1

1２０１１年１１月２４日 日本機械学会設計工学・システム部門講習会

形状・形態（トポロジー）最適化の基礎

㈱豊田中央研究所車両・生体システム研究部

熱流体基盤研究室

川本敦史

革新的ものづくりのための最適設計法入門 １．はじめに

２．コンピュータを援用した設計計算の意義

３．形状・形態最適化による設計計算の概要

４．応用例

５．おわりに

講演内容 2

自動車開発のためのコンピュータシミュレーション

Porsche Cayenne, 4th European LS-DYNA Users Conference

3 EVAS – Engine Vibration Analysis System 4

製品を取り巻くマルチフィジックス連関図

電子機器（パワー半導体

モジュール）

熱交換器（冷却器、ルー

バーフィン）

通信機器（アンテナ、光導

波路）

電磁機器（モータ、リアクト

ル）

MEMS（加速度セン

サー、ヨーレートセンサー）

構造伝熱 流体

電気 電磁（RF） 電磁（AC/DC）

第一原理 数理計画法

触媒

化学反応

5

１．はじめに

２．コンピュータを援用した設計計算の意義

３．形状・形態最適化による設計計算の概要

４．応用例

５．おわりに

講演内容 6

2

構想設計

詳細設計

ＣＡＥ評価

試作・試験

大量生産

製品開発における解析技術の重要性 7

従来技術 数理計画法に基づく設計計算技術

順問

題設

計計

算

伝熱

構造 流体

電気

MP連成解析

伝熱 構造

流体

電気

・実験計画法／応答曲面法

・設計変数：寸法など（～20DOF）

・数理計画法に基づく感度解析と最適化

全体として最適な設計の提案 → 手戻りのない設計に貢献

・設計変数： 位相，形状など（～数千DOF）

順解析設計変数 応答

順解析設計変数

逆解析

応答

内部変数

単一フィジックスの逐次解析

コンピュータを援用した設計計算 8

計算資源の経済学

設計

変数

状態変数

A1

A2

A3

A1 A2 A3

b1

b2 b1 b2

有効

な設

計改

善

（モデル自由度）

9

１．はじめに

２．コンピュータを援用した設計計算の意義

３．形状・形態最適化による設計計算の概要

４．応用例

５．おわりに

講演内容 10

構造最適化の種類と概要

F

L1 L2

H1 H2

寸法最適化

（1960～） ◆ 板厚，断面形状特性が設計変数

◆ 構造の大幅な変更なし

F形状最適化

（1970～）◆ 外形形状が設計変数

◆ 形状，穴の位置が変化

◆ 力法・ベーシスベクトル法など

Fトポロジー最適化

（1980～）◆ 材料分布問題への置き換え

◆ 穴の数と形状が変化

◆ 明確な外形形状が表現できない

11 形状最適化

• 構造の外形形状（輪郭や表面）そのものを設計する手法．• 有限要素法を用いた表現では，最終的に節点座標の変更となる．• 寸法最適化との区別は，解析領域（またはリファレンスフレーム）の

変更があるか否か．

初期形状 最適化形状

12

3

形状最適化の問題点

1. 設計境界上の応力の非平滑性が2. 設計境界上の形状感度の非平滑性となり，3. 非平滑な感度に基づく形状修正の結果，4. 平滑でない最適形状(波打ち現象)が生じる．

初期形状 最適化形状

Braibant, V. and Fleury, C.: Shape optimal design using B-splines, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 44, (1984), pp. 247-267.

13 形状最適化の問題点

Kikuchi, N., Chung, K. Y., Torigaki, T. , and Taylor, J.E.:Adaptive Finite Element Methods for Shape Optimization of Linear Structures, Comput. Meth. Appl. Mech. Engrg., 57(1986), pp. 67-89．

応力の非平滑性 感度の非平滑性 形状の非平滑性

14

Jamshid A. Samareh, NASA/CP-1999-209136, June 1999, pp. 333-343.

離散点による形状表現 制御点による形状表現

形状最適化における形状表現

航空機の翼形状の表現

• B-スプライン曲線• ベジェ曲線• ベーシスベクトル法

ノンパラメトリック パラメトリック

• 力法• Natural approach

15 パラメトリック形状最適化

航空機の翼形状の表現

Hsiao-Yuan Wu, Shuchi Yang, and Feng Liu: Comparison of Three Geometric Representations of Airfoils for Aerodynamic Optimization, 16th AIAA Computational Fluid Dynamics Conference, June 23–26, 2003/Orlando, FL

PARSEC（多項式）法（Super Curve Method）

Hicks-Henne形状関数法

（ベーシスベクトル法）

16

ノンパラメトリック形状最適化

名古屋大学 畔上教授をはじめとする研究グループが牽引

1. 形状勾配関数を表面力として作用

させたときの変位応答を計算．

2. 得られた変位は平滑化された形状

感度と見なすことができる．

3. 平滑化された形状勾配関数に基づ

く形状修正により滑らかな境界形状

を確保する．

力法のエッセンス

力法

17 ノンパラメトリック形状最適化

初期形状 最適化形状

A. Kawamoto, Y. Asaga, T. Nomura, S. Yamasaki and T. Kondoh:Shape optimization for multi-physics problems using a high-level programming language, 8th World Congress on Structural and Multidisciplinary Optimization, June 1-5, 2009, Lisbon, Portugal

力法の計算例

18

4

e

y

x

y =

x

= 2

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

0.00

0.05

0.10

0.15

Poisson

Helmholtz R=1.0

Helmholtz R=0.4

Theoretical shape

Y

X

0:g

0:gsubject to

dexpln1

:minimize

2

1

]1,1[

WW

AA

Wf s u

Optimized shape

Problem setting PDE filter

Optimization history

Minimization of maximum stress:

ノンパラメトリック形状最適化

Natural approach （松森らの方法：仮想荷重が設計変数）

19 形状最適化に関する参考資料

Optimal Designs (PRE-PRINT)- Structures and Materials - Problems and Tools -Pauli Pedersen (email: pauli@mek.dtu.dk)Department of Mechanical Engineering, Solid MechanicsTechnical University of Denmarkhttp://

教科書

解説記事

形状最適化問題の解法畔上秀幸計算工学 先進技術解説Vol.2, No. 4(1997 年12 月号):239-247

20

構造設計の極意

Robert le Ricolais, 1894-1977

“The art of structure is where to put the holes.”

http://www.upenn.edu/almanac/v42/n19/ricolais.html

Robert le Ricolais, 1894-1977

Father of space structures

どこに穴を空けるかが問題だ！

21 形態（トポロジー）最適化

http://www.topopt.dtu.dk/htopopt/

(Bendsøe & Kikuchi, 1988)Volume 64% Volume 36%

設計領域

22

固定設計領域

構造領域

空洞領域

固定設計領域 と特性関数 の導入設計領域

目的汎関数 目的汎関数

特性関数 …1

0

形態（トポロジー）最適化 23 均質化法と密度法

均質化法 密度法

(Bendsøe & Kikuchi,1988) (Bendsøe,1989)

設計空間を緩和 設計空間を制限

24

5

代表的な二つの定式化

Nested formulation: Simultaneous formulation:

順解析設計変数

感度解析

応答

状態変数

随伴解析

随伴変数

伝熱

構造 流体

電気

COMSOL Multiphysics

関数評価

設計変数＋状態変数

感度解析

応答

分岐限定法Branch & Bound

Local optimizationLocal optimization Global optimizationGlobal optimization

特異点を排除 逆行列を計算

しないのでOK！

陰関数

外部ソルバー

25 随伴変数法を用いた感度解析（連続変数）

目的関数：

拡張設計感度：

随伴問題：

解析問題：陰関数陰関数

設計感度：

設計感度：

拡張目的関数：

直接計算できない！直接計算できない！

= 0

= 0

26

随伴変数法を用いた感度解析（離散変数）

目的関数：

拡張設計感度：

随伴問題：

解析問題：陰関数陰関数

随伴解析随伴解析

設計感度：

設計感度：

拡張目的関数：

直接計算できない！直接計算できない！

同類項を纏める同類項を纏める

= 0

= 0

27 剛性最大化問題（密度法による解法）

片持ち梁の剛性最大化問題

F

F

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

高次要素ならばチェッカーボードは消えるがメッシュ依存性は残る！

28

何が起きているのか？

設計空間

一変数で考えると 多変数で考えると

0 1

目的関数

設計空間

目的関数

物理的に矛盾のある解

製造できない解

凸(convex)凹(concave)

設計空間をそのまま凹化すると特性関数の悪しき性質（ill-conditioned）が顕現化する！

e.g.) チェッカーボード、波型、メッシュ依存性

べき乗則（射影法）；符号付き距離関数（レベルセット法）；二重井戸ポテンシャル（フェーズフィールド法）

勾配法では大域的最適解は得られない！

凹化（二値化）手段：

29 設計空間の正則化と最適解の存在について

• チェッカーボード抑制（一次要素）• トポロジーの複雑さ制御（製造上の制約）• 数値計算の安定化

効能

均質化法

密度法（射影法を含む）

フェーズフィールド法

レベルセット法

設計変数

密度関数

密度関数

フェーズフィールド

レベルセット関数

フィルター/制約 解の存在定理

感度フィルター

密度フィルター

勾配制約

周長制約

○

○

○

?

?

?

○―

拡散項

拡散項

30

6

最適解の存在定理（勾配制約した場合）

Compact(G-closed)

Weaklyclosed

Elliptic

Bounded

Lower semi-continuous

31

R

ConvolutionフィルターとPDEフィルター

並列化に不向き

COMSOLの適用困難

最適化 感度解析

MP問題楕円型PDE

最適化

感度解析

MP問題

重み付平均

Convolutionフィルター（感度）

PDEフィルター（密度）

（フィルター）

（フィルター）

（差分感度との不整合）

目的関数と感度の不整合！

32

PDEフィルター導入の効果（射影法の場合）

PDEフィルター 射影

順問題感度解析

Complimentarity gap (for KKT condition):

Heaviside projection based topology optimization by a PDE-filtered scalar function, Kawamoto et al., SMO 2010 (to appear).

33

Forward problem

Convolution Integral(Filter)

Sensitivity analysis

Optimization

ff , f

f

ff ,

Forward problem

Optimization

Sensitivity analysis

Elliptic PDE(Filter)

f

Sensitivity filter Density filter

Natural design approach with a PDE filterTraction method(H1 gradient method)An extra linear elastic problem is utilized like a

sensitivity filter.

トポロジー最適化

形状最適化Sensitivity filter Force filter

形状・形態最適化とフィルターの関係 34

COMSOLを用いたトポロジー最適化の実装

-test(ux)*ux-test(uy)*uy+test(u)*f

function [U]=FE(nelx,nely,x,penal)[KE] = lk; K = sparse((nelx+1)*(nely+1), (nelx+1)*(nely+1));F = sparse((nely+1)*(nelx+1),1); U = zeros((nely+1)*(nelx+1),1);for elx = 1:nelx

for ely = 1:nelyn1 = (nely+1)*(elx-1)+ely; n2 = (nely+1)* elx +ely;edof = [n1; n2; n2+1; n1+1];K(edof,edof) = K(edof,edof) + (0.001+0.999*x(ely,elx)^penal)*KE;

endend

A 99 LINE TOPOLOGY OPTIMIZATION CODE (by Ole Sigmund) より抜粋

強形式：

弱形式：

COMSOLに記述するのはこの部分だけ！

Forループは必要なし！Forループは必要なし！

35

（再び）片持ち梁の剛性最大化問題

COMSOLを用いたトポロジー最適化の実装

レベルセット法 射影法

時間発展方程式

変数写像

材料補間

歪エネルギー密度

順問題：

36

7

制約付き最適化アルゴリズム

KKT condition:

37 射影法

Optimization histories:

38

Optimization histories:

射影法 vs レベルセット法 39 射影法 vs レベルセット法 40

Minimum volume problemwith two load cases:

時間発展方程式を用いたトポロジー最適化

Equilibrium：

Case 1:

Case 2:

41 3D Cantilever beam 42

8

3D Cantilever beam 43 3D Mast 44

3D Heat sink

温度一定

45 トポロジー最適化に関する参考資料

Topology Optimization – Theory, Methods, and Applications.Martin P. Bendsøe, Ole SigmundSpringer Verlag: Berlin Heidelberg, 2003.

教科書

ウェブサイト

http://www.topopt.dtu.dk

46

１．はじめに

２．コンピュータを援用した設計計算の意義

３．形状・形態最適化による設計計算の概要

４．応用例

５．おわりに

講演内容 47 積層構造体（パワー半導体）の熱応力緩和設計

http://www.toyota-shokki.co.jp/news/2009/09101441stmotorshow/

計算対象（1/2対称モデル）

一定温度に固定

熱入力Si

Al

Cu セラミックハンダ

設計領域

目的： 平均応力最小化

制約： Si層の最高温度は許容温度以下設計変数： 設計領域の材料密度

48

9

温度場・変位場の連成感度解析

伝熱問題 構造問題

目的関数：

感度解析：

随伴問題：

設計変数

連成

連成

温度場 変位場

陰関数陰関数

解析問題：

伝熱問題 構造問題

温度場変位場

陰関数 陰関数（随伴変数）

（状態変数）

（ユーザ）

（設計ツール）

49 積層構造体（パワー半導体）の熱応力緩和設計

1600 [℃]

(Cu)固体

空気

目的： 平均応力最小化制約： Si層の最高温度は許容温度以下設計変数： 設計領域の材料密度

計算対象（1/2対称モデル）

一定温度に固定

熱入力Si

Al

Cu セラミックハンダ

設計領域

（体積25%減）

平均

応力

[MP

a]

0

20

40

60

80

100

バルク 最適構造

7.8%減

50

複合材料設計：炭素繊維配向角最適化

x

初期配向

目的： Si 層の最高温度最小化

設計変数： 配向角（炭素繊維）

最適配向

等温線

最適化前

最適化後

Si表

面温

度T

[℃]

x [mm]

90

100

110

120

130

140

150

0 1 2 3 4 5

最高温度：－26℃

1170 [℃]

1400 [℃]

51 積層構造体（パワー半導体）の熱応力緩和設計

形状最適化による平均熱応力最小化：

伝熱問題

構造問題

52

初期形状

積層構造体（パワー半導体）の熱応力緩和設計

最適化形状

53 流体抵抗（抗力）最小化問題 54

10

トポロジー最適化による抗力最小化 55 形状最適化による抗力最小化 56

形状最適化による抗力最小化の注意点 57 トポロジー最適化による揚力最小化 58

熱伝達最大化を目的とした熱交換器内部の流路設計

DTQf

Dd),()(Minimize

1,0

x

目的関数: 設計領域内部の発熱量 Q(, T)

設計変数: 流体分率 (x)

outletinlet2,Re

ppU

UL

流入口 流出口

T = 0pinlet = 1 poutlet = 0

設計領域 D

固体

1),(Nu)1(),( TTTTQ

Navier-Stokes方程式，連続の式

0

)(Re

1 2

u

uuuu p

熱輸送方程式（固体領域のみが発熱）

),()(PrRe 2 TQTT u

固体が存在することによる抵抗力 固体領域の発熱量

Re：レイノルズ数，u：速度，p：圧力，a(g)：逆透過率, T :温度, Q(g, T) :単位時間，面積当たりの発熱量, Pr :プラントル数

熱流体問題のトポロジー最適化 59

目的：設計領域内の熱伝達量最大化

D

Dqxf d)(:)(minimize

固体領域に発熱量

入口 出口

T = T0

p = p0 p = 0

設計領域

))(1()( TTkq a

圧力差p

大

小

固体

ka:比例定数（≒熱伝達率）

固体 流体

熱伝達最大化流路設計 60

11

熱伝達最大化流路設計

10uN 50uN 100uN 500uN

5eR

10eR

50eR

100

eR

最適化結果： Reの増加 ⇒ 流路幅が減少； Nuの増加 ⇒ 固体の島の面積が減少。

61

0.1

1.0

10.0

100.0

1000.0

0 100 200 300 400 500

1251020501002005001000

熱交換器の性能向上限界

Obj

ectiv

e fu

nctio

n f((

x)) Nu

Re

dVTQf ),()( x

Re Nu

62

10uN 50uN 100uN 500uN

5eR

10eR

50eR

100

eR

熱伝達最大化流路設計 63

10uN 50uN 100uN 500uN

5eR

10eR

50eR

100

eR

熱伝達最大化流路設計 64

１．はじめに

２．コンピュータを援用した設計計算の意義

３．形状・形態最適化による設計計算の概要

４．応用例

５．おわりに

講演内容 65 マルチフィジクス/マルチスケール最適設計

最適化（OPT）（数理計画法、

メタヒューリスティック）

マルチスケール解析（MS）（均質化法、

第一原理計算）

化学反応

構造

流体

電磁

（RF）

電気

機構

伝熱

電磁

（AC/DC）

マルチフィジクス解析（MP）

触媒

燃料電池

パワー半導体

軽量化

モーター

リアクトル

アンテナ

MEMS

メタマテリアル

マイクロ流体機器

熱交換器

66

12

形状・形態最適化による設計計算指南

1. 対象とする物理現象をよく理解する．

2. 適切な設計変数を選ぶ．

3. 適切な目的関数を選ぶ．

4. 適切な最適化手法で最適化する．

5. 最適化で得られた結果を設計要件に照らし合わせる．

6. 必要ならば制約条件を追加して4に戻る．

7. すべての設計要件が満たされるまで4以下の作業を繰り返す．

設計計算に王道なし！

67 68分枝限定法による大域最適化

69

問題

分枝限定法による大域最適化 70

問題

分枝限定法による大域最適化

分枝限定法による大域最適化 71 分枝限定法による大域最適化 72