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8/11/2019 Ch 4 Bending Stressesnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
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CHAPTER 4: BENDINGSTRESSES
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Normal Stresses in Beams -Bending
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Normal Stresses in Beams
the normal stress in the member , which occurs at a point on the cross-sectfarthest away from the neutral axis ( N/m 2 = Pa )
M the resultant internal moment , determined from the method of section
equations of equilibrium and calculated about the neutral axis of the cross sectiony the perpendicular distance from the neutral axis to a point farthest aneutral axis. This is where max acts ( m )
I the moment of inertia of the cross sectional area about the neutral axis ( m 4 )R radius of curvature ( m )
E Young Modulus ( N/m 2 = Pa )
3
M = = EI y RFlexure formula :
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Maximum Stresses at a Cross-Section
Relationships betweensigns of bendingmoments anddirections of normalstresses;(a) +ve bendingmoment.(b) -ve bendingmoment.
4
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Properties of Plane Areas5
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Properties of Plane Areas.6
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Properties of Plane Areas.7
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Properties of Plane Areas.8
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Combination Shape
IX/Y moment of inertia
A cross sectional areah length between neutral axis
I = (I G + Ah) 1+2+3+.
9
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Neutral Axis
UnsymmetricSymmetrical
=yAA
10
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Here is a place holder for the text. The earth flower on this page can beremoved. Picture from PresenterMedia.com
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c = y = 0.2/2 = 0.1 m
3kNm
100mm
200mm
I = bh 3/12 = 0.1 x 0.2 3 / 12 = 6.667x10 -5 m4
= McI
= (3kNm)(0.1m)/(6.667x10 -5 m 4)
= 4.4998 MPa (compression and tension)
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Example 1: Cantilever Beam
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EXAMPLE 213
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EXAMPLE 314
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Example 4: Simply Supported Bea
40mm
10mm
100mm
5kN/m
6m
15
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Area A :
y A = 0.01/2 = 0.005 m;
A A = 0.04 x 0.01 = 0.0004 m 2;
Area B :
yB = 0.01 + 0.08/2 = 0.05 m;
AB= 0.01 x 0.08 = 0.0008 m 2
Area C :
yC = 0.01 + 0.08 + 0.01/2 = 0.095 m;
AC = 0.1 x 0.01 = 0.001 m 2
Step 1: Identify value c from neutral axi40mm
10mm
100mm
10m
10
80m
A
B
C
Neutral Axis
C1
C2
c1 = yA/ A
c1 = [y A A A + y B AB + y C AC ]/[A A + AB + AC]
c1 = [(0.005 x 0.0004) + (0.05 x 0.0008) + (0.095 x 0.001)] / [0.0004 + 0.0008 + 0.001]
c1 = 0.062 m16
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Area A :
h A = 0.062-0.005=0.057m;
IA=3.33x10 -9m 4
Area B :
h B = 0.062-0.050=0.012m;
IB= 4.267x10 -7m 4
Area C :
h C = 0.095-0.062=0.033m;
IC=8.33x10 -9m 4
The shape for A,B and C are rectangular
Step 2: Determine moment of inertia
40mm
10mm
100mm
10mm
10mm
80mm
A
B
C
Neutral Axis
C1 = 0.062m
C2 = 0.038m
Total of combination shape; I = (IG + Ah)I = (I + Ah) A + (I + Ah) B + (I + Ah) C
= 1.30293x10 -6 m 4 + 5.419x10 -7 m 4 + 1.09733x10
= 2.942x10-6
m4
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Step 3: Determine maximum bending stresse5kN/m
6m
0 kNm
6m
+22.5kNm
+30kN
-30kN
Shear Force Diagram
Moment Diagram
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Step 4: Calculate normal stress
I = 2.94216x10 -6m 4
Mmax =22.5kNm (+ve) max = Mc 1 I
= (22.5kN)(0.062)/(2.94216x10 -6)
= 474.14x10 6N/m(compression)
= Mc 2 I
= (22.5kN)(0.038)/(2.94216
= 290.60x10 6N/m(tension
compress
tension
40mm
10mm
100mm
A
B
C
N
C1 = 0.062m
C2 = 0.038m
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Maximum bending stress20
L/2L/2
L L
L
Mmax =FL/4
Mmax =FL/8
(F unit N)
(F un it N/m)
F
F
F
L
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Example 6
A cast-iron machine part is acted upon by a 3 kNm couple. Know= 165 GPa and neglecting the effects of fillets, determine (a) the
maximum tensile and compressive stresses, (b) the radius of
SOLUTION
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Example 6: Continue
SOLUTION:
Based on the cross section geomcalculate the location of the sectiand moment of inertia.
I I A A y
Y x
Apply the elastic flexural formuthe maximum tensile and comprstresses.
I
Mcm
Calculate the curvature
1
SOLUTION B d th ti t l l t th l ti f th
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SOLUTION: Based on the cross section geometry, calculate the location of thesection centroid and moment of inertia.
mm383000
10114 3
A A y
Y
2
300020120030402
50180090201
mm,mmArea,
A
y
49-43
12123
121
231212
m10868mm10868
301218002090
I
d Abhd A I I x
Example 6: Continue
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