Bölüm 12Kuyruk Kuramı

M/M/1/∞/∞/FİFO Modeli

C.Erdemir

Kuyruk kuramı: Giriş C.Erdemir

Günlük hayatta bekleme sistemleri

BankalarHastaneler

TrafikSüpermarketlerYemekhanelerHavaalanları

Üretim hattında parçalar

Kuyruk kuramı: Giriş C.Erdemir

Temel sorun : Kuyruk

Akla gelen ilk çözüm: Hizmet (servis) birimlerini artırmak

Burada temel sorun : Maliyet

Kuyruk kuramı: Giriş C.Erdemir

Yönetici neleri bilmek ister?

1.Kuyrukta bekleme süresini2. Kuyrukta bekleyenlerin sayısını3. Servis biriminde bekleme süresi

Bunlar önceden bilinemez, her biri ayrı bir olasılıksal süreçtir.

Kuyruk sisteminin incelenmesini gerektirir

Kuyruk sistemi : Giriş C.Erdemir

Kuyruk sisteminin bileşenleri

1.Geliş süreci2. Servis süreci3. Servis birimi sayısı 4. Kanal sayısı5. Kaynak popülasyon yapısı6. Kuyruk büyüklüğü7. Kuyruk disiplini

Kuyruk sistemi : Giriş C.Erdemir

Kuyruk sisteminin bileşenleri

Geliş Servis süreci

Süreci

Kuyruk Servis ServisBirimi Almış

Kaynak Sistem Birim

Geliş süreci C.Erdemir

Bir (t) zaman süresi içerisinde sisteme gelen birimlerin sayısı bir rassal süreç

belirler : Poisson süreci

Sisteme t zamanı içerisinde x geliş olması olasılığı

�: Geliş hızı . Birim zamanda ortalama geliş sayısı

� � =����(��)�

�!x=0,1,2,…

Geliş süreci :Poisson

λ= 10 birim/saat

x P(x)2 0,00227

3 0,00757

4 0,01892

5 0,03783

6 0,06306

7 0,09008

8 0,11260

9 0,12511

10 0,12511

11 0,11374

12 0,09478

13 0,07291

14 0,05208

15 0,03472

16 0,02170

17 0,01276 B5=POISSON.DAĞ(A6;$B$2;YANLIŞ)

18 0,00709

TOPLAM 0,99004

0,00000

0,02000

0,04000

0,06000

0,08000

0,10000

0,12000

0,14000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

P(x)

A B

123456789101113141516171819202122

Geliş süreci C.Erdemir

Bir (t) zaman süresi içerisinde sisteme gelişler arasında geçen süre, ortalaması �/� olan Üstel dağılım izler. Üstel oyf:

f � = ���� �> 0

� � =1

λ ��� � =

1

��

Geliş süreci: Poisson süreci C.Erdemir

ÖRNEK: Bir AVM Süpermarkete pazartesi günleri saatte ortalama 50 kişi danışmaya başvurmaktadır.1. Bir dakikada ortalama olarak 50/60=0.8333 kişi başvurur.2. 15 dakika içerisinde (50/60)*15=12.5 kişinin başvurması beklenir.3. 15 dakikalık birim zaman içerisinde 1 kişinin danışmaya gelmesi

olasılığı

4. 15 dakikada 3 kişinin danışmaya gelmesi olasılığı

5. 15 dakikada 5 den fazla kişinin gelmesi olasılığı==1-[ P(0)+P(1)+P(3)+P(4)+P(5) ]=1-0.01482=0.9852

6. Saatte 50 kişi başvurduğuna göre gelişler arasında geçen ortalama süre 1/50 =0.02 saat ile üstel dağılım gösterir.

� 1 =����.�∗�(12.5 ∗1)�

1!= 0.00004658

� 3 =����.�∗�(12.5 ∗1)�

3!= 0.001213

Servis süreci C.Erdemir

Bir birimin servis alırken geçirdiği süreye servis süresi denirBir (t) zaman süresi içerisinde servise gelen birimlerin sayısı Poisson süreci , servis süresi, T rassal değişkeni ise üstel dağılım izler.

T sürekli rassal değişkendir. µ servis hızıdır.T’nin �� ile �� arasında olması olasılığı :

� �� ≤ � ≤ �� = � ������� =��

��

��µ�� − �����

� �� ≤ � ≤ ��

Servis süresi C.Erdemir

Birikimli üstel dağılım: � � ≤ � = � − ����

Yoğunluk fonksiyonu

Ortalama ve varyans

f � = µ��� �> 0

� � =1

� ��� � =

1

��

Servis sayısı t zamanı içerisinde servis verilen birim sayısı

� � =��µ�(µ�)�

�!x=0,1,2,…

C.Erdemir

ÖRNEK: Bir AVM Süpermarkete pazartesi günleri saatte 70 kişi danışma masasında servis verilmektedir (�=70)1. Bir müşteri için beklenen ortalama servis süresi

E(T)=1/ � = 1/70=0.01429 saat =0.01428*60=0.8571 dakika2. Bir müşterinin servis süresinin 1 dakikadan az olması olasılığı

� � ≤ � = � − ��µ∗� = � − ���.����=1-0.4244=0.57563. Müşteri servis süresinin 1 ile 3 dakika arasında sürme olasılığı� � ≤ � ≤ � = ���.���� − ��.����∗� = �.���� − �.���� = �.����

4. Müşteri servis süresinin 3 dakikadan daha az sürmesi olasılığı� � ≤ � = � − ��µ∗� = � − ���.����∗�=1-0.0764=0.92365. Müşteri servis süresinin 3 dakikadan daha fazla sürmesi olasılığı � � > � = � − � � ≤ � = � − � − ��µ∗� = ���.����∗� = �.����

Servis süresi

Servis birimi sayısı C.Erdemir

1.Tek servis (hizmet) birimli kuyruk sistemleri

2.Çok servis (hizmet) birimli kuyruk sistemleri

Süpermarket kasaları

Paralel üretim hatları

Sinema gişeleri

Bilet gişeleri

Servis birimi sayısıC.Erdemir

1.Tek servis birimli tek aşamalı kuyruk sistemleri

2. Tek servis birimli kuyruk sistemleri

Basit kuyruk modeli

Otomobil üretim sürecinde çeşitli üretim aşamalarından geçerİlk kayıt zamanında öğrenciler banka, danışman, kimlik, ders seçme v.s

Kanal (Bekleme hattı) sayısı C.Erdemir

C.Erdemir

1.Sonsuz kaynak popülasyonu

Popülasyonda her an hizmet almaya hazır birimler (müşteriler) vardır. Bir süpermarketteki kuyruk sistemi sonsuz kaynak popülasyonuna sahiptir.

2. Sonlu kaynak popülasyonu

Bazı durumlarda popülasyonda hizmet alacak birimlerin sayısı sınırlıdır. Örneğin makine tamir bakım birimindeki kuyruk sistemi sonlu kaynak popülasyonuna sahiptir.

Kaynak popülasyonu yapısı

C.Erdemir

Kuyruk sisteminde kuyrukta bulunabilecek birim sayısı sonlu ya da sonsuz olabilir.

1.Sonsuz kuyruk büyülüğüKuyruk büyüklüğü sonsuz birimi içerebilecek yapıdadır. Telefon servis sağlayıcıların müşteri danışma kuyruğu. Süpermarket kuyruğu böyledir ancak müşteri beklemez.

2. Sonlu kuyruk büyüklüğüBazı durumlarda kuyruk büyüklüğü sonlu olmak zorundadır. Kuyrukta yer açıldıktan sonra yeni birimler kuyruğa girebilir. Otomatik sekreter 10 aramayı bekletir. 11. arama meşgul tonuna geçer

Kuyruk büyülüğü

C.Erdemir

Kuyruk disiplini, müşterilerin hizmet alma sıralarını belirlenmesinde uyulan kuraldır.

1.FIFO (First In-First Out) kuralıKuyruğa ilk gelen ilk servis alır. Süpermarket, banka, bilet kuyruk sistemleri böyledir.

2. LIFO(Last In-Fırst Out) kuralıKuyruğa son giren ilk servis alır.Bazı üretim sistemlerinde kullanılır.

3. Önceliklendirme disipliniBirimler çeşitli önceliklere sahip olurlar. Hastanelerde hastalığın acil hizmet durumu, bankalarda imtiyazlı müşteri önceliği gibi.

Kuyruk disiplini

Kuyruk modelleri: Kendal gösterimi C.Erdemir

X / Y / Z / P / Q / RX :Geliş dağılımı, Y: Servis dağılımı

M:Üstel(Markov)

D: DeterministikG: GenelEK: K parametreli Erlang dağılımı

Z: Servis birimi sayısıP: Kuyruk büyüklüğü : ∞ veya KQ:Kaynak popülasyonu: ∞ veya KR: Kuyruk disiplini: FIFO , LIFO

Kuyruk modelleri: Kendal gösterimi C.Erdemir

M / M / 1 / ∞ / ∞ / FIFOM / M / s / ∞ / ∞ / FIFOM / G / 1 / ∞ / ∞ / FIFOM / D / 1 / ∞ / ∞ / FIFOM / M / s / K / ∞ / FIFOM / M / s / K / K / FIFO

Kuyruk sistemi performans göstergeleri C.Erdemir

Kuyruk sisteminin karakteristikleri

��,��

L , W

µ

λ

C.Erdemir

�� : Servis için kuyrukta bekleyen müşteri sayısı

� : Sistemde bulunan ortalama müşt eri sayısı

�� : Bir müşterinin kuyrukta geçirdiği ortalama süre

W : Bir müşterinin sistemde geçirdiği ortalama süre

� : Servis biriminin doluluk oranı

�� : Sistemde hiç birim olmaması olasılığı

�� : Sistemde n birim olması olasılığı

Kuyruk sistemi performans göstergeleri

C.Erdemir

Little kurallar : λ :müşteri geliş hızı µ : servis hızı olsun

1. Bir müşterinin sistemde ortalama bekleme süresi= Bir müşterinin kuyrukta ortalama bekleme süresi + Serviste ortalama bekleme süresi(servis süresi)

W = �� +�

µ ���� (birim zaman saat olsun)

2. Sitemdeki müşteri sayısı

� = λ� �üş���� ������ =�üş���� ������

����∗����

3. Kuyrukta bekleyen müşteri sayısı

�� = λ�� �üş���� ������ =�üş���� ������

����∗����

Kuyruk sistemi performans göstergeleri

C.Erdemir

Little kuralları ÖRNEK:

λ=10 gelen müşteri sayısı/saat µ=15 servisteki müşteri sayısı /saat

1/µ=1/15 saat/servisteki müşteri sayısı��=0.133 saat/kuyrukta bekleyen müşteri sayısı

W = �� +�

µ=0.133+1/15=0.2 saat/müşteri

� = λ� =�� �üş����

����∗�.� ���� = � �üş����

�� = λ�� =���üş����

����∗�.��� ���� = �.�� �üş����

Kuyruk sistemi performans göstergeleri

C.Erdemir

Varsayımlar:

1. Geliş hızı Poisson sürecine uyar2. Gelişlerarası süre üstel dağılıma uyar (M:Markov) 3. Servis süreleri üstel dağılıma uyar (M:Markov )4. 1 servis birimi vardır5. Kuyruk büyüklüğü sonsuzdur6. Kaynak sonsuzdur7. Servis prensibi FIFO

8 müşteri geliş hızı < servis hızı : λ < µ

M / M / 1 / ∞ / ∞ / FIFO Modeli

C.Erdemir

Modelin performans göstergeleri

Servis biriminin doluluk oranı � =�

�

Serviste /Kuyrukta hiç müşteri olmama olasılığı �� = � − � = � −�

�

Sistemde 1 müşteri olma olasılığı �� = ��� = ��(�

�)

(kuyruk boş olması olasılığı*servis dolu olma olasılığı)

Sistemde 2 müşteri olma olasılığı ( 1 kuyrukta=1 sistemde) ve 1 serviste) �� = ��� = ���

�

Sistemde n müşteri olma olasılığı ( n-1 kuyrukta ve 1 serviste) �� = ����� = ���

� = (� − �)��

M / M / 1 / ∞ / ∞ / FIFO Modeli

C.Erdemir

Modelin performans göstergeleri

Sistemde bir müşterinin bekleme süresi � =�

���

Kuyrukta bir müşterinin bekleme süresi

�� = � −�

�=

�

���−

�

�=

�

� ���= ��

Sistemde bekleyen ortalama müşteri sayısı � = �� =�

���

Kuyrukta bekleyen ortalama müşteri sayısı

�� = ��� = ��

�(���)=

��

�(���)

M / M / 1 / ∞ / ∞ / FIFO Modeli

C.Erdemir

Örnek : Gordiyon A.Ş. Sigorta acentesi. λ=10 müşteri/saat ortalama servis süresi 4 dakika =1/15 saat�

�=

�

�� � = �� �üş����/����

Servis biriminin doluluk oranı � =�

�=

��

��= �.���

Serviste /Sistemde hiç müşteri olmama olasılığı �� = � − � = � − �.��� = �.��

Sistemde bir müşterinin bekleme süresi � =�

���=

�

�����= �.� ����

Kuyrukta bir müşterinin bekleme süresi

�� = � −�

�= �.� −

�

��= �.��� ����

Sistemde bekleyen ortalama müşteri sayısı � = �� = �� ∗�.� = � �üş����

Kuyrukta bekleyen ortalama müşteri sayısı�� = ��� = �� ∗�.��� = �.�� �üş����

M / M / 1 / ∞ / ∞ / FIFO Modeli

C.Erdemir

Örnek (Devam)

M / M / 1 / ∞ / ∞ / FIFO Modeli

B C D E F

2 GORDION A.Ş. KUYRUK MODELİ3 MM1 FIFO Sistemde n Birim

4 Bulunma Olasılığı

5 Geliş Hızı, l : 10 birim/saat 0 0,333

6 Servis Hızı, m : 15 birim/saat 1 0,222

7 2 0,148

8 Doluluk Oranı, r : 66,7% 3 0,099

9 4 0,066

10 Performans Göstergeleri 5 0,044

11 Sistemde Bekleme 6 0,029

12 Süresi, W : 0,200 saat 7 0,020

13 Kuyrukta Bekleme 8 0,013

14 Süresi, Wq : 0,133 saat 9 0,009

15 Sistemde Bekleyen 10 0,006

16 Kişi(müsteri) Sayısı, L : 2,000 birim 11 0,004

17 Kuyrukta Bekleyen 12 0,003

18 Kişi (müşteri)Sayısı, Lq : 1,333 birim 13 0,002

19 Toplam 0,997

C8=C5/C6C14=C12-(1/C6)C18=C5*C14F6=POWER($C$8;E6)*(1-$C$8)F19=TOPLA(F5:F18)C12=1/(C6-C5)F5=1-C8

F6 formülü F7:F18 arlığına kopyalanır

C.ErdemirÖrnek : METRO AVM danışmada bir personel hizmet veriyor. λ=50 µ=70

Servis biriminin doluluk oranı � =�

�=

��

��=

�

�

Serviste /Sistemde hiç müşteri olmama olasılığı

�� = � − � = � −�

�=

�

�

Sistemde bir müşterinin bekleme süresi � =�

���=

�

��= �.�� ����

Kuyrukta bir müşterinin bekleme süresi

�� = � −�

�= �.�� −

�

��= �.���� ����

Sistemde bekleyen ortalama müşteri sayısı � = �� = �� ∗�.�� = �.� �üş����

Kuyrukta bekleyen ortalama müşteri sayısı�� = ��� = �� ∗�.���� = �.��� �üş����

Sistemde bekleme süresini 1.5 dakikanın altında tutmak için servis hızı

Ne olmalı? 1.5 dk=0.0025 saat . � =�

���< �.���

�.���µ − �� ∗�.��� > � �.���µ > �.�� µ >�.��

�.��� µ > �� ������

M / M / 1 / ∞ / ∞ / FIFO Modeli