORES DE UN NMERO Un nmero A es factor, divisor o submltiplo de otro nmero B, si B lo contiene una cantidad exacta de veces, es decir, si B es divisible por A. Factorizar un nmero es expresarlo como producto de sus factoresEjemplos: 48=2x24; 300= 6x50; 1024 = 16 x 64 etc.4- DESCOMPOSICIN Y FACTORIZACIN EN FACTORES PRIMOS. Todo nmero se puede descomponer como un producto de factores primos Los nmeros primos son aquellos que slo son divisibles por ellos mismos y por la unidad Los primeros nmeros primos son: 2,3,5,7,11,13,127,190,23,29,etc

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Un nmero es divisible por 2 si es par ( Ejemplo 32) Un nmero es divisible por 3 9 si la suma de sus dgitos tambin es divisible por 3 o por 9, Ejemplos: a) 627 6+2+7 = 15 b) 486 4+8+6 = 18 Un nmero es divisible por 5 si termina en 0 en 5 Un nmero es divisible por 11 si la resta de los dgitos de lugar impar y los de lugar par es 0 mltiplo de 11.Ejemplo: 76.417 (lugar impar) 7+4+7= 18 (lugar par) 6+1 = 7 18-7 = 11Dos o ms nmeros son primos entre s cuando tienen como factos comn la unidadEjemplo: 5 y 7; 16 y 40; 6, 14, 44Ejercicio: Descomponer en factores primos los siguientes nmeros

36 2 250257221821255 2862 93 255 143 11 33 55 1313 1 1 1

36 = 2232 250 = 2.53 572 = 22.11.13

5- MXIMO COMN DIVISOR (M.C.D) El M.C.D de varios nmeros o expresiones algebraicas, es el mayor divisor de dichos nmeros o expresiones. Se calcula descomponiendo los nmeros en sus factores primos y luego multiplicando los factores primos comunes con su menor exponente Si no hay factores comunes, el M.C.D es 1 que es un factor comn universal.

Ejemplos: Hallar el M.C.D en los siguientes casos:a) 18, 360, 430

18 2 36024302 931802 2155 3 3 902 43 43 1 455 1 9 3 33 1

18 = 2.32360 = 23.5.32 430 = 2.5.43 M.C.D = 2b) 18 a2 b4 , 360 a3b3c , 430 a4b3m M.C.D numrico : 2 M.C.D literal : a2b3Cuando las expresiones de los nmeros sean alfanumricas, entonces el M.C.D ser el producto del M.C.D numrico y del M.C.D literal .En el caso de este ejemplo, el M.C.D es igual a 2 a2b3.Observacin:Si un nmero es divisor de otro, entonces el M.C.D es el menor de ambos. Ejemplo:6 y 24 (M.C.D = 6) ; 14 y 42 (M.C.D = 6); 22 y 66 (M.C.D = 22)

6- MNIMO COMN MLTIPLO (m.c.m) Mltiplo de un nmero es el resultado del producto de este nmero por otro entero cualquiera. Mltiplos de 6 son 12, 18, 24, 30,36, etc. Mltiplos de 18 son 36, 54, 72, 90, 108, etc. El m.c.m de varios nmeros o expresiones algebraicas es el menor nmero o expresin algebraica que es divisible por cada uno de los nmeros o expresiones dadas. Para calcular el m.c.m de dos o ms nmeros se multiplican los factores primos comunes y no comunes con su mayor exponente.

Ejemplos: Hallar el m.c.m en los siguientes casos:

a) 36, 24, 6 36 = 22.5 ; 24 = 23.3 ; 6 = 2.3

m.c.m (36, 24,6) = 23.32 = 72

b) 20 a4x, 48 a3n x3, 36 b3m5

m.c.m (20 a4x, 48 a3n x3, 36 b3m5) = m.c.m (20 a4x, 48 a3n x3, 36 b3m5; numrico). m.c.m (20 a4x, 48 a3n x3, 36 b3m5; literal)m.c.m (20 a4x, 48 a3n x3, 36 b3m5; numrico) = m.c.m (20, 48, 36) = m.c.m (22.5,24.3,22.32)= 24. 32.5 = 16.9.5 = 720m.c.m (20 a4x, 48 a3n x3, 36 b3m5; literal) = m.c.m (a4x, a3n x3 , b3m5) = a4x3nb3m5 m.c.m (20 a4x, 48 a3n x3, 36 b3m5) = 720 a4x3nb3m5Observacin: Si entre dos nmeros, uno de ellos es divisor del otro, el m.c.m es el mayor de ambos.Ejemplos: 6 y 30 (m.c.m =30) ; 14 y 70 (m.c.m =70) ; 17 y 680 (m.c.m =680)

7.- OPERACIONES ENTRE FRACCIONES7.1- Suma Algebraica (Aplicacin del m.c.m): Si las fracciones tienen igual denominador , se suman los numeradores Si tienen diferentes denominadores, se convierten todos a un denominador comn y luego se suman los nuevos numeradores Para convertir a denominador comn, se encuentra el mnimo comn mltiplo de los denominadores y los numeradores se convierten multiplicando el numerador original por el cociente entre el denominador comn y el denominador propio de cada fraccin.

Ejemplos:

a) + = b) + - = =

c) 4+ = =

Observacin: Para sumar enteros mas fracciones mentalmente, se multiplica el entero por el denominador de la fraccin y esto se le suma al numerador. Este resultado se divide finalmente por el denominador.

Ejemplos. a) 3+ = = b) 2- = =

7.2 PRODUCTOSe multiplican numerador con numerador y denominador con denominador a) ( ) ( ) = = ; b) ( ) ( ) = =

7.3 DIVISIN: Se aplica el producto cruzado o doble C : =

=

Ejemplos: a) = = b) : = =

La combinacin de las cuatro operaciones en un algoritmo se realiza desarrollando la superposicin que observamos a continuacin: a) = = = = =

b) = =

Existe otra forma de expresar una fraccin y es en forma de fraccin mixta, lo cual es posible ejecutar cuando el numerador de la fraccin es mayor que el denominador en cuyo caso la fraccin se llama impropiaEjemplos: , ,

Para expresarla en forma de fraccin mixta ser divide el numerador entre el denominador y el cociente de dicha divisin ser el entero de la nueva expresin y el nuevo numerador ser el residuo de la divisin. Veamos el siguiente ejemplo: 23 : 5 = 235

34

= 4 El proceso inverso consiste en llevar una fraccin mixta a una fraccin impropia ,consiste en multiplicar el entero por el denominador y el producto se le agrega el numerador.Luego a la fraccin final se le da por denominador el mismo de la fraccin Mixta.Por ejemplo:9 = =

Cuando se tengan operaciones en las que aparezcan fracciones mixtas, es recomendable llevarlas todas a fracciones impropias y efectuar la operacin1 ( o bien sumar los enteros entre si,las fracciones entre s y luego escribir la fraccin mixta compuesta por ambos resultados2)

Ejemplo: 3 + 4 . 2 = + . = + = = = =14

8. FACTORIZACIN Y PRODUCTOS NOTABLES:Factorizar una expresin formada por la suma de varios trminos no semejantes significa expresarla como un producto de factores. Es el proceso inverso al desarrolloEjemplos:

a) x2- 9 = (x+3)(x-3) b) x2-4x+4 = (x-2)2 c) x2+2x-15 = (x-3)(x+5)

Podemos identificar los siguientes casos:8.1 Factorizacin por factor comn:Se realiza la factorizacin por factor comn, si en los sumandos de la expresin original hay elementos comunes, luego se buscan los mayores factores (M.C.D) de los sumandos que conforman esa expresin y se reescribe la misma de forma tal que al aplicar la propiedad distributiva se obtenga nuevamente la expresin original.

Ejemplos: a) 2ab a = a(2b-1)b) ab2c3 + 2xbc2 = bc2(abc + 2x)c) 12x2y 20x3y = 4x2y (3 5x)8.2 Factorizacin del trinomio cuadrado perfectoPara poder Factorizar este caso se debe conocer el Producto Notable del cuadrado de una suma(ab)2 = a22ab+b2Este producto notable da origen a una expresin algebraica conocida como Trinomio del Cuadrado Perfecto. El procedimiento consiste en identificar este trinomio para factorizarlo, convirtindolo en el producto notable que l representa. Para identificar este trinomio se deben seguir los siguientes pasos:I) Ordenar la expresin en funcin de una variable. Usualmente x, y, a, etc.II) Extraer la raz cuadrada del primer y tercer trmino.Ambos deben tener el mismo signo y sus races cuadradas deben ser exactas.III) Verificar que el segundo trmino corresponda al doble producto de las races obtenidasIV) De acuerdo al signo de este segundo trmino, el binomio correspondiente ser suma o resta.Ejemplo: x2 + 10x + 25 I) El trinomio ya esta ordenado en funcin de la variable x II) Las races cuadradas del primer y tercer trmino son Respectivamente x y 5 III) Comprobamos que el trmino central corresponde al (x)2 2.x.5 (5)2doble producto de x y 5IV) El signo de este trmino permite la factorizacin final

Se tiene entonces: x2 + 10x +25 = (x + 5)2

8.3 Factorizacin del trinomio de la forma x2 +px+qCuando se tiene un trinomio de esta forma, (una vez comprobado que no es trinomio cuadrado perfecto) lo ms probable es que corresponda al desarrollo del producto notable:(x + a). (x + b) = x2 + (a+b) x + abEl trinomio que se obtiene de este desarrollo, es posible factorizarlo siguiendo la siguiente regla prctica:I) Se ordena el trinomioII) Se buscan dos nmeros que multiplicados (con sus signos) den origen al tercer trmino y que sumados algebraicamente generen el coeficiente del segundo trmino.III) Finalmente, se toman estos nmeros y se procede a la factorizacinEjemplo: x2 5x + 6

= (x -3). (x 2)

I) Una vez ordenado, se buscan dos nmeros cuyo producto sea 6 y cuya suma algebraica sea 5II) Estos nmeros pueden hallarse descomponiendo el tercer trmino en dos factores. En este caso son - 3 y -2-III) Por ltimo se disponen los factores del modo indicado.8.4 Producto Notable. Suma por diferencia de binomios (o factorizacin de una diferencia de cuadrados)Para este caso el producto notable que da origen a una diferencia de cuadrados, corresponde a la llamada suma de dos trminos por su diferencia:(a+b). (a-b) = a2 b2 I) Debe ser una diferencia y no una sumaII) Se extrae la raz cuadrada de ambos trminosIII) Se factoriza colocndolos como el producto de la suma y la diferencia de estos valores encontrados

Ejemplo: x2 64 I) Dada la diferencia, se extrae la raz cuadrada de ambos trminos. En este caso, son x y 8.= (x + 8). (x-8) II) Se colocan estos trminos en suma y resta para su factorizacin donde cambia el signo del trmino cuadrtico negativo8.5 Producto Notable. Cubo de un binomioPara poder Factorizar este caso se debe conocer el producto notable del cubo de una suma o resta ( a b) = a3 3 a 2b + 3ab2 b3

Ejemplos: a) ( x 3) = x3 9x2 + 27x 27 b) m3 + 12m2 + 48m + 64 = ( m + 4)3

8.6 Factorizacin de una suma o diferencia de cubos:En este caso lo ms prctico para la factorizacin de una suma o diferencia de cubos es aplicar directamente las frmulas siguientes:a3 + b3 = (a + b). (a2 ab + b2 )a3 - b3 = (a - b). (a2 + ab + b2 )

puede comprobarse que al desarrollar el producto y agrupando trminos se obtiene el primer miembro de cada igualdad.Ejemplos:

a) x3 + 8 = (x + 2). ( x2 2x + 4)b) 27 a3 = (3 a). (9 + 3 a + a2 )c) 64 m3 = ( 4 m). (16 + 4m + m2 )d) 1 8 a6 = ( 1 2 a). ( 1 + 2 a + 4 a2)

9 SIMPLIFICACIN DE EXPRESIONES ALGEBRAICASLa idea de conocer los casos de factorizacin y productos notables, es la de aplicarlos en aquellos ejercicios que exijan una simplificacin algebraica, ya que la nica forma DE HACERLO ES CUANDO ESTEN FACTORIZADOS.OBSERVACIONES Cuando una expresin algebraica racional (con numerador y denominador) se quiera simplificar, lo que se busca es otra expresin ms sencilla que sea equivalente a la original. Para lograr esto es necesario Factorizar al numerador y/o el denominador para buscar que aparezcan uno o ms factores comunes en ambos. Una vez factorizada la expresin racional, se procede a simplificarla por los factores comunes.Ejemplos: Simplificar en cada caso :a) = Est factorizado, solo hay que simplificar

b) = Est factorizado, solo hay que simplificar

c) No es simplificable. Aunque (x + y) aparece en el numerador y no es factor en el numerador, sino un sumando

d) = Factorizamos el numerador y simplificamose) = = x + 3 Factorizamos el numerador y simplificamos

f) = = Factorizamos el numerador y denominador y simplificamos

g) = = Factorizamos el denominador y simplificamos10- RESOLUCIN DE ECUACIONES Una ecuacin es una igualdad con incgnitas Resolverla significa encontrar el valor ( o los valores) de la incgnita tal que se cumpla numricamente la igualdad. Para hacerlo, se despeja la incgnita, separndola o aislndola de todo lo que la acompaa

Ejemplo: 3x + 8 = 9x 5Las expresiones a cada lado del signo igual se llaman miembros y cada sumando de cada miembro se llama trmino.

Cmo se despeja una ecuacin?

I. Primero observamos si hay algn trmino que est sumando o restando a la incgnita. Si eso ocurre, le restamos o sumamos a ambos miembros dicho trmino de modo de eliminarlo del lado de la incgnita. De esta forma estamos haciendo algo equivalente a pasar restando lo que est sumando y sumando lo que est restando al otro miembro de la ecuacinEjemplo: 3 + x = 2 3 + x 3 = 2 3 x = -1

II. Luego observamos si algn coeficiente est multiplicando o dividiendo a la incgnita.Si eso ocurre, dividimos o multiplicamos a ambos miembros por el coeficiente en cuestin de modo de eliminarlo del lado de la incgnita.De esta forma estamos haciendo algo equivalente a pasar dividiendo lo que est multiplicando y multiplicando lo que est dividiendo al otro miembro de la ecuacin.Ejemplo: 5x = 1 = x =

III. Por ltimo, si la incgnita a despejar est elevada a una potencia, bien sea sta entera o fraccionaria (radical), se elevan ambos miembros al inverso del exponente, con lo cual ste se elimina.

Ejemplos:

a) = 2 ) 4/3 = 24/3 x = 24/3 b) x2 = 7 = x = c) x3 = 8 = x = 2

OBSERVACIN: Al extraer una raz de ndice par en una ecuacin, se obtienen siempre dos signos CASOS DE RESOLUCIN DE ECUACIONES10.1- Simplificacin con cancelacin de constantes: Se realiza el procedimiento descrito anteriormente .Este es el caso ms frecuente y no necesita verificacin.

Ejemplos:a) 3x = 6; No hay nada sumando a la x, por lo tanto dividimos por 3 ambos miembros, lo cual es equivalente a decir pasamos el 3 dividiendo al otro lado. = ; x = = 2b) x + 5 = 9; Pasamos el 5 restando (realmente restamos 5 a ambos lados) x + 5 5 = 9 5x = 4c) 2x 3 = ; Primero pasamos el 3 sumando y realizamos la suma 2x = + 3 2x = x= x =

10.2 Regla del producto nulo: Para dos nmeros o expresiones cualesquiera a y b, si a.b = 0, entonces a = 0 b = 0 (Tambin aplicable a ms de dos expresiones)Ejemplos:(x 1) = 0 x = 1a) ( x 1) .(x + 3) = 0 ( x + 3 ) = 0 x = 3( x + 9 ) = 0b) 8( x + 9) . ( x + 1) = 0 ( x 7) = 0( x + 1) = 0

10.3- Despeje con cancelacin de incgnitas: Cuando para despejar una incgnita simplificamos una expresin y cancelamos factores que contengan incgnitas ya sea en el numerador o el denominador, se debe tener cuidado, ya que se pueden presentar dos casos en los cuales el resultado obtenido puede no ser vlido.Se distinguen los siguientes casos:

10.3.1- Cancelacin de expresin con incgnitas en el denominador:Cuando cancelamos una expresin que presenta a la incgnita en el denominador, debemos estar alerta de que no estemos dividiendo entre 0. Por ello cuando la incgnita a ser despejada est presente en algn denominador de la expresin, debemos efectuar el siguiente procedimiento:

I) Igualar cada denominador existente en la expresin a cero y despejar la incgnita. Al hacerlo estaremos encontrando el valor o los valores prohibidos de la incgnita.II) Continuar con el procedimiento regular de despeje de la incgnita y hallar los valores de la misma.III) Verificar si los valores despejados de la incgnita coinciden con los prohibidos. Si esto ocurre, eliminarlos como soluciones. Si todas las soluciones del despeje son valores prohibidos, entonces la ecuacin no tiene solucin.

Ejemplos: a) = Primero igualamos ( x 7) = 0 y despejamos x = 7 ( valor prohibido) x-3 = Luego pasamos (x-7) multiplicando y simplificamos x 3 = 4 Pasamos el 3 sumando x = 7 Este resultado coincide con el valor prohibido; por lo tanto no es solucin para la ecuacin, siendo en consecuencia sta el vaco b) = x 3 = 0 x = 3 ( valor prohibido) x2 = ; x2 = 9 x = 3Verificamos la validez de los resultados obtenidos:Para x = 3 valor prohibido 9/0 = No existe, no es solucinPara x = - 3 valor permitido 9/-6 = Si es solucin,Luego, la nica solucin es: x = -3 c) - - 1 valores prohibidos x = -2 y x = 4 = 1 ; el m.c.m de los denominadores es : (x+2)(x-4)14 ( x-4) ( x + 2) = (x+2).(x-4)14x -56-x-2 = x2 -2x-8x2 15x + 50 = 0(x-10) . (x-50) ; las soluciones son x1 = 10 ; x2 = 5Ninguna de estas soluciones coincide con las prohibidas, luego ambas soluciones son vlidas

10.3.2 Cancelacin con expresin incgnita en el numerador:Cuando se cancela una expresin que contiene a la incgnita en un factor, es posible que se obtenga una solucin incompleta, debido a que se puede estar eliminando una posible solucin presente en el factor eliminado.Para asegurarnos de obtener el resultado completo, debemos efectuar el siguiente procedimiento:I) Realizar el procedimiento de despeje usual, cancelando las expresiones con incgnitas en el numerador y obtener el o los resultadosII) Igualar cada factor con incgnita cancelando a cero y despejar dicha incgnitaII) La solucin definitiva es el conjunto formado por las soluciones de los pasos (1) y (2)Ejemplos:a) ( x-1). (x+29 0 4 (x-1) Cancelamos (x-1) ( x + 2 ) = 4 Despejamos X = 2 Hallamos la solucinAhora bien, se debe aadir como solucin de la ecuacin a la solucin del factor cancelado (x- 1) =m 0, esto es:x- 1 = 0 x = 1 la cual es otra solucin

Sustituyendo ambas soluciones en la ecuacin original, podemos verificar que ambas son vlidas y que por lo tanto, en este ejemplo tenemos dos soluciones, a saber:x1 = 1 y x2 = 2b) ( x2 - 25) ( 2x + 1) = ( x2 25) ( x 3) cancelamos ( x2 - 25) 2x + 1 = x - 3 despejamos X = -4 SolucinBuscando las otras posibles soluciones, despejamos ( x2 25) = 0Y obtenemos x = -5 y x = 5Por lo tanto en total hay tres soluciones x1 = -4; x2 = -5 ; x3 = 511- OPUESTOS E INVERSOS Se denomina opuesto o simtrico aditivo de un nmero a aquel nmero -x que al sumarse al original resulta en cero.Ejemplos, el simtrico de 8 es -8 , el de - es

Se denomina inverso, recproco o simtrico multiplicativo de un nmero x, a aquel nmero que al multiplicarlo por el original resulta en la unidad. Vale decir si el producto de dos nmeros es 1, cada uno es recproco o inverso del otro.Ejemplos, el inverso de 3 es 1/3 : el de - es

12- VALOR ABSOLUTO El valor absoluto de un nmero cualquiera , positivo o negativo, es el mismo nmero , pero con signo positivo. Es decir: = x, si x 0 ; = - x , si x < 0Ejemplos: = 6 = 6Propiedades de los valores absolutos:Para dos nmeros reales cualesquiera a y b y cualquier nmero real c distinto de cero, se tiene que:1.= 2. 3. = si nes par 4. 5.= , si n es par6. +Ejemplos : a) = = 3b) = xc) x2 = x2y2 d) e) = f) = = g) + 4 3 + 7 4 10h) = 13- RACES Y SUS SIGNOS Si tenemos un nmero a no negativo y queremos buscar un nmero no negativo tal que multiplicado por si mismo de igual a a , estamos buscando la raz cuadrada no negativa de a , que se escribe En general el smbolo para la raz ensima de a es a es la cantidad subradical y la n se llama ndice del radical.OBSERVACIONES El smbolo por si solo representa a la raz cuadrada no negativa de a, es decir, el nmero positivo o nulo que multiplicado por si mismo da a ( Ejemplo: = 2 ) Para denotar la raz negativa se emplea - ( Ejemplo: - = -2 No obstante, cuando una raz de ndice par proviene como consecuencia de un despeje de un trmino cuadrado, cuarto,etc,deben incluirse los dos signos, ya que existen dos soluciones:(Ejemplo: x2 = 144 x = = 12 )

Al momento de despejar una ecuacin, puede ocurrir que la variable aparezca sola con una potencia mayor que 1. En este caso, se debe eliminar dicho exponente extrayendo la raz a cada miembro de la igualdad, con un ndice igual al exponente, de modo que puedan cancelarse. Segn la cantidad subradical y el ndice de la raz, pueden ocurrir los siguientes casos: Si al despejar una ecuacin resulta que la cantidad subradical es positiva y el ndice es par, siempre habr dos soluciones reales de igual magnitud pero de diferente signoEjemplos: a) x = 5 x = b) = 81 x = = 3

Si al despejar resulta una raz con cantidad subradical positiva e ndice impar, entonces hay una sola solucin real positiva.Ejemplos:a) x = 27 = 3 b) = 32 x = = 2

Si al despejar resulta una cantidad subradical negativa e ndice par, no hay solucin real, puesto que ninguna cantidad real multiplicada por si misma un nmero par de veces puede dar un resultado negativo. En este caso hay n soluciones complejas.Ejemplos:a) b)

Si al despejar resulta una cantidad subradical negativa e ndice impar, hay una sola solucin real negativa.Ejemplos:a) = -4 b) = -2

Ejercicios para la ejecucin rpida

A. Encontrar el MCD y el mcm

1) 10 y 252) 14 y 53) 9 y 354) 36 y 125) 60 y 156) 8 y 67) 21 y 68) 15 y 209) 25 y 10010) 15 y 1011) 16 y 1812) 8 y 24

B. Factorizar13) x3 + 814) x2 - 6415) x3 - 116) x2 + 2x + 117) x2 - 4918) x2 -7x + 3019) 9x10 - 1620) x2 -7x - 1821) x2 -5x + 622) y6x2 - 423) x2 16x + 6424) 1 + x3 25) x2 x - 3026) x4 - 127) x2 + 4x - 528) x6 - 27 29) 9 x1030) x2 + 10x + 2431) x2 -16x - 1632) x2 15x + 36

EJERCICIOS TIPO EXAMEN1) Al simplificar resulta: a)

b)

c)

d)

e)

2) Al simplificar la expresin resulta: a) (x 2)

b) (x + 2)

c) ( x 2 )

d) ( x + 2 )

e) 1

3) Al simplificar se obtiene: a) 1

b) -x

c) x2 - 1

d)

e) 1 x2

4) En un paraleleppedo de dimensiones 40 cm, 24 cm y 16 cm cabe un nmero exacto de cubos con un lado mximo: a) 2

b) 1

c) 8

d) 10

e) 4

5) La fraccin en forma mixta es:

a) 7

b) 2

c) 4

d) 1

e) 4,2

6) La fraccin 5 expresada en forma impropia es:

a)

b)

c)

d)

e)

7) La expresin simplificada de es:

a) 3x - 1

b) 3x + 1

c)

d)

e) 3x

8) Al simplificar resulta:

a) x

b)

c) no puede simplificarse

d)

e) x + y

9) Si se simplifica la expresin resulta:

a) 1

b)

c) - 1

d) -

e)

10) El desarrollo de la expresin (m p )3 es :

a) m3 -3m2p 3mp2 p3

b) m3 +3m2p 3mp2 + p3

c) m3 -3m2p + 3mp2 p3

d) m2 p2

e) m3 p3

11) Al despejar f de la frmula = resulta: a)

b)

c)

d)

e) a - b

12) Dada la ecuacin = si b = - 3 , entonces a es:

a)

b)

c) -3

d)

e) -

13 ) La operacin 2 + da como resultado :

a)

b)

c)

d)

e)

14 ) La factorizacin de la expresin x3 - 8, es:

a)

b)

c)

d)

e)

15) El desarrollo del producto notable (a + b) es:

a) a + b + 3ab

b) a + b + 3ab

c) a - b + 3ab

d) a + b

e) a- b

16) Al despejar f en la ecuacin + = 1 - , f es igual a:

a) 4

b) 2

c) 8

d) 1

e)

17) La expresin es equivalente a :

a) +

b) +

c) - -

d) - +

e) - +

18) La factorizacin de la expresin (a 3) + (a + 1) es:

a) 2

b) 2

c) 2

d) 2

e) 2

19) Al simplificar la expresin a) b)

c) no es simplificable d) 1 e)

20) Al despejar D en la siguiente frmula resulta igual a:

a) 19E + 6A b) 19E - 6A c) -6A d) 11E 6A e) 19E

21) Al simplificar la expresin

a) 3 ( x 2)

b) 3 ( x 2)

c) 3 ( x - 2)

d) 3 ( x + 2)

e) 1

22) La solucin de la ecuacin x 1 = - es:

a) x = - b) x = c) x = 1 d) x1 = - y x1 = 2 e) x1 = y x1 = - 2

AUTOEVALUACIN N 1

1) Al despejar p en = + resulta:

a) m.F d) (F m)-1 (mF)

b) m/F e) (m F)-1(mF)

c) (m-F) (mF)-1 2) Al simplificar resulta

a) d)

b) e) x + y

c) 1

3) Una expresin equivalente a es:

a) 6x2y d) 6x

b) 6x e) 6x2

c) 6y

4) El mayor factor comn de la expresin 4mx( x + t)2 2mt(x + t)3 + 6m2 (x2 +2tx +t2) es: a) 2m d) 2m( x + t)2

b) mx(x+t) e) 2m2( x2+ 2xt + t2)

c) 2m(x + t)3

5) Los perodos de encendido de tres faros son de 2min; 1,5min y 45 seg respectivamente. Una vez que coinciden cada cuanto vuelven a coincidir? a) 6 min d) 210 min

b) 3 h e) 2h c) 150 seg

6) es igual a:

a) -8-a d) -a-7

b) 3 + a e) N.A

c) 0

7) Al simplificar resulta:

a) d)

b) e)

c) 1

8) La mayor expresin que divide a 18 (cx) ; 60c3x3m y 126mxc2 es:

a) 1260c3x3m d) 6c2x

b) 90c2x e) 6

c) 9cx

9) Al despejar la incgnita y de la expresin = 2x + 1 resulta

a) 4 d) 1/2

b) 2 e) N.A.

c) 2x + 4

10) La(s) solucin(es) de la ecuacin ( x 5).(x + 6) = 0 es (son):

a) x = 11 d) x = -6 y x = 5

b) x = 6 e) x = 6 y x = -5

c) x = -5

MDULO IIFUNCIONESCOMPETENCIA:Desarrollar la capacidad de reconocimiento y anlisis de una funcin dada en forma analtica, grfica o a travs conjunto de sus pares ordenadosINDICADORES:2.1 identificar los conjuntos notables N, Z, Q, I, R y C2.2 Calcular la fraccin generatriz de un decimal peridico2.3 Saber comparar y ordenar dos o ms racionales2.4 Conocer el concepto de intervalo de una variable2.5 Dada una relacin en forma analtica, grfica o en Diagrama de Venn, reconocer si es o no una funcin2.6 obtener los pares ordenados de una funcin a partir de una caracterstica2.7 Identificar el dominio y Rango de una funcin2.8 Obtener las races de una funcin2.9 Analizar grficas de funciones para estudiar su crecimiento, signos y races2.10 Dada una funcin, clasificarla segn criterios de inyectividad y sobreyectividad

CUESTIONARIO EXPLORATORIO MDULO 2

1) Dada la funcin f(x) = 2 x2 al hallar f(x-1) se obtiene:a) - x+ 2x - 1b) - 1 + 2x + xc) 1 + 2x - xd) 0e) 2x - 1

2) Dada la funcin f(x) = x+2 y g(x) = 2x, se puede afirmar que f (g(x)) es:a) 2x - 4b) 2x - 2c) 2xd) 0e) -23) La grfica adjunta se corresponde con la funcin: f(x)a) f(x) = x - 1b) f(x) = x + 1c) f(x) = -x-1-11xd) f(x) = -x+1e) f(x) = -x

4) En la funcin f(x) = x2 + 2m, el valor de m para que f(x) tenga como raz x = 2 es:a) 2b) -4c) d) -e) -2

5) El dominio de la funcin y = es:a) b) +c) - d) - e) -

CALIFICACION: / 20

MDULO 2 : FUNCIONES1- CONSTANTES Y VARIABLESConstante: es una cantidad que conserva un valor fijo a travs de un problema en particular.Variable: Es una cantidad que puede tomar varios valores en un problema particular .Pueden ser discretas o continuas .Son discretas cuando pueden tomar slo determinados valores dentro de un intervalo dado ( Ej: Nmeros Enteros). Son continuas cuando pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado ( Ej: Nmeros Reales)2- CONJUNTOS NOTABLESSon conjuntos numricos infinitos de gran importancia en el estudio de las matemticas. Los ms importantes son:(Naturales),(Enteros), (Racionales),(Irracionales), (Reales),(Complejos).Emplearemos el smbolo que de lee como subconjunto.2.1- Los Nmeros Naturales: Son los nmeros enteros positivos, incluyendo al cero = - ---------------------------------------------------------- + 1 2 3 4 5Para referirnos al conjunto de nmeros naturales no nulos, emplearemos la notacin*.2.2- Los Nmeros Enteros. Son los nmeros enteros positivos y negativos. Todo nmero natural tambin pertenece a = - ---------------------------------------------------------- + -2 -1 01 2

2.3 Los Nmeros Racionales : son aquellos que provienen de una fraccin

- ---------------------------------------------------------- + -2 -1 01 2--

= Nota: el denominador no puede ser cero

2.2 Calcular la fraccin generatriz de un decimal peridicoLa expresin decimal de un nmero racionalRecordemos que al expresar un nmero racional, no entero, en forma decimal se obtiene tres clases de nmeros decimales:

1) decimal finito o exacto

= 0,4

2) Decimal infinito o peridico puro

= 0,666

3) Decimal infinito o peridico mixto

= 1,31

Nota:La parte entera es el o los nmeros antes de la coma. La parte no peridica es el o los nmeros que no se repiten y estn despus de la coma. La parte peridica es el o los nmeros que se repiten a la derecha de la coma, y que pueden representarse escribiendo los nmeros que se repiten con una lnea recta sobre ellos.

Fraccin generatriz de una expresin decimalUn nmero decimal exacto o peridico puede expresarse en forma de fraccin, llamada fraccin generatriz, de las formas que indicamos:

Clculo de la fraccin generatriz de un nmero decimal exacto

Si la fraccin es decimal exacta, la fraccin tiene como numerador el nmero dado sin la coma, y por denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tengaEjemplo

Clculo de la fraccin generatriz de un decimal peridico puro, paso a paso

Si la fraccin es peridica pura, la fraccin generatriz tiene como numerador el nmero dado sin la coma, menos la parte entera, y por denominador un nmero formado por tantos nueves como cifras tenga el perodo.Ejemplo:

Clculo de la fraccin generatriz de un decimal peridico mixto, paso a paso

Si la fraccin es peridica mixta, la fraccin generatriz tiene como numerador el nmero dado sin la coma, menos la parte entera seguida de las cifras decimales no peridicas, y por denominador, un nmero formado por tantos nueves como cifras tenga el perodo, seguidos de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal no peridica.Ejemplo:

2.3 Saber comparar y ordenar dos o ms racionales2.3 Relacin de orden de dos o ms racionales1 Ordenar fracciones con igual denominadorDe dos fracciones que tienen el mismo denominador es menor la que tiene menor numerador.Ejemplo:

2 Ordenar fracciones con igual numeradorDe dos fracciones que tienen el mismo numerador es menor el que tiene mayor denominador.Ejemplo:

3Ordenar fracciones con numeradores y denominadores distintosEn primer lugar las tenemos que poner a comn denominador.Ejemplo:

Es menor la que tiene menor numerador.

Dadosdos nmerosdecimales esmenor:

1. El que tengamenor la parte entera.

2.Si tienen lamisma parte entera, el que tenga lamenor parte decimal

No hay dos nmeros decimales consecutivos, porque entre dos decimales

siempre se puede encontrar otros decimales.

Nota: En lneas generales, podemos resumir en una clave grfica la relacin de orden entre dos nmeros, sean stos enteros, racionales , irracionales o reales en general, positivos o negativos. Dados dos nmeros, ser mayor aqul que se encuentre situado a la derecha del otro en la recta. Y en consecuencia, ser menor aqul que se encuentre a la izquierda del otro en la recta.

Veamos: - est a la derecha de - , luego - es mayor que -

| ||| | | | |

- - - - - -

Nmeros IrracionalesSon aquellos decimales infinitos no peridicos .Ejemplos de ellos son las races no exactas como , los nmeros e y algunas series innfinitas como 0,0101001000100001..I =

- ----------------------------------------------------------------- + -2 -1 0 1 2 3 4 = 1,4142135. = 3,14159265358

Nmeros RealesEs la unin de los racionales e irracionales = - -------------------------------------------------------------------------------------------------------+ (Recta real, variable continua)

Observemos como,

Nmeros ComplejosEl conjunto de los nmeros complejos es la unin de los nmeros reales y los imaginarios.Un nmero imaginario es aqul que proviene de resolver una raz de ndice par de un nmero negativo.

= ( i = unidad imaginaria = ) ; a = parte real ; b = parte imaginariaFinalmente obtenemos que: Siendo = Conjunto de los nmeros complejos = Universo Finalmente obtenemos que: Adems = ; =

Observaciones Todo nmero real es tambin un nmero complejo con parte imaginaria i igual a 0. Por lo tanto tenemos que : Si se quiere expresar cualquiera de los conjuntos antes mencionados no negativos, se le coloca el superndice + Ejemplo : + = Por convencin + incluye al cero.

Si se quiere expresar cualquiera de los conjuntos antes mencionados excluyendo al 0, se le coloca un superndice * . Ejemplo * =

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Para efectos de los conjuntos notables haremos nfasis slo en dos operaciones entre los conjuntos. stas son:Unin : La unin de dos o ms conjuntos A,B,C,..se denota ABC y es un conjunto formado por la agrupacin de todos los elementos que pertenecen q estos conjuntos, es decir, los elementos que pertenecen a A o B o C,etc. Se representa como los elementos comunes y no comunes. Al unir dos conjuntos donde uno es subconjunto del otro, la unin da como resultado el conjunto mayor. Veamos algunos ejemplos:

a) =

b) =

c) = d) = e) =

=

InterseccinLa Interseccin de dos o ms conjuntos A, B, C, se denota A B C y es el conjunto formado por la agrupacin de los elementos comunes que pertenecen a los conjuntos intersectados. En el caso de que un conjunto est contenido en otro, la interseccin ser el subconjunto.Ejemplos:

a) = b) = c) =

d) = e) = f) =

2.4 Conocer el concepto de intervalo de una variable Se llama intervalo entre dos puntos a y b al conjunto de valores comprendidos entre ellos.Los extremos estarn incluidos si la expresin indica la opcin mayor o igual ( ) o menor o igual ( en cuyo caso se colocan corchetes para indicar el extremo cerrado o incluido.Si el extremo no est incluido, se llama extremo abierto y se indica con parntesis.De acuerdo con lo expuesto anteriormente, los intervalos se pueden clasificar en cuatro categoras:i) a x b x Intervalo cerrado ii) a x b x Intervalo semi-cerrado iii) a x b x [ a,b ) Intervalo semi-cerrado iv) a x b x Intervalo abierto

Observacin: El nmero de elementos de un intervalo depende del tipo de variable, as, un intervalo dado puede tener un nmero infinito o finito de elementos.Ejemplo: el conjunto A = tiene un solo elemento si x (variable discreta), pero tiene infinitos elementos si x (variable discreta) o si x Ejemplos:a) [3,9](5,7]= [3,9] - | | | | | | | | | | | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

b) [ -2,6)(0,8]= [-2,8] - | | | | | | | | | | | -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

c) (3,9]( 5,7]= ( 5,7] - | | | | | | | | | | | | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 d) [ -2,6 ) (0,+ )= (0,6) - | | | | | | | | | | | | | | -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 RELACIN O CORRESPONDENCIAUn conjunto de pares ordenados se denomina una relacin binaria. Al conjunto de los primeros elementos (x) se les llama dominio de la relacin, y al conjunto de los segundos (y) se les llama rango o recorrido de La relacin.

.1.2.3.4.5a.b.c.d.En diagramas de Venn:

Pares Ordenados =

Producto Cartesiano: El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto der todos los pares ordenados posibles en los que el primer elemento pertenece al conjunto A y el segundo elemento pertenece al conjunto B. Se denota A x B y no es conmutativo. El conjunto de los pares ordenados de cualquier relacin entre A y B es subconjunto de AxB.Ejemplo: Sean los conjuntos A = y B = A x B = El producto cartesiano de A y B tiene 4 x 3 = 12 pares ordenados. Tambin se puede representar por medio de diagramas tabulares y diagramas sagitales (de Venn)

.a.e.i l.m.p.t.ABi

e a lmp t Diagrama Tabular Diagrama Sagital

FUNCIN O APLICACINCuando en una relacin a cada elemento del dominio le corresponde un solo elemento y solo uno del rango, se dice que dicha relacin es una funcin.

.1.2.3.4F: A B

a.b.c-AB

Dom f = A Conjunto de llegada = B Rango de f = Si f denota una funcin , el valor y asociado a cada valor x se dir que es su imagen y se denotar f(x). A la x (pre-imagen) se le llama variable independiente y a la y variable dependiente puesto que vara de acuerdo a la variacin de la x. = f : A B

CARACTERSTICA DE UNA FUNCINEs el conjunto de operaciones que hay que efectuar con cada valor de x para obtener su correspondiente imagenEjemplo : F(x9 = 2x2 3x + 1 y A = Hallar los pares ordenados

f(-19 = 2(-1)2 3 (-1) + 1 = 2 + 3 + 1 = 6 Rgo f = f(0) = 2 (092 3 ( 09 + 1 = 1Conjunto de Pares Ordenados : f(2) = 2 (2)2 3(2) + 1 = 8 6 + 1 = 3

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIN REALDominio. Es el conjunto de elementos a los que la funcin asigna imgenes realesRango. Es el conjunto de valores obtenidos o asignados para los valores del dominio

Cuando el dominio de una funcin no est especificado, queda sobreentendido que es el mayor conjunto de nmeros reales para los que la caracterstica de la funcin permita obtener valores reales.Comprendido esto, para obtener el dominio de una funcin f(x), uno se debe hacer la siguiente pregunta: Para cualquier funcin f(x), Todo elemento x tiene necesariamente una imagen real?. La respuesta es no. Depende de la funcin y por ello a veces el dominio de una funcin tiene restricciones. No pertenecern al dominio de una funcin real aquellos elementos de x que tengan como imagen : + , - , o un nmero complejo.Ejemplos:a) f(x) = . El elemento x = 8 no pertenece al dominio de f ( f(8) = + ) Por tanto el dominio se puede expresar como: Dom f : x - o tambin x ( 8, + )b) f(x) = . El intervalo x - 1, no pertenece al dominio de f y su dominio puede definirse como:Dom f : x o tambin x

RACES O CEROS DE UNA FUNCIN

Una raz de una funcin es un valor de x que tiene como imagen el valor 0. Si f(a) = 0, entonces a es una raz de f(x).Una funcin puede tener una, varias o ninguna raz real.Grficamente, las races de una funcin son los valores de las abscisas (x) en las que existe punto de corte de la grfica de f(x) con el eje X.Ejemplos: a) f(x) = x 3 si f(x) = 0, x- 3 = 0 x = 3b) f(x) = x2 1 si f(x) = 0, x2 1 = 0 x1 = + 1 y x2 = - 1c) f(x) = x2 + 1 x2 + 1 = 0 f(x) no tiene races reales

a) b) c)

En general, para encontrar las races de una funcin, basta igualar la caracterstica (la variable y) a cero y luego despejamos la x.

REPRESENTACIN GRFICA DE UNA FUNCINEs el conjunto de pares ordenados que satisfacen la igualdad y = f(x) en un sistema de coordenadas cartesianas.Y b _ _ _ _ P(a,b) |XaEn el caso de tenerse la caracterstica de la funcin y se quiera graficar, se puede proceder buscando la mayor cantidad de pares ordenados. Es decir, se le dan valores del dominio a la variable independiente y se obtienen las respectivas imgenes para tener as algunos puntos que permitan conocer la forma de la grfica de dicha funcin. Ejemplos: a) f(x) = 3x -1Como el dominio de esta funcin es , le daremos a la variable algunos valores escogidos en forma arbitraria. Normalmente se utilizan cantidades sencillas de operar en la funcin. Es recomendable incluir el punto donde x = 0,si ste pertenece al dominio de la funcin.

x-2-1012

f(x) = y-7-4-125

b) f(x) = x2 - 4 De la misma forma, se le darn a la variable independiente algunos valores para conocer la forma de la grfica

x-2-1 0 12

f(x) = y 0-3-4-30

CLASIFICACIN DE LAS FUNCIONESINYECTIVA

.1.2.3.4a.b.c.Cuando a elementos diferentes del dominio corresponden diferentes imgenes A B

SOBREYECTIVACuando el rango es igual al conjunto de llegada

.1.2.3.4a.b.c.d. AB

BIYECTIVACuando es inyectiva y sobreyectiva a la vez, se dice que la funcin es sobreyectiva

.1.2.3a.b.c. A B

El hecho que una funcin no sea inyectiva no implica que necesariamente sea sobreyectiva. De manera anloga, si no es sobreyectiva, no necesariamente debe ser inyectiva. De tal forma que, existen funciones que ni son inyectivas ni son sobreyectivas y no les corresponde una designacin en particular. Sencillamente son funciones a secas, como en el ejemplo siguiente:

1.2.3.a.b.c.AB

PROCEDIMIENTO PARA RECONOCER UNA FUNCINPara identificar cuando una relacin o correspondencia es o no una funcin, analizamos lo siguiente:

Si nos dan los diagramas sagitales (Venn) : Slo son funciones aquellas relaciones en las cuales de cada elemento del dominio sale una y solo una flecha.Ejemplo Cules de los siguientes diagramas representan funciones de A en B? en caso de serlo, clasificarlas

a.b.c.d.a.b.c.. 1 .2 .3.4.x A B A B a) b)

p.q.r.s.a.b.c.d.A A

.1.2.3.4.1.2.3BBc)d)

a) Funcin Inyectivab) Funcin Sobreyectivac) No es funcind) Funcin BiyectivaSi nos dan la caracterstica: Slo estamos seguros que representan funciones aquellas caractersticas cuya variable dependiente (y) tiene grado impar, puesto que si fuese grado par, para cada valor de x existiran dos imgenesEjemplos :a) y + x3 + x2 + x 1 = 8 es una funcin ( y elevada a la unidad, que es impar)

b) y2 + x 4 = 5 despejando la y y = como podemos observar, para cada x habr dos imgenes. Por tanto no es funcinEjemplo: Cules de las siguientes caractersticas representan una funcin y cules no?

a) x = y 8 Si es funcinb) y3 = x2 + x 5 Si es funcinc) x = y2 - x3 + 9 No es funcin

Si nos dan una grfica: Para saber cundo una grfica representa una funcin, se traza una recta paralela al eje Y y se desliza a lo largo del eje X. Si en alguna posicin esta recta intersecta a la curva en ms de un punto, ese valor de x tendra ms de una imagen y por tanto no es funcin. Slo son funciones aquellas grficas en las cuales la recta auxiliar, donde quiera que se ubique, corta en un solo punto a la curva del grfico.Ejemplo: Y Y XX

Funcin Relacin Veamos los siguientes ejemplos: Y

a) b)X

c) d)

a) No es funcin b) Es funcin c) Es funcin d) No es funcin

SIGNO DE UNA FUNCIN:El signo de una funcin depende del signo de cada una de sus imgenes, las cuales pueden ser cada una negativa o nula. De all que en general, existan funciones positivas ( si todas sus imgenes son positivas ) funciones negativas( si todas sus imgenes son negativas) y funciones alternas ( si hay imgenes positivas y negativas).Cuando la funcin mantiene en un intervalo (a, b) la misma imagen para todos los puntos del intervalo, se dice que es constante en (a, b)Veamos las siguientes funciones

a) Funcin Positiva: b) Funcin negativa: y = x2 + 1 y = -3 (positiva y variable) ( negativa y constante)

c) Funcin alterna y = x3 FUNCIN INVERSAConsiderando a una funcin como un mecanismo que obtiene a partir de un elemento del dominio un correspondiente elemento del rango, podramos relacionarla con una mquina que obtiene a partir de materia prima (dominio) un producto elaborado (rango) para cada entrada

f (x) x y

Supongamos que podemos invertir el sentido de la mquina en el sentido de introducir ahora por el extremo de salida de la mquina los productos elaborados, obteniendo por el otro extremo el elemento que le dio origen, en tal caso la mquina estara funcionando a la inversa, y decimos que sera su funcin inversa f-1(x)

f (x) x y

NOTA: no confundir f-1(x) con una notacin exponencial, que sera considerarla como 1/ f(x) , lo cual sera absolutamente incorrecto . vale decir:Funcin inversa de f(x) = f-1(x) -1 = 1/ f(x) = Ojo : NO SON IGUALES!PROCEDIMIENTO PARA ENCONTRAR LA FUNCIN INVERSA PASO A PASOa) Dada f(x) = x + 1, halle una frmula para f-1(x) 1.- Reescribimos f(x) = y, luego : y = x + 12.- Despejamos la x : x = y 13.- Ahora intercambiamos la x con la y : y = x 14.- Finalmente escribimos: f-1(x) = x 1Comprobando evaluamos f(2) = 3 ; f-1(3) = 2 f(0) = 1 ; f-1(1) = 0Ejemplo: Dada g(x) = 2x +3 , hallar g-1(x) y = 2x + 3 x = g-1(x) =

Al hallar la inversa de una funcin puede que se obtenga otra funcin o no. Hay que tener presente que el concepto de funcin exige que a cada elemento del conjunto de partida le corresponde una y slo una imagen de uno y solo uno de los elementos en el conjunto de llegada, de modo que su inversa puede o no cumplir con esa condicin. Veamos: Si la funcin es biyectiva , al hallar su inversa obtenemos necesariamente otra funcin Pues si cada elemento del conjunto de llegada es la imagen de uno y solo uno de los elementos del conjunto de partida, (es decir, relacin de uno a uno) al invertirla seguir existiendo dicha biyectividad. Si la funcin no es inyectiva, su inversa no ser funcin. Tal es el caso de la funcin f(x) f(x) = x2 que corresponde a una parbola y que no es una funcin inyectiva ya que un elemento del conjunto de llegada puede ser imagen de dos elementos del conjunto de partida, (por ejemplo, f(2) = 4, f(-2) = 4). Si hallamos su inversa, no obtendremos una funcin.

Por otro lado es importante destacar el hecho de que al hallar la inversa de una funcin y evaluar en ella a la funcin primitiva para un valor determinado, obtenemos el miosmo valor. Veamos el siguiente ejemplo:Sea la funcin f(x) = 5x 3, hallemos en primer lugar su inversa. f(x) = 5x-3 y = 5x 3 y + 3 = 5x x = f-1(x) = Ahora bien, si esta funcin inversa la componemos con f(x) y evaluamos para un valor determinado, por ejemplo -.2, obtenemos que f-1 = = a

En forma grfica, podemos sintetizar el procedimiento de acuerdo al siguiente esquema:

f-1(x) f (x)a b ba

FUNCIN COMPUESTADenominada tambin como funcin de otra funcin o funcin de funcin, es aquella en la cual sustituimos la variable independiente original de una funcin, por otra funcin.Veamos: f(x) g(x) = f(g(x)) se lee funcin compuesta de f(x) en g(x) o funcin compuesta de f(x) aplicada en g(x).De manera anloga, podemos indicar g(x) f(x) = g(f(x)), se lee funcin compuesta de g(x) en f(x).Ilustremos con un ejemplo la composicin de funciones f(g(x)) y g(f(x))Ejemplo:Sea f(x) = 2x- 1 y g(x) = x + 1Encontrar: a) f (g(x)) y b) g(f(x))a) f (g(x)) = f(x) g(x) donde est la x de f(x) colocamos g(x)As: f (g(x)) = f(x)|x = g(x) = 2g(X) - 1 = 2(x + 1) -1 = 2x +2 -1 = 2x + 1b) g(f(x)) = g(x)|x=f(x) = f(x) + 1 = (2x-1) + 1 = 2x -1 +1 = 2xCRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO EN UNA FUNCINSe dice que en un intervalo a,b) la funcin crece, si f (b) f(a)Se dice que en un intervalo (a, b) la funcin decrece si f (b) < f(a)Veamos las funciones:f(b) f(b)

f(a) f(a) a b

a b f(b) f(a) f(b)f(a)La funcin crece en (a,b) La funcin decrece en (a,b)

EJERCICIOS DE EJECUCIN RPIDA

Dado el siguiente grfico de una funcin: 4 _ _ 3 _ _ 2 - _ 1 _ _ | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 - -2 - -3 - -4 -

1) Es f(x) una funcin? 11) Cuntas races tiene?2) Cul es el dominio de f(x)? 3) Cul es el rango de f(x)?4) Es f(x) inyectiva?5) Nombra dos x con igual margen 6) Cul es el valor de f(-8)?7) Cul es el valor de f(-7)?8) Cul es elvalor de f(-1)?9) Cul es el valor de f(2)?10) Cul es el valor de f(6)11) Cuntas races tiene f(x)?12) Cules son las races de f(x)?13) Cul es el valor de f?14) Cul es el valor de f ?15) Cul es el valor de f ?16) Cul es el valor de f ?17) Cuntas pre-imgenes tiene y = 1?18) Cuntas pre-imgenes tiene y = 5?19) Cuntas pre-imgenes tiene y = 2?20) Cuntas pre-imgenes tiene y = -1?21) Identifica los intervalos de crecimiento de f(x)22) identifica los intervalos de decrecimiento de f(x)23) Identifica los intervalos donde f(x) es constante24) Identifica los intervalos en los que f(x) es positiva25) Identifica los intervalos en los que f(x) es negativa

EJERCICIOS TIPO EXAMEN

AUTOEVALUACIN N 2

1) Dada la funcin g(x) = y la funcin f(x) = , el valor de f (-1) es:a) b) - c) 1d) 0e) no est definido

2) Sea la funcin h(x) = el valor de h es:a) 1b) -1c) d) 3e) -3

3) Una funcin que cumple f(x) = f(-x) es:a) f(x) = x2 2xb) f(x) = -x3 + x2c) f(x) = -x2 + x4 d) f(x) = -xe) f(x) = -x7

4) Si f(x) + g(x) = 3 y f(x) = 2x ; entonces se cumple que:a) g(-1) 1 = 0b) g(x) x = 0c) g ( -1) = 5d) g(x) = 3 + 2xe) g(x) = x + 1

5) El resultado de es:a) b) c) d) e) N.A

6) El dominio de f(x) = es:

a) b) c) d) e)

7) La caracterstica de la funcin cuya grfica se muestra es : -a) f(x) = 2x + 2 - b) f(x) = -2x + 2 -c) f(x) = -2x 2 | | | | | -d) f(x) = x + 2(-1, 0) -e) f(x) = -x + 2 - (0, -2)

8) El dominio de La siguiente funcin f(x9 = (x2 25)-1 es:a) b) c) ( -,-5] 5, + )d) e)

9) Dados los intervalos M = [ -8, 1) y L = ( -10,1] , entonces M es:a) Lb) (-8,4] c) Md) [ -10,1)e) [ -8,4 ]

10) Dadas las funciones g(x) = , f(x) = 2x y h(x) = x+1 , el valor de g(1) es:a) 1b) c) 3/2d) 5/2e) 2

MDULO IIIPOLINOMIOS

COMPETENCIA 3: Dominar los conceptos y operaciones bsicas de los polinomios

INDICADORES:3.1 Identificar una funcin polinmica3.2 Sumar, restar, multiplicar y dividir polinomios3.3 Factorizar un polinomio de grado n3.4 Aplicar el teorema del resto3.5 Reconocer y graficar una funcin polinmica3.6 Reconocer y graficar una funcin polinmica de segundo grado

CUESTIONARIO EXPLORATORIO MDULO 3

1) Dados los siguientes polinomios P(x) = x2 3x + 1 y Q(x) = -x + 2, el valor de Q(x) P(x) es:a) -x2 + 2xb) -x2 + 2x + 2c) x2 + 2x + 1d) x2 + 2xe) x2 - 2x -12) El polinomio P8x) = x (x-1)(x +3) tiene como races:a) 1 y -3b) -1 y 3c) 0 y -3d)0, -1 ,3e)0,-3 y 13) El residuo de la divisin ( x5 -2) + (x-1) es:a) 3b) 1c) -1d)2e) -3

4) Al dividir el polinomio P(x) = 2x10 - x5 entre el polinomio Q(x) = -x2 + 1 se obtiene otro polinomio de grado:a) 3b) 2c) 1d) 5e) 8

5) La siguiente funcin polinmica f(x) = -2x + 1 se representa grficamente como una a) parbolab) elipsec) rectad) circunferenciae) no se puede determinar

SNTESIS TERICA MDULO 3: POLINOMIOS

3.1 Identificar una funcin polinmicaPara lograr este objetivo, es necesario fijar previamente una serie de conceptos relacionados con ese propsito y que nos facilitarn el desarrollo de las operaciones relacionadas con ellos.Lo haremos en forma resumida, para ganar tiempo en la ejecucin de los ejercicios.MonomiosUn monomio es una expresin algebraica en la que las nicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural. 2x2y3zPartes de un monomio1) CoeficienteEl coeficiente del monomio es el nmero que aparece multiplicando a las variables.2) Parte literalLa parte literal est constituida por las letras y sus exponentes.3) GradoEl grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables.El grado de 2x2y3z es: 2 + 3 + 1 = 6Monomios semejantesDos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal. 2x2y3z es semejante a 5x2y3zUn polinomio es la suma factorizada de varios monomios o trminos del polinomio. Es una expresin algebraica constituida por un numero finito de variables y constantes, utilizando solamente las operaciones de adicin, sustraccin, multiplicacin y potenciacin con exponentes de nmeros naturalesEscribir un polinomio en forma factorizada, significa escribirlo como producto de dos o ms polinomios primos. Un polinomio primo es aquel que solo puede dividirse por 1 o por si mismo.La expresin general de la factorizacin es P(x) = A(x-x1).(x-x2).(x-xn), en donde A representa el valor comn de todos los elementos de la expresin. Para factorizar un polinomio se busca el factor comn, es decir aquel valor presente en todos los trminos de la ecuacin. Por ejemplo, si tenemos el polinomio P(x) = x3 x2 , el factor comn ser x, ya que aparece en todos los trminos de la ecuacin. P(x) = x2 . (x 1) . Para comprobar la factorizacin, se puede aplicar la propiedad distributiva, obtenindose en consecuencia la expresin original de P(x).Al escribir el polinomio en forma factorizada, se hacen evidentes sus races, porque debemos conocer los ceros del polinomio. La raz o cero de un polinomio es un nmero tal que al reemplazar ese nmero en el polinomio ste resulta en cero.Un polinomio,, de gradonen la variablexes un objeto de la formaEl polinomio se puede escribir ms concisamente usandosumatorioscomo

Las constantesa0,,anse llaman loscoeficientesdel polinomio. Aa0se le llama elcoeficiente constante(o trmino independiente) y aan, elcoeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mnico o normalizadoLos polinomios de varias variables, a diferencia de los de una variable, tienen en total ms de una variable. Por ejemplo los monomios:

En detalle el ltimo de elloses un monomio de tres variables (ya que en l aparecen las tres letrasx,yyz), el coeficiente es 4, y los exponentes son 1, 2 y 1 dex,yyzrespectivamente.Grado de un polinomioSe define el grado de unmonomiocomo el mayor exponente de su variable. El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado.EjemplosP(x) = 2, polinomio de grado cero (el polinomio solo consta del trmino independiente).P(x) = 3x+ 2, polinomio de grado uno.P(x) = 3x+ 2x, polinomio de grado dos.P(x) = 2x2+ 3x+ 2, polinomio de grado tres.Convencionalmente se define el grado del polinomio nulo como. En particular los nmeros son polinomios de grado cero.

3.2 Sumar, restar, multiplicar y dividir polinomios

Operaciones con polinomiosLos polinomios se puedensumaryrestaragrupando los trminos y simplificando losmonomiossemejantes. Para multiplicar polinomios se multiplica cada trmino de un polinomio por cada uno de los trminos del otro polinomio y luego se simplifican los monomios semejantes.EjemploSean los polinomios:y, entonces el producto es:

Dados lospolinomios, de la forma general:

o de forma compacta mediante elSumatoriode los trminos del polinomio:

podemos definir comooperaciones con polinomios, las operacionesaritmticasoalgebraicas, que partiendo de uno o ms de esos polinomios nos da unos valores u otro polinomio, segn la operacin de que se trate.Valor numrico de un polinomio en un punto partiendo de un polinomio, el clculo del valor numrico que ese polinomio toma para un valor concreto de,, se obtiene sustituyendo la variabledel polinomio por el valory se realizan las operaciones. El resultado dees valor numrico del polinomio para. En el caso general:

tomar un valor para, de:

Ejemplo:Dado el polinomio:

su valor para, sustituyendo x por su valor, es:

Con el resultado de: Igualdad de polinomiosde grado n, se dice que son iguales si los coeficientes de los monomios semejantes son iguales, esto es, si:

Ejemplo:

en este caso:

Polinomio opuestoDados dos polinomios:

de grado n, se dice que son opuestos y se representa:

si los coeficientes de los monomios de igual grado son de distinto signo (opuestos), esto es:

Ejemplo:

los polinomios P(x) y Q(x) son opuestos.Adicin de polinomiosLa suma de polinomios es una operacin, en la que partiendo de dos polinomios P(x) y Q(x), obtenemos un tercero R(x), que es la suma de los dos anteriores, R(x) tiene por coeficiente de cada monomio el de la suma de los coeficientes de los monomios de P(x) y Q(x) del mismo grado.Dados los dos polinomios P(x) y Q(x):

el polinomio suma R(x), ser:

que es lo mismo que:

sacando factor comn a las potencias de x en cada monomio:

Ejemplo:Escribiendo los polinomios de modo que los monomios de igual grado estn alineados verticalmente, la suma de los polinomios es el polinomio resultante de sumar las coeficientes de los monomios del mismo grado, como se ve en el ejemplo.

Multiplicacin de polinomiosMultiplicacin de un polinomio por un escalarPartiendo de un polinomio P(x), el producto de este polinomio por un escalar k, es un polinomio k P(x), en el cual cada uno de los coeficientes que posee el polinomio se multiplica por el escalar k.Si el polinomio es:

Y lo multiplicamos por k:

Dando lugar a:

Ejemplo:Partiendo del polinomio:

Lo multiplicamos por 3,

Operando con los coeficientes:

y tenemos como resultado:

esta operacin tambin puede expresarse del siguiente modo:

Que es la forma aritmtica para hacer la operacin.

Multiplicacin de un polinomio por un monomioPartiendo de un polinomio P(x), y un monomio M(x), el producto P(x)*M(x) es un polinomio que resulta de multiplicar los coeficientes del polinomio por el del monomio, y sumar a los exponentes del polinomio, el del monomio, veamos: Si el polinomio es:

y el monomio es:

el producto del polinomio por el monomio es:

Agrupando trminos:

El producto de exponentes de la misma base, es la base elevada a la suma de los exponentes:

Que es el resultado del producto.Ejemplo:Partiendo del polinomio:

y del monomio:

La multiplicacin es:

aplicando lapropiedad distributivade la multiplicacin:

realizando las operaciones:

esta misma operacin, se puede representar de esta forma:

donde se multiplica cada uno de los monomios del polinomio P(x) por el monomio M(x)

Multiplicacin de dos polinomiosDados dos polinomios P(x) de grado n y Q(x) de grado m, el producto de estos dos polinomios P(x) * Q(x) que ser un polinomio de grado n + m, as si:

entonces:

aplicando la propiedad distributiva de la multiplicacin:

agrupando trminos:

operando potencias de la misma base:

El doble sumatorio anterior puede reordenarse en la siguiente forma:

Ejemplo paso a pasoVamos a multiplicar los polinomios:

el producto de los polinomios P(x) * Q(x):

lo realizaremos paso a paso, multiplicando P(x) por cada uno de los monomios de Q(X), sumando despus el resultado, as en primer lugar, haremos la multiplicacin:

que resulta:

ahora multiplicamos P(x) por el segundo monomio de Q(x), x:

al realizar la operacin se colocan los resultados alineados verticalmente segn las potencias de x, del siguiente modo:

hacemos lo mismo con el tercer monomio de Q(x):

lo que resulta:

hechas ya las multiplicaciones de P(x) por cada uno de los monomios de Q(x), hacemos la suma de los productos parciales, segn las distintas potencias de x, con lo que obtenemos el resultado:

este polinomio de 5 grado es el producto de P(x) de 3 grado y Q(x) de 2 grado.Divisin de polinomiosLa divisin de polinomios tiene las mismas partes que ladivisinaritmtica, as hay dos polinomios P(x) (dividendo) y Q(x) (divisor) de modo que el grado de P(x) sea mayor que el grado de Q(x) y el grado de Q(x) sea mayor o igual a cero, siempre hallaremos dos polinomios C(x) (cociente) y R(x) (resto) que podemos representar:

tal que:

dividendo = divisor cociente + [[restoEl grado de C(x) est determinado por la diferencia entre los grados de P(x) y Q(x), mientras que el grado de R(x) ser, como mximo, un grado menor que Q(x).ejemplo:veamos un ejemplo paso a paso:

que para la realizacin de la divisin representamos:

como resultado de la divisin finalizada:

3.3 Aplicar el teorema del restoTeorema Del Resto:El restode la divisin de un polinomiopor un binomio de formaes el valor numrico del polinomio dividendo, sustituyendo "x" por el opuesto de "a" (es decir, por). Formalmente puede expresarse como:

Por ejemplo, si

y el binomio divisor es

entonces el resto ser, y se obtiene el resto:

Cuando el resto sea igual a cero diremos que el dividendo es divisible por el divisor, es decir, que la divisin es exacta.Divisiones sintticasPara obtener el cociente y residuo de una divisin de un polinomio entero enxentre un binomio de la formax+a, sin efectuar directamente la operacin completa, se emplea el mtodo deDivisiones sintticas, tambin conocido comoRegla de Ruffini.

3.4 Factorizar un Polinomio de grado nFactorizacin de un polinomioUna factorizacin de un polinomio de gradones un producto de como muchofactores o polinomios de gradocon. As por ejemplo el polinomioP(x) de grado 5 se puede factorizar como producto de un polinomio de grado 3 y un polinomio de grado 2:

Cada uno de los polinomios de grado menor que intervienen en una factorizacin se llamafactor. Una propiedad importante de la factorizacin es que la suma de grados de los factores es igual al grado del polinomio original (en el caso anterior 2+3 = 5), y por tanto se tiene la siguiente relacin:

Dado un polinomio existen muchas formas de descomponerlo en factores, y normalmente se busca una factorizacin con factores del grado menor posible, llamadosfactores primoso polinomios irreducibles.Monomios y polinomios Un polinomio se llama [completamente] descomponible si puede ser expresado como un producto de factores de grado 1 o monomios. Un polinomio ser descomponible si tiene el suficiente nmero de races. Recurdese que un nmero a esraz de un polinomiosi, es decir, si el valor numrico del polinomio paraes cero. Se suele decir, tambin, que el polinomiose anula parax=a. Por el teorema del resto, sies una raz del polinomio, entonceses divisible por, pues el resto de dividirentrees cero. A cada uno de esos valores se los suele designar, etc.:

La factorizacin sobre de un polinomio de gradoncuyos coeficientes estn definidos sobre uncuerpoes trivial, si el polinomio admiteraces (contando multiplicidad), entonces se puede escribir exactamente como el producto denfactores, si el nmero de races en el cuerpo es, entonces el nmero de factores serk+1, por ejemplo el polinomio de coeficientes racionales:

Cuyas dos nicas races racionales sony. En cambio el mismo polinomio anterior pero considerado sobre los nmeros reales descompone completamente ya que adems se tienen dos races irracionales:

Factorizacin de polinomios de coeficientes enteros.Para polinomios cuyos coeficientes estn definidos sobre un anillo las cosas son ms complicadas, y la existencia de races depender del nmero de divisores enteros que tenga el trmino independiente. Habitualmente, para reconocer las races enteras de un polinomio con coeficientes enteros se tiene en cuenta que stas han de ser divisores del trmino independiente. As, las races enteras del polinomio

estn entre los divisores de 12. Por tanto, pueden ser races de P(x) los nmeros 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 6, 6, 12 y 12. Para descomponerlo en factores se prueba sucesivamente por todas ellas aplicando laregla de Ruffini. Para no trabajar de ms se aplica el teorema del resto verificando cul de estos valores da como resto cero.

Puesto que el resto, 4, es distinto de 0, se concluye que P(x) no es divisible por x 1, o lo que es lo mismo, 1 no es raz de P(x). Probando con 1:

1 es raz de P(x), es decir, P(x) es divisible por x + 1:

Para hallar ms races de P(x), se obtienen las races de. Se prueba de nuevo con 1:

1 no es raz de. Probando con 2:

2 es raz dey, por tanto, de:

Apliquemos cuadrtica

2 es nuevamente raz de P(x). Es una raz doble. Ahora ya se ha conseguido la factorizacin completa de P(x):

En caso de una ecuacin polinmica, lo conveniente es: igualar a cero, factorizar para hallar los resultados buscados de x..Ejercicios de identificacin y desarrollo1.- Indica cules de las siguientes expresiones son monomios. En caso afirmativo, indica su grado y coeficiente.1) 3x32) 5x33) 3x + 14) 5) - x46) - 7)

2.- Efecta las siguientes operaciones con monomios:1) 2x3 5x3=2) 3x4 2x4+ 7x4= 3) (2x3) (5x3) = 4) (2x2 y2) (5x3 y z2) = 5) (12x3) : (4x) = 6 ) (18x 6y2 z5) : (6x3 y z2) = 7) (2x3 y2)3= 8) (2x3 y2 z5)5= 9) 3x3 5x3 2x3=10) (12x3 y5 z4) : (3x2 y2 z3) =11)

3 .- Indica si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no. En caso afirmativo, seala cul es su grado y trmino independiente.1) x4 3x5+ 2x2+ 52) + 7X2+ 23) 1 x44) 5) x3+ x5+ x26) x 2x3+ 87 )

4.- Escribe:1.- Un polinomio ordenado sin trmino independiente.2.- Un polinomio no ordenado y completo.3.- Un polinomio completo sin trmino independiente.4.- Un polinomio de grado 4, completo y con coeficientes impares.5.- Dados los polinomios:P(x) = 4x2 1Q(x) = x3 3x2+ 6x 2R(x) = 6x3+ x + 1S(x) = x2+ 4T(x) = x2+ 5U(x) = x2+ 2Calcular:1) P(x) + Q (x)2) P(x) U (x)3) P(x) + R (x)4) 2P(x) R (x)5) S(x) + T(x) + U(x)6) S(x) T(x) + U(x)6.- Multiplicar:1) (x4 2x2+ 2) (x2 2x + 3)2) (3x2 5x) (2x3+ 4x2 x + 2)3) (2x2 5x + 6) (3x4 5x3 6x2+ 4x 3)7.- Hallar el valor numrico del polinomio x3+ 3x2 4x 12, para:x = 1, x = 1, x = 2.

8.- Calcula:1) (x + 5)22) (2x - 5)23) (x + 5) (x 5)4) (3x - 2) (3x + 2)9.- Dividir:1) (x4 2x3 11x2+ 30x 20) : (x2+ 3x 2) =2) (x6+ 5x4+ 3x2 2x) : (x2 x + 3) =3) P(x) = x5+ 2x3 x 8 Q(x) =x2 2x + 110.- Divide por Ruffini:1) (x3+ 2x + 70) : (x + 4)2) (x5 32) : (x 2)3) (x4 3x2+ 2 ) : (x 3)10.- Efecta las siguientes operaciones con monomios:1) 2 a2 bc3 5 a2 b c3+ 3 a2 b c3 2 a2 b c3=2) (18x6 y2 z5) : (6x3 y z2) =3) (2x3) (5x) (3x2) =4) (36x3 y7 z4) : (12x2 y2) =5) 11.- Dados los polinomios:P(x) = x4 2x2 6x 1Q(x) = x3 6x2+ 4R(x) = 2x4 2x 2Calcular:1) P(x) + Q(x) R(x) =2) P(x) + 2 Q(x) R(x) =3) Q(x) + R(x) P(x)=12.- Calcula el valor de a, para que sea cierta la igualdad:(ax3 5x + 3) + (4x3 6x + 2) = x3 11x + 513.- Multiplicar:(2x2 5x + 6) (3x4 5x3 6x2+ 4x 3)14.- Efectuar las siguientes divisiones:1) (x5 32) : (x 2)2) (x6+ 5x4+ 3x2 2x) : (x2 x + 3)15.- Calcula:1) (3x + 2)22) (3x + 5) (3x 5)

3.5 Reconocer y graficar una funcin polinmica de primer gradoPOLINOMIO DE PRIMER GRADO (LA RECTA)

Es toda funcin polinmica de primer grado de la forma f(x) = mx + n (forma explcita) cuya representacin grfica es una recta, donde m representa la pendiente y n el punto de abscisa 0 (corte con el eje Y9Tambin se puede representar en forma implcita como: Ax + By + C = 0, conocida tambin como ecuacin general.Pendiente de la Recta: El valor de la pendiente de la recta puede calcularse de dos formas:I) Conociendo dos puntos que pertenezcan a ella P1 (x1,y1) y P2 ( x2,y2), aplicando la frmula m = II) O bien identificando el coeficiente de x en la ecuacin explcita, en caso de tener dicha ecuacin. Para hallar la ecuacin de una recta, conocida su pendiente y un punto que pertenezca a ella (xo,yo), se utiliza la frmula m = que luego se lleva a forma explcita o implcita segn se requiera.Por ser la recta un polinomio de grado 1 solo puede tener una raz real, y sta es: mx + n = 0 mx = -n x = Cuando la recta pasa por el origen del sistema de coordenadas, no tiene trmino independiente y su ecuacin general se reduce a : Ax + By = 0Segn el valor de la pendiente (m) y del punto de abscisa 0 8N9, se pueden presentar cuatro casos cuya representacin grfica se presenta a continuacin.m0 m 0 m 0, entonces corta en el semi eje Y negativo.Combinando los signos de los parmetros a y se tienen entonces los siguientes seis casos:DiscriminanteRacesCoeficiente aGrfica

0Dos races reales

y diferentes:

x1 y x2

f(x) =a.(x-x1).(x-x2) a>0mnimo

x1 x2

a0mnimo

X1

a0Dos races complejas y conjugadas:f(x) =

a(x-z1).(x-z2)a>0

mnimo

a 0 son:a) dos races complejas conjugadasb) dos races reales y diferentesc) dos races reales igualesd) una raz reale) No se puede afirmar nada (faltan datos)44. Cul de las siguientes parbolas tiene un vrtice en (-4, -12)?a) y = 3x2 + 12 x -4b) y = 3x2 4x 4c) y = 2x2 6xd) y = 2x2 4x + 12e) y = x2 + 6x45. La funcin cuadrtica que corta al eje X en los puntos (-1,0) y (2,0) es:a) y = x2 + 3x + 2b) y = x2 x + 2 c) y = x2 x 2 d) y = x2 2x 1e) y = x2 + 2x 146. La parbola f(x) = x2 1 corta a la recta y = mx + b en los puntos A (-1, f(-1)) y B(0,f(0)).Por lo tanto, los valores de m y b son respectivamente:a) -1 y 0b) 1 y -1c) 0 y 0d) -1 y -1e) 1 y 1

AUTOEVALUACIN N 31) La ecuacin de la recta que pasa por el punto ( -2,1) y es perpendicular a la recta de ecuacin 2x y = 0 es:

a) x +2y 4 = 0b) x + 2y = 0c) 2x - y 4 = 0d)2 x y + 3 = 0e) 2x - y = 0

2) La forma genrica de la ecuacin de segundo grado cuyas races son x1 = -m, x2 = 2m, esa) x2 2xm 2m2b) x2 xm 2m2c) x2 + 2xm 2m2d) x2 + xm 2m2e) x2 2xm + 2m2

3) Cmo debe ser c para que las races de la funcin cuadrtica f(x) = 4x2 -4x + c tenga parte imaginaria diferente de cero?a) c > 0b) c < 0c) c < 1d) c = 1e) c > 1

4) Al dividir un polinomio de grado 2m-n entre un polinomio de grado m n/2 ,se obtiene un polinomio de grado: a) 2mb) nc) m + n/2d) m n/2e) no se puede determinar

5) Los polinomios divisores del polinomio P(x) = 2x2 + 9x 10, son: a) (2x-5) y (x-2)b) (2x+5) y (x-2)c) (2x-5) y (x+2)d) (2x+2) y (x-5)e) (2x-1) y (x+10)

6) Dados P(x) = -2x3 + 4 y Q(x) = x + 2x3 , el grado de P(x) Q(x) es:a) 3b) 1c) 0d) no se puede determinare) 6

7) Al efectuar el producto de los polinomios (2x2 1). (x3 x2 + 1) se obtiene:a) 2x6 - 2x4 x3 + 3x2 - 1b) -2x5 - 2x4 x3 + 3x2 - 1c) 2x5 - 2x4 x3 + 3x2 - 1d) 2x3 + 1e) 2x6 x3 - 1

8) Cul de las siguientes proposiciones es falsa?a) Todo polinomio tiene coeficientes realesb) El cociente de dos polinomios es siempre un polinomioc) El producto de dos polinomios es siempre un polinomiod)Todo polinomio est compuesto por monomios cuyos exponentes pertenecen al conjunto e) Un monomio debe tener exponentes que pertenezcan al conjunto

9) Hallar m para que P(x) = x2 x + m sea divisible por ( x- 3) a) m = 4b) m = 6c) m = -3d) m = -6e) m = 3

10) Un Polinomio P(x) es divisible por ( x 1) , al dividirse por (x 2) el residuo es 2.El residuo cuando se divide por (x-1)(x-2) es:a) 2x+2b) -2x-2c) 2x-2d) -2x+1e) -2x+2

MDULO IVALGEBRA IICOMPETENCIA 4: Resolver problemas prcticos del lgebra Elemental

INDICADORES:

4.1 Resolver sistemas de ecuaciones lineales con 2 o 3 incgnitas4.2 Resolver sistemas de ecuaciones no lineales4.3 Resolver inecuaciones en una variable de primer y segundo grado4.4 Resolver inecuaciones de dos variables4.5 Resolver sistemas de inecuaciones en una y dos variables4.6 Resolver ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto4.7 Aplicar las propiedades de potenciacin y radicacin4.8 Resolver ecuaciones radicales4.9 Racionalizacin de denominadores

CUESTIONARIO EXPLORATORIO MDULO 4 : LGEBRA II

1) El nmero de soluciones del sistema x y = 1 es: 2x +2y = 2

a) 1b) 2c) 4d) infinitase) no hay solucin

2) La ecuacin = 2 tiene como solucin (es)a) x = 5; x = -1b) x = 5; x = 1c) x = -1d) x = -5e) x = 13) El valor de x que satisface la expresin = - 1 es:a) 8b) 7c) -5d) -7e) no hay solucin

4) Al efectuar 5/3 se obtiene:

a) 125b) 5c) 1d) 10e) -5

5) La inecuacin x2 4 < 0 tiene como solucin al conjunto:a) x < 2b) x > -2c) x < -2d) -2< x < 2e) { }CALIFICACIN : / 20

SNTESIS TERICA MDULO IV: LGEBRA II1-SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESLos sistemas de ecuaciones lineales constituyen la gran herramienta de planteamiento de escenarios, ya que nos permit