CFGS - SD Editores...CFGS Curs d’accés, part comuna. Matemàtiques Queda prohibida, tret excepció prevista a la llei, qualsevol forma de reproducció, distribució, comunicació

CFGSCurs d’accés, part comuna

Matemàtiques

Cristina Marimón Martínez

CFGS Curs d’accés, part comuna. Matemàtiques

Queda prohibida, tret excepció prevista a la llei, qualsevol forma de reproducció, distribució, comunicació i transformació d’aquesta obra sense comptar amb l’autorització dels titulars de la propietat intel·lectual. La infracció dels drets esmentats pot ser constitutiva de delicte contra la propietat intel·lectual (arts. 270 i següents del Còdi Penal). El Centro Español de Derechos Reprográficos (www.cedro.org) vetlla per tal que es respectin els drets esmentats..

© 2013, Cristina Marimón Martínez© 2013, SD EDITORES Avda. Fabregada, 69-73 08907 L’Hospitalet de Llobregat (Barcelona) Tel. 93 260 19 19 / Fax 93 260 19 18 [email protected] www.sdeditores.es

ISBN:

Dipòsit legal:

Fotografia de coberta i disseny: Oriol Miró Guinovart

Composició: Estudi Gràfic El Prat

Imprès a: Sagrafic

Impreso en España - Printed in Spain

3

í Índex decapítols

Índex de capítols

BLOC 1Aritmètica i àlgebra

Unitat 1. Conjunts numèrics (I): Nombres racionals

Classificació dels nombres . . . . . . . . . . . 8

Fraccions i nombres decimals . . . . . . . . . 15

Proporcionalitat i percentatges. . . . . . . . 16

Potències . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Notació científica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Unitat 2. Conjunts numèrics (II): Nombres reals i nombres complexos

La recta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Aproximacions i errors . . . . . . . . . . . . . . 34

Radicals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Nombres complexos . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Unitat 3. Polinomis

Conceptes bàsics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Operacions amb polinomis . . . . . . . . . . . 41

Regla de Ruffini i teorema del residu . . . 41

Factorització de polinomis . . . . . . . . . . . 45

Fraccions algebraiques . . . . . . . . . . . . . . 45

Unitat 4. Equacions i inequacions

Equacions de primer grau. . . . . . . . . . . . 45

Equacions de segon grau . . . . . . . . . . . . 45

Equacions biquadrades . . . . . . . . . . . . . . 45

Equacions irracionals . . . . . . . . . . . . . . . 45

Equacions polinòmiques de grau major que dos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Equacions exponencials . . . . . . . . . . . . . 45

Equacions logarítmiques . . . . . . . . . . . . 45

Inequacions de primer grau . . . . . . . . . . 45

Unitat 5. Sistemes d’equacions

Sistemes de dues equacions amb dues incògnites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Sistemes de tres equacions amb tres incògnites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Sistemes d’equacions no lineals . . . . . . . 45

BLOC 2Geometria

Unitat 6. Trigonometria, figures planes i cossos elementals

Àrees de figures planes . . . . . . . . . . . . . 45

Àrees i volums de cossos elementals . . . 45

4 Índex de capítols

Mesura d’angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Resolució de triangles rectangles . . . . . . 45

Resolució de triangles no rectangles . . . 45

Escales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Unitat 7. Geometria analítica en el pla

Vectors en el pla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Rectes en el pla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Aplicacions mètriques . . . . . . . . . . . . . . 45

Còniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

BLOC 3Funcions

Unitat 8. Funcions


Característiques generals de la gràfica d’una funció . . . . . . . . . . . . . 45

Operacions amb funcions . . . . . . . . . . . 45

Funcions elementals . . . . . . . . . . . . . . . 45

Unitat 9. Successions, límits i continuïtat

Successions i progressions . . . . . . . . . . . 45

Càlcul de límits . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Continuïtat i discontinuïtats . . . . . . . . . . 45

Unitat 10. Derivació i aplicacions de la derivada

Càlcul de derivades . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Recta tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Estudi i representació de funcions . . . . . 45

Problemes d’optimització . . . . . . . . . . . . 45

BLOC 4Estadística i probabilitat

Unitat 11. Estadística descriptiva


Taules de freqüències . . . . . . . . . . . . . . 45

Gràfics estadístics . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Paràmetres estadístics . . . . . . . . . . . . . 45

Estadística descriptiva bidimensional . . 45

Unitat 12. Probabilitat


Probabilitat d’experiments simples . . . . 45

Probabilitat d’experiments compostos . 45

6Trigonometria, figures planes i cossos

elementals

La trigonometria és la branca de la geometria que estudia els triangles.

Encara que no ho pugui semblar, els triangles són una de les figures planes més importants, ja que, a partir d'aquests, es poden estudiar tots els altres polígons i, a partir de la geometria plana, es pot estudiar la geometria en l'espai.

En aquesta unitat, treballarem principalment les àrees de les figures planes, les àrees i volums dels cossos geomètrics elementals, i la trigo-nometria i les seves aplicacions en la resolució de triangles. Ob

jec

tius

6 Unitat 6. Trigonometria, figures planes i cossos elementals

Àrees de figures planes

Un polígon és una figura plana limitada per tres o més segments.

RecordaEl perímetre d'un polígon és igual a la suma de les longituds dels seus costats.

El perímetre d'una circumferència es denomina lon-gitud, i es calcula mitjançant la següent fórmula (on r és el radi):

Longitud = L = 2 · π · r

r

En els polígons regulars (tots els costats i angles són iguals), es calcula el perímetre mitjançant la següent fórmula:

Perímetre = P = costat · núm. de costats

c

Àrees de les principals figures planes

RecordaClassificació dels triangles segons la longitud dels seus costats

Escalè

Els tres costats tenen longituds diferents

Equilàters Isòsceles

Els seus tres costats mesuren

el mateix

Dos dels seus costats mesuren

el mateix

Triangle Quadrat

a

b c

c

A = base ⋅altura2

= b ⋅a2

A = costat ⋅costat = c ⋅c = c2

6

Unitat 6. Trigonometria, figures planes i cossos elementals 7

Rectangle

b

a

A = base ⋅altura = b ⋅a

Rombo

d

D

A = Diagonal major ⋅diagonal menor2

=

= D ⋅d2

Romboide

b

a

A = base ⋅altura = b ⋅a

Trapezi

B

b

A =Base major + base menor( ) ⋅altura

2=

= B + b( ) ⋅a2

a

Àrea d'un polígon regular

Els polígons que tenen tots els costats iguals i tots els

seus angles iguals es denominen polígons regulars.

L'apotema (ap) d'un polígon regular és la distància

entre el centre del polígon i cada un dels seus cos-

tats.

ap

P ⋅ap2

P ⋅ap2

= A = Perímetre · apotema = Àrea

polígon regular

Propietat dels polígons regulars

n Si en un polígon regular unim el centre amb els diferents vèrtexs del polígon, obtenim triangles isòsceles iguals.

costat

n En el cas de l'hexàgon, obtenim triangles equi-làters.

Àrea del cercle

r A = π · (radi)2 = π · r2

π ≈ 3,1416

RecordaSemblança

Es diu que dos polígons són semblants si:

n Cada angle del polígon i el corresponent del seu transformat (homòleg) són iguals.

n El quocient d'un costat i el seu transformat és constant (sempre dóna el mateix nombre) [Costats respectius proporcionals].

n A aquest quocient se li denomina raó de semblança.

C'

D'B'

A'A

B

C

c1

c1' c

2'

c3'

c4'

c2

c3

c4

D

c1 '

c1

= c2 '

c2

= c3 '

c3

= c4 '

c4

= raó de semblança

A = A', B = B ', C = C ', D = D '

Unitat 6. Trigonometria, figures planes i cossos elementals8

RecordaTeorema de Pitàgores

Donat un triangle rectangle:

n Els dos costats que formen l'angle recte es denominen catets.

n L’altre costat, el de major longitud (que sem-pre és l'oposat a l'angle recte), es diu hipote-nusa.

hipotenusa

catet

cate

t

90º

Teorema de Pitàgores: Donat un triangle rec-tangle, es compleix que el quadrat de la hipote-nusa és igual a la suma dels quadrats dels catets:

hipotenusa2 = catet2 + catet2

Exercicis resolts

1. Calcula l'àrea del rectangle l'altura del qual és de 4 cm i la base del qual és el triple que l'altura.

b = 3 · 4 = 12 cm

a = 4 cm

Altura = a = 4 cm

Base = b = 3 · altura = 3 · 4 = 12 cm

Àrea rectangle = A = b · a = 12 · 4 = 48 cm2

Àrea del rectangle = 48 cm2

2. Calcula el perímetre d'un rectangle si sabem que un costat mesura 4 cm i que la seva dia-gonal mesura 5 cm:

b = 4 cm b = 4 cm

d = 5 cmd = 5 cma a

Trobem l'altre costat usant el teorema de Pitàgores:

d2 = b2 + a2; 52 = 42 + a2; 25 = 16 + a2;

a2 = 25 – 16 = 9; a =

48

2

a = 1728

9 =3; a = 3 cm

El perímetre és la suma dels costats, així:

Perímetre = P = 2 · a + 2 · b = (2 · 3) + (2 · 4) = 6 + 8 = 14

Perímetre del rectangle = 14 cm

3. Calcula l'àrea d'un triangle equilàter de 48 cm de costat.

Com el triangle és equilàter, els tres costats tenen la mateixa longitud. A més, l'altura del triangle es recolza just en el punt mig de la base. Així:

48 cm 24 cm

48 cm 48 cma

En el triangle rectangle tenim que la base és

48

2

a = 1728

.

48

2

a = 1728

= 24 cm

Per trobar l'altura, usarem el teorema de Pitàgores:

482 = a2 + 242; 2304 = a2 + 576; a2 = 2304 − 576 = 1728; a= 1728; a = 41,57 cm

482 = a2 + 242; 2304 = a2 + 576; a2 = 2304 − 576 = 1728; a= 1728; a = 41,57 cm

Finalment, l'àrea del triangle original és:

A = b ⋅a2

; A = 48 ⋅41,57

2; A = 997,68 cm2

Àrea del triangle = 997,68 cm2

4. Calcula la longitud del costat d'un rombe sa-bent que les seves diagonals valen 2 cm i 3 cm.

c c

d = 2 cm

d = 1 cmD = 3 cm

D = 1,5 cm

Diagonal major = D = 3 cm

Diagonal menor = d = 2 cm

Utilitzant el teorema de Pitàgores:

c2 = 12 +1,52; c2 = 3,25; c = 3,25; c = 1,8 cm

Costat del rombe = 1,8 cm


6. [PACGS Andalusia] Obté la incògnita i la uni-tat de mesura de l'esmentada incògnita en cada un dels següents casos relacionats amb costats, àrees i perímetres de figures planes.

Figura Dades Incògnita

RectangleBase = 5 cm Àrea = 29 cm2 Altura =………

Quadrat Àrea = 56 km2 Costat = ………

TriangleAltura = 8 cm Àrea = 20 cm2 Base = ………

RombeDiagonal major = 5 m Àrea = 25 m2

Diagonal menor = ..............

RectangleBase = 3 km Àrea = 27 km2 Perímetre = ………

Rectangle:

A = b ⋅a; 29 = 5 ⋅a; a = 29

5; a = 5,8 cm

A = l ⋅ l = l2; 56 = l2; l = 56; l = 7,48 km

A = b ⋅a2

; 20 = b ⋅82

; b = 20 ⋅28

; b = 5 cm

A = D ⋅d2

; 25 = 5 ⋅d2

; d = 25 ⋅25

; d = 10 m

A = b ⋅a; 27 = 3⋅a; a = 27

3; a = 9 km

P = suma de lados = 2 ⋅a( ) + 2 ⋅b( ) = 2 ⋅9( ) + 2 ⋅3( ) = 24

P = 24 km

Quadrat: A = b ⋅a; 29 = 5 ⋅a; a = 29

5; a = 5,8 cm

A = c ⋅c = c2; 56 = c2; c = 56; c = 7,48 km

A = b ⋅a2

; 20 = b ⋅82

; b = 20 ⋅28

; b = 5 cm

A = D ⋅d2

; 25 = 5 ⋅d2

; d = 25 ⋅25

; d = 10 m

A = b ⋅a; 27 = 3⋅a; a = 27

3; a = 9 km

P = suma de costats = 2 ⋅a( ) + 2 ⋅b( ) = 2 ⋅9( ) + 2 ⋅3( ) = 24

P = 24 km

Triangle:

A = b ⋅a; 29 = 5 ⋅a; a = 29

5; a = 5,8 cm

A = l ⋅ l = l2; 56 = l2; l = 56; l = 7,48 km

A = b ⋅a2

; 20 = b ⋅82

; b = 20 ⋅28

; b = 5 cm

A = D ⋅d2

; 25 = 5 ⋅d2

; d = 25 ⋅25

; d = 10 m

A = b ⋅a; 27 = 3⋅a; a = 27

3; a = 9 km

P = suma de lados = 2 ⋅a( ) + 2 ⋅b( ) = 2 ⋅9( ) + 2 ⋅3( ) = 24

P = 24 km

Rombe:

A = b ⋅a; 29 = 5 ⋅a; a = 29

5; a = 5,8 cm

A = l ⋅ l = l2; 56 = l2; l = 56; l = 7,48 km

A = b ⋅a2

; 20 = b ⋅82

; b = 20 ⋅28

; b = 5 cm

A = D ⋅d2

; 25 = 5 ⋅d2

; d = 25 ⋅25

; d = 10 m

A = b ⋅a; 27 = 3⋅a; a = 27

3; a = 9 km

P = suma de lados = 2 ⋅a( ) + 2 ⋅b( ) = 2 ⋅9( ) + 2 ⋅3( ) = 24

P = 24 km

Rectangle:

A = b ⋅a; 27 = 3⋅a; a = 27

3; a = 9 km

A = b ⋅a; 29 = 5 ⋅a; a = 29

5; a = 5,8 cm

A = l ⋅ l = l2; 56 = l2; l = 56; l = 7,48 km

A = b ⋅a2

; 20 = b ⋅82

; b = 20 ⋅28

; b = 5 cm

A = D ⋅d2

; 25 = 5 ⋅d2

; d = 25 ⋅25

; d = 10 m

A = b ⋅a; 27 = 3⋅a; a = 27

3; a = 9 km

P = suma de lados = 2 ⋅a( ) + 2 ⋅b( ) = 2 ⋅9( ) + 2 ⋅3( ) = 24

P = 24 km

A = b ⋅a; 29 = 5 ⋅a; a = 29

5; a = 5,8 cm

A = c ⋅c = c2; 56 = c2; c = 56; c = 7,48 km

A = b ⋅a2

; 20 = b ⋅82

; b = 20 ⋅28

; b = 5 cm

A = D ⋅d2

; 25 = 5 ⋅d2

; d = 25 ⋅25

; d = 10 m

A = b ⋅a; 27 = 3⋅a; a = 27

3; a = 9 km

P = suma de costats = 2 ⋅a( ) + 2 ⋅b( ) = 2 ⋅9( ) + 2 ⋅3( ) = 24

P = 24 km

5. [Andalusia, Juny 2011] Una placa descansa sobre 4 femelles hexagonals com la de la fi-gura. Per esbrinar la superfície de suport i el pes a què pot ser sotmesa, calcula la super-fície de suport que generen les esmentades femelles. El diàmetre de la circumferència interior és de 16 mm i el costat de l'hexàgon regular és de 16 mm.

16 mm

d = 16 mm

Radi circumferència

Radi = Diàmetre2

; Radi = r = 16

2= 8 mm

A = π ⋅r 2; A = π ⋅82; A = 201,06 mm2

Àrea de la circumferència interior: Radi = Diàmetre2

; Radi = r = 16

2= 8 mm

A = π ⋅r 2; A = π ⋅82; A = 201,06 mm2

Per calcular l'àrea de l'hexàgon, necessitem el perí-metre i l'apotema:

Perímetre de l’hexàgon regular:

P = costat ⋅núm. costats = 16 ⋅6 = 96 mm

162 = 82 + ap2; 256 = 64 + ap2; ap2 = 256 − 64; ap = 192 = 13,86 mm

A = P ⋅ap2

; A = 96 ⋅13,86

2; A = 665,28 mm2

Ara, recordem que en els hexàgons regulars, els triangles interiors son equilàters. Així:

16 mm 8 mm

ap 16 mm

Apotema:P = costat ⋅núm. costats = 16 ⋅6 = 96 mm

162 = 82 + ap2; 256 = 64 + ap2; ap2 = 256 − 64; ap = 192 = 13,86 mm

A = P ⋅ap2

; A = 96 ⋅13,86

2; A = 665,28 mm2


162 = 82 + ap2; 256 = 64 + ap2; ap2 = 256 − 64; ap = 192 = 13,86 mm

A = P ⋅ap2

; A = 96 ⋅13,86

2; A = 665,28 mm2Àrea de l’hexàgon:


162 = 82 + ap2; 256 = 64 + ap2; ap2 = 256 − 64; ap = 192 = 13,86 mm

A = P ⋅ap2

; A = 96 ⋅13,86

2; A = 665,28 mm2

Finalment:

Àrea de la femella = Àrea de l’hexàgon – Àrea de la circumferència interior

= = 665,28 – 201,06 = 464,22 mm2

Àrea de 4 femelles = 4 · 464,22=1856,88 mm2

La superfície de la femella és de 1856,88 mm2.


7. [PACGS Andalusia] L’àrea d'un triangle isòs-celes és 48 m2 i la seva base mesura 12 m. Un altre triangle semblant a ell té una altura de 27 m.

a1

b1 = 12 m b

2

a2 = 27 m

a) L’altura del primer triangle mesura .…… m.

b) La raó de semblança és .………

c) La base del segon triangle és ..……… m.

d) L’àrea del segon triangle és ..……... m2.

a)

A1 = b1 ⋅a1

2; 48 = 12 ⋅a1

2; a1 = 2 ⋅48

12; a1 = 8 m

a2

a1

= 27

8= 3,375

a2

a1

= b2

b1

; 27

8= b2

12; 27 ⋅12 = b2 ⋅8; b2 = 27 ⋅12

8;

b2 = 40,5 m

A2 = b2 ⋅a2

2; A2 = 40,5 ⋅27

2; A2 = 546,75 m2

L’altura del primer triangle mesura 8 m.

b) Com els triangles rectangles interiors també se-ran semblants:

La raó de semblança és

A1 = b1 ⋅a1

2; 48 = 12 ⋅a1

2; a1 = 2 ⋅48

12; a1 = 8 m

a2

a1

= 27

8= 3,375

a2

a1

= b2

b1

; 27

8= b2

12; 27 ⋅12 = b2 ⋅8; b2 = 27 ⋅12

8;

b2 = 40,5 m

A2 = b2 ⋅a2

2; A2 = 40,5 ⋅27

2; A2 = 546,75 m2

.

c) Les raons de semblança han de coincidir tant en el quocient de les altures com en el de les bases. Així:

A1 = b1 ⋅a1

2; 48 = 12 ⋅a1

2; a1 = 2 ⋅48

12; a1 = 8 m

a2

a1

= 27

8= 3,375

a2

a1

= b2

b1

; 27

8= b2

12; 27 ⋅12 = b2 ⋅8; b2 = 27 ⋅12

8;

b2 = 40,5 m

A2 = b2 ⋅a2

2; A2 = 40,5 ⋅27

2; A2 = 546,75 m2

A1 = b1 ⋅a1

2; 48 = 12 ⋅a1

2; a1 = 2 ⋅48

12; a1 = 8 m

a2

a1

= 27

8= 3,375

a2

a1

= b2

b1

; 27

8= b2

12; 27 ⋅12 = b2 ⋅8; b2 = 27 ⋅12

8;

b2 = 40,5 m

A2 = b2 ⋅a2

2; A2 = 40,5 ⋅27

2; A2 = 546,75 m2

La base del segon triangle és 40,5 m.

d)

A1 = b1 ⋅a1

2; 48 = 12 ⋅a1

2; a1 = 2 ⋅48

12; a1 = 8 m

a2

a1

= 27

8= 3,375

a2

a1

= b2

b1

; 27

8= b2

12; 27 ⋅12 = b2 ⋅8; b2 = 27 ⋅12

8;

b2 = 40,5 m

A2 = b2 ⋅a2

2; A2 = 40,5 ⋅27

2; A2 = 546,75 m2

L’àrea del segon triangle és 546,75 m2.

Àrees i volums de cossos elementals

Als cossos geomètrics limitats per polígons se'ls diu políedres.

Àrea i volum d'un prisma

Els prismes són políedres que tenen dues cares (polí-gons) iguals i paral·leles denominades bases i les al-tres cares laterals són paral·lelograms (normalment rectangles).

Exemples de prismes

Cub o hexàedre

Prisma pentagonal

Prisma triangular

Prisma quadrangular

Prisma rectangular

n Àrea d’un prisma: Per calcular l'àrea d'un prisma, sumem l'àrea lateral i l'àrea de les bases. És útil, moltes vegades, considerar el desenvolupament pla de la figura i calcular les àrees dels polígons que la formen.


L'apotema (ap) d'una piràmide regular és l'altura de les seves cares laterals.

altura

apotema

(altura del triangle)

n Àrea d’una piràmide: Per calcular l'àrea total de les piràmides, també se sol usar el desenvolupa-ment pla de la figura i se sumen les àrees de cada un dels polígons que la formen.

Piràmide quadrangular

base

n Volum d’una piràmide: Es calcula a partir de la fórmula:

Volum =Àrea de la base ⋅altura

3

Àrea i volum dels cossos rodonsn Cilindre

Àrea del cilindre = = 2 · Àrea de la base + Àrea lateral = 2 · π r2 + 2 π r h

(Observa que l'àrea lateral és un rectangle que té de base la longitud de la circumferència)

Prisma quadrangular

base

base

altu

ra

n Volum d’un prisma: Es calcula a partir de la fór-mula:

Volum = Àrea de la base · altura

Àrea i volum d’una piràmideLes piràmides són els políedres en els quals una de les cares (anomenada base) és un polígon i les altres cares (anomenades cares laterals) són triangles que tenen un vèrtex comú.

Exemples de piràmides

Piràmide triangular Piràmide rectangular

Piràmide quadrangular Piràmide pentagonal

L’altura d’una pirámide és la distància entre el vèrtex i la base.


Exercicis resolts

1. Calcula l'àrea de làmina metàl·lica que ne-cessitaríem per construir un recipient amb forma d'ortoedre d'1,40 m de llarg, 0,50 m d'ample i 0,40 m d'altura. Troba també el vo-lum del recipient.

Observem, en primer lloc, que un ortoedre està com-posat per tres tipus de rectangles diferents:

baseco

stat

costa

t

base

frontal

frontal0,40 m

0,50

m

1,40 m

Àrea base = Àrea rectangle = 1,4 · 0,5 = 0,7 m2

Àrea frontal = Àrea rectangle = 1,4 · 0,4 = 0,56 m2

Àrea costat = Àrea rectangle = 0,5 · 0,4 = 0,2 m2

Àrea lateral = 2 ·Àrea frontal + 2 · Àrea costat = = 2 · 0,56 + 2 · 0,2 = 1,12 + 0,4 = 1,52 m2

Àrea total ortoedre = 2 · Àrea base + Àrea lateral == 2 · 0,7 + 1,52 = 2,92 m2

Volum ortoedre = Àrea base · altura = = 0,7 · 0,40 = 0,28 m3

Àrea total de l’ortoedre = 2,92 m2

Volum de l’ortoedre = 0,28 m3

Necessitaríem 2,92 m2 de làmina metàl·lica. El volum del recipient és de 0,28 m3.

2. Troba l'àrea i el volum d'un prisma hexago-nal d'altura h =10 cm i de base un hexàgon regular de 3 cm de costat i 2 cm d'apotema.

h = 10 cm

ap = 2 cm

c = 3 cm

h

r

rr

h

2 π r

Volum del cilindre = = Àrea de la base · altura = π r2 · h

n Con

Si en un con considerem un triangle rectangle format per la seva altura i el radi de la base com a catets, denominem generatriu del con (g) a la hipotenusa d'aquest triangle rectangle.

Àrea del con = = Àrea de la base + Àrea lateral = π r2 + π r g

h

GeneratriuGeneratriu

r

r

Volum del con = Àrea de la base ⋅altura3

= π r 2 ⋅h3

n Esfera

Àrea de l’esfera: A = 4 π r2

Volum de l’esfera: V = 4

3π r 3

centre

radi


Aplicant el teorema de Pitàgores:

62 = h2 + 22; 36 = h2 + 4; 36 − 4 = h2; 32 = h2;

h = 32; h = 5,66 cm

Finalment:

Volum piràmide = Àrea de la base ⋅altura3

=

= 16 ⋅5,66

3= 30,19 cm3

Àrea piràmide = 64 cm2

Volum piràmide = 30,19 cm3

4. [Catalunya, 2007, sèrie 1] Volem construir un recipient cilíndric sense tapa, de manera que el diàmetre de la base mesuri 20 cm i la seva altura 30 cm. Calcula:

a) La superfície de planxa que necessitarem.

b) El volum del líquid que podrà contenir.

h = 30 cm

d = 20 cm

h

2 π r

a) Radi = Diàmetre

2; Radi = r = 20

2; r = 10 cm

Considerant el desenvolupament pla del cilindre (re-cordem que no té tapa):

Àrea Recipient = Àrea de la base + Àrea lateral == π r2 + 2 π r h = π · 102 + 2 · π · 10 · 30 = 2199,11 cm2

Àrea Recipient = 2199,11 cm2

Necessitarem 2199,11 cm2 de planxa.

b) Volum cilindre:

V = πr 2 ⋅h = π ⋅ 10( )2 ⋅30 = 9424,748 cm3

El volum del líquid que podrà contenir és de 9424,78 cm3.

Perímetre del hexàgon = costat · núm. costats == 3 · 6 = 18 cm

Àrea de la base = Àrea del hexàgon =

= Perímetre ⋅apotema

2= 18 ⋅2

2= 18 cm2

Àrea lateral = Àrea rectangle · núm. rectangles = = (3 · 10) · 6 = 180 cm2

Àrea prisma = (2 · Àrea base) + Àrea lateral = = (2 · 18) + 180 = 216 cm2

Volum prisma = Àrea base · altura = 18 · 10 = 180 cm3

Volum prisma hexagonal = 180 cm3

Àrea prisma hexagonal = 216 cm2

3. Calcula l'àrea total d'una piràmide quadran-gular que mesura 6 cm d'apotema i el costat del quadrat de la base té 4 cm de longitud. Troba també el seu volum.

4 cm

6 cm

Àrea de la base = Àrea del quadrat = 4 · 4 = 16 cm2

Àrea lateral = Àrea del triangle · núm. triangles =

=(4 ⋅62

⋅4 = 48 cm24 ⋅62

⋅4 = 48 cm24 ⋅62

⋅4 = 48 cm2(Àrea total = Àrea de la base + Àrea lateral == 16 + 48 = 64 cm2

Per trobar el volum de la piràmide, primer haurem de calcular la seva altura. Construïm un triangle rec-tangle format per la meitat de la longitud de la seva base, l'altura de la piràmide i l'apotema de la cara:

h

ap = 6 cm

2 cm4 cm


5. [Andalusia, Juny 2012] Tres pilotes de tennis s'introdueixen en un tub cilíndric de 6,6 cm de diàmetre en el qual encaixen fins a la vora.

altu

ra =

3 ·

6,6

d = 20 cm

6,6 cm

Volum part buida

a) Calcula el volum total de les tres pilotes de tennis.

b) Quin és el volum del cilindre que conté les pilo-tes?

c) Quin serà el volum de la part buida del pot?

a) Radi = Diàmetre

2; Radi = r = 6,6

2; r = 3,3 cm

V = 4

3πr 3 = 4

3π 3,3( )3 = 150,53 cm3

V = 3⋅Volum pilota = 3⋅150,53 = 451,59 cm3

V = πr 2 ⋅h = π ⋅ 3,3( )2 ⋅ 3⋅6,6( ) = 677,40 cm3

Volum d’una pilota (esfera): Radi = Diàmetre2

; Radi = r = 6,6

2; r = 3,3 cm

V = 4

3πr 3 = 4

3π 3,3( )3 = 150,53 cm3

V = 3⋅Volum pilota = 3⋅150,53 = 451,59 cm3

V = πr 2 ⋅h = π ⋅ 3,3( )2 ⋅ 3⋅6,6( ) = 677,40 cm3Volum de les 3 pilotes:

Radi = Diàmetre2

; Radi = r = 6,6

2; r = 3,3 cm

V = 4

3πr 3 = 4

3π 3,3( )3 = 150,53 cm3

V = 3⋅Volum pilota = 3⋅150,53 = 451,59 cm3

V = πr 2 ⋅h = π ⋅ 3,3( )2 ⋅ 3⋅6,6( ) = 677,40 cm3

El volum total de les tres pilotes és de 451,59 cm3.

b) Volum cilindre:

Radio = Diámetro2

; Radio = r = 6,6

2; r = 3,3 cm

V = 4

3πr 3 = 4

3π 3,3( )3 = 150,53 cm3

V = 3⋅Volumen pelota = 3⋅150,53 = 451,59 cm3

V = πr 2 ⋅h = π ⋅ 3,3( )2 ⋅ 3⋅6,6( ) = 677,40 cm3

El volum del cilindre que conté les pilotes de tennis és de 677,40 cm3.

c) Volum de la part buida:

Volum del cilindre – Volum de les 3 pilotes

V = 677,40 – 451,59 = 225,81 cm3

El volum de la part buida és de 225,81 cm3.

5. Calcula l'àrea i el volum d'un con de 5 decí-metres de radi de base i 10 decímetres de generatriu.

g = 10 dm

h

r = 5 dm5 dm

10 dm

En primer lloc, trobem l'altura del con utilitzant el teorema de Pitàgores:

102 = h2 + 52; 100 = h2 + 25; 100 − 25 = h2;

75 = h2; h = 75; h = 8,66 dm

Àrea del con:

πr 2 + πrg = π ⋅52 + π ⋅5 ⋅10 = 235,62 dm2

πr 2 ⋅h3

= π ⋅52 ⋅8,66

3= 226,72 dm3

Volum del con:

πr 2 + πrg = π ⋅52 + π ⋅5 ⋅10 = 235,62 dm2

πr 2 ⋅h3

= π ⋅52 ⋅8,66

3= 226,72 dm3

Àrea del con = 253,62 dm2

Volum del con = 226,72 dm3

Mesura d’angles

Un angle és la regió del pla compresa entre dues semirectes amb origen comú. A les semirectes se les denomina costats i a l'origen comú vèrtex.

O

a

bα


L'angle és positiu si es desplaça en sentit contrari al

moviment de les agulles del rellotge i negatiu en

cas contrari.

Per mesurar angles, es poden utilitzar graus sexa-gesimals o radians.

RecordaEquivalències en el sistema sexagesimal

1º (grau) = 60’ (minuts)

1’ (minut) = 60’’ (segons)

!

CalculadoraAl llarg d'aquesta unitat, quan usis la calcu-ladora, t'has d'assegurar que estàs en mode DEG o D (graus sexagesimals).

En la calculadora, la tecla permet ex-pressar un angle de forma complexa ( º ‘ ’’) en forma decimal i viceversa.

Exemple:

47,68º (forma decimal) = = 46º 40’ 48’’ (forma complexa)

L'equivalència entre les dues unitats és la següent:

360º = 2π radians 180º = π radians

Relacions entre angles

n Dos angles complementaris són aquells la suma

dels quals és 90º.

n Dos angles suplementaris són aquells la suma

dels quals és 180º.

Exemple:

L’angle suplementari de 85º es 95º

(ja que 180 – 85 = 95º).

Exercicis resolts

1. Expressa en graus sexagesimals els següents angles:

a)

π3

rad

9π5b)

π3

rad

9π5

c) 7 rad

Sabem que π radians son 180º, per tant, substituint:

a) π3

rad = 180º

3= 60º

9π5

rad = 9 ⋅180º

5= 324º

x = 180 ⋅7π

= 401,07º = 401º 4 ' 12 ''

b)

π3

rad = 180º

3= 60º

9π5

rad = 9 ⋅180º

5= 324º

x = 180 ⋅7π

= 401,07º = 401º 4 ' 12 ''c) Utilitzant una regla de tres, tenim:

Radians Graus

π rad → 180º

7 rad → x

π3

rad = 180º

3= 60º

9π5

rad = 9 ⋅180º

5= 324º

x = 180 ⋅7π

= 401,07º = 401º 4 ' 12 ''

2. Expressa en radians els següents angles:

a) 45º

b) 280º

c) L’angle complementari de 63º

Utilitzant regles de tres, tenim:

a)

Graus Radians

180º → π rad

45º → x

x = 45 ⋅π180

= 1

4π = π

4rad

x = 280 ⋅π180

= 14

9π = 14π

9rad

x = 27 ⋅π180

= 3

20π = 3π

20rad

b)

Graus Radians

180º → π rad

280º → xx = 45 ⋅π180

= 1

4π = π

4rad

x = 280 ⋅π180

= 14

9π = 14π

9rad

x = 27 ⋅π180

= 3

20π = 3π

20rad


c) L’angle complementari de 63º és:

90º – 63º = 27º

Graus Radians

180º → π rad

27º → x

x = 45 ⋅π180

= 1

4π = π

4rad

x = 280 ⋅π180

= 14

9π = 14π

9rad

x = 27 ⋅π180

= 3

20π = 3π

20rad

Resolució de triangles rectangles

Conceptes bàsics

RecordaClassificacions d'angles

En funció de la seva mesura, els angles es clas-

sifiquen en:

n Aguts, que mesuren entre 0º y 90º.

n Obtusos, que mesuren entre 90º y 180º.

n Rectes, que mesuren exactament 90º.

n Plans, que mesuren exactament 180º.

Angle agut

Angle recte

Angle obtús

Angle pla

RecordaClassificacions de triangles

Els triangles, segons la mesura dels seus angles, es classifiquen en:

n Acutangles, quan els seus tres angles mesu-ren menys de 90º (aguts).

n Rectangles, quan tenen un angle que mesu-ra 90º (recte).

n Obtusangles, quan tenen un angle que me-sura més de 90º (obtús).

Acutangle

Tres angles aguts

Un angle obtús

Un angle recte

Rectangle

Obtusangle

NotacióEn un triangle rectangle, generalment, denominem:

n als seus vèrtexs; A, B, C (majúscules).

n als seus angles; A, B, C

α , ß, γ (o bé les tres primeres

lletres de l'alfabet grec

A, B, C

α , ß, γ ).

n als seus costats; a, b, c (tenint en compte que el costat a és l'oposat al vèrtex A, el costat b és l'oposat al vèrtex B i el costat c és l'oposat al vèr-tex C).

A, B, C

α , ß, γA, B, C

α , ß, γ

A, B, C

α , ß, γ

A

aB

b

C

c


RecordaSuma dels angles d’un triangle

Donat qualsevol triangle, la suma dels seus tres angles és sempre 180º.

A + B +C = 180º

RecordaTeorema de Pitàgores

Donat un triangle rectangle, es compleix que el quadrat de la hipotenusa és igual a la suma dels quadrats dels catets:

hipotenusa2 = catet2 + catet2

hipotenusacate

t

catet

Raons trigonomètriques d'un angle agut

Donat un triangle rectangle amb un angle agut A, B, C

α , ß, γ:

n Denominem catet oposat al costat oposat a l'angle que es pretén estudiar, en el nostre cas b.

n Denominem catet contigu al costat que està en contacte amb l'angle que s'està estudiant i l'angle recte. En aquest cas, el catet adjacent és a.

n Recordem que la hipotenusa és el costat de major longitud (que sempre és l'oposat a l'angle recte).

catet oposat de l'angle A, B, C

α , ß, γ

hipotenusa

catet contigu de l'angle A, B, C

α , ß, γ

A, B, C

α , ß, γA, B, C

α , ß, γ

A, B, C

α , ß, γ

A

aB

b

C

c

Donat un triangle rectangle amb un angle agut A, B, C

α , ß, γ,

es defineixen tres raons trigonomètriques:

n El sinus (abreujat com sin) és la raó entre el catet oposat sobre la hipotenusa.

n El cosinus (abreujat com cos) és la raó entre el catet contigu sobre la hipotenusa.

n La tangent (abreujat com tan) és la raó entre el catet oposat sobre el catet contigu.

sin B = catet oposathipotenusa

= b

c

cos B = catet contiguhipotenusa

= a

c

tan B = catet oposatcatet contigu

= b

a

A, B, C

α , ß, γA, B, C

α , ß, γ

A, B, C

α , ß, γ

A

aB

b

C

c

Identitats trigonomètriques fonamentals

Dues de les identitats més conegudes que relacionen les tres raons trigonomètriques són les següents:

sin α( )2 + cos α( )2 = 1 tan α = sin αcos α

!

Calculadora

Per trobar un angle coneixent les seves raons trigonomètriques utilitzem les tecles sin-1, cos-1 i tan-1.

Exemple:

sin α = 0,34

α = arcsin 0,34 = sin −1 0,34( ) → α = 19,88º


Raons trigonomètriques més usuals

0º

3

2

2

21

2

3

30º = π6

45º = π4

60º = π3

90º = π2

180º = π

270º = 3π2

360º = 2π

3

2

2

21

2

3

30º = π6

45º = π4

60º = π3

90º = π2

180º = π

270º = 3π2

360º = 2π

3

2

2

21

2

3

30º = π6

45º = π4

60º = π3

90º = π2

180º = π

270º = 3π2

360º = 2π

sin α 0

3

2

2

21

2

3

30º = π6

45º = π4

60º = π3

90º = π2

180º = π

270º = 3π2

360º = 2π

3

2

2

21

2

3

30º = π6

45º = π4

60º = π3

90º = π2

180º = π

270º = 3π2

360º = 2π

3

2

2

21

2

3

30º = π6

45º = π4

60º = π3

90º = π2

180º = π

270º = 3π2

360º = 2π

cos α 1 3

2

2

21

2

3

30º = π6

45º = π4

60º = π3

90º = π2

180º = π

270º = 3π2

360º = 2π

3

2

2

21

2

3

30º = π6

45º = π4

60º = π3

90º = π2

180º = π

270º = 3π2

360º = 2π

3

2

2

21

2

3

30º = π6

45º = π4

60º = π3

90º = π2

180º = π

270º = 3π2

360º = 2π

tan α 0 3

2

2

21

2

3

30º = π6

45º = π4

60º = π3

90º = π2

180º = π

270º = 3π2

360º = 2π

1

3

2

2

21

2

3

30º = π6

45º = π4

60º = π3

90º = π2

180º = π

270º = 3π2

360º = 2π

3

2

2

21

2

3

30º = π6

45º = π4

60º = π3

90º = π2

180º = π

270º = 3π2

360º = 2π

3

2

2

21

2

3

30º = π6

45º = π4

60º = π3

90º = π2

180º = π

270º = 3π2

360º = 2π

3

2

2

21

2

3

30º = π6

45º = π4

60º = π3

90º = π2

180º = π

270º = 3π2

360º = 2π

3

2

2

21

2

3

30º = π6

45º = π4

60º = π3

90º = π2

180º = π

270º = 3π2

360º = 2π

sin α 1 0 -1 0

cos α 0 -1 0 1

tan α - 0 - 0

Resolució de triangles

Resoldre un triangle significa trobar tots els seus angles i tots els seus costats.

Exercicis resolts

1. Calcula els angles aguts del següent triangle rectangle.

A, B, C

α , ß, γA, B, C

α , ß, γ

A, B, C

α , ß, γ

A

BC

a = 45 cm

c = 53 cmb = 28 cm

a = 45 cm; b = 28 cm; c = 53 cm; A, B, C

α , ß, γ= 90º

Podem utilitzar qualsevol raó trigonomètrica

dels angles A, B, C

α , ß, γ o A, B, C

α , ß, γ:

sin A = 45

53= 0,85; A = arcsin 0,85 = sin −1 0,85( );

A = 58,21º

Ara, com A + B +C = 180º

B = 180 − A −C; B = 180 − 58,21− 90; B = 31,79º

A = 58,21º; B = 31,79º; C = 90º

, tenim:A + B +C = 180º

B = 180 − A −C; B = 180 − 58,21− 90; B = 31,79º

A = 58,21º; B = 31,79º; C = 90ºAixí:

A + B +C = 180º

B = 180 − A −C; B = 180 − 58,21− 90; B = 31,79º

A = 58,21º; B = 31,79º; C = 90º

2. En un triangle rectangle, un angle agut me-sura 32º i el seu catet contigu 10 cm. Resol el triangle.

c

a = 10 cm

b

A

BC 32º

Angles: A, B, C

α , ß, γ = 32º; A, B, C

α , ß, γ = 90º (triangle rectangle en C)

Com A + B +C = 180º

B = 180 − A −C; B = 180 − 58,21− 90; B = 31,79º

A = 58,21º; B = 31,79º; C = 90º

, aleshores:

A = 180 − B −C; A = 180 − 32 − 90; A = 58º

Costats: a = 10 cm

cos B = a

c; cos 32º = 10

c; c = 10

cos 32º; c = 11,8 cm

tan B = b

a; tan 32º = b

10; b = 10 ⋅ tan 32; b = 6,2 cm

3. [Catalunya, 2009, sèrie 4] Amb les dades de la figura adjunta, calcula:

A, B, C

α , ß, γ

A, B, C

α , ß, γD

4 m

3 m

2 m

a

a) El costat a

b) L’angle A, B, C

α , ß, γc) L’angle A, B, C

α , ß, γd) L’angle D

a) Utilitzant el teorema de Pitàgores:

a2 = 42 + 32; a2 = 16 + 9;

a2 = 25; a = 25; a = 5 m

tan B = 4

3; tan B = 1,3;

B = arctan 1,3( ); B = 52,43º

tan C = 4

3+ 2; tan C = 4

5= 0,8;

C = arctan 0,8( ); C = 38,66º


b)

a2 = 42 + 32; a2 = 16 + 9;

a2 = 25; a = 25; a = 5 m

tan B = 4

3; tan B = 1,3;

B = arctan 1,3( ); B = 52,43º

tan C = 4

3+ 2; tan C = 4

5= 0,8;

C = arctan 0,8( ); C = 38,66º

c)

a2 = 42 + 32; a2 = 16 + 9;

a2 = 25; a = 25; a = 5 m

tan B = 4

3; tan B = 1,3;

B = arctan 1,3( ); B = 52,43º

tan C = 4

3+ 2; tan C = 4

5= 0,8;

C = arctan 0,8( ); C = 38,66º

d) Calculem, en primer lloc, el suplementari de

l’angle A, B, C

α , ß, γ, al que denominarem α .

α = 180 – 52,43 = 127,57º

Considerant ara el triangle format pels vèrtexs

C, D i el vèrtex del suplementari de A, B, C

α , ß, γ (α ),

tenim:

D = 180 −C − α ; D = 180 − 38,66 −127,57;

D = 13,77º

4. Calcula l'àrea d'una parcel·la triangular, sa-bent que dos dels seus costats mesuren 80 m i 130 m, i formen entre ells un angle de 65º.

h

A

B

C

80 m

130 m

65º

Considerant el triangle rectangle format que apareix ombrejat en la figura anterior:

sin C = h

80; sin 65º = h

80; h = 80 ⋅sin 65º; h = 72,5 m

Àrea triangle = b ⋅a2

= 130 ⋅72,5

2= 4712,5 m2

sin C = h

80; sin 65º = h

80; h = 80 ⋅sin 65º; h = 72,5 m


= 130 ⋅72,5

2= 4712,5 m2

L'àrea de la parcel·la triangular és de 4712,5 m2.

5. [Comunitat Valenciana, Juny 2012] Volem fixar un pal de 4 m d'altura amb un cable que va des de l'extrem superior del pal al te-rra. Des d'aquest punt del terra, es veu el pal sota un angle de 30º.

30º B

A

a

b = 4 m c

C

a) A quina distància del pal subjectarem el cable?

b) Quina és la longitud del cable?

a) La raó trigonomètrica que relaciona el catet oposat i el catet contigu és la tangent. Així:

tan B = b

a; tan 30º = 4

a; a = 4

tan 30º; a = 6,93 m

sen B = b

c; sen 30º = 4

c; c = 4

sen 30º; c = 8 mSubjectarem el cable a 6,93 m del pal.

b) La raó trigonomètrica que relaciona el catet oposat i la hipotenusa és el cosinus. Així:tan B = b

a; tan 30º = 4

a; a = 4

tan 30º; a = 6,93 m

sin B = b

c; sin 30º = 4

c; c = 4

sin 30º; c = 8 m

La longitud del cable és de 8 m.

6. [Madrid, Maig 2012] Per accedir a la part su-perior d'una tanca, es col·loca una escala re-colzada en la vora de la mateixa i que forma amb el terra un angle α el sinus del qual val 0,8. La base de l'escala queda a una distàn-cia horitzontal de 6 m respecte de la tanca.

B

A

a = 6 m

b c

Cα

a) Calcula el cosinus i la tangent de l'angle α .

b) Calcula l'altura de la tanca i la longitud de l'escala utilitzada.

a) Utilitzant les identitats trigonomètriques fo-namentals:

sin α = 0,8


sin α( )2 + cos α( )2 = 1; 0,8( )2 + cos α( )2 = 1;

0,64 + cos α( )2 = 1; cos α( )2 = 1− 0,64;

cos α = 0,36; cos α = 0,6

tan α = sin αcos α

; tan α = 0,8

0,6; tan α = 1,33

(També és possible resoldre aquest apartat, buscant primer l'angle α amb la tecla sin-1 de la calculadora i trobant el sinus i la tangent de l'angle directament).

b) Trobem, en primer lloc, l'angle α:

sin α = 0,8; α = arcsin 0,8; a = 53,1º

(En el nostre dibuix el denominarem A, B, C

α , ß, γ)

La raó trigonomètrica que relaciona el catet contigu i el catet oposat és la tangent. Així:

tan B = b

a; tan 53,1º=

b

6; b = 6 ⋅ tan 53,1º ; b = 8 m

cos B = a

c; cos 53,1º = 6

c; c = 6

cos 53,1º; c = 10 mL’altura de la tanca és de 8 m.

La raó trigonomètrica que relaciona el catet conti-gu i la hipotenusa contigua és el cosinus. Així:tan B = b

a; tan 53,1º=

b

6; b = 6 ⋅ tan 53,1º ; b = 8 m

cos B = a

c; cos 53,1º = 6

c; c = 6

cos 53,1º; c = 10 m

La longitud de l'escala utilitzada és de 10 m.

7. [Andalusia] Un gran finestral té forma de triangle isòsceles, amb el costat desigual en la seva base (com apareix a la figura se-güent). La longitud del costat esmentat des-igual és de 6 metres i l'angle que forma la base del triangle amb els costats iguals és de 30º. Calcula l'àrea del finestral.

30º 30º

6 m 3 m

h

Com es tracta d'un triangle isòsceles, l'altura es re-colza just en el punt mig de la base. Així, divideix el triangle en dos triangles rectangles. Considerant el primer d'ells, tenim:

tan 30 = h

3; h = 3⋅ tan 30º; h = 1,73 m


= 6 ⋅1,73

2= 5,19 m2

L’àrea del finestral és de 5,19 m2.

8. [Catalunya, 2009, sèrie 3] Volem calcular

l'altura d'un edifici que està a una certa dis-

tància del punt on ens trobem nosaltres. Des

d'on som, observem el punt més alt amb un

angle de 35º. Si ens apropem 200 metres a

l'edifici, l'angle és de 47º.

a) Fes un esquema del problema.

b) Calcula l’altura de l'edifici.

a)

x + 200 m

y y

35º47º

x 200 mx + 200 m

y

35º47º

A

B C

x

b) Fixant-se en l'esquema anterior i considerant

cada un dels triangles rectangles que apa-

reixen (el de base ‘200 + x’ i el de base ‘x’),

obtenim el següent sistema d'equacions:

y = 200+ x( ) ⋅ tan 35;

y = 200 + x( ) ⋅0,7; y = 140 + 0,7x

tan 47 = yx

; tan 47 = 140 + 0,7x

x; 1,07 = 140 + 0,7x

x;

1,07x = 140 + 0,7x; 1,07x − 0,7x = 140; 0,37x = 140;

x = 140

0,37; x = 378,38 m

y = 140 + 0,7x; y = 140 + 0,7 ⋅378,38; y = 404,87 m

tan 35 = y

200 + x

tan 40 = yx

y = 200+ x( ) ⋅ tan 35;

y = 200 + x( ) ⋅0,7; y = 140 + 0,7x

tan 47 = yx

; tan 47 = 140 + 0,7x

x; 1,07 = 140 + 0,7x

x;

1,07x = 140 + 0,7x; 1,07x − 0,7x = 140; 0,37x = 140;

x = 140

0,37; x = 378,38 m

y = 140 + 0,7x; y = 140 + 0,7 ⋅378,38; y = 404,87 m

L'altura de l’edifici és de 404,87 m.


9. Una antena està subjecta al terra per dos cables d'acer, com indica la figura. Calcula l'altura de l'antena i la longitud dels dos ca-bles:

x 126 – x126 m

h

45º

C1

C2

60º

x 126 – x

hh

45º

C1

C2

60º

Per obtenir l'altura de l'antena, considerem els dos triangles rectangles que determina l'antena amb cada un dels cables i resolem el següent sistema d'equacions:

h = 126 − x( ) ⋅ tan 45; h = 126 − x( ) ⋅1;

h = 126 − x

tan 60 = h

x; tan 60 = 126 − x

x; 1,73 = 126 − x

x;

1,73x = 126 − x; 1,73x + x = 126; 2,73x = 126;

x = 126

2,73; x = 46,15 m

h = 126 − x; h = 126 − 46,15; h = 79,85 m

tan 45 = h

126 − x

tan 60 = h

x

h = 126 − x( ) ⋅ tan 45; h = 126 − x( ) ⋅1;

h = 126 − x

tan 60 = h

x; tan 60 = 126 − x

x; 1,73 = 126 − x

x;

1,73x = 126 − x; 1,73x + x = 126; 2,73x = 126;

x = 126

2,73; x = 46,15 m

h = 126 − x; h = 126 − 46,15; h = 79,85 m

Ara, per obtenir la longitud dels cables, treballem amb els dos triangles rectangles separadament i apliquem el teorema de Pitàgores a cada un d'ells.

C12 = x2 + h2; C1

2 = 46,152 + 79,852;

C12 = 2129,82 + 6376,02; C1

2 = 8505,84

C1 = 8505,84; C1 = 92,23 m

C22 = 126 − x[ ]( )2 + h2; C2

2 = 79,852 + 79,852;

C22 = 6376,02 + 6376,02; C2

2 = 12 752,04;

C2 = 12 752,04; C2 = 112,92 m

L'altura de l'antena és de 79,85 m i els cables mesuren 92,23 m i 112,92 m.

Resolució de triangles no rectangles

Teoremes dels sinus i els cosinusEls següents teoremes que veurem poden aplicar-se a qualsevol tipus de triangle, fins i tot, als triangles rectangles. Encara que, en aquest últim cas, és molt més recomanable utilitzar les fórmules de les raons trigonomètriques vistes en l'apartat anterior.

Donat un triangle qualsevol es compleix que:

n Teorema dels cosinus:

a2 = b2 + c2 − 2 ⋅b ⋅c ⋅cos A

b2 = a2 + c2 − 2 ⋅a ⋅c ⋅cos B

c2 = a2 + b2 − 2 ⋅a ⋅b ⋅cos C

A, B, C

α , ß, γA, B, C

α , ß, γA, B, C

α , ß, γ

A

bc

aB C

n Teorema dels sinus:

a

sen A= b

sen B= c

sen C

El teorema dels sinus i els angles majors a 90º

És recomanable no utilitzar el teorema dels sinus quan l'angle que busquem és major a 90º. Això es deu a què, quan busquem l'angle amb la calculadora, aquesta ens donarà sempre l'angle menor que tingui l'esmentat valor del sinus i que en alguns casos no coincidirà amb l'angle que realment estem buscant.

Exercicis resolts

1. Troba la longitud del costat b.

A

bc = 12 m

a = 10 mB C

Aplicant el teorema dels cosinus:


b2 = a2 + c2 − 2 ⋅a ⋅c ⋅cos B;

b2 = 102 +122 − 2 ⋅10 ⋅12 ⋅cos 45;

b2 = 100 +144 −169,7; b2 = 74,3;

b = 74,3; b = 8,62 m

2. Troba la longitud dels costats a i b.

A

b

40º 80º

c = 3 m

a B C

Calculem, en primer lloc, l’angle A, B, C

α , ß, γ:

A, B, C

α , ß, γ = 180º – 80º – 40º; A, B, C

α , ß, γ = 60º

Aplicant el teorema dels sinus:

b

sin B= c

sin C;

b

sin 40= 3

sin 80;

b

0,64= 3

0,98; b = 3⋅0,64

0,98; b = 1,96 m

a

sin A= c

sin C;

a

sin 60= 3

sin 80;

a

0,87= 3

0,98;

a = 3⋅0,87

0,98; a = 2,67 m

3. Troba el valor dels angles del següent trian-gle:

a = 25 m

b = 14 m

c = 18 mA B

C

Aplicant el teorema dels cosinus:

b2 = a2 + c2 ⋅2 ⋅a ⋅c ⋅cos B;

142 = 252 +182 − 2 ⋅25 ⋅18 ⋅cos B;

196 = 625 + 324 − 900 ⋅cos B;

196 − 625 − 324 = −900cos B;

−753 = −900cos B; cos B = −753

−900; cos B = 0,84;

B = arccos 0,84( ); B = 32,86º

Aplicant el teorema dels cosinus un altre cop:

a2 = b2 + c2 − 2 ⋅b ⋅c ⋅cos A;

252 = 142 +182 − 2 ⋅14 ⋅18 ⋅cos A;

625 = 196 + 324 − 504 ⋅cos A;

625 −196 − 324 = −504 cos A;

105 = −504 cos A; cos A = 105

−504; cos A = −0,21;

A = arccos −0,21( ); A = 102,12º

C = 180 − B − A; C = 180 − 32,86 −102,12; C = 45,02ºFinalment:

a2 = b2 + c2 − 2 ⋅b ⋅c ⋅cos A;

252 = 142 +182 − 2 ⋅14 ⋅18 ⋅cos A;

625 = 196 + 324 − 504 ⋅cos A;

625 −196 − 324 = −504 cos A;

105 = −504 cos A; cos A = 105

−504; cos A = −0,21;

A = arccos −0,21( ); A = 102,12º

C = 180 − B − A; C = 180 − 32,86 −102,12; C = 45,02º

4. Resol el triangle següent:

C = 45º

a = 9 cmb = 6 cm

BAc

Apliquem el teorema dels cosinus per trobar el costat c:

c2 = a2 + b2 − 2 ⋅a ⋅b ⋅cos C;

c2 = 92 + 62 − 2 ⋅9 ⋅6 ⋅cos 45;

c2 = 40,63; c = 40,63; c = 6,37 cm

Ara, apliquem el teorema dels sinus per trobar un dels angles.

b

sin B= c

sin C;

6

sin B= 6,37

sin 45;

6

sin B= 6,37

0,71;

6 ⋅0,71 = 6,37 ⋅sin B; sin B = 6 ⋅0,71

6,37;

sin B = 0,67; B = arccos 0,67( ); B = 47,93º

Finalment:

A = 180 − B −C; A = 180 − 47,93− 45; A = 87,07º

5. [Catalunya, 2010, sèrie 1] El vaixell V està amarrat al port amb dues cordes subjectes als punts A i B, separats 20 metres entre ells. Les cordes formen un angle de 50º i altre de 35º, respectivament, amb la paret del port.

V

PORT

50º

A B35º


a) Calcula l'angle que formen les dues cordes entre elles.

b) Calcula la suma de la longitud de les dues cordes.

a)

C = 180 − A − B; C = 180 − 50 − 35; C = 95º

Les dues cordes formen un angle de 95º.

b)

50º

A B

C

ab

c = 20 m

35º

Apliquem el teorema dels sinus:

b

sin B= c

sin C;

b

sin 35= 20

sin 95;

b

0,57= 20

1;

b = 20 ⋅0,57

1; b = 11,4 m

a

sin A= c

sin C;

a

sin 50= 20

sin 95;

a

0,77= 20

1;

a = 20 ⋅0,77

1; a = 15,4 m

Suma de les cordes: a + b = 15,4 + 11,4 = 26,8 m

La suma de la longitud de les cordes és de 26,8 m.

Escales

L'escala és la relació numèrica que existeix entre les dimensions reals d'un objecte i les de la seva repre-sentació sobre un plànol o un mapa.

La notació que s'usa habitualment per expressar les escales és a : b, on:

n a indica el valor en el plànol.

n b equival al valor real.

Els valors a i b sempre estan expressats en la mateixa unitat, normalment en cm.

Exemple: Un plànol a escala 1: 200 significa que 1 cm en el plànol equival a 200 cm (2 m) en la realitat.

Exercicis resolts

1. Si dos pobles A i B estan separats 50 km, a quina distància es troben en un mapa a escala 1: 800 000?

Primer, passem els km a cm:

50 km = 5 000 000 cm

Mapa Realitat

1 cm 800 000 cm

x cm 5 000 000 cm

x = 5 000 000

800 000= 6,25 cm

Es troben a una distància de 6,25 cm en el mapa.

2. La distància entre dos punts marcats sobre un plànol l'escala del qual és 1: 20 000 és de 10 cm. Quina distància els separa en la realitat?

Plànol Realitat

1 cm 20 000 cm

10 cm x cm

x = 10 ⋅20 000 = 200 000 cm

Passant el resultat a km:

200 000 cm = 2 km

Els separa una distància de 2 km.

3. A quina escala està representat un plànol si 6,4 cm equivalen a 32 m en la realitat?

Primer, passem els m a cm:

32 m = 3200 cm

Plànol Realitat

6,4 cm 3200 cm

1 cm x cm

x = 3200

6,4= 500 cm

L’escala del plànol és 1: 500

25 Unitat 6. Trigonometria, figures planes i cossos elementals 25

1. Calcula el perímetre de la figura següent:

30 cm 5 cm10 cm

30 cm

2. Calcula l’àrea d’un triangle equilàter de 12 cm de costat.

3. Calcula l’àrea de la regió ombrejada:

a)

Costat quadrat = 8 cm

b) Costat pentàgon = 5 cm

Apotema pentàgon = 3 cm

Radi circumferència = 2 cm

4. Calcula l’àrea de la següent figura:

2 cm

5 cm

8 cm

10 cm

2 cm

11 c

m

5. Calcula l'altura d'un triangle isòsceles de 32 cm de perímetre si el costat desigual me-sura 12 cm.

6. L'àrea d'un rombe són 40 cm2. Calcula la lon-gitud de les dues diagonals si sabem que una mesura el doble que l'altra.

7. Volem embolicar una caixa cúbica de 20 cm d'aresta, quina quantitat de paper de regal necessitarem?

8. Sabent que la piràmide de Keops és una pirà-mide de base quadrada i d’altura 146,6 m i que el costat de la base mesura 230 m, cal-cula la seva àrea total i el seu volum.

Activitas


9. Calcula l'àrea i el volum d'un prisma penta-gonal de 13 cm d'altura la base del qual me-sura 4 cm de costat i 3 cm d'apotema.

10. Calcula el volum del següent sòlid compost:

2 cm

5 cm

4 cm

3 cm

11. Calcula l'àrea i el volum d'un globus terraqüi de 15 cm de diàmetre.

12. Calcula l'àrea i el volum d'un tub de goma d'enganxar cilíndric que mesura 9 cm d’altura i 1 cm de radi.

13. Calcula l'àrea d'un con que té 12 cm de ge-neratriu, una altura de 14 cm i un volum de 134 cm3.

14. Expressa en radians els següents angles:

a) 30º radians d) 120º radians

b) 45º radians e) 225º radians

c) Complementari de 30º radians f) 307º radians

15. Expressa en graus els següents angles:

a) 3π4

15π3

3π2

8π7

π45π2

d)

3π4

15π3

3π2

8π7

π45π2

b)

3π4

15π3

3π2

8π7

π45π2

e)

3π4

15π3

3π2

8π7

π45π2c)

3π4

15π3

3π2

8π7

π45π2

f)

3π4

15π3

3π2

8π7

π45π2

16. [Catalunya, 2008, sèrie 2] Amb les dades de la figura adjunta, calcula:

B

3 m

10 m

6 m

25ºc

ba

a) El costat a

b) L’angle B

c) El costat b

d) El costat c

17. Resol els següents triangles rectangles:

a)

c = 7 m

b a

C

BA

b)

c

ba = 7,81 cm

C

BA

50,91º

c)

b

a c = 6,55 dm

B

AC 50º

18. [Madrid, Juny 2009] Recolzem una escala de 12 m en una paret per accedir a una fines-tra. Des del peu de l'escala al peu de l'edifici, hi ha un obstacle i no podem mesurar di-rectament la distància entre ambdós peus. L'escala forma un angle amb el terra de 60º. Calcula les longituds següents:

a) Distància del peu de l'escala a la paret.

b) Altura a la qual es recolza l'escala a la paret.


19. [Madrid, Maig 2011] Des de l'extrem supe-rior d'un pal vertical, hi ha tendit un cable fins al terra. El cable segueix una línia recta i el punt del terra en el qual està fixat se situa a 5 m del peu del pal. El cable forma amb el terra un angle α el sinus del qual és igual a 12/13.

a) Calcula cos α.b) Determina l'altura del pal i la longitud del

cable.

20. [PACGS Andalusia] Un fuster vol construir una escala de tisores amb uns braços que, una vegada oberts, formin un angle de 60º. Respon a les qüestions següents sabent que l'altura de l'escala oberta és de 2 metres.

60º

2 m

a) Quina longitud hauria de tenir cada braç?

b) Quina distància quedarà entre els dos peus de l'escala quan els braços estiguin total-ment oberts?

21. [Catalunya 2008, sèrie 1] Des de la riba d'un riu, observem el punt més alt d'un arbre situat a la riba oposada sota un angle de 34º 10'. Si reculem 6 metres, observem el mateix punt sota un angle de 22º 40'.

a) Fes un esquema del problema.

b) Calcula l’amplada del riu.

c) Calcula l’altura de l’arbre.

22. Un ornitòleg situat a la dreta d'un gran arbre, veu el niu d'un ocell amb un angle d'elevació de 25º 18'. El seu company, situat a l'esquerra de l'arbre, veu el mateix niu amb un angle

d'elevació de 16º 53'. Si la distància entre els dos ornitòlegs és de 72 m, a quina altura es troba el niu?

16º 53' 25º 18'

72 m

23. Troba la longitud dels costats a i b.

C

BA

a

c = 678 m

b60º

75º 45º

24. Resol els següents triangles:

a)

C

B

A

ac = 5 m

b = 10 m

60º

b)

C

BA

a = 10 m

c = 7 m

b = 5 m

25. Les agulles d'un rellotge de paret mesuren 10 i 12 centímetres, respectivament.

a) Quina és la distància que hi ha entre els seus extrems quan el rellotge marca les quatre?

b) Quina és la superfície del triangle que deter-minen a aquella hora?

26. Un vaixell mercant emet dos senyals d'auxili en diferents direccions i formant un angle de 48º. Una la rep un petrolier situat a 10 km i l'altra, una barca de pesca a 22 km. Quina distància separa la barca del petrolier?


27. Un globus aerostàtic està subjecte al terra mitjançant dos cables d'acer en dos punts se-parats 60 m. El cable més curt mesura 80 m i l'angle que forma l'altre cable amb el terra és de 37º. Calcula:

80 m

60 m

37º

a) La longitud de l’altre cable.

b) La distància del globus al terra.

28. Els dos costats consecutius d'un paral·lelo-gram mesuren 18 m i 35 m, i l'angle major és de 122º. Calcula:

a) El valor de l'angle menor del paral·lelogram.

b) La seva àrea.

c) Les longituds de les seves diagonals.

29. Quants quilòmetres són 12 centímetres a es-cala 1: 20 000?

30. Un pont té una longitud de 200 m. Quant mesurarà en un plànol a escala 1: 1500?

31. Si en un mapa a escala 1: 20 000 la distància entre dos punts és 12 cm, a quina distància es troben en la realitat?

32. [Andalusia, Setembre 2012] Els constructors i urbanistes dissenyen la seva obra en di-mensions reduïdes com a pas previ a la seva construcció. Per fer això, utilitzen maquetes i plànols, que vénen acompanyats per una escala. Una empresa d'aquest sector té entre mans dos projectes, del primer només té el solar i del segon ja té la maquetació.

a) En el primer projecte, quina longitud repre-senta una distància real de 5 km en un plà-nol l'escala del qual és 1: 20 000?

b) Com a segon projecte, uns habitatges amb forma d'ortoedre (capsa de sabates). Les se-ves dimensions són de 135 m de llarg, 70 m d'ample i 43 m d'alt. La maqueta s'ha fet amb una escala de 1:100. Calcula el volum de la maqueta que està realitzant l'empresa.

Documents

CFGS - SD Editores...CFGS Curs d’accés, part comuna. Matemàtiques Queda prohibida, tret excepció prevista a la llei, qualsevol forma de reproducció, distribució, comunicació