1

第 5章

偏微分方程式の境界値問題

最適設計問題は，第 1章でみてきたように，状態方程式を等式制約に含む最適化問題であった．第 1章では設計変数と状態変数は有限次元ベクトル空間の要素であった．それに対して，本書の目標は，連続体の形状最適化問題である．そこでは，線形弾性体や Stokes 流れ場などの偏微分方程式の境界値形状が状態方程式として等式制約に入ってくる．そこで，本章では，第 4章でみてきた関数解析の定義や結果を使って，偏微分方程式の境界値問題を変分形式 (ここでは弱形式とよぶ) で表現する方法と解の一意存在に関する定理についてみておきたい． この弱形式は，第 6章で示す境界値問題の数値解法を考える際に使われるだけでなく，第 8章と第 9章では偏微分方程式の境界値問題が等式制約に入った形状や位相の最適化問題に対する Lagrange 関数としても使われることになる．

5.1 Poisson 問題偏微分方程式の境界値問題の簡単な例として Poisson 問題を取り上げて，その定義とそれを弱形式に変換する過程をみておこう．Poisson 問題とは，例えば，定常熱伝導問題において熱伝導率が 1 の場合であると想像すればよい (付録 VI)．領域 Ω を図 5.1 のような d ∈ 2, 3 次元の Lipschitz 領域 (付録 V)，ΓD を ∂Ω の真部分開集合, ΓN = ∂Ω \ ΓD とする．ΓN は法線を定義することから区分的 C1 級 であるとする．これ以降，境界の滑らかさが切り替わる境界上の測度 0 の集合を Θ とかくとき，∂Ω− = ∂Ω \ Θ のようにかくことにする．このとき，ΓN が区分的 C1 級であることを Γ−

N 上で C1 級とかくことになる．また，∆ = ∇ ·∇ を Laplace 作用素，∂ν = ν ·∇ とかくことにする．このとき，混合境界条件をもつ Poisson 問題を次

2 第 5章 偏微分方程式の境界値問題

¡D

¡N

図 5.1 領域 Ω とその境界 ∂Ω = ΓD ∪ ΓN

のように定義する．問題 5.1 (Poisson 問題) 関数 b : Ω → R, p : ΓN → R, uD : ΓD → R が与えられたとき，

−∆u = b in Ω, (5.1)

∂νu = p on Γ−N , (5.2)

u = uD on ΓD (5.3)

を満たす関数 u : Ω → R を求めよ．

なお，b = 0 のとき，問題 5.1 は Laplace 問題とよばれる．また，(5.1) を Laplace

方程式，あるいは同次 Poisson 方程式とよばれる．この問題に対する解の存在を 5.2 で調べることにする．そこで使われる定理に合わせて，ここでは，問題 5.1 を別の形式に変換しておこう． (5.3) を満たす関数の集合を

U (uD) =v ∈ H1 (Ω;R)

∣∣ v = uD on ΓD

とおく．4.6 節でみてきたように，U (uD) は Hilbert 空間

U =v ∈ H1 (Ω;R)

∣∣ v = 0 on ΓD

(5.4)

のアフィン部分空間になっている．U が Hilbert 空間であることは，Poisson 問題を後で示す抽象的変分問題の枠組みにはめこむ際に必要となる． (5.1) の両辺に任意のv ∈ U をかけて Ω で積分し，発散定理 (付録 VIII) を用いれば，

−∫Ω

∆uv dx =

∫Ω

∇u ·∇v dx−∫Γ−N

∂νuv dγ =

∫Ω

bv dx

が成り立つ．(5.2) の両辺に任意の v ∈ U をかけて ΓN で積分すれば，∫Γ−N

∂νuv dγ =

∫ΓN

pv dγ

5.1 Poisson 問題 3

が成り立つ．そこで，上式を最初の式に代入すれば∫Ω

∇u ·∇v dx =

∫Ω

bv dx+

∫ΓN

pv dγ (5.5)

を得る．(5.5) を問題 5.1の弱形式という．弱形式を求める際に用いた任意関数 v ∈ U は，境界値問題が等式制約に入った形状や位相の最適化問題を考える際には，境界値問題に対する Lagrange 乗数として使われることを予告しておこう．さらに，(5.5) の左辺は u と v に対する双線形性をもち，右辺は v に対する線形性をもつことから，4.6 節でみてきたように，

a (u, v) =

∫Ω

∇u ·∇v dx, (5.6)

l (v) =

∫Ω

bv dx+

∫ΓN

pv dγ (5.7)

とおく．これらの結果を使えば，問題 5.1 を次のようにかくこともできる．

問題 5.2 (Poisson 問題の弱形式) U を (5.4) とおく．u は ΓD 上で u = uD を満たす H1 (Ω;R) の固定関数，b ∈ L2 (Ω;R), p ∈ L2 (ΓN;R), uD ∈ H1/2 (ΓD;R) とする．このとき，任意の v ∈ U に対して

a (u, v) = l (v)

を満たす u − u ∈ U (なる u) を求めよ．ただし，a ( · , · ) と l ( · ) はそれぞれ (5.6)

と (5.7) である．

ここで，問題 5.1 と問題 5.2 を比較してみよう．問題 5.1 では，(5.1) が意味を持つために u は 2階微分可能でなければならない．一方，問題 5.2 では，u は 2階微分可能である必要はなく，そのかわり，(5.6) の積分が定義できるために u と v がともに 1階微分が 2乗可積分である性質を満たす必要がある．このように解の満たすべき条件の違いにより，問題 5.1 を Poisson 問題の強形式，問題 5.2 を弱形式という．また，問題 5.2 の解 u は弱解とよばれる．なお，5.2 節で示されるように，解が一意に存在することは弱解に対して保証される．微分方程式の境界値問題では，次の用語が使われる． (5.3) を Dirichlet 条件あるいは基本境界条件という．Dirichlet 条件が与えられた境界を Dirichlet 境界という．境界全体でこの条件が与えるとき Dirichlet 問題という． (5.2) を Neumann 条件あ

4 第 5章 偏微分方程式の境界値問題

るいは自然境界条件という．Neumann 条件が与えられた境界を Neumann 境界という．境界全体でこの条件が与えるとき Neumann 問題という．ただし，Neumann 問題は解が一意に定まらないことに注意する必要がある (例題 5.2)． Dirichlet 条件の境界と Neumann 条件の境界が存在するとき，混合境界値問題という． また，uD = 0

のとき同次 Dirichlet 条件 (同次 Dirichlet 問題)，uD = 0 のとき非同次 Dirichlet 条件 (非同次 Dirichlet 問題) という．Neumann 条件に対しても p = 0 あるいは p = 0

のとき同次あるいは非同次をつけていう．なお，同次を斉次ということもある．

5.2 抽象的変分問題前項で Poisson 問題の弱形式を求めたが，線形 2階偏微分方程式の分類 (付録 VII)

によれば，楕円型偏微分方程式の境界値問題は同様の手続きで問題 5.2 の形式でかくことができる．そこで，楕円型偏微分方程式の弱形式を抽象化した抽象的変分問題を定義して，解の一意存在について調べておくことにしよう．U を実 Hilbert 空間とする．U 上の双 1次形式 (4.4 節) に対して次の 2つの性質を定義する．

定義 5.1 (実 Hilbert 空間上双 1次形式の強圧性) a : U × U → R を U 上の双 1

次形式とする．任意の v ∈ U に対して，ある α > 0 が存在して，

a (v, v) ≥ α ∥v∥2U

が成り立つとき，a は強圧的あるいは楕円的であるという．

U が Rd の場合は，双 1次形式を x,y ∈ Rd に対して a (x,y) = x ·Ay とかくことができる．ここで，A は Rd×d の行列である．このとき，a の強圧性は A の正定値性と同値となる．

定義 5.2 (実 Hilbert 空間上双 1次形式の有界性) a : U × U → R を U 上の双 1

次形式とする．任意の u, v ∈ U に対して，ある β > 0 が存在して，

|a (u, v)| ≤ β ∥u∥U ∥v∥U

が成り立つとき，a は有界であるという．

U = Rd の場合は，双 1 次形式 a (x,y) = x · Ay の有界性は行列 A のノルム(4.35) が有界であることと同値となる．以上の定義を用いて，次の問題を考えよう．

5.2 抽象的変分問題 5

問題 5.3 (抽象的変分問題) a : U × U → R を U 上の双 1 次形式，l = l ( · ) =

⟨l, · ⟩ ∈ U ′ とする．このとき，任意の v ∈ U に対して

a (u, v) = l (v)

を満たす u ∈ U を求めよ．

U = Rd の場合，抽象的変分問題は，双 1次形式 a (x,y) = x ·Ay において行列A が有界かつ正定値で，b ∈ Rd のとき，任意の y ∈ Rd に対して

x ·Ay = b · y (5.8)

を満たす x ∈ Rd を求める問題となる．

5.2.1 Lax-Milgram の定理問題 5.3 の解が一意に存在することは Lax-Milgram の定理によって保証される．この定理は Riesz の表現定理 (定理 4.6) を使って証明される [1, 3]．

定理 5.1 (Lax-Milgram の定理) 問題 5.3 において，a は有界かつ強圧的とする．また，l ∈ U ′ とする．このとき，問題 5.3 の解 u ∈ U は一意に存在し，定義 5.1 で用いた α に対して，

∥u∥U ≤ 1

α∥l∥U ′

が成り立つ．

U = Rd の場合は，(5.8) を満たす x は，A が有界かつ正定値のとき，AT の逆行列が存在して，

x =(AT

)−1

b (5.9)

となる．このとき，

∥x∥Rd ≤ 1

α∥b∥Rd

が成り立つ．ここで，α は A の最小固有値となる．次に，Poisson 問題の解の一意存在を Lax-Milgram の定理を使って示そう．

6 第 5章 偏微分方程式の境界値問題

例題 5.1 (Poisson 問題の解の一意存在) |ΓD| > 0 かつ ΓD 上で u = uD を満たすu ∈ H1 (Ω;R) が存在するとき，問題 5.2 の解 u − u ∈ U は一意に存在することを示せ．

(解答) 問題 5.2 に対して Lax-Milgram の定理の仮定が成り立つことを示せばよい． U =u ∈ H1 (Ω;R)

∣∣ u = 0 on ΓD

は Hilbert 空間である．また，

l (v) = l (v)− a (u, v) (5.10)

とおけば，問題 5.2 は，任意の v ∈ U に対して

a (w, v) = l (v)

を満たす w = u− u ∈ U を求める問題にかきかえることができる．a の有界性は，定義 5.2 において β = 1 で成り立つ．a の強圧性は次のように示せる．Poincare の不等式の系 (系 A. 1)

より，

a (v, v) =

∫Ω

∇v ·∇v dx = ∥∇v∥2L2(Ω;Rd) ≥

1

c2∥v∥2H1(Ω;R)

が成り立つ．一方，l ∈ U ′ である．なぜならば，トレース作用素 (定理 4.2) のノルム∥γ∥L(H1(Ω;R);H1/2(∂Ω;R)) を用いて，∣∣∣l (v)∣∣∣ ≤ ∫

Ω

|bv| dx+

∫∂Ω\ΓD

|pv| dγ +

∫Ω

|∇u ·∇v| dx

≤ ∥b∥L2(Ω;R) ∥v∥L2(Ω;R) + ∥p∥L2(∂Ω\ΓD;R) ∥v∥L2(∂Ω\ΓD;R)

+ ∥∇u∥L2(Ω;Rd) ∥∇v∥L2(Ω;Rd)

≤(∥b∥L2(Ω;R) + ∥p∥L2(∂Ω\ΓD;R) ∥γ∥L(H1(Ω;R);H1/2(∂Ω;R))

+ ∥u∥H1(Ω;R)

)∥v∥H1(Ω;R)

が成り立つためである．以上のことから問題 5.2 は問題 5.3 の仮定を満たす．したがって，Lax-Milgram の定理より u− u ∈ U は一意に存在する．

また，Neumann 問題に対して Lax-Milgram の定理を適用すれば次のようになる．

例題 5.2 (Neumann 問題の解の不定性) 問題 5.2 において |ΓD| = 0 のとき，問題5.2 を満たす u ∈ U は一意に存在しないことを示せ．また，解の一意存在を保証するためには問題をどのように修正すればよいかを示せ．

(解答) 例題 5.1 の解答において，a の強圧性を示すのに |ΓD| > 0 であることから Poincare

の不等式の系 (系 A.1) を用いた．しかし，Neumann 問題では |ΓD| = 0 なので Poincare の不等式の系が使えず，a の強圧性がいえないために Lax-Milgram の定理が使えない．しかし，

u =1

|Ω|

∫Ω

u dx (5.11)

5.2 抽象的変分問題 7

とおいて Poincare の不等式 (定理 A.12) を適用すれば

a (v, v) =

∫Ω

∇v ·∇v dx = ∥∇v∥2L2(Ω;Rd) ≥

1

c2∥v − u∥2

L2(Ω;Rd)

が成り立ち，a は強圧的になる．したがって，Neumann 問題を (5.11) を満たす u に対してu− u ∈ U を求める問題にかきかえれば，解の一意存在はいえることになる．

例題 5.2 でみたように，Neumann 問題の解は定数分の不定性をもつことがわかる．

5.2.2 抽象的最小化問題抽象的変分問題 (問題 5.3) において a : U × U → R が対称ならば，抽象的変分問題は抽象的最小化問題と同値になることをみておこう．U を実 Hilbert 空間として，a : U ×U → R を U 上の双 1次形式とする．任意の

u, v ∈ U に対して，

a (u, v) = a (v, u)

が成り立つとき，a は対称であるという．U が Rd の場合は，x,y ∈ Rd に対して a (x,y) = x ·Ay とかいたとき，a が対称であることは行列 A ∈ Rd×d が対称 A = AT であることと同値となる．次の問題を抽象的最小化問題という．

問題 5.4 (抽象的最小化問題) a : U × U → R を U 上の双 1 次形式，l = l ( · ) =

⟨l, · ⟩ ∈ U ′，f : U → R とする．このとき，

minu∈U

f (u) =

1

2a (u, u)− l (u)

を満たす u ∈ U を求めよ．

U = Rd の場合は，

minx∈Rd

f (x) =

1

2x ·Ax− b · x

(5.12)

を満たす x ∈ Rd を求める問題となる．問題 5.4 に対して次の結果を得る [1, 3]．

定理 5.2 (抽象的最小化問題の解の一意存在) 問題 5.4 において，a は有界，強圧的かつ対称とする．このとき，任意の l ∈ U ′ に対して，問題 5.4 を満たす u ∈ U は一意に存在し，問題 5.3 の解と一致する．

8 第 5章 偏微分方程式の境界値問題

U = Rd ならば，A が有界，正定値かつ対称ならば，(5.12) を満たす x ∈ Rd は(5.9) と一致する．Poisson 問題 (問題 5.2) についても成り立つことをみておこう．a は対称である．したがって，例題 5.1 の解答と定理 5.2 より，問題 5.2 は次の問題と同値となる．

問題 5.5 (Poisson 問題の最小問題) l ( · ) を (5.10) とする．このとき，

minw∈U

f (w) =

1

2a (w,w)− l (w)

.

を満たす w = u− u ∈ U を求めよ．

5.3 解の正則性Poisson 問題は抽象的変分問題の一つであり，解の一意存在は Lax-Milgram の定理によって保証されることをみてきた．そこでは，Poisson 問題 (問題 5.1) の既知関数 b, p, uD で構成される (5.10) の l が U ′ の要素に入っていれば，Poisson 問題の解u は U =

u ∈ H1 (Ω;R)

∣∣ u = 0 on ΓD

の中に存在することを意味していた．しか

し，この条件は解が存在するための条件であり，それよりも滑らかな既知関数を仮定したならば，Poisson 問題の解もそれに応じて滑らかになることが期待される． 第 8

章と第 9章では境界値問題の解に対して H1 級以上の滑らかさが必要となる．ここでは，その様子をみておこう．なお，本書では，関数の滑らかさとは，微分可能性とべき乗可積分性を意味することにして，それらを関数の正則性とよぶ．それに対して，正則性が足りないあるいは少ないことを特異性とよぶ．関数の正則性 (あるいは特異性) は関数空間に級を付けて表現することにする．境界値問題の解の特異性を決める要因は２つある．これらについて以下の項でみてみよう．

5.3.1 既知関数の正則性最初に，Poisson 問題 (問題 5.1) の既知関数 b, p, uD の正則性と解の正則性の関係について考えてみよう．境界 ∂Ω は十分滑らかであるとする．このとき，

−∆u = b in Ω,

∂νu = p on Γ−N ,

5.3 解の正則性 9

®

¡1

¡2

x02£

B(x0,r0)

µ

図 5.2 角をもつ 2次元領域

u = uD on ΓD

が成り立つことから，b ∈ L2 (Ω;R), p ∈ H1/2 (ΓN;R), uD ∈ H3/2 (ΓD;R) ならば，u ∈ H2 (Ω;R) をなる．実際，∆u ∈ L2 (Ω;R) = H0 (Ω;R) ならば u ∈ H2 (Ω;R) が得られ，u ∈ H2 (Ω;R) の境界上トレースは u|∂Ω ∈ H2−1/2 (∂Ω;R) が得られるからである．Sobolev の埋蔵定理によれば，d ∈ 2, 3 のとき H2 (Ω;R) ⊂ C0,α (Ω;R),α ∈ (0, 1/2), となる．したがって，u は連続関数であることになる．このときの u には特異性はないという．既知関数をさらに滑らかな関数に変更すればそれに応じて滑らかな u が得られることになる．

5.3.2 境界の正則性一方，図 5.2 に示すような，滑らかではない境界をもつ 2次元領域の場合には，既知関数は十分滑らかであると仮定しても，境界条件と開き角の関係によっては，u の正則性は改善されない場合がある．その場合を詳細にみていこう [9–12]．角点 x0 ∈ Θ を C1 不連続な ∂Ω 上の点とする．x0 における領域内部の開き角を

α ∈ (0, 2π) とおき，x0 をはさんだ両側の境界 (開集合) をそれぞれ Γ1 と Γ2 とおく．Γ1 と Γ2 は滑らかであると仮定する．また，x0 の r0 > 0 の近傍 (開集合) をB (x0, r0) とかく．ここで，x0 を原点とする極座標を (r, θ) とする．このとき，x0

からはなれたところでは u は滑らか (解析的) であることから，ある r ∈ (0, r0] を固定すれば

u(reθ

)=

∑i∈1,2,···

kiui (r)ϕi (θ) (5.13)

のように展開できる．ここで，ki は定数，ϕi (θ) は境界条件に依存した関数となる．

10 第 5章 偏微分方程式の境界値問題

Γ1 と Γ2 が共に同次 Dirichlet 境界 (u = 0) のとき，

ϕi (θ) = siniπ

αθ

となる．また，Γ1 と Γ2 が共に同次 Neumann 境界 (∂νu = 0) のとき，

ϕi (θ) = cosiπ

αθ

となる．さらに，Γ1 が同次 Dirichlet 境界 で Γ2 が同次 Neumann 境界 となる混合境界ならば，

ϕi (θ) = siniπ

2αθ

となる．ここで，ω > 1/4 を 1ではない定数としたとき，

∆(rω sinωθ) =

(∂2

∂r2+

1

r

∂

∂r+

1

r2∂2

∂θ2

)(rω sinωθ) = 0 (5.14)

が成り立つことに注意しよう．ただし，ω > 1/4 の条件は，後で示す条件において最も厳しい条件 (Γ1 と Γ2 が混合境界条件で α < 2π のとき) に対応する．また，ω = 1

は境界が滑らかである条件に対応する．(5.14) は，ϕi (θ) = sinωθ に対して，

ui (r) = rω

であれば，同次 Poisson 方程式を満たすことを示している．この結果から，x0 の r0

近傍 B (x0, r0) ∩ Ω(ϕ) において，次のことがいえる．

(1) Γ1 と Γ2 が共に同次 Dirichlet 境界 (u = 0) のとき，

u(reθ

)= krπ/α sin

π

αθ + uR (5.15)

(2) Γ1 と Γ2 が共に同次 Neumann 境界 (∂νu = 0) のとき，

u(reθ

)= krπ/α cos

π

αθ + uR (5.16)

(3) Γ1 が同次 Dirichlet 境界 で Γ2 が同次 Neumann 境界 となる混合境界ならば，

u(reθ

)= krπ/(2α) sin

π

2αθ + uR (5.17)

5.3 解の正則性 11

となる．ただし，k は定数，uR は r の次数が主要項よりも 1 以上大きい残余項である．一方，rω 型の関数がどのような Sobolev 空間に入るかについては，次の結果が得られている [12] (Theorem 1.4.5.3)．

定理 5.3 (主要項の正則性) x0 を 2次元領域 Ω における開き角 α ∈ (0, 2π) の角点とする．u を x0 の近傍 B (x0, r0) ∩ Ω =

reθ | r ∈ [0, r0) , θ ∈ (0, α)

で定義された

u = krωϕ (θ)

とする．ただし，k は定数，ϕ は C∞ ((0, α) ,R) の要素で ∥ϕ∥C∞((0,α),R) = 1 とする．ω が整数でないならば，

u ∈ W s,p (B (x0, r0) ∩ Ω;R) , ω > s− 2

p

となる．

定理 5.3 は，次のように解釈される．Sobolev の不等式 (4.32) は，d 次元空間で定義された p 乗可積分な関数は d/p だけ微分可能性が低下したとみなせることを示している．rω に対してその関係を適用すれば，ω− (s− 2/p) > 0 を満たせば，rω を s 階微分して p 乗しても B (x0, r0) ∩Ω 上での可積分性は得られることを示している．例えば，p = 2 および s = 1 のとき，ω > 0 を満たせば，rω の 1階微分は rω−1 となり，∫ r0

0

∫ α

0

r2(ω−1)r dθdr < ∞

がいえることになる．主要項が rω 型の関数になっていることと定理 5.3 を用いれば，次のことがいえることになる．

注意 5.1 (角点近傍における解の正則性) 角点の特異性に関して，次のことがいえる．

(1) Γ1 と Γ2 が同一種境界ならば，ω = π/α となる．そこで，開き角が α ∈ (π, 2π)

(凹角) ならば，ω ∈ (1/2, 1) となり，定理 5.3 より u ∈ Hs (B (x0, r0) ∩ Ω;R),s ∈ (3/2, 2), を得る (図 5.3 (a))．

(2) Γ1 と Γ2 が混合境界ならば，ω = π/ (2α) となる．開き角が α ∈ (π/2, π) ならば，u ∈ Hs (B (x0, r0) ∩ Ω;R), s ∈ (5/4, 2), を得る (図 5.3 (b))．

ここで，特に注意しておきたい特異性について例題としてみておこう．

12 第 5章 偏微分方程式の境界値問題

B(x0,r0)

¡N

¡DB(x0,r0)

(a) 同一種境界で開き角が α > π (b) 混合境界で開き角が α > π/2

図 5.3 特異性が現れる角をもつ 2次元領域

例題 5.3 (き裂と内部 Dirichlet 境界の特異性) 2 次元領域に対する Poisson 問題(問題 5.1) を考える．領域の内部にき裂 (き裂近傍の境界条件は同次 Neumann 条件)

があるとき，き裂近傍において解 u が属する関数空間を求めよ．また，領域の内部に同次 Dirichlet 境界があるとき，その先端近傍において解 u が属する関数空間を求めよ．

(解答) き裂の開き角が α < 2π のとき，定理 5.3 において，ω = π/α > 1/2 を代入し，ϵ > 0 に対して

u ∈ H3/2−ϵ (B (x0, r0) ∩ Ω;R)

を得る．同次 Dirichlet 境界の場合も同様である．

例題 5.4 (混合境界条件の境界の特異性) Poisson 問題 (問題 5.1) が定義された領域Ω は 2次元領域で，境界上の点 x0 を同次 Dirichlet 境界 と同次 Neumann 境界の境界とする．また，x0 の近傍境界は滑らか (α = π) であるとする．このとき，x0 の近傍において解 u が属する関数空間を求めよ．

(解答) 定理 5.3 において，ω = π/ (2α) = 1/2 を代入し，ϵ > 0 に対して

u ∈ H3/2−ϵ (B (x0, r0) ∩ Ω;R)

を得る．

5.4 線形弾性問題 13

¡D

p

b

¡N

uD

図 5.4 線形弾性問題

5.4 線形弾性問題本書では線形弾性体と Stokes 流れ場に対する形状最適化問題を示すことを目標としている．ここでは，線形弾性問題の弱形式と解の一意存在についてみておこう．Ω ⊂ Rd を d ∈ 2, 3 次元の Lipschitz 領域，ΓD ⊂ ∂Ω を Dirichlet 境界，

ΓN = ∂Ω \ ΓD を Neumann 境界として，Γ−N 上で C1 級と仮定する．ただし，例

題 5.2 でみたように，定数分の不定性をなくすために，|ΓD| > 0 と仮定する．また，b : Ω → Rd を体積力，p : ΓN → Rd を境界力，uD : ΓD → Rd を与えられた変位とする．線形弾性問題はこれらが与えられたときに変位 u : Ω → Rd を求める問題である．第 1章では 1次元線形弾性体を考えて，変位 u : (0, l) → R に対してひずみ (単位長さあたりの変形量) を du/dx で定義した．d ∈ 2, 3 の場合は，変位 u に対して

E (u) = (εij (u))ij =1

2

(∇uT +

(∇uT

)T) ∈ Rd×d (5.18)

を微小な変形のときの変形率の意味をもつ線形ひずみと定義する (付録 IX)．この定義から対称性 E (u) = ET (u) が成り立つ．そのとき，線形ひずみに対する応力は

S (u) = (σij (u))ij = CE (u) (5.19)

によって定義され，Cauchy 応力とよばれる．ここで，C : Ω → Rd×d×d×d は剛性を表し， Ω 上ほとんどいたるところで楕円的かつ有界とする．すなわち，任意のξ,η ∈

ξ ∈ Rd×d

∣∣ ξ = ξTに対して，ある α, β > 0 が存在して， Ω 上ほとんどい

たるところで

ξ ·Cξ ≥ α ∥ξ∥Rd×d , |ξ ·Cη| ≤ β ∥ξ∥Rd×d ∥η∥Rd×d

14 第 5章 偏微分方程式の境界値問題

¾22

¾21

¾12

¾11

¾11

¾12

¾22

x2

@+@

¾21¾21

x2

@+@

¾22

x1

@+@

¾11

x1

@+@

¾12dx1

dx1

dx2dx2

b1

b2

(0,1)2

図 5.5 単位面積における力の釣合い

が成り立つとする．ここで，· はスカラー積 (ξ · η =∑

i,j1,··· ,d ξijηij) を表す．このとき，図 5.5 のような単位面積あるいは単位体積における力の釣合いを考えれば，次の力の釣合方程式を得る．命題 5.1 (力の釣合方程式) b : Ω → Rd に対して，

−∇ · S (u) = bT (5.20)

が成り立つ．

d = 3 のとき，(5.20) は

∂σ11

∂x1+

∂σ21

∂x2+

∂σ31

∂x3+ b1 = 0

∂σ12

∂x1+

∂σ22

∂x2+

∂σ32

∂x3+ b2 = 0

∂σ13

∂x1+

∂σ23

∂x2+

∂σ33

∂x3+ b3 = 0

とかける．(5.20) は，∇ · S (u) = ∇ ·C

(12

(∇uT +

(∇uT

)T)) であることをみれば，u に対する 2階偏微分方程式となっている．さらに，C が楕円性を満たすことから，(5.20) は楕円型偏微分方程式に分類される．これらの準備に基づいて，線形弾性問題を次のように定義する．

問題 5.6 (線形弾性問題) b : Ω → Rd, p : ΓN → Rd，uD : ΓD → Rd に対して，

−∇ · S (u) = bT in Ω, (5.21)

S (u)ν = p on Γ−N , (5.22)

u = uD on ΓD (5.23)

を満たす u : Ω → Rd を求めよ．

5.4 線形弾性問題 15

今後のために問題 5.6 を弱形式にかきかえておこう．u に対する関数空間を

U =v ∈ H1

(Ω;Rd

) ∣∣ v = 0Rd on ΓD

(5.24)

とおく．(5.21) の両辺に任意の v ∈ U をかけて Ω で積分し，発散定理 (付録 VIII)

を用いることにより，

−∫Ω

(∇ · S (u))v dx = −∫Γ−N

(S (u)ν) · v dγ +

∫Ω

S (u) ·E (v) dx

=

∫Ω

b · v dx

を得る．また，(5.22) の両辺に任意の v ∈ U をかけて ΓN で積分すれば，∫Γ−N

S (u)ν · v dγ =

∫ΓN

p · v dγ

を得る．したがって，任意の v ∈ U に対して∫Ω

S (u) ·E (v) dx =

∫Ω

b · v dx+

∫ΓN

p · v dγ

が成り立つ．この式を d 次元線形弾性問題の弱形式という．ここでも，

a(u,v) =

∫Ω

S (u) ·E (v) dx, (5.25)

l (v) =

∫Ω

b · v dx+

∫ΓN

p · v dγ (5.26)

とおけば，問題 5.6 を次のようにかくことができる．

問題 5.7 (線形弾性問題の弱形式) U を (5.24) とする．u ∈ H1(Ω;Rd

)を ΓD 上で

u = uD を満たす固定関数，b ∈ L2(Ω;Rd

), p ∈ L2

(ΓN;Rd

), uD ∈ H1/2

(ΓD;Rd

),

C ∈ L∞ (Ω;Rd×d×d×d

)とする．このとき，任意の v ∈ U に対して

a (u,v) = l (v)

を満たす u− u ∈ U を求めよ．ただし，a ( · , · ) と l ( · ) はそれぞれ (5.25) と (5.26)

である．

線形弾性問題の弱形式は，v を仮想変位とみなせば l (v) は外力による仮想仕事，a (u,v) は内力による仮想仕事であることから，仮想仕事の原理を表している．この弱形式に対する解の一意存在は次のようにして示される．

16 第 5章 偏微分方程式の境界値問題

例題 5.5 (線形弾性問題の解の一意存在) |ΓD| > 0 かつ ΓD 上で u = uD を満たすu ∈ H1

(Ω;Rd

)が存在するとき，問題 5.7 を満たす u− u ∈ U は一意に存在するこ

とを示せ．

(解答) Lax-Milgram の定理の仮定が成り立つことを確かめよう． U は Hilbert 空間である． また，問題 5.7 は，任意の v ∈ U に対して，

a (w,v) = l (v)

を満たす w = u− u ∈ U を求める問題と等価である．ただし，

l (v) = l (v)− a (u,v)

とする．a の有界性は C の有界性から示される．a の強圧性は次のように示される．|ΓD| > 0

より剛体運動は発生しない．したがって， Korn の不等式 (定理 A.13) より，正定数 c に対して

∥v∥2H1(Ω;R) ≤ c ∥E (v)∥2L2(Ω;Rd×d)

が成り立つ．C の楕円性より， v ∈ U に対して，ある α > 0 が存在して，

a (v,v) =

∫Ω

E (v) ·CE (v) dx ≥ α ∥E (v)∥2L2(Ω;Rd×d) ≥

α

c∥v∥2

H1(Ω;Rd)

が成り立つ．一方，l ∈ U ′ である．なぜならば，∣∣∣l (v)∣∣∣ ≤ ∫Ω

|b · v| dx+

∫ΓN

|p · v| dγ +

∫Ω

β |E(w) ·E (v)| dx

≤ ∥b∥L2(Ω;Rd) ∥v∥L2(Ω;Rd) + ∥p∥L2(ΓN;Rd) ∥v∥L2(ΓN;Rd)

+ β ∥E (w)∥L2(Ω;Rd×d) ∥E (v)∥L2(Ω;Rd×d)

≤(∥b∥L2(Ω;Rd) + ∥p∥L2(ΓN;Rd) ∥γ∥L(H1(Ω;Rd);H1/2(∂Ω;Rd))

+ β ∥E (w)∥L2(Ω;Rd×d)

)∥v∥H1(Ω;Rd)

が成り立つためである．以上のことから，Lax-Milgram の定理が適用できて，問題 5.7 を満たす u− u ∈ U は一意に存在する．

5.5 Stokes 問題次に，流れ場の例として Stokes 問題の弱形式と解の一意存在についてもみておこう．ここでも Ω ⊂ Rd を d ∈ 2, 3次元の Lipschitz領域，ΓD ⊂ ∂Ωを Dirichlet境界，

ΓN = ∂Ω\ΓD を Neumann境界として，Γ−N 上で C1 級と仮定する．b : Ω → Rd を体

5.5 Stokes 問題 17

uD

pN

¡N

¡D b

図 5.6 Stokes 問題

積力，pN : ΓN → Rd を境界力，uD : ΓD → Rd を与えられた流速とする．µ : Ω → Rを粘性係数を表す正定数とする．Stokes 問題はこれらが与えられたときに流速 u : Ω → Rd と圧力 p : Ω → R を求める問題として次のように定義される．なお，これ以降では ∂νu =

(∇uT

)Tν の表

記を用いることにする．問題 5.8 (Stokes 問題) b : Ω → Rd, pN : ΓN → Rd, uD : ΓD → Rd が与えられたとき，

−∇ ·(µ∇uT

)+∇ · p = bT in Ω, (5.27)

∇ · u = 0 in Ω, (5.28)

µ∂νu− pν = pN on Γ−N , (5.29)

u = uD on ΓD (5.30)

を満たす (u, p) : Ω → Rd+1 を求めよ．

問題 5.8 において，(5.27) を Stokes 方程式，(5.28) を連続の式という．これらは非圧縮性の Newton 粘性流体の流れ場に対して使われる． なお，(5.18) の E (u) を用いて，Cauchy 応力 T (u, p) = pI + 2µE (u) を用いて (5.27) と (5.29) をそれぞれ(5.21) と (5.22) のようにかいても同様の結果に至ることが示されている [2]．問題 5.8 に対する弱形式は次のようにして得られる． u に対する関数空間を

U =v ∈ H1

(Ω;Rd

) ∣∣ v = 0Rd on ΓD

(5.31)

とおく．(5.27) の両辺に任意の v ∈ U をかけて Ω で積分し，発散定理 (付録 VIII)

を用いることにより，∫Ω

−∇ ·

(µ∇uT

)+∇ · p

v dx

18 第 5章 偏微分方程式の境界値問題

=

∫Γ−N

(−µ∂νu+ pν) · v dγ +

∫Ω

(µ(∇uT

)·(∇vT

)− p∇ · v

)dx

=

∫Ω

b · v dx

を得る．また，(5.29) の両辺に任意の v ∈ U をかけて ΓN で積分すれば，∫Γ−N

(−µ∂νu+ pν) · v dγ =

∫ΓN

pN · v dγ

を得る．したがって，任意の v ∈ U に対して∫Ω

(µ(∇uT

)·(∇vT

)− p∇ · v

)dx =

∫Ω

b · v dx+

∫ΓN

pN · v dγ

が成り立つ．この式を Stokes 方程式の弱形式という．一方，p に対する関数空間を，|ΓN| > 0 のときには

Q = L2 (Ω;R) (5.32)

とおく．|ΓN| = 0 のときには，定数分の不定性を除くために

Q =

q ∈ L2 (Ω;R)

∣∣∣∣ ∫Ω

q dx = 0

(5.33)

とおく．(5.28) に任意の q ∈ Q をかけて Ω で積分することにより，∫Ω

q∇ · udx = 0

が成り立つ．この式を連続の式の弱形式という．Stokes 問題に対しては．

a (u,v) =

∫Ω

µ(∇uT

)·(∇vT

)dx, (5.34)

b (v, q) = −∫Ω

q∇ · v dx, (5.35)

l (v) =

∫Ω

b · v dx+

∫ΓN

pN · v dγ (5.36)

とおく．このとき，問題 5.8 は次のようにかける．

問題 5.9 (Stokes 問題の弱形式) U を (5.31)，Q を (5.32) あるいは (5.33) とする．u ∈ H1

(Ω;Rd

)を ˜u = uD on ΓD を満たす固定関数，b ∈ L2

(Ω;Rd

), pN ∈

5.6 抽象的鞍点型変分問題 19

L2(ΓN;Rd

), uD ∈ H1/2

(ΓD;Rd

), µ ∈ L∞ (Ω;R)とする．このとき，任意の (v, q) ∈

U ×Q に対して

a (u,v) + b (v, p) = l (v) ,

b (u, q) = 0

を満たす (u− u, p) ∈ U ×Q を求めよ．ただし，a ( · , · ), b ( · , · ), l ( · ) はそれぞれ(5.34), (5.35), (5.36) である．

5.6 抽象的鞍点型変分問題Stokes 問題の弱形式が得られたので，それらを満たす解の一意存在がどのような結果に基づいて保証されるのかについてみておこう．線形弾性問題は変位 u に対する楕円型偏微分方程式になっていた．そこで抽象的変分問題あるいは抽象的最小化問題に対する結果を用いて解の一意存在を示すことができた．それに対して，Stokes 問題は流速 u に加えて圧力 p が未知変数に加わり，その分連続の式を同時に満たすことを要請している．この構成は，制約付きの抽象的変分問題あるいは抽象的最小化問題に相当する抽象的鞍点型変分問題あるいは抽象的鞍点問題とよばれる問題になっていることが確かめられる．ここでは，その定義と結果を使って Stokes 問題に対する解の一意存在を示そう．U と Q を実 Hilbert 空間として，b : U ×Q → R を U ×Q 上で定義された双 1次形式とする．双 1次形式に対する有界性を次のように定義する．

定義 5.3 (U ×Q 上双 1次形式の有界性) b : U × Q → R とする．任意の (v, q) ∈U ×Q に対して，ある β > 0 が存在して

|b (v, q)| < β ∥v∥U ∥q∥Q

が成り立つとき，b は有界であるという．

さらに，連続の式を満たすような関数の集合で Hilbert 空間となるような線形空間を定義する．

定義 5.4 (発散なし Hilbert 空間 Udiv) b : U ×Q → R を双 1次形式とする．任意の q ∈ Q に対して，

Udiv = v ∈ U | b (v, q) = 0

20 第 5章 偏微分方程式の境界値問題

を U に対する発散なし Hilbert 空間という．

これらの定義を用いて，次のような問題を考える．

問題 5.10 (抽象的鞍点型変分問題) a : U × U → R, b : U ×Q → R を有界な双 1次形式，l ∈ U ′, r ∈ Q′ とする．任意の (v, q) ∈ U ×Q に対して，

a (u,v) + b (v, p) = ⟨l,v⟩ ,b (u, q) = ⟨r, q⟩

を満たす (u, p) ∈ U ×Q を求めよ．

5.6.1 解の存在定理抽象的鞍点型変分問題 5.10 の解の一意存在について次の結果が知られている

[3, 4, 13]．

定理 5.4 (抽象的鞍点型変分問題の解の存在) a : U × U → R, b : U × Q → R を有界な双 1 次形式，a は Udiv で強圧的，すなわち，任意の v ∈ Udiv に対して，あるα > 0 が存在して，

|a (v,v)| ≥ α ∥v∥2U

を満たし，b は

β = infq∈Q

supv∈U

b (v, q)

∥v∥U ∥q∥Q> 0 (5.37)

を満たすとする．このとき，問題 5.10 の解 (u, p) ∈ U × Q は一意に存在し，1/α,

1/β, ∥a∥, ∥b∥ に依存した c > 0 に対して，

∥u∥U + ∥p∥Q ≤ c(∥l∥U ′ + ∥r∥Q′

)が成り立つ．

(5.37) は下限上限条件，あるいは Ladysenskaja-Babuska-Brezzi 条件，Babuska-

Brezzi-Kikuchi 条件などとよばれる．定理 5.4 を用いれば，Stokes 問題に対する解の一意存在は次のように示される．

5.6 抽象的鞍点型変分問題 21

例題 5.6 (Stokes 問題の解の一意存在) |ΓD| > 0 かつ u = uD on ΓD を満たすu ∈ H1

(Ω;Rd

)が存在するとき，問題 5.9 を満たす (u− u, p) ∈ U ×Q は一意に存

在することを示せ．

(解答) 定理 5.4 の仮定が次のように成り立つことを確認しよう． U , Q は Hilbert 空間である． また，問題 5.9 は，任意の (v, q) ∈ U ×Q に対して，

a (w,v) + b (v, p) = l (v) ,

b (w, q) = r (q) ,

を満たす (w, p) ∈ U ×Q を求める問題と同値である．ただし，

l (v) = l (v)− a (u,v) ,

r (q) = −b (u, q)

とする．a の Udiv 上で有界かつ強圧的である．なぜならば，例題 5.5 の解答より，a は有界かつ U で強圧的である．したがって， a は Udiv ⊂ U でも強圧的である． b は有界かつ下限上限条件を満たすことが示されている [4]．一方，l ∈ U ′ は例題 5.5 の解答の中で示されている．また，r ∈ Q′ である．なぜならば，

|r (q)| ≤∫Ω

|q∇ · u| dx ≤ ∥u∥H1(Ω;Rd) ∥q∥L2(Ω;R)

が成り立つためである．以上のことから，定理 5.4が適用できて，問題 5.9を満たす (u− u, p) ∈

U ×Q は一意に存在する．

5.6.2 抽象的鞍点問題抽象的鞍点型変分問題 (問題 5.10) において a : U ×U → R が対称のときには，抽象的鞍点型変分問題は次のような抽象的鞍点問題と同値になる．

問題 5.11 (抽象的鞍点問題) a : U × U → R, b : U ×Q → R を有界な双 1次形式とする．(l, r) ∈ U ′ ×Q′ が与えられたとき，

L (v, q) =1

2a (v,v) + b (v, q)− ⟨l,v⟩ − ⟨r, q⟩

とする．このとき，任意の (v, q) ∈ U ×Q に対して，

L (u, q) ≤ L (u, p) ≤ L (v, p) .

を満たす (u, p) ∈ U ×Q を求めよ．

問題 5.11 に対して次の結果が得られる．

22 第 5章 偏微分方程式の境界値問題

定理 5.5 (抽象的鞍点問題と鞍点型変分問題の解の一致) a が対称かつ半正定値のとき，すなわち，任意の v ∈ U に対して a (v,v) ≥ 0 が成り立つとき，問題 5.10 の解と問題 5.11 の解は一致する．

なお，抽象的鞍点問題 (問題 5.11) において q ∈ Q は連続の式のような等式制約に対する Lagrage 乗数となっていることを確認しておこう．問題 5.11 は，

f (v) =1

2a (v,v)− ⟨l,v⟩

とおいたとき

min(v,q)∈U×Q

f (v) | b (v, q)− ⟨r, q⟩ = 0 (5.38)

を満たす (v, q) を求める問題になっている．このとき，問題 5.11 の L (v, q) はこの問題の Lagrage 関数であり，q ∈ Q は等式制約に対する Lagrage 乗数になっている．(5.38) の解が問題 5.11 の鞍点と一致することを示す定理 5.5 は，双対定理 (定理2.19) に対応した結果になっている．

5.7 第 5章のまとめ偏微分方程式の境界値問題に対する弱形式と解の存在についてみてみた．

(1) Poisson 問題の弱形式に対して解の一意存在がいえる．• 抽象的変分問題について，解の一意存在が Lax-Milgram の定理によって示せる．

• Poisson 問題は抽象的変分問題の条件を満たす．• 抽象的最小化問題も，抽象的変分問題と同様に，解の一意性が示せる．

(2) 線形弾性問題の弱形式に対しても抽象的変分問題の条件を満たす．(3) Stokes 問題は制約付境界値問題である．

• 鞍点型変分問題について，下限上限条件を満たせば解の一意存在が示せる．• Stokes 問題は鞍点型変分問題の条件を満たす.

5.8 第 5章の演習問題(1) b : Ω → R, uD : ∂Ω → R に対して，

−∆u+ u = b in Ω,

5.8 第 5章の演習問題 23

u = uD on ∂Ω

を満たす u : Ω → R を求める境界値問題の弱形式を求めよ．また，この弱形式を満たす u が一意に存在するためには b と uD をどのような関数空間から選べばよいかを示せ．

(2) b : Ω × (0, t1) → Rd, p : ΓN × (0, t1) → Rd, uD : ΓD × (0, t1) → Rd,

uD0 : Ω → Rd, uD1 : Ω → Rd, および ρ > 0 に対して，

ρuT −∇ · T (u) = bT in Ω× (0, t1) ,

T (u)ν = p on ΓN × (0, t1) ,

u = uD on ΓD × (0, t1) ,

u = uD0 in Ω at t = 0,

u = uD1 in Ω at t = t1

を満たす u : Ω× (0, t1) → Rd を求める問題を動的線形弾性問題という．この問題の弱形式を求めよ．

(3) (2) において，b = 0Rd , p = 0Rd および uD = 0Rd とするとき，(x, t) ∈Ω× (0, t1) に対して，変数分離型の解 (定在波)

u (x, t) = ϕ (x) eλt,

を仮定したとき，ϕ : Ω → Rd と λ ∈ R を求める問題を固有振動問題という．この問題の弱形式を求めよ．

(4) b : Ω × (0, t1) → Rd, pN × (0, t1) : ΓN → Rd, uD : ΓD × (0, t1) → Rd,

uD0 : Ω → Rd, µ > 0, ρ > 0 に対して，

ρu+ (u ·∇)u− µ∆u+∇p = b in Ω× (0, t1) ,

∇ · u = 0 in Ω× (0, t1) ,

∇νu− pν = pN on ΓN × (0, t1) ,

u = uD on ΓD × (0, t1) ,

u = uD0 in Ω at t = 0

を満たす (u, p) : Ω× (0, t1) → Rd × R を求める問題を Navier-Stokes 問題という．第 1式を Navier-Stokes 方程式，第 2式を連続の式という．この問題の弱形式を求めよ．

25

参考文献

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